सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन, सूत्रों की व्युत्पत्ति, उदाहरण।

बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट - के बीच संबंध दिए गए हैं त्रिकोणमितीय सूत्र. और चूँकि त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच बहुत सारे संबंध हैं, यह त्रिकोणमितीय सूत्रों की प्रचुरता की व्याख्या करता है। कुछ सूत्र एक ही कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों को जोड़ते हैं, अन्य - एकाधिक कोण के कार्यों को जोड़ते हैं, अन्य - आपको डिग्री को कम करने की अनुमति देते हैं, चौथा - आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से सभी कार्यों को व्यक्त करते हैं, आदि।

इस लेख में हम सभी बुनियादी त्रिकोणमिति सूत्रों को क्रमबद्ध तरीके से सूचीबद्ध करेंगे, जो त्रिकोणमिति की अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त हैं। याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, हम उन्हें उद्देश्य के अनुसार समूहित करेंगे और उन्हें तालिकाओं में दर्ज करेंगे।

पेज नेविगेशन.

बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान

बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानएक कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट के बीच संबंध को परिभाषित करें। वे साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषा के साथ-साथ यूनिट सर्कल की अवधारणा का पालन करते हैं। वे आपको एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को किसी अन्य के संदर्भ में व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

इन त्रिकोणमिति सूत्रों, उनकी व्युत्पत्ति और अनुप्रयोग के उदाहरणों के विस्तृत विवरण के लिए लेख देखें।

न्यूनीकरण सूत्र

न्यूनीकरण सूत्रसाइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के गुणों का पालन करें, यानी, वे त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता की संपत्ति, समरूपता की संपत्ति, साथ ही किसी दिए गए कोण द्वारा बदलाव की संपत्ति को प्रतिबिंबित करते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र आपको मनमाने कोणों के साथ काम करने से लेकर शून्य से 90 डिग्री तक के कोणों के साथ काम करने की अनुमति देते हैं।

इन सूत्रों का औचित्य, उन्हें याद रखने का एक स्मरणीय नियम और उनके अनुप्रयोग के उदाहरणों का अध्ययन लेख में किया जा सकता है।

अतिरिक्त सूत्र

त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्रदिखाएँ कि दो कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितीय फलन को उन कोणों के त्रिकोणमितीय फलन के रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है। ये सूत्र निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्राप्त करने के लिए आधार के रूप में कार्य करते हैं।

डबल, ट्रिपल आदि के लिए सूत्र। कोण

डबल, ट्रिपल आदि के लिए सूत्र। कोण (इन्हें एकाधिक कोण सूत्र भी कहा जाता है) दर्शाते हैं कि डबल, ट्रिपल आदि के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे होते हैं। कोण () को एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में व्यक्त किया जाता है। इनकी व्युत्पत्ति योग सूत्रों पर आधारित है।

डबल, ट्रिपल आदि के लिए लेख सूत्रों में अधिक विस्तृत जानकारी एकत्र की गई है। कोण

अर्धकोण सूत्र

अर्धकोण सूत्रदिखाएँ कि आधे कोण के त्रिकोणमितीय फलन को पूरे कोण की कोज्या के रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है। ये त्रिकोणमितीय सूत्र दोहरे कोण सूत्रों का अनुसरण करते हैं।

उनके निष्कर्ष और अनुप्रयोग के उदाहरण लेख में पाए जा सकते हैं।

डिग्री कम करने के सूत्र

डिग्री कम करने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रत्रिकोणमितीय कार्यों की प्राकृतिक शक्तियों से पहली डिग्री में साइन और कोसाइन में संक्रमण को सुविधाजनक बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है, लेकिन एकाधिक कोण। दूसरे शब्दों में, वे आपको त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों को पहले तक कम करने की अनुमति देते हैं।

त्रिकोणमितीय फलनों के योग और अंतर के सूत्र

मुख्य उद्देश्य त्रिकोणमितीय फलनों के योग और अंतर के सूत्रफ़ंक्शंस के उत्पाद पर जाना है, जो त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय बहुत उपयोगी है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में भी इन सूत्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे आपको साइन और कोसाइन के योग और अंतर का गुणनखंड करने की अनुमति देते हैं।

कोसाइन द्वारा साइन, कोसाइन और साइन के गुणनफल के लिए सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद से योग या अंतर में संक्रमण साइन, कोसाइन और कोसाइन द्वारा साइन के उत्पाद के सूत्रों का उपयोग करके किया जाता है।

कॉपीराइट चतुर छात्रों द्वारा

सर्वाधिकार सुरक्षित।
कॉपीराइट कानून द्वारा संरक्षित. आंतरिक सामग्री और उपस्थिति सहित www.site का कोई भी हिस्सा, कॉपीराइट धारक की पूर्व लिखित अनुमति के बिना किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत या उपयोग नहीं किया जा सकता है।

सर्वाधिक बार पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या दिए गए नमूने के अनुसार किसी दस्तावेज़ पर मोहर बनाना संभव है? उत्तर हाँ, यह संभव है। हमारे ईमेल पते पर एक स्कैन की हुई कॉपी या एक अच्छी गुणवत्ता वाली फोटो भेजें, और हम आवश्यक डुप्लिकेट बना देंगे।

आप किस प्रकार का भुगतान स्वीकार करते हैं? उत्तर आप कूरियर द्वारा प्राप्त होने पर, डिप्लोमा के निष्पादन की शुद्धता और गुणवत्ता की जांच करने के बाद दस्तावेज़ के लिए भुगतान कर सकते हैं। यह कैश ऑन डिलीवरी सेवाएं देने वाली डाक कंपनियों के कार्यालय में भी किया जा सकता है।
दस्तावेज़ों की डिलीवरी और भुगतान की सभी शर्तें "भुगतान और डिलीवरी" अनुभाग में वर्णित हैं। हम दस्तावेज़ की डिलीवरी और भुगतान की शर्तों के संबंध में आपके सुझाव सुनने के लिए भी तैयार हैं।

क्या मैं आश्वस्त हो सकता हूँ कि ऑर्डर देने के बाद आप मेरे पैसे लेकर गायब नहीं होंगे? उत्तर डिप्लोमा उत्पादन के क्षेत्र में हमारा काफी लंबा अनुभव है। हमारी कई वेबसाइटें हैं जो लगातार अपडेट होती रहती हैं। हमारे विशेषज्ञ देश के विभिन्न हिस्सों में काम करते हैं, प्रतिदिन 10 से अधिक दस्तावेज़ तैयार करते हैं। पिछले कुछ वर्षों में, हमारे दस्तावेज़ों ने कई लोगों को रोज़गार की समस्याओं को हल करने या उच्च-भुगतान वाली नौकरियों में जाने में मदद की है। हमने ग्राहकों के बीच विश्वास और मान्यता अर्जित की है, इसलिए हमारे पास ऐसा करने का कोई कारण नहीं है। इसके अलावा, शारीरिक रूप से ऐसा करना बिल्कुल असंभव है: आप अपना ऑर्डर तब भुगतान करते हैं जब वह आपके हाथ में आ जाता है, कोई पूर्व भुगतान नहीं होता है।

क्या मैं किसी विश्वविद्यालय से डिप्लोमा मंगवा सकता हूँ? उत्तर सामान्य तौर पर, हाँ. हम लगभग 12 वर्षों से इस क्षेत्र में काम कर रहे हैं। इस दौरान, देश के लगभग सभी विश्वविद्यालयों द्वारा जारी किए गए और जारी होने के विभिन्न वर्षों के दस्तावेजों का लगभग पूरा डेटाबेस तैयार किया गया। आपको बस एक विश्वविद्यालय, विशेषता, दस्तावेज़ का चयन करना और ऑर्डर फॉर्म भरना है।

यदि आपको किसी दस्तावेज़ में टाइपो और त्रुटियाँ मिलती हैं तो क्या करें? उत्तर हमारी कूरियर या डाक कंपनी से दस्तावेज़ प्राप्त करते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि आप सभी विवरणों की सावधानीपूर्वक जाँच करें। यदि कोई टाइपो, त्रुटि या अशुद्धि पाई जाती है, तो आपको डिप्लोमा न लेने का अधिकार है, लेकिन आपको कूरियर को व्यक्तिगत रूप से या ईमेल भेजकर पता लगाए गए दोषों को इंगित करना होगा।
हम यथाशीघ्र दस्तावेज़ को सही करेंगे और उसे निर्दिष्ट पते पर पुनः भेज देंगे। बेशक, शिपिंग का भुगतान हमारी कंपनी द्वारा किया जाएगा।
ऐसी ग़लतफ़हमियों से बचने के लिए, मूल फॉर्म भरने से पहले, हम ग्राहक को अंतिम संस्करण की जाँच और अनुमोदन के लिए भविष्य के दस्तावेज़ का एक मॉक-अप ईमेल करते हैं। दस्तावेज़ को कूरियर या मेल द्वारा भेजने से पहले, हम अतिरिक्त फ़ोटो और वीडियो (पराबैंगनी प्रकाश सहित) भी लेते हैं ताकि आपको स्पष्ट रूप से पता चल सके कि अंत में आपको क्या मिलेगा।

आपकी कंपनी से डिप्लोमा ऑर्डर करने के लिए मुझे क्या करना चाहिए? उत्तर किसी दस्तावेज़ (प्रमाणपत्र, डिप्लोमा, शैक्षणिक प्रमाणपत्र आदि) का ऑर्डर करने के लिए, आपको हमारी वेबसाइट पर ऑनलाइन ऑर्डर फॉर्म भरना होगा या अपना ईमेल प्रदान करना होगा ताकि हम आपको एक आवेदन पत्र भेज सकें, जिसे आपको भरना होगा और वापस भेजना होगा हम लोगो को।
यदि आप नहीं जानते कि ऑर्डर फॉर्म/प्रश्नावली के किसी भी क्षेत्र में क्या इंगित करना है, तो उन्हें खाली छोड़ दें। इसलिए, हम फ़ोन पर सभी छूटी हुई जानकारी को स्पष्ट कर देंगे।

नवीनतम समीक्षा

एलेक्सी:

प्रबंधक के रूप में नौकरी पाने के लिए मुझे डिप्लोमा प्राप्त करने की आवश्यकता थी। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि मेरे पास अनुभव और कौशल दोनों हैं, लेकिन बिना दस्तावेज़ के मुझे नौकरी नहीं मिल सकती। एक बार जब मैं आपकी साइट पर आया, तो मैंने अंततः एक डिप्लोमा खरीदने का फैसला किया। डिप्लोमा 2 दिन में पूरा हो गया!! अब मेरे पास एक ऐसी नौकरी है जिसके बारे में मैंने पहले कभी सपने में भी नहीं सोचा था!! धन्यवाद!

हम त्रिकोणमिति का अपना अध्ययन समकोण त्रिभुज से शुरू करेंगे। आइए परिभाषित करें कि साइन और कोसाइन क्या हैं, साथ ही एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं। यह त्रिकोणमिति की मूल बातें है.

आइए हम आपको वह याद दिला दें समकोण 90 डिग्री के बराबर एक कोण है. दूसरे शब्दों में, आधा मुड़ा हुआ कोण।

तेज़ कोने- 90 डिग्री से कम.

अधिक कोण- 90 डिग्री से अधिक. ऐसे कोण के संबंध में, "अस्पष्ट" कोई अपमान नहीं है, बल्कि एक गणितीय शब्द है :-)

आइए एक समकोण त्रिभुज बनाएं। समकोण को आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है। कृपया ध्यान दें कि कोने के विपरीत पक्ष को उसी अक्षर से दर्शाया गया है, केवल छोटा। इस प्रकार, कोण A के विपरीत भुजा को निर्दिष्ट किया गया है।

कोण को संगत ग्रीक अक्षर से दर्शाया जाता है।

कर्णसमकोण त्रिभुज की भुजा समकोण के विपरीत होती है।

पैर- न्यून कोणों के विपरीत स्थित भुजाएँ।

कोण के विपरीत स्थित पैर को कहा जाता है विलोम(कोण के सापेक्ष). दूसरा पैर, जो कोण के एक किनारे पर स्थित होता है, कहलाता है नज़दीक.

साइनसएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात होता है:

कोज्यासमकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात:

स्पर्शरेखासमकोण त्रिभुज में न्यूनकोण - विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात:

एक और (समतुल्य) परिभाषा: एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा, कोण की ज्या और उसकी कोज्या का अनुपात है:

कोटैंजेंटएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण - आसन्न भुजा का विपरीत पक्ष से अनुपात (या, जो समान है, कोज्या से ज्या का अनुपात):

नीचे साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बुनियादी संबंधों पर ध्यान दें। समस्याओं का समाधान करते समय वे हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आइये उनमें से कुछ को सिद्ध करें।

ठीक है, हमने परिभाषाएँ दी हैं और सूत्र लिखे हैं। लेकिन हमें अभी भी साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की आवश्यकता क्यों है?

हम वह जानते हैं किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग बराबर होता है.

हम बीच के संबंध को जानते हैं दलोंसही त्रिकोण। यह पाइथागोरस प्रमेय है: .

इससे पता चलता है कि एक त्रिभुज में दो कोणों को जानकर, आप तीसरा कोण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाओं को जानकर, आप तीसरा ज्ञात कर सकते हैं। इसका मतलब यह है कि कोणों का अपना अनुपात होता है, और भुजाओं का अपना। लेकिन आपको क्या करना चाहिए यदि किसी समकोण त्रिभुज में आपको एक कोण (समकोण को छोड़कर) और एक भुजा पता हो, लेकिन आपको अन्य भुजाएँ खोजने की आवश्यकता हो?

अतीत में लोगों को क्षेत्र और तारों वाले आकाश के नक्शे बनाते समय इसका सामना करना पड़ा था। आख़िरकार, किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को सीधे मापना हमेशा संभव नहीं होता है।

ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा - इन्हें भी कहा जाता है त्रिकोणमितीय कोण कार्य- बीच संबंध दें दलोंऔर कोनेत्रिकोण. कोण को जानकर, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग करके इसके सभी त्रिकोणमितीय फलन पा सकते हैं। और किसी त्रिभुज और उसकी एक भुजा के कोणों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा को जानकर, आप शेष कोण ज्ञात कर सकते हैं।

हम से लेकर "अच्छे" कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों की एक तालिका भी बनाएंगे।

कृपया तालिका में दो लाल डैश नोट करें। उचित कोण मान पर, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मौजूद नहीं हैं।

आइए FIPI टास्क बैंक से कई त्रिकोणमिति समस्याओं को देखें।

1. एक त्रिभुज में कोण , है। खोजो ।

समस्या चार सेकंड में हल हो जाती है.

क्योंकि , ।

2. एक त्रिभुज में कोण , , , होता है। खोजो ।

आइए इसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खोजें।

समस्या सुलझ गई है।

अक्सर समस्याओं में कोणों वाले और या कोणों वाले त्रिभुज होते हैं। उनके लिए बुनियादी अनुपात दिल से याद रखें!

एक त्रिभुज के लिए जिसके कोण और पैर विपरीत कोण पर बराबर हैं कर्ण का आधा भाग.

एक त्रिभुज जिसके कोण समद्विबाहु हैं। इसमें कर्ण पैर से कई गुना बड़ा होता है।

हमने समकोण त्रिभुजों को हल करने की समस्याओं पर ध्यान दिया - अर्थात, अज्ञात भुजाओं या कोणों को खोजना। लेकिन वह सब नहीं है! गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में कई समस्याएं होती हैं जिनमें त्रिभुज के बाहरी कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट शामिल होती है। अगले लेख में इस पर और अधिक जानकारी।

इस लेख में हम एक व्यापक नज़र डालेंगे। बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, और किसी को ज्ञात अन्य के माध्यम से इनमें से किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती हैं।

आइए हम तुरंत उन मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानों को सूचीबद्ध करें जिनका हम इस लेख में विश्लेषण करेंगे। आइए उन्हें एक तालिका में लिखें, और नीचे हम इन सूत्रों का आउटपुट देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण प्रदान करेंगे।

पेज नेविगेशन.

एक कोण की ज्या और कोज्या के बीच संबंध

कभी-कभी वे उपरोक्त तालिका में सूचीबद्ध मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के बारे में नहीं, बल्कि एक एकल के बारे में बात करते हैं बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानदयालु . इस तथ्य की व्याख्या काफी सरल है: मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान से इसके दोनों भागों को क्रमशः और, और समानताओं से विभाजित करने के बाद समानताएं प्राप्त की जाती हैं। और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का पालन करें। हम इसके बारे में निम्नलिखित पैराग्राफ में अधिक विस्तार से बात करेंगे।

अर्थात्, यह वह समानता है जो विशेष रुचि रखती है, जिसे मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का नाम दिया गया था।

मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान को सिद्ध करने से पहले, हम इसका सूत्रीकरण देते हैं: एक कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों का योग समान रूप से एक के बराबर होता है। अब आइए इसे साबित करें।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग अक्सर कब किया जाता है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना. यह एक कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों के योग को एक से बदलने की अनुमति देता है। अक्सर, मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग उल्टे क्रम में किया जाता है: इकाई को किसी भी कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों के योग से प्रतिस्थापित किया जाता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

देखने के एक कोण के साइन और कोसाइन के साथ स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को जोड़ने वाली पहचान और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का तुरंत पालन करें। वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, साइन y की कोटि है, कोसाइन x का भुज है, स्पर्शरेखा कोटि का भुज से अनुपात है, अर्थात, , और कोटैंजेंट भुज और कोटि का अनुपात है, अर्थात, .

पहचान की ऐसी स्पष्टता के लिए धन्यवाद और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को अक्सर भुज और कोटि के अनुपात के माध्यम से नहीं, बल्कि साइन और कोसाइन के अनुपात के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। तो किसी कोण की स्पर्शरेखा इस कोण की ज्या और कोज्या का अनुपात है, और कोटैंजेंट ज्या की कोज्या का अनुपात है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहचान और उन सभी कोणों के लिए घटित होता है जिन पर उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण होते हैं। तो सूत्र किसी के लिए भी मान्य है, इसके अलावा (अन्यथा हर में शून्य होगा, और हमने शून्य से विभाजन को परिभाषित नहीं किया है), और सूत्र - सभी के लिए, से भिन्न, जहां z कोई है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

पिछले दो की तुलना में और भी अधिक स्पष्ट त्रिकोणमितीय पहचान प्रपत्र के एक कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को जोड़ने वाली पहचान है . यह स्पष्ट है कि यह इसके अलावा किसी भी कोण के लिए मान्य है, अन्यथा स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट को परिभाषित नहीं किया गया है।

सूत्र का प्रमाण बहुत सरल। परिभाषा के अनुसार और कहाँ से . सबूत को थोड़ा अलग तरीके से पेश किया जा सकता था। तब से , वह .

तो, एक ही कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जिस पर वे समझ में आते हैं।

दो कोणों के योग और अंतर की कोज्या

इस खंड में निम्नलिखित दो सूत्र सिद्ध किये जायेंगे:

cos (α + β) = cos α cos β - पाप α पाप β, (1)

कॉस (α - β) = कॉस α कॉस β + सिन α सिन β। (2)

दो कोणों के योग (अंतर) की कोज्या इन कोणों की कोज्याओं के गुणनफल को घटाकर (जोड़) इन कोणों की ज्याओं के गुणनफल के बराबर होती है।

हमारे लिए सूत्र (2) के प्रमाण से शुरुआत करना अधिक सुविधाजनक होगा। प्रस्तुति की सरलता के लिए, आइए पहले मान लें कि कोण α और β निम्नलिखित शर्तों को पूरा करें:

1) इनमें से प्रत्येक कोण ऋणात्मक नहीं और कम है 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

मान लीजिए कि 0x अक्ष का धनात्मक भाग कोणों का उभयनिष्ठ प्रारंभिक पक्ष है α और β .

हम इन कोणों की अंतिम भुजाओं को क्रमशः 0A और 0B से निरूपित करते हैं। जाहिर है कोण α - β इसे उस कोण के रूप में माना जा सकता है जिसके द्वारा बीम 0B को बिंदु 0 के चारों ओर वामावर्त घुमाने की आवश्यकता होती है ताकि इसकी दिशा बीम 0A की दिशा से मेल खाए।

किरणों 0A और 0B पर हम बिंदु M और N को चिह्नित करते हैं, जो निर्देशांक 0 के मूल से 1 की दूरी पर स्थित हैं, ताकि 0M = 0N = 1 हो।

x0y समन्वय प्रणाली में, बिंदु M के निर्देशांक हैं ( क्योंकि α, पाप α), और बिंदु N निर्देशांक है ( क्योंकि β, पाप β). इसलिए, उनके बीच की दूरी का वर्ग है:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - syn β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + पाप 2 α - 2sin α पाप β + पाप 2 β = .

अपनी गणना में हमने पहचान का उपयोग किया

पाप 2 φ + क्योंकि 2 φ = 1.

अब एक अन्य समन्वय प्रणाली B0C पर विचार करें, जो 0x और 0y अक्षों को बिंदु 0 के चारों ओर एक कोण द्वारा वामावर्त घुमाकर प्राप्त किया जाता है। β .

इस समन्वय प्रणाली में, बिंदु M के निर्देशांक (cos ( α - β ), पाप ( α - β )), और बिंदु N निर्देशांक (1,0) है। इसलिए, उनके बीच की दूरी का वर्ग है:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ पाप 2 (α - β) = 2।

लेकिन बिंदु एम और एन के बीच की दूरी इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि हम किस समन्वय प्रणाली के संबंध में इन बिंदुओं पर विचार कर रहे हैं। इसीलिए

डी 1 2 = डी 2 2

2 (1 - cos α cos β - पाप α पाप β) = 2 .

यहीं पर सूत्र (2) अनुसरण करता है।

अब हमें उन दो प्रतिबंधों को याद रखना चाहिए जो हमने प्रस्तुतीकरण की सरलता के लिए कोणों पर लगाए थे α और β .

आवश्यकता यह है कि प्रत्येक कोने α और β गैर-नकारात्मक था, वास्तव में महत्वपूर्ण नहीं था। आख़िरकार, इनमें से किसी भी कोण में आप एक ऐसा कोण जोड़ सकते हैं जो 2 का गुणज हो, जो सूत्र (2) की वैधता को प्रभावित नहीं करेगा। इसी तरह, इनमें से प्रत्येक कोण से आप एक ऐसा कोण घटा सकते हैं जो का गुणज हो 2π. इसलिए हम ऐसा मान सकते हैं 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

शर्त भी नगण्य हो जाती है α > β . वास्तव में, यदि α < β , वह β >α ; इसलिए, फ़ंक्शन की समता दी गई है ओल एक्स , हम पाते हैं:

कॉस (α - β) = कॉस (β - α) = कॉस β कॉस α + सिन β सिन α,

जो मूलतः सूत्र (2) से मेल खाता है। तो सूत्र

cos (α - β) = cos α cos β + पाप α पाप β

सभी कोणों के लिए सत्य α और β . विशेष रूप से, इसमें प्रतिस्थापन β पर - β और यह देखते हुए कि फ़ंक्शन ओलएक्स सम है, और फ़ंक्शन पापएक्स अजीब, हमें मिलता है:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + पाप α पाप (-β) =

= क्योंकि α क्योंकि β - पाप α पाप β,

जो सूत्र (1) को सिद्ध करता है।

अत: सूत्र (1) और (2) सिद्ध हैं।

उदाहरण।

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + पाप 45° पाप 30° =

अभ्यास

1 . त्रिकोणमितीय तालिकाओं का उपयोग किए बिना गणना करें:

a) cos 17° cos 43° - पाप 17° पाप 43°;

बी) पाप 3° पाप 42° - cos 39° cos 42°;

ग) cos 29° cos 74° + पाप 29° पाप 74°;

घ) पाप 97° पाप 37° + कोस 37° क्योंकि 97°;

ई) कॉस 3π / 8 कॉस π / 8 + पाप 3π / 8 पाप π / 8 ;

ई) पाप 3π / 5 पाप 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5।

2.अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं:

ए)। क्योंकि( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

बी)। क्योंकि (36°+ α ) क्योंकि (24° - α ) + पाप (36° + α ) पाप ( α - 24°).

वी). पाप(π/4 - α ) पाप (π / 4+ α ) - कॉस (π / 4+ α ) क्योंकि (π / 4 - α )

घ) क्योंकि 2 α + टीजी α पाप 2 α .

3 . गणना :

ए) क्योंकि(α - β), अगर

क्योंकि α = - 2 / 5 , पाप β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

बी) क्योंकि ( α + π / 6), यदि कॉस α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . खोजो क्योंकि(α + β)और क्योंकि (α - β) ,यदि यह ज्ञात हो कि पाप है α = 7/25, क्योंकि β = - 5 / 13 और दोनों कोण ( α और β ) उसी तिमाही में समाप्त होगा।

5 .गणना करें:

ए)। कॉस [आर्क्सिन 1/3 + आर्ककोस 2/3]

बी)। कॉस [आर्क्सिन 1/3 - आर्ककोस (- 2/3)]।

वी). कॉस [आर्कटान 1/2 + आर्ककोस (-2)]