भिन्न हर वाली भिन्न कैसे ज्ञात करें। सरल और मिश्रित भिन्नों को विभिन्न हरों से गुणा करना

अगली क्रिया जो साधारण भिन्नों के साथ की जा सकती है वह है घटाव। इस सामग्री में, हम देखेंगे कि समान और असमान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर की सही गणना कैसे करें, किसी प्राकृतिक संख्या से भिन्न को कैसे घटाएं और इसके विपरीत। सभी उदाहरणों को समस्याओं के साथ चित्रित किया जाएगा। आइए पहले ही स्पष्ट कर दें कि हम केवल उन मामलों की जांच करेंगे जहां भिन्नों के अंतर के परिणामस्वरूप सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है।

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समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर कैसे ज्ञात करें

आइए तुरंत एक स्पष्ट उदाहरण से शुरुआत करें: मान लीजिए कि हमारे पास एक सेब है जिसे आठ भागों में विभाजित किया गया है। आइए प्लेट में पांच हिस्से छोड़ दें और उनमें से दो ले लें. इस क्रिया को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

परिणामस्वरूप, हमारे पास 3 आठवां हिस्सा बचा है, क्योंकि 5 − 2 = 3। यह पता चला कि 5 8 - 2 8 = 3 8.

इस सरल उदाहरण से, हमने देखा कि घटाव नियम उन भिन्नों के लिए कैसे काम करता है जिनके हर समान हैं। आइए इसे तैयार करें.

परिभाषा 1

समान हर वाली भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको एक के अंश में से दूसरे के अंश को घटाना होगा और हर को वही छोड़ना होगा। इस नियम को a b - c b = a - c b के रूप में लिखा जा सकता है।

हम भविष्य में इस फॉर्मूले का उपयोग करेंगे.

आइए विशिष्ट उदाहरण लें.

उदाहरण 1

भिन्न 24 15 में से उभयनिष्ठ भिन्न 17 15 घटाएँ।

समाधान

हम देखते हैं कि इन भिन्नों के हर समान हैं। तो हमें बस 24 में से 17 घटाना है। हमें 7 प्राप्त होता है और इसमें हर को जोड़ने पर हमें 7 15 प्राप्त होता है।

हमारी गणना इस प्रकार लिखी जा सकती है: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

यदि आवश्यक हो, तो गिनती को अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए आप एक जटिल भिन्न को छोटा कर सकते हैं या एक अनुचित भिन्न से एक संपूर्ण भाग का चयन कर सकते हैं।

उदाहरण 2

अंतर ज्ञात कीजिए 37 12 - 15 12.

समाधान

आइए ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करें और गणना करें: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

यह नोटिस करना आसान है कि अंश और हर को 2 से विभाजित किया जा सकता है (हमने इस बारे में पहले ही बात की थी जब हमने विभाज्यता के संकेतों की जांच की थी)। उत्तर को संक्षिप्त करने पर हमें 11 6 प्राप्त होता है। यह एक अनुचित भिन्न है, जिसमें से हम पूरा भाग चुनेंगे: 11 6 = 1 5 6.

विभिन्न हर वाले भिन्नों का अंतर कैसे ज्ञात करें

इस गणितीय संक्रिया को उस स्तर तक घटाया जा सकता है जिसका वर्णन हम पहले ही ऊपर कर चुके हैं। ऐसा करने के लिए, हम बस आवश्यक भिन्नों को एक ही हर में घटा देते हैं। आइए एक परिभाषा बनाएं:

परिभाषा 2

अलग-अलग हर वाले भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, आपको उन्हें एक ही हर में घटाना होगा और अंशों के बीच अंतर ढूंढना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3

2 9 में से भिन्न 1 15 घटाएँ।

समाधान

हर अलग-अलग हैं, और आपको उन्हें सबसे छोटे सामान्य मान तक कम करने की आवश्यकता है। इस मामले में, एलसीएम 45 है। पहले अंश के लिए 5 के अतिरिक्त गुणनखंड की आवश्यकता होती है, और दूसरे के लिए - 3 की।

आइए गणना करें: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

हमारे पास समान हर वाले दो भिन्न हैं, और अब हम पहले वर्णित एल्गोरिदम का उपयोग करके आसानी से उनका अंतर पा सकते हैं: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

समाधान का संक्षिप्त सारांश इस प्रकार दिखता है: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45।

यदि आवश्यक हो तो परिणाम को कम करने या उसके पूरे हिस्से को अलग करने की उपेक्षा न करें। इस उदाहरण में हमें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 4

अंतर ज्ञात कीजिये 19 9 - 7 36.

समाधान

आइए शर्त में दर्शाए गए भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर 36 तक कम करें और क्रमशः 76 9 और 7 36 प्राप्त करें।

हम उत्तर की गणना करते हैं: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

परिणाम को 3 से घटाकर 23 12 प्राप्त किया जा सकता है। अंश, हर से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि हम पूरे भाग का चयन कर सकते हैं। अंतिम उत्तर 1 11 12 है।

संपूर्ण समाधान का संक्षिप्त सारांश 19 9 - 7 36 = 1 11 12 है।

एक सामान्य भिन्न से एक प्राकृतिक संख्या कैसे घटाएं

इस क्रिया को साधारण भिन्नों के सरल घटाव तक भी आसानी से घटाया जा सकता है। यह किसी प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करके किया जा सकता है। चलिए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

उदाहरण 5

अंतर ज्ञात कीजिए 83 21 – 3।

समाधान

3, 3 1 के समान है। फिर आप इसकी गणना इस प्रकार कर सकते हैं: 83 21 - 3 = 20 21.

यदि स्थिति में किसी अनुचित भिन्न से पूर्णांक घटाने की आवश्यकता होती है, तो पहले पूर्णांक को मिश्रित संख्या के रूप में लिखकर अलग करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर पिछले उदाहरण को अलग तरीके से हल किया जा सकता है।

भिन्न 83 21 से पूर्ण भाग को अलग करने पर 83 21 = 3 20 21 प्राप्त होता है।

अब इसमें से 3 घटाएं: 3 20 21 - 3 = 20 21।

किसी प्राकृत संख्या से भिन्न को कैसे घटाएं

यह क्रिया पिछले वाले की तरह ही की जाती है: हम प्राकृतिक संख्या को भिन्न के रूप में फिर से लिखते हैं, दोनों को एक ही हर में लाते हैं और अंतर पाते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करें।

उदाहरण 6

अंतर ज्ञात करें: 7 - 5 3।

समाधान

आइए 7 को एक भिन्न 7 1 बनाएं। हम घटाव करते हैं और पूरे भाग को अलग करते हुए अंतिम परिणाम को बदलते हैं: 7 - 5 3 = 5 1 3।

गणना करने का एक और तरीका है. इसके कुछ फायदे हैं जिनका उपयोग उन मामलों में किया जा सकता है जहां समस्या में भिन्नों के अंश और हर बड़ी संख्या में होते हैं।

परिभाषा 3

यदि जिस अंश को घटाया जाना है वह उचित है, तो जिस प्राकृतिक संख्या से हम घटा रहे हैं उसे दो संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, जिनमें से एक 1 के बराबर है। इसके बाद आपको इकाई में से वांछित भिन्न को घटाना होगा और उत्तर प्राप्त करना होगा।

उदाहरण 7

अंतर 1 065 - 13 62 की गणना करें।

समाधान

घटाई जाने वाली भिन्न एक उचित भिन्न है क्योंकि इसका अंश इसके हर से छोटा है। इसलिए, हमें 1065 में से एक घटाना होगा और उसमें से वांछित भिन्न घटाना होगा: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

अब हमें इसका उत्तर ढूंढना होगा. घटाव के गुणों का उपयोग करके, परिणामी अभिव्यक्ति को 1064 + 1 - 13 62 के रूप में लिखा जा सकता है। आइए कोष्ठक में अंतर की गणना करें। ऐसा करने के लिए, आइए इकाई को भिन्न 1 1 के रूप में कल्पना करें।

यह पता चला कि 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62।

आइए अब 1064 के बारे में याद रखें और उत्तर तैयार करें: 1064 49 62।

हम यह साबित करने के लिए पुरानी पद्धति का उपयोग करते हैं कि यह कम सुविधाजनक है। ये वे गणनाएँ हैं जिनके साथ हम आएंगे:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

उत्तर वही है, लेकिन गणनाएँ स्पष्ट रूप से अधिक बोझिल हैं।

हमने उस मामले को देखा जहां हमें एक उचित भिन्न को घटाने की आवश्यकता है। यदि यह गलत है, तो हम इसे मिश्रित संख्या से बदल देते हैं और परिचित नियमों के अनुसार घटा देते हैं।

उदाहरण 8

अंतर 644 - 73 5 की गणना करें।

समाधान

दूसरा अंश एक अनुचित भिन्न है, और पूरे भाग को इससे अलग किया जाना चाहिए।

अब हम पिछले उदाहरण की तरह ही गणना करते हैं: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

भिन्नों के साथ कार्य करते समय घटाने के गुण

प्राकृतिक संख्याओं को घटाने वाले गुण साधारण भिन्नों को घटाने के मामलों पर भी लागू होते हैं। आइए देखें कि उदाहरणों को हल करते समय उनका उपयोग कैसे करें।

उदाहरण 9

अंतर ज्ञात कीजिए 24 4 - 3 2 - 5 6.

समाधान

जब हम किसी संख्या से योग घटाने पर विचार करते हैं तो हम पहले ही इसी तरह के उदाहरण हल कर चुके हैं, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिदम का पालन करते हैं। सबसे पहले, आइए अंतर 25 4 - 3 2 की गणना करें, और फिर इसमें से अंतिम भिन्न घटाएँ:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

आइए उत्तर से संपूर्ण भाग को अलग करके उसे रूपांतरित करें। परिणाम - 3 11 12.

संपूर्ण समाधान का संक्षिप्त सारांश:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

यदि अभिव्यक्ति में अंश और प्राकृतिक संख्या दोनों शामिल हैं, तो गणना करते समय उन्हें प्रकार के आधार पर समूहित करने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 10

अंतर ज्ञात कीजिए 98 + 17 20 - 5 + 3 5.

समाधान

घटाव और जोड़ के मूल गुणों को जानने के बाद, हम संख्याओं को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

आइए गणना पूरी करें: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

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आठवीं कक्षा में स्कूल के विषय बीजगणित में अलग-अलग हर वाले भिन्नों को घटाने का अध्ययन मिलता है और यह कभी-कभी बच्चों के लिए समझने में कठिनाइयों का कारण बनता है। विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करें:

भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया जोड़ के समान है, क्योंकि यह संचालन के सिद्धांत को पूरी तरह से कॉपी करती है।

सबसे पहले, हम सबसे छोटी संख्या की गणना करते हैं जो दोनों हर का गुणज है।

दूसरे, हम प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को एक निश्चित संख्या से गुणा करते हैं जो हमें हर को दिए गए न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने की अनुमति देगा।

तीसरा, घटाव प्रक्रिया स्वयं तब होती है, जब अंत में हर को दोहराया जाता है, और दूसरे अंश के अंश को पहले से घटा दिया जाता है।

उदाहरण: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 पूर्ण 1/6

पहले आपको उन्हें एक ही हर में लाना होगा, और फिर घटाना होगा। उदाहरण के लिए, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. या, अधिक कठिन, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15। क्या आपको यह समझाने की आवश्यकता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे घटाया जाता है?

विभिन्न हरों के साथ साधारण भिन्नों को जोड़ने या घटाने जैसे ऑपरेशन करते समय, एक सरल नियम लागू होता है - इन भिन्नों के हरों को एक संख्या में घटा दिया जाता है, और ऑपरेशन स्वयं अंश में संख्याओं के साथ किया जाता है। अर्थात्, भिन्नों को एक सामान्य हर प्राप्त होता है और वे एक में संयोजित होते प्रतीत होते हैं। मनमाना भिन्नों के लिए एक सामान्य हर ढूँढना आम तौर पर प्रत्येक भिन्न को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करने तक ही सीमित होता है। लेकिन सरल मामलों में, आप तुरंत ऐसे कारक ढूंढ सकते हैं जो भिन्नों के हरों को एक ही संख्या में लाएंगे।

भिन्नों को घटाने का उदाहरण: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

कई वयस्क पहले ही भूल चुके हैं विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे घटाएं, लेकिन यह क्रिया प्रारंभिक गणित से संबंधित है।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना, आपको उन्हें एक उभयनिष्ठ हर में लाने की आवश्यकता है, अर्थात, हर का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें, फिर अंशों को लघुत्तम समापवर्तक और हर के अनुपात के बराबर अतिरिक्त कारकों से गुणा करें।

भिन्न चिह्न संरक्षित हैं. एक बार जब भिन्नों के हर समान हो जाएं, तो आप घटा सकते हैं, और फिर, यदि संभव हो, तो भिन्न को कम कर सकते हैं।

ऐलेना, क्या आपने अपना स्कूल गणित पाठ्यक्रम दोहराने का फैसला किया है?)))

विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, पहले उन्हें एक ही हर में घटाना होगा और फिर घटाना होगा। सबसे सरल विकल्प: पहले भिन्न के अंश और हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें, और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले भिन्न के हर से गुणा करें। हमें समान हर वाले दो भिन्न प्राप्त होते हैं। अब हम दूसरी भिन्न के अंश को पहली भिन्न के अंश से घटाते हैं, और उनका हर समान होता है।

उदाहरण के लिए, दो सातवें को घटाने पर तीन-पांचवां, दस पैंतीसवें को घटाने पर इक्कीस पैंतीसवें के बराबर होता है और यह ग्यारह पैंतीसवें के बराबर होता है।

यदि हर बड़ी संख्याएँ हैं, तो आप उनका लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कर सकते हैं, अर्थात्। एक संख्या जो एक और दूसरे हर से विभाज्य होगी। और दोनों भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर (न्यूनतम समापवर्तक) में लाएँ

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को कैसे घटाया जाए यह एक बहुत ही सरल कार्य है - हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और फिर अंश में घटाव करते हैं।

जब इन भिन्नों के आगे पूर्णांक होते हैं तो कई लोगों को कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है, इसलिए मैं निम्नलिखित उदाहरण के साथ यह दिखाना चाहता था कि इसे कैसे किया जाए:

पूर्ण भागों और विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को घटाना

पहले हम पूर्ण भागों को घटाते हैं 8-5 = 3 (तीन पहले अंश के पास रहते हैं);

हम भिन्नों को एक सामान्य हर 6 में लाते हैं (यदि पहले भिन्न का अंश दूसरे से बड़ा है, तो हम घटाव करते हैं और इसे पूरे भाग के आगे लिखते हैं, हमारे मामले में हम आगे बढ़ते हैं);

हम पूरे भाग 3 को 2 और 1 में विघटित करते हैं;

हम 1 को भिन्न 6/6 के रूप में लिखते हैं;

हम उभयनिष्ठ हर 6 के अंतर्गत 6/6+3/6-4/6 लिखते हैं और अंश में संक्रियाएँ करते हैं;

प्राप्त परिणाम को 2 5/6 लिखें।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि भिन्नों का हर समान हो तो उन्हें घटा दिया जाता है। इसलिए, जब हमारे पास अलग-अलग हर वाले भिन्न होते हैं, तो उन्हें बस एक सामान्य हर में लाने की आवश्यकता होती है, जो करना मुश्किल नहीं है। हमें बस प्रत्येक भिन्न के अंश का गुणनखंड करना होगा और लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करनी होगी, जो शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। अंशों को परिणामी अतिरिक्त कारकों से गुणा करना न भूलें, लेकिन सुविधा के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:



यदि आप असमान हर वाली भिन्नों को घटाना चाहते हैं, तो आपको पहले दो भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर खोजना होगा। और फिर पहले भिन्न के अंश में से दूसरा घटा दें। एक नया अंश प्राप्त होता है, एक नये अर्थ के साथ।

जहां तक ​​मुझे तीसरी कक्षा के गणित पाठ्यक्रम से याद है, विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, आपको पहले सामान्य हर की गणना करनी होगी और उसे कम करना होगा, और फिर अंशों को एक-दूसरे से घटाना होगा और हर वही रहेगा।

असमान हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, हमें सबसे पहले उन भिन्नों का सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर ज्ञात करना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:



बड़ी संख्या 25 को छोटी संख्या 20 से विभाजित करें। यह विभाज्य नहीं है। इसका मतलब है कि हम हर 25 को ऐसी संख्या से गुणा करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप योग को 20 से विभाजित किया जा सकता है। यह संख्या 4 होगी। 25x4=100। 100:20=5. इस प्रकार हमें सबसे कम सामान्य विभाजक - 100 मिला।

अब हमें प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात करना होगा। ऐसा करने के लिए, नए हर को पुराने से विभाजित करें।

9 को 4 से गुणा करें = 36। 7 को 5 से गुणा करें = 35।

एक सामान्य हर होने पर, हम उदाहरण में दिखाए अनुसार घटाव करते हैं और परिणाम प्राप्त करते हैं।

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... चर्चाएँ आज भी जारी हैं; वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार पर एक आम राय नहीं बना पाया है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे ; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक अगला खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं जिस बात पर विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

विकिपीडिया पर सेट और मल्टीसेट के बीच अंतर को बहुत अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। चलो देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बोलने वाले तोतों और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। आइए गणितज्ञ को समझाएं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बिलों में अलग-अलग बिल संख्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें एक ही तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था प्रत्येक सिक्के के लिए अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, यह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग डफ के साथ जादूगरों का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन यही कारण है कि वे जादूगर हैं, अपने वंशजों को अपने कौशल और ज्ञान सिखाएं, अन्यथा जादूगर बस खत्म हो जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "किसी संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ ढूंढने का प्रयास करें। वह अस्तित्व में नहीं है. गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिसका उपयोग किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सके। आख़िरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन ओझा इसे आसानी से कर सकते हैं।

आइए जानें कि किसी दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, आइए हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आइए क्रम से सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिख ​​लें। हमने क्या किया है? हमने संख्या को ग्राफिकल संख्या प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

2. हमने एक परिणामी चित्र को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काटा। किसी चित्र को काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. व्यक्तिगत ग्राफ़िक प्रतीकों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

4. परिणामी संख्याएँ जोड़ें। अब ये गणित है.

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये जादूगरों द्वारा पढ़ाए जाने वाले "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं जिनका उपयोग गणितज्ञ करते हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणितीय दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में कोई संख्या लिखते हैं। इसलिए, अलग-अलग संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। बड़ी संख्या 12345 के साथ, मैं अपना सिर मूर्ख नहीं बनाना चाहता, आइए लेख से संख्या 26 पर विचार करें। आइए इस संख्या को बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में लिखें। हम हर कदम को माइक्रोस्कोप के नीचे नहीं देखेंगे; हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइये परिणाम पर नजर डालते हैं.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे यदि आपने किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निर्धारित किया है, तो आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

शून्य सभी संख्या प्रणालियों में एक जैसा दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है। गणितज्ञों के लिए प्रश्न: वह चीज़ कैसी है जो गणित में निर्दिष्ट संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? मैं ओझाओं के लिए इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए नहीं। वास्तविकता सिर्फ संख्याओं के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के माप की इकाइयाँ हैं। आख़िरकार, हम संख्याओं की तुलना माप की विभिन्न इकाइयों से नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ समान क्रियाओं की तुलना करने पर अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? ऐसा तब होता है जब गणितीय ऑपरेशन का परिणाम संख्या के आकार, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

ओह! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- युवती! यह स्वर्ग में आरोहण के दौरान आत्माओं की अनिश्चित पवित्रता के अध्ययन के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर हेलो और ऊपर तीर. और कौन सा शौचालय?

महिला... शीर्ष पर प्रभामंडल और नीचे तीर पुरुष हैं।

यदि डिजाइन कला का ऐसा कोई काम आपकी आंखों के सामने दिन में कई बार चमकता है,

फिर यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आपको अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन मिले:

व्यक्तिगत रूप से, मैं शौच कर रहे व्यक्ति (एक चित्र) में माइनस चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की एक रचना: एक माइनस चिह्न, संख्या चार, डिग्री का एक पदनाम)। और मुझे नहीं लगता कि यह लड़की मूर्ख है जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों को समझने की एक मजबूत रूढ़ि है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है.

1ए "शून्य से चार डिग्री" या "एक ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल नोटेशन में "पूपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं वे स्वचालित रूप से एक संख्या और एक अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में समझते हैं।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ।

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

तो, भिन्न क्या हैं, भिन्न के प्रकार, परिवर्तन - हमें याद आया। चलिए मुख्य मुद्दे पर आते हैं.

आप भिन्नों के साथ क्या कर सकते हैं?हाँ, सब कुछ सामान्य संख्याओं जैसा ही है। जोड़ें, घटाएं, गुणा करें, भाग करें।

इन सभी क्रियाओं के साथ दशमलवभिन्नों के साथ काम करना पूर्ण संख्याओं के साथ काम करने से अलग नहीं है। वास्तव में, यही उनके बारे में अच्छा है, दशमलव वाले। केवल एक चीज यह है कि आपको अल्पविराम सही ढंग से लगाना होगा।

मिश्रित संख्याएँ, जैसा कि मैंने पहले ही कहा, अधिकांश कार्यों के लिए बहुत कम उपयोग के हैं। उन्हें अभी भी साधारण भिन्नों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।

लेकिन कार्रवाई के साथ साधारण अंशवे अधिक चालाक होंगे. और भी बहुत अधिक महत्वपूर्ण! मैं तुम्हें याद दिलाना चाहता हूं: अक्षरों, ज्या, अज्ञात इत्यादि के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्ति वाली सभी क्रियाएं सामान्य भिन्न वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं! साधारण भिन्नों वाली संक्रियाएँ सभी बीजगणित का आधार हैं। यही कारण है कि हम यहां इस पूरे अंकगणित का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों को जोड़ना और घटाना.

हर कोई समान हर वाले भिन्नों को जोड़ (घटा) सकता है (मुझे सचमुच उम्मीद है!)। खैर, मैं उन लोगों को याद दिला दूं जो पूरी तरह से भुलक्कड़ हैं: जोड़ने (घटाने) पर हर नहीं बदलता है। परिणाम का अंश देने के लिए अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है। प्रकार:

संक्षेप में, सामान्य शब्दों में:

यदि हर भिन्न हों तो क्या होगा? फिर, भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके (यहाँ यह फिर से काम आता है!), हम हर को समान बनाते हैं! उदाहरण के लिए:

यहां हमें भिन्न 2/5 से भिन्न 4/10 बनाना था। हरों को समान बनाने के एकमात्र उद्देश्य के लिए। मुझे ध्यान दें, बस मामले में, 2/5 और 4/10 हैं वही अंश! केवल 2/5 हमारे लिए असुविधाजनक हैं, और 4/10 वास्तव में ठीक हैं।

वैसे, गणित की किसी भी समस्या को हल करने का यही सार है। जब हम से असुविधाजनकहम अभिव्यक्ति करते हैं वही बात, लेकिन हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक.

एक और उदाहरण:

स्थिति ऐसी ही है. यहां हम 16 से 48 बनाते हैं। 3 से सरल गुणा करके। यह सब स्पष्ट है। लेकिन हमारे सामने कुछ ऐसा आया:

हो कैसे?! सात में से नौ बनाना कठिन है! लेकिन हम होशियार हैं, हम नियम जानते हैं! आइए परिवर्तन करें प्रत्येकभिन्न ताकि हर समान हों। इसे "एक सामान्य विभाजक को कम करना" कहा जाता है:

बहुत खूब! मुझे 63 के बारे में कैसे पता चला? बहुत सरल! 63 एक ऐसी संख्या है जो एक ही समय में 7 और 9 से विभाज्य है। ऐसी संख्या सदैव हरों को गुणा करके प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी संख्या को 7 से गुणा करें, तो परिणाम निश्चित रूप से 7 से विभाज्य होगा!

यदि आपको कई भिन्नों को जोड़ने (घटाने) की आवश्यकता है, तो इसे चरण दर चरण जोड़े में करने की आवश्यकता नहीं है। आपको बस सभी भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर को ढूंढना होगा और प्रत्येक भिन्न को इसी हर में घटाना होगा। उदाहरण के लिए:

और सामान्य विभाजक क्या होगा? बेशक, आप 2, 4, 8, और 16 को गुणा कर सकते हैं। हमें 1024 मिलता है। दुःस्वप्न। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या 16, 2, 4 और 8 से पूर्णतः विभाज्य है। इसलिए, इन संख्याओं से 16 प्राप्त करना आसान है। यह संख्या उभयनिष्ठ हर होगी। आइए 1/2 को 8/16 में, 3/4 को 12/16 में बदल दें, इत्यादि।

वैसे, यदि आप 1024 को सामान्य भाजक के रूप में लेते हैं, तो सब कुछ काम करेगा, अंत में सब कुछ कम हो जाएगा। लेकिन गणनाओं के कारण हर कोई इस अंत तक नहीं पहुंच पाएगा...

उदाहरण स्वयं पूरा करें. किसी प्रकार का लघुगणक नहीं... यह 29/16 होना चाहिए।

तो, भिन्नों का जोड़ (घटाना) स्पष्ट है, मुझे आशा है? बेशक, अतिरिक्त मल्टीप्लायरों के साथ, संक्षिप्त संस्करण में काम करना आसान है। लेकिन यह आनंद उन्हें मिलता है जिन्होंने निचली कक्षा में ईमानदारी से काम किया... और कुछ भी नहीं भूले।

और अब हम वही क्रियाएं करेंगे, लेकिन भिन्नों के साथ नहीं, बल्कि भिन्नों के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ. नई रेक का खुलासा यहां होगा, हां...

इसलिए, हमें दो भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ जोड़ने की आवश्यकता है:

हमें हरों को समान बनाना होगा। और केवल मदद से गुणा! भिन्न का मुख्य गुण यही निर्देशित करता है। इसलिए, मैं हर के पहले भिन्न में X में एक नहीं जोड़ सकता। (वह अच्छा रहेगा!)। लेकिन यदि आप हरों को गुणा करें, तो आप देखेंगे, सब कुछ एक साथ बढ़ता है! इसलिए हम भिन्न की पंक्ति लिखते हैं, शीर्ष पर एक खाली जगह छोड़ते हैं, फिर उसे जोड़ते हैं, और नीचे हर का गुणनफल लिखते हैं, ताकि भूल न जाएं:

और, निःसंदेह, हम दाईं ओर कुछ भी गुणा नहीं करते हैं, हम कोष्ठक नहीं खोलते हैं! और अब, दाईं ओर सामान्य हर को देखते हुए, हमें एहसास होता है: पहले अंश में हर x(x+1) प्राप्त करने के लिए, आपको इस अंश के अंश और हर को (x+1) से गुणा करना होगा। . और दूसरे अंश में - x तक। यही है जो तुम्हें मिला:

टिप्पणी! यहाँ कोष्ठक हैं! यह वह रेक है जिस पर बहुत से लोग कदम रखते हैं। निस्संदेह, कोष्ठक नहीं, बल्कि उनकी अनुपस्थिति। कोष्ठक इसलिए दिखाई देते हैं क्योंकि हम गुणा कर रहे हैं सभीअंश और सभीभाजक! और उनके अलग-अलग टुकड़े नहीं...

दाहिनी ओर के अंश में हम अंशों का योग लिखते हैं, सब कुछ संख्यात्मक भिन्नों के समान है, फिर हम दाहिनी ओर के अंश में कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात। हम हर चीज़ को गुणा करते हैं और समान देते हैं। हर में कोष्ठक खोलने या कुछ भी गुणा करने की कोई आवश्यकता नहीं है! सामान्य तौर पर, हर (किसी भी) में उत्पाद हमेशा अधिक सुखद होता है! हम पाते हैं:

तो हमें जवाब मिल गया. यह प्रक्रिया लंबी और कठिन लगती है, लेकिन यह अभ्यास पर निर्भर करती है। एक बार जब आप उदाहरणों को हल कर लेंगे, इसकी आदत डाल लेंगे, तो सब कुछ सरल हो जाएगा। जो लोग नियत समय में भिन्नों में महारत हासिल कर लेते हैं, वे ये सभी क्रियाएं एक बाएं हाथ से स्वचालित रूप से करते हैं!

और एक और नोट. कई लोग भिन्नों को चतुराई से निपटाते हैं, लेकिन उदाहरणों पर अटक जाते हैं साबुतनंबर. जैसे: 2 + 1/2 + 3/4= ? टू-पीस कहाँ बांधें? आपको इसे कहीं भी बांधने की जरूरत नहीं है, आपको दो का एक अंश बनाने की जरूरत है। यह आसान नहीं है, लेकिन बहुत सरल है! 2=2/1. इस कदर। किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। अंश ही संख्या है, हर एक है। 7 है 7/1, 3 है 3/1 इत्यादि। अक्षरों के साथ भी ऐसा ही है. (ए+बी) = (ए+बी)/1, एक्स=एक्स/1, आदि। और फिर हम इन भिन्नों के साथ सभी नियमों के अनुसार काम करते हैं।

खैर, भिन्नों के जोड़-घटाव का ज्ञान ताज़ा हो गया। भिन्नों को एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित करना दोहराया गया। आप भी जांच करा सकते हैं. क्या हम इसे थोड़ा सुलझा लें?)

गणना करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

भिन्नों का गुणा/विभाजन - अगले पाठ में। भिन्नों के साथ सभी संक्रियाओं के लिए भी कार्य हैं।

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सबसे महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक, जिसका अनुप्रयोग रसायन विज्ञान, भौतिकी और यहां तक ​​कि जीव विज्ञान जैसे विषयों में भी देखा जा सकता है, गणित है। इस विज्ञान का अध्ययन आपको कुछ मानसिक गुणों को विकसित करने और ध्यान केंद्रित करने की क्षमता में सुधार करने की अनुमति देता है। गणित पाठ्यक्रम में विशेष ध्यान देने योग्य विषयों में से एक है भिन्नों को जोड़ना और घटाना। कई विद्यार्थियों को पढ़ाई करने में कठिनाई होती है। शायद हमारा लेख आपको इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।

उन भिन्नों को कैसे घटाएं जिनके हर समान हों

भिन्न वही संख्याएँ हैं जिनके साथ आप विभिन्न कार्य कर सकते हैं। पूर्ण संख्याओं से उनका अंतर हर की उपस्थिति में होता है। इसीलिए, भिन्नों के साथ संक्रिया करते समय, आपको उनकी कुछ विशेषताओं और नियमों का अध्ययन करने की आवश्यकता होती है। सबसे सरल मामला सामान्य भिन्नों का घटाव है जिनके हर को समान संख्या के रूप में दर्शाया जाता है। यदि आप एक सरल नियम जानते हैं तो यह क्रिया करना कठिन नहीं होगा:

• एक भिन्न में से दूसरा घटाने के लिए, घटाए गए भिन्न के अंश में से घटाए गए भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक है। हम इस संख्या को अंतर के अंश में लिखते हैं, और हर को वही छोड़ देते हैं: k/m - b/m = (k-b)/m।

भिन्नों को घटाने के उदाहरण जिनके हर समान हैं

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

भिन्न "7" के अंश में से हम घटाए जाने वाले भिन्न "3" के अंश को घटाते हैं, हमें "4" प्राप्त होता है। हम इस संख्या को उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में हम वही संख्या डालते हैं जो पहले और दूसरे भिन्न के हर में थी - "19"।

नीचे दी गई तस्वीर इसी तरह के कई और उदाहरण दिखाती है।

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें जहां समान हर वाले भिन्नों को घटाया जाता है:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

भिन्न के अंश "29" से बाद के सभी भिन्नों के अंश - "3", "8", "2", "7" को बारी-बारी से घटाकर कम किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें परिणाम "9" मिलता है, जिसे हम उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में हम वह संख्या लिखते हैं जो इन सभी भिन्नों के हर में है - "47"।

उन भिन्नों को जोड़ना जिनका हर समान हो

साधारण भिन्नों को जोड़ना और घटाना एक ही सिद्धांत का पालन करता है।

• भिन्नों को जोड़ने के लिए जिनके हर समान हैं, आपको अंशों को जोड़ना होगा। परिणामी संख्या योग का अंश है, और हर वही रहेगा: k/m + b/m = (k + b)/m।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके देखें कि यह कैसा दिखता है:

1/4 + 2/4 = 3/4.

भिन्न के पहले पद के अंश में - "1" - भिन्न के दूसरे पद के अंश में - "2" जोड़ें। परिणाम - "3" - को योग के अंश में लिखा जाता है, और हर को वही छोड़ दिया जाता है जो भिन्नों में मौजूद है - "4"।

विभिन्न हर वाले भिन्न और उनका घटाव

हम पहले ही उन भिन्नों के साथ संक्रिया पर विचार कर चुके हैं जिनका हर समान है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सरल नियमों को जानकर ऐसे उदाहरणों को हल करना काफी आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको अलग-अलग हर वाले भिन्नों के साथ एक ऑपरेशन करने की ज़रूरत है? कई माध्यमिक विद्यालय के छात्र ऐसे उदाहरणों से भ्रमित होते हैं। लेकिन यहां भी, यदि आप समाधान के सिद्धांत को जानते हैं, तो उदाहरण अब आपके लिए कठिन नहीं होंगे। यहां एक नियम भी है, जिसके बिना ऐसे भिन्नों को हल करना असंभव है।

विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, उन्हें एक ही सबसे छोटे हर में घटाया जाना चाहिए।



यह कैसे करें, इसके बारे में हम अधिक विस्तार से बात करेंगे।

भिन्न का गुण

कई भिन्नों को एक ही हर में लाने के लिए, आपको समाधान में भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करने की आवश्यकता है: अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा करने के बाद, आपको दिए गए अंश के बराबर एक भिन्न मिलता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न 2/3 में हर जैसे "6", "9", "12" आदि हो सकते हैं, अर्थात, यह किसी भी संख्या का रूप ले सकता है जो "3" का गुणज हो। जब हम अंश और हर को "2" से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्न 4/6 प्राप्त होता है। मूल भिन्न के अंश और हर को "3" से गुणा करने के बाद, हमें 6/9 मिलता है, और यदि हम संख्या "4" के साथ समान ऑपरेशन करते हैं, तो हमें 8/12 मिलता है। एक समानता इस प्रकार लिखी जा सकती है:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

एकाधिक भिन्नों को एक ही हर में कैसे बदलें

आइए देखें कि एकाधिक भिन्नों को एक ही हर में कैसे कम किया जाए। उदाहरण के लिए, आइए नीचे चित्र में दिखाए गए भिन्नों को लें। सबसे पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी संख्या उन सभी के लिए हर बन सकती है। चीजों को आसान बनाने के लिए, आइए मौजूदा हरों का गुणनखंड करें।

भिन्न 1/2 और भिन्न 2/3 के हर का गुणनखंडन नहीं किया जा सकता। हर 7/9 के दो गुणनखंड हैं 7/9 = 7/(3 x 3), भिन्न का हर 5/6 = 5/(2 x 3)। अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि इन सभी चार भिन्नों के लिए कौन से कारक सबसे छोटे होंगे। चूँकि पहले अंश में हर में संख्या "2" है, इसका मतलब है कि यह सभी हर में मौजूद होना चाहिए; अंश 7/9 में दो त्रिक हैं, जिसका मतलब है कि वे दोनों भी हर में मौजूद होने चाहिए। उपरोक्त को ध्यान में रखते हुए, हम यह निर्धारित करते हैं कि हर में तीन कारक होते हैं: 3, 2, 3 और 3 x 2 x 3 = 18 के बराबर है।



आइए पहले अंश पर विचार करें - 1/2। इसके हर में एक "2" है, लेकिन एक भी "3" अंक नहीं है, लेकिन दो होने चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम हर को दो त्रिगुणों से गुणा करते हैं, लेकिन, भिन्न के गुण के अनुसार, हमें अंश को दो त्रिगुणों से गुणा करना होगा:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

हम शेष भिन्नों के साथ भी यही कार्य करते हैं।

• 2/3 - हर में एक तीन और एक दो गायब हैं:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 या 7/(3 x 3) - हर में दो नहीं है:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 या 5/(2 x 3) - हर में तीन गायब है:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

सब मिलाकर यह इस तरह दिखता है:



भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे घटाएँ और जोड़ें

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अलग-अलग हर वाले भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें एक ही हर में घटाया जाना चाहिए, और फिर समान हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए नियमों का उपयोग करना चाहिए, जिन पर पहले ही चर्चा की जा चुकी है।

आइए इसे एक उदाहरण के रूप में देखें: 4/18 - 3/15।

संख्या 18 और 15 का गुणज ज्ञात करना:

• संख्या 18 3 x 2 x 3 से मिलकर बनी है।
• संख्या 15, 5 x 3 से बनी है।
• सामान्य गुणक निम्नलिखित गुणनखंड होंगे: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

हर मिलने के बाद, उस कारक की गणना करना आवश्यक है जो प्रत्येक अंश के लिए अलग होगा, यानी वह संख्या जिसके द्वारा न केवल हर, बल्कि अंश को भी गुणा करना आवश्यक होगा। ऐसा करने के लिए, हमें जो संख्या मिली (सामान्य गुणज) उसे भिन्न के हर से विभाजित करें जिसके लिए अतिरिक्त कारकों को निर्धारित करने की आवश्यकता है।

• 90 को 15 से विभाजित करने पर परिणामी संख्या "6" 3/15 का गुणक होगी।
• 90 को 18 से विभाजित करने पर परिणामी संख्या "5" 4/18 का गुणक होगी।

हमारे समाधान का अगला चरण प्रत्येक भिन्न को हर "90" तक कम करना है।

यह कैसे किया जाता है इसके बारे में हम पहले ही बात कर चुके हैं। आइए देखें कि इसे एक उदाहरण में कैसे लिखा जाता है:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45।

यदि भिन्नों में छोटी संख्याएँ हैं, तो आप सामान्य हर निर्धारित कर सकते हैं, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाए गए उदाहरण में है।



अलग-अलग भाजक वाले लोगों के लिए भी यही सच है।

घटाव और पूर्णांक भाग होना

भिन्नों को घटाने और जोड़ने पर हम पहले ही विस्तार से चर्चा कर चुके हैं। लेकिन यदि किसी भिन्न में पूर्णांक भाग हो तो उसे कैसे घटाया जाए? आइए फिर से कुछ नियमों का उपयोग करें:

• पूर्णांक वाले सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलें। सरल शब्दों में, एक पूरा भाग हटा दें। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग की संख्या को भिन्न के हर से गुणा करें, और परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ें। इन क्रियाओं के बाद जो संख्या निकलती है वह अनुचित भिन्न का अंश है। हर अपरिवर्तित रहता है.
• यदि भिन्नों के हर अलग-अलग हों तो उन्हें घटाकर एक ही हर कर दिया जाना चाहिए।
• समान हर के साथ जोड़ या घटाव करें।
• अनुचित भिन्न प्राप्त होने पर संपूर्ण भाग का चयन करें.



एक और तरीका है जिससे आप पूर्ण भागों के साथ भिन्नों को जोड़ और घटा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, पूरे भागों के साथ क्रियाएं अलग-अलग की जाती हैं, और अंशों के साथ क्रियाएं अलग-अलग की जाती हैं, और परिणाम एक साथ रिकॉर्ड किए जाते हैं।



दिए गए उदाहरण में वे भिन्न शामिल हैं जिनका हर समान है। ऐसे मामले में जब हर अलग-अलग हों, तो उन्हें एक ही मूल्य पर लाया जाना चाहिए, और फिर उदाहरण में दिखाए अनुसार क्रियाएं करें।

पूर्ण संख्याओं में से भिन्नों को घटाना

भिन्नों के साथ एक अन्य प्रकार की संक्रिया तब होती है जब भिन्न को घटाना पड़ता है। पहली नज़र में, ऐसे उदाहरण को हल करना मुश्किल लगता है। हालाँकि, यहाँ सब कुछ काफी सरल है। इसे हल करने के लिए, आपको पूर्णांक को भिन्न में बदलना होगा, और उसी हर के साथ जो घटाए गए भिन्न में है। इसके बाद, हम समान हर के साथ घटाव के समान एक घटाव करते हैं। एक उदाहरण में यह इस तरह दिखता है:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9।

इस आलेख में प्रस्तुत भिन्नों का घटाव (ग्रेड 6) अधिक जटिल उदाहरणों को हल करने का आधार है जो बाद के ग्रेड में शामिल किए गए हैं। इस विषय का ज्ञान बाद में फ़ंक्शंस, डेरिवेटिव्स आदि को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। इसलिए, ऊपर चर्चा की गई भिन्नों के साथ संक्रियाओं को समझना और समझना बहुत महत्वपूर्ण है।