ಕಾರ್ಯದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ. ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಕಾರ್ಯದ ಸಮತೆ ಮತ್ತು ವಿಚಿತ್ರತೆಯು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯು ಶಾಲಾ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಗ್ರಾಫ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ (x) ನ ವಿರುದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, y (ಫಂಕ್ಷನ್) ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೂ ಸಹ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ f (x), ಇದನ್ನು D ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು x ಗೆ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ:

• -x (ವಿರುದ್ಧ ಬಿಂದು) ಸಹ ಈ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ,

• f(-x) = f(x).

ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವಾದ O ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ b ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯ, ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ b ಸಹ ಈ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿದೆ. ಮೇಲಿನಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ, ತೀರ್ಮಾನವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: ಸಮ ಕಾರ್ಯವು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (ಓಯ್) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು?

h(x)=11^x+11^(-x) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ನಾವು ಮೊದಲು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಷರತ್ತು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ.

ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ವಾದಕ್ಕೆ (x) ವಿರುದ್ಧ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (-x) ಬದಲಿಸುವುದು.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಪರಿವರ್ತಕ (ಪರಿವರ್ತಕ) ಕಾನೂನನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದರಿಂದ, h(-x) = h(x) ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

h(x)=11^x-11^(-x) ಕಾರ್ಯದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಅದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ನಾವು h(-x) = 11^(-x) -11^x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). ಆದ್ದರಿಂದ, h(x) ಬೆಸ.

ಮೂಲಕ, ಈ ಮಾನದಂಡಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗದ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು; ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

• ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವರು ಸಮ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ;
• ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಸಹ, ಸಹ ಸಹ;
• ಅಂತಹ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಬೆಸ ಮತ್ತು ಸಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬೆಸವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಬೆಸ ಮತ್ತು ಸಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬೆಸವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ;
• ನೀವು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ಸಮ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಸಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ g(x) = 0 ನಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಶೀಲನೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2x^6-x^4-ax^2=1 ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವಿದೆಯೇ?

ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಮ ಪವರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, x ಅನ್ನು - x ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಹ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ತೀರ್ಮಾನವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅದರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ "ಜೋಡಿಗಳು" ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ವತಃ 0 ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅದು ಮೂರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೆಸ ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೆಟ್ "ಜೋಡಿಯಾಗಿ" ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. 0 ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು 2=2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, "ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ" ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, 0 ಕೂಡ ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಅದು ಅವರ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದಾದರೂ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮ (ಬೆಸ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

.

ಸಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ
.

ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6.2. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

1)
; 2)
; 3)
.

ಪರಿಹಾರ.

1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಾವಾಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ
. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.

ಆ.
. ಇದರರ್ಥ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಾವಾಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

ಆ.
. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ.

3) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಫಾರ್

,
. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಅಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ.

ಕಾರ್ಯ
ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಾದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ (ಸಣ್ಣ) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ (ಕಡಿಮೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ) ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕತಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ (ಋಣಾತ್ಮಕ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
, ನಂತರ ಕಾರ್ಯ
ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 6.3. ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

1)
; 3)
.

ಪರಿಹಾರ.

1) ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ
,
ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ. ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

2) ವೇಳೆ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ
ಅಥವಾ

.

ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
,
, ವೇಳೆ
, ಅಂದರೆ
, ಆದರೆ
. ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ
.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ
. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ
.

ಡಾಟ್
ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂತಹ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ
ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ

.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ
ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ (ಅತ್ಯಂತದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ).

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮ 1. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ (ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ). ಉತ್ಪನ್ನ
ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "+" ನಿಂದ "-" ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ
ಗರಿಷ್ಠ ಹೊಂದಿದೆ; "-" ನಿಂದ "+" ಗೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ; ಒಂದು ವೇಳೆ
ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ವಿಪರೀತವಿಲ್ಲ.

ನಿಯಮ 2. ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶ
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ
, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ಅದು - ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್, ವೇಳೆ
, ಅದು - ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

ಉದಾಹರಣೆ 6.4. ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

ಪರಿಹಾರ.

1) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
, ಅಂದರೆ
.ಇಲ್ಲಿಂದ
- ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು.

ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ,
.

ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ
ಮತ್ತು
ಉತ್ಪನ್ನವು "-" ನಿಂದ "+" ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಯಮ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ
- ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ
ಉತ್ಪನ್ನವು "+" ನಿಂದ "-" ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ
- ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.

,
.

2) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ
, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು
- ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು. ಛೇದದ ವೇಳೆ
, ಅಂದರೆ
, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ,
- ಮೂರನೇ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶ. ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
, ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ
ಮತ್ತು
.

3) ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ
, ಅಂದರೆ ನಲ್ಲಿ
.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

.

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಬಿಂದುಗಳ ನೆರೆಹೊರೆಗಳು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ವಿಪರೀತವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ
ಮತ್ತು
.

4) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
. ನಿಯಮ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ
ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ
ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ನೀವು ಎಂದಾದರೂ ವೆಬ್ ಪುಟಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ: ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಆಲ್ಫಾದಿಂದ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಚಿತ್ರಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸೈಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. . ಸರಳತೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವು ಸರ್ಚ್ ಇಂಜಿನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸೈಟ್ನ ಗೋಚರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದೆ (ಮತ್ತು, ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ), ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ನೈತಿಕವಾಗಿ ಹಳೆಯದಾಗಿದೆ.

ನೀವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನೀವು MathML, LaTeX ಅಥವಾ ASCIIMathML ಮಾರ್ಕ್‌ಅಪ್ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಬ್ ಬ್ರೌಸರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ವಿಶೇಷ JavaScript ಲೈಬ್ರರಿ - MathJax ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

MathJax ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ: (1) ಸರಳವಾದ ಕೋಡ್ ಬಳಸಿ, ನಿಮ್ಮ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ಗೆ ನೀವು MathJax ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸರಿಯಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೂರಸ್ಥ ಸರ್ವರ್‌ನಿಂದ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಲೋಡ್ ಆಗುತ್ತದೆ (ಸರ್ವರ್‌ಗಳ ಪಟ್ಟಿ); (2) ನಿಮ್ಮ ಸರ್ವರ್‌ಗೆ ರಿಮೋಟ್ ಸರ್ವರ್‌ನಿಂದ MathJax ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸೈಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಪುಟಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಪಡಿಸಿ. ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನ - ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ - ನಿಮ್ಮ ಸೈಟ್‌ನ ಪುಟಗಳ ಲೋಡ್ ಅನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಂದ ಪೋಷಕ MathJax ಸರ್ವರ್ ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಸೈಟ್‌ಗೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅನುಕೂಲಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನಾನು ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ವೇಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ 5 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಥ್‌ಜಾಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಖ್ಯ MathJax ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಿಂದ ಅಥವಾ ದಸ್ತಾವೇಜನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಎರಡು ಕೋಡ್ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಿಮೋಟ್ ಸರ್ವರ್‌ನಿಂದ ನೀವು MathJax ಲೈಬ್ರರಿ ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು:

ಈ ಕೋಡ್ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ವೆಬ್ ಪುಟದ ಕೋಡ್‌ಗೆ ನಕಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಂಟಿಸಬೇಕು, ಮೇಲಾಗಿ ಟ್ಯಾಗ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಅಥವಾ ಟ್ಯಾಗ್ ನಂತರ ತಕ್ಷಣವೇ. ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆಯ ಪ್ರಕಾರ, MathJax ವೇಗವಾಗಿ ಲೋಡ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪುಟವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ನಿಧಾನಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಮ್ಯಾಥ್‌ಜಾಕ್ಸ್‌ನ ಇತ್ತೀಚಿನ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನೀವು ಮೊದಲ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಎರಡನೇ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಪುಟಗಳು ಹೆಚ್ಚು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಲೋಡ್ ಆಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನೀವು ನಿರಂತರವಾಗಿ MathJax ನವೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮ್ಯಾಥ್‌ಜಾಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬ್ಲಾಗರ್ ಅಥವಾ ವರ್ಡ್ಪ್ರೆಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ: ಸೈಟ್ ನಿಯಂತ್ರಣ ಫಲಕದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ವಿಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಕೋಡ್‌ನ ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನಕಲಿಸಿ ಮತ್ತು ವಿಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಹತ್ತಿರ ಇರಿಸಿ ಟೆಂಪ್ಲೇಟ್‌ನ ಆರಂಭಕ್ಕೆ (ಮೂಲಕ, ಇದು ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ , ಮ್ಯಾಥ್‌ಜಾಕ್ಸ್ ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅಸಮಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಲೋಡ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ). ಅಷ್ಟೇ. ಈಗ MathML, LaTeX ಮತ್ತು ASCIIMathML ನ ಮಾರ್ಕ್ಅಪ್ ಸಿಂಟ್ಯಾಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಲಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಸೈಟ್‌ನ ವೆಬ್ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ನೀವು ಸಿದ್ಧರಾಗಿರುವಿರಿ.

ಯಾವುದೇ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸತತವಾಗಿ ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೆಂಗರ್ ಸ್ಪಾಂಜ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಸೈಡ್ 1 ನೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಘನವನ್ನು ಅದರ ಮುಖಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ 27 ಸಮಾನ ಘನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕೇಂದ್ರ ಘನ ಮತ್ತು ಮುಖಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ 6 ಘನಗಳನ್ನು ಅದರಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉಳಿದ 20 ಸಣ್ಣ ಘನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘನಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು 400 ಸಣ್ಣ ಘನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, ನಾವು ಮೆಂಗರ್ ಸ್ಪಾಂಜ್ವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು y ಯ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ x ಮೇಲೆ y ವೇರಿಯಬಲ್ ಅವಲಂಬನೆಯಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಥವಾ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. y ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ (ವೇರಿಯಬಲ್ x) ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ವೇರಿಯಬಲ್ y) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಗಳು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು!

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಮ್ಮ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿನ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ನಮ್ಮ ವೇದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅವರನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು. ಫೋರಂನಲ್ಲಿ ಅವರು ಗಣಿತ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ!

ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

1) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x (ವೇರಿಯಬಲ್ x) ನ ಎಲ್ಲಾ ಮಾನ್ಯ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ y = f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು.

x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು y=0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯ ಸೊನ್ನೆಗಳು. ಇವುಗಳು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ಗಳಾಗಿವೆ.

3) ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು.

ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು - x ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು y ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ನಿರಂತರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು.

4) ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆ.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ) ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ವಾದದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ) ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ವಾದದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಕಾರ್ಯದ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

5) ಕಾರ್ಯದ ಸಮತೆ (ವಿಚಿತ್ರತೆ).

ಸಮ ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ x f(-x) = f(x) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ f(-x) = - f(x) ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಸಹ ಕಾರ್ಯ
1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ (0; 0) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ a ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ -a ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ.
2) ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ x f(-x)=f(x)
3) ಸಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ Oy ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ (0; 0).
2) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯ x ಗೆ, ಸಮಾನತೆ f(-x)=-f(x) ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ
3) ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ (0; 0).

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲ.

6) ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು.

|f(x)| ಎಂಬ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ M ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ≤ M. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

7) ಕಾರ್ಯದ ಆವರ್ತಕತೆ.

ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ T ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: f(x+T) = f(x). ಈ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆವರ್ತಕ. (ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಯಾವುದೇ x ಗೆ ಸಮಾನತೆ f(x)=f(x-T)=f(x+T) ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. T ಎಂಬುದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅವಧಿ.

ಪ್ರತಿ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಧಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಧಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಧ್ಯಂತರದ ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಅಧ್ಯಯನ.

1) D(y) - ಡೆಫಿನಿಷನ್ ಡೊಮೇನ್: ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು f(x) ಮತ್ತು g(x) ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.

2) ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: ಸಮ/ಬೆಸ, ಆವರ್ತಕತೆ:

ವಾದದ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬೆಸ ಮತ್ತು ಸಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾದಾಗ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ (ನಿರ್ದೇಶನಗಳ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ).

ಸಮ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾದಾಗ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ).

ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯ) ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ವರ್ಗವು ಹಿಂದಿನ 2 ವರ್ಗಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸೇರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಅಲ್ಲ(ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು).

ಬೆಸ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಇರುವಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಶಕ್ತಿ.

ಸಹ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಇರುವಲ್ಲಿ ಸಹ ಶಕ್ತಿ.

ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಿತ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದ ನಂತರ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿ) ವಾದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವಾಗ ಅದು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

3) ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು (ಮೂಲಗಳು) ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಓಹ್. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು f(0) ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಹ ಹುಡುಕಿ ಎತ್ತು, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು f(X) = 0 (ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ).

ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗುವ "x" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4) ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.

ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು.

ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ.

ಆಕ್ಸಲ್ ಕೆಳಗೆ.

5) ಮುಂದುವರಿಕೆ (ನಿರಂತರತೆಯ ಬಿಂದುಗಳು, ಸ್ಥಗಿತದ ಸ್ವರೂಪ, ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು).

ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು "ಜಿಗಿತಗಳು" ಇಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ವಾದದಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ವೇಳೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಮಿತಿಯು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

,

ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಕಾರ್ಯಗಳು (ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಏಕ ಬಿಂದು).

ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ ಸ್ಥಗಿತದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು "ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ" ಮತ್ತು ಹಾಕಿದರೆ , ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದುಅಥವಾ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಮರುವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಇದು ಬಿಂದುವಿನ ಹೆಸರನ್ನು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ ತೆಗೆಯಬಹುದಾದಛಿದ್ರ.

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವಿಧದ ಅಸಂಯಮ ಬಿಂದುಗಳು

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ), ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು:

ಎರಡೂ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದುಗಳು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ;

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಬಿಂದುವನ್ನು ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ - ನೇರ, ಇದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಈ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ನೇರಬಿಂದುವು ಶಾಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಲಂಬವಾದ

ಲಂಬ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ - ಮಿತಿ ರೇಖೆ .

ನಿಯಮದಂತೆ, ಲಂಬವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ, ಅವರು ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ (ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ) ಹುಡುಕುತ್ತಾರೆ. ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಿಂದ ಲಂಬವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ ಕಾರ್ಯವು ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಸಮತಲ ಲಕ್ಷಣ - ನೇರಜಾತಿಗಳು, ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿವೆ ಮಿತಿ

.

ಓರೆಯಾದ ಲಕ್ಷಣ - ನೇರಜಾತಿಗಳು, ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿವೆ ಮಿತಿಗಳು

ಗಮನಿಸಿ: ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಓರೆಯಾದ (ಸಮತಲ) ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಎರಡು ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ನಂತರ (ಅಥವಾ ) ನಲ್ಲಿ ಓರೆಯಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಐಟಂ 2 ರಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ.), ನಂತರ , ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮತಲ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, .

6) ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ f(X)(ಅಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು). ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ f(X) ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ f(X) ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ f(X)0. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯ f(X) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ರಿವರ್ಸ್ ಅಸಮಾನತೆ ಎಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ f(X 0, ಕಾರ್ಯ f(X) ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಇಳಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವು ಇದೆ, ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಳದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿನಿಮಾ ಇದೆ. ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಮುಂದುವರಿಯುವುದು)