अंकगणित माध्य सूत्र। दो के लिए अंकगणितीय माध्य कैसे खोजें और गणना करें

) और नमूना माध्य (नमूने)।

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  हम डेटा सेट को निरूपित करते हैं एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), तो नमूना माध्य आमतौर पर चर के ऊपर एक क्षैतिज पट्टी द्वारा इंगित किया जाता है (उच्चारण " एक्सएक पंक्ति के साथ ")।

  ग्रीक अक्षर μ का प्रयोग संपूर्ण जनसंख्या के अंकगणितीय माध्य को दर्शाने के लिए किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के लिए जिसके लिए माध्य मान निर्धारित किया जाता है, μ is संभाव्य माध्यया एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा। अगर सेट एक्सएक संभाव्य माध्य μ के साथ यादृच्छिक संख्याओं का एक संग्रह है, फिर किसी भी नमूने के लिए एक्स मैंइस संग्रह से μ = ई ( एक्स मैं) इस नमूने की गणितीय अपेक्षा है।

  व्यवहार में, μ और . के बीच का अंतर एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ बार (एक्स)))यह है कि μ एक विशिष्ट चर है क्योंकि आप पूरी आबादी के बजाय नमूना देख सकते हैं। इसलिए, यदि नमूना यादृच्छिक रूप से प्रस्तुत किया जाता है (संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में), तो एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ बार (एक्स)))(लेकिन μ नहीं) को नमूने पर संभाव्यता वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है (माध्य की संभावना वितरण)।

  इन दोनों राशियों की गणना एक ही तरह से की जाती है:

  x = 1 n i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n)। (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ बार (एक्स)) = (\ फ्रैक (1) (एन)) \ योग _ (i = 1) ^ (एन) x_ (i) = (\ फ्रैक (1) (एन)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n))।)

  के उदाहरण

  • तीन संख्याओं के लिए, उन्हें जोड़ें और 3 से विभाजित करें:
  एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 3. (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3))।)
  • चार संख्याओं के लिए, उन्हें जोड़ें और 4 से विभाजित करें:
  एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 4। (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4))।)

  या अधिक सरलता से 5 + 5 = 10, 10: 2। क्योंकि हमने 2 संख्याएँ जोड़ी हैं, जिसका अर्थ है कि हम कितनी संख्याएँ जोड़ते हैं, हम इतने से विभाजित करते हैं।

  सतत यादृच्छिक चर

  एफ (एक्स) ¯ [ए; बी] = 1 बी - ए एबीएफ (एक्स) डीएक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ ओवरलाइन (एफ (एक्स))) _ () = (\ फ्रैक (1) (बीए)) \ int _ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स)

  माध्य का उपयोग करने की कुछ समस्याएं

  मजबूती की कमी

  यद्यपि अंकगणित माध्य को अक्सर औसत या केंद्रीय प्रवृत्तियों के रूप में उपयोग किया जाता है, यह एक मजबूत आँकड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि अंकगणितीय माध्य "बड़े विचलन" से बहुत प्रभावित होता है। यह उल्लेखनीय है कि बड़े विषमता गुणांक वाले वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य "माध्य" की अवधारणा के अनुरूप नहीं हो सकता है, और मजबूत आँकड़ों से माध्य मान (उदाहरण के लिए, माध्यिका) केंद्रीय प्रवृत्ति का बेहतर वर्णन कर सकते हैं।

  एक उत्कृष्ट उदाहरण औसत आय की गणना कर रहा है। अंकगणित माध्य को माध्यिका के रूप में गलत समझा जा सकता है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वास्तव में वहाँ की तुलना में अधिक आय वाले लोग हैं। "औसत" आय की व्याख्या इस तरह से की जाती है कि अधिकांश लोगों की आय इस संख्या के करीब हो। यह "माध्य" (अंकगणितीय माध्य के अर्थ में) आय अधिकांश लोगों की आय से अधिक है, क्योंकि उच्च आय माध्य से एक बड़े विचलन के साथ अंकगणितीय माध्य को दृढ़ता से तिरछा करती है (इसके विपरीत, औसत आय "प्रतिरोध" करती है पक्षपात)। हालांकि, यह "औसत" आय औसत आय के करीब लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है (और मोडल आय के करीब लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है)। फिर भी, यदि आप "औसत" और "अधिकांश लोगों" की अवधारणाओं को हल्के में लेते हैं, तो आप गलत निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अधिकांश लोगों की आय वास्तव में उनकी आय से अधिक है। उदाहरण के लिए, मदीना, वाशिंगटन में "औसत" शुद्ध आय पर एक रिपोर्ट, जिसकी गणना सभी निवासियों की वार्षिक शुद्ध आय के अंकगणितीय औसत के रूप में की जाती है, बिल गेट्स के कारण आश्चर्यजनक रूप से बड़ी संख्या में प्राप्त होगी। नमूने (1, 2, 2, 2, 3, 9) पर विचार करें। अंकगणितीय माध्य 3.17 है, लेकिन छह में से पांच मान इस औसत से नीचे हैं।

  चक्रवृद्धि ब्याज

  अगर संख्या गुणा, लेकिन नहीं तह, आपको ज्यामितीय माध्य का उपयोग करने की आवश्यकता है, न कि अंकगणितीय माध्य का। वित्त में निवेश पर प्रतिफल की गणना करते समय अक्सर यह घटना होती है।

  उदाहरण के लिए, यदि स्टॉक पहले वर्ष में 10% गिर गया और दूसरे वर्ष में 30% की वृद्धि हुई, तो इन दो वर्षों में "औसत" वृद्धि की गणना अंकगणितीय माध्य (-10% + 30%) के रूप में करना गलत है। / 2 = 10%; इस मामले में सही औसत मूल्य संचयी वार्षिक वृद्धि दर द्वारा दिया गया है, जिस पर वार्षिक वृद्धि केवल 8.16653826392% 8.2% है।

  इसका कारण यह है कि हर बार प्रतिशत में एक नया प्रारंभिक बिंदु होता है: 30% 30% है। पहले वर्ष की शुरुआत में कीमत से कम संख्या से:यदि स्टॉक शुरुआत में $30 पर था और 10% गिर गया, तो यह दूसरे वर्ष की शुरुआत में $27 पर है। यदि स्टॉक 30% ऊपर है, तो यह दूसरे वर्ष के अंत में $ 35.1 के लायक है। इस वृद्धि का अंकगणितीय औसत 10% है, लेकिन चूंकि 2 वर्षों में स्टॉक केवल $ 5.1 है, औसत 8.2% वृद्धि $ 35.1 का अंतिम परिणाम देती है:

  [$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]। यदि हम उसी तरह से 10% के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं, तो हमें वास्तविक मूल्य नहीं मिलेगा: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3]।

  वर्ष 2 के अंत में चक्रवृद्धि ब्याज: 90% * 130% = 117%, यानी कुल 17% की वृद्धि, और औसत वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज 117% 108.2% (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ sqrt (117 \%)) \ लगभग 108.2 \%), यानी औसत वार्षिक वृद्धि 8.2% .. यह संख्या दो कारणों से गलत है।

  चक्रीय चर के लिए औसत मूल्य, उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, कृत्रिम रूप से वास्तविक औसत से संख्यात्मक सीमा के मध्य में स्थानांतरित कर दिया जाएगा। इस वजह से, माध्य की गणना एक अलग तरीके से की जाती है, अर्थात् सबसे कम विचरण (केंद्र बिंदु) वाली संख्या को माध्य के रूप में चुना जाता है। साथ ही, घटाने के बजाय, मॉड्यूलर दूरी (अर्थात परिधि दूरी) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1 ° और 359 ° के बीच की मॉड्यूलर दूरी 2 ° है, न कि 358 ° (359 ° और 360 ° == 0 ° के बीच एक सर्कल पर - एक डिग्री, 0 ° और 1 ° के बीच - कुल मिलाकर 1 ° भी)। - 2 डिग्री)।

  एक्सेल में औसत मूल्य खोजने के लिए (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह संख्यात्मक, पाठ्य, प्रतिशत या अन्य मान है) कई कार्य हैं। और उनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएं और फायदे हैं। दरअसल, इस कार्य में कुछ शर्तें निर्धारित की जा सकती हैं।

  उदाहरण के लिए, एक्सेल में संख्याओं की एक श्रृंखला के औसत मूल्यों की गणना सांख्यिकीय कार्यों का उपयोग करके की जाती है। आप मैन्युअल रूप से अपना स्वयं का सूत्र भी दर्ज कर सकते हैं। आइए विभिन्न विकल्पों पर विचार करें।

  संख्याओं का अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें?

  समांतर माध्य ज्ञात करने के लिए, समुच्चय में सभी संख्याओं को जोड़ें और योग को संख्या से भाग दें। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान में एक छात्र का ग्रेड: 3, 4, 3, 5, 5. एक चौथाई से आगे क्या जाता है: 4. हमें सूत्र द्वारा अंकगणितीय माध्य ज्ञात होता है: = (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

  एक्सेल फ़ंक्शंस के साथ इसे जल्दी कैसे करें? उदाहरण के लिए, एक स्ट्रिंग में यादृच्छिक संख्याओं की एक श्रृंखला लें:

  

  या: सेल को सक्रिय बनाएं और केवल मैन्युअल रूप से सूत्र दर्ज करें: = औसत (A1: A8)।

  अब देखते हैं कि AVERAGE फ़ंक्शन और क्या कर सकता है।

  
  

  आइए पहले दो और अंतिम तीन संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें। सूत्र: = औसत (A1: B1; F1: H1)। नतीजा:

  

  स्थिति के अनुसार औसत

  अंकगणित माध्य खोजने की शर्त एक संख्यात्मक मानदंड या एक पाठ हो सकती है। हम फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे: = AVERAGEIF ()।

  10 से बड़ी या उसके बराबर संख्याओं का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

  समारोह: = औसत (A1: A8, "> = 10")

  
  "> = 10" स्थिति द्वारा AVERAGEIF फ़ंक्शन का उपयोग करने का परिणाम:

  तीसरा तर्क - "औसत श्रेणी" - छोड़ा गया है। सबसे पहले, यह वैकल्पिक है। दूसरे, कार्यक्रम द्वारा विश्लेषण की गई श्रेणी में केवल संख्यात्मक मान होते हैं। पहले तर्क में निर्दिष्ट कोशिकाओं को दूसरे तर्क में निर्दिष्ट शर्त द्वारा खोजा जाएगा।

  ध्यान! खोज मानदंड सेल में निर्दिष्ट किया जा सकता है। और सूत्र में उसका लिंक बना लें।

  आइए पाठ मानदंड के अनुसार संख्याओं का औसत मान ज्ञात करें। उदाहरण के लिए, "टेबल" उत्पाद की औसत बिक्री।

  

  फ़ंक्शन इस तरह दिखेगा: = औसत ($ ए $ 2: $ ए $ 12; ए 7; $ बी $ 2: $ बी $ 12)। रेंज - उत्पाद के नाम वाला एक कॉलम। खोज मानदंड "टेबल्स" शब्द के साथ एक सेल का लिंक है (आप लिंक ए 7 के बजाय "टेबल्स" शब्द को स्वयं सम्मिलित कर सकते हैं)। औसत सीमा - वे सेल जिनसे औसत की गणना करने के लिए डेटा लिया जाएगा।

  फ़ंक्शन की गणना के परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित मान मिलते हैं:

  

  ध्यान! टेक्स्ट मानदंड (शर्त) के लिए, औसत श्रेणी निर्दिष्ट की जानी चाहिए।

  एक्सेल में भारित औसत मूल्य की गणना कैसे करें?

  

  हमें भारित औसत मूल्य कैसे पता चला?

  सूत्र: = SUMPRODUCT (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12)।

  
  

  SUMPRODUCT सूत्र का उपयोग करके, हम माल की पूरी मात्रा की बिक्री के बाद कुल राजस्व का पता लगाते हैं। और SUM फ़ंक्शन माल की मात्रा का योग करता है। उत्पाद की बिक्री से कुल राजस्व को उत्पाद की कुल इकाइयों की संख्या से विभाजित करके, हमने भारित औसत मूल्य पाया। यह संकेतक प्रत्येक मूल्य के "वजन" को ध्यान में रखता है। मूल्यों के कुल द्रव्यमान में इसका हिस्सा।

  मानक विचलन: एक्सेल में सूत्र

  सामान्य जनसंख्या और नमूने के लिए मानक विचलन के बीच अंतर करें। पहले मामले में, यह सामान्य विचरण का मूल है। दूसरे में, नमूना विचरण से।

  इस आंकड़े की गणना करने के लिए, एक विचरण सूत्र संकलित किया गया है। इसकी जड़ निकाली जाती है। लेकिन मानक विचलन खोजने के लिए एक्सेल के पास एक तैयार कार्य है।

  
  

  मानक विचलन मूल डेटा के पैमाने से जुड़ा हुआ है। यह विश्लेषण की गई सीमा की भिन्नता के आलंकारिक प्रतिनिधित्व के लिए पर्याप्त नहीं है। भिन्नता के गुणांक की गणना डेटा भिन्नता के सापेक्ष स्तर को प्राप्त करने के लिए की जाती है:

  मानक विचलन / अंकगणित माध्य

  एक्सेल में सूत्र इस तरह दिखता है:

  एसटीडीईवीपी (मूल्य सीमा) / औसत (मूल्य सीमा)।

  भिन्नता के गुणांक की गणना प्रतिशत के रूप में की जाती है। इसलिए, हम सेल में प्रतिशत प्रारूप निर्धारित करते हैं।

  गणित में, संख्याओं का अंकगणितीय माध्य (या केवल औसत) किसी दिए गए सेट में सभी संख्याओं का योग होता है, जो उनकी संख्या से विभाजित होता है। यह औसत की सबसे सामान्यीकृत और व्यापक अवधारणा है। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, खोजने के लिए आपको दी गई सभी संख्याओं का योग करना होगा, और परिणाम को पदों की संख्या से विभाजित करना होगा।

  अंकगणित माध्य क्या है?

  आइए एक उदाहरण लेते हैं।

  उदाहरण 1... दी गई संख्याएँ: 6, 7, 11. आपको उनका औसत मान ज्ञात करना होगा।

  समाधान।

  सबसे पहले, आइए इन सभी संख्याओं का योग ज्ञात करें।

  अब परिणामी योग को पदों की संख्या से विभाजित करते हैं। चूँकि हमारे पास क्रमशः तीन पद हैं, हम तीन से भाग देंगे।

  इसलिए, 6, 7 और 11 का औसत 8 है। 8 क्यों? क्योंकि 6, 7 और 11 का योग तीन आठ के बराबर होगा। यह दृष्टांत में स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

  औसत कुछ हद तक संख्याओं की एक श्रृंखला के "संरेखण" की याद दिलाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, पेंसिलों के ढेर एक स्तर के हो गए हैं।

  आइए प्राप्त ज्ञान को समेकित करने के लिए एक और उदाहरण पर विचार करें।

  उदाहरण 2।दी गई संख्याएँ: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29। आपको उनका समांतर माध्य ज्ञात करना होगा।

  समाधान।

  हम राशि पाते हैं।

  3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

  पदों की संख्या से विभाजित करें (इस मामले में - 15)।

  इसलिए, संख्याओं की इस श्रृंखला का औसत मान 22 है।

  अब आइए नकारात्मक संख्याओं को देखें। आइए याद रखें कि उन्हें कैसे संक्षेप में प्रस्तुत किया जाए। उदाहरण के लिए, आपके पास दो नंबर 1 और -4 हैं। आइए जानें उनका योग।

  1 + (-4) = 1 - 4 = -3

  इसे ध्यान में रखते हुए, एक और उदाहरण पर विचार करें।

  उदाहरण 3.संख्याओं की एक श्रृंखला का औसत मान ज्ञात कीजिए: 3, -7, 5, 13, -2।

  समाधान।

  संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

  3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

  चूंकि 5 पद हैं, हम परिणामी योग को 5 से विभाजित करते हैं।

  अतः संख्याओं 3, -7, 5, 13, -2 का समांतर माध्य 2.4 है।

  

  तकनीकी प्रगति के हमारे समय में, औसत मूल्य खोजने के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना कहीं अधिक सुविधाजनक है। माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल उनमें से एक है। एक्सेल में औसत ढूँढना त्वरित और आसान है। इसके अलावा, यह प्रोग्राम माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस सॉफ्टवेयर पैकेज में शामिल है। एक संक्षिप्त निर्देश पर विचार करें, जिसका अर्थ है इस कार्यक्रम का उपयोग करना।

  संख्याओं की एक श्रृंखला के औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको औसत फ़ंक्शन का उपयोग करने की आवश्यकता है। इस फ़ंक्शन का सिंटैक्स है:
  = औसत (तर्क1, तर्क2, ... तर्क255)
  जहां तर्क1, तर्क2, ... तर्क255 या तो संख्याएं या सेल संदर्भ हैं (कोशिकाओं का मतलब श्रेणियां और सरणियाँ हैं)।

  इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए प्राप्त ज्ञान का परीक्षण करें।

  

  1. सेल C1 - C6 में नंबर 11, 12, 13, 14, 15, 16 दर्ज करें।
  2. सेल C7 पर क्लिक करके इसे चुनें। इस सेल में, हम औसत मूल्य प्रदर्शित करेंगे।
  3. फॉर्मूला टैब पर क्लिक करें।
  4. अधिक कार्यों का चयन करें> खोलने के लिए सांख्यिकीय
  5. औसत चुनें। उसके बाद, एक डायलॉग बॉक्स खुल जाना चाहिए।
  6. डायलॉग बॉक्स में रेंज सेट करने के लिए सेल C1-C6 को चुनें और खींचें।
  7. "ओके" कुंजी के साथ अपने कार्यों की पुष्टि करें।
  8. यदि आपने सब कुछ सही ढंग से किया है, तो सेल C7 में आपके पास उत्तर होना चाहिए - 13.7. जब आप सेल C7 पर क्लिक करते हैं, तो फंक्शन (= औसत (C1: C6)) फॉर्मूला बार में प्रदर्शित होगा।

  इस फ़ंक्शन का उपयोग लेखांकन, चालान-प्रक्रिया के लिए करना बहुत सुविधाजनक है, या जब आपको संख्याओं की एक बहुत लंबी श्रृंखला का औसत निकालने की आवश्यकता होती है। इसलिए, इसका उपयोग अक्सर कार्यालयों और बड़ी कंपनियों में किया जाता है। यह आपको रिकॉर्ड को क्रम में रखने की अनुमति देता है और किसी चीज़ की जल्दी से गणना करना संभव बनाता है (उदाहरण के लिए, प्रति माह औसत आय)। इसके अलावा, एक्सेल का उपयोग करके, आप फ़ंक्शन का औसत मान प्राप्त कर सकते हैं।

  तीन बच्चे जामुन लेने जंगल में गए। सबसे बड़ी बेटी को 18 जामुन मिले, बीच वाले को - 15, और छोटे भाई को - 3 जामुन मिले (चित्र 1 देखें)। वे मेरी माँ के लिए जामुन लाए, जिन्होंने जामुन को समान रूप से विभाजित करने का फैसला किया। प्रत्येक बच्चे को कितने जामुन मिले?

  चावल। 1. समस्या के लिए चित्रण

  समाधान

  (यग।) - बच्चों ने सब कुछ एकत्र किया

  2) जामुन की कुल संख्या को बच्चों की संख्या से विभाजित करें:

  (यग।) हर बच्चा मिला

  उत्तर: प्रत्येक बच्चे को 12 जामुन मिलेंगे।

  प्रश्न 1 में, उत्तर में प्राप्त संख्या अंकगणितीय माध्य है।

  अंकगणित औसतअनेक संख्याओं को इन संख्याओं के योग को उनकी संख्या से भाग देने वाला भागफल कहते हैं।

  उदाहरण 1

  हमारे पास दो संख्याएँ हैं: 10 और 12। उनका समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

  समाधान

  1) इन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

  2) इन संख्याओं की संख्या 2 है, इसलिए इन संख्याओं का समांतर माध्य है:।

  उत्तर: 10 और 12 का समांतर माध्य 11 है।

  उदाहरण 2

  हमारे पास पाँच संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4 और 5। उनका समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

  समाधान

  1) इन संख्याओं का योग है:।

  2) परिभाषा के अनुसार, अंकगणित माध्य संख्याओं के योग को उनकी संख्या से भाग देने वाला भागफल है। हमारे पास पाँच संख्याएँ हैं, इसलिए अंकगणितीय माध्य है:

  उत्तर: संख्याओं की स्थिति में डेटा का अंकगणितीय माध्य 3 है।

  इस तथ्य के अलावा कि यह लगातार कक्षा में पाए जाने का सुझाव दिया जाता है, अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना रोजमर्रा की जिंदगी में बहुत उपयोगी है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम छुट्टी पर ग्रीस जाना चाहते हैं। सही कपड़े चुनने के लिए हम इस देश में मौजूदा तापमान को देखते हैं। हालांकि, हम मौसम की सामान्य तस्वीर नहीं जानते हैं। इसलिए, आपको ग्रीस में हवा के तापमान का पता लगाने की जरूरत है, उदाहरण के लिए, एक सप्ताह के लिए, और इन तापमानों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें।

  उदाहरण 3

  सप्ताह के लिए ग्रीस में तापमान: सोमवार -; मंगलवार - ; बुधवार -; गुरूवार - ; शुक्रवार - ; शनिवार - ; रविवार का दिन - । सप्ताह के लिए औसत तापमान की गणना करें।

  समाधान

  1) आइए तापमान के योग की गणना करें:।

  2) प्राप्त राशि को दिनों की संख्या से विभाजित करें:।

  उत्तर: औसत साप्ताहिक तापमान लगभग।

  फ़ुटबॉल टीम में खिलाड़ियों की औसत आयु निर्धारित करने के लिए अंकगणितीय माध्य खोजने की क्षमता की भी आवश्यकता हो सकती है, अर्थात यह स्थापित करने के लिए कि टीम अनुभवी है या नहीं। सभी खिलाड़ियों की आयु का योग करना और उनकी संख्या से भाग देना आवश्यक है।

  टास्क 2

  व्यापारी सेब बेच रहा था। सबसे पहले, उसने उन्हें 85 रूबल प्रति 1 किलो की कीमत पर बेचा। इसलिए उसने 12 किलो बेचा। फिर उसने कीमत घटाकर 65 रूबल कर दी और बाकी 4 किलो सेब बेच दिए। सेब का औसत मूल्य क्या था?

  समाधान

  1) आइए गणना करें कि व्यापारी ने कुल कितना पैसा कमाया। उन्होंने 85 रूबल प्रति 1 किलो की कीमत पर 12 किलोग्राम बेचा: (रब.).

  उन्होंने 4 किलोग्राम 65 रूबल प्रति 1 किलोग्राम: (रूबल) की कीमत पर बेचा।

  इसलिए, अर्जित धन की कुल राशि बराबर है: (रूबल)।

  2) बेचे गए सेबों का कुल वजन है:।

  3) प्राप्त राशि को बेचे गए सेब के कुल वजन से विभाजित करें और 1 किलो सेब के लिए औसत मूल्य प्राप्त करें: (रूबल)।

  उत्तर: बेचे गए 1 किलो सेब की औसत कीमत 80 रूबल है।

  अंकगणित माध्य आपको प्रत्येक मान को अलग से लिए बिना समग्र रूप से डेटा का मूल्यांकन करने में मदद करता है।

  हालांकि, अंकगणितीय माध्य की अवधारणा का उपयोग करना हमेशा संभव नहीं होता है।

  उदाहरण 4

  निशानेबाज ने लक्ष्य पर दो शॉट दागे (चित्र 2 देखें): पहली बार उसने लक्ष्य से एक मीटर ऊंचा मारा, और दूसरा - एक मीटर नीचे। अंकगणित माध्य दिखाएगा कि उसने केंद्र में सही मारा, हालांकि वह दोनों बार चूक गया।

  

  चावल। 2. उदाहरण के लिए चित्रण

  इस पाठ में हम समांतर माध्य की अवधारणा से परिचित हुए। हमने इस अवधारणा की परिभाषा सीखी, कई संख्याओं के अंकगणितीय माध्य की गणना करना सीखा। हमने इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग को भी सीखा।

  1. एन. हां. विलेनकिन। गणित: पाठ्यपुस्तक। 5 सीएल के लिए आम उचर - ईडी। 17वां। - एम।: निमोसिना, 2005।
  )
  2. इगोर के पास 45 रूबल थे, एंड्री - 28, और डेनिस - 17।
  3. अपने सारे पैसे से उन्होंने सिनेमा के 3 टिकट खरीदे। एक टिकट की कीमत कितनी थी?

  जब एक स्थिर यादृच्छिक प्रक्रिया की संख्याओं के समूह के तत्वों की संख्या अनंत हो जाती है, तो अंकगणितीय माध्य एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा की ओर जाता है।

  परिचय

  हम संख्याओं के समुच्चय को निरूपित करते हैं एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), तो नमूना माध्य आमतौर पर चर के ऊपर एक क्षैतिज पट्टी द्वारा इंगित किया जाता है (उच्चारण " एक्सएक पंक्ति के साथ ")।

  ग्रीक अक्षर μ आमतौर पर संख्याओं के पूरे सेट के अंकगणितीय माध्य को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के लिए जिसके लिए माध्य मान निर्धारित किया जाता है, μ is संभाव्य माध्यया एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा। अगर सेट एक्सएक संभाव्य माध्य μ के साथ यादृच्छिक संख्याओं का एक संग्रह है, फिर किसी भी नमूने के लिए एक्स मैंइस संग्रह से μ = ई ( एक्स मैं) इस नमूने की गणितीय अपेक्षा है।

  व्यवहार में, μ और . के बीच का अंतर एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ बार (एक्स)))यह है कि μ एक विशिष्ट चर है क्योंकि आप पूरी आबादी के बजाय नमूना देख सकते हैं। इसलिए, यदि नमूना यादृच्छिक रूप से प्रस्तुत किया जाता है (संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में), तो एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ बार (एक्स)))(लेकिन μ नहीं) को नमूने पर संभाव्यता वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है (माध्य की संभावना वितरण)।

  इन दोनों राशियों की गणना एक ही तरह से की जाती है:

  x = 1 n i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n)। (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ बार (एक्स)) = (\ फ्रैक (1) (एन)) \ योग _ (i = 1) ^ (एन) x_ (i) = (\ फ्रैक (1) (एन)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n))।)

  के उदाहरण

  • तीन संख्याओं के लिए, उन्हें जोड़ें और 3 से विभाजित करें:
  एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 3. (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3))।)
  • चार संख्याओं के लिए, उन्हें जोड़ें और 4 से विभाजित करें:
  एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 4। (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4))।)

  सतत यादृच्छिक चर

  अगर कुछ फ़ंक्शन का अभिन्न अंग है एफ (एक्स) (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ (एक्स))एक चर, फिर खंड पर इस फ़ंक्शन का अंकगणितीय माध्य [ए; बी] (\ डिस्प्लेस्टाइल)एक निश्चित अभिन्न के रूप में परिभाषित:

  एफ (एक्स) ¯ [ए; बी] = 1 बी - ए ए बी एफ (एक्स) डी एक्स। (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ ओवरलाइन (एफ (एक्स))) _ () = (\ फ्रैक (1) (बी-ए)) \ int _ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स।)

  इसका अर्थ यह है कि बी> ए। (\ डिस्प्लेस्टाइल बी> ए।)

  माध्य का उपयोग करने की कुछ समस्याएं

  मजबूती की कमी

  यद्यपि अंकगणित माध्य को अक्सर औसत या केंद्रीय प्रवृत्तियों के रूप में उपयोग किया जाता है, यह एक मजबूत आँकड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि अंकगणितीय माध्य "बड़े विचलन" से बहुत प्रभावित होता है। यह उल्लेखनीय है कि बड़े विषमता गुणांक वाले वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य "माध्य" की अवधारणा के अनुरूप नहीं हो सकता है, और मजबूत आँकड़ों से माध्य मान (उदाहरण के लिए, माध्यिका) केंद्रीय प्रवृत्ति का बेहतर वर्णन कर सकते हैं।

  एक उत्कृष्ट उदाहरण औसत आय की गणना कर रहा है। अंकगणित माध्य को माध्यिका के रूप में गलत समझा जा सकता है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वास्तव में वहाँ की तुलना में अधिक आय वाले लोग हैं। "औसत" आय की व्याख्या इस तरह से की जाती है कि अधिकांश लोगों की आय इस संख्या के करीब हो। यह "माध्य" (अंकगणितीय माध्य के अर्थ में) आय अधिकांश लोगों की आय से अधिक है, क्योंकि उच्च आय माध्य से एक बड़े विचलन के साथ अंकगणितीय माध्य को दृढ़ता से तिरछा करती है (इसके विपरीत, औसत आय "प्रतिरोध" करती है पक्षपात)। हालांकि, यह "औसत" आय औसत आय के करीब लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है (और मोडल आय के करीब लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है)। फिर भी, यदि आप "औसत" और "अधिकांश लोगों" की अवधारणाओं को हल्के में लेते हैं, तो आप गलत निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अधिकांश लोगों की आय वास्तव में उनकी आय से अधिक है। उदाहरण के लिए, मदीना, वाशिंगटन में "औसत" शुद्ध आय पर एक रिपोर्ट, जिसकी गणना सभी निवासियों की वार्षिक शुद्ध आय के अंकगणितीय औसत के रूप में की जाती है, बिल गेट्स के कारण आश्चर्यजनक रूप से बड़ी संख्या में प्राप्त होगी। नमूने (1, 2, 2, 2, 3, 9) पर विचार करें। अंकगणितीय माध्य 3.17 है, लेकिन छह में से पांच मान इस औसत से नीचे हैं।

  चक्रवृद्धि ब्याज

  अगर संख्या गुणा, लेकिन नहीं तह, आपको ज्यामितीय माध्य का उपयोग करने की आवश्यकता है, न कि अंकगणितीय माध्य का। वित्त में निवेश पर प्रतिफल की गणना करते समय अक्सर यह घटना होती है।

  उदाहरण के लिए, यदि स्टॉक पहले वर्ष में 10% गिर गया और दूसरे वर्ष में 30% की वृद्धि हुई, तो इन दो वर्षों में "औसत" वृद्धि की गणना अंकगणितीय माध्य (-10% + 30%) के रूप में करना गलत है। / 2 = 10%; इस मामले में सही औसत मूल्य संचयी वार्षिक वृद्धि दर द्वारा दिया गया है, जिस पर वार्षिक वृद्धि केवल 8.16653826392% 8.2% है।

  इसका कारण यह है कि हर बार प्रतिशत में एक नया प्रारंभिक बिंदु होता है: 30% 30% है। पहले वर्ष की शुरुआत में कीमत से कम संख्या से:यदि स्टॉक शुरुआत में $30 पर था और 10% गिर गया, तो यह दूसरे वर्ष की शुरुआत में $27 पर है। यदि स्टॉक 30% ऊपर है, तो यह दूसरे वर्ष के अंत में $ 35.1 के लायक है। इस वृद्धि का अंकगणितीय औसत 10% है, लेकिन चूंकि 2 वर्षों में स्टॉक केवल $ 5.1 है, औसत 8.2% वृद्धि $ 35.1 का अंतिम परिणाम देती है:

  [$ 30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $ 30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $ 35.1]। यदि हम उसी तरह से 10% के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं, तो हमें वास्तविक मूल्य नहीं मिलेगा: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $ 36.3]।

  वर्ष 2 के अंत में चक्रवृद्धि ब्याज: 90% * 130% = 117%, यानी कुल 17% की वृद्धि, और औसत वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज 117% 108.2% (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ sqrt (117 \%)) \ लगभग 108.2 \%)यानी 8.2 फीसदी की औसत वार्षिक वृद्धि।

  दिशा-निर्देश

  मुख्य लेख: गंतव्य आँकड़े

  चक्रीय रूप से परिवर्तित होने वाले किसी चर के अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय (उदाहरण के लिए, चरण या कोण), विशेष ध्यान रखा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, संख्या 1 और 359 का औसत होगा 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ़्रेक (1 ^ (\ सर्किल) +359 ^ (\ सर्किल)) (2)) =) 180. यह संख्या दो कारणों से गलत है।

  चक्रीय चर के लिए औसत मूल्य, उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, कृत्रिम रूप से वास्तविक औसत से संख्यात्मक सीमा के मध्य में स्थानांतरित कर दिया जाएगा। इस वजह से, माध्य की गणना एक अलग तरीके से की जाती है, अर्थात् सबसे कम विचरण (केंद्र बिंदु) वाली संख्या को माध्य के रूप में चुना जाता है। साथ ही, घटाने के बजाय, मॉड्यूलर दूरी (अर्थात परिधि दूरी) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1 ° और 359 ° के बीच की मॉड्यूलर दूरी 2 ° है, न कि 358 ° (359 ° और 360 ° == 0 ° के बीच एक सर्कल पर - एक डिग्री, 0 ° और 1 ° के बीच - कुल मिलाकर 1 ° भी)। - 2 डिग्री)।