त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप विभिन्न सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। सभी तरीकों में से, सबसे आसान और सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला तरीका ऊंचाई को आधार की लंबाई से गुणा करना और फिर परिणाम को दो से विभाजित करना है। हालाँकि, यह विधि एकमात्र से बहुत दूर है। नीचे आप पढ़ सकते हैं कि विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

अलग से, हम विशिष्ट प्रकार के त्रिभुजों - आयताकार, समद्विबाहु और समबाहु के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर गौर करेंगे। हम प्रत्येक सूत्र के साथ एक संक्षिप्त व्याख्या देते हैं जो आपको इसका सार समझने में मदद करेगी।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की सार्वभौमिक विधियाँ

नीचे दिए गए सूत्र विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं। हम उनमें से प्रत्येक को समझेंगे:

• ए, बी, सी - जिस आकृति पर हम विचार कर रहे हैं उसकी तीन भुजाओं की लंबाई;
• r वृत्त की त्रिज्या है जिसे हमारे त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है;
• आर वृत्त की त्रिज्या है जिसे इसके चारों ओर वर्णित किया जा सकता है;
• α भुजाओं b और c से बने कोण का परिमाण है;
• β a और c के बीच के कोण का परिमाण है;
• γ भुजाओं a और b से बने कोण का परिमाण है;
• h हमारे त्रिभुज की ऊंचाई है, जो कोण α से भुजा a तक कम है;
• पी - पक्षों ए, बी और सी का आधा योग।

यह तार्किक रूप से स्पष्ट है कि आप इस प्रकार त्रिभुज का क्षेत्रफल क्यों ज्ञात कर सकते हैं। त्रिभुज को आसानी से एक समांतर चतुर्भुज में पूरा किया जा सकता है, जिसमें त्रिभुज की एक भुजा विकर्ण के रूप में कार्य करेगी। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी एक भुजा की लंबाई को उस पर खींची गई ऊंचाई के मान से गुणा करके पाया जाता है। विकर्ण इस सशर्त समांतर चतुर्भुज को 2 समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि हमारे मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सहायक समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए।

एस=½ ए बी पाप γ

इस सूत्र के अनुसार, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दो भुजाओं अर्थात a और b की लंबाई को उनसे बने कोण की ज्या से गुणा करके निकाला जाता है। यह सूत्र तार्किक रूप से पिछले सूत्र से लिया गया है। यदि हम कोण β से भुजा b तक की ऊँचाई कम करते हैं, तो, एक समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार, जब हम भुजा a की लंबाई को कोण γ की ज्या से गुणा करते हैं, तो हमें त्रिभुज की ऊँचाई प्राप्त होती है, अर्थात h .

प्रश्नाधीन आकृति का क्षेत्रफल उसमें अंकित की जा सकने वाली वृत्त की आधी त्रिज्या को उसके परिमाप से गुणा करके ज्ञात किया जाता है। दूसरे शब्दों में, हम उल्लिखित वृत्त की अर्ध-परिधि और त्रिज्या का गुणनफल ज्ञात करते हैं।

एस= ए बी सी/4आर

इस सूत्र के अनुसार, हमें जिस मूल्य की आवश्यकता है वह आकृति की भुजाओं के गुणनफल को उसके चारों ओर वर्णित वृत्त की 4 त्रिज्याओं से विभाजित करके पाया जा सकता है।

ये सूत्र सार्वभौमिक हैं, क्योंकि ये किसी भी त्रिभुज (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु, आयताकार) का क्षेत्रफल निर्धारित करना संभव बनाते हैं। यह अधिक जटिल गणनाओं का उपयोग करके किया जा सकता है, जिस पर हम विस्तार से ध्यान नहीं देंगे।

विशिष्ट गुणों वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इस आकृति की ख़ासियत यह है कि इसकी दोनों भुजाएँ एक साथ इसकी ऊँचाई हैं। यदि a और b पैर हैं, और c कर्ण बन जाता है, तो हम क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात करते हैं:

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसकी दो भुजाएँ a लंबाई वाली और एक भुजा b लंबाई वाली है। नतीजतन, इसका क्षेत्रफल कोण γ की ज्या द्वारा भुजा a के वर्ग के गुणनफल को 2 से विभाजित करके निर्धारित किया जा सकता है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसमें सभी भुजाओं की लंबाई a के बराबर होती है और सभी कोणों का परिमाण α होता है। इसकी ऊंचाई भुजा a की लंबाई और 3 के वर्गमूल के आधे गुणनफल के बराबर है। एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको भुजा a के वर्ग को 3 के वर्गमूल से गुणा करना होगा और इससे विभाजित करना होगा। 4.

त्रिभुज एक ऐसी आकृति है जिससे हर कोई परिचित है। और यह इसके रूपों की समृद्ध विविधता के बावजूद है। आयताकार, समबाहु, तीव्र, समद्विबाहु, कुंठित। उनमें से प्रत्येक किसी न किसी तरह से भिन्न है। लेकिन किसी के लिए भी आपको त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

सभी त्रिभुजों के लिए सामान्य सूत्र जो भुजाओं की लंबाई या ऊँचाई का उपयोग करते हैं

उनमें अपनाए गए पदनाम: पक्ष - ए, बी, सी; ए, एन इन, एन सी पर संबंधित पक्षों पर ऊंचाई।

1. एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना ½, एक भुजा और उससे घटाई गई ऊँचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है। एस = ½ * ए * एन ए। अन्य दोनों पक्षों के सूत्र इसी प्रकार लिखे जाने चाहिए।

2. हेरॉन का सूत्र, जिसमें अर्ध-परिधि दिखाई देती है (पूर्ण परिधि के विपरीत, इसे आमतौर पर छोटे अक्षर पी द्वारा दर्शाया जाता है)। अर्ध-परिधि की गणना इस प्रकार की जानी चाहिए: सभी भुजाओं को जोड़ें और उन्हें 2 से विभाजित करें। अर्ध-परिधि का सूत्र है: p = (a+b+c) / 2. फिर क्षेत्रफल के लिए समानता ​​चित्रा इस तरह दिखती है: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с))।

3. यदि आप अर्ध-परिधि का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो एक सूत्र जिसमें केवल भुजाओं की लंबाई शामिल है, उपयोगी होगा: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (ए + सी - सी) * (ए + बी - सी)). यह पिछले वाले की तुलना में थोड़ा लंबा है, लेकिन यदि आप अर्ध-परिधि का पता लगाना भूल गए हैं तो यह मदद करेगा।

त्रिभुज के कोणों से संबंधित सामान्य सूत्र

सूत्रों को पढ़ने के लिए आवश्यक नोटेशन: α, β, γ - कोण। वे क्रमशः a, b, c के विपरीत दिशा में स्थित हैं।

1. इसके अनुसार, दो भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल का आधा भाग त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। वह है: S = ½ a * b * पाप γ। अन्य दो मामलों के सूत्र इसी प्रकार लिखे जाने चाहिए।

2. किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना एक भुजा और तीन ज्ञात कोणों से की जा सकती है। एस = (ए 2 * पाप β * पाप γ) / (2 पाप α)।

3. एक ज्ञात भुजा और दो आसन्न कोणों वाला एक सूत्र भी है। यह इस तरह दिखता है: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β))।

अंतिम दो सूत्र सबसे सरल नहीं हैं. उन्हें याद रखना काफी मुश्किल है.

उन स्थितियों के लिए सामान्य सूत्र जहां अंकित या परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात होती हैं

अतिरिक्त पदनाम: आर, आर - त्रिज्या। पहले का उपयोग अंकित वृत्त की त्रिज्या के लिए किया जाता है। दूसरा वर्णित के लिए है।

1. पहला सूत्र जिसके द्वारा त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना की जाती है वह अर्ध-परिधि से संबंधित है। एस = आर * आर. इसे लिखने का दूसरा तरीका है: S = ½ r * (a + b + c)।

2. दूसरे मामले में, आपको त्रिभुज की सभी भुजाओं को गुणा करना होगा और उन्हें परिचालित वृत्त की त्रिज्या को चौगुना करके विभाजित करना होगा। शाब्दिक अभिव्यक्ति में यह इस तरह दिखता है: S = (a * b * c) / (4R)।

3. तीसरी स्थिति आपको पक्षों को जाने बिना ऐसा करने की अनुमति देती है, लेकिन आपको तीनों कोणों के मूल्यों की आवश्यकता होगी। एस = 2 आर 2 * पाप α * पाप β * पाप γ।

विशेष मामला: समकोण त्रिभुज

यह सबसे सरल स्थिति है, क्योंकि इसमें केवल दोनों पैरों की लंबाई की आवश्यकता होती है। उन्हें लैटिन अक्षरों ए और बी द्वारा नामित किया गया है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसमें जोड़े गए आयत के क्षेत्रफल के आधे के बराबर होता है।

गणितीय रूप से यह इस तरह दिखता है: S = ½ a * b. इसे याद रखना सबसे आसान है. क्योंकि यह एक आयत के क्षेत्रफल के सूत्र जैसा दिखता है, केवल एक अंश दिखाई देता है, जो आधे को दर्शाता है।

विशेष मामला: समद्विबाहु त्रिभुज

चूँकि इसकी दो बराबर भुजाएँ हैं, इसलिए इसके क्षेत्रफल के कुछ सूत्र कुछ हद तक सरल दिखते हैं। उदाहरण के लिए, हेरॉन का सूत्र, जो एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करता है, निम्नलिखित रूप लेता है:

एस = ½ इंच √((ए + ½ इंच)*(ए - ½ इंच))।

यदि आप इसे रूपांतरित करेंगे तो यह छोटा हो जाएगा। इस मामले में, समद्विबाहु त्रिभुज के लिए हेरॉन का सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

एस = ¼ इंच √(4 * ए 2 - बी 2)।

यदि भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो तो क्षेत्रफल सूत्र एक मनमाने त्रिभुज की तुलना में कुछ हद तक सरल दिखता है। एस = ½ ए 2 * पाप β।

विशेष मामला: समबाहु त्रिभुज

आमतौर पर समस्याओं में इसके बारे में पक्ष पता चल जाता है या किसी तरह से इसका पता लगाया जा सकता है। तो ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

एस = (ए 2 √3) / 4.

यदि त्रिभुज को चेकर पेपर पर दर्शाया गया है तो क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्याएँ

सबसे सरल स्थिति तब होती है जब एक समकोण त्रिभुज इस प्रकार बनाया जाता है कि उसके पैर कागज की रेखाओं से मेल खाते हैं। फिर आपको बस पैरों में फिट होने वाली कोशिकाओं की संख्या गिनने की जरूरत है। फिर उन्हें गुणा करें और दो से भाग दें।

जब त्रिभुज न्यून या अधिक कोण हो, तो उसे एक आयत में खींचने की आवश्यकता होती है। तब परिणामी आकृति में 3 त्रिभुज होंगे। एक वह है जो समस्या में दिया गया है। और अन्य दो सहायक और आयताकार हैं। अंतिम दो के क्षेत्रों को ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करके निर्धारित करने की आवश्यकता है। फिर आयत के क्षेत्रफल की गणना करें और उसमें से सहायक आयतों के लिए गणना की गई वस्तुओं को घटाएँ। त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित होता है.

वह स्थिति जिसमें त्रिभुज की कोई भी भुजा कागज की रेखाओं से मेल नहीं खाती, अधिक जटिल हो जाती है। फिर इसे एक आयत में अंकित करने की आवश्यकता है ताकि मूल आकृति के शीर्ष इसके किनारों पर स्थित हों। इस स्थिति में, तीन सहायक समकोण त्रिभुज होंगे।

हेरोन के सूत्र का उपयोग कर एक समस्या का उदाहरण

स्थिति। कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ ज्ञात होती हैं। वे 3, 5 और 6 सेमी के बराबर हैं। आपको इसका क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

अब आप उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। वर्गमूल के अंतर्गत चार संख्याओं का गुणनफल होता है: 7, 4, 2 और 1. यानी क्षेत्रफल √(4 * 14) = 2 √(14) है।

यदि अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो आप 14 का वर्गमूल ले सकते हैं। यह 3.74 के बराबर है। तब क्षेत्रफल 7.48 होगा।

उत्तर। एस = 2 √14 सेमी 2 या 7.48 सेमी 2।

समकोण त्रिभुज के साथ उदाहरण समस्या

स्थिति। एक समकोण त्रिभुज का एक पैर दूसरे से 31 सेमी बड़ा है। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 180 सेमी 2 है तो आपको उनकी लंबाई ज्ञात करनी होगी।
समाधान। हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना होगा। पहला क्षेत्र से संबंधित है. दूसरा, पैरों के अनुपात के साथ है, जो समस्या में दिया गया है।
180 = ½ ए * बी;

ए = बी + 31.
सबसे पहले, "ए" का मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। यह पता चला: 180 = ½ (में + 31) * में। इसमें केवल एक अज्ञात मात्रा है, इसलिए इसे हल करना आसान है। कोष्ठक खोलने के बाद, द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: 2 + 31 360 = 0। यह "इन" के लिए दो मान देता है: 9 और - 40। दूसरी संख्या उत्तर के रूप में उपयुक्त नहीं है, क्योंकि भुजा की लंबाई किसी त्रिभुज का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता।

यह दूसरे चरण की गणना करने के लिए बना हुआ है: परिणामी संख्या में 31 जोड़ें। यह 40 निकलता है। ये समस्या में मांगी गई मात्राएँ हैं।

उत्तर। त्रिभुज के पैर 9 और 40 सेमी हैं।

त्रिभुज के क्षेत्रफल, भुजा और कोण से होकर एक भुजा खोजने की समस्या

स्थिति। एक निश्चित त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 सेमी 2 है। इसकी एक भुजा की गणना करना आवश्यक है यदि दूसरी भुजा 15 सेमी है और उनके बीच का कोण 30º है।

समाधान। स्वीकृत संकेतन के आधार पर, वांछित पक्ष "ए" है, ज्ञात पक्ष "बी" है, दिया गया कोण "γ" है। फिर क्षेत्रफल सूत्र को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

60 = ½ ए * 15 * पाप 30º। यहां 30 डिग्री का साइन 0.5 है।

परिवर्तनों के बाद, "ए" 60 / (0.5 * 0.5 * 15) के बराबर हो जाता है। यानी 16.

उत्तर। आवश्यक भुजा 16 सेमी है।

समकोण त्रिभुज में अंकित एक वर्ग के बारे में समस्या

स्थिति। 24 सेमी भुजा वाले एक वर्ग का शीर्ष त्रिभुज के समकोण से मेल खाता है। अन्य दो किनारे पर पड़े हैं। तीसरा कर्ण का है। एक पैर की लंबाई 42 सेमी है। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

समाधान। दो समकोण त्रिभुजों पर विचार करें। पहला वह है जो कार्य में निर्दिष्ट है। दूसरा मूल त्रिभुज के ज्ञात पैर पर आधारित है। वे समान हैं क्योंकि उनमें एक उभयनिष्ठ कोण है और वे समानांतर रेखाओं से बने हैं।

तब उनके पैरों का अनुपात बराबर होता है। छोटे त्रिभुज की भुजाएँ 24 सेमी (वर्ग की भुजा) और 18 सेमी के बराबर हैं (यदि भुजा 42 सेमी है तो वर्ग की भुजा 24 सेमी घटाएँ)। एक बड़े त्रिभुज के संगत पैर 42 सेमी और x सेमी हैं। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए यह "x" आवश्यक है।

18/42 = 24/x, अर्थात, x = 24 * 42 / 18 = 56 (सेमी)।

तब क्षेत्रफल 56 और 42 को दो से विभाजित करने पर प्राप्त गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात 1176 सेमी 2।

उत्तर। आवश्यक क्षेत्रफल 1176 सेमी 2 है।

त्रिभुज सबसे सामान्य ज्यामितीय आकृतियों में से एक है, जिससे हम प्राथमिक विद्यालय में परिचित होते हैं। ज्यामिति पाठों में प्रत्येक छात्र के सामने यह प्रश्न आता है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। तो, किसी दी गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की किन विशेषताओं से पहचाना जा सकता है? इस लेख में हम ऐसे कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक बुनियादी सूत्रों को देखेंगे, और त्रिकोणों के प्रकारों का भी विश्लेषण करेंगे।

त्रिभुजों के प्रकार

आप किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल बिल्कुल अलग-अलग तरीकों से ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि ज्यामिति में तीन कोणों वाली एक से अधिक प्रकार की आकृतियाँ होती हैं। इन प्रकारों में शामिल हैं:

• कुंठित.
• समबाहु (सही)
• सही त्रिकोण।
• समद्विबाहु।

आइए प्रत्येक मौजूदा प्रकार के त्रिभुज पर करीब से नज़र डालें।

ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय यह ज्यामितीय आकृति सबसे आम मानी जाती है। जब एक मनमाना त्रिभुज बनाने की आवश्यकता उत्पन्न होती है, तो यह विकल्प बचाव में आता है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, जैसा कि नाम से पता चलता है, सभी कोण न्यूनकोण होते हैं और इनका योग 180° होता है।

इस प्रकार का त्रिभुज भी बहुत सामान्य है, लेकिन न्यूनकोण त्रिभुज की तुलना में कुछ हद तक कम सामान्य है। उदाहरण के लिए, त्रिभुजों को हल करते समय (अर्थात, इसकी कई भुजाएँ और कोण ज्ञात हैं और आपको शेष तत्वों को खोजने की आवश्यकता है), कभी-कभी आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि कोण अधिक है या नहीं। कोसाइन एक ऋणात्मक संख्या है.

बी, कोणों में से एक का मान 90° से अधिक है, इसलिए शेष दो कोण छोटे मान ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, 15° या 3° भी)।

इस प्रकार के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको कुछ बारीकियों को जानना होगा, जिनके बारे में हम बाद में बात करेंगे।

नियमित और समद्विबाहु त्रिभुज

एक नियमित बहुभुज एक आकृति है जिसमें n कोण शामिल होते हैं और जिनकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। यह एक नियमित त्रिभुज है। चूँकि एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है, तो तीनों कोणों में से प्रत्येक 60° का होता है।

एक नियमित त्रिभुज को उसके गुण के कारण समबाहु आकृति भी कहा जाता है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि एक नियमित त्रिभुज में केवल एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और इसके चारों ओर केवल एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और उनके केंद्र एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।

समबाहु प्रकार के अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज को भी अलग किया जा सकता है, जो इससे थोड़ा अलग है। ऐसे त्रिभुज में, दो भुजाएँ और दो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, और तीसरी भुजा (जिससे समान कोण सटे होते हैं) आधार होती है।

चित्र एक समद्विबाहु त्रिभुज DEF को दर्शाता है जिसके कोण D और F बराबर हैं और DF आधार है।

सही त्रिकोण

एक समकोण त्रिभुज का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसका एक कोण समकोण है, अर्थात 90° के बराबर। अन्य दो कोणों का योग 90° होता है।

ऐसे त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा, 90° के कोण के विपरीत स्थित, कर्ण है, जबकि शेष दो भुजाएँ पैर हैं। इस प्रकार के त्रिभुज के लिए, पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है:

पैरों की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।

यह चित्र कर्ण AC और पैरों AB और BC के साथ एक समकोण त्रिभुज BAC दिखाता है।

समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसके पैरों के संख्यात्मक मान जानने की आवश्यकता है।

आइए किसी दी गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों पर आगे बढ़ें।

क्षेत्रफल ज्ञात करने के मूल सूत्र

ज्यामिति में, दो सूत्र हैं जो अधिकांश प्रकार के त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त हैं, अर्थात् न्यूनकोण, अधिक, नियमित और समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए। आइए उनमें से प्रत्येक पर नजर डालें।

अगल-बगल और ऊंचाई से

जिस आकृति पर हम विचार कर रहे हैं उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए यह सूत्र सार्वभौमिक है। ऐसा करने के लिए, किनारे की लंबाई और उस पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई जानना पर्याप्त है। स्वयं सूत्र (आधार और ऊँचाई का आधा गुणनफल) इस प्रकार है:

जहां A किसी दिए गए त्रिभुज की भुजा है, और H त्रिभुज की ऊंचाई है।

उदाहरण के लिए, एक न्यूनकोण त्रिभुज ACB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी भुजा AB को ऊँचाई CD से गुणा करना होगा और परिणामी मान को दो से विभाजित करना होगा।

हालाँकि, इस तरह से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हमेशा आसान नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक त्रिभुज के लिए इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको इसकी एक भुजा का विस्तार करना होगा और उसके बाद ही उस पर एक ऊंचाई खींचनी होगी।

व्यवहार में, इस सूत्र का उपयोग दूसरों की तुलना में अधिक बार किया जाता है।

दोनों तरफ और कोने पर

यह सूत्र, पिछले सूत्र की तरह, अधिकांश त्रिभुजों के लिए उपयुक्त है और इसके अर्थ में त्रिभुज की भुजा और ऊँचाई द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का परिणाम है। अर्थात्, विचाराधीन सूत्र पिछले सूत्र से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इसका सूत्रीकरण इस प्रकार दिखता है:

एस = ½*sinO*ए*बी,

जहाँ A और B त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और O भुजाएँ A और B के बीच का कोण है।

आइए हम याद करें कि किसी कोण की ज्या को उत्कृष्ट सोवियत गणितज्ञ वी. एम. ब्रैडिस के नाम पर बनाई गई एक विशेष तालिका में देखा जा सकता है।

अब आइए अन्य सूत्रों पर चलते हैं जो केवल असाधारण प्रकार के त्रिभुजों के लिए उपयुक्त हैं।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

सार्वभौमिक सूत्र के अलावा, जिसमें एक त्रिभुज में ऊंचाई खोजने की आवश्यकता शामिल है, एक समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों से पाया जा सकता है।

इस प्रकार, समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल का आधा होता है, या:

जहाँ a और b एक समकोण त्रिभुज के पैर हैं।

नियमित त्रिकोण

इस प्रकार की ज्यामितीय आकृति इस मायने में भिन्न है कि इसका क्षेत्रफल इसकी केवल एक भुजा के संकेतित मान से पाया जा सकता है (क्योंकि एक नियमित त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं)। इसलिए, जब "भुजाओं के बराबर होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना" के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो आपको निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

एस = ए 2 *√3/4,

जहाँ A समबाहु त्रिभुज की भुजा है।

बगुला का सूत्र

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का अंतिम विकल्प हीरोन का सूत्र है। इसका उपयोग करने के लिए, आपको आकृति की तीनों भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है। बगुला का सूत्र इस प्रकार दिखता है:

एस = √पी·(पी - ए)·(पी - बी)·(पी - सी),

जहाँ a, b और c किसी दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

कभी-कभी समस्या दी जाती है: "एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई ज्ञात करना है।" इस मामले में, हमें एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने और उससे भुजा (या उसके वर्ग) का मान निकालने के लिए उस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है जो हम पहले से जानते हैं:

ए 2 = 4एस / √3.

परीक्षा कार्य

गणित में जीआईए समस्याओं में कई सूत्र हैं। इसके अलावा, अक्सर चेकर्ड पेपर पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, आकृति के किसी एक पक्ष की ऊंचाई खींचना, कोशिकाओं से इसकी लंबाई निर्धारित करना और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है:

अतः लेख में प्रस्तुत सूत्रों का अध्ययन करने के बाद आपको किसी भी प्रकार की त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में कोई परेशानी नहीं होगी।

त्रिभुज का क्षेत्रफल - समस्या समाधान के सूत्र और उदाहरण

नीचे दिया गया हैं एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रजो किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त हैं, चाहे उसके गुण, कोण या आकार कुछ भी हों। सूत्रों को चित्र के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, उनके अनुप्रयोग के स्पष्टीकरण या उनकी शुद्धता के औचित्य के साथ। इसके अलावा, एक अलग आंकड़ा सूत्रों में अक्षर प्रतीकों और ड्राइंग में ग्राफिक प्रतीकों के बीच पत्राचार को दर्शाता है।

टिप्पणी . यदि त्रिभुज में विशेष गुण हैं (समद्विबाहु, आयताकार, समबाहु), तो आप नीचे दिए गए सूत्रों के साथ-साथ अतिरिक्त विशेष सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं जो केवल इन गुणों वाले त्रिभुजों के लिए मान्य हैं:

• "समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र"

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

सूत्रों के लिए स्पष्टीकरण:
ए, बी, सी- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई जिसका क्षेत्रफल हम ज्ञात करना चाहते हैं
आर- त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या
आर- त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या
एच- त्रिभुज की ऊँचाई किनारे की ओर कम हो गई
पी- एक त्रिभुज का अर्ध-परिधि, इसकी भुजाओं का योग 1/2 (परिधि)
α - त्रिभुज की भुजा a के विपरीत कोण
β - त्रिभुज की भुजा b के विपरीत कोण
γ - त्रिभुज की भुजा c के विपरीत कोण
एच ए, एच बी , एच सी- त्रिभुज की ऊंचाई भुजाओं a, b, c से कम की गई है

कृपया ध्यान दें कि दिए गए नोटेशन ऊपर दिए गए चित्र के अनुरूप हैं, ताकि वास्तविक ज्यामिति समस्या को हल करते समय, आपके लिए सूत्र में सही स्थानों पर सही मानों को प्रतिस्थापित करना दृष्टिगत रूप से आसान हो जाएगा।

• त्रिभुज का क्षेत्रफल है त्रिभुज की ऊंचाई और उस भुजा की लंबाई के गुणनफल का आधा, जिससे यह ऊंचाई कम की गई है(सूत्र 1)। इस सूत्र की सत्यता को तार्किक रूप से समझा जा सकता है। आधार से नीचे की ऊंचाई एक मनमाना त्रिभुज को दो आयताकार त्रिभुजों में विभाजित कर देगी। यदि आप उनमें से प्रत्येक को आयाम b और h के साथ एक आयत में बनाते हैं, तो जाहिर है कि इन त्रिकोणों का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल के ठीक आधे के बराबर होगा (Spr = bh)
• त्रिभुज का क्षेत्रफल है इसकी दोनों भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल का आधा(सूत्र 2) (इस सूत्र का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण नीचे देखें)। भले ही यह पिछले वाले से अलग लगता है, लेकिन इसे आसानी से इसमें बदला जा सकता है। यदि हम कोण B से भुजा b तक की ऊंचाई कम करते हैं, तो यह पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में ज्या के गुणों के अनुसार, भुजा a और कोण γ की ज्या का गुणनफल, हमारे द्वारा बनाए गए त्रिभुज की ऊंचाई के बराबर है , जो हमें पिछला सूत्र देता है
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है के माध्यम से कामइसमें अंकित वृत्त की सभी भुजाओं की लंबाई के योग से आधी त्रिज्या(फॉर्मूला 3), सीधे शब्दों में कहें तो, आपको त्रिभुज की अर्ध-परिधि को अंकित वृत्त की त्रिज्या से गुणा करना होगा (यह याद रखना आसान है)
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी सभी भुजाओं के गुणनफल को उसके चारों ओर परिचालित वृत्त की 4 त्रिज्याओं से विभाजित करके पाया जा सकता है (सूत्र 4)
• फॉर्मूला 5 एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं की लंबाई और उसके अर्ध-परिधि (उसकी सभी भुजाओं के योग का आधा) के माध्यम से ज्ञात करना है
• बगुला का सूत्र(6) अर्ध-परिधि की अवधारणा का उपयोग किए बिना, केवल भुजाओं की लंबाई के माध्यम से उसी सूत्र का प्रतिनिधित्व है
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की भुजा के वर्ग और इस भुजा के निकटवर्ती कोणों की ज्याओं के गुणनफल के बराबर होता है जो इस भुजा के विपरीत कोण की दोहरी ज्या से विभाजित होता है (सूत्र 7)
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल इसके प्रत्येक कोण की ज्या द्वारा इसके चारों ओर परिचालित वृत्त के दो वर्गों के गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है। (फॉर्मूला 8)
• यदि एक भुजा की लंबाई और दो आसन्न कोणों का मान ज्ञात हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल इन कोणों के स्पर्शरेखाओं के दोगुने योग से विभाजित इस भुजा के वर्ग के रूप में पाया जा सकता है (सूत्र 9)
• यदि त्रिभुज की केवल प्रत्येक ऊंचाई की लंबाई ज्ञात हो (सूत्र 10), तो ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल इन ऊंचाइयों की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है, जैसा कि हेरॉन के सूत्र के अनुसार है
• फॉर्मूला 11 आपको गणना करने की अनुमति देता है एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके शीर्षों के निर्देशांक के आधार पर, जो प्रत्येक शीर्ष के लिए (x;y) मान के रूप में निर्दिष्ट हैं। कृपया ध्यान दें कि परिणामी मान को मॉड्यूलो के अनुसार लिया जाना चाहिए, क्योंकि व्यक्तिगत (या यहां तक ​​कि सभी) शीर्षों के निर्देशांक नकारात्मक मानों के क्षेत्र में हो सकते हैं

टिप्पणी. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्यामिति समस्याओं को हल करने के उदाहरण निम्नलिखित हैं। यदि आपको एक ज्यामिति समस्या को हल करने की आवश्यकता है जो यहां के समान नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। समाधानों में, "वर्गमूल" प्रतीक के बजाय, sqrt() फ़ंक्शन का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें sqrt वर्गमूल प्रतीक है, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया गया है.कभी-कभी सरल मौलिक अभिव्यक्तियों के लिए प्रतीक का उपयोग किया जा सकता है √

काम। दी गई दो भुजाओं का क्षेत्रफल और उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए

त्रिभुज की भुजाएँ 5 और 6 सेमी हैं। उनके बीच का कोण 60 डिग्री है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.

समाधान.

इस समस्या को हल करने के लिए, हम पाठ के सैद्धांतिक भाग से सूत्र संख्या दो का उपयोग करते हैं।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या से ज्ञात किया जा सकता है और यह बराबर होगा
एस=1/2 एबी पाप γ

चूँकि हमारे पास समाधान के लिए सभी आवश्यक डेटा हैं (सूत्र के अनुसार), हम केवल समस्या स्थितियों से मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
एस = 1/2 * 5 * 6 * पाप 60

त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की तालिका में, हम साइन 60 डिग्री के मान को व्यंजक में खोजेंगे और प्रतिस्थापित करेंगे। यह तीन गुना दो के मूल के बराबर होगा.
एस = 15 √3/2

उत्तर: 7.5 √3 (शिक्षक की आवश्यकताओं के आधार पर, आप संभवतः 15 √3/2 छोड़ सकते हैं)

काम। एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

3 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान ।

त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस = 1/4 वर्ग((ए + बी + सी)(बी + सी - ए)(ए + सी - बी)(ए + बी -सी))

चूँकि a = b = c, समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार होता है:

एस = √3/4 * ए 2

एस = √3 / 4 * 3 2

उत्तर: 9 √3 / 4.

काम। भुजाओं की लंबाई बदलते समय क्षेत्रफल में परिवर्तन

यदि त्रिभुज की भुजाएँ 4 गुना बढ़ा दी जाएँ तो त्रिभुज का क्षेत्रफल कितने गुना बढ़ जाएगा?

समाधान.

चूँकि त्रिभुज की भुजाओं के आयाम हमारे लिए अज्ञात हैं, समस्या को हल करने के लिए हम मानेंगे कि भुजाओं की लंबाई क्रमशः मनमानी संख्याओं a, b, c के बराबर है। फिर, समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे, और फिर हम उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे जिसकी भुजाएँ चार गुना बड़ी हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात हमें समस्या का उत्तर देगा।

नीचे हम चरण दर चरण समस्या के समाधान का पाठ्य विवरण प्रदान करते हैं। हालाँकि, अंत में, यही समाधान अधिक सुविधाजनक ग्राफ़िकल रूप में प्रस्तुत किया जाता है। जो लोग रुचि रखते हैं वे तुरंत समाधान पर जा सकते हैं।

हल करने के लिए, हम हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते हैं (पाठ के सैद्धांतिक भाग में ऊपर देखें)। यह इस तरह दिख रहा है:

एस = 1/4 वर्ग((ए + बी + सी)(बी + सी - ए)(ए + सी - बी)(ए + बी -सी))
(नीचे चित्र की पहली पंक्ति देखें)

एक मनमाना त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई चर a, b, c द्वारा निर्दिष्ट की जाती है।
यदि भुजाओं को 4 गुना बढ़ा दिया जाए, तो नए त्रिभुज c का क्षेत्रफल होगा:

एस 2 = 1/4 वर्ग((4ए + 4बी + 4सी)(4बी + 4सी - 4ए)(4ए + 4सी - 4बी)(4ए + 4बी -4सी))
(नीचे चित्र में दूसरी पंक्ति देखें)

जैसा कि आप देख सकते हैं, 4 एक सामान्य गुणनखंड है जिसे गणित के सामान्य नियमों के अनुसार सभी चार भावों से कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है।
तब

एस 2 = 1/4 वर्ग(4 * 4 * 4 * 4 (ए + बी + सी)(बी + सी - ए)(ए + सी - बी)(ए + बी -सी)) - चित्र की तीसरी पंक्ति पर
एस 2 = 1/4 वर्ग(256 (ए + बी + सी)(बी + सी - ए)(ए + सी - बी)(ए + बी -सी)) - चौथी पंक्ति

संख्या 256 का वर्गमूल पूरी तरह से निकाला गया है, तो चलिए इसे मूल के नीचे से निकालते हैं
एस 2 = 16 * 1/4 वर्ग((ए + बी + सी)(बी + सी - ए)(ए + सी - बी)(ए + बी -सी))
एस 2 = 4 वर्ग((ए + बी + सी)(बी + सी - ए)(ए + सी - बी)(ए + बी -सी))
(नीचे चित्र की पाँचवीं पंक्ति देखें)

समस्या में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें केवल परिणामी त्रिभुज के क्षेत्रफल को मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल से विभाजित करना होगा।
आइए हम भावों को एक-दूसरे से विभाजित करके और परिणामी अंश को कम करके क्षेत्र अनुपात निर्धारित करें।