Լուցկիներից կազմված ֆիգուրների հավաքածու կա: Համեմատեք հանելուկները առարկաների հետ

Բոլորս էլ փորձել ենք գլուխկոտրուկներ լուծել շարժվող լուցկիներով։ Հիշո՞ւմ եք դրանք: Պարզ, պարզ և բավականին հետաքրքիր: Հրավիրում ենք ձեզ հիշել, թե ինչպես է դա արվում և լուծել այս 10 հետաքրքիր առաջադրանքները: Այստեղ օրինակներ և մաթեմատիկա չեն լինի, կարող եք փորձել երեխաների հետ միասին մտածել դրանց մասին։ Յուրաքանչյուր հանելուկ գալիս է պատասխանով: Սկսեցինք? 😉

1. Ընդարձակեք ձուկը

Զորավարժություններ.Վերադասավորեք երեք լուցկի այնպես, որ ձուկը լողա հակառակ ուղղությամբ: Այսինքն, պետք է ձուկը հորիզոնական պտտել 180 աստիճանով։

Պատասխանել.Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է տեղափոխել պոչի և մարմնի ստորին հատվածը կազմող լուցկիները, ինչպես նաև ձկան ստորին լողակը։ Եկեք տեղափոխենք 2 համընկնում վերև, իսկ մեկը դեպի աջ, ինչպես ցույց է տրված գծապատկերում: Այժմ ձուկը լողում է ոչ թե աջ, այլ ձախ։

2. Վերցրեք բանալին

Զորավարժություններ.Այս խնդրի դեպքում բանալու ձևը կազմված է 10 լուցկիից: Տեղափոխեք 4 լուցկի՝ երեք քառակուսի կազմելու համար:

Պատասխանել.Խնդիրը լուծվում է բավականին պարզ. Չորս լուցկիները, որոնք կազմում են բանալու բռնակի այդ մասը, պետք է տեղափոխվեն առանցքային ցողուն, որպեսզի 3 քառակուսիները շարված լինեն:

3. Բալով բաժակ

Զորավարժություններ.Չորս լուցկիի օգնությամբ ծալվում է բաժակի ձևը, որի ներսում կա բալ։ Պետք է երկու լուցկի տեղափոխել այնպես, որ բալը լինի ապակուց դուրս։ Թույլատրվում է փոխել ապակու դիրքը տարածության մեջ, սակայն դրա ձևը պետք է մնա անփոփոխ։

Պատասխանել.Այս բավականին հայտնի տրամաբանական խնդրի 4 լուցկի լուծումը հիմնված է այն բանի վրա, որ մենք փոխում ենք բաժակի դիրքը՝ այն շրջելով։ Ձախ լուցկին իջնում ​​է աջ, իսկ հորիզոնականը իր երկարության կեսով շարժվում է դեպի աջ:

4. Յոթ քառակուսի

Զորավարժություններ.Տեղափոխեք 2 լուցկի՝ ձևավորելու 7 քառակուսի:

Պատասխանել.Այս բավականին բարդ խնդիրը լուծելու համար հարկավոր է մտածել շրջանակից դուրս: Վերցնում ենք ամենամեծ արտաքին քառակուսու անկյունը կազմող ցանկացած 2 լուցկի և խաչաձև դնում ենք իրար վրա փոքր քառակուսիներից մեկում։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք 3 քառակուսի 1-ից 1 լուցկի և 4 քառակուսիներ, որոնց կողմերը կիսով չափ համընկնում են:

5. Վեցանկյուն աստղ

Զորավարժություններ.Դուք տեսնում եք աստղ, որը բաղկացած է 2 մեծ և 6 փոքր եռանկյուններից: 2 լուցկի տեղափոխելով՝ համոզվեք, որ աստղի մեջ մնա 6 եռանկյուն։

Պատասխանել.Լուցկիները տեղափոխեք այս սխեմայի համաձայն, և կլինեն 6 եռանկյուններ:

6. Կենսուրախ հորթ

Զորավարժություններ.Տեղափոխեք միայն երկու լուցկի այնպես, որ հորթը դեմքով լինի: Միաժամանակ նա պետք է մնա կենսուրախ, այսինքն՝ պոչը պետք է մնա դեպի վեր ուղղված։

Պատասխանել.Մյուս ուղղությամբ նայելու համար հորթը պարզապես պետք է գլուխը շրջի։

7. Ապակիների տուն

Զորավարժություններ.Վեց լուցկի վերադասավորիր այնպես, որ երկու բաժակից տուն ստեղծվի:

Պատասխանել.Յուրաքանչյուր բաժակի երկու էքստրեմալ համընկնումներից դուք ստանում եք տանիք և պատ, և դուք պարզապես պետք է տեղափոխեք երկու լուցկիները ակնոցների հիմքերում:

8. Կշեռք

Զորավարժություններ.Կշեռքները կազմված են ինը լուցկիներից և գտնվում են ոչ հավասարակշռված վիճակում։ Պահանջվում է հինգ լուցկի տեղափոխել դրանց մեջ, որպեսզի կշեռքը հավասարակշռված լինի:

Պատասխանել.Կշեռքի աջ կողմն իջեցրեք այնպես, որ այն հավասարվի ձախին: Աջ կողմի խաղային բազան պետք է անշարժ մնա։

կիսվելԲարև ընթերցողներ, ընկերներ: Այսօր հոդվածը նվիրված է հասարակ «խաղալիքներին» (դրանք նույնիսկ պատրաստելու կարիք չունեն, ինչպես մյուսները)։ Եվ նրանք յուրաքանչյուր տանը են:

Երեխաների համարկան բազմաթիվ հանելուկներ լուցկիներով, բայց ինչպե՞ս գրավել երեխային դրանցով և ո՞ր խաղերից ավելի լավ է սկսել։ Այս խաղերը հիանալի միջոց են տարածական մտածողությունը և տրամաբանությունը զարգացնելու համար: Տղաներս շատ են սիրում նման գործեր։ Համոզված եմ, որ դուք նույնպես կսիրեք նրանց, պարզապես պետք է ճիշտ սկսել:

Լուցկու հատիկներով շատ գլուխկոտրուկներ ուղղված են դպրոցական երեխաներին կամ նույնիսկ մեծահասակներին: Ինչ կասեք հետ նախադպրոցականներ?

Ընդհանրապես, ցանկացած «մեծահասակների» տրամաբանական խաղ կարող է հարմարեցվել երեխաների համար՝ բաժանված մի քանի առաջադրանքների՝ նվազեցնելով փոխակերպման տարբերակների քանակը: Եվ երբ երեխան արդեն վստահ է հաղթահարել նման պարզ տարբերակները (և ամենակարևորը, նա կվայելի այս խաղերը, քանի որ դա նրան հաջողվում է), ապա կարող եք անցնել ավելի բարդ տարբերակների: Փորձենք նույնը անել լուցկիների դեպքում։

Երեխաների հետ լուցկիներով խաղալու մի քանի պարզ կանոն

• խաղալ լուցկիներովնույնիսկ 1,5-ից 2 տարեկան երեխաները կարող են, բայց պայմանով, որ ծծումբ չկրծեն, և դուք համոզվեք, որ լուցկին չհայտնվի քթի կամ ականջի մեջ:
• անպայման պատրաստեք հարթ հարթ մակերես. Դա կարող է լինել գիրք, հարթ սեղան կամ տախտակ:
• սկսեք պարզ, նույնիսկ եթե ձեր երեխան երկար ժամանակ երեխա չէ: Համոզվեք, որ երեխան հասկանում է, թե ինչ է հերթափոխ 1 լուցկի, քառակուսի, եռանկյուն. Թող երեխան զգա «հաղթանակի» բերկրանքը.

Գլեբն ու Մարկը խաղում են լուցկիներով

• ցույց մի տուր ճիշտ պատասխան. Պարզապես հետաձգեք առաջադրանքը հաջորդ անգամ, իսկ հաջորդ անգամ տվեք ավելի հեշտը:
• համակարգչից առաջադրանքներ մի տվեք. Միշտ լուցկի տվեք. երեխաների համար կարևոր է փորձել, նրանք դեռ ունեն երևակայական մտածողությունը զարգացած չէբավական է «մտքում» խնդիրները լուծելու համար
• հանելուկներն ավելի հետաքրքիր դարձնելու համար օգտագործել փոքր խաղալիքներ կամ նկարներ. Դուք կհասկանաք, թե ինչպես դա անել՝ դիտելով մեր առաջադրանքները:

Խաղեր և հանելուկներ լուցկիներովԵս այն բաժանել եմ երեք փուլի. Սկսեք առաջին փուլից. այն հետաքրքիր կլինի նույնիսկ փոքր աշակերտների համար, և երեք տարեկանները սովորաբար լիովին հիացած են այս հեքիաթային խաղերով:

Փուլ 1: Երեխաները խաղում են

2-3 տարեկան երեխաները հազիվ թե գլուխ հանեն, թե ինչպես կարելի է քառակուսի պատրաստել… .. Նրանց պետք են այլ տեսակի խաղեր, այն է՝ լուցկիներից պատկերներ, առարկաներ և նույնիսկ ավելի լավ հեքիաթներ դնել:

Մեզ համար հարմար էր խաղալ ցածր սուրճի սեղանի շուրջ (մենք այն առանձնացրել ենք երեխաների ստեղծագործական գործունեության և խաղերի համար): Այսպիսով, լցրեք մի քանի տուփ լուցկի մեջտեղում և սկսեք պատմությունը: Օրինակ, այսպես.

այնտեղ մի ոզնի էր ապրում

Նա ուներ իր սեփական տունը

Մի օր նա հանդիպեց օձին

Օձն ապրում էր թանձր խոտի մեջ

Եվ այսպես շարունակ. պատմիր, թե ինչպես են նրանք ընկերացել, հանդիպել ձիու, տղամարդու, փորձել բարձրանալ ծառ և ինչու ոզնին չի հաջողվել։
Երեխան անպայման կներգրավվի, եթե դուք ձեռք չտաք նրան, բայց դա պարզապես հետաքրքիր է ստեղծել, պատմել և կառուցել: Կանցնի մի քիչ ժամանակ, և դուք արդեն կլսեք փոքրիկի կատարմամբ հեքիաթներ =)

Փուլ 2. շարունակեք խաղալ և կառուցել

Որոշ ժամանակ անց (կարծում եմ՝ 3-4 տարեկան երեխաների համար), երբ դուք հեքիաթ եք պատմում և լուցկիներից կառուցում, երեխային խնդրեք օգնել ձեզ։ Կառուցել ՆՈՒՅՆԸտուն, ձի-ընկերուհի պատրաստել, աթոռներ բոլոր հյուրերի համար։ Այս առաջադրանքների շնորհիվ երեխան կկառուցի «ըստ մոդելի», ինչը շատ կարևոր է տարածական մտածողության զարգացման համար։ Առանց այս փուլի, շատ դժվար կլինի անցնել հաջորդին. իրական առաջադրանքներ և հանելուկներ.

Փուլ 3. սկսել հանելուկներ լուծել

Վերջապես, մենք կարող ենք անցնել իրական հանելուկների: Ես հավաքեցի պարզ հանելուկներ, որոնք կարող էր լուծել իմ 5 տարեկան տղան: Կարծում եմ, որ ձեր երեխաները նույնպես կարող են դա անել:

Ամենահեշտ «նախապատրաստական» խաղերը

1. 5 լուցկիից 2 եռանկյուն ծալեք

2. Ավելացրե՛ք մեկ լուցկի՝ 2 քառակուսի ստանալու համար: (Ավելի դժվար տարբերակ. Ավելացրեք մեկ համընկնում 3 քառակուսի պատրաստելու համար)

3. Մեկ լուցկի վերադասավորեք այնպես, որ նապաստակի աթոռը շրջվի դեպի կաղամբը

4. Քանի՞ քառակուսի կա: Ի՞նչ կասեք ուղղանկյունների մասին: Արդյո՞ք քառակուսին ուղղանկյուն է:

5. Ավելացրե՛ք 2 լուցկի՝ 3 քառակուսի կազմելու համար

6. Ավելացրե՛ք մեկ լուցկի՝ 3 եռանկյունի կազմելու համար

7. Հետքերը թեքեք հակառակ ուղղությամբ՝ վերադասավորելով 4 լուցկի

8. Զամբյուղում գազար կա։ Տեղափոխեք 2 լուցկի այնպես, որ գազարն ընկնի զամբյուղի տակ

9. Հ տառը դարձրո՛ւ, Պ տառը՝ մեկ համընկնելով

Ավելի բարդ խաղեր

1. Տեղափոխեք երեք լուցկի, որպեսզի քաղցկեղը սողա մյուս ուղղությամբ

2. Հավի ոտքերի վրա խրճիթը շրջեք հակառակ ուղղությամբ

3. Գայլը բռնում է նապաստակին: Մեկ լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ գայլը փախչի նապաստակից

4. Երեք լուցկի տեղափոխեք այնպես, որ ձուկը լողա հակառակ ուղղությամբ

5. Շերեփում կապույտ աղբ կա։ Տեղափոխեք 2 լուցկի այնպես, որ շերեփում կանաչ բեկորներ լինեն

6. Կազմեք 9 լուցկի՝ 100 (միայն այն դեպքում, եթե երեխան ծանոթ է այս թվին)

7. Հեռացրեք 3 լուցկի՝ ձյան փաթիլ պատրաստելու համար

8. Անիվ պատրաստելու համար ավելացրեք երեք լուցկի

9. Նապաստակը նստած է տանիքին։ Թաքցրե՛ք այն տանը՝ տեղափոխելով երեք լուցկի

10. Տեղափոխեք 1 լուցկի, որպեսզի կոկորդիլոսը ոչ թե նապաստակ ուտի, այլ գազար։

Ուրախ կլինեմ, եթե ձեզ դուր գա խաղերը և խաղերը դառնան ձեր սիրելի ուսումնական նյութը =)

Հարգանքներով՝ Նեսյուտինա Քսենիա

Միացե՛ք զրույցին և թողե՛ք մեկնաբանություն։

Սա մաթեմատիկայի ուսումնական հոդված է, դասերը սկսելուց առաջ խորհուրդ ենք տալիս կարդալ ներածական մասը.

Դա նեղ, նեղ տուն է

Դրա մեջ կուչ են եկել հարյուր քույրեր։

Մի խառնվեք ձեր քույրերի հետ

Նիհար…

Ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացնում խաղերի առաջադրանքների հաջորդ շարքը։ Ձեզանից շատերն արդեն ծանոթ են այս տեսակի առաջադրանքների հետ աշխատելու հիմնական սկզբունքներին: Նրանց համար, ովքեր առաջին անգամ են հանդիպում նրանց, մենք համառոտ կկրկնենք հիմնական կետերը:

Խաղի խնդիրները ավանդաբար որոշակի թվով համընկնումների տեղափոխման կամ հեռացման խնդիրներ են: Սովորաբար, պայմանում մեզ առաջարկում են ինչ-որ թվանշան, որից տեղափոխելով կամ հեռացնելով նշված թվով համընկնում, պետք է ստանանք որոշ պահանջվող հատկությունների բավարարող նոր ցուցանիշ։

Խաղի բոլոր խնդիրների դեպքում, առանց բացառության, արգելվում է լուցկիները թեքել կամ կոտրել, ինչպես նաև դրանք մեկը մյուսի վրա դնել (ենթադրելով, որ սա մեկ լուցկի է):

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հեռացնել կամ տեղափոխել որոշակի թվով համընկնումներ, ապա անպայման պետք է հեռացնել կամ տեղափոխել ճիշտ այնքան համընկնում, որքան ասվում է՝ ոչ ավել, ոչ պակաս:

Լուցկու հատիկով գլուխկոտրուկների ամենազվարճալի գաղափարներից մեկը լուցկու օրինաչափության մեջ ներգրավված ֆիգուրների «ուղղությունը» փոխելու ոչ ստանդարտ միջոցն է: Անշուշտ, դուք արդեն հանդիպել եք հետևյալ խնդրին.

Առաջադրանք 1.

Նկարում պատկերված է կով։ Տեղափոխեք 2 լուցկի, որպեսզի կովը «նայի» մյուս ուղղությամբ։

Լուծում.

Որպեսզի ցույց տան, որ կովը «նայում է» մյուս ուղղությամբ, բավական է կովի գլուխը շրջել։

Բացի նախորդին նման առաջադրանքներից, կան նաև առաջադրանքներ, որոնցում անհրաժեշտ է «հետադարձել» շարժումը՝ տեղաշարժելով գործչի ոչ բոլոր համընկնումները: Դա անելու համար պետք է գուշակել, թե հանդիպումներից որն է կարող մասնակցել երկու ուղղություններով: Օրինակ բերենք.

Առաջադրանք 2.

Նկարը ցույց է տալիս սլաք:

Տեղափոխեք 3 լուցկի այնպես, որ սլաքը թռչի հակառակ ուղղությամբ:

Լուծում.

Տեսնենք, թե ինչն է որոշում սլաքի ուղղությունը: Սլաքն ըստ էության երկու «տիզ» է, որոնք կապված են «իսթմուսով»: «Տիզերից» յուրաքանչյուրը հեշտությամբ կարելի է «շրջել» հակառակ ուղղությամբ՝ մեկ լուցկի տեղաշարժելով։ Դրանից հետո հեշտ է գտնել սկզբնական խնդրի լուծումը։

Պատասխան.

Նմանատիպ լուծումների գաղափարներն ունեն «նկարներ վերափոխելու» առաջադրանքներ, երբ նկարում դրված է մի առարկայի պատկեր, բայց դուք պետք է ստանաք մյուսի պատկերը:

Առաջադրանք 3.

10 լուցկի նկարում դրված է 2 բաժակ։ Տուն պատրաստելու համար դասավորեք 6 լուցկի:

Լուծում.

Խնդիրը լուծելու համար պետք է նկատել տան գրեթե ավարտված ուրվագծերը։ Նկարում դրանք ընդգծել ենք մոխրագույնով։

Դրանից հետո մնում է միայն «ավարտել» տունը։

(ցածր համընկնումները տեղափոխվում են երկարության կեսով):

Այս դասում ձեզանից կպահանջվի նաև հեռացնել կամ տեղափոխել որոշակի թվով համընկնումներ՝ երկրաչափական ձևերի մի շարքից ստանալու համար՝ մեկ այլ հավաքածու (քառակուսիների կամ եռանկյունների որոշակի քանակ): Ուշադրություն դարձրեք պայմանում նշված այս թվերի առանձնահատկություններին. օրինակ, քառակուսիները հաճախ պահանջում են նույնը, իսկ եռանկյունները հավասարակողմ են, այսինքն՝ նրանք, որոնց բոլոր կողմերը բաղկացած են նույն թվով լուցկիներից: Այնուամենայնիվ, երբ հստակ նշված չէ, ցանկացած եռանկյուն և քառակուսի կարող է ձևավորվել:

Այս առաջադրանքներում արժե հիշել հիմնական սկզբունքը. անկախ նրանից, թե ինչ երկրաչափական ձևեր պետք է ստանաք, խստորեն. արգելված էցանկացած «կախված լուցկի» վերջնական պատկերում առկայություն։ Այսինքն՝ լուցկիներ, որոնք պայմանի մեջ պահանջվող երկրաչափական ձևերից որևէ մեկի մաս չեն կազմում, լուցկիներ, որոնք պարզապես ավելորդ են՝ մնացած սկզբնական պատկերից։ Եթե ​​նույնիսկ այս հավելյալ լուցկիները կազմեն ամբողջովին ավարտված երկրաչափական պատկեր, բայց խնդրի մեջ դրա մասին ոչ մի խոսք չասվի, դրանք դեռ կհամարվեն «կախված»: Սեղանի վրա մնացած յուրաքանչյուր լուցկի պետք է լինի պայմանում պահանջվող ցուցանիշի մի մասը:

Առաջադրանք 4.

Լուցկիների վանդակը կազմում է 9 նույնական քառակուսի: Հեռացրեք 4 լուցկի, որպեսզի մնա ուղիղ 5 քառակուսի:

Պատասխան.

Ուշադրություն դարձրեք «կախված լուցկիների» իսպառ բացակայությանը։ Իսկապես, յուրաքանչյուր լուցկի քառակուսու անբաժանելի մասն է: Ստացանք ուղիղ հինգ քառակուսի: Առաջադրանքի պահանջը կատարված է, և 4 համընկնում հանվում է։ Այսպիսով, խնդիրը ճիշտ լուծված է:

Որոշ խնդիրներ ունեն 2 կամ ավելի լուծում: Օրինակ, այս խնդիրն ունի ևս մեկ լուծում (տես ստորև նկարը):

Մենք տեսնում ենք, որ 4 լուցկի այլ կերպ հեռացնելով, կրկին ստացել ենք ուղիղ 5 քառակուսի։ (Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս խնդիրը չի ասում, որ քառակուսիները պետք է լինեն նույնը. մենք կարող ենք հաշվել և՛ փոքր, և՛ մեծ քառակուսիները:) Եվ նաև ցանկացած համընկնման համար մենք դեռ կարող ենք նշել առնվազն մեկ քառակուսի, որի մաս է կազմում: Այսպիսով, մենք ստացանք ևս մեկ լուծում մեր խնդրին.

Ստորին թվերը ցույց են տալիս մի օրինակ, որը խնդրի լուծում չէ: Թեև, թվում է, բոլոր պայմանները բավարարված են՝ մենք հանում ենք մոխրագույն լուցկիները, և մեզ մնում է 5 լրիվ քառակուսի։ Սակայն կարմիրով ընդգծված լուցկիները կլինեն «կախված», իսկ դրանց առկայությունը հակասում է «Լուցկիների հետ կապված խնդիրների» լուծման հիմնական սկզբունքներին։

Առաջադրանք 5.

Տեղափոխեք 4 լուցկի 16-ից, որպեսզի ստանաք ուղիղ 3 քառակուսի:

Պատասխան.

Հնարավոր տարբերակներ.

Այս առաջադրանքում դուք կհանդիպեք նաև այլ տեսակի առաջադրանքների՝ ավելի ստեղծագործականի: Նման առաջադրանքներում պահանջվում է պայմանում նկարագրված ցուցանիշը կառուցել տվյալ թվով համընկնումներից: Ինչպես կառուցել այն, և ինչ նկատի ունի հեղինակը, օրինակ, «երկու ռոմբուս» ասելով. երեխան պետք է ինքն իրեն կռահի (թեև, իհարկե, ինչ է ռոմբը, երեխային պետք է բացատրել. սա քառանկյուն է, բոլորը. որոնց կողմերը բաղկացած են հավասար թվով լուցկիներից): Նման առաջադրանքները պահանջում են մի փոքր ավելի շատ պրակտիկա, հմտություն և տարածական երևակայություն, քան վերը նկարագրվածները:

Առաջադրանք 6.

10 լուցկիից ծալեք 3 քառակուսի։

Լուծում.

3 առանձին քառակուսիների համար մեզ անհրաժեշտ է 3 × 4 = 12 լուցկի, մինչդեռ մենք ունենք ընդամենը 10: Սա նշանակում է, որ մեր քառակուսիները պետք է ունենան ընդհանուր կողմեր:

Պատասխան 1:

Պատասխան 2:

Մենք տեսնում ենք, որ այս խնդիրը կրկին կարող է ունենալ 2 լուծում.

Պահանջվող թվով երկրաչափական ձևերի ծալման գաղափարի ավարտը ելք է դեպի տարածություն: Իհարկե, վերը քննարկված որոշ խնդիրներ կարող են լուծվել նաև տիեզերքում։ Բայց կար նաև հարթ լուծում. Հաջորդ օրինակում չի կարելի խուսափել հարթ գործից։ Նման խնդիրները լուծելը հարմար դարձնելու համար կարող եք երեխային առաջարկել օգտագործել պլաստիլին՝ լուցկիները «ամրացնելու» կամ ձողիկների և գնդակների մագնիսական հավաքածու:

Առաջադրանք 7.

12 լուցկիից ծալեք 6 քառակուսի։

Լուծում.

Եկեք հաշվենք անհրաժեշտ համընկնումների քանակը։ Յուրաքանչյուր քառակուսի ունի 4, ընդհանուր 6 քառակուսի Ընդհանուր 4 × 6 = 24: Բայց մենք ունենք 12 համընկնում: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր (!) համընկնում պետք է լինի երկու քառակուսու կողմ: Ակնհայտ է, որ ինքնաթիռում դա անհնար է։ Եկեք գնանք տիեզերք:

Այս խնդրի լուծումը կլինի լուցկիներից պատրաստված խորանարդը՝ մեկ լուցկի հավասար կողմով։ Իսկապես, խորանարդն ունի 12 եզր, և նրա դեմքերը (կողմերը) կազմում են 6 քառակուսի:

(«Հետևի» լուցկիները գծված են մոխրագույնով` նկարի ավելի լավ տարածական ընկալման համար):

Նաև դասի ընթացքում դուք կհանդիպեք առաջադրանքներ ոչ մանրուք վերադասավորման համար. լուցկու քառակուսին կարող է բոլորովին չթվալ այնպես, ինչպես մենք սովոր ենք: Եվ միգուցե նույնիսկ կես խաղ ունենալ:

Առաջադրանք 8.

Տեղափոխեք երկու լուցկի ինը հատից, որպեսզի ստանաք նույն չափի երեք քառակուսի: Անհնար է կռանալ, կոտրել և խաչաձևել լուցկիները։

Պատասխան.

Լուծումը «համակցված» քառակուսի է:

Նկարում մենք կարող ենք տեսնել 2 կանոնավոր քառակուսի, ինչպես նաև մեկը մեջտեղում՝ ընդգծված կապույտով։ Նկարի թվերը յուրաքանչյուր քառակուսու ստորին ձախ անկյունում են:

Հետաքրքիր է, որ այս կերպ մենք կարող ենք տեղադրել ևս մեկ քառակուսի` ավելացնելով երկու լուցկի, ապա ևս մեկը ...

Վերևում մենք տվել ենք որոշ խնդիրների լուծման օրինակներ։ Ինչպես արդեն տեսաք, լուծումը կարող է միակը չլինել: Ամեն ինչ կախված է ձեր երեխայի երևակայությունից: Ուշադիր հետևեք, որ նա չխախտի պայմանները, և եթե նա հանդես գա մեր առաջարկածին չհամընկնող պատասխանով, ուրախ եղեք, որ ձեր ուսանողը օրիգինալ լուծում է գտել։ Ցանկության դեպքում, որպես վարժություն, կարող եք երեխային հրավիրել այս խնդրի այլ լուծում փնտրելու։

Մաղթում ենք ձեզ հաջողություն!

Ստուգեք ձեր գիտելիքները:

Ամենախելացի և տաղանդավոր ուսանողների համար մենք կայքում անցկացնում ենք հեռավար ինտերնետային օլիմպիադա: Օլիմպիադան անցնելուց անմիջապես հետո ցուցադրվում են արդյունքները և սխալների վրա աշխատելու առաջադրանքների ամբողջական վերլուծությունը: Կախված օլիմպիադայի հաջողությունից՝ էլ դիպլոմներև գովասանագրեր.

Յուրաքանչյուր մասնակից ստանում է նամակ ատեստատմասնակից.

Լուցկիները ոչ միայն կրակ արձակելու սարք են, այլ նաև ձեր ազատ ժամանակը զգալիորեն դիվերսիֆիկացնելու հնարավորություն։ Ինչպես դա անել, հիշում են բոլորը, ում հոգում դեռ ապրում է երջանիկ մանկության մի կտոր։

Առաջարկում ենք հիշել մանկությունը և մի քանի լուցկի փոխել, որպեսզի համընդհանուր ներդաշնակություն տիրի։

1. Հեռացրեք երկու լուցկի, որպեսզի մնա միայն երկու հավասարակողմ եռանկյուն

2. Լուցկիների նկարում շարված են երկու ռոմբուսներ։
Տեղափոխեք 2 լուցկի այնպես, որ ստացվի 3 հավասար եռանկյունի:

3. Լուցկիների վիճակագրության մեջ սխալ հավասարություն է դրված 84 + 8 = 16:
Հեռացրեք 3 լուցկի, որպեսզի հավասարությունը իրականանա:

4. Տեղափոխիր 3 լուցկի այնպես, որ ստացվի 3 նույնական եռանկյուն:

5. Լուցկիների վիճակագրության մեջ սխալ հավասարություն է դրված 3 + 9 = 49:
Տեղափոխեք 2 լուցկի այնպես, որ հավասարությունը դառնա իրական:

6. Լուցկիների նկարում շարված են 5 նույնական քառակուսիներ։
Տեղափոխեք 3 լուցկի, որպեսզի ստանաք ընդամենը 4 նույնական քառակուսի:

7. Լուցկիների վիճակահանության մեջ դրված է սխալ հավասարություն 2-7=5:
Ավելացրե՛ք 2 համընկնում, որպեսզի հավասարությունը դառնա ճշմարիտ:

8. Լուցկիների նկարում շարված են 5 նույնական քառակուսիներ։
Տեղափոխեք 3 լուցկի, որպեսզի ստանաք ընդամենը 4 քառակուսի:

9. Լուցկիների վիճակահանության մեջ սխալ հավասարություն է դրված 24-91 \u003d 120:
Տեղափոխեք 1 լուցկի այնպես, որ հավասարությունը ճիշտ լինի:

10. Տեղափոխեք 2 լուցկի այնպես, որ ստացվի 3 եռանկյուն:

11. Տեղափոխեք 3 լուցկի՝ 4 քառակուսի կազմելու համար:

MBOU «Յունկուրսկայա Վ.Ի. Սերգեևի անվան միջնակարգ դպրոց» Սախայի Հանրապետության Օլեկմինսկի շրջան (Յակուտիա)

Առաջադրանքների և հանելուկների հավաքածու լուցկիներով

Կազմեց՝

Սոլդատովա Թ.Պ., մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Հետ. Յունկուր 2016թ

Գլուխ 1

Ուղղեք հավասարման սխալը՝ տեղափոխելով միայն մեկ լուցկու հատիկ.

XI - V = IV

Տեղափոխեք 1 լուցկու հատիկ՝ ճիշտ հավասարումը ստանալու համար:

4. VIII + IV = XVII

8. Վերադասավորիր մեկ համընկնում այնպես, որ օրինակն ունենա I + I = XII լուծումը

13. III + I = I - I

16. VIII + IV = XVII

Օգտագործելով մեկ լրացուցիչ համընկնում, հասեք ճիշտ հավասարության

Տեղափոխեք երկու լուցկի այնպես, որ հավասարությունը դառնա ճշմարիտ VI + X = III

Հորիզոնական երեք տողերից յուրաքանչյուրում տեղափոխեք մեկ համընկնում, որպեսզի վեց հավասարումներ (ուղղահայաց և հորիզոնական) ճիշտ լինեն

VI ∙ III = VII

V ∙ VIII = XXXIII

Կազմեք վեցը հինգ լուցկի:

Կազմեք 8 լուցկի 5-ից:

Ինչպե՞ս լուցկիներով ապացուցել, որ եթե 8-ից հանես 5, ապա ոչինչ չի մնա:

7 լուցկիից հանեք 5 լուցկի, որպեսզի մնա նաև 5-ը։

ա) մեկ լուցկի տեղափոխել առանց մյուսներին դիպչելու, առանց կոտորակի գիծը ներկայացնող լուցկին դիպչելու, որպեսզի ստացվի 1-ին հավասար կոտորակ.

բ) այս կոտորակը դարձրեք 1/3 թիվ՝ առանց այդ համընկնումների թիվը փոխելու:

Սեղանի վրա դրված չորս լուցկի ավելացրեք ևս հինգ լուցկի, որպեսզի ստանաք հարյուրը:

Լուցկիների վիճակահանության մեջ հռոմեական համարով ձևավորվում է 57 թիվը։

Նրանցից երկուսը տեղափոխելով առանց մնացածը տեղափոխելու, ստանում եք 0: Առաջարկեք 2 ճանապարհ:

Ապացուցեք, որ 12-ի կեսը 7 է։

Հանելուկը կատակ է.

Որդին վիճել է հոր հետ, որ եթե ութը հինգին ավելացնես, կարող ես ստանալ մեկը։ Եվ նա շահեց վեճը: Ինչպե՞ս նա դա արեց:

Գլուխ 1

1. Վեց լուցկի.

Վեց լուցկիներից կառուցիր 4 կանոնավոր եռանկյունի

2. Տասնվեցից երկու լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ ստացվի 6 քառակուսի:

3. Այս վանդակի մեջ 3 լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ կազմվի երեք քառակուսի։

4. Լուցկու միջից ծալվել է մանկական խաղալիքի նմանվող ֆիգուր:

Դուք պետք է տեղափոխեք երեք լուցկի, որպեսզի այս գլանափաթեթը վերածվի խորանարդի:

5. Տասներկուից երեք լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ երեքից չորս նույնական քառակուսի ստացվի:

հեռացնել ութ լուցկի, որպեսզի.

դ) հանել 3 լուցկի, որպեսզի մնա 7 հավասար քառակուսի.

ժ) հեռացնել 6 լուցկի, որպեսզի ստացվի 2 քառակուսի և 2 հավասար անկանոն վեցանկյուն;

14. Այս հավասարաչափ տրապիզը կազմված է տասը լուցկիից։

Դրան ավելացրեք ևս հինգ նման լուցկի, որպեսզի այս trapezoid-ը վերածվի չորս հավասար trapezium-ների:

15. Կցեք հինգ լուցկի չորս լուցկի, որպեսզի ստանաք հարյուրը.

Պետք է երկու լուծում գտնենք.

16. 12 լուցկիներից դրված են 4 միանման քառակուսիներ: Տեղափոխեք 2 լուցկի՝ 7 քառակուսի կազմելու համար:

17. 12 լուցկիից կարող եք խաչի պատկեր կազմել, որի մակերեսը հավասար է 5 «համապատասխան» քառակուսու.

Նույն 12 լուցկիից ծալեք մեկ կապակցված գործիչ, որպեսզի դրա մակերեսը հավասար լինի 4 «լուցկի» քառակուսու:

18. Նկարում պատկերված պատկերը պատրաստված է լուցկիներից: Տեղափոխե՛ք երկու լուցկի այնպես, որ ստանաք ճիշտ չորս նույնական քառակուսիներ, որոնց երկարությունը հավասար է լուցկի երկարությանը:

19. Չորս լուցկի տեղափոխելուց հետո կացինը դարձրեք երեք հավասար եռանկյունիներ.

20. Տեղափոխի՛ր 6 լուցկի՝ կազմելով 6 քառակուսի:

23. Տասնութ լուցկին իրար կից կազմում են 6 միանման քառակուսիներ: Հեռացրեք 2 լուցկի, որպեսզի մնան նույն քառակուսիներից 4-ը:

26. Նկարում պատկերված նկարում անհրաժեշտ է 6 լուցկի մի տեղից մյուսը տեղափոխել այնպես, որ ձևավորվի 6 միանման քառանկյուններից կազմված ֆիգուր:

Գլուխ 1

Լուցկիները դասավորված են երեք կույտով՝ 11, 7 և 6 հատ:

Անհրաժեշտ է դրանք քայքայել 3 կույտերի, որպեսզի յուրաքանչյուրն ունենա 8 լուցկի։ Դա պետք է արվի երեք քայլով, և դուք կարող եք ավելացնել միայն այնքան համընկնում, որքան արդեն կա կույտում:

Լուցկի երկու կույտ կա։ Առաջինում կա 7 լուցկի, երկրորդում՝ 5, մեկ քայլով թույլատրվում է վերցնել ցանկացած քանակի լուցկի, բայց մեկ կույտից։ Նա, ով ոչինչ չունի վերցնելու, կորցնում է։ Ո՞վ է հաղթում, երբ ճիշտ է խաղում՝ սկսնակը, թե՞ նրա գործընկերը: Իսկ ինչպե՞ս է պետք նրան խաղալ:

Աղյուսակում կա 37 հանդիպում։ Երկու խաղացողներից յուրաքանչյուրին թույլատրվում է հերթով անցկացնել ոչ ավելի, քան 5 հանդիպում: Նա, ով վերցնում է վերջինը, հաղթում է: Ո՞վ է հաղթում ճիշտ ռազմավարությամբ՝ մեկնարկա՞կը, թե՞ երկրորդ խաղացողը: Ո՞րն է հաղթող ռազմավարությունը:

18 համընկնումներից պետք է ավելացնել երկու քառանկյուն, որպեսզի մեկի մակերեսն ավելի մեծ լինի, քան մյուսի մակերեսը։ Հանդիպումները, ինչպես նախորդ բոլոր առաջադրանքների դեպքում, չեն կարող կոտրվել: Երկու քառանկյունները պետք է ընկած լինեն միմյանցից հեռու, ոչ թե հարակից:

Բալը դրվում է լուցկիներից պատրաստված «բաժակի» մեջ.

Հարկավոր է, ուղիղ երկու լուցկի տեղափոխելով, բաժակը տեղափոխել այնպես, որ բալը դրսում լինի։

Լուցկիներից տուն է կառուցված։ Տեղափոխեք երկու լուցկի այնպես, որ տունը շրջվի մյուս կողմից:

Կշեռքները կազմված են ինը լուցկիներից և գտնվում են ոչ հավասարակշռված վիճակում։ Հինգ լուցկի տեղափոխեք դրանց մեջ, որպեսզի կշեռքները հավասարակշռված լինեն:

Նկարում տեսնում եք կով, որն ունի այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է՝ գլուխ, մարմին, ոտքեր, եղջյուրներ և պոչ: Նկարում պատկերված կովը նայում է ձախ։
Տեղափոխեք ուղիղ երկու լուցկի այնպես, որ այն ուղղված լինի դեպի աջ:

Դասավորեք 6 լուցկի այնպես, որ յուրաքանչյուր խաղը շփվի մյուս հինգի հետ:


Նկարում բերդ է և նրա շուրջը քարե պարիսպ։ Բերդի և պարսպի միջև ջրով լցված մի խրամ կա, մեջը սոված կոկորդիլոսներ կան։ Ցույց տվեք, թե ինչպես կարելի է երկու լուցկի օգնությամբ կամուրջ կառուցել բերդի և պարսպի միջև։

Նկարում 15,5 լուցկի օգնությամբ դրված է տխուր խոզ։

ա) Դարձրեք զվարճալի՝ տեղափոխելով 3,5 լուցկի:

բ) Խոզին հետաքրքրասեր դարձրեք՝ հանելով մեկ լուցկի և տեղափոխելով 2,5 լուցկի:

Լուցկի քաղցկեղը սողում է: Տեղափոխեք երեք լուցկի այնպես, որ այն սողում է ներքև:

Տեղափոխեք 3 լուցկի այնպես, որ սլաքը փոխի իր ուղղությունը դեպի հակառակը:

Այս նկարում կա նապաստակների համար նախատեսված 6 փոքր հատված: Կարո՞ղ եք կառուցել 6 նապաստակի խրճիթ՝ օգտագործելով ընդամենը 12 լուցկի:

Պատասխանները.

Գլուխ 1

X - VI = IV կամ XI - V = VI կամ XI - VI = V

VI = IX - III կամ VI = IV + II

1-ի քառակուսի արմատ

C - L = L կամ L + I = LI

Հորիզոնական երեք տողերից յուրաքանչյուրում տեղափոխեք մեկ համընկնում, որպեսզի վեց հավասարումներ (ուղղահայաց և հորիզոնական) ճիշտ լինեն

IV ∙ II = VIII

I V ∙ VIII = XXXII

39. ա) միասնության քառակուսի արմատը

բ) Վ

Նկարենք VIII թիվը։ VIII-ից խլել 5 հանդիպում ու ոչինչ չի մնացել

Յոթ լուցկով նկարենք XXVI թիվը։ Վերցնում ենք 5 լուցկի ու թողնում Վ.

Տեղադրեք 6 հանդիպում, ինչպես ցույց է տրված ստորև.

ա) _ Ես_բ) II

I - V I կամ V I - I

49. I + I = II կամ II + = II

50. IX - VIII = II

51. Հինգ և ութ լուցկի օգնությամբ նա դրեց «մեկ» բառը։

Գլուխ 2

1. Վեց հանդիպում.

Անհրաժեշտ է կառուցել կանոնավոր եռանկյունաձեւ բուրգ։

2. Տասնվեցից երկու լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ ստացվի 6 քառակուսի:

3. Այս ցանցում 3 լուցկի դասավորեք այնպես, որ երեք քառակուսի ձևավորվի:

4. Պատասխանել.

5. Տասներկուից երեք լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ երեքից չորս նույնական քառակուսի ստանաս:

6. Քսանչորսից երեք լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ ստացվի 14 քառակուսի:

յոթ. Պատասխանել

7. Տասնվեցից չորս լուցկի տեղափոխիր երեք քառակուսի կազմելու համար

8. Նկարում պատկերված նկարում հինգ լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ ստացվի երեք քառակուսի.

9. 9 լուցկիից կազմի՛ր 6 քառակուսի։

10. Հունական տաճար. Այս տաճարը կառուցված է տասնմեկ լուցկիներից։ Պահանջվում է չորս լուցկի տեղափոխել այնպես, որ ստացվի տասնհինգ քառակուսի

11. Նկարում պատկերված պատկերը կազմված է ութ լուցկիներից, որոնք դրված են միմյանց վրա: Հեռացրեք 2 լուցկի, որպեսզի մնա 3 քառակուսի:

12. Նկարում պատկերված նկարում.

հեռացնել ութ լուցկի, որպեսզի.

ա) մնացել է ընդամենը երկու քառակուսի.

բ) մնացել է չորս հավասար քառակուսի.

Տարբերակ 1

Տարբերակ 2

գ) տեղափոխել 12 լուցկի այնպես, որ ձևավորվի 2 հավասար քառակուսի.

ե) հանել 4 լուցկի, որպեսզի մնացածները կազմեն մեկ մեծ և 4 փոքր քառակուսի.

զ) հանել 4 լուցկի, որպեսզի մնացածները կազմեն մեկ մեծ և 3 փոքր քառակուսի.

է) հեռացնել 4 լուցկի, որպեսզի մնացած լուցկիները կազմեն 5 հավասար քառակուսի.

ը) հանել 6 լուցկի, որպեսզի մնացած լուցկիները կազմեն 5 հավասար քառակուսի.

թ) հանել 8 լուցկի, որպեսզի մնացածները կազմեն 5 հավասար քառակուսի.

ժբ) հանել 6 լուցկի, որպեսզի մնացածներից 3 քառակուսի ձևավորվի.

մ) հանել 8 լուցկի, որպեսզի մնա 3 քառակուսի:

13. Լուցկիների պարույր. 35 լուցկիներից դրված է «պարույր» հիշեցնող ֆիգուր։ Տեղափոխեք 4 լուցկի այնպես, որ ձևավորվի 3 քառակուսի:

Առաջին լուծում.

Երկրորդ լուծում.

16. 12 լուցկիներից դրված են 4 միանման քառակուսիներ: Տեղափոխեք 2 լուցկի՝ 7 քառակուսի կազմելու համար:

17. Համոզվելու համար, որ այս ցուցանիշի մակերեսը 4 է, մտովի լրացրեք այն եռանկյունու.

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ այս եռանկյունը ուղղանկյուն է (նրա հիպոթենուսի երկարության քառակուսին - 5 2 - հավասար է նրա ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարին - 3 2 + 4 2): Սա նշանակում է, որ նրա մակերեսը հավասար է ոտքերի երկարությունների արտադրյալի կեսին, այսինքն՝ 6 «լուցկի» քառակուսի։ Եվ քանի որ ստվերված տարածքի մակերեսը հավասար է 2 «համապատասխան» քառակուսու, ապա մեր կառուցած գործչի մակերեսը ճիշտ 4 «համապատասխան» քառակուսի է։

19. Կացին.

20. Տեղափոխի՛ր 6 լուցկի՝ կազմելով 6 քառակուսի: Պատասխան.

21. Հեռացրեք 17 լուցկի, որպեսզի մնա 5 եռանկյուն

22. Հեռացրեք 10 լուցկի, որպեսզի 4 հավասար քառակուսի կազմվի:

Տարբերակ 1 Տարբերակ 2.

3 տարբերակ. 4 տարբերակ

24. 4 լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ կազմվի 10 քառակուսի:

25. 3 լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ կազմվի 3 հավասար քառակուսի։

26. Նկարում պատկերված նկարում անհրաժեշտ է 6 լուցկի մի տեղից մյուսը տեղափոխել այնպես, որ ձևավորվի 6 միանման քառանկյուններից կազմված ֆիգուր:

27. 17 լուցկիից կազմված պատկերում հանե՛ք 5 լուցկի՝ առանց մնացածը տեղաշարժելու, այնպես որ մնա միայն 3 քառակուսի։

28. 12 լուցկիից անհրաժեշտ է կազմել այնպիսի պատկեր, որում կլինեն երեք միանման քառանկյուններ և երկու նույնական եռանկյուններ: Ինչպե՞ս դա անել:

29. Այս գլուխկոտրուկի վրա տեղափոխիր 1 հատ լուցկու հատիկ, որպեսզի ստացվի 4 միանման եռանկյուն:

30. Նկարը ցույց է տալիս բանալին:

ա) Տեղափոխեք 4 լուցկի այնպես, որ ստացվի երեք քառակուսի:

բ) Տեղափոխեք 3 լուցկի երկու ուղղանկյուն ստանալու համար:

գ) 2 լուցկի տեղափոխիր այնպես, որ ստացվի երկու ուղղանկյուն:

31. Վեց լուցուց, որոնցից երկուսը կիսով չափ կտրված են, պահանջվում է կազմել 3 հավասար քառակուսի։

32. Կա 13 լուցկի, յուրաքանչյուրը 5 սմ երկարությամբ: Դուք պետք է հասցնեք նրանցից մեկ մետր դնել:

Գլուխ 3

2. Ճիշտ խաղալու դեպքում հաղթում է սկսնակ խաղացողը: Նրա ռազմավարությունը. իր առաջին քայլում նա պետք է հավասարեցնի լուցկիների քանակը կույտերով, այսինքն. վերցրեք 2 լուցկի առաջին կույտից: Յուրաքանչյուր հաջորդ քայլը պետք է «սիմետրիկ» լինի երկրորդ խաղացողի քայլին, այսինքն. եթե «երկրորդը» վերցնում է n լուցկի մեկ կույտից, ապա «առաջինը» նույնպես պետք է վերցնի n լուցկի, բայց մեկ այլ կույտից: Այսպիսով, եթե «երկրորդ» խաղացողը կարող է քայլ կատարել, ապա «առաջին» խաղացողը նույնպես կարող է քայլ կատարել: Քանի որ ամեն քայլից հետո լուցկիների թիվը նվազում է, կգա մի պահ, երբ «երկրորդը» չի կարողանա քայլ կատարել (կույտներից ոչ մեկում լուցկի չի մնա) և կպարտվի։

3. Առաջին քայլում սկսնակը վերցնում է մեկ խաղ, իսկ հետո ամեն անգամ հակառակորդի անցկացրած խաղերի թիվը լրացնում է վեցի:

4. Վերին գործչի մակերեսը ձևավորվում է երկու քառակուսիներով, որոնցից յուրաքանչյուրը մեկ լուցկի ունի: Ստորին քառանկյունը զուգահեռագիծ է, որի բարձրությունը AB = 1,5 լուցկի է: Զուգահեռագծի մակերեսը, ըստ երկրաչափության կանոնների, հավասար է նրա հիմքին՝ բազմապատկած բարձրության վրա՝ 4 * 1,5 = 6, այսինքն. վերին քառանկյունի տարածքի երեք անգամ:

8. Խնդիր կովի հետ.

10. բերդ.

11. Խոզի խնդիրը.

12. Համապատասխանեցրեք քաղցկեղին

Հղումներ.

1. Կրոտովի Ի.Ս. Մարմնամարզություն մտքի համար - Մոսկվա: ՓԲԸ «BAO-PRESS», ՍՊԸ «ID» RIPOL classic», 2005 թ.

   Նագիբին Ֆ.Ֆ., Կանին Է.Ս. Մաթեմատիկական տուփ: Ձեռնարկ 4-8-րդ դասարանների աշակերտների համար, միջին դպրոց - 5-րդ հրատարակություն: - Մ .: Կրթություն, 1988. - 160 էջ.

   Կովալենկո Վ.Գ. Դիդակտիկ խաղեր մաթեմատիկայի դասերին. Գիրք. Ուսուցչի համար.-Մ.-Լուսավորություն, 1990 թ.

   Նիկոլսկայա Ի.Լ. Մարմնամարզություն մտքի համար. գիրք տարրական դասարանների աշակերտների համար, - Մ .: Քննություն հրատարակչություն, 2013 թ.

   Սավին Ա.Պ. Զվարճալի մաթեմատիկական խնդիրներ.- Մ.՝ ՀՍՏ, 1995 թ.

   Տրոշին Վ.Վ. Ժամանցային առաջադրանքներ, վարժություններ և խաղեր ավագ դպրոցում դասասենյակում և արտադասարանական գործունեության մեջ խաղերով: Վոլգոգրադ. Ուչիտել, 2008 թ.