समान हरों से भिन्नों को गुणा करने के उदाहरण। समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करना

) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।

भिन्नों को गुणा करने का सूत्र:

उदाहरण के लिए:

इससे पहले कि आप अंश और हर को गुणा करना शुरू करें, आपको यह जांचना होगा कि क्या भिन्न को कम किया जा सकता है। यदि आप भिन्न को कम कर सकते हैं, तो आपके लिए आगे की गणना करना आसान हो जाएगा।

एक सामान्य भिन्न को भिन्न से विभाजित करना.

प्राकृतिक संख्याओं से युक्त भिन्नों को विभाजित करना।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसे कि जोड़ के मामले में, हम पूर्णांक को हर में एक के साथ भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों को गुणा करना।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

• मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
• भिन्नों के अंश और हर को गुणा करना;
• अंश कम करें;
• यदि आपको कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

टिप्पणी!एक मिश्रित भिन्न को दूसरे मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्न के रूप में बदलना होगा, और फिर साधारण भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

टिप्पणी!किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

ऊपर दिए गए उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि इस विकल्प का उपयोग करना तब अधिक सुविधाजनक होता है जब किसी भिन्न के हर को बिना किसी शेषफल के किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है।

मल्टीस्टोरी अंश.

हाई स्कूल में, तीन-मंजिला (या अधिक) भिन्न अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण:

ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करें:

टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

टिप्पणी, उदाहरण के लिए:

किसी एक को किसी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उलटा:

भिन्नों को गुणा और विभाजित करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएँ सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। मानसिक गणनाओं में खोए रहने से बेहतर है कि अपने मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्न वाले कार्यों में साधारण भिन्न के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक कम करते हैं जब तक कि उन्हें कम करना संभव न हो जाए।

4. हम 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य में बदलते हैं।

5. अपने दिमाग में एक इकाई को भिन्न से विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" देखें)। उन कार्यों का सबसे कठिन हिस्सा भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये संक्रियाएँ जोड़ और घटाव से भी अधिक सरल हैं। सबसे पहले, आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक अलग पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे भिन्न से गुणा करना होगा।

पद का नाम:

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन हो जाता है। किसी भिन्न को "फ़्लिप" करने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - निस्संदेह, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि सभी कटौती के बाद अंश गलत हो जाता है, तो पूरे भाग को हाइलाइट किया जाना चाहिए। लेकिन गुणन के साथ जो निश्चित रूप से नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉस-क्रॉस विधियां नहीं, सबसे बड़ा कारक और सबसे छोटा सामान्य गुणक।

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

भिन्नों को पूर्ण भागों और ऋणात्मक भिन्नों से गुणा करना

यदि भिन्नों में पूर्णांक भाग होता है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन से निकाला जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस माइनस से माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, ये नियम केवल ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। किसी कार्य के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जलाने" के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

1. हम नकारात्मकताओं को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जातीं। चरम मामलों में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई साथी नहीं था;
2. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ा नहीं था, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर ले जाते हैं। परिणाम एक ऋणात्मक अंश है.

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं, और फिर गुणन से ऋण निकाल देते हैं। जो बचता है उसे हम सामान्य नियमों के अनुसार गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्ण भाग के साथ भिन्न के सामने दिखाई देने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूरे भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

ऋणात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

तुरंत अंशों को कम करना

गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और समस्या को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड होते हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम कर दी गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। उनके स्थान पर ऐसी इकाइयाँ बनी रहती हैं, जिन्हें सामान्यतः लिखने की आवश्यकता नहीं होती। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा फिर भी कम हो गई।

हालाँकि, भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय कभी भी इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि जोड़ते समय, अंश का अंश योग उत्पन्न करता है, संख्याओं का गुणनफल नहीं। नतीजतन, भिन्न के मूल गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस प्रकार दिखता है:

सही समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.

मिडिल और हाई स्कूल पाठ्यक्रमों में, छात्रों ने "अंश" विषय को कवर किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई अवधारणा से कहीं अधिक व्यापक है। आज, भिन्न की अवधारणा का अक्सर सामना किया जाता है, और हर कोई किसी भी अभिव्यक्ति की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, भिन्न को गुणा करना।

भिन्न क्या है?

ऐतिहासिक रूप से, भिन्नात्मक संख्याएँ मापने की आवश्यकता से उत्पन्न हुईं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अक्सर एक खंड की लंबाई और एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के उदाहरण होते हैं।

प्रारंभ में, छात्रों को शेयर की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक व्यक्ति को तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ के इस एक भाग को अंश कहा जाता है।

किसी भी मूल्य के ½ के बराबर शेयर को आधा कहा जाता है; ⅓ - तीसरा; ¼ - एक चौथाई. 5/8, 4/5, 2/4 रूप के अभिलेख साधारण भिन्न कहलाते हैं। एक सामान्य भिन्न को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच भिन्न पट्टी, या भिन्न पट्टी है। भिन्नात्मक रेखा क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींची जा सकती है। इस मामले में, यह विभाजन चिह्न को दर्शाता है।

हर यह दर्शाता है कि मात्रा या वस्तु को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है; और अंश यह है कि कितने समान शेयर लिए गए हैं। अंश को भिन्न रेखा के ऊपर लिखा जाता है, हर को उसके नीचे लिखा जाता है।

निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक है। यदि एक एकल खंड को 4 बराबर भागों में विभाजित किया जाए, प्रत्येक भाग को एक लैटिन अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाए, तो परिणाम एक उत्कृष्ट दृश्य सहायता हो सकता है। तो, बिंदु A संपूर्ण इकाई खंड के 1/4 के बराबर हिस्सा दिखाता है, और बिंदु B किसी दिए गए खंड के 2/8 को दर्शाता है।

भिन्नों के प्रकार

भिन्न साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हो सकती हैं। इसके अलावा, भिन्नों को उचित और अनुचित में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।

उचित भिन्न वह संख्या होती है जिसका अंश उसके हर से कम होता है। तदनुसार, अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश उसके हर से बड़ा होता है। दूसरा प्रकार आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस अभिव्यक्ति में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, 1½. 1 एक पूर्णांक भाग है, ½ एक भिन्नात्मक भाग है। हालाँकि, यदि आपको अभिव्यक्ति के साथ कुछ हेरफेर करने की आवश्यकता है (अंशों को विभाजित करना या गुणा करना, उन्हें कम करना या परिवर्तित करना), तो मिश्रित संख्या एक अनुचित भिन्न में परिवर्तित हो जाती है।

एक सही भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा एक से कम होती है, और एक गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति हमेशा 1 से बड़ी या उसके बराबर होती है।

जहां तक ​​इस अभिव्यक्ति का संबंध है, हमारा मतलब एक रिकॉर्ड है जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसके भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न उचित है, तो दशमलव अंकन में पूर्णांक भाग शून्य के बराबर होगा।

दशमलव अंश लिखने के लिए, आपको पहले पूरा भाग लिखना होगा, इसे अल्पविराम का उपयोग करके अंश से अलग करना होगा, और फिर अंश अभिव्यक्ति लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि दशमलव बिंदु के बाद अंश में डिजिटल वर्णों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी हर में शून्य होती है।

उदाहरण. अंश 7 21/1000 को दशमलव संकेतन में व्यक्त करें।

अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने और इसके विपरीत के लिए एल्गोरिदम

किसी समस्या के उत्तर में अनुचित भिन्न लिखना ग़लत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक है:

• अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
• एक विशिष्ट उदाहरण में, एक अपूर्ण भागफल पूर्ण होता है;
• और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, जिसमें हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47 / 5.

समाधान. 47: 5. आंशिक भागफल 9 है, शेषफल = 2. तो, 47 / 5 = 9 2 / 5.

कभी-कभी आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने की आवश्यकता होती है। फिर आपको निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

• पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर से गुणा किया जाता है;
• परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है;
• परिणाम अंश में लिखा जाता है, हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. मिश्रित रूप में संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें: 9 8/10।

समाधान. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 अंश है।

उत्तर: 98 / 10.

भिन्नों को गुणा करना

साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित की जा सकती हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा करना, समान हरों से भिन्नों को गुणा करने से भिन्न नहीं है।

ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद आपको भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है। परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना अनिवार्य है। निस्संदेह, कोई यह नहीं कह सकता कि किसी उत्तर में अनुचित भिन्न एक त्रुटि है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी कठिन है।

उदाहरण. दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, उत्पाद ढूंढने के बाद, एक कम करने योग्य भिन्नात्मक अंकन प्राप्त होता है। इस मामले में अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित किया जाता है, और परिणाम उत्तर 5/9 होता है।

दशमलव भिन्नों को गुणा करना

दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में साधारण भिन्नों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। तो, भिन्नों को गुणा करना इस प्रकार है:

• दो दशमलव भिन्नों को एक के नीचे एक लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाहिने अंक एक के नीचे एक हों;
• आपको अल्पविरामों के बावजूद, यानी प्राकृतिक संख्याओं के रूप में लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
• प्रत्येक संख्या में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनें;
• गुणन के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों के योग में निहित उतने ही डिजिटल प्रतीकों को दाईं ओर से गिनना होगा, और एक अलग चिह्न लगाना होगा;
• यदि उत्पाद में कम संख्याएँ हैं, तो आपको इस संख्या को कवर करने के लिए उनके सामने उतने ही शून्य लिखने होंगे, अल्पविराम लगाना होगा और पूरे भाग को शून्य के बराबर जोड़ना होगा।

उदाहरण. दो दशमलव भिन्नों के गुणनफल की गणना करें: 2.25 और 3.6।

समाधान.

मिश्रित भिन्नों को गुणा करना

दो मिश्रित भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने के नियम का उपयोग करना होगा:

• मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
• अंशों का गुणनफल ज्ञात करें;
• हर का गुणनफल ज्ञात करें;
• परिणाम लिखो;
• अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं.

उदाहरण. 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (अंश को किसी संख्या से गुणा करना)

दो भिन्नों और मिश्रित संख्याओं का गुणनफल खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जिनमें आपको भिन्न से गुणा करना होता है।

तो, दशमलव भिन्न और प्राकृत संख्या का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

• भिन्न के नीचे संख्या लिखें ताकि सबसे दाहिने अंक एक के ऊपर एक हों;
• अल्पविराम के बावजूद उत्पाद ढूंढें;
• परिणामी परिणाम में, पूर्णांक भाग को अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग करें, अंश में दशमलव बिंदु के बाद स्थित अंकों की संख्या को दाईं ओर से गिनें।

किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक गुणनखंड का गुणनफल ज्ञात करना होगा। यदि उत्तर से कोई अंश निकलता है जिसे कम किया जा सकता है, तो उसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।

उदाहरण. 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

उत्तर: 7 1 / 2.

जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को कम करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक था।

भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप में किसी संख्या का गुणनफल और एक प्राकृतिक गुणनखंड खोजने से भी संबंधित है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित कारक के पूरे भाग को संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणामी परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण. 9 5/6 और 9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2।

उत्तर: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 या 0.1 के गुणनखंडों से गुणा; 0.01; 0.001

निम्नलिखित नियम पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। किसी दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, 10000 आदि से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना होगा जितने अंकों के बाद गुणनखंड में शून्य हों।

उदाहरण 1. 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

उत्तर: 65.

उदाहरण 2. 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

उत्तर: 3900.

यदि आपको किसी प्राकृत संख्या और 0.1 को गुणा करने की आवश्यकता है; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बायीं ओर उतने अंकों वाले वर्णों द्वारा ले जाना चाहिए जितने एक से पहले शून्य हों। यदि आवश्यक हो तो प्राकृत संख्या से पहले पर्याप्त संख्या में शून्य लिखे जाते हैं।

उदाहरण 1. 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

उत्तर: 0,56.

उदाहरण 2. 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

उत्तर: 0,004.

इसलिए, भिन्न-भिन्न भिन्नों का गुणनफल खोजने में परिणाम की गणना करने के अलावा कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए; इस मामले में, आप कैलकुलेटर के बिना बस काम नहीं कर सकते।

§ 87. भिन्नों का योग.

भिन्नों को जोड़ने में पूर्ण संख्याओं को जोड़ने के समान कई समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक ऐसी क्रिया है जिसमें कई दी गई संख्याओं (पदों) को एक संख्या (योग) में संयोजित किया जाता है, जिसमें पदों की इकाइयों की सभी इकाइयाँ और भिन्न शामिल होते हैं।

हम क्रमिक रूप से तीन मामलों पर विचार करेंगे:

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।
3. मिश्रित संख्याओं का योग.

1. समान हर वाली भिन्नों का योग।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5।

आइए खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक मानें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग बराबर होगा 2/5 एबी.

चित्र से यह स्पष्ट है कि यदि हम खंड AD लें, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD बिल्कुल खंड AC और CD का योग है। तो हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन पदों और परिणामी योग पर विचार करने पर, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

इससे हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों का योग।

आइए भिन्नों को जोड़ें: 3 / 4 + 3 / 8 सबसे पहले उन्हें सबसे कम सामान्य विभाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

मध्यवर्ती लिंक 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सका; हमने इसे स्पष्टता के लिए यहां लिखा है।

इस प्रकार, अलग-अलग हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर तक कम करना होगा, उनके अंश जोड़ना होगा और सामान्य हर को लेबल करना होगा।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें (हम संगत भिन्नों के ऊपर अतिरिक्त गुणनखंड लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग.

आइए संख्याएँ जोड़ें: 2 3/8 + 3 5/6।

आइए सबसे पहले अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाएँ और उन्हें फिर से लिखें:

अब हम पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रमिक रूप से जोड़ते हैं:

§ 88. भिन्नों का घटाव।

भिन्नों को घटाना पूर्ण संख्याओं को घटाने की तरह ही परिभाषित किया गया है। यह एक ऐसी क्रिया है जिसकी सहायता से दो पदों और उनमें से एक का योग करने पर दूसरा पद ज्ञात किया जाता है। आइए लगातार तीन मामलों पर विचार करें:

1. समान हर वाली भिन्नों को घटाना।
2. विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान हर वाली भिन्नों को घटाना।

आइए एक उदाहरण देखें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड का भाग AC, AB के 1/15 का प्रतिनिधित्व करेगा, और उसी खंड का भाग AD, 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए 4/15 एबी के बराबर एक और खंड ईडी को अलग रखें।

हमें भिन्न 4/15 को 13/15 से घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि खंड ईडी को खंड एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE बना रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमने जो उदाहरण बनाया, उससे पता चलता है कि अंशों को घटाकर अंतर का अंश प्राप्त किया गया था, लेकिन हर वही रहा।

इसलिए, समान हर वाली भिन्नों को घटाने के लिए, आपको उपअंक के अंश को लघुअंत के अंश से घटाना होगा और हर को समान छोड़ना होगा।

2. विभिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक घटाएँ:

मध्यवर्ती 6 / 8 - 5 / 8 यहां स्पष्टता के लिए लिखा गया है, लेकिन बाद में इसे छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, किसी भिन्न में से भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें न्यूनतम सामान्य हर तक कम करना होगा, फिर लघुअंत के अंश को लघुअंक के अंश से घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3/4 - 7 2/3.

आइए हम न्यूनतम के भिन्नात्मक भागों को कम करें और निम्नतम सामान्य हर को घटाएँ:

हमने पूर्ण में से पूर्ण और भिन्न में से भिन्न को घटा दिया। लेकिन ऐसे मामले भी होते हैं जब सबट्रेंड का भिन्नात्मक भाग मीनूएंड के भिन्नात्मक भाग से अधिक होता है। ऐसे मामलों में, आपको मीनूएंड के पूरे भाग से एक इकाई लेने की ज़रूरत है, इसे उन भागों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और इसे मीनूएंड के भिन्नात्मक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव पिछले उदाहरण की तरह ही किया जाएगा:

§ 89. भिन्नों का गुणन।

भिन्न गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. रुचि की अवधारणा.
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए इन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करना।

किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्ण संख्या को पूर्णांक से गुणा करने का होता है। किसी भिन्न (गुणक) को पूर्णांक (कारक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर होता है, और पदों की संख्या गुणक के बराबर होती है।

इसका मतलब यह है कि यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करना है, तो यह इस प्रकार किया जा सकता है:

हमने आसानी से परिणाम प्राप्त कर लिया, क्योंकि क्रिया को समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने तक सीमित कर दिया गया था। इस तरह,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करना इस भिन्न को उतनी बार बढ़ाने के बराबर है जितनी पूर्ण संख्या में इकाइयाँ हों। और चूंकि भिन्न को बढ़ाना या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं या हर को उससे विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी भिन्न को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने के लिए, आप अंश को उस पूर्ण संख्या से गुणा करें और हर को वही छोड़ दें, या, यदि संभव हो, तो हर को उस संख्या से विभाजित करें, अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

गुणा करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी कई समस्याएं हैं जिनमें आपको किसी दी गई संख्या का भाग ढूंढना या गणना करना होता है। इन समस्याओं और अन्य समस्याओं के बीच अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक भाग खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने की सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं के उदाहरण देंगे, और फिर उन्हें हल करने की एक विधि पेश करेंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; मैंने इस पैसे का 1/3 हिस्सा किताबें खरीदने पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2.ट्रेन को शहर A और B के बीच 300 किमी के बराबर दूरी तय करनी होगी। वह इस दूरी का 2/3 भाग पहले ही तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3.गाँव में 400 घर हैं, उनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कुल कितने ईंट के घर हैं?

ये उन कई समस्याओं में से कुछ हैं जिनका सामना हम किसी दी गई संख्या का भाग ढूंढने में करते हैं। इन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्याएँ कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसका मतलब यह है कि किताबों की कीमत जानने के लिए आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या का समाधान 2.समस्या की बात यह है कि आपको 300 किमी का 2/3 भाग ढूंढना होगा। आइए पहले 300 में से 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (अर्थात 300 का 1/3)।

300 का दो-तिहाई निकालने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (अर्थात 300 का 2/3)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के मकानों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है जो 400 में से 3/4 बनाते हैं। आइए पहले 400 में से 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (अर्थात् 400 का 1/4)।

400 के तीन चौथाई की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना करना होगा, यानी 3 से गुणा करना होगा:

100 x 3 = 300 (अर्थात् 400 का 3/4)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या से भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करना।

पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों के योग के रूप में समझा जाना चाहिए (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20)। इस पैराग्राफ (बिंदु 1) में यह स्थापित किया गया था कि किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने की ओर बढ़ते हैं। यहां हमारा सामना होगा, उदाहरण के लिए, गुणन: 9 2 / 3। यह स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले पर लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम ऐसे गुणन को समान संख्याएँ जोड़कर प्रतिस्थापित नहीं कर सकते।

इस कारण हमें गुणन की एक नयी परिभाषा देनी होगी अर्थात् दूसरे शब्दों में इस प्रश्न का उत्तर देना होगा कि भिन्न से गुणा करने पर क्या समझा जाना चाहिए, इस क्रिया को किस प्रकार समझा जाना चाहिए।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: एक पूर्णांक (गुणक) को एक भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है गुणक के इस अंश को ज्ञात करना।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों में से 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 पर समाप्त होंगे।

लेकिन अब एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण सवाल उठता है: समान संख्याओं का योग ज्ञात करना और किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना जैसे अलग-अलग प्रतीत होने वाले कार्यों को अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" क्यों कहा जाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (किसी संख्या को पदों के साथ कई बार दोहराना) और नई क्रिया (किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों के उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (4) से गुणा करके हल किया जाता है, यानी 50 x 4 = 200 (रूबल)।

आइए वही समस्या लें, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को एक अंश के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे 3/4 मीटर कपड़े की लागत कितनी होगी?”

इस समस्या को रूबल की संख्या (50) को मीटर की संख्या (3/4) से गुणा करके भी हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना इसमें संख्याओं को कई बार बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर आदि लें।

चूँकि इन समस्याओं की विषय-वस्तु समान है और केवल संख्याओं में अंतर है, इसलिए इन्हें हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को हम एक ही शब्द - गुणन कहते हैं।

आप किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए अंतिम समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3/4 खोजना होगा। आइए पहले 50 का 1/4 निकालें, और फिर 3/4।

50 का 1/4, 50/4 है;

संख्या 50 का 3/4 है।

इस तरह।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें: 12 5 / 8 =?

संख्या 12 का 1/8, 12/8 है,

संख्या 12 का 5/8 है।

इस तरह,

यहाँ से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और इस भिन्न के हर पर हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

आइए इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखें:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि गुणा करने से पहले आपको (यदि संभव हो तो) करना चाहिए। कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।किसी भिन्न को किसी भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने का होता है, यानी, किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करते समय, आपको पहले भिन्न (गुणक) से गुणनखंड में मौजूद भिन्न को ढूंढना होगा।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए एक उदाहरण लें: 3/4 को 5/7 से गुणा करें। इसका मतलब है कि आपको 3/4 में से 5/7 ढूंढना होगा। आइए पहले 3/4 का 1/7 निकालें, और फिर 5/7 निकालें

संख्या 3/4 का 1/7 भाग इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

दूसरा उदाहरण: 5/8 को 4/9 से गुणा किया गया।

5/8 का 1/9 है,

संख्या 5/8 का 4/9 है।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा, और पहले गुणनफल को अंश और दूसरे गुणनफल को गुणनफल का हर बनाना होगा।

इस नियम को सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय (यदि संभव हो तो) कटौती करना आवश्यक है। आइए उदाहरण देखें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि ऐसे मामलों में जहां गुणक, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, उन्हें अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। आइए, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याओं को गुणा करें: 2 1/2 और 3 1/5। आइए उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित भिन्न में बदलें और फिर परिणामी भिन्न को भिन्न से भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करें:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को भिन्नों से गुणा करने के नियम के अनुसार उन्हें गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणन निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. रुचि की अवधारणा.समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणनाएँ करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान में रखना चाहिए कि कई मात्राएँ किसी भी प्रकार की नहीं, बल्कि उनके लिए प्राकृतिक विभाजन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां हिस्सा (1/100) ले सकते हैं, यह एक कोपेक होगा, दो सौवां हिस्सा 2 कोपेक है, तीन सौवां हिस्सा 3 कोपेक है। आप एक रूबल का 1/10 हिस्सा ले सकते हैं, यह "10 कोपेक, या दस-कोपेक का टुकड़ा होगा। आप एक चौथाई रूबल, यानी 25 कोपेक, आधा रूबल, यानी 50 कोपेक (पचास कोपेक) ले सकते हैं। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से इसे नहीं लेते हैं, उदाहरण के लिए, रूबल का 2/7 क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन की इकाई, यानी किलोग्राम, मुख्य रूप से दशमलव विभाजन की अनुमति देती है, उदाहरण के लिए 1/10 किलोग्राम, या 100 ग्राम। और किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/13 आम नहीं हैं।

सामान्य तौर पर, हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव विभाजन की अनुमति देते हैं।

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में मात्राओं को उप-विभाजित करने की एक ही (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इतना उचित विभाजन "सौवां" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कई उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12/100 कम हो गई है।

उदाहरण। किताब की पिछली कीमत 10 रूबल थी. इसमें 1 रूबल की कमी आई। 20 कोप्पेक

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को वर्ष के दौरान बचत के लिए जमा की गई राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। कैश रजिस्टर में 500 रूबल जमा किए जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल से स्नातकों की संख्या कुल छात्रों की संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र थे, जिनमें से 60 ने स्नातक की उपाधि प्राप्त की।

किसी संख्या का सौवाँ भाग प्रतिशत कहलाता है.

शब्द "प्रतिशत" लैटिन भाषा से लिया गया है और इसके मूल "सेंट" का अर्थ है एक सौ। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से पता चलता है कि प्रारंभ में प्राचीन रोम में ब्याज उस पैसे को दिया गया नाम था जिसे देनदार ऋणदाता को "प्रत्येक सौ के लिए" चुकाता था। शब्द "सेंट" ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (सेंटीमीटर कहें)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि पिछले महीने में संयंत्र ने उत्पादित सभी उत्पादों में से 1/100 उत्पाद ख़राब थे, हम यह कहेंगे: पिछले महीने में संयंत्र ने एक प्रतिशत ख़राब उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना से 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र ने योजना से 4 प्रतिशत अधिक उत्पाद तैयार किए।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग ढंग से व्यक्त किया जा सकता है:

1. किताबों की कीमत पिछली कीमत से 12 फीसदी कम हो गई है.

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में जमा राशि पर प्रति वर्ष 2 प्रतिशत का भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल से स्नातक करने वालों की संख्या सभी स्कूली छात्रों की 5 प्रतिशत थी।

अक्षर को छोटा करने के लिए "प्रतिशत" शब्द के स्थान पर % चिन्ह लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, आपको यह याद रखना होगा कि गणना में % चिह्न आमतौर पर नहीं लिखा जाता है; इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस प्रतीक के साथ पूर्ण संख्या के बजाय 100 के हर के साथ एक अंश लिखना होगा।

आपको संकेतित चिह्न वाले पूर्णांक को 100 के हर वाले भिन्न से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले भिन्न के बजाय संकेतित प्रतीक के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 घन मीटर पानी मिला। मी जलाऊ लकड़ी, जिसमें बर्च जलाऊ लकड़ी 30% है। वहां कितनी बर्च जलाऊ लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि बर्च जलाऊ लकड़ी स्कूल में पहुंचाई गई जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा है, और यह हिस्सा 30/100 अंश में व्यक्त किया गया है। इसका मतलब है कि हमारे पास किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्याएँ उस संख्या को भिन्न से गुणा करने से हल हो जाती हैं।)

इसका मतलब है कि 200 का 30% 60 के बराबर है।

इस समस्या में आने वाले अंश 30/100 को 10 से कम किया जा सकता है। यह कमी शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदला होता.

कार्य 2.शिविर में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 साल के बच्चे 21%, 12 साल के बच्चे 61% और अंततः 13 साल के बच्चे 18% हैं। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात् क्रमिक रूप से 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात करें।

इसका मतलब है कि यहां आपको किसी संख्या का भिन्न तीन बार निकालना होगा। चलो यह करते हैं:

1) वहां 11 साल के कितने बच्चे थे?

2) 12 साल के कितने बच्चे थे?

3) वहां 13 साल के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, पाए गए नंबरों को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कि शिविर में बच्चों की कुल संख्या 100% मानी गई।

3 ए डी ए एच ए 3.कर्मचारी को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इसमें से उन्होंने 65% भोजन पर, 6% अपार्टमेंट और हीटिंग पर, 4% गैस, बिजली और रेडियो पर, 10% सांस्कृतिक जरूरतों पर और 15% बचाया। समस्या में दर्शाई गई आवश्यकताओं पर कितना पैसा खर्च किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए आपको 1,200 का भिन्न 5 बार ज्ञात करना होगा। आइए ऐसा करते हैं।

1) खाने पर कितना पैसा खर्च हुआ? समस्या कहती है कि यह खर्च कुल कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। आइए गणना करें:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए आपने कितना पैसा चुकाया? पिछले वाले के समान तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुंचते हैं:

3) गैस, बिजली और रेडियो के लिए आपने कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया गया?

5) कर्मचारी ने कितना पैसा बचाया?

जाँच करने के लिए, इन 5 प्रश्नों में पाए गए अंकों को जोड़ना उपयोगी है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% माना जाता है, जिसे समस्या विवरण में दिए गए प्रतिशत संख्याओं को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया. इस तथ्य के बावजूद कि ये समस्याएं अलग-अलग चीजों (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, विभिन्न उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता के खर्च) से संबंधित थीं, उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी समस्याओं में दी गई संख्याओं का कई प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

जब हम भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते हैं, तो हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से भाग देना
3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से भाग देना।
4. भिन्न को भिन्न से भाग देना।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.
6. किसी संख्या को उसके दिए गए भिन्न से ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए इन पर सिलसिलेवार विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों के विभाग में संकेत दिया गया था, विभाजन वह क्रिया है जिसमें यह तथ्य शामिल होता है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक और कारक पाया जाता है।

हमने पूर्णांक वाले अनुभाग में एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करने पर विचार किया। हमें वहां विभाजन के दो मामलों का सामना करना पड़ा: शेषफल के बिना विभाजन, या "संपूर्ण रूप से" (150: 10 = 15), और शेषफल के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और 1 शेष)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के क्षेत्र में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा पूर्णांक द्वारा भाजक का उत्पाद नहीं होता है। भिन्न से गुणा शुरू करने के बाद, हम पूर्णांकों को विभाजित करने के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका 12 से गुणनफल 7 के बराबर होगा। ऐसी संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7. दूसरा उदाहरण: 14: 25 = 14 / 25, क्योंकि 14 / 25 25 = 14।

इस प्रकार, किसी पूर्ण संख्या को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न बनाना होगा जिसका अंश लाभांश के बराबर हो और हर भाजक के बराबर हो।

2. किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से भाग देना।

भिन्न 6/7 को 3 से विभाजित करें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां गुणनफल (6/7) और गुणनखंड (3) में से एक है; दूसरा गुणनखंड खोजना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर दिया गया उत्पाद 6/7 प्राप्त होगा। जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने रखा गया कार्य भिन्न 6/7 को 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि भिन्न को कम करना या तो उसके अंश को कम करके या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए आप लिख सकते हैं:

इस स्थिति में, अंश 6, 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लें: 5/8 को 2 से विभाजित किया गया है। यहां अंश 5, 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर एक नियम बनाया जा सकता है: किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को उस पूर्ण संख्या से विभाजित करना होगा।(अगर संभव हो तो), एक ही हर छोड़कर, या एक ही अंश छोड़कर भिन्न के हर को इस संख्या से गुणा करें।

3. किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से भाग देना।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से विभाजित करना आवश्यक है, यानी एक ऐसी संख्या खोजें, जिसे 1/2 से गुणा करने पर गुणनफल 5 आए। जाहिर है, यह संख्या 5 से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित भिन्न है , और किसी संख्या को गुणा करते समय उचित भिन्न का गुणनफल गुणा किए जाने वाले गुणनफल से कम होना चाहिए। इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को इस प्रकार लिखें: 5: 1 / 2 = एक्स , जिसका अर्थ है x 1/2 = 5.

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी होगी एक्स , जिसे यदि 1/2 से गुणा किया जाए, तो 5 प्राप्त होगा। चूँकि किसी निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना है, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 के बराबर है, और पूर्ण संख्या एक्स दोगुना, यानी 5 2 = 10.

तो 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

की जाँच करें:

आइए एक और उदाहरण देखें. मान लीजिए कि आप 6 को 2/3 से विभाजित करना चाहते हैं। आइए सबसे पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र.19

आइए हम 6 इकाइयों के बराबर एक खंड एबी बनाएं और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित करें। प्रत्येक इकाई में, संपूर्ण खंड AB का तीन तिहाई (3/3) 6 गुना बड़ा है, अर्थात। ई. 18/3. छोटे कोष्ठकों का उपयोग करके, हम 2 के 18 परिणामी खंडों को जोड़ते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका मतलब यह है कि अंश 2/3 6 इकाइयों में 9 बार समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, अंश 2/3 6 पूर्ण इकाइयों से 9 गुना कम है। इस तरह,

अकेले गणनाओं का उपयोग करके बिना ड्राइंग के यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? आइए इस प्रकार तर्क करें: हमें 6 को 2/3 से विभाजित करने की आवश्यकता है, यानी हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है कि 6 में 2/3 कितनी बार समाहित है। आइए पहले जानें: 6 में 1/3 कितनी बार समाहित है? एक पूरी इकाई में 3 तिहाई होते हैं, और 6 इकाइयों में 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई होते हैं; इस संख्या को खोजने के लिए हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसका मतलब है कि 1/3 b इकाइयों में 18 बार समाहित है, और 2/3 b इकाइयों में 18 बार नहीं, बल्कि आधी बार समाहित है, यानी 18: 2 = 9 .इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित कार्य किया:

यहां से हमें किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से विभाजित करने का नियम मिलता है। किसी पूर्ण संख्या को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको इस पूर्ण संख्या को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और, इस गुणनफल को अंश बनाकर, इसे दिए गए भिन्न के अंश से विभाजित करना होगा।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

इस नियम को पूर्णतः स्पष्ट करने के लिए यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जो § 38 में निर्धारित किया गया था। कृपया ध्यान दें कि वहां भी वही सूत्र प्राप्त हुआ था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से भाग देना।

मान लीजिए कि हमें 3/4 को 3/8 से विभाजित करना है। विभाजन से प्राप्त संख्या का क्या अर्थ होगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में समाहित होता है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 20)।

आइए एक खंड AB लें, इसे एक मानें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड AC खंड AB के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चारों मूल खंडों में से प्रत्येक को आधा-आधा विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। आइए ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ें, फिर प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। चित्र से पता चलता है कि 3/8 के बराबर एक खंड 3/4 के बराबर खंड में ठीक 2 गुना समाहित है; इसका मतलब यह है कि विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण देखें. मान लीजिए कि हमें 15/16 को 3/32 से विभाजित करने की आवश्यकता है:

हम इस तरह तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या ढूंढनी होगी, जिसे 3/32 से गुणा करने पर 15/16 के बराबर गुणनफल मिलेगा। आइए गणनाएँ इस प्रकार लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात नंबर एक्स 15/16 हैं

अज्ञात संख्या का 1/32 एक्स है ,

32 / 32 नंबर एक्स पूरा करना ।

इस तरह,

इस प्रकार, एक भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा, और पहले गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दूसरा हर.

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्ताक्षर संभव हैं, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन.

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित भिन्नों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी भिन्नों को भिन्नों को विभाजित करने के नियमों के अनुसार विभाजित किया जाना चाहिए। आइए एक उदाहरण देखें:

आइए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

अब विभाजित करते हैं:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम का उपयोग करके विभाजित करना होगा।

6. किसी संख्या को उसके दिए गए भिन्न से ज्ञात करना।

विभिन्न भिन्न समस्याओं में से कभी-कभी ऐसी भी होती हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के किसी भिन्न का मान दिया जाता है और आपको यह संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार की समस्या किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या का उलटा होगा; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या का कुछ अंश खोजना आवश्यक था, यहां एक संख्या का एक अंश दिया गया था और इस संख्या का कुछ अंश खोजना आवश्यक था। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमकाया, जो निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

समाधान।समस्या कहती है कि 50 चमकदार खिड़कियाँ घर की सभी खिड़कियों का 1/3 हिस्सा बनाती हैं, जिसका मतलब है कि कुल मिलाकर 3 गुना अधिक खिड़कियाँ हैं, यानी।

घर में 150 खिड़कियाँ थीं।

कार्य 2.स्टोर ने 1,500 किलोग्राम आटा बेचा, जो स्टोर के कुल आटे के स्टॉक का 3/8 हिस्सा है। स्टोर में आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

समाधान।समस्या की स्थितियों से यह स्पष्ट है कि बेचा गया 1,500 किलोग्राम आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस रिजर्व का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह रिजर्व का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरी सप्लाई 8 गुना ज्यादा होगी. इस तरह,

500 8 = 4,000 (किग्रा)।

स्टोर में आटे का शुरुआती स्टॉक 4,000 किलो था.

इस समस्या पर विचार करने से निम्नलिखित नियम निकाला जा सकता है।

किसी संख्या को उसके भिन्न के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की दो समस्याएं हल कीं। ऐसी समस्याएं, जैसा कि विशेष रूप से पिछले एक से स्पष्ट रूप से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, जब हमने भिन्नों का विभाजन सीख लिया, तो उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया से हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न से विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस प्रकार एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की समस्याओं को एक क्रिया - विभाजन से हल करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन समस्याओं में आपको उस संख्या का कुछ प्रतिशत जानकर एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

कार्य 1।इस वर्ष की शुरुआत में मुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक वर्ष पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा रखा है? (कैश डेस्क जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष 2% रिटर्न देते हैं।)

समस्या की बात यह है कि मैंने एक निश्चित राशि बचत बैंक में डाल दी और एक साल तक वहीं रहा। एक साल बाद मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा जमा किये गये धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा लगाया?

नतीजतन, इस पैसे का हिस्सा जानने के बाद, दो तरीकों से (रूबल और अंशों में) व्यक्त किया जाता है, हमें पूरी, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। विभाजन द्वारा निम्नलिखित समस्याओं का समाधान किया जाता है:

इसका मतलब है कि बचत बैंक में 3,000 रूबल जमा किए गए थे।

कार्य 2.मछुआरों ने दो सप्ताह में 64% तक मासिक योजना पूरी की, 512 टन मछली का उत्पादन किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि मछुआरों ने योजना का कुछ भाग पूरा कर लिया है। यह भाग 512 टन के बराबर है, जो योजना का 64% है। हमें नहीं पता कि योजना के मुताबिक कितनी टन मछली तैयार करने की जरूरत है. इस नंबर को ढूंढना ही समस्या का समाधान होगा.

ऐसी समस्याओं का समाधान विभाजन द्वारा किया जाता है:

इसका मतलब है कि योजना के मुताबिक 800 टन मछली तैयार करने की जरूरत है.

कार्य 3.ट्रेन रीगा से मॉस्को तक गई. जब वह 276वां किलोमीटर पार कर गया, तो यात्रियों में से एक ने पास से गुजर रहे कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा तय कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हम पूरी यात्रा का 30% हिस्सा पहले ही तय कर चुके हैं।" रीगा से मास्को की दूरी कितनी है?

समस्या की स्थिति से यह स्पष्ट है कि रीगा से मॉस्को तक का 30% मार्ग 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की पूरी दूरी ज्ञात करनी होगी, यानी, इस भाग के लिए, संपूर्ण दूरी ज्ञात करनी होगी:

§ 91. पारस्परिक संख्याएँ। भाग को गुणन से बदलना।

आइए भिन्न 2/3 लें और हर के स्थान पर अंश बदलें, हमें 3/2 मिलता है। हमें इस भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त हुआ।

किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको उसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस प्रकार हम किसी भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

3/4, उल्टा 4/3; 5/6, उलटा 6/5

दो भिन्न जिनमें यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर है, और पहले का हर दूसरे का अंश है, कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

अब आइए विचार करें कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। दिए गए अंश के व्युत्क्रम भिन्न को खोजने पर, हमें एक पूर्णांक प्राप्त हुआ। और यह मामला अलग-थलग नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी भिन्नों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, उल्टा 3; 1/5, उलटा 5

चूँकि व्युत्क्रम भिन्नों को खोजने में हमें पूर्णांकों का भी सामना करना पड़ा, इसलिए आगे हम व्युत्क्रम भिन्नों के बारे में नहीं, बल्कि व्युत्क्रम संख्याओं के बारे में बात करेंगे।

आइए जानें कि पूर्णांक का व्युत्क्रम कैसे लिखें। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जा सकता है: आपको अंश के स्थान पर हर लगाना होगा। उसी तरह, आप पूर्णांक का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक का हर 1 हो सकता है। इसका मतलब है कि 7 का व्युत्क्रम 1/7 होगा, क्योंकि 7 = 7/1; संख्या 10 के लिए व्युत्क्रम 1/10 होगा, क्योंकि 10 = 10/1

इस विचार को अलग ढंग से व्यक्त किया जा सकता है: किसी दी गई संख्या का व्युत्क्रम एक को दी गई संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है. यह कथन न केवल पूर्ण संख्याओं के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, अगर हमें भिन्न का व्युत्क्रम 5/9 लिखना हो तो हम 1 ले सकते हैं और इसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, यानी।

अब एक बात बता दें संपत्तिपारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: व्युत्क्रम संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस गुण का उपयोग करके हम निम्नलिखित तरीके से व्युत्क्रम संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं। मान लीजिए कि हमें 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करना है।

आइए इसे अक्षर द्वारा निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, अत: एक्स = 1/8. आइए एक अन्य संख्या खोजें जो 7/12 का व्युत्क्रम है और इसे अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 7/12 एक्स = 1, अत: एक्स = 1:7/12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों को विभाजित करने के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा प्रस्तुत की है।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से विभाजित करते हैं, तो हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

अभिव्यक्ति पर विशेष ध्यान दें और इसकी तुलना दिए गए अभिव्यक्ति से करें: .

यदि हम पिछले एक से संबंध के बिना, अभिव्यक्ति को अलग से लेते हैं, तो इस प्रश्न को हल करना असंभव है कि यह कहां से आया: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में एक ही बात होती है. इसलिए हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने पर भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष की पूरी तरह पुष्टि करते हैं।

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... चर्चाएँ आज भी जारी हैं; वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार पर एक आम राय नहीं बना पाया है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे ; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक अगला खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं जिस बात पर विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

विकिपीडिया पर सेट और मल्टीसेट के बीच अंतर को बहुत अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। चलो देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बोलने वाले तोतों और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। आइए गणितज्ञ को समझाएं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बिलों में अलग-अलग बिल संख्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें एक ही तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था प्रत्येक सिक्के के लिए अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देना पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग डफ के साथ जादूगरों का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन यही कारण है कि वे जादूगर हैं, अपने वंशजों को अपने कौशल और ज्ञान सिखाएं, अन्यथा जादूगर बस खत्म हो जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "किसी संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ ढूंढने का प्रयास करें। वह अस्तित्व में नहीं है. गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिसका उपयोग किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सके। आख़िरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन ओझा इसे आसानी से कर सकते हैं।

आइए जानें कि किसी दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, आइए हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आइए क्रम से सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिख ​​लें। हमने क्या किया है? हमने संख्या को ग्राफिकल संख्या प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

2. हमने एक परिणामी चित्र को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काटा। किसी चित्र को काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. व्यक्तिगत ग्राफ़िक प्रतीकों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

4. परिणामी संख्याएँ जोड़ें। अब ये गणित है.

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये जादूगरों द्वारा पढ़ाए जाने वाले "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं जिनका उपयोग गणितज्ञ करते हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणितीय दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में कोई संख्या लिखते हैं। इसलिए, अलग-अलग संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। बड़ी संख्या 12345 के साथ, मैं अपना सिर मूर्ख नहीं बनाना चाहता, आइए लेख से संख्या 26 पर विचार करें। आइए इस संख्या को बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में लिखें। हम हर कदम को माइक्रोस्कोप के नीचे नहीं देखेंगे; हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइये परिणाम पर नजर डालते हैं.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे यदि आपने किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निर्धारित किया है, तो आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

शून्य सभी संख्या प्रणालियों में एक जैसा दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है। गणितज्ञों के लिए प्रश्न: वह चीज़ कैसी है जो गणित में निर्दिष्ट संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? मैं ओझाओं के लिए इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए नहीं। वास्तविकता सिर्फ संख्या के बारे में नहीं है.

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के माप की इकाइयाँ हैं। आख़िरकार, हम संख्याओं की तुलना माप की विभिन्न इकाइयों से नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ समान क्रियाओं की तुलना करने पर अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? ऐसा तब होता है जब गणितीय ऑपरेशन का परिणाम संख्या के आकार, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

ओह! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- युवती! यह स्वर्ग में आरोहण के दौरान आत्माओं की अनिश्चित पवित्रता के अध्ययन के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर हेलो और ऊपर तीर. और कौन सा शौचालय?

महिला... शीर्ष पर प्रभामंडल और नीचे तीर पुरुष हैं।

यदि डिजाइन कला का ऐसा कोई काम आपकी आंखों के सामने दिन में कई बार चमकता है,

फिर यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आपको अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन मिले:

व्यक्तिगत रूप से, मैं शौच कर रहे व्यक्ति (एक चित्र) में माइनस चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की एक रचना: एक माइनस चिह्न, संख्या चार, डिग्री का एक पदनाम)। और मुझे नहीं लगता कि यह लड़की मूर्ख है जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों को समझने की एक मजबूत रूढ़ि है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है.

1ए "शून्य से चार डिग्री" या "एक ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल नोटेशन में "पूपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं वे स्वचालित रूप से एक संख्या और एक अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में समझते हैं।