ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳು

ಮನೆ / ಪ್ರೀತಿ

1) ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಮೈನಸ್ ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಪ್ಲಸ್ ಒನ್ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆ?
2) ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಪ್ಲಸ್ ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೈನಸ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆ?

"ನನ್ನ ಶತ್ರುವಿನ ಶತ್ರು ನನ್ನ ಸ್ನೇಹಿತ."

ಸರಳವಾದ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ: "ಏಕೆಂದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು." ನಾವು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಸುವ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಜೀವನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಯಮಗಳು ಏಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೀಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಇತಿಹಾಸದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಮೊದಲು ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಜನರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದವು: 1, 2, 3, ... ಪಾತ್ರೆಗಳು, ಬೇಟೆ, ಶತ್ರುಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ವತಃ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕವಾಗಿದೆ - ನೀವು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿಯಬೇಕು. ಅವರು. ಸಂಕಲನವು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ, ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ). ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ ಗುಣಾಕಾರವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅದೇ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ), ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಪೂರ್ವಜರು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ಎದುರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುವುದು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ - ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾನವಕುಲವು ಬಹಳ ಸಮಯದಿಂದ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದೆ. ಹಿಂದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಇತರರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಈ ರೀತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು.

ಭಾರತೀಯ ದಾಖಲೆಗಳಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 7 ನೇ ಶತಮಾನದ AD ಯಿಂದ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಚೀನಿಯರು ಸ್ವಲ್ಪ ಮುಂಚೆಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಲಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮಧ್ಯಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು - ಇದು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಬಲವಾದ ಅಪನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. ಪದದ ಅಕ್ಷರಶಃ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಜನರು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದರು: ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಯಾವುದೇ ಉತ್ತರವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ನಂಬಿದ್ದರು. ಈ ಅಪನಂಬಿಕೆ ಬಹಳ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಇತ್ತು ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ "ಸ್ಥಾಪಕರಲ್ಲಿ" ಒಬ್ಬರಾದ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅವರನ್ನು "ಸುಳ್ಳು" ಎಂದು ಕರೆದರು (17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ!).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 7x - 17 = 2x - 2... ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, ಅದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3... ಈ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಎದುರಿಸಲಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಒಬ್ಬರು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು: ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯಿರಿ 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5) x... ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು: x = (-15) / (- 5)... ಆದರೆ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ (-15)/(-5) = 3 .

ಈ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಏನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ? ಮೊದಲಿಗೆ, ತರ್ಕವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ: ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಉತ್ತರಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು... ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಬೇಸರವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ (ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ) ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪರಿಹಾರ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪರಿವರ್ತಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಯೋಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ಮತ್ತು ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು ತಕ್ಷಣವೇ ರೂಪುಗೊಂಡಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಯಿತು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು: ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಿಂದ ವಸ್ತುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮಟ್ಟದ ಅಮೂರ್ತತೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ತಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಸಾಮ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಂಡರು: ಅವೆರಡನ್ನೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಒಂದೇ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ - ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಆದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಜಿಸುವುದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮತ್ತೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಬಹುಶಃ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಅಷ್ಟೇ.

ನಂತರ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಇತರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: ಔಪಚಾರಿಕ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ... ಎಲ್ಲಾ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಗಳಿಗೆ).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು: ಉಂಗುರ... ಇದು ಕೇವಲ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳು. ನಿಯಮಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ (ಅವುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲತತ್ವಗಳು), ಇದು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳ ಸ್ವರೂಪವಲ್ಲ (ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಹೊಸ ಮಟ್ಟದ ಅಮೂರ್ತತೆ!). ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಪರಿಚಯದ ನಂತರ ಉದ್ಭವಿಸುವ ರಚನೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ: ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ, ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಉಂಗುರಗಳ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಉಂಗುರದ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ (ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಮೈನಸ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪ್ಲಸ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ರಿಂಗ್ಎರಡು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಉಂಗುರದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ), ಇದನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲತತ್ವಗಳು:

ರಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ( ಎ + ಬಿ = ಬಿ + ಎಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ) ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ ( ಎ + (ಬಿ + ಸಿ) = (ಎ + ಬಿ) + ಸಿ) ಕಾನೂನುಗಳು; ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಅಂಶ 0 (ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶ) ಇದೆ A + 0 = A, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಎವಿರುದ್ಧ ಅಂಶವಾಗಿದೆ (ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ (-ಎ)), ಏನು A + (-A) = 0 ;
ಗುಣಾಕಾರವು ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಎ (ಬಿ ಸಿ) = (ಎ ಬಿ) ಸಿ ;
ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಆವರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ: (ಎ + ಬಿ) ಸಿ = ಎ ಸಿ + ಬಿ ಸಿಮತ್ತು ಎ (ಬಿ + ಸಿ) = ಎ ಬಿ + ಎ ಸಿ .

ಉಂಗುರಗಳು, ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಹಿಮ್ಮುಖತೆ (ಅಂದರೆ, ವಿಭಜಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ) ಅಥವಾ ಘಟಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ - ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶ. ನಾವು ಈ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಇತರ ಬೀಜಗಣಿತ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ.

ಈಗ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಎಮತ್ತು ಬಿಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉಂಗುರ ನಿಜ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, (-ಎ) ಬಿ = - (ಎ ಬಿ), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ (- (- ಎ)) = ಎ... ಘಟಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಇದರಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ: (-1) 1 = - (1 1) = -1ಮತ್ತು (-1) (-1) = - ((- 1) 1) = - (- 1) = 1 .

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕೆಲವು ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂಶವನ್ನು ಬಿಡಿ ಎಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಇವೆ: ಬಿಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ... ಅದು A + B = 0 = A + C... ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎ + ಬಿ + ಸಿ... ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಂದು ಕಡೆ, ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಬಿ: ಬಿ = ಬಿ + 0 = ಬಿ + (ಎ + ಸಿ) = ಎ + ಬಿ + ಸಿ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಿ: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C... ಅಂದರೆ, ಬಿ = ಸಿ .

ಈಗ ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಎ, ಮತ್ತು (- (- ಎ))ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ (-ಎ)ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು.

ಮೊದಲ ಸತ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ: 0 = 0 ಬಿ = (ಎ + (-ಎ)) ಬಿ = ಎ ಬಿ + (-ಎ) ಬಿ, ಅದು (-ಎ) ಬಿವಿರುದ್ಧ ಎ ಬಿಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - (ಎ ಬಿ) .

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಕಠಿಣವಾಗಿರಲು, ಏಕೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸೋಣ 0 ಬಿ = 0ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ ಬಿ... ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 0 ಬಿ = (0 + 0) ಬಿ = 0 ಬಿ + 0 ಬಿ... ಅಂದರೆ, ಸೇರ್ಪಡೆ 0 ಬಿಮೊತ್ತವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿದೆ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಅಂತಹ ಅಂಶವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಹೇಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗಿಲ್ಲ!), ನಾವು ಸರಳವಾದ ವ್ಯಾಯಾಮವಾಗಿ ಓದುಗರಿಗೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಎವ್ಗೆನಿ ಎಪಿಫಾನೊವ್, ಅರ್ಥ್ (ಸೋಲ್ III).

ಮೈನಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲಸ್ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಅವರು ತಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಾಗಾಕಾರ, ಗುಣಾಕಾರ, ವ್ಯವಕಲನ, ಸಂಕಲನ, ಇತ್ಯಾದಿ, ನೀವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು... ಈ ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಸರಳವಾದ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯದೆ, ನೀವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ.

ವಿಭಾಗ.

ನಾವು "ಪ್ಲಸ್" ಅನ್ನು "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪ್ಲಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಮಗೆ ಪ್ಲಸ್ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ನಾವು "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು "ಪ್ಲಸ್" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಗುಣಾಕಾರ.

ನಾವು "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು "ಪ್ಲಸ್" ಅನ್ನು "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು "ಪ್ಲಸ್" ಅನ್ನು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ "ಪ್ಲಸ್". ಅದೇ ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಮೈನಸ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪ್ಲಸ್ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಇತರ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಮ್ಮ ಧನಾತ್ಮಕಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಹಜವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಖಂಡಿತವಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದು ಏಕೆ ಇಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಆಶ್ಚರ್ಯ ಪಡುತ್ತೀರಿ. ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಹಿ ಮಾಡಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ -7 ಮತ್ತು 3. ಮಾಡ್ಯುಲೋ -7 ಕೇವಲ 7 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 3 3 ಆಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, 7 ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಹೊರಬರುತ್ತದೆ -7 + 3 = -4. ಇದನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅದು 3-7 = -4 ಹೊರಬರುತ್ತದೆ, ಬಹುಶಃ ಇದು ಯಾರಿಗಾದರೂ ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಕಲನವು ಅದೇ ತತ್ತ್ವದ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ನಿರಾಕರಣೆಗಳು ದೃಢೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ- ಇದು ನಾವು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿತ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಜೀವನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುವ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಯಾರು ಏಕೆ ಆಶ್ಚರ್ಯ ಪಡುತ್ತಾರೆ? ಸಹಜವಾಗಿ, ಅನಗತ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾರವನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಾರದು. ಈಗ "ಜೀರ್ಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು" ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿಯು ಈಗಾಗಲೇ ಇದೆ. ಆದರೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವವರಿಗೆ, ನಾವು ಈ ಗಣಿತದ ವಿದ್ಯಮಾನದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಜನರು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ: 1, 2, 3, 4, 5, ... ಜಾನುವಾರುಗಳು, ಬೆಳೆಗಳು, ಶತ್ರುಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಅವರು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಇತರರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಅವರು ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ - ಈ ರೀತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ವ್ಯವಕಲನದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಬಾಲ್ಯದಿಂದಲೂ, ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದರಿಂದ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಮತ್ತೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಾನು 10 ಸೇಬುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾನು 10 ಅಥವಾ 10 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಮಾತ್ರ ನೀಡಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ 13 ಸೇಬುಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬಹಳ ದಿನಗಳಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರಲಿಲ್ಲ.

7ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ ಕ್ರಿ.ಶ.ಕೆಲವು ಎಣಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಅದು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, 6x - 30 = 3x - 9. ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ಉಳಿದವು - ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ: 6x - 3x = 30 - 9, 3x = 21, x = 7. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರು ಇಲ್ಲದೆ - ಎಡಕ್ಕೆ: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x). ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x = 7.

ನಾವು ಏನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ?

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯಬೇಕು. ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನುಪಯುಕ್ತತೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ಅವರು ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದೆಯೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ನಮ್ಮ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ, ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು (ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಇಲ್ಲಿಂದ ಬಂದೆ ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಒಂದು ಮೂಲತತ್ವ.

www.site, ವಸ್ತುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲು ಜೊತೆಗೆ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ಕೇಳುವಾಗ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿಷಯವನ್ನು ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವರು ಅದರ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ "ಮೈನಸ್" ಏಕೆ "ಮೈನಸ್" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಧನಾತ್ಮಕ ಒಂದು ಹೊರಬರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳು

ಇದು ಏಕೆ ಎಂದು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಯಸ್ಕರು ತಮ್ಮನ್ನು ಅಥವಾ ತಮ್ಮ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವರು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ದೃಢವಾಗಿ ಕಲಿತರು, ಆದರೆ ಈ ನಿಯಮಗಳು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂದವು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ವ್ಯರ್ಥವಾಯಿತು. ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಆಧುನಿಕ ಮಕ್ಕಳು ಅಷ್ಟೊಂದು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲ, ಅವರು ವಿಷಯದ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕು ಮತ್ತು "ಮೈನಸ್" ಗೆ "ಪ್ಲಸ್" ಏಕೆ "ಮೈನಸ್" ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಯಸ್ಕರು ಬುದ್ಧಿವಂತ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಆನಂದಿಸಲು ಟಾಮ್‌ಬಾಯ್‌ಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಟ್ರಿಕಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಯುವ ಶಿಕ್ಷಕನು ತೊಂದರೆಗೆ ಸಿಲುಕಿದರೆ ಅದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ವಿಪತ್ತು ...

ಮೂಲಕ, ಮೇಲಿನ ನಿಯಮವು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ ಎರಡಕ್ಕೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಕೇವಲ ಮೈನಸ್ ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು "-" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ವಿಭಜನೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಶವು "-" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ನಿಯಮದ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಉಂಗುರದ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದರೆ ಮೊದಲು ನೀವು ಏನೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಉಂಗುರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ರಿಂಗ್ ಆಕ್ಸಿಯಾಮ್

ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳಿವೆ.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಬಹುದಾದದು, ಅವರ ಪ್ರಕಾರ, C + V = V + C.
ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆ (ವಿ + ಸಿ) + ಡಿ = ವಿ + (ಸಿ + ಡಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ (V x C) x D = V x (C x D).

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಯಾರೂ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿಲ್ಲ (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D ಎಂಬುದಂತೂ ನಿಜ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ವಿಶೇಷ, ಸೇರ್ಪಡೆ-ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವನ್ನು ರಿಂಗ್‌ಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು, ಬಳಸಿದಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ: C + 0 = C. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪ್ರತಿ C ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಅಂಶವಿದೆ, ಅದು ಮಾಡಬಹುದು (-C) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, C + (-C) = 0.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು: "ಪ್ಲಸ್ "ಫಾರ್" ಮೈನಸ್ " ಎಂಬುದರ ಚಿಹ್ನೆ ಏನು? ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ (-C) x V = - (C x V) ಎಂದು ದೃಢೀಕರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ: (- (- ಸಿ)) = ಸಿ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು "ಸಹೋದರ" ವಿರುದ್ಧ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಪುರಾವೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. C ಗೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ - V ಮತ್ತು D. ಇದು C + V = 0 ಮತ್ತು C + D = 0, ಅಂದರೆ, C + V = 0 = C + D. ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ 0 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು: C, V ಮತ್ತು D. V ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. V = V + 0 = V + (C + D) ಎಂಬುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. = V + C + D, ಏಕೆಂದರೆ ಮೇಲೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದಂತೆ C + D ನ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, V = V + C + D.

D ಗಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, V = D ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

"ಮೈನಸ್" ಗೆ "ಪ್ಲಸ್" ಏಕೆ "ಮೈನಸ್" ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಶ (-C), C ಮತ್ತು (- (- C)) ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು C x V (-) C x V ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ (- C) x V = - (C x V).

ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಣಿತದ ಕಠಿಣತೆಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ 0 x V = 0 ಎಂದು ದೃಢೀಕರಿಸುವುದು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀವು ತರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. ಇದರರ್ಥ 0 x V ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, "ಮೈನಸ್" ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು "ಪ್ಲಸ್" ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

"-" ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ

ನೀವು ಗಣಿತದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನೀವು ಸರಳವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು.

C - (-V) = D, ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, C = D + (-V), ಅಂದರೆ, C = D - V. ನಾವು V ಅನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು C + V = D. ಅಂದರೆ C ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. + ವಿ = ಸಿ - (-ವಿ). ಸತತವಾಗಿ ಎರಡು "ಮೈನಸಸ್" ಇರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು "ಪ್ಲಸ್" ಗೆ ಏಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ.

(-C) x (-V) = D, ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಎರಡು ಒಂದೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಅದು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x ವಿ) = ಡಿ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

ಇದು C x V = (-C) x (-V) ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದರಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತ ನಿಯಮಗಳು

ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಮೂರ್ತ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ವಿವರಣೆಯು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾಣುವ ಗಾಜಿನ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಿತ ಪದವನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ, ಗೋಚರಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಲು ಅವರಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಂಡುಹಿಡಿದ, ಆದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಆಟಿಕೆಗಳು ಅಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳನ್ನು "-" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಕನ್ನಡಿ ತರಹದ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಅವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಜಗತ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಪ್ರಸ್ತುತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಅಮೂರ್ತ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರವು ಧನಾತ್ಮಕ ಒಂದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಚಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ "ಪ್ಲಸ್" ಅನ್ನು "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ "ಮೈನಸ್" ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿಜ, ಮಕ್ಕಳು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಸತ್ಯವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರಿಗೆ, ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ, ಅನೇಕ ನಿಯಮಗಳು ನಿಗೂಢವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಶಿಕ್ಷಕರು ಕಲಿಸುವುದನ್ನು ಲಘುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಗಣಿತವು ತುಂಬಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಹಿಂಜರಿಯುವುದಿಲ್ಲ. "ಮೈನಸ್" ಗಾಗಿ "ಮೈನಸ್" "ಪ್ಲಸ್" ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ - ವಿನಾಯಿತಿ ಇಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇದು ನಿಜ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳು

ರಿಂಗ್ ಆಕ್ಸಿಯಾಮ್

ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳಿವೆ.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಬಹುದಾದದು, ಅವರ ಪ್ರಕಾರ, C + V = V + C.
ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆ (ವಿ + ಸಿ) + ಡಿ = ವಿ + (ಸಿ + ಡಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ (V x C) x D = V x (C x D).

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

"-" ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

ಇದು C x V = (-C) x (-V) ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತ ನಿಯಮಗಳು

ನಾವು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆಯೇ?

"- ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಪೈಪ್ ಮೇಲೆ ಕುಳಿತರು. ಎ ಬಿದ್ದಿತು, ಬಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಯಿತು, ಪೈಪ್ನಲ್ಲಿ ಏನು ಉಳಿದಿದೆ?"
- ನಿಮ್ಮ ಪತ್ರ ನಾನು ಉಳಿದಿದ್ದೇನೆ.

("ಟೀನ್ಸ್ ಇನ್ ದಿ ಯೂನಿವರ್ಸ್" ಚಲನಚಿತ್ರದಿಂದ)

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅದು ಶೂನ್ಯ ಏಕೆ?

7 * 0 = 0

ನೀವು ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಏಕೆ?

7 * (-3) = + 21

ಈ ಎರಡು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ನೀಡಲು ಯಾವ ಶಿಕ್ಷಕರು ಬರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ತಪ್ಪುಗಳಿವೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಧೈರ್ಯ ಯಾರಿಗೂ ಇಲ್ಲ!

ಮೂಲ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ದೋಷಗಳು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಗಣಿತವು ತನ್ನನ್ನು ನಿಖರವಾದ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಇರಿಸುತ್ತದೆ ...

ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ನೆನಪಿಡುವ ನಿಯಮಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಅವರು ಮಧ್ಯಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಕಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆಯೇ? ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

7 - ಗುಣಿಸಬಹುದಾದ. 3 ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. 21- ಕೆಲಸ.

ಅಧಿಕೃತ ಪದಗಳ ಪ್ರಕಾರ:

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಗುಣಕ ಸೂಚಿಸುವಷ್ಟು ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು.

ಸ್ವೀಕೃತ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸೆವೆನ್ಗಳು ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಅಂಶ 3 ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಮೇಲಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಗುಣಾಕಾರದ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬಹಳಷ್ಟು ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅವರು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ.

ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊದಲ ಏಳರ ಮುಂದೆ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ಲಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

ಆದರೆ ಮೊದಲ ಏಳು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ಸಹಜವಾಗಿ. ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

ನಾವು ಮೂರು ಮೈನಸ್ ಏಳು ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಏನು?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

ನಾವು ಗುಣಕ -7 ನ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಬಹು ವ್ಯವಕಲನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

ಈಗ ನಾವು ಗುಣಾಕಾರದ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು.

ಗುಣಾಕಾರವು ಗುಣಕವು (-7) ಗುಣಕವು ಸೂಚಿಸುವಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸೊನ್ನೆಗೆ (ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ವ್ಯವಕಲನ) ಬಹು ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂಶ (3) ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆ (+ ಅಥವಾ -) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವ್ಯವಕಲನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಕಾರವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ "ಸಂಕೇತಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು" ಈ ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

7 * (-3) - ಶೂನ್ಯ = 0 ನಂತರ ಮೂರು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇರಬೇಕು - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - ಮತ್ತೆ ಶೂನ್ಯ = ನಂತರ ಮೂರು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇರಬೇಕು

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ

7 * 0 = 0 + ... ಶೂನ್ಯ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಲ್ಲ.

ಗುಣಾಕಾರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗುಣಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದರೆ, ಗುಣಕ ಶೂನ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಏನನ್ನೂ ಸೇರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಶೂನ್ಯ ಉಳಿದಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಣಾಕಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಎರಡು "ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು" (ಅಂಶವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ) ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ತಡೆಯುವ ಮೂರು ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ದೋಷಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ನೀವು ಗುಣಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ.
ಗುಣಾಕಾರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು.
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ಲಸ್ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಥವಾ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಂತರ, ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ನಿಯಮದ ಸಹಾಯವಿಲ್ಲದೆ, ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವಿಲ್ಲದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸದೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ವಿರುದ್ಧ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಚಿಹ್ನೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿ ಕಳೆಯಬಹುದು.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

ಗುಣಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆ (+3 ಅಥವಾ -3) ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ "+" ಅಥವಾ "-" ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಕಾರದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 = 1 (ಒಂದನ್ನು ಯಾವುದರಿಂದಲೂ ಗುಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವುದು ಒಂದರ ಬಹು ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಒಂದರ ಬಹು ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ.

ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಂತೆಯೇ ಇರಬೇಕು.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 = 0 (ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಏನನ್ನೂ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಕಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

ಗುಣಾಕಾರದ ಬದಲಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏನನ್ನೂ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೂಲ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, "ಸಂಕೇತಗಳ ನಿಯಮಗಳು" ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಘಾತದೊಂದಿಗೆ ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಗುಣಾಕಾರದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

15: 5 = 3 (ವಿಲೋಮ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ 5 * 3 = 15)

ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ (3) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ (+3) ಸಂಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

15 ಅನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ನೀವು 15 ರಲ್ಲಿ 5 ಅನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಕಳೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಶೂನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಸತತ ವ್ಯವಕಲನದ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಭಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಇವೆ.

15: 5 = ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು 15 ರಿಂದ ಐದು ಕಳೆಯುವ 3 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (ವಿಭಾಗ 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (ಗುಣಾಕಾರ 5 * 3)

ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಗ.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 ಮತ್ತು 2 ಉಳಿದವು

ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅನುಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಏಕೆ ಗುಣಿಸಬಾರದು?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೋಡಿ

ಗುಣಾಕಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರೀಕರಣ (ಮೂರು ಪದಗಳು).

10 + 10 + 10 = 30

ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿದ ಪದಗಳು (ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು).

0 + 10 = = = 30

("ಸಮಾನ" ಅನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಒತ್ತಿರಿ.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3 ರ ಗುಣಕವು ಗುಣಕ 10 ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಮೂರು ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

(-10) ಪದವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮೂರು ಬಾರಿ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಾಕಾರ (-10) * (-3) ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

ಮೂರರಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅರ್ಥವೇನು? ಬಹುಶಃ ಹಾಗೆ?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

ಓಪ್ಸ್ ... ನಾನು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿಯಮಗಳ (-10) ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ವಿಭಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಪರಿಷ್ಕೃತ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ, ಇದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

ಗುಣಕ (-3) ಗುಣಕ (-10) ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಮೂರು ಬಾರಿ ಕಳೆಯಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕೆ ಸಹಿ ನಿಯಮಗಳು

ಮೇಲೆ, ಗುಣಾಕಾರದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸರಳ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಅವು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳ ದೃಶ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ, ಇದರಿಂದ ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯವರು ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

"ಮೈನಸ್", "ಋಣಾತ್ಮಕ" ಎಂದರೇನು?

ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾಪಮಾನ ಇಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕು, ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಶುಲ್ಕಗಳು ಇಲ್ಲ ... ಅದರ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ಸೈನ್ ಕೂಡ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಂದಿದ್ದಾರೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? "ಮೈನಸ್" ಎಂದರೆ ಏನು?

ಮೈನಸ್ ಎಂದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕು. ಎಡ ಬಲ. ಮೇಲೆ ಕೆಳಗೆ. ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ - ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ. ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ. ಶೀತ ಉಷ್ಣ. ಹಗುರವಾದ ಭಾರ. ನಿಧಾನವಾಗಿ - ವೇಗವಾಗಿ. ನೀವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿದರೆ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವ ಇತರ ಹಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ, ಅನಂತವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತತೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

"ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ನೈಜ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಇದು "ಮೈನಸ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಗಣಿತದ ಸಮಾವೇಶವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, "ಮೈನಸ್" ಎಂದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ: ಚಲನೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಗುಣಾಕಾರ, ಸೇರ್ಪಡೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ (ಇತರ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವಾಗ ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ.

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರಣ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರಣದಿಂದಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರಾಶಿಯಾಗಿ ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ, ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ತೊಂದರೆಗಳು ಸೃಷ್ಟಿಯಾಗುತ್ತವೆ.

ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ (ಅವು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ);
ಎರಡನೇ ಪದ (ಇದು ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ);
ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿರ್ದೇಶನ.

ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲಂಬ ಅಕ್ಷವು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವಂತೆ ತಿರುಗಬಹುದು ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಲಂಬ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ (ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ) ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಲಂಬ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ (ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ) ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಕೆಳಗಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರ.

ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು (ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಚಿಹ್ನೆ) ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಮೊದಲ ಮೈನಸ್ ವ್ಯವಕಲನದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಮೈನಸ್ ಲಂಬ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ.

ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು (-2) ಹುಡುಕಿ. ಲಂಬ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು (-3) ಹುಡುಕಿ. ಲಂಬ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿ, ಅದು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ (+1) ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ (-3) ಜೋಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ (+1) ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ

ಮೇಲಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ನಾವೆಲ್ಲರೂ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಯೋಚಿಸದೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಕಲನ (ವ್ಯವಕಲನ) ಗಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಗುಣಾಕಾರ (ವಿಭಾಗ) ದ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಗಮನಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅವರು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತಾರೆಯೇ? ಬಹುತೇಕ ... ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ಈಗ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಔಟ್ಪುಟ್ನ ಅನುಕ್ರಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಗುಣಾಕಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಗುಣಾಕಾರದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸೂಚನೆ.

ಕೆಳಗೆ n ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕೆ ಸಹಿ ನಿಯಮಗಳುದೃಶ್ಯೀಕರಣದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ, ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅದೇ ನಿಯಮಗಳು. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಬೂದು ಪ್ಲಸ್ ಅದೃಶ್ಯ ಪ್ಲಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ.

ನಿಯಮಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇವೆ: ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆ (ನಾವು ಪ್ಲಸ್ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಅರ್ಥ). ಸಂಕಲನದ (ವ್ಯವಕಲನ) ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಮತ್ತೊಂದು ಜೋಡಿಗೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಸೈನ್ ನಿಯಮಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೇವಲ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳಿವೆ.

ನಿಯಮಗಳು 1 ಮತ್ತು 3 (ದೃಶ್ಯೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ) - ನಕಲು ನಿಯಮಗಳು 4 ಮತ್ತು 2 .. ಶಾಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳು 1 ಮತ್ತು 3 ದೃಶ್ಯ ಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೇರಿಸುವಾಗ ಅವು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇವು ಇತರ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ಸರಿ

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ಸರಿ

ಶಾಲಾ ನಿಯಮ 1 (ಕೆಂಪು) ಸತತವಾಗಿ ಎರಡು ಪ್ಲಸ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪ್ಲಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರ್ಯಾಯಕ್ಕೆ ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಶಾಲೆಯ ನಿಯಮ 3. (ಕೆಂಪು) ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ನಂತರ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬರೆಯದಿರಲು ಅನುಮತಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರ್ಯಾಯಕ್ಕೆ ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳ ಅರ್ಥವು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಜೋಡಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು.

ಶಾಲಾ ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಒಂದು ನಿಯಮದಲ್ಲಿ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬೆರೆಸಿದ್ದಾರೆ:

ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವಾಗ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳು (ಒಂದು ಜೋಡಿ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು);

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ ನೀವು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳು.

ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದರೊಳಗೆ ಬೆರೆತಿರುವುದು ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳಂತೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮೂರನೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದರಿಂದ ಒಂದರಂತೆ.

ಬಹಳ ಗೊಂದಲ! ಮತ್ತೆ ಅದೇ ವಿಷಯ, ಉತ್ತಮ ಬಿಚ್ಚಿಡಲು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡೋಣ.

1. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ. ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಜೋಡಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆ.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. ಎರಡು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬರೆಯದಿರಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವು ಪ್ರವೇಶ ನಮೂನೆಯ ನಿಯಮಗಳು. ಸೇರ್ಪಡೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ದಾಖಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಾಲ್ಕು ನಿಯಮಗಳು. ಗುಣಕಗಳ ಎರಡು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂರನೇ ಚಿಹ್ನೆಯು ಅನುಸರಿಸಿದಾಗ. ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮಾತ್ರ.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

ಈಗ ನಾವು ಸಂಕೇತ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಿಯಮಗಳಂತೆ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು.

ವಿ.ಕೊಜರೆಂಕೊ

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಏಕೆ? ಸರಳವಾದ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ: "ಏಕೆಂದರೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು." ನಾವು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಸುವ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಜೀವನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಯಮಗಳು ಏಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೀಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಮ್ಮಲ್ಲಿಯೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವೇ ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳೋಣ...

ವ್ಯವಕಲನ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಸಹ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಒಲವು ತೋರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. (ನನ್ನ ಬಳಿ 5 ಮಿಠಾಯಿಗಳಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಾನು ನನ್ನ ಸಹೋದರಿಗೆ 3 ಕೊಟ್ಟರೆ, ನನ್ನ ಬಳಿ 5 - 3 = 2 ಮಿಠಾಯಿಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ನನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಆಸೆಯಿಂದ ನಾನು ಅವಳಿಗೆ 7 ಮಿಠಾಯಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.) ಜನರು ಏಕೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘಕಾಲ.

ಭಾರತೀಯ ದಾಖಲೆಗಳಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 7 ನೇ ಶತಮಾನದ AD ಯಿಂದ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಚೀನಿಯರು ಸ್ವಲ್ಪ ಮುಂಚೆಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಲಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮಧ್ಯಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು - ಇದು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಬಲವಾದ ಅಪನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. ಪದದ ಅಕ್ಷರಶಃ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಜನರು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದರು: ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಯಾವುದೇ ಉತ್ತರವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ನಂಬಿದ್ದರು. ಈ ಅಪನಂಬಿಕೆ ಬಹಳ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಇತ್ತು ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ "ಸ್ಥಾಪಕರಲ್ಲಿ" ಒಬ್ಬರಾದ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅವರನ್ನು "ಸುಳ್ಳು" ಎಂದು ಕರೆದರು (17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ!).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 7x - 17 = 2x - 2 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು: ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಜ್ಞಾತದೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಉಳಿದವು ಬಲಕ್ಕೆ, ನೀವು 7x - 2x = 17 - 2, 5x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ = 15, x = 3. ಈ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಎದುರಿಸಲಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು: ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5) x ಅನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: x = (-15) / (- 5). ಆದರೆ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು (-15) / (- 5) = 3 ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಈ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಏನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ತರ್ಕವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಬೇಸರವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ (ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ) ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪರಿಹಾರ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪರಿವರ್ತಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಯೋಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ - ಮತ್ತು ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು: ಉಂಗುರ. ಇದು ಕೇವಲ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾದವು ಕೇವಲ ನಿಯಮಗಳು (ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳ ಸ್ವರೂಪವಲ್ಲ (ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಹೊಸ ಮಟ್ಟದ ಅಮೂರ್ತತೆ!). ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಪರಿಚಯದ ನಂತರ ಉದ್ಭವಿಸುವ ರಚನೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ: ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ, ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಉಂಗುರಗಳ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು.

ಉಂಗುರವು ಎರಡು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ರಿಂಗ್‌ನ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ), ಇದನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲತತ್ವಗಳು:

ರಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸ್ಥಳಾಂತರ (ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಎ + ಬಿ = ಬಿ + ಎ) ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ (ಎ + (ಬಿ + ಸಿ) = (ಎ + ಬಿ) + ಸಿ) ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ; ಉಂಗುರವು A + 0 = A ಎಂಬ ವಿಶೇಷ ಅಂಶ 0 (ಸೇರ್ಪಡೆಗಾಗಿ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಂಶ A ಗಾಗಿ A + (-A) = 0 ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಅಂಶ (-A) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ;
- ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ: A · (B · C) = (A · B) · C;
ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆವರಣ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ: (A + B) C = A C + B C ಮತ್ತು A (B + C) = A B + A C.

ಈಗ ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರಿಂಗ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ A ಮತ್ತು B ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ, ಮೊದಲು, (-A) B = - (A B), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, (- (- A)) = A. ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಘಟಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ( -1) 1 = - (1 1) = -1 ಮತ್ತು (-1) (-1) = - ((- 1) 1) = - (- 1) = 1.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕೆಲವು ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂಶ A ಎರಡು ವಿರುದ್ಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ: B ಮತ್ತು C. ಅಂದರೆ, A + B = 0 = A + C. A + B + C ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗಾವಣೆ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , ಒಂದು ಕಡೆ, ಮೊತ್ತವು B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು C: A + B + C = (A + ಬಿ) + ಸಿ = 0 + ಸಿ = ಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿ = ಸಿ.

ಈಗ ಗಮನಿಸಿ A ಮತ್ತು (- (- A)) ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿವೆ (-A), ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು.

ಮೊದಲ ಸತ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, ಅಂದರೆ, (-A) B A B ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - (AB).

ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಕಠಿಣವಾಗಿರಲು, ಯಾವುದೇ ಅಂಶ B ಗೆ 0 · B = 0 ಏಕೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. ಅಂದರೆ, 0 · B ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಮೊತ್ತವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎವ್ಗೆನಿ ಎಪಿಫಾನೋವ್

ವಿಭಾಗ.

ಗುಣಾಕಾರ.

ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳು

ರಿಂಗ್ ಆಕ್ಸಿಯಾಮ್

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

"-" ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತ ನಿಯಮಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳು

ರಿಂಗ್ ಆಕ್ಸಿಯಾಮ್

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

"-" ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತ ನಿಯಮಗಳು

ಸಂಪಾದಕರ ಆಯ್ಕೆ