ज्यामितीय निकायों की मात्रा के लिए सूत्र। आंकड़ों की मात्रा

ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए, आपको सूत्रों को जानना होगा - जैसे त्रिभुज का क्षेत्रफल या समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल - साथ ही साथ सरल तरकीबें जिनके बारे में हम बात करेंगे।

सबसे पहले, आइए आंकड़ों के क्षेत्रफलों के सूत्र सीखें। हमने उन्हें विशेष रूप से एक सुविधाजनक तालिका में एकत्र किया है। प्रिंट करें, सीखें और लागू करें!

बेशक, सभी ज्यामिति सूत्र हमारी तालिका में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गणित में USE प्रोफ़ाइल के दूसरे भाग में ज्यामिति और स्टीरियोमेट्री में समस्याओं को हल करने के लिए, त्रिकोण के क्षेत्र के लिए अन्य सूत्रों का भी उपयोग किया जाता है। हम आपको उनके बारे में जरूर बताएंगे।

लेकिन क्या होगा यदि आपको एक समलम्बाकार या त्रिभुज का क्षेत्रफल नहीं, बल्कि किसी जटिल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है? सार्वभौमिक तरीके हैं! आइए उन्हें FIPI जॉब बैंक के उदाहरणों के साथ दिखाते हैं।

1. गैर-मानक आकार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? उदाहरण के लिए, एक मनमाना चतुर्भुज? एक सरल तरकीब यह है कि इस आकृति को उन आंकड़ों में विभाजित किया जाए जिनके बारे में हम सभी जानते हैं, और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें - इन आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में।

इस चतुर्भुज को एक क्षैतिज रेखा के साथ समान आधार वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करें। इन त्रिभुजों की ऊँचाई और के बराबर है। तब चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है:.

उत्तर: ।

2. कुछ मामलों में, एक आकृति के क्षेत्र को कुछ क्षेत्रों के बीच के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यह गणना करना इतना आसान नहीं है कि इस त्रिभुज में आधार और ऊँचाई किसके बराबर है! लेकिन हम कह सकते हैं कि इसका क्षेत्रफल एक भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल और तीन समकोण त्रिभुजों के बीच के अंतर के बराबर है। क्या आप उन्हें तस्वीर में देखते हैं? हम पाते हैं:।

उत्तर: ।

3. कभी-कभी कार्य में संपूर्ण आकृति का नहीं, बल्कि उसके भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक होता है। आम तौर पर हम एक क्षेत्र के क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं - एक सर्कल का एक हिस्सा त्रिज्या के एक सर्कल के एक क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जिसकी चाप की लंबाई है।

इस चित्र में हम एक वृत्त का एक भाग देखते हैं। से पूरे वृत्त का क्षेत्रफल बराबर है। यह पता लगाना बाकी है कि वृत्त के किस भाग को दर्शाया गया है। चूँकि पूरे वृत्त की लंबाई बराबर (चूंकि) है, और इस त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई है, इसलिए चाप की लंबाई पूरे वृत्त की लंबाई से एक गुना कम है। यह चाप जिस कोण पर टिका है वह भी पूर्ण वृत्त (अर्थात डिग्री) से एक गुना कम है। इसका मतलब है कि सेक्टर का क्षेत्रफल पूरे सर्कल के क्षेत्रफल से एक गुना कम होगा।

और प्राचीन मिस्रवासियों ने हमारी विधियों के समान विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना के लिए विधियों का उपयोग किया।

उनकी किताबों में "शुरुआत"प्रसिद्ध प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने कई ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की गणना के लिए काफी बड़ी संख्या में विधियों का वर्णन किया। रूस में पहली पांडुलिपियां, जिसमें ज्यामितीय जानकारी होती है, $ XVI $ सदी में लिखी गई थीं। वे विभिन्न आकृतियों की आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के नियमों का वर्णन करते हैं।

आज, आधुनिक तरीकों का उपयोग करके, आप किसी भी आकार के क्षेत्र को बड़ी सटीकता के साथ पा सकते हैं।

सबसे सरल आकृतियों में से एक पर विचार करें - एक आयत - और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र।

आयत के क्षेत्रफल का सूत्र

एक आकृति (चित्र 1) पर विचार करें, जिसमें $ 1 $ सेमी के पक्षों के साथ $ 8 $ वर्ग होते हैं। एक वर्ग का क्षेत्रफल $ 1 $ सेमी के साथ एक वर्ग सेंटीमीटर कहा जाता है और इसे $ 1 \ सेमी के रूप में लिखा जाता है ^ 2 $।

इस आकृति का क्षेत्रफल (चित्र 1) $ 8 \ cm ^ 2 $ के बराबर होगा।

आकृति का क्षेत्रफल, जिसे पक्षों के साथ कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है $ 1 \ cm $ (उदाहरण के लिए, $ p $), $ p \ cm ^ 2 $ के बराबर होगा।

दूसरे शब्दों में, आकृति का क्षेत्रफल जितने $ cm ^ 2 $ के बराबर होगा, $ 1 \ cm $ की भुजा वाले कितने वर्गों में यह आंकड़ा तोड़ा जा सकता है।

एक आयत (चित्र 2) पर विचार करें, जिसमें $ 3 $ स्ट्रिप्स होते हैं, जिनमें से प्रत्येक को $ 5 $ वर्गों में $ 1 \ cm $ पक्षों के साथ विभाजित किया जाता है। पूरे आयत में $ 5 \ cdot 3 = 15 $ ऐसे वर्ग होते हैं, और इसका क्षेत्रफल $ 15 \ cm ^ 2 $ है।

चित्र 1।

चित्र 2।

आंकड़ों के क्षेत्र को आमतौर पर $ S $ अक्षर से दर्शाया जाता है।

एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसकी लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करना होगा।

यदि हम इसकी लंबाई को अक्षर $ a $ और चौड़ाई को अक्षर $ b $ से निरूपित करते हैं, तो आयत के क्षेत्रफल का सूत्र इस तरह दिखेगा:

परिभाषा 1

आंकड़े कहलाते हैं बराबरी का,यदि, जब एक दूसरे पर आरोपित किया जाता है, तो आकृतियाँ मेल खाती हैं। समान आकृतियों के समान क्षेत्रफल और समान परिमाप होते हैं।

किसी आकृति का क्षेत्रफल उसके भागों के क्षेत्रफल के योग के रूप में पाया जा सकता है।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, चित्र $ 3 $ में, आयत $ ABCD $ को $ KLMN $ रेखा द्वारा दो भागों में विभाजित किया गया है। एक भाग का क्षेत्रफल $12 \ cm ^ 2 $ है, और दूसरे भाग का क्षेत्रफल $9 \ cm ^ 2 $ है। तब आयत $ ABCD $ का क्षेत्रफल $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $ के बराबर होगा। आइए सूत्र द्वारा आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों विधियों द्वारा प्राप्त क्षेत्रफल समान हैं।

चित्र तीन।

चित्रा 4.

खंड $ AC $ आयत को दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है: $ ABC $ और $ ADC $। इसका अर्थ है कि प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल पूरे आयत के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है।

परिभाषा 2

समान भुजाओं वाला आयत कहलाता है वर्ग.

यदि हम वर्ग की भुजा को $ a $ अक्षर से निरूपित करते हैं, तो वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाएगा:

इसलिए संख्या $a $ का नाम वर्ग।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग की भुजा $ 5 $ cm है, तो उसका क्षेत्रफल है:

संस्करणों

प्राचीन सभ्यताओं के दिनों में व्यापार और निर्माण के विकास के साथ, मात्रा का पता लगाना आवश्यक हो गया। गणित में, ज्यामिति का एक खंड होता है जो स्थानिक आंकड़ों के अध्ययन से संबंधित होता है, जिसे स्टीरियोमेट्री कहा जाता है। गणित के इस अलग क्षेत्र का उल्लेख पहले से ही $ IV $ सदी ईसा पूर्व में सामने आया था।

प्राचीन गणितज्ञों ने सरल आकृतियों के आयतन की गणना के लिए एक विधि विकसित की - एक घन और एक समानांतर चतुर्भुज। उस समय की सभी संरचनाएं ठीक इसी आकार की थीं। लेकिन बाद में, अधिक जटिल आकृतियों के आंकड़ों के आयतन की गणना के लिए तरीके खोजे गए।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन

यदि आप सांचे को गीली रेत से भरते हैं और फिर उसे पलट देते हैं, तो हमें एक आयतन आकृति प्राप्त होती है, जो आयतन की विशेषता होती है। यदि आप एक ही साँचे का उपयोग करके ऐसी कई आकृतियाँ बनाते हैं, तो आपको समान आयतन वाली आकृतियाँ मिलेंगी। यदि आप सांचे में पानी भरते हैं, तो पानी का आयतन और रेत की आकृति का आयतन भी बराबर होगा।

चित्रा 5.

आप दो बर्तनों के आयतन की तुलना एक में पानी भरकर और दूसरे बर्तन में डालकर कर सकते हैं। यदि दूसरा पात्र पूरी तरह से भरा हुआ है, तो बर्तनों का आयतन समान है। यदि उसी समय पहले बर्तन में पानी रहता है, तो पहले बर्तन का आयतन दूसरे के आयतन से अधिक होता है। यदि पहले बर्तन से पानी डालते समय दूसरे बर्तन को पूरी तरह से भरना संभव नहीं है, तो पहले बर्तन का आयतन दूसरे बर्तन के आयतन से कम है।

आयतन को निम्नलिखित इकाइयों का उपयोग करके मापा जाता है:

$ मिमी ^ 3 $ - घन मिलीमीटर,

$ सेमी ^ 3 $ - घन सेंटीमीटर,

$ डीएम ^ 3 $ - घन डेसीमीटर,

$ मी ^ 3 $ - घन मीटर,

$ किमी ^ 3 $ - घन किलोमीटर।

सामान्य समीक्षा। स्टीरियोमेट्री सूत्र!

हैलो प्यारे दोस्तों! इस लेख में, मैंने स्टीरियोमेट्री में कार्यों का एक सामान्य अवलोकन करने का निर्णय लिया जो कि होगा गणितज्ञ में एकीकृत राज्य परीक्षाई. मुझे कहना होगा कि इस समूह के कार्य काफी विविध हैं, लेकिन कठिन नहीं हैं। ये ज्यामितीय मात्राएँ खोजने के कार्य हैं: लंबाई, कोण, क्षेत्रफल, आयतन।

माना जाता है: घन, आयताकार समानांतर चतुर्भुज, प्रिज्म, पिरामिड, यौगिक बहुफलक, बेलन, शंकु, गेंद। यह इस तथ्य से दुखी है कि कुछ स्नातक परीक्षा के दौरान ऐसी समस्याओं का सामना भी नहीं करते हैं, हालांकि उनमें से 50% से अधिक प्राथमिक, लगभग मौखिक रूप से हल किए जाते हैं।

बाकी के लिए थोड़े प्रयास, ज्ञान और विशेष तकनीकों की आवश्यकता होती है। भविष्य के लेखों में, हम इन कार्यों पर विचार करेंगे, इसे याद न करें, ब्लॉग अपडेट की सदस्यता लें।

हल करने के लिए, आपको पता होना चाहिए सतह क्षेत्रों और मात्राओं के लिए सूत्रसमानांतर चतुर्भुज, पिरामिड, प्रिज्म, सिलेंडर, शंकु और गेंद। कोई कठिन कार्य नहीं हैं, उन सभी को 2-3 चरणों में हल किया जाता है, यह "देखना" महत्वपूर्ण है कि किस सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है।

सभी आवश्यक सूत्र नीचे प्रस्तुत किए गए हैं:

गोला या गोला। एक गोलाकार या गोलाकार सतह (कभी-कभी सिर्फ एक गोला) एक बिंदु से समान दूरी पर अंतरिक्ष में बिंदुओं का स्थान होता है - गेंद का केंद्र।

बॉल वॉल्यूमपिरामिड के आयतन के बराबर है, जिसके आधार का क्षेत्रफल गेंद की सतह के समान है, और ऊँचाई गेंद की त्रिज्या है

गोले का आयतन उसके चारों ओर वर्णित बेलन के आयतन से डेढ़ गुना कम है।

एक आयताकार त्रिभुज को उसके एक पैर के चारों ओर घुमाकर एक गोल शंकु प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए एक गोल शंकु को क्रांति का शंकु भी कहा जाता है। एक वृत्ताकार शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी देखें

गोल शंकु मात्राऊंचाई H द्वारा आधार S के क्षेत्रफल के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है:

(H घन के किनारे की ऊंचाई है)

एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है। एक समानांतर चतुर्भुज के छह फलक होते हैं, और वे सभी समांतर चतुर्भुज होते हैं। एक समांतर चतुर्भुज, जिसके चार भुजा फलक आयताकार होते हैं, सीधे कहलाते हैं। एक आयत के सभी छह पक्षों के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतनऊंचाई के आधार क्षेत्र के उत्पाद के बराबर है:

(एस पिरामिड के आधार का क्षेत्र है, एच पिरामिड की ऊंचाई है)

एक पिरामिड एक बहुफलक है जिसमें एक चेहरा होता है - पिरामिड का आधार - एक मनमाना बहुभुज, और बाकी - पक्ष के चेहरे - एक सामान्य शीर्ष के साथ त्रिकोण, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है।

पिरामिड के आधार के समानांतर एक खंड पिरामिड को दो भागों में विभाजित करता है। इसके आधार और इस खंड के बीच पिरामिड का हिस्सा एक छोटा पिरामिड है।

काटे गए पिरामिड का आयतनऊंचाई के उत्पाद के एक तिहाई के बराबर एच (ओएस)ऊपरी आधार के क्षेत्रों के योग के लिए S1 (एबीसीडीई), काटे गए पिरामिड का निचला आधार S2 (एबीसीडीई)और उनके बीच औसत आनुपातिक।

n - एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या - एक नियमित पिरामिड का आधार
a - एक नियमित बहुभुज की भुजा - एक नियमित पिरामिड का आधार
एच - नियमित पिरामिड की ऊंचाई

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें एक चेहरा - पिरामिड का आधार - एक नियमित त्रिकोण होता है, और बाकी - पार्श्व चेहरे - एक सामान्य शीर्ष के साथ समान त्रिकोण होते हैं। ऊंचाई ऊपर से आधार के केंद्र तक गिरती है।

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतननियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है, जो कि आधार है एस (एबीसी)ऊंचाई तक एच (ओएस)

a - एक नियमित त्रिभुज की भुजा - एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार
एच - एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई

एक चतुष्फलक के आयतन के सूत्र की व्युत्पत्ति

टेट्राहेड्रोन के आयतन की गणना पिरामिड के आयतन के शास्त्रीय सूत्र का उपयोग करके की जाती है। टेट्राहेड्रोन की ऊंचाई और एक नियमित (समबाहु) त्रिभुज के क्षेत्र को इसमें बदलना आवश्यक है।

टेट्राहेड्रोन मात्रा- अंश में उस अंश के बराबर है जिसके हर में दो का वर्गमूल बारह है, टेट्राहेड्रोन के किनारे की लंबाई के घन से गुणा किया जाता है

(h समचतुर्भुज भुजा की लंबाई है)

परिधि पीलगभग तीन पूर्ण और वृत्त के व्यास की लंबाई का एक-सातवाँ भाग है। एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का सटीक अनुपात ग्रीक अक्षर . द्वारा दर्शाया गया है π

परिणामस्वरूप, वृत्त की परिधि या वृत्त की परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

(r चाप की त्रिज्या है, n डिग्री में चाप का केंद्र कोण है।)

सभी आवश्यक दूरियों को मीटर में मापें।उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करके कई त्रि-आयामी आकृतियों की मात्रा की गणना आसानी से की जा सकती है। हालांकि, सूत्रों में दर्ज सभी मूल्यों को मीटर में मापा जाना चाहिए। इसलिए, सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने से पहले, सुनिश्चित करें कि वे सभी मीटर में मापे गए हैं, या आपने अन्य इकाइयों को मीटर में बदल दिया है।

• 1 मिमी = 0.001 वर्ग मीटर
• 1 सेमी = 0.01 मी
• 1 किमी = 1000 वर्ग मीटर

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