ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

1. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
2. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು

ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9.

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x >

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲೋಗ್ಯಾಕ್ಸ್ ನೀಡಲಿ. ನಂತರ c > 0 ಮತ್ತು c ≠ 1 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಸಹ ನೋಡಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ಘಾತವು 2.718281828 ಆಗಿದೆ…. ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು: ಘಾತವು 2.7 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ನಿಕೋಲೇವಿಚ್ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಾರಿ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಘಾತಾಂಕದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನಾಂಕ ಎರಡನ್ನೂ ನೀವು ತಿಳಿಯುವಿರಿ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

2.

3.

4. ಎಲ್ಲಿ .

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವೇಳೆ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ

ವೇಳೆ ಲಾಗ್ (x) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲೋಗಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲಾಗೇ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

1. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
2. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log2 48 - log2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log3 135 - log3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವು ಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿಯೂ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. , ಅಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log7 496.

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 24; 49 = 72. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸೂತ್ರಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳು.

ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: log2 7. ಲಾಗ್2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದೆ. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲೋಗ್ಯಾಕ್ಸ್ ನೀಡಲಿ. ನಂತರ c > 0 ಮತ್ತು c ≠ 1 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು c = x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "ತಿರುಗುತ್ತದೆ", ಅಂದರೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log5 16 log2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log9 100 lg 3.

ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, n ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಾದದಲ್ಲಿ ಘಾತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ n ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ b ಸಂಖ್ಯೆಯು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ: ಫಲಿತಾಂಶವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

log25 64 = log5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದದಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ :)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗದ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, "ಸುಧಾರಿತ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

1. ಲೋಗಾ = 1 ಆಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಆ ​​ಬೇಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಲೋಗಾ 1 = 0 ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ a0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ! ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಸಹ ನೋಡಿ:

a ಬೇಸ್ ಮಾಡಲು b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಶಕ್ತಿ x () ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ವಿಲಕ್ಷಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ (3.4) ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣುತ್ತೀರಿ. ಉಳಿದವು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮೂಲವು ಹತ್ತು, ಘಾತೀಯ ಅಥವಾ ಎರಡು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹತ್ತರ ತಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ lg(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದರ ಮೂಲವು ಘಾತವಾಗಿದೆ (ln(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಘಾತವು 2.718281828 ಆಗಿದೆ…. ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು: ಘಾತವು 2.7 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ನಿಕೋಲೇವಿಚ್ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಾರಿ. ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಘಾತಾಂಕದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನಾಂಕ ಎರಡನ್ನೂ ನೀವು ತಿಳಿಯುವಿರಿ.

ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಎರಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ

ಕ್ರಿಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದ ವಸ್ತುವು ಸಾಕು. ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು, ನಾನು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

2.
ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ

3.
ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

4. ಎಲ್ಲಿ .

ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹಲವಾರು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವೇಳೆ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಕೊನೆಯ ಪದ 5 ಮತ್ತು 13 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಅದನ್ನು ದಾಖಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ದುಃಖಿಸುತ್ತೇವೆ

ಆಧಾರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್. ಮೊದಲ ಹಂತ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ

ವೇಳೆ ಲಾಗ್ (x) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಪರಿಹಾರ: ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಪರಿಚಯದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ, ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಕೃಷ್ಟಗೊಳಿಸಿ - ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಜ್ಞಾನವು ನಿಮಗೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ - ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ...

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲೋಗಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲಾಗೇ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

1. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
2. ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log6 4 + log6 9.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log2 48 - log2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log3 135 - log3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವು ಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿಯೂ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. , ಅಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log7 496.

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 24; 49 = 72. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: log2 7. ಲಾಗ್2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದೆ. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲೋಗ್ಯಾಕ್ಸ್ ನೀಡಲಿ. ನಂತರ c > 0 ಮತ್ತು c ≠ 1 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು c = x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "ತಿರುಗುತ್ತದೆ", ಅಂದರೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log5 16 log2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log9 100 lg 3.

ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, n ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಾದದಲ್ಲಿ ಘಾತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ n ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ b ಸಂಖ್ಯೆಯು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ: ಫಲಿತಾಂಶವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

log25 64 = log5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದದಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ :)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗದ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, "ಸುಧಾರಿತ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

1. ಲೋಗಾ = 1 ಆಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಆ ​​ಬೇಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಲೋಗಾ 1 = 0 ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ a0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ! ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಇದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ ಒಂದರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಇದರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಏಕತೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಲಾಗ್ a 1=0ಯಾವುದೇ a>0, a≠1. ಪುರಾವೆಯು ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ: ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು a>0 ಮತ್ತು a≠1 ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಒಂದು 0 =1 ಪೂರೈಸುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ 1=0 ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಆಸ್ತಿಯ ಅನ್ವಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೀಡೋಣ: ಲಾಗ್ 3 1=0, ಲಾಗ್1=0 ಮತ್ತು .

ಮುಂದಿನ ಆಸ್ತಿಗೆ ಹೋಗೋಣ: ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು, ಲಾಗ್ a = 1 a>0, a≠1 ಗಾಗಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ a ಗೆ 1 =a ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ a=1.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಈ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ 5 5=1, ಲಾಗ್ 5.6 5.6 ಮತ್ತು lne=1.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ಮತ್ತು .

ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ x ಮತ್ತು y ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತಿನ ಮೂಲಕ ಲಾಗ್ a x =x ಮತ್ತು ಲಾಗ್ a y =y, ನಂತರ ಲಾಗ್ a x ·a ಲಾಗ್ a y =x·y. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಲಾಗ್ a x+log a y =x·y, ಇದರಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ: ಲಾಗ್ 5 (2 3)=ಲಾಗ್ 5 2+ಲಾಗ್ 5 3 ಮತ್ತು .

ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು x 1, x 2, ..., x n ಎಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು ಲಾಗ್ a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು 4, ಇ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್ x ಮತ್ತು y ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣವು ರೂಪದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ a>0, a≠1, x ಮತ್ತು y ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸೂತ್ರದ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಸೂತ್ರದಂತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ: ರಿಂದ , ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: .

ಮುಂದೆ ಹೋಗೋಣ ಶಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಸ್ತಿ. ಪದವಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಈ ಪದವಿಯ ಬೇಸ್‌ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಈ ಗುಣವನ್ನು ನಾವು ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ: log a b p =p·log a |b|, ಇಲ್ಲಿ a>0, a≠1, b ಮತ್ತು p ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ, ಡಿಗ್ರಿ b p ಅರ್ಥವಾಗುವಂತೆ ಮತ್ತು b p >0.

ಮೊದಲು ನಾವು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಬಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ನಮಗೆ b ಅನ್ನು ಲಾಗ್ a b ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ b p =(a log a b) p , ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಶಕ್ತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ, p·log a b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಮಾನತೆ b p = a p·log a b ಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು log a b p =p·log a b ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಬಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕ b ಗಾಗಿ ಲಾಗ್ a b p ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಹ ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ p (ಬಿ ಪಿ ಪದವಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ b p =|b| ಪ. ನಂತರ b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, ಎಲ್ಲಿಂದ ಲಾಗ್ a b p =p·log a |b| .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

ಇದು ಹಿಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮೂಲದಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಸ್ತಿ: n ನೇ ಮೂಲದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ 1/n ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, , ಇಲ್ಲಿ a>0, a≠1, n ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, b>0.

ಪುರಾವೆಯು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ನೋಡಿ), ಇದು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ b ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿ: .

ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: .

ಈಗ ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಹೊಸ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರರೀತಿಯ . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ c b=log a b·log c a ನ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ನಮಗೆ b ಅನ್ನು ಲಾಗ್ a b ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಲಾಗ್ c b=log c a log a b . ಪದವಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ: ಲಾಗ್ ಸಿ ಎ ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ = ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ ಲಾಗ್ ಸಿ ಎ. ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ c b=log a b·log c a, ಅಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ: ಮತ್ತು .

ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರವು "ಅನುಕೂಲಕರ" ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಥವಾ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಗಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಇದರಿಂದ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಹೊಸ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇತರ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಿಳಿದಿರುವಾಗ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಫಾರ್ಮ್‌ನ c=b ಗಾಗಿ ಹೊಸ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ . ಲಾಗ್ a b ಮತ್ತು log b a – ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾ, .

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಪದಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲು, ಫಾರ್ಮ್ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ . ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಕು a: .

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ b 1 ಮತ್ತು b 2, b 1 ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಲಾಗ್ a b 2 , ಮತ್ತು a>1 ಗಾಗಿ - ಅಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ a b 1

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಅದರ ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಪುರಾವೆಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವು ಮಿತಿಗೊಳಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, 1 >1, 2 >1 ಮತ್ತು 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ 1 ನಿಜವಾದ ಲಾಗ್ a 1 b>log a 2 b . ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಉಳಿದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಇದೇ ತತ್ತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿರುದ್ಧ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಒಂದು 1 >1, a 2 >1 ಮತ್ತು a 1 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ 1 ನಿಜವಾದ ದಾಖಲೆ a 1 b≤log a 2 b . ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಇದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲಾಗ್ b a 1 ≤log b a 2 ಮತ್ತು log b a 1 ≥log b a 2 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಅದೇ ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಾನತೆಗಳು b log b a 1 ≥b log b a 2 ಮತ್ತು b log b a 1 ≥b log b a 2 ಅನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ, a 1 ≥a 2 . ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಷರತ್ತು a 1 ಗೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

• ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಎ.ಎನ್., ಅಬ್ರಮೊವ್ ಎ.ಎಮ್., ಡಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್ ಯು.ಪಿ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ 10 - 11 ನೇ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ.
• ಗುಸೆವ್ ವಿ.ಎ., ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ. ಗಣಿತ (ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ).

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲಾಗ್ ಎ Xಮತ್ತು ಲಾಗ್ ಎ ವೈ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

1. ಲಾಗ್ ಎ X+ ಲಾಗ್ ಎ ವೈ= ಲಾಗ್ ಎ (X · ವೈ);
2. ಲಾಗ್ ಎ X- ಲಾಗ್ ಎ ವೈ= ಲಾಗ್ ಎ (X : ವೈ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9 = ಲಾಗ್ 6 (4 9) = ಲಾಗ್ 6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3 = ಲಾಗ್ 2 (48: 3) = ಲಾಗ್ 2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5 = ಲಾಗ್ 3 (135: 5) = ಲಾಗ್ 3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವು ಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: ಎ > 0, ಎ ≠ 1, X> 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅಂದರೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 7 49 6 .

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
ಲಾಗ್ 7 49 6 = 6 ಲಾಗ್ 7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ 2 7. ಲಾಗ್ 2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದೆ. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗ್ ನೀಡಲಿ ಎ X. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಿಅಂದರೆ ಸಿ> 0 ಮತ್ತು ಸಿ≠ 1, ಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಹಾಕಿದರೆ ಸಿ = X, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "ತಿರುಗುತ್ತದೆ", ಅಂದರೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 5 16 ಲಾಗ್ 2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: ಲಾಗ್ 5 16 = ಲಾಗ್ 5 2 4 = 4ಲಾಗ್ 5 2; ಲಾಗ್ 2 25 = ಲಾಗ್ 2 5 2 = 2 ಲಾಗ್ 2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 9 100 lg 3.

ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ವಾದದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಪದವಿಯ ಸೂಚಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿಈ ಶಕ್ತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎ? ಅದು ಸರಿ: ನೀವು ಇದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಲಾಗ್ 25 64 = ಲಾಗ್ 5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ :)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗದ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, "ಸುಧಾರಿತ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

1. ಲಾಗ್ ಎ ಎ= 1 ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಈ ನೆಲೆಯಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಲಾಗ್ ಎ 1 = 0 ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಎಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ ಎ 0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ! ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗೌಪ್ಯತಾ ನೀತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.

ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾವು ಯಾವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ನೀವು ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿದಾಗ, ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರು, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇಮೇಲ್ ವಿಳಾಸ ಇತ್ಯಾದಿ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು.

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

• ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಅನನ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಪ್ರಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂಬರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
• ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ನಾವು ಒದಗಿಸುವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸೇವೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿಮಗೆ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಆಡಿಟ್‌ಗಳು, ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವಂತಹ ಆಂತರಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ನೀವು ಬಹುಮಾನ ಡ್ರಾ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಒದಗಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿನಾಯಿತಿಗಳು:

• ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ - ಕಾನೂನು, ನ್ಯಾಯಾಂಗ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ, ಕಾನೂನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ವಿನಂತಿಗಳು ಅಥವಾ ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಪ್ರದೇಶದ ಸರ್ಕಾರಿ ಅಧಿಕಾರಿಗಳಿಂದ ವಿನಂತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ - ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು. ಭದ್ರತೆ, ಕಾನೂನು ಜಾರಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು.
• ಮರುಸಂಘಟನೆ, ವಿಲೀನ ಅಥವಾ ಮಾರಾಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ರಕ್ಷಣೆ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಷ್ಟ, ಕಳ್ಳತನ ಮತ್ತು ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸೇರಿದಂತೆ - ಅನಧಿಕೃತ ಪ್ರವೇಶ, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ, ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ನಾಶ.

ಕಂಪನಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಿಗೆ ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಭದ್ರತಾ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಗ್ರ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಲಿತ ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಷಯದೊಂದಿಗಿನ ಮೊದಲ ಪರಿಚಯವು ನೀರಸ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಹೀನವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ 16 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಯಿತು. "ಅದು ಯಾವುದರ ಬಗ್ಗೆ?" - ನೀವು ಯೋಚಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಲೇಖನವನ್ನು ಕೊನೆಯವರೆಗೂ ಓದಿ ಮತ್ತು "ವಿಜ್ಞಾನದ ರಾಣಿ" ಯ ಈ ವಿಭಾಗವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಅನೇಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಹೇಳುವಂತೆ: a (ಲೋಗಾಬ್) ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಸಲು b ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ c ಆಗಿದ್ದು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: b=ac. ಅಂದರೆ, ಸರಳ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಫಾರ್ಮ್ ಲೋಗಾಬ್‌ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಯಾವಾಗ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ: a>0; a - 1 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ; b>0, ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆಧಾರದಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ತಳದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಆದರೆ ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್.

• ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ - ಬೇಸ್ e ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ (e ಯುಲರ್‌ನ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಿಸುಮಾರು 2.7 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ y = ex), ln a = logea ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎನ್ನುವುದು 10 ರ ಬೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ log10a = ಲಾಗ್ a.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು

ಮೊದಲು ನೀವು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ಅಲೋಗಾಬ್ = ಬಿ, ನಂತರ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳು:

• loga1 = 0 - ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಲೋಗಾ = 1.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಯಾವುದೇ ಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದರ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧದಿಂದ ಮಾತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 5x = 9, x = log59 (ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ x ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ).

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

• loga(x · y) = logax+ logay - ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅಂಶಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
• loga xy = logax - logay - ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

• logakxp = (p/k)*logax - ಹೀಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು.
• logax = logac xc - ಹಿಂದಿನ ನಿಯಮದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ, ಘಾತಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.
• logax = (logbx)(logba) - ಟ್ರಾನ್ಸಿಶನ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ.
• logax = 1/logxa - ಪರಿವರ್ತನೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ, ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಇತಿಹಾಸ

16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನೇಕ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂರ್ಯ ಅಥವಾ ನಕ್ಷತ್ರಗಳಿಂದ ಹಡಗಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು).

ಈ ಅಗತ್ಯವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯಿತು ಮತ್ತು ಬಹು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯು ಗಮನಾರ್ಹ ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿತು. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞ ನೇಪಿಯರ್, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದರು. ನಂತರ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ವ್ಯವಕಲನ, ಮತ್ತು n ನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು, ನೀವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕಠಿಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ನೇಪಿಯರ್ನ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ಪುಸ್ತಕ "ರಾಬ್ಡೋಲಜಿ" ಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ನನ್ನ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಅನುಮತಿಸುವ ಮಟ್ಟಿಗೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಕಷ್ಟ ಮತ್ತು ಬೇಸರದಿಂದ ಜನರನ್ನು ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಲು ನಾನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದೆ, ಅದರ ಬೇಸರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡದಂತೆ ಅನೇಕರನ್ನು ನಿರುತ್ಸಾಹಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಹೆಸರನ್ನು ನೇಪಿಯರ್ ಅವರೇ ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಗ್ರೀಕ್ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ "ಅನುಪಾತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದರ್ಥ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಪೀಡೆಲ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಯೂಲರ್ ಅದನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಎರವಲು ಪಡೆದರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದರು. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕೊಪ್ಪೆಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಬಳಕೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಅವರ ಸಂಕೇತಗಳು ಕೌಚಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು.

1614 ರಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ನೇಪಿಯರ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಲೋಗಾರಿಥಮ್ಸ್ನ ಅದ್ಭುತ ಕೋಷ್ಟಕದ ವಿವರಣೆ" ಎಂಬ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್, ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿವರಣೆ ಇತ್ತು. ನಿಖರವಾದ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ "ಲಾಗರಿಥಮ್" ಎಂಬ ಪದವು ಹೇಗೆ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಯಿತು.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ಉಲ್ಲೇಖವು ವಾಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಜೊಹಾನ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಅವರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು.

y = logax ರೂಪದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದು ಯೂಲರ್‌ನ ಅರ್ಹತೆಯಾಗಿದೆ. 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮೊದಲಾರ್ಧದಲ್ಲಿ, ಅವರ ಪುಸ್ತಕ "ಇಂಟ್ರಡಕ್ಷನ್ ಟು ದಿ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಫ್ ಇನ್ಫಿನೈಟ್ಸ್" ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ

y = logax ರೂಪದ ಕಾರ್ಯ (ಒಂದು ವೇಳೆ: a > 0, a ≠ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತದೆ).

• ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರವೇಶ ಲೋಗಾಕ್ಸ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ - x > 0;.
• ಈ ಕಾರ್ಯವು R (ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ b ಧನಾತ್ಮಕ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯ logax = b ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - x = ab (ಲೋಗಾಬ್ = ಬಿ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ).
• ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರ a>0 ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ 0 ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. a>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು x>1 ಗಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = logax ನ ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು (1; 0), ಏಕೆಂದರೆ ಲೋಗಾ 1 = 0. ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡುವಂತೆ, ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ವಿಚಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = logаx ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಫಂಕ್ಷನ್ y = aх, ಅಲ್ಲಿ (а>0, а≠1), ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಅವರ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮರೆಯಲಾಗದ ಕೆಲವು ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳಿವೆ:

• ಒಂದೇ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "ಎಸೆಯಲು" ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ಮೂಲವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ (ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಂದರ್ಭ), ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೇಸ್ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ (ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ), ಅಸಮಾನತೆ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ: logax = b, a>0, a≠1 ಮತ್ತು x>0, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯ ಶ್ರೇಣಿ (VA) ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಇವುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ, ಆದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅನೇಕರು ಎದುರಿಸಿದ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ತಪ್ಪುಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವು ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಷಯವು ಇತರರಿಗಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರದ ವಿಷಯಗಳು, ಆದರೆ ಇದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಈ ವಿಷಯವು ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ತೊಡಕಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ವಿಷಯವು ಸರಳವಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೂ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೀರಿ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ದೋಷಗಳನ್ನು ನಾವು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಅದೃಷ್ಟ!