Kopyevskaya ग्रामीण माध्यमिक विद्यालय

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

प्रमुख: गलिना अनातोल्यवना पति्रीकेवा,

गणित शिक्षक

गाँव कोपयोव, 2007

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बाबुल में द्विघात समीकरण

1.2 कैसे डायोफैंटस संकलित और द्विघात समीकरणों को हल करता है

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-खोरज़मी से द्विघात समीकरण

यूरोप XIII में 1.5 द्विघात समीकरण - XVII सदियों

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बाबुल में द्विघात समीकरण

न केवल पहले, बल्कि प्राचीन काल में भी दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता एक सैन्य प्रकृति की भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ जुड़ी समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। द्विघात समीकरण लगभग 2000 ईसा पूर्व में हल करने में सक्षम थे। इ। बेबीलोन।

आधुनिक बीजीय संकेतन का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में अधूरे के अलावा, जैसे, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण हैं:

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

इन समीकरणों को हल करने के लिए नियम, बेबीलोन के ग्रंथों में स्थापित किए गए हैं, आधुनिक रूप में संक्षेप में हैं, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनियों को यह नियम कैसे मिला। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनीफ़ॉर्म ग्रंथ केवल व्यंजनों के रूप में निर्धारित किए गए समाधानों के साथ समस्याएं देते हैं, बिना निर्देश के कि वे कैसे पाए गए।

बाबुल में बीजगणित के विकास के उच्च स्तर के बावजूद, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में एक नकारात्मक संख्या और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों की अवधारणा का अभाव है।

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया।

डायोफैंटस के "अंकगणित" में बीजगणित की कोई व्यवस्थित प्रस्तुति नहीं है, लेकिन इसमें समस्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला शामिल है, स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरणों को खींचकर हल किया गया है।

समीकरणों को बनाते समय, डायोफैंटस कुशलता से समाधान को सरल बनाने के लिए अज्ञात का चयन करता है।

उदाहरण के लिए, उनके कार्यों में से एक है।

समस्या 11। दो संख्याएँ ज्ञात करें, यह जानकर कि उनका योग 20 है और उत्पाद 96 है

डायोफैंटस निम्नानुसार तर्क देता है: यह इस समस्या की स्थिति से निम्नानुसार है कि मांगे गए अंक समान नहीं हैं, क्योंकि यदि वे समान थे, तो उनका उत्पाद 96 नहीं के बराबर होगा, लेकिन इस प्रकार, उनमें से एक उनकी राशि के आधे से अधिक होगा, अर्थात्। ... 10 + एक्स , दूसरा कम है, अर्थात 10 - एक्स ... उनके बीच का अंतर 2x .

इसलिए समीकरण:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

यहां से x \u003d 2 ... आवश्यक संख्याओं में से एक है 12 , अन्य 8 ... फेसला x \u003d -2 डायोफैंटस के लिए मौजूद नहीं है, क्योंकि ग्रीक गणित केवल सकारात्मक संख्या जानता था।

यदि हम अज्ञात के रूप में आवश्यक संख्याओं में से किसी एक को चुनते हुए इस समस्या को हल करते हैं, तो हम समीकरण के हल पर आते हैं

y (20 - y) \u003d 96,

y 2 - 20y + 96 \u003d 0. (2)

यह स्पष्ट है कि अज्ञात के रूप में मांग की गई संख्याओं का आधा अंतर चुनकर, डायोफैंटस समाधान को सरल करता है; वह अपूर्ण द्विघात समीकरण (1) को हल करने के लिए समस्या को कम करने का प्रबंधन करता है।

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय पथ "आर्यभट्टीयम" में पहले से ही द्विघात समीकरणों के लिए समस्याएं हैं। एक अन्य भारतीय विद्वान, ब्रह्मगुप्त (VII सदी) ने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य नियम को रेखांकित किया, जो एकल विहित रूप में घटाया गया:

आह २ + ख x \u003d c, a\u003e 0. (1)

समीकरण (1) में, गुणांक, को छोड़कर तथा , नकारात्मक हो सकता है। ब्रह्मगुप्त शासन अनिवार्य रूप से हमारे जैसा ही है।

प्राचीन भारत में, कठिन समस्याओं के लिए सार्वजनिक प्रतिस्पर्धा आम थी। प्राचीन भारतीय पुस्तकों में से एक इस तरह की प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसा कि सूर्य अपनी चमक के साथ सितारों को ग्रहण करता है, इसलिए एक सीखा आदमी लोकप्रिय विधानसभाओं में दूसरे की महिमा को ग्रहण करेगा, बीजीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करेगा।" समस्याओं को अक्सर काव्यात्मक रूप में पिरोया जाता था।

यहां बारहवीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ के कार्यों में से एक है। Bhaskaras।

समस्या १३।

बंदरों के साथ "बारह का बंदरों का झुंड ...

बिजली खाने के बाद, मज़ा आ रहा है। वे कूदने लगे, लटकने लगे ...।

चौक में उनके आठवें भाग में कितने बंदर थे,

मुझे समाशोधन में मज़ा आ रहा था। तुम बताओ, इस पैक में? "

भास्कर के समाधान से संकेत मिलता है कि उन्हें द्विघात समीकरणों (छवि 3) की दो-मूल्यवान जड़ों के बारे में पता था।

समस्या 13 के अनुरूप समीकरण:

( एक्स /8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर की आड़ में लिखते हैं:

x 2 - 64x \u003d -768

और इस समीकरण के बाईं ओर एक वर्ग को पूरा करने के लिए, दोनों पक्षों को जोड़ता है 32 2 , तो हो रही है:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d, 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48।

1.4 अल खोरज़मी के लिए द्विघात समीकरण

बीजगणितीय ग्रंथ में अल - खोरज़मी में रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को गिनता है, उन्हें निम्न प्रकार से व्यक्त करता है:

1) "स्क्वायर जड़ों के बराबर हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d ख एक्स।

2) "वर्ग एक संख्या के बराबर हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 \u003d सी।

3) "जड़ें संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह \u003d सी।

4) "वर्ग और संख्या जड़ों के बराबर हैं", अर्थात कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d ख एक्स।

5) "वर्ग और जड़ें एक संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह २ + bx \u003d एस।

6) "जड़ें और संख्या वर्ग के बराबर हैं", अर्थात। bx + सी \u003d कुल्हाड़ी २।

अल-खोरज़मी के लिए, जिन्होंने नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करने से परहेज किया, इनमें से प्रत्येक समीकरण की शर्तें जोड़ हैं, घटाया नहीं। इस मामले में, ऐसे समीकरण जिनका कोई सकारात्मक समाधान नहीं है, को ध्यान में नहीं रखा गया है। लेखक अल-जाबर और अल-मुक़ाबल की तकनीकों का उपयोग करके उपरोक्त समीकरणों को हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करता है। उनका निर्णय, निश्चित रूप से, हमारे साथ पूरी तरह से मेल नहीं खाता है। इस तथ्य के अलावा कि यह विशुद्ध रूप से लफ्फाजी है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, कि जब पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करना

अल - खोरज़मी, 17 वीं शताब्दी के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखता है, शायद इसलिए कि यह विशिष्ट व्यावहारिक समस्याओं में मायने नहीं रखता है। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल - खोरज़मी, विशेष संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करके, हल करने के लिए नियमों को निर्धारित करता है, और फिर ज्यामितीय प्रमाण।

समस्या 14। “वर्ग और संख्या 21 10 जड़ों के बराबर हैं। रूट खोजें " (समीकरण x 2 + 21 \u003d 10x की जड़ का अर्थ है)।

लेखक का समाधान कुछ इस तरह से है: जड़ों की संख्या को आधे में विभाजित करें, 5 प्राप्त करें, 5 को अपने आप से गुणा करें, उत्पाद से 21 को घटाएं, 4 होगा। 4 की जड़ निकालें, आपको 2 मिलता है। 5 से घटाएं 2, आपको 3 मिलता है, यह वांछित जड़ होगा। या 2 से 5 जोड़ते हैं, जो 7 देता है, यह भी एक जड़ है।

ग्रंथ अल खोरज़मी पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जिसमें द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत किया गया है और उनके समाधान के लिए सूत्र दिए गए हैं।

यूरोप में 1.5 द्विघात समीकरण तेरहवें - XVII सीसी

यूरोप में अल-खोरज़मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र पहली बार 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फाइबोनैचि द्वारा लिखित "बुक ऑफ़ अबैकस" में दिए गए थे। यह स्वैच्छिक कार्य, जो गणित के प्रभाव को दर्शाता है, इस्लाम के देशों में और प्राचीन ग्रीस में, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों से प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करने के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत के लिए यूरोप में पहले थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। "बुक ऑफ द अबैकस" से कई समस्याओं को 16 वीं - 17 वीं शताब्दी के लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में स्थानांतरित किया गया था। और आंशिक रूप से XVIII।

द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए सामान्य नियम:

x 2 + bx \u003d s,

गुणांक संकेतों के सभी संभावित संयोजनों के साथ ख , से एम। स्टिफ़ेल द्वारा केवल 1544 में यूरोप में तैयार किया गया था।

Vieta में द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र की एक सामान्य व्युत्पत्ति है, लेकिन Vieta ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। 16 वीं शताब्दी में इतालवी गणितज्ञ टारटाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली पहली बार थे। सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों के अलावा विचार करें। केवल 17 वीं शताब्दी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका आधुनिक रूप लेता है।

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

एक चतुर्भुज समीकरण और इसकी जड़ों के गुणांक के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला एक प्रमेय, जिसका नाम वियेता था, उसे पहली बार 1591 में इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि बी + डी से गुणा ए - ए 2 , बराबर है BD फिर ए समान रूप से में और बराबर डी ».

विट्टा को समझने के लिए, एक को याद रखना चाहिए तथा , किसी भी स्वर की तरह, उसके लिए अज्ञात (हमारा) था एक्स), स्वरों में, डी - अज्ञात के लिए गुणांक। आधुनिक बीजगणित की भाषा में, विट्टा के उपरोक्त सूत्रीकरण का अर्थ है: यदि

(ए +) ख ) x - x 2 \u003d अब ,

x 2 - (ए +) ख ) एक्स + ए ख = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d ख .

प्रतीकों का उपयोग करके लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा समीकरणों की जड़ों और गुणांक के बीच संबंधों को व्यक्त करते हुए, Viet ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालांकि, वीटा का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक रूप से दूर है। उन्होंने नकारात्मक संख्याओं को नहीं पहचाना, और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल ऐसे मामलों पर विचार किया जब सभी जड़ें सकारात्मक होती हैं।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके

द्विघात समीकरण वे आधार हैं जिन पर बीजगणित का शानदार संपादन होता है। त्रिकोणमितीय समीकरण व्यापक रूप से त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और पारलौकिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में उपयोग किए जाते हैं। हम सभी जानते हैं कि स्नातक होने तक स्कूल (ग्रेड 8) से द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

आधुनिक समाज में, एक चर वर्ग वाले समीकरणों के साथ क्रिया करने की क्षमता गतिविधि के कई क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है और वैज्ञानिक और तकनीकी विकास में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। यह समुद्र और नदी के जहाजों, हवाई जहाज और मिसाइलों के डिजाइन से स्पष्ट होता है। ऐसी गणनाओं की मदद से, अंतरिक्ष पिंडों सहित विभिन्न निकायों के संचलन के लक्षण निर्धारित किए जाते हैं। द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों का उपयोग न केवल आर्थिक पूर्वानुमान, इमारतों के डिजाइन और निर्माण में, बल्कि सबसे सामान्य रोजमर्रा की परिस्थितियों में भी किया जाता है। शॉपिंग कैंपों में, शॉपिंग के दौरान और अन्य बहुत ही सामान्य स्थितियों में कैंपिंग ट्रिप, स्पोर्ट्स इवेंट्स में इनकी जरूरत पड़ सकती है।

आइए अभिव्यक्ति को उसके घटक कारकों में तोड़ दें

समीकरण की डिग्री उस चर की डिग्री के अधिकतम मूल्य से निर्धारित होती है जिसमें अभिव्यक्ति होती है। यदि यह 2 के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को स्क्वायर कहा जाता है।

यदि हम सूत्र की भाषा का उपयोग करते हैं, तो ये अभिव्यक्तियाँ, चाहे वे कैसी भी हों, हमेशा उस रूप में घट सकती हैं जब अभिव्यक्ति के बाईं ओर तीन शब्द होते हैं। उनमें से: कुल्हाड़ी 2 (यानी, इसके गुणांक के साथ एक चर वर्ग), बीएक्स (इसके गुणांक के साथ एक वर्ग के बिना एक अज्ञात) और सी (एक नि: शुल्क घटक, यानी एक साधारण संख्या)। दायीं ओर यह सब बराबर होता है 0. उस मामले में जब एक समान बहुपद अपने घटक शब्दों में से एक को गायब कर रहा है, कुल्हाड़ी 2 के अपवाद के साथ, इसे अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है। ऐसी समस्याओं के समाधान के साथ उदाहरण, चर का मूल्य जिसमें आसान है, पहले विचार किया जाना चाहिए।

यदि अभिव्यक्ति इस तरह से दिखती है कि अभिव्यक्ति के दाईं ओर दो शब्द हैं, अधिक सटीक रूप से कुल्हाड़ी 2 और बीएक्स, तो ब्रैकेट के बाहर चर रखकर एक्स को ढूंढना सबसे आसान है। अब हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: x (ax + b)। इसके अलावा, यह स्पष्ट हो जाता है कि या तो x \u003d 0, या समस्या निम्न अभिव्यक्ति से एक चर खोजने के लिए कम हो गई है: ax + b \u003d 0। यह गुणन के गुणों में से एक द्वारा निर्धारित किया जाता है। नियम यह है कि दो कारकों का परिणाम 0 में होता है, यदि उनमें से एक शून्य के बराबर है।

उदाहरण

x \u003d 0 या 8x - 3 \u003d 0

नतीजतन, हमें समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: 0 और 0.375।

इस तरह के समीकरण गुरुत्वाकर्षण की कार्रवाई के तहत निकायों के आंदोलन का वर्णन कर सकते हैं, जो मूल के रूप में उठाए गए एक निश्चित बिंदु से स्थानांतरित करना शुरू कर दिया। यहां गणितीय संकेतन निम्नलिखित रूप लेता है: y \u003d v 0 t + gt 2/2। आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करना, दाएं पक्ष को 0 के बराबर करना और संभावित अज्ञात को ढूंढना, आप उस पल से निकाले गए समय का पता लगा सकते हैं जब शरीर उस समय गिरता है जब वह गिरता है, साथ ही साथ कई अन्य मात्राएं भी। लेकिन हम इस बारे में बाद में बात करेंगे।

एक अभिव्यक्ति फैक्टरिंग

ऊपर वर्णित नियम इन समस्याओं को अधिक जटिल मामलों में हल करना संभव बनाता है। आइए इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के साथ उदाहरणों पर विचार करें।

एक्स 2 - 33x + 200 \u003d 0

यह वर्ग ट्रिनोमियल पूर्ण है। सबसे पहले, अभिव्यक्ति को बदलने और इसे कारक बनाते हैं। उनमें से दो हैं: (x-8) और (x-25) \u003d 0. परिणामस्वरूप, हमारी दो जड़ें 8 और 25 हैं।

ग्रेड 9 में द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरण इस पद्धति को न केवल दूसरे, बल्कि तीसरे और चौथे क्रम के अभिव्यक्तियों में एक चर खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. जब चर के साथ कारकों में दाईं ओर फैक्टरिंग करते हैं, तो उनमें से तीन होते हैं, अर्थात् (x + 1), (x-3) और (x + 3)।

नतीजतन, यह स्पष्ट हो जाता है कि इस समीकरण की तीन जड़ें हैं: -3; -1; 3।

वर्गमूल की निकासी

अधूरे दूसरे क्रम के समीकरण का एक और मामला एक अभिव्यक्ति है जिसे अक्षरों की भाषा में इस तरह से दर्शाया गया है कि दाहिने-हाथ की तरफ का निर्माण कुल्हाड़ियों 2 और c से किया गया है। यहां, चर के मूल्य को प्राप्त करने के लिए, मुक्त शब्द को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, और फिर वर्गमूल को समानता के दोनों ओर से निकाला जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में, आमतौर पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं। एकमात्र अपवाद समानताएं हैं जिनमें सी शब्द बिल्कुल भी शामिल नहीं है, जहां चर शून्य के बराबर है, साथ ही साथ दाएं हाथ की ओर नकारात्मक होने पर अभिव्यक्तियों के वेरिएंट भी हैं। बाद के मामले में, कोई समाधान नहीं हैं, क्योंकि उपरोक्त क्रियाएं जड़ों से नहीं की जा सकती हैं। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाना चाहिए।

इस मामले में, समीकरण की जड़ें संख्या -4 और 4 होंगी।

भूमि के क्षेत्रफल की गणना

इस तरह की गणना की आवश्यकता प्राचीन काल में दिखाई दी, क्योंकि उन सबसे दूर के समय में कई मायनों में गणित का विकास सबसे बड़ी सटीकता और भूमि भूखंडों की परिधि के साथ निर्धारित करने की आवश्यकता के कारण था।

इस तरह की समस्याओं के आधार पर द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर हमारे द्वारा विचार किया जाना चाहिए।

तो, मान लें कि एक आयताकार भूमि है जो इसकी चौड़ाई से 16 मीटर लंबी है। साइट की लंबाई, चौड़ाई और परिधि ज्ञात करें यदि यह ज्ञात है कि इसका क्षेत्रफल 612 मीटर 2 है।

व्यवसाय के लिए नीचे उतरते हुए, पहले आवश्यक समीकरण तैयार करते हैं। आइए x से खंड की चौड़ाई को दर्शाते हैं, फिर इसकी लंबाई होगी (x + 16)। जो लिखा गया है, वह इस प्रकार है कि क्षेत्र एक्स (x + 16) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो हमारी समस्या की स्थिति के अनुसार 612 है। इसका मतलब है कि x (x + 16) \u003d 612।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का समाधान, और यह अभिव्यक्ति बस यही है, उसी तरह नहीं किया जा सकता है। क्यों? यद्यपि इसके बाईं ओर में अभी भी दो कारक हैं, उत्पाद बिल्कुल 0 के बराबर नहीं है, इसलिए अन्य तरीके यहां लागू होते हैं।

विभेदक

सबसे पहले, हम आवश्यक परिवर्तन करेंगे, फिर इस अभिव्यक्ति की उपस्थिति इस तरह दिखाई देगी: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. इसका मतलब है कि हमें पहले निर्दिष्ट मानक के अनुरूप रूप में एक अभिव्यक्ति मिली, जहां a \u003d 1, b / 16, c \u003d -612।

यह विभेदक के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण हो सकता है। यहां योजना के अनुसार आवश्यक गणना की गई है: डी \u003d बी 2 - 4ac। यह सहायक मात्रा न केवल दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक मात्रा को खोजने के लिए संभव बनाती है, यह संभव विकल्पों की संख्या निर्धारित करती है। यदि D\u003e 0, उनमें से दो हैं; D \u003d 0 के लिए, एक रूट है। यदि डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

जड़ों और उनके सूत्र के बारे में

हमारे मामले में, विभेदक है: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. यह इंगित करता है कि हमारी समस्या का जवाब है। यदि आप जानते हैं, कि, द्विघात समीकरणों के समाधान को नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके जारी रखा जाना चाहिए। यह आपको जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है।

इसका मतलब है कि प्रस्तुत मामले में: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34। इस दुविधा में दूसरा विकल्प एक समाधान नहीं हो सकता है, क्योंकि भूमि के भूखंड के आयामों को नकारात्मक मानों में नहीं मापा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि x (अर्थात भूखंड की चौड़ाई) 18 m है। यहाँ हम लंबाई की गणना करते हैं: 18 + 16/34: और परिधि 2 (34+) 18) \u003d 104 (एम 2)।

उदाहरण और कार्य

हम द्विघात समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं। उदाहरण और उनमें से कई का विस्तृत समाधान नीचे दिया जाएगा।

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

आइए समानता के बाईं ओर सब कुछ स्थानांतरित करें, एक परिवर्तन करें, अर्थात, हमें समीकरण का रूप मिलता है, जिसे आमतौर पर मानक कहा जाता है, और इसे शून्य के बराबर किया जाता है।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

समान जोड़ने पर, हम विवेचक को परिभाषित करते हैं: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. इसलिए हमारे समीकरण में दो जड़ें होंगी। आइए उपरोक्त सूत्र के अनुसार उनकी गणना करें, जिसका अर्थ है कि उनमें से पहला 4/3 और दूसरा 1 होगा।

2) अब हम एक अलग तरह की पहेलियों को प्रकट करेंगे।

आइए जानें कि क्या सभी एक्स 2 - 4x + 5 \u003d 1 पर यहां कोई जड़ें हैं? एक विस्तृत उत्तर प्राप्त करने के लिए, आइए हम बहुपद को उचित परिचित रूप में लाएं और विवेचक की गणना करें। इस उदाहरण में, द्विघात समीकरण का समाधान आवश्यक नहीं है, क्योंकि समस्या का सार इस में बिल्कुल नहीं है। इस मामले में, डी \u003d 16 - 20 \u003d -4, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जड़ें नहीं हैं।

वीटा का प्रमेय

उपरोक्त सूत्रों और विभेदकों के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करना सुविधाजनक है, जब वर्गमूल को बाद के मूल्य से निकाला जाता है। पर यह मामला हमेशा नहीं होता। हालांकि, इस मामले में चर के मूल्यों को प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण: विएटा के प्रमेय द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना। उसका नाम एक ऐसे व्यक्ति के नाम पर रखा गया है जो 16 वीं शताब्दी में फ्रांस में रहता था और उसने अपनी गणितीय प्रतिभा और कोर्ट में कनेक्शन की बदौलत एक शानदार करियर बनाया। उनका चित्र लेख में देखा जा सकता है।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी द्वारा देखा गया पैटर्न इस प्रकार था। उन्होंने साबित किया कि योग में समीकरण की जड़ें संख्यात्मक रूप से -p \u003d b / a के बराबर हैं, और उनका उत्पाद q \u003d c / a से मेल खाता है।

अब हम विशिष्ट कार्यों को देखते हैं।

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

सादगी के लिए, हम अभिव्यक्ति को बदलते हैं:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

आइए Vieta के प्रमेय का उपयोग करें, यह हमें निम्नलिखित देगा: जड़ों का योग -7 है, और उनका उत्पाद -18 है। इससे हमें पता चलता है कि समीकरण की जड़ें संख्या -9 और 2 हैं। एक चेक बनाने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि चर के ये मूल्य वास्तव में अभिव्यक्ति में फिट होते हैं।

परबोला ग्राफ और समीकरण

एक द्विघात फ़ंक्शन और द्विघात समीकरणों की अवधारणाएं निकटता से संबंधित हैं। इसके उदाहरण पहले ही दिए जा चुके हैं। अब आइए गणित की कुछ पहेलियों पर गौर करें। वर्णित प्रकार के किसी भी समीकरण की कल्पना की जा सकती है। ग्राफ के रूप में खींचे गए इस तरह के रिश्ते को परवल कहा जाता है। इसके विभिन्न प्रकार नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

किसी भी पैराबोला में एक शीर्ष होता है, अर्थात, एक बिंदु जहां से इसकी शाखाएं निकलती हैं। अगर a 0, वे अनंत तक जाते हैं, और जब a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

फ़ंक्शंस का दृश्य प्रतिनिधित्व किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करता है, जिसमें द्विघात शामिल हैं। इस विधि को ग्राफिकल कहा जाता है। और चर x का मान उन बिंदुओं पर अनुपस्थित समन्वय है जहां ग्राफ रेखा 0x के साथ अंतर करती है। शीर्ष के निर्देशांक केवल दिए गए सूत्र x 0 \u003d -b / 2a द्वारा पाए जा सकते हैं। और, फ़ंक्शन के मूल समीकरण में प्राप्त मूल्य को प्रतिस्थापित करते हुए, आप पता लगा सकते हैं कि y 0, अर्थात्, परवलय के शीर्ष का दूसरा समन्वय है, जो कि अक्षीय अक्ष से संबंधित है।

फरसीसा अक्ष के साथ परबोला की शाखाओं का चौराहा

द्विघात समीकरणों के समाधान के साथ बहुत सारे उदाहरण हैं, लेकिन सामान्य पैटर्न भी हैं। आइए उन पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि a \u003d 0 के लिए 0x अक्ष वाले ग्राफ का अंतर केवल तभी संभव है जब y 0 नकारात्मक मान लेता है। और ए के लिए<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा, डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

जड़ों को पैराबोला ग्राफ से भी निर्धारित किया जा सकता है। उल्टा भी सही है। यही है, अगर किसी द्विघात समारोह की एक दृश्य छवि प्राप्त करना आसान नहीं है, तो आप अभिव्यक्ति के दाईं ओर 0 को समान कर सकते हैं और परिणामी समीकरण को हल कर सकते हैं। और 0x अक्ष के साथ चौराहे के बिंदुओं को जानना, एक ग्राफ बनाना आसान है।

इतिहास से

एक चर वर्ग वाले समीकरणों की मदद से, पुराने दिनों में उन्होंने न केवल गणितीय गणना की और ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों का निर्धारण किया। पूर्वजों को भौतिकी और खगोल विज्ञान के क्षेत्र में भव्य खोजों के लिए और साथ ही ज्योतिषीय पूर्वानुमान बनाने के लिए ऐसी गणनाओं की आवश्यकता थी।

जैसा कि आधुनिक वैज्ञानिक मानते हैं, बाबुल के निवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले लोगों में से थे। यह हमारे युग से चार शताब्दी पहले हुआ था। बेशक, उनकी गणना मौलिक रूप से उन लोगों से अलग थी जो वर्तमान में स्वीकार किए जाते हैं और बहुत अधिक आदिम हैं। उदाहरण के लिए, मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को नकारात्मक संख्या के अस्तित्व के बारे में कोई पता नहीं था। वे अन्य सूक्ष्मताओं से भी अपरिचित थे जो हमारे समय के किसी भी स्कूली बच्चे को पता है।

बाबुल के वैज्ञानिकों की तुलना में शायद पहले भी, भारत बौधायम के ऋषि ने द्विघात समीकरणों का हल निकाला था। यह ईसा के युग के आगमन से लगभग आठ शताब्दी पहले हुआ था। सच है, दूसरे क्रम के समीकरण, हल करने के तरीके जो उन्होंने दिए, सबसे सरल थे। उनके अलावा, चीनी गणितज्ञ भी पुराने दिनों में इसी तरह के सवालों में रुचि रखते थे। यूरोप में, द्विघात समीकरणों को केवल 13 वीं शताब्दी की शुरुआत में हल किया जाना था, लेकिन बाद में उनका उपयोग न्यूटन, डेसकार्टेस और कई अन्य जैसे महान वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था।

द्विघात समीकरण - हल करने में आसान! * पाठ "केयू" में आगे।दोस्तों, ऐसा प्रतीत होता है कि इस तरह के समीकरण को हल करने से गणित में क्या आसान हो सकता है। लेकिन कुछ ने मुझे बताया कि बहुतों को उससे समस्या है। मैंने यह देखने का फैसला किया कि प्रति माह यैंडेक्स कितने इंप्रेशन हैं। यहाँ क्या हुआ, एक नज़र रखना:

इसका क्या मतलब है? इसका मतलब यह है कि एक महीने में लगभग 70,000 लोग इस जानकारी की तलाश में हैं, और शैक्षणिक वर्ष के मध्य में क्या होगा - इसमें कई अनुरोध होंगे। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि उन लड़कों और लड़कियों को जो बहुत पहले स्कूल से स्नातक हुए थे और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, वे इस जानकारी की तलाश में हैं, और स्कूली बच्चे भी उनकी याद को ताजा करना चाहते हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि कई टन साइटें हैं जो आपको बताती हैं कि इस समीकरण को कैसे हल किया जाए, मैंने अपना थोड़ा सा भी करने और सामग्री प्रकाशित करने का फैसला किया। सबसे पहले, मैं चाहता हूं कि आगंतुक इस अनुरोध के लिए मेरी साइट पर आएं; दूसरे, अन्य लेखों में, जब "केयू" भाषण आता है, तो मैं इस लेख का लिंक दूंगा; तीसरा, मैं आपको उसके समाधान के बारे में थोड़ा और बताऊंगा, जो आमतौर पर अन्य साइटों पर कहा जाता है। आएँ शुरू करें!लेख की सामग्री:

एक द्विघात समीकरण फार्म का एक समीकरण है:

जहां गुणांक एकख और मनमानी संख्या के साथ,, 0 के साथ।

स्कूल पाठ्यक्रम में, सामग्री निम्नलिखित रूप में दी गई है - समीकरणों को सशर्त रूप से तीन वर्गों में विभाजित किया गया है:

1. उनकी दो जड़ें हैं।

2. "मेरी केवल एक जड़ है।

3. कोई जड़ नहीं है। यहां यह ध्यान देने योग्य है कि उनकी कोई मान्य जड़ें नहीं हैं।

जड़ों की गणना कैसे की जाती है? बस!

हम विवेचक की गणना करते हैं। इस "भयानक" शब्द के नीचे एक बहुत ही सरल सूत्र निहित है:

मूल सूत्र इस प्रकार हैं:

* इन सूत्रों को दिल से जानने की जरूरत है।

आप तुरंत लिख सकते हैं और निर्णय ले सकते हैं:

उदाहरण:

1. यदि D\u003e 0, तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

2. यदि D \u003d 0 है, तो समीकरण में एक जड़ है।

3. यदि डी< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

आइए समीकरण को देखें:

इस अवसर पर, जब स्कूल में पाठ्यक्रम शून्य होता है, तो यह कहा जाता है कि एक मूल प्राप्त होता है, यहां यह नौ के बराबर है। सब कुछ सही है, यह है, लेकिन ...

यह प्रतिनिधित्व कुछ गलत है। वास्तव में, दो जड़ें हैं। हां, आश्चर्यचकित न हों, यह दो समान जड़ों को बदल देता है, और गणितीय रूप से सटीक होने के लिए, फिर उत्तर को दो जड़ों में लिखा जाना चाहिए:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

लेकिन यह ऐसा है - एक छोटा विषयांतर। स्कूल में, आप लिख सकते हैं और कह सकते हैं कि एक जड़ है।

अब अगला उदाहरण:

जैसा कि हम जानते हैं, एक ऋणात्मक संख्या का मूल नहीं निकाला जाता है, इसलिए इस मामले में कोई समाधान नहीं है।

यह संपूर्ण समाधान प्रक्रिया है।

द्विघात फंक्शन।

यह दिखाता है कि समाधान ज्यामितीय रूप से कैसा दिखता है। इसे समझना बहुत महत्वपूर्ण है (भविष्य में, किसी एक लेख में, हम वर्ग असमानता के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे)।

यह फॉर्म का एक कार्य है:

जहाँ x और y चर हैं

a, b, c - दी गई संख्याएँ, b 0 के साथ

ग्राफ एक परबोला है:

यही है, यह पता चला है कि शून्य के बराबर "y" के साथ द्विघात समीकरण को हल करके, हम बैल अक्ष के साथ परबोला के चौराहे के बिंदुओं को पाते हैं। इनमें से दो बिंदु हो सकते हैं (विवेचक सकारात्मक है), एक (विवेचक शून्य है) और कोई नहीं (विवेचक नकारात्मक है)। द्विघात कार्य के बारे में अधिक आप देख सकते हैं इन्ना फेल्डमैन का लेख।

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1: हल 2x 2 +8 एक्स–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

डी \u003d बी 2 –4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 – (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

उत्तर: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* आप समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को तुरंत 2 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात इसे सरल बना सकते हैं। गणना आसान हो जाएगी।

उदाहरण 2: तय x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 \u003d 121 \u003d 484–484 \u003d 0

हमें वह x 1 \u003d 11 और x 2 \u003d 11 मिला

उत्तर में, यह x \u003d 11 लिखने की अनुमति है।

उत्तर: x \u003d 11

उदाहरण 3: तय x 2–8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 64 72 \u003d 64–288 \u003d –224

विवेकशील नकारात्मक है, वास्तविक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई हल नहीं

विवेकशील नकारात्मक है। एक उपाय है!

यहां हम मामले में समीकरण को हल करने के बारे में बात करेंगे जब एक नकारात्मक भेदभाव प्राप्त होता है। क्या आप जटिल संख्याओं के बारे में कुछ जानते हैं? मैं यहां इस बारे में विस्तार से नहीं जाऊंगा कि वे गणित में क्यों और कहां से आए और उनकी विशिष्ट भूमिका और आवश्यकता क्या है, यह एक बड़े अलग लेख के लिए एक विषय है।

एक जटिल संख्या की अवधारणा।

सिद्धांत की एक बिट।

एक जटिल संख्या z फॉर्म का एक नंबर है

z \u003d a + द्वि

जहां और बी वास्तविक संख्या हैं, मैं तथाकथित काल्पनिक इकाई हूं।

एक + द्वि एक एकल नंबर है, इसके अलावा नहीं।

काल्पनिक इकाई शून्य से एक की जड़ के बराबर होती है:

अब समीकरण पर विचार करें:

हमें दो संयुग्मित जड़ें मिलीं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण।

विशेष मामलों पर विचार करें, यह तब है जब गुणांक "बी" या "सी" शून्य के बराबर है (या दोनों शून्य के बराबर हैं)। वे बिना किसी भेदभाव के आसानी से हल हो जाते हैं।

केस 1. गुणांक b \u003d 0।

समीकरण रूप लेता है:

आइए रूपांतरित करें:

उदाहरण:

4x 2–16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -1

केस 2. गुणांक \u003d 0 के साथ।

समीकरण रूप लेता है:

हम रूपांतरण करते हैं, कारक बनाते हैं:

* उत्पाद शून्य के बराबर है जब कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है।

उदाहरण:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 या x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

केस 3. गुणांक b \u003d 0 और c \u003d 0।

यहाँ यह स्पष्ट है कि समीकरण का हल हमेशा x \u003d 0 होगा।

गुणांक के उपयोगी गुण और पैटर्न।

ऐसे गुण हैं जो आपको बड़े गुणांक वाले समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं।

तथाएक्स 2 + bx+ सी=0 समानता रखती है

ए + ख + c \u003d 0,फिर

- यदि समीकरण के गुणांक के लिए तथाएक्स 2 + bx+ सी=0 समानता रखती है

ए + सी \u003dख, फिर

ये गुण एक निश्चित प्रकार के समीकरण को हल करने में मदद करते हैं।

उदाहरण 1: 5001 एक्स 2 –4995 एक्स – 6=0

गुणांक का योग 5001+ है ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, इसलिए

उदाहरण 2: 2501 एक्स 2 +2507 एक्स+6=0

समानता मिलती है ए + सी \u003dख, माध्यम

गुणांकों की नियमितता।

1. यदि समीकरण में कुल्हाड़ी 2 + bx + c \u003d 0 गुणांक "b" (2 +1) के बराबर है, और गुणांक "c" संख्यात्मक रूप से गुणांक "a" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

ax 2 + (a 2 +1)) х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d –а х 2 \u003d –1 / a।

उदाहरण। समीकरण 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6।

2. यदि समीकरण में कुल्हाड़ी 2 - bx + c \u003d 0 गुणांक "b" (2 +1) के बराबर है, और गुणांक "c" संख्यात्मक रूप से गुणांक "a" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं

ax 2 - (a 2 +1) + x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a।

उदाहरण। समीकरण 15x 2 -226x +15 \u003d 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15।

3. यदि समीकरण मेंकुल्हाड़ी 2 + bx - c \u003d 0 गुणांक "b" के बराबर है (1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "a" के बराबर, तब इसकी जड़ें बराबर होती हैं

एएक्स 2 + (ए 2 -1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - х 2 \u003d 1 a a।

उदाहरण। समीकरण 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17।

4. यदि समीकरण में कुल्हाड़ी 2 - बीएक्स - सी \u003d 0 गुणांक "बी" के बराबर है (2 ए - 1), और गुणांक सी संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो इसकी जड़ें हैं।

एएक्स 2 - (ए 2 -1) а х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 a।

उदाहरण। समीकरण 10x 2 - 99x –10 \u003d 0 पर विचार करें।

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

वीटा का प्रमेय।

विएटा के प्रमेय का नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांकोइस विएटा के नाम पर रखा गया है। Vieta के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम अपने गुणांक के संदर्भ में एक मनमानी KE की जड़ों के योग और उत्पाद को व्यक्त कर सकते हैं।

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

कुल मिलाकर, संख्या 14 केवल 5 और 9 देती है। ये जड़ें हैं। एक निश्चित कौशल के साथ, प्रस्तुत प्रमेय का उपयोग करके, आप मौखिक रूप से कई द्विघात समीकरणों को हल कर सकते हैं।

Vieta की प्रमेय, इसके अलावा। सामान्य तरीके से (विभेदक के माध्यम से) द्विघात समीकरण को हल करने के बाद, प्राप्त जड़ों की जांच की जा सकती है। मैं हमेशा ऐसा करने की सलाह देता हूं।

ट्रांसफर विधि

इस विधि के साथ, गुणांक "ए" को मुक्त शब्द से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक" दिया जाता है, इसलिए इसे कहा जाता है "स्थानांतरण" के माध्यम से।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आप आसानी से विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को पा सकते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है, जब विभक्त एक सटीक वर्ग है।

यदि एक तथा± बी + सी≠ 0, तब स्थानांतरण तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए:

2एक्स 2 – 11x +5 = 0 (1) => एक्स 2 – 11x +10 = 0 (2)

Vieta के प्रमेय द्वारा समीकरण (2) में, यह निर्धारित करना आसान है कि x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

समीकरण की प्राप्त जड़ों को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए (क्योंकि दो को x 2 से "फेंक दिया" गया था), हम प्राप्त करते हैं

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5।

औचित्य क्या है? देखिये क्या चल रहा है।

समीकरणों (1) और (2) के भेदभाव बराबर हैं:

यदि आप समीकरणों की जड़ों को देखते हैं, तो केवल विभिन्न भाजक प्राप्त होते हैं, और परिणाम x 2 के गुणांक पर सटीक रूप से निर्भर करता है:

दूसरी (संशोधित) जड़ें 2 गुना बड़ी हैं।

इसलिए, हम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं।

* यदि हम तीन को फिर से रोल करते हैं, तो हम परिणाम को 3 से विभाजित करते हैं, आदि।

उत्तर: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

वर्ग। उर-तुम और परीक्षा।

मैं इसके महत्व के बारे में संक्षेप में कहूँगा - आप जल्दी से जल्दी और बिना किसी हिचकिचाहट के, जड़ों के सूत्र और विवेचक को दिल से जानना चाहिए। यूएसई कार्यों को बनाने वाले बहुत सारे कार्य एक द्विघात समीकरण (ज्यामितीय वाले सहित) को हल करने के लिए कम किए जाते हैं।

ध्यान देने योग्य क्या है!

1. समीकरण लिखने का रूप "निहित" हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित संभव है:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 या 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 या 15 -5x + 10x 2 \u003d 0।

आपको इसे एक मानक रूप में लाने की आवश्यकता है (ताकि हल करते समय भ्रमित न हों)।

2. याद रखें कि x एक अज्ञात मात्रा है और इसे किसी अन्य अक्षर - t, q, p, h और अन्य द्वारा दर्शाया जा सकता है।

», अर्थात्, पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में हम विश्लेषण करेंगे जिसे द्विघात समीकरण कहा जाता है और इसे कैसे हल किया जाए।

जिसे द्विघात समीकरण कहा जाता है

जरूरी!

समीकरण की डिग्री सबसे बड़ी डिग्री से निर्धारित होती है जिसमें अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अधिकतम शक्ति जिसमें अज्ञात खड़ा है "2", तो आपके पास द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

जरूरी! द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य इस प्रकार है:

एक एक्स 2 + बी एक्स + सी \u003d 0

• "ए" - पहला या उच्चतम गुणांक;
• "बी" दूसरा गुणांक है;
• "सी" एक स्वतंत्र सदस्य है।

"A", "b" और "c" को खोजने के लिए आपको द्विघात समीकरण के सामान्य रूप "ax 2 + bx + c \u003d 0" के साथ अपने समीकरण की तुलना करने की आवश्यकता है।

चलो गुणांक "ए", "बी" और "सी" को द्विघात समीकरणों में परिभाषित करने का अभ्यास करते हैं।

• a \u003d −1
• बी \u003d १
• ग \u003d

  1

  3

• a \u003d १
• बी \u003d 0.25
• ग \u003d ०

• a \u003d १
• बी \u003d ०
• c \u003d −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

रैखिक समीकरणों के विपरीत, एक विशेष जड़ें खोजने का सूत्र.

याद है!

एक द्विघात समीकरण को हल करने के लिए जो आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लाएं "कुल्हाड़ी 2 + bx + c \u003d 0"। यही है, केवल "0" दाईं ओर रहना चाहिए;
• जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करें:

आइए एक उदाहरण लेते हैं कि द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग कैसे करें। आइए द्विघात समीकरण को हल करें।

एक्स 2 - 3x - 4 \u003d 0

समीकरण "x 2 - 3x - 4 \u003d 0" पहले से ही सामान्य रूप से कम हो गया है "कुल्हाड़ी 2 + bx + c \u003d 0" और अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए, हमें बस आवेदन करने की आवश्यकता है एक द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने का सूत्र.

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "a", "b" और "c" को परिभाषित करें।

इसकी मदद से, किसी भी द्विघात समीकरण को हल किया जाता है।

सूत्र "x 1; 2 \u003d" में, मूल अभिव्यक्ति को अक्सर बदल दिया जाता है
"D" अक्षर के साथ "B 2 - 4ac" और विवेचक कहा जाता है। "क्या एक भेदभाव है" पाठ में भेदभाव के बारे में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

एक द्विघात समीकरण के दूसरे उदाहरण पर विचार करें।

x 2 + 9 + x \u003d 7x

इस रूप में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करना मुश्किल है। आइए पहले समीकरण को सामान्य रूप में लाएं "कुल्हाड़ी 2 + bx + c \u003d 0"।

एक्स 2 + 9 + एक्स \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

अब आप मूल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

एक्स 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों में कोई जड़ें नहीं होती हैं। यह स्थिति तब होती है जब रूट के तहत सूत्र में एक ऋणात्मक संख्या दिखाई देती है।

इस गणित कार्यक्रम के साथ आप कर सकते हैं द्विघात समीकरण को हल करें.

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को भी दो तरीकों से प्रदर्शित करता है:
- विवेचक का उपयोग करना
- वीटा के प्रमेय (यदि संभव हो) का उपयोग करना।

इसके अलावा, उत्तर सटीक रूप से प्रदर्शित होता है, अनुमानित नहीं।
उदाहरण के लिए, समीकरण \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\) के लिए, उत्तर इस रूप में प्रदर्शित किया जाता है:

माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए परीक्षा से पहले ज्ञान की जांच करते समय यह कार्यक्रम माध्यमिक स्कूलों के वरिष्ठ छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि ट्यूटर को किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना आपके लिए बहुत महंगा हो? या क्या आप बस अपना गणित या बीजगणित होमवर्क जल्दी से जल्दी करना चाहते हैं? इस मामले में, आप एक विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह, आप अपने खुद के शिक्षण और / या अपने छोटे भाइयों या बहनों के शिक्षण का संचालन कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप एक वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप उनके साथ खुद को परिचित करें।

एक वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के लिए नियम

किसी भी लैटिन पत्र को एक चर के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) आदि।

संख्याओं को पूरे या अंशों के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल एक दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण अंश के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों में प्रवेश के नियम।
दशमलव अंशों में, संपूर्ण भाग को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप इस तरह दशमलव में प्रवेश कर सकते हैं: 2.5x - 3.5x ^ 2

साधारण अंशों में प्रवेश करने के नियम।
केवल एक पूरी संख्या का उपयोग अंश, हर और एक अंश के पूरे भाग के रूप में किया जा सकता है।

हर नकारात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
पूरे भाग को अंश से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3 और 1/3 - 5 और 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
परिणाम: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

एक अभिव्यक्ति में प्रवेश करते समय कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है... इस मामले में, एक द्विघात समीकरण को हल करने पर, पहली बार प्रस्तुत अभिव्यक्ति सरल होती है।
उदाहरण के लिए: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 और 1/2)

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
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इसलिये समस्या को हल करने के लिए बहुत सारे लोग तैयार हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड ...

अगर तुम निर्णय में त्रुटि देखी गई, तो आप फीडबैक फॉर्म में इस बारे में लिख सकते हैं।
मत भूलो कौन सा कार्य निर्दिष्ट करें तुम तय करो और क्या खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेली, एमुलेटर:

सिद्धांत की एक बिट।

द्विघात समीकरण और उसकी जड़ें। अपूर्ण द्विघात समीकरण

प्रत्येक समीकरण
\\ / - x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
का रूप है
\\ (कुल्हाड़ी ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
जहाँ x एक चर है, a, b और c संख्याएँ हैं।
पहले समीकरण में a \u003d -1, b \u003d 6 और c \u003d 1.4, दूसरे में a \u003d 8, b \u003d -7 और c \u003d 0, तीसरे में a \u003d 1, b \u003d 0 और c \u003d 4/9। ऐसे समीकरण कहलाते हैं द्विघातीय समीकरण.

परिभाषा।
द्विघात समीकरण एक्स 2 + bx + c \u003d 0 फॉर्म का एक समीकरण है, जहां x एक वेरिएबल है, a, b और c कुछ नंबर हैं, और \\ (a \\ neq 0 \\) हैं।

संख्या a, b और c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। संख्या को पहला गुणांक कहा जाता है, संख्या b - दूसरा गुणांक, और संख्या c - मुक्त शब्द।

फार्म के सभी समीकरणों में कुल्हाड़ी 2 + bx + c \u003d 0, जहाँ \\ (a \\ neq 0 \\), चर x की सबसे बड़ी शक्ति वर्ग है। इसलिए नाम: द्विघात समीकरण।

ध्यान दें कि एक द्विघात समीकरण को दूसरी डिग्री का समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इसकी बाईं ओर दूसरी डिग्री का बहुपद है।

एक द्विघात समीकरण जिसमें x 2 पर गुणांक 1 कहा जाता है द्विघात समीकरण को कम किया... उदाहरण के लिए, कम द्विघात समीकरण समीकरण हैं
\\ / x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ Quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \u003d)

यदि द्विघात समीकरण में कुल्हाड़ी 2 + bx + c \u003d 0 कम से कम एक गुणांक b या c शून्य के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है अपूर्ण द्विघात समीकरण... तो, समीकरण -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण हैं। उनमें से पहले में बी \u003d 0, दूसरे में सी \u003d 0, तीसरे में बी \u003d 0 और सी \u003d 0।

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:
1) कुल्हाड़ी 2 + c \u003d 0, जहां \\ (c \\ neq 0 \\);
2) कुल्हाड़ी 2 + bx \u003d 0, जहां \\ (b \\ neq 0 \\);
3) कुल्हाड़ी 2 \u003d 0।

आइए इन प्रत्येक प्रकार के समीकरणों के समाधान पर विचार करें।

कुल्हाड़ी के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए अक्ष 2 + c \u003d 0 for \\ _ (c \\ neq 0 \\), इसके मुक्त पद को दाईं ओर स्थानांतरित करें और समीकरण के दोनों पक्षों को एक से विभाजित करें:
\\ / x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ Rightarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

चूंकि \\ _ (c \\ neq 0 \\), फिर \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0)

यदि \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\) है, तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

अगर \\ (- \\ frac (c) (a) फॉर्म के कुल्हाड़ी के द्विघात समीकरण को हल करने के लिए 2 + bx \u003d 0 for \\ (b \\ neq 0 \\) कारक इसके बाईं ओर है और समीकरण प्राप्त करें
\\ (x (ax + b) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ start (array) (x) 0 \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ end (सरणी) \\ right। \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ start)। (सरणी) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (सरणी) \\ n ()

इसलिए, फार्म का एक अधूरा द्विघात समीकरण ax 2 + bx \u003d 0 for \\ (b \\ neq 0 \\) हमेशा दो मूल होता है।

फार्म कुल्हाड़ी का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण 2 \u003d 0 समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है और इसलिए एक अद्वितीय जड़ 0 है।

द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र

आइए अब विचार करें कि द्विघात समीकरण कैसे हल किए जाते हैं, जिसमें अज्ञात के गुणांक और मुक्त शब्द दोनों एसेज़रो हैं।

आइए सामान्य रूप में द्विघात समीकरण को हल करें और परिणामस्वरूप हमें जड़ों के लिए सूत्र मिलता है। फिर इस सूत्र को किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण को हल करें 2 अक्ष + bx + c \u003d 0

इसके दोनों भागों को एक से विभाजित करते हुए, हम बराबर कम द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

हम द्विपद के वर्ग का चयन करके इस समीकरण को बदलते हैं:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2- \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ Rightarrow \\)

मूलाधार भाव को कहते हैं द्विघात समीकरण के विभेदक ax 2 + bx + c \u003d 0 (लैटिन "विभेदक" एक विभेदक है)। यह पत्र डी द्वारा नामित है, अर्थात।
\\ (डी \u003d बी ^ 2-4ac \\)

अब, विभेदक की धारणा का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र को फिर से लिखते हैं:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (D)) (2a) \\), जहाँ \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

यह स्पष्ट है कि:
1) यदि D\u003e 0 है, तो द्विघात समीकरण की दो जड़ें हैं।
2) यदि D \u003d 0 है, तो द्विघात समीकरण में एक रूट \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a \\ _) है।
3) यदि D इस प्रकार, विभेदक के मान पर निर्भर करता है, तो द्विघात समीकरण की दो जड़ें हो सकती हैं (D\u003e 0 के लिए), एक रूट (D \u003d 0 के लिए) या जड़ नहीं है (D के लिए) इस सूत्र का उपयोग करते हुए द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, इस प्रकार आगे बढ़ना उचित है। मार्ग:
1) विवेचक की गणना करें और शून्य के साथ तुलना करें;
2) यदि विवेचक सकारात्मक है या शून्य के बराबर है, तो मूल सूत्र का उपयोग करें, यदि विवेचक नकारात्मक है, तो लिखिए कि जड़ें नहीं हैं।

वीटा का प्रमेय

दिए गए द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 -7x + 10 \u003d 0 की जड़ें 2 और 5 हैं। जड़ों का योग 7 है, और उत्पाद 10 है। हम देखते हैं कि जड़ों का योग दूसरे गुणांक के बराबर है, विपरीत संकेत के साथ लिया गया है, और जड़ों का उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर है। जड़ों के साथ कोई भी द्विघात समीकरण इस संपत्ति के पास है।

दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे विपरीत संकेत के साथ लिया गया है, और जड़ों का उत्पाद मुक्त शब्द के बराबर है।

उन। विएटा के प्रमेय में कहा गया है कि कम द्विघात समीकरण x 2 + px + q \u003d 0 की जड़ों x 1 और x 2 में संपत्ति है:
\\ (\\ बाएँ) (\\ start (सरणी) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (सरणी) \\ right। \\)