बड़ी संख्या से रूट का चयन कैसे करें। मुझे वर्गाकार जड़ कैसे मिलेगी? गुण, जड़ निष्कर्षण के उदाहरण

बड़ी संख्या से जड़ निकालना। प्रिय मित्रों!इस लेख में, हम यह पता लगाएंगे कि कैलकुलेटर के बिना बड़ी संख्या की जड़ कैसे निकाली जाए। यह न केवल कुछ प्रकार की यूएसई समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है (आंदोलन के लिए कुछ हैं), बल्कि सामान्य गणितीय विकास के लिए भी इस विश्लेषणात्मक तकनीक को जानना वांछनीय है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ सरल है: इसे कारक और इसे निकालें। कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, विस्तारित होने पर संख्या 291600 उत्पाद देगी:

हम गणना करते हैं:

एक BUT है! विधि अच्छा है यदि भाजक 2, 3, 4 और इतने पर आसानी से निर्धारित होते हैं। लेकिन क्या होगा अगर जिस नंबर से हम रूट निकालते हैं वह प्राइम नंबर का उत्पाद है? उदाहरण के लिए 152881 संख्या 17, 17, 23, 23 का एक उत्पाद है। इन विभाजकों को तुरंत खोजने का प्रयास करें।

जिस विधि पर हम विचार कर रहे हैं, उसका सार- यह विशुद्ध विश्लेषण है। अधिग्रहित कौशल के साथ रूट जल्दी से पाया जाता है। यदि कौशल पर काम नहीं किया जाता है, लेकिन दृष्टिकोण को आसानी से समझा जाता है, तो यह थोड़ा धीमा है, लेकिन अभी भी निर्धारित है।

190969 से रूट निकालें।

पहले, आइए निर्धारित करें - किस संख्या के बीच (एक सौ के गुणक) हमारा परिणाम निहित है।

जाहिर है, दी गई संख्या की जड़ का परिणाम 400 से 500 तक होता है,जैसा

400 2 \u003d 160,000 और 500 2 \u003d 250,000

वास्तव में:

बीच में, 160,000 या 250,000 के करीब?

190969 की संख्या लगभग बीच में है, लेकिन फिर भी 160000 के करीब है। हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारी जड़ का परिणाम 450 से कम होगा। आइए देखें:

वास्तव में, यह 190 969 के बाद से 450 से कम है< 202 500.

अब 440 नंबर की जाँच करें:

इसलिए हमारा रिजल्ट 440 से कम है190 969 < 193 600.

430 की जाँच कर रहा है:

हमने स्थापित किया है कि इस मूल का परिणाम 430 से 440 तक है।

अंत में 1 या 9 के साथ संख्याओं का उत्पाद अंत में 1 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 21x21 441 है।

अंत में 2 या 8 के साथ संख्याओं का उत्पाद अंत में 4 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 18 x 18 324 है।

अंत में 5 के साथ संख्याओं का गुणनफल अंत में 5 के साथ संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 25x25 बराबर 625।

अंत में 4 या 6 के साथ संख्याओं का उत्पाद अंत में 6 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए 26x26 676 के बराबर होता है।

अंत में 3 या 7 के साथ संख्याओं का गुणनफल अंत में 9 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 17x17 बराबर 289।

चूंकि 190969 नंबर 9 नंबर के साथ समाप्त होता है, तो यह उत्पाद 433 या 437 है।

* केवल वे, जब चुकता, अंत में 9 दे सकते हैं।

हम जाँच:

तो मूल परिणाम 437 होगा।

यही है, हम सही उत्तर के लिए "ग्रोप्ड" की तरह हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक कॉलम में 5 क्रियाओं को करने के लिए अधिकतम आवश्यक है। शायद आप तुरंत बिंदु पर पहुंच जाएंगे, या केवल तीन क्रियाएं करेंगे। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप संख्या का प्रारंभिक अनुमान कैसे लगाते हैं।

148996 की जड़ स्वयं निकालें

इस तरह के एक भेदभाव समस्या में प्राप्त होता है:

मोटर जहाज नदी के साथ अपने गंतव्य तक जाता है 336 किमी और प्रस्थान के बिंदु पर वापसी को रोकने के बाद। अभी भी पानी में एक मोटर जहाज की गति का पता लगाएं, यदि वर्तमान गति 5 किमी / घंटा है, तो प्रवास 10 घंटे तक रहता है, और जहाज छोड़ने के 48 घंटे बाद प्रस्थान के बिंदु पर लौटता है। अपना उत्तर किमी / घंटा में दें।

समाधान देखें

मूल परिणाम 300 और 400 के बीच है:

300 2 =90000 400 2 =160000

वास्तव में, 90,000<148996<160000.

इन संख्याओं के सापेक्ष १४6 ९९ ६६ (दूर) स्थित कैसे है, यह निर्धारित करने के लिए आगे तर्क का सार नीचे आता है।

आइए मतभेदों की गणना करें148996 - 90,000 \u003d 58996 और 160,000 - 148996 \u003d 11004।

यह पता चला है कि 148996 160000 के करीब (बहुत करीब) है। इसलिए, रूट का परिणाम निश्चित रूप से 350 और 360 से अधिक होगा।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारा परिणाम 370 से अधिक है। आगे, यह स्पष्ट है: चूंकि 148996 6 नंबर के साथ समाप्त होता है, इसका मतलब है कि 4 या 6 में समाप्त होने वाली संख्या को चुकता किया जाना चाहिए। * केवल ये संख्या जब चुकता दे। अंत ६।

सबसे अच्छा संबंध है, अलेक्जेंडर क्रुत्सिटिख।

P.S: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

अक्सर ऑलिम्पीड्स और परीक्षाओं में (उदाहरण के लिए, गणित में परीक्षा पर), आप कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर सकते। और रोजमर्रा की जिंदगी में, कभी-कभी आपको एक कैलकुलेटर के वर्गमूल के मूल्य का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है, बिना हाथ में कैलकुलेटर के। कैसे आगे बढ़ा जाए?

1. सबसे पहले, संख्या के अंतिम अंक को देखें, यदि यह 2, 3, 7, 8 है, तो इस संख्या की पूरी जड़ मौजूद नहीं है। और यदि संख्या 1, 4, 6, 9 के साथ समाप्त होती है, तो वांछित जड़ का अंतिम अंक क्रमशः 1 या 9, 2 या 8, 4 या 6, 3 या 7 हो सकता है।
यदि संख्या 5 अंक के साथ समाप्त होती है, तो आपको पेनुलेट अंक पर ध्यान देने की आवश्यकता है। एक पूरी जड़ के अस्तित्व के लिए, यह 2 होना चाहिए, अर्थात्। केवल 25 में समाप्त होने वाली संख्या में जड़ें 5 में समाप्त हो सकती हैं।
इस क्रम में एक विशेष स्थान 0. पर कब्जा कर लिया जाता है। यदि कोई संख्या एक या विषम संख्या के शून्य के साथ समाप्त होती है, तो पूरी जड़ नहीं है, यदि दो या सम है, अर्थात 10 का मूल गुण है।

क्या आपने इस तालिका में कुछ समरूपता पर ध्यान दिया है? इसके कारण के बारे में सोचो। यदि आपने अनुमान नहीं लगाया है, तो इस अनुभाग के अंत में एक नज़र डालें।

2. दाएं से बाएं से 2 अंकों के समूहों (किनारे पर) में संख्या को तोड़ें। अंतिम अंक से शुरू करें। इसके अलावा, यदि किसी दी गई संख्या में अंकों की एक विषम संख्या होती है, तो सबसे बाएं समूह में एक अंक होगा, यदि एक सम संख्या से, तो दो।

यदि आपकी संख्या में केवल दो चेहरे हैं, तो आप इस पर रोक सकते हैं और एक कॉलम में गुणा करके संभावित परिणामों की जांच कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 1225 की संख्या 3 से शुरू होनी चाहिए (हमने इसे आइटम 3 में परिभाषित किया है), और केवल 5 के साथ समाप्त हो सकता है (आइटम 1 देखें), अर्थात। यदि इस संख्या की एक प्राकृतिक जड़ है, तो यह केवल 35 हो सकती है। संख्या 841 की जड़ 2 से शुरू होनी चाहिए, और 1 या 9 के साथ समाप्त हो सकती है, अर्थात। यह या तो 21 या 29 है। लेकिन 21 either 20 और 20 2 \u003d 400, और 29 21 30 और 30 2 \u003d 900 है। दी गई संख्या 841 400 के मुकाबले 900 के करीब है, इसलिए उत्तर संभवतः 29 है।

चलो देखते है।

29
× 29
____
261
58
____
841

35
× 35
_____
175
105
_____
1225

तो, उत्तर मौजूद हैं, वे पाए जाते हैं और सही ढंग से पाए जाते हैं।
दोहरे अंकों के उत्तर के लिए, और परीक्षा में अधिक नंबर दुर्लभ हैं, सब कुछ बहुत सरल है। ऐसा नहीं है?

4. यदि आपकी संख्या में दो से अधिक चेहरे हैं, या आप सीधे चेक में नहीं जाना चाहते हैं, तो रूट खोजने के लिए एल्गोरिथ्म अगले चरण के साथ जारी है:
- उत्तर के पहले अंक को स्क्वायर करें और इसे पहले पहलू से घटाएं, दूसरे पहलू को अंतर में जोड़ें, आपको तीन अंकों या चार अंकों की संख्या मिलती है। आइए हम इसे प्रतीक ए द्वारा निरूपित करते हैं।

5. अगला अंक इस तरह चुना जाना चाहिए:
- हम उत्तर के मौजूदा भाग को 2 से गुणा करते हैं, इसमें अनुमानित अंक जोड़ते हैं और परिणामी संख्या को उसी अंक से गुणा करते हैं। परिणाम को संख्या ए से घटाएं। शेष को सबसे छोटी संभव सकारात्मक संख्या होनी चाहिए।

उदाहरण के लिए, संख्या 142884 (14 "28" 84) के लिए, उत्तर का एक हिस्सा मिला - पहला अंक 3 और दूसरा चेहरा हटा दिया गया था, अर्थात्। परिभाषित A \u003d 528। उत्तर के भाग को 2 से गुणा करें, हमें 3 × 2 \u003d 6. अब मिलता है, दाईं ओर 6-ke तक आपको "अनुमानित अंक" जोड़ने की आवश्यकता होती है। हम इसका अनुमानित मूल्य निर्धारित करते हैं:
A \u003d 528 \u003d 500.500: 60, 8. इसलिए, हम 8 से चयन करना शुरू करते हैं।
528 - 68 × 8 \u003d 528 - 544 528 - 67 × 7 \u003d 528 - 469\u003e 0. जड़ का अगला अंक 7 है।

तो, हमारे उदाहरणों में:

यदि आपने चेहरे के रूप में कई अंकों का गठन किया है, और इस चरण में शेष 0 है, तो उत्तर प्राप्त होता है। किसी भी मामले में, इसे गुणा करके जांचना समझ में आता है।
यदि चेहरे के रूप में कई अंक हैं, लेकिन शेष 0 नहीं है, तो या तो ऊपर की गणना में कोई त्रुटि थी, या इस संख्या की कोई प्राकृतिक जड़ नहीं है। उत्तरार्द्ध मामले में, यदि आपको किसी दिए गए सटीक के साथ अभी भी इसके मूल्य को खोजने की आवश्यकता है, तो आप दशमलव बिंदु के बाद शून्य किनारों (00) की आवश्यक संख्या जोड़ सकते हैं और जारी रख सकते हैं।
यदि प्राप्त संख्याओं से अधिक चेहरे हैं, तो जारी रखें। दो ऊपरी उदाहरणों में, यह हमारे लिए केवल अंतिम अंक निर्धारित करता है, यह आइटम 1 के अनुसार चयन द्वारा किया जा सकता है: संख्या 142884 के लिए, आपको 372 और 378 को गुणा करके जांचना होगा, संख्या 20449 के लिए, 143 और 147 की जाँच करें। लेकिन हम सामान्य एल्गोरिथ्म के अनुसार जारी रखेंगे।

6. हम पिछले चरण में प्राप्त शेष में अगला चेहरा जोड़कर एक नया नंबर A बनाते हैं। उत्तर का अगला अंक प्राप्त करने के लिए, 5 वें चरण की क्रियाओं को दोहराएं। हम इस कदम को तब तक दोहराते हैं जब तक कि पूरा जवाब नहीं मिल जाता।
हमारे उदाहरणों में:

एक्स + y \u003d 10 और y = 10 − एक्स.

चलो दो संख्याओं के अंतर के वर्ग के सूत्र को याद करते हैं

(ए − ख) 2 = ए 2 − 2अब + ख 2 ;

और इसका उपयोग एक वर्ग खोजने के लिए करें y.

y 2 = (10 − एक्स) 2 \u003d 10 2 - 2 10 एक्स + एक्स 2 ;

इस राशि में, पहला शब्द दो शून्य में समाप्त होता है, दूसरा शून्य में, जिसका अर्थ है कि जोड़ के बाद की पूरी अभिव्यक्ति उसी अंक के साथ समाप्त होगी एक्स 2। उन। एक्स 2 और y 2 उसी तरह से समाप्त करें।

जड़ की गणना के उदाहरण।

356335289 का मूल्यांकन करें _______ .

हम विभाजन के साथ सादृश्य द्वारा एक कॉलम में मध्यवर्ती परिणाम रिकॉर्ड करेंगे। कॉलम के दाईं ओर ड्राफ़्ट करें।

6"33"52"89 | 2517.
−4
____
233
−225 | 45 × 5
______
852
−501 | 501 × 1
________
35189
|35189 | 5027 × 7 |
__________
0

1) हमने किनारे पर संख्या को विभाजित किया: 6 "33" 52 "89. यह 4 टुकड़े निकला, इसलिए, उत्तर में 4 अंक होंगे। पहला अंक 2 है, 2 2 \u003d 4 6 के बाद से।

2) अगला, हम उत्तर के मौजूदा हिस्से को दोगुना करते हैं, शेष को निर्धारित करते हैं, अगली पंक्ति को ध्वस्त करते हैं और उत्तर के अगले अंक का चयन करते हैं। हम इस कदम को अंतिम छोर तक दोहराते हैं:
233: 40; 5; 45 x 5 \u003d 225 233; इसलिए, 2 अंक 5 है;
852: 500; 1; 501 × 1 \u003d 501,852; इसलिए तीसरा अंक 1 है।

3) यदि पूरी जड़ मौजूद है, तो इसका अंतिम अंक 3 या 7 हो सकता है। हम एक कॉलम में गुणा करके 2513 और 2517 की जांच कर सकते हैं। लेकिन बहु-अंकों की संख्या के लिए सामान्य एल्गोरिथ्म के अनुसार जारी रखना अधिक तेज़ है:
35189: 5000; 7; 5027 × 7 \u003d 35189 (!) अंतिम अंक 7 है।

उत्तर: 2517.

2304 का मूल्यांकन करें ____ .

48
× ४
______
384
192
______
2304

हम इसे कगार पर तोड़ देते हैं। 23 "04. इसलिए, उत्तर 2 अंकों से है, पहला अंक 4 है, क्योंकि 4 2 \u003d 16 23। अंतिम अंक या तो 2 या 8 है, क्योंकि गुणन का परिणाम 4 के साथ समाप्त होना चाहिए।
तो, 42 या 48? 42 ≈ 40; 40 2 \u003d 1600.48; 50; 50 2 \u003d 2500.2500 दी गई संख्या के करीब है, इसलिए हम 48 पर लंबी गुणा करके परीक्षण शुरू करते हैं।

उत्तर: 48.

यह गणित में परीक्षा पर सबसे आम मामला है, और मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप इसे एक चेक के साथ समाप्त करें।

503 का मूल्यांकन करें ___ .

संख्या तीन के साथ समाप्त होती है। यह तुरंत स्पष्ट है कि पूरे मूल मूल्य काम नहीं करेंगे। आइए हम अपने आप से सवाल पूछें कि जड़ को निर्धारित करने के लिए क्या सटीकता आवश्यक है। मान लीजिए कि स्थिति निकटतम सौवें उत्तर का उत्तर देने के लिए कहती है। इसका मतलब है कि आपको इसे हजारवें तक प्राप्त करने की आवश्यकता है, अर्थात। तीसरे दशमलव स्थान तक। इसलिए, दी गई संख्या में 3 और शून्य किनारों को जोड़ा जाना चाहिए। और खुद अल्पविराम को मत भूलना!

5"03,00"00"00 | 22,427.
−4
____
103
- 84 | 42 × 2
______
1900
−1776 | 444 × 4
________
12400
- 8964 | 4482 × 2
__________
343600
−313929 | 44847 × 7
____________
29671

1) इस प्रकार, चेहरों में विभाजन इस तरह होगा 5 "03 , 00 "00" 00 है। उत्तर पांच अंकों का होगा - 2 दशमलव बिंदु से पहले और 3 बाद। पहला अंक 2 (2 2 \u003d 4 5) है, इस मामले में अंतिम अंक हम निर्धारित नहीं कर सकते हैं।

2) अगला, हम सामान्य रूप से सामान्य एल्गोरिथ्म के 4,5,6 चरण करते हैं:
103: 40: 2; 42 x 2 \u003d 84 103; इसलिए 2 अंक 2 है।
1900: 440: 4; 444 x 4 \u003d 1776 1900; इसलिए 3 अंक 4 है।
12400: 4480; 3; 4483 x 3 \u003d 13449\u003e 12400; 4482 × 2 \u003d 8964 343600: 44840 89 8; 44848 × 8 \u003d 358784\u003e 343600; 44847 × 7 \u003d 313929 हमें अभी तक एक शून्य शेष नहीं मिला है और, यदि आवश्यक रूट एक अपरिमेय संख्या है, तो शायद, हम कभी नहीं प्राप्त करेंगे। लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है, क्योंकि परिणाम पहले से ही गोलाई के लिए आवश्यक सटीकता के साथ प्राप्त किया गया है।

दशमलव बिंदु के बाद तीसरे अंक को त्यागकर, एक इकाई 22.427। 22.43 द्वारा पिछले 7 (5 के बाद से) बढ़ाना।

उत्तर: 22,43.

.51.5 का मूल्यांकन करें ____ .

दशमलव अंश की जड़ की गणना करने के लिए, याद रखें कि 10 2 \u003d 100 और 0.1 2 \u003d 0.01। उन। जब चुकता किया जाता है, तो अंक दोगुना हो जाते हैं। तदनुसार, दशमलव अंश के वर्गमूल को निकालने के लिए, हमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक समान संख्या की आवश्यकता है। इस स्थिति में, हमें दशमलव बिंदु के बाद दाएं से बाएं (अंत में) से विभाजित होने पर पूर्णांक संख्या मिलती है, और इसलिए उत्तर के भिन्नात्मक भाग में अंकों की एक पूर्णांक संख्या होती है।
यह भी याद रखें कि आप संख्या के पूर्णांक वाले भाग की तरह कई प्रमुख शून्य जोड़ सकते हैं, और आंशिक भाग के अंत में जितने शून्य हो सकते हैं। इससे संख्या नहीं बदलती है।

1 \u003d 001; 23 \u003d 000023; 1080 \u003d 01080; लेकिन (!) 1080 ≠ 10800
0.1 \u003d 0.10; 2.3 \u003d 2.3000; 10.80 \u003d 0010.8000; लेकिन (!) 10.80 80 100.80 और 10.80) 10.080

विधि I।

1,5 = 1,50 √1,5___ = √1,50____

मान लीजिए कि आपको दसवें उत्तर के लिए सटीक उत्तर देने की आवश्यकता है, तो आपको दूसरे दशमलव स्थान तक इस रूट के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है। दशमलव बिंदु के बाद अब हमारे पास 2 अंक हैं, अर्थात एक चेहरा, इसलिए एक और शून्य चेहरा जोड़ें।

1,50"00 | 1,22
−1
____
50
×44 | 22 × 2 |
______
600
24484 | 242 × 2
_______
116

1) किनारे पर काम करना: 1.50 "00. परिणाम 3 अंक होगा - दशमलव बिंदु से पहले एक और दो के बाद। पहला अंक स्पष्ट रूप से 1 है।

3) 1.22। 1.2 तक गोल।

उत्तर: 1,2.

विधि II।

हम एक ही समय में गुणा करते हैं और एक समान शक्ति (आवश्यक रूप से एक शक्ति में, ताकि बाद में हम आसानी से मूल को सही और सटीक रूप से निकाल सकें) में हमारी संख्या को 10 से विभाजित करते हैं। 1.5 \u003d 1.5 × 100/100 \u003d 150/100। इसलिए, आपको 150 की जड़ की गणना करने और इसे 100 की जड़ से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात। 10 पर।

छोटे तीन अंकों के पूर्णांक के लिए, जड़ों के मूल्यों को याद रखना आसान है, क्योंकि वे बहुत आम हैं (उदाहरण के लिए, तालिकाओं में "1 से 25 तक संख्याओं के वर्ग" और "वर्गमूल")। पूर्णांक संख्या 144 से 150 के वर्ग का निकटतम मान, इसलिए square150 ____ ≈ 12 और, तदनुसार, accordingly1.5 ____ ≈ 12:10 = 1,2.

उत्तर: 1,2.

ध्यान: यह एक बहुत ही सामान्य गलती है जब 15 की जड़ को 1.5 की जड़ के अनुमानित मूल्य को निर्धारित करने के लिए लिया जाता है। याद रखें - एक समान संख्या में शून्य।

√10__ ≈ 3,16 √100___ = 10 √1000____ ≈ 31,62 √10000_____ = 100 √100000______ ≈ 316,23 √1000000_______ = 1000

अपने पहले संस्करण के प्रस्तावना में "सरलता के साम्राज्य में" (1908) ईआई इग्नाटिव लिखते हैं: "... मानसिक पहल, सरलता और" सरलता "को किसी के सिर में" ड्रिल "या" डाल "नहीं किया जा सकता है। परिणाम तभी विश्वसनीय होते हैं जब गणितीय ज्ञान के क्षेत्र से परिचय आसान और सुखद तरीके से किया जाता है, हर रोज़ और रोज़मर्रा की स्थितियों की वस्तुओं और उदाहरणों के साथ, उपयुक्त बुद्धि और मनोरंजन के साथ चुना जाता है। ”

1911 के संस्करण की प्रस्तावना में "गणित में स्मृति की भूमिका," ईआई। इग्नाटिव लिखता है "... गणित में एक सूत्र को नहीं, बल्कि सोचने की प्रक्रिया को याद रखना चाहिए।"

वर्गमूल निकालने के लिए, दो-अंकीय संख्याओं के लिए वर्गों की तालिकाएँ हैं, आप संख्या को अभाज्य कारकों में बदल सकते हैं और उत्पाद की वर्गमूल निकाल सकते हैं। वर्गों की तालिका अक्सर पर्याप्त नहीं होती है, कारक द्वारा निष्कर्षण जड़ का निष्कर्षण एक समय लेने वाला कार्य है, जो हमेशा वांछित परिणाम तक नहीं ले जाता है। 209764 के वर्गमूल की कोशिश करो? प्रधान गुणनखंडन उत्पाद को 2 * 2 * 52441 देता है। परीक्षण और त्रुटि से, चयन - यह, निश्चित रूप से किया जा सकता है, यदि आप सुनिश्चित हैं कि यह पूर्णांक है। जिस तरह से मैं सुझाव देना चाहता हूं वह वैसे भी वर्गमूल को प्राप्त करना है।

एक बार संस्थान (पर्म स्टेट पेडागोगिकल इंस्टीट्यूट) में हमें इस पद्धति से परिचित कराया गया था, जिसके बारे में मैं अब बात करना चाहता हूं। मुझे कभी आश्चर्य नहीं हुआ कि इस पद्धति के पास कोई प्रमाण है, इसलिए अब मुझे स्वयं कुछ प्रमाण प्राप्त करने होंगे।

इस विधि का आधार संख्या की रचना है \u003d।

\u003d &, अर्थात & 2 \u003d 596334।

1. दाएं से बाएं (5`96`33`64) की संख्या (5963364) को जोड़े में विभाजित करें

2. बाईं ओर पहले समूह का वर्गमूल निकालें (- संख्या 2)। यह हमें & का पहला अंक देता है।

3. पहले अंक का वर्ग ज्ञात करें (2 2 \u003d 4)।

4. पहले समूह और पहले अंक के वर्ग (5-4 \u003d 1) के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

5. हम अगले दो नंबर लेते हैं (हमें 196 नंबर मिला है)।

6. पहला अंक जो हमने पाया, उसे पंक्ति के पीछे बाईं ओर लिखें (2 * 2 \u003d 4)।

7. अब आपको संख्या का दूसरा अंक खोजने की आवश्यकता है: और जो पहला अंक हमने पाया है वह संख्या का दहाई अंक बन जाता है, जब संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको 196 से कम संख्या प्राप्त करने की आवश्यकता होती है (यह अंक 4, 44 \u003d 4 \u003d 176)। 4 & का दूसरा अंक है।

8. अंतर ज्ञात करें (196-176 \u003d 20)।

9. हम अगले समूह को ध्वस्त करते हैं (हमें 2033 नंबर मिलता है)।

10. संख्या 24 को दोगुना करने पर हमें 48 प्राप्त होते हैं।

एक संख्या में 11.48 टन, जब लोगों की संख्या से गुणा किया जाता है, तो हमें 2033 (484 * 4 \u003d 1936) से कम संख्या मिलनी चाहिए। इकाइयों का अंक (4) हमने पाया कि & का तीसरा अंक है।

मेरे द्वारा मामलों के लिए प्रमाण दिया जाता है:

1. तीन अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना;

2. चार अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालें।

अनुमानित वर्गमूल विधि (कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना)।

1. प्राचीन बेबीलोनियों ने अपनी संख्या x के वर्गमूल का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए निम्न विधि का उपयोग किया था। उन्होंने संख्या x को 2 + b के योग के रूप में दर्शाया, जहाँ 2 संख्या x के निकटतम है प्राकृतिक संख्या a (a 2? X) का सटीक वर्ग, और सूत्र का उपयोग किया है? . (1)

आइए हम सूत्र (1) का उपयोग करके वर्गमूल निकालें, उदाहरण के लिए, संख्या 28 से:

एमके 5.2915026 का उपयोग करके 28 से एक रूट निकालने का नतीजा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, बेबीलोनियन विधि जड़ के सटीक मूल्य को एक अच्छा अनुमान देती है।

2. आइजैक न्यूटन ने वर्गमूल निकालने की एक विधि विकसित की, जो सिकंदरिया के हेरॉन (लगभग 100 ईस्वी पूर्व) की है। यह विधि (न्यूटन की विधि के रूप में जानी जाती है) इस प्रकार है।

लश्कर एक १- एक संख्या का पहला सन्निकटन (1 के रूप में, आप एक प्राकृतिक संख्या के वर्गमूल के मान ले सकते हैं - एक सटीक शब्द नहीं एक्स)।

अगला, अधिक सटीक सन्निकटन एक २नंबर सूत्र द्वारा पाया जा सकता है .

तथ्य १।
\\ (\\ बुलेट \\) कुछ गैर-नकारात्मक नंबर लें (\\ a) (जो है, \\ (a \\ geqslant 0 \\))। तब (अंकगणित) वर्गमूल संख्या \\ (a \\) को गैर-ऋणात्मक संख्या \\ (b \\) कहा जाता है, जब चुकता किया जाता है, तो हम संख्या \\ (a \\) प्राप्त करते हैं: \\ [\\ sqrt a \u003d b \\ quad \\ text (समान) \\ quad \u003d a \u003d b ^ 2 \\] यह परिभाषा से इस प्रकार है \\ _ \\ _ एक भू-खंड 0, b \\ geqslant 0 \\). इन बाधाओं को एक वर्गमूल के अस्तित्व के लिए आवश्यक है और इसे याद रखना चाहिए!
याद रखें कि कोई भी संख्या जब चुकता एक गैर-नकारात्मक परिणाम देती है। अर्थात्, (100 ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\) और \\ ((- 100) ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\)।
\\ \\ (बुलेट) \\ _ (\\ sqrt (25) \\) क्या है? हम जानते हैं कि \\ (5 ^ 2 \u003d 25 \\) और \\ ((- 5) ^ 2 \u003d 25 \\)। चूंकि, परिभाषा के अनुसार, हमें एक गैर-ऋणात्मक संख्या मिलनी चाहिए, तब \\ (- 5 \\) फिट नहीं होती है, इसलिए \\ (\\ sqrt (25) \u003d 5 \\) (\\ 25 \u003d 5 ^ 2 \\) के बाद से)।
मान \\ (\\ sqrt a) को ढूँढने के लिए \\ n (a) के वर्गमूल को लेने के लिए कहा जाता है, और \\ (a () को एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति कहा जाता है।
\\ _ (\\ बुलेट \\) परिभाषा के आधार पर, अभिव्यक्ति (\\ sqrt (-25) \\), \\ (\\ sqrt (-4) \\), आदि। समझ में नहीं आता।

तथ्य २।
त्वरित गणना के लिए, यह प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की तालिका (1 \\) से \\ (20 \\) तक सीखना उपयोगी होगा: \\ [\\ start (सरणी) (|) (| ll।) \\ hline 1 ^ 2 \u003d 1 & \\ quad11 ^ 2 \u003d 121 \\\\ 2 ^ 2 \u003d 4 और \\ quad12 ^ 2 \u003d 144 \\\\ 3 ^ 2 \u003d 9 और \\ quad13 ^ 2 \u003d 169 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 और \\ quad14 ^ 2 \u003d 196 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 और \\ quad15 ^ 2 \u003d 225 \\\\ 6 ^ 2 \u003d 36 और \\ quad16 ^ 2 \u003d 256 \\\\ 7 ^ 2 \u003d 49 & \\ quad17 ^ 2 \u003d 289 \\\\ 8 ^ 2 \u003d 64 & \\ quad18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 & \\ quad19 ^ 2 \u003d 361 \\\\ 10 ^ 2 \u003d 100 & \\ quad20 ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ hline \\ end (सरणी) \\]

तथ्य ३।
वर्गमूल के साथ क्या किया जा सकता है?
\\ (\\ गोली \\) वर्गमूलों का योग या अंतर, योग या अंतर के वर्गमूल के लिए EQUAL नहीं है, अर्थात \\ [\\ sqrt a \\ pm \\ sqrt b \\ ne \\ sqrt (a \\ pm b) \\] इस प्रकार, यदि आपको गणना करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, \\ (\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \\), तो शुरू में आपको मान (\\ sqrt (25) \\) और \\ (\\ sqrt (49) \\ इसलिये, \\ [\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] यदि \\ _ (\\ sqrt a + \\ sqrt b \\) जोड़ते समय मानों (\\ sqrt a \\) या \\ (\\ sqrt b \\) को नहीं पाया जा सकता है, तो यह अभिव्यक्ति और अधिक रूपांतरित नहीं होती है और जैसी है वैसी ही बनी रहती है। उदाहरण के लिए, योग (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \\) में हम \\ (\\ sqrt (49) \\) पा सकते हैं - यह \\ (7 \\) है, लेकिन \\ (\\ sqrt 2 \\) को किसी भी तरह से परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। इसलिए \\ _ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \u003d \\ sqrt 2 + 7 \\)... दुर्भाग्य से, इस अभिव्यक्ति को और सरल नहीं किया जा सकता है। \\ \\ (\\ बुलेट \\) वर्ग जड़ों के उत्पाद / भागफल उत्पाद / भागफल के वर्गमूल के बराबर है, जो है \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ab) \\ quad \\ text (और) \\ quad \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (a: b) \\] (बशर्ते कि दोनों पक्षों में समानता हो)
उदाहरण: \\ (\\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt 2 \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8 \\); \\ \\ (\\ sqrt (768): \\ sqrt3 \u003d \\ sqrt (768: 3) \u003d \\ sqrt (256) / 16%); \\ \\ (\\ sqrt (- (25) \\ cdot (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\)... इन गुणों का उपयोग करके, उन्हें फैक्टर करके बड़ी संख्या में वर्गमूल निकालना सुविधाजनक है।
आइए एक उदाहरण देखें। Find \\ (\\ sqrt (44100) \\)। चूंकि \\ _ (44100: 100 \u003d 441 \\), फिर \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441 \\)। विभाज्यता द्वारा, संख्या \\ (441 \\) को विभाजित किया जाता है \\ (9 \\) (क्योंकि इसके अंकों का योग 9 है और 9 से विभाज्य है), इसलिए, \\ (441: 9 \u003d 49 \\), वह \\ (441 \u003d 9 \\) है। इस प्रकार, हमें मिला:
\\ [\\ sqrt (44100) \u003d \\ sqrt (9 \\ cdot 49 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (49) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 7 \u003d 210 \\] आइए एक और उदाहरण देखें: \\ [\\ sqrt (\\ dfrac (32 \\ cdot 294) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 49 \\ cdot 2)) (9 \\ cdot 3)) \u003d \\ sqrt (\\) \u003d \\ dfrac (56) 3 \\] \\ \\ (\\ बुलेट \\) आइए हम दिखाते हैं कि अभिव्यक्ति के उदाहरण (5 \\ sqrt2 \\) (अभिव्यक्ति के लिए आशुलिपि) (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\) का उपयोग करके वर्गमूल चिह्न के तहत संख्या कैसे दर्ज करें। तब से (5 \u003d \\ sqrt (25) \\) है
यह भी ध्यान दें, उदाहरण के लिए, \ 1) \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
2) \\ (5 \\ sqrt3- \\ sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
3) \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a)।
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ऐसा क्यों है? आइए उदाहरण 1 का उपयोग करके समझाएं)। जैसा कि आप पहले से ही समझ चुके हैं, हम किसी भी तरह संख्या (\\ sqrt2 \\) को परिवर्तित नहीं कर सकते हैं। आइए कल्पना करें कि \\ (\\ sqrt2 \\) कुछ संख्या \\ (एक) है। तदनुसार, एक्सप्रेशन \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \\) \\ _ (a + 3a \\) (एक नंबर \\ (a)) के अलावा तीन समान (a (a)) से अधिक नहीं है। और हम जानते हैं कि यह चार ऐसी संख्याओं (\\ a) के बराबर है, अर्थात, (4 \\ sqrt2 \\)।

तथ्य 4।
\\ \\ (\\ बुलेट \\) यह अक्सर कहा जाता है कि "जड़ को नहीं निकाल सकते" जब किसी संख्या के मूल्य का पता लगाने पर मूल (कट्टरपंथी) के चिह्न (\\ sqrt () \\ \\) से छुटकारा पाना संभव नहीं होता। उदाहरण के लिए, आप संख्या \\ (16 \\) की जड़ निकाल सकते हैं, क्योंकि \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), इसलिए \\ (\\ sqrt (16) \u003d 4 \\)। लेकिन रूट को संख्या \\ (3 \\) से निकालना असंभव है, अर्थात, \\ (\\ sqrt3 \\) ढूंढें, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो वर्ग में \\ (3 \\) देगी।
ऐसी संख्याएँ (या ऐसी संख्याओं के साथ भाव) अपरिमेय हैं। उदाहरण संख्या के लिए \\ \\ (sqrt3, \\ 1+ \\ sqrt2, \\ \\ sqrt (15) \\) आदि। तर्कहीन हैं।
इसके अलावा तर्कहीन संख्याएँ हैं (\\ pi \\) (संख्या "pi", लगभग बराबर (3.14 \\)), \\ (e \\) (इस संख्या को यूलर का नंबर कहा जाता है, लगभग यह \\ _ (2.7 \\) है) आदि।
\\ _ (\\ _ बुलेट) कृपया ध्यान दें कि कोई भी नंबर तर्कसंगत या तर्कहीन होगा। और एक साथ, सभी तर्कसंगत और सभी तर्कहीन संख्याएं एक सेट कहलाती हैं वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं का सेट। यह सेट अक्षर \\ (\\ mathbb (R) \\) द्वारा दर्शाया गया है।
इसका मतलब यह है कि वर्तमान में हम जानते हैं कि सभी संख्याओं को वास्तविक संख्या कहा जाता है।

तथ्य 5।
\\ \\ (\\ बुलेट \\) एक वास्तविक संख्या का मापांक (a) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है (\\ a! \\) वास्तविक रेखा पर बिंदु \\ (a) से \\ _ (0 \\) की दूरी के बराबर। उदाहरण के लिए, \\ ((3 | \\ _) और \\ (! -3 | \\) 3 के बराबर हैं, क्योंकि अंक \\ (3 \\) और \\ (- 3 \\) से \\ _ (0 \\) की दूरी समान हैं और \\ (3) के बराबर हैं \\)।
\\ \\ (\\ बुलेट \\) अगर \\ (एक) एक गैर-नकारात्मक संख्या है, तो \\ _! (a! \u003d a a) है।
उदाहरण: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ _ (\\ qquad | \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\) \\ \\ (\\ बुलेट \\) अगर \\ (एक) एक ऋणात्मक संख्या है, तो \\ (!! | a \u003d \u003d -a \\)।
उदाहरण: \\ (; -5 | \u003d \u003d - (- ५) \u003d ५ \\); \\ _ (\\ qquad | - \\ sqrt3 | \u003d - - (- \\ sqrt3) \u003d \\ sqrt3 \\).
वे कहते हैं कि मॉड्यूल ऋणात्मक संख्याओं के लिए "खाती है", और मॉड्यूल सकारात्मक संख्या छोड़ देता है, साथ ही साथ संख्या (0 \\) अपरिवर्तित होती है।
परंतु यह नियम केवल संख्याओं के लिए काम करता है। यदि आपके पास मापांक (या कुछ अन्य अज्ञात) के चिह्न के तहत एक अज्ञात \\ (x \\) है, उदाहरण के लिए, ((| x | \\), जिसके बारे में हम नहीं जानते हैं, क्या यह सकारात्मक, शून्य या नकारात्मक है, तो मापांक से छुटकारा पाएं। हम नहीं कर सकते। इस स्थिति में, यह अभिव्यक्ति बनी रहती है: \\ (| x | \\)। \\ \\ (\\ बुलेट \\) निम्नलिखित सूत्र पकड़ते हैं: \\ [(\\ बड़े (\\ sqrt (a 2 2) | a | a)) \\] | \\ [(\\ बड़े ((sqrt (a)) ^ 2 \u003d a)), \\ text (शर्त पर) a \\ geqslant 0 \\] एक बहुत ही सामान्य गलती की जाती है: वे कहते हैं कि \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) और \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) एक और एक ही हैं। यह केवल सच है अगर \\ (a) एक सकारात्मक संख्या या शून्य है। लेकिन अगर \\ (a) एक ऋणात्मक संख्या है, तो यह सच नहीं है। इस तरह के उदाहरण पर विचार करना पर्याप्त है। चलो \\ (a () के बजाय नंबर (- 1 \\) लें। तब \\ _ (\\ sqrt (- (1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), लेकिन अभिव्यक्ति \\ ((\\ sqrt (-1)) ^ 2 \\) बिल्कुल मौजूद नहीं है (सब के बाद, रूट साइन के तहत यह असंभव है) नकारात्मक संख्या डालें!)।
इसलिए, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर दिलाते हैं कि \\ ((sqrt (a 2 2)) \\ _ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) के बराबर नहीं है! उदाहरण 1) \\ \\ (\\ sqrt (\\ बाएँ (- \\ sqrt2 \\ दाएँ) ^ 2) \u003d - | - \\ sqrt2 \u003d \u003d \\ sqrt2 \\)जबसे \\ / - \\ sqrt2<0\) ;

\\ (\\ phantom (00000) \\) 2) \\ ((\\ sqrt (2)) ^ 2 \u003d 2 \\)। \\ \\ (\\ बुलेट \\) के बाद से \\ _ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), तो \\ [\\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d \u003d | a ^ n | \\] (अभिव्यक्ति \\ (2n \\) एक समान संख्या को दर्शाता है)
यही है, एक संख्या से जड़ निकालने पर जो कुछ हद तक होती है, इस डिग्री को आधा किया जाता है।
उदाहरण:
1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
2) \\ (\\ sqrt (- (25)) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 \\) (ध्यान दें कि यदि मॉड्यूल स्थापित नहीं है, तो यह पता चला है कि संख्या का मूल \\ (- 25 \\) है; लेकिन हमें याद है; जड़ की परिभाषा से, यह नहीं हो सकता है: जड़ निकालने पर हमारे पास हमेशा एक सकारात्मक संख्या या शून्य होता है)
3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d \u003d x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (चूंकि किसी सम संख्या में कोई भी संख्या गैर-ऋणात्मक है)

तथ्य 6।
आप दो वर्गमूल की तुलना कैसे करते हैं?
\\ (\\ बुलेट \\) वर्गमूल के लिए, यह सच है: if \\ (\\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(a उदाहरण:
1) \\ (\\ sqrt (50) \\) और \\ (6 \\ sqrt2 \\) की तुलना करें। सबसे पहले, दूसरी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करते हैं \\ (\\ sqrt (36) \\ cdot \\ sqrt2 \u003d \\ sqrt (36 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (72) \\)... इस प्रकार, के बाद से (50)<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) पूर्णांक क्या है (\\ sqrt (50) \\) के बीच?
चूंकि \\ _ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\), \\ (\\ sqrt (64) \u003d 8 \\), और \\ (49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \\ (\\ sqrt 2-1 \\) और \\ (0,5 \\) की तुलना करें। मान लें कि (\\ sqrt2-1\u003e 0.5 \\): \\ [\\ start (संरेखित) और \\ sqrt 2-1\u003e 0.5 \\ \\ बड़ा | +1 \\ Quad \\ पाठ ((दोनों पक्षों को एक जोड़ें)) \\\\ & \\ sqrt2\u003e 0.5 + 1 \\ \\ बड़ा | \\ ^ 2 \\ quad \\ पाठ ((दोनों पक्षों को चौकोर)) \\\\ और 2\u003e 1.5 ^ 2 \\\\ & 2\u003e 2.25 \\ अंत (गठबंधन) \\] हम देखते हैं कि हमें गलत असमानता मिली। इसलिए, हमारी धारणा गलत थी और \\ (\\ sqrt 2-1)<0,5\) .
ध्यान दें कि असमानता के दोनों किनारों पर एक संख्या जोड़ने से इसका संकेत प्रभावित नहीं होता है। असमानता के दोनों पक्षों को सकारात्मक संख्या से गुणा / विभाजित करना भी इसके संकेत को प्रभावित नहीं करता है, और एक नकारात्मक संख्या से गुणा / भाग करना असमानता के संकेत को उलट देता है!
आप समीकरण के दोनों पक्षों / असमानता को पूरा कर सकते हैं केवल दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हैं। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण से असमानता में, दोनों पक्षों को असमानता (- 3) में चुकता किया जा सकता है<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \\ (\\ बुलेट \\) याद रखें कि \\ [\\ start (गठबंधन) और \\ sqrt 2 \\ लगभग 1.4 \\\\ & \\ sqrt 3 \\ लगभग 1.7 \\ अंत (गठबंधन) [] संख्याओं की तुलना करते समय इन नंबरों के अनुमानित मूल्य को जानने से आपको मदद मिलेगी! \\ (\\ बुलेट \\) रूट को निकालने के लिए (यदि इसे निकाला जाता है) कुछ बड़ी संख्या से जो वर्गों की तालिका में नहीं है, तो आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि "सैकड़ों" यह किसके बीच है, फिर - जिसके बीच "टेंस" है। और फिर इस संख्या का अंतिम अंक निर्धारित करें। आइए दिखाते हैं कि यह उदाहरण के साथ कैसे काम करता है।
आइए \\ _ (\\ sqrt (28224) \\) लें। हम जानते हैं कि \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\, 000 \\), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\), आदि। ध्यान दें कि \\ (28224 \\) \\ (10 \u200b\u200b\\, 000 \\) और \\ (40 \\, 000 \\) के बीच है। इसलिए, \\ (\\ sqrt (28224) \\) \\ (100 \\) और \\ (200 \\) के बीच है।
अब यह निर्धारित करते हैं कि हमारी संख्या "दसियों" के बीच है (उदाहरण के लिए, \\ _ (120 \\) और \\ (130 \\) के बीच। वर्गों की तालिका से भी हम जानते हैं कि \\ (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\), आदि, फिर \\ (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400) \\), (130 ^ 2 \u003d 16900 \\), \\ (140 ^ 2 \u003d 19600 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28900) \\)। इस प्रकार, हम देखते हैं कि \\ (28224 \\) \\ (160 ^ 2 \\) और \\ (170 ^ 2 \\) के बीच है। इसलिए, संख्या \\ (\\ sqrt (28224) \\) \\ (160 \\) और \\ (170 \\) के बीच है।
आइए अंतिम अंक निर्धारित करने का प्रयास करें। आइए याद रखें कि चुकता होने पर \\ (4 \\) के अंत में एक-अंकों की संख्या क्या है? ये \\ (2 ^ 2 \\) और \\ (8 ^ 2 \\) हैं। इसलिए, \\ (\\ sqrt (28224) \\) 2 या 8 के साथ समाप्त हो जाएगा। आइए इसे देखें। ढूँढें \\ (162 ^ 2 \\) और \\ (168 ^ 2 \\):
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ cdot 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ cdot 168 \u003d 28224 \\)।
इसलिए \\ (\\ sqrt (28224) \u003d 168 \\)। देखा!

गणित में परीक्षा को पर्याप्त रूप से हल करने के लिए, सबसे पहले, सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करना आवश्यक है जो कई प्रमेयों, सूत्रों, एल्गोरिदम, आदि का परिचय देता है। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि यह काफी सरल है। हालांकि, एक स्रोत का पता लगाना जिसमें गणित में यूएसई के लिए सिद्धांत आसानी से और आसानी से किसी भी स्तर के प्रशिक्षण के छात्रों के लिए प्रस्तुत किया गया है, वास्तव में एक कठिन काम है। स्कूल की किताबों को हमेशा हाथ में नहीं रखा जा सकता है। और गणित में USE के लिए मूल सूत्र खोजना इंटरनेट पर भी मुश्किल हो सकता है।

केवल परीक्षा देने वालों के लिए ही नहीं, गणित में थ्योरी का अध्ययन करना इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

1. क्योंकि यह आपके क्षितिज को व्यापक बनाता है... गणित में सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन किसी के लिए भी उपयोगी है, जो दुनिया भर के ज्ञान से संबंधित प्रश्नों की एक विस्तृत श्रृंखला के उत्तर प्राप्त करना चाहता है। प्रकृति में सब कुछ व्यवस्थित है और एक स्पष्ट तर्क है। यह ठीक वही है जो विज्ञान में परिलक्षित होता है जिसके माध्यम से दुनिया को समझना संभव है।
2. क्योंकि इससे बुद्धि का विकास होता है... गणित में परीक्षा के लिए संदर्भ सामग्री का अध्ययन, साथ ही साथ विभिन्न समस्याओं को हल करने के साथ, एक व्यक्ति तार्किक और तर्क से सोचने के लिए सीखता है, सक्षम और स्पष्ट रूप से विचारों को तैयार करता है। वह विश्लेषण, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करता है।

हम आपको शैक्षिक सामग्री के व्यवस्थापन और प्रस्तुति के लिए हमारे दृष्टिकोण के सभी लाभों का व्यक्तिगत रूप से मूल्यांकन करने के लिए आमंत्रित करते हैं।

अनुदेश

कट्टरपंथी संख्या के लिए एक कारक चुनें, जिसके तहत हटाने से जड़ वैध अभिव्यक्ति - अन्यथा ऑपरेशन खो जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि संकेत के तहत जड़ तीन (घनमूल) के बराबर घातांक है संख्या 128, फिर संकेत के नीचे से आप बाहर निकाल सकते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 5. एक ही समय में, संख्या 128 को 5 घन से विभाजित करना होगा: 5128 \u003d 5 ³√ divided (128 / 5³) \u003d 5 / divided (128/125) \u003d 5 ³√ .01.024। यदि साइन के नीचे एक भिन्नात्मक संख्या की उपस्थिति जड़ समस्या की स्थितियों का खंडन नहीं करता है, तो यह इस रूप में संभव है। यदि आपको एक सरल संस्करण की आवश्यकता है, तो पहले कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को पूर्णांक कारकों में विभाजित करें, जिसमें से किसी एक का घनमूल पूर्णांक होगा संख्यामी। उदाहरण के लिए: \u003d128 \u003d ³√ (64 \u003d 2) \u003d ³ (4 example) 2) \u003d 4 ³√ ³√2।

कारकों का चयन करने के लिए कट्टरपंथी संख्या का उपयोग करें यदि आपके सिर में एक संख्या की शक्तियों की गणना करना संभव नहीं है। यह विशेष रूप से सच है जड़एम एक घातांक के साथ दो से अधिक है। यदि आपके पास इंटरनेट तक पहुंच है, तो आप Google और निगमा खोज इंजन में निर्मित कंप्यूटरों के साथ गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको सबसे बड़ा पूर्णांक कारक खोजने की आवश्यकता है जिसे क्यूबिक चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है जड़ संख्या 250 के लिए, तब Google साइट पर जाकर "6 ^ 3" क्वेरी दर्ज करें ताकि यह पता चल सके कि साइन से निकालना संभव है या नहीं जड़ छह। खोज इंजन 216 के बराबर परिणाम दिखाएगा। काश, 250 को पूरी तरह से इससे विभाजित नहीं किया जा सकता संख्या... फिर क्वेरी 5 ^ 3 दर्ज करें। परिणाम 125 होगा, और यह आपको 125 को 125 और 2 के कारकों में विभाजित करने की अनुमति देता है, और इसलिए साइन के नीचे से बाहर निकालता है जड़ संख्या ५ को वहाँ छोड़ना संख्या 2.

सूत्रों का कहना है:

• कैसे जड़ के नीचे से बाहर निकलने के लिए
• किसी उत्पाद का वर्गमूल

के नीचे से निकालो जड़ कारकों में से एक उन स्थितियों में आवश्यक है जहां आपको गणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है। ऐसे समय होते हैं जब कैलकुलेटर का उपयोग करके आवश्यक गणना करना असंभव होता है। उदाहरण के लिए, यदि संख्याओं के बजाय चर अक्षरों का उपयोग किया जाता है।

अनुदेश

मूल कारकों को सरल कारकों में विस्तारित करें। देखें कि कौन सा कारक संकेतकों में इंगित की गई समान संख्या को दोहराया जाता है जड़, या ज्यादा। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप चौथी जड़ लेना चाहते हैं। इस स्थिति में, संख्या को * a * a * a \u003d a (* a * a) \u003d a * a3 के रूप में दर्शाया जा सकता है। सूचक जड़ इस मामले में के अनुरूप होगा फ़ैक्टर a3। यह भी संकेत के लिए किया जाना चाहिए।

जहां संभव हो अलग परिणामी जड़ों की जड़ निकालें। पुनः प्राप्त करना जड़ प्रतिपादक का उल्टा बीजगणितीय क्रिया है। पुनः प्राप्त करना जड़ एक संख्या से मनमानी डिग्री के लिए, एक संख्या ज्ञात करें, जब इस मनमानी शक्ति के लिए उठाया जाता है, एक दी गई संख्या में परिणाम होगा। यदि अर्क जड़ उत्पादन नहीं किया जा सकता है, संकेत के तहत कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को छोड़ दें जड़ जिस तरह से यह है। सूचीबद्ध कार्यों को पूरा करने के परिणामस्वरूप, आप नीचे से निष्कासन करेंगे संकेत जड़.

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ध्यान दें

कारकों के रूप में मौलिक अभिव्यक्ति लिखते समय सावधान रहें - इस स्तर पर एक त्रुटि गलत परिणाम लाएगी।

उपयोगी सलाह

जड़ें निकालते समय, विशेष टेबल या लॉगरिदमिक जड़ों की तालिकाओं का उपयोग करना सुविधाजनक होता है - यह सही समाधान खोजने के लिए समय को काफी कम कर देगा।

सूत्रों का कहना है:

• 2019 में रूट एक्स्ट्रेक्शन साइन

गणित के कई क्षेत्रों में बीजीय अभिव्यक्तियों के सरलीकरण की आवश्यकता होती है, जिसमें उच्च डिग्री, विभेदन और एकीकरण के समीकरणों को हल करना शामिल है। यह गुणनखंडन सहित कई विधियों का उपयोग करता है। इस विधि को लागू करने के लिए, आपको एक आम खोजने और बनाने की आवश्यकता है फ़ैक्टर प्रति कोष्ठक.

अनुदेश

के लिए सामान्य कारक को ले जाना कोष्ठक विघटन के सबसे आम तरीकों में से एक है। इस तकनीक का उपयोग लंबी बीजीय अभिव्यक्तियों की संरचना को सरल बनाने के लिए किया जाता है, अर्थात। बहुआयामी पद। सामान्य एक संख्या, एक मोनोमियल या द्विपद हो सकता है, और इसे खोजने के लिए गुणन की वितरण संपत्ति का उपयोग किया जाता है।

संख्या: प्रत्येक बहुपद में गुणांक को ध्यान से देखें कि क्या उन्हें एक ही संख्या से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 12 z³ + 16 z 4 - 4, स्पष्ट है फ़ैक्टर 4. परिवर्तन के बाद, आपको 4 (3 z³ + 4 z 1 - 1) मिलता है। अन्यथा, यह संख्या सभी गुणांक के कम से कम सामान्य पूर्णांक भाजक है।

मोनोमियल - यह निर्धारित करें कि क्या बहुवचन में से प्रत्येक में समान चर है। यह मानते हुए कि मामला है, अब पिछले मामले की तरह गुणांक को देखें। उदाहरण: 9 z ^ 4 - 6 z³ + 15 z 3 - 3 z

इस बहुपद के प्रत्येक तत्व में एक चर z होता है। इसके अलावा, सभी गुणांक 3 के गुणक हैं। इसलिए, सामान्य कारक मोनोमियल 3 z: 3 z (3 z² - 2 z³ + 5 z - 1) है।

द्विपद। के लिए कोष्ठक आम फ़ैक्टर दो, एक चर और एक संख्या, जो एक सामान्य बहुपद है। इसलिए, यदि फ़ैक्टर-साउंड स्पष्ट नहीं है, तो आपको कम से कम एक रूट खोजने की आवश्यकता है। बहुपद के मुक्त शब्द का चयन करें, यह एक चर के बिना गुणांक है। अब इंटरसेप्ट के सभी पूर्णांक विभाजकों की सामान्य अभिव्यक्ति के लिए प्रतिस्थापन विधि लागू करें।

विचार करें: z ^ 4 - 2 z³ + z z - 4 z + 4. यदि 4 z ^ 4 - 2 z 4 + z² - 4 z + 4 \u003d 0. z1 के पूर्णांक विभाजकों में से कोई भी खोजें z1 \u003d 1 और z2 \u003d 2, इसलिए, के बाद कोष्ठक आप द्विपद (z - 1) और (z - 2) निकाल सकते हैं। शेष अभिव्यक्ति को खोजने के लिए, क्रमिक लंबे विभाजन का उपयोग करें।