ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರವು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುವುದು

ಗ್ರೇಡ್ 5 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಆಕಾರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಯಾವುದೇ ಆಕೃತಿಯು ತನ್ನದೇ ಆದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಯೂನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ನಿಂದ ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, 1 ಮಿಮೀ, ಅಥವಾ 1 ಸೆಂ, 1 ಡಿಎಂ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಚೌಕದಿಂದ. ಅಂತಹ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು $ 1 * 1 = 1mm ^ 2 $, ಅಥವಾ $ 1cm ^ 2 $, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ S ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರದೇಶವು ಸಮತಲದ ಭಾಗದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಆಯತವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ ಮತ್ತು 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಮನ ಕೊಡಿ. ಅವರು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು. ಘಟಕಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುವಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಅವರು ದೊಡ್ಡ ಘಟಕವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಭಾಷಾಂತರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉದ್ದವನ್ನು dm ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಅಗಲವು cm ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ dm ಅನ್ನು cm ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು $ cm ^ 2 $ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ

ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲದೆಯೇ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಆಕೃತಿಯನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಘಟಕ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 1. ಆಯತವನ್ನು ಘಟಕ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ

ಆಯತವನ್ನು 15 ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು 15 ಸೆಂ 2 ಆಗಿದೆ. ಆಕೃತಿಯು 3 ಚೌಕಗಳನ್ನು ಅಗಲ ಮತ್ತು 5 ಉದ್ದವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯುನಿಟ್ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಉದ್ದವನ್ನು ಅಗಲದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಚತುರ್ಭುಜದ ಚಿಕ್ಕ ಭಾಗವು ಅಗಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

S = a b, ಇಲ್ಲಿ a, b ಎಂಬುದು ಆಕೃತಿಯ ಅಗಲ ಮತ್ತು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಯತದ ಉದ್ದವು 5 ಸೆಂ ಮತ್ತು ಅಗಲವು 4 ಸೆಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಪ್ರದೇಶವು 4 * 5 = 20 ಸೆಂ 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದರ ಕರ್ಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು

ಕರ್ಣೀಯ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು:

$$ S = (1 \ ಮೇಲೆ (2)) ⋅ d ^ 2 ⋅ sin (α) $$

ಕಾರ್ಯವು ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನೀವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಕರ್ಣವು ಆಕಾರದ ವಿರುದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆಯತದ ಕರ್ಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅರ್ಧಮಟ್ಟಕ್ಕಿಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2. ಡ್ರಾ ಕರ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಯತ

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವಿಷಯವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

# 1. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಉದ್ಯಾನ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಅಕ್ಕಿ. 3. ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್

ಪರಿಹಾರ:

ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಳೆಯಲು, ನೀವು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಎರಡು ಆಯತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 10 ಮೀ ಮತ್ತು 3 ಮೀ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೊಂದು 5 ಮೀ ಮತ್ತು 7 ಮೀ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ನಾವು ಅವುಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$ S_1 = 3 * 10 = 30 m ^ 2 $;

ಇದು ಉದ್ಯಾನ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ $ S = 65 m ^ 2 $.

# 2. ಒಂದು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅದರ ಕರ್ಣೀಯ d = 6 cm ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು α = 30 0 ನೀಡಿದರೆ ಕಳೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೌಲ್ಯ $ sin 30 = (1 \ ಮೇಲೆ (2)) $,

$ S = (1 \ ಮೇಲೆ (2)) ⋅ d ^ 2 ⋅ sinα $

$ S = (1 \ ಮೇಲೆ (2)) * 6 ^ 2 * (1 \ over (2)) = 9 cm ^ 2 $

ಆದ್ದರಿಂದ $ S = 9 cm ^ 2 $.

ಕರ್ಣಗಳು ಆಯತವನ್ನು 4 ಆಕಾರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ - 4 ತ್ರಿಕೋನಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಆಯತದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಅದು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಬಲ-ಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.ಸರಾಸರಿ ರೇಟಿಂಗ್: 4.4 ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ರೇಟಿಂಗ್‌ಗಳು: 214.

ಭೂಮಿಯನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬ ಜ್ಞಾನವು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಕ್ರಮೇಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ವಿಕಸನಗೊಂಡಿತು. ಈ ಪದವನ್ನು ಗ್ರೀಕ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ - "ಸಮೀಕ್ಷೆ".

ಭೂಮಿಯ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲದ ಅಳತೆಯು ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರ S (ಇಂಗ್ಲಿಷ್ "ಚದರ" - "ಪ್ರದೇಶ", "ಚದರ") ಅಥವಾ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ σ (ಸಿಗ್ಮಾ) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. S ಎಂಬುದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ದೇಹದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು σ ಎಂಬುದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತಂತಿಯ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ಮುಖ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಇತರವುಗಳಿದ್ದರೂ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಸ್ತುಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, A ಎಂಬುದು ಪ್ರೊಫೈಲ್ನ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸೂತ್ರಗಳು

ಸರಳ ಆಕಾರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು... ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅದರ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ತ್ರಿಕೋನ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ವೃತ್ತ.

ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಗಳು ಅಥವಾ ಆಯತಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಸರಳ ಅಂಕಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ, ಈ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನ

ಸರಳವಾದ ಆಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ - ತ್ರಿಕೋನ. ಅವು ಆಯತಾಕಾರದ, ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು. AB = a, BC = b ಮತ್ತು AC = c (∆ ABC) ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ABC ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಶಾಲಾ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೈನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ:

• S = √ ಎಂಬುದು ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ p = (a + b + c) / 2 ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅರ್ಧ-ಪರಿಧಿಯಾಗಿದೆ;
• S = a h / 2, ಇಲ್ಲಿ h ಎಂದರೆ ಬದಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾದ ಎತ್ತರ;
• S = a b (sin γ) / 2, ಇಲ್ಲಿ γ ಎಂಬುದು a ಮತ್ತು b ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ;
• S = a b / 2, ∆ ABC ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ (ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಕಾಲುಗಳು);
• S = b² (sin (2 β)) / 2, ∆ ABC ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಆಗಿದ್ದರೆ (ಇಲ್ಲಿ b ಎಂಬುದು "ಸೊಂಟ" ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, β ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ "ಸೊಂಟ" ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ);
• S = a² √¾ ಒಂದು ವೇಳೆ ∆ ABC ಸಮಬಾಹು (ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿ).

ಚತುರ್ಭುಜ

AB = a, BC = b, CD = c, AD = d ನೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಇರಲಿ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ 4-ಗೊನ್‌ನ S ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅದನ್ನು ಕರ್ಣದಿಂದ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು, ಅದರ ಪ್ರದೇಶಗಳು S1 ಮತ್ತು S2 ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಂತರ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅಂದರೆ, S = S1 + S2. ಆದಾಗ್ಯೂ, 4-ಗಾನ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

• S = (a + c) h / 2 = eh, 4-gon ಒಂದು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು c ಎಂಬುದು ಬೇಸ್‌ಗಳು, e ಎಂಬುದು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನ ಮಧ್ಯದ ಗೆರೆಯಾಗಿದೆ, h ಎಂಬುದು ಬೇಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್;
• S = a h = a b sin φ = d1 d2 (sin φ) / 2, ABCD ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದರೆ (ಇಲ್ಲಿ φ ಎಂಬುದು a ಮತ್ತು b ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ, h ಎಂಬುದು ಬದಿಗೆ ಇಳಿದ ಎತ್ತರ, d1 ಮತ್ತು d2 ಕರ್ಣಗಳಾಗಿವೆ);
• S = a b = d² / 2, ABCD ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದ್ದರೆ (d ಒಂದು ಕರ್ಣ);
• S = a² sin φ = P² (sin φ) / 16 = d1 d2 / 2, ABCD ಒಂದು ರೋಂಬಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (a ಎಂಬುದು ರೋಂಬಸ್‌ನ ಬದಿಯಾಗಿದೆ, φ ಅದರ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, P ಎಂಬುದು ಪರಿಧಿಯಾಗಿದೆ);
• ABCD ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದ್ದರೆ S = a² = P² / 16 = d² / 2.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ

n-gon ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅದನ್ನು ಸರಳವಾದ ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಆದರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

S = anh / 2 = a² n / = P² /, ಇಲ್ಲಿ n ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳ (ಅಥವಾ ಬದಿಗಳು) ಸಂಖ್ಯೆ, a n-gon ನ ಬದಿ, P ಅದರ ಪರಿಧಿ, h ಎಂಬುದು ಅಪೋಥೆಮ್, ಅಂದರೆ , ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ 90 ° ಕೋನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ವಿಭಾಗ.

ವೃತ್ತ

ವೃತ್ತವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.... ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿಯು R ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ನಮ್ಮ ವೃತ್ತದ ಗಡಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು P = 2 π R ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು n → ∞ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, n → ∞ ನಂತೆ lim (cos (180 ° / n)) cos 0 ° = 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (lim ಎಂಬುದು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆ), ಮತ್ತು lim = lim n → ∞ 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ / π (ನಾವು π ರಾಡ್ = 180 ° ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ರೇಡಿಯನ್‌ಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ ಲಿಮ್ (ಸಿನ್ x) / x = 1 ಅನ್ನು x → ∞ ಎಂದು ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದೇವೆ). ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು S ಗಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:

S = π² R² 1 (1 / π) = π R².

ಘಟಕಗಳು

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ... ಸಿಸ್ಟಮ್ ಘಟಕಗಳು SI (ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಚದರ ಮೀಟರ್ (ಚದರ ಮೀಟರ್, m²) ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಪಡೆದ ಘಟಕಗಳು: mm², cm², km².

ಚದರ ಮಿಲಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (ಮಿಮಿ²), ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ತಂತಿಗಳ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತಾರೆ, ಚದರ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (ಸೆಂ²) - ರಚನಾತ್ಮಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಿರಣದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳು, ಚದರ ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (ಮೀ²) - ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಅಥವಾ ಮನೆಗಳು, ಚದರ ಕಿಲೋಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (ಕಿಮೀ²) - ಭೂಗೋಳದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶಗಳು ...

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಾಪನದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ನೇಯ್ಗೆ, ಅರ್ (ಎ), ಹೆಕ್ಟೇರ್ (ಹೆ) ಮತ್ತು ಎಕರೆ (ಎಸಿ). ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

• 1 ನೂರು ಚದರ ಮೀಟರ್ = 1 a = 100 m² = 0.01 ಹೆಕ್ಟೇರ್;
• 1 ಹೆಕ್ಟೇರ್ = 100 a = 100 ಅರೆಸ್ = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 ac;
• 1 ac = 4046.856 m2 = 40.47 a = 40.47 ares = 0.405 hectares.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ- ಈ ಆಕೃತಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (ಈ ಆಕೃತಿಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಭಾಗ). ಪ್ರದೇಶದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಚದರ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಅಕ್ಕಪಕ್ಕ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
   ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಈ ಬದಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಎತ್ತರದ ಉದ್ದದಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
   
2. ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸೂತ್ರ
   
3. ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸೂತ್ರ
   ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶತ್ರಿಕೋನದ ಅರ್ಧ ಪರಿಧಿಯ ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
   
ಅಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,
- ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು,
- ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರ,
- ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು,
- ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ,
R ಎಂಬುದು ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ,

ಚೌಕ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರದೇಶ

1. ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
   ಚದರ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದದಿಂದ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
   ಚದರ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
   

   ಎಸ್ =	1	2
   	2

ಅಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,
- ಚೌಕದ ಬದಿಯ ಉದ್ದ,
- ಚೌಕದ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದ.

ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ

ಆಯತ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,
- ಆಯತದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶ ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಅಡ್ಡ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
   ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರದೇಶ
2. ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೂತ್ರ
   ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
   

   a b sin α

ಅಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,
- ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು,
- ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎತ್ತರದ ಉದ್ದ,
- ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ.

ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಪಕ್ಕದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದಿಂದ ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
   ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಈ ಬದಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
2. ಅಡ್ಡ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕೋನದಿಂದ ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
   ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ರೋಂಬಸ್ನ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3. ಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದದಿಂದ ರೋಂಬಸ್ನ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ
   ರೋಂಬಸ್ ಪ್ರದೇಶಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು ರೋಂಬಸ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,
- ರೋಂಬಸ್ ಬದಿಯ ಉದ್ದ,
- ರೋಂಬಸ್ನ ಎತ್ತರದ ಉದ್ದ,
- ರೋಂಬಸ್ನ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ,
1, 2 - ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳು.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಗಾಗಿ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಗಾಗಿ ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರ

   ಅಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ,
   - ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಬೇಸ್ಗಳ ಉದ್ದ,
   - ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದ,
   

ಪ್ರದೇಶ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಆಯತ ಎಂದರೇನು

ಪ್ರದೇಶವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದ್ದು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಅನೇಕ ಶತಮಾನಗಳಿಂದ, ಪ್ರದೇಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಅಂದರೆ, ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಾಕು. ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರದೇಶವು ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು ಅದು ನಮಗೆ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಸಮತಲದ ಭಾಗದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಆಯತವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಆಯತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪಾರದರ್ಶಕ ಕಾಗದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಟ್ರೇಸಿಂಗ್ ಪೇಪರ್ ಅಥವಾ ಎಣ್ಣೆ ಬಟ್ಟೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಮಾನ 1 ಸೆಂ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ಸೆಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಆಯತವನ್ನು ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ. ತುಂಬಿದ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚದರ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಆಯತವು 12 ಚೌಕಗಳಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರದೇಶ - 12 ಚದರ ಮೀಟರ್. ಸೆಂ.

ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್, ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ; ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಗಲದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಈಗ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ನಮ್ಮ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಎಸ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ಎ ಅಕ್ಷರವು ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಅಕ್ಷರವು ಅದರ ಅಗಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎಸ್ = ಎ * ಬಿ.

ಮೇಲಿನ ಆಯತದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅದೇ 12 ಚದರ ಸೆಂ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ a = 4 cm, b = 3 cm, ಮತ್ತು S = 4 * 3 = 12 sq. cm.

ನೀವು ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದರಂತೆ ಇರಿಸಿದರೆ, ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸಮಾನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಏಕೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.
ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಕಲಿತ ನಂತರ, ನೀವು ಮೊದಲು ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಲಾದ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯಿರಿ. ಒಂದು ಆಯತದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಹತ್ತಿರ.
ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಎಸ್ = ಎ * ಬಿ ಯಂತಹ ಸರಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸರಳ ದೈನಂದಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶವಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಸ್ ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಅಥವಾ ಮನೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ), ಮತ್ತು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಯೋಜನೆಗಳು.

ಅಂದರೆ, ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

P = L x W,

P ಎಂದರೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರದೇಶ, D ಅದರ ಉದ್ದ, W ಅದರ ಅಗಲ ಮತ್ತು x ಗುಣಾಕಾರದ ಚಿಹ್ನೆ.

ಯಾವುದೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಈ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಇರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚದರ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ? ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು?

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಶಾಲೆಯು ಬೇಲಿಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿದೆ - ಈ ಬೇಲಿಯ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವು ಪರಿಧಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇಲಿಯೊಳಗಿನ ಜಾಗವು ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರದೇಶದ ಘಟಕಗಳು

ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಇಂಚುಗಳು, ಅಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೀಟರ್ಗಳು, ನಂತರ S ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತನ್ನದೇ ಆದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಎಸ್ ಅನ್ನು ಚದರ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಒಂದು ಚದರ ಮಿಲಿಮೀಟರ್, ಅಲ್ಲಿ ಚೌಕದ S ಒಂದು ಮಿಲಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
ಒಂದು ಚದರ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ಅಂತಹ ಚೌಕದ S ಅನ್ನು ಒಂದು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ;
ಒಂದು ಚದರ ಡೆಸಿಮೀಟರ್ ಒಂದು ಡೆಸಿಮೀಟರ್ನ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಚೌಕದ S ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
ಒಂದು ಚದರ ಮೀಟರ್ S ಚೌಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಬದಿಯು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ;
ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಚದರ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ S ಚೌಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು, ಅಂತಹ ಘಟಕಗಳು:

ಒಂದು ಅರ್ ಅಥವಾ ನೇಯ್ಗೆ - ಚೌಕದ ಎಸ್ ಹತ್ತು ಮೀಟರ್ಗಳ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ;
ಒಂದು ಹೆಕ್ಟೇರ್ ಒಂದು ಚೌಕದ S ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಬದಿಯು ನೂರು ಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು

ಈಗ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಚಿತ್ರ 62 ಎಂಟು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಚೌಕಗಳ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯು ಒಂದು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಚೌಕದ S ಒಂದು ಚದರ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಅದನ್ನು ಬರೆದರೆ, ಅದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

1 ಸೆಂ 2. ಮತ್ತು ಎಂಟು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಈ ಚಿತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ S, 8 ಚದರ ಸೆಂ.ಮೀ.ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಒಂದು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ "p" ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

P cm2.

ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಚಿತ್ರ 63 ರಲ್ಲಿನ ಚಿತ್ರಗಳು. ಈ ಆಯತವು ಮೂರು ಪಟ್ಟೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು 1 ಸೆಂ.ಮೀ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಐದು ಸಮಾನ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಐದು ಚೌಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಪಟ್ಟಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ನಾವು 15 ಚದರ ಸೆಂ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಚಿತ್ರ 64 ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ABCD, ಇದು ಮುರಿದ ರೇಖೆ KLMN ಮೂಲಕ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮೊದಲ ಭಾಗವು 12 ಸೆಂ 2 ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು 9 ಸೆಂ 2 ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೂರು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಏಳರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 21 ಸೆಂ 2 ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

3 7 = 21 ಚದರ ಸೆಂ.ಮೀ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 21 = 12 + 9.

ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರುತ್ತೇವೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿತ್ರ 65 ರಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು AC ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿ, ABC ಮತ್ತು ADC ಎಂಬ ಎರಡು ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಒಂದು ಚೌಕವು ಒಂದೇ ಆಯತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ಕೇವಲ ಸಮಾನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಯತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚೌಕದ ಬದಿಯು a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ನಂತರ:

S = a a = a2.

ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು a2 ಸಂಕೇತವನ್ನು a ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಚೌಕದ ಬದಿಯು ನಾಲ್ಕು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

4 4, ಅಂದರೆ, 4 * 2 = 16 ಚದರ ಸೆಂ.

ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು

ಒಂದು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಹದಿನಾರು ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಆಕಾರದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಆಯತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಯಾವ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು?
ಸಮಾನ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ.
ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದೇ? ಪರಿಧಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?
ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಒಟ್ಟು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ತಿಳಿಯುತ್ತೀರಿ?
ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಏನೆಂದು ರೂಪಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖ

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಾಚೀನ ಜನರು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ? ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ವಿವಿಧ ಅಂಕಿಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು, ಆದರೆ ಅವರಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಣ್ಣ ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು.

ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ "ಬಿಗಿನಿಂಗ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾನೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಆಯತಗಳು ಉದ್ದನೆಯ ಭಾಗದ ಸಣ್ಣ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ 90 ಡಿಗ್ರಿ.

ಆಯತದ ಉದ್ದನೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಯತದ ಉದ್ದ, ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದು - ಆಯತದ ಅಗಲ.

ಆಯತದ ಬದಿಗಳು ಸಹ ಅದರ ಎತ್ತರಗಳಾಗಿವೆ.

ಆಯತದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಆಯತವು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ, ಚೌಕ ಅಥವಾ ರೋಂಬಸ್ ಆಗಿರಬಹುದು.

1. ಆಯತದ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

AB = CD, BC = AD

2. ಆಯತದ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

3. ಆಯತದ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. ಆಯತದ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 °

5. ಆಯತದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 360 ಡಿಗ್ರಿಗಳು:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 °

6. ಆಯತದ ಕರ್ಣಗಳು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ:

7. ಆಯತದ ಕರ್ಣೀಯ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬದಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. ಆಯತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕರ್ಣವು ಆಯತವನ್ನು ಎರಡು ಒಂದೇ ಆಕಾರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಬಲ-ಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು.

9. ಆಯತದ ಕರ್ಣಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಮಟ್ಟಕ್ಕಿಳಿಯುತ್ತವೆ:

10. ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ

11. ಆಯತದ ಕರ್ಣವು ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ

12. ಒಂದು ಆಯತದ ಸುತ್ತಲೂ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳು:

∠ABC = ∠CDA = 180 ° ∠BCD = ∠DAB = 180 °

13. ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಒಂದು ಆಯತಕ್ಕೆ ಕೆತ್ತಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅದರ ಉದ್ದವು ಅದರ ಅಗಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಒಂದು ಆಯತದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಬಹುದು - ಒಂದು ಚೌಕ).

ಒಂದು ಆಯತದ ಬದಿಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಆಯತದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಆಯತದ ಬದಿಯ ಸೂತ್ರ (ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ) ಕರ್ಣ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯ ಮೂಲಕ:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. ಆಯತದ ಬದಿಯ ಸೂತ್ರ (ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ) ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯ ಮೂಲಕ:

ಒಂದು ಆಯತದ ಕರ್ಣ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಆಯತದ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಆಯತದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ಆಯತದ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ (ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ):

d = √ a 2 + b 2

2. ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಕರ್ಣೀಯ ಸೂತ್ರ:

4. ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಕರ್ಣೀಯ ಸೂತ್ರ:

d = 2R

5. ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಆಯತದ ಕರ್ಣೀಯ ಸೂತ್ರ:

d = D ಬಗ್ಗೆ

6. ಕರ್ಣೀಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನದ ಸೈನ್ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಕರ್ಣೀಯ ಸೂತ್ರ, ಮತ್ತು ಈ ಕೋನದ ಎದುರು ಬದಿಯ ಉದ್ದ:

8. ಕರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶದ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನದ ಸೈನ್ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಕರ್ಣೀಯ ಸೂತ್ರ

d = √2S: ಪಾಪ β

ಒಂದು ಆಯತದ ಪರಿಧಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಆಯತದ ಪರಿಧಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಆಯತದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ಆಯತದ ಪರಿಧಿಯ ಸೂತ್ರ:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

2. ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪರಿಧಿಯ ಸೂತ್ರ:

3. ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯ ಮೂಲಕ ಆಯತದ ಪರಿಧಿಯ ಸೂತ್ರ:

P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2 (b + √ d 2 - b 2)

4. ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪರಿಧಿಯ ಸೂತ್ರ:

P = 2 (a + √4R 2 - a 2) = 2 (b + √4R 2 - ಬಿ 2)

5. ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪರಿಧಿಯ ಸೂತ್ರ:

P = 2 (a + √D o 2 - a 2) = 2 (b + √D o 2 - ಬಿ 2)

ಆಯತ ಪ್ರದೇಶ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ:

ಎಸ್ = ಎ ಬಿ

2. ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ:

5. ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರ:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - ಬಿ 2

6. ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರ:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - ಬಿ 2

ಒಂದು ಆಯತದ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಒಂದು ಆಯತದ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು

1. ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಆಯತದ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ: