ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർവ്വചനം. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു - അവസാന പാഠം

പ്രാഥമിക ഗ്രേഡുകളിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്കെല്ലാവർക്കും പരിചിതമാണ്. ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ഞങ്ങൾ അവിടെ പഠിച്ചു, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പോലും അവർ അവരുടെ പ്രയോഗം കണ്ടെത്തുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കണം. സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ചതുരം ഉൾപ്പെടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്. ഈ തീമിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ആവർത്തിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശക്തമായി ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ ലോഗരിതം പാസാക്കിയിരിക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ഇതുവരെ അറിയാത്തവർക്കായി ഇത് എന്താണെന്ന് പറയേണ്ടത് പ്രധാനമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തേണ്ട അളവിന് തുല്യമാണ് ലോഗരിതം. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എല്ലാം നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമാകും.

നിങ്ങൾ നാലാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് 3 ഉയർത്തിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് 81 ലഭിക്കും. ഇപ്പോൾ അക്കങ്ങളെ സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഒടുവിൽ മനസ്സിലാകും. പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന രണ്ട് ആശയങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാൻ മാത്രമേ ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ. തുടക്കത്തിൽ, സാഹചര്യം അങ്ങേയറ്റം ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ സൂക്ഷ്മപരിശോധനയിൽ, ഭാരം ശരിയായി വീഴുന്നു. ഈ ചെറിയ ലേഖനത്തിന് ശേഷം പരീക്ഷയുടെ ഈ ഭാഗത്ത് നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്.

ഇന്ന്, അത്തരം ഘടനകൾ പരിഹരിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. ഏറ്റവും ലളിതവും ഫലപ്രദവും ഏറ്റവും ബാധകവുമായ ഉപയോഗ അസൈൻമെന്റുകളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളോട് പറയും. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണത്തിൽ തുടങ്ങണം. ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷനും അതിൽ ഒരു വേരിയബിളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ആർഗ്യുമെന്റിനുള്ളിൽ x ഉണ്ടെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. എയും ബിയും അക്കങ്ങളായിരിക്കണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

തീർച്ചയായും, ഈ രീതിയിൽ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് നിങ്ങളെ ശരിയായ ഉത്തരത്തിലേക്ക് നയിക്കും. ഈ കേസിൽ ബഹുഭൂരിപക്ഷം വിദ്യാർത്ഥികളുടെയും പ്രശ്നം എന്താണെന്നും എവിടെ നിന്ന് വരുന്നുവെന്നും അവർക്ക് മനസ്സിലാകുന്നില്ല എന്നതാണ്. തൽഫലമായി, നിങ്ങൾ തെറ്റുകൾ സഹിക്കണം, ആവശ്യമുള്ള പോയിന്റുകൾ നേടരുത്. നിങ്ങൾ സ്ഥലങ്ങളിൽ അക്ഷരങ്ങൾ ഇടകലർത്തുന്നതാണ് ഏറ്റവും നിന്ദ്യമായ തെറ്റ്. ഈ രീതിയിൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്കൂൾ ഫോർമുല മനഃപാഠമാക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം ഇത് മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

ഇത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു രീതി അവലംബിക്കാം - കാനോനിക്കൽ ഫോം. ആശയം വളരെ ലളിതമാണ്. പ്രശ്നം വീണ്ടും ശ്രദ്ധിക്കുക. a എന്ന അക്ഷരം ഒരു സംഖ്യയാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക, ഒരു ഫംഗ്ഷനോ വേരിയബിളോ അല്ല. A ഒന്നിന് തുല്യമോ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ അല്ല. ബിയിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ എല്ലാ ഫോർമുലകളിലും ഒന്ന് ഓർക്കുന്നു. ബി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം.

ലോഗരിതങ്ങളുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സമവാക്യങ്ങളെയും ഇതുപോലെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ലോഗരിതം ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യാം. നമ്മൾ നേരത്തെ കണ്ട ഒരു ലളിതമായ നിർമ്മാണമാണ് ഫലം.

ഈ ഫോർമുലയുടെ സൗകര്യം, ലളിതമായ ഡിസൈനുകൾക്ക് മാത്രമല്ല, വിവിധ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും എന്ന വസ്തുതയിലാണ്.

OOF-നെ കുറിച്ച് വിഷമിക്കേണ്ട!

പരിചയസമ്പന്നരായ പല ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ഞങ്ങൾ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടില്ലെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കും. F (x) അനിവാര്യമായും 0-നേക്കാൾ വലുതാണെന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് ഈ നിയമം ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. ഇല്ല, ഈ നിമിഷം ഞങ്ങൾക്ക് നഷ്ടമായില്ല. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിന്റെ മറ്റൊരു ഗുരുതരമായ നേട്ടത്തെക്കുറിച്ചാണ്.

ഇവിടെ അനാവശ്യമായ വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല. വേരിയബിൾ ഒരിടത്ത് മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ എങ്കിൽ, സ്കോപ്പ് ആവശ്യമില്ല. ഇത് യാന്ത്രികമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഈ പ്രസ്താവന സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, കുറച്ച് ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കുക.

വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇവ ഇതിനകം സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്, അവയുടെ പരിഹാരത്തിലേക്കുള്ള സമീപനം പ്രത്യേകമായിരിക്കണം. കുപ്രസിദ്ധമായ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നത് വളരെ അപൂർവമാണ്. നമ്മുടെ വിശദമായ കഥ തുടങ്ങാം. ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഡിസൈൻ ഉണ്ട്.

ഭിന്നസംഖ്യയിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിൽ ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അസൈൻമെന്റിൽ നിങ്ങൾ ഇത് കാണുകയാണെങ്കിൽ, രസകരമായ ഒരു ട്രിക്ക് ഓർമ്മിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.

എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? ഓരോ ലോഗരിതത്തെയും സൗകര്യപ്രദമായ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു ഘടകമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഈ ഫോർമുലയ്ക്ക് ഈ ഉദാഹരണത്തിന് ബാധകമായ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് ഉണ്ട് (അർത്ഥം, c = b ആണെങ്കിൽ).

നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ നമ്മൾ കാണുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ ഇതാണ്. അങ്ങനെ.

വാസ്തവത്തിൽ, അവർ ഭിന്നസംഖ്യ മറിച്ചിട്ട് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു പദപ്രയോഗം നേടി. ഈ അൽഗോരിതം ഓർക്കുക!

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൽ വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല എന്നത് ഇപ്പോൾ ആവശ്യമാണ്. അടിസ്ഥാനം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി സങ്കൽപ്പിക്കാം.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടാനാകുന്ന ഒരു നിയമമുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന നിർമ്മാണം മാറുന്നു.

നമ്മുടെ പദപ്രയോഗത്തെ ഒരു കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിൽ നിന്നും പ്രാഥമിക രീതിയിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്നും ഇപ്പോൾ എന്താണ് തടയുന്നതെന്ന് തോന്നുന്നു? അത്ര ലളിതമല്ല. ലോഗരിതത്തിന് മുന്നിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകരുത്. ഞങ്ങൾ ഈ സാഹചര്യം ശരിയാക്കുന്നു! ഭിന്നസംഖ്യ ഒരു ബിരുദമായി നടപ്പിലാക്കാൻ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു.

യഥാക്രമം.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലോഗരിതം നീക്കം ചെയ്യാനും എക്സ്പ്രഷനുകൾ തന്നെ തുല്യമാക്കാനും കഴിയും. അതിനാൽ സാഹചര്യം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വളരെ എളുപ്പമാകും. എട്ടാം ക്ലാസിലോ ഏഴാം ക്ലാസിലോ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്കെല്ലാവർക്കും അറിയാമായിരുന്ന ഒരു പ്രാഥമിക സമവാക്യം നിലനിൽക്കും. നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താം.

ഈ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരേയൊരു യഥാർത്ഥ റൂട്ട് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ വളരെ ലളിതമാണ്, അല്ലേ? പരീക്ഷ തയ്യാറാക്കുന്നതിനും വിജയിക്കുന്നതിനുമുള്ള ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾ പോലും ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് സ്വതന്ത്രമായി കണ്ടുപിടിക്കാൻ കഴിയും.

എന്താണ് അടിവര?

ഏതെങ്കിലും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു നിയമത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു. പദപ്രയോഗം സാധ്യമായ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്ന വിധത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ടാസ്ക് ശരിയായി പരിഹരിക്കാൻ മാത്രമല്ല, കഴിയുന്നത്ര ലളിതവും യുക്തിസഹവുമാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ അവസരങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ എപ്പോഴും ചെയ്യുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്.

ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പാതകൾ തേടുന്നതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ശക്തമായി നിരുത്സാഹപ്പെടുത്തുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് ഈ സാഹചര്യത്തിൽ. ഏത് പദപ്രയോഗവും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന കുറച്ച് ലളിതമായ നിയമങ്ങൾ ഓർക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടോ മൂന്നോ ലോഗരിതം ഒരു ബേസിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക, അല്ലെങ്കിൽ ബേസിൽ നിന്ന് ബിരുദം എടുത്ത് അതിൽ വിജയിക്കുക.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ നിങ്ങൾ നിരന്തരം പരിശീലിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്നതും ഓർമിക്കേണ്ടതാണ്. ക്രമേണ, നിങ്ങൾ കൂടുതൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഡിസൈനുകളിലേക്ക് നീങ്ങും, കൂടാതെ പരീക്ഷയിലെ എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് നിങ്ങളെ നയിക്കും. നിങ്ങളുടെ പരീക്ഷകൾക്കായി മുൻകൂട്ടി തയ്യാറെടുക്കുക, ഭാഗ്യം!

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളും വേരുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പും ആവശ്യമില്ലാത്ത ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഇന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും. എന്നാൽ അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് കൂടുതൽ എളുപ്പമായിരിക്കും.

ലോഗ് a f (x) = b എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യമാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ a, b എന്നത് സംഖ്യകളാണ് (a> 0, a ≠ 1), f (x) എന്നത് ചില പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.

എല്ലാ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളുടെയും ഒരു പ്രത്യേക സവിശേഷത ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള വേരിയബിളിന്റെ സാന്നിധ്യമാണ്. അത്തരമൊരു സമവാക്യം തുടക്കത്തിൽ പ്രശ്നത്തിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ ഏറ്റവും ലളിതമായത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മറ്റേതൊരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും പ്രത്യേക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ മാർഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു ("ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ" കാണുക). എന്നിരുന്നാലും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിരവധി സൂക്ഷ്മതകൾ കണക്കിലെടുക്കണം: അനാവശ്യമായ വേരുകൾ ഉണ്ടാകാം, അതിനാൽ സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കും.

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള നമ്പർ ഇടതുവശത്തുള്ള അതേ അടിത്തറയിൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതി. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം എന്ന അടയാളം ഒഴിവാക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

ഞങ്ങൾക്ക് സാധാരണ സമവാക്യം ലഭിച്ചു. അതിന്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണ്.

ബിരുദങ്ങൾ എടുക്കുന്നു

പലപ്പോഴും, ബാഹ്യമായി സങ്കീർണ്ണവും ഭയാനകവുമായി കാണപ്പെടുന്ന ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്താതെ രണ്ട് വരികളിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഇന്ന് ഞങ്ങൾ അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, അവിടെ നിങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത് ഫോർമുലയെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം കുറയ്ക്കുകയും ലോഗരിതങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ തിരയുമ്പോൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്.

ഇന്ന്, നിങ്ങൾ ഇതിനകം പേരിൽ നിന്ന് ഊഹിച്ചതുപോലെ, കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കും. ഈ വീഡിയോ പാഠത്തിന്റെ പ്രധാന "ട്രിക്ക്" ഡിഗ്രികളുമായി പ്രവർത്തിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്നും വാദത്തിൽ നിന്നും ബിരുദം ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. നമുക്ക് നിയമം നോക്കാം:

അതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് അടിത്തറയിൽ നിന്ന് ബിരുദം എടുക്കാം:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ലോഗരിതത്തിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റിൽ നിന്ന് ബിരുദം നീക്കംചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് മുന്നിൽ ഒരു അധിക ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അടിത്തറയിൽ നിന്ന് ബിരുദം നീക്കംചെയ്യുമ്പോൾ, അത് ഒരു ഘടകം മാത്രമല്ല, വിപരീത ഘടകമാണ്. ഇത് ഓർക്കണം.

ഒടുവിൽ, രസകരമായ ഭാഗം. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, തുടർന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും:

തീർച്ചയായും, ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, നിർവചന മേഖലയുടെ സാധ്യമായ വിപുലീകരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില അപകടങ്ങളുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ, നിർവചന മേഖലയുടെ സങ്കോചം. സ്വയം വിധിക്കുക:

ലോഗ് 3 x 2 = 2 ∙ ലോഗ് 3 x

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, x എന്നത് 0 അല്ലാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും സംഖ്യയായിരിക്കാം, അതായത്, ആവശ്യകത x ≠ 0, രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ നമ്മൾ x-ൽ മാത്രമേ തൃപ്തനാകൂ, അത് തുല്യമല്ല, എന്നാൽ 0-നേക്കാൾ കൂടുതലാണ്, കാരണം, ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള ഡൊമെയ്ൻ, വാദം 0-നേക്കാൾ കർശനമായി വലുതാണ് എന്നതാണ്. അതിനാൽ, 8-9 ഗ്രേഡുകളിലെ ബീജഗണിതത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു അത്ഭുതകരമായ ഫോർമുല ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

അതായത്, നമ്മുടെ ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതണം:

ലോഗ് 3 x 2 = 2 ∙ ലോഗ് 3 | x |

അപ്പോൾ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ സങ്കോചം സംഭവിക്കില്ല.

എന്നിരുന്നാലും, ഇന്നത്തെ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയലിൽ, ചതുരങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. നിങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജോലികൾ നോക്കിയാൽ, നിങ്ങൾ വേരുകൾ മാത്രമേ കാണൂ. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഈ നിയമം പ്രയോഗിക്കില്ല, പക്ഷേ ഇത് മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ ശരിയായ സമയത്ത്, ലോഗരിതത്തിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റിലോ അടിസ്ഥാനത്തിലോ നിങ്ങൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ കാണുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഈ നിയമം ഓർമ്മിക്കുകയും എല്ലാം നിർവഹിക്കുകയും ചെയ്യും. പരിവർത്തനങ്ങൾ ശരിയായി.

അതിനാൽ ആദ്യ സമവാക്യം:

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഫോർമുലയിലെ ഓരോ പദങ്ങളും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആദ്യ പദം ഒരു ശക്തിയായി മാറ്റിയെഴുതാം:

ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പദം നോക്കുന്നു: ലോഗ് 3 (1 - x). നിങ്ങൾ ഇവിടെ ഒന്നും ചെയ്യേണ്ടതില്ല, ഇവിടെ എല്ലാം ഇതിനകം ഒരു പരിവർത്തനമാണ്.

അവസാനമായി, 0, 5. മുൻ പാഠങ്ങളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് മാറാൻ ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. നമുക്കിത് ചെയ്യാം:

0,5 = 5/10 = 1/2

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നിബന്ധനകൾ കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ ഫോർമുല മാറ്റിയെഴുതാം:

ലോഗ് 3 (1 - x) = 1

ഇനി നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ ഫോമിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് 3 (1 - x) = ലോഗ് 3 3

ആർഗ്യുമെന്റുകൾ തുല്യമാക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം അടയാളം ഒഴിവാക്കുന്നു:

1 - x = 3

-x = 2

x = -2

അത്രയേയുള്ളൂ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് ഇത് സുരക്ഷിതമായി പ്ലേ ചെയ്ത് സ്കോപ്പ് കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് യഥാർത്ഥ ഫോർമുലയിലേക്ക് തിരികെ പോയി നോക്കാം:

1 - x> 0

−x> -1

x< 1

ഞങ്ങളുടെ റൂട്ട് x = −2 ഈ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് x = -2. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് കർശനമായ വ്യക്തമായ ന്യായീകരണം ലഭിച്ചു. അത്രമാത്രം, പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ടാസ്ക്കിലേക്ക് പോകാം:

ഓരോ പദവും പ്രത്യേകം കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തേത് എഴുതുന്നു:

ഞങ്ങൾ ആദ്യ ടേം മാറ്റി. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ടേമിനൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

അവസാനമായി, തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള അവസാന പദം:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുലയിലെ പദങ്ങൾക്ക് പകരം ലഭിച്ച പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ലോഗ് 3 x = 1

നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് 3 x = ലോഗ് 3 3

ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം അടയാളം ഒഴിവാക്കുന്നു, ആർഗ്യുമെന്റുകൾ തുല്യമാക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

x = 3

വീണ്ടും, നമുക്ക് ഇത് സുരക്ഷിതമായി പ്ലേ ചെയ്യാം, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് തിരികെ പോയി നോക്കാം. യഥാർത്ഥ ഫോർമുലയിൽ, x എന്ന വേരിയബിൾ ആർഗ്യുമെന്റിൽ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, അതിനാൽ,

x> 0

രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതത്തിൽ, x റൂട്ടിന് കീഴിലാണ്, എന്നാൽ വീണ്ടും ആർഗ്യുമെന്റിൽ, അതിനാൽ, റൂട്ട് 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, അതായത്, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. നമ്മൾ നമ്മുടെ റൂട്ട് x = 3 നോക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, അത് ഈ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ് x = 3. അത്രമാത്രം, പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഇന്നത്തെ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയലിൽ രണ്ട് പ്രധാന പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്:

1) ലോഗരിതം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ ഭയപ്പെടരുത്, പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങളുടെ പ്രധാന ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഡിഗ്രികൾ എടുക്കാൻ ഭയപ്പെടരുത്: ഒരു ആർഗ്യുമെന്റിൽ നിന്ന് ഒരു ബിരുദം നീക്കംചെയ്യുമ്പോൾ, അത് ലളിതമായി പുറത്തെടുക്കുന്നു. ഒരു ഘടകമായി മാറ്റമില്ല, അടിത്തട്ടിൽ നിന്ന് ഒരു ബിരുദം നീക്കം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഈ ബിരുദം വിപരീതമാണ്.

2) രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റ് കാനോനിക്കൽ രൂപവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഫോർമുലയുടെ പരിവർത്തനത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം നടത്തി. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

a = ലോഗ് b b a

തീർച്ചയായും, "ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ബി" എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ, ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ചുമത്തിയിരിക്കുന്ന ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്ന അത്തരം സംഖ്യകളെയാണ് ഞാൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അതായത്.

1 ≠ b> 0

അത്തരം ബിക്ക്, അടിസ്ഥാനം ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്നതിനാൽ, ഈ ആവശ്യകത യാന്ത്രികമായി നിറവേറ്റപ്പെടും. എന്നാൽ അത്തരം ബി - ഈ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നവ - ഈ പരിവർത്തനം നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും, കൂടാതെ നമുക്ക് ഒരു കാനോനിക്കൽ ഫോം ലഭിക്കും, അതിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനാകും.

വ്യാപ്തിയും അനാവശ്യ വേരുകളും വികസിപ്പിക്കുന്നു

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ വ്യക്തമായ വികാസം സംഭവിക്കാം. പലപ്പോഴും, വിദ്യാർത്ഥികൾ ഇത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നില്ല, ഇത് പിശകുകളിലേക്കും തെറ്റായ ഉത്തരങ്ങളിലേക്കും നയിക്കുന്നു.

ലളിതമായ ഡിസൈനുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

ലോഗ് a f (x) = b

ഒരു ലോഗരിതത്തിന്റെ ഒരു ആർഗ്യുമെന്റിൽ മാത്രമേ x ഉള്ളൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? ഞങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ ഫോം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ b = log a a b എന്ന സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

log a f (x) = log a a b

ഈ എൻട്രിയെ കാനോനിക്കൽ ഫോം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ മാത്രമല്ല, സ്വതന്ത്രവും നിയന്ത്രണപരവുമായ ഏതൊരു ജോലിയിലും നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന ഏതെങ്കിലും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം കുറയ്ക്കേണ്ടത് അവളാണ്.

കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് എങ്ങനെ വരാം, എന്ത് ടെക്നിക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കണം എന്നത് ഇതിനകം തന്നെ പരിശീലനത്തിന്റെ കാര്യമാണ്. മനസ്സിലാക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം, നിങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് ലഭിച്ചാലുടൻ, പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചതായി നിങ്ങൾക്ക് അനുമാനിക്കാം. കാരണം അടുത്ത ഘട്ടം എഴുതുക എന്നതാണ്:

f (x) = a b

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം അടയാളം ഒഴിവാക്കുകയും വാദങ്ങൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

എന്തിനാണ് ഈ സംഭാഷണങ്ങളെല്ലാം? കാനോനിക്കൽ ഫോം ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് മാത്രമല്ല, മറ്റെല്ലാവർക്കും ബാധകമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇന്ന് നമ്മൾ അഭിസംബോധന ചെയ്യുന്നവരോട്. നമുക്ക് കാണാം.

ആദ്യ ദൗത്യം:

ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പ്രശ്നം എന്താണ്? ഫംഗ്ഷൻ ഒരേസമയം രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളിലാണെന്നതാണ് വസ്തുത. ഒരു ലോഗരിതം മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് കുറച്ചാൽ പ്രശ്നം ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കാം. എന്നാൽ നിർവചനത്തിന്റെ വ്യാപ്തിയിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്: അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. അതിനാൽ നമുക്ക് ലോഗരിതങ്ങളിലൊന്ന് വലത്തേക്ക് നീക്കാം:

അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് ഇതിനകം കാനോനിക്കൽ ഫോം പോലെയാണ്. എന്നാൽ ഒരു സൂക്ഷ്മത കൂടി ഉണ്ട്: കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ, വാദങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം. നമുക്ക് ഇടതുവശത്ത് അടിസ്ഥാന 3 ലോഗരിതം ഉണ്ട്, വലതുവശത്ത് അടിസ്ഥാനം 1/3 ഉണ്ട്. അറിയാം, നിങ്ങൾ ഈ കാരണങ്ങൾ ഒരേ നമ്പറിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, നെഗറ്റീവ് ശക്തികൾ എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം:

തുടർന്ന് ലോഗിന് പുറത്തുള്ള "-1" എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഒരു ഘടകമായി മാറ്റുന്നത് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും:

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: അടിത്തട്ടിൽ നിൽക്കുന്ന ബിരുദം തിരിഞ്ഞ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി മാറുന്നു. വ്യത്യസ്‌ത അടിത്തറകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾക്ക് ഏതാണ്ട് കാനോനിക്കൽ നൊട്ടേഷൻ ലഭിച്ചു, പക്ഷേ പകരം ഞങ്ങൾക്ക് വലതുവശത്ത് "-1" എന്ന ഘടകം ലഭിച്ചു. നമുക്ക് ഈ ഘടകം വാദത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്താം, അതിനെ ഒരു ശക്തിയാക്കി മാറ്റാം:

തീർച്ചയായും, കാനോനിക്കൽ ഫോം ലഭിച്ചതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം അടയാളം ധൈര്യത്തോടെ മറികടക്കുകയും വാദങ്ങൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതേ സമയം, "−1" എന്ന ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, അംശം ലളിതമായി തിരിയുന്നു - അനുപാതം ലഭിക്കും എന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ.

നമുക്ക് അനുപാതത്തിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കുകയും അതിനെ ക്രോസ്വൈസ് ആയി ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യാം:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 = 0

നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ് ഞങ്ങളുടെ മുമ്പിലുള്ളത്, അതിനാൽ വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇത് പരിഹരിക്കുന്നു:

(x - 8) (x - 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

അത്രയേയുള്ളൂ. സമവാക്യം പരിഹരിച്ചതായി നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? ഇല്ല! അത്തരമൊരു പരിഹാരത്തിന്, നമുക്ക് 0 പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കും, കാരണം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ ഒരേസമയം x എന്ന വേരിയബിളുമായി രണ്ട് ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നിർവചനത്തിന്റെ വ്യാപ്തി കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഇവിടെയാണ് വിനോദം ആരംഭിക്കുന്നത്. മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണ്: ലോഗരിതത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ എന്താണ്? തീർച്ചയായും, എല്ലാ വാദങ്ങളും (നമുക്ക് രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്) പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം:

(x - 4) / (3x - 4)> 0

(x - 5) / (2x - 1)> 0

ഈ അസമത്വങ്ങൾ ഓരോന്നും പരിഹരിക്കണം, ഒരു നേർരേഖയിൽ അടയാളപ്പെടുത്തി, ക്രോസ് ചെയ്യണം - അതിനുശേഷം മാത്രമേ കവലയിൽ കിടക്കുന്ന വേരുകൾ നോക്കൂ.

സത്യസന്ധമായി പറഞ്ഞാൽ: ഈ സാങ്കേതികതയ്ക്ക് നിലനിൽക്കാൻ അവകാശമുണ്ട്, അത് വിശ്വസനീയമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് ശരിയായ ഉത്തരം ലഭിക്കും, എന്നാൽ അതിൽ വളരെയധികം അനാവശ്യ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ നമുക്ക് ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിലൂടെ വീണ്ടും പോയി നോക്കാം: കൃത്യമായി എവിടെയാണ് നിങ്ങൾ സ്കോപ്പ് പ്രയോഗിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത്? മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അധിക വേരുകൾ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

1. തുടക്കത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ലോഗരിതം ഉണ്ടായിരുന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അവയിലൊന്ന് വലത്തേക്ക് നീക്കി, പക്ഷേ ഇത് നിർവചന മേഖലയെ ബാധിച്ചില്ല.
2. അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ അടിത്തട്ടിൽ നിന്ന് ബിരുദം നീക്കംചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ ഇപ്പോഴും രണ്ട് ലോഗരിതം ഉണ്ട്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും വേരിയബിൾ x അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
3. അവസാനമായി, ലോഗിനുള്ള അടയാളങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മറികടന്ന് ക്ലാസിക്കൽ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം നേടുന്നു.

നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ വികസിക്കുന്നത് അവസാന ഘട്ടത്തിലാണ്! ലോഗ് ചിഹ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങിയ ഉടൻ, വേരിയബിളിന്റെ ആവശ്യകതകൾ x-ന്റെ ആവശ്യകതകൾ ഗണ്യമായി മാറി!

അതിനാൽ, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ പരിഹാരത്തിന്റെ തുടക്കത്തിലല്ല, പരാമർശിച്ച ഘട്ടത്തിൽ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ - വാദങ്ങൾ നേരിട്ട് തുല്യമാക്കുന്നതിന് മുമ്പ്.

ഇവിടെയാണ് ഒപ്റ്റിമൈസേഷനുള്ള അവസരം. ഒരു വശത്ത്, പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലിയ രണ്ട് ആർഗ്യുമെന്റുകളും ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്. മറുവശത്ത്, ഞങ്ങൾ ഈ വാദങ്ങളെ കൂടുതൽ സമീകരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അവയിലൊന്നെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തേതും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും!

അതിനാൽ ഒരേസമയം രണ്ട് അസമത്വങ്ങളുടെ പൂർത്തീകരണം ആവശ്യപ്പെടുന്നത് അതിരുകടന്നതായി മാറുന്നു. ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് മാത്രം പരിഗണിച്ചാൽ മതി. അതിൽ ഏത്? ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള ഒന്ന്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യ കൈകാര്യം ചെയ്യാം:

(x - 5) / (2x - 1)> 0

ഇതൊരു സാധാരണ ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ അസമത്വമാണ്, ഇടവേളകളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇത് പരിഹരിക്കുന്നു:

അടയാളങ്ങൾ എങ്ങനെ സ്ഥാപിക്കാം? നമ്മുടെ എല്ലാ വേരുകളേക്കാളും വലുതായ ഒരു സംഖ്യ എടുക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് 1 ബില്ല്യൺ. അതിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. നമുക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിക്കുന്നു, അതായത്. x = 5 എന്ന റൂട്ടിന്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉണ്ടാകും.

അപ്പോൾ അടയാളങ്ങൾ മാറിമാറി വരുന്നു, കാരണം ബഹുത്വത്തിന്റെ വേരുകൾ എവിടെയും കാണുന്നില്ല. പ്രവർത്തനം പോസിറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. അതിനാൽ, x ∈ (-−∞; -1/2) ∪ (5; + ∞).

ഇനി നമുക്ക് ഉത്തരങ്ങൾ ഓർക്കാം: x = 8 ഉം x = 2 ഉം. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇവ ഇതുവരെ ഉത്തരങ്ങളല്ല, ഉത്തരത്തിനുള്ള അപേക്ഷകർ മാത്രം. നിർദ്ദിഷ്‌ട ഗണത്തിൽ പെട്ടത് ഏതാണ്? തീർച്ചയായും, x = 8. എന്നാൽ x = 2 നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമല്ല.

ആദ്യത്തെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ആകെ ഉത്തരം x = 8 ആയിരിക്കും. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു സമർത്ഥവും നന്നായി അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തിയതുമായ ഒരു പരിഹാരം ലഭിച്ചു.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് 5 (x - 9) = ലോഗ് 0.5 4 - ലോഗ് 5 (x - 5) + 3

സമവാക്യത്തിൽ ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അത് ഒഴിവാക്കണമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായി 0.5 വീണ്ടും എഴുതാം. ഈ അടിസ്ഥാനം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ലോഗരിതം എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ ഉടൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു നിമിഷമാണ്! നമുക്ക് അടിസ്ഥാനത്തിലും ആർഗ്യുമെന്റിലും ഡിഗ്രികൾ ഉള്ളപ്പോൾ, ഈ ഡിഗ്രികളുടെ സൂചകങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പുറത്തെടുക്കാം:

ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് തിരികെ പോയി അത് വീണ്ടും എഴുതുക:

ലോഗ് 5 (x - 9) = 1 - ലോഗ് 5 (x - 5)

കാനോനിക്കൽ രൂപത്തോട് വളരെ അടുത്തുള്ള ഒരു നിർമ്മാണം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള നിബന്ധനകളും മൈനസ് ചിഹ്നവും ഞങ്ങളെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. ഒന്ന് അടിസ്ഥാന 5 ലോഗരിതം ആയി കരുതാം:

ലോഗ് 5 (x - 9) = ലോഗ് 5 5 1 - ലോഗ് 5 (x - 5)

വലതുവശത്ത് നിന്ന് ലോഗരിതം കുറയ്ക്കുക (അവരുടെ വാദങ്ങൾ വിഭജിക്കുമ്പോൾ):

ലോഗ് 5 (x - 9) = ലോഗ് 5 5 / (x - 5)

തികച്ചും. അങ്ങനെ നമുക്ക് കാനോൻ രൂപം ലഭിച്ചു! ലോഗ് അടയാളങ്ങൾ സ്ട്രൈക്ക് ചെയ്ത് ആർഗ്യുമെന്റുകൾ തുല്യമാക്കുക:

(x - 9) / 1 = 5 / (x - 5)

ക്രോസ്വൈസ് ഗുണിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാവുന്ന ഒരു അനുപാതമാണിത്:

(x - 9) (x - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x 2 - 14x + 40 = 0

വ്യക്തമായും, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നമ്മുടെ മുമ്പിലുണ്ട്. വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും:

(x - 10) (x - 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു. എന്നാൽ ഇവ കൃത്യമായ ഉത്തരങ്ങളല്ല, സ്ഥാനാർത്ഥികൾ മാത്രമാണ്, കാരണം ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ സ്ഥിരീകരണം ആവശ്യമാണ്.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു: എപ്പോൾ നോക്കേണ്ടതില്ല ഓരോന്നുംവാദങ്ങൾ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും. ഒരു ആർഗ്യുമെന്റ് - ഒന്നുകിൽ x - 9 അല്ലെങ്കിൽ 5 / (x - 5) - പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ മതി. ആദ്യത്തെ വാദം പരിഗണിക്കുക:

x - 9> 0

x> 9

വ്യക്തമായും, x = 10 മാത്രമേ ഈ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തൂ. ഇതാണ് അന്തിമ ഉത്തരം. മുഴുവൻ പ്രശ്നവും പരിഹരിച്ചു.

ഒരിക്കൽ കൂടി, ഇന്നത്തെ പാഠത്തിന്റെ പ്രധാന പോയിന്റുകൾ ഇവയാണ്:

1. വേരിയബിൾ x നിരവധി ലോഗരിതങ്ങളിൽ ദൃശ്യമാകുമ്പോൾ, സമവാക്യം പ്രാഥമികമായി അവസാനിക്കും, അതിനായി നിങ്ങൾ ഡൊമെയ്ൻ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അല്ലെങ്കിൽ, പ്രതികരണമായി നിങ്ങൾക്ക് അധിക വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ എഴുതാം.
2. അസമത്വം ഉടനടിയല്ല, മറിച്ച് ലോഗ് ചിഹ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്ന നിമിഷത്തിൽ തന്നെ ഞങ്ങൾ എഴുതുകയാണെങ്കിൽ ഡൊമെയ്‌നുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാക്കാം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, വാദങ്ങൾ പരസ്പരം തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, അവയിലൊന്ന് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ മതി.

തീർച്ചയായും, ഏത് വാദത്തിൽ നിന്നാണ് അസമത്വം രചിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്വയം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത്, അതിനാൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നമ്മൾ ആർഗ്യുമെന്റ് (x - 9) തിരഞ്ഞെടുത്തു - ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ സെക്കൻഡ് ആർഗ്യുമെന്റിന് വിരുദ്ധമായി ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ. സമ്മതിക്കുന്നു, x - 9> 0 അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നത് 5 / (x - 5)> 0 എന്നതിനേക്കാൾ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഫലം ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിലും.

ഈ പരാമർശം ODV-യ്‌ക്കായുള്ള തിരയലിനെ വളരെയധികം ലളിതമാക്കുന്നു, എന്നാൽ ശ്രദ്ധിക്കുക: വാദങ്ങൾ കൃത്യമായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടിനുപകരം ഒരു അസമത്വം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ. പരസ്പരം തുല്യമാണ്!

തീർച്ചയായും, ഇപ്പോൾ ആരെങ്കിലും ചോദിക്കും: വ്യത്യസ്തമായി എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത്? അതെ, ചിലപ്പോൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, ഘട്ടത്തിൽ തന്നെ, ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ രണ്ട് ആർഗ്യുമെന്റുകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അനാവശ്യമായ വേരുകളുടെ അപകടമുണ്ട്.

സ്വയം വിലയിരുത്തുക: ആദ്യം, ഓരോ വാദങ്ങളും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, എന്നാൽ ഗുണിച്ചതിനുശേഷം, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായാൽ മതി. തൽഫലമായി, ഈ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഓരോന്നും നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ കേസ് നഷ്‌ടമായി.

അതിനാൽ, നിങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ തുടങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു സാഹചര്യത്തിലും വേരിയബിൾ x അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം ഗുണിക്കരുത് - പലപ്പോഴും ഇത് അനാവശ്യ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിക്കും. ഒരു അധിക ഘട്ടം എടുക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, ഒരു പദം മറുവശത്തേക്ക് നീക്കുക, കാനോനിക്കൽ ഫോം ഉണ്ടാക്കുക.

ശരി, അത്തരം ലോഗരിതം ഗുണിക്കാതെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യണം, അടുത്ത വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയലിൽ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും. :)

സമവാക്യത്തിലെ ഡിഗ്രികളെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കൽ കൂടി

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു വഴുവഴുപ്പുള്ള വിഷയം ഇന്ന് ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും, അല്ലെങ്കിൽ ലോഗരിതംസിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റുകളിൽ നിന്നും അടിസ്ഥാനങ്ങളിൽ നിന്നും അധികാരങ്ങൾ നീക്കംചെയ്യുന്നത്.

ഡിഗ്രികൾ പോലും നിർമ്മിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുമെന്ന് ഞാൻ പറയും, കാരണം യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകുന്നത് പോലും ഡിഗ്രികളിലാണ്.

കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. log a f (x) = b എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം നമുക്കുണ്ടെന്ന് പറയാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, b = log a a b എന്ന ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ നമ്പർ b വീണ്ടും എഴുതുന്നു. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്നതായി മാറുന്നു:

log a f (x) = log a a b

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ വാദങ്ങൾ തുല്യമാക്കുന്നു:

f (x) = a b

അവസാന ഫോർമുലയെ കാനോനിക്കൽ ഫോം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ എത്ര സങ്കീർണ്ണവും ഭയങ്കരവുമായതായി തോന്നിയാലും ഏതെങ്കിലും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം കുറയ്ക്കാൻ അവർ ശ്രമിക്കുന്നത് അവളോടാണ്.

അതുകൊണ്ട് ശ്രമിക്കാം. ആദ്യ ടാസ്ക്കിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം:

പ്രാഥമിക കുറിപ്പ്: ഞാൻ പറഞ്ഞതുപോലെ, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളും സാധാരണമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്:

0,5 = 5/10 = 1/2

ഈ വസ്തുത മനസ്സിൽ വെച്ച് നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം തിരുത്തിയെഴുതാം. 1/1000 ഉം 100 ഉം പത്തിന്റെ ശക്തികളാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക, തുടർന്ന് അവ എവിടെയായിരുന്നാലും ഞങ്ങൾ അധികാരങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു: വാദങ്ങളിൽ നിന്നും ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും പോലും:

ഇവിടെ പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഒരു ചോദ്യമുണ്ട്: "വലതുവശത്ത് മൊഡ്യൂൾ എവിടെ നിന്നാണ് വന്നത്?" തീർച്ചയായും, എന്തുകൊണ്ട് (x - 1) എഴുതരുത്? തീർച്ചയായും, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ എഴുതും (x - 1), എന്നാൽ അത്തരമൊരു റെക്കോർഡിനുള്ള അവകാശം നമുക്ക് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ അക്കൗണ്ട് നൽകുന്നു. തീർച്ചയായും, മറ്റൊരു ലോഗരിതത്തിൽ ഇതിനകം (x - 1) ഉണ്ട്, ഈ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

എന്നാൽ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തട്ടിൽ നിന്ന് ചതുരം എടുക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ മൊഡ്യൂൾ അടിത്തറയിൽ ഉപേക്ഷിക്കണം. എന്തുകൊണ്ടെന്ന് ഞാൻ വിശദീകരിക്കാം.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഒരു ബിരുദം കൈമാറുന്നത് ഒരു റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത. പ്രത്യേകിച്ചും, (x - 1) 2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് ചതുരം പുറത്തെടുക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ പ്രധാനമായും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുകയാണ്. എന്നാൽ ഒരു സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് ഒരു മൊഡ്യൂളല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല. കൃത്യമായി മൊഡ്യൂൾ, കാരണം എക്‌സ്‌പ്രഷൻ x - 1 നെഗറ്റീവാണെങ്കിൽ പോലും, സ്‌ക്വയർ ചെയ്യുമ്പോൾ "മൈനസ്" എരിഞ്ഞുപോകും. റൂട്ട് കൂടുതൽ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് നമുക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ നൽകും - ഇതിനകം തന്നെ പോരായ്മകളൊന്നുമില്ലാതെ.

പൊതുവേ, കുറ്റകരമായ തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക:

ഒരേ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഏതൊരു ഫംഗ്‌ഷന്റെയും ഇരട്ട റൂട്ട് ഫംഗ്‌ഷനു തുല്യമല്ല, മറിച്ച് അതിന്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമാണ്:

ഞങ്ങളുടെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങുക. മൊഡ്യൂളിനെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇത് വേദനയില്ലാതെ നീക്കംചെയ്യാമെന്ന് ഞാൻ വാദിച്ചു. ഇത് സത്യമാണ്. എന്തുകൊണ്ടെന്ന് ഞാൻ വിശദീകരിക്കാം. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1. x - 1> 0 ⇒ | x - 1 | = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

ഈ ഓപ്ഷനുകളിൽ ഓരോന്നും അഭിസംബോധന ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ ഒരു ക്യാച്ച് ഉണ്ട്: യഥാർത്ഥ ഫോർമുലയിൽ മോഡുലസ് ഇല്ലാതെ ഫംഗ്ഷൻ (x - 1) ഇതിനകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ലോഗരിതങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ പിന്തുടർന്ന്, x - 1> 0 എന്ന് ഉടനടി എഴുതാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്.

പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ ഞങ്ങൾ നടത്തുന്ന ഏതെങ്കിലും മൊഡ്യൂളുകളിൽ നിന്നും മറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്നും സ്വതന്ത്രമായി ഈ ആവശ്യകത നിറവേറ്റണം. തൽഫലമായി, രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല - അത് ഒരിക്കലും ഉണ്ടാകില്ല. അസമത്വത്തിന്റെ ഈ ശാഖ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ചില സംഖ്യകൾ ലഭിച്ചാലും, അവ അന്തിമ ഉത്തരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തില്ല.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ നിന്ന് അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പടി അകലെയാണ്. നമുക്ക് യൂണിറ്റിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

1 = ലോഗ് x - 1 (x - 1) 1

കൂടാതെ, ആർഗ്യുമെന്റിൽ വലതുവശത്തുള്ള ഘടകം -4 ഞങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു:

ലോഗ് x - 1 10 -4 = ലോഗ് x - 1 (x - 1)

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപമാണ് നമ്മുടെ മുമ്പിലുള്ളത്. ലോഗരിതം അടയാളം ഒഴിവാക്കുക:

10 -4 = x - 1

എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആയിരുന്നതിനാൽ (ഒരു പ്രൈം നമ്പറല്ല), ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും ഒന്നിന് തുല്യവുമല്ലെന്നും ഞങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. സിസ്റ്റം മാറും:

x - 1> 0 എന്ന ആവശ്യകത യാന്ത്രികമായി പൂർത്തീകരിക്കപ്പെടുന്നതിനാൽ (എല്ലാത്തിനുമുപരി, x - 1 = 10 -4), അസമത്വങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഇല്ലാതാക്കാൻ കഴിയും. രണ്ടാമത്തെ അവസ്ഥയും മറികടക്കാം, കാരണം x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്ന ഡൊമെയ്‌നിന്റെ എല്ലാ ആവശ്യകതകളും യാന്ത്രികമായി നിറവേറ്റുന്ന ഒരേയൊരു റൂട്ട് ഇതാണ് (എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്‌നത്തിന്റെ സാഹചര്യങ്ങളിൽ അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് നിറവേറ്റിയതിനാൽ എല്ലാ ആവശ്യകതകളും ഇല്ലാതാക്കി).

അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം:

3 ലോഗ് 3 x x = 2 ലോഗ് 9 x x 2

ഈ സമവാക്യം മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായി എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? ഇതിനകം കുറഞ്ഞത് ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ - 3x, 9x - പരസ്പരം സ്വാഭാവിക ഡിഗ്രികളല്ല. അതിനാൽ, മുമ്പത്തെ പരിഹാരത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച പരിവർത്തനം സാധ്യമല്ല.

ഡിഗ്രികളെങ്കിലും ഒഴിവാക്കട്ടെ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ വാദത്തിൽ മാത്രമാണ് ബിരുദം:

3 ലോഗ് 3 x x = 2 ∙ 2 ലോഗ് 9 x | x |

എന്നിരുന്നാലും, മോഡുലസ് ചിഹ്നം നീക്കം ചെയ്യാവുന്നതാണ്, കാരണം x വേരിയബിളും അടിത്തറയിലാണ്, അതായത്. x> 0 ⇒ | x | = x. നമുക്ക് നമ്മുടെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം:

3 ലോഗ് 3 x x = 4 ലോഗ് 9 x x

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരേ ആർഗ്യുമെന്റുകളുള്ള ലോഗരിതം ലഭിച്ചു, പക്ഷേ വ്യത്യസ്ത അടിസ്ഥാനങ്ങൾ. ഞാൻ അടുത്തതായി എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? ഇവിടെ നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം മാത്രമേ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയുള്ളൂ, അവ ഏറ്റവും യുക്തിസഹമാണ്, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ഇവ മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും വേഗമേറിയതും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായ സാങ്കേതികതകളാണ്.

ആദ്യ ഓപ്ഷൻ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്: മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, ഒരു വേരിയബിൾ ബേസ് ഉള്ള ലോഗരിതം ചില സ്ഥിരമായ അടിത്തറയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡ്യൂസിലേക്ക്. പരിവർത്തന സൂത്രവാക്യം ലളിതമാണ്:

തീർച്ചയായും, ഒരു സാധാരണ സംഖ്യ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പങ്ക് വഹിക്കണം c: 1 ≠ c> 0. നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ c = 2. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു സാധാരണ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം ഉണ്ട്. ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നു:

വ്യക്തമായും, ഫാക്ടർ ലോഗ് 2 x പുറത്തെടുക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, കാരണം ഇത് ഒന്നും രണ്ടും ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഉണ്ട്.

ലോഗ് 2 x = 0;

3 ലോഗ് 2 9x = 4 ലോഗ് 2 3x

ഞങ്ങൾ ഓരോ ലോഗും രണ്ട് പദങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു:

ലോഗ് 2 9x = ലോഗ് 2 9 + ലോഗ് 2 x = 2 ലോഗ് 2 3 + ലോഗ് 2 x;

ലോഗ് 2 3x = ലോഗ് 2 3 + ലോഗ് 2 x

ഈ വസ്തുതകൾ കണക്കിലെടുത്ത് സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും മാറ്റിയെഴുതാം:

3 (2 ലോഗ് 2 3 + ലോഗ് 2 x) = 4 (ലോഗ് 2 3 + ലോഗ് 2 x)

6 ലോഗ് 2 3 + 3 ലോഗ് 2 x = 4 ലോഗ് 2 3 + 4 ലോഗ് 2 x

2 ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 x

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ രണ്ട് ചേർക്കുന്നത് ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നു (ഇത് ഒരു ശക്തിയായി മാറും: 3 2 = 9):

ലോഗ് 2 9 = ലോഗ് 2 x

ഞങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് ക്ലാസിക്കൽ കാനോനിക്കൽ രൂപമാണ്, ലോഗരിതം എന്ന അടയാളം ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുകയും നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പ്രതീക്ഷിച്ചതുപോലെ, ഈ റൂട്ട് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായി മാറി. ഡൊമെയ്ൻ പരിശോധിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. കാരണങ്ങൾ നോക്കാം:

എന്നാൽ റൂട്ട് x = 9 ഈ ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നു. അതിനാൽ, ഇത് അന്തിമ തീരുമാനമാണ്.

ഈ പരിഹാരത്തിൽ നിന്നുള്ള നിഗമനം ലളിതമാണ്: നീണ്ട കണക്കുകൂട്ടലുകളാൽ ഭയപ്പെടരുത്! തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഞങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായി ഒരു പുതിയ അടിത്തറ തിരഞ്ഞെടുത്തു - ഇത് പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി സങ്കീർണ്ണമാക്കി.

എന്നാൽ പിന്നീട് ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഏത് തരത്തിലുള്ള അടിത്തറയാണ് ഒപ്റ്റിമൽ? രണ്ടാമത്തെ രീതിയിൽ ഞാൻ ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും.

നമുക്ക് നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

3 ലോഗ് 3x x = 2 ലോഗ് 9x x 2

3 ലോഗ് 3x x = 2 ∙ 2 ലോഗ് 9x | x |

x> 0 ⇒ | x | = x

3 ലോഗ് 3 x x = 4 ലോഗ് 9 x x

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അൽപ്പം ചിന്തിക്കാം: ഒപ്റ്റിമൽ റാഡിക്സ് ഏത് സംഖ്യ അല്ലെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും? വ്യക്തമായും, മികച്ച ഓപ്ഷൻ c = x ആയിരിക്കും - ആർഗ്യുമെന്റുകളിൽ ഇതിനകം ഉള്ളതെന്തും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ലോഗ് a b = log c b / log c a എന്ന ഫോർമുല ഫോം എടുക്കും:

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പദപ്രയോഗം ലളിതമായി വിപരീതമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വാദവും അടിസ്ഥാനവും വിപരീതമാണ്.

ഈ ഫോർമുല വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ വളരെ ഗുരുതരമായ ഒരു പോരായ്മയുണ്ട്. അടിസ്ഥാനത്തിനുപകരം ഞങ്ങൾ വേരിയബിൾ x മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മുമ്പ് നിരീക്ഷിച്ചിട്ടില്ലാത്ത നിയന്ത്രണങ്ങൾ അതിന്മേൽ ചുമത്തുന്നു:

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ അത്തരമൊരു പരിമിതി ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. അതിനാൽ, x = 1 ആകുമ്പോൾ നിങ്ങൾ കേസ് പ്രത്യേകം പരിശോധിക്കണം. ഈ മൂല്യം ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുക:

3 ലോഗ് 3 1 = 4 ലോഗ് 9 1

നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം ലഭിക്കും. അതിനാൽ, x = 1 ഒരു റൂട്ട് ആണ്. പരിഹാരത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ മുമ്പത്തെ രീതിയിലെ അതേ റൂട്ട് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

എന്നാൽ ഇപ്പോൾ, ഈ പ്രത്യേക കേസ് ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, x ≠ 1 എന്ന് ഞങ്ങൾ സുരക്ഷിതമായി അനുമാനിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

3 ലോഗ് x 9x = 4 ലോഗ് x 3x

മുമ്പത്തെ അതേ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളും വികസിപ്പിക്കുക. ലോഗ് x x = 1 എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക:

3 (ലോഗ് x 9 + ലോഗ് x x) = 4 (ലോഗ് x 3 + ലോഗ് x x)

3 ലോഗ് x 9 + 3 = 4 ലോഗ് x 3 + 4

3 ലോഗ് x 3 2 - 4 ലോഗ് x 3 = 4 - 3

2 ലോഗ് x 3 = 1

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് എത്തി:

ലോഗ് x 9 = ലോഗ് x x 1

x = 9

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് ലഭിച്ചു. ഇത് x ≠ 1 എന്ന ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, x = 9 കൂടാതെ x = 1 ആണ് അന്തിമ ഉത്തരം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ചെറുതായി കുറഞ്ഞു. എന്നാൽ ഒരു യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം വളരെ കുറവായിരിക്കും, കാരണം നിങ്ങൾ ഓരോ ഘട്ടവും വിശദമായി വിവരിക്കേണ്ടതില്ല.

ഇന്നത്തെ പാഠത്തിന്റെ പ്രധാന നിയമം ഇപ്രകാരമാണ്: പ്രശ്നത്തിൽ ഇരട്ട ബിരുദം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതേ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുത്താൽ, ഔട്ട്പുട്ടിൽ നമുക്ക് ഒരു മൊഡ്യൂൾ ലഭിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ലോഗരിതങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ ഈ മൊഡ്യൂൾ നീക്കംചെയ്യാം.

എന്നാൽ ശ്രദ്ധിക്കുക: ഈ പാഠത്തിന് ശേഷം മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും എല്ലാം മനസ്സിലാക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുന്നു. എന്നാൽ യഥാർത്ഥ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവർക്ക് മുഴുവൻ ലോജിക്കൽ ശൃംഖലയും പുനർനിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല. തൽഫലമായി, സമവാക്യം അനാവശ്യമായ വേരുകളാൽ പടർന്ന് പിടിക്കുന്നു, ഉത്തരം തെറ്റാണ്.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

നിർദ്ദിഷ്ട ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക. എക്സ്പ്രഷൻ 10 ന്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിന്റെ നൊട്ടേഷൻ വെട്ടിച്ചുരുക്കി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: lg b എന്നത് ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്. ലോഗരിതത്തിന് e എന്ന സംഖ്യ അടിസ്ഥാനമാണെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗം എഴുതുക: ln b - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം. ബി എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ ആധാരത്തിന്റെ സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയാണ് ഏതിന്റെയും ഫലം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയെ വേർതിരിക്കുകയും ഫലങ്ങൾ ചേർക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്: (u + v) "= u" + v ";

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ചേർക്കുകയും വേണം, ആദ്യ ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചാൽ: (u * v) "= u" * v + v "* u;

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഡിവിഡൻഡിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗുണനഫലത്തിൽ നിന്ന്, ഡിവിഡൻറ് ഫംഗ്‌ഷൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഡിവിഡന്റ് ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചതിന്റെ ഗുണനത്തിന്റെ ഉൽപ്പന്നം കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. , ഇതിനെയെല്ലാം ഡിവൈസർ ഫംഗ്‌ഷൻ സ്‌ക്വയർ ഉപയോഗിച്ച് ഹരിക്കുക. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ബാഹ്യമായതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. y = u (v (x)), തുടർന്ന് y "(x) = y" (u) * v "(x) എന്ന് അനുവദിക്കുക.

മുകളിൽ ലഭിച്ചവ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏത് ഫംഗ്ഷനും വേർതിരിക്കാനാകും. അതിനാൽ, നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിലും പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകട്ടെ, നിങ്ങൾ x = 1 എന്ന പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
1) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക y "(1) = 8 * e^ 0 = 8

അനുബന്ധ വീഡിയോകൾ

സഹായകരമായ ഉപദേശം

പ്രാഥമിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക പഠിക്കുക. ഇത് ഗണ്യമായി സമയം ലാഭിക്കും.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

അപ്പോൾ, യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യവും യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? അജ്ഞാത വേരിയബിൾ വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം യുക്തിരഹിതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതി രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും നിർമ്മിക്കുന്ന രീതിയാണ് സമവാക്യങ്ങൾഒരു ചതുരത്തിൽ. എന്നിരുന്നാലും. ഇത് സ്വാഭാവികമാണ്, അടയാളം ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി. ഈ രീതി സാങ്കേതികമായി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല, പക്ഷേ ചിലപ്പോൾ ഇത് കുഴപ്പത്തിലായേക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, v (2x-5) = v (4x-7) എന്ന സമവാക്യം. അതിന്റെ ഇരുവശവും ചതുരാകൃതിയിലാക്കിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് 2x-5 = 4x-7 ലഭിക്കും. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല; x = 1. എന്നാൽ നമ്പർ 1 നൽകില്ല സമവാക്യങ്ങൾ... എന്തുകൊണ്ട്? x എന്ന സമവാക്യത്തിൽ 1 പകരം വയ്ക്കുക, വലത്, ഇടത് വശങ്ങളിൽ അർത്ഥമില്ലാത്ത പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കും, അതായത്. ഒരു സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന് ഈ മൂല്യം സാധുതയുള്ളതല്ല. അതിനാൽ, 1 എന്നത് ഒരു ബാഹ്യമൂലമാണ്, അതിനാൽ തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

അതിനാൽ, യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം അതിന്റെ ഇരുവശവും ചതുരമാക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, പുറമേയുള്ള വേരുകൾ മുറിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

മറ്റൊന്ന് പരിഗണിക്കുക.
2x + vx-3 = 0
തീർച്ചയായും, ഈ സമവാക്യം മുമ്പത്തെ അതേ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. സംയുക്തം നീക്കുക സമവാക്യങ്ങൾസ്ക്വയർ റൂട്ട് ഇല്ലാത്തവ, വലത് വശത്തേക്ക്, തുടർന്ന് സ്ക്വയറിംഗ് രീതി ഉപയോഗിക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും വേരുകളും പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ മറ്റൊന്ന്, കൂടുതൽ സുന്ദരമായ ഒന്ന്. ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ നൽകുക; vx = y. അതനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 2y2 + y-3 = 0 എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും. അതായത്, സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക; y1 = 1, y2 = -3 / 2. അടുത്തതായി, രണ്ടെണ്ണം തീരുമാനിക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ vx = 1; vx = -3 / 2. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് x = 1 എന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു. വേരുകൾ പരിശോധിക്കാൻ മറക്കരുത്.

ഐഡന്റിറ്റികൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കുന്നത് വരെ ഇതിന് സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെ, ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, ചുമതല പരിഹരിക്കപ്പെടും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - പേപ്പർ;
• - ഒരു പേന.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ബീജഗണിത സംക്ഷിപ്ത ഗുണനമാണ് (തുകയുടെ വർഗ്ഗം (വ്യത്യാസം), ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം, തുക (വ്യത്യാസം), തുകയുടെ ക്യൂബ് (വ്യത്യാസം)). കൂടാതെ, നിരവധി ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്, അവ അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരേ ഐഡന്റിറ്റികളാണ്.

വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗം, ആദ്യത്തേതിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് തുല്യമാണ് പ്ലസ് രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഗുണനത്തിന്റെ ഇരട്ടിയും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ വർഗ്ഗവും, അതായത് (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

രണ്ടും ലളിതമാക്കുക

പരിഹാരത്തിന്റെ പൊതു തത്വങ്ങൾ

വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഇന്റഗ്രലുകളുടെ പരിഹാരം

സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ

ഗണിതത്തിലെ അവസാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പിൽ ഒരു പ്രധാന വിഭാഗം ഉൾപ്പെടുന്നു - "ലോഗരിതം". ഈ വിഷയത്തിൽ നിന്നുള്ള ടാസ്ക്കുകൾ നിർബന്ധമായും പരീക്ഷയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കണം. കഴിഞ്ഞ വർഷത്തെ അനുഭവം കാണിക്കുന്നത് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പല സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കിയിട്ടുണ്ട് എന്നാണ്. അതിനാൽ, വ്യത്യസ്ത തലത്തിലുള്ള പരിശീലനമുള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾ ശരിയായ ഉത്തരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് മനസിലാക്കുകയും അവ വേഗത്തിൽ നേരിടുകയും വേണം.

"Shkolkovo" എന്ന വിദ്യാഭ്യാസ പോർട്ടൽ ഉപയോഗിച്ച് സർട്ടിഫിക്കേഷൻ ടെസ്റ്റ് വിജയകരമായി വിജയിക്കുക!

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുമ്പോൾ, ഹൈസ്കൂൾ ബിരുദധാരികൾക്ക് ടെസ്റ്റ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ വിജയകരമായ പരിഹാരത്തിനായി ഏറ്റവും പൂർണ്ണവും കൃത്യവുമായ വിവരങ്ങൾ നൽകുന്ന ഒരു വിശ്വസനീയമായ ഉറവിടം ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പാഠപുസ്തകം എല്ലായ്പ്പോഴും കൈയിലില്ല, ഇന്റർനെറ്റിൽ ആവശ്യമായ നിയമങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്നതിന് പലപ്പോഴും സമയമെടുക്കും.

വിദ്യാഭ്യാസ പോർട്ടൽ "Shkolkovo" എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും എവിടെയും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ലോഗരിതം, അതുപോലെ ഒന്നിലധികം അജ്ഞാതങ്ങൾ എന്നിവയിൽ വലിയ അളവിലുള്ള വിവരങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നതിനും സ്വാംശീകരിക്കുന്നതിനുമുള്ള ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ സമീപനം ഞങ്ങളുടെ സൈറ്റ് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു. എളുപ്പമുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കുക. നിങ്ങൾ അവ എളുപ്പത്തിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായവയിലേക്ക് പോകുക. ഒരു നിശ്ചിത അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അത് നിങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ടവയിലേക്ക് ചേർക്കാൻ കഴിയും, അതുവഴി നിങ്ങൾക്ക് പിന്നീട് അതിലേക്ക് മടങ്ങാനാകും.

"സൈദ്ധാന്തിക റഫറൻസ്" വിഭാഗം നോക്കി, ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം, പ്രത്യേക കേസുകളും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും ആവർത്തിക്കുക. Shkolkovo അധ്യാപകർ ഏറ്റവും ലളിതവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായ രൂപത്തിൽ വിജയകരമായ ഡെലിവറിക്ക് ആവശ്യമായ എല്ലാ വസ്തുക്കളും ശേഖരിക്കുകയും ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു.

ഏത് സങ്കീർണ്ണതയുടെയും ജോലികൾ എളുപ്പത്തിൽ നേരിടാൻ, ഞങ്ങളുടെ പോർട്ടലിൽ നിങ്ങൾക്ക് ചില സാധാരണ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, "ഡയറക്‌ടറികൾ" വിഭാഗത്തിലേക്ക് പോകുക. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പരീക്ഷയുടെ പ്രൊഫൈൽ ലെവലിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചു.

റഷ്യയിലുടനീളമുള്ള സ്കൂളുകളിൽ നിന്നുള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പോർട്ടൽ ഉപയോഗിക്കാം. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിൽ രജിസ്റ്റർ ചെയ്ത് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ആരംഭിക്കുക. ഫലങ്ങൾ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, എല്ലാ ദിവസവും Shkolkovo വെബ്സൈറ്റിലേക്ക് മടങ്ങാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഉപദേശിക്കുന്നു.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഭാഗം 1.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യംലോഗരിതം (പ്രത്യേകിച്ച്, ലോഗരിതം അടിയിൽ) എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ അജ്ഞാതമായത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്.

ഏറ്റവും ലളിതമായത് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യംഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഏതെങ്കിലും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരംലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം ഉൾപ്പെടുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ പ്രവർത്തനം സമവാക്യത്തിന്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി വികസിപ്പിക്കുകയും പുറമേയുള്ള വേരുകളുടെ രൂപത്തിലേക്ക് നയിക്കുകയും ചെയ്യും. പുറമെയുള്ള വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാതിരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് വഴികളിൽ ഒന്ന് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

1. തുല്യമായ പരിവർത്തനം നടത്തുകയഥാർത്ഥ സമവാക്യം മുതൽ സിസ്റ്റം ഉൾപ്പെടെ

ഏത് അസമത്വമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമാണ് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

സമവാക്യത്തിൽ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിഭാഗത്ത് അജ്ഞാതമായ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ:

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് പോകുന്നു:

2. സമവാക്യത്തിന്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി പ്രത്യേകം കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക.

3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക, തുടർന്ന് പരിശോധിക്കുക:കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, നമുക്ക് ശരിയായ തുല്യത ലഭിക്കുമോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക.

സങ്കീർണ്ണതയുടെ ഏത് തലത്തിലുമുള്ള ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ആത്യന്തികമായി എല്ലായ്പ്പോഴും ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു.

എല്ലാ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളെയും ഏകദേശം നാല് തരങ്ങളായി തിരിക്കാം:

1 ... ഒന്നാം ഡിഗ്രി വരെ ലോഗരിതം മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ. പരിവർത്തനങ്ങളുടെയും ഉപയോഗത്തിന്റെയും സഹായത്തോടെ അവ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം... നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ നമുക്ക് തുല്യമാക്കാം:

നമ്മുടെ റൂട്ട് സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം:

അതെ, അത് ചെയ്യുന്നു.

ഉത്തരം: x = 5

2 ... 1 അല്ലാത്ത ഒരു ഡിഗ്രി വരെ ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ (പ്രത്യേകിച്ച്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ). ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വേരിയബിൾ മാറ്റം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ ODZ കണ്ടെത്താം:

സമവാക്യത്തിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ വേരിയബിൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ ഇത് പരിഹരിക്കപ്പെടും.

പ്രധാനം! ഒരു പകരം വയ്ക്കൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്റെ ഭാഗമായ ലോഗരിതം "ഇഷ്ടികകൾ" ആയി നിങ്ങൾ "വലിക്കേണ്ടതുണ്ട്".

ലോഗരിതം "വലിക്കുമ്പോൾ", ലോഗരിതങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പ്രയോഗിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്:

കൂടാതെ, ഒരു സൂക്ഷ്മമായ പോയിന്റ് കൂടി ഉണ്ട്, ഒരു സാധാരണ തെറ്റ് ഒഴിവാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഇന്റർമീഡിയറ്റ് തുല്യത ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഈ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ബിരുദം എഴുതുന്നു:

അതുപോലെ,

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അജ്ഞാതമായത് കോമ്പോസിഷനിലെ സമവാക്യത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതായി ഇപ്പോൾ നാം കാണുന്നു. പകരക്കാരനെ പരിചയപ്പെടുത്താം:. ഇതിന് യഥാർത്ഥ മൂല്യം എടുക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, വേരിയബിളിൽ ഞങ്ങൾ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഏർപ്പെടുത്തില്ല.