माइनस और माइनस साइन। माइनस एक्शन

"दुश्मन का दुश्मन, मेरा दोस्त है।"

माइनस और प्लस गणित में नकारात्मक और सकारात्मक संख्या के संकेत हैं। वे विभिन्न तरीकों से खुद से बातचीत करते हैं, इसलिए संख्याओं के साथ कोई भी क्रिया करते समय, उदाहरण के लिए, विभाजन, गुणन, घटाव, जोड़ आदि, आपको ध्यान में रखना चाहिए। संकेतों के नियम... इन नियमों के बिना, आप कभी भी सबसे सरल बीजीय या ज्यामितीय समस्या को हल करने में सक्षम नहीं होंगे। इन नियमों को जाने बिना, आप न केवल गणित, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और यहां तक \u200b\u200bकि भूगोल का भी अध्ययन नहीं कर पाएंगे।

आइए संकेतों के बुनियादी नियमों पर करीब से नज़र डालें।

विभाजन।

यदि हम "प्लस" को "माइनस" से विभाजित करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" मिलता है। यदि हम "माइनस" को "प्लस" से विभाजित करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" भी मिलता है। अगर हम प्लस को प्लस से विभाजित करते हैं, तो हमें प्लस मिलता है। यदि हम "माइनस" को "माइनस" से विभाजित करते हैं, तो हमें अजीब तरह से पर्याप्त, "प्लस" भी मिलता है।

गुणन।

यदि हम "प्लस" से "माइनस" गुणा करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" मिलता है। यदि हम "प्लस" को "माइनस" से गुणा करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" भी मिलता है। यदि हम "प्लस" को "प्लस" से गुणा करते हैं, तो हमें एक सकारात्मक संख्या मिलती है, अर्थात "प्लस"। वही दो नकारात्मक संख्याओं के लिए जाता है। यदि हम ऋण घटाकर गुणा करते हैं, तो हमें प्लस मिलता है।

घटाव और जोड़।

वे पहले से ही अन्य सिद्धांतों पर आधारित हैं। यदि नकारात्मक संख्या हमारे सकारात्मक से पूर्ण मूल्य में अधिक है, तो निश्चित रूप से, परिणाम नकारात्मक होगा। निश्चित रूप से आप सोच रहे हैं कि मॉड्यूल क्या है और यह यहाँ क्यों है। सब कुछ बहुत सरल है। मापांक एक संख्या का मूल्य है, लेकिन अहस्ताक्षरित। उदाहरण के लिए -7 और 3. मोडुलो -7 सिर्फ 7 होगा, और 3 रहेगा। नतीजतन, हम देखते हैं कि 7 अधिक है, अर्थात, यह पता चलता है कि हमारी नकारात्मक संख्या अधिक है। तो यह -7 + 3 \u003d -4 निकलेगा। इसे और भी आसान बनाया जा सकता है। बस पहले स्थान पर एक सकारात्मक संख्या डालें, और यह 3-7 \u003d -4 निकलेगा, शायद यह किसी के लिए अधिक समझ में आता है। घटाव पूरी तरह से एक ही सिद्धांत पर काम करता है।

दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं- यह एक नियम है जिसे हमने स्कूल में सीखा है और इसे अपने पूरे जीवन में लागू किया है। और हम में से किसने सोचा क्यों? बेशक, इस प्रश्न को अनावश्यक प्रश्नों के बिना याद रखना आसान है और मुद्दे के सार में गहराई से नहीं। अब पहले से ही पर्याप्त जानकारी है जिसे "पचाने" की आवश्यकता है। लेकिन जो लोग अभी भी इस प्रश्न में रुचि रखते हैं, हम इस गणितीय घटना का स्पष्टीकरण देने का प्रयास करेंगे।

प्राचीन काल से, लोग सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग कर रहे हैं: 1, 2, 3, 4, 5, ... संख्याओं का उपयोग पशुधन, फसलों, दुश्मनों, आदि की गणना के लिए किया गया था। दो सकारात्मक संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने पर, उन्हें हमेशा एक सकारात्मक संख्या मिलती है, जब कुछ मूल्यों को दूसरों द्वारा विभाजित किया जाता है, तो उन्हें हमेशा प्राकृतिक संख्याएं नहीं मिलती हैं - यह है कि भिन्नात्मक संख्याएं कैसे दिखाई देती हैं। घटाव के बारे में क्या? बचपन से, हम जानते हैं कि बड़े से कम को जोड़ना बेहतर है और बड़े से छोटे को घटाना है, जबकि फिर से हम नकारात्मक संख्याओं का उपयोग नहीं करते हैं। यह पता चला है कि अगर मेरे पास 10 सेब हैं, तो मैं केवल 10 या 10 से कम किसी को दे सकता हूं। कोई तरीका नहीं है कि मैं 13 सेब दे सकता हूं, क्योंकि मेरे पास उनके पास नहीं है। लंबे समय तक नकारात्मक संख्याओं की कोई आवश्यकता नहीं है।

केवल 7 वीं शताब्दी से ए.डी. कुछ गिनती प्रणालियों में नकारात्मक संख्याओं का उपयोग सहायक मूल्यों के रूप में किया गया था, जो आपको उत्तर में एक सकारात्मक संख्या प्राप्त करने की अनुमति देता है।

एक उदाहरण पर विचार करें, 6x - 30 \u003d 3x - 9. उत्तर खोजने के लिए, बाईं ओर अज्ञात के साथ शर्तों को छोड़ना आवश्यक है, और बाकी - दाईं ओर: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. जब इस समीकरण को हल करते हैं, तो हम भी कोई नकारात्मक संख्या सामने नहीं आई। हम अज्ञात के साथ शब्दों को दाईं ओर ले जा सकते हैं, और अज्ञात के बिना बाईं ओर: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x)। ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक से विभाजित करने पर, हमें एक सकारात्मक उत्तर मिलता है: x \u003d 7।

हम क्या देखते हैं?

नकारात्मक संख्या वाले कार्य हमें केवल सकारात्मक संख्या वाले कार्यों के समान उत्तर की ओर ले जाने चाहिए। हम अब कार्यों की व्यावहारिक व्यर्थता और अर्थपूर्णता के बारे में नहीं सोच सकते - वे केवल सकारात्मक संख्याओं के साथ एक रूप में समीकरण को कम किए बिना, समस्या को बहुत तेज़ी से हल करने में हमारी मदद करते हैं। हमारे उदाहरण में, हमने जटिल गणनाओं का उपयोग नहीं किया, लेकिन बड़ी संख्या में शब्दों के साथ, नकारात्मक संख्याओं के साथ गणना हमारे काम को आसान बना सकती है।

समय के साथ, दीर्घकालिक प्रयोगों और गणनाओं के बाद, उन नियमों की पहचान करना संभव था जो उन पर सभी संख्याओं और कार्यों का पालन करते हैं (गणित में, उन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है)। यह कहाँ है एक स्वयंसिद्ध जिसमें कहा गया है कि जब दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो हम सकारात्मक होते हैं।

www.site, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक की आवश्यकता होती है।

जब एक गणित शिक्षक को सुनते हैं, तो अधिकांश छात्र सामग्री को एक स्वयंसिद्ध के रूप में लेते हैं। उसी समय, कुछ लोग इसकी तह तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाते हैं कि "प्लस" द्वारा "माइनस" एक "माइनस" संकेत क्यों देता है, और जब दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो एक सकारात्मक सामने आता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क स्वयं या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ हैं कि ऐसा क्यों होता है। उन्होंने स्कूल में इस सामग्री को दृढ़ता से सीखा, लेकिन यह भी पता लगाने की कोशिश नहीं की कि इस तरह के नियम कहां से आए हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भरोसेमंद नहीं होते हैं, उन्हें मामले की तह तक जाने और समझने की आवश्यकता होती है, कहते हैं, "माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" क्यों देता है। और कभी-कभी कब्रों में विशेष रूप से मुश्किल सवाल पूछते हैं ताकि पल का आनंद लिया जा सके जब वयस्क कोई समझदार जवाब नहीं दे सकते। और यह वास्तव में एक आपदा है अगर एक युवा शिक्षक मुसीबत में हो जाता है ...

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है। एक नकारात्मक और एक सकारात्मक संख्या का उत्पाद केवल एक ऋण देगा। यदि हम "-" चिह्न के साथ दो अंकों के बारे में बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक सकारात्मक संख्या होगी। वही विभाजन के लिए जाता है। यदि संख्याओं में से एक नकारात्मक है, तो भागफल भी "-" चिन्ह के साथ होगा।

गणित के इस नियम की शुद्धता की व्याख्या करने के लिए, अंगूठी के स्वयंसिद्धों को तैयार करना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की आवश्यकता है कि यह क्या है। गणित में, एक रिंग को आमतौर पर एक सेट कहा जाता है जिसमें दो तत्वों के साथ दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन एक उदाहरण के साथ इससे निपटना बेहतर है।

अँगूठी अक्षत

कई गणितीय कानून हैं।

• उनमें से पहला, उसके अनुसार, C + V \u003d V + C, अप्रसन्न है।
• दूसरे को संयोजन (V + C) + D \u003d V + (C + D) कहा जाता है।

गुणन (V x C) x D \u003d V x (C x D) भी उनके अधीन है।

किसी ने नियमों को रद्द नहीं किया है जिसके द्वारा कोष्ठक खुले (V + C) x D \u003d V x D + C x D, यह भी सत्य है कि C x (V + D) \u003d C x V + C x D

इसके अलावा, यह स्थापित किया गया था कि एक विशेष, जोड़-तटस्थ तत्व को अंगूठी में पेश किया जा सकता है, जिसके उपयोग से यह सच होगा: सी + 0 \u003d सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जिसे (-सी) के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस मामले में, C + (-C) \u003d 0।

ऋणात्मक संख्याओं के लिए स्वयंसिद्ध अंकन

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, कोई भी प्रश्न का उत्तर दे सकता है: "माइनस" के लिए "प्लस" का संकेत क्या है? अक्षत को ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के बारे में जानने के बाद, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V \u003d - (C x V) है। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (- (- (सी)) \u003d सी।

ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व का केवल एक ही विपरीत है "भाई"। प्रमाण के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। चलो कल्पना करने की कोशिश करते हैं कि सी के लिए, दो संख्याएं विपरीत हैं - वी और डी। यह निम्न है कि सी + वी \u003d 0 और सी + डी \u003d 0, अर्थात्, सी + वी \u003d 0 \u003d सी + डी विस्थापन कानूनों को याद रखना और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम तीनों संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: C, V और D. चलो V का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। यह तार्किक है कि V \u003d V + 0 \u003d V + (C + D) \u003d V + C + D, क्योंकि C + का मान है। D, जैसा कि ऊपर स्वीकार किया गया था, 0. के बराबर है। इसलिए, V \u003d V + C + D।

डी के लिए मान उसी तरह से प्रदर्शित होता है: डी \u003d वी + सी + डी \u003d (वी + सी) + डी \u003d 0 + डी \u003d डी। इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि वी \u003d डी।

यह समझने के लिए कि क्यों, फिर भी, "माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" देता है, निम्नलिखित को समझना आवश्यक है। तो, तत्व (-सी) के लिए, सी और (- (- सी)) विपरीत हैं, अर्थात, वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V। इसका तात्पर्य है कि C x V, (-) C x V के विपरीत है, इसलिए (- C) x V \u003d - (C x V)।

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए, किसी भी तत्व के लिए 0 x V \u003d 0 की पुष्टि करना भी आवश्यक है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V के अतिरिक्त सेट राशि को किसी भी तरह से नहीं बदलता है। आखिरकार, यह उत्पाद शून्य है।

इन सभी स्वयंसिद्धों को जानने के बाद, आप न केवल "माइनस" पर कितने "प्लस" दे सकते हैं, बल्कि नकारात्मक संख्याओं को गुणा करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

एक "-" के साथ गुणन और दो संख्याओं का विभाजन

यदि आप गणितीय बारीकियों में तल्लीन नहीं करते हैं, तो आप नकारात्मक संख्याओं के साथ कार्रवाई के नियमों को समझाने के लिए सरल तरीके से प्रयास कर सकते हैं।

मान लीजिए कि C - (-V) \u003d D, इस पर आधारित है, C \u003d D + (-V), अर्थात् C \u003d D - V। हम V को स्थानांतरित करते हैं और हमें C + V \u003d D. प्राप्त होता है। \u003d सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि क्यों एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "मिन्यूज़" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में बदल दिया जाना चाहिए। अब गुणा से निपटते हैं।

(-C) x (-V) \u003d D, आप अभिव्यक्ति में दो समान उत्पादों को जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d डी

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद करते हुए, हमें यह मिलता है:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

यह इस प्रकार है कि C x V \u003d (-C) x (-V)।

इसी तरह, आप यह साबित कर सकते हैं कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने से परिणाम सकारात्मक आएगा।

सामान्य गणित के नियम

बेशक, इस तरह की व्याख्या प्राथमिक स्कूल के छात्रों के लिए काम नहीं करेगी, जो सिर्फ अमूर्त नकारात्मक संख्याओं को सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करना बेहतर होता है, जो देखने वाले कांच के माध्यम से परिचित शब्द में हेरफेर करते हैं। उदाहरण के लिए, आविष्कार किया गया है, लेकिन मौजूदा खिलौने वहां नहीं हैं। उन्हें "-" चिन्ह के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दर्पण जैसी वस्तुओं का गुणन उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित करता है, जो वर्तमान के बराबर है, अर्थात्, हमारे पास सकारात्मक संख्याएं हैं। लेकिन एक सकारात्मक द्वारा एक अमूर्त नकारात्मक संख्या का गुणन केवल परिणाम सभी को परिचित कराता है। आखिरकार "प्लस" को "माइनस" से गुणा करके "माइनस" दिया जाता है। सच है, बच्चे सभी गणितीय बारीकियों को समझने की बहुत कोशिश नहीं करते हैं।

यद्यपि, यदि आप सच्चाई का सामना करते हैं, तो कई लोगों के लिए, उच्च शिक्षा के साथ भी, कई नियम एक रहस्य बने हुए हैं। हर कोई इस बात को स्वीकार करता है कि शिक्षक उन्हें क्या सिखाते हैं, उन सभी कठिनाइयों को हल करने में नहीं हिचकिचाते हैं जो गणित के साथ होती है। "माइनस" के लिए "माइनस" "प्लस" देता है - हर कोई इसके बारे में बिना किसी अपवाद के जानता है। यह संपूर्ण और आंशिक दोनों संख्याओं के लिए सही है।

जब एक गणित शिक्षक को सुनते हैं, तो अधिकांश छात्र सामग्री को एक स्वयंसिद्ध के रूप में लेते हैं। उसी समय, कुछ लोग इसकी तह तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाते हैं कि "प्लस" द्वारा "माइनस" एक "माइनस" संकेत क्यों देता है, और जब दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो एक सकारात्मक सामने आता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क स्वयं या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ हैं कि ऐसा क्यों होता है। उन्होंने स्कूल में इस सामग्री को दृढ़ता से सीखा, लेकिन यह भी पता लगाने की कोशिश नहीं की कि इस तरह के नियम कहां से आए हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भरोसेमंद नहीं होते हैं, उन्हें मामले की तह तक जाने और समझने की आवश्यकता होती है, कहते हैं, "माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" क्यों देता है। और कभी-कभी कब्रों में विशेष रूप से मुश्किल सवाल पूछते हैं ताकि पल का आनंद लिया जा सके जब वयस्क कोई समझदार जवाब नहीं दे सकते। और यह वास्तव में एक आपदा है अगर एक युवा शिक्षक मुसीबत में हो जाता है ...

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है। एक नकारात्मक और एक सकारात्मक संख्या का उत्पाद केवल एक ऋण देगा। यदि हम "-" चिह्न के साथ दो अंकों के बारे में बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक सकारात्मक संख्या होगी। वही विभाजन के लिए जाता है। यदि संख्याओं में से एक नकारात्मक है, तो भागफल भी "-" चिन्ह के साथ होगा।

गणित के इस नियम की शुद्धता की व्याख्या करने के लिए, अंगूठी के स्वयंसिद्धों को तैयार करना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की आवश्यकता है कि यह क्या है। गणित में, एक रिंग को आमतौर पर एक सेट कहा जाता है जिसमें दो तत्वों के साथ दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन एक उदाहरण के साथ इससे निपटना बेहतर है।

अँगूठी अक्षत

कई गणितीय कानून हैं।

• उनमें से पहला, उसके अनुसार, C + V \u003d V + C, अप्रसन्न है।
• दूसरे को संयोजन (V + C) + D \u003d V + (C + D) कहा जाता है।

गुणन (V x C) x D \u003d V x (C x D) भी उनके अधीन है।

किसी ने नियमों को रद्द नहीं किया है जिसके द्वारा कोष्ठक खुले (V + C) x D \u003d V x D + C x D, यह भी सत्य है कि C x (V + D) \u003d C x V + C x D

इसके अलावा, यह स्थापित किया गया था कि एक विशेष, जोड़-तटस्थ तत्व को अंगूठी में पेश किया जा सकता है, जिसके उपयोग से यह सच होगा: सी + 0 \u003d सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जिसे (-सी) के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस मामले में, C + (-C) \u003d 0।

ऋणात्मक संख्याओं के लिए स्वयंसिद्ध अंकन

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, कोई भी प्रश्न का उत्तर दे सकता है: "माइनस" के लिए "प्लस" का संकेत क्या है? अक्षत को ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के बारे में जानने के बाद, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V \u003d - (C x V) है। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (- (- (सी)) \u003d सी।

ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व का केवल एक ही विपरीत है "भाई"। प्रमाण के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। चलो कल्पना करने की कोशिश करते हैं कि सी के लिए, दो संख्याएं विपरीत हैं - वी और डी। यह निम्न है कि सी + वी \u003d 0 और सी + डी \u003d 0, अर्थात्, सी + वी \u003d 0 \u003d सी + डी विस्थापन कानूनों को याद रखना और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम तीनों संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: C, V और D. चलो V का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। यह तार्किक है कि V \u003d V + 0 \u003d V + (C + D) \u003d V + C + D, क्योंकि C + का मान है। D, जैसा कि ऊपर स्वीकार किया गया था, 0. के बराबर है। इसलिए, V \u003d V + C + D।

डी के लिए मान उसी तरह से प्रदर्शित होता है: डी \u003d वी + सी + डी \u003d (वी + सी) + डी \u003d 0 + डी \u003d डी। इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि वी \u003d डी।

यह समझने के लिए कि क्यों, फिर भी, "माइनस" के लिए "प्लस" "माइनस" देता है, निम्नलिखित को समझना आवश्यक है। तो, तत्व (-सी) के लिए, सी और (- (- सी)) विपरीत हैं, अर्थात, वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V। इसका तात्पर्य है कि C x V, (-) C x V के विपरीत है, इसलिए (- C) x V \u003d - (C x V)।

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए, किसी भी तत्व के लिए 0 x V \u003d 0 की पुष्टि करना भी आवश्यक है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V के अतिरिक्त सेट राशि को किसी भी तरह से नहीं बदलता है। आखिरकार, यह उत्पाद शून्य है।

इन सभी स्वयंसिद्धों को जानने के बाद, आप न केवल "माइनस" पर कितने "प्लस" दे सकते हैं, बल्कि नकारात्मक संख्याओं को गुणा करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

एक "-" के साथ गुणन और दो संख्याओं का विभाजन

यदि आप गणितीय बारीकियों में तल्लीन नहीं करते हैं, तो आप नकारात्मक संख्याओं के साथ कार्रवाई के नियमों को समझाने के लिए सरल तरीके से प्रयास कर सकते हैं।

मान लीजिए कि C - (-V) \u003d D, इस पर आधारित है, C \u003d D + (-V), अर्थात् C \u003d D - V। हम V को स्थानांतरित करते हैं और हमें C + V \u003d D. प्राप्त होता है। \u003d सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि क्यों एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "मिन्यूज़" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में बदल दिया जाना चाहिए। अब गुणा से निपटते हैं।

(-C) x (-V) \u003d D, आप अभिव्यक्ति में दो समान उत्पादों को जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d डी

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद करते हुए, हमें यह मिलता है:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

यह इस प्रकार है कि C x V \u003d (-C) x (-V)।

इसी तरह, आप यह साबित कर सकते हैं कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने से परिणाम सकारात्मक आएगा।

सामान्य गणित के नियम

बेशक, इस तरह की व्याख्या प्राथमिक स्कूल के छात्रों के लिए काम नहीं करेगी, जो सिर्फ अमूर्त नकारात्मक संख्याओं को सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करना बेहतर होता है, जो देखने वाले कांच के माध्यम से परिचित शब्द में हेरफेर करते हैं। उदाहरण के लिए, आविष्कार किया गया है, लेकिन मौजूदा खिलौने वहां नहीं हैं। उन्हें "-" चिन्ह के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दर्पण जैसी वस्तुओं का गुणन उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित करता है, जो वर्तमान के बराबर है, अर्थात्, हमारे पास सकारात्मक संख्याएं हैं। लेकिन एक सकारात्मक द्वारा एक अमूर्त नकारात्मक संख्या का गुणन केवल परिणाम सभी को परिचित कराता है। आखिरकार "प्लस" को "माइनस" से गुणा करके "माइनस" दिया जाता है। सच है, बच्चे सभी गणितीय बारीकियों को समझने की बहुत कोशिश नहीं करते हैं।

यद्यपि, यदि आप सच्चाई का सामना करते हैं, तो कई लोगों के लिए, उच्च शिक्षा के साथ भी, कई नियम एक रहस्य बने हुए हैं। हर कोई इस बात को स्वीकार करता है कि शिक्षक उन्हें क्या सिखाते हैं, उन सभी कठिनाइयों को हल करने में नहीं हिचकिचाते हैं जो गणित के साथ होती है। "माइनस" के लिए "माइनस" "प्लस" देता है - हर कोई इसके बारे में बिना किसी अपवाद के जानता है। यह संपूर्ण और आंशिक दोनों संख्याओं के लिए सही है।

क्या हम गुणा को सही तरीके से समझते हैं?

"- ए और बी पाइप पर बैठ गए। ए गिर गया, बी गायब हो गया, पाइप पर क्या बचा था?"
- आपका पत्र मैं बना रहा। "

(फिल्म "टीन्स इन द यूनिवर्स") से

किसी संख्या को शून्य से गुणा करने पर यह शून्य क्यों है?

7 * 0 = 0

दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने पर यह सकारात्मक क्यों है?

7 * (-3) = + 21

शिक्षक इन दो सवालों के जवाब देने के लिए क्या नहीं करते हैं।

लेकिन किसी में यह स्वीकार करने का साहस नहीं है कि गुणन के निर्माण में तीन अर्थगत गलतियाँ हैं!

क्या मूल अंकगणित में त्रुटियां संभव हैं? आखिरकार, गणित खुद को एक सटीक विज्ञान के रूप में बताता है ...

स्कूल की गणित की पाठ्यपुस्तकें इन सवालों के जवाब नहीं देतीं, याद करने के लिए नियमों के एक सेट के साथ स्पष्टीकरण की जगह। हो सकता है कि उन्हें मध्य विद्यालय में समझाने के लिए यह विषय कठिन लगे? आइए इन मुद्दों को समझने की कोशिश करते हैं।

7 - गुणा। 3 एक कारक है। 21- काम।

आधिकारिक शब्दों के अनुसार:

• एक संख्या को दूसरी संख्या से गुणा करने का मतलब है कि गुणक के रूप में कई गुणक जोड़ना।

स्वीकृत सूत्रीकरण के अनुसार, कारक 3 हमें बताता है कि समानता के दाईं ओर तीन सेवेन्स होने चाहिए।

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

लेकिन गुणन का यह सूत्रीकरण उपरोक्त प्रश्नों की व्याख्या नहीं कर सकता है।

गुणन के शब्दों को सही करें

आमतौर पर गणित में वे बहुत मायने रखते हैं, लेकिन वे इसके बारे में बात नहीं करते हैं या इसे लिखते हैं।

यह समानता के दाईं ओर पहले सात के सामने प्लस चिह्न को संदर्भित करता है। चलिए इस प्लस को लिखते हैं।

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

लेकिन जिसमें पहले सात को जोड़ा जाता है। इसका मतलब है कि शून्य करने के लिए, बिल्कुल। लिखता हूं और शून्य करता हूं।

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

क्या होगा अगर हम तीन शून्य से सात गुणा करें?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

हम गुणक -7 के जोड़ लिख रहे हैं, वास्तव में हम शून्य से कई घटाव कर रहे हैं। आइए कोष्ठक का विस्तार करें।

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

अब हम गुणा का अधिक सटीक निरूपण दे सकते हैं।

• गुणक (-7) गुणक (-7) के गुणक के अतिरिक्त गुणक है, जैसा कि गुणक इंगित करता है। कारक (3) और इसका चिह्न (+ या -) शून्य से जोड़ या घटाव की संख्या को दर्शाता है।

गुणन का यह परिष्कृत और कुछ हद तक संशोधित सूत्रीकरण गुणक के नकारात्मक होने पर आसानी से "संकेतों के नियमों" को समझाता है।

7 * (-3) - शून्य \u003d 0 - (+7) - (+7) - (+7) \u003d - 21 के बाद तीन माइनस साइन होने चाहिए

7 * (-3) - फिर से शून्य \u003d के बाद तीन शून्य चिह्न होने चाहिए

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

शून्य से गुणा

7 * 0 \u003d 0 + ... शून्य संचालन में कोई जोड़ नहीं।

यदि गुणन शून्य में जोड़ रहा है, और गुणक शून्य में जोड़ने के लिए संचालन की संख्या को इंगित करता है, तो गुणक शून्य इंगित करता है कि शून्य में कुछ भी नहीं जोड़ा गया है। इसलिए, शून्य रहता है।

इसलिए, गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण में, हमने तीन शब्दार्थिक त्रुटियां पाईं जो दो "संकेतों के नियमों" (जब गुणक ऋणात्मक हैं) और एक संख्या को शून्य से गुणा करने की समझ को अवरुद्ध करती हैं।

1. आपको गुणक को जोड़ने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इसे शून्य में जोड़ें।
2. गुणन न केवल शून्य में जोड़ रहा है, बल्कि शून्य से घटाना है।
3. कारक और उसका चिन्ह शब्दों की संख्या को नहीं दिखाता है, लेकिन गुणन के विस्तार में प्लस (या घटाया गया) में प्लस या माइनस के संकेतों की संख्या है।

फॉर्मूलेशन को कुछ हद तक स्पष्ट करने के बाद, हम एक ट्रांसॉफ़रेबल गुणा कानून की मदद के बिना, एक वितरण कानून के बिना, संख्या रेखा के साथ एनालॉग्स को आकर्षित किए बिना, समीकरणों के बिना, विपरीत से प्रमाण के बिना, संख्याओं को गुणा और गुणा करने के संकेतों के नियमों की व्याख्या करने में सक्षम थे।

गुणन के परिष्कृत सूत्रीकरण के संकेतों के नियम बहुत सरल रूप से काटे जाते हैं।

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

गुणक और उसके चिह्न (+3 या -3) समीकरण के दाईं ओर "+" या "-" संकेतों की संख्या दर्शाते हैं।

गुणन का संशोधित सूत्रीकरण संख्या को शक्ति तक बढ़ाने के संचालन से मेल खाता है।

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 \u003d 1 (1 किसी चीज से गुणा या विभाज्य नहीं है, इसलिए यह 1 रहता है)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

गणितज्ञ इस बात से सहमत हैं कि एक संख्या को एक सकारात्मक घातांक तक बढ़ाना एक से कई गुणा है। किसी संख्या को ऋणात्मक शक्ति में बढ़ाना एक का एक कई विभाजन है।

गुणन ऑपरेशन घातांक ऑपरेशन के समान होना चाहिए।

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 \u003d 0 (शून्य में कुछ नहीं जोड़ा जाता है और शून्य से कुछ भी घटाया नहीं जाता है)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

गुणन का संशोधित सूत्रीकरण गणित में कुछ भी नहीं बदलता है, लेकिन यह गुणन ऑपरेशन का मूल अर्थ लौटाता है, "संकेतों के नियम" की व्याख्या करता है, संख्या को शून्य से गुणा करता है, एक शक्ति के साथ गुणा में सामंजस्य करता है।

आइए देखें कि क्या विभाजन का हमारा सूत्रीकरण विभाजन ऑपरेशन के अनुरूप है।

15: 5 \u003d 3 (उलटा गुणा 5 * 3 \u003d 15)

भागफल (3) गुणन में शून्य (+3) को जोड़ने के संचालन की संख्या से मेल खाती है।

15 को 5 से विभाजित करने का मतलब है कि आपको 15 में से 5 को घटाने की कितनी बार आवश्यकता है। यह एक शून्य परिणाम प्राप्त होने तक क्रमिक घटाव द्वारा किया जाता है।

विभाजन का परिणाम जानने के लिए, आपको माइनस संकेतों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। उनमें से तीन हैं।

15: 5 \u003d 3 शून्य से प्राप्त करने के लिए 15 से पांच घटाना।

15 - 5 - 5 - 5 \u003d 0 (विभाजन 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 \u003d 15 (गुणा 5 * 3)

शेष के साथ विभाजन।

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 \u003d 3 और 2 शेष

यदि शेष के साथ कोई विभाजन है, तो उपांग के साथ गुणा क्यों नहीं है?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

कैलकुलेटर पर शब्दांकन में अंतर देखें

गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण (तीन पद)।

10 + 10 + 10 = 30

गुणा का सही शब्दांकन (शून्य में जोड़ने के तीन संचालन)।

0 + 10 = = = 30

(प्रेस "बराबर" तीन बार।)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3 का एक कारक इंगित करता है कि गुणक 10 को शून्य से तीन बार जोड़ा जाना चाहिए।

गुणा (-10) * (-3) शब्द (-10) शून्य से तीन बार जोड़कर देखें!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

तीन में माइनस साइन का क्या मतलब है? संभावित हो?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

ऑप्स ... मैं उत्पाद को शर्तों (-10) के योग (या अंतर) में विस्तारित नहीं कर सकता।

संशोधित शब्दांकन के साथ, यह सही ढंग से किया जाता है।

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

कारक (-3) इंगित करता है कि गुणक (-10) को शून्य से तीन बार घटाया जाना चाहिए।

जोड़ और घटाव के लिए नियम पर हस्ताक्षर करें

गुणन के निरूपण का अर्थ बदलकर, गुणन में संकेतों के नियमों को प्राप्त करने के लिए ऊपर एक सरल तरीका दिखाया गया था।

लेकिन व्युत्पत्ति के लिए, हमने जोड़ और घटाव के लिए संकेतों के नियमों का उपयोग किया। वे लगभग गुणा के समान हैं। आइए इसके अलावा और घटाव के लिए संकेतों के नियमों का एक दृश्य बनाएं, ताकि पहला ग्रेडर समझ सके।

"ऋण", "नकारात्मक" क्या है?

प्रकृति में कुछ भी नकारात्मक नहीं है। कोई नकारात्मक तापमान नहीं है, कोई नकारात्मक दिशा नहीं है, कोई नकारात्मक द्रव्यमान नहीं है, कोई ऋणात्मक आवेश नहीं है ... यहां तक \u200b\u200bकि इसकी प्रकृति द्वारा एक साइन केवल सकारात्मक हो सकता है।

लेकिन गणितज्ञ नकारात्मक संख्या के साथ आए हैं। किस लिए? "माइनस" का क्या अर्थ है?

माइनस का अर्थ है विपरीत दिशा। बाएँ दांए। ऊपर से नीचे। दक्षिणावर्त - वामावर्त। आगे पीछे। ठंडी गर्मी। हलका भारी। धीरे - धीरे तेज। यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो कई अन्य उदाहरण हैं जहां नकारात्मक मूल्य सुविधाजनक हैं।

दुनिया में हम जानते हैं, अनंत शून्य से शुरू होता है और प्लस इन्फिनिटी तक जाता है।

"माइनस इनफिनिटी" वास्तविक दुनिया में मौजूद नहीं है। यह वही गणितीय सम्मेलन है जो "माइनस" की अवधारणा है।

तो, "माइनस" का अर्थ है विपरीत दिशा: आंदोलन, रोटेशन, प्रक्रिया, गुणा, जोड़। आइए सकारात्मक और नकारात्मक (दूसरी दिशा में बढ़ती) संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय विभिन्न दिशाओं का विश्लेषण करें।

जोड़ और घटाव के लिए संकेतों के नियमों को समझने की जटिलता इस तथ्य के कारण है कि आमतौर पर ये नियम संख्या रेखा पर समझाने की कोशिश कर रहे हैं। संख्या रेखा पर, तीन अलग-अलग घटक मिश्रित होते हैं, जिनसे नियम प्राप्त होते हैं। और मिश्रण के कारण, विभिन्न अवधारणाओं को एक ढेर में रखने के कारण, समझने की कठिनाइयों का निर्माण होता है।

नियमों को समझने के लिए, हमें अलग होने की आवश्यकता है:

• पहला कार्यकाल और राशि (वे क्षैतिज अक्ष पर होंगे);
• दूसरा शब्द (यह ऊर्ध्वाधर अक्ष पर होगा);
• इसके अलावा और घटाव संचालन की दिशा।

यह विभाजन स्पष्ट रूप से चित्र में दिखाया गया है। कल्पना करें कि ऊर्ध्वाधर अक्ष क्षैतिज अक्ष के साथ अतिव्यापी घूम सकता है।

वर्टिकल एक्सिस को क्लॉकवाइज (प्लस साइन) घुमाकर हमेशा जोड़ा जाता है। घटाव हमेशा ऊर्ध्वाधर अक्ष वामावर्त (माइनस साइन) को घुमाकर किया जाता है।

उदाहरण। निचले दाएं कोने में आरेख।

यह देखा जा सकता है कि दो आसन्न ऋण चिह्न (घटाव संचालन का संकेत और संख्या 3 का संकेत) के अलग-अलग अर्थ हैं। पहला माइनस घटाव की दिशा को इंगित करता है। दूसरा माइनस ऊर्ध्वाधर अक्ष पर संख्या चिन्ह है।

क्षैतिज अक्ष पर पहला शब्द (-2) खोजें। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दूसरा शब्द (-3) खोजें। जब तक (-3) क्षैतिज अक्ष पर संख्या (+1) के साथ संरेखित नहीं किया जाता है तब तक ऊर्ध्वाधर अक्ष वामावर्त को घुमाएं। संख्या (+1) जोड़ का परिणाम है।

घटाव संचालन

ऊपरी दाहिने कोने में आरेख में अतिरिक्त संचालन के समान परिणाम देता है।

इसलिए, दो आसन्न माइनस संकेतों को एक प्लस चिह्न के साथ बदल दिया जा सकता है।

हम सभी उनके अर्थ के बारे में सोचे बिना अंकगणित के तैयार नियमों का उपयोग करने के आदी हैं। इसलिए, हम अक्सर यह भी ध्यान नहीं देते हैं कि जोड़ (घटाव) के लिए संकेतों के नियम गुणन (विभाजन) के लिए संकेतों के नियमों से अलग कैसे हैं। क्या वे एक जैसे लगते हैं? लगभग ... निम्नलिखित चित्रण में थोड़ा अंतर देखा जा सकता है।

अब हमारे पास सब कुछ है जिसे हमें गुणा के लिए साइन नियमों को कम करने की आवश्यकता है। आउटपुट अनुक्रम निम्नानुसार है।

1. हम स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि जोड़ और घटाव के लिए संकेतों के नियम कैसे प्राप्त किए जाते हैं।
2. हम गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण में शब्दार्थ परिवर्तन करते हैं।
3. गुणन के संशोधित सूत्रीकरण और इसके अलावा संकेतों के नियमों के आधार पर, हम गुणन के लिए संकेतों के नियमों को प्राप्त करते हैं।

ध्यान दें।

नीचे n लिखा है जोड़ और घटाव के लिए नियम पर हस्ताक्षर करेंदृश्य से प्राप्त किया। और लाल रंग में, तुलना के लिए, गणित की पाठ्यपुस्तक से संकेतों के समान नियम। ब्रैकेट में ग्रे प्लस अदृश्य प्लस है, जो एक सकारात्मक संख्या के लिए नहीं लिखा गया है।

शर्तों के बीच हमेशा दो संकेत होते हैं: ऑपरेशन का संकेत और संख्या का संकेत (हम प्लस नहीं लिखते हैं, लेकिन हमारा मतलब है)। साइन नियम अतिरिक्त जोड़ (घटाव) के परिणाम को बदले बिना किसी अन्य जोड़ी के लिए एक जोड़ी संकेतों के प्रतिस्थापन को निर्धारित करते हैं। वास्तव में, केवल दो नियम हैं।

नियम 1 और 3 (विज़ुअलाइज़ेशन के लिए) - डुप्लिकेट नियम 4 और 2 .. स्कूल व्याख्या में नियम 1 और 3 दृश्य योजना के साथ मेल नहीं खाते हैं, इसलिए, वे जोड़ते समय संकेतों के नियमों पर लागू नहीं होते हैं। ये हैं कुछ अन्य नियम ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - \u003d - (+) ठीक है

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - \u003d + (+) ठीक है

स्कूल नियम 1 (लाल) एक पंक्ति में दो प्लस को एक प्लस से बदलने की अनुमति देता है। नियम इसके अतिरिक्त और घटाव में संकेतों के प्रतिस्थापन पर लागू नहीं होता है।

स्कूल नियम 3. (लाल) घटाव ऑपरेशन के बाद एक सकारात्मक संख्या पर प्लस चिह्न नहीं लिखने की अनुमति देता है। नियम इसके अतिरिक्त और घटाव में संकेतों के प्रतिस्थापन पर लागू नहीं होता है।

इसके अलावा संकेतों के नियमों का अर्थ जोड़ के परिणाम के परिवर्तन के बिना संकेतों के एक और पीएआईआर के साथ संकेतों के एक पीएआईआर का प्रतिस्थापन है।

स्कूल के पद्धतिविदों ने एक नियम में दो नियमों को मिलाया है:

सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के दौरान संकेतों के दो नियम (वर्णों की एक जोड़ी के साथ वर्णों की एक जोड़ी की जगह);

दो नियम जिनके द्वारा आप सकारात्मक संख्या के लिए प्लस चिन्ह नहीं लिख सकते हैं।

एक में मिलाए गए दो अलग-अलग नियम गुणा में संकेतों के नियमों के समान हैं, जहां दो संकेतों का अनुसरण तीसरे द्वारा किया जाता है। एक से एक समान।

बहुत उलझन में है! एक ही बात फिर से, बेहतर unraveling के लिए। हम संख्याओं के संकेतों से अलग करने के लिए लाल रंग के संचालन के संकेतों को उजागर करते हैं।

1. जोड़ और घटाव। संकेतों के दो नियम, जिसके अनुसार संकेतों के जोड़े शर्तों के बीच परस्पर जुड़े होते हैं। ऑपरेशन साइन और नंबर साइन।

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. दो नियम जिसके अनुसार सकारात्मक संख्या के लिए प्लस चिह्न को लिखने की अनुमति नहीं है। ये प्रवेश पत्र के नियम हैं। जोड़ लागू नहीं होता है। एक सकारात्मक संख्या के लिए, केवल ऑपरेशन का संकेत दर्ज किया गया है।

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. गुणन के लिए संकेतों के चार नियम। जब गुणक का तीसरा संकेत गुणक के दो संकेतों से होता है। गुणन के लिए संकेतों के नियमों में, केवल संख्याओं के संकेत।

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

अब जब हमने अंकन नियमों को अलग कर दिया है, तो यह स्पष्ट होना चाहिए कि जोड़ और घटाव के लिए संकेत नियम गुणा के लिए संकेत नियमों की तरह बिल्कुल नहीं हैं।

V.Kozarenko

वास्तव में, क्यों? जवाब देने का सबसे आसान तरीका है: "क्योंकि ये नकारात्मक संख्याओं से निपटने के नियम हैं।" नियम जो हम स्कूल में पढ़ाते हैं और जीवन भर लागू करते हैं। हालांकि, पाठ्यपुस्तकें यह नहीं बताती हैं कि नियम वास्तव में इस तरह क्यों हैं। हमें याद आया है कि यह ठीक है कि हम अब अपने आप से एक सवाल नहीं पूछते हैं।

आइए खुद से पूछें ...

एक लंबे समय से पहले, लोग केवल प्राकृतिक संख्याओं को जानते थे: 1, 2, 3, ... उनका उपयोग बर्तन, शिकार, दुश्मन, आदि की गिनती के लिए किया जाता था, लेकिन संख्याएं स्वयं काफी बेकार हैं - आपको यह जानना होगा कि उन्हें कैसे संभालना है। जोड़ स्पष्ट और समझ में आता है, इसके अलावा दो प्राकृतिक संख्याओं का योग भी एक प्राकृतिक संख्या है (एक गणितज्ञ कहेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं का समूह जोड़ ऑपरेशन के तहत बंद है)। यदि हम प्राकृतिक संख्या के बारे में बात कर रहे हैं तो गुणन अनिवार्य रूप से एक ही है। जीवन में, हम अक्सर इन दो ऑपरेशनों से जुड़े कार्यों को करते हैं (उदाहरण के लिए, जब खरीदारी करते हैं, तो हम जोड़ते हैं और गुणा करते हैं), और यह सोचना अजीब है कि हमारे पूर्वजों ने उन्हें कम बार सामना किया था - इसके अलावा और गुणन में मानवता द्वारा बहुत पहले ही महारत हासिल थी। अक्सर कुछ मात्राओं को दूसरों द्वारा विभाजित करना आवश्यक होता है, लेकिन यहां परिणाम को हमेशा एक प्राकृतिक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है - यह है कि भिन्नात्मक संख्याएं कैसे दिखाई देती हैं।

बेशक, आप घटाव के बिना भी नहीं कर सकते। लेकिन व्यवहार में, हम छोटी को बड़ी संख्या से घटाते हैं, और नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है। (यदि मेरे पास 5 कैंडीज हैं और मैं अपनी बहन को 3 देता हूं, तो मेरे पास 5 - 3 \u003d 2 कैंडीज होंगी, लेकिन अगर मैं चाहूं तो मैं उसे 7 कैंडीज नहीं दे सकता।) यह समझा सकता है कि लोगों ने लंबे समय तक नकारात्मक संख्याओं का उपयोग क्यों नहीं किया।


भारतीय दस्तावेजों में, 7 वीं शताब्दी ईस्वी से नकारात्मक संख्याएं दिखाई देती हैं; चीनी ने स्पष्ट रूप से उन्हें कुछ समय पहले इस्तेमाल करना शुरू किया था। वे समीकरणों के समाधान को आसान बनाने के लिए ऋण के लिए या मध्यवर्ती गणना में लेखांकन के लिए उपयोग किए गए थे - यह केवल एक सकारात्मक उत्तर प्राप्त करने के लिए एक उपकरण था। यह तथ्य कि नकारात्मक संख्या, सकारात्मक के विपरीत, किसी भी इकाई की उपस्थिति को व्यक्त नहीं करती है, बहुत अविश्वास जगाती है। शब्द के शाब्दिक अर्थ में लोग नकारात्मक संख्या से बचते हैं: यदि किसी समस्या को नकारात्मक उत्तर मिला है, तो उनका मानना \u200b\u200bहै कि इसका कोई जवाब नहीं था। यह अविश्वास बहुत लंबे समय तक बना रहा, और यहां तक \u200b\u200bकि डेसकार्टेस - आधुनिक गणित के "संस्थापकों" में से एक - उन्हें "गलत" (17 वीं शताब्दी में!) कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 7x - 17 \u003d 2x - 2. पर विचार करें। इसे निम्नानुसार हल किया जा सकता है: अज्ञात के साथ शब्दों को बाईं ओर ले जाएं, और शेष दाईं ओर, आपको 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x 3 मिलता है। इसके साथ समाधान, हम भी नकारात्मक संख्या का सामना नहीं किया।

लेकिन गलती से इसे अलग तरीके से करना संभव था: अज्ञात को दाईं ओर स्थानांतरित करें और 2 - 17 \u003d 2x - 7x, (-15) \u003d (-5) x प्राप्त करें। अज्ञात को खोजने के लिए, आपको एक नकारात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करने की आवश्यकता है: x \u003d (-15) / (- 5)। लेकिन सही उत्तर ज्ञात है, और यह निष्कर्ष निकाला है कि (-15) / (- 5) \u003d 3।

यह सरल उदाहरण क्या प्रदर्शित करता है? सबसे पहले, यह तर्क स्पष्ट हो जाता है कि नकारात्मक संख्याओं के साथ क्रियाओं के लिए नियम निर्धारित किए गए हैं: इन कार्यों के परिणामों को नकारात्मक संख्याओं के बिना, एक अलग तरीके से प्राप्त उत्तरों के साथ मेल खाना चाहिए। दूसरा, नकारात्मक संख्याओं के उपयोग की अनुमति देकर, हम थकाऊ से छुटकारा पा लेते हैं (यदि समीकरण अधिक जटिल हो जाता है, बड़ी संख्या में शब्दों के साथ) एक समाधान पथ की खोज करें जिसमें सभी क्रियाएं केवल प्राकृतिक संख्याओं पर ही की जाती हैं। इसके अलावा, हम अब हर बार परिवर्तित मूल्यों की सार्थकता के बारे में नहीं सोच सकते - और यह पहले से ही गणित को एक सार विज्ञान में बदलने की दिशा में एक कदम है।

नकारात्मक संख्याओं पर कार्रवाई के नियम तुरंत नहीं बनाए गए थे, लेकिन लागू होने वाली समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होने वाले कई उदाहरणों का एक सामान्यीकरण बन गया। सामान्य तौर पर, गणित के विकास को सशर्त रूप से चरणों में विभाजित किया जा सकता है: प्रत्येक अगला चरण वस्तुओं के अध्ययन में अमूर्तता के एक नए स्तर से पिछले एक से भिन्न होता है। इसलिए, 19 वीं शताब्दी में, गणितज्ञों ने महसूस किया कि पूर्णांक और बहुपद, उनकी सभी बाहरी असमानता के लिए, बहुत कुछ सामान्य है: दोनों को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है। ये ऑपरेशन समान कानूनों का पालन करते हैं - संख्याओं के मामले में और बहुपद के मामले में दोनों। लेकिन पूर्णांकों को एक दूसरे से विभाजित करना ताकि परिणाम फिर से पूर्णांक हो, शायद हमेशा नहीं। बहुपद के साथ भी ऐसा ही है।

फिर गणितीय वस्तुओं के अन्य सेटों की खोज की गई, जिनके ऊपर इस तरह के ऑपरेशन किए जा सकते हैं: औपचारिक बिजली श्रृंखला, निरंतर कार्य ... अंत में, यह स्पष्ट हो गया कि यदि हम स्वयं के गुणों का अध्ययन करते हैं, तो परिणाम फिर इन सभी वस्तुओं के सेट पर लागू हो सकते हैं (यह दृष्टिकोण विशिष्ट है) सभी आधुनिक गणित के लिए)।

नतीजतन, एक नई अवधारणा दिखाई दी: एक अंगूठी। यह उन तत्वों और कार्यों का एक सेट है जो उन पर किए जा सकते हैं। यह नियम हैं (उन्हें एक्सिओम्स कहा जाता है) जो कि क्रियाओं को संचालित करते हैं, न कि सेट के तत्वों की प्रकृति (यहाँ यह है, अमूर्तता का एक नया स्तर!) जो कि यहाँ मौलिक हैं। इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि यह वह संरचना है जो स्वयंसिद्धों के आने के बाद उत्पन्न होती है, यह महत्वपूर्ण है, गणितज्ञ कहते हैं: पूर्णांक की अंगूठी, बहुपद की अंगूठी आदि, जो कि स्वयंसिद्धों से शुरू होती है, हम छल्लों के अन्य गुणों को घटा सकते हैं।

हम एक अंगूठी के स्वयंसिद्धों को तैयार करेंगे (जो, निश्चित रूप से, पूर्णांकों से निपटने के लिए नियमों के समान हैं), और फिर हम यह साबित करेंगे कि किसी भी अंगूठी में, एक शून्य से एक गुणा गुणा एक प्लस देता है।

एक अंगूठी दो बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक सेट है (यानी, प्रत्येक ऑपरेशन में अंगूठी के दो तत्व शामिल हैं), जिसे पारंपरिक रूप से जोड़ और गुणा, और निम्नलिखित स्वयंसिद्ध कहा जाता है:

रिंग तत्वों का जोड़ विस्थापन का पालन करता है (ए + बी \u003d बी + ए किसी भी तत्व ए और बी के लिए) और संयोजन (ए + (बी + सी) \u003d (ए + बी) + सी) कानून; अंगूठी में एक विशेष तत्व 0 (जोड़ के लिए एक तटस्थ तत्व) होता है जैसे कि A + 0 \u003d A, और किसी भी तत्व A के लिए एक विपरीत तत्व (द्वारा चिह्नित (-ए)) ऐसा है कि A + (-ए) \u003d 0;
- गुणन संयोजन कानून का पालन करता है: ए · (बी · सी) \u003d (ए · बी) · सी;
जोड़ और गुणा निम्नलिखित कोष्ठक विस्तार नियमों द्वारा संबंधित हैं: (ए + बी) सी \u003d ए सी + बी सी और ए (बी + सी) \u003d ए बी + ए सी।

ध्यान दें कि छल्ले, उनके सबसे सामान्य निर्माण में, न तो गुणा की पारगम्यता की आवश्यकता होती है, न ही इसकी प्रतिवर्तीता (यानी, इसे विभाजित करना हमेशा संभव नहीं होता है), और न ही एक इकाई का अस्तित्व - गुणन में एक तटस्थ तत्व। यदि हम इन स्वयंसिद्धों का परिचय देते हैं, तो हमें अन्य बीजीय संरचनाएं मिलती हैं, लेकिन रिंगों के लिए सिद्ध सभी प्रमेय उनमें सही होंगे।

अब हम यह सिद्ध करते हैं कि मनमानी रिंग के किसी भी तत्व A और B के लिए, पहले (-ए) B \u003d - (A B), और दूसरी बात, (- (A - A)) \u003d A. यह आसानी से पता चलता है। इकाइयों के बारे में कथन: (-1) 1 \u003d - (1 1) \u003d -1 और (-1) \u003d - ((- 1) 1) \u003d - (- 1) \u003d 1।

इसके लिए हमें कुछ तथ्यों को स्थापित करने की आवश्यकता है। पहले, हम यह साबित करते हैं कि प्रत्येक तत्व में केवल एक ही विपरीत हो सकता है। वास्तव में, तत्व A में दो विपरीत हैं: B और C. अर्थात् A + B \u003d 0 \u003d A + C. योग पर विचार करें A + B + C. संयोजन और ट्रांसपोज़ेशन कानूनों और शून्य संपत्ति का उपयोग करके, हम इसे प्राप्त करते हैं, एक हाथ, योग B: B \u003d B + 0 \u003d B + (A + C) \u003d A + B + C है, और दूसरी ओर, यह C: A + B + C \u003d (A + B) + C \u003d है। 0 + सी \u003d सी। तो बी \u003d सी।

ध्यान दें कि ए और (- (- ए) दोनों एक ही तत्व (-ए) के विपरीत हैं, इसलिए उन्हें समान होना चाहिए।

पहला तथ्य इस तरह से निकलता है: 0 \u003d 0 B \u003d (A + (-A)) B \u003d A B + (-ए) B, अर्थात, (-A) B A B के विपरीत है, इसलिए यह बराबर है - (ए बी)।

गणितीय रूप से कठोर होने के लिए, हमें यह भी बताएं कि किसी भी तत्व के लिए 0 · बी \u003d 0 क्यों है। वास्तव में, 0 · बी \u003d (0 + 0) बी \u003d 0 · बी + 0 · बी। यानी 0 · B जोड़ने से राशि नहीं बदलती है। इसलिए, यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

और तथ्य यह है कि रिंग में बिल्कुल एक शून्य है (आखिरकार, स्वयंसिद्ध कहते हैं कि ऐसा तत्व मौजूद है, लेकिन इसकी विशिष्टता के बारे में कुछ भी नहीं कहा जाता है!), हम एक साधारण अभ्यास के रूप में पाठक को छोड़ देंगे।

एवगेनी एपिफ़ानोव