ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ലോഗരിതമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ

പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

1. logax + loga = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ

ലോഗ്6 4 + ലോഗ്6 9.

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം.

ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിച്ചാൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x >

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഇതും കാണുക:

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ഘാതം 2.718281828 ആണ്. എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഓർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിയമം പഠിക്കാൻ കഴിയും: എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 2.7 ന് തുല്യമാണ്, ലിയോ നിക്കോളാവിച്ച് ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ഈ നിയമം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഘാതകത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യവും ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതിയും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷനുകൾ

ഉദാഹരണം 1.
എ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

2.

3.

4. എവിടെ .

ഉദാഹരണം 2. x എങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 3. ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗക്സും ലോഗേയും. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. logax + loga = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പല പരിശോധനകളും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക. , അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 24; 49 = 72. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ. ലോഗരിതം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങൾ.

അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: log2 7. ലോഗ്2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: .

വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

log25 64 = log5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും ചതുരം എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ഇതും കാണുക:

a അടിസ്ഥാനമാക്കാനുള്ള b യുടെ ലോഗരിതം പദപ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക എന്നതിനർത്ഥം തുല്യത തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പവർ x () കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, മുകളിലുള്ള സവിശേഷതകൾ അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കൃത്രിമത്വങ്ങളിലൂടെ ബാക്കിയുള്ള വിദേശ ഗുണങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ (3.4) തുകയുടെയും വ്യത്യാസത്തിൻ്റെയും ഫോർമുല കണക്കാക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും കാണാറുണ്ട്. ബാക്കിയുള്ളവ കുറച്ച് സങ്കീർണ്ണമാണ്, എന്നാൽ പല ജോലികളിലും സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനും അവ ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ സാധാരണ കേസുകൾ

സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങളിൽ ചിലത് ബേസ് പത്തോ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലോ രണ്ടോ ആണെങ്കിലും ഉള്ളവയാണ്.
അടിസ്ഥാന പത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം സാധാരണയായി ദശാംശ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് lg(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

റെക്കോർഡിംഗിൽ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടില്ലെന്ന് റെക്കോർഡിംഗിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം എന്നത് ഒരു ഘാതം (ln(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു) ആണ്.

ഘാതം 2.718281828 ആണ്. എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഓർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിയമം പഠിക്കാൻ കഴിയും: എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 2.7 ന് തുല്യമാണ്, ലിയോ നിക്കോളാവിച്ച് ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്. ഈ നിയമം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഘാതകത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യവും ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതിയും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

അടിസ്ഥാന രണ്ടിലേക്കുള്ള മറ്റൊരു പ്രധാന ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നു

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് വേരിയബിൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്

ഇൻ്റഗ്രൽ അല്ലെങ്കിൽ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ലോഗരിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ബന്ധമാണ്

ലോഗരിതം, ലോഗരിതം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിവിധ തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നൽകിയിരിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ മതിയാകും. മെറ്റീരിയൽ മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നതിന്, സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ നിന്നും സർവ്വകലാശാലകളിൽ നിന്നുമുള്ള പൊതുവായ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം ഞാൻ നൽകും.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷനുകൾ

ഉദാഹരണം 1.
എ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

2.
ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച് നമുക്കുണ്ട്

3.
പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

4. എവിടെ .

സങ്കീർണ്ണമെന്ന് തോന്നുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗം നിരവധി നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഉദാഹരണം 2. x എങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. കണക്കുകൂട്ടലിനായി, അവസാന ടേം 5, 13 പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ അത് രേഖപ്പെടുത്തുകയും വിലപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗങ്ങളെ തുല്യമാക്കുന്നു

ലോഗരിതംസ്. ആദ്യ നില.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: അതിൻ്റെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വഴി ലോഗരിതം എഴുതാൻ വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിതം എടുക്കാം.

ഇത് ലോഗരിതങ്ങളുമായും അവയുടെ ഗുണങ്ങളുമായും ഉള്ള നമ്മുടെ പരിചയത്തിൻ്റെ തുടക്കം മാത്രമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പരിശീലിക്കുക, നിങ്ങളുടെ പ്രായോഗിക കഴിവുകൾ സമ്പുഷ്ടമാക്കുക - ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നേടുന്ന അറിവ് നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ ആവശ്യമായി വരും. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ പഠിച്ച ശേഷം, നിങ്ങളുടെ അറിവ് തുല്യമായ മറ്റൊരു വിഷയത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കും - ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങൾ...

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗക്സും ലോഗേയും. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. logax + loga = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log6 4 + log6 9.

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പല പരിശോധനകളും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക. , അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 24; 49 = 72. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: log2 7. ലോഗ്2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: .

വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

log25 64 = log5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും ചതുരം എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

നമുക്ക് തുടങ്ങാം ഒന്നിൻ്റെ ലോഗരിതം സവിശേഷതകൾ. അതിൻ്റെ രൂപീകരണം ഇപ്രകാരമാണ്: ഏകതയുടെ ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, ലോഗ് എ 1=0ഏതെങ്കിലും a>0, a≠1. തെളിവ് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല: മേൽപ്പറഞ്ഞ വ്യവസ്ഥകൾ a>0, a≠1 എന്നിവ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഏതെങ്കിലും ഒരു 0 =1 എന്നതിനാൽ, ലോഗരിതം നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഉടൻ തന്നെ തെളിയിക്കേണ്ട സമത്വ ലോഗ് a 1=0 പിന്തുടരുന്നു.

പരിഗണിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം: ലോഗ് 3 1=0, ലോഗ്1=0 ഒപ്പം .

നമുക്ക് അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടിയിലേക്ക് പോകാം: അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതാണ്, ലോഗ് a a=1 a>0, a≠1 എന്നതിന്. തീർച്ചയായും, ഏതെങ്കിലും a എന്നതിന് 1 =a ആയതിനാൽ, ലോഗരിതം ലോഗ് a = 1 ൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ തുല്യത ലോഗ് 5 5=1, ലോഗ് 5.6 5.6, lne=1 എന്നിവയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ഒപ്പം .

രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം x, y എന്നിവ ഈ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്: log a (x y)=ലോഗ് a x+log a y, a>0 , a≠1 . ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ബിരുദത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ കാരണം a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, പ്രധാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി പ്രകാരം ഒരു ലോഗ് a x =x, ഒരു ലോഗ് a y =y, തുടർന്ന് ഒരു ലോഗ് a x ·a ലോഗ് a y =x·y. അങ്ങനെ, ഒരു ലോഗ് a x+log a y =x·y, അതിൽ നിന്ന്, ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, തുല്യത തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കാം: ലോഗ് 5 (2 3)=ലോഗ് 5 2+ലോഗ് 5 3 ഒപ്പം .

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം എന്ന ഗുണത്തെ x 1, x 2, ..., x n എന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ പരിമിത സംഖ്യ n ൻ്റെ ഗുണനത്തിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം. ലോഗ് a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= ലോഗ് എ x 1 +ലോഗ് എ x 2 +…+ലോഗ് എ x എൻ . ഈ സമത്വം പ്രശ്നങ്ങളില്ലാതെ തെളിയിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം 4, e, കൂടാതെ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ മൂന്ന് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം x ഉം y ഉം ഈ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫോർമുലയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ a>0, a≠1, x, y എന്നിവ ചില പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്. ഈ ഫോർമുലയുടെ സാധുതയും ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഫോർമുലയും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: മുതൽ , പിന്നെ ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം.

ലോഗരിതം ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: .

നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം സ്വത്ത്. ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ലോഗരിതം, ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ബേസ് മോഡുലസിൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ ഗുണനത്തിനും ലോഗരിതംക്കും തുല്യമാണ്. ഒരു ശക്തിയുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് ഒരു ഫോർമുലയായി എഴുതാം: log a b p =p·log a |b|, ഇവിടെ a>0, a≠1, b, p എന്നിവ ഡിഗ്രി b p അർത്ഥമാക്കുന്നതും b p >0 എന്നതുമായ സംഖ്യകളാണ്.

ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി പോസിറ്റീവ് ബി എന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി, b എന്ന സംഖ്യയെ ഒരു log a b ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു, തുടർന്ന് b p =(a log a b) p , കൂടാതെ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം, അധികാരത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം കാരണം, p·log a b ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ നമ്മൾ b p =a p·log a b എന്ന സമത്വത്തിലേക്ക് വരുന്നു, അതിൽ നിന്ന് ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, log a b p =p·log a b എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി നെഗറ്റീവ് ബി ആണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. നെഗറ്റീവ് b എന്നതിനുള്ള log a b p എന്ന പദപ്രയോഗം p എന്ന എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക് മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ (ബി പി ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, അല്ലാത്തപക്ഷം ലോഗരിതം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല), ഈ സാഹചര്യത്തിൽ b p =|b| പി. പിന്നെ b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, എവിടെ നിന്ന് ലോഗ് a b p =p·log a |b| .

ഉദാഹരണത്തിന്, കൂടാതെ ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

മുമ്പത്തെ വസ്തുവിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു റൂട്ടിൽ നിന്നുള്ള ലോഗരിതം സ്വത്ത്: nth റൂട്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ്റെ ലോഗരിതം കൊണ്ട് 1/n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, , ഇവിടെ a>0, a≠1, n എന്നത് ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, b>0.

തെളിവ് തുല്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് (കാണുക), അത് ഏത് പോസിറ്റീവ് ബിക്കും സാധുതയുള്ളതാണ്, കൂടാതെ ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം സ്വത്തും: .

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: .

ഇനി നമുക്ക് തെളിയിക്കാം ഒരു പുതിയ ലോഗരിതം ബേസിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലദയയുള്ള . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമത്വ ലോഗ് c b=log a b·log c a യുടെ സാധുത തെളിയിച്ചാൽ മതി. അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി, b എന്ന സംഖ്യയെ ഒരു log a b ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, തുടർന്ന് log c b=log c a log a b . ഡിഗ്രിയുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് ഇത് ശേഷിക്കുന്നു: ലോഗ് സി എ ലോഗ് എ ബി =ലോഗ് എ ബി ലോഗ് സി എ. ഇത് സമത്വ ലോഗ് c b=log a b·log c a തെളിയിക്കുന്നു, അതായത് ലോഗരിതം ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയും തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് കാണിക്കാം: കൂടാതെ .

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം "സൗകര്യപ്രദമായ" അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രകൃതിദത്തമോ ദശാംശമോ ആയ ലോഗരിതങ്ങളിലേക്ക് പോകാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം, അതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലോഗരിതം പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം കണക്കാക്കാം. ഒരു പുതിയ ലോഗരിതം ബേസിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം, ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, മറ്റ് ബേസുകളുള്ള ചില ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയുമ്പോൾ തന്നിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ അനുവദിക്കുന്നു.

ഫോമിൻ്റെ c=b എന്നതിനായുള്ള ഒരു പുതിയ ലോഗരിതം ബേസിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. . ഇത് ലോഗ് എ ബി, ലോഗ് ബി എ - എന്നിവ കാണിക്കുന്നു. ഉദാ, .

ഫോർമുലയും പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട് , ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഞങ്ങളുടെ വാക്കുകൾ സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, ഫോമിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ ഇത് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും. നമുക്ക് ഉണ്ട് . ഫോർമുല തെളിയിക്കാൻ ലോഗരിതം a ൻ്റെ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിന് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി: .

ലോഗരിതങ്ങളുടെ താരതമ്യത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ തെളിയിക്കാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു.

ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും b 1, b 2, b 1 എന്നിവ തെളിയിക്കാം ലോഗ് a b 2 , ഒപ്പം a> 1 ന് - അസമത്വ ലോഗ് a b 1

അവസാനമായി, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ലിസ്റ്റുചെയ്ത ഗുണങ്ങളിൽ അവസാനത്തേത് തെളിയിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ ആദ്യ ഭാഗത്തിൻ്റെ തെളിവിലേക്ക് നമുക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്താം, അതായത്, ഒരു 1 >1, 2 >1, 1 എന്നിവ തെളിയിക്കും. 1 യഥാർത്ഥ ലോഗ് a 1 b>ലോഗ് a 2 b ആണ്. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ ശേഷിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകൾ സമാനമായ തത്ത്വമനുസരിച്ച് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

നമുക്ക് വിപരീത രീതി ഉപയോഗിക്കാം. ഒരു 1 >1, a 2 >1, a 1 എന്നിവയ്ക്കാണെന്ന് കരുതുക 1 യഥാർത്ഥ ലോഗ് a 1 b≤log a 2 b ആണ്. ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഈ അസമത്വങ്ങളെ ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം ഒപ്പം യഥാക്രമം, അവയിൽ നിന്ന് അത് യഥാക്രമം b a 1 ≤log b a 2 ഉം log b a 1 ≥log b a 2 ഉം പിന്തുടരുന്നു. തുടർന്ന്, ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ അനുസരിച്ച്, തുല്യതകൾ b log b a 1 ≥b log b a 2, b log b a 1 ≥b log b a 2 എന്നിവ പിടിക്കണം, അതായത് a 1 ≥a 2. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ a 1 എന്ന അവസ്ഥയ്ക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തി

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• കോൾമോഗോറോവ് എ.എൻ., അബ്രമോവ് എ.എം., ഡഡ്നിറ്റ്സിൻ യു.പി. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 10 - 11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
• ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി. ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതികവിദ്യാലയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ).

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗ് എ xഒപ്പം ലോഗ് എ വൈ. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. ലോഗ് എ x+ ലോഗ് എ വൈ=ലോഗ് എ (x · വൈ);
2. ലോഗ് എ x- ലോഗ് എ വൈ=ലോഗ് എ (x : വൈ).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9.

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9 = ലോഗ് 6 (4 9) = ലോഗ് 6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 (48: 3) = ലോഗ് 2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5 = ലോഗ് 3 (135: 5) = ലോഗ് 3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പല പരിശോധനകളും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിച്ചാൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥമാക്കുന്നു: എ > 0, എ ≠ 1, x> 0. ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ ഫോർമുലകളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക, അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 7 49 6 .

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
ലോഗ് 7 49 6 = 6 ലോഗ് 7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ലോഗ് 2 7. ലോഗ് 2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗ് നൽകട്ടെ എ x. പിന്നെ ഏത് നമ്പറിനും സിഅത്തരം സി> 0 ഒപ്പം സി≠ 1, സമത്വം ശരിയാണ്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങൾ ഇട്ടാൽ സി = x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 5 16 ലോഗ് 2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: ലോഗ് 5 16 = ലോഗ് 5 2 4 = 4ലോഗ് 5 2; ലോഗ് 2 25 = ലോഗ് 2 5 2 = 2ലോഗ് 2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ കേസിൽ, നമ്പർ എൻവാദത്തിൽ നിലകൊള്ളുന്ന ഡിഗ്രിയുടെ സൂചകമായി മാറുന്നു. നമ്പർ എൻതികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി.

വാസ്തവത്തിൽ, നമ്പർ ആണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും ബിസംഖ്യയെ അത്തരം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക ബിഈ ശക്തിക്ക് നമ്പർ നൽകുന്നു എ? അത് ശരിയാണ്: നിങ്ങൾക്ക് ഇതേ നമ്പർ ലഭിക്കും എ. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ലോഗ് 25 64 = ലോഗ് 5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗ് എ എ= 1 ഒരു ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റാണ്. ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക: ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം എഇതിൽ നിന്ന് തന്നെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ് എ 1 = 0 എന്നത് ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യമാണ്. അടിസ്ഥാനം എഎന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം എ 0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ഫോൺ നമ്പർ, ഇമെയിൽ വിലാസം മുതലായവ ഉൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ, അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകൾ, മറ്റ് ഇവൻ്റുകൾ, വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ എന്നിവയുമായി നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമങ്ങൾ, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്തെ സർക്കാർ അധികാരികളുടെ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതങ്ങളും അവയ്‌ക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളും തികച്ചും സമഗ്രവും ലളിതവുമാണ്. അതിനാൽ, ഈ വിഷയം മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ടാകില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും നിങ്ങൾ പഠിച്ച ശേഷം, ഏത് പ്രശ്നവും സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഈ വിഷയവുമായുള്ള ആദ്യ പരിചയം വിരസവും അർത്ഥശൂന്യവുമാണെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും, 16-ആം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പല പ്രശ്നങ്ങളും ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചാണ് പരിഹരിച്ചത്. "അത് എന്തിനെക്കുറിച്ചാണ്?" - നിങ്ങൾ വിചാരിച്ചു. ലേഖനം അവസാനം വരെ വായിച്ച് "ശാസ്ത്ര രാജ്ഞി" യുടെ ഈ വിഭാഗം കൃത്യമായ ശാസ്ത്രത്തിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും ശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും മാത്രമല്ല, സാധാരണ സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും താൽപ്പര്യമുണ്ടാക്കുമെന്ന് കണ്ടെത്തുക.

ലോഗരിതം നിർവ്വചനം

ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. പല പാഠപുസ്‌തകങ്ങളും പറയുന്നത് പോലെ: a (ലോഗാബ്) ആധാരമാക്കാനുള്ള b എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ് c, അതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതയുണ്ട്: b=ac. അതായത്, ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ശക്തിയാണ് ലോഗരിതം. എന്നാൽ ഫോം ലോഗാബിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിതം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാത്രമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്: a>0; a - 1 അല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ; b>0, അതിനാൽ, പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾക്ക് മാത്രമേ ലോഗരിതം കണ്ടെത്താൻ കഴിയൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

അടിസ്ഥാനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് അടിത്തട്ടിൽ ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയും ഉണ്ടാകാം. എന്നാൽ രണ്ട് തരങ്ങളുണ്ട്: പ്രകൃതിദത്തവും ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളും.

• നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം - ബേസ് e ഉള്ള ലോഗരിതം (e ആണ് യൂലറുടെ സംഖ്യ, സംഖ്യാപരമായി ഏകദേശം 2.7 ന് തുല്യമാണ്, y = ex എന്ന എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനായി അവതരിപ്പിച്ച അവിവേക സംഖ്യ), ln a = logea എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു;
• ഒരു ദശാംശ ലോഗരിതം എന്നത് 10 ൻ്റെ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ലോഗരിതം ആണ്, അതായത് log10a = log a.

ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ

ആദ്യം നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റിയുമായി പരിചയപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്: alogab=b, തുടർന്ന് രണ്ട് അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ:

• loga1 = 0 - പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും 1 ന് തുല്യമായതിനാൽ;
• ലോഗ = 1.

ലോഗരിതം കണ്ടെത്തിയതിന് നന്ദി, ഏതെങ്കിലും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, അതിൻ്റെ ഉത്തരം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ യുക്തിരഹിതമായ ഒന്ന് കൊണ്ട് മാത്രം. ഉദാഹരണത്തിന്: 5x = 9, x = log59 (ഈ സമവാക്യത്തിന് സ്വാഭാവിക x ഇല്ലാത്തതിനാൽ).

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ

• loga(x · y) = logax+ logay - ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. നമ്മൾ ഇത് വിപരീത ക്രമത്തിൽ എഴുതിയാൽ, ലോഗരിതം ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം നമുക്ക് ലഭിക്കും.
• loga xy = logax - logay - ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയാണുള്ളത്. വിപരീത ക്രമത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ, ലോഗരിതം കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

• logakxp = (p/k)*logax - അങ്ങനെ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിലും അടിത്തറയിലും ശക്തികൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അവ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം.
• logax = logac xc - മുൻ റൂളിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ്, എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ തുല്യമാകുമ്പോൾ, അവ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും.
• logax = (logbx)(logba) - ട്രാൻസിഷൻ മൊഡ്യൂൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന, ലോഗരിതം മറ്റൊരു അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം.
• logax = 1/logxa - പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ്, അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ സ്ഥലങ്ങളും തന്നിരിക്കുന്ന നമ്പറും മാറ്റുന്നു. ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും വിപരീതമാണ്, കൂടാതെ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതം ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ദൃശ്യമാകുന്നു.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ ചരിത്രം

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, പ്രധാനമായും ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, സൂര്യനിൽ നിന്നോ നക്ഷത്രങ്ങളിൽ നിന്നോ ഒരു കപ്പലിൻ്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്) നിരവധി ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത ഉയർന്നു.

ഈ ആവശ്യം അതിവേഗം വളരുകയും ഒന്നിലധികം അക്ക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും കാര്യമായ ബുദ്ധിമുട്ട് സൃഷ്ടിച്ചു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ നേപ്പിയർ, ത്രികോണമിതി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ, തൊഴിൽ-തീവ്രമായ ഗുണനത്തെ സാധാരണ സങ്കലനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ തീരുമാനിച്ചു, ഇതിനായി ചില പുരോഗതികളെ താരതമ്യം ചെയ്തു. വിഭജനം, സമാനമായി, ലളിതവും കൂടുതൽ വിശ്വസനീയവുമായ ഒരു നടപടിക്രമം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു - കുറയ്ക്കൽ, കൂടാതെ n-ആം റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ്റെ ലോഗരിതം n കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അത്തരമൊരു ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ശാസ്ത്രത്തിലെ നേപ്പിയറുടെ ലക്ഷ്യങ്ങളെ വ്യക്തമായി പ്രതിഫലിപ്പിച്ചു. "Rhabdology" എന്ന തൻ്റെ പുസ്തകത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ അദ്ദേഹം അതിനെക്കുറിച്ച് എഴുതിയത് ഇതാ:

എൻ്റെ ശക്തിയും കഴിവും അനുവദിക്കുന്നിടത്തോളം, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ബുദ്ധിമുട്ടിൽ നിന്നും മടുപ്പിൽ നിന്നും ആളുകളെ മോചിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ എപ്പോഴും ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്, ഇതിൻ്റെ മടുപ്പ് സാധാരണയായി പലരെയും ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് നിരുത്സാഹപ്പെടുത്തുന്നു.

നേപ്പിയർ തന്നെയാണ് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ പേര് നിർദ്ദേശിച്ചത്; ഗ്രീക്ക് പദങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ചാണ് ഇത് ലഭിച്ചത്, കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ "അനുപാതങ്ങളുടെ എണ്ണം" എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം സ്പീഡൽ അവതരിപ്പിച്ചു. യൂലർ അത് ശക്തികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് കടമെടുത്ത് ലോഗരിതം സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് മാറ്റി. പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കോപ്പിന് നന്ദി പറഞ്ഞ് ലോഗരിതം എന്ന ആശയം പ്രസിദ്ധമായി. സ്വാഭാവികവും ദശാംശവുമായ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഉപയോഗവും അവയുടെ നൊട്ടേഷനും കൗച്ചിക്ക് നന്ദി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

1614-ൽ ജോൺ നേപ്പിയർ ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ ഒരു ഉപന്യാസം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, "ലോഗരിതംസിൻ്റെ അതിശയകരമായ പട്ടികയുടെ വിവരണം." ലോഗരിതം, നിയമങ്ങൾ, അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ഹ്രസ്വ വിവരണം ഉണ്ടായിരുന്നു. കൃത്യമായ ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ "ലോഗരിതം" എന്ന പദം സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടത് അങ്ങനെയാണ്.

ലോഗരിതം പ്രവർത്തനവും അതിൻ്റെ ആദ്യ പരാമർശവും വാലിസിനും ജോഹാൻ ബെർണൂലിക്കും നന്ദി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, ഒടുവിൽ 18-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ യൂലർ ഇത് സ്ഥാപിച്ചു.

y = logax എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷൻ സങ്കീർണ്ണമായ ഡൊമെയ്‌നിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിക്കുന്നത് യൂലറുടെ യോഗ്യതയാണ്. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ ആദ്യ പകുതിയിൽ, "അനന്തങ്ങളുടെ വിശകലനത്തിലേക്കുള്ള ആമുഖം" എന്ന അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പുസ്തകം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അതിൽ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആധുനിക നിർവചനങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ലോഗരിഥമിക് പ്രവർത്തനം

y = logax എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ (എങ്കിൽ മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ: a > 0, a ≠ 1).

• എല്ലാ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകളുടെയും സെറ്റ് ഉപയോഗിച്ചാണ് ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, കാരണം എൻട്രി ലോഗാക്സ് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിൽ മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ - x > 0;.
• ഈ ഫംഗ്‌ഷന് R (യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ) സെറ്റിൽ നിന്ന് എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും എടുക്കാം. ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും b ഒരു പോസിറ്റീവ് x ഉള്ളതിനാൽ, തുല്യത logax = b തൃപ്‌തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതായത്, ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട് - x = ab (logaab = b എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു).
• ഫംഗ്‌ഷൻ a>0 എന്ന ഇടവേളയിൽ കൂടുകയും 0 ഇടവേളയിൽ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. a>0 ആണെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ x>1-ന് പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.

ലോഗാരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏതൊരു ഗ്രാഫിനും y = logax ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റ് (1; 0) ഉണ്ടെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്, കാരണം ലോഗ 1 = 0. ഇത് ചുവടെയുള്ള ഗ്രാഫിൻ്റെ ചിത്രീകരണത്തിൽ വ്യക്തമായി കാണാം.

ചിത്രങ്ങളിൽ കാണുന്നത് പോലെ, ഫംഗ്‌ഷന് തുല്യതയോ വിചിത്രമോ ഇല്ല, പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ ഇല്ല, മുകളിലോ താഴെയോ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.

ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ y = logAx ഉം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ y = aх, (а>0, а≠1), പരസ്പരം വിപരീതമാണ്. ഇത് അവരുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ചിത്രത്തിൽ കാണാം.

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

സാധാരണഗതിയിൽ, ലോഗരിതം അടങ്ങിയ ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം അവയെ ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് അല്ലെങ്കിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാൻ ലക്ഷ്യമിടുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ സാധാരണ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ ആവശ്യമായ അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതും പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതും മൂല്യവത്താണോ.

മറക്കാൻ പാടില്ലാത്ത ചില സൂക്ഷ്മതകളുണ്ട്:

• ഒരേ അടിത്തറയുള്ള റൂൾ അനുസരിച്ച് ഇരുവശവും ലോഗരിതത്തിന് കീഴിലായിരിക്കുമ്പോൾ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടയാളം "എറിഞ്ഞുകളയാൻ" തിരക്കുകൂട്ടരുത്. ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത ഇടവേളകളെക്കുറിച്ച് അറിഞ്ഞിരിക്കുക. അടിസ്ഥാനം 1-ൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ (ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്ന സന്ദർഭം), അസമത്വ ചിഹ്നം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും, എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം 0-ൽ കൂടുതലും 1-ൽ കുറവും ആയിരിക്കുമ്പോൾ (ഫംഗ്ഷൻ കുറയുമ്പോൾ) അസമത്വം അടയാളം വിപരീതമായി മാറും;
• ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനങ്ങൾ മറക്കരുത്: logax = b, a>0, a≠1, x>0, അങ്ങനെ സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ കണക്കാക്കാത്ത ശ്രേണി കാരണം വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കാൻ. മിക്കവാറും എല്ലാ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കും അനുവദനീയമായ മൂല്യ ശ്രേണി (VA) നിലവിലുണ്ട്.

ഇവ നിസ്സാരമാണ്, എന്നാൽ ഒരു ടാസ്ക്കിനുള്ള ശരിയായ ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വഴിയിൽ പലരും നേരിട്ട വലിയ തോതിലുള്ള തെറ്റുകൾ. ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതിന് വളരെയധികം നിയമങ്ങളൊന്നുമില്ല, അതിനാൽ ഈ വിഷയം മറ്റുള്ളവരെക്കാളും തുടർന്നുള്ളവയെക്കാളും ലളിതമാണ്, പക്ഷേ ഇത് നന്നായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതാണ്.

ഉപസംഹാരം

ഈ വിഷയം ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ സങ്കീർണ്ണവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമാണെന്ന് തോന്നിയേക്കാം, എന്നാൽ നിങ്ങൾ അത് കൂടുതൽ ആഴത്തിലും ആഴത്തിലും പഠിക്കുമ്പോൾ, വിഷയം ലളിതമായി അവസാനിക്കുന്നുവെന്നും ഒന്നും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കിയിട്ടില്ലെന്നും നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. ലോഗരിതം വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ പ്രോപ്പർട്ടികൾ, നിയമങ്ങൾ, പിശകുകൾ പോലും ഞങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. നിങ്ങളുടെ പഠനത്തിൽ ഭാഗ്യം!