ഒരു പോളിഹെഡ്രൽ രൂപമാണ്, അതിന്റെ അടിയിൽ ഒരു പോളിഗോൺ ഉണ്ട്, ബാക്കി മുഖങ്ങളെ ഒരു പൊതു ശീർഷകത്തോടുകൂടിയ ത്രികോണങ്ങൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

അടിയിൽ ഒരു ചതുരം ഉണ്ടെങ്കിൽ പിരമിഡിനെ വിളിക്കുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ളത്, ഒരു ത്രികോണം ആണെങ്കിൽ - പിന്നെ ത്രികോണാകൃതി... പിരമിഡിന്റെ ഉയരം അതിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് അടിയിലേക്ക് ലംബമായി വരയ്ക്കുന്നു. വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാനും ഉപയോഗിക്കുന്നു apothem - വശത്തിന്റെ മുഖത്തിന്റെ ഉയരം അതിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് ഇടിഞ്ഞു.
ഒരു പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം അതിന്റെ ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങളുടെ മേഖലകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ രീതി വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ. അടിസ്ഥാനപരമായി, പിരമിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിസ്ഥാന ചുറ്റളവിലൂടെയും അപ്പോഥെമിലൂടെയും കണക്കാക്കുന്നു:

ഒരു പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

അടിസ്ഥാന എബിസിഡിഇയും ടോപ്പ് എഫും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പിരമിഡ് നൽകട്ടെ. AB \u003d BC \u003d CD \u003d DE \u003d EA \u003d 3 cm. Apothem a \u003d 5 cm. പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.
നമുക്ക് പരിധി കണ്ടെത്താം. അടിത്തറയുടെ എല്ലാ മുഖങ്ങളും തുല്യമായതിനാൽ, പെന്റഗണിന്റെ ചുറ്റളവ് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:
ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് പിരമിഡിന്റെ സൈഡ് ഏരിയ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിൽ ഒരു ബേസ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിൽ ഒരു സാധാരണ ത്രികോണം കിടക്കുന്നതും മൂന്ന് വശങ്ങളുള്ളതുമായ മുഖങ്ങൾ, വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ കണക്കാക്കാം. ചുറ്റളവിലൂടെയും അപ്പോഥെമിലൂടെയും കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള സാധാരണ ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും, അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തി അതിനെ മൂന്നായി ഗുണിക്കാം. പിരമിഡിന്റെ മുഖം ഒരു ത്രികോണമായതിനാൽ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കും. ഇതിന് അപ്പോഥെമും അടിസ്ഥാന നീളവും ആവശ്യമാണ്. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പിരമിഡ് അപ്പോഥെം a \u003d 4 സെന്റിമീറ്ററും ബേസ് എഡ്ജ് ബി \u003d 2 സെന്റിമീറ്ററും നൽകിയിരിക്കുന്നു. പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.
ആദ്യം, ഒരു വശത്തെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് ഇതായിരിക്കും:
സമവാക്യത്തിലേക്ക് മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിൽ എല്ലാ വശങ്ങളും ഒരുപോലെയായതിനാൽ, പിരമിഡിന്റെ വശത്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം മൂന്ന് മുഖങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും. ഉചിതമായി:

വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡ് പ്രദേശം

വെട്ടിച്ചുരുക്കി ഒരു പിരമിഡ് രൂപംകൊള്ളുന്ന ഒരു പോളിഹെഡ്രോണാണ് പിരമിഡ്.
വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം വളരെ ലളിതമാണ്. വിസ്തീർണ്ണം അടിസ്ഥാനങ്ങളുടെയും പരിധിയുടെയും പരിധിയുടെ പകുതി തുകയുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം. ഈ ലേഖനത്തിൽ നിങ്ങളുമായുള്ള ശരിയായ പിരമിഡുകളുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കും. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡ് ഒരു പിരമിഡാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സാധാരണ പോളിഗോണാണ്, പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗം ഈ പോളിഗോണിന്റെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് പ്രദർശിപ്പിക്കും.

അത്തരമൊരു പിരമിഡിന്റെ വശത്തിന്റെ മുഖം ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണമാണ്.സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് വരച്ച ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരത്തെ അപ്പോഥെം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, എസ്\u200cഎഫ് അപ്പോഥെം:

ചുവടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളിൽ, മുഴുവൻ പിരമിഡിന്റെയും ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. സാധാരണ പിരമിഡുകളുമായുള്ള നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ ബ്ലോഗ് ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്, അവിടെ ഘടകങ്ങൾ (ഉയരം, ബേസ് എഡ്ജ്, സൈഡ് എഡ്ജ്) കണ്ടെത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ചോദ്യം ഉയർന്നു.

പരീക്ഷയുടെ ചുമതലകളിൽ, ചട്ടം പോലെ, സാധാരണ ത്രികോണ, ചതുരാകൃതി, ഷഡ്ഭുജ പിരമിഡുകൾ എന്നിവ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. സാധാരണ പെന്റഗോൺ, ഹെപ്\u200cറ്റഗണൽ പിരമിഡുകളുമായി ഞാൻ പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ നേരിട്ടിട്ടില്ല.

മുഴുവൻ ഉപരിതലത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ലളിതമാണ് - പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണവും അതിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തൃതിയും നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

ചുമതലകൾ പരിഗണിക്കുക:

ഒരു സാധാരണ ചതുർഭുജ പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 72, വശത്തിന്റെ അരികുകൾ 164. ഈ പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം ലാറ്ററൽ, ബേസ് ഏരിയകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

* വശത്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിൽ തുല്യ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള നാല് ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു ചതുരമാണ്.

ഇത് ഉപയോഗിച്ച് പിരമിഡിന്റെ വശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാം:

അതിനാൽ, പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം:

ഉത്തരം: 28224

ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജ പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 22, വശത്തിന്റെ അരികുകൾ 61. ഈ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജ പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജമാണ്.

ഈ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം 61.61, 22 വശങ്ങളുള്ള തുല്യ ത്രികോണങ്ങളുടെ ആറ് മേഖലകളാണ്:

നമുക്ക് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താം, ഹെറോണിന്റെ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക:

അതിനാൽ, ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം:

ഉത്തരം: 3240

* മുകളിൽ\u200c അവതരിപ്പിച്ച പ്രശ്\u200cനങ്ങളിൽ\u200c, വശത്തിന്റെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർ\u200cണം മറ്റൊരു ത്രികോണ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ\u200c കഴിയും, പക്ഷേ ഇതിനായി നിങ്ങൾ\u200c അപ്പോഥെം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

27155. ഒരു സാധാരണ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, അതിന്റെ അടിസ്ഥാന വശങ്ങൾ 6 ഉം ഉയരം 4 ഉം ആണ്.

ഒരു പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അടിസ്ഥാന വിസ്തീർണ്ണവും ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തൃതിയും ഞങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്:

6 ന്റെ ഒരു വശമുള്ള ചതുരമായതിനാൽ അടിസ്ഥാന വിസ്തീർണ്ണം 36 ആണ്.

വശത്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിൽ നാല് മുഖങ്ങളുണ്ട്, അവ തുല്യ ത്രികോണങ്ങളാണ്. അത്തരമൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിന്റെ അടിത്തറയും ഉയരവും അറിയേണ്ടതുണ്ട് (അപ്പോഥെം):

* ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെ പകുതി ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിനും ഈ അടിത്തറയിലേക്ക് വരച്ച ഉയരത്തിനും തുല്യമാണ്.

അടിസ്ഥാനം അറിയാം, അത് ആറിന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് ഉയരം കണ്ടെത്താം. ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക (മഞ്ഞയിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്):

ഒരു കാൽ 4 ആണ്, ഇത് പിരമിഡിന്റെ ഉയരം ആയതിനാൽ, മറ്റേത് 3 ആണ്, കാരണം ഇത് അടിത്തറയുടെ പകുതി അരികിലാണ്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഹൈപ്പോടെൻസസ് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

അതിനാൽ പിരമിഡിന്റെ വശത്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

അങ്ങനെ, മുഴുവൻ പിരമിഡിന്റെയും ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം:

ഉത്തരം: 96

27069. ഒരു സാധാരണ ചതുർഭുജ പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 10, വശത്തിന്റെ അരികുകൾ 13. ഈ പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

27070. ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജ പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 10 ന് തുല്യമാണ്, വശത്തിന്റെ അരികുകൾ 13 ന് തുല്യമാണ്. ഈ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിൽ, അടിസ്ഥാനം ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷനാണ്, അതിനാൽ:

പി - അടിസ്ഥാന ചുറ്റളവ്, l - പിരമിഡിന്റെ അപ്പോഥെം

* ഈ സമവാക്യം ഒരു ത്രികോണ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ വിസ്തൃതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവെന്നതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതലറിയാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത് നഷ്\u200cടപ്പെടുത്തരുത്, ലേഖനങ്ങളുടെ പ്രസിദ്ധീകരണം പിന്തുടരുക.അത്രയേയുള്ളൂ. നിങ്ങൾക്ക് വിജയം!

ആദരവോടെ, അലക്സാണ്ടർ ക്രുതിറ്റ്സ്കിക്ക്.

P.S: സോഷ്യൽ നെറ്റ്\u200cവർക്കുകളിലെ സൈറ്റിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളോട് പറയാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ഞാൻ നന്ദിയുള്ളവനാണ്.

പ്രധാനത്തെക്കുറിച്ച് ഹ്രസ്വമായി

ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം (2019)

പ്രിസം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം

പൊതുവായ ഒരു സൂത്രവാക്യം ഉണ്ടോ? ഇല്ല, പൊതുവേ, ഇല്ല. നിങ്ങൾ വശങ്ങളുടെ മുഖങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് അവയെ സംഗ്രഹിക്കണം.

ഫോർമുല എഴുതാം നേരായ പ്രിസം:

അടിത്തറയുടെ പരിധി എവിടെയാണ്.

എന്നിട്ടും, ഓരോ പ്രത്യേക കേസിലും അധിക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മന or പാഠമാക്കുന്നതിനേക്കാൾ എല്ലാ മേഖലകളും ചേർക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജ പ്രിസത്തിന്റെ ആകെ ഉപരിതലം കണക്കാക്കാം.

എല്ലാ വശങ്ങളും ചതുരങ്ങളാണ്. അർത്ഥം.

വോളിയം കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഇത് ഇതിനകം തന്നെ കുറച്ചിട്ടുണ്ട്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

പിരമിഡ് ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം

പിരമിഡിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, പൊതുനിയമവും ബാധകമാണ്:

ഇപ്പോൾ ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ പിരമിഡുകളുടെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാം.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം

അടിത്തറയുടെ വശവും തുല്യ അരികും തുല്യമായിരിക്കട്ടെ. നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

അത് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഓർമിക്കാം

ഇത് ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തൃതിയാണ്.

ഈ പ്രദേശം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഓർക്കുക. ഞങ്ങൾ ഏരിയ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾക്ക് "" - ഇതും "" - ഇതും ഉണ്ട്, കൂടാതെ.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ കണ്ടെത്തും.

അടിസ്ഥാന ഏരിയ സൂത്രവാക്യവും പൈതഗോറൻ പ്രമേയവും ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ശ്രദ്ധ: നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സാധാരണ ടെട്രഹെഡ്രോൺ ഉണ്ടെങ്കിൽ (അതായത്), ഫോർമുല ഇപ്രകാരമാണ്:

ഒരു സാധാരണ ചതുർഭുജ പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം

അടിത്തറയുടെ വശവും തുല്യ അരികും തുല്യമായിരിക്കട്ടെ.

ചുവടെ ഒരു ചതുരം, അതിനാൽ.

വശത്തിന്റെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു

ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജ പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം.

അടിത്തറയുടെ വശം തുല്യവും വശത്തെ അരികും ആയിരിക്കട്ടെ.

എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഒരു ഷഡ്ഭുജത്തിൽ കൃത്യമായ ആറ് സമാന ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അന്വേഷിച്ചു, ഇവിടെ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ശരി, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം രണ്ടുതവണ വശത്തിന്റെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അന്വേഷിച്ചു.

ശരി, വിഷയം അവസാനിച്ചു. നിങ്ങൾ ഈ വരികൾ വായിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ വളരെ രസകരമാണ്.

കാരണം 5% ആളുകൾക്ക് മാത്രമേ സ്വന്തമായി എന്തെങ്കിലും പഠിക്കാൻ കഴിയൂ. നിങ്ങൾ അവസാനം വരെ വായിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ആ 5% ആണ്!

ഇപ്പോൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം വരുന്നു.

ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. വീണ്ടും, ഇത് ... ഇത് സൂപ്പർ മാത്രമാണ്! നിങ്ങളുടെ സമപ്രായക്കാരിൽ ബഹുഭൂരിപക്ഷത്തേക്കാളും നിങ്ങൾ ഇതിനകം മികച്ചവരാണ്.

ഇത് മതിയാകില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം ...

എന്തിനുവേണ്ടി?

പരീക്ഷ വിജയകരമായി വിജയിക്കുന്നതിന്, ബജറ്റിൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ പ്രവേശനത്തിനും, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ജീവിതത്തിനും.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഒന്നും ബോധ്യപ്പെടുത്തുകയില്ല, ഞാൻ ഒരു കാര്യം മാത്രം പറയും ...

നല്ല വിദ്യാഭ്യാസം നേടിയ ആളുകൾ അത് ലഭിക്കാത്തവരേക്കാൾ കൂടുതൽ സമ്പാദിക്കുന്നു. ഇവ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളാണ്.

എന്നാൽ ഇത് പ്രധാന കാര്യമല്ല.

പ്രധാന കാര്യം അവർ കൂടുതൽ സന്തോഷമുള്ളവരാണ് (അത്തരം പഠനങ്ങളുണ്ട്). ഒരുപക്ഷേ അവർക്ക് ധാരാളം അവസരങ്ങൾ ഉള്ളതുകൊണ്ടും ജീവിതം തിളക്കമുള്ളതാകാം? എനിക്കറിയില്ല...

എന്നാൽ സ്വയം ചിന്തിക്കുക ...

പരീക്ഷയിലെ മറ്റുള്ളവരെ അപേക്ഷിച്ച് മികച്ചവരാകാനും ആത്യന്തികമായി ... കൂടുതൽ സന്തോഷവാനും എന്താണ് വേണ്ടത്?

ഈ വിഷയത്തിൽ പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു കൈ നേടുക.

പരീക്ഷയിൽ, നിങ്ങളോട് സിദ്ധാന്തം ചോദിക്കില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ് കുറച്ച് സമയത്തേക്ക് ടാസ്\u200cക്കുകൾ പരിഹരിക്കുക.

നിങ്ങൾ അവ പരിഹരിച്ചില്ലെങ്കിൽ (ഒരുപാട്!), നിങ്ങൾ മണ്ടത്തരമായി തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെടുന്ന എവിടെയെങ്കിലും പോകുമെന്ന് ഉറപ്പാണ് അല്ലെങ്കിൽ കൃത്യസമയത്ത് ഉണ്ടാകില്ല.

ഇത് സ്\u200cപോർട്\u200cസിലെ പോലെയാണ് - ഉറപ്പായി വിജയിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഇത് പല തവണ ആവർത്തിക്കണം.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളിടത്ത് ഒരു ശേഖരം കണ്ടെത്തുക, അനിവാര്യമായും പരിഹാരങ്ങൾ, വിശദമായ വിശകലനം തീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക!

നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ ടാസ്\u200cക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കാം (ഓപ്ഷണൽ) ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും അവ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങളുടെ കൈ നിറയ്\u200cക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ നിലവിൽ വായിക്കുന്ന യൂക്ലിവർ പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ ആയുസ്സ് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എങ്ങനെ? രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്:

1. ഈ ലേഖനത്തിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ജോലികളും പങ്കിടുക - 299 റി
2. ട്യൂട്ടോറിയലിന്റെ 99 ലേഖനങ്ങളിലും മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടാസ്\u200cക്കുകളിലേക്കും ആക്\u200cസസ്സ് അൺലോക്കുചെയ്യുക - 999 റബ്

അതെ, ഞങ്ങളുടെ പാഠപുസ്തകത്തിൽ അത്തരം 99 ലേഖനങ്ങൾ ഉണ്ട്, കൂടാതെ എല്ലാ ജോലികൾക്കും അവയിലെ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ വാചകങ്ങൾക്കുമുള്ള പ്രവേശനം ഉടനടി തുറക്കാൻ കഴിയും.

രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് തരും സിമുലേറ്റർ "പരിഹാരങ്ങൾക്കും ഉത്തരങ്ങൾക്കുമുള്ള 6000 പ്രശ്നങ്ങൾ, ഓരോ വിഷയത്തിനും, എല്ലാ തലത്തിലുള്ള സങ്കീർണ്ണതയ്ക്കും." ഏത് വിഷയത്തിലും പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഒരു ഹാൻഡിൽ ലഭിക്കാൻ ഇത് തീർച്ചയായും മതിയാകും.

വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് ഒരു സിമുലേറ്ററിനേക്കാൾ വളരെ കൂടുതലാണ് - ഒരു മുഴുവൻ പരിശീലന പരിപാടി. ആവശ്യമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് സ for ജന്യമായി ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും.

സൈറ്റിന്റെ മുഴുവൻ ജീവിതകാലത്തും എല്ലാ ടെക്സ്റ്റുകളിലേക്കും പ്രോഗ്രാമുകളിലേക്കും ആക്സസ് നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

ഉപസംഹാരമായി...

ഞങ്ങളുടെ ചുമതലകൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, മറ്റുള്ളവരെ കണ്ടെത്തുക. സിദ്ധാന്തത്തിൽ വസിക്കരുത്.

“മനസിലാക്കി”, “എനിക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും” എന്നിവ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ കഴിവുകളാണ്. നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടും ആവശ്യമാണ്.

പ്രശ്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തി പരിഹരിക്കുക!

പിരമിഡ് - പോളിഗോണുകളിൽ നിന്നും ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്നും രൂപംകൊണ്ട പോളിഹെഡ്രോണിന്റെ ഇനങ്ങൾ അടിത്തട്ടിൽ കിടക്കുകയും അതിന്റെ മുഖങ്ങളുമാണ്.

മാത്രമല്ല, പിരമിഡിന്റെ മുകളിൽ (അതായത് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ), എല്ലാ മുഖങ്ങളും സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു പിരമിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ, അതിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിൽ നിരവധി ത്രികോണങ്ങളുണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾക്ക് അവരുടെ പ്രദേശങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും

വിവിധ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. നമുക്ക് അറിയാവുന്ന തരത്തിലുള്ള ത്രികോണ ഡാറ്റയെ ആശ്രയിച്ച്, അവയുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഞങ്ങൾ തിരയുന്നു.

ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന ചില സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു:

1. S \u003d (a * h) / 2 ... ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം നമുക്കറിയാം h അത് വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു a .
2. S \u003d a * b * sinβ ... ഇവിടെ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ a , b , അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണാണ് β .
3. S \u003d (r * (a + b + c)) / 2 ... ഇവിടെ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ a, b, c ... ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ദൂരം r .
4. S \u003d (a * b * c) / 4 * R. ... ഒരു ത്രികോണത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള വൃത്താകൃതിയിലുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ദൂരം ആർ .
5. S \u003d (a * b) / 2 \u003d r² + 2 * r * R. ... ത്രികോണം ചതുരാകൃതിയിലായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഈ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കൂ.
6. S \u003d (a² * √3) / 4 ... ഈ സമവാക്യം ഒരു സമീകൃത ത്രികോണത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ പിരമിഡിന്റെ മുഖങ്ങളായ എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കിയതിനുശേഷം മാത്രമേ അതിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ കഴിയൂ. ഇതിനായി ഞങ്ങൾ മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ, ബുദ്ധിമുട്ടുകളൊന്നും ഉണ്ടാകുന്നില്ല: എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളുടെയും മേഖലകളുടെ ആകെത്തുക നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പ്രകടിപ്പിക്കാം:

Sп \u003d iSi

ഇവിടെ Si ആദ്യ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ഒപ്പം എസ് പി - പിരമിഡിന്റെ വശത്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡ് നൽകിയിട്ടുണ്ട്, അതിന്റെ ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങൾ നിരവധി സമീകൃത ത്രികോണങ്ങളാൽ രൂപം കൊള്ളുന്നു,

« നമ്മുടെ മാനസിക കഴിവുകൾ മൂർച്ച കൂട്ടുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ശക്തമായ ഉപകരണമാണ് ജ്യാമിതി.».

ഗലീലിയോ ഗലീലി.

ചതുരം പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനമാണ്. മാത്രമല്ല, പിരമിഡിന്റെ അരികിൽ 17 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുണ്ട്.ഈ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഞങ്ങൾ ഇതുപോലെ വാദിക്കുന്നു: പിരമിഡിന്റെ മുഖങ്ങൾ ത്രികോണങ്ങളാണെന്നും അവ സമീകൃതമാണെന്നും നമുക്കറിയാം. തന്നിരിക്കുന്ന പിരമിഡിന്റെ റിബൺ എത്രത്തോളം നീളുന്നുവെന്നും നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ എല്ലാ ത്രികോണങ്ങൾക്കും തുല്യ ലാറ്ററൽ വശങ്ങളാണുള്ളത്, അവയുടെ നീളം 17 സെ.

ഈ ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം:

S \u003d (17² *) 3) / 4 \u003d (289 * 1.732) / 4 \u003d 125.137 cm²

സ്ക്വയർ പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്താണെന്ന് നമുക്കറിയാമെന്നതിനാൽ, നമുക്ക് നാല് സമീകൃത ത്രികോണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പിരമിഡിന്റെ വശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം: 125.137 cm² * 4 \u003d 500.548 cm²

ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഇപ്രകാരമാണ്: 500.548 cm² - ഈ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.

• പ്രശ്നം 1. പിരമിഡിന്റെ ആകെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക
• പ്രശ്നം 2. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

പ്രശ്നം 1... ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

തീരുമാനം.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ അടിയിൽ ഒരു സമീകൃത ത്രികോണം ഉണ്ട്.
അതിനാൽ, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കും:

ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം നമുക്കറിയാം, അവിടെ നിന്ന് അതിന്റെ പ്രദേശം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.
h \u003d √3 / 2 a
a \u003d h / (√3 / 2)
a \u003d 3 / (√3 / 2)
a \u003d 6 / √3

അടിസ്ഥാന വിസ്തീർണ്ണം എവിടെ നിന്ന് തുല്യമായിരിക്കും:
S \u003d √3 / 4 a 2
എസ് \u003d √3 / 4 (6 / √3) 2
എസ് \u003d 3√3

വശത്തിന്റെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, ഉയരം KM കണക്കാക്കുക. പ്രശ്ന പ്രസ്താവന അനുസരിച്ച് 45 ഡിഗ്രിയാണ് ഓകെഎം ആംഗിൾ.
ഇപ്രകാരം:
ശരി / എംകെ \u003d കോസ് 45
നമുക്ക് ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുകയും അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരമാവുകയും ചെയ്യാം.

ശരി / എംകെ \u003d √2 / 2

ശരി, ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ ദൂരത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് കണക്കിലെടുക്കാം. പിന്നെ
ശരി \u003d √3 / 6 a
ശരി \u003d √3 / 6 * 6 / √3 \u003d 1

പിന്നെ
ശരി / എംകെ \u003d √2 / 2
1 / എംകെ \u003d √2 / 2
MK \u003d 2 / √2

വശത്തിന്റെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഉയരത്തിന്റെ പകുതി ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിനും ത്രികോണത്തിന്റെ അടിത്തറയ്ക്കും തുല്യമാണ്.
വശം \u003d 1/2 (6 / √3) (2 / √2) \u003d 6 / √6

അങ്ങനെ, പിരമിഡിന്റെ ആകെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം ആയിരിക്കും
എസ് \u003d 3√3 + 3 * 6 / √6
എസ് \u003d 3√3 + 18 / √6

ഉത്തരം: 3√3 + 18/√6

പ്രശ്നം 2... ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

തീരുമാനം.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സമീകൃത ത്രികോണമായതിനാൽ, അടിത്തറയെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം AO ആണ്.
(ഇത് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു)

ഒരു സമീകൃത ത്രികോണത്തിന് ചുറ്റും വൃത്താകൃതിയിലുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ദൂരം അതിന്റെ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ അരികുകളുടെ നീളം എവിടെ നിന്ന് തുല്യമായിരിക്കും:
AM 2 \u003d MO 2 + AO 2
പിരമിഡിന്റെ ഉയരം അവസ്ഥ (10 സെ.മീ), AO \u003d 16√3 / 3 എന്നിവയാൽ അറിയപ്പെടുന്നു
AM 2 \u003d 100 + 256/3
AM \u003d √ (556/3)

പിരമിഡിന്റെ ഓരോ വശവും ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണമാണ്. ചുവടെയുള്ള ആദ്യ സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തി

S \u003d 1/2 * 16 ചതുരശ്ര ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8%)
S \u003d 8 ചതുരശ്ര ((556/3) - 64)
S \u003d 8 ചതുരശ്ര (364/3)
എസ് \u003d 16 ചതുരശ്ര (91/3)

ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ മൂന്ന് മുഖങ്ങളും തുല്യമായതിനാൽ, ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം ആയിരിക്കും
3 എസ് \u003d 48 (91/3)

ഉത്തരം: 48 √(91/3)

പ്രശ്നം 3. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ വശം 3 സെന്റിമീറ്ററും വശത്തിന്റെ മുഖവും പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗവും തമ്മിലുള്ള കോൺ 45 ഡിഗ്രിയാണ്. പിരമിഡിന്റെ ആകെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം.
പിരമിഡ് പതിവായതിനാൽ, ഒരു സമീകൃത ത്രികോണം അതിന്റെ അടിയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, അടിസ്ഥാന വിസ്തീർണ്ണം


അതിനാൽ \u003d 9 * √3 / 4

വശത്തിന്റെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, ഉയരം KM കണക്കാക്കുക. പ്രശ്ന പ്രസ്താവന അനുസരിച്ച് 45 ഡിഗ്രിയാണ് ഓകെഎം ആംഗിൾ.
ഇപ്രകാരം:
ശരി / എംകെ \u003d കോസ് 45
ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും