मूल माध्य वर्ग की गणना करें. मानक विचलन क्या है - एक्सेल में मानक विचलन की गणना करने के लिए मानक विचलन फ़ंक्शन का उपयोग करना

भिन्नता का सबसे उत्तम लक्षण माध्य वर्ग विचलन है, जिसे मानक (या मानक विचलन) कहा जाता है। मानक विचलन() अंकगणित माध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के औसत वर्ग विचलन के वर्गमूल के बराबर है:

मानक विचलन सरल है:

भारित मानक विचलन समूहीकृत डेटा पर लागू किया जाता है:

सामान्य वितरण स्थितियों के तहत मूल माध्य वर्ग और माध्य रैखिक विचलन के बीच निम्नलिखित अनुपात होता है: ~ 1.25।

मानक विचलन, भिन्नता का मुख्य निरपेक्ष माप होने के नाते, नमूना अवलोकन के संगठन से संबंधित गणनाओं और नमूना विशेषताओं की सटीकता स्थापित करने के साथ-साथ सामान्य वितरण वक्र के समन्वय मूल्यों को निर्धारित करने में उपयोग किया जाता है। एक सजातीय जनसंख्या में किसी विशेषता की भिन्नता की सीमाएँ।

फैलाव, इसके प्रकार, मानक विचलन।

एक यादृच्छिक चर का प्रसरण- किसी दिए गए यादृच्छिक चर के प्रसार का माप, यानी, गणितीय अपेक्षा से इसका विचलन। सांख्यिकी में, संकेतन या का प्रयोग अक्सर किया जाता है। विचरण के वर्गमूल को मानक विचलन, मानक विचलन या मानक प्रसार कहा जाता है।

कुल विचरण (σ 2) इस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव के तहत किसी विशेषता की भिन्नता को उसकी संपूर्णता में मापता है। साथ ही, समूहीकरण विधि के लिए धन्यवाद, समूहीकरण विशेषता और बेहिसाब कारकों के प्रभाव में उत्पन्न होने वाली भिन्नता के कारण भिन्नता को पहचानना और मापना संभव है।

अंतरसमूह विचरण (σ 2 मिलीग्राम) व्यवस्थित भिन्नता को दर्शाता है, यानी, अध्ययन की जा रही विशेषता के मूल्य में अंतर जो विशेषता के प्रभाव में उत्पन्न होता है - वह कारक जो समूह का आधार बनाता है।

मानक विचलन(समानार्थक शब्द: मानक विचलन, मानक विचलन, वर्ग विचलन; संबंधित शब्द: मानक विचलन, मानक प्रसार) - संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव का सबसे आम संकेतक। मानों के नमूनों की सीमित सरणियों के साथ, गणितीय अपेक्षा के बजाय, नमूनों के सेट के अंकगणितीय माध्य का उपयोग किया जाता है।

मानक विचलन को यादृच्छिक चर की इकाइयों में ही मापा जाता है और इसका उपयोग अंकगणित माध्य की मानक त्रुटि की गणना करते समय, आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण करते समय, सांख्यिकीय रूप से परिकल्पना का परीक्षण करते समय, यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध को मापते समय किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के विचरण के वर्गमूल के रूप में परिभाषित।

मानक विचलन:

मानक विचलन(यादृच्छिक चर के मानक विचलन का अनुमान एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष):

फैलाव कहां है; — मैंचयन का वां तत्व; - नमूने का आकार; - नमूने का अंकगणितीय माध्य:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दोनों अनुमान पक्षपातपूर्ण हैं। सामान्य स्थिति में, निष्पक्ष अनुमान बनाना असंभव है। हालाँकि, निष्पक्ष विचरण अनुमान पर आधारित अनुमान सुसंगत है।

बहुलक और माध्यिका के निर्धारण का सार, दायरा और प्रक्रिया।

आंकड़ों में पावर औसत के अलावा, एक अलग विशेषता के मूल्य और वितरण श्रृंखला की आंतरिक संरचना के सापेक्ष लक्षण वर्णन के लिए, संरचनात्मक औसत का उपयोग किया जाता है, जिसे मुख्य रूप से दर्शाया जाता है फैशन और मंझला.

पहनावा- यह श्रृंखला का सबसे आम संस्करण है। उदाहरण के लिए, फैशन का उपयोग उन कपड़ों और जूतों के आकार को निर्धारित करने में किया जाता है जिनकी खरीदारों के बीच सबसे अधिक मांग है। असतत श्रृंखला के लिए मोड उच्चतम आवृत्ति वाला मोड है। अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए मोड की गणना करते समय, आपको पहले मोडल अंतराल (अधिकतम आवृत्ति के आधार पर) निर्धारित करना होगा, और फिर सूत्र का उपयोग करके विशेषता के मोडल मान का मान निर्धारित करना होगा:

- - फैशन मूल्य

- — मोडल अंतराल की निचली सीमा

- - अंतराल आकार

- - मोडल अंतराल आवृत्ति

- - मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति

- - मोडल के बाद अंतराल की आवृत्ति

माध्यिका -यह उस विशेषता का मान है जो रैंक की गई श्रृंखला को रेखांकित करता है और इस श्रृंखला को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

आवृत्तियों की उपस्थिति में एक अलग श्रृंखला में माध्यिका निर्धारित करने के लिए, पहले आवृत्तियों के आधे योग की गणना करें और फिर यह निर्धारित करें कि वैरिएंट का कौन सा मान उस पर पड़ता है। (यदि क्रमबद्ध श्रृंखला में विषम संख्या में विशेषताएं हैं, तो माध्य संख्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एम ई = (एन (कुल सुविधाओं की संख्या) + 1)/2,

सुविधाओं की सम संख्या के मामले में, माध्यिका पंक्ति के मध्य में दो विशेषताओं के औसत के बराबर होगी)।

गणना करते समय माध्यिकाओंअंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए, पहले उस मध्य अंतराल को निर्धारित करें जिसके भीतर मध्यिका स्थित है, और फिर सूत्र का उपयोग करके मध्यिका का मान निर्धारित करें:

- - आवश्यक माध्यिका

- - अंतराल की निचली सीमा जिसमें माध्यिका होती है

- - अंतराल आकार

- - आवृत्तियों का योग या श्रृंखला पदों की संख्या

माध्यिका से पहले के अंतरालों की संचित आवृत्तियों का योग

- — माध्यिका अंतराल की आवृत्ति

उदाहरण. बहुलक और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

समाधान:
इस उदाहरण में, मोडल अंतराल 25-30 वर्ष के आयु समूह के भीतर है, क्योंकि इस अंतराल की आवृत्ति सबसे अधिक (1054) है।

आइए मोड के परिमाण की गणना करें:

इसका मतलब है कि छात्रों की आदर्श आयु 27 वर्ष है।

आइए माध्यिका की गणना करें. मध्य अंतराल 25-30 वर्ष के आयु समूह में है, क्योंकि इस अंतराल के भीतर एक विकल्प है जो जनसंख्या को दो बराबर भागों में विभाजित करता है (Σf i /2 = 3462/2 = 1731)। इसके बाद, हम आवश्यक संख्यात्मक डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और माध्य मान प्राप्त करते हैं:

इसका मतलब है कि आधे छात्र 27.4 वर्ष से कम उम्र के हैं, और दूसरे आधे 27.4 वर्ष से अधिक उम्र के हैं।

मोड और माध्यिका के अलावा, चतुर्थक जैसे संकेतकों का उपयोग किया जा सकता है, जो क्रमबद्ध श्रृंखला को 4 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, दशमलव- 10 भाग और शतमक - प्रति 100 भाग।

चयनात्मक अवलोकन की अवधारणा और इसका दायरा।

चयनात्मक अवलोकनसतत निगरानी का उपयोग करते समय लागू होता है शारीरिक रूप से असंभवबड़ी मात्रा में डेटा के कारण या आर्थिक रूप से व्यवहार्य नहीं. उदाहरण के लिए, यात्री प्रवाह, बाजार की कीमतों और पारिवारिक बजट का अध्ययन करते समय भौतिक असंभवता उत्पन्न होती है। आर्थिक अक्षमता तब होती है जब उनके विनाश से जुड़ी वस्तुओं की गुणवत्ता का आकलन किया जाता है, उदाहरण के लिए, चखना, ताकत के लिए ईंटों का परीक्षण करना आदि।

अवलोकन के लिए चुनी गई सांख्यिकीय इकाइयाँ नमूना फ्रेम या नमूना का गठन करती हैं, और उनकी संपूर्ण सरणी सामान्य जनसंख्या (जीएस) का गठन करती है। इस मामले में, नमूने में इकाइयों की संख्या को दर्शाया गया है एन, और संपूर्ण एचएस में - एन. नज़रिया एन/एननमूने का सापेक्ष आकार या अनुपात कहा जाता है।

नमूना अवलोकन के परिणामों की गुणवत्ता नमूने की प्रतिनिधित्वशीलता पर निर्भर करती है, अर्थात यह एचएस में कितना प्रतिनिधि है। नमूने की प्रतिनिधित्वशीलता सुनिश्चित करने के लिए इसका अनुपालन करना आवश्यक है इकाइयों के यादृच्छिक चयन का सिद्धांत, जो मानता है कि नमूने में एचएस इकाई का समावेश संयोग के अलावा किसी अन्य कारक से प्रभावित नहीं हो सकता है।

मौजूद यादृच्छिक चयन के 4 तरीकेनमूने के लिए:

1. वास्तव में यादृच्छिकचयन या "लोट्टो विधि", जब सांख्यिकीय मात्राओं को क्रम संख्या दी जाती है, कुछ वस्तुओं (उदाहरण के लिए, बैरल) पर दर्ज किया जाता है, जिसे बाद में कुछ कंटेनर में मिलाया जाता है (उदाहरण के लिए, एक बैग में) और यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। व्यवहार में, यह विधि यादृच्छिक संख्या जनरेटर या यादृच्छिक संख्याओं की गणितीय तालिकाओं का उपयोग करके की जाती है।
2. यांत्रिकचयन जिसके अनुसार प्रत्येक ( एन/एन)-सामान्य जनसंख्या का वां मान। उदाहरण के लिए, यदि इसमें 100,000 मान हैं, और आपको 1,000 का चयन करने की आवश्यकता है, तो प्रत्येक 100,000 / 1000 = 100वां मान नमूने में शामिल किया जाएगा। इसके अलावा, यदि उन्हें रैंक नहीं किया गया है, तो पहले सौ में से पहले वाले को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, और अन्य की संख्या एक सौ अधिक होगी। उदाहरण के लिए, यदि पहली इकाई क्रमांक 19 थी, तो अगली इकाई क्रमांक 119, फिर क्रमांक 219, फिर क्रमांक 319 इत्यादि होनी चाहिए। यदि जनसंख्या इकाइयों को रैंक किया जाता है, तो पहले नंबर 50 को चुना जाता है, फिर नंबर 150, फिर नंबर 250, और इसी तरह।
3. विषम डेटा सरणी से मानों का चयन किया जाता है विभक्त हो गया(स्तरीकृत) विधि, जब जनसंख्या को पहले सजातीय समूहों में विभाजित किया जाता है जिसमें यादृच्छिक या यांत्रिक चयन लागू होता है।
4. एक विशेष नमूनाकरण विधि है धारावाहिकचयन, जिसमें वे बेतरतीब ढंग से या यंत्रवत् रूप से व्यक्तिगत मूल्यों का नहीं, बल्कि उनकी श्रृंखला (एक पंक्ति में कुछ संख्या से कुछ संख्या तक का क्रम) का चयन करते हैं, जिसके भीतर निरंतर अवलोकन किया जाता है।

नमूना अवलोकनों की गुणवत्ता भी इस पर निर्भर करती है नमूना प्रकार: दोहराया गयाया अप्राप्य.

पर पुनः चयननमूने में शामिल सांख्यिकीय मान या उनकी श्रृंखला उपयोग के बाद सामान्य आबादी को वापस कर दी जाती है, जिससे नए नमूने में शामिल होने का मौका मिलता है। इसके अलावा, जनसंख्या के सभी मूल्यों के नमूने में शामिल होने की संभावना समान है।

पुनरावर्ती चयनइसका मतलब है कि नमूने में शामिल सांख्यिकीय मूल्य या उनकी श्रृंखला उपयोग के बाद सामान्य आबादी में वापस नहीं आती है, और इसलिए बाद के शेष मूल्यों के लिए अगले नमूने में शामिल होने की संभावना बढ़ जाती है।

गैर-दोहरावीय नमूनाकरण अधिक सटीक परिणाम देता है, इसलिए इसका उपयोग अधिक बार किया जाता है। लेकिन ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब इसे लागू नहीं किया जा सकता (यात्री प्रवाह, उपभोक्ता मांग आदि का अध्ययन) और फिर बार-बार चयन किया जाता है।

अधिकतम अवलोकन नमूनाकरण त्रुटि, औसत नमूनाकरण त्रुटि, उनकी गणना की प्रक्रिया।

आइए ऊपर सूचीबद्ध नमूना जनसंख्या बनाने की विधियों और ऐसा करते समय उत्पन्न होने वाली त्रुटियों पर विस्तार से विचार करें। प्रातिनिधिकता .
उचित रूप से यादृच्छिकनमूनाकरण बिना किसी व्यवस्थित तत्व के यादृच्छिक रूप से जनसंख्या से इकाइयों का चयन करने पर आधारित है। तकनीकी रूप से, वास्तविक यादृच्छिक चयन लॉट (उदाहरण के लिए, लॉटरी) निकालकर या यादृच्छिक संख्याओं की तालिका का उपयोग करके किया जाता है।

उचित यादृच्छिक चयन "अपने शुद्ध रूप में" चयनात्मक अवलोकन के अभ्यास में शायद ही कभी उपयोग किया जाता है, लेकिन यह अन्य प्रकार के चयन के बीच मूल है, यह चयनात्मक अवलोकन के बुनियादी सिद्धांतों को लागू करता है। आइए नमूनाकरण विधि के सिद्धांत और एक साधारण यादृच्छिक नमूने के त्रुटि सूत्र के कुछ प्रश्नों पर विचार करें।

आंकड़ों की अशुद्धिसामान्य जनसंख्या में पैरामीटर के मान और नमूना अवलोकन के परिणामों से गणना किए गए उसके मान के बीच का अंतर है। औसत मात्रात्मक विशेषता के लिए, नमूनाकरण त्रुटि निर्धारित की जाती है

सूचक को सीमांत नमूनाकरण त्रुटि कहा जाता है।
नमूना माध्य एक यादृच्छिक चर है जो नमूने में शामिल इकाइयों के आधार पर विभिन्न मान ले सकता है। इसलिए, नमूनाकरण त्रुटियां भी यादृच्छिक चर हैं और विभिन्न मान ले सकती हैं। अतः संभावित त्रुटियों का औसत ज्ञात किया जाता है - औसत नमूनाकरण त्रुटि, जो इस पर निर्भर करता है:

नमूना आकार: संख्या जितनी बड़ी होगी, औसत त्रुटि उतनी ही छोटी होगी;

अध्ययन की जा रही विशेषता में परिवर्तन की डिग्री: विशेषता की भिन्नता जितनी छोटी होगी, और, परिणामस्वरूप, फैलाव, औसत नमूनाकरण त्रुटि उतनी ही कम होगी।

पर यादृच्छिक पुनः चयनऔसत त्रुटि की गणना की जाती है:
.
व्यवहार में, सामान्य भिन्नता ठीक से ज्ञात नहीं है, लेकिन सिद्धांत संभावनायह सिद्ध हो चुका है
.
चूँकि पर्याप्त रूप से बड़े n का मान 1 के करीब है, हम यह मान सकते हैं। फिर औसत नमूनाकरण त्रुटि की गणना की जा सकती है:
.
लेकिन एक छोटे नमूने के मामलों में (एन के साथ)।<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

पर यादृच्छिक गैर-दोहरावदार नमूनाकरणदिए गए सूत्र मान द्वारा समायोजित किए जाते हैं। फिर औसत गैर-दोहरावीय नमूनाकरण त्रुटि है:
और .
क्योंकि हमेशा कम होता है, तो गुणक () हमेशा 1 से कम होता है। इसका मतलब है कि गैर-दोहरावीय चयन के दौरान औसत त्रुटि हमेशा दोहराया चयन के दौरान से कम होती है।
यांत्रिक नमूनाकरणइसका उपयोग तब किया जाता है जब सामान्य जनसंख्या को किसी तरह से क्रमबद्ध किया जाता है (उदाहरण के लिए, वर्णमाला क्रम में मतदाता सूचियाँ, टेलीफोन नंबर, घर के नंबर, अपार्टमेंट नंबर)। इकाइयों का चयन एक निश्चित अंतराल पर किया जाता है, जो नमूना प्रतिशत के व्युत्क्रम के बराबर होता है। तो, 2% नमूने के साथ, प्रत्येक 50 इकाई = 1/0.02 का चयन किया जाता है, 5% नमूने के साथ, प्रत्येक 1/0.05 = सामान्य जनसंख्या की 20 इकाई का चयन किया जाता है।

संदर्भ बिंदु का चयन अलग-अलग तरीकों से किया जाता है: यादृच्छिक रूप से, अंतराल के मध्य से, संदर्भ बिंदु में बदलाव के साथ। मुख्य बात व्यवस्थित त्रुटि से बचना है। उदाहरण के लिए, 5% नमूने के साथ, यदि पहली इकाई 13वीं है, तो अगली 33, 53, 73, आदि हैं।

सटीकता के संदर्भ में, यांत्रिक चयन वास्तविक यादृच्छिक नमूने के करीब है। इसलिए, यांत्रिक नमूने की औसत त्रुटि निर्धारित करने के लिए, उचित यादृच्छिक चयन सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

पर विशिष्ट चयन सर्वेक्षण की जा रही जनसंख्या को प्रारंभिक रूप से सजातीय, समान समूहों में विभाजित किया गया है। उदाहरण के लिए, उद्यमों का सर्वेक्षण करते समय, ये उद्योग, उप-क्षेत्र हो सकते हैं; जनसंख्या का अध्ययन करते समय, ये क्षेत्र, सामाजिक या आयु समूह हो सकते हैं। फिर प्रत्येक समूह से एक स्वतंत्र चयन यंत्रवत् या विशुद्ध रूप से यादृच्छिक रूप से किया जाता है।

विशिष्ट नमूनाकरण अन्य तरीकों की तुलना में अधिक सटीक परिणाम देता है। सामान्य जनसंख्या को टाइप करने से यह सुनिश्चित होता है कि प्रत्येक टाइपोलॉजिकल समूह को नमूने में दर्शाया गया है, जिससे औसत नमूनाकरण त्रुटि पर अंतरसमूह विचरण के प्रभाव को खत्म करना संभव हो जाता है। नतीजतन, भिन्नताओं को जोड़ने के नियम () के अनुसार एक विशिष्ट नमूने की त्रुटि का पता लगाते समय, केवल समूह भिन्नताओं के औसत को ध्यान में रखना आवश्यक है। तब औसत नमूनाकरण त्रुटि है:
पुनः चयन होने पर
,
गैर-दोहरावीय चयन के साथ
,
कहाँ - नमूने में समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत।

सीरियल (या नेस्ट) चयन इसका उपयोग तब किया जाता है जब नमूना सर्वेक्षण शुरू होने से पहले जनसंख्या को श्रृंखला या समूहों में विभाजित किया जाता है। ये श्रृंखला तैयार उत्पादों, छात्र समूहों, टीमों की पैकेजिंग हो सकती है। परीक्षण के लिए श्रृंखलाओं का चयन यंत्रवत् या पूरी तरह से यादृच्छिक रूप से किया जाता है, और श्रृंखला के भीतर इकाइयों की निरंतर जांच की जाती है। इसलिए, औसत नमूनाकरण त्रुटि केवल अंतरसमूह (अंतरश्रृंखला) विचरण पर निर्भर करती है, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहाँ r चयनित श्रृंखला की संख्या है;
- i-वें श्रृंखला का औसत।

औसत क्रमिक नमूनाकरण त्रुटि की गणना की जाती है:

पुनः चयन पर:
,
गैर-दोहरावीय चयन के साथ:
,
जहां R एपिसोड की कुल संख्या है।

संयुक्तचयनसुविचारित चयन विधियों का एक संयोजन है।

किसी भी नमूना पद्धति के लिए औसत नमूनाकरण त्रुटि मुख्य रूप से नमूने के पूर्ण आकार और कुछ हद तक नमूने के प्रतिशत पर निर्भर करती है। आइए मान लें कि पहले मामले में 225 अवलोकन 4,500 इकाइयों की आबादी से किए गए हैं और दूसरे में 225,000 इकाइयों की आबादी से किए गए हैं। दोनों मामलों में भिन्नताएं 25 के बराबर हैं। फिर पहले मामले में, 5% चयन के साथ, नमूनाकरण त्रुटि होगी:

दूसरे मामले में, 0.1% चयन के साथ, यह इसके बराबर होगा:

इस प्रकारनमूना प्रतिशत में 50 गुना की कमी के साथ, नमूना त्रुटि थोड़ी बढ़ गई, क्योंकि नमूना आकार नहीं बदला।
आइए मान लें कि नमूना आकार 625 अवलोकनों तक बढ़ गया है। इस मामले में, नमूनाकरण त्रुटि है:

समान जनसंख्या आकार के साथ नमूना को 2.8 गुना बढ़ाने से नमूना त्रुटि का आकार 1.6 गुना से अधिक कम हो जाता है।

नमूना जनसंख्या बनाने की विधियाँ और विधियाँ।

आंकड़ों में, नमूना आबादी बनाने के विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है, जो अध्ययन के उद्देश्यों से निर्धारित होता है और अध्ययन की वस्तु की बारीकियों पर निर्भर करता है।

नमूना सर्वेक्षण करने की मुख्य शर्त सामान्य जनसंख्या की प्रत्येक इकाई को नमूने में शामिल करने के लिए समान अवसर के सिद्धांत के उल्लंघन से उत्पन्न होने वाली व्यवस्थित त्रुटियों की घटना को रोकना है। नमूना जनसंख्या बनाने के लिए वैज्ञानिक रूप से आधारित तरीकों के उपयोग के माध्यम से व्यवस्थित त्रुटियों की रोकथाम हासिल की जाती है।

जनसंख्या से इकाइयों का चयन करने की निम्नलिखित विधियाँ हैं:

1) व्यक्तिगत चयन - नमूने के लिए व्यक्तिगत इकाइयों का चयन किया जाता है;

2) समूह चयन - नमूने में गुणात्मक रूप से सजातीय समूह या अध्ययन की जा रही इकाइयों की श्रृंखला शामिल है;

3) संयुक्त चयन व्यक्तिगत और समूह चयन का एक संयोजन है।
चयन विधियाँ नमूना जनसंख्या बनाने के नियमों द्वारा निर्धारित की जाती हैं।

नमूना हो सकता है:

• वास्तव में यादृच्छिकइस तथ्य में निहित है कि नमूना जनसंख्या सामान्य जनसंख्या से व्यक्तिगत इकाइयों के यादृच्छिक (अनजाने में) चयन के परिणामस्वरूप बनती है। इस मामले में, नमूना जनसंख्या में चयनित इकाइयों की संख्या आमतौर पर स्वीकृत नमूना अनुपात के आधार पर निर्धारित की जाती है। नमूना अनुपात नमूना जनसंख्या n में इकाइयों की संख्या और सामान्य जनसंख्या N में इकाइयों की संख्या का अनुपात है, अर्थात।

• यांत्रिकइस तथ्य में निहित है कि नमूना जनसंख्या में इकाइयों का चयन सामान्य जनसंख्या से किया जाता है, जो समान अंतराल (समूहों) में विभाजित होती है। इस मामले में, जनसंख्या में अंतराल का आकार नमूना अनुपात के व्युत्क्रम के बराबर है। तो, 2% नमूने के साथ, प्रत्येक 50वीं इकाई (1:0.02) का चयन किया जाता है, 5% नमूने के साथ, प्रत्येक 20वीं इकाई (1:0.05), आदि का चयन किया जाता है। इस प्रकार, चयन के स्वीकृत अनुपात के अनुसार, सामान्य जनसंख्या यंत्रवत रूप से समान आकार के समूहों में विभाजित हो जाती है। प्रत्येक समूह से नमूने के लिए केवल एक इकाई का चयन किया जाता है।
• ठेठ -जिसमें सामान्य जनसंख्या को पहले सजातीय विशिष्ट समूहों में विभाजित किया जाता है। फिर, प्रत्येक विशिष्ट समूह से, नमूना आबादी में व्यक्तिगत रूप से इकाइयों का चयन करने के लिए एक विशुद्ध रूप से यादृच्छिक या यांत्रिक नमूने का उपयोग किया जाता है। एक विशिष्ट नमूने की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि यह नमूना आबादी में इकाइयों के चयन के अन्य तरीकों की तुलना में अधिक सटीक परिणाम देता है;
• धारावाहिक- जिसमें सामान्य जनसंख्या को समान आकार के समूहों - श्रृंखला में विभाजित किया जाता है। नमूना जनसंख्या में श्रृंखला का चयन किया जाता है। श्रृंखला के भीतर, श्रृंखला में शामिल इकाइयों का निरंतर अवलोकन किया जाता है;
• संयुक्त- नमूनाकरण दो चरणों वाला हो सकता है। इस मामले में, जनसंख्या को पहले समूहों में विभाजित किया जाता है। फिर समूहों का चयन किया जाता है, और बाद में व्यक्तिगत इकाइयों का चयन किया जाता है।

आंकड़ों में, नमूना जनसंख्या में इकाइयों का चयन करने के लिए निम्नलिखित विधियों को प्रतिष्ठित किया जाता है::

• एकल मंचनमूनाकरण - प्रत्येक चयनित इकाई को तुरंत दिए गए मानदंड (उचित यादृच्छिक और क्रमिक नमूनाकरण) के अनुसार अध्ययन के अधीन किया जाता है;
• बहुमंज़िलानमूनाकरण - व्यक्तिगत समूहों की सामान्य आबादी से चयन किया जाता है, और समूहों से अलग-अलग इकाइयों का चयन किया जाता है (नमूना आबादी में इकाइयों का चयन करने की यांत्रिक विधि के साथ विशिष्ट नमूनाकरण)।

इसके अलावा, ये हैं:

• पुनः चयन- लौटाई गई गेंद की योजना के अनुसार। इस मामले में, नमूने में शामिल प्रत्येक इकाई या श्रृंखला को सामान्य आबादी में वापस कर दिया जाता है और इसलिए उसे फिर से नमूने में शामिल होने का मौका मिलता है;
• चयन दोहराएँ- अनरिटेड बॉल योजना के अनुसार। समान नमूना आकार के साथ इसके परिणाम अधिक सटीक होते हैं।

आवश्यक नमूना आकार निर्धारित करना (छात्र की टी-टेबल का उपयोग करके)।

नमूनाकरण सिद्धांत में वैज्ञानिक सिद्धांतों में से एक यह सुनिश्चित करना है कि पर्याप्त संख्या में इकाइयों का चयन किया जाए। सैद्धांतिक रूप से, इस सिद्धांत का अनुपालन करने की आवश्यकता संभाव्यता सिद्धांत में सीमा प्रमेय के प्रमाणों में प्रस्तुत की जाती है, जो यह स्थापित करना संभव बनाती है कि जनसंख्या से इकाइयों की कितनी मात्रा का चयन किया जाना चाहिए ताकि यह पर्याप्त हो और नमूने की प्रतिनिधित्वशीलता सुनिश्चित हो सके।

मानक नमूना त्रुटि में कमी, और इसलिए अनुमान की सटीकता में वृद्धि, हमेशा नमूना आकार में वृद्धि से जुड़ी होती है, इसलिए, पहले से ही नमूना अवलोकन के आयोजन के चरण में, यह तय करना आवश्यक है कि आकार क्या है नमूना जनसंख्या अवलोकन परिणामों की आवश्यक सटीकता सुनिश्चित करने के लिए होनी चाहिए। आवश्यक नमूना आकार की गणना एक विशेष प्रकार और चयन की विधि के अनुरूप अधिकतम नमूना त्रुटियों (ए) के लिए सूत्रों से प्राप्त सूत्रों का उपयोग करके की जाती है। तो, यादृच्छिक दोहराए गए नमूना आकार (एन) के लिए हमारे पास है:

इस सूत्र का सार यह है कि आवश्यक संख्या के यादृच्छिक बार-बार चयन के साथ, नमूना आकार सीधे आत्मविश्वास गुणांक के वर्ग के समानुपाती होता है (टी2)और परिवर्तनशील विशेषता का विचरण (?2) और अधिकतम नमूनाकरण त्रुटि (?2) के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है। विशेष रूप से, अधिकतम त्रुटि में दो गुना वृद्धि के साथ, आवश्यक नमूना आकार चार गुना कम किया जा सकता है। तीन मापदंडों में से दो (टी और?) शोधकर्ता द्वारा निर्धारित किए गए हैं।

उसी समय, शोधकर्ता, पर आधारित हैनमूना सर्वेक्षण के उद्देश्य और उद्देश्यों से, प्रश्न को हल किया जाना चाहिए: इष्टतम विकल्प सुनिश्चित करने के लिए इन मापदंडों को किस मात्रात्मक संयोजन में शामिल करना बेहतर है? एक मामले में, वह सटीकता (?) के माप की तुलना में प्राप्त परिणामों (टी) की विश्वसनीयता से अधिक संतुष्ट हो सकता है, दूसरे में - इसके विपरीत। अधिकतम नमूना त्रुटि के मूल्य के संबंध में समस्या को हल करना अधिक कठिन है, क्योंकि नमूना अवलोकन को डिजाइन करने के चरण में शोधकर्ता के पास यह संकेतक नहीं है, इसलिए व्यवहार में अधिकतम नमूना त्रुटि का मूल्य निर्धारित करने की प्रथा है, आमतौर पर विशेषता के अपेक्षित औसत स्तर के 10% के भीतर। अनुमानित औसत की स्थापना अलग-अलग तरीकों से की जा सकती है: समान पिछले सर्वेक्षणों से डेटा का उपयोग करना, या नमूना फ्रेम से डेटा का उपयोग करना और एक छोटा पायलट नमूना आयोजित करना।

नमूना अवलोकन को डिज़ाइन करते समय स्थापित करने वाली सबसे कठिन चीज़ सूत्र (5.2) में तीसरा पैरामीटर है - नमूना जनसंख्या का फैलाव। इस मामले में, पहले आयोजित समान और पायलट सर्वेक्षणों में प्राप्त शोधकर्ता के निपटान में सभी जानकारी का उपयोग करना आवश्यक है।

परिभाषा के बारे में प्रश्नयदि नमूना सर्वेक्षण में नमूना इकाइयों की कई विशेषताओं का अध्ययन शामिल हो तो आवश्यक नमूना आकार अधिक जटिल हो जाता है। इस मामले में, प्रत्येक विशेषता का औसत स्तर और उनकी भिन्नता, एक नियम के रूप में, अलग-अलग होती है, और इसलिए, किस विशेषता को प्राथमिकता दी जाए, इसका निर्णय केवल उद्देश्य और उद्देश्यों को ध्यान में रखकर ही संभव है। सर्वेक्षण।

नमूना अवलोकन को डिज़ाइन करते समय, किसी विशेष अध्ययन के उद्देश्यों और अवलोकन परिणामों के आधार पर निष्कर्ष की संभावना के अनुसार अनुमेय नमूना त्रुटि का एक पूर्व निर्धारित मूल्य माना जाता है।

सामान्य तौर पर, नमूना औसत की अधिकतम त्रुटि का सूत्र हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है:

नमूना जनसंख्या संकेतकों से सामान्य जनसंख्या संकेतकों के संभावित विचलन का परिमाण;

आवश्यक नमूना आकार, आवश्यक सटीकता सुनिश्चित करना, जिस पर संभावित त्रुटि की सीमा एक निश्चित निर्दिष्ट मूल्य से अधिक नहीं होगी;

संभावना है कि किसी नमूने में त्रुटि की एक निर्दिष्ट सीमा होगी।

छात्र वितरणसंभाव्यता सिद्धांत में, यह बिल्कुल निरंतर वितरण का एक-पैरामीटर परिवार है।

गतिशील श्रृंखला (अंतराल, क्षण), गतिशील श्रृंखला को बंद करना।

गतिशीलता श्रृंखला- ये सांख्यिकीय संकेतकों के मूल्य हैं जो एक निश्चित कालानुक्रमिक क्रम में प्रस्तुत किए जाते हैं।

प्रत्येक समय श्रृंखला में दो घटक होते हैं:

1) समय अवधि के संकेतक (वर्ष, तिमाही, महीने, दिन या तारीखें);

2) समय अवधि या संबंधित तिथियों पर अध्ययन के तहत वस्तु को चिह्नित करने वाले संकेतक, जिन्हें श्रृंखला स्तर कहा जाता है।

श्रृंखला के स्तर व्यक्त किये गये हैंनिरपेक्ष और औसत या सापेक्ष दोनों मूल्य। संकेतकों की प्रकृति के आधार पर, निरपेक्ष, सापेक्ष और औसत मूल्यों की समय श्रृंखला बनाई जाती है। सापेक्ष और औसत मूल्यों से गतिशील श्रृंखला का निर्माण निरपेक्ष मूल्यों की व्युत्पन्न श्रृंखला के आधार पर किया जाता है। गतिशीलता की अंतराल और क्षण श्रृंखला हैं।

गतिशील अंतराल श्रृंखलाइसमें निश्चित अवधि के लिए संकेतक मान शामिल हैं। एक अंतराल श्रृंखला में, लंबी अवधि में घटना की मात्रा, या तथाकथित संचित योग प्राप्त करने के लिए स्तरों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

गतिशील क्षण श्रृंखलासमय में एक निश्चित बिंदु (समय की तारीख) पर संकेतकों के मूल्यों को दर्शाता है। क्षण श्रृंखला में, शोधकर्ता की रुचि केवल उन घटनाओं के अंतर में हो सकती है जो कुछ तिथियों के बीच श्रृंखला के स्तर में परिवर्तन को दर्शाते हैं, क्योंकि यहां स्तरों के योग में कोई वास्तविक सामग्री नहीं है। संचयी योग की गणना यहां नहीं की गई है।

समय श्रृंखला के सही निर्माण के लिए सबसे महत्वपूर्ण शर्त विभिन्न अवधियों से संबंधित श्रृंखला के स्तरों की तुलना है। स्तरों को सजातीय मात्रा में प्रस्तुत किया जाना चाहिए, और घटना के विभिन्न हिस्सों की कवरेज की समान पूर्णता होनी चाहिए।

के लिएवास्तविक गतिशीलता के विरूपण से बचने के लिए, एक सांख्यिकीय अध्ययन में प्रारंभिक गणना की जाती है (गतिशीलता श्रृंखला को बंद करते हुए), जो समय श्रृंखला के सांख्यिकीय विश्लेषण से पहले होती है। गतिशील श्रृंखला के समापन को दो या दो से अधिक श्रृंखलाओं के एक श्रृंखला में संयोजन के रूप में समझा जाता है, जिनके स्तर की गणना विभिन्न पद्धतियों का उपयोग करके की जाती है या क्षेत्रीय सीमाओं के अनुरूप नहीं होती है, आदि। डायनेमिक्स श्रृंखला को बंद करने का अर्थ डायनेमिक्स श्रृंखला के निरपेक्ष स्तरों को एक सामान्य आधार पर लाना भी हो सकता है, जो डायनेमिक्स श्रृंखला के स्तरों की अतुलनीयता को बेअसर कर देता है।

गतिशीलता श्रृंखला, गुणांक, विकास और विकास दर की तुलनीयता की अवधारणा।

गतिशीलता श्रृंखला- ये समय के साथ प्राकृतिक और सामाजिक घटनाओं के विकास को दर्शाने वाले सांख्यिकीय संकेतकों की एक श्रृंखला हैं। रूस की राज्य सांख्यिकी समिति द्वारा प्रकाशित सांख्यिकीय संग्रह में सारणीबद्ध रूप में बड़ी संख्या में गतिशीलता श्रृंखलाएं शामिल हैं। गतिशील श्रृंखला अध्ययन की जा रही घटनाओं के विकास के पैटर्न की पहचान करना संभव बनाती है।

डायनेमिक्स श्रृंखला में दो प्रकार के संकेतक होते हैं। समय सूचक(वर्ष, तिमाही, महीने, आदि) या समय में अंक (वर्ष की शुरुआत में, प्रत्येक महीने की शुरुआत में, आदि)। पंक्ति स्तर संकेतक. गतिशीलता श्रृंखला के स्तर के संकेतक पूर्ण मूल्यों (टन या रूबल में उत्पाद उत्पादन), सापेक्ष मूल्यों (% में शहरी आबादी का हिस्सा) और औसत मूल्यों (वर्ष के अनुसार उद्योग श्रमिकों की औसत मजदूरी) में व्यक्त किए जा सकते हैं , वगैरह।)। सारणीबद्ध रूप में, एक समय श्रृंखला में दो स्तंभ या दो पंक्तियाँ होती हैं।

समय श्रृंखला के सही निर्माण के लिए कई आवश्यकताओं की पूर्ति की आवश्यकता होती है:

1. गतिशीलता की श्रृंखला के सभी संकेतक वैज्ञानिक रूप से आधारित और विश्वसनीय होने चाहिए;
2. गतिशीलता की एक श्रृंखला के संकेतक समय के साथ तुलनीय होने चाहिए, अर्थात। समान समय अवधि के लिए या समान तिथियों पर गणना की जानी चाहिए;
3. कई गतिशीलता के संकेतक पूरे क्षेत्र में तुलनीय होने चाहिए;
4. गतिशीलता की एक श्रृंखला के संकेतक सामग्री में तुलनीय होने चाहिए, अर्थात। एक ही पद्धति के अनुसार, उसी तरह गणना की गई;
5. कई गतिशीलता के संकेतकों को ध्यान में रखे गए खेतों की श्रेणी में तुलनीय होना चाहिए। गतिशीलता की एक श्रृंखला के सभी संकेतक माप की समान इकाइयों में दिए जाने चाहिए।

सांख्यिकीय संकेतकया तो समय की अवधि में अध्ययन की जा रही प्रक्रिया के परिणामों, या किसी निश्चित समय पर अध्ययन की जा रही घटना की स्थिति को चिह्नित कर सकते हैं, यानी। संकेतक अंतराल (आवधिक) और क्षणिक हो सकते हैं। तदनुसार, प्रारंभ में गतिकी श्रृंखला या तो अंतराल या क्षण हो सकती है। क्षण गतिशीलता श्रृंखला, बदले में, समान या असमान समय अंतराल के साथ हो सकती है।

मूल गतिशीलता श्रृंखला को औसत मूल्यों की श्रृंखला और सापेक्ष मूल्यों (श्रृंखला और बुनियादी) की श्रृंखला में परिवर्तित किया जा सकता है। ऐसी समय श्रृंखला को व्युत्पन्न समय श्रृंखला कहा जाता है।

डायनेमिक्स श्रृंखला में औसत स्तर की गणना करने की पद्धति डायनेमिक्स श्रृंखला के प्रकार के आधार पर भिन्न होती है। उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम औसत स्तर की गणना के लिए गतिशीलता श्रृंखला के प्रकार और सूत्रों पर विचार करेंगे।

बिल्कुल बढ़ जाती है (Δय) दिखाएँ कि श्रृंखला के अगले स्तर में पिछले एक (जीआर 3. - श्रृंखला निरपेक्ष वृद्धि) की तुलना में या प्रारंभिक स्तर (जीआर 4. - मूल निरपेक्ष वृद्धि) की तुलना में कितनी इकाइयाँ बदल गई हैं। गणना सूत्र इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

जब श्रृंखला के निरपेक्ष मान घटते हैं, तो क्रमशः "कमी" या "कमी" होगी।

पूर्ण वृद्धि के संकेतक बताते हैं कि, उदाहरण के लिए, 1998 में, उत्पाद "ए" का उत्पादन 1997 की तुलना में 4 हजार टन और 1994 की तुलना में 34 हजार टन बढ़ गया; अन्य वर्षों के लिए, तालिका देखें। 11.5 जीआर. 3 और 4.

विकास दरदिखाता है कि श्रृंखला का स्तर पिछले एक (जीआर 5 - वृद्धि या गिरावट के श्रृंखला गुणांक) की तुलना में या प्रारंभिक स्तर (जीआर 6 - वृद्धि या गिरावट के मूल गुणांक) की तुलना में कितनी बार बदल गया है। गणना सूत्र इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

विकास दरदिखाएँ कि श्रृंखला का अगला स्तर पिछले वाले (जीआर 7 - श्रृंखला वृद्धि दर) की तुलना में कितना प्रतिशत है या प्रारंभिक स्तर (जीआर 8 - बुनियादी विकास दर) की तुलना में है। गणना सूत्र इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

इसलिए, उदाहरण के लिए, 1997 में, 1996 की तुलना में उत्पाद "ए" की उत्पादन मात्रा 105.5% थी (

विकास दरदिखाएँ कि रिपोर्टिंग अवधि का स्तर पिछले एक (कॉलम 9 - श्रृंखला विकास दर) की तुलना में या प्रारंभिक स्तर (कॉलम 10 - बुनियादी विकास दर) की तुलना में कितने प्रतिशत बढ़ा है। गणना सूत्र इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

टी पीआर = टी आर - 100% या टी पीआर = पूर्ण वृद्धि / पिछली अवधि का स्तर * 100%

इसलिए, उदाहरण के लिए, 1996 में, 1995 की तुलना में, उत्पाद "ए" का उत्पादन 3.8% (103.8% - 100%) या (8:210)x100% अधिक हुआ, और 1994 की तुलना में - 9% (109% -) 100%).

यदि श्रृंखला में निरपेक्ष स्तर घटता है, तो दर 100% से कम होगी और, तदनुसार, गिरावट की दर (ऋण चिह्न के साथ वृद्धि की दर) होगी।

1% वृद्धि का पूर्ण मूल्य(कॉलम 11) दर्शाता है कि किसी निश्चित अवधि में कितनी इकाइयों का उत्पादन किया जाना चाहिए ताकि पिछली अवधि का स्तर 1% बढ़ जाए। हमारे उदाहरण में, 1995 में 2.0 हजार टन का उत्पादन करना आवश्यक था, और 1998 में - 2.3 हजार टन, यानी। बहुत बड़ा।

1% वृद्धि का पूर्ण मूल्य दो तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है:

पिछली अवधि के स्तर को 100 से विभाजित किया गया है;

श्रृंखला निरपेक्ष वृद्धि को संबंधित श्रृंखला वृद्धि दर से विभाजित किया जाता है।

1% वृद्धि का पूर्ण मूल्य =

गतिशीलता में, विशेष रूप से लंबी अवधि में, प्रत्येक प्रतिशत वृद्धि या कमी की सामग्री के साथ विकास दर का संयुक्त विश्लेषण महत्वपूर्ण है।

ध्यान दें कि समय श्रृंखला का विश्लेषण करने के लिए विचार की गई पद्धति समय श्रृंखला दोनों के लिए लागू होती है, जिसका स्तर निरपेक्ष मूल्यों (टी, हजार रूबल, कर्मचारियों की संख्या, आदि) में व्यक्त किया जाता है, और समय श्रृंखला के लिए, जिसके स्तर सापेक्ष संकेतकों (दोषों का %, कोयले की % राख सामग्री, आदि) या औसत मूल्यों (सी/हेक्टेयर में औसत उपज, औसत मजदूरी, आदि) में व्यक्त किए जाते हैं।

पिछले या प्रारंभिक स्तर की तुलना में प्रत्येक वर्ष के लिए गणना किए गए विचारित विश्लेषणात्मक संकेतकों के साथ, गतिशीलता श्रृंखला का विश्लेषण करते समय, अवधि के लिए औसत विश्लेषणात्मक संकेतकों की गणना करना आवश्यक है: श्रृंखला का औसत स्तर, औसत वार्षिक पूर्ण वृद्धि (कमी) और औसत वार्षिक वृद्धि दर और विकास दर।

गतिशीलता की एक श्रृंखला के औसत स्तर की गणना करने के तरीकों पर ऊपर चर्चा की गई थी। जिस अंतराल गतिकी श्रृंखला पर हम विचार कर रहे हैं, उसमें श्रृंखला के औसत स्तर की गणना सरल अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

1994-1998 के लिए उत्पाद की औसत वार्षिक उत्पादन मात्रा। 218.4 हजार टन की राशि।

औसत वार्षिक पूर्ण वृद्धि की गणना सरल अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके भी की जाती है:

पिछले कुछ वर्षों में वार्षिक पूर्ण वृद्धि 4 से 12 हजार टन तक रही (कॉलम 3 देखें), और 1995-1998 की अवधि के लिए उत्पादन में औसत वार्षिक वृद्धि हुई। 8.5 हजार टन की राशि।

औसत विकास दर और औसत विकास दर की गणना के तरीकों पर अधिक विस्तृत विचार की आवश्यकता है। आइए तालिका में दिए गए वार्षिक श्रृंखला स्तर संकेतकों के उदाहरण का उपयोग करके उन पर विचार करें।

गतिशीलता श्रृंखला का औसत स्तर।

गतिशील श्रृंखला (या समय श्रृंखला)- ये क्रमिक क्षणों या समयावधियों पर एक निश्चित सांख्यिकीय संकेतक के संख्यात्मक मान हैं (अर्थात, कालानुक्रमिक क्रम में व्यवस्थित)।

एक या दूसरे सांख्यिकीय संकेतक के संख्यात्मक मान जो गतिशीलता श्रृंखला बनाते हैं, कहलाते हैं श्रृंखला स्तरऔर आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है य. श्रृंखला का पहला कार्यकाल य 1प्रारंभिक या कहा जाता है बुनियादी स्तर, और एक पिछे Y n - अंतिम. जिन क्षणों या समयावधियों से स्तर संबंधित होते हैं, उन्हें इनके द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है टी.

डायनेमिक्स श्रृंखला को आमतौर पर एक तालिका या ग्राफ़ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और एब्सिस्सा अक्ष के साथ एक समय पैमाने का निर्माण किया जाता है टी, और कोटि अक्ष के साथ - श्रृंखला स्तरों का पैमाना य.

गतिशीलता श्रृंखला के औसत संकेतक

गतिशीलता की प्रत्येक श्रृंखला को एक निश्चित सेट के रूप में माना जा सकता है एनसमय-भिन्न संकेतक जिन्हें औसत के रूप में संक्षेपित किया जा सकता है। ऐसे सामान्यीकृत (औसत) संकेतक विशेष रूप से आवश्यक होते हैं जब विभिन्न देशों आदि में विभिन्न अवधियों में किसी विशेष संकेतक में परिवर्तन की तुलना की जाती है।

गतिकी श्रृंखला की एक सामान्यीकृत विशेषता, सबसे पहले, सेवा कर सकती है, मध्य पंक्ति का स्तर. औसत स्तर की गणना की विधि इस बात पर निर्भर करती है कि श्रृंखला क्षणिक है या अंतराल (आवधिक) है।

कब मध्यान्तरकिसी श्रृंखला का, इसका औसत स्तर श्रृंखला के स्तरों के सरल अंकगणितीय औसत के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात।

=
अगर हो तो पलपंक्ति युक्त एनस्तर ( y1, y2, …, yn) तिथियों (समय) के बीच समान अंतराल के साथ, तो ऐसी श्रृंखला को आसानी से औसत मूल्यों की श्रृंखला में परिवर्तित किया जा सकता है। इस मामले में, प्रत्येक अवधि की शुरुआत में संकेतक (स्तर) एक साथ पिछली अवधि के अंत में संकेतक होता है। फिर प्रत्येक अवधि के लिए संकेतक का औसत मूल्य (तिथियों के बीच का अंतराल) की गणना मूल्यों के आधे योग के रूप में की जा सकती है परअवधि की शुरुआत और अंत में, यानी कैसे । ऐसे औसतों की संख्या होगी. जैसा कि पहले कहा गया है, औसत मूल्यों की श्रृंखला के लिए, औसत स्तर की गणना अंकगणितीय माध्य का उपयोग करके की जाती है।

इसलिए, हम लिख सकते हैं:
.
अंश को रूपांतरित करने के बाद हमें प्राप्त होता है:
,

कहाँ Y1और Y n- पंक्ति का पहला और अंतिम स्तर; यी- मध्यवर्ती स्तर.

आंकड़ों में इस औसत को इस नाम से जाना जाता है औसत कालानुक्रमिकक्षण भर की श्रृंखला के लिए. इसे इसका नाम "क्रोनोस" (समय, लैटिन) शब्द से मिला है, क्योंकि इसकी गणना समय के साथ बदलने वाले संकेतकों से की जाती है।

असमान के मामले मेंतिथियों के बीच अंतराल, एक क्षण श्रृंखला के लिए कालानुक्रमिक औसत की गणना क्षणों की प्रत्येक जोड़ी के लिए स्तरों के औसत मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जा सकती है, जो तिथियों के बीच की दूरी (समय अंतराल) द्वारा भारित होती है, अर्थात।
.
इस मामले मेंयह माना जाता है कि तिथियों के बीच के अंतराल में स्तर अलग-अलग मान लेते हैं, और हम दो ज्ञात में से एक हैं ( यीऔर यी+1) हम औसत निर्धारित करते हैं, जिससे हम संपूर्ण विश्लेषण अवधि के लिए समग्र औसत की गणना करते हैं।
यदि यह मान लिया जाए कि प्रत्येक मान यीअगले तक अपरिवर्तित रहता है (मैं+ 1)- वां क्षण, यानी यदि स्तरों में परिवर्तन की सटीक तारीख ज्ञात है, तो गणना भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
,

वह समय कहां है जिसके दौरान स्तर अपरिवर्तित रहा।

गतिशीलता श्रृंखला में औसत स्तर के अलावा, अन्य औसत संकेतकों की गणना की जाती है - श्रृंखला के स्तरों में औसत परिवर्तन (बुनियादी और श्रृंखला विधियां), परिवर्तन की औसत दर।

बेसलाइन का मतलब पूर्ण परिवर्तन हैअंतिम अंतर्निहित पूर्ण परिवर्तन के भागफल को परिवर्तनों की संख्या से विभाजित किया जाता है। वह है

शृंखला का अर्थ है पूर्ण परिवर्तन श्रृंखला का स्तर सभी श्रृंखलाओं के निरपेक्ष परिवर्तनों के योग को परिवर्तनों की संख्या से विभाजित करने का भागफल है, अर्थात

औसत निरपेक्ष परिवर्तनों के संकेत का उपयोग किसी घटना में औसत परिवर्तन की प्रकृति का आकलन करने के लिए भी किया जाता है: वृद्धि, गिरावट या स्थिरता।

बुनियादी और श्रृंखला निरपेक्ष परिवर्तनों को नियंत्रित करने के नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि बुनियादी और श्रृंखला औसत परिवर्तन बराबर होने चाहिए।

औसत निरपेक्ष परिवर्तन के साथ-साथ, सापेक्ष औसत की गणना भी बुनियादी और श्रृंखला विधियों का उपयोग करके की जाती है।

आधारभूत औसत सापेक्ष परिवर्तनसूत्र द्वारा निर्धारित:

श्रृंखला औसत सापेक्ष परिवर्तनसूत्र द्वारा निर्धारित:

स्वाभाविक रूप से, मूल और श्रृंखला औसत सापेक्ष परिवर्तन समान होने चाहिए, और मानदंड मान 1 के साथ उनकी तुलना करके, औसतन घटना में परिवर्तन की प्रकृति के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है: वृद्धि, गिरावट या स्थिरता।
आधार या शृंखला औसत सापेक्ष परिवर्तन से 1 घटाकर, तदनुरूप परिवर्तन की औसत दर, जिसके संकेत से कोई भी अध्ययन के तहत घटना में परिवर्तन की प्रकृति का न्याय कर सकता है, जो गतिशीलता की इस श्रृंखला द्वारा परिलक्षित होता है।

मौसमी उतार-चढ़ाव और मौसमी सूचकांक।

मौसमी उतार-चढ़ाव स्थिर अंतर-वार्षिक उतार-चढ़ाव हैं।

अधिकतम प्रभाव प्राप्त करने के लिए प्रबंधन का मूल सिद्धांत आय को अधिकतम करना और लागत को कम करना है। मौसमी उतार-चढ़ाव का अध्ययन करके वर्ष के प्रत्येक स्तर पर अधिकतम समीकरण की समस्या का समाधान किया जाता है।

मौसमी उतार-चढ़ाव का अध्ययन करते समय, दो परस्पर संबंधित समस्याएं हल हो जाती हैं:

1. अंतर-वार्षिक गतिशीलता में घटना के विकास की बारीकियों की पहचान;

2. मौसमी लहर मॉडल के निर्माण के साथ मौसमी उतार-चढ़ाव को मापना;

मौसमी भिन्नता को मापने के लिए, आमतौर पर मौसमी टर्की की गिनती की जाती है। सामान्य तौर पर, वे गतिशीलता श्रृंखला के प्रारंभिक समीकरणों और सैद्धांतिक समीकरणों के अनुपात से निर्धारित होते हैं, जो तुलना के आधार के रूप में कार्य करते हैं।

चूंकि मौसमी उतार-चढ़ाव पर यादृच्छिक विचलन आरोपित होते हैं, इसलिए उन्हें खत्म करने के लिए मौसमी सूचकांकों का औसत निकाला जाता है।

इस मामले में, वार्षिक चक्र की प्रत्येक अवधि के लिए, सामान्यीकृत संकेतक औसत मौसमी सूचकांकों के रूप में निर्धारित किए जाते हैं:

औसत मौसमी उतार-चढ़ाव सूचकांक मुख्य विकास प्रवृत्ति के यादृच्छिक विचलन के प्रभाव से मुक्त हैं।

प्रवृत्ति की प्रकृति के आधार पर, औसत मौसमी सूचकांक का सूत्र निम्नलिखित रूप ले सकता है:

1.विकास की स्पष्ट रूप से व्यक्त मुख्य प्रवृत्ति के साथ अंतर-वार्षिक गतिशीलता की श्रृंखला के लिए:

2. अंतर-वार्षिक गतिशीलता की श्रृंखला के लिए जिसमें कोई बढ़ती या घटती प्रवृत्ति नहीं है या महत्वहीन है:

कुल औसत कहां है;

मुख्य प्रवृत्ति का विश्लेषण करने की विधियाँ।

समय के साथ घटनाओं का विकास विभिन्न प्रकृति और प्रभाव शक्ति के कारकों से प्रभावित होता है। उनमें से कुछ प्रकृति में यादृच्छिक हैं, अन्य लगभग निरंतर प्रभाव डालते हैं और गतिशीलता में एक निश्चित विकास प्रवृत्ति बनाते हैं।

सांख्यिकी का एक महत्वपूर्ण कार्य विभिन्न यादृच्छिक कारकों के प्रभाव से मुक्त होकर, श्रृंखला में प्रवृत्ति गतिशीलता की पहचान करना है। इस प्रयोजन के लिए, समय श्रृंखला को अंतरालों को बढ़ाने, चलती औसत और विश्लेषणात्मक लेवलिंग आदि के तरीकों से संसाधित किया जाता है।

अंतराल विस्तार विधिसमय अवधि के विस्तार पर आधारित है, जिसमें गतिशीलता की एक श्रृंखला के स्तर शामिल हैं, यानी। छोटी समय अवधि से संबंधित डेटा को बड़ी अवधि के डेटा के साथ प्रतिस्थापित करना है। यह विशेष रूप से तब प्रभावी होता है जब श्रृंखला के प्रारंभिक स्तर छोटी अवधि से संबंधित होते हैं। उदाहरण के लिए, दैनिक घटनाओं से संबंधित संकेतकों की श्रृंखला को साप्ताहिक, मासिक आदि से संबंधित श्रृंखलाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इससे और भी स्पष्टता से पता चलेगा "घटना के विकास की धुरी". बढ़े हुए अंतरालों पर गणना की गई औसत, हमें मुख्य विकास प्रवृत्ति की दिशा और प्रकृति (विकास में तेजी या मंदी) की पहचान करने की अनुमति देती है।

चलती औसत विधिपिछले वाले के समान, लेकिन इस मामले में वास्तविक स्तरों को क्रमिक रूप से बढ़ते (स्लाइडिंग) बढ़े हुए अंतरालों के लिए गणना किए गए औसत स्तरों से बदल दिया जाता है एमश्रृंखला स्तर.

उदाहरण के लिए, अगर हम स्वीकार करते हैं एम=3,फिर पहले श्रृंखला के पहले तीन स्तरों के औसत की गणना की जाती है, फिर - स्तरों की समान संख्या से, लेकिन दूसरे से शुरू करके, फिर - तीसरे से शुरू करके, आदि। इस प्रकार, औसत "स्लाइड" गतिशीलता श्रृंखला के साथ, एक पद से आगे बढ़ता है। से गणना की गई एमसदस्यों, चलती औसत प्रत्येक अंतराल के मध्य (केंद्र) को संदर्भित करती है।

यह विधि केवल यादृच्छिक उतार-चढ़ाव को समाप्त करती है। यदि श्रृंखला में मौसमी लहर है, तो यह चलती औसत विधि का उपयोग करके सुचारू करने के बाद भी बनी रहेगी।

विश्लेषणात्मक संरेखण. यादृच्छिक उतार-चढ़ाव को खत्म करने और एक प्रवृत्ति की पहचान करने के लिए, विश्लेषणात्मक सूत्रों (या विश्लेषणात्मक लेवलिंग) का उपयोग करके श्रृंखला स्तरों को समतल करने का उपयोग किया जाता है। इसका सार अनुभवजन्य (वास्तविक) स्तरों को सैद्धांतिक स्तरों से बदलना है, जिनकी गणना गणितीय प्रवृत्ति मॉडल के रूप में अपनाए गए एक निश्चित समीकरण का उपयोग करके की जाती है, जहां सैद्धांतिक स्तरों को समय के एक कार्य के रूप में माना जाता है:। इस मामले में, प्रत्येक वास्तविक स्तर को दो घटकों के योग के रूप में माना जाता है:, जहां एक व्यवस्थित घटक है और एक निश्चित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है, और एक यादृच्छिक चर है जो प्रवृत्ति के आसपास उतार-चढ़ाव का कारण बनता है।

विश्लेषणात्मक संरेखण का कार्य निम्नलिखित पर निर्भर करता है:

1. वास्तविक डेटा के आधार पर, काल्पनिक फ़ंक्शन के प्रकार का निर्धारण, जो अध्ययन के तहत संकेतक के विकास की प्रवृत्ति को पर्याप्त रूप से प्रतिबिंबित कर सकता है।

2. अनुभवजन्य डेटा से निर्दिष्ट फ़ंक्शन (समीकरण) के पैरामीटर ढूँढना

3. सैद्धांतिक (संरेखित) स्तरों के पाए गए समीकरण का उपयोग करके गणना।

किसी विशेष फ़ंक्शन का चुनाव, एक नियम के रूप में, अनुभवजन्य डेटा के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व के आधार पर किया जाता है।

मॉडल प्रतिगमन समीकरण हैं, जिनके मापदंडों की गणना न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके की जाती है

समय श्रृंखला को संरेखित करने के लिए सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले प्रतिगमन समीकरण नीचे दिए गए हैं, जो दर्शाते हैं कि वे कौन से विशिष्ट विकास रुझानों को प्रतिबिंबित करने के लिए सबसे उपयुक्त हैं।

उपरोक्त समीकरणों के पैरामीटर खोजने के लिए विशेष एल्गोरिदम और कंप्यूटर प्रोग्राम हैं। विशेष रूप से, एक सीधी रेखा समीकरण के मापदंडों को खोजने के लिए, निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है:

यदि समय की अवधियों या क्षणों को इस प्रकार क्रमांकित किया जाए कि St = 0, तो उपरोक्त एल्गोरिदम काफी सरल हो जाएंगे और बदल जाएंगे

चार्ट पर संरेखित स्तर एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे, जो इस गतिशील श्रृंखला के वास्तविक स्तरों से निकटतम दूरी पर गुजरेगी। वर्ग विचलनों का योग यादृच्छिक कारकों के प्रभाव का प्रतिबिंब है।

इसका उपयोग करके, हम समीकरण की औसत (मानक) त्रुटि की गणना करते हैं:

यहां n अवलोकनों की संख्या है, और m समीकरण में मापदंडों की संख्या है (हमारे पास उनमें से दो हैं - b 1 और b 0)।

मुख्य प्रवृत्ति (प्रवृत्ति) दर्शाती है कि व्यवस्थित कारक गतिशीलता की श्रृंखला के स्तरों को कैसे प्रभावित करते हैं, और प्रवृत्ति के चारों ओर स्तरों का उतार-चढ़ाव () अवशिष्ट कारकों के प्रभाव के माप के रूप में कार्य करता है।

प्रयुक्त समय श्रृंखला मॉडल की गुणवत्ता का आकलन करने के लिए भी इसका उपयोग किया जाता है फिशर एफ परीक्षण. यह दो भिन्नताओं का अनुपात है, अर्थात् प्रतिगमन के कारण होने वाले भिन्नता का अनुपात, अर्थात। जिस कारक का अध्ययन किया जा रहा है, यादृच्छिक कारणों से होने वाले विचरण के लिए, अर्थात्। अवशिष्ट फैलाव:

विस्तारित रूप में, इस मानदंड का सूत्र इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है:

जहाँ n प्रेक्षणों की संख्या है, अर्थात्। पंक्ति स्तरों की संख्या,

m समीकरण में मापदंडों की संख्या है, y श्रृंखला का वास्तविक स्तर है,

संरेखित पंक्ति स्तर - मध्य पंक्ति स्तर।

एक मॉडल जो दूसरों की तुलना में अधिक सफल है वह हमेशा पर्याप्त रूप से संतोषजनक नहीं हो सकता है। इसे केवल उसी स्थिति में पहचाना जा सकता है जब इसका मानदंड F ज्ञात महत्वपूर्ण सीमा को पार कर जाता है। यह सीमा एफ-वितरण तालिकाओं का उपयोग करके स्थापित की गई है।

सूचकांकों का सार और वर्गीकरण।

आंकड़ों में, सूचकांक को एक सापेक्ष संकेतक के रूप में समझा जाता है जो समय, स्थान या किसी मानक की तुलना में किसी घटना के परिमाण में परिवर्तन को दर्शाता है।

सूचकांक संबंध का मुख्य तत्व अनुक्रमित मूल्य है। अनुक्रमित मूल्य को एक सांख्यिकीय जनसंख्या की विशेषता के मूल्य के रूप में समझा जाता है, जिसमें परिवर्तन अध्ययन का उद्देश्य है।

अनुक्रमणिका का उपयोग करके, तीन मुख्य कार्य हल किए जाते हैं:

1) एक जटिल घटना में परिवर्तन का आकलन;

2) एक जटिल घटना में परिवर्तन पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव का निर्धारण;

3) किसी घटना की भयावहता की पिछली अवधि की भयावहता, दूसरे क्षेत्र की भयावहता के साथ-साथ मानकों, योजनाओं और पूर्वानुमानों के साथ तुलना करना।

सूचकांकों को 3 मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया गया है:

2) जनसंख्या के तत्वों के कवरेज की डिग्री के अनुसार;

3) सामान्य सूचकांकों की गणना के तरीकों के अनुसार।

सामग्री द्वाराअनुक्रमित मात्राएँ, सूचकांकों को मात्रात्मक (मात्रा) संकेतकों के सूचकांकों और गुणात्मक संकेतकों के सूचकांकों में विभाजित किया जाता है। मात्रात्मक संकेतकों के सूचकांक - औद्योगिक उत्पादों की भौतिक मात्रा, बिक्री की भौतिक मात्रा, कर्मचारियों की संख्या आदि के सूचकांक। गुणात्मक संकेतकों के सूचकांक - कीमतों, लागत, श्रम उत्पादकता, औसत मजदूरी आदि के सूचकांक।

जनसंख्या इकाइयों के कवरेज की डिग्री के अनुसार, सूचकांकों को दो वर्गों में विभाजित किया गया है: व्यक्तिगत और सामान्य। उन्हें चिह्नित करने के लिए, हम सूचकांक पद्धति का उपयोग करने के अभ्यास में अपनाई गई निम्नलिखित परंपराओं का परिचय देते हैं:

क्यू- भौतिक दृष्टि से किसी भी उत्पाद की मात्रा (मात्रा)। ; आर- यूनिट मूल्य; जेड- उत्पादन की इकाई लागत; टी- उत्पाद की एक इकाई के उत्पादन में लगने वाला समय (श्रम तीव्रता) ; डब्ल्यू- समय की प्रति इकाई मूल्य के संदर्भ में उत्पादों का उत्पादन; वी- समय की प्रति इकाई भौतिक रूप में उत्पादन आउटपुट; टी- व्यतीत किया गया कुल समय या कर्मचारियों की संख्या।

यह पहचानने के लिए कि अनुक्रमित मात्राएँ किस अवधि या वस्तु से संबंधित हैं, सबस्क्रिप्ट को संबंधित प्रतीक के नीचे दाईं ओर रखने की प्रथा है। इसलिए, उदाहरण के लिए, डायनेमिक्स सूचकांकों में, एक नियम के रूप में, सबस्क्रिप्ट 1 का उपयोग तुलना की जा रही अवधियों (वर्तमान, रिपोर्टिंग) और उन अवधियों के लिए किया जाता है जिनके साथ तुलना की जाती है,

व्यक्तिगत सूचकांकएक जटिल घटना के व्यक्तिगत तत्वों में परिवर्तन को चिह्नित करने के लिए उपयोग करें (उदाहरण के लिए, एक प्रकार के उत्पाद के उत्पादन की मात्रा में परिवर्तन)। वे गतिशीलता के सापेक्ष मूल्यों, दायित्वों की पूर्ति, अनुक्रमित मूल्यों की तुलना का प्रतिनिधित्व करते हैं।

उत्पादों की भौतिक मात्रा का व्यक्तिगत सूचकांक निर्धारित किया जाता है

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से, दिए गए व्यक्तिगत गतिशीलता सूचकांक विकास गुणांक (दरों) के समान हैं और आधार अवधि की तुलना में वर्तमान अवधि में अनुक्रमित मूल्य में परिवर्तन को दर्शाते हैं, यानी वे दिखाते हैं कि यह कितनी बार बढ़ी (कमी) हुई है अथवा यह कितने प्रतिशत की वृद्धि (कमी) है। सूचकांक मान गुणांक या प्रतिशत में व्यक्त किये जाते हैं।

सामान्य (समग्र) सूचकांकएक जटिल घटना के सभी तत्वों में परिवर्तन को दर्शाता है।

समग्र सूचकांकसूचकांक का मूल रूप है. इसे समुच्चय कहा जाता है क्योंकि इसका अंश और हर "समुच्चय" का एक समूह है

औसत सूचकांक, उनकी परिभाषा।

समग्र सूचकांकों के अलावा, उनका एक और रूप सांख्यिकी में उपयोग किया जाता है - भारित औसत सूचकांक। उनकी गणना का सहारा तब लिया जाता है जब उपलब्ध जानकारी सामान्य समग्र सूचकांक की गणना करने की अनुमति नहीं देती है। इस प्रकार, यदि कीमतों पर कोई डेटा नहीं है, लेकिन वर्तमान अवधि में उत्पादों की लागत के बारे में जानकारी है और प्रत्येक उत्पाद के लिए अलग-अलग मूल्य सूचकांक ज्ञात हैं, तो सामान्य मूल्य सूचकांक को कुल मिलाकर निर्धारित नहीं किया जा सकता है, लेकिन यह संभव है इसे अलग-अलग लोगों के औसत के रूप में गणना करना। उसी तरह, यदि उत्पादित उत्पादों के अलग-अलग प्रकार की मात्रा ज्ञात नहीं है, लेकिन व्यक्तिगत सूचकांक और आधार अवधि के उत्पादन की लागत ज्ञात है, तो उत्पादन की भौतिक मात्रा का सामान्य सूचकांक भारित औसत के रूप में निर्धारित किया जा सकता है कीमत।

औसत सूचकांक -यहएक सूचकांक जिसकी गणना व्यक्तिगत सूचकांकों के औसत के रूप में की जाती है। समग्र सूचकांक सामान्य सूचकांक का मूल रूप है, इसलिए औसत सूचकांक समग्र सूचकांक के समान होना चाहिए। औसत सूचकांकों की गणना करते समय, औसत के दो रूपों का उपयोग किया जाता है: अंकगणितीय और हार्मोनिक।

अंकगणितीय औसत सूचकांक समग्र सूचकांक के समान है यदि व्यक्तिगत सूचकांकों का भार समग्र सूचकांक के हर के पद हैं। केवल इस मामले में, अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके गणना की गई सूचकांक का मूल्य कुल सूचकांक के बराबर होगा।

अपेक्षा और भिन्नता

आइए एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस बार मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। औसत मान वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?

हम पासे को बड़ी संख्या में पलटेंगे। प्रत्येक फेंके गए पासे पर दिखाई देने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकती है। सभी पासे फेंकने के लिए गणना किए गए गिराए गए बिंदुओं का अंकगणितीय माध्य भी एक यादृच्छिक चर है, लेकिन बड़े के लिए एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या - गणितीय अपेक्षा की ओर प्रवृत्त होता है एम एक्स. इस मामले में एम एक्स = 3,5.

आपको यह मूल्य कैसे मिला? भीतर आएं एनपरीक्षण, एक बार आपको 1 अंक मिलता है, एक बार आपको 2 अंक मिलता है, इत्यादि। फिर कब एन→ ∞ परिणामों की संख्या जिसमें एक बिंदु लुढ़का था, इसी प्रकार, इसलिए

मॉडल 4.5. पासा

आइए अब मान लें कि हम यादृच्छिक चर के वितरण नियम को जानते हैं एक्स, अर्थात्, हम जानते हैं कि यादृच्छिक चर एक्समान ले सकते हैं एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स कसंभावनाओं के साथ पी 1 , पी 2 , ..., पी के.

अपेक्षित मूल्य एम एक्सअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सबराबर:

उत्तर। 2,8.

गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। इस प्रकार, औसत वेतन का अनुमान लगाने के लिए, माध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात्, ऐसा मान कि माध्यिका से कम और अधिक वेतन पाने वाले लोगों की संख्या मेल खाती है।

मंझलायादृच्छिक चर को एक संख्या कहा जाता है एक्स 1/2 ऐसा है पी (एक्स < एक्स 1/2) = 1/2.

दूसरे शब्दों में, संभावना पी 1 वह यादृच्छिक चर एक्सछोटा होगा एक्स 1/2, और संभाव्यता पी 2 वह यादृच्छिक चर एक्सअधिक होगा एक्स 1/2 समान हैं और 1/2 के बराबर हैं। सभी वितरणों के लिए माध्यिका विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं की जाती है।

आइए यादृच्छिक चर पर वापस लौटें एक्स, जो मान ले सकता है एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स कसंभावनाओं के साथ पी 1 , पी 2 , ..., पी के.

झगड़ाअनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सकिसी यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से वर्ग विचलन का औसत मान कहलाता है:

उदाहरण 2

पिछले उदाहरण की शर्तों के तहत, यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन की गणना करें एक्स.

उत्तर। 0,16, 0,4.

मॉडल 4.6. किसी लक्ष्य पर निशाना लगाना

उदाहरण 3

पहले फेंकने पर पासे पर दिखाई देने वाले अंकों की संख्या, माध्यिका, गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन का संभाव्यता वितरण ज्ञात करें।

किसी भी किनारे के गिरने की समान संभावना है, इसलिए वितरण इस तरह दिखेगा:

मानक विचलन यह देखा जा सकता है कि औसत मूल्य से मूल्य का विचलन बहुत बड़ा है।

गणितीय अपेक्षा के गुण:

• स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

उदाहरण 4

दो पासों पर फेंके गए अंकों के योग और गुणनफल की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 3 में हमने पाया कि एक घन के लिए एम (एक्स) = 3.5. तो दो घनों के लिए

फैलाव गुण:

• स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण प्रसरणों के योग के बराबर है:

डीएक्स + य = डीएक्स + डीवाई.

के लिए चलो एनलुढ़के हुए पासे पर लुढ़कता है यअंक. तब

यह परिणाम न केवल पासा पलटने के लिए सत्य है। कई मामलों में, यह गणितीय अपेक्षा को मापने की सटीकता को अनुभवजन्य रूप से निर्धारित करता है। इसे मापों की बढ़ती संख्या के साथ देखा जा सकता है एनऔसत के आसपास मूल्यों का प्रसार, यानी मानक विचलन, आनुपातिक रूप से घट जाता है

एक यादृच्छिक चर का प्रसरण निम्नलिखित संबंध द्वारा इस यादृच्छिक चर के वर्ग की गणितीय अपेक्षा से संबंधित है:

आइए इस समानता के दोनों पक्षों की गणितीय अपेक्षाएँ खोजें। ए-प्राथमिकता,

गणितीय अपेक्षाओं के गुण के अनुसार समानता के दाएँ पक्ष की गणितीय अपेक्षा, के बराबर है

मानक विचलन

मानक विचलनविचरण के वर्गमूल के बराबर:
अध्ययन की जा रही जनसंख्या की पर्याप्त बड़ी मात्रा (एन > 30) के लिए मानक विचलन का निर्धारण करते समय, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

सम्बंधित जानकारी।

परिकल्पनाओं के सांख्यिकीय परीक्षण में, यादृच्छिक चर के बीच एक रैखिक संबंध को मापते समय।

मानक विचलन:

मानक विचलन(यादृच्छिक चर के मानक विचलन का अनुमान फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष):

फैलाव कहां है; - फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत, मैंचयन का वां तत्व; - नमूने का आकार; - नमूने का अंकगणितीय माध्य:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दोनों अनुमान पक्षपातपूर्ण हैं। सामान्य स्थिति में, निष्पक्ष अनुमान बनाना असंभव है। हालाँकि, निष्पक्ष विचरण अनुमान पर आधारित अनुमान सुसंगत है।

तीन सिग्मा नियम

तीन सिग्मा नियम() - सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लगभग सभी मान अंतराल में स्थित होते हैं। अधिक सख्ती से - 99.7% से कम विश्वास के साथ, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का मान निर्दिष्ट अंतराल में निहित होता है (बशर्ते कि मान सत्य है और नमूना प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप प्राप्त नहीं किया गया है)।

यदि वास्तविक मूल्य अज्ञात है, तो हमें नहीं, बल्कि फर्श, हमारे चारों ओर की दीवारें और छत का उपयोग करना चाहिए। एस. इस प्रकार, तीन सिग्मा का नियम तीन मंजिल, हमारे चारों ओर की दीवारों और छत के नियम में बदल जाता है। एस .

मानक विचलन मान की व्याख्या

मानक विचलन का एक बड़ा मान प्रस्तुत सेट में सेट के औसत मूल्य के साथ मूल्यों का एक बड़ा प्रसार दर्शाता है; तदनुसार, एक छोटा मान दर्शाता है कि सेट में मान मध्य मान के आसपास समूहीकृत हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास तीन संख्या सेट हैं: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) और (6, 6, 8, 8)। सभी तीन सेटों का माध्य मान 7 के बराबर है, और मानक विचलन क्रमशः 7, 5 और 1 के बराबर हैं। अंतिम सेट में एक छोटा मानक विचलन है, क्योंकि सेट में मान माध्य मान के आसपास समूहीकृत हैं; पहले सेट में सबसे बड़ा मानक विचलन मान है - सेट के भीतर के मान औसत मान से बहुत भिन्न होते हैं।

सामान्य अर्थ में, मानक विचलन को अनिश्चितता का माप माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, मानक विचलन का उपयोग कुछ मात्रा के क्रमिक मापों की श्रृंखला की त्रुटि निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्य की तुलना में अध्ययन के तहत घटना की संभाव्यता निर्धारित करने के लिए यह मान बहुत महत्वपूर्ण है: यदि माप का औसत मूल्य सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्यों (बड़े मानक विचलन) से काफी भिन्न होता है, तो प्राप्त मूल्यों या उन्हें प्राप्त करने की विधि की पुनः जाँच की जानी चाहिए।

प्रायोगिक उपयोग

व्यवहार में, मानक विचलन आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि किसी सेट में मान औसत मान से कितना भिन्न हो सकते हैं।

जलवायु

मान लीजिए कि समान औसत अधिकतम दैनिक तापमान वाले दो शहर हैं, लेकिन एक तट पर स्थित है और दूसरा अंतर्देशीय है। यह ज्ञात है कि तट पर स्थित शहरों में दिन के समय कई अलग-अलग अधिकतम तापमान होते हैं जो अंतर्देशीय शहरों की तुलना में कम होते हैं। इसलिए, एक तटीय शहर के लिए अधिकतम दैनिक तापमान का मानक विचलन दूसरे शहर की तुलना में कम होगा, इस तथ्य के बावजूद कि इस मूल्य का औसत मूल्य समान है, जिसका व्यवहार में मतलब है कि संभावना है कि अधिकतम हवा का तापमान वर्ष का कोई भी दिन औसत मूल्य से अधिक भिन्न होगा, अंतर्देशीय स्थित शहर के लिए अधिक।

खेल

आइए मान लें कि कई फ़ुटबॉल टीमें हैं जिनका मूल्यांकन कुछ मापदंडों के आधार पर किया जाता है, उदाहरण के लिए, बनाए गए और स्वीकार किए गए गोलों की संख्या, स्कोरिंग मौके आदि। यह सबसे अधिक संभावना है कि इस समूह की सर्वश्रेष्ठ टीम के पास बेहतर मूल्य होंगे। अधिक मापदंडों पर. प्रस्तुत मापदंडों में से प्रत्येक के लिए टीम का मानक विचलन जितना छोटा होगा, टीम का परिणाम उतना ही अधिक अनुमानित होगा; ऐसी टीमें संतुलित होती हैं। दूसरी ओर, बड़े मानक विचलन वाली टीम के लिए परिणाम की भविष्यवाणी करना मुश्किल होता है, जिसे बदले में असंतुलन द्वारा समझाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक मजबूत रक्षा लेकिन एक कमजोर हमला।

टीम मापदंडों के मानक विचलन का उपयोग करना, एक डिग्री या किसी अन्य तक, दो टीमों के बीच मैच के परिणाम की भविष्यवाणी करना, टीमों की ताकत और कमजोरियों का आकलन करना और इसलिए लड़ने के चुने हुए तरीकों का आकलन करना संभव बनाता है।

तकनीकी विश्लेषण

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साहित्य

* बोरोविकोव, वी.सांख्यिकी. कंप्यूटर पर डेटा विश्लेषण की कला: पेशेवरों के लिए / वी. बोरोविकोव। - सेंट पीटर्सबर्ग। : पीटर, 2003. - 688 पी। - आईएसबीएन 5-272-00078-1.

बुद्धिमान गणितज्ञ और सांख्यिकीविद् एक अधिक विश्वसनीय संकेतक लेकर आए, हालांकि थोड़े अलग उद्देश्य के लिए - औसत रैखिक विचलन. यह संकेतक उनके औसत मूल्य के आसपास डेटा सेट के मूल्यों के फैलाव के माप को दर्शाता है।

डेटा बिखराव का माप दिखाने के लिए, आपको पहले यह तय करना होगा कि इस बिखराव की गणना किस आधार पर की जाएगी - आमतौर पर यह औसत मूल्य है। इसके बाद, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि विश्लेषण किए गए डेटा सेट के मान औसत से कितने दूर हैं। यह स्पष्ट है कि प्रत्येक मान एक निश्चित विचलन मान से मेल खाता है, लेकिन हम संपूर्ण जनसंख्या को कवर करते हुए समग्र मूल्यांकन में रुचि रखते हैं। इसलिए, औसत विचलन की गणना सामान्य अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करके की जाती है। लेकिन! लेकिन विचलनों के औसत की गणना करने के लिए, पहले उन्हें जोड़ना होगा। और यदि हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, तो वे एक-दूसरे को रद्द कर देंगे और उनका योग शून्य हो जाएगा। इससे बचने के लिए, सभी विचलनों को मॉड्यूलो में लिया जाता है, अर्थात सभी नकारात्मक संख्याएँ सकारात्मक हो जाती हैं। अब औसत विचलन मूल्यों के प्रसार का एक सामान्यीकृत माप दिखाएगा। परिणामस्वरूप, औसत रैखिक विचलन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाएगी:

ए– औसत रैखिक विचलन,

एक्स- विश्लेषण किया गया संकेतक, ऊपर डैश के साथ - संकेतक का औसत मूल्य,

एन-विश्लेषित डेटा सेट में मानों की संख्या,

मुझे आशा है कि सारांश संचालक किसी को नहीं डराएगा।

निर्दिष्ट सूत्र का उपयोग करके गणना की गई औसत रैखिक विचलन किसी दी गई जनसंख्या के औसत मूल्य से औसत पूर्ण विचलन को दर्शाता है।

चित्र में, लाल रेखा औसत मान है। माध्य से प्रत्येक अवलोकन के विचलन को छोटे तीरों द्वारा दर्शाया गया है। उन्हें मॉड्यूलो में लिया जाता है और सारांशित किया जाता है। फिर हर चीज को मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है।

चित्र को पूरा करने के लिए, हमें एक उदाहरण देना होगा। मान लीजिए कि एक कंपनी है जो फावड़े के लिए कटिंग बनाती है। प्रत्येक कटिंग 1.5 मीटर लंबी होनी चाहिए, लेकिन, अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि वे सभी समान होनी चाहिए या कम से कम प्लस या माइनस 5 सेमी होनी चाहिए। हालांकि, लापरवाह कर्मचारी 1.2 मीटर या 1.8 मीटर काट देंगे। ग्रीष्मकालीन निवासी नाखुश हैं। कंपनी के निदेशक ने कटिंग की लंबाई का सांख्यिकीय विश्लेषण करने का निर्णय लिया। मैंने 10 टुकड़े चुने और उनकी लंबाई मापी, औसत पाया और औसत रैखिक विचलन की गणना की। औसत वही निकला जो आवश्यक था - 1.5 मीटर। लेकिन औसत रैखिक विचलन 0.16 मीटर था। तो यह पता चला कि प्रत्येक कटिंग औसतन 16 सेमी की आवश्यकता से अधिक लंबी या छोटी है। इस बारे में बात करने के लिए कुछ है श्रमिक. वास्तव में, मैंने इस सूचक का कोई वास्तविक उपयोग नहीं देखा है, इसलिए मैं स्वयं एक उदाहरण लेकर आया हूं। हालाँकि, आँकड़ों में ऐसा एक संकेतक है।

फैलाव

औसत रैखिक विचलन की तरह, विचरण भी माध्य मान के आसपास डेटा के प्रसार की सीमा को दर्शाता है।

विचरण की गणना का सूत्र इस प्रकार है:

(भिन्नता श्रृंखला के लिए (भारित भिन्नता))

(असमूहीकृत डेटा के लिए (सरल विचरण))

कहा पे: σ 2 – फैलाव, क्सी- हम वर्ग सूचक (चिह्न मान) का विश्लेषण करते हैं, - सूचक का औसत मूल्य, f i - विश्लेषण किए गए डेटा सेट में मानों की संख्या।

विचरण विचलनों का औसत वर्ग है।

सबसे पहले, औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच का अंतर लिया जाता है, चुकता किया जाता है, संबंधित विशेषता मूल्य की आवृत्ति से गुणा किया जाता है, जोड़ा जाता है और फिर जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है।

हालाँकि, इसके शुद्ध रूप में, जैसे कि अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, फैलाव का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है।

विचरण की गणना करने का एक सरल तरीका

मानक विचलन

डेटा विश्लेषण के लिए विचरण का उपयोग करने के लिए, विचरण का वर्गमूल लिया जाता है। यह तथाकथित निकला मानक विचलन.

वैसे, मानक विचलन को सिग्मा भी कहा जाता है - ग्रीक अक्षर से जो इसे दर्शाता है।

मानक विचलन, स्पष्ट रूप से, डेटा फैलाव के माप को भी दर्शाता है, लेकिन अब (विचरण के विपरीत) इसकी तुलना मूल डेटा से की जा सकती है। एक नियम के रूप में, आंकड़ों में मूल माध्य वर्ग माप रैखिक की तुलना में अधिक सटीक परिणाम देते हैं। इसलिए, मानक विचलन रैखिक माध्य विचलन की तुलना में डेटा के फैलाव का अधिक सटीक माप है।

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मानक विचलन(समानार्थी शब्द: मानक विचलन, मानक विचलन, वर्ग विचलन; संबंधित शर्तें: मानक विचलन, मानक प्रसार) - संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव का सबसे आम संकेतक। मानों के नमूनों की सीमित सरणियों के साथ, गणितीय अपेक्षा के बजाय, नमूनों के सेट के अंकगणितीय माध्य का उपयोग किया जाता है।

मूल जानकारी

मानक विचलन को यादृच्छिक चर की इकाइयों में ही मापा जाता है और इसका उपयोग अंकगणित माध्य की मानक त्रुटि की गणना करने, आत्मविश्वास अंतराल के निर्माण में, सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण में और यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध को मापने में किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के विचरण के वर्गमूल के रूप में परिभाषित।

मानक विचलन:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2).$

मानक विचलन(यादृच्छिक चर के मानक विचलन का अनुमान एक्सइसके विचरण के निष्पक्ष अनुमान के आधार पर इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष) $एस$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash right)^2);$

तीन सिग्मा नियम

तीन सिग्मा नियम ($3\backslash सिग्मा$) - सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लगभग सभी मान अंतराल में स्थित होते हैं $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. अधिक सख्ती से - लगभग 0.9973 की संभावना के साथ, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का मान निर्दिष्ट अंतराल में निहित होता है (बशर्ते कि मान $\backslash बार(x)$सत्य है, और नमूना प्रसंस्करण के परिणामस्वरूप प्राप्त नहीं हुआ है)।

यदि सही मूल्य है $\backslash बार(x)$अज्ञात है, तो आपको उपयोग नहीं करना चाहिए $\backslash सिग्मा$, ए एस. इस प्रकार, तीन सिग्मा का नियम तीन के नियम में बदल जाता है एस .

मानक विचलन मान की व्याख्या

एक बड़ा मानक विचलन मान प्रस्तुत सेट में सेट के औसत मूल्य के साथ मूल्यों का अधिक प्रसार दिखाता है; तदनुसार, एक छोटा मान दर्शाता है कि सेट में मान औसत मान के आसपास समूहीकृत हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास तीन संख्या सेट हैं: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) और (6, 6, 8, 8)। सभी तीन सेटों का माध्य मान 7 के बराबर है, और मानक विचलन क्रमशः 7, 5 और 1 के बराबर हैं। अंतिम सेट में एक छोटा मानक विचलन है, क्योंकि सेट में मान माध्य मान के आसपास समूहीकृत हैं; पहले सेट में सबसे बड़ा मानक विचलन मान है - सेट के भीतर के मान औसत मान से बहुत भिन्न होते हैं।

सामान्य अर्थ में, मानक विचलन को अनिश्चितता का माप माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, मानक विचलन का उपयोग कुछ मात्रा के क्रमिक मापों की श्रृंखला की त्रुटि निर्धारित करने के लिए किया जाता है। सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्य की तुलना में अध्ययन के तहत घटना की संभाव्यता निर्धारित करने के लिए यह मान बहुत महत्वपूर्ण है: यदि माप का औसत मूल्य सिद्धांत द्वारा अनुमानित मूल्यों (बड़े मानक विचलन) से काफी भिन्न होता है, तो प्राप्त मूल्यों या उन्हें प्राप्त करने की विधि की पुनः जाँच की जानी चाहिए।

प्रायोगिक उपयोग

व्यवहार में, मानक विचलन आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देता है कि किसी सेट से कितने मान औसत मान से भिन्न हो सकते हैं।

अर्थशास्त्र और वित्त

पोर्टफोलियो रिटर्न का मानक विचलन $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$पोर्टफोलियो जोखिम के साथ पहचाना गया।

जलवायु

मान लीजिए कि समान औसत अधिकतम दैनिक तापमान वाले दो शहर हैं, लेकिन एक तट पर और दूसरा मैदान पर स्थित है। यह ज्ञात है कि तट पर स्थित शहरों में दिन के समय कई अलग-अलग अधिकतम तापमान होते हैं जो अंतर्देशीय शहरों की तुलना में कम होते हैं। इसलिए, एक तटीय शहर के लिए अधिकतम दैनिक तापमान का मानक विचलन दूसरे शहर की तुलना में कम होगा, इस तथ्य के बावजूद कि इस मूल्य का औसत मूल्य समान है, जिसका व्यवहार में मतलब है कि संभावना है कि अधिकतम हवा का तापमान वर्ष का कोई भी दिन औसत मूल्य से अधिक भिन्न होगा, अंतर्देशीय स्थित शहर के लिए अधिक।

खेल

आइए मान लें कि कई फ़ुटबॉल टीमें हैं जिनका मूल्यांकन कुछ मापदंडों के आधार पर किया जाता है, उदाहरण के लिए, बनाए गए और स्वीकार किए गए गोलों की संख्या, स्कोरिंग मौके आदि। यह सबसे अधिक संभावना है कि इस समूह की सर्वश्रेष्ठ टीम के पास बेहतर मूल्य होंगे। अधिक मापदंडों पर. प्रस्तुत मापदंडों में से प्रत्येक के लिए टीम का मानक विचलन जितना छोटा होगा, टीम का परिणाम उतना ही अधिक अनुमानित होगा; ऐसी टीमें संतुलित होती हैं। दूसरी ओर, बड़े मानक विचलन वाली टीम के लिए परिणाम की भविष्यवाणी करना मुश्किल होता है, जिसे बदले में असंतुलन द्वारा समझाया जाता है, उदाहरण के लिए, एक मजबूत रक्षा लेकिन एक कमजोर हमला।

टीम मापदंडों के मानक विचलन का उपयोग करना, एक डिग्री या किसी अन्य तक, दो टीमों के बीच मैच के परिणाम की भविष्यवाणी करना, टीमों की ताकत और कमजोरियों का आकलन करना और इसलिए लड़ने के चुने हुए तरीकों का आकलन करना संभव बनाता है।

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साहित्य

• बोरोविकोव वी.सांख्यिकी. कंप्यूटर पर डेटा विश्लेषण की कला: पेशेवरों के लिए / वी. बोरोविकोव। - सेंट पीटर्सबर्ग। : पीटर, 2003. - 688 पी। - आईएसबीएन 5-272-00078-1..

मानक विचलन की विशेषता बताने वाला एक अंश