तीन वेक्टरों और उसके गुणों का मिश्रित उत्पाद

मिश्रित कार्यतीन सदिशों के बराबर संख्या कहलाती है। मनोनीत . यहां पहले दो सदिशों को सदिशीय रूप से गुणा किया जाता है और फिर परिणामी सदिश को तीसरे सदिश द्वारा अदिशीय रूप से गुणा किया जाता है। जाहिर है, ऐसा उत्पाद एक निश्चित संख्या है।

आइए मिश्रित उत्पाद के गुणों पर विचार करें।

1. ज्यामितीय अर्थमिश्रित कार्य. एक चिह्न तक 3 सदिशों का मिश्रित गुणनफल, इन सदिशों पर, किनारों पर, यानी बने समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है। .

   इस प्रकार, और .

   

   सबूत. आइए सदिशों को सामान्य मूल से अलग रखें और उन पर एक समांतर चतुर्भुज बनाएं। आइए हम इसे निरूपित करें और नोट करें। अदिश उत्पाद की परिभाषा के अनुसार

   ऐसा मानकर और निरूपित करके एचसमांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

   इस प्रकार, जब

   यदि, तो ऐसा है. इस तरह, ।

   इन दोनों स्थितियों को मिलाने पर हमें या प्राप्त होता है।

   इस संपत्ति के प्रमाण से, विशेष रूप से, यह पता चलता है कि यदि वैक्टर का त्रिक दाएं हाथ वाला है, तो मिश्रित उत्पाद है, और यदि यह बाएं हाथ वाला है, तो।

2. किसी भी सदिश के लिए, समानता सत्य है

   इस संपत्ति का प्रमाण संपत्ति 1 से मिलता है। वास्तव में, यह दिखाना आसान है कि और। इसके अलावा, "+" और "-" चिन्ह एक साथ लिए जाते हैं, क्योंकि सदिशों और तथा तथा के बीच के कोण न्यून एवं अधिक कोण दोनों हैं।

3. जब किन्हीं दो कारकों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो मिश्रित उत्पाद का चिह्न बदल जाता है।

   वास्तव में, यदि हम एक मिश्रित उत्पाद पर विचार करते हैं, तो, उदाहरण के लिए, या

4. एक मिश्रित उत्पाद यदि और केवल तभी जब कारकों में से एक शून्य के बराबर हो या वेक्टर समतलीय हों।

   सबूत.

   इस प्रकार, 3 सदिशों की समतलीयता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनका मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर हो। इसके अलावा, यह इस प्रकार है कि तीन वैक्टर अंतरिक्ष में एक आधार बनाते हैं यदि।

   यदि सदिशों को निर्देशांक रूप में दिया गया है, तो यह दिखाया जा सकता है कि उनका मिश्रित उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है:

   .

   इस प्रकार, मिश्रित उत्पाद तीसरे क्रम के निर्धारक के बराबर है, जिसमें पहली पंक्ति में पहले वेक्टर के निर्देशांक, दूसरी पंक्ति में दूसरे वेक्टर के निर्देशांक और तीसरी पंक्ति में तीसरे वेक्टर के निर्देशांक हैं।

   उदाहरण.

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति

समीकरण एफ(एक्स, वाई, जेड)= 0 अंतरिक्ष में परिभाषित करता है ऑक्सीज़कुछ सतह, यानी उन बिंदुओं का स्थान जिनके निर्देशांक हैं एक्स, वाई, जेडइस समीकरण को संतुष्ट करें. इस समीकरण को सतह समीकरण कहा जाता है, और एक्स, वाई, जेड-वर्तमान निर्देशांक.

हालाँकि, अक्सर सतह को किसी समीकरण द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, बल्कि अंतरिक्ष में बिंदुओं के एक समूह के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है जिसमें कोई न कोई गुण होता है। इस मामले में, इसके ज्यामितीय गुणों के आधार पर सतह का समीकरण खोजना आवश्यक है।

विमान।

सामान्य विमान वेक्टर.

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण

आइए हम अंतरिक्ष में एक मनमाना विमान σ पर विचार करें। इसकी स्थिति इस तल पर लंबवत एक वेक्टर और कुछ निश्चित बिंदु निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है एम 0(एक्स 0, य 0, z 0), σ समतल में पड़ा हुआ।

समतल σ के लंबवत सदिश को कहा जाता है सामान्यइस विमान का वेक्टर. मान लीजिए कि वेक्टर में निर्देशांक हैं।

आइए हम इस बिंदु से गुजरने वाले समतल σ का समीकरण प्राप्त करें एम 0और एक सामान्य वेक्टर होना। ऐसा करने के लिए, समतल σ पर एक मनमाना बिंदु लें एम(एक्स, वाई, जेड)और वेक्टर पर विचार करें.

किसी भी बिंदु के लिए एमО σ एक सदिश है इसलिए, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है। यह समानता ही शर्त है कि बिंदु एमओ σ. यह इस विमान के सभी बिंदुओं के लिए मान्य है और बिंदु के तुरंत बाद इसका उल्लंघन होता है एमσ तल के बाहर होगा।

यदि हम बिंदुओं को त्रिज्या सदिश द्वारा निरूपित करते हैं एम, - बिंदु का त्रिज्या वेक्टर एम 0, तो समीकरण को फॉर्म में लिखा जा सकता है

इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरसमतल समीकरण. आइये इसे समन्वित रूप में लिखें। के बाद से

तो, हमने इस बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण प्राप्त कर लिया है। इस प्रकार, किसी समतल का समीकरण बनाने के लिए, आपको सामान्य वेक्टर के निर्देशांक और समतल पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक जानने की आवश्यकता होती है।

ध्यान दें कि समतल का समीकरण वर्तमान निर्देशांक के संबंध में पहली डिग्री का समीकरण है एक्स, वाईऔर जेड.

उदाहरण.

विमान का सामान्य समीकरण

यह दिखाया जा सकता है कि कार्टेशियन निर्देशांक के संबंध में कोई भी प्रथम डिग्री समीकरण एक्स, वाई, जेडएक निश्चित तल के समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है। यह समीकरण इस प्रकार लिखा गया है:

Ax+By+Cz+D=0

और कहा जाता है सामान्य समीकरणसमतल, और निर्देशांक ए, बी, सीयहां विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं।

आइए सामान्य समीकरण के विशेष मामलों पर विचार करें। आइए जानें कि यदि समीकरण के एक या अधिक गुणांक शून्य हो जाते हैं तो समन्वय प्रणाली के सापेक्ष विमान कैसे स्थित होता है।

A अक्ष पर समतल द्वारा काटे गए खंड की लंबाई है बैल. इसी प्रकार यह भी दर्शाया जा सकता है बीऔर सी- अक्षों पर विचाराधीन विमान द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई ओएऔर आउंस.

समतलों के निर्माण के लिए खंडों में समतल के समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

7.1. क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

संकेतित क्रम में लिए गए तीन गैर-समतलीय सदिश a, b और c, एक दाएं हाथ के त्रिक का निर्माण करते हैं, यदि तीसरे सदिश c के अंत से, पहले सदिश a से दूसरे सदिश b तक का सबसे छोटा मोड़ देखा जाता है वामावर्त हो, और यदि दक्षिणावर्त हो तो बाएं हाथ का त्रिक (चित्र देखें.16)।

वेक्टर ए और वेक्टर बी के वेक्टर उत्पाद को वेक्टर सी कहा जाता है, जो:

1. सदिश a और b के लंबवत, अर्थात c ^ a और c ^ बी ;

2. इसकी लंबाई संख्यात्मक रूप से सदिश a और पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती हैबीजैसा कि किनारों पर है (चित्र 17 देखें), यानी।

3. सदिश a, b और c एक दाएँ हाथ का त्रिक बनाते हैं।

क्रॉस उत्पाद को x b या [a,b] दर्शाया जाता है। इकाई सदिशों के बीच निम्नलिखित संबंध सीधे सदिश उत्पाद की परिभाषा से अनुसरण करते हैं,जे औरके

(चित्र 18 देखें):
आई एक्स जे = के, जे एक्स के = आई, के एक्स आई = जे।उदाहरण के लिए, आइए इसे सिद्ध करें

मैं एक्सजे =के. ^ 1) के ^ आई, के

जे ; 2) |के |=1, लेकिन |मैं एक्स जे

| = |मैं | और|जे | पाप(90°)=1;

3) सदिश i, j और

एक दायां त्रिक बनाएं (चित्र 16 देखें)।

7.2. एक क्रॉस उत्पाद के गुण = -(1. कारकों को पुनर्व्यवस्थित करते समय, वेक्टर उत्पाद चिह्न बदलता है, अर्थात।).

और xb =(b xa) (चित्र 19 देखें)।

वेक्टर a xb और b xa संरेख हैं, समान मॉड्यूल हैं (समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्र अपरिवर्तित रहता है), लेकिन विपरीत रूप से निर्देशित होते हैं (ट्रिपल a, b, a xb और a, b, b x a विपरीत अभिविन्यास के)। इसलिए axbबी एक्सए बी 2. सदिश उत्पाद में अदिश गुणनखंड के संबंध में एक संयोजन गुण होता है, अर्थात l ​(a xb) = (l a) x b = a x (l b)। बीमान लीजिए l >0. सदिश l (a xb) सदिश a और b के लंबवत है। वेक्टर ( axbएल axbए)एक्स axbबी एक्सए बीसदिश a और के लंबवत भी है

(वेक्टर ए, axbलेकिन एक ही तल में लेटें)। इसका मतलब यह है कि वेक्टर axb(ए एक्सबी) और ( axb<0.

संरेख. यह स्पष्ट है कि उनकी दिशाएँ मेल खाती हैं। उनकी लंबाई समान है: बीइसीलिए<=>(एक xb)=

एक एक्सबी. यह इसी प्रकार सिद्ध होता है

3. दो गैर-शून्य सदिश a और

(संरेख हैं यदि और केवल यदि उनका वेक्टर उत्पाद शून्य वेक्टर के बराबर है, अर्थात a ||bऔर एक्सबी =0. बीविशेष रूप से, i *i =j *j =k *k =0 ।

4. वेक्टर उत्पाद में वितरण गुण होता है:

ए+बी)

एक्ससी = ए एक्ससी + इकाई सदिशों के बीच निम्नलिखित संबंध सीधे सदिश उत्पाद की परिभाषा से अनुसरण करते हैं,एक्स.एस.

हम बिना सबूत के मान लेंगे.

मान लीजिए दो सदिश a =a x i +a y दिए गए हैं इकाई सदिशों के बीच निम्नलिखित संबंध सीधे सदिश उत्पाद की परिभाषा से अनुसरण करते हैं,+ए ज़ेड औरऔर बी = बी एक्स मैं+बी वाई इकाई सदिशों के बीच निम्नलिखित संबंध सीधे सदिश उत्पाद की परिभाषा से अनुसरण करते हैं,+बी जेड और. आइए इन सदिशों को बहुपदों के रूप में गुणा करके (वेक्टर गुणनफल के गुणों के अनुसार) सदिश गुणनफल ज्ञात करें:

परिणामी सूत्र को और भी संक्षेप में लिखा जा सकता है:

चूँकि समानता का दायाँ पक्ष (7.1) पहली पंक्ति के तत्वों के संदर्भ में तीसरे क्रम के निर्धारक के विस्तार से मेल खाता है, इसलिए इसे याद रखना आसान है।

7.4. क्रॉस उत्पाद के कुछ अनुप्रयोग

सदिशों की संरेखता स्थापित करना

एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

सदिशों के सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार एऔर बी |ए एक्सबी | =|ए | * |बी |सिन जी, यानी एस जोड़े = |ए एक्स बी |। और, इसलिए, डी एस =1/2|ए ​​एक्स बी |।

एक बिंदु के बारे में बल के क्षण का निर्धारण

मान लीजिए बिंदु A पर एक बल लगाया गया है एफ =एबीऔर चलो के बारे में- अंतरिक्ष में कुछ बिंदु (चित्र 20 देखें)।

भौतिकी से ज्ञात होता है कि बल का क्षण एफ बिंदु के सापेक्ष के बारे मेंवेक्टर कहा जाता है एम,जो बिंदु से होकर गुजरती है के बारे मेंऔर:

1) बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लंबवत ओ, ए, बी;

2) संख्यात्मक रूप से प्रति हाथ बल के गुणनफल के बराबर

3) सदिश OA और A B के साथ एक दायां त्रिक बनाता है।

इसलिए, एम = ओए x एफ।

रैखिक घूर्णन गति ज्ञात करना

रफ़्तार वीकोणीय वेग से घूमते एक कठोर पिंड का बिंदु M डब्ल्यूएक निश्चित अक्ष के चारों ओर, यूलर के सूत्र v =w xr द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां r =OM, जहां O अक्ष का कुछ निश्चित बिंदु है (चित्र 21 देखें)।

एक सदिश उत्पाद की अवधारणा देने से पहले, आइए त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सदिशों a →, b →, c → के क्रमित त्रिक के अभिविन्यास के प्रश्न की ओर मुड़ें।

आरंभ करने के लिए, आइए सदिशों a → , b → , c → को एक बिंदु से अलग रखें। ट्रिपल ए → , बी → , सी → का अभिविन्यास वेक्टर सी → की दिशा के आधार पर दाएं या बाएं हो सकता है। ट्रिपल a → , b → , c → का प्रकार उस दिशा से निर्धारित किया जाएगा जिसमें वेक्टर a → से b → तक वेक्टर c → के अंत से सबसे छोटा मोड़ बनाया जाता है।

यदि सबसे छोटा मोड़ वामावर्त दिशा में किया जाता है, तो सदिशों का त्रिक a → , b → , c → कहलाता है सही, यदि दक्षिणावर्त - बाएं.

इसके बाद, दो असंरेख सदिश a → और b → लें। आइए फिर बिंदु A से सदिश A B → = a → और A C → = b → आलेखित करें। आइए एक वेक्टर A D → = c → बनाएं, जो A B → और A C → दोनों पर एक साथ लंबवत है। इस प्रकार, वेक्टर का निर्माण करते समय A D → = c →, हम इसे दो तरीकों से कर सकते हैं, या तो इसे एक दिशा या विपरीत दे सकते हैं (चित्रण देखें)।

सदिशों का क्रमित त्रिक a → , b → , c →, जैसा कि हमें पता चला, सदिश की दिशा के आधार पर दाएं या बाएं हो सकता है।

उपरोक्त से हम एक सदिश उत्पाद की परिभाषा प्रस्तुत कर सकते हैं। यह परिभाषा त्रि-आयामी अंतरिक्ष की आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो वैक्टरों के लिए दी गई है।

परिभाषा 1

दो सदिश a → और b → का सदिश गुणनफल हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष की आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित ऐसे वेक्टर को इस प्रकार कहेंगे:

• यदि सदिश a → और b → संरेख हैं, तो यह शून्य होगा;
• यह वेक्टर a →​ और वेक्टर b → दोनों के लंबवत होगा। ∠ ए → सी → = ∠ बी → सी → = π 2 ;
• इसकी लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: सी → = ए → · बी → · पाप ∠ ए → , बी → ;
• सदिशों के त्रिक a → , b → , c → का अभिविन्यास दिए गए समन्वय प्रणाली के समान है।

सदिश a → और b → के सदिश गुणनफल में निम्नलिखित अंकन है: a → × b →.

वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक

चूँकि किसी भी वेक्टर के समन्वय प्रणाली में कुछ निश्चित निर्देशांक होते हैं, हम एक वेक्टर उत्पाद की दूसरी परिभाषा पेश कर सकते हैं, जो हमें वैक्टर के दिए गए निर्देशांक का उपयोग करके इसके निर्देशांक खोजने की अनुमति देगा।

परिभाषा 2

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो सदिशों का सदिश गुणनफल a → = (a x ; a y ; a z) और b → = (b x ; b y ; b z) एक वेक्टर कहा जाता है c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , जहां i → , j → , k → निर्देशांक सदिश हैं।

वेक्टर उत्पाद को तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां पहली पंक्ति में वेक्टर वेक्टर i → , j → , k → होते हैं, दूसरी पंक्ति में वेक्टर a → के निर्देशांक होते हैं, और तीसरी पंक्ति में वेक्टर वेक्टर होते हैं किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में वेक्टर b → के निर्देशांक शामिल हैं, यह मैट्रिक्स का निर्धारक इस तरह दिखता है: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

इस सारणिक को पहली पंक्ति के तत्वों में विस्तारित करने पर, हमें समानता प्राप्त होती है: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → ==ए → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

एक क्रॉस उत्पाद के गुण

यह ज्ञात है कि निर्देशांक में वेक्टर उत्पाद को मैट्रिक्स c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z के निर्धारक के रूप में दर्शाया जाता है, फिर आधार पर मैट्रिक्स निर्धारक के गुणनिम्नलिखित प्रदर्शित हैं एक वेक्टर उत्पाद के गुण:

1. एंटीकम्यूटेटिविटी ए → × बी → = - बी → × ए → ;
2. वितरण ए (1) → + ए (2) → × बी = ए (1) → × बी → + ए (2) → × बी → या ए → × बी (1) → + बी (2) → = ए → × बी (1) → + ए → × बी (2) → ;
3. साहचर्यता λ a → × b → = λ a → × b → या a → × (λ b →) = λ a → × b →, जहां λ एक मनमाना वास्तविक संख्या है।

इन गुणों के सरल प्रमाण हैं।

उदाहरण के तौर पर, हम एक वेक्टर उत्पाद के एंटीकम्यूटेटिव गुण को साबित कर सकते हैं।

प्रतिसंक्रामकता का प्रमाण

परिभाषा के अनुसार, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z और b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z। और यदि मैट्रिक्स की दो पंक्तियों की अदला-बदली की जाती है, तो मैट्रिक्स के निर्धारक का मान विपरीत में बदलना चाहिए, इसलिए, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , जो यह साबित करता है कि वेक्टर उत्पाद एंटीकम्यूटेटिव है।

वेक्टर उत्पाद - उदाहरण और समाधान

ज्यादातर मामलों में तीन तरह की समस्याएं होती हैं.

पहले प्रकार की समस्याओं में, आमतौर पर दो सदिशों की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया जाता है, और आपको सदिश उत्पाद की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। इस मामले में, निम्न सूत्र का उपयोग करें c → = a → · b → · syn ∠ a → , b → .

उदाहरण 1

यदि आप a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 जानते हैं, तो सदिश a → और b → के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान

सदिश a → और b → के सदिश गुणनफल की लंबाई निर्धारित करके, हम इस समस्या को हल करते हैं: a → × b → = a → · b → · पाप → a → , b → = 3 · 5 · पाप π 4 = 15 2 2 .

उत्तर: 15 2 2 .

दूसरे प्रकार की समस्याओं का संबंध सदिशों के निर्देशांक, उनमें सदिश गुणनफल, उसकी लंबाई आदि से होता है। दिए गए सदिशों के ज्ञात निर्देशांकों के माध्यम से खोजे जाते हैं ए → = (ए एक्स; ए वाई; ए जेड) और बी → = (बी एक्स ; बी वाई ; बी जेड) .

इस प्रकार की समस्या के लिए, आप कई कार्य विकल्पों को हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सदिश a → और b → के निर्देशांक निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं, बल्कि प्रपत्र के निर्देशांक सदिशों में उनके विस्तार को निर्दिष्ट किया जा सकता है बी → = बी एक्स · आई → + बी वाई · जे → + बी जेड · के → और c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, या सदिश a → और b → को उनकी शुरुआत के निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है और अंत बिंदु.

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें.

उदाहरण 2

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, दो वैक्टर दिए गए हैं: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1)। उनका क्रॉस उत्पाद ढूंढें.

समाधान

दूसरी परिभाषा के अनुसार, हम दिए गए निर्देशांक में दो वैक्टरों का वेक्टर उत्पाद पाते हैं: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · के → = = - 2 आई → - 2 जे → - 2 के → .

यदि हम मैट्रिक्स के निर्धारक के माध्यम से वेक्टर उत्पाद लिखते हैं, तो इस उदाहरण का समाधान इस तरह दिखता है: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

उत्तर: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →।

उदाहरण 3

सदिशों i → - j → और i → + j → + k → के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए, जहाँ i →, j →, k → आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के इकाई सदिश हैं।

समाधान

सबसे पहले, आइए किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → के निर्देशांक खोजें।

यह ज्ञात है कि सदिश i → - j → और i → + j → + k → के क्रमशः निर्देशांक (1; - 1; 0) और (1; 1; 1) हैं। आइए मैट्रिक्स के निर्धारक का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद की लंबाई ज्ञात करें, फिर हमारे पास i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → है - जे → + 2 के → .

इसलिए, वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → के दिए गए समन्वय प्रणाली में निर्देशांक (- 1 ; - 1 ; 2) हैं।

हम सूत्र का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाते हैं (वेक्टर की लंबाई खोजने पर अनुभाग देखें): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

उत्तर: i → - j → × i → + j → + k → = 6। .

उदाहरण 4

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, तीन बिंदुओं A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) के निर्देशांक दिए गए हैं। एक ही समय में A B → और A C → पर लंबवत कुछ वेक्टर खोजें।

समाधान

सदिश A B → और A C → के क्रमशः निम्नलिखित निर्देशांक (- 1 ; 2 ; 2) और (0 ; 4 ; 1) हैं। सदिश A B → और A C → का सदिश गुणनफल प्राप्त करने के बाद, यह स्पष्ट है कि यह A B → और A C → दोनों की परिभाषा के अनुसार एक लंबवत सदिश है, अर्थात यह हमारी समस्या का समाधान है। आइए इसे खोजें A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →।

उत्तर: - 6 आई → + जे → - 4 के → . - लंबवत सदिशों में से एक।

तीसरे प्रकार की समस्याएं वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करने पर केंद्रित हैं। जिसे लागू करने के बाद हम दी गई समस्या का समाधान प्राप्त कर लेंगे।

उदाहरण 5

सदिश a → और b → लंबवत हैं और उनकी लंबाई क्रमशः 3 और 4 है। सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · ए → × - 2 · बी → + - बी → × ए → + - बी → × - 2 · बी → .

समाधान

एक वेक्टर उत्पाद की वितरणात्मक संपत्ति द्वारा, हम 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 लिख सकते हैं ए → × ए → + 3 ए → × - 2 बी → + - बी → × ए → + - बी → × - 2 बी →

साहचर्यता के गुण द्वारा, हम अंतिम अभिव्यक्ति में वेक्टर उत्पादों के चिह्न से संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं: 3 · ए → × ए → + 3 · ए → × - 2 · बी → + - बी → × ए → + - बी → × - 2 · बी → = = 3 · ए → × ए → + 3 · (- 2) · ए → × बी → + (- 1) · बी → × ए → + (- 1) · (- 2) · बी → × बी → = = 3 ए → × ए → - 6 ए → × बी → - बी → × ए → + 2 बी → × बी →

वेक्टर उत्पाद a → × a → और b → × b → 0 के बराबर हैं, क्योंकि a → × a → = a → · a → · पाप 0 = 0 और b → × b → = b → · b → · पाप 0 = 0, फिर 3 · ए → × ए → - 6 · ए → × बी → - बी → × ए → + 2 · बी → × बी → = - 6 · ए → × बी → - बी → × ए →। .

वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी से यह निम्नानुसार है - 6 · ए → × बी → - बी → × ए → = - 6 · ए → × बी → - (- 1) · ए → × बी → = - 5 · ए → × बी → . .

वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम समानता 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → प्राप्त करते हैं।

शर्त के अनुसार, सदिश a → और b → लंबवत हैं, अर्थात उनके बीच का कोण π 2 के बराबर है। अब जो कुछ बचा है वह पाए गए मानों को उचित सूत्रों में प्रतिस्थापित करना है: 3 ए → - बी → × ए → - 2 बी → = - 5 ए → × बी → = = 5 ए → × बी → = 5 ए → बी → · पाप (ए → , बी →) = 5 · 3 · 4 · पाप π 2 = 60।

उत्तर: 3 ए → - बी → × ए → - 2 बी → = 60.

परिभाषा के अनुसार सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई a → × b → = a → · b → · syn ∠ a → , b → के बराबर होती है। चूँकि यह पहले से ही ज्ञात है (स्कूल पाठ्यक्रम से) कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं की लंबाई के आधे उत्पाद को इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा करने के बराबर होता है। नतीजतन, वेक्टर उत्पाद की लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है - एक दोगुना त्रिकोण, अर्थात् वैक्टर ए → और बी → के रूप में पक्षों का उत्पाद, एक बिंदु से, साइन द्वारा रखा गया उनके बीच का कोण पाप ∠ a →, b → है।

यह एक वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ है।

वेक्टर उत्पाद का भौतिक अर्थ

यांत्रिकी में, भौतिकी की शाखाओं में से एक, वेक्टर उत्पाद के लिए धन्यवाद, आप अंतरिक्ष में एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण को निर्धारित कर सकते हैं।

परिभाषा 3

बिंदु A के सापेक्ष बिंदु B पर लागू बल F → के क्षण से, हम निम्नलिखित वेक्टर उत्पाद A B → × F → को समझेंगे।

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इस पाठ में हम वैक्टर के साथ दो और ऑपरेशन देखेंगे: सदिशों का सदिश गुणनफलऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद (उन लोगों के लिए तत्काल लिंक जिन्हें इसकी आवश्यकता है). यह ठीक है, कभी-कभी ऐसा होता है कि पूर्ण सुख के लिए भी सदिशों का अदिश गुणनफल, और अधिक की आवश्यकता है। यह वेक्टर एडिक्शन है. ऐसा लग सकता है कि हम विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जंगल में जा रहे हैं। यह गलत है। उच्च गणित के इस खंड में आम तौर पर बहुत कम लकड़ी होती है, सिवाय पिनोच्चियो के लिए शायद पर्याप्त। वास्तव में, सामग्री बहुत सामान्य और सरल है - शायद ही उससे अधिक जटिल हो डॉट उत्पाद, सामान्य कार्य भी कम होंगे। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में मुख्य बात, जैसा कि कई लोग आश्वस्त होंगे या पहले ही आश्वस्त हो चुके हैं, गणना में गलतियाँ नहीं करना है। एक मंत्र की तरह दोहराएँ और आप खुश हो जायेंगे =)

यदि सदिश दूर कहीं चमकते हैं, जैसे क्षितिज पर बिजली चमकती है, तो कोई बात नहीं, पाठ से शुरुआत करें डमी के लिए वेक्टरवैक्टर के बारे में बुनियादी ज्ञान को पुनर्स्थापित या पुनः प्राप्त करना। अधिक तैयार पाठक चुनिंदा जानकारी से परिचित हो सकते हैं; मैंने उदाहरणों का सबसे संपूर्ण संग्रह एकत्र करने का प्रयास किया जो अक्सर व्यावहारिक कार्यों में पाए जाते हैं

कौन सी चीज़ आपको तुरंत खुश कर देगी? जब मैं छोटा था तो मैं दो या तीन गेंदें भी खेल सकता था। इसने अच्छा काम किया. अब आपको बिल्कुल भी जुगाड़ नहीं करना पड़ेगा, क्योंकि हम विचार करेंगे केवल स्थानिक सदिश, और दो निर्देशांक वाले फ्लैट वेक्टर छोड़ दिए जाएंगे। क्यों? इस प्रकार इन क्रियाओं का जन्म हुआ - वेक्टर और वेक्टर के मिश्रित उत्पाद परिभाषित होते हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में काम करते हैं। यह पहले से ही आसान है!

अदिश उत्पाद की तरह ही इस ऑपरेशन में भी शामिल है दो वैक्टर. यह अविनाशी अक्षर हों।

क्रिया ही द्वारा निरूपितनिम्नलिखित नुसार: । अन्य विकल्प भी हैं, लेकिन मैं वेक्टर के वेक्टर उत्पाद को क्रॉस के साथ वर्गाकार कोष्ठक में इस तरह से दर्शाने का आदी हूं।

और तुरंत सवाल: मैं फ़िन सदिशों का अदिश गुणनफलदो सदिश शामिल हैं, और यहाँ भी दो सदिशों को गुणा किया गया है क्या फर्क पड़ता है? स्पष्ट अंतर, सबसे पहले, परिणाम में है:

सदिशों के अदिश गुणनफल का परिणाम NUMBER है:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का परिणाम वेक्टर है: , अर्थात, हम सदिशों को गुणा करते हैं और फिर से एक सदिश प्राप्त करते हैं। बंद क्लब. दरअसल, यहीं से ऑपरेशन का नाम आता है। विभिन्न शैक्षिक साहित्य में, पदनाम भी भिन्न हो सकते हैं; मैं पत्र का उपयोग करूंगा।

क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

पहले चित्र के साथ परिभाषा होगी, फिर टिप्पणियाँ।

परिभाषा: वेक्टर उत्पाद गैर समरेखवैक्टर, इसी क्रम में लिया गया, जिसे वेक्टर कहा जाता है, लंबाईजो संख्यात्मक रूप से है समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर, इन वैक्टरों पर निर्मित; वेक्टर सदिशों के लिए ओर्थोगोनल, और निर्देशित किया जाता है ताकि आधार का सही अभिविन्यास हो:

आइए परिभाषा को टुकड़े-टुकड़े करके देखें, यहां बहुत सारी दिलचस्प चीजें हैं!

तो, निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर प्रकाश डाला जा सकता है:

1) मूल वेक्टर, परिभाषा के अनुसार, लाल तीरों द्वारा दर्शाया गया है संरेख नहीं. संरेख सदिशों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार करना उचित होगा।

2) सदिश लिये गये हैं कड़ाई से परिभाषित क्रम में: – "ए" को "बी" से गुणा किया जाता है, और "ए" के साथ "होना" नहीं। सदिश गुणन का परिणामवेक्टर है, जो नीले रंग में दर्शाया गया है। यदि सदिशों को उल्टे क्रम में गुणा किया जाए, तो हमें लंबाई में बराबर और दिशा में विपरीत (रास्पबेरी रंग) एक सदिश प्राप्त होता है। अर्थात् समानता सत्य है .

3) अब आइए वेक्टर उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ से परिचित हों। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! नीले वेक्टर (और, इसलिए, क्रिमसन वेक्टर) की लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है। चित्र में, यह समांतर चतुर्भुज काले रंग से छायांकित है।

टिप्पणी : चित्र योजनाबद्ध है, और, स्वाभाविक रूप से, वेक्टर उत्पाद की नाममात्र लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर नहीं है।

आइए हम ज्यामितीय सूत्रों में से एक को याद करें: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है. इसलिए, उपरोक्त के आधार पर, वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करने का सूत्र मान्य है:

मैं इस बात पर जोर देता हूं कि सूत्र वेक्टर की लंबाई के बारे में है, न कि वेक्टर के बारे में। व्यावहारिक अर्थ क्या है? और तात्पर्य यह है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अक्सर एक वेक्टर उत्पाद की अवधारणा के माध्यम से पाया जाता है:

आइए दूसरा महत्वपूर्ण सूत्र प्राप्त करें। एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण (लाल बिंदीदार रेखा) इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, सदिशों (लाल छायांकन) पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

4) एक समान रूप से महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि वेक्टर वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है, अर्थात . बेशक, विपरीत दिशा में निर्देशित वेक्टर (रास्पबेरी तीर) भी मूल वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है।

5) वेक्टर को इस प्रकार निर्देशित किया जाता है आधारहै सहीअभिविन्यास। के बारे में पाठ में एक नए आधार पर संक्रमणमैंने इसके बारे में पर्याप्त विस्तार से बात की समतल अभिविन्यास, और अब हम समझेंगे कि अंतरिक्ष अभिविन्यास क्या है। मैं आपकी उंगलियों पर समझाऊंगा दांया हाथ. मानसिक रूप से गठबंधन करें तर्जनीवेक्टर के साथ और बीच की ऊँगलीवेक्टर के साथ. अनामिका और छोटी उंगलीइसे अपनी हथेली में दबाएँ. नतीजतन अँगूठा- वेक्टर उत्पाद ऊपर दिखेगा। यह एक अधिकार-उन्मुख आधार है (चित्र में यही है)। अब वेक्टर बदलें ( तर्जनी और मध्यमा उंगलियाँ) कुछ स्थानों पर, परिणामस्वरूप अंगूठा घूम जाएगा, और वेक्टर उत्पाद पहले से ही नीचे दिखेगा। यह भी अधिकारोन्मुख आधार है। आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है: वामपंथी रुझान किस आधार पर है? उन्हीं उंगलियों को "असाइन करें"। बायां हाथवेक्टर, और अंतरिक्ष का बायां आधार और बायां अभिविन्यास प्राप्त करें (इस मामले में, अंगूठा निचले वेक्टर की दिशा में स्थित होगा). लाक्षणिक रूप से कहें तो, ये आधार स्थान को "मोड़" देते हैं या अलग-अलग दिशाओं में उन्मुख करते हैं। और इस अवधारणा को कुछ दूर की कौड़ी या अमूर्त नहीं माना जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष का अभिविन्यास सबसे साधारण दर्पण द्वारा बदल दिया जाता है, और यदि आप "प्रतिबिंबित वस्तु को दिखने वाले कांच से बाहर खींचते हैं", तो सामान्य स्थिति में यह इसे "मूल" के साथ जोड़ना संभव नहीं होगा। वैसे, तीन अंगुलियों को दर्पण तक पकड़ें और प्रतिबिंब का विश्लेषण करें ;-)

...यह कितना अच्छा है जिसके बारे में अब आप जानते हैं दाएँ- और बाएँ-उन्मुखआधार, क्योंकि अभिविन्यास में बदलाव के बारे में कुछ व्याख्याताओं के बयान डरावने हैं =)

संरेख सदिशों का क्रॉस उत्पाद

परिभाषा पर विस्तार से चर्चा की गई है, यह देखना बाकी है कि जब सदिश संरेख होते हैं तो क्या होता है। यदि सदिश संरेख हैं, तो उन्हें एक सीधी रेखा पर रखा जा सकता है और हमारा समांतर चतुर्भुज भी एक सीधी रेखा में "जोड़" देता है। ऐसा क्षेत्र, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, पतितसमांतर चतुर्भुज शून्य के बराबर है. सूत्र से भी यही पता चलता है - शून्य या 180 डिग्री की ज्या शून्य के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल शून्य है

इस प्रकार, यदि, तो और . कृपया ध्यान दें कि वेक्टर उत्पाद स्वयं शून्य वेक्टर के बराबर है, लेकिन व्यवहार में इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है और लिखा जाता है कि यह भी शून्य के बराबर है।

एक विशेष मामला अपने आप में एक वेक्टर का वेक्टर उत्पाद है:

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करके, आप त्रि-आयामी वैक्टर की संरेखता की जांच कर सकते हैं, और हम अन्य समस्याओं के अलावा इस समस्या का भी विश्लेषण करेंगे।

हल करने के लिए आपको व्यावहारिक उदाहरणों की आवश्यकता हो सकती है त्रिकोणमितीय तालिकाइससे ज्या का मान ज्ञात करना।

खैर, चलो आग जलाएं:

उदाहरण 1

ए) यदि सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात करें

b) यदि सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

समाधान: नहीं, यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है, मैंने जानबूझकर खंडों में प्रारंभिक डेटा को वही बनाया है। क्योंकि समाधानों का डिज़ाइन अलग होगा!

a) शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा लंबाईवेक्टर (क्रॉस उत्पाद)। संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

चूंकि प्रश्न लंबाई के बारे में था, इसलिए हम उत्तर में आयाम - इकाइयों का संकेत देते हैं।

b) शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा वर्गसदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से वेक्टर उत्पाद की लंबाई के बराबर है:

उत्तर:

कृपया ध्यान दें कि उत्तर उस वेक्टर उत्पाद के बारे में बिल्कुल भी बात नहीं करता है जिसके बारे में हमसे पूछा गया था आकृति का क्षेत्रफलतदनुसार, आयाम वर्ग इकाई है।

हम हमेशा यह देखते हैं कि स्थिति के अनुसार हमें क्या खोजने की आवश्यकता है, और, इसके आधार पर, हम तैयार करते हैं स्पष्टउत्तर। यह शाब्दिक लग सकता है, लेकिन उनमें शाब्दिक शिक्षक बहुत हैं, और असाइनमेंट को पुनरीक्षण के लिए लौटाए जाने की अच्छी संभावना है। हालाँकि यह कोई विशेष रूप से दूर की कौड़ी नहीं है - यदि उत्तर गलत है, तो किसी को यह आभास हो जाता है कि व्यक्ति सरल चीज़ों को नहीं समझता है और/या कार्य के सार को नहीं समझ पाया है। उच्च गणित और अन्य विषयों में भी किसी भी समस्या को हल करते समय इस बिंदु को हमेशा नियंत्रण में रखना चाहिए।

बड़ा अक्षर "एन" कहाँ गया? सिद्धांत रूप में, इसे अतिरिक्त रूप से समाधान से जोड़ा जा सकता था, लेकिन प्रविष्टि को छोटा करने के लिए, मैंने ऐसा नहीं किया। मुझे आशा है कि हर कोई इसे समझता है और यह उसी चीज़ के लिए एक पदनाम है।

DIY समाधान के लिए एक लोकप्रिय उदाहरण:

उदाहरण 2

यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

वेक्टर उत्पाद के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र परिभाषा की टिप्पणियों में दिया गया है। समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

व्यवहार में, यह कार्य वास्तव में बहुत सामान्य है, त्रिकोण आम तौर पर आपको परेशान कर सकता है;

अन्य समस्याओं को हल करने के लिए हमें आवश्यकता होगी:

सदिशों के सदिश गुणनफल के गुण

हम पहले ही वेक्टर उत्पाद के कुछ गुणों पर विचार कर चुके हैं, हालाँकि, मैं उन्हें इस सूची में शामिल करूँगा।

मनमाना वैक्टर और मनमाना संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) जानकारी के अन्य स्रोतों में, इस आइटम को आमतौर पर गुणों में हाइलाइट नहीं किया जाता है, लेकिन व्यावहारिक दृष्टि से यह बहुत महत्वपूर्ण है। तो रहने दो.

2) - संपत्ति की चर्चा ऊपर भी की गई है, कभी-कभी इसे कहा जाता है प्रतिसंक्रामकता. दूसरे शब्दों में, सदिशों का क्रम मायने रखता है।

3) - साहचर्य या जोड़नेवालावेक्टर उत्पाद कानून. स्थिरांक को वेक्टर उत्पाद के बाहर आसानी से ले जाया जा सकता है। सचमुच, उन्हें वहां क्या करना चाहिए?

4)- वितरण या विभाजित करनेवालावेक्टर उत्पाद कानून. ब्रैकेट खोलने में भी कोई समस्या नहीं है।

प्रदर्शित करने के लिए, आइए एक संक्षिप्त उदाहरण देखें:

उदाहरण 3

यदि खोजें

समाधान:स्थिति में फिर से वेक्टर उत्पाद की लंबाई खोजने की आवश्यकता होती है। आइए अपना लघुचित्र बनाएं:

(1) साहचर्य कानूनों के अनुसार, हम स्थिरांक को वेक्टर उत्पाद के दायरे से बाहर लेते हैं।

(2) हम मॉड्यूल के बाहर स्थिरांक लेते हैं, और मॉड्यूल ऋण चिह्न को "खाता" है। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती.

(3) बाकी सब स्पष्ट है.

उत्तर:

अब आग में और लकड़ी डालने का समय आ गया है:

उदाहरण 4

यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

समाधान: सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें . समस्या यह है कि सदिश "tse" और "de" स्वयं सदिशों के योग के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। यहां एल्गोरिदम मानक है और कुछ हद तक पाठ के उदाहरण संख्या 3 और 4 की याद दिलाता है वैक्टर का डॉट उत्पाद. स्पष्टता के लिए, हम समाधान को तीन चरणों में विभाजित करेंगे:

1) पहले चरण में, हम वेक्टर उत्पाद को वेक्टर उत्पाद के माध्यम से व्यक्त करते हैं, वास्तव में, आइए एक सदिश को सदिश के रूप में व्यक्त करें. लंबाई पर अभी तक कोई शब्द नहीं!

(1) सदिशों के भावों को प्रतिस्थापित करें।

(2) वितरण नियमों का प्रयोग करते हुए हम बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं।

(3) साहचर्य कानूनों का उपयोग करते हुए, हम सभी स्थिरांकों को सदिश उत्पादों से परे ले जाते हैं। थोड़े से अनुभव के साथ, चरण 2 और 3 को एक साथ निष्पादित किया जा सकता है।

(4) प्रथम और अंतिम पद अच्छे गुण के कारण शून्य (शून्य सदिश) के बराबर हैं। दूसरे पद में हम एक वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी की संपत्ति का उपयोग करते हैं:

(5) हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं।

परिणामस्वरूप, वेक्टर को एक वेक्टर के माध्यम से व्यक्त किया गया, जिसे प्राप्त करने की आवश्यकता थी:

2) दूसरे चरण में, हमें आवश्यक वेक्टर उत्पाद की लंबाई ज्ञात होती है। यह क्रिया उदाहरण 3 के समान है:

3) आवश्यक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

समाधान के चरण 2-3 को एक पंक्ति में लिखा जा सकता था।

उत्तर:

जिस समस्या पर विचार किया गया है वह परीक्षणों में काफी सामान्य है, इसे स्वयं हल करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 5

यदि खोजें

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर। आइए देखें कि पिछले उदाहरणों का अध्ययन करते समय आप कितने चौकस थे ;-)

निर्देशांक में सदिशों का क्रॉस उत्पाद

सूत्र वास्तव में सरल है: सारणिक की शीर्ष पंक्ति में हम निर्देशांक सदिश लिखते हैं, दूसरी और तीसरी पंक्तियों में हम सदिशों के निर्देशांक "डालते हैं", और हम डालते हैं सख्त क्रम में- पहले "ve" वेक्टर के निर्देशांक, फिर "डबल-वे" वेक्टर के निर्देशांक। यदि सदिशों को भिन्न क्रम में गुणा करने की आवश्यकता है, तो पंक्तियों की अदला-बदली की जानी चाहिए:

उदाहरण 10

जाँचें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:
ए)
बी)

समाधान: जाँच इस पाठ के एक कथन पर आधारित है: यदि सदिश संरेख हैं, तो उनका सदिश गुणनफल शून्य (शून्य सदिश) के बराबर है: .

ए) वेक्टर उत्पाद खोजें:

इस प्रकार, सदिश संरेख नहीं हैं।

बी) वेक्टर उत्पाद खोजें:

उत्तर: ए) संरेख नहीं, बी)

यहाँ, शायद, सदिशों के सदिश गुणनफल के बारे में सारी बुनियादी जानकारी है।

यह खंड बहुत बड़ा नहीं होगा, क्योंकि ऐसी कुछ समस्याएं हैं जहां वैक्टर के मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सब कुछ परिभाषा, ज्यामितीय अर्थ और कुछ कार्य सूत्रों पर निर्भर करेगा।

सदिशों का मिश्रित गुणनफल तीन सदिशों का गुणनफल होता है:

इसलिए वे एक ट्रेन की तरह कतार में खड़े हो गए और पहचाने जाने का इंतजार नहीं कर सकते।

सबसे पहले, फिर से, एक परिभाषा और एक चित्र:

परिभाषा: मिश्रित कार्य गैर समतलीयवैक्टर, इसी क्रम में लिया गया, बुलाया समांतर चतुर्भुज आयतन, इन वैक्टरों पर निर्मित, यदि आधार सही है तो "+" चिह्न से सुसज्जित है, और यदि आधार बाएँ है तो "-" चिह्न से सुसज्जित है।

चलो ड्राइंग बनाते हैं. हमारे लिए अदृश्य रेखाएँ बिंदीदार रेखाओं से खींची जाती हैं:

आइए परिभाषा में उतरें:

2) सदिश लिये गये हैं एक निश्चित क्रम में, अर्थात्, उत्पाद में वैक्टरों की पुनर्व्यवस्था, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, परिणामों के बिना नहीं होती है।

3) ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करने से पहले, मैं एक स्पष्ट तथ्य पर ध्यान दूंगा: सदिशों का मिश्रित गुणनफल एक संख्या है: . शैक्षिक साहित्य में, डिज़ाइन थोड़ा अलग हो सकता है; मैं मिश्रित उत्पाद को, और गणना के परिणाम को "पे" अक्षर से निरूपित करने का आदी हूँ।

परिभाषा से मिश्रित उत्पाद समांतर चतुर्भुज का आयतन है, सदिशों पर निर्मित (आकृति लाल सदिशों और काली रेखाओं से खींची गई है)। अर्थात्, संख्या किसी दिए गए समान्तर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।

टिप्पणी : चित्र योजनाबद्ध है.

4) आइए आधार और स्थान के अभिविन्यास की अवधारणा के बारे में फिर से चिंता न करें। अंतिम भाग का अर्थ यह है कि वॉल्यूम में ऋण चिह्न जोड़ा जा सकता है। सरल शब्दों में, एक मिश्रित उत्पाद नकारात्मक हो सकता है:।

परिभाषा से सीधे वैक्टर पर निर्मित समांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना के लिए सूत्र का पालन किया जाता है।

इस लेख में हम दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की अवधारणा पर विस्तार से ध्यान देंगे। हम आवश्यक परिभाषाएँ देंगे, एक वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक खोजने के लिए एक सूत्र लिखेंगे, उसके गुणों की सूची बनाएंगे और उनका औचित्य सिद्ध करेंगे। इसके बाद, हम दो वैक्टरों के वेक्टर उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ पर ध्यान देंगे और विभिन्न विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे।

पेज नेविगेशन.

क्रॉस उत्पाद की परिभाषा.

एक सदिश उत्पाद को परिभाषित करने से पहले, आइए त्रि-आयामी अंतरिक्ष में क्रमबद्ध त्रिगुण सदिशों के अभिविन्यास को समझें।

आइए सदिशों को एक बिंदु से आलेखित करें। वेक्टर की दिशा के आधार पर, तीन दाएं या बाएं हो सकते हैं। आइए वेक्टर के अंत से देखें कि वेक्टर से सबसे छोटा मोड़ कैसे आता है। यदि सबसे छोटा घूर्णन वामावर्त होता है, तो सदिशों का त्रिगुण कहलाता है सही, अन्यथा - बाएं.

अब आइए दो असंरेख सदिश लें और। आइए हम सदिशों को अलग रखें और बिंदु A से। आइए और और दोनों पर लंबवत कुछ वेक्टर बनाएं। जाहिर है, एक वेक्टर का निर्माण करते समय, हम दो चीजें कर सकते हैं, इसे या तो एक दिशा दे सकते हैं या विपरीत (चित्रण देखें)।

सदिश की दिशा के आधार पर, सदिशों का क्रमित त्रिक दाएं हाथ या बाएं हाथ का हो सकता है।

यह हमें वेक्टर उत्पाद की परिभाषा के करीब लाता है। यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष की आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो वैक्टरों के लिए दिया गया है।

परिभाषा।

दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पादऔर, त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट, को एक वेक्टर कहा जाता है

सदिशों के क्रॉस उत्पाद को इस रूप में दर्शाया जाता है।

वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक.

अब हम एक वेक्टर उत्पाद की दूसरी परिभाषा देंगे, जो आपको दिए गए वैक्टर के निर्देशांक से इसके निर्देशांक खोजने की अनुमति देता है।

परिभाषा।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो सदिशों का सदिश गुणनफल और सदिश है, निर्देशांक सदिश कहां हैं.

यह परिभाषा हमें समन्वित रूप में क्रॉस उत्पाद प्रदान करती है।

वेक्टर उत्पाद को तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है, जिसकी पहली पंक्ति वेक्टर है, दूसरी पंक्ति में वेक्टर के निर्देशांक होते हैं, और तीसरी में दिए गए वेक्टर के निर्देशांक होते हैं आयताकार समन्वय प्रणाली:

यदि हम इस निर्धारक को पहली पंक्ति के तत्वों में विस्तारित करते हैं, तो हम निर्देशांक में वेक्टर उत्पाद की परिभाषा से समानता प्राप्त करते हैं (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वेक्टर उत्पाद का समन्वय रूप इस आलेख के पहले पैराग्राफ में दी गई परिभाषा के साथ पूरी तरह से सुसंगत है। इसके अलावा, एक क्रॉस उत्पाद की ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। इस तथ्य का प्रमाण आप लेख के अंत में दी गई पुस्तक में देख सकते हैं।

एक वेक्टर उत्पाद के गुण.

चूँकि निर्देशांक में वेक्टर उत्पाद को मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है, निम्नलिखित को आसानी से आधार पर उचित ठहराया जा सकता है क्रॉस उत्पाद के गुण:

उदाहरण के तौर पर, आइए हम एक वेक्टर उत्पाद के एंटीकम्यूटेटिव गुण को साबित करें।

परिभाषा से और . हम जानते हैं कि यदि दो पंक्तियों की अदला-बदली की जाती है तो मैट्रिक्स के निर्धारक का मान उलट जाता है, इसलिए, , जो एक वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिव संपत्ति को साबित करता है।

वेक्टर उत्पाद - उदाहरण और समाधान।

समस्याएँ मुख्यतः तीन प्रकार की होती हैं।

पहले प्रकार की समस्याओं में, दो सदिशों की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है, और आपको सदिश उत्पाद की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। इस मामले में, सूत्र का उपयोग किया जाता है .

उदाहरण।

यदि ज्ञात हो तो सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए .

समाधान।

परिभाषा से हम जानते हैं कि सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होती है, इसलिए, .

उत्तर:

.

दूसरे प्रकार की समस्याएँ सदिशों के निर्देशांकों से संबंधित होती हैं, जिसमें दिए गए सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से सदिश उत्पाद, उसकी लंबाई या कुछ और खोजा जाता है। और .

यहां बहुत सारे अलग-अलग विकल्प संभव हैं। उदाहरण के लिए, सदिशों के निर्देशांक निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते, बल्कि प्रपत्र के निर्देशांक सदिशों में उनका विस्तार निर्दिष्ट किया जा सकता है और, या वैक्टर और उनके प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आइए विशिष्ट उदाहरण देखें.

उदाहरण।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो वेक्टर दिए गए हैं . उनका क्रॉस उत्पाद ढूंढें.

समाधान।

दूसरी परिभाषा के अनुसार, निर्देशांक में दो सदिशों का सदिश गुणनफल इस प्रकार लिखा जाता है:

यदि वेक्टर उत्पाद को निर्धारक के रूप में लिखा गया होता तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते

उत्तर:

.

उदाहरण।

सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए और आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के इकाई सदिश कहां हैं।

समाधान।

सबसे पहले हम वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक ज्ञात करते हैं किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में।

चूँकि सदिशों के क्रमशः निर्देशांक होते हैं (यदि आवश्यक हो, तो एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सदिश के निर्देशांक लेख देखें), तो एक सदिश उत्पाद की दूसरी परिभाषा के अनुसार हमारे पास है

यानी वेक्टर उत्पाद किसी दिए गए समन्वय प्रणाली में निर्देशांक होते हैं।

हम एक वेक्टर उत्पाद की लंबाई को उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में पाते हैं (हमने एक वेक्टर की लंबाई खोजने के अनुभाग में एक वेक्टर की लंबाई के लिए यह सूत्र प्राप्त किया है):

उत्तर:

.

उदाहरण।

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए जाते हैं। कुछ ऐसे सदिश खोजें जो लंबवत हों और एक ही समय में हों।

समाधान।

वेक्टर और क्रमशः निर्देशांक होते हैं (बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से एक वेक्टर के निर्देशांक खोजने वाला लेख देखें)। यदि हम सदिशों का सदिश गुणनफल पाते हैं, तो परिभाषा के अनुसार यह to और to दोनों के लिए लंबवत एक सदिश है, अर्थात यह हमारी समस्या का समाधान है। आइए उसे खोजें

उत्तर:

- लंबवत सदिशों में से एक।

तीसरे प्रकार की समस्याओं में सदिशों के सदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करने के कौशल का परीक्षण किया जाता है। गुणों को लागू करने के बाद, संबंधित सूत्र लागू किए जाते हैं।

उदाहरण।

सदिश और लंबवत हैं और उनकी लंबाई क्रमशः 3 और 4 है। क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात कीजिए .

समाधान।

किसी सदिश उत्पाद के वितरण गुण से हम लिख सकते हैं

संयोजन गुण के कारण, हम अंतिम अभिव्यक्ति में वेक्टर उत्पादों के चिह्न से संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं:

वेक्टर उत्पाद और शून्य के बराबर हैं, क्योंकि और , तब ।

चूँकि वेक्टर उत्पाद एंटीकम्यूटेटिव है, तो।

इसलिए, वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम समानता पर पहुंचे .

शर्त के अनुसार, सदिश और लंबवत हैं, अर्थात उनके बीच का कोण बराबर है। यानी, हमारे पास आवश्यक लंबाई ज्ञात करने के लिए सभी डेटा हैं

उत्तर:

.

एक वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ.

परिभाषा के अनुसार, सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई है . और एक हाई स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की दोनों भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के आधे के बराबर होता है। नतीजतन, वेक्टर उत्पाद की लंबाई एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर होती है, जिसकी भुजाएँ वेक्टर हैं और, यदि उन्हें एक बिंदु से प्लॉट किया जाता है। दूसरे शब्दों में, सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई और भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है और उनके बीच का कोण बराबर होता है। यह वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ है।