प्राकृतिक लघुगणक के साथ समीकरणों को कैसे हल करें। लघुगणकीय समीकरणों को हल करने की कुछ विधियाँ

लघुगणकीय समीकरणएक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उसके साथ भाव लघुगणकीय फ़ंक्शन के चिह्न के अंतर्गत हैं। लघुगणकीय समीकरणों को हल करना यह मानता है कि आप पहले से ही परिचित हैं।
लघुगणकीय समीकरण कैसे हल करें?

सबसे सरल समीकरण है लॉग ए एक्स = बी, जहाँ a और b कुछ संख्याएँ हैं, x एक अज्ञात है।
एक लघुगणकीय समीकरण को हल करनाक्या x = a b प्रदान किया गया है: a > 0, a 1.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि x लघुगणक के बाहर कहीं है, उदाहरण के लिए लॉग 2 x = x-2, तो ऐसे समीकरण को पहले से ही मिश्रित कहा जाता है और इसे हल करने के लिए एक विशेष दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

आदर्श स्थिति तब होती है जब आपके सामने एक ऐसा समीकरण आता है जिसमें केवल संख्याएँ लघुगणक चिह्न के नीचे होती हैं, उदाहरण के लिए x+2 = log 2 2. यहाँ इसे हल करने के लिए लघुगणक के गुणों को जानना पर्याप्त है। लेकिन ऐसी किस्मत बार-बार नहीं मिलती, इसलिए अधिक कठिन चीजों के लिए तैयार हो जाइए।

लेकिन पहले, आइए सरल समीकरणों से शुरुआत करें। इन्हें हल करने के लिए लघुगणक की बहुत सामान्य समझ होना उचित है।

सरल लघुगणकीय समीकरणों को हल करना

इनमें लॉग 2 x = लॉग 2 16 प्रकार के समीकरण शामिल हैं। नग्न आंखें देख सकती हैं कि लघुगणक के चिह्न को हटाने पर हमें x = 16 मिलता है।

अधिक जटिल लघुगणकीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे आम तौर पर एक साधारण बीजगणितीय समीकरण को हल करने या एक साधारण लघुगणकीय समीकरण लॉग ए एक्स = बी को हल करने के लिए कम किया जाता है। सरलतम समीकरणों में यह एक गति में होता है, इसीलिए उन्हें सरलतम कहा जाता है।

लघुगणक छोड़ने की उपरोक्त विधि लघुगणक समीकरणों और असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक है। गणित में इस क्रिया को पोटेंशियेशन कहा जाता है। इस प्रकार के ऑपरेशन के लिए कुछ नियम या प्रतिबंध हैं:

• लघुगणक का संख्यात्मक आधार समान होता है
• समीकरण के दोनों पक्षों में लघुगणक स्वतंत्र हैं, अर्थात। बिना किसी गुणांक या अन्य विभिन्न प्रकार के भावों के।

मान लीजिए कि समीकरण लॉग 2 एक्स = 2 लॉग 2 (1 - एक्स) में पोटेंशिएशन लागू नहीं है - दाईं ओर गुणांक 2 इसकी अनुमति नहीं देता है। निम्नलिखित उदाहरण में, लॉग 2 x+लॉग 2 (1 - x) = लॉग 2 (1+x) भी एक प्रतिबंध को संतुष्ट नहीं करता है - बाईं ओर दो लघुगणक हैं। यदि केवल एक ही होता, तो यह बिल्कुल अलग मामला होता!

सामान्य तौर पर, आप लघुगणक तभी हटा सकते हैं जब समीकरण का रूप इस प्रकार हो:

लॉग ए (...) = लॉग ए (...)

बिल्कुल किसी भी अभिव्यक्ति को कोष्ठक में रखा जा सकता है; इसका पोटेंशिएशन ऑपरेशन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। और लघुगणक को समाप्त करने के बाद, एक सरल समीकरण रह जाएगा - रैखिक, द्विघात, घातांक, आदि, जिसे, मुझे आशा है, आप पहले से ही जानते हैं कि कैसे हल करना है।

चलिए एक और उदाहरण लेते हैं:

लॉग 3 (2x-5) = लॉग 3 एक्स

हम पोटेंशिएशन लागू करते हैं, हमें मिलता है:

लॉग 3 (2x-1) = 2

लघुगणक की परिभाषा के आधार पर, अर्थात्, लघुगणक वह संख्या है जिसके आधार को एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए जो कि लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है, अर्थात। (4x-1), हमें मिलता है:

फिर हमें एक खूबसूरत जवाब मिला. यहां हमने लघुगणक को समाप्त किए बिना किया, लेकिन पोटेंशिएशन यहां भी लागू है, क्योंकि एक लघुगणक किसी भी संख्या से बनाया जा सकता है, और बिल्कुल वही जो हमें चाहिए। यह विधि लघुगणकीय समीकरणों और विशेषकर असमानताओं को हल करने में बहुत सहायक है।

आइए पोटेंशिएशन का उपयोग करके हमारे लघुगणक समीकरण लॉग 3 (2x-1) = 2 को हल करें:

आइए संख्या 2 को एक लघुगणक के रूप में कल्पना करें, उदाहरण के लिए, यह लघुगणक 3 9, क्योंकि 3 2 =9।

फिर लॉग 3 (2x-1) = लॉग 3 9 और फिर से हमें वही समीकरण 2x-1 = 9 मिलता है। मुझे उम्मीद है कि सब कुछ स्पष्ट है।

इसलिए हमने देखा कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जो वास्तव में बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि लघुगणकीय समीकरणों को हल करना, यहां तक ​​कि सबसे भयानक और टेढ़े-मेढ़े समीकरण भी, अंत में हमेशा सबसे सरल समीकरणों को हल करने के लिए ही आते हैं।

ऊपर हमने जो कुछ भी किया, उसमें हमने एक अत्यंत महत्वपूर्ण बिंदु को नज़रअंदाज कर दिया, जो भविष्य में निर्णायक भूमिका निभाएगा। तथ्य यह है कि किसी भी लघुगणक समीकरण के समाधान, यहां तक ​​कि सबसे प्राथमिक समीकरण में भी दो समान भाग होते हैं। पहला समीकरण का स्वयं समाधान है, दूसरा अनुमेय मानों की सीमा (एपीवी) के साथ काम करना है। यह बिल्कुल पहला भाग है जिसमें हमने महारत हासिल की है। उपरोक्त उदाहरणों में, ODZ किसी भी तरह से उत्तर को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए हमने इस पर विचार नहीं किया।

चलिए एक और उदाहरण लेते हैं:

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

बाह्य रूप से, यह समीकरण प्राथमिक समीकरण से भिन्न नहीं है, जिसे बहुत सफलतापूर्वक हल किया जा सकता है। लेकिन यह वैसा नहीं है। नहीं, निश्चित रूप से हम इसे हल करेंगे, लेकिन सबसे अधिक संभावना गलत तरीके से, क्योंकि इसमें एक छोटा सा घात है, जिसमें सी-ग्रेड के छात्र और उत्कृष्ट छात्र दोनों तुरंत इसमें गिर जाते हैं। आओ हम इसे नज़दीक से देखें।

मान लीजिए कि आपको समीकरण का मूल या मूलों का योग ज्ञात करना होगा, यदि उनमें से कई हैं:

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

हम पोटेंशिएशन का उपयोग करते हैं, यह यहां स्वीकार्य है। परिणामस्वरूप, हमें एक साधारण द्विघात समीकरण प्राप्त होता है।

समीकरण की जड़ें ढूँढना:

यह दो जड़ें निकलीं।

उत्तर: 3 और -1

पहली नजर में सबकुछ सही है. लेकिन आइए परिणाम की जांच करें और इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

आइए x 1 = 3 से प्रारंभ करें:

लॉग 3 6 = लॉग 3 6

जाँच सफल रही, अब कतार x 2 = -1 है:

लॉग 3 (-2) = लॉग 3 (-2)

ठीक है, रुको! बाहर सब कुछ उत्तम है. एक बात - ऋणात्मक संख्याओं का कोई लघुगणक नहीं होता! इसका मतलब यह है कि मूल x = -1 हमारे समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है। और इसलिए सही उत्तर 3 होगा, 2 नहीं, जैसा कि हमने लिखा है।

यहीं पर ODZ ने अपनी घातक भूमिका निभाई, जिसके बारे में हम भूल चुके थे।

मैं आपको याद दिला दूं कि स्वीकार्य मानों की श्रेणी में x के वे मान शामिल हैं जिनकी अनुमति है या जो मूल उदाहरण के लिए समझ में आते हैं।

ओडीजेड के बिना, किसी भी समीकरण का कोई भी समाधान, यहां तक ​​कि बिल्कुल सही भी, लॉटरी में बदल जाता है - 50/50।

हम एक प्राथमिक प्रतीत होने वाले उदाहरण को हल करते हुए कैसे पकड़े जा सकते हैं? लेकिन ठीक पोटेंशिएशन के क्षण में। लघुगणक गायब हो गए, और उनके साथ सभी प्रतिबंध भी गायब हो गए।

ऐसे में क्या करें? लघुगणक को खत्म करने से इंकार? और इस समीकरण को हल करने से पूरी तरह इनकार कर दें?

नहीं, हम बस, एक प्रसिद्ध गीत के असली नायकों की तरह, एक चक्कर लगाएंगे!

इससे पहले कि हम किसी लघुगणकीय समीकरण को हल करना शुरू करें, हम ODZ लिखेंगे। लेकिन उसके बाद, आप हमारे समीकरण के साथ जो चाहें वह कर सकते हैं। उत्तर प्राप्त करने के बाद, हम बस उन जड़ों को बाहर निकाल देते हैं जो हमारे ODZ में शामिल नहीं हैं और अंतिम संस्करण लिखते हैं।

अब आइए तय करें कि ODZ को कैसे रिकॉर्ड किया जाए। ऐसा करने के लिए, हम मूल समीकरण की सावधानीपूर्वक जांच करते हैं और उसमें संदिग्ध स्थानों की तलाश करते हैं, जैसे कि x से विभाजन, सम मूल, आदि। जब तक हम समीकरण हल नहीं कर लेते, तब तक हम नहीं जानते कि x किसके बराबर है, लेकिन हम यह निश्चित रूप से जानते हैं कि वे x, जिन्हें प्रतिस्थापित करने पर 0 या किसी ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल से विभाजन मिलता है, स्पष्ट रूप से उत्तर के रूप में उपयुक्त नहीं हैं . इसलिए, ऐसे x अस्वीकार्य हैं, जबकि शेष ODZ का गठन करेंगे।

आइए फिर से उसी समीकरण का उपयोग करें:

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

जैसा कि आप देख सकते हैं, 0 से कोई विभाजन नहीं है, कोई वर्गमूल भी नहीं है, लेकिन लघुगणक के मुख्य भाग में x के साथ अभिव्यक्तियाँ हैं। आइए तुरंत याद रखें कि लघुगणक के अंदर अभिव्यक्ति हमेशा >0 होनी चाहिए। हम इस स्थिति को ODZ के रूप में लिखते हैं:

वे। हमने अभी तक कुछ भी हल नहीं किया है, लेकिन हमने संपूर्ण सबलॉगरिदमिक अभिव्यक्ति के लिए एक अनिवार्य शर्त पहले ही लिख ली है। घुंघराले ब्रेस का अर्थ है कि ये स्थितियाँ एक साथ सत्य होनी चाहिए।

ओडीजेड लिखा गया है, लेकिन असमानताओं की परिणामी प्रणाली को हल करना भी आवश्यक है, जो हम करेंगे। हमें उत्तर x > v3 मिलता है। अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि कौन सा x हमारे लिए उपयुक्त नहीं होगा। और फिर हम लघुगणक समीकरण को ही हल करना शुरू करते हैं, जैसा कि हमने ऊपर किया था।

उत्तर x 1 = 3 और x 2 = -1 प्राप्त करने के बाद, यह देखना आसान है कि केवल x1 = 3 ही हमारे लिए उपयुक्त है, और हम इसे अंतिम उत्तर के रूप में लिखते हैं।

भविष्य के लिए, निम्नलिखित को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है: हम किसी भी लघुगणकीय समीकरण को 2 चरणों में हल करते हैं। पहला है समीकरण को स्वयं हल करना, दूसरा है ODZ स्थिति को हल करना। दोनों चरणों को एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से निष्पादित किया जाता है और केवल उत्तर लिखते समय ही तुलना की जाती है, अर्थात। सभी अनावश्यक चीज़ों को त्यागें और सही उत्तर लिखें।

सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, हम दृढ़ता से वीडियो देखने की सलाह देते हैं:

वीडियो लॉग को हल करने के अन्य उदाहरण दिखाता है। समीकरण और व्यवहार में अंतराल विधि को कार्यान्वित करना।

इस प्रश्न पर, लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल करेंअभी के लिए इतना ही। अगर लॉग से कुछ तय होता है. समीकरण अस्पष्ट या समझ से परे हैं, अपने प्रश्न टिप्पणियों में लिखें।

नोट: सामाजिक शिक्षा अकादमी (एएसई) नए छात्रों को स्वीकार करने के लिए तैयार है।

गणित में अंतिम परीक्षा की तैयारी में एक महत्वपूर्ण खंड - "लघुगणक" शामिल है। इस विषय के कार्य आवश्यक रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल हैं। पिछले वर्षों के अनुभव से पता चलता है कि लघुगणकीय समीकरणों ने कई स्कूली बच्चों के लिए कठिनाइयाँ पैदा कीं। इसलिए, विभिन्न स्तरों के प्रशिक्षण वाले छात्रों को यह समझना चाहिए कि सही उत्तर कैसे खोजें और शीघ्रता से उनका सामना कैसे करें।

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इस वीडियो के साथ मैं लघुगणकीय समीकरणों के बारे में पाठों की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूं। अब आपके सामने तीन उदाहरण हैं, जिनके आधार पर हम सरलतम समस्याओं को हल करना सीखेंगे, जिन्हें कहा जाता है - प्रोटोजोआ.

लघुगणक 0.5 (3x − 1) = −3

लॉग (x + 3) = 3 + 2 लॉग 5

मैं आपको याद दिला दूं कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस मामले में, यह महत्वपूर्ण है कि वेरिएबल x केवल तर्क के अंदर मौजूद है, अर्थात केवल फ़ंक्शन f (x) में। और संख्याएँ a और b केवल संख्याएँ हैं, और किसी भी स्थिति में वेरिएबल x वाले फ़ंक्शन नहीं हैं।

बुनियादी समाधान के तरीके

ऐसी संरचनाओं को हल करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, स्कूल में अधिकांश शिक्षक इस पद्धति की पेशकश करते हैं: सूत्र का उपयोग करके फ़ंक्शन f (x) को तुरंत व्यक्त करें एफ ( एक्स )= ए बी . अर्थात्, जब आपका सामना सबसे सरल निर्माण से होता है, तो आप बिना किसी अतिरिक्त कार्रवाई और निर्माण के तुरंत समाधान की ओर आगे बढ़ सकते हैं।

हाँ, निःसंदेह निर्णय सही होगा। हालाँकि, इस फॉर्मूले के साथ समस्या यह है कि अधिकांश छात्र समझ में नहीं आता, यह कहाँ से आता है और हम अक्षर a को अक्षर b तक क्यों बढ़ाते हैं।

परिणामस्वरूप, मैं अक्सर बहुत कष्टप्रद गलतियाँ देखता हूँ, जब, उदाहरण के लिए, इन अक्षरों की अदला-बदली की जाती है। इस सूत्र को या तो समझा जाना चाहिए या रटना चाहिए, और दूसरी विधि सबसे अनुपयुक्त और सबसे महत्वपूर्ण क्षणों में गलतियों की ओर ले जाती है: परीक्षा, परीक्षण आदि के दौरान।

इसीलिए मैं अपने सभी छात्रों को मानक स्कूल फॉर्मूला को त्यागने और लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव देता हूं, जिसे, जैसा कि आपने शायद नाम से अनुमान लगाया है, कहा जाता है। कानूनी फॉर्म.

विहित रूप का विचार सरल है। आइए अपनी समस्या को फिर से देखें: बाईं ओर हमारे पास लॉग ए है, और अक्षर ए से हमारा मतलब एक संख्या है, और किसी भी स्थिति में वेरिएबल एक्स वाला फ़ंक्शन नहीं है। नतीजतन, यह पत्र लघुगणक के आधार पर लगाए गए सभी प्रतिबंधों के अधीन है। अर्थात्:

1 ≠ ए > 0

दूसरी ओर, उसी समीकरण से हम देखते हैं कि लघुगणक संख्या बी के बराबर होना चाहिए, और इस अक्षर पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है, क्योंकि यह कोई भी मान ले सकता है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि फ़ंक्शन f(x) कौन से मान लेता है।

और यहां हमें अपना अद्भुत नियम याद आता है कि किसी भी संख्या b को b की घात के आधार a के लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है:

बी = लॉग ए ए बी

इस सूत्र को कैसे याद रखें? हाँ, बहुत सरल. आइए निम्नलिखित निर्माण लिखें:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए

निःसंदेह, इस मामले में वे सभी प्रतिबंध उत्पन्न होते हैं जिनके बारे में हमने शुरुआत में लिखा था। आइए अब लघुगणक के मूल गुण का उपयोग करें और गुणक b को a की घात के रूप में प्रस्तुत करें। हम पाते हैं:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए = लॉग ए ए बी

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी → एफ (एक्स) = ए बी

बस इतना ही। नए फ़ंक्शन में अब लघुगणक नहीं है और इसे मानक बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

निःसंदेह, अब कोई आपत्ति करेगा: किसी प्रकार के विहित सूत्र के साथ आना क्यों आवश्यक था, यदि मूल डिज़ाइन से तुरंत अंतिम सूत्र पर जाना संभव था तो दो अतिरिक्त अनावश्यक चरण क्यों करें? हां, यदि केवल इसलिए कि अधिकांश छात्र यह नहीं समझते हैं कि यह फॉर्मूला कहां से आया है और परिणामस्वरूप, इसे लागू करते समय नियमित रूप से गलतियां करते हैं।

लेकिन क्रियाओं का यह क्रम, जिसमें तीन चरण शामिल हैं, आपको मूल लघुगणकीय समीकरण को हल करने की अनुमति देता है, भले ही आपको यह समझ में न आए कि अंतिम सूत्र कहाँ से आता है। वैसे, इस प्रविष्टि को विहित सूत्र कहा जाता है:

लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी

विहित रूप की सुविधा इस तथ्य में भी निहित है कि इसका उपयोग लघुगणक समीकरणों की एक बहुत विस्तृत श्रेणी को हल करने के लिए किया जा सकता है, न कि केवल सबसे सरल समीकरणों को हल करने के लिए जिन पर हम आज विचार कर रहे हैं।

समाधान के उदाहरण

अब आइए वास्तविक उदाहरण देखें। तो, आइए तय करें:

लघुगणक 0.5 (3x − 1) = −3

आइए इसे इस तरह फिर से लिखें:

लघुगणक 0.5 (3x −1) = लघुगणक 0.5 0.5 −3

कई छात्र जल्दी में हैं और मूल समस्या से हमारे पास आई संख्या 0.5 को तुरंत बढ़ाने का प्रयास करते हैं। दरअसल, जब आप ऐसी समस्याओं को हल करने में पहले से ही अच्छी तरह से प्रशिक्षित हैं, तो आप तुरंत यह कदम उठा सकते हैं।

हालाँकि, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन शुरू कर रहे हैं, तो आक्रामक गलतियों से बचने के लिए कहीं भी जल्दबाजी न करना बेहतर है। तो, हमारे पास विहित रूप है। हमारे पास है:

3x − 1 = 0.5 −3

यह अब एक लघुगणकीय समीकरण नहीं है, बल्कि चर x के संबंध में रैखिक है। इसे हल करने के लिए, आइए सबसे पहले −3 की घात वाली संख्या 0.5 को देखें। ध्यान दें कि 0.5 1/2 है।

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

लघुगणकीय समीकरण हल करते समय सभी दशमलव भिन्नों को सामान्य भिन्नों में बदलें।

हम फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

3x − 1 = 8
3x = 9
एक्स = 3

बस, हमें उत्तर मिल गया। पहली समस्या हल हो गई है.

दूसरा कार्य

चलिए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

जैसा कि हम देखते हैं, यह समीकरण अब सबसे सरल नहीं रह गया है। यदि केवल इसलिए कि बाईं ओर एक अंतर है, और एक आधार पर एक भी लघुगणक नहीं है।

इसलिए हमें किसी भी तरह इस अंतर से छुटकारा पाना होगा। इस मामले में, सब कुछ बहुत सरल है. आइए आधारों पर करीब से नज़र डालें: बाईं ओर मूल के नीचे की संख्या है:

सामान्य सिफ़ारिश: सभी लघुगणकीय समीकरणों में, रेडिकल से छुटकारा पाने का प्रयास करें, अर्थात, जड़ों वाली प्रविष्टियों से और घात फलन की ओर बढ़ें, केवल इसलिए क्योंकि इन घातों के घातांक आसानी से लघुगणक के चिह्न से बाहर हो जाते हैं और, अंततः, ऐसे एक प्रविष्टि गणनाओं को महत्वपूर्ण रूप से सरल और तेज़ बनाती है। आइए इसे इस तरह लिखें:

अब आइए लघुगणक के उल्लेखनीय गुण को याद करें: घात तर्क से, साथ ही आधार से भी प्राप्त किए जा सकते हैं। आधार के मामले में, निम्नलिखित होता है:

लॉग ए के बी = 1/के लॉग बी

दूसरे शब्दों में, जो संख्या आधार घात में थी उसे आगे लाया जाता है और साथ ही उलट दिया जाता है, अर्थात वह एक व्युत्क्रम संख्या बन जाती है। हमारे मामले में, आधार डिग्री 1/2 थी। इसलिए, हम इसे 2/1 के रूप में निकाल सकते हैं। हम पाते हैं:

5 2 लॉग 5 एक्स - लॉग 5 एक्स = 18
10 लॉग 5 एक्स - लॉग 5 एक्स = 18

कृपया ध्यान दें: किसी भी परिस्थिति में आपको इस चरण पर लघुगणक से छुटकारा नहीं पाना चाहिए। चौथी-पांचवीं कक्षा का गणित और संक्रियाओं का क्रम याद रखें: पहले गुणा किया जाता है, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव किया जाता है। इस मामले में, हम 10 तत्वों में से एक ही तत्व को घटाते हैं:

9 लॉग 5 x = 18
लॉग 5 x = 2

अब हमारा समीकरण वैसा ही दिखता है जैसा होना चाहिए। यह सबसे सरल निर्माण है, और हम इसे विहित रूप का उपयोग करके हल करते हैं:

लॉग 5 एक्स = लॉग 5 5 2
एक्स = 5 2
एक्स = 25

बस इतना ही। दूसरी समस्या का समाधान हो गया है.

तीसरा उदाहरण

आइए तीसरे कार्य पर चलते हैं:

लॉग (x + 3) = 3 + 2 लॉग 5

मैं आपको निम्नलिखित सूत्र याद दिला दूं:

लॉग बी = लॉग 10 बी

यदि किसी कारण से आप अंकन लॉग बी से भ्रमित हैं, तो सभी गणना करते समय आप बस लॉग 10 बी लिख सकते हैं। आप दशमलव लघुगणक के साथ उसी तरह काम कर सकते हैं जैसे दूसरों के साथ: घात लें, जोड़ें और किसी भी संख्या को एलजी 10 के रूप में प्रस्तुत करें।

यह वे गुण हैं जिनका उपयोग अब हम समस्या को हल करने के लिए करेंगे, क्योंकि यह सबसे सरल नहीं है जिसे हमने अपने पाठ की शुरुआत में लिखा था।

सबसे पहले, ध्यान दें कि एलजी 5 के सामने कारक 2 को जोड़ा जा सकता है और आधार 5 की शक्ति बन जाती है। इसके अलावा, मुक्त पद 3 को लघुगणक के रूप में भी दर्शाया जा सकता है - यह हमारे नोटेशन से देखना बहुत आसान है।

स्वयं निर्णय करें: किसी भी संख्या को आधार 10 के लॉग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

3 = लॉग 10 10 3 = लॉग 10 3

आइए प्राप्त परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए मूल समस्या को फिर से लिखें:

लॉग (x - 3) = लॉग 1000 + लॉग 25
लॉग (x - 3) = लॉग 1000 25
लॉग (x - 3) = लॉग 25,000

हमारे सामने फिर से विहित रूप है, और हमने इसे परिवर्तन चरण से गुजरे बिना प्राप्त किया, यानी सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण कहीं भी दिखाई नहीं दिया।

यह बिल्कुल वही है जिसके बारे में मैंने पाठ की शुरुआत में बात की थी। कैनोनिकल फॉर्म आपको अधिकांश स्कूल शिक्षकों द्वारा दिए जाने वाले मानक स्कूल फॉर्मूले की तुलना में समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने की अनुमति देता है।

खैर, बस इतना ही, हमें दशमलव लघुगणक के चिह्न से छुटकारा मिल जाता है, और हमें एक सरल रैखिक निर्माण मिलता है:

x + 3 = 25,000
एक्स = 24,997

सभी! समस्या सुलझ गई है।

दायरे पर एक नोट

यहां मैं परिभाषा के दायरे के संबंध में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहूंगा। निश्चित रूप से अब ऐसे छात्र और शिक्षक होंगे जो कहेंगे: "जब हम लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों को हल करते हैं, तो हमें याद रखना चाहिए कि तर्क f (x) शून्य से बड़ा होना चाहिए!" इस संबंध में, एक तार्किक प्रश्न उठता है: हमें विचार की गई किसी भी समस्या में संतुष्ट होने के लिए इस असमानता की आवश्यकता क्यों नहीं पड़ी?

चिंता न करें। इन मामलों में, कोई अतिरिक्त जड़ें दिखाई नहीं देंगी। और यह एक और बढ़िया तरकीब है जो आपको समाधान को तेज़ करने की अनुमति देती है। बस यह जान लें कि यदि समस्या में वेरिएबल x केवल एक ही स्थान पर होता है (या बल्कि, एकल लघुगणक के एक एकल तर्क में), और हमारे मामले में कहीं और वेरिएबल x दिखाई नहीं देता है, तो परिभाषा के डोमेन को लिखें कोई ज़रुरत नहीं है, क्योंकि यह स्वचालित रूप से निष्पादित हो जाएगा।

स्वयं निर्णय करें: पहले समीकरण में हमें मिला कि 3x - 1, यानी तर्क 8 के बराबर होना चाहिए। इसका स्वचालित रूप से मतलब है कि 3x - 1 शून्य से बड़ा होगा।

उसी सफलता के साथ हम लिख सकते हैं कि दूसरे मामले में x 5 2 के बराबर होना चाहिए, यानी यह निश्चित रूप से शून्य से बड़ा है। और तीसरे मामले में, जहां x + 3 = 25,000, यानी, फिर से, स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक है। दूसरे शब्दों में, दायरा स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाता है, लेकिन केवल तभी जब x केवल एक लघुगणक के तर्क में होता है।

सबसे सरल समस्याओं को हल करने के लिए आपको बस इतना ही जानना आवश्यक है। अकेले यह नियम, परिवर्तन नियमों के साथ, आपको समस्याओं की एक बहुत विस्तृत श्रेणी को हल करने की अनुमति देगा।

लेकिन आइए ईमानदार रहें: अंततः इस तकनीक को समझने के लिए, लघुगणकीय समीकरण के विहित रूप को लागू करने का तरीका जानने के लिए, केवल एक वीडियो पाठ देखना पर्याप्त नहीं है। इसलिए, अभी, इस वीडियो पाठ से जुड़े स्वतंत्र समाधानों के विकल्पों को डाउनलोड करें और इन दो स्वतंत्र कार्यों में से कम से कम एक को हल करना शुरू करें।

इसमें आपको वस्तुतः कुछ ही मिनट लगेंगे। लेकिन इस तरह के प्रशिक्षण का प्रभाव इस वीडियो पाठ को देखने से कहीं अधिक होगा।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको लघुगणकीय समीकरणों को समझने में मदद करेगा। विहित प्रपत्र का उपयोग करें, लघुगणक के साथ काम करने के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं - और आप किसी भी समस्या से नहीं डरेंगे। आज के लिए मेरे पास बस इतना ही है।

परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए

अब आइए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के बारे में बात करें, और यह लॉगरिदमिक समीकरणों के समाधान को कैसे प्रभावित करता है। प्रपत्र के निर्माण पर विचार करें

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

ऐसी अभिव्यक्ति को सबसे सरल कहा जाता है - इसमें केवल एक फ़ंक्शन होता है, और संख्या ए और बी केवल संख्याएं होती हैं, और किसी भी स्थिति में कोई फ़ंक्शन नहीं होता है जो चर x पर निर्भर करता है। इसे बहुत ही सरलता से हल किया जा सकता है. आपको बस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

बी = लॉग ए ए बी

यह सूत्र लघुगणक के प्रमुख गुणों में से एक है, और जब इसे हमारी मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी

एफ (एक्स) = ए बी

यह स्कूली पाठ्यपुस्तकों का एक परिचित सूत्र है। कई छात्रों के मन में शायद एक प्रश्न होगा: चूँकि मूल अभिव्यक्ति में फ़ंक्शन f (x) लॉग चिह्न के अंतर्गत है, इस पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं:

एफ(एक्स) > 0

यह सीमा लागू होती है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का लघुगणक मौजूद नहीं है। तो, शायद, इस सीमा के परिणामस्वरूप, उत्तरों पर जाँच शुरू की जानी चाहिए? शायद उन्हें स्रोत में डालने की आवश्यकता है?

नहीं, सरलतम लघुगणकीय समीकरणों में अतिरिक्त जाँच अनावश्यक है। और यही कारण है। हमारे अंतिम सूत्र पर एक नज़र डालें:

एफ (एक्स) = ए बी

तथ्य यह है कि संख्या a किसी भी स्थिति में 0 से अधिक है - यह आवश्यकता भी लघुगणक द्वारा लगाई जाती है। संख्या a आधार है. इस मामले में, संख्या बी पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किसी सकारात्मक संख्या को किस शक्ति तक बढ़ाते हैं, फिर भी हमें आउटपुट पर एक सकारात्मक संख्या ही मिलेगी। इस प्रकार, आवश्यकता f (x) > 0 स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाती है।

वास्तव में जांचने लायक बात यह है कि लॉग साइन के तहत फ़ंक्शन का डोमेन क्या है। वहाँ काफी जटिल संरचनाएँ हो सकती हैं, और आपको समाधान प्रक्रिया के दौरान निश्चित रूप से उन पर नज़र रखने की आवश्यकता है। आइये एक नजर डालते हैं.

पहला कार्य:

पहला चरण: भिन्न को दाईं ओर परिवर्तित करें। हम पाते हैं:

हम लघुगणक चिन्ह से छुटकारा पाते हैं और सामान्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

प्राप्त जड़ों में से केवल पहला ही हमें उपयुक्त लगता है, क्योंकि दूसरा मूल शून्य से कम है। इसका एकमात्र उत्तर संख्या 9 होगा। बस, समस्या हल हो गई। यह सुनिश्चित करने के लिए किसी अतिरिक्त जाँच की आवश्यकता नहीं है कि लघुगणक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति 0 से अधिक है, क्योंकि यह न केवल 0 से अधिक है, बल्कि समीकरण की स्थिति के अनुसार यह 2 के बराबर है। इसलिए, आवश्यकता "शून्य से अधिक" है ” स्वचालित रूप से संतुष्ट है.

चलिए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

यहां हर एक चीज़ समान है। हम ट्रिपल की जगह, निर्माण को फिर से लिखते हैं:

हम लघुगणक चिन्हों से छुटकारा पाते हैं और एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए दोनों पक्षों को वर्गित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

हम विवेचक के माध्यम से परिणामी समीकरण को हल करते हैं:

डी = 49 − 24 = 25

एक्स 1 = −1

एक्स 2 = −6

लेकिन x = −6 हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि यदि हम इस संख्या को अपनी असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें मिलता है:

−6 + 4 = −2 < 0

हमारे मामले में, यह आवश्यक है कि यह 0 से अधिक हो या चरम मामलों में, बराबर हो। लेकिन x = −1 हमारे लिए उपयुक्त है:

−1 + 4 = 3 > 0

हमारे मामले में एकमात्र उत्तर x = −1 होगा। यही समाधान है. आइए अपनी गणना की बिल्कुल शुरुआत पर वापस जाएं।

इस पाठ से मुख्य बात यह है कि आपको सरल लघुगणकीय समीकरणों में किसी फ़ंक्शन पर बाधाओं की जांच करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि समाधान प्रक्रिया के दौरान सभी बाधाएँ स्वतः ही संतुष्ट हो जाती हैं।

हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि आप जाँच करना पूरी तरह से भूल सकते हैं। लघुगणकीय समीकरण पर काम करने की प्रक्रिया में, यह एक अतार्किक समीकरण में बदल सकता है, जिसके दाईं ओर के लिए अपने स्वयं के प्रतिबंध और आवश्यकताएं होंगी, जिसे हमने आज दो अलग-अलग उदाहरणों में देखा है।

ऐसी समस्याओं को बेझिझक हल करें और यदि तर्क में कोई जड़ हो तो विशेष रूप से सावधान रहें।

विभिन्न आधारों वाले लघुगणकीय समीकरण

हम लघुगणक समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और दो और काफी दिलचस्प तकनीकों को देखते हैं जिनके साथ अधिक जटिल निर्माणों को हल करना फैशनेबल है। लेकिन पहले, आइए याद रखें कि सबसे सरल समस्याओं का समाधान कैसे किया जाता है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस प्रविष्टि में, ए और बी संख्याएं हैं, और फ़ंक्शन एफ (एक्स) में वेरिएबल एक्स मौजूद होना चाहिए, और केवल वहां, यानी, एक्स केवल तर्क में होना चाहिए। हम विहित रूप का उपयोग करके ऐसे लघुगणकीय समीकरणों को रूपांतरित करेंगे। ऐसा करने के लिए, उस पर ध्यान दें

बी = लॉग ए ए बी

इसके अलावा, a b बिल्कुल एक तर्क है। आइए इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें:

लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी

यह वही है जो हम हासिल करने की कोशिश कर रहे हैं, ताकि बाएं और दाएं दोनों पर a को आधार बनाने के लिए एक लघुगणक हो। इस मामले में, हम आलंकारिक रूप से बोल सकते हैं, लॉग चिह्नों को काट सकते हैं, और गणितीय दृष्टिकोण से हम कह सकते हैं कि हम केवल तर्कों की बराबरी कर रहे हैं:

एफ (एक्स) = ए बी

परिणामस्वरूप, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलेगी जिसे हल करना बहुत आसान होगा। आइए इस नियम को आज अपनी समस्याओं पर लागू करें।

तो, पहला डिज़ाइन:

सबसे पहले, मैं ध्यान देता हूं कि दाईं ओर एक भिन्न है जिसका हर लॉग है। जब आप इस तरह की अभिव्यक्ति देखते हैं, तो लघुगणक की एक अद्भुत संपत्ति को याद रखना एक अच्छा विचार है:

रूसी में अनुवादित, इसका मतलब है कि किसी भी लघुगणक को किसी भी आधार सी के साथ दो लघुगणक के भागफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। बेशक 0< с ≠ 1.

तो: इस सूत्र में एक अद्भुत विशेष मामला है, जब चर सी चर के बराबर है बी। इस मामले में हमें एक निर्माण मिलता है जैसे:

यह बिल्कुल वही निर्माण है जो हम अपने समीकरण में दाईं ओर के चिह्न से देखते हैं। आइए इस निर्माण को लॉग ए बी से बदलें, हमें मिलता है:

दूसरे शब्दों में, मूल कार्य की तुलना में, हमने तर्क और लघुगणक के आधार की अदला-बदली की। इसके बजाय, हमें भिन्न को उलटना पड़ा।

हमें याद है कि किसी भी डिग्री को निम्नलिखित नियम के अनुसार आधार से प्राप्त किया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, गुणांक k, जो आधार की शक्ति है, को उल्टे अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। आइए इसे एक उल्टे अंश के रूप में प्रस्तुत करें:

भिन्नात्मक गुणनखंड को सामने नहीं छोड़ा जा सकता, क्योंकि इस स्थिति में हम इस अंकन को विहित रूप में प्रस्तुत नहीं कर पाएंगे (आखिरकार, विहित रूप में दूसरे लघुगणक से पहले कोई अतिरिक्त गुणनखंड नहीं होता है)। इसलिए, आइए भिन्न 1/4 को तर्क में घात के रूप में जोड़ें:

अब हम उन तर्कों को बराबर करते हैं जिनके आधार समान हैं (और हमारे आधार वास्तव में समान हैं), और लिखें:

एक्स + 5 = 1

एक्स = −4

बस इतना ही। हमें पहले लघुगणकीय समीकरण का उत्तर मिल गया। कृपया ध्यान दें: मूल समस्या में, वेरिएबल x केवल एक लॉग में दिखाई देता है, और यह इसके तर्क में दिखाई देता है। इसलिए, डोमेन की जाँच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और हमारी संख्या x = −4 वास्तव में उत्तर है।

अब चलिए दूसरी अभिव्यक्ति पर चलते हैं:

लॉग 56 = लॉग 2 लॉग 2 7 - 3लॉग (x + 4)

यहां, सामान्य लघुगणक के अलावा, हमें लॉग एफ (एक्स) के साथ काम करना होगा। ऐसे समीकरण को कैसे हल करें? एक अप्रशिक्षित छात्र को ऐसा लग सकता है कि यह किसी प्रकार का कठिन कार्य है, लेकिन वास्तव में सब कुछ प्राथमिक तरीके से हल किया जा सकता है।

एलजी 2 लॉग 2 7 शब्द पर करीब से नज़र डालें। हम इसके बारे में क्या कह सकते हैं? लॉग और एलजी के आधार और तर्क समान हैं, और इससे कुछ विचार मिलने चाहिए। आइए एक बार फिर याद करें कि लघुगणक के चिह्न के नीचे से घातें कैसे निकाली जाती हैं:

लॉग ए बी एन = एनलॉग ए बी

दूसरे शब्दों में, तर्क में b की शक्ति क्या थी, लॉग के सामने एक कारक बन जाती है। आइए इस सूत्र को अभिव्यक्ति lg 2 log 2 7 पर लागू करें। lg 2 से डरें नहीं - यह सबसे आम अभिव्यक्ति है। आप इसे इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

किसी अन्य लघुगणक पर लागू होने वाले सभी नियम इसके लिए मान्य हैं। विशेष रूप से, सामने वाले कारक को तर्क की डिग्री में जोड़ा जा सकता है। आइए इसे लिखें:

अक्सर विद्यार्थी इस क्रिया को सीधे नहीं देख पाते, क्योंकि एक लॉग में दूसरे के साइन के नीचे प्रवेश करना अच्छा नहीं होता। वास्तव में, इसमें कुछ भी आपराधिक नहीं है। इसके अलावा, हमें एक सूत्र मिलता है जिसकी गणना करना आसान है यदि आपको एक महत्वपूर्ण नियम याद है:

इस सूत्र को परिभाषा और इसके गुणों में से एक दोनों के रूप में माना जा सकता है। किसी भी स्थिति में, यदि आप एक लघुगणकीय समीकरण को परिवर्तित कर रहे हैं, तो आपको इस सूत्र को उसी तरह जानना चाहिए जैसे आप किसी संख्या के लॉग प्रतिनिधित्व को जानते हैं।

चलिए अपने काम पर वापस आते हैं। हम इसे इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखते हैं कि समान चिह्न के दाईं ओर का पहला पद केवल lg 7 के बराबर होगा। हमारे पास है:

एलजी 56 = एलजी 7 - 3 एलजी (एक्स + 4)

आइए एलजी 7 को बाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है:

एलजी 56 − एलजी 7 = −3 एलजी (एक्स + 4)

हम बाईं ओर के भावों को घटाते हैं क्योंकि उनका आधार समान है:

एलजी (56/7) = −3 एलजी (एक्स + 4)

आइए अब हमें प्राप्त समीकरण पर करीब से नज़र डालें। यह व्यावहारिक रूप से विहित रूप है, लेकिन दाईं ओर एक कारक −3 है। आइए इसे सही एलजी तर्क में जोड़ें:

लघुगणक 8 = लघुगणक (x + 4) −3

हमारे सामने लघुगणकीय समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम एलजी चिह्नों को काट देते हैं और तर्कों को बराबर करते हैं:

(एक्स + 4) −3 = 8

एक्स + 4 = 0.5

बस इतना ही! हमने दूसरा लघुगणकीय समीकरण हल किया। इस मामले में, किसी अतिरिक्त जाँच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समस्या में x केवल एक तर्क में मौजूद था।

आइए मैं इस पाठ के मुख्य बिंदुओं को फिर से सूचीबद्ध करूं।

लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित इस पृष्ठ के सभी पाठों में जो मुख्य सूत्र पढ़ाया जाता है वह विहित रूप है। और इस तथ्य से डरो मत कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकें आपको ऐसी समस्याओं को अलग तरीके से हल करना सिखाती हैं। यह उपकरण बहुत प्रभावी ढंग से काम करता है और आपको उन सरलतम समस्याओं की तुलना में कहीं अधिक व्यापक श्रेणी की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है जिनका अध्ययन हमने अपने पाठ की शुरुआत में ही किया था।

इसके अलावा, लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल गुणों को जानना उपयोगी होगा। अर्थात्:

1. एक आधार पर जाने का सूत्र और विशेष स्थिति जब हम लॉग को रिवर्स करते हैं (यह पहली समस्या में हमारे लिए बहुत उपयोगी था);
2. लघुगणक चिह्न से घात जोड़ने और घटाने का सूत्र। यहां, कई छात्र फंस जाते हैं और यह नहीं देख पाते हैं कि निकाली गई और पेश की गई डिग्री में लॉग एफ (एक्स) शामिल हो सकता है। उसमें कोी बुराई नहीं है। हम एक लॉग को दूसरे के संकेत के अनुसार पेश कर सकते हैं और साथ ही समस्या के समाधान को काफी सरल बना सकते हैं, जो कि हम दूसरे मामले में देखते हैं।

अंत में, मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि इनमें से प्रत्येक मामले में परिभाषा के क्षेत्र की जांच करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि हर जगह चर x लॉग के केवल एक चिह्न में मौजूद है, और साथ ही इसके तर्क में भी मौजूद है। परिणामस्वरूप, दायरे की सभी आवश्यकताएँ स्वचालित रूप से पूरी हो जाती हैं।

परिवर्तनीय आधार के साथ समस्याएँ

आज हम लघुगणक समीकरणों को देखेंगे, जो कई छात्रों के लिए गैर-मानक लगते हैं, यदि पूरी तरह से अघुलनशील नहीं हैं। हम संख्याओं पर नहीं, बल्कि चरों और सम फलनों पर आधारित व्यंजकों के बारे में बात कर रहे हैं। हम अपनी मानक तकनीक का उपयोग करके, अर्थात् विहित रूप के माध्यम से, ऐसे निर्माणों को हल करेंगे।

सबसे पहले, आइए याद रखें कि सामान्य संख्याओं के आधार पर सबसे सरल समस्याओं को कैसे हल किया जाता है। तो, सबसे सरल निर्माण कहा जाता है

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

बी = लॉग ए ए बी

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए ए बी

फिर हम तर्कों को बराबर करते हैं, यानी हम लिखते हैं:

एफ (एक्स) = ए बी

इस प्रकार, हम लॉग साइन से छुटकारा पाते हैं और सामान्य समस्या का समाधान करते हैं। इस स्थिति में, समाधान से प्राप्त मूल मूल लघुगणकीय समीकरण के मूल होंगे। इसके अलावा, एक रिकॉर्ड जब बाएँ और दाएँ दोनों एक ही आधार के साथ एक ही लघुगणक में होते हैं, तो उसे सटीक रूप से विहित रूप कहा जाता है। यह ऐसे रिकॉर्ड के लिए है कि हम आज के डिज़ाइनों को कम करने का प्रयास करेंगे। तो चलते हैं।

पहला कार्य:

लॉग x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 को log x - 2 (x - 2) 1 से बदलें। तर्क में हम जो डिग्री देखते हैं वह वास्तव में संख्या बी है जो समान चिह्न के दाईं ओर खड़ी है। इस प्रकार, आइए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें। हम पाते हैं:

लॉग x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = लॉग x - 2 (x - 2)

हम क्या देखते हैं? हमारे सामने लघुगणक समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम तर्कों को सुरक्षित रूप से बराबर कर सकते हैं। हम पाते हैं:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

लेकिन समाधान यहीं ख़त्म नहीं होता, क्योंकि यह समीकरण मूल समीकरण के समतुल्य नहीं है। आख़िरकार, परिणामी निर्माण में ऐसे फ़ंक्शन शामिल होते हैं जो संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं, और हमारे मूल लघुगणक हर जगह और हमेशा परिभाषित नहीं होते हैं।

इसलिए, हमें परिभाषा के क्षेत्र को अलग से लिखना चाहिए। आइए बालों को विभाजित न करें और पहले सभी आवश्यकताओं को लिखें:

सबसे पहले, प्रत्येक लघुगणक का तर्क 0 से अधिक होना चाहिए:

2x 2 − 13x + 18 > 0

एक्स - 2 > 0

दूसरे, आधार न केवल 0 से बड़ा होना चाहिए, बल्कि 1 से भिन्न भी होना चाहिए:

एक्स - 2 ≠ 1

परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम मिलता है:

लेकिन चिंतित न हों: लॉगरिदमिक समीकरणों को संसाधित करते समय, ऐसी प्रणाली को काफी सरल बनाया जा सकता है।

स्वयं जज करें: एक ओर, हमसे अपेक्षा की जाती है कि द्विघात फलन शून्य से बड़ा हो, और दूसरी ओर, यह द्विघात फलन एक निश्चित रैखिक अभिव्यक्ति के बराबर हो, जिसके लिए यह भी आवश्यक है कि यह शून्य से अधिक हो।

इस मामले में, यदि हमें x - 2 > 0 की आवश्यकता है, तो आवश्यकता 2x 2 - 13x + 18 > 0 स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाएगी। इसलिए, हम द्विघात फ़ंक्शन वाली असमानता को सुरक्षित रूप से पार कर सकते हैं। इस प्रकार, हमारे सिस्टम में निहित अभिव्यक्तियों की संख्या घटकर तीन हो जाएगी।

बेशक, उसी सफलता के साथ हम रैखिक असमानता को पार कर सकते हैं, यानी, x - 2 > 0 को काट सकते हैं और इसके लिए 2x 2 - 13x + 18 > 0 की आवश्यकता होती है। लेकिन आप इस बात से सहमत होंगे कि सबसे सरल रैखिक असमानता को हल करना बहुत तेज़ है और द्विघात की तुलना में सरल, इस शर्त के तहत भी कि इस संपूर्ण प्रणाली को हल करने के परिणामस्वरूप हमें समान जड़ें मिलती हैं।

सामान्य तौर पर, जब भी संभव हो गणनाओं को अनुकूलित करने का प्रयास करें। और लघुगणकीय समीकरणों के मामले में, सबसे कठिन असमानताओं को हटा दें।

आइए अपने सिस्टम को फिर से लिखें:

यहां तीन अभिव्यक्तियों की एक प्रणाली है, जिनमें से दो पर हम वास्तव में पहले ही चर्चा कर चुके हैं। आइए द्विघात समीकरण को अलग से लिखें और इसे हल करें:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

हमारे सामने एक छोटा द्विघात त्रिपद है और इसलिए, हम विएटा के सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

(एक्स − 5)(एक्स − 2) = 0

एक्स 1 = 5

एक्स 2 = 2

अब हम अपने सिस्टम पर लौटते हैं और पाते हैं कि x = 2 हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि हमें आवश्यकता है कि x पूर्णतः 2 से बड़ा हो।

लेकिन x = 5 हमारे लिए बिल्कुल उपयुक्त है: संख्या 5, 2 से बड़ी है, और साथ ही 5, 3 के बराबर नहीं है। इसलिए, इस प्रणाली का एकमात्र समाधान x = 5 होगा।

बस, ओडीजेड को ध्यान में रखते हुए समस्या हल हो गई है। आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं। अधिक रोचक और जानकारीपूर्ण गणनाएँ यहाँ हमारा इंतजार कर रही हैं:

पहला कदम: पिछली बार की तरह हम इस पूरे मामले को विहित स्वरूप में लाते हैं. ऐसा करने के लिए, हम संख्या 9 को इस प्रकार लिख सकते हैं:

आपको आधार को जड़ से छूने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन तर्क को रूपांतरित करना बेहतर है। आइए एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ जड़ से घात की ओर चलें। आइए लिखें:

मैं हमारे पूरे बड़े लघुगणकीय समीकरण को फिर से नहीं लिखूंगा, लेकिन तुरंत तर्कों को बराबर कर दूंगा:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

इससे पहले कि हम एक नया कम किया गया द्विघात त्रिपद है, आइए विएटा के सूत्रों का उपयोग करें और लिखें:

(एक्स + 3)(एक्स + 1) = 0

एक्स 1 = −3

एक्स 2 = −1

तो, हमें जड़ें मिल गईं, लेकिन किसी ने हमें गारंटी नहीं दी कि वे मूल लघुगणकीय समीकरण में फिट होंगे। आखिरकार, लॉग संकेत अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते हैं (यहां हमें सिस्टम को लिखना चाहिए था, लेकिन संपूर्ण संरचना की बोझिल प्रकृति के कारण, मैंने परिभाषा के डोमेन की अलग से गणना करने का निर्णय लिया)।

सबसे पहले, याद रखें कि तर्क 0 से अधिक होने चाहिए, अर्थात्:

ये परिभाषा के दायरे द्वारा लगाई गई आवश्यकताएं हैं।

आइए तुरंत ध्यान दें कि चूंकि हम सिस्टम के पहले दो भावों को एक-दूसरे के बराबर करते हैं, हम उनमें से किसी को भी काट सकते हैं। आइए पहले वाले को हटा दें क्योंकि यह दूसरे वाले से अधिक खतरनाक लगता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि दूसरी और तीसरी असमानताओं का समाधान समान सेट होगा (किसी संख्या का घन शून्य से बड़ा होता है, यदि यह संख्या स्वयं शून्य से बड़ी होती है; इसी तरह, तीसरी डिग्री की जड़ के साथ - ये असमानताएं पूरी तरह से समान हैं, इसलिए हम इसे काट सकते हैं)।

लेकिन तीसरी असमानता के साथ यह काम नहीं करेगा। आइए दोनों भागों को एक घन में बढ़ाकर बाईं ओर मूल चिह्न से छुटकारा पाएं। हम पाते हैं:

तो हमें निम्नलिखित आवश्यकताएँ मिलती हैं:

− 2 ≠ x > −3

हमारा कौन सा मूल: x 1 = −3 या x 2 = −1 इन आवश्यकताओं को पूरा करता है? जाहिर है, केवल x = −1, क्योंकि x = −3 पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता है (क्योंकि हमारी असमानता सख्त है)। तो, अपनी समस्या पर लौटते हुए, हमें एक मूल मिलता है: x = −1। बस, समस्या हल हो गई।

एक बार फिर इस कार्य के मुख्य बिंदु:

1. बेझिझक विहित रूप का उपयोग करके लघुगणकीय समीकरणों को लागू करें और हल करें। जो छात्र मूल समस्या से सीधे लॉग ए एफ (एक्स) = बी जैसे निर्माण की ओर बढ़ने के बजाय ऐसा नोटेशन बनाते हैं, वे उन लोगों की तुलना में बहुत कम त्रुटियां करते हैं जो गणना के मध्यवर्ती चरणों को छोड़कर कहीं भागते हैं;
2. जैसे ही लघुगणक में एक परिवर्तनीय आधार प्रकट होता है, समस्या सबसे सरल नहीं रह जाती है। इसलिए, इसे हल करते समय, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है: तर्क शून्य से अधिक होने चाहिए, और आधार न केवल 0 से अधिक होने चाहिए, बल्कि वे 1 के बराबर भी नहीं होने चाहिए।

अंतिम आवश्यकताओं को विभिन्न तरीकों से अंतिम उत्तरों पर लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप परिभाषा के क्षेत्र के लिए सभी आवश्यकताओं वाली एक संपूर्ण प्रणाली को हल कर सकते हैं। दूसरी ओर, आप पहले समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं, और फिर परिभाषा के क्षेत्र को याद कर सकते हैं, इसे एक प्रणाली के रूप में अलग से काम कर सकते हैं और इसे प्राप्त जड़ों पर लागू कर सकते हैं।

किसी विशेष लघुगणकीय समीकरण को हल करते समय कौन सी विधि चुननी है यह आप पर निर्भर है। किसी भी स्थिति में, उत्तर वही होगा.

आइए कुछ प्रकार के लघुगणक समीकरणों पर विचार करें, जिन पर स्कूल में गणित के पाठों में अक्सर चर्चा नहीं की जाती है, लेकिन एकीकृत राज्य परीक्षा सहित प्रतिस्पर्धी कार्यों की तैयारी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

1. लघुगणक विधि द्वारा हल किये गये समीकरण

आधार और घातांक दोनों में एक चर वाले समीकरणों को हल करते समय, लघुगणक विधि का उपयोग किया जाता है। यदि, एक ही समय में, घातांक में एक लघुगणक होता है, तो समीकरण के दोनों पक्षों को इस लघुगणक के आधार पर लघुगणक किया जाना चाहिए।

उदाहरण 1।

समीकरण हल करें: x log 2 x+2 = 8.

समाधान।

आइए समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों के लघुगणक को आधार 2 पर लें। हमें मिलता है

लॉग 2 (x लॉग 2 x + 2) = लॉग 2 8,

(लॉग 2 एक्स + 2) लॉग 2 एक्स = 3।

माना लघुगणक 2 x = t.

तब (t + 2)t = 3.

टी 2 + 2टी – 3 = 0.

डी = 16. टी 1 = 1; टी 2 = -3.

तो लघुगणक 2 x = 1 और x 1 = 2 या लघुगणक 2 x = -3 और x 2 =1/8

उत्तर: 1/8; 2.

2. सजातीय लघुगणकीय समीकरण।

उदाहरण 2.

समीकरण को हल करें log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

समाधान।

समीकरण का डोमेन

(एक्स 2 – 3एक्स + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

लॉग 3 (x + 5) = 0 x = -4 पर। जाँच करके हम यह निर्धारित करते हैं कि x का यह मान नहीं है मूल समीकरण का मूल है. इसलिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को लघुगणक 2 3 (x + 5) से विभाजित कर सकते हैं।

हमें लॉग 2 3 (x 2 - 3x + 4) / लॉग 2 3 (x + 5) - 3 लॉग 3 (x 2 - 3x + 4) / लॉग 3 (x + 5) + 2 = 0 मिलता है।

मान लीजिए लघुगणक 3 (x 2 – 3x + 4) / लघुगणक 3 (x + 5) = t। तब t 2 – 3 t + 2 = 0. इस समीकरण के मूल 1 हैं; 2. मूल चर पर लौटने पर, हमें दो समीकरणों का एक सेट प्राप्त होता है

लेकिन लघुगणक के अस्तित्व को ध्यान में रखते हुए, हमें केवल मान (0; 9] पर विचार करने की आवश्यकता है। इसका मतलब है कि बाईं ओर की अभिव्यक्ति x = 1 पर सबसे बड़ा मान 2 लेती है। अब फ़ंक्शन y = पर विचार करें 2 x-1 + 2 1-x। यदि हम t = 2 x -1 लेते हैं, तो यह y = t + 1/t का रूप लेगा, जहां t > 0. ऐसी परिस्थितियों में, इसका एक ही क्रांतिक बिंदु t है। = 1. यह न्यूनतम बिंदु है। Y vin = 2. और यह x = 1 पर पहुंच गया है।

अब यह स्पष्ट है कि विचाराधीन कार्यों के ग्राफ केवल एक बार बिंदु (1; 2) पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं। इससे पता चलता है कि हल किए जा रहे समीकरण का एकमात्र मूल x = 1 है।

उत्तर: एक्स = 1.

उदाहरण 5. समीकरण को हल करें log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x

समाधान।

आइए लघुगणक 2x के लिए इस समीकरण को हल करें। माना लघुगणक 2 x = t. तब t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

डी = (एक्स - 1) 2 - 4(2एक्स - 6) = (एक्स - 5) 2। टी 1 = -2; टी 2 = 3 – एक्स.

हमें समीकरण लॉग 2 x = -2 या लॉग 2 x = 3 - x मिलता है।

पहले समीकरण का मूल x 1 = 1/4 है।

हम चयन द्वारा समीकरण लॉग 2 x = 3 - x का मूल ज्ञात करेंगे। यह संख्या 2 है। यह मूल अद्वितीय है, क्योंकि फ़ंक्शन y = log 2 x परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y = 3 - x घट रहा है।

यह जाँचना आसान है कि दोनों संख्याएँ समीकरण के मूल हैं

उत्तर:1/4; 2.

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जैसा कि आप जानते हैं, जब भावों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जुड़ते हैं (a b *a c = a b+c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज़ द्वारा तैयार किया गया था, और बाद में, 8वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक घातांक की एक तालिका बनाई। यह वे ही थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए काम किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां आपको सरल जोड़ द्वारा बोझिल गुणन को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट बिताते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे काम करना है। सरल एवं सुलभ भाषा में.

गणित में परिभाषा

एक लघुगणक निम्नलिखित रूप की एक अभिव्यक्ति है: log a b=c, अर्थात, किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या (अर्थात, कोई भी सकारात्मक) का लघुगणक "b" से उसके आधार "a" को घात "c" माना जाता है। ” जिसके लिए अंततः मूल्य “बी” प्राप्त करने के लिए आधार “ए” को ऊपर उठाया जाना चाहिए। आइए उदाहरणों का उपयोग करके लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक अभिव्यक्ति है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत सरल है, आपको ऐसी शक्ति ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक शक्ति तक आपको 8 प्राप्त हो। अपने दिमाग में कुछ गणना करने के बाद, हमें संख्या 3 मिलती है! और यह सच है, क्योंकि 2 की घात 3 का उत्तर 8 होता है।

लघुगणक के प्रकार

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना है। लघुगणकीय अभिव्यक्ति के तीन अलग-अलग प्रकार हैं:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव ए, जहां आधार 10 है।
3. किसी भी संख्या b से आधार a>1 का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें लघुगणक प्रमेयों का उपयोग करके सरलीकरण, कमी और बाद में एकल लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, आपको उन्हें हल करते समय उनके गुणों और क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में कई नियम-बाधाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा का विषय नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं का सम मूल निकालना भी असंभव है। लघुगणक के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप लंबी और क्षमता वाले लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के साथ भी आसानी से काम करना सीख सकते हैं:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि किसी भी डिग्री पर "1" और "0" हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b >0, तो यह पता चलता है कि "c" भी शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, कार्य समीकरण 10 x = 100 का उत्तर खोजने के लिए दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको संख्या दस को बढ़ाकर एक घात चुननी होगी जिससे हमें 100 प्राप्त होगा। यह, निश्चित रूप से, 10 2 = है 100.

आइए अब इस अभिव्यक्ति को लघुगणकीय रूप में प्रस्तुत करें। हमें लघुगणक 10 100 = 2 प्राप्त होता है। लघुगणक को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस शक्ति को खोजने के लिए एकत्रित होती हैं जिस तक किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लघुगणक के आधार में प्रवेश करना आवश्यक होता है।

किसी अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आपके पास तकनीकी दिमाग और गुणन सारणी का ज्ञान है तो कुछ घातांकों का सहज अनुमान लगाया जा सकता है। हालाँकि, बड़े मूल्यों के लिए आपको एक पावर टेबल की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग वे लोग भी कर सकते हैं जो जटिल गणितीय विषयों के बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है जिससे संख्या a बढ़ा दी गई है। चौराहे पर, कोशिकाओं में संख्या मान होते हैं जो उत्तर (एसी = बी) होते हैं। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 वाली पहली सेल लें और इसे वर्गित करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारी दो कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे सच्चा मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानताएँ

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति को लघुगणकीय समानता के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को चार के बराबर 81 के आधार 3 लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक घातों के लिए नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम इसे लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लघुगणक 2 (1/32) = -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक अनुभागों में से एक "लघुगणक" का विषय है। हम उनके गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, नीचे दिए गए समीकरणों के उदाहरण और समाधान देखेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1) > 3 - यह एक लघुगणकीय असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है। और अभिव्यक्ति में दो मात्राओं की तुलना भी की गई है: वांछित संख्या का आधार दो का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणक समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 x = √9) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों स्वीकार्य की सीमा इस फ़ंक्शन को तोड़कर मान और अंक निर्धारित किए जाते हैं। परिणामस्वरूप, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक सरल सेट नहीं है, जैसा कि किसी समीकरण के उत्तर में होता है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट होता है।

लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेय

लघुगणक के मान ज्ञात करने की आदिम समस्याओं को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल पाता है। हालाँकि, जब लघुगणक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लघुगणक के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम समीकरणों के उदाहरण बाद में देखेंगे; आइए पहले प्रत्येक संपत्ति को अधिक विस्तार से देखें।

1. मुख्य पहचान इस तरह दिखती है: एक logaB =B. यह तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद का लघुगणक निम्नलिखित सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2। इस मामले में, अनिवार्य शर्त है: डी, ​​एस 1 और एस 2 > 0; a≠1. आप उदाहरण और समाधान सहित इस लघुगणकीय सूत्र का प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए कि log a s 1 = f 1 है और log a s 2 = f 2 है, तो a f1 = s 1, a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (के गुण डिग्री ), और फिर परिभाषा के अनुसार: लॉग ए (एस 1 * एस 2) = एफ 1 + एफ 2 = लॉग ए एस 1 + लॉग ए एस 2, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1/ एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: लॉग ए क्यू बी एन = एन/क्यू लॉग ए बी।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित प्राकृतिक अभिधारणाओं पर आधारित हैं। आइए सबूत देखें.

मान लीजिए a b = t लॉग करें, तो यह a t = b निकलता है। यदि हम दोनों भागों को घात m तक बढ़ाएँ: a tn = b n ;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n, इसलिए log a q b n = (n*t)/t, फिर log a q b n = n/q log a b। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

लघुगणक पर सबसे आम प्रकार की समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित परीक्षा का एक आवश्यक हिस्सा भी हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने या गणित में प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही ढंग से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मान को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, लेकिन प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है या सामान्य रूप में कम किया जा सकता है। यदि आप लंबी लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के गुणों का सही ढंग से उपयोग करते हैं तो आप उन्हें सरल बना सकते हैं। आइए जल्दी से उनके बारे में जानें।

लघुगणक समीकरणों को हल करते समय, हमें यह निर्धारित करना होगा कि हमारे पास किस प्रकार का लघुगणक है: एक उदाहरण अभिव्यक्ति में प्राकृतिक लघुगणक या दशमलव हो सकता है।

यहां उदाहरण हैं एलएन100, एलएन1026। उनका समाधान इस तथ्य पर आधारित है कि उन्हें उस शक्ति को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिसके लिए आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणक को हल करने के लिए, आपको लघुगणकीय पहचान या उनके गुणों को लागू करने की आवश्यकता है। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेयों का उपयोग करने के उदाहरण देखें।

1. किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां संख्या बी के बड़े मूल्य को सरल कारकों में विघटित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक शक्ति की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम एक जटिल और अघुलनशील अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। आपको बस आधार का गुणनखंड करना होगा और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना होगा।

एकीकृत राज्य परीक्षा से असाइनमेंट

लघुगणक अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में कई लघुगणकीय समस्याएं। आमतौर पर, ये कार्य न केवल भाग ए (परीक्षा का सबसे आसान परीक्षण भाग) में मौजूद होते हैं, बल्कि भाग सी (सबसे जटिल और भारी कार्य) में भी मौजूद होते हैं। परीक्षा के लिए "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और पूर्ण ज्ञान आवश्यक है।

समस्याओं के उदाहरण और समाधान एकीकृत राज्य परीक्षा के आधिकारिक संस्करणों से लिए गए हैं। आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लॉग 2 (2x-1) = 4. समाधान:
आइए अभिव्यक्ति को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सरल बनाएं लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें पता चलता है कि 2x-1 = 2 4, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5.

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर कम करना सबसे अच्छा है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित करने वाला न हो।
• लघुगणक चिह्न के अंतर्गत सभी भावों को सकारात्मक के रूप में दर्शाया गया है, इसलिए, जब किसी अभिव्यक्ति का घातांक जो लघुगणक चिह्न के अंतर्गत है और उसका आधार गुणक के रूप में निकाला जाता है, तो लघुगणक के अंतर्गत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।