ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എന്ന ആശയം നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു →, b →, c → എന്നിങ്ങനെ ക്രമീകരിച്ച ട്രിപ്പിൾ വെക്റ്ററുകളുടെ ഓറിയന്റേഷന്റെ ചോദ്യത്തിലേക്ക് നമുക്ക് തിരിയാം.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് a →, b →, c → വെക്‌ടറുകൾ തുടക്കത്തിനായി മാറ്റിവെക്കാം. ട്രിപ്പിൾ a →, b →, c → എന്നിവയുടെ ഓറിയന്റേഷൻ വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച് വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം. വെക്‌ടറിൽ നിന്ന് ഏ → മുതൽ b → വരെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഭ്രമണം നടക്കുന്ന ദിശയിൽ നിന്ന് വെക്‌ടറിന്റെ അവസാനം മുതൽ c →, ട്രിപ്പിൾ a →, b →, c → എന്നിവയുടെ രൂപം നിർണ്ണയിക്കും.

ഏറ്റവും ചെറിയ ഭ്രമണം എതിർ ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ a →, b →, c → എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശരിയാണ്ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ - ഇടത്തെ.

അടുത്തതായി, a →, b → എന്നീ രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്‌ടറുകൾ എടുക്കുക. അപ്പോൾ നമുക്ക് വെക്‌ടറുകൾ A B → = a →, A C → = b → എന്നിവ പോയിന്റ് എയിൽ നിന്ന് മാറ്റിവയ്ക്കാം. ഞങ്ങൾ ഒരു വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കുന്നു A D → = c →, അത് A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേസമയം ലംബമാണ്. അങ്ങനെ, വെക്റ്റർ തന്നെ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ A D → = c → നമുക്ക് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഒരു ദിശയോ വിപരീതമോ നൽകാം (ചിത്രം കാണുക).

വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ, വെക്‌ടറുകളുടെ ക്രമപ്പെടുത്തിയ ട്രിപ്പിൾ a →, b →, c → വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം.

മുകളിൽ നിന്ന്, ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം. ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്ക് ഈ നിർവ്വചനം നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 1

a →, b → എന്നീ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന അത്തരം വെക്റ്ററിനെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും:

• വെക്‌ടറുകൾ a →, b → എന്നിവ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, അത് പൂജ്യമായിരിക്കും;
• ഇത് വെക്റ്റർ a → വെക്റ്റർ b → രണ്ടിനും ലംബമായിരിക്കും, അതായത്. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• അതിന്റെ ദൈർഘ്യം ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• വെക്‌ടറുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ a →, b →, c → എന്നിവയ്‌ക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അതേ ഓറിയന്റേഷൻ ഉണ്ട്.

വെക്റ്റർ a →, b → എന്നിവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട്: a → × b →.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ

ഏതെങ്കിലും വെക്റ്ററിന് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ചില കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം നൽകാം, ഇത് വെക്റ്ററുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

നിർവ്വചനം 2

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ a → = (a x; a y; a z), b → = (b x; b y; b z) എന്നീ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം വെക്‌ടറിനെ വിളിക്കുന്നു c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, ഇവിടെ i →, j →, k → കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകളാണ്.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ മൂന്നാം ഓർഡറിന്റെ ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഇവിടെ ആദ്യ വരി യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്ററുകളാണ് i →, j →, k →, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു a →, നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ വെക്റ്റർ b → യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മൂന്നാമത്തേത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, മാട്രിക്സിന്റെ ഈ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിൽ ഈ ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കുന്നു: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → = + axayb → b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ മാട്രിക്സ് c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്ന് അറിയാം. മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ സവിശേഷതകൾഇനിപ്പറയുന്നവ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന ഗുണങ്ങൾ:

1. ആന്റികമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി a → × b → = - b → × a →;
2. വിതരണക്ഷമത a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → അല്ലെങ്കിൽ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. അസോസിയേറ്റിവിറ്റി λ a → × b → = λ a → × b → അല്ലെങ്കിൽ a → × (λ b →) = λ a → × b →, ഇവിടെ λ ഒരു ഏകപക്ഷീയ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

ഈ ഗുണങ്ങൾ തെളിയിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റി-കമ്മ്യൂട്ടിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് തെളിയിക്കാനാകും.

ആന്റികമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റിയുടെ തെളിവ്

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ട് വരികൾ പുനഃക്രമീകരിച്ചാൽ, മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ മൂല്യം വിപരീതമായി മാറണം, അതിനാൽ, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybza - b → × a →, ഇത് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റി കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി തെളിയിക്കുന്നു.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം - ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

മിക്ക കേസുകളിലും, മൂന്ന് തരം ജോലികൾ ഉണ്ട്.

ആദ്യ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും സാധാരണയായി നൽകിയിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ നിങ്ങൾ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല c → = a → b → sin ∠ a →, b → ഉപയോഗിക്കുക.

ഉദാഹരണം 1

നിങ്ങൾക്ക് a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 അറിയാമെങ്കിൽ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക a →, b →.

പരിഹാരം

a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

ഉത്തരം: 15 2 2 .

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധമുണ്ട്, അവയിൽ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം, അതിന്റെ നീളം മുതലായവ. നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളിലൂടെ തിരയുന്നു a → = (a x; a y; a z) ഒപ്പം b → = (b x; b y; b z) .

ഇത്തരത്തിലുള്ള ജോലികൾക്കായി, ടാസ്ക്കുകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ധാരാളം ഓപ്ഷനുകൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളല്ല, ഫോമിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകളിലെ അവയുടെ വികാസം b → = b x i → + b y j → + b z k → കൂടാതെ c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, അല്ലെങ്കിൽ വെക്‌ടറുകൾ a →, b → എന്നിവ വ്യക്തമാക്കാം അവയുടെ ആരംഭ, അവസാന പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പ്രകാരം.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2

ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) നൽകിയിരിക്കുന്നു. അവരുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റിലൂടെ ഞങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ഉദാഹരണത്തിന്റെ പരിഹാരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

ഉത്തരം: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

ഉദാഹരണം 3

i → - j →, i → + j → + k → വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക, ഇവിടെ i →, j →, k → ഒരു ദീർഘചതുര കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ യൂണിറ്റ് വെക്‌റ്ററുകളാണ്.

പരിഹാരം

ആദ്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു i → - j → × i → + j → + k →.

i → - j →, i → + j → + k → വെക്‌ടറുകൾക്ക് യഥാക്രമം (1; - 1; 0), (1; 1; 1) കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് അറിയാം. മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്താം, അപ്പോൾ നമുക്ക് i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

അതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നമായ i → - j → × i → + j → + k → നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 1; - 1; 2) ഉണ്ട്.

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിഭാഗം കാണുക): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

ഉത്തരം: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

ഉദാഹരണം 4

ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, മൂന്ന് പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരേ സമയം A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമായി ചില വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

A B →, A C → വെക്‌ടറുകൾക്ക് യഥാക്രമം ഇനിപ്പറയുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 1; 2; 2), (0; 4; 1) ഉണ്ട്. A B →, A C → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ പ്രോഡക്‌ട് കണ്ടെത്തിയതിനാൽ, ഇത് A B →, A C → എന്നിവയ്‌ക്ക് നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലംബമായ വെക്‌ടറാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത്, ഇത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്. നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താം A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

ഉത്തരം: - 6 i → + j → - 4 k →. - ലംബമായ വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്ന്.

മൂന്നാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു. ഇത് പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം നേടും.

ഉദാഹരണം 5

a →, b → വെക്‌ടറുകൾ ലംബവും അവയുടെ നീളം യഥാക്രമം 3 ഉം 4 ഉം ആണ്. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുക 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

പരിഹാരം

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വിതരണത്തിന്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = എന്ന് എഴുതാം. 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

അസോസിയേറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, അവസാന എക്സ്പ്രഷനിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ചിഹ്നത്തിന് പുറത്ത് ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ നീക്കുന്നു: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ a → × a →, b → × b → എന്നിവ 0 ആണ്, കാരണം a → × a → = a → a → sin 0 = 0, b → × b → = b → b → sin 0 = 0, തുടർന്ന് 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി സൂചിപ്പിക്കുന്നത് - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് തുല്യത 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b → ലഭിക്കും.

അനുമാനം അനുസരിച്ച്, a →, b → വെക്‌ടറുകൾ ലംബമാണ്, അതായത്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ π 2 ആണ്. കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ അനുബന്ധ ഫോർമുലകളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നു: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · പാപം (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

ഉത്തരം: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

ക്രമപ്പെടുത്തുന്നതിലൂടെ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനാൽ ഗുണിച്ചാൽ അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും നീളത്തിന്റെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് (സ്‌കൂൾ കോഴ്‌സിൽ നിന്ന്) ഇതിനകം അറിയാവുന്നതിനാൽ. അതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് - ഇരട്ടിയാക്കിയ ത്രികോണം, അതായത് വെക്റ്ററുകളുടെ രൂപത്തിൽ വശങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം a →, b →, ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് പ്ലോട്ട് ചെയ്ത സൈൻ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ sin ∠ a →, b →.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇതാണ്.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം

മെക്കാനിക്സിൽ, ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ ശാഖകളിലൊന്ന്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് നന്ദി, ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു പോയിന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ശക്തിയുടെ നിമിഷം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

നിർവ്വചനം 3

പോയിന്റ് എയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ബി പോയിന്റിലേക്ക് എഫ് → പ്രയോഗിക്കുന്ന ശക്തിയുടെ നിമിഷം കൊണ്ട്, ഇനിപ്പറയുന്ന വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എ ബി → × എഫ് → എന്നാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

വാചകത്തിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, ദയവായി അത് തിരഞ്ഞെടുത്ത് Ctrl + Enter അമർത്തുക

മൂന്ന് വെക്‌ടറുകളുടെയും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളുടെയും മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം

സമ്മിശ്ര ജോലിമൂന്ന് വെക്റ്ററുകൾക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ... ഇവിടെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളെ വെക്‌റ്റോറിയലായി ഗുണിക്കുകയും തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്ന വെക്‌ടറിനെ മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടർ സ്‌കെലാർ ആയി ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വ്യക്തമായും, അത്തരമൊരു ഉൽപ്പന്നം ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്.

മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ പരിഗണിക്കുക.

1. ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംസമ്മിശ്ര ജോലി. 3 വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം, ഒരു അടയാളം വരെ, ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ വോള്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അരികുകളിലുള്ളത്, അതായത്. ...

   അങ്ങനെ, ഒപ്പം .

   

   തെളിവ്... പൊതുവായ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് വെക്റ്ററുകൾ മാറ്റിവെച്ച് അവയിൽ ഒരു സമാന്തര പൈപ്പ് നിർമ്മിക്കുക. നമുക്ക് അത് സൂചിപ്പിക്കുകയും ശ്രദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യാം. ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം പ്രകാരം

   എന്ന് അനുമാനിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എച്ച്സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ ഉയരം, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

   അങ്ങനെ, വേണ്ടി

   എങ്കിൽ, പിന്നെ ഒപ്പം. അതിനാൽ, .

   ഈ രണ്ട് കേസുകളും സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും അല്ലെങ്കിൽ.

   പ്രത്യേകിച്ചും, വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ ശരിയാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നമാണെന്നും അത് അവശേഷിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത് ഈ വസ്തുവിന്റെ തെളിവിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

2. ഏത് വെക്റ്ററുകൾക്കും, തുല്യത

   ഈ വസ്തുവിന്റെ തെളിവ് പ്രോപ്പർട്ടിയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു 1. തീർച്ചയായും, അത് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. മാത്രമല്ല, "+", "-" എന്നീ അടയാളങ്ങൾ ഒരേസമയം എടുക്കുന്നു വെക്‌ടറുകൾക്കും അതിനും ഇടയിലുള്ള കോണുകൾ നിശിതമോ അവ്യക്തമോ ആണ്.

3. ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമമാറ്റത്തിന് ശേഷം, മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം അടയാളം മാറുന്നു.

   തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾ ഒരു സമ്മിശ്ര ജോലി പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ

4. ഘടകങ്ങളിലൊന്ന് പൂജ്യമോ വെക്‌ടറുകൾ കോപ്ലനാറോ ആണെങ്കിൽ മാത്രം മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം.

   തെളിവ്.

   അങ്ങനെ, 3 വെക്റ്ററുകളുടെ കോപ്ലനാരിറ്റിക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ അവയുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള തുല്യതയാണ്. കൂടാതെ, മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു അടിത്തറ ഉണ്ടാക്കുന്നു, എങ്കിൽ.

   വെക്‌ടറുകൾ കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിലാണ് നൽകിയിട്ടുള്ളതെങ്കിൽ, അവയുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തിയതായി കാണിക്കാം:

   .

   അതായത്, മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം മൂന്നാം ഓർഡറിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റിന് തുല്യമാണ്, അതിൽ ആദ്യ വരിയിൽ ആദ്യത്തെ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ രണ്ടാമത്തെ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും മൂന്നാം വരിയിൽ മൂന്നാം വെക്റ്ററും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

   ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ബഹിരാകാശത്ത് അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതി

സമവാക്യം F (x, y, z)= 0 ബഹിരാകാശത്ത് നിർവചിക്കുന്നു ഓക്സിസ്ചില ഉപരിതലം, അതായത്. കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിന്റുകളുടെ സ്ഥാനം x, y, zഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക. ഈ സമവാക്യത്തെ ഉപരിതലത്തിന്റെ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ x, y, z- നിലവിലെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

എന്നിരുന്നാലും, പലപ്പോഴും ഉപരിതലം ഒരു സമവാക്യം മുഖേനയല്ല, മറിച്ച് ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വസ്തുവോ ഉള്ള ബഹിരാകാശത്തെ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം പോലെയാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതിന്റെ ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഉപരിതലത്തിന്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

വിമാനം.

സാധാരണ പ്ലെയിൻ വെക്റ്റർ.

ഒരു വിമാനം ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിനുള്ള സമവാക്യം

ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ തലം σ പരിഗണിക്കുക. ഈ തലത്തിലേക്ക് ലംബമായി ഒരു വെക്‌ടറും ചില നിശ്ചിത പോയിന്റും വ്യക്തമാക്കിയാണ് അതിന്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. എം 0(x 0, y 0, z 0) വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്നു σ.

σ വിമാനത്തിന് ലംബമായ ഒരു വെക്‌ടറിനെ വിളിക്കുന്നു സാധാരണഈ വിമാനത്തിന്റെ വെക്റ്റർ. വെക്റ്ററിന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടാകട്ടെ.

ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന തലം σ എന്ന സമവാക്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം എം 0ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ ഉള്ളതും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, σ വിമാനത്തിൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റ് എടുക്കുക M (x, y, z)ഒരു വെക്റ്റർ പരിഗണിക്കുക.

ഏത് പോയിന്റിനും എംÎ σ ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്.അതിനാൽ, അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ സമത്വമാണ് പ്രധാന വ്യവസ്ഥ എംÎ σ. ഈ വിമാനത്തിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകൾക്കും ഇത് സാധുതയുള്ളതാണ്, പോയിന്റ് ഉടൻ ലംഘിക്കപ്പെടും എംσ വിമാനത്തിന് പുറത്തായിരിക്കും.

പോയിന്റിന്റെ ആരം വെക്‌ടർ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ എം, ബിന്ദുവിന്റെ ആരം വെക്റ്റർ ആണ് എം 0, അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോമിലും എഴുതാം

ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു വെക്റ്റർവിമാനത്തിന്റെ സമവാക്യം. നമുക്ക് അത് കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം. അപ്പോൾ മുതൽ

അതിനാൽ, ഈ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിന്റെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. അതിനാൽ, വിമാനത്തിന്റെ സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്ന ചില പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

നിലവിലെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യമാണ് വിമാനത്തിന്റെ സമവാക്യം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. x, yഒപ്പം z.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

വിമാനത്തിന്റെ പൊതു സമവാക്യം

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യം കാണിക്കാം x, y, zഒരു നിശ്ചിത തലത്തിന്റെ സമവാക്യമാണ്. ഈ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

Ax + By + Cz + D=0

വിളിക്കുകയും ചെയ്തു പൊതുവായ സമവാക്യംവിമാനം, കോർഡിനേറ്റുകൾ എ, ബി, സിവിമാനത്തിന്റെ സാധാരണ വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഇതാ.

പൊതുവായ സമവാക്യത്തിന്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക. സമവാക്യത്തിന്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഗുണകങ്ങൾ അപ്രത്യക്ഷമായാൽ, കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വിമാനം എങ്ങനെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

A എന്നത് അച്ചുതണ്ടിൽ തലം മുറിച്ച വരയുടെ നീളമാണ് കാള... അതുപോലെ, ഒരാൾക്ക് അത് കാണിക്കാം ബിഒപ്പം സി- അക്ഷങ്ങളിൽ സംശയാസ്പദമായ വിമാനം മുറിച്ചുമാറ്റിയ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ നീളം അയ്യോഒപ്പം ഓസ്.

പ്ലെയിനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് ലൈൻ സെഗ്മെന്റുകളിൽ പ്ലെയിൻ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

7.1 ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവ്വചനം

മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലാനർ വെക്‌ടറുകൾ a, b, c എന്നിവ സൂചിപ്പിച്ച ക്രമത്തിൽ എടുത്താൽ, മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടർ c യുടെ അവസാനം മുതൽ ആദ്യത്തെ വെക്‌ടർ a മുതൽ രണ്ടാമത്തെ വെക്‌റ്റർ b വരെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ ഭ്രമണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ കാണുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു വലത് ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുന്നു. ഇടത്, ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ (ചിത്രം 16 കാണുക).

ഒരു വെക്റ്റർ b യുടെ വെക്റ്റർ a യുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഒരു വെക്റ്റർ c ആണ്, ഇത്:

1. വെക്‌ടറുകൾക്ക് ലംബമായി a, b, അതായത്, c ^ a, c ^ ബി;

2. വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമായ നീളമുണ്ട്ബിവശങ്ങളിൽ പോലെ (ചിത്രം 17 കാണുക), അതായത്.

3. വെക്‌ടറുകൾ a, b, c എന്നിവ വലതുവശത്തുള്ള ട്രിപ്പിൾ ആയി മാറുന്നു.

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തെ ഒരു x b അല്ലെങ്കിൽ [a, b] എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങളെ നേരിട്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു i, ജെഒപ്പം കെ(ചിത്രം 18 കാണുക):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാം i хj = കെ.

1) കെ ^ ഐ, കെ ^ j;

2) | k | = 1, എന്നാൽ | i x j| = | ഞാൻ | | ജെ | പാപം (90 °) = 1;

3) വെക്‌ടറുകൾ i, j ഒപ്പം കെഒരു വലത് കൈ ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുത്തുക (ചിത്രം 16 കാണുക).

7.2 വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ

1. ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അടയാളം മാറുന്നു; a xb = (b xa) (ചിത്രം 19 കാണുക).

വെക്‌ടറുകൾ a xb, b എന്നിവ കോളിനിയറാണ്, ഒരേ മൊഡ്യൂളുകളാണുള്ളത് (സമാന്തരചലന മേഖല മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു), എന്നാൽ വിപരീത ദിശകൾ (ട്രിപ്പിൾസ് a, b, a xb, a, b, b x a വിപരീത ഓറിയന്റേഷൻ). അതാണ് ഒരു xb = -(b xa).

2. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് സ്കെയിലർ ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കോമ്പിനേറ്ററി പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്, അതായത്, l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

l> 0 അനുവദിക്കുക. വെക്റ്റർ l (a xb) വെക്‌ടറുകൾ a, b എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമാണ്. വെക്റ്റർ ( എൽ a) x ബിവെക്‌ടറുകൾക്ക് ലംബമായും a and ബി(വെക്‌ടറുകൾ a, എൽഒരേ വിമാനത്തിൽ കിടക്കുക). അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ എൽ(എ xb) കൂടാതെ ( എൽ a) x ബികോളിനിയർ. വ്യക്തമായും, അവരുടെ ദിശകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഒരേ നീളം ഉണ്ടായിരിക്കുക:

അതുകൊണ്ടാണ് എൽ(a хb) = എൽഒരു xb. ഇത് സമാനമായി തെളിയിക്കാനാകും എൽ<0.

3. രണ്ട് നോൺസീറോ വെക്‌ടറുകൾ a ഒപ്പം ബികോളിനിയർ, അവയുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യം വെക്റ്ററിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത് a || b<=>ഒരു xb = 0.

പ്രത്യേകിച്ചും, i * i = j * j = k * k = 0.

4. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് വിതരണ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്:

(a + b) xc = a xc + ബി xc.

തെളിവില്ലാതെ ഞങ്ങൾ അത് അംഗീകരിക്കും.

7.3 കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആവിഷ്കാരം

ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്ന പട്ടിക ഉപയോഗിക്കും i, ജെകൂടാതെ കെ:

ആദ്യത്തെ വെക്‌ടറിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേക്കുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പാതയുടെ ദിശ അമ്പടയാളത്തിന്റെ ദിശയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ഉൽപ്പന്നം മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടറിന് തുല്യമാണ്, ഇല്ലെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ വെക്‌റ്റർ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തോടെ എടുക്കും.

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ a = a x i + a y നൽകട്ടെ ജെ+ a z കെഒപ്പം b = b x ഐ+ ബി വൈ ജെ+ b z കെ... നമുക്ക് ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് കണ്ടെത്താം, അവയെ പോളിനോമിയലുകളായി ഗുണിച്ച് (ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്):

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുല ഇതിലും ചെറുതായി എഴുതാം:

സമത്വത്തിന്റെ വലത് വശം (7.1) മൂന്നാം ഓർഡറിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ വികാസവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിനാൽ, ആദ്യ വരിയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ തുല്യത (7.2) ഓർക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

7.4 വെക്റ്റർ വർക്കിന്റെ ചില പ്രയോഗങ്ങൾ

കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകൾ സ്ഥാപിക്കുന്നു

ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെയും ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നു

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് എകൂടാതെ ബി ഒരു xb | =|എ | * | b | sin g, അതായത് S ജോഡികൾ = | a x b |. അതിനാൽ, D S = 1/2 | a x b |.

ഒരു പോയിന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ശക്തിയുടെ നിമിഷം നിർണ്ണയിക്കൽ

എ പോയിന്റിൽ ഒരു ബലം പ്രയോഗിക്കാം F = ABഅതിനെ പോകാൻ അനുവദിക്കുക ഒ- ബഹിരാകാശത്ത് ചില പോയിന്റുകൾ (ചിത്രം 20 കാണുക).

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്ന് അത് അറിയപ്പെടുന്നു ശക്തിയുടെ നിമിഷം എഫ് പോയിന്റുമായി ആപേക്ഷികം ഒവെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എം,പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത് ഒഒപ്പം:

1) പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിന് ലംബമായി ഒ, എ, ബി;

2) സംഖ്യാപരമായി ഓരോ തോളിലും ശക്തിയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്

3) OA, AB എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വലത് ട്രിപ്പിൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു.

അതിനാൽ, M = OA x F.

ഭ്രമണത്തിന്റെ രേഖീയ വേഗത കണ്ടെത്തുന്നു

വേഗത വികോണീയ പ്രവേഗത്തിൽ കറങ്ങുന്ന ദൃഢമായ ശരീരത്തിന്റെ പോയിന്റ് M wഒരു നിശ്ചിത അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും, യൂലർ ഫോർമുല v = w хr കൊണ്ടാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, ഇവിടെ r = ОМ, ഇവിടെ О എന്നത് അക്ഷത്തിന്റെ ചില നിശ്ചിത പോയിന്റാണ് (ചിത്രം 21 കാണുക).

ഈ പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് വെക്റ്റർ പ്രവർത്തനങ്ങൾ കൂടി നോക്കാം: വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നംഒപ്പം വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം (ഉടൻ ലിങ്ക്, ആർക്കാണ് ഇത് വേണ്ടത്)... കുഴപ്പമില്ല, ചിലപ്പോൾ പൂർണ്ണ സന്തോഷത്തിന് വേണ്ടിയും സംഭവിക്കുന്നു വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, അത് കൂടുതൽ കൂടുതൽ എടുക്കുന്നു. അങ്ങനെയാണ് വെക്റ്റർ ആസക്തി. നമ്മൾ അനലിറ്റിക് ജ്യാമിതിയുടെ കാടുകളിലേക്ക് കടക്കുകയാണെന്ന ധാരണ ഒരാൾക്ക് ലഭിച്ചേക്കാം. ഇത് സത്യമല്ല. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ, ബുരാറ്റിനോയ്ക്ക് ആവശ്യത്തിന് വിറക് ഉണ്ട് എന്നതൊഴിച്ചാൽ പൊതുവെ ആവശ്യത്തിന് വിറകില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, മെറ്റീരിയൽ വളരെ സാധാരണവും ലളിതവുമാണ് - സമാനതകളേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമല്ല സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം, സാധാരണ ജോലികൾ പോലും കുറവായിരിക്കും. അനലിറ്റിക് ജ്യാമിതിയിലെ പ്രധാന കാര്യം, പലർക്കും ബോധ്യപ്പെടും അല്ലെങ്കിൽ ഇതിനകം ബോധ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടാകും, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ തെറ്റുപറ്റരുത് എന്നതാണ്. ഒരു മന്ത്രമായി ആവർത്തിക്കുക, നിങ്ങൾ സന്തോഷവാനായിരിക്കും =)

ചക്രവാളത്തിൽ മിന്നൽ പോലെ ദൂരെ എവിടെയെങ്കിലും വെക്‌ടറുകൾ മിന്നിമറയുന്നുവെങ്കിൽ, അത് പ്രശ്നമല്ല, പാഠത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾവെക്റ്ററുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് വീണ്ടെടുക്കാനോ വീണ്ടെടുക്കാനോ. കൂടുതൽ തയ്യാറാക്കിയ വായനക്കാർക്ക് വിവരങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് പരിചയപ്പെടാം, പ്രായോഗിക സൃഷ്ടികളിൽ പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പൂർണ്ണമായ ശേഖരം ശേഖരിക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിച്ചു.

നിങ്ങളെ എങ്ങനെ ഉടൻ പ്രസാദിപ്പിക്കും? ഞാൻ ചെറുതായിരുന്നപ്പോൾ, രണ്ടോ മൂന്നോ പന്തുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ ജഗിൾ ചെയ്യാമെന്ന് എനിക്കറിയാമായിരുന്നു. സമർത്ഥമായി അത് മാറി. ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും എന്നതിനാൽ ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് തന്ത്രങ്ങൾ മെനയേണ്ടതില്ല സ്പേഷ്യൽ വെക്റ്ററുകൾ മാത്രം, കൂടാതെ രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പ്ലെയിൻ വെക്റ്ററുകൾ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടും. എന്തുകൊണ്ട്? ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ജനിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ് - വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്ററും മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നവും നിർവചിക്കുകയും ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് ഇതിനകം എളുപ്പമാണ്!

ഈ പ്രവർത്തനം, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിലെ അതേ രീതിയിൽ, ഉൾപ്പെടുന്നു രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ... ഇവ നശിക്കാത്ത അക്ഷരങ്ങളാകട്ടെ.

നടപടി തന്നെ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നുഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ: . മറ്റ് ഓപ്ഷനുകളുണ്ട്, പക്ഷേ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ ക്രോസ് ഉള്ള ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ പതിവാണ്.

ഉടനെ ചോദ്യം: അകത്തുണ്ടെങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നംരണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഇവിടെയും രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഗുണിക്കുന്നു എന്താണ് വ്യത്യാസം? വ്യക്തമായ വ്യത്യാസം, ഒന്നാമതായി, ഫലത്തിൽ:

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഫലം NUMBER ആണ്:

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഒരു വെക്‌ടറിൽ കലാശിക്കുന്നു:, അതായത്, ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകൾ ഗുണിച്ച് വീണ്ടും ഒരു വെക്റ്റർ നേടുന്നു. അടച്ച ക്ലബ്ബ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, അതിനാൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പേര്. വ്യത്യസ്ത വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യങ്ങളിൽ, പദവികളും വ്യത്യാസപ്പെടാം, ഞാൻ കത്ത് ഉപയോഗിക്കും.

ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവ്വചനം

ആദ്യം ഒരു ചിത്രത്തോടുകൂടിയ ഒരു നിർവചനം ഉണ്ടാകും, തുടർന്ന് അഭിപ്രായങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം: വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം വഴി നോൺ-കോളിനിയർവെക്‌ടറുകൾ, ഈ ക്രമത്തിൽ എടുത്തത്, VECTOR എന്ന് വിളിക്കുന്നു, നീളംഏത് സംഖ്യാപരമായി സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്; വെക്റ്റർ വെക്റ്ററുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനത്തിന് ശരിയായ ഓറിയന്റേഷൻ ഉള്ള തരത്തിൽ നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നു:

അസ്ഥികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിർവചനം വിശകലനം ചെയ്യുന്നു, രസകരമായ നിരവധി കാര്യങ്ങളുണ്ട്!

അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രധാന പോയിന്റുകൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

1) നിർവചനപ്രകാരം ചുവന്ന അമ്പടയാളങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ച യഥാർത്ഥ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ അല്ല... കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളുടെ കാര്യം കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമായിരിക്കും.

2) വെക്റ്ററുകൾ എടുക്കുന്നു കർശനമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ക്രമത്തിൽ: – "A" എന്നത് "bh" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു, "bh" മുതൽ "a" വരെ അല്ല. വെക്റ്റർ ഗുണനത്തിന്റെ ഫലംനീല നിറത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറാണ്. വെക്റ്ററുകൾ വിപരീത ക്രമത്തിൽ ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ തുല്യ നീളത്തിലും വിപരീത ദിശയിലും (ക്രിംസൺ കളർ) ലഭിക്കും. അതായത് സമത്വം സത്യമാണ് .

3) ഇനി നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം പരിചയപ്പെടാം. ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പോയിന്റാണ്! നീല വെക്‌ടറിന്റെ നീളം (അതിനാൽ, ക്രിംസൺ വെക്‌ടറും) വെക്‌ടറുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരരേഖയുടെ ഏരിയയ്ക്ക് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ, ഈ സമാന്തരരേഖ കറുപ്പ് നിറത്തിലാണ്.

കുറിപ്പ് : ഡ്രോയിംഗ് സ്കീമാറ്റിക് ആണ്, കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നാമമാത്രമായ നീളം സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമല്ല.

ജ്യാമിതീയ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു: സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിലൂടെ അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്... അതിനാൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല സാധുവാണ്:

സൂത്രവാക്യത്തിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് വെക്റ്ററിന്റെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചാണെന്നും വെക്റ്ററിനെക്കുറിച്ചല്ലെന്നും ഞാൻ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. എന്താണ് പ്രായോഗിക പോയിന്റ്? അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയുടെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എന്ന ആശയത്തിലൂടെ ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു എന്നതാണ് അർത്ഥം:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ പ്രധാന ഫോർമുല എടുക്കാം. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഡയഗണൽ (ചുവന്ന ഡോട്ടഡ് ലൈൻ) അതിനെ രണ്ട് തുല്യ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (ചുവപ്പ് ഷേഡിംഗ്) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:

4) വെക്‌ടർ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആണ് എന്നതാണ് ഒരു പ്രധാന വസ്തുത, അതായത്, ... തീർച്ചയായും, വിപരീത ദിശയിലുള്ള വെക്‌ടറും (ക്രിംസൺ അമ്പടയാളം) യഥാർത്ഥ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

5) വെക്റ്റർ അങ്ങനെയാണ് സംവിധാനം ചെയ്തിരിക്കുന്നത് അടിസ്ഥാനംഅതിനുണ്ട് ശരിയാണ്ഓറിയന്റേഷൻ. എന്ന പാഠത്തിൽ ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റംഞാൻ വേണ്ടത്ര വിശദമായി സംസാരിച്ചു വിമാന ഓറിയന്റേഷൻ, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സ്ഥലത്തിന്റെ ഓറിയന്റേഷൻ എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തും. ഞാൻ നിങ്ങളുടെ വിരലുകളിൽ വിശദീകരിക്കും വലംകൈ... മാനസികമായി സംയോജിപ്പിക്കുക ചൂണ്ടുവിരൽവെക്റ്റർ ഒപ്പം നടുവിരൽവെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച്. മോതിരവിരലും പൈങ്കിളിയുംഇത് നിങ്ങളുടെ കൈപ്പത്തിയിൽ അമർത്തുക. തൽഫലമായി പെരുവിരൽ- ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം മുകളിലേക്ക് നോക്കും. ഇതാണ് ശരിയായ അടിസ്ഥാനം (ചിത്രത്തിൽ ഇത്). ഇപ്പോൾ വെക്റ്ററുകൾ മാറ്റുക ( സൂചികയും നടുവിരലും) സ്ഥലങ്ങളിൽ, തൽഫലമായി, തള്ളവിരൽ തുറക്കും, ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഇതിനകം താഴേക്ക് നോക്കും. ഇതും വലതുപക്ഷ അടിസ്ഥാനമാണ്. ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചോദ്യം ഉണ്ടായിരിക്കാം: ഇടതുപക്ഷ ഓറിയന്റേഷന്റെ അടിസ്ഥാനം എന്താണ്? ഒരേ വിരലുകൾക്ക് "അസൈൻ ചെയ്യുക" ഇടതു കൈവെക്റ്ററുകൾ, ഇടത് അടിസ്ഥാനവും ഇടത്തെ ഓറിയന്റേഷനും നേടുക (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തള്ളവിരൽ താഴ്ന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും)... ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ അടിത്തറകൾ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിലേക്ക് സ്ഥലത്തെ "വളച്ചൊടിക്കുക" അല്ലെങ്കിൽ ഓറിയന്റുചെയ്യുന്നു. ഈ ആശയം വിദൂരമായതോ അമൂർത്തമായതോ ആയ ഒന്നായി കണക്കാക്കരുത് - ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ഥലത്തിന്റെ ഓറിയന്റേഷൻ ഏറ്റവും സാധാരണമായ കണ്ണാടിയാണ് മാറ്റുന്നത്, കൂടാതെ നിങ്ങൾ "പ്രതിഫലിക്കുന്ന വസ്തുവിനെ നോക്കുന്ന ഗ്ലാസിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ", പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ ഇത് "യഥാർത്ഥ" മായി സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. വഴിയിൽ, കണ്ണാടിയിൽ മൂന്ന് വിരലുകൾ കൊണ്ടുവന്ന് പ്രതിഫലനം വിശകലനം ചെയ്യുക ;-)

... നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അറിയുന്നത് എത്ര നല്ലതാണ് വലത്തും ഇടത്തും ഓറിയന്റഡ്അടിസ്ഥാനങ്ങൾ, കാരണം ഓറിയന്റേഷനിലെ മാറ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചില ലക്ചറർമാരുടെ പ്രസ്താവനകൾ ഭയങ്കരമാണ് =)

കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം

നിർവചനം വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറായിരിക്കുമ്പോൾ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, അവ ഒരു നേർരേഖയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യാം, കൂടാതെ നമ്മുടെ സമാന്തരരേഖയും ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് "മടയുന്നു". ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നതുപോലെ അത്തരം മേഖലകൾ, അധഃപതിക്കുകസമാന്തരരേഖ പൂജ്യമാണ്. സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു - പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ 180 ഡിഗ്രിയുടെ സൈൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് ഏരിയ പൂജ്യമാണ്.

അങ്ങനെ, എങ്കിൽ, പിന്നെ ഒപ്പം ... ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം തന്നെ പൂജ്യം വെക്റ്ററിന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഇത് പലപ്പോഴും അവഗണിക്കപ്പെടുകയും പൂജ്യമാണെന്ന് എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു പ്രത്യേക കേസ് വെക്റ്ററിന്റെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നമാണ്:

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ത്രിമാന വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റി പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും, കൂടാതെ ഈ പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം ത്രികോണമിതി പട്ടികഅതിൽ നിന്ന് സൈൻ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ.

ശരി, നമുക്ക് തീ കൊളുത്താം:

ഉദാഹരണം 1

a) എങ്കിൽ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക

b) വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: ഇല്ല, ഇതൊരു അക്ഷരത്തെറ്റല്ല, വ്യവസ്ഥയുടെ ക്ലോസുകളിലെ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഞാൻ മനഃപൂർവം തന്നെയാക്കി. കാരണം പരിഹാരങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പന വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും!

a) വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് നീളംവെക്റ്റർ (വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം). അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ച് ചോദ്യം ചോദിച്ചതിനാൽ, ഉത്തരത്തിൽ ഞങ്ങൾ അളവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നു - യൂണിറ്റുകൾ.

b) വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് സമചതുരം Samachathuramവെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരരേഖ. ഈ സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്:

ഉത്തരം:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ കുറിച്ചുള്ള ഉത്തരം ചോദ്യത്തിന് പുറത്താണ്, ഞങ്ങളോട് ചോദിച്ചത് ശ്രദ്ധിക്കുക ഫിഗർ ഏരിയയഥാക്രമം, അളവ് ചതുര യൂണിറ്റുകളാണ്.

വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് എന്താണ് കണ്ടെത്തേണ്ടതെന്ന് ഞങ്ങൾ എപ്പോഴും നോക്കുന്നു, ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു വ്യക്തമായഉത്തരം. ഇത് ലിറ്ററലിസം പോലെ തോന്നാം, പക്ഷേ അധ്യാപകരിൽ ആവശ്യത്തിന് അക്ഷരാർത്ഥികൾ ഉണ്ട്, നല്ല അവസരങ്ങളോടെ ടാസ്ക് പുനരവലോകനത്തിനായി മടങ്ങും. ഇത് പ്രത്യേകിച്ച് പിരിമുറുക്കമല്ലെങ്കിലും - ഉത്തരം തെറ്റാണെങ്കിൽ, ആ വ്യക്തിക്ക് ലളിതമായ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാകുന്നില്ലെന്നും കൂടാതെ / അല്ലെങ്കിൽ ചുമതലയുടെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കുന്നില്ലെന്നും ഒരാൾക്ക് തോന്നും. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും മറ്റ് വിഷയങ്ങളിലും ഏത് പ്രശ്‌നവും പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഈ നിമിഷം എല്ലായ്പ്പോഴും നിയന്ത്രണത്തിലായിരിക്കണം.

"en" എന്ന വലിയ അക്ഷരം എവിടെ പോയി? തത്വത്തിൽ, ഇത് അധികമായി പരിഹാരത്തിൽ കുടുങ്ങിയേക്കാം, പക്ഷേ റെക്കോർഡിംഗ് ചെറുതാക്കാൻ, ഞാൻ ചെയ്തില്ല. എല്ലാവരും അത് മനസ്സിലാക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു, ഇത് ഒരേ കാര്യത്തിന്റെ ഒരു പദവിയാണ്.

സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ജനപ്രിയ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 2

എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിർവചനത്തിനുള്ള അഭിപ്രായങ്ങളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

പ്രായോഗികമായി, ചുമതല വളരെ സാധാരണമാണ്, ത്രികോണങ്ങൾക്ക് പൊതുവെ നിങ്ങളെ പീഡിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ചില പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്, എന്നിരുന്നാലും, ഞാൻ ഈ പട്ടികയിൽ അവരെ ഉൾപ്പെടുത്തും.

അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററുകൾക്കും അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾക്കും, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ സാധുവാണ്:

1) മറ്റ് വിവര സ്രോതസ്സുകളിൽ, ഈ ഇനം സാധാരണയായി പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നില്ല, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. അങ്ങനെ ഇരിക്കട്ടെ.

2) - സ്വത്തും മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, ചിലപ്പോൾ അതിനെ വിളിക്കുന്നു ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി... മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രമം പ്രധാനമാണ്.

3) - കോമ്പിനേഷൻ അല്ലെങ്കിൽ സഹകാരിഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് പുറത്ത് സ്ഥിരതകൾ തടസ്സമില്ലാതെ നീക്കംചെയ്യുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, അവർ അവിടെ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്?

4) - വിതരണം അല്ലെങ്കിൽ വിതരണക്കാരൻഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ. ബ്രാക്കറ്റ് വിപുലീകരണത്തിലും പ്രശ്നങ്ങളില്ല.

ഒരു പ്രകടനമെന്ന നിലയിൽ, ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

ഉദാഹരണം 3

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം:വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് വീണ്ടും ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് നമ്മുടെ ലഘുചിത്രം എഴുതാം:

(1) അനുബന്ധ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വിഭജനത്തിന് പുറത്തുള്ള സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ ഞങ്ങൾ നീക്കുന്നു.

(2) മൊഡ്യൂളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കോൺസ്റ്റന്റ് നീക്കുന്നു, അതേസമയം മൊഡ്യൂൾ മൈനസ് ചിഹ്നം "തിന്നുന്നു". ദൈർഘ്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

(3) ഇനി പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്.

ഉത്തരം:

കുറച്ച് വിറക് തീയിൽ ഇടാനുള്ള സമയമാണിത്:

ഉദാഹരണം 4

വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു ... "tse", "de" എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ തന്നെ വെക്‌ടറുകളുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്നതാണ് ക്യാച്ച്. ഇവിടെയുള്ള അൽഗോരിതം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ് കൂടാതെ പാഠത്തിന്റെ 3 ഉം 4 ഉം ഉദാഹരണങ്ങളെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം... വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് പരിഹാരം മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളായി വിഭജിക്കാം:

1) ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, വാസ്തവത്തിൽ, വെക്‌ടറിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്‌ടറിനെ പ്രകടിപ്പിക്കുക... ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഇതുവരെ ഒരു വാക്കുമില്ല!

(1) വെക്റ്റർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

(2) വിതരണ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു.

(3) അനുബന്ധ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്ക് പുറത്ത് എല്ലാ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും ഞങ്ങൾ നീക്കുന്നു. ഒരു ചെറിയ അനുഭവം ഉപയോഗിച്ച്, പ്രവർത്തനങ്ങൾ 2 ഉം 3 ഉം ഒരേസമയം നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.

(4) ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദങ്ങൾ ഒരു സുഖപ്രദമായ പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം പൂജ്യത്തിന് (പൂജ്യം വെക്റ്റർ) തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തെ ടേമിൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

(5) ഞങ്ങൾ സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

തൽഫലമായി, വെക്‌ടറിനെ വെക്‌ടറിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിച്ചു, അത് നേടേണ്ടതുണ്ട്:

2) രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം ഉദാഹരണം 3 പോലെയാണ്:

3) ആവശ്യമായ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

ഘട്ടങ്ങൾ 2-3 തീരുമാനങ്ങൾ ഒരു വരിയിൽ പൂർത്തിയാക്കാം.

ഉത്തരം:

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നം ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകളിൽ വളരെ സാധാരണമാണ്, ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 5

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

ട്യൂട്ടോറിയലിന്റെ അവസാനം ഒരു ചെറിയ പരിഹാരവും ഉത്തരവും. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ എത്രമാത്രം ശ്രദ്ധാലുവായിരുന്നുവെന്ന് നോക്കാം ;-)

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം

സൂത്രവാക്യം വളരെ ലളിതമാണ്: ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ മുകളിലെ വരിയിൽ ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ എഴുതുന്നു, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികളിൽ ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "ഇട്ടു", ഞങ്ങൾ ഇടുന്നു കർശനമായ ക്രമത്തിൽ- ആദ്യം വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "ve", പിന്നെ വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "ഡബിൾ-വെ". വെക്റ്ററുകൾ മറ്റൊരു ക്രമത്തിൽ ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യണം:

ഉദാഹരണം 10

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്പേസ് വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക:
a)
b)

പരിഹാരം: ഈ പാഠത്തിലെ ഒരു പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് പരിശോധന: വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (പൂജ്യം വെക്റ്റർ): .

a) ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറല്ല.

b) ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

ഉത്തരം: എ) കോളിനിയർ അല്ല, ബി)

ഇവിടെ, ഒരുപക്ഷേ, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള എല്ലാ അടിസ്ഥാന വിവരങ്ങളും.

വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്ന നിരവധി ജോലികൾ ഇല്ലാത്തതിനാൽ ഈ വിഭാഗം വളരെ വലുതായിരിക്കില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാം നിർവചനം, ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, രണ്ട് പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

വെക്‌ടറുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം മൂന്ന് വെക്‌ടറുകളുടെ ഗുണനമാണ്:

അങ്ങനെ അവർ ഒരു ചെറിയ തീവണ്ടിയുമായി വരിവരിയായി കാത്തിരിക്കുന്നു, അവർക്ക് കണ്ടുപിടിക്കാൻ കാത്തിരിക്കാനാവില്ല.

ആദ്യം, വീണ്ടും നിർവചനവും ചിത്രവും:

നിർവ്വചനം: സമ്മിശ്ര ജോലി നോൺ-കോപ്ലനാർവെക്‌ടറുകൾ, ഈ ക്രമത്തിൽ എടുത്തത്വിളിച്ചു ഒരു സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ അളവ്, നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചത്, അടിസ്ഥാനം ശരിയാണെങ്കിൽ “+” ചിഹ്നവും അടിസ്ഥാനം അവശേഷിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ “-” ചിഹ്നവും നൽകുന്നു.

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് പൂർത്തിയാക്കാം. നമുക്ക് അദൃശ്യമായ വരകൾ ഒരു ഡോട്ട് ലൈൻ ഉപയോഗിച്ച് വരച്ചിരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് നിർവചനത്തിലേക്ക് കടക്കാം:

2) വെക്റ്ററുകൾ എടുക്കുന്നു ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ, അതായത്, ഉൽപ്പന്നത്തിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രമപ്പെടുത്തൽ, നിങ്ങൾ ഊഹിക്കുന്നതുപോലെ, അനന്തരഫലങ്ങളില്ലാതെ കടന്നുപോകുന്നില്ല.

3) ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ച് അഭിപ്രായമിടുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞാൻ വ്യക്തമായ ഒരു വസ്തുത ശ്രദ്ധിക്കും: വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഒരു NUMBER ആണ്:. വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യത്തിൽ, ഡിസൈൻ കുറച്ച് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം, ഞാൻ ഒരു മിശ്രിത സൃഷ്ടിയെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ "pe" എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലം.

എ-പ്രിയറി ഒരു സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ അളവാണ് മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നംവെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് (ചിത്രം ചുവന്ന വെക്റ്ററുകളും കറുത്ത വരകളും ഉപയോഗിച്ച് വരച്ചിരിക്കുന്നു). അതായത്, ഈ സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ വോളിയത്തിന് തുല്യമാണ് സംഖ്യ.

കുറിപ്പ് : ഡ്രോയിംഗ് സ്കീമാറ്റിക് ആണ്.

4) ബേസ്, ബഹിരാകാശ ഓറിയന്റേഷൻ എന്ന ആശയത്തിൽ നമുക്ക് പുതുതായി വിഷമിക്കേണ്ടതില്ല. വോളിയത്തിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ചേർക്കാം എന്നതാണ് അവസാന ഭാഗത്തിന്റെ അർത്ഥം. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു മിക്സഡ് വർക്ക് നെഗറ്റീവ് ആകാം :.

വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തര പൈപ്പിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് എന്ന ആശയത്തിൽ നമ്മൾ താമസിക്കും. ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകും, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു സൂത്രവാക്യം എഴുതുക, അതിന്റെ ഗുണങ്ങളെ പട്ടികപ്പെടുത്തുകയും ന്യായീകരിക്കുകയും ചെയ്യും. അതിനുശേഷം, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിൽ ഞങ്ങൾ താമസിക്കുകയും വിവിധ സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവ്വചനം.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം നിർവചിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ട്രിപ്പിൾ വെക്റ്ററുകളുടെ ഓറിയന്റേഷൻ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് വെക്റ്ററുകൾ മാറ്റിവെക്കുക. വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച്, ട്രിപ്പിൾ വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം. വെക്‌ടറിൽ നിന്നുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ ഭ്രമണം എങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് വെക്‌ടറിന്റെ അറ്റത്ത് നിന്ന് നോക്കാം. ഏറ്റവും ചെറിയ ഭ്രമണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശരിയാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം - ഇടത്തെ.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകൾ എടുക്കുന്നു. നമുക്ക് വെക്റ്ററുകളും പോയിന്റ് എയിൽ നിന്നും മാറ്റിവെക്കാം. രണ്ടിനും ഒപ്പം ലംബമായി ചില വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കാം. വ്യക്തമായും, ഒരു വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഒരു ദിശയോ വിപരീതമോ നൽകാം (ചിത്രം കാണുക).

വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച്, ക്രമീകരിച്ച ട്രിപ്പിൾ വെക്‌ടറുകൾ വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനത്തോട് അടുക്കുന്നു. ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കായി ഇത് നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നംകൂടാതെ, ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിനെ വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ ഉൽപന്നം എന്ന് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം നൽകാം, ഇത് നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഒപ്പം ഒരു വെക്‌ടറാണ്, എവിടെയാണ് കോർഡിനേറ്റ് വെക്‌ടറുകൾ.

ഈ നിർവ്വചനം കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ നമുക്ക് ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം നൽകുന്നു.

മൂന്നാം ഓർഡറിന്റെ ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് രൂപത്തിൽ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിന്റെ ആദ്യ വരി യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ ആണ്, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേതിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്റ്റർ:

ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കും (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ലേഖനം കാണുക):

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് രൂപം ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനവുമായി പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. മാത്രമല്ല, ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഈ രണ്ട് നിർവചനങ്ങളും തുല്യമാണ്. ലേഖനത്തിന്റെ അവസാനം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പുസ്തകത്തിൽ ഈ വസ്തുതയുടെ തെളിവ് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ.

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റ് ഒരു മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എളുപ്പത്തിൽ ന്യായീകരിക്കപ്പെടുന്നു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ:

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റി-കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

എ-പ്രിയറി ഒപ്പം ... രണ്ട് വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്താൽ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ മൂല്യം വിപരീതമാകുമെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനാൽ, , വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആന്റി കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വത്ത് തെളിയിക്കുന്നു.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം - ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും.

അടിസ്ഥാനപരമായി മൂന്ന് തരം ജോലികൾ ഉണ്ട്.

ആദ്യ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും നൽകിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു .

ഉദാഹരണം.

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക, അറിയാമെങ്കിൽ .

പരിഹാരം.

വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌റ്റർ ഉൽപന്നത്തിന്റെ നീളം വെക്‌ടറുകളുടെ നീളത്തിന്റെയും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെയും ഉൽപന്നത്തിന് തുല്യമാണെന്നും നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്കറിയാം. .

ഉത്തരം:

.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിൽ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം, അതിന്റെ നീളം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റെന്തെങ്കിലും നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി അന്വേഷിക്കുന്നു. ഒപ്പം .

വ്യത്യസ്ത ഓപ്ഷനുകൾ ഇവിടെ സാധ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളല്ല, അത് വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഫോമിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകളിലെ അവയുടെ വികാസം കൂടാതെ, അല്ലെങ്കിൽ വെക്റ്ററുകൾ അവയുടെ ആരംഭ, അവസാന പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം.

നമുക്ക് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു ... അവരുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, കോർഡിനേറ്റുകളിലെ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എഴുതിയാൽ ഞങ്ങൾ അതേ ഫലത്തിൽ എത്തിച്ചേരും

ഉത്തരം:

.

ഉദാഹരണം.

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക, ഒരു ദീർഘചതുര കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ എവിടെയാണ്.

പരിഹാരം.

ആദ്യം, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ.

വെക്‌ടറുകൾക്കും കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉള്ളതിനാൽ (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്‌ടറിന്റെ ആർട്ടിക്കിൾ കോർഡിനേറ്റുകൾ കാണുക), തുടർന്ന് ഒരു ക്രോസ് പ്രൊഡക്‌റ്റിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്കുണ്ട്.

അതായത്, ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്.

വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ സ്‌ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സ്‌ക്വയർ റൂട്ടായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിഭാഗത്തിലെ വെക്‌ടറിന്റെ ദൈർഘ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ ഈ ഫോർമുല നേടി):

ഉത്തരം:

.

ഉദാഹരണം.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ മൂന്ന് പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ലംബമായും അതേ സമയം ചില വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

വെക്‌ടറുകൾക്കും കോർഡിനേറ്റുകൾക്കും യഥാക്രമം ഉണ്ട് (പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ലേഖനം കാണുക). വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയാണെങ്കിൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഇത് k, k എന്നിവയ്‌ക്ക് ലംബമായ ഒരു വെക്‌ടറാണ്, അതായത്, ഇത് നമ്മുടെ പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. കണ്ടെത്തുക

ഉത്തരം:

- ലംബമായ വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്ന്.

മൂന്നാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ജോലികളിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള വൈദഗ്ദ്ധ്യം പരിശോധിക്കപ്പെടുന്നു. പ്രോപ്പർട്ടികൾ പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, അനുബന്ധ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.

വെക്‌ടറുകളും ലംബവുമാണ്, അവയുടെ നീളം യഥാക്രമം 3 ഉം 4 ഉം ആണ്. ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വിതരണത്തിന്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് എഴുതാം

കോമ്പിനേഷൻ പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം, അവസാന എക്സ്പ്രഷനിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ചിഹ്നത്തിന് പുറത്തുള്ള സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് ഒപ്പം , പിന്നെ.

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം വിരുദ്ധമായതിനാൽ, പിന്നെ.

അതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ തുല്യതയിലെത്തി .

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച് വെക്റ്ററുകളും ലംബവുമാണ്, അതായത്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ തുല്യമാണ്. അതായത്, ആവശ്യമായ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള എല്ലാ ഡാറ്റയും ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട്

ഉത്തരം:

.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം ... ഒരു ഹൈസ്കൂൾ ജ്യാമിതി കോഴ്‌സിൽ നിന്ന്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും നീളത്തിന്റെ പകുതി ഗുണനഫലമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിലൂടെ. തൽഫലമായി, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം വെക്റ്ററുകളും വശങ്ങളും ഉള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടി തുല്യമാണ്, അവ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മാറ്റിവെച്ചാൽ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നീളം, വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും ഉള്ള ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇതാണ്.