अधिक त्रिभुज: भुजाओं की लंबाई, कोणों का योग। परिचालित कुंठित त्रिभुज

शायद ज्यामिति में सबसे बुनियादी, सरल और दिलचस्प आकृति त्रिभुज है। हाई स्कूल पाठ्यक्रम में इसके मूल गुणों का अध्ययन किया जाता है, लेकिन कभी-कभी इस विषय पर ज्ञान अधूरा होता है। त्रिभुजों के प्रकार प्रारंभ में उनके गुण निर्धारित करते हैं। लेकिन यह दृश्य मिश्रित रहता है। इसलिए, अब इस विषय पर थोड़ा और विस्तार से नजर डालते हैं।

त्रिभुजों के प्रकार कोणों की डिग्री माप पर निर्भर करते हैं। ये आकृतियाँ न्यून, आयताकार और कुंठित हैं। यदि सभी कोण 90 डिग्री से अधिक नहीं हैं, तो आकृति को सुरक्षित रूप से न्यून कोण कहा जा सकता है। यदि त्रिभुज का कम से कम एक कोण 90 डिग्री है, तो आप एक आयताकार उप-प्रजाति से निपट रहे हैं। तदनुसार, अन्य सभी मामलों में विचाराधीन को अधिककोण कहा जाता है।

न्यूनकोण उपप्रकारों के लिए कई समस्याएँ हैं। एक विशिष्ट विशेषता समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का आंतरिक स्थान है। अन्य मामलों में, यह शर्त पूरी नहीं हो सकती है। त्रिभुज आकृति का प्रकार निर्धारित करना कठिन नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक कोण की कोज्या जानना पर्याप्त है। यदि कोई मान शून्य से कम है, तो त्रिभुज किसी भी स्थिति में कुंठित है। शून्य सूचक के मामले में, आकृति का एक समकोण होता है। सभी सकारात्मक मान आपको यह बताने की गारंटी देते हैं कि आप कोणीय दृश्य देख रहे हैं।

कोई भी नियमित त्रिभुज का उल्लेख किए बिना नहीं रह सकता। यह सबसे आदर्श दृश्य है, जहां माध्यिका, समद्विभाजक और ऊंचाई के सभी प्रतिच्छेदन बिंदु मेल खाते हैं। अंकित एवं परिचालित वृत्त का केन्द्र भी एक ही स्थान पर स्थित है। समस्याओं को हल करने के लिए, आपको केवल एक पक्ष जानने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रारंभ में आपको कोण दिए गए हैं, और अन्य दो पक्ष ज्ञात हैं। अर्थात्, आंकड़ा केवल एक पैरामीटर द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। इनकी मुख्य विशेषता आधार पर दो भुजाओं और कोणों की समानता है।

कभी-कभी यह प्रश्न उठता है कि क्या दी गई भुजाओं वाला कोई त्रिभुज अस्तित्व में है। आप वास्तव में यह पूछ रहे हैं कि क्या दिया गया विवरण मुख्य प्रजाति पर फिट बैठता है। उदाहरण के लिए, यदि दो पक्षों का योग तीसरे से कम है, तो वास्तव में ऐसा कोई आंकड़ा मौजूद ही नहीं है। यदि कार्य आपसे 3,5,9 भुजाओं वाले त्रिभुज के कोणों की कोज्या ज्ञात करने के लिए कहता है, तो स्पष्ट को जटिल गणितीय तकनीकों के बिना समझाया जा सकता है। मान लीजिए आप बिंदु A से बिंदु B तक जाना चाहते हैं। एक सीधी रेखा में दूरी 9 किलोमीटर है। हालाँकि, आपको याद आया कि आपको स्टोर में बिंदु C पर जाना होगा। A से C की दूरी 3 किलोमीटर है, और C से B की दूरी 5 किलोमीटर है। इस प्रकार, यह पता चलता है कि स्टोर से गुजरते समय, आप एक किलोमीटर कम चलेंगे। लेकिन चूँकि बिंदु C सीधी AB पर स्थित नहीं है, इसलिए आपको अतिरिक्त दूरी तय करनी होगी। यहां एक विरोधाभास है. निःसंदेह, यह एक सशर्त स्पष्टीकरण है। गणित यह सिद्ध करने के एक से अधिक तरीके जानता है कि सभी प्रकार के त्रिभुज मूल पहचान का पालन करते हैं। इसमें कहा गया है कि दो भुजाओं का योग तीसरी भुजाओं की लंबाई से अधिक है।

किसी भी प्रकार में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1) सभी कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

2) हमेशा एक ऑर्थोसेंटर होता है - तीनों ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु।

3) आंतरिक कोणों के शीर्षों से खींची गई तीनों माध्यिकाएँ एक ही स्थान पर प्रतिच्छेद करती हैं।

4) किसी भी त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है। आप एक वृत्त भी अंकित कर सकते हैं ताकि इसमें संपर्क के केवल तीन बिंदु हों और यह बाहरी किनारों से आगे न बढ़े।

अब आप विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के मूल गुणों से परिचित हो गए हैं। भविष्य में, किसी समस्या को हल करते समय यह समझना महत्वपूर्ण है कि आप किससे निपट रहे हैं।

आज हम जा रहे हैं ज्यामिति के देश में, जहां हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।

ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करें और उनमें से "अतिरिक्त" को ढूंढें (चित्र 1)।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका मतलब है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं।

बिन्दु कहलाते हैं त्रिभुज के शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज होते हैं तीव्र, आयताकार और कुंठित.

एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90° से कम हों (चित्र 4)।

चावल। 4. न्यूनकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को आयताकार कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण अधिक कोण हो, अर्थात 90° से अधिक हो (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

समान भुजाओं की संख्या के आधार पर त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .

चावल। 8. न्यून एवं अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा न्यूनकोण.

स्केलीन एक त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, आइए कोणों के आकार के अनुसार वितरित करें।

न्यूनकोण त्रिभुज: क्रमांक 1, क्रमांक 3.

समकोण त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 6।

अधिक त्रिभुज: क्रमांक 4, क्रमांक 5।

हम समान त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में वितरित करेंगे।

स्केलीन त्रिकोण: संख्या 4, संख्या 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 3, क्रमांक 5।

समबाहु त्रिभुज: क्रमांक 1.

चित्रों को देखो।

इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (चित्र 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप ऐसा सोच सकते हैं.

तार के पहले टुकड़े को तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। तस्वीर में उन्हें तीसरे नंबर पर दिखाया गया है.

तार के दूसरे टुकड़े को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया गया है, ताकि इसका उपयोग स्केलीन त्रिकोण बनाने के लिए किया जा सके। इसे चित्र में सबसे पहले दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में विभाजित किया गया है, जहां दो भागों की लंबाई समान है, जिसका अर्थ है कि इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है। तस्वीर में उन्हें दूसरे नंबर पर दिखाया गया है.

आज कक्षा में हमने विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में सीखा।

ग्रन्थसूची

1. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 1. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
2. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 2. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
3. एम.आई. मोरो. गणित पाठ: शिक्षकों के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें। तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
4. विनियामक दस्तावेज़. सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
5. "रूस का स्कूल": प्राथमिक विद्यालय के लिए कार्यक्रम। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
6. एस.आई. वोल्कोवा। गणित: परीक्षण कार्य. तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
7. वी.एन. रुडनिट्स्काया। परीक्षण। - एम.: "परीक्षा", 2012।

1. Nsportal.ru ()।
2. Prosv.ru ()।
3. Do.gendocs.ru ()।

गृहकार्य

1. वाक्यांशों को पूरा करें.

a) त्रिभुज एक आकृति है जिसमें ... जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, और ... जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

ख) अंक कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

ग) कोण के आकार के अनुसार, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

घ) समान भुजाओं की संख्या के आधार पर, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

2. ड्रा

ए) समकोण त्रिभुज;

बी) तीव्र त्रिकोण;

ग) कुंठित त्रिभुज;

घ) समबाहु त्रिभुज;

ई) स्केलीन त्रिकोण;

ई) समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने दोस्तों के लिए पाठ के विषय पर एक असाइनमेंट बनाएं।

आज हम जा रहे हैं ज्यामिति के देश में, जहां हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।

ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करें और उनमें से "अतिरिक्त" को ढूंढें (चित्र 1)।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका मतलब है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं।

बिन्दु कहलाते हैं त्रिभुज के शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज होते हैं तीव्र, आयताकार और कुंठित.

एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90° से कम हों (चित्र 4)।

चावल। 4. न्यूनकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को आयताकार कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण अधिक कोण हो, अर्थात 90° से अधिक हो (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

समान भुजाओं की संख्या के आधार पर त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .

चावल। 8. न्यून एवं अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा न्यूनकोण.

स्केलीन एक त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, आइए कोणों के आकार के अनुसार वितरित करें।

न्यूनकोण त्रिभुज: क्रमांक 1, क्रमांक 3.

समकोण त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 6।

अधिक त्रिभुज: क्रमांक 4, क्रमांक 5।

हम समान त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में वितरित करेंगे।

स्केलीन त्रिकोण: संख्या 4, संख्या 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 3, क्रमांक 5।

समबाहु त्रिभुज: क्रमांक 1.

चित्रों को देखो।

इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (चित्र 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप ऐसा सोच सकते हैं.

तार के पहले टुकड़े को तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। तस्वीर में उन्हें तीसरे नंबर पर दिखाया गया है.

तार के दूसरे टुकड़े को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया गया है, ताकि इसका उपयोग स्केलीन त्रिकोण बनाने के लिए किया जा सके। इसे चित्र में सबसे पहले दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में विभाजित किया गया है, जहां दो भागों की लंबाई समान है, जिसका अर्थ है कि इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है। तस्वीर में उन्हें दूसरे नंबर पर दिखाया गया है.

आज कक्षा में हमने विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में सीखा।

ग्रन्थसूची

1. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 1. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
2. एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 2. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
3. एम.आई. मोरो. गणित पाठ: शिक्षकों के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें। तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
4. विनियामक दस्तावेज़. सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
5. "रूस का स्कूल": प्राथमिक विद्यालय के लिए कार्यक्रम। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
6. एस.आई. वोल्कोवा। गणित: परीक्षण कार्य. तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
7. वी.एन. रुडनिट्स्काया। परीक्षण। - एम.: "परीक्षा", 2012।

1. Nsportal.ru ()।
2. Prosv.ru ()।
3. Do.gendocs.ru ()।

गृहकार्य

1. वाक्यांशों को पूरा करें.

a) त्रिभुज एक आकृति है जिसमें ... जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, और ... जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

ख) अंक कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

ग) कोण के आकार के अनुसार, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

घ) समान भुजाओं की संख्या के आधार पर, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

2. ड्रा

ए) समकोण त्रिभुज;

बी) तीव्र त्रिकोण;

ग) कुंठित त्रिभुज;

घ) समबाहु त्रिभुज;

ई) स्केलीन त्रिकोण;

ई) समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने दोस्तों के लिए पाठ के विषय पर एक असाइनमेंट बनाएं।

स्कूल में पढ़ा जाने वाला सबसे सरल बहुभुज एक त्रिभुज है। यह छात्रों के लिए अधिक समझने योग्य है और कम कठिनाइयों का सामना करता है। इस तथ्य के बावजूद कि त्रिभुज विभिन्न प्रकार के होते हैं, जिनमें विशेष गुण होते हैं।

किस आकृति को त्रिभुज कहते हैं?

तीन बिंदुओं और खंडों से निर्मित। पहले वाले को शीर्ष कहा जाता है, दूसरे को भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, सभी तीन खंडों को जोड़ा जाना चाहिए ताकि उनके बीच कोण बन सकें। इसलिए "त्रिकोण" आकृति का नाम।

हर कोने में नामों में अंतर

चूँकि वे न्यून, अधिक और सीधे हो सकते हैं, इसलिए त्रिभुजों के प्रकार इन नामों से निर्धारित होते हैं। तदनुसार, ऐसे आंकड़ों के तीन समूह हैं।

• पहला। यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण हों तो वह न्यूनकोण कहलाएगा। सब कुछ तार्किक है.

• दूसरा। इनमें से एक कोण अधिक कोण है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज अधिक कोण है। यह इससे अधिक सरल नहीं हो सकता.

• तीसरा। 90 डिग्री के बराबर एक कोण होता है, जिसे समकोण कहते हैं। त्रिभुज आयताकार हो जाता है.

किनारों पर नामों में अंतर

भुजाओं की विशेषताओं के आधार पर, निम्न प्रकार के त्रिभुजों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

सामान्य मामला स्केलीन है, जिसमें सभी भुजाएँ मनमानी लंबाई की होती हैं;

समद्विबाहु, जिसकी दो भुजाओं का संख्यात्मक मान समान हो;

समबाहु, इसकी सभी भुजाओं की लंबाई समान है।

यदि समस्या किसी विशिष्ट प्रकार के त्रिभुज को निर्दिष्ट नहीं करती है, तो आपको एक मनमाना त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है। जिसके सभी कोने नुकीले हैं और किनारों की लंबाई अलग-अलग है।

सभी त्रिभुजों में समान गुण

1. यदि आप किसी त्रिभुज के सभी कोणों को जोड़ते हैं, तो आपको 180º के बराबर संख्या प्राप्त होती है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस प्रकार का है। यह नियम हमेशा लागू रहता है.
2. किसी त्रिभुज की किसी भी भुजा का संख्यात्मक मान अन्य दो को जोड़ने पर प्राप्त संख्या से कम होता है। इसके अलावा, यह उनके अंतर से भी बड़ा है।
3. प्रत्येक बाह्य कोण का एक मान होता है जो दो आंतरिक कोणों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जो उसके समीप नहीं हैं। इसके अलावा, यह हमेशा अपने बगल वाले आंतरिक हिस्से से बड़ा होता है।
4. सबसे छोटा कोण हमेशा त्रिभुज की छोटी भुजा के विपरीत होता है। और इसके विपरीत, यदि भुजा बड़ी है, तो कोण सबसे बड़ा होगा।

ये गुण हमेशा मान्य होते हैं, चाहे समस्याओं में किसी भी प्रकार के त्रिभुज पर विचार किया जाए। बाकी सभी विशिष्ट विशेषताओं से अनुसरण करते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण

• आधार से सटे हुए कोण बराबर होते हैं।
• ऊँचाई, जो आधार की ओर खींची गई है, मध्यिका और समद्विभाजक भी है।
• ऊँचाई, माध्यिकाएँ और समद्विभाजक, जो त्रिभुज की पार्श्व भुजाओं पर बने होते हैं, क्रमशः एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एक समबाहु त्रिभुज के गुण

यदि ऐसा कोई आंकड़ा है, तो थोड़ा ऊपर वर्णित सभी गुण सत्य होंगे। क्योंकि एक समबाहु सदैव समद्विबाहु होगा। लेकिन इसके विपरीत नहीं; एक समद्विबाहु त्रिभुज आवश्यक रूप से समबाहु नहीं होगा।

• इसके सभी कोण एक दूसरे के बराबर हैं और इनका मान 60º है।
• समबाहु त्रिभुज की कोई भी माध्यिका उसकी ऊंचाई और समद्विभाजक होती है। इसके अलावा, वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं। उनके मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, एक सूत्र है जिसमें पक्ष के गुणनफल और 3 के वर्गमूल को 2 से विभाजित किया जाता है।

समकोण त्रिभुज के गुण

• दो न्यून कोणों का योग 90º होता है।
• कर्ण की लंबाई हमेशा किसी भी पैर की लंबाई से अधिक होती है।
• कर्ण पर खींची गई माध्यिका का संख्यात्मक मान उसके आधे के बराबर होता है।
• यदि पैर 30º के कोण के विपरीत स्थित है तो पैर समान मान के बराबर है।
• ऊँचाई, जो शीर्ष से 90º मान के साथ खींची जाती है, की पैरों पर एक निश्चित गणितीय निर्भरता होती है: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2। यहां: ए, बी - पैर, एन - ऊंचाई।

विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के साथ समस्याएँ

नंबर 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज दिया गया है। इसका परिमाप ज्ञात है और 90 सेमी के बराबर है। हमें इसकी भुजाएँ ज्ञात करनी हैं। एक अतिरिक्त शर्त के रूप में: पार्श्व भाग आधार से 1.2 गुना छोटा है।

परिधि का मान सीधे तौर पर उन मात्राओं पर निर्भर करता है जिन्हें खोजने की आवश्यकता है। तीनों भुजाओं का योग 90 सेमी होगा। अब आपको त्रिभुज का चिन्ह याद रखना होगा, जिसके अनुसार यह समद्विबाहु है। यानी दोनों पक्ष बराबर हैं. आप दो अज्ञात के साथ एक समीकरण बना सकते हैं: 2a + b = 90. यहां a भुजा है, b आधार है।

अब एक अतिरिक्त शर्त का समय आ गया है. इसके बाद, दूसरा समीकरण प्राप्त होता है: b = 1.2a। आप इस अभिव्यक्ति को पहले वाले में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। यह पता चला: 2ए + 1.2ए = 90। परिवर्तनों के बाद: 3.2ए = 90। इसलिए ए = 28.125 (सेमी)। अब आधार का पता लगाना आसान हो गया है. यह दूसरी स्थिति से सबसे अच्छा किया जाता है: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (सेमी)।

जाँच करने के लिए, आप तीन मान जोड़ सकते हैं: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (सेमी)। यह सही है।

उत्तर: त्रिभुज की भुजाएँ 28.125 सेमी, 28.125 सेमी, 33.75 सेमी हैं।

नंबर 2. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। आपको इसकी ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है।

समाधान। उत्तर खोजने के लिए, उस क्षण पर लौटना पर्याप्त है जहां त्रिभुज के गुणों का वर्णन किया गया था। यह एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक ज्ञात करने का सूत्र है।

n = a * √3 / 2, जहां n ऊंचाई है और a भुजा है।

प्रतिस्थापन और गणना निम्नलिखित परिणाम देते हैं: n = 6 √3 (सेमी)।

इस फॉर्मूले को याद रखने की जरूरत नहीं है. यह याद रखना पर्याप्त है कि ऊँचाई त्रिभुज को दो आयताकार भागों में विभाजित करती है। इसके अलावा, यह एक पैर निकला, और इसमें कर्ण मूल पक्ष का पक्ष है, दूसरा पैर ज्ञात पक्ष का आधा है। अब आपको पाइथागोरस प्रमेय को लिखने और ऊंचाई के लिए एक सूत्र प्राप्त करने की आवश्यकता है।

उत्तर: ऊँचाई 6 √3 सेमी है।

नंबर 3। दिया गया है कि MKR एक त्रिभुज है, जिसमें कोण K 90 डिग्री बनाता है। MR और KR भुजाएँ ज्ञात हैं, वे क्रमशः 30 और 15 सेमी के बराबर हैं। हमें कोण P का मान ज्ञात करना होगा।

समाधान। यदि आप चित्र बनाते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि MR कर्ण है। इसके अलावा, यह केआर के किनारे से दोगुना बड़ा है। फिर से आपको संपत्तियों की ओर मुड़ने की जरूरत है। उनमें से एक का संबंध कोणों से है। इससे स्पष्ट है कि KMR कोण 30º है। इसका मतलब है कि वांछित कोण P 60º के बराबर होगा। यह एक अन्य गुण का अनुसरण करता है, जो बताता है कि दो न्यून कोणों का योग 90º के बराबर होना चाहिए।

उत्तर: कोण P 60º है।

नंबर 4. हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करने होंगे। इसके बारे में ज्ञात है कि आधार पर बने कोण से बाह्य कोण 110º होता है।

समाधान। चूँकि केवल बाहरी कोण दिया गया है, इसलिए आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता है। यह आंतरिक कोण के साथ एक खुला कोण बनाता है। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर वे 180º देंगे। अर्थात् त्रिभुज के आधार पर कोण 70º के बराबर होगा। चूँकि यह समद्विबाहु है, दूसरे कोण का मान समान है। तीसरे कोण की गणना करना बाकी है। सभी त्रिभुजों में समान गुण के अनुसार, कोणों का योग 180º होता है। इसका मतलब है कि तीसरे को 180º - 70º - 70º = 40º के रूप में परिभाषित किया जाएगा।

उत्तर: कोण 70º, 70º, 40º हैं।

पाँच नंबर। यह ज्ञात है कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के विपरीत कोण 90º होता है। आधार पर एक बिंदु अंकित है. इसे समकोण से जोड़ने वाला खंड इसे 1 से 4 के अनुपात में विभाजित करता है। आपको छोटे त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करने होंगे।

समाधान। कोणों में से एक को तुरंत निर्धारित किया जा सकता है। चूँकि त्रिभुज समकोण और समद्विबाहु है, इसलिए जो इसके आधार पर स्थित हैं उनमें से प्रत्येक का माप 45º होगा, अर्थात 90º/2।

उनमें से दूसरा आपको स्थिति में ज्ञात संबंध ढूंढने में मदद करेगा। चूँकि यह 1 से 4 के बराबर है, जिन भागों में इसे विभाजित किया गया है वे केवल 5 हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज का छोटा कोण ज्ञात करने के लिए आपको 90º/5 = 18º की आवश्यकता है। तीसरे का पता लगाना बाकी है. ऐसा करने के लिए, आपको 180º (त्रिभुज के सभी कोणों का योग) से 45º और 18º घटाना होगा। गणनाएँ सरल हैं, और आपको मिलता है: 117º।

त्रिभुज - परिभाषा और सामान्य अवधारणाएँ

त्रिभुज एक साधारण बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ होती हैं और कोणों की संख्या समान होती है। इसके तल 3 बिंदुओं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले 3 खंडों द्वारा सीमित हैं।

किसी भी त्रिभुज के सभी शीर्ष, उसके प्रकार की परवाह किए बिना, बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट होते हैं, और इसके किनारों को विपरीत शीर्षों के संगत पदनामों द्वारा दर्शाया जाता है, केवल बड़े अक्षरों में नहीं, बल्कि छोटे अक्षरों में। इसलिए, उदाहरण के लिए, A, B और C लेबल वाले शीर्षों वाले त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हैं।

यदि हम यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक त्रिकोण पर विचार करते हैं, तो यह एक ज्यामितीय आकृति है जो तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों का उपयोग करके बनाई गई है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं।

ऊपर दिखाई गई तस्वीर को ध्यान से देखिए. इस पर, बिंदु A, B और C इस त्रिभुज के शीर्ष हैं, और इसके खंडों को त्रिभुज की भुजाएँ कहा जाता है। इस बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष इसके अंदर कोण बनाता है।

त्रिभुजों के प्रकार

त्रिभुजों के कोणों के आकार के अनुसार, उन्हें निम्न प्रकारों में विभाजित किया जाता है: आयताकार;
तीव्र कोणीय;
कुंठित.

आयताकार त्रिभुजों में वे शामिल होते हैं जिनमें एक समकोण होता है और अन्य दो न्यूनकोण होते हैं।

न्यूनकोण त्रिभुज वे होते हैं जिनके सभी कोण न्यूनकोण होते हैं।

और यदि किसी त्रिभुज में एक अधिक कोण और अन्य दो न्यून कोण हों तो ऐसे त्रिभुज को अधिक कोण की श्रेणी में रखा जाता है।

आपमें से प्रत्येक यह अच्छी तरह से समझता है कि सभी त्रिभुजों की भुजाएँ समान नहीं होती हैं। और इसकी भुजाओं की लंबाई के अनुसार त्रिभुजों को निम्न में विभाजित किया जा सकता है:

समद्विबाहु;
समबाहु;
बहुमुखी प्रतिभा संपन्न।

असाइनमेंट: विभिन्न प्रकार के त्रिभुज बनाएं। उन्हें परिभाषित करें. आप उनमें क्या अंतर देखते हैं?

त्रिभुजों के मूल गुण

यद्यपि ये सरल बहुभुज अपने कोणों या भुजाओं के आकार में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं, प्रत्येक त्रिभुज में मूल गुण होते हैं जो इस आकृति की विशेषता हैं।

किसी भी त्रिभुज में:

इसके सभी कोणों का कुल योग 180º है।
यदि यह समबाहुओं से संबंधित है, तो इसका प्रत्येक कोण 60º है।
एक समबाहु त्रिभुज में बराबर और बराबर कोण होते हैं।
बहुभुज की भुजा जितनी छोटी होगी, उसके विपरीत कोण उतना ही छोटा होगा, और इसके विपरीत, बड़ी भुजा के विपरीत बड़ा कोण होगा।
यदि भुजाएँ समान हैं, तो उनके विपरीत कोण भी समान हैं, और इसके विपरीत भी।
यदि हम एक त्रिभुज लेते हैं और उसकी भुजा को बढ़ाते हैं, तो हमें एक बाहरी कोण मिलता है। यह आंतरिक कोणों के योग के बराबर है।
किसी भी त्रिभुज में, इसकी भुजा, चाहे आप इनमें से कोई भी चुनें, फिर भी अन्य 2 भुजाओं के योग से कम, लेकिन उनके अंतर से अधिक होगी:

1. ए< b + c, a >बी-सी;
2.बी< a + c, b >एसी;
3.सी< a + b, c >ए-बी.

व्यायाम

तालिका त्रिभुज के पहले से ज्ञात दो कोणों को दर्शाती है। सभी कोणों का कुल योग जानकर, त्रिभुज का तीसरा कोण किसके बराबर है और इसे तालिका में दर्ज करें:

1. तीसरा कोण कितने अंश का होता है?
2. यह किस प्रकार के त्रिभुज से संबंधित है?

त्रिभुजों की समतुल्यता के लिए परीक्षण

मैं हस्ताक्षर करता हूँ

द्वितीय संकेत

तृतीय संकेत

त्रिभुज की ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका

त्रिभुज की ऊँचाई - आकृति के शीर्ष से उसकी विपरीत भुजा पर खींचा गया लम्ब त्रिभुज की ऊँचाई कहलाता है। त्रिभुज की सभी ऊँचाईयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। किसी त्रिभुज के तीनों शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसका लंबकेन्द्र होता है।

किसी दिए गए शीर्ष से खींचा गया और उसे विपरीत दिशा के मध्य में जोड़ने वाला खंड माध्यिका है। माध्यिका, साथ ही एक त्रिभुज की ऊंचाई, में प्रतिच्छेदन का एक सामान्य बिंदु होता है, जिसे त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण का तथाकथित केंद्र या केन्द्रक कहा जाता है।

त्रिभुज का समद्विभाजक एक कोण के शीर्ष और विपरीत दिशा के एक बिंदु को जोड़ने वाला एक खंड है, और इस कोण को आधे में विभाजित भी करता है। त्रिभुज के सभी समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

वह खंड जो त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है, मध्य रेखा कहलाता है।

ऐतिहासिक सन्दर्भ

त्रिभुज जैसी आकृति प्राचीन काल में जानी जाती थी। इस आकृति और इसके गुणों का उल्लेख चार हजार साल पहले मिस्र के पपीरी पर किया गया था। थोड़ी देर बाद, पाइथागोरस प्रमेय और हेरोन के सूत्र के लिए धन्यवाद, त्रिकोण के गुणों का अध्ययन उच्च स्तर पर चला गया, लेकिन फिर भी, यह दो हजार साल से भी पहले हुआ था।

15वीं-16वीं शताब्दी में त्रिभुज के गुणों पर काफ़ी शोध होने लगे और परिणामस्वरूप प्लैनिमेट्री जैसे विज्ञान का उदय हुआ, जिसे “न्यू ट्राइएंगल ज्योमेट्री” कहा गया।

रूसी वैज्ञानिक एन.आई.लोबचेव्स्की ने त्रिभुजों के गुणों के ज्ञान में बहुत बड़ा योगदान दिया। उनके कार्यों को बाद में गणित, भौतिकी और साइबरनेटिक्स में अनुप्रयोग मिला।

त्रिकोणों के गुणों के ज्ञान के लिए धन्यवाद, त्रिकोणमिति जैसे विज्ञान का उदय हुआ। यह किसी व्यक्ति के लिए उसकी व्यावहारिक आवश्यकताओं के लिए आवश्यक साबित हुआ, क्योंकि इसका उपयोग मानचित्र बनाते समय, क्षेत्रों को मापते समय और यहां तक ​​कि विभिन्न तंत्रों को डिजाइन करते समय भी आवश्यक है।

सबसे प्रसिद्ध त्रिभुज कौन सा है जिसे आप जानते हैं? यह निस्संदेह बरमूडा त्रिभुज है! इसे यह नाम 50 के दशक में बिंदुओं (त्रिकोण के शीर्ष) की भौगोलिक स्थिति के कारण मिला, जिसके भीतर, मौजूदा सिद्धांत के अनुसार, इससे जुड़ी विसंगतियाँ उत्पन्न हुईं। बरमूडा त्रिभुज के शिखर बरमूडा, फ्लोरिडा और प्यूर्टो रिको हैं।

असाइनमेंट: बरमूडा ट्रायंगल के बारे में आपने क्या सिद्धांत सुने हैं?

क्या आप जानते हैं कि लोबाचेव्स्की के सिद्धांत में, किसी त्रिभुज के कोणों को जोड़ने पर उनका योग हमेशा 180º से कम होता है। रीमैन की ज्यामिति में, एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180º से अधिक होता है, और यूक्लिड के कार्यों में यह 180 डिग्री के बराबर होता है।

गृहकार्य

किसी दिए गए विषय पर क्रॉसवर्ड पहेली हल करें

क्रॉसवर्ड के लिए प्रश्न:

1. उस लम्ब का क्या नाम है जो त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत दिशा में स्थित सीधी रेखा पर खींचा जाता है?
2. आप एक शब्द में किसी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का योग कैसे बता सकते हैं?
3. उस त्रिभुज का नाम बताइए जिसकी दोनों भुजाएँ बराबर हों?
4. उस त्रिभुज का नाम बताइए जिसका कोण 90° के बराबर हो?
5. त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का क्या नाम है?
6. समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा का क्या नाम है?
7. किसी भी त्रिभुज में इनकी संख्या सदैव तीन होती है।
8. उस त्रिभुज का क्या नाम है जिसका एक कोण 90° से अधिक है?
9. हमारी आकृति के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ने वाले खंड का नाम?
10. एक साधारण बहुभुज ABC में, बड़ा अक्षर A है...?
11. त्रिभुज के कोण को आधे में विभाजित करने वाले खंड का क्या नाम है?

त्रिभुजों के विषय पर प्रश्न:

1. इसे परिभाषित करें.
2. इसकी कितनी ऊंचाई है?
3. एक त्रिभुज में कितने समद्विभाजक होते हैं?
4. इसके कोणों का योग क्या है?
5. आप इस सरल बहुभुज के किस प्रकार को जानते हैं?
6. त्रिभुजों के उन बिंदुओं के नाम बताइए जिन्हें उल्लेखनीय कहा जाता है।
7. कोण मापने के लिए आप किस उपकरण का उपयोग कर सकते हैं?
8. यदि घड़ी की सुईयां 21 बजे दिखाती हैं। घंटे की सूइयाँ कौन सा कोण बनाती हैं?
9. यदि किसी व्यक्ति को "बाएँ", "सर्कल" का आदेश दिया जाए तो वह किस कोण पर मुड़ता है?
10. आप ऐसी कौन सी अन्य परिभाषाएँ जानते हैं जो एक आकृति से जुड़ी हैं जिसमें तीन कोण और तीन भुजाएँ हैं?