ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ ಎಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ ಎ(ಎ).

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಎಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3 ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಓದಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ 3 ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ ಎ(3 ).

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದು A ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ( 3 )

ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದು A ಗೆ ದೂರ ( 3 ) 3 (ಮೂರು ಘಟಕಗಳು ಅಥವಾ ಮೂರು ಹಂತಗಳು) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: | 3 |

ಸಂಖ್ಯೆ 4 ರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: | 4 |

ಸಂಖ್ಯೆ 5 ರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: | 5 |

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದು 3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇದು ಹೀಗಿದೆ: "ಮೂರನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮೂರು"

ಈಗ ಸಂಖ್ಯೆ -3 ರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಮತ್ತೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ಅದರೊಳಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ -3 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಬದಲಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಎಹೊಸ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬಿ... ಪಾಯಿಂಟ್ ಎನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು - 3 ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿದೆ ಬಿ(—3 ).

ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ದೂರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆ -3 ರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದು (-3) ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ಮೂರು ಘಟಕಗಳು:

ಇದು ಹೀಗಿದೆ: "ಮೈನಸ್ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮೂರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ"

0 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 0 ರೊಂದಿಗಿನ ಬಿಂದುವು ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ದೂರ O (0)ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

"ಶೂನ್ಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ"

ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

• ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು;
• ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ;
• ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ದ... ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು −2 ಮತ್ತು 2 ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವು ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ -2 ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು 2 ಒಂದು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ಲಸ್, ನಾವು ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ.

ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, −2 ಮತ್ತು 2 ಗಾಗಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎ (-2)ಮತ್ತು ಬಿ (2)ಎರಡು ಹಂತಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ಪಾಠ ಇಷ್ಟವಾಯಿತೇ?
ನಮ್ಮ ಹೊಸ Vkontakte ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಪಾಠಗಳ ಕುರಿತು ಅಧಿಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ

ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲಅವಳ ವೃತ್ತಿ, ಮತ್ತು ಅವಳು ನಮ್ಮನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾಳೆ.

ರಷ್ಯಾದ ಗಣಿತಜ್ಞ ಯು.ಐ. ಮಾನಿನ್

ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ).ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ:

ಸೂಚನೆ, ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಮ ಪದವಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಜೊತೆಗೆ, ವೇಳೆ, ಎಲ್ಲಿ, ನಂತರ

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದಾಗಿದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಮೂಲಕ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 1.ಯಾವುದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಸಮಾನತೆ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3.ಸಮಾನತೆ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

"ಸಮೀಕರಣಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ".

ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಶಾಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ವಿಧಾನ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಬಹುಮುಖವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ತುಂಬಾ ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇತರರ ಬಗ್ಗೆ ಜಾಗೃತರಾಗಬೇಕು, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಲ್ಲಿ ನೀವು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. (1)

ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು "ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ" ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ವಿಧಾನ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

1. ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಂತರ,, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ (1) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ (1).

2. ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (1) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಅಥವಾ .

ಅಂದಿನಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲ (1).

3. ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (1) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆಅಥವಾ . ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉತ್ತರ:, .

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನೊಂದಿಗೆ ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ನಾವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಅಂದಿನಿಂದ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ... ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ,,, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ... ಇದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ... ಆದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಅಂದಿನಿಂದ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. (2)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2 ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸಮೀಕರಣ (2) ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:.

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ... ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ, ಪ್ರಮೇಯ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಅಥವಾ .

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, (3)

ಎಲ್ಲಿ ... ಸಮೀಕರಣ (3) ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದತದನಂತರ ... ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:ಮತ್ತು .

ಉದಾಹರಣೆ 7. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. (4)

ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣದಿಂದಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:ಮತ್ತು , ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

1. ವೇಳೆ, ನಂತರ ಅಥವಾ.

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು.

2. ವೇಳೆ, ನಂತರ ಅಥವಾ.

ಅಂದಿನಿಂದ.

ಉತ್ತರ: , , , .

ಉದಾಹರಣೆ 8.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ . (5)

ಪರಿಹಾರ.ಅಂದಿನಿಂದ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಇದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (5) ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 9. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. (6)

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (6) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಥವಾ . (7)

ಸಮೀಕರಣವು (7) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದಿನಿಂದ, ನಂತರ ಅಥವಾ.

ಉತ್ತರ:.

ಉದಾಹರಣೆ 10.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. (8)

ಪರಿಹಾರ.ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

(9)

ಸಮೀಕರಣ (8) ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಎರಡೂ ಅಸಮಾನತೆಗಳು (9) ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಿದೆ

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಮೇಯ 3 ರ ಮೂಲಕ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ

(10)

ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (10), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (10) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (8) ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತರ:.

ಉದಾಹರಣೆ 11. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. (11)

ಪರಿಹಾರ.ಲೆಟ್ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (11).

ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಮತ್ತು .

ಉತ್ತರ:, .

ಉದಾಹರಣೆ 12.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. (12)

ಪರಿಹಾರ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (12) ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

1. ವೇಳೆ, ನಂತರ.

1.1. ವೇಳೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು,.

1.2 ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ. ಆದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣ (12) ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

2. ವೇಳೆ, ನಂತರ.

2.1. ವೇಳೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು,.

2.2 ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು.

ಉತ್ತರ: , , , , .

ಉದಾಹರಣೆ 13.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. (13)

ಪರಿಹಾರ. Eq. (13) ನ ಎಡಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ನಂತರ ಮತ್ತು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ (13)

ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ.

ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಮತ್ತು , ನಾವು ಏನನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು,. ಏಕೆಂದರೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (13) ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತರ:.

ಉದಾಹರಣೆ 14. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (14)

ಪರಿಹಾರ.ರಿಂದ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಮತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ (14) ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಬೇರುಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ (14).

ಉತ್ತರ: ,, , , , , , .

ಉದಾಹರಣೆ 15. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (15)

ಪರಿಹಾರ.ಅಂದಿನಿಂದ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ (15), ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೊದಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು.

ಉತ್ತರ: , , , .

ಉದಾಹರಣೆ 16. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (16)

ಪರಿಹಾರ.ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (16) ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂದಿನಿಂದ ... ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿವರೆಗಿನ, ನಂತರ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ,, ಅಥವಾ.

ನೀವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (16), ನಂತರ, ಅಥವಾ.

ಉತ್ತರ:, .

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾದ ಓದುವ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ನೀವು ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್‌ಗಳನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಬಹುದು.

1. ತಾಂತ್ರಿಕ ಕಾಲೇಜುಗಳಿಗೆ ಅರ್ಜಿದಾರರಿಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ / ಎಡ್. ಎಂ.ಐ. ಸ್ಕನವಿ. - ಎಂ.: ಶಾಂತಿ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಣ, 2013 .-- 608 ಪು.

2. ಸುಪ್ರನ್ ವಿ.ಪಿ. ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತ: ಹೆಚ್ಚಿದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. - ಎಂ .: ಕೆಡಿ "ಲಿಬ್ರೊಕಾಮ್" / ಯುಆರ್ಎಸ್ಎಸ್, 2017 .-- 200 ಪು.

3. ಸುಪ್ರನ್ ವಿ.ಪಿ. ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತ: ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ವಿಧಾನಗಳು. - ಎಂ .: ಕೆಡಿ "ಲಿಬ್ರೊಕಾಮ್" / ಯುಆರ್ಎಸ್ಎಸ್, 2017 .-- 296 ಪು.

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ?

ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು - ನೋಂದಾಯಿಸಿ.

ಸೈಟ್, ವಸ್ತುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲು ಜೊತೆಗೆ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕಾಗಿ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಇದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ? ಏಕೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಕ್ಕಳು ಬೀಜಗಳಂತೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ದೂರವಿರುವಾಗ, ಅದು ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ತೊಂದರೆಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾದ ನಿಯಮಗಳ ಕೊರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮೊದಲು ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುತ್ತಾನೆ. ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಇದ್ದರೆ ಏನು? ಸಮೀಕರಣವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಕ್ರಿಯಾ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ಆದರೆ ಮೊದಲು, ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ... ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ವೇಳೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು -ಎಒಂದು ವೇಳೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ. ನೀವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

| ಎ | = a ವೇಳೆ a ≥ 0 ಮತ್ತು | a | = -a ವೇಳೆ a< 0

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು - ಅದರ ಕೆ ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಹಂತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ದೂರವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೇರವಾಗಿ ಹೋಗೋಣ.

1. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ | x | = c, ಇಲ್ಲಿ c ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ: ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳು, ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವವುಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಗುಂಪು ಸಂಖ್ಯೆ 0. ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

(± c ವೇಳೆ c> 0

ಒಂದು ವೇಳೆ |x | = c, ನಂತರ x = (0, c = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ

(ಒಂದು ವೇಳೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ< 0

1) | x | = 5, ಏಕೆಂದರೆ 5> 0, ನಂತರ x = ± 5;

2) | x | = -5, ಏಕೆಂದರೆ -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0, ನಂತರ x = 0.

2. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ | f (x) | = b, ಅಲ್ಲಿ b> 0. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: f (x) = b ಅಥವಾ f (x) = -b. ಈಗ ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಬಿ< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, ಏಕೆಂದರೆ 4> 0, ನಂತರ

x + 2 = 4 ಅಥವಾ x + 2 = -4

2) | x 2 - 5 | = 11, ಏಕೆಂದರೆ 11> 0, ನಂತರ

x 2 - 5 = 11 ಅಥವಾ x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ

3) | x 2 - 5x | = -8, ಏಕೆಂದರೆ - ಎಂಟು< 0, то уравнение не имеет корней.

3. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ | f (x) | = g (x). ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಬಲಭಾಗವು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. g (x) ≥ 0. ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

f (x) = g (x)ಅಥವಾ f (x) = -g (x).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. ಈ ಸಮೀಕರಣವು 5x - 10 ≥ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. ಪರಿಹಾರ:

2x - 1 = 5x - 10 ಅಥವಾ 2x - 1 = - (5x - 10)

3. ನಾವು ODZ ಅನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

O.D.Z. ಪ್ರಕಾರ ರೂಟ್ x = 11/7 ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಮತ್ತು x = 3 ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - x 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. ನಾವು ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. ಪರಿಹಾರ:

x - 1 = 1 - x 2 ಅಥವಾ x - 1 = - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 ಅಥವಾ x = 1 x = 0 ಅಥವಾ x = 1

3. ನಾವು ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ODZ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ:

x = 1 ಮತ್ತು x = 0 ಬೇರುಗಳು ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ.

ಉತ್ತರ: x = 0, x = 1.

4. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ | f (x) | = | g (x) |. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ f (x) = g (x) ಅಥವಾ f (x) = -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 ಅಥವಾ x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 ಅಥವಾ x = 4 x = 2 ಅಥವಾ x = 1

ಉತ್ತರ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆ). ಈ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ x 2 = | x | 2, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

| x | 2 - 6 | x | + 5 = 0. ನಾವು | x | ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ = t ≥ 0, ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

t 2 - 6t + 5 = 0. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, t = 1 ಅಥವಾ t = 5 ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಬದಲಿಯಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ:

| x | = 1 ಅಥವಾ | x | = 5

x = ± 1 x = ± 5

ಉತ್ತರ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

x 2 + | x | - 2 = 0. ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ x 2 = | x | 2, ಆದ್ದರಿಂದ

| x | 2 + | x | - 2 = 0. ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ | x | = t ≥ 0, ನಂತರ:

t 2 + t - 2 = 0. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು t = -2 ಅಥವಾ t = 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಬದಲಿಯಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ:

| x | = -2 ಅಥವಾ | x | = 1

ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ x = ± 1

ಉತ್ತರ: x = -1, x = 1.

6. ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು "ಸಂಕೀರ್ಣ" ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು "ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್" ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

1) | 3 - | x || = 4. ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆಯೇ ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ 4> 0, ನಂತರ ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

3 - |x | = 4 ಅಥವಾ 3 - | x | = -4.

ಈಗ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ x ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ | x | = -1 ಅಥವಾ | x | = 7.

ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ -1< 0, а во втором x = ±7.

ಉತ್ತರ x = -7, x = 7.

2) | 3 + | x + 1 || = 5. ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

3 + | x + 1 | = 5 ಅಥವಾ 3 + | x + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 ಅಥವಾ x + 1 = -2. ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: x = -3, x = 1.

ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವೂ ಇದೆ. ಇದು ಅಂತರದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ನಂತರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಬ್ಲಾಗ್ ಸೈಟ್, ವಸ್ತುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲು ಜೊತೆಗೆ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಈ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಗಣಿತ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮಾಡ್ಯೂಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ... ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳುಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ನೀಡುತ್ತದೆ ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರ, ಅಂದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಗಳ ಹಿರಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೊದಲು ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪೋಷಕರಿಗೆ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ನೀವು ಬೋಧಕರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಥವಾ ಹೊಸ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆಯೇ? ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬೇಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಬಯಸುವಿರಾ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಬೋಧನೆ ಮತ್ತು / ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಕಿರಿಯ ಒಡಹುಟ್ಟಿದವರ ಬೋಧನೆಯನ್ನು ನೀವು ನಡೆಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೆಲವು ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದೇ ಇರಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.
ಬಹುಶಃ ನೀವು AdBlock ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿರುವಿರಿ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಪುಟವನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಿ.

ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಯಸುವ ಬಹಳಷ್ಟು ಜನರಿದ್ದಾರೆ, ನಿಮ್ಮ ವಿನಂತಿಯು ಸರದಿಯಲ್ಲಿದೆ.
ಕೆಲವು ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ, ಪರಿಹಾರವು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ.
ದಯವಿಟ್ಟು ಕಾಯಿರಿ ಸೆಕೆಂಡ್...

ನೀನೇನಾದರೂ ನಿರ್ಧಾರದಲ್ಲಿನ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು, ನಂತರ ನೀವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಮರೆಯಬೇಡ ಯಾವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಏನು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿ.

ನಮ್ಮ ಆಟಗಳು, ಒಗಟುಗಳು, ಎಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು:

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಮೂಲ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, \ (| xa | \) x ಮತ್ತು a: \ (| xa | = \ rho (x; \; a) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಅಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನೀವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ) \). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \ (| x-3 | = 2 \) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಪಾಯಿಂಟ್ 3 ರಿಂದ 2 ರ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂತಹ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ: \ (x_1 = 1 \) ಮತ್ತು \ (x_2 = 5 \) ...

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು \ (| 2x + 7 |

ಆದರೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಮಾರ್ಗವು "ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ:
\ (a \ geq 0 \), ಆಗ \ (| a | = a \);
\ (ಒಂದು ನಿಯಮದಂತೆ, ಮಾಡ್ಯುಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಅಸಮಾನತೆ) ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ (ಅಸಮಾನತೆಗಳು) ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
1) \ (c> 0 \), ಆಗ ಸಮೀಕರಣವು \ (| f (x) | = c \) ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: \ (\ left [\ start (array) (l) f (x ) = c \\ f (x) = - c \ end (array) \ right. \)
2) \ (c> 0 \), ಆಗ ಅಸಮಾನತೆ \ (| f (x) | 3) \ (c \ geq 0 \), ಆಗ ಅಸಮಾನತೆ \ (| f (x) |> c \) ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: \ (\ ಎಡಕ್ಕೆ [\ ಆರಂಭ (ಅರೇ) (l) f (x) c \ end (array) \ right. \)
4) ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು \ (f (x) ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 = 0 \).

\ (x-1 \ geq 0 \), ಆಗ \ (| x-1 | = x-1 \) ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ
\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 = 0 \ ರೈಟ್‌ಟಾರೋ x ^ 2 + 2x -8 = 0 \).
ಒಂದು ವೇಳೆ \ (x-1 \ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 = 0 \ Rightarrow x ^ 2 -2x -4 = 0 \).
ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂಚಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.
1) ಲೆಟ್ \ (x-1 \ geq 0 \), ಅಂದರೆ. \ (x \ geq 1 \). \ (x ^ 2 + 2x -8 = 0 \) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು \ (x_1 = 2, \; x_2 = -4 \) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. \ (x \ geq 1 \) ಸ್ಥಿತಿಯು \ (x_1 = 2 \) ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ.
2) ಅವಕಾಶ \ (x-1 ಉತ್ತರ: \ (2; \; \; 1- \ ಚದರ (5) \)

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \ (| x ^ 2-6x + 7 | = \ frac (5x-9) (3) \).

ಮೊದಲ ದಾರಿ(ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆ).
ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ ವಾದಿಸುತ್ತಾ, ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರುತ್ತೇವೆ: \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) ಅಥವಾ \ (x ^ 2-6x + 7

1) \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \), ಆಗ \ (| x ^ 2-6x + 7 | = x ^ 2-6x + 7 \) ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು \ (x) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ^ 2 -6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \ ರೈಟ್‌ಟಾರೋ 3x ^ 2-23x + 30 = 0 \). ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: \ (x_1 = 6, \; x_2 = \ frac (5) (3) \).
\ (x_1 = 6 \) ಮೌಲ್ಯವು \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಚೌಕದ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), ಅಂದರೆ. \ (7 \ geq 0 \) ನಿಜವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, \ (x_1 = 6 \) ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.
ಮೌಲ್ಯವು \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) ಷರತ್ತು \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಚೌಕದ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: \ (\ ಎಡ (\ frac (5) (3) \ ಬಲ) ^ 2 - \ frac (5) (3) \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), ಅಂದರೆ. \ (\ frac (25) (9) -3 \ geq 0 \) - ತಪ್ಪಾದ ಅಸಮಾನತೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ.

2) \ (x ^ 2-6x + 7 ಮೌಲ್ಯ \ (x_3 = 3 \) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ \ (x ^ 2-6x + 7 ಮೌಲ್ಯ \ (x_4 = \ frac (4) (3) \) ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಿತಿ \ (x ^ 2-6x + 7 ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: \ (x = 6, \; x = 3 \).

ಎರಡನೇ ದಾರಿ.\ (| f (x) | = h (x) \) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, \ (h (x) \ (\ ಎಡಕ್ಕೆ [\ start (array) (l) x ^ 2-6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \\ x ^ 2-6x + 7 = - \ frac (5x-9) (3) \ ಅಂತ್ಯ (ಅರೇ) \ ಬಲ. \)
ಈ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ (ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೊದಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ), ಅವುಗಳ ಬೇರುಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ: \ (6, \; \ frac (5) (3), \; 3, \; \ frac (4 ) (3) \). ಈ ನಾಲ್ಕು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಿತಿ \ (\ frac (5x-9) (3) \ geq 0 \) ಎರಡರಿಂದ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ: 6 ಮತ್ತು 3. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: \ (x = 6, \; x = 3 \ ).

ಮೂರನೇ ದಾರಿ(ಗ್ರಾಫಿಕ್).
1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \). ಮೊದಲಿಗೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ \ (y = x ^ 2-6x + 7 \). ನಾವು \ (x ^ 2-6x + 7 = (x-3) ^ 2-2 \) ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಕಾರ್ಯದ \ (y = (x-3) ^ 2-2 \) ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು 3 ಸ್ಕೇಲ್ ಯೂನಿಟ್‌ಗಳಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ (ಉದ್ದಕ್ಕೂ) ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ \ (y = x ^ 2 \) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು x ಅಕ್ಷ) ಮತ್ತು 2 ಸ್ಕೇಲ್ ಯೂನಿಟ್‌ಗಳಿಂದ ಕೆಳಗೆ (y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ). x = 3 ನೇರ ರೇಖೆಯು ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ (3; -2) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ - ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗ, ಪಾಯಿಂಟ್ (0; 7) ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ (6; 7) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಪಿತೂರಿಗಾಗಿ ನಿಯಂತ್ರಣ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್.
ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಈಗ ಪ್ಲ್ಯಾಟ್ ಮಾಡಲು \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \), ನೀವು x- ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬೇಕು x-ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ x-ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ.
2) ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ \ (y = \ frac (5x-9) (3) \). ಅಂಕಗಳನ್ನು (0; –3) ಮತ್ತು (3; 2) ನಿಯಂತ್ರಣ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗಿನ ಸರಳ ರೇಖೆಯ x = 1.8 ಛೇದನವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ಎಡ ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ - ಇದು ಬಿಂದು \ (x = 3- \ sqrt ( 2) \) (\ (3- \ sqrt (2 ) 3) ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ - A (3; 2) ಮತ್ತು B (6; 7) ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು x = ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ 3 ಮತ್ತು x = 6, ಎರಡಕ್ಕೂ ಮತ್ತೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ನಮ್ಮ ಊಹೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ - ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: x = 3 ಮತ್ತು x = 6. ಉತ್ತರ: 3; 6.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ... ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ವಿಧಾನ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸೊಬಗು, ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಇದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ \ (| 2x-4 | + | x + 3 | = 8 \)

ಮೊದಲ ದಾರಿ
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 2x – 4 x = 2 ನಲ್ಲಿ 0 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು x + 3 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ x = –3 ನಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ: \ (x

ಮೊದಲ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: \ ((- \ infty; \; -3) \).
x ಎರಡನೇ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ: \ ([- 3; \; 2) \).
ಒಂದು ವೇಳೆ \ (- 3 \ leq x ಮೂರನೇ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: \ ()