लॉगरिदमिक समीकरण परिभाषा। लघुगणकीय समीकरणों को हल करना - अंतिम पाठ

हम सभी प्रारंभिक ग्रेड के समीकरणों से परिचित हैं। वहां हमने सबसे सरल उदाहरणों को हल करना भी सीखा, और हमें यह स्वीकार करना चाहिए कि वे उच्च गणित में भी अपना आवेदन पाते हैं। यह वर्ग वाले सहित समीकरणों के साथ सरल है। यदि आपको इस विषय में समस्या है, तो हम दृढ़ता से अनुशंसा करते हैं कि आप इसे दोहराएं।

आप शायद पहले से ही लघुगणक पारित कर चुके हैं। फिर भी, हम यह बताना महत्वपूर्ण समझते हैं कि यह उन लोगों के लिए क्या है जो अभी तक नहीं जानते हैं। लॉगरिथम उस डिग्री के बराबर होता है, जिसके लिए आधार को लॉगरिदम पर हस्ताक्षर के दाईं ओर प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए। आइए एक उदाहरण दें, जिसके आधार पर, आपके लिए सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

यदि आप 3 से चौथी शक्ति बढ़ाते हैं, तो आपको 81 मिलते हैं। अब संख्याओं को सादृश्य द्वारा स्थानापन्न करें, और आप अंततः समझेंगे कि लॉगरिदम कैसे हल किया जाता है। अब यह केवल दो मानी जाने वाली अवधारणाओं को मिलाने के लिए रह गया है शुरू में, स्थिति बेहद कठिन लगती है, लेकिन करीब से जांच करने पर वजन कम हो जाता है। हमें यकीन है कि इस छोटे से लेख के बाद आपको परीक्षा के इस भाग में कोई समस्या नहीं होगी।

आज, ऐसी संरचनाओं को हल करने के कई तरीके हैं। हम आपको सबसे सरल, सबसे प्रभावी और सबसे लागू यूएसई असाइनमेंट के बारे में बताएंगे। लघुगणकीय समीकरणों को हल करना सबसे सरल उदाहरण से शुरू होना चाहिए। सबसे सरल लघुगणक समीकरण में एक फ़ंक्शन और एक चर होता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि x तर्क के अंदर है। ए और बी नंबर होना चाहिए। इस स्थिति में, आप किसी संख्या को शक्ति के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। यह इस तरह दिख रहा है।

बेशक, इस तरह से लॉगरिदमिक समीकरण को हल करना आपको सही उत्तर की ओर ले जाएगा। इस मामले में अधिकांश छात्रों की समस्या यह है कि उन्हें समझ में नहीं आता है कि यह क्या और कहाँ से आता है। नतीजतन, आपको गलतियों से ऊपर उठना होगा और वांछित अंक नहीं मिलेंगे। यदि आप पत्रों को मिलाते हैं तो सबसे अधिक कष्टप्रद गलती होगी। इस तरह से समीकरण को हल करने के लिए, आपको इस मानक स्कूल सूत्र को याद करने की आवश्यकता है, क्योंकि इसे समझना मुश्किल है।

इसे आसान बनाने के लिए, आप एक अन्य विधि का सहारा ले सकते हैं - विहित रूप। विचार बहुत सरल है। समस्या पर फिर से ध्यान दें। याद रखें कि पत्र एक संख्या है, एक फ़ंक्शन या चर नहीं है। A एक या शून्य से अधिक नहीं के बराबर है। B पर कोई प्रतिबंध नहीं हैं। अब हम सभी सूत्रों में से एक को याद करते हैं। बी को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है।

यह इस प्रकार है कि सभी मूल समीकरणों को लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है:

अब हम लघुगणक को गिरा सकते हैं। परिणाम एक सरल निर्माण है जो हमने पहले देखा था।

इस सूत्र की सुविधा इस तथ्य में निहित है कि इसका उपयोग विभिन्न प्रकार के मामलों में किया जा सकता है, और न केवल सरल डिजाइनों के लिए।

OOF के बारे में चिंता मत करो!

कई अनुभवी गणितज्ञ ध्यान देंगे कि हमने परिभाषा के क्षेत्र पर ध्यान नहीं दिया है। नियम इस तथ्य तक कम हो जाता है कि एफ (x) आवश्यक रूप से 0. से अधिक है नहीं, हमने इस क्षण को याद नहीं किया। अब हम विहित रूप के एक और बड़े लाभ के बारे में बात कर रहे हैं।

यहां अतिरिक्त जड़ें नहीं उठेंगी। यदि चर केवल एक ही स्थान पर दिखाई देगा, तो गुंजाइश आवश्यक नहीं है। यह अपने आप चलता है। इस कथन को सत्यापित करने के लिए, कुछ सरल उदाहरणों को हल करने पर विचार करें।

विभिन्न आधारों के साथ लघुगणक समीकरणों को कैसे हल किया जाए

ये पहले से ही जटिल लघुगणक समीकरण हैं, और उनके समाधान के लिए दृष्टिकोण विशेष होना चाहिए। यह शायद ही कभी कुख्यात विहित रूप तक सीमित हो जाता है। चलिए शुरू करते हैं हमारी विस्तृत कहानी। हमारे पास निम्नलिखित डिज़ाइन है।

अंश पर ध्यान दो। इसमें लघुगणक शामिल है। यदि आप इसे असाइनमेंट में देखते हैं, तो यह एक दिलचस्प ट्रिक याद रखने योग्य है।

इसका क्या मतलब है? प्रत्येक लघुगणक को एक सुविधाजनक आधार के साथ दो लघुगणक के भागफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इस सूत्र में एक विशेष मामला है जो इस उदाहरण के साथ लागू होता है (मतलब, यदि c \u003d b)।

यह ठीक उसी अंश है जिसे हम अपने उदाहरण में देखते हैं। इस प्रकार।

वास्तव में, उन्होंने अंश को बदल दिया और एक अधिक सुविधाजनक अभिव्यक्ति प्राप्त की। इस एल्गोरिथ्म को याद रखें!

अब यह आवश्यक है कि लॉगरिदमिक समीकरण में अलग-अलग आधार नहीं थे। आधार के रूप में एक अंश की कल्पना करते हैं।

गणित में, एक नियम है जिसके आधार पर आप आधार से डिग्री ले सकते हैं। निम्नलिखित निर्माण निकलता है।

ऐसा लगता है, जो अब हमारी अभिव्यक्ति को एक विहित रूप में बदलने और इसे प्राथमिक रूप से हल करने से रोकता है? इतना आसान नहीं। लघुगणक से पहले कोई अंश नहीं होना चाहिए। हम इस स्थिति को ठीक करते हैं! अंश को डिग्री के रूप में बाहर ले जाने की अनुमति है।

क्रमशः।

यदि आधार समान हैं, तो हम लघुगण को हटा सकते हैं और स्वयं भावों को समान कर सकते हैं। तो स्थिति पहले की तुलना में बहुत आसान हो जाएगी। एक प्राथमिक समीकरण बना रहेगा, जिसे हम में से प्रत्येक 8 वीं या 7 वीं कक्षा में हल करना जानता था। आप गणना स्वयं कर सकते हैं।

हमें इस लॉगरिदमिक समीकरण का एकमात्र सही मूल मिला। एक लघुगणकीय समीकरण को हल करने के उदाहरण बहुत सरल हैं, क्या वे नहीं हैं? अब आप स्वतंत्र रूप से परीक्षा की तैयारी और उत्तीर्ण करने के लिए भी सबसे कठिन कार्यों का पता लगाने में सक्षम होंगे।

नीचे की रेखा क्या है?

किसी भी लघुगणक समीकरणों के मामले में, हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम से आगे बढ़ते हैं। अभिव्यक्ति को सरलतम रूप में लाने के लिए इस तरह से कार्य करना आवश्यक है। इस मामले में, आपके पास न केवल कार्य को सही ढंग से हल करने के लिए, बल्कि इसे यथासंभव सरल और तार्किक बनाने के लिए अधिक संभावनाएं होंगी। इस तरह से गणितज्ञ हमेशा करते हैं।

हम आपको कठिन रास्तों की तलाश करने से मना करते हैं, खासकर इस मामले में। कुछ सरल नियमों को याद रखें जो आपको किसी भी अभिव्यक्ति को बदलने की अनुमति देंगे। उदाहरण के लिए, दो या तीन लघुगणक को एक आधार पर लाएं, या आधार से एक डिग्री प्राप्त करें और उस पर जीत हासिल करें।

यह भी याद रखने योग्य है कि आपको लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने में लगातार प्रशिक्षित होना चाहिए। धीरे-धीरे, आप अधिक से अधिक जटिल डिजाइनों की ओर बढ़ेंगे, और यह आपको परीक्षा में समस्याओं के सभी प्रकारों को आत्मविश्वास से हल करने की ओर ले जाएगा। अपनी परीक्षा के लिए पहले से तैयारी करें, और शुभकामनाएँ!

आज हम सीखेंगे कि सरलतम लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जहां प्रारंभिक परिवर्तन और मूल चयन की आवश्यकता नहीं है। लेकिन अगर आप इस तरह के समीकरणों को हल करना सीखते हैं, तो यह और भी आसान हो जाएगा।

सरलतम लघुगणक समीकरण एक समीकरण का रूप है, जिसमें लॉग ए f (x) \u003d b है, जहां a, b संख्याएं हैं (a\u003e 0, a) 1), f (x) कुछ फ़ंक्शन है।

सभी लघुगणकीय समीकरणों की एक विशिष्ट विशेषता लघुगणक के चिन्ह के नीचे चर x की उपस्थिति है। यदि इस तरह के समीकरण को शुरू में समस्या में दिया जाता है, तो इसे सबसे सरल कहा जाता है। किसी अन्य लॉगरिदमिक समीकरण को विशेष परिवर्तनों के सरलतम तरीके से कम किया जाता है (देखें "लॉगरिदम के मूल गुण")। हालांकि, इस मामले में, कई सूक्ष्मताओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए: अनावश्यक जड़ें उत्पन्न हो सकती हैं, इसलिए जटिल लॉगरिदमिक समीकरणों को अलग से माना जाएगा।

ऐसे समीकरणों को कैसे हल करें? यह समान चिह्न के दाईं ओर संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है, साथ ही बाईं ओर के आधार में लघुगणक के साथ। तब आप लघुगणक के संकेत से छुटकारा पा सकते हैं। हम पाते हैं:

a f (x) \u003d b ⇒ लॉग इन a f (x) \u003d a b ⇒ f (x) \u003d a b लॉग करें

हमें सामान्य समीकरण मिला। इसकी जड़ें मूल समीकरण की जड़ें हैं।

डिग्री बना रहे हैं

अक्सर, लघुगणकीय समीकरण, जो बाहरी रूप से जटिल और जटिल दिखते हैं, जटिल सूत्रों को शामिल किए बिना सिर्फ कुछ लाइनों में हल किए जाते हैं। आज हम ऐसी ही समस्याओं पर विचार करेंगे, जहाँ आप सभी की आवश्यकता है कि सूत्र को ध्यान से विहित रूप में कम किया जाए और लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र की तलाश में भ्रमित न हों।

आज, जैसा कि आप शायद पहले से ही नाम से अनुमान लगा चुके हैं, हम कैनोनिकल रूप में संक्रमण के लिए सूत्रों का उपयोग करके लघुगणकीय समीकरणों को हल करेंगे। इस वीडियो सबक का मुख्य "ट्रिक" डिग्री या आधार और तर्क से डिग्री प्राप्त करने के साथ डिग्री के साथ काम कर रहा होगा। आइए नियम पर विचार करें:

इसी तरह, आप आधार से डिग्री ले सकते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि, जब लघुगणक के तर्क से डिग्री लेते हैं, तो हमारे सामने बस एक अतिरिक्त कारक होता है, फिर जब डिग्री को आधार से हटाते हैं, तो यह केवल एक कारक नहीं है, बल्कि एक उलटा कारक है। यह याद रखना चाहिए।

अंत में, मजेदार हिस्सा। इन सूत्रों को मिलाया जा सकता है, फिर हम मिलते हैं:

बेशक, इन संक्रमणों को निष्पादित करते समय, परिभाषा क्षेत्र के संभावित विस्तार के साथ जुड़े कुछ नुकसान होते हैं या, इसके विपरीत, परिभाषा क्षेत्र की संकीर्णता। खुद के लिए न्यायाधीश:

लॉग 3 x 2 \u003d 2 3 लॉग 3 x

यदि पहले मामले में, x 0 के अलावा कोई भी संख्या हो सकती है, अर्थात आवश्यकता x, 0 है, तो दूसरे मामले में हम केवल x से संतुष्ट हैं, जो न केवल बराबर हैं, बल्कि कड़ाई से 0 से अधिक हैं, क्योंकि लघुगणक की परिभाषा का डोमेन यह है कि यह तर्क सख्ती से 0. से अधिक है। इसलिए, मैं आपको 8-9 ग्रेड बीजगणित के पाठ्यक्रम से एक अद्भुत सूत्र याद दिलाता हूं:

अर्थात्, हमें अपना सूत्र इस प्रकार लिखना चाहिए:

log 3 x 2 \u003d 2 ∙ लॉग 3 | x |

तब परिभाषा क्षेत्र का कोई भी संकुचन नहीं होगा।

हालाँकि, आज के वीडियो ट्यूटोरियल में कोई वर्ग नहीं होगा। यदि आप हमारे कार्यों को देखते हैं, तो आप केवल जड़ों को देखेंगे। इसलिए, हम इस नियम को लागू नहीं करेंगे, लेकिन इसे अभी भी ध्यान में रखने की आवश्यकता है ताकि सही समय पर, जब आप लॉगरिदम के तर्क या आधार में एक द्विघात कार्य देखें, तो आप इस नियम को याद रखेंगे और सभी परिवर्तनों को पूरा करेंगे। सही ढंग से।

तो पहला समीकरण:

इस समस्या को हल करने के लिए, मैं सूत्र में मौजूद प्रत्येक शर्तों को ध्यान से देखने का प्रस्ताव करता हूं।

आइए पहले शब्द को एक तर्कसंगत प्रतिपादक की शक्ति के रूप में फिर से लिखें:

हम दूसरे शब्द को देखते हैं: लॉग 3 (1 - x)। यहां कुछ भी नहीं करना है, सब कुछ पहले से ही एक परिवर्तन है।

अंत में, 0, 5. जैसा कि मैंने पिछले पाठों में कहा था, जब लघुगणकीय समीकरणों और सूत्रों को हल करते हैं, तो मैं दशमलव अंशों से सामान्य लोगों पर स्विच करने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं। चलो इसे करते हैं:

0,5 = 5/10 = 1/2

आइए परिणाम की शर्तों को ध्यान में रखते हुए हमारे मूल सूत्र को फिर से लिखें:

लॉग 3 (1 - x) \u003d 1

अब विहित रूप में चलते हैं:

log 3 (1 - x) \u003d log 3 3

हम तर्क की बराबरी करके लघुगणक के संकेत से छुटकारा पा लेते हैं:

1 - x \u003d 3

2x \u003d 2

x \u003d −2

यही है, हमने समीकरण हल कर दिया है। हालांकि, चलो अभी भी इसे सुरक्षित खेलते हैं और गुंजाइश पाते हैं। ऐसा करने के लिए, मूल सूत्र पर वापस जाएं और देखें:

1 - एक्स\u003e 0

−x\u003e −1

एक्स< 1

हमारी जड़ x \u003d satisf2 इस आवश्यकता को पूरा करती है, इसलिए, x \u003d a2 मूल समीकरण का हल है। अब हमें एक स्पष्ट स्पष्ट औचित्य प्राप्त हुआ है। यही है, समस्या हल हो गई है।

दूसरे कार्य पर चलते हैं:

आइए प्रत्येक शब्द के साथ अलग-अलग व्यवहार करें।

हम पहले लिखते हैं:

हमने पहला कार्यकाल बदल दिया है। हम दूसरे कार्यकाल के साथ काम करते हैं:

अंत में, समान संकेत के दाईं ओर अंतिम शब्द:

हम परिणामी सूत्र में शर्तों के बजाय प्राप्त भावों को प्रतिस्थापित करते हैं:

लॉग 3 x \u003d 1

आइए विहित रूप में चलते हैं:

log 3 x \u003d log 3 3

हम लघुगणक के संकेत से छुटकारा पा लेते हैं, तर्कों को समान करते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

x \u003d 3

फिर से, चलो इसे सुरक्षित खेलते हैं, बस मामले में, मूल समीकरण पर वापस जाएं और देखें। मूल सूत्र में, चर x केवल तर्क में मौजूद है, इसलिए,

x\u003e ०

दूसरे लघुगणक में, x जड़ के नीचे है, लेकिन फिर से तर्क में है, इसलिए, मूल 0 से अधिक होना चाहिए, अर्थात, मूल भाव 0. से अधिक होना चाहिए। हमारी जड़ x \u003d 3. देखें। जाहिर है, यह इस आवश्यकता को पूरा करता है। इसलिए, x \u003d 3 मूल लघुगणकीय समीकरण का एक समाधान है। यही है, समस्या हल हो गई है।

आज के वीडियो ट्यूटोरियल में दो मुख्य बिंदु हैं:

1) लघुगणक को बदलने से डरो मत और, विशेष रूप से, हमारे मुख्य सूत्र को याद करते हुए, लघुगणक के संकेत से डिग्री लेने से डरो मत: एक तर्क से डिग्री हटाते समय, इसे बस बाहर निकाल दिया जाता है एक कारक के रूप में अपरिवर्तित, और आधार से डिग्री हटाते समय, यह डिग्री उलट जाती है।

2) दूसरा बिंदु विहित रूप से ही जुड़ा हुआ है। हमने लॉगरिदमिक समीकरण के सूत्र के परिवर्तन के अंत में विहित रूप में परिवर्तन किया। मैं आपको निम्नलिखित सूत्र याद दिलाता हूं:

a \u003d log b b a

बेशक, अभिव्यक्ति "किसी भी संख्या बी" से मेरा मतलब है कि ऐसी संख्याएं जो लघुगणक के आधार पर लगाए गए आवश्यकताओं को पूरा करती हैं, अर्थात्।

१ 1 बी\u003e ०

ऐसे बी के लिए, और चूंकि हम पहले से ही आधार को जानते हैं, इसलिए यह आवश्यकता अपने आप पूरी हो जाएगी। लेकिन ऐसे बी के लिए - कोई भी जो दी गई आवश्यकता को पूरा करता है - यह संक्रमण किया जा सकता है, और हमें एक विहित रूप मिलता है जिसमें हम लघुगणक के संकेत से छुटकारा पा सकते हैं।

दायरे और अनावश्यक जड़ों का विस्तार

लॉगरिदमिक समीकरणों को बदलने की प्रक्रिया में, परिभाषा के डोमेन का एक अंतर्निहित विस्तार हो सकता है। अक्सर, छात्रों को यह भी ध्यान नहीं देता है, जो त्रुटियों और गलत उत्तरों की ओर जाता है।

चलो सरलतम डिजाइनों के साथ शुरू करते हैं। सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:

f (x) \u003d b लॉग करें

ध्यान दें कि x केवल एक लघुगणक के एक तर्क में मौजूद है। हम ऐसे समीकरणों को कैसे हल करते हैं? हम विहित रूप का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या b \u003d b a को लॉग करते हैं, और हमारा समीकरण निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

f (x) \u003d a b लॉग करें

इस प्रविष्टि को विहित रूप कहा जाता है। यह उसके लिए है कि कोई भी लघुगणक समीकरण जो आपको न केवल आज के पाठ में मिलता है, बल्कि किसी भी स्वतंत्र और नियंत्रण कार्य में भी कम होना चाहिए।

विहित रूप में कैसे आना है, क्या तकनीकों का उपयोग करना पहले से ही अभ्यास का विषय है। समझने की मुख्य बात यह है कि जैसे ही आप ऐसा रिकॉर्ड प्राप्त करते हैं, आप मान सकते हैं कि समस्या हल हो गई है। क्योंकि अगला कदम लिखना है:

f (x) \u003d a b

दूसरे शब्दों में, हम लघुगणक के संकेत से छुटकारा पा लेते हैं और सिर्फ तर्कों को समान करते हैं।

यह सब बातचीत क्यों? तथ्य यह है कि विहित रूप न केवल सरलतम समस्याओं पर लागू होता है, बल्कि किसी अन्य के लिए भी लागू होता है। विशेष रूप से, उन लोगों के लिए जिन्हें हम आज संबोधित करेंगे। आइए एक नजर डालते हैं।

पहला काम:

इस समीकरण के साथ समस्या क्या है? तथ्य यह है कि फ़ंक्शन एक बार में दो लॉगरिथम में है। समस्या को सरलतम तक कम किया जा सकता है, बस एक लघुगणक को दूसरे से घटाकर। लेकिन गुंजाइश के साथ समस्याएं हैं: अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। तो चलिए बस एक लघुगणक को दाईं ओर ले जाते हैं:

इस तरह का रिकॉर्ड पहले से ही विहित रूप से बहुत अधिक है। लेकिन एक और अति सूक्ष्म अंतर है: विहित रूप में, तर्क समान होना चाहिए। और हमारे पास बाईं ओर एक आधार 3 लघुगणक है, और दाईं ओर 1/3 आधार है। जानता है, आपको इन कारणों को समान संख्या में लाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, आइए याद रखें कि क्या नकारात्मक शक्तियाँ हैं:

और फिर हम लॉग के बाहर एक्सपोनेंट "-1" को कारक के रूप में उपयोग करेंगे:

कृपया ध्यान दें: आधार पर जो डिग्री खड़ी थी वह पलट गई और एक अंश में बदल गई। हमें अलग-अलग आधारों से छुटकारा पाने के लिए लगभग विहित संकेतन मिला, लेकिन बदले में हमें दाईं ओर "-1" कारक मिला। आइए इस कारक को तर्क में जोड़ें, इसे एक शक्ति में बदल दें:

बेशक, विहित रूप प्राप्त करने के बाद, हम साहसपूर्वक लघुगणक के संकेत को पार करते हैं और तर्कों को समान करते हैं। मैं आपको याद दिलाता हूं कि जब "remind1" शक्ति के लिए उठाया जाता है, तो अंश बस खत्म हो जाता है - अनुपात प्राप्त होता है।

आइए अनुपात की मुख्य संपत्ति का उपयोग करें और इसे क्रॉसवर्ड में गुणा करें:

(x - 4) (2x - 1) \u003d (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 \u003d 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 \u003d 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 \u003d 0

इससे पहले कि हम दिए गए द्विघात समीकरण हैं, इसलिए हम इसे Vieta के सूत्रों का उपयोग करके हल करते हैं:

(x - 8) (x - 2) \u003d 0

x 1 \u003d 8; x 2 \u003d 2

बस इतना ही। क्या आपको लगता है कि समीकरण हल हो गया है? नहीं! इस तरह के समाधान के लिए, हमें 0 अंक प्राप्त होंगे, क्योंकि मूल समीकरण में एक बार में चर x के साथ दो लघुगणक होते हैं। इसलिए, गुंजाइश पर विचार करना आवश्यक है।

और यहीं से शुरू होती है मस्ती। अधिकांश छात्र भ्रमित होते हैं: लघुगणक का डोमेन क्या है? बेशक, सभी तर्क (हमारे पास दो हैं) शून्य से अधिक होना चाहिए:

(x - 4) / (3x - 4)\u003e 0

(x - 5) / (2x - 1)\u003e 0

इन असमानताओं में से प्रत्येक को हल किया जाना चाहिए, एक सीधी रेखा पर चिह्नित, पार किया गया - और उसके बाद ही देखें कि चौराहे पर कौन सी जड़ें हैं।

ईमानदार होने के लिए: इस तकनीक को अस्तित्व का अधिकार है, यह विश्वसनीय है, और आपको सही उत्तर मिलेगा, लेकिन इसमें बहुत अधिक अनावश्यक क्रियाएं हैं। तो चलो फिर से हमारे समाधान के माध्यम से देखें और देखें: वास्तव में आप गुंजाइश कहां लागू करना चाहते हैं? दूसरे शब्दों में, आपको स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि वास्तव में अतिरिक्त जड़ें कब पैदा होती हैं।

1. प्रारंभ में, हमारे पास दो लघुगणक थे। फिर हम उनमें से एक को दाईं ओर ले गए, लेकिन इससे परिभाषा क्षेत्र पर कोई असर नहीं पड़ा।
2. फिर हम आधार से डिग्री को हटा देते हैं, लेकिन अभी भी दो लॉगरिथम हैं, और उनमें से प्रत्येक में चर x है।
3. अंत में, हम लॉग के लिए संकेतों को पार करते हैं और शास्त्रीय भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण प्राप्त करते हैं।

यह अंतिम चरण पर है कि गुंजाइश का विस्तार होता है! जैसे ही हम आंशिक तर्कसंगत समीकरण में चले गए, लॉग संकेतों से छुटकारा पाकर, चर x के लिए आवश्यकताओं में नाटकीय रूप से बदलाव आया!

इसलिए, परिभाषा के डोमेन को समाधान के बहुत शुरुआत में नहीं माना जा सकता है, लेकिन केवल उल्लेख किए गए कदम पर - सीधे बहस को बराबर करने से पहले।

यह वह जगह है जहाँ अनुकूलन का अवसर निहित है। एक ओर, हमें आवश्यक है कि दोनों तर्क शून्य से अधिक हों। दूसरी ओर, हम आगे इन तर्कों को समान करते हैं। इसलिए, यदि उनमें से कम से कम एक सकारात्मक है, तो दूसरा भी सकारात्मक होगा!

तो यह पता चला है कि एक बार में दो असमानताओं को पूरा करने की आवश्यकता होती है। यह इनमें से केवल एक अंश पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। कौनसा? वह जो आसान हो। उदाहरण के लिए, चलो सही अंश से निपटते हैं:

(x - 5) / (2x - 1)\u003e 0

यह एक विशिष्ट आंशिक-तर्कसंगत असमानता है, हम इसे अंतराल की विधि द्वारा हल करते हैं:

संकेतों की व्यवस्था कैसे करें? चलो एक संख्या लेते हैं जो स्पष्ट रूप से हमारी सभी जड़ों से बड़ी है। उदाहरण के लिए 1 बिलियन। और इसके अंश को प्रतिस्थापित करें। हमें एक सकारात्मक संख्या मिलती है, अर्थात रूट x \u003d 5 के दाईं ओर एक प्लस चिन्ह होगा।

फिर संकेत वैकल्पिक होते हैं, क्योंकि कहीं भी कई गुना की जड़ें नहीं होती हैं। हम अंतराल में रुचि रखते हैं जहां फ़ंक्शन सकारात्मक है। इसलिए, x 2 (−∞; −1/2) ∈ (5; + ∈)।

अब उत्तर याद करते हैं: x \u003d 8 और x \u003d 2. सख्ती से बोलना, ये उत्तर अभी तक नहीं हैं, लेकिन केवल एक उत्तर के लिए उम्मीदवार हैं। निर्दिष्ट सेट किस का है? बेशक, x \u003d 8. लेकिन x \u003d 2 हमें परिभाषा के क्षेत्र में सूट नहीं करता है।

पहले लॉगरिदमिक समीकरण का कुल उत्तर x \u003d 8. होगा। अब हमें एक सक्षम, सुव्यवस्थित समाधान प्राप्त हुआ है, जो परिभाषा के डोमेन को ध्यान में रखता है।

दूसरे समीकरण पर चलते हैं:

लॉग 5 (x - 9) \u003d लॉग 0.5 4 - लॉग 5 (x - 5) + 3

मैं आपको याद दिलाता हूं कि यदि समीकरण में एक दशमलव अंश है, तो आपको इसे हटा देना चाहिए। दूसरे शब्दों में, आइए 0.5 को एक नियमित अंश के रूप में फिर से लिखें। हम तुरंत ध्यान देते हैं कि इस आधार वाले लघुगणक की गणना आसानी से की जाती है:

यह एक बहुत महत्वपूर्ण क्षण है! जब हमारे पास आधार और तर्क दोनों की डिग्री होती है, तो हम सूत्र द्वारा इन डिग्री के संकेतक निकाल सकते हैं:

हमारे मूल लघुगणक समीकरण पर वापस जाएं और इसे फिर से लिखें:

लॉग 5 (x - 9) \u003d 1 - लॉग 5 (x - 5)

हमें एक निर्माण मिला है जो विहित रूप से काफी करीब है। हालाँकि, हम शब्दों के भ्रम में हैं और माइनस बराबर चिह्न के दाईं ओर स्थित है। चलो एक आधार 5 लॉगरिथम के रूप में सोचें:

लॉग 5 (x - 9) \u003d लॉग 5 5 1 - लॉग 5 (x - 5)

लघुगणक को दाईं ओर से घटाएं (जबकि उनके तर्क विभाज्य हैं):

लॉग 5 (x - 9) \u003d लॉग 5 5 / (x - 5)

पूरी तरह से। तो हमने कैनन फॉर्म प्राप्त किया! लॉग संकेत बाहर हड़ताल और तर्क समान:

(x - ९) / १ \u003d ५ / (x - ५)

यह एक ऐसा अनुपात है जिसे आसानी से गुणा करके हल किया जा सकता है:

(x - ९) (x - ५) \u003d ५ १

x 2 - 9x - 5x + 45 \u003d 5

x 2 - 14x + 40 \u003d 0

जाहिर है, हमारे पास द्विघात समीकरण है। यह Vieta के सूत्रों का उपयोग करके आसानी से हल किया गया है:

(x - 10) (x - 4) \u003d 0

x 1 \u003d 10

x 2 \u003d 4

हमें दो जड़ें मिलीं। लेकिन ये निश्चित उत्तर नहीं हैं, लेकिन केवल उम्मीदवार हैं, क्योंकि लॉगरिदमिक समीकरण को परिभाषा के डोमेन के सत्यापन की भी आवश्यकता होती है।

मैं आपको याद दिलाता हूं: जब देखने की कोई जरूरत नहीं है से प्रत्येक तर्कों की संख्या शून्य से अधिक होगी। यह आवश्यक है कि एक तर्क - x - 9 या 5 / (x - ५) - शून्य से अधिक हो। पहले तर्क पर विचार करें:

x - ९\u003e ०

x\u003e 9

जाहिर है, केवल x \u003d 10 इस आवश्यकता को पूरा करता है। यह अंतिम उत्तर है। पूरी समस्या हल हो गई है।

एक बार फिर, आज के पाठ के प्रमुख बिंदु हैं:

1. जैसे ही चर x कई लघुगणक में प्रकट होता है, समीकरण प्राथमिक हो जाता है, और इसके लिए आपको डोमेन की गणना करनी होगी। अन्यथा, आप आसानी से प्रतिक्रिया में अतिरिक्त जड़ों को लिख सकते हैं।
2. यदि हम असमानता को तुरंत नहीं लिखते हैं, लेकिन इस समय डोमेन के साथ काम करना बहुत सरल हो सकता है, लेकिन ठीक उस समय जब हम लॉग संकेतों से छुटकारा पाते हैं। आखिरकार, जब तर्क एक दूसरे के साथ समान होते हैं, तो यह मांग करने के लिए पर्याप्त है कि उनमें से केवल एक शून्य से अधिक है।

बेशक, हम खुद यह चुनते हैं कि असमानता की रचना करने के लिए कौन सा तर्क है, इसलिए सबसे सरल को चुनना तर्कसंगत है। उदाहरण के लिए, दूसरे समीकरण में, हमने तर्क (x - 9) को चुना - एक रैखिक कार्य, जो आंशिक-तर्कसंगत तर्क के विपरीत है। सहमत हूँ, असमानता x - 9\u003e 0 को हल करना 5 / (x - 5)\u003e 0. की तुलना में बहुत आसान है, हालांकि परिणाम समान है।

यह टिप्पणी डीएलटी के लिए खोज को बहुत आसान करती है, लेकिन सावधान रहें: आप केवल दो के बजाय एक असमानता का उपयोग कर सकते हैं जब तर्क बिल्कुल हों एक दूसरे के बराबर!

बेशक, अब कोई पूछेगा: क्या अलग तरह से होता है? हाँ कभी कभी। उदाहरण के लिए, चरण में ही, जब हम एक चर वाले दो तर्कों को गुणा करते हैं, तो अनावश्यक जड़ों का खतरा होता है।

खुद के लिए न्यायाधीश: पहले, प्रत्येक तर्क को शून्य से अधिक होना आवश्यक है, लेकिन गुणा के बाद, यह पर्याप्त है कि उनका उत्पाद शून्य से अधिक है। नतीजतन, मामला चूक जाता है जब इनमें से प्रत्येक अंश नकारात्मक होता है।

इसलिए, यदि आप केवल जटिल लघुगणक समीकरणों से निपटने के लिए शुरू कर रहे हैं, तो किसी भी मामले में चर x वाले लघुगणकों को गुणा न करें - बहुत बार यह अनावश्यक जड़ों को जन्म देगा। एक अतिरिक्त कदम उठाना बेहतर है, एक शब्द को दूसरी तरफ ले जाएं, विहित रूप बनाएं।

ठीक है, अगर आप इस तरह के लघुगणकों को गुणा किए बिना नहीं कर सकते हैं, तो हम अगले वीडियो ट्यूटोरियल में चर्चा करेंगे। :)

एक बार फिर समीकरण में डिग्री के बारे में

आज हम लघुगणकीय समीकरणों से संबंधित एक बल्कि फिसलन विषय का विश्लेषण करेंगे, या यों कहें कि, लघुगणक के तर्कों और आधारों से शक्तियों को हटाया जाएगा।

मैं यहां तक \u200b\u200bकहूंगा कि हम यहां तक \u200b\u200bकि डिग्री बनाने के बारे में बात करेंगे, क्योंकि यह यहां तक \u200b\u200bकि डिग्री के साथ है कि असली लघुगणक समीकरणों को हल करते समय सबसे अधिक कठिनाइयां आती हैं।

आइए विहित रूप से शुरू करते हैं। मान लें कि हमारे पास फ़ॉर्म लॉग a f (x) \u003d b है। इस स्थिति में, हम सूत्र b \u003d log a b द्वारा संख्या b को फिर से लिखते हैं। यह निम्नलिखित निकला:

f (x) \u003d a b लॉग करें

फिर हम तर्कों की बराबरी करते हैं:

f (x) \u003d a b

पारमार्थिक सूत्र को विहित रूप कहा जाता है। यह उसके लिए है कि वे किसी भी लघुगणक समीकरण को कम करने की कोशिश कर रहे हैं, चाहे वह पहली नज़र में कितना भी जटिल और भयानक क्यों न हो।

तो चलो कोशिश करें। पहले कार्य के साथ शुरू करते हैं:

प्रारंभिक नोट: जैसा कि मैंने कहा, लॉगरिदमिक समीकरण में सभी दशमलव अंश आम लोगों में सर्वश्रेष्ठ रूपांतरित होते हैं:

0,5 = 5/10 = 1/2

आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए हमारे समीकरण को फिर से लिखें। ध्यान दें कि दोनों 1/1000 और 100 दस की शक्तियाँ हैं, और फिर हम जहाँ कहीं भी हैं वहाँ से शक्तियाँ निकालते हैं: तर्कों से और यहाँ तक कि लघुगणक के आधार से:

और यहां कई छात्रों का सवाल है: "मॉड्यूल सही पर कहां से आया?" वास्तव में, सिर्फ लिखना क्यों नहीं (x - 1)? बेशक, अब हम लिखेंगे (x - 1), लेकिन इस तरह के रिकॉर्ड का अधिकार हमें परिभाषा के डोमेन का खाता देता है। वास्तव में, एक अन्य लघुगणक में पहले से ही (x - 1) है, और यह अभिव्यक्ति शून्य से अधिक होनी चाहिए।

लेकिन जब हम वर्ग को लघुगणक के आधार से बाहर निकालते हैं, तो हमें मॉड्यूल को आधार पर छोड़ना चाहिए। मुझे क्यों समझाते हैं।

तथ्य यह है कि गणित के दृष्टिकोण से, एक डिग्री लेना एक रूट लेने के बराबर है। विशेष रूप से, जब वर्ग को एक्स (1 - 1) 2 से हटा दिया जाता है, तो हम अनिवार्य रूप से दूसरी डिग्री की जड़ को निकाल रहे हैं। लेकिन एक वर्गमूल एक मॉड्यूल से ज्यादा कुछ नहीं है। ठीक ठीक मापांक, क्योंकि भले ही एक्स एक्स - 1 नकारात्मक हो, जब चुकता हो, "माइनस" अभी भी बाहर जला देगा। रूट की आगे की निकासी हमें एक सकारात्मक संख्या देगी - पहले से ही बिना किसी कमियां के।

सामान्य तौर पर, आक्रामक गलतियों से बचने के लिए, एक बार और सभी के लिए याद रखें:

किसी भी फ़ंक्शन की जड़ जो समान शक्ति के लिए उठाई जाती है, वह केवल फ़ंक्शन के बराबर नहीं होती है, बल्कि इसके मापांक के बराबर होती है:

वापस हमारे लघुगणक समीकरण के लिए। मॉड्यूल के बारे में बोलते हुए, मैंने तर्क दिया कि हम इसे दर्द रहित तरीके से हटा सकते हैं। यह सच है। मुझे क्यों समझाते हैं। कड़े शब्दों में, हमें दो विकल्पों पर विचार करना था:

1. x - 1\u003e 0 ⇒ | x - 1 | \u003d एक्स - 1
2. एक्स - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

इन विकल्पों में से प्रत्येक को संबोधित करना होगा। लेकिन एक पकड़ है: मूल सूत्र में पहले से ही बिना किसी मॉड्यूल के एक फ़ंक्शन (x - 1) शामिल है। और लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र का अनुसरण करते हुए, हमें उस x - 1\u003e 0 पर तुरंत लिखने का अधिकार है।

इस आवश्यकता को किसी भी मॉड्यूल और अन्य परिवर्तनों से स्वतंत्र रूप से पूरा किया जाना चाहिए जो हम समाधान प्रक्रिया में करते हैं। इसलिए, दूसरा विकल्प विचार करने के लिए व्यर्थ है - यह कभी भी उत्पन्न नहीं होगा। भले ही हमें असमानता की इस शाखा को हल करते समय कुछ संख्याएँ मिलें, फिर भी उन्हें अंतिम उत्तर में शामिल नहीं किया जाएगा।

अब हम वस्तुतः लघुगणक समीकरण के विहित रूप से एक कदम दूर हैं। आइए इकाई का प्रतिनिधित्व इस प्रकार करें:

1 \u003d लॉग x - 1 (x - 1) 1

इसके अलावा, तर्क में दाईं ओर कारक −4 जोड़ें:

लॉग x - 1 10 \u003d4 \u003d लॉग x - 1 (x - 1)

हमसे पहले लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप है। लघुगणक के चिह्न से छुटकारा पाएं:

10 x4 \u003d x - 1

लेकिन चूंकि आधार एक फ़ंक्शन था (और अभाज्य संख्या नहीं), हमें अतिरिक्त रूप से आवश्यकता है कि यह फ़ंक्शन शून्य से अधिक हो और एक के बराबर न हो। सिस्टम चालू हो जाएगा:

चूँकि आवश्यकता x - 1\u003e 0 स्वतः पूरी हो जाती है (आखिरकार, x - 1 \u003d 10 )4), असमानताओं में से एक को हमारे सिस्टम से हटाया जा सकता है। दूसरी स्थिति को भी पार किया जा सकता है, क्योंकि x - 1 \u003d 0.0001< 1. Итого получаем:

x \u003d 1 + 0.0001 \u003d 1.0001

यह एकमात्र जड़ है जो लघुगणक की परिभाषा के डोमेन की सभी आवश्यकताओं को स्वचालित रूप से संतुष्ट करता है (हालांकि, हमारी आवश्यकताओं की शर्तों को जानबूझकर पूरा करने के रूप में सभी आवश्यकताओं को अस्वीकार कर दिया गया था)।

तो दूसरा समीकरण:

3 लॉग 3 x x \u003d 2 लॉग 9 x x 2

यह समीकरण पिछले एक से मौलिक रूप से कैसे भिन्न है? यहां तक \u200b\u200bकि अगर केवल इस तथ्य से कि लॉगरिदम के आधार - 3x और 9x - एक दूसरे के प्राकृतिक डिग्री नहीं हैं। इसलिए, जो परिवर्तन हमने पिछले समाधान में किया था, वह संभव नहीं है।

चलो कम से कम डिग्री से छुटकारा पाएं। हमारे मामले में, एकमात्र तर्क दूसरे तर्क में है:

3 लॉग 3 x x \u003d 2 log 2 लॉग 9 x | x |

हालांकि, मापांक चिह्न हटाया जा सकता है, क्योंकि चर x आधार पर भी है, अर्थात्। x\u003e 0 ⇒ | x | x | \u003d एक्स। आइए हमारे लघुगणकीय समीकरण को फिर से लिखें:

3 लॉग 3 x x \u003d 4 लॉग 9 x x

हमें एक ही तर्क के साथ लघुगणक मिला, लेकिन अलग-अलग आधार। आगे कैसे बढ़ें? यहां कई विकल्प हैं, लेकिन हम उनमें से केवल दो पर विचार करेंगे, जो सबसे तार्किक हैं, और सबसे महत्वपूर्ण बात, ये अधिकांश छात्रों के लिए त्वरित और समझने योग्य तकनीक हैं।

हमने पहले ही विकल्प पर विचार कर लिया है: किसी भी समझ से बाहर की स्थिति में, कुछ स्थिर आधार के लिए एक चर आधार के साथ लघुगणक का अनुवाद करें। उदाहरण के लिए, दो। संक्रमण सूत्र सरल है:

बेशक, एक सामान्य संख्या को एक चर c: 1 0. c\u003e 0. की भूमिका निभानी चाहिए, चलो, हमारे मामले में, c \u003d 2. अब हमारे पास एक सामान्य भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण है। हम बाईं ओर सभी तत्वों को एकत्र करते हैं:

जाहिर है, कारक लॉग 2 एक्स को बाहर निकालना बेहतर है, क्योंकि यह पहले और दूसरे दोनों अंशों में मौजूद है।

लॉग 2 x \u003d 0;

3 लॉग 2 9x \u003d 4 लॉग 2 3x

हम प्रत्येक लॉग को दो शब्दों में विभाजित करते हैं:

log 2 9x \u003d log 2 9 + लॉग 2 x \u003d 2 लॉग 2 3 + लॉग 2 x;

लॉग 2 3x \u003d लॉग 2 3 + लॉग 2 एक्स

आइए इन तथ्यों को ध्यान में रखते हुए समानता के दोनों पक्षों को फिर से लिखें:

3 (2 लॉग 2 3 + लॉग 2 एक्स) \u003d 4 (लॉग 2 3 + लॉग 2 एक्स)

6 लॉग 2 3 + 3 लॉग 2 एक्स \u003d 4 लॉग 2 3 + 4 लॉग 2 एक्स

2 लॉग 2 3 \u003d लॉग 2 एक्स

अब यह लघुगणक चिह्न के तहत एक दो को जोड़ने के लिए बना हुआ है (यह एक शक्ति में बदल जाएगा: 3 2 \u003d 9):

लॉग 2 9 \u003d लॉग 2 एक्स

इससे पहले कि हम शास्त्रीय विहित रूप हैं, हम लघुगणक के संकेत से छुटकारा पा लेते हैं और प्राप्त करते हैं:

जैसा कि अपेक्षित था, यह जड़ शून्य से अधिक निकला। यह डोमेन की जांच करने के लिए बना हुआ है। आइए नजर डालते हैं कारणों पर:

लेकिन मूल x \u003d 9 इन आवश्यकताओं को संतुष्ट करता है। इसलिए, यह अंतिम निर्णय है।

इस समाधान से निष्कर्ष सरल है: लंबी गणना से भयभीत न हों! यह सिर्फ इतना है कि बहुत शुरुआत में, हमने यादृच्छिक पर एक नया आधार चुना - और इस प्रक्रिया को काफी जटिल किया।

लेकिन फिर सवाल उठता है: आधार क्या है इष्टतम? मैं इस बारे में दूसरी विधि में बात करूंगा।

आइए अपने मूल समीकरण पर वापस जाएं:

3 लॉग 3x x \u003d 2 लॉग 9x x 2

3 लॉग 3x x \u003d 2 log 2 लॉग 9x | x |

x\u003e 0 ⇒ | x | \u003d एक्स

3 लॉग 3 x x \u003d 4 लॉग 9 x x

अब थोड़ा सोचते हैं: इष्टतम मूलांक क्या संख्या या कार्य है? जाहिर है, सबसे अच्छा विकल्प सी \u003d एक्स होगा - जो कुछ भी पहले से ही तर्कों में है। इस स्थिति में, सूत्र एक b \u003d log c b / log c करेगा जो एक रूप लेगा:

दूसरे शब्दों में, अभिव्यक्ति बस उलट है। इस मामले में, तर्क और आधार उलट है।

यह सूत्र बहुत उपयोगी है और अक्सर जटिल लघुगणक समीकरणों को हल करते समय उपयोग किया जाता है। हालांकि, इस सूत्र का उपयोग करते समय एक बहुत गंभीर नुकसान होता है। यदि आधार के बजाय हम चर x को प्रतिस्थापित करते हैं, तो उस पर प्रतिबंध लगाए जाते हैं, जो पहले नहीं देखे गए थे:

मूल समीकरण में ऐसी कोई सीमा नहीं थी। इसलिए, हमें अलग से मामले की जांच करनी चाहिए जब x \u003d 1. इस मान को हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

3 लॉग 3 1 \u003d 4 लॉग 9 1

हमें सही संख्यात्मक समानता मिलती है। इसलिए, x \u003d 1 एक जड़ है। हमने समाधान की शुरुआत में पिछली विधि में सटीक समान मूल पाया।

लेकिन अब, जब हमने अलग से इस विशेष मामले पर विचार किया, तो हम सुरक्षित रूप से मान लेते हैं कि x separately 1. तब हमारे लॉगरिदमिक समीकरण को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जाएगा:

3 लॉग x 9x \u003d 4 लॉग x 3x

हम पहले के समान सूत्र का उपयोग करके दोनों लघुगणक का विस्तार करते हैं। ध्यान दें कि लॉग x x \u003d 1:

3 (लॉग x 9 + लॉग x x) \u003d 4 (लॉग x 3 + लॉग x x)

3 लॉग x 9 + 3 \u003d 4 लॉग x 3 + 4

3 लॉग x 3 2 - 4 लॉग x 3 \u003d 4 - 3

2 लॉग x 3 \u003d 1

इसलिए हम विहित रूप में आए:

log x 9 \u003d log x x 1

x \u003d 9

हमें दूसरी जड़ मिली। यह आवश्यकता को संतुष्ट करता है x x 1. इसलिए, x \u003d 9 के साथ-साथ x \u003d 1 अंतिम उत्तर है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना की मात्रा थोड़ी कम हो गई है। लेकिन जब एक वास्तविक लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते हैं, तो चरणों की संख्या बहुत कम होगी, क्योंकि आपको प्रत्येक चरण का विस्तार से वर्णन करने की आवश्यकता नहीं है।

आज के पाठ का मुख्य नियम इस प्रकार है: यदि समस्या में एक समान डिग्री है, जिसमें से एक ही डिग्री की जड़ निकाली जाती है, तो आउटपुट पर हमें एक मॉड्यूल मिलता है। हालाँकि, यदि हम लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र पर ध्यान देते हैं तो इस मॉड्यूल को हटाया जा सकता है।

लेकिन सावधान रहें: इस पाठ के बाद, अधिकांश छात्रों को लगता है कि वे सब कुछ समझते हैं। लेकिन वास्तविक समस्याओं को हल करते समय, वे संपूर्ण तार्किक श्रृंखला को पुन: पेश नहीं कर सकते हैं। नतीजतन, समीकरण अनावश्यक जड़ों के साथ अति हो जाता है, और उत्तर गलत हो जाता है।

अनुदेश

निर्दिष्ट लघुगणक अभिव्यक्ति लिखें। यदि अभिव्यक्ति 10 के लघुगणक का उपयोग करती है, तो इसका अंकन छोटा होता है और ऐसा दिखता है: lg b दशमलव लघुगणक है। यदि लघुगणक में आधार के रूप में संख्या ई है, तो अभिव्यक्ति लिखी जाती है: ln b - प्राकृतिक लघुगणक। यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह शक्ति है जिसके आधार पर संख्या को प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को उठाया जाना चाहिए।

जब दो कार्यों का योग मिलता है, तो आपको बस उन्हें अलग-अलग करने की जरूरत है, और परिणाम जोड़ें: (u + v) "\u003d u" + v ";

दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न को खोजने पर, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करना आवश्यक है: (यू * वी) "\u003d यू" * v + v "* यू;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न का पता लगाने के लिए, यह आवश्यक है, लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद से विभाजक कार्य के गुणा, लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद को घटाने के लिए, लाभांश के कार्य से। और विभाजक के कार्य द्वारा इस सब को विभाजित करें। (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

यदि एक जटिल फ़ंक्शन दिया जाता है, तो आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और बाहरी के व्युत्पन्न को गुणा करना आवश्यक है। आज्ञा दें y \u003d u (v (x)), तो y "(x) \u003d y" (u) * v "(x)।

ऊपर प्राप्त लोगों का उपयोग करते हुए, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो, आइए कुछ उदाहरण देखें:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2) * एक्स));
एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना के लिए भी समस्याएं हैं। फ़ंक्शन को y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) दिया जाए, आपको बिंदु x \u003d 1 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना होगा।
1) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x + 1)।

2) दिए गए बिंदु y पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करें "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

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मददगार सलाह

प्राथमिक व्युत्पत्ति की तालिका जानें। इससे समय की काफी बचत होगी।

स्रोत:

• एक स्थिर के व्युत्पन्न

तो, एक तर्कहीन समीकरण और एक तर्कसंगत एक के बीच अंतर क्या है? यदि अज्ञात चर वर्गमूल चिह्न के नीचे है, तो समीकरण को तर्कहीन माना जाता है।

अनुदेश

ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य विधि दोनों भागों के निर्माण की विधि है समीकरण एक वर्ग में। हालाँकि। यह स्वाभाविक है, पहला कदम संकेत से छुटकारा पाने का है। यह विधि तकनीकी रूप से कठिन नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह मुसीबत में पड़ सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण v (2x-5) \u003d v (4x-7)। इसके दोनों किनारों को चौकोर करके, आपको 2x-5 \u003d 4x-7 मिलता है। इस समीकरण को हल करना मुश्किल नहीं होगा; x \u003d 1। लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण... क्यों? एक्स के लिए समीकरण 1 में स्थानापन्न करें, और दाएं और बाएं दोनों पक्षों में ऐसे भाव होंगे जो समझ में नहीं आते हैं, अर्थात्। यह मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है। इसलिए, 1 एक बाहरी जड़ है, और इसलिए दिए गए समीकरण में कोई जड़ नहीं है।

तो, दोनों पक्षों को चुकाने की विधि का उपयोग करके तर्कहीन समीकरण को हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के लिए, बाहरी जड़ों को काट देना जरूरी है। ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण में मूल जड़ों को स्थानापन्न करें।

एक और विचार करें।
2x + vx-3 \u003d 0
बेशक, इस समीकरण को पिछले एक की तरह ही हल किया जा सकता है। समग्र हटो समीकरणकि दाईं ओर एक वर्गमूल नहीं है और फिर स्क्वरिंग विधि का उपयोग करें। परिणामी तर्कसंगत समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुरुचिपूर्ण। एक नया चर दर्ज करें; vx \u003d y तदनुसार, आपको फॉर्म 2y2 + y-3 \u003d 0 के समीकरण मिलते हैं। यानी सामान्य द्विघात समीकरण। उसकी जड़ें खोजो; y1 \u003d 1 और y2 \u003d -3 / 2। अगला, दो का फैसला करें समीकरण vx \u003d 1; vx \u003d -3 / 2। दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है, पहले से हम पाते हैं कि x \u003d 1 है। जड़ों की जांच करना न भूलें।

पहचान को हल करना काफी आसान है। इसके लिए लक्ष्य प्राप्त होने तक समान परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, सबसे सरल अंकगणितीय संचालन की मदद से, कार्य हल हो जाएगा।

आपको चाहिये होगा

• - कागज;
• - एक कलम।

अनुदेश

इस तरह के सबसे सरल रूपांतरण बीजगणितीय संक्षिप्त गुणन हैं (जैसे योग का वर्ग (अंतर), वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का अंतर) (अंतर)। इसके अलावा, कई और त्रिकोणमितीय सूत्र हैं, जो अनिवार्य रूप से समान पहचान हैं।

वास्तव में, दो शब्दों के योग का वर्ग पहले के वर्ग के बराबर है, दूसरे से पहले के दुगुने उत्पाद का और दूसरे के वर्ग का, यानी, (a + b) ^ 2 \u003d (a +) b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2।

दोनों को सरल कीजिए

समाधान के सामान्य सिद्धांत

परिवर्तनशील प्रतिस्थापन विधि

दूसरी तरह के अभिन्न का समाधान

एकीकरण की सीमाओं का प्रतिस्थापन

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लघुगणकीय समीकरणों को हल करना। भाग 1।

लघुगणक समीकरण एक समीकरण है जिसमें अज्ञात को लघुगणक (विशेष रूप से, लघुगणक के आधार पर) के संकेत के तहत समाहित किया गया है।

सबसे साधारण लघुगणक समीकरण की तरह लगता है:

किसी भी लघुगणकीय समीकरण का समाधान लघुगणक के संकेत के तहत लघुगणक से भावों में परिवर्तन शामिल है। हालांकि, यह क्रिया समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का विस्तार करती है और बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकती है। बाहरी जड़ों की उपस्थिति से बचने के लिए, आप तीन तरीकों में से एक कर सकते हैं:

1. एक समतुल्य परिवर्तन करें मूल समीकरण से लेकर सिस्टम तक शामिल है

इस पर निर्भर करता है कि असमानता कितनी सरल है।

यदि समीकरण में लघुगणक के आधार पर अज्ञात है:

तब हम सिस्टम पर जाते हैं:

2. समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को अलग से खोजें, फिर समीकरण को हल करें और जांचें कि क्या पाया गया समीकरण समीकरण को संतुष्ट करता है।

3. समीकरण हल करें, और फिर जाँच करें:मूल समीकरण में पाए गए समाधानों को प्रतिस्थापित करें, और जांच लें कि क्या हमें सही समानता मिलती है।

किसी भी जटिलता स्तर का लघुगणक समीकरण अंततः सरलतम लघुगणक समीकरण को कम कर देता है।

सभी लघुगणकीय समीकरणों को मोटे तौर पर चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:

1 ... समीकरण जिसमें केवल पहली डिग्री तक लॉगरिदम शामिल हैं। रूपांतरों और उपयोग की मदद से वे फॉर्म में कम हो जाते हैं

उदाहरण... आइए समीकरण को हल करें:

आइए लघुगणक चिह्न के अंतर्गत भावों की समानता करें:

आइए देखें कि क्या हमारी जड़ समीकरण को संतुष्ट करती है:

हाँ यह करता है।

उत्तर: x \u003d 5

2 ... वे समीकरण जिनमें 1 (विशेष रूप से, एक अंश के हर में) के अलावा कुछ हद तक लघुगणक होते हैं। ऐसे समीकरणों का उपयोग करके हल किया जाता है परिवर्तनशील परिवर्तन शुरू करना.

उदाहरण। आइए समीकरण को हल करें:

आइए जानें ODZ समीकरण:

समीकरण में लघुगणक वर्ग होता है, इसलिए इसे चर को बदलकर हल किया जाता है।

महत्वपूर्ण! प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, आपको लघुगणक के गुणों का उपयोग करके "ईंटों" में समीकरण बनाने वाले लघुगणकों को "अलग करना" चाहिए।

जब "लघुगणक" खींच रहा है, तो बहुत सावधानी से लघुगणक के गुणों को लागू करना महत्वपूर्ण है:

इसके अलावा, यहां एक और सूक्ष्म बिंदु है, और एक सामान्य गलती से बचने के लिए, हम एक मध्यवर्ती समानता का उपयोग करेंगे: इस रूप में लघुगणक की डिग्री लिखें:

इसी तरह,

आइए प्राप्त अभिव्यक्तियों को मूल समीकरण में स्थानापन्न करें। हम पाते हैं:

अब हम देखते हैं कि अज्ञात रचना में समीकरण समाहित है। आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें:। चूंकि यह कोई वास्तविक मूल्य ले सकता है, इसलिए हम चर पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाते हैं।