एक कोण के स्पर्शरेखा का अर्थ। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा: यह क्या है? साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें? त्रिकोणमिति में ज्या

उदाहरण:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

तर्क और मूल्य

न्यून कोण की कोज्या

न्यून कोण की कोज्याएक समकोण त्रिभुज का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है - यह आसन्न पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है।

उदाहरण :

1) मान लीजिए कि एक कोण दिया गया है और आपको इस कोण की कोज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है।

2) आइए इस कोने पर किसी भी समकोण त्रिभुज को पूरा करें।

3) आवश्यक पक्षों को मापने के बाद, हम कोसाइन की गणना कर सकते हैं।

न्यून कोण की कोज्या \(0\) से बड़ी और \(1\) से कम होती है

यदि, समस्या को हल करते समय, एक न्यून कोण की कोज्या 1 से अधिक या ऋणात्मक निकली, तो समाधान में कहीं त्रुटि है।

एक संख्या की कोज्या

संख्या वृत्त आपको किसी भी संख्या की कोज्या निर्धारित करने की अनुमति देता है, लेकिन आमतौर पर किसी भी तरह से संबंधित संख्याओं की कोज्या ज्ञात करें: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\)।

उदाहरण के लिए, संख्या \(\frac(π)(6)\) के लिए - कोज्या \(\frac(\sqrt(3))(2)\) के बराबर होगी। और संख्या \(-\)\(\frac(3π)(4)\) के लिए यह \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (लगभग \) के बराबर होगा (-0,71\))।

अन्य नंबरों के लिए कोसाइन अक्सर व्यवहार में आते हैं, देखें।

कोज्या मान हमेशा \(-1\) और \(1\) के बीच होता है। इस मामले में, कोसाइन की गणना बिल्कुल किसी भी कोण और संख्या के लिए की जा सकती है।

किसी भी कोण की कोज्या

संख्यात्मक सर्कल के लिए धन्यवाद, न केवल एक तीव्र कोण के कोसाइन को निर्धारित करना संभव है, बल्कि एक कुंठित, नकारात्मक और यहां तक ​​​​कि \ (360 ° \) (पूर्ण मोड़) से भी अधिक है। इसे कैसे करें - \(100\) बार सुनने की तुलना में एक बार देखना आसान है, इसलिए चित्र को देखें।

अब एक स्पष्टीकरण: कोण के कोसाइन को निर्धारित करना आवश्यक है कोआडिग्री माप \(150°\) के साथ। हम बिंदु को जोड़ते हैं हेसर्कल के केंद्र के साथ, और पक्ष ठीक है- \(x\) अक्ष के साथ। उसके बाद, \ (150 ° \) वामावर्त एक तरफ सेट करें। तब बिंदु की कोटि लेकिनहमें इस कोण की कोज्या दिखाएगा।

यदि हम डिग्री माप वाले कोण में रुचि रखते हैं, उदाहरण के लिए, \ (-60 ° \) (कोण .) में कोवी), हम वही करते हैं, लेकिन \(60°\) दक्षिणावर्त अलग रख दें।

और अंत में, कोण \(360°\) (कोण .) से बड़ा होता है कोस) - सब कुछ कुंद के समान है, केवल दक्षिणावर्त एक पूर्ण मोड़ पारित करने के बाद, हम दूसरे दौर में जाते हैं और "डिग्री की कमी प्राप्त करते हैं"। विशेष रूप से, हमारे मामले में, कोण \(405°\) को \(360° + 45°\) के रूप में प्लॉट किया जाता है।

यह अनुमान लगाना आसान है कि एक कोण को अलग करने के लिए, उदाहरण के लिए, \ (960 ° \) में, आपको दो मोड़ (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) बनाने होंगे, और एक कोण के लिए \ (2640 ° \) - पूरे सात।

यह याद रखने योग्य है कि:

एक समकोण की कोज्या शून्य होती है। एक अधिक कोण की कोज्या ऋणात्मक होती है।

तिमाहियों में कोसाइन संकेत

कोसाइन अक्ष (अर्थात, एब्सिस्सा अक्ष, चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया) का उपयोग करके, एक संख्यात्मक (त्रिकोणमितीय) सर्कल के साथ कोसाइन के संकेतों को निर्धारित करना आसान है:

जहां अक्ष पर मान \(0\) से \(1\) तक हैं, कोसाइन में एक प्लस चिह्न होगा (I और IV क्वार्टर हरा क्षेत्र हैं),
- जहां अक्ष पर मान \(0\) से \(-1\) तक हैं, कोसाइन का ऋण चिह्न (II और III क्वार्टर - बैंगनी क्षेत्र) होगा।

उदाहरण। चिह्न \(\cos 1\) को परिभाषित करें।
समाधान: आइए त्रिकोणमितीय वृत्त पर \(1\) खोजें। हम इस तथ्य से शुरू करेंगे कि \ (π \u003d 3,14 \)। इसका मतलब है कि एक शून्य ("प्रारंभ" बिंदु) के लगभग तीन गुना करीब है।

यदि हम कोज्या अक्ष पर एक लंब खींचते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि \(\cos⁡1\) धनात्मक है।
उत्तर: एक से अधिक।

अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंध:

समारोह \(y=\cos(x)\)

यदि हम रेडियन में कोणों को \(x\) अक्ष के साथ प्लॉट करते हैं, और कोसाइन मान इन कोणों के अनुरूप \(y\) अक्ष के साथ होते हैं, तो हमें निम्नलिखित ग्राफ मिलता है:

इस ग्राफ को कहा जाता है और इसमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

परिभाषा का डोमेन x का कोई भी मान है: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- मानों की श्रेणी - \(-1\) से \(1\) तक समावेशी: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- सम: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- अवधि के साथ आवधिक \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:
भुज: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), जहां \(n Z\)
y-अक्ष: \((0;1)\)
- चरित्र अंतराल:
फ़ंक्शन अंतराल पर सकारात्मक है: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), जहां \(n Z\)
फ़ंक्शन अंतराल पर ऋणात्मक है: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), जहां \(n Z\)
- वृद्धि और कमी के अंतराल:
अंतराल पर फलन बढ़ता है: \((π+2πn;2π+2πn)\), जहां \(n ϵ Z\)
अंतराल पर फ़ंक्शन घटता है: \((2πn;π+2πn)\), जहां \(n Z\)
- फ़ंक्शन का मैक्सिमा और मिनिमा:
फ़ंक्शन का अधिकतम मान \(y=1\) बिंदुओं पर है \(x=2πn\), जहां \(n Z\)
फ़ंक्शन का न्यूनतम मान \(y=-1\) बिंदुओं पर \(x=π+2πn\) है, जहां \(n Z\)।

किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटंगेंट क्या है, यह आपको समकोण त्रिभुज को समझने में मदद करेगा।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह पक्ष है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह पक्ष \ (AC \) है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं \ (AB \) और \ (BC \) (जो समकोण के निकट हैं), इसके अलावा, यदि हम कोण \ (BC \) के संबंध में पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर \ (एबी \) आसन्न पैर है, और पैर \ (बीसी \) विपरीत है। तो, अब इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट क्या हैं?

कोण की ज्या- यह कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

कोण की कोज्या- यह कर्ण से सटे (करीबी) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर से आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ टीजी\बीटा =\dfrac(बीसी)(एबी) \]

एक कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ सीटीजी \ बीटा = \ डीफ़्रैक (एबी) (बीसी) \]

ये परिभाषाएं आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किस से विभाजित करना है, आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि स्पर्शरेखातथा कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसतथा कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श करें → स्पर्श करें → आसन्न;

Cotangent→स्पर्श करें→स्पर्श करें→आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि एक त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इन पक्षों की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। भरोसा मत करो? फिर तस्वीर को देखकर सुनिश्चित करें:

उदाहरण के लिए, कोण \(\beta \) की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज \(ABC \) से: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), लेकिन हम त्रिभुज \(AHI \) से कोण \(\beta \) की कोज्या की गणना कर सकते हैं: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट के मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज \(ABC \) के लिए, हम पाते हैं \(\sin \ \alpha ,\ \cos \\alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोण के लिए इसकी गणना करें \(\beta \) ।

उत्तर: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने \ (1 \) के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं एक. यह त्रिकोणमिति के अध्ययन में बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केंद्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्तीय समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर होती है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित होता है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह है त्रिज्या \(AB \))।

सर्कल पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय \(x \) और अक्ष के साथ समन्वय \(y \) । ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें इस विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। त्रिभुज \(ACG \) पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि \(CG \) \(x \) अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज \(ACG \) से \(\cos \ \alpha \) क्या है? सही बात है \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). इसके अलावा, हम जानते हैं कि \(AC \) इकाई वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए \(AC=1 \) । इस मान को हमारे कोसाइन सूत्र में बदलें। यहाँ क्या होता है:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

और त्रिभुज \(ACG \) से \(\sin \ \alpha \) क्या है? ठीक है, बिल्कुल, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! इस सूत्र में त्रिज्या \ (AC \) का मान रखें और प्राप्त करें:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि बिंदु \(C \) के निर्देशांक क्या हैं, जो वृत्त से संबंधित है? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? लेकिन क्या होगा अगर आपको पता चले कि \(\cos \ \alpha \) और \(\sin \alpha \) सिर्फ संख्याएं हैं? \(\cos \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? ठीक है, निश्चित रूप से, निर्देशांक \(x \) ! और \(\sin \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? यह सही है, \(y \) समन्वय! तो बिंदु \(सी(एक्स;वाई)=सी(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

फिर \(tg \alpha \) और \(ctg \alpha \) क्या हैं? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), एक \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

इस उदाहरण में क्या बदल गया है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : एक कोण (कोण के निकट \(\beta \) )। एक कोण के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का मान क्या है \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (ए)_(1))((सी)_(1)))=\dfrac(((सी)_(1))जी)(1)=((सी)_(1))जी=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((सी)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((सी) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक \ (y \) से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक \ (x \) ; और संगत अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाते हैं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन केवल यह नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाते समय, हम प्राप्त करते हैं सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाते समय - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि वृत्त के चारों ओर त्रिज्या सदिश की संपूर्ण क्रांति \(360()^\circ \) या \(2\pi \) है। क्या त्रिज्या वेक्टर को \(390()^\circ \) या \(-1140()^\circ \) द्वारा घुमाना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! पहले मामले में, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), इसलिए त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण रोटेशन करेगा और \(30()^\circ \) या \(\dfrac(\pi )(6) \) पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), अर्थात्, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति \(-60()^\circ \) या \(-\dfrac(\pi )(3) \) पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोण जो \(360()^\circ \cdot m \) या \(2\pi \cdot m \) से भिन्न होते हैं (जहां \(m \) कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप।

नीचे दिया गया चित्र कोण दिखाता है \(\beta =-60()^\circ \) । एक ही छवि कोने से मेल खाती है \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)आदि। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र द्वारा लिखा जा सकता है \(\beta +360()^\circ \cdot m\)या \(\beta +2\pi \cdot m \) (जहां \(m \) कोई पूर्णांक है)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करके, यह उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

आपकी सहायता के लिए यहां एक इकाई मंडल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(सरणी) \)

यहां से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने में \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है \(\left(0;1 \right) \) , इसलिए:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- मौजूद नहीं;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोनों में \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )निर्देशांक के साथ अंक के अनुरूप \(\बाएं(-1;0 \दाएं),\पाठ( )\बाएं(0;-1 \दाएं),\पाठ( )\बाएं(1;0 \दाएं),\पाठ( )\बाएं(0 ;1 \दाएं) \), क्रमश। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले इसे स्वयं आजमाएं, फिर उत्तरों की जांच करें।

उत्तर:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

\(\ बायां। dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(याद रखने या आउटपुट करने में सक्षम होने की आवश्यकता है !! \) !}

और यहाँ कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान हैं और \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)नीचे दी गई तालिका में दिया गया है, आपको याद रखना चाहिए:

डरने की जरूरत नहीं है, अब हम संबंधित मूल्यों के काफी सरल संस्मरण के उदाहरणों में से एक दिखाएंगे:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, तीनों कोण मापों के लिए साइन मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), साथ ही \(30()^\circ \) में कोण के स्पर्शरेखा का मान। इन \(4\) मानों को जानकर, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात्:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(सरणी) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), यह जानकर, के लिए मूल्यों को पुनर्स्थापित करना संभव है \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). अंश "\(1 \) " से मेल खाएगा \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , और हर "\(\sqrt(\text(3)) \) " से मेल खाएगा \ (\पाठ (tg)\ 60()^\circ \ \) । चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार कोटैंजेंट मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ योजना को याद करते हैं, तो यह तालिका से केवल \(4 \) मानों को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानकर वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! आइए एक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें। यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक वृत्त है:

हमें वह बिंदु दिया गया है \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या \(1,5 \) है। बिंदु \(O \) को \(\delta \) डिग्री से घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु \(P \) के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु \ (P \) का निर्देशांक \ (x \) खंड \ (TP=UQ=UK+KQ \) की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई \ (यूके \) सर्कल के केंद्र के निर्देशांक \ (x \) से मेल खाती है, यानी यह \ (3 \) के बराबर है। खंड की लंबाई \(KQ \) कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

तब हमारे पास वह बिंदु \(P \) के लिए निर्देशांक है \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

इसी तर्क से, हम बिंदु \(P \) के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस तरह,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

तो, सामान्य शब्दों में, बिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \ डेल्टा \ अंत (सरणी) \), कहाँ पे

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

\(r\) - वृत्त त्रिज्या,

\(\delta \) - सदिश त्रिज्या का घूर्णन कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम जिस यूनिट सर्कल पर विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

कोसाइन एक प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय फलन है, जो त्रिकोणमिति के मुख्य कार्यों में से एक है। एक समकोण त्रिभुज में एक कोण का कोज्या त्रिभुज के आसन्न पैर का त्रिभुज के कर्ण से अनुपात होता है। अक्सर, कोसाइन की परिभाषा बिल्कुल आयताकार प्रकार के त्रिभुज से जुड़ी होती है। लेकिन ऐसा भी होता है कि जिस कोण के लिए एक आयताकार प्रकार के त्रिभुज में कोसाइन की गणना करना आवश्यक है, वह इस आयताकार प्रकार के त्रिभुज में स्थित नहीं है। फिर क्या करें? त्रिभुज के कोण की कोज्या कैसे ज्ञात करें?

यदि आप समकोण त्रिभुज में किसी कोण की कोज्या की गणना करना चाहते हैं, तो सब कुछ बहुत सरल है। आपको बस कोसाइन की परिभाषा याद रखने की जरूरत है, जिसमें इस समस्या का समाधान निहित है। आपको बस आसन्न पैर के साथ-साथ त्रिभुज के कर्ण के बीच समान अनुपात खोजने की आवश्यकता है। वास्तव में, यहाँ किसी कोण की कोज्या को व्यक्त करना कठिन नहीं है। सूत्र इस तरह दिखता है: - cosα = a/c, यहाँ "a" पैर की लंबाई है, और पक्ष "c", क्रमशः, कर्ण की लंबाई है। उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या ज्ञात की जा सकती है।

यदि आप रुचि रखते हैं कि एक मनमाना त्रिभुज में कोण का कोज्या किसके बराबर है, तो कोसाइन प्रमेय बचाव के लिए आता है, जिसका उपयोग ऐसे मामलों में किया जाना चाहिए। कोसाइन प्रमेय कहता है कि एक त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग एक ही त्रिभुज की अन्य भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर एक प्राथमिकता है, लेकिन इन भुजाओं के गुणनफल के दोगुने कोण के कोसाइन के बीच स्थित है। उन्हें।

1. यदि आपको त्रिभुज में एक न्यून कोण की कोज्या खोजने की आवश्यकता है, तो आपको निम्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab)।
2. यदि एक त्रिभुज में एक अधिक कोण के कोसाइन को खोजना आवश्यक है, तो आपको निम्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab)। सूत्र में पदनाम - ए और बी - पक्षों की लंबाई है जो वांछित कोण से सटे हुए हैं, सी उस पक्ष की लंबाई है जो वांछित कोण के विपरीत है।

इसके अलावा, एक कोण के कोज्या की गणना साइन प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है। यह कहता है कि त्रिभुज की सभी भुजाएँ विपरीत कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं। साइन प्रमेय का उपयोग करके, आप एक त्रिभुज के शेष तत्वों की गणना कर सकते हैं, केवल दो पक्षों और एक कोण के विपरीत जो एक तरफ, या दो कोण और एक तरफ है। एक उदाहरण पर विचार करें। समस्या की स्थिति: ए = 1; ख = 2; सी = 3। कोण जो पक्ष "ए" के विपरीत है, हम निरूपित करते हैं - α, फिर, सूत्रों के अनुसार, हमारे पास है: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. उत्तर 1।

यदि कोण के कोज्या की गणना त्रिभुज में नहीं, बल्कि किसी अन्य मनमानी ज्यामितीय आकृति में की जानी चाहिए, तो सब कुछ थोड़ा और जटिल हो जाता है। कोण का मान पहले रेडियन या डिग्री में निर्धारित किया जाना चाहिए, और उसके बाद ही इस मान से कोसाइन की गणना करें। संख्यात्मक मान द्वारा कोसाइन ब्रैडिस टेबल, इंजीनियरिंग कैलकुलेटर, या विशेष गणितीय अनुप्रयोगों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

विशेष गणितीय अनुप्रयोगों में दिए गए आंकड़े में कोणों के कोसाइन की स्वचालित गणना जैसे कार्य हो सकते हैं। ऐसे अनुप्रयोगों की खूबी यह है कि वे सही उत्तर देते हैं, और उपयोगकर्ता कभी-कभी काफी जटिल समस्याओं को हल करने में अपना समय नहीं लगाते हैं। दूसरी ओर, समस्याओं को हल करने के लिए विशेष रूप से अनुप्रयोगों के निरंतर उपयोग के साथ, त्रिकोण में कोणों के कोसाइन खोजने के लिए गणितीय समस्याओं को हल करने के साथ काम करने के सभी कौशल, साथ ही साथ अन्य मनमानी आंकड़े खो जाते हैं।

गणित की शाखाओं में से एक जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह है त्रिकोणमिति। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच की आवश्यकता है, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाना, और गणना में संख्या pi का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान से परिचित होना कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न ऑपरेशन करना संभव हो जाता है जो किसी को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक तरफ का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इसे इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि कला के निर्माण में सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोग विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात करते थे। फिर विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे गणित के इस खंड के दैनिक जीवन में उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया।

स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन आज समकोण त्रिभुज से शुरू होता है, जिसके बाद छात्रों द्वारा अर्जित ज्ञान का उपयोग भौतिकी और अमूर्त त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिसके साथ हाई स्कूल में काम शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां अन्य नियम लागू होते हैं, और त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह और किसी भी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सतह का अंकन "चाप के आकार का" होगा। त्रि-आयामी अंतरिक्ष।

ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं से इस प्रकार संलग्न करें कि यह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार प्राप्त कर लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, सौदों।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटते हैं ताकि आगे यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत पक्ष है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में लगभग साढ़े चार हजार साल पहले पता था।

शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की एक ठोस समझ के साथ, हम एक कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।

कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है।

याद रखें कि न तो ज्या और न ही कोज्या एक से बड़ा हो सकता है! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैर कितना लंबा है, यह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।

अंत में, किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात है। वही परिणाम कोज्या द्वारा ज्या का विभाजन देगा। देखो: सूत्र के अनुसार, हम पक्ष की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात मिलता है।

कोटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटी भुजा का विपरीत दिशा में अनुपात है। हम इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर समान परिणाम प्राप्त करते हैं।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में, कोई सूत्र के बिना नहीं कर सकता - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की जरूरत है, वह कहता है कि एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यह समय बचाता है यदि आप कोण का मान जानना चाहते हैं, भुजा का नहीं।

कई छात्र दूसरे सूत्र को याद नहीं कर सकते हैं, जो स्कूल की समस्याओं को हल करते समय भी बहुत लोकप्रिय है: एक का योग और एक कोण के स्पर्शरेखा का वर्ग कोण के कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: यह जानकर कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट क्या हैं, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र, आप किसी भी समय स्वतंत्र रूप से कागज़ की शीट पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

द्विकोण सूत्र और तर्कों का योग

दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - एक अभ्यास के रूप में, अल्फा के कोण को बीटा के कोण के बराबर लेते हुए, उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें।

अंत में, ध्यान दें कि डबल कोण सूत्रों को साइन, कोसाइन, टेंगेंट अल्फा की डिग्री को कम करने के लिए परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रमेयों

मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्र, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।

साइन प्रमेय में कहा गया है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने पर हमें वही संख्या प्राप्त होती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु हों।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्य करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके आसन्न कोण के डबल कोसाइन से गुणा करके घटाया जाता है - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है।

असावधानी के कारण गलतियाँ

साइन, कोसाइन और टेंगेंट क्या हैं, यह जानते हुए भी, अनुपस्थिति या सरल गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक सामान्य अंशों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - जब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए, आप उत्तर को एक साधारण अंश के रूप में छोड़ सकते हैं। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिसे लेखक के विचार के अनुसार कम किया जाना चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय कार्यों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे हर कदम पर कार्यों में होते हैं। वही "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर लागू होता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।

तीसरा, साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर होती है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन पत्र

कई छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये अवधारणाएं हैं जिनके लिए आप दूर के सितारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, सतह पर भार की गणना करना या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये सिर्फ सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग हर जगह किया जाता है।

आखिरकार

तो आप ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा हैं। आप उनका उपयोग गणना में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य से उबलता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन पक्षों की लंबाई और तीन कोणों का परिमाण। कार्यों में पूरा अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।

पैरों की ज्ञात लंबाई या कर्ण के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे खोजें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन पदों का अर्थ एक अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक भिन्न है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की एक प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहां आपको साधारण स्कूली गणित से मदद मिलेगी।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की अवधारणाएं त्रिकोणमिति की मुख्य श्रेणियां हैं - गणित की एक शाखा, और कोण की परिभाषा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इस गणितीय विज्ञान के कब्जे के लिए सूत्रों और प्रमेयों को याद रखने और समझने के साथ-साथ विकसित स्थानिक सोच की आवश्यकता होती है। इसीलिए त्रिकोणमितीय गणनाएं अक्सर स्कूली बच्चों और छात्रों के लिए मुश्किलें खड़ी करती हैं। उन्हें दूर करने के लिए, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों और सूत्रों से अधिक परिचित होना चाहिए।

त्रिकोणमिति में अवधारणाएं

त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाओं को समझने के लिए, आपको सबसे पहले यह तय करना होगा कि एक वृत्त में एक समकोण त्रिभुज और कोण क्या हैं, और सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय गणनाएँ उनके साथ क्यों जुड़ी हुई हैं। एक त्रिभुज जिसमें एक कोण 90 डिग्री का होता है, एक समकोण त्रिभुज होता है। ऐतिहासिक रूप से, यह आंकड़ा अक्सर वास्तुकला, नेविगेशन, कला, खगोल विज्ञान में लोगों द्वारा उपयोग किया जाता था। तदनुसार, इस आंकड़े के गुणों का अध्ययन और विश्लेषण करते हुए, लोग इसके मापदंडों के संबंधित अनुपात की गणना करने के लिए आए।

समकोण त्रिभुज से जुड़ी मुख्य श्रेणियां कर्ण और पैर हैं। कर्ण एक त्रिभुज की भुजा है जो समकोण के विपरीत है। पैर, क्रमशः, अन्य दो पक्ष हैं। किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति त्रिकोणमिति का एक खंड है जिसका अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन खगोल विज्ञान और भूगणित जैसे अनुप्रयुक्त विज्ञान में वैज्ञानिक इसका उपयोग करते हैं। गोलाकार त्रिकोणमिति में त्रिभुज की एक विशेषता यह है कि इसमें हमेशा 180 डिग्री से अधिक कोणों का योग होता है।

त्रिभुज के कोण

एक समकोण त्रिभुज में, एक कोण की ज्या, वांछित कोण के विपरीत पैर और त्रिभुज के कर्ण का अनुपात होता है। तदनुसार, कोज्या आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। इन दोनों मानों का मान हमेशा एक से कम होता है, क्योंकि कर्ण हमेशा पैर से लंबा होता है।

कोण की स्पर्शरेखा एक मान है जो विपरीत पैर के वांछित कोण के आसन्न पैर के अनुपात के बराबर है, या साइन से कोसाइन है। कोटेंजेंट, बदले में, वांछित कोण के आसन्न पैर का विपरीत कैक्टि का अनुपात है। किसी कोण की कोटैंजेंट को स्पर्शरेखा के मान से इकाई को विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

यूनिट सर्कल

ज्यामिति में एक इकाई वृत्त एक वृत्त होता है जिसकी त्रिज्या एक के बराबर होती है। इस तरह के एक सर्कल का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया जाता है, जिसमें सर्कल का केंद्र मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, और त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति एक्स अक्ष (एब्सिसा अक्ष) की सकारात्मक दिशा से निर्धारित होती है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांक होते हैं: XX और YY, अर्थात् भुज और कोटि के निर्देशांक। XX तल में वृत्त पर किसी भी बिंदु का चयन करते हुए, और उस से भुज अक्ष पर लंब को छोड़ते हुए, हमें एक त्रिज्या द्वारा चयनित बिंदु पर एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता है (इसे अक्षर C द्वारा निरूपित करें), एक लंबवत खींचा गया एक्स अक्ष (प्रतिच्छेदन बिंदु को जी अक्षर द्वारा दर्शाया गया है), और एक खंड एब्सिस्सा अक्ष मूल के बीच (बिंदु को अक्षर ए द्वारा दर्शाया गया है) और प्रतिच्छेदन बिंदु जी। परिणामी त्रिभुज एसीजी एक समकोण त्रिभुज है जिसमें खुदा हुआ है एक वृत्त, जहाँ AG कर्ण है, और AC और GC पैर हैं। वृत्त AC की त्रिज्या और भुज अक्ष के खंड के बीच के कोण को पदनाम AG के साथ, हम α (अल्फा) के रूप में परिभाषित करते हैं। अतः, cos α = AG/AC। यह देखते हुए कि एसी यूनिट सर्कल की त्रिज्या है, और यह एक के बराबर है, यह पता चला है कि cos α=AG. इसी तरह, पाप α=CG.

इसके अलावा, इन आंकड़ों को जानने के बाद, वृत्त पर बिंदु C के निर्देशांक को निर्धारित करना संभव है, क्योंकि cos α=AG, और sin α=CG, जिसका अर्थ है कि बिंदु C में दिए गए निर्देशांक (cos α; sin α) हैं। यह जानते हुए कि स्पर्शरेखा साइन और कोसाइन के अनुपात के बराबर है, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि tg α \u003d y / x, और ctg α \u003d x / y। एक नकारात्मक समन्वय प्रणाली में कोणों को ध्यान में रखते हुए, कोई गणना कर सकता है कि कुछ कोणों के साइन और कोसाइन मान नकारात्मक हो सकते हैं।

गणना और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों के मान

यूनिट सर्कल के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों के सार पर विचार करने के बाद, हम कुछ कोणों के लिए इन कार्यों के मूल्यों को प्राप्त कर सकते हैं। मान नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

सबसे सरल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत अज्ञात मान होता है, त्रिकोणमितीय कहलाते हैं। पाप x = α, k मान के साथ कोई भी पूर्णांक है:

1. पाप x = 0, x = k।
2. 2. पाप x \u003d 1, x \u003d / 2 + 2πk।
3. पाप x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk।
4. पाप एक्स = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं।
5. पाप एक्स = ए, |ए| 1, एक्स = (-1) ^ के * आर्क्सिन α + πk।

cos x = a के मान वाली सर्वसमिकाएँ, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. cos x = 0, x = /2 + k।
2. cos x = 1, x = 2πk।
3. कॉस x \u003d -1, x \u003d + 2πk।
4. कॉस एक्स = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं।
5. कॉस एक्स = ए, |ए| 1, = ±arccos α + 2πk।

tg x = a के मान वाली सर्वसमिकाएँ, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. टीजी एक्स = 0, एक्स = π/2 + πk।
2. टीजी एक्स \u003d ए, एक्स \u003d आर्कटग α + πk।

ctg x = a के मान वाली सर्वसमिकाएँ, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. सीटीजी एक्स = 0, एक्स = π/2 + πk।
2. सीटीजी एक्स \u003d ए, एक्स \u003d आर्कसीटीजी α + πk।

कास्ट सूत्र

स्थिर सूत्रों की यह श्रेणी उन तरीकों को दर्शाती है जिनके द्वारा आप फॉर्म के त्रिकोणमितीय कार्यों से तर्क के कार्यों तक जा सकते हैं, यानी, किसी भी मान के कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट को कोण के संबंधित संकेतकों में परिवर्तित करें। गणना की अधिक सुविधा के लिए 0 से 90 डिग्री का अंतराल।

कोण की ज्या के फलन घटाने के सूत्र इस प्रकार हैं:

• पाप (900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• पाप (1800 - α) = पाप α;
• पाप(1800 + α) = -सिन α;
• पाप (2700 - α) = -cos α;
• पाप (2700 + α) = -cos α;
• पाप (3600 - α) = -सिन α;
• पाप (3600 + α) = पाप α।

कोण की कोज्या के लिए:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = पाप α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α।

उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग दो नियमों के अधीन संभव है। सबसे पहले, यदि कोण को मान (π/2 ± a) या (3π/2 ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है:

• पाप से कोस तक;
• कॉस से पाप तक;
• टीजी से सीटीजी तक;
• सीटीजी से टीजी तक।

यदि कोण को (π ± a) या (2π ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फलन का मान अपरिवर्तित रहता है।

दूसरे, घटे हुए फ़ंक्शन का संकेत नहीं बदलता है: यदि यह शुरू में सकारात्मक था, तो ऐसा ही रहता है। नकारात्मक कार्यों के लिए भी यही सच है।

जोड़ सूत्र

ये सूत्र अपने त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में दो घूर्णन कोणों के योग और अंतर के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मूल्यों को व्यक्त करते हैं। कोणों को आमतौर पर α और β के रूप में दर्शाया जाता है।

सूत्र इस तरह दिखते हैं:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. तन(α ± β) = (तन α ± तन β) / (1 ∓ तन α * तन β)।
4. सीटीजी (α ± β) = (-1 ± सीटीजी α * सीटीजी β) / (सीटीजी α ± सीटीजी β)।

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं।

डबल और ट्रिपल एंगल फॉर्मूला

एक डबल और ट्रिपल कोण के त्रिकोणमितीय सूत्र ऐसे सूत्र हैं जो कोण α के त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए क्रमशः कोण 2α और 3α के कार्यों से संबंधित हैं। अतिरिक्त सूत्रों से व्युत्पन्न:

1. sin2α = 2sinα*cosα।
2. cos2α = 1 - 2sin^2α।
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α)।
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α।
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα।
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)।

योग से उत्पाद में संक्रमण

यह मानते हुए कि 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), इस सूत्र को सरल करते हुए, हम sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 सर्वसमिका प्राप्त करते हैं। इसी तरह, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 α) = √2cos(π/4 ± α)।

उत्पाद से योग में संक्रमण

योग के उत्पाद में संक्रमण के लिए ये सूत्र पहचान से अनुसरण करते हैं:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*।

कमी सूत्र

इन सर्वसमिकाओं में, ज्या और कोज्या की वर्ग और घन शक्तियों को एक बहु कोण की पहली घात के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

• पाप^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• पाप^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8।

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों को व्यक्त करते हैं।

• पाप x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), जबकि x \u003d + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), जहां x = + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), जहाँ x \u003d π + 2πn;
• सीटीजी एक्स \u003d (1 - टीजी ^ 2 एक्स / 2) / (2 टीजीएक्स / 2), जबकि एक्स \u003d π + 2πn।

विशेष स्थितियां

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले नीचे दिए गए हैं (k कोई पूर्णांक है)।

साइन के लिए निजी:

कोसाइन भागफल:

स्पर्शरेखा के लिए निजी:

कोटैंजेंट भागफल:

प्रमेयों

ज्या प्रमेय

प्रमेय के दो संस्करण हैं - सरल और विस्तारित। सरल ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin . इस स्थिति में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α, β, क्रमशः विपरीत कोण हैं।

एक मनमाना त्रिभुज के लिए विस्तारित ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin = 2R। इस सर्वसमिका में, R उस वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है जिसमें दिया गया त्रिभुज अंकित है।

कोसाइन प्रमेय

पहचान इस तरह प्रदर्शित होती है: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α। सूत्र में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α कोण विपरीत भुजा a है।

स्पर्शरेखा प्रमेय

सूत्र दो कोणों की स्पर्श रेखाओं और उनके सम्मुख भुजाओं की लंबाई के बीच संबंध को व्यक्त करता है। पक्षों को ए, बी, सी लेबल किया गया है, और संबंधित विपरीत कोण α, β, हैं। स्पर्शरेखा प्रमेय का सूत्र: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2)।

कोटैंजेंट प्रमेय

एक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या को उसकी भुजाओं की लंबाई से संबद्ध करता है। यदि a, b, c एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और A, B, C, क्रमशः उनके सम्मुख कोण हैं, r उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है, और p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है, निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ हैं पकड़:

• सीटीजी ए/2 = (पी-ए)/आर;
• सीटीजी बी/2 = (पी-बी)/आर;
• सीटीजी सी/2 = (पीसी)/आर।

अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति केवल गणितीय सूत्रों से जुड़ा एक सैद्धांतिक विज्ञान नहीं है। इसके गुण, प्रमेय और नियम मानव गतिविधि की विभिन्न शाखाओं द्वारा व्यवहार में उपयोग किए जाते हैं - खगोल विज्ञान, वायु और समुद्री नेविगेशन, संगीत सिद्धांत, भूगणित, रसायन विज्ञान, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, वास्तुकला, अर्थशास्त्र, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, माप कार्य, कंप्यूटर ग्राफिक्स, कार्टोग्राफी, समुद्र विज्ञान, और कई अन्य।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाएं हैं, जिसके साथ आप गणितीय रूप से त्रिकोण में कोणों और पक्षों की लंबाई के बीच संबंध व्यक्त कर सकते हैं, और वांछित मात्राओं को पहचान, प्रमेय और नियमों के माध्यम से ढूंढ सकते हैं।