രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ. നേർരേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നതിനിടയിലുള്ള കോൺ: നിർവചനം, കണ്ടെത്തലിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒപ്പം. രണ്ട് നേർരേഖകൾ നൽകട്ടെ. ഈ നേർരേഖകൾ, അധ്യായം 1 ൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, വിവിധ പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് കോണുകളായി മാറുന്നു, അവ നിശിതവും വൃദ്ധവുമാണ്. ഈ കോണുകളിലൊന്ന് അറിയുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് മറ്റേതെങ്കിലും എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

വഴിയിൽ, ഈ എല്ലാ കോണുകളിലും ടാൻജെന്റിന്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം ഒന്നുതന്നെയാണ്, വ്യത്യാസം ചിഹ്നത്തിൽ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ

വരികളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ. ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും നേർരേഖകളുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളാണ് അക്കങ്ങൾ.ഈ വെക്ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നേർരേഖകളാൽ രൂപംകൊണ്ട കോണുകളിൽ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് ടാസ്ക് കുറയുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ലാളിത്യത്തിനായി, ഒരു നിശിത പോസിറ്റീവ് ആംഗിൾ അർത്ഥമാക്കുന്നതിന് രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൽ നമുക്ക് യോജിക്കാം (ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രം 53 ൽ).

അപ്പോൾ ഈ കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. അതിനാൽ, ഫോർമുല (1) ന്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് ഉപേക്ഷിക്കണം, അതായത്, കേവല മൂല്യം മാത്രം സൂക്ഷിക്കുക.

ഉദാഹരണം. നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ നിർണ്ണയിക്കുക

ഫോർമുല (1) പ്രകാരം, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്

മുതൽ. കോണിന്റെ ഏത് വശമാണ് അതിന്റെ ആരംഭമെന്നും അവസാനമാണെന്നും സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലായ്പ്പോഴും എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ കോണിന്റെ ദിശ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഫോർമുല (1) ൽ നിന്ന് കൂടുതലായി എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യാനാകും. ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ (1) വലതുഭാഗത്ത് ലഭിച്ച 53-ാമത്തെ ചിഹ്നം ഏത് ഒന്നിനെ - നിശിതമോ ചരിഞ്ഞതോ ആയ ആംഗിൾ ആദ്യ വരിയുമായി രണ്ടാമത്തെ വരി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു എന്ന് സൂചിപ്പിക്കും.

(വാസ്തവത്തിൽ, ചിത്രം 53 ൽ നിന്ന്, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ദിശയിലുള്ള വെക്ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള ആവശ്യമുള്ള കോണിന് തുല്യമാണെന്നും അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ നിന്ന് ± 180 by വ്യത്യാസമുണ്ടെന്നും ഞങ്ങൾ കാണുന്നു.)

d. നേർരേഖകൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകളും സമാന്തരമാണ്. രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സമാന്തരതയുടെ അവസ്ഥ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും!

രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ സമാന്തരതയ്ക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ അവസ്ഥയാണിത്.

ഉദാഹരണം. നേരിട്ട്

സമാന്തരമായതിനാൽ

e. നേർരേഖകൾ ലംബമാണെങ്കിൽ അവയുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകളും ലംബമാണ്. രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ലംബതയുടെ അവസ്ഥ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് വരികളുടെ ലംബതയുടെ അവസ്ഥ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു, അതായത്

ഉദാഹരണം. നേരിട്ട്

കാരണം ലംബമാണ്

സമാന്തരതയുടെയും ലംബതയുടെയും അവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

f. ഈ നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു പോയിന്റിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക

പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടത്തുന്നു. ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖ തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് സമാന്തരമായിരിക്കുന്നതിനാൽ, അതിന്റെ ദിശ വെക്റ്ററിനായി നമുക്ക് നൽകിയ നേർരേഖയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒന്ന് എടുക്കാം, അതായത്, എ, ബി പ്രൊജക്ഷനുകളുള്ള ഒരു വെക്റ്റർ, തുടർന്ന് ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഫോമിൽ എഴുതപ്പെടും (§ 1)

ഉദാഹരണം. ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു പോയിന്റിലൂടെ (1; 3) കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

അടുത്തതായിരിക്കും!

g. ഈ നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമായി ഒരു പോയിന്റിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക

ഇവിടെ പ്രൊജക്ഷനുകളുള്ള ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു ദിശ വെക്റ്ററായി എടുക്കാൻ ഇനി അനുയോജ്യമല്ല, പക്ഷേ ലംബമായ ഒരു വെക്റ്റർ own തപ്പെടണം. ഈ വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കണം, അതിനാൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെയും ലംബതയുടെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, അതായത്, വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്

ഈ അവസ്ഥ എണ്ണമറ്റ രീതിയിൽ നിറവേറ്റാൻ കഴിയും, കാരണം ഇവിടെ രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ട്, എന്നാൽ എളുപ്പവഴി പോകുക എന്നതാണ്, തുടർന്ന് ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതപ്പെടും

ഉദാഹരണം. ലംബ രേഖയിൽ പോയിന്റിലൂടെ (-7; 2) കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

ഇനിപ്പറയുന്നവ ആയിരിക്കും (രണ്ടാമത്തെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്)!

h. ഫോമിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നേർരേഖകൾ നൽകുമ്പോൾ

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

കുറിപ്പ്

ടാൻജെന്റിന്റെ ത്രികോണമിതിയുടെ പ്രവർത്തന കാലയളവ് 180 ഡിഗ്രിയാണ്, അതായത് നേർരേഖകളുടെ ചരിവുകൾക്ക് കേവല മൂല്യത്തിൽ ഈ മൂല്യം കവിയാൻ കഴിയില്ല.

സഹായകരമായ ഉപദേശം

ചരിവുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരം വരികൾ തമ്മിൽ യോജിക്കുന്നതോ സമാന്തരമോ ആയതിനാൽ അത്തരം വരികൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ 0 ആണ്.

നേർരേഖകൾ കടക്കുന്നതിനിടയിലുള്ള കോണിന്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാൻ, കടക്കുന്നതിന് മുമ്പ് സമാന്തര കൈമാറ്റ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് നേർരേഖകളും (അല്ലെങ്കിൽ അവയിലൊന്ന്) ഒരു പുതിയ സ്ഥാനത്തേക്ക് മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതിനുശേഷം, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ മൂല്യം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്

• ഭരണാധികാരി, വലത് ത്രികോണം, പെൻസിൽ, പ്രൊട്ടക്റ്റർ.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

അതിനാൽ, വെക്റ്റർ V \u003d (a, b, c), തലം A x + B y + C z \u003d 0 എന്നിവ നൽകട്ടെ, ഇവിടെ A, B, C എന്നിവ സാധാരണ N ന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്. പിന്നെ കോണിന്റെ കോസൈൻ V, N എന്നീ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള സമം: сos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

ഡിഗ്രിയിലോ റേഡിയനുകളിലോ കോണിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് കോസൈനിലേക്കുള്ള വിപരീത പ്രവർത്തനം നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. arccosine: α \u003d arccos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

ഉദാഹരണം: കണ്ടെത്തുക കോൺ ഇടയിൽ വെക്റ്റർ (5, -3, 8) ഒപ്പം വിമാനം2 x - 5 y + 3 z \u003d 0 എന്ന പൊതു സമവാക്യം നൽകിയ പരിഹാരം: തലം N \u003d (2, -5, 3) സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എഴുതുക. അറിയപ്പെടുന്ന എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും മുകളിലുള്ള സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α \u003d 36.87 °.

അനുബന്ധ വീഡിയോകൾ

ഒരു സർക്കിളിനൊപ്പം ഒരു പൊതു പോയിന്റുള്ള ഒരു നേർരേഖ സർക്കിളിന് ടാൻജെന്റാണ്. ടാൻജെന്റിന്റെ മറ്റൊരു സവിശേഷത, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ടാൻജെന്റ് പോയിന്റിലേക്ക് വരച്ച ദൂരത്തിന് ലംബമാണ്, അതായത്, ടാൻജെന്റും ആരം ഒരു നേർരേഖയും ഉണ്ടാക്കുന്നു കോൺ... ഒരു ഘട്ടത്തിൽ നിന്ന് എബി, എസി സർക്കിളിലേക്ക് രണ്ട് ടാൻജെന്റുകൾ വരച്ചാൽ, അവ എല്ലായ്പ്പോഴും പരസ്പരം തുല്യമാണ്. ടാൻജന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നിർണ്ണയിക്കുന്നു ( കോൺ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് എ ബി സി) നിർമ്മിക്കുന്നത്.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ OB, OS സർക്കിളിന്റെ ദൂരവും സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് നിന്ന് ടാൻജെന്റിന്റെ ഉത്ഭവസ്ഥാനത്തിന്റെ ദൂരവും അറിയേണ്ടതുണ്ട് - O. അതിനാൽ, ABO, ACO എന്നിവയുടെ കോണുകൾ തുല്യമാണ്, ദൂരം OB യുടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, 10 സെന്റിമീറ്റർ, AO സർക്കിളിന്റെ മധ്യത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം 15 സെന്റിമീറ്റർ. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് അനുസൃതമായി ഫോർമുലയോടൊപ്പം ടാൻജെന്റിന്റെ നീളം നിർണ്ണയിക്കുക: AB \u003d AO2 - OB2 അല്ലെങ്കിൽ 152 - 102 ന്റെ വർ\u200cഗ്ഗ റൂട്ട് \u003d 225 - 100 \u003d 125;

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വിമാനത്തിലെ l, m എന്നീ രണ്ട് നേർരേഖകൾ പൊതു സമവാക്യങ്ങൾ നൽകട്ടെ: l: A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0

തന്നിരിക്കുന്ന വരികളിലേക്കുള്ള നോർമലുകളുടെ വെക്റ്ററുകൾ: \u003d (A 1, B 1) - l എന്ന വരിയിലേക്ക്,

\u003d (A 2, B 2) - m എന്ന വരിയിലേക്ക്.

J, l, m എന്നീ വരികൾ തമ്മിലുള്ള കോണാകട്ടെ.

പരസ്പരം ലംബമായ വശങ്ങളുള്ള കോണുകൾ തുല്യമോ p വരെ ചേർക്കുന്നതോ ആയതിനാൽ , അതായത്, cos j \u003d.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചു.

സിദ്ധാന്തം. J വിമാനത്തിലെ രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോണാകട്ടെ, ഈ നേർരേഖകൾ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + എന്നീ പൊതു സമവാക്യങ്ങളാൽ നൽകട്ടെ. സി 2 \u003d 0. പിന്നെ കോസ് ജെ \u003d .

വ്യായാമങ്ങൾ.

1) ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം put ട്ട്\u200cപുട്ട് ചെയ്യുക:

(1) രണ്ട് വരികളും പരാമീറ്ററിക്കായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു; (2) രണ്ട് വരികളും കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു; . (4) രണ്ട് നേർരേഖകളും ഒരു ചരിവുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിലൂടെ നൽകുന്നു.

2) J എന്നത് വിമാനത്തിലെ രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോണാകട്ടെ, ഈ നേർരേഖകൾ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 എന്നീ സമവാക്യങ്ങളാൽ നൽകട്ടെ.

അപ്പോൾ tg j \u003d.

3) കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ പൊതു സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയ രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്ത് പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുക:

ഒരു വിമാനത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം.

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വിമാനത്തിലെ l എന്ന വരി ആക്സ് + ബൈ + സി \u003d 0 എന്ന പൊതു സമവാക്യം നൽകട്ടെ.

പോയിന്റ് M മുതൽ വരി l വരെയുള്ള ദൂരം ലംബമായ HM (H Î l, HM ^ l) ന്റെ നീളമാണ്.

L എന്ന വരിയിലേക്കുള്ള വെക്ടറും സാധാരണ വെക്ടറും കോളിനിയർ ആയതിനാൽ | | \u003d | | | | ഒപ്പം | | \u003d.

H (x, y) പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ അനുവദിക്കുക.

H പോയിന്റ് l എന്ന വരിയുടേതായതിനാൽ, Ax + By + C \u003d 0 (*).

വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (A, B).

| | = = =

(സി \u003d -അക്സ് - പ്രകാരം, കാണുക (*))

സിദ്ധാന്തം. കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ആക്സ് + ബൈ + സി \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് l എന്ന വരി നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ M (x 0, y 0) പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഈ വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു: r (M; l) \u003d .

വ്യായാമങ്ങൾ.

1) ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല put ട്ട്\u200cപുട്ട് ചെയ്യുക: (1) നേർരേഖ പാരാമെട്രിക്കലായി നൽകിയിരിക്കുന്നു; (2) നേർരേഖ നൽകുന്നത് കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളാണ്; (3) ഒരു ചരിവ് ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം ഒരു നേർരേഖ നൽകുന്നു.

2) Q (-2.4) കേന്ദ്രീകരിച്ച് 3x - y \u003d 0 എന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് സർക്കിൾ ടാൻജെന്റിന്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.

3) 2x + y - 1 \u003d 0, x + y + 1 \u003d 0 എന്നീ നേർരേഖകളുടെ വിഭജനം വഴി രൂപംകൊണ്ട കോണുകളെ വിഭജിച്ച് നേർരേഖകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പകുതിയായി എഴുതുക.

§ 27. ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു വിമാനത്തിന്റെ വിശകലന നിർവചനം

നിർവചനം. വിമാനത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്റ്റർ തന്നിരിക്കുന്ന തലം ലംബമായിരിക്കുന്ന ഏതൊരു പ്രതിനിധിയേയും ഞങ്ങൾ ഒരു നോൺ\u200cജെറോ വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കും.

അഭിപ്രായം. വെക്റ്ററിന്റെ ഒരു പ്രതിനിധിയെങ്കിലും വിമാനത്തിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, വെക്റ്ററിന്റെ മറ്റെല്ലാ പ്രതിനിധികളും ഈ തലം ലംബമായിരിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനം നൽകട്ടെ.

തലം നൽകട്ടെ, \u003d (A, B, C) ഈ വിമാനത്തിന്റെ സാധാരണ വെക്റ്ററാണ്, പോയിന്റ് M (x 0, y 0, z 0) വിമാനത്തിന്റെ a.

തലം a, വെക്റ്ററുകൾ, ഓർത്തോഗണൽ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് പോയിന്റിനും N (x, y, z), അതായത്, അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്: \u003d 0. ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ അവസാന സമത്വം എഴുതുന്നു: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0.

-Ax 0 - 0 ആകുമ്പോൾ - Cz 0 \u003d D, തുടർന്ന് Ax + By + Cz + D \u003d 0.

K (x, y) എന്ന പോയിന്റ് എടുക്കുക, അതായത് Ax + By + Cz + D \u003d 0. D \u003d -Ax 0 മുതൽ 0 - Cz 0 വരെ, A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0. സംവിധാനം ചെയ്ത സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0) ആയതിനാൽ, അവസാന സമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ^, അതിനാൽ, K Î a.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചു:

സിദ്ധാന്തം. ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ബഹിരാകാശത്തുള്ള ഏത് തലം ആക്സ് + ബൈ + സിസെഡ് + ഡി \u003d 0 (എ 2 + ബി 2 + സി 2 ≠ 0) എന്ന സമവാക്യത്തിലൂടെ വ്യക്തമാക്കാം, ഇവിടെ (എ, ബി, സി) ഈ തലം വരെയുള്ള സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

സംഭാഷണവും ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം. കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യം ഒരു നിശ്ചിത തലം നിർവചിക്കുന്നു, അതേസമയം (A, B, C) സാധാരണ കോർഡിനേറ്റുകളാണ് ഈ വിമാനത്തിലേക്കുള്ള വെക്റ്റർ.

തെളിവ്.

ഒരു പോയിന്റ് M (x 0, y 0, z 0) എടുക്കുക, അതായത് Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D \u003d 0, ഒരു വെക്റ്റർ \u003d (A, B, C) (≠ q).

ഒരു വിമാനം വെക്റ്ററിലേക്ക് ലംബമായി M പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു (മാത്രമല്ല, ഒന്ന് മാത്രം). മുമ്പത്തെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഈ തലം നൽകുന്നത് Ax + By + Cz + D \u003d 0 എന്ന സമവാക്യമാണ്.

നിർവചനം. Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യം വിളിക്കുന്നു വിമാനത്തിന്റെ പൊതു സമവാക്യം.

ഉദാഹരണം.

M (0,2,4), N (1, -1,0), K (-1,0,5) എന്നീ പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിന്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് എഴുതാം.

1. സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വിമാനത്തിലേക്ക് (എം\u200cഎൻ\u200cകെ) കണ്ടെത്തുക. വെക്റ്റർ ഉൽ\u200cപന്നം or ഓർത്തോഗണൽ മുതൽ നോൺ-കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകൾ ആയതിനാൽ, വെക്റ്റർ കോളിനിയർ is ആണ്.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

\u003d (-11, 3, -5).

അതിനാൽ, സാധാരണ വെക്റ്റർ എന്ന നിലയിൽ ഞങ്ങൾ വെക്റ്റർ \u003d (-11, 3, -5) എടുക്കുന്നു.

2. ആദ്യത്തെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

തന്നിരിക്കുന്ന തലം A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0, ഇവിടെ (A, B, C) സാധാരണ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്, (x 0 , y 0, z 0) - ഒരു തലം കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിന്റ് M).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) \u003d 0

11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

ഉത്തരം: -11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0.

വ്യായാമങ്ങൾ.

1) എങ്കിൽ വിമാനത്തിന്റെ സമവാക്യം എഴുതുക

(1) 3x + y + z \u003d 0 എന്ന തലം സമാന്തരമായി M (-2,3,0) പോയിന്റിലൂടെ വിമാനം കടന്നുപോകുന്നു;

(2) വിമാനത്തിൽ (ഓക്സ്) അക്ഷം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അത് x + 2y - 5z + 7 \u003d 0 തലം ലംബമാണ്.

2) ഈ മൂന്ന് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിന് സമവാക്യം എഴുതുക.

§ 28. അർദ്ധ-ഇടത്തിന്റെ വിശകലന നിർവചനം *

അഭിപ്രായം *... കുറച്ച് വിമാനം ശരിയാക്കട്ടെ. കീഴിൽ പകുതി ഇടംഒരു നിശ്ചിത വിമാനത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് കിടക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം പോയിന്റുകൾ എന്നാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അതായത്, അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്മെന്റ് ഈ തലം വിഭജിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഒരേ അർദ്ധ സ്ഥലത്ത് കിടക്കുന്നു. ഈ വിമാനത്തെ വിളിക്കുന്നു ഈ പകുതി സ്ഥലത്തിന്റെ അതിർത്തി... ഈ വിമാനത്തിന്റെ യൂണിയനും പകുതി സ്ഥലവും വിളിക്കും പകുതി സ്ഥലം അടച്ചു.

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ബഹിരാകാശത്ത് ശരിയാക്കട്ടെ.

സിദ്ധാന്തം. Ax + By + Cz + D \u003d 0 എന്ന പൊതു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വിമാനം നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ വിമാനം സ്പേസ് വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് അർദ്ധ-ഇടങ്ങളിൽ ഒന്ന് അസമത്വം നൽകുന്നു Ax + By + Cz + D\u003e 0 , രണ്ടാം പകുതി ഇടം നൽകുന്നത് അസമത്വം Ax + By + Cz + D ആണ്< 0.

തെളിവ്.

ഈ വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്ന M (x 0, y 0, z 0) പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ \u003d (A, B, C) വിമാനത്തിലേക്ക് മാറ്റാം: \u003d, M Î a, MN ^ a. വിമാനത്തെ രണ്ട് അർദ്ധ ഇടങ്ങളായി വിഭജിക്കുക: b 1, b 2. N പോയിന്റ് ഈ അർദ്ധ-ഇടങ്ങളിലൊന്നിൽ നിന്നുള്ളതാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. സാമാന്യത നഷ്ടപ്പെടാതെ, ഞങ്ങൾ N Î b 1 എന്ന് അനുമാനിക്കും.

അർദ്ധ-ഇടം b 1 നൽകിയിരിക്കുന്നത് Ax + By + Cz + D\u003e 0 എന്ന അസമത്വമാണ്.

1) പകുതി സ്ഥലത്ത് b 1 ൽ K (x, y, z) പോയിന്റ് എടുക്കുക. Л NMK എന്ന കോണാണ് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണും നിശിതവുമാണ്, അതിനാൽ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആണ്:\u003e 0. ഞങ്ങൾ ഈ അസമത്വം കോർഡിനേറ്റുകളിൽ എഴുതുന്നു: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0, അതായത്, Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0\u003e 0.

M Î b 1 മുതൽ, ആക്സ് 0 + ബൈ 0 + സി z 0 + ഡി \u003d 0, അതിനാൽ -അക്സ് 0 - 0 പ്രകാരം - സി z 0 \u003d ഡി. അതിനാൽ, അവസാന അസമത്വം ഇങ്ങനെ എഴുതാം: ആക്സ് + ബൈ + സിസെ + D\u003e 0.

2) Ax + By + Cz + D\u003e 0 പോലുള്ള ഒരു പോയിന്റ് L (x, y) എടുക്കുക.

അസമത്വം മാറ്റിയെഴുതുക, D- നെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (M Î b 1 മുതൽ, Ax 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0.

കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു വെക്റ്റർ (x - x 0, y - y 0, z - z 0) ഒരു വെക്റ്ററാണ്, അതിനാൽ A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് പ്രൊഡക്റ്റ് ആയി മനസ്സിലാക്കാം. വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽ\u200cപ്പന്നവും പോസിറ്റീവും ആയതിനാൽ, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ നിശിതവും പോയിന്റ് L Î b 1 ഉം ആണ്.

അതുപോലെ, അർദ്ധ-സ്പേസ് ബി 2 അസമത്വം Ax + By + Cz + D നൽകിയതാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും< 0.

പരാമർശത്തെ.

1) മുകളിലുള്ള തെളിവ് വിമാനത്തിലെ എം പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

2) ഒരേ പകുതി ഇടം വ്യത്യസ്ത അസമത്വങ്ങളാൽ വ്യക്തമാക്കാമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

സംഭാഷണവും ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം. Ax + By + Cz + D\u003e 0 (അല്ലെങ്കിൽ Ax + By + Cz + D) ഫോമിന്റെ ഏതെങ്കിലും രേഖീയ അസമത്വം< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

തെളിവ്.

ബഹിരാകാശത്തെ Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) എന്ന സമവാക്യം ഒരു നിശ്ചിത തലം a നിർവചിക്കുന്നു (കാണുക §…). മുമ്പത്തെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടതുപോലെ, വിമാനം സ്ഥലത്തെ വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് അർദ്ധ-ഇടങ്ങളിൽ ഒന്ന് അസമത്വം Ax Ax + By + Cz + D\u003e 0 നൽകുന്നു.

പരാമർശത്തെ.

1) കർശനമല്ലാത്ത രേഖീയ അസമത്വത്താൽ അടച്ച അർദ്ധ-ഇടം വ്യക്തമാക്കാമെന്ന് വ്യക്തമാണ്, കൂടാതെ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ കർശനമല്ലാത്ത രേഖീയ അസമത്വം ഒരു അടച്ച അർദ്ധ-ഇടത്തെ നിർവചിക്കുന്നു.

2) ഏതൊരു കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രോണും അടച്ച അർദ്ധ-ഇടങ്ങളുടെ വിഭജനം (പോളിഹെഡ്രോണിന്റെ മുഖങ്ങൾ അടങ്ങിയ വിമാനങ്ങൾ), അതായത് വിശകലനപരമായി - നിയന്ത്രണരഹിതമായ രേഖീയ അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു വിഭജനം എന്ന് നിർവചിക്കാം.

വ്യായാമങ്ങൾ.

1) അനിയന്ത്രിതമായ അഫൈൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിനായി അവതരിപ്പിച്ച രണ്ട് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കുക.

2) നിയന്ത്രണാതീതമായ രേഖീയ അസമത്വങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും സംവിധാനം ഒരു കൺവെക്സ് പോളിഗോണിനെ നിർവചിക്കുന്നുവെന്നത് ശരിയാണോ?

1) കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ പൊതു സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയ രണ്ട് വിമാനങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം അന്വേഷിച്ച് പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുക.

ഞാൻ ഹ്രസ്വമായിരിക്കും. രണ്ട് വരികൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ അവയുടെ ദിശ വെക്ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ദിശ വെക്ടറുകളുടെ a \u003d (x 1; y 1; z 1), b \u003d (x 2; y 2; z 2) എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ആംഗിൾ കണ്ടെത്താനാകും. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഫോർമുല പ്രകാരം കോണിന്റെ കോസൈൻ:

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങളുമായി ഈ ഫോർമുല എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

ഒരു ചുമതല. ഇ, എഫ് എന്നീ പോയിന്റുകൾ ക്യൂബിക് എബിസി\u200cഡി\u200cഎ 1 ബി 1 സി 1 ഡി 1 ൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു - യഥാക്രമം എ 1 ബി 1, ബി 1 സി 1 എന്നിവയുടെ അരികുകളുടെ മധ്യ പോയിന്റുകൾ. AE, BF വരികൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

ക്യൂബിന്റെ അഗ്രം സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ AB \u003d 1 സജ്ജമാക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം അവതരിപ്പിക്കുക: ഉത്ഭവം A പോയിന്റിലാണ്, x, y, z അക്ഷങ്ങൾ യഥാക്രമം AB, AD, AA 1 എന്നിവയ്ക്കൊപ്പം നയിക്കപ്പെടുന്നു. യൂണിറ്റ് സെഗ്മെന്റ് AB \u003d 1 ന് തുല്യമാണ്. ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ ലൈനുകൾക്കായുള്ള ദിശ വെക്ടറുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താം.

വെക്റ്റർ AE യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾക്ക് A \u003d (0; 0; 0), E \u003d (0.5; 0; 1) പോയിന്റുകൾ ആവശ്യമാണ്. പോയിന്റ് 1 എ 1 ബി 1 സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ മധ്യ പോയിന്റായതിനാൽ, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്. വെക്റ്റർ AE യുടെ ഉത്ഭവം ഉത്ഭവവുമായി യോജിക്കുന്നു, അതിനാൽ AE \u003d (0.5; 0; 1).

ഇനി നമുക്ക് വെക്റ്റർ BF കൈകാര്യം ചെയ്യാം. അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ ബി \u003d (1; 0; 0), എഫ് \u003d (1; 0.5; 1) പോയിന്റുകൾ പാഴ്\u200cസുചെയ്യുന്നു, കാരണം എഫ് - സെഗ്മെന്റ് ബി 1 സി 1 ന്റെ മധ്യസ്ഥാനം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
BF \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1).

അതിനാൽ ദിശ വെക്റ്ററുകൾ തയ്യാറാണ്. നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ദിശ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ആണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:

ഒരു ചുമതല. ഒരു സാധാരണ ട്രൈഹെഡ്രൽ പ്രിസത്തിൽ ABCA 1 B 1 C 1, അവയുടെ എല്ലാ അരികുകളും 1, പോയിന്റുകൾ D, E എന്നിവ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു - യഥാക്രമം A 1 B 1, B 1 C 1 എന്നിവയുടെ അരികുകളുടെ മധ്യ പോയിന്റുകൾ. AD, BE എന്നീ വരികൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് സ്റ്റാൻഡേർഡ് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം അവതരിപ്പിക്കാം: ഉത്ഭവം എ പോയിന്റിലാണ്, x അക്ഷം AB, z - AA 1 ലൂടെയാണ് നയിക്കുന്നത്. ഞങ്ങൾ y- ആക്സിസ് നയിക്കുന്നതിനാൽ OXY തലം ABC വിമാനവുമായി യോജിക്കുന്നു. യൂണിറ്റ് സെഗ്മെന്റ് എബി \u003d 1 ന് തുല്യമാണ്. അന്വേഷിച്ച ലൈനുകൾക്കായി ദിശ വെക്ടറുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

ആദ്യം, നമുക്ക് AD വെക്ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താം. പോയിന്റുകൾ പരിഗണിക്കുക: A \u003d (0; 0; 0), D \u003d (0.5; 0; 1), കാരണം ഡി - സെഗ്മെന്റ് എ 1 ബി 1 ന്റെ മധ്യസ്ഥാനം. വെക്റ്റർ AD യുടെ ഉത്ഭവം ഉത്ഭവവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ AD \u003d (0.5; 0; 1) നേടുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് വെക്റ്റർ BE യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താം. പോയിന്റ് ബി \u003d (1; 0; 0) എളുപ്പമാണ്. പോയിന്റ് E ഉപയോഗിച്ച് - സി 1 ബി 1 സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ മധ്യഭാഗം - ഇത് കുറച്ചുകൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

കോണിന്റെ കോസൈൻ കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

ഒരു ചുമതല. ഒരു സാധാരണ ഷഡ്ഭുജ പ്രിസത്തിൽ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, അതിന്റെ എല്ലാ അരികുകളും 1 ന് തുല്യമാണ്, പോയിന്റുകൾ K, L എന്നിവ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു - യഥാക്രമം A 1 B 1, B 1 C 1 എന്നിവയുടെ അരികുകളുടെ മധ്യ പോയിന്റുകൾ. എകെ, ബി\u200cഎൽ വരികൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

ഒരു പ്രിസത്തിനായി ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം: കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവം താഴത്തെ അടിഭാഗത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് വയ്ക്കുക, എഫ്സിക്ക് സമീപം എക്സ്-ആക്സിസ്, എബി, ഡിഇ സെഗ്\u200cമെന്റുകളുടെ മധ്യ പോയിന്റുകളിലൂടെ y- ആക്സിസ്, z- അക്ഷം ലംബമായി മുകളിലേക്ക്. യൂണിറ്റ് സെഗ്മെന്റ് വീണ്ടും എബി \u003d 1 ന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എഴുതാം:

കെ, എൽ എന്നീ പോയിന്റുകൾ യഥാക്രമം എ 1 ബി 1, ബി 1 സി 1 എന്നീ സെഗ്\u200cമെന്റുകളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്, അതിനാൽ അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഗണിത ശരാശരിയിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്നു. പോയിന്റുകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, ദിശ വെക്റ്ററുകളായ എകെ, ബിഎൽ എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇനി നമുക്ക് ആംഗിളിന്റെ കോസൈൻ കണ്ടെത്താം:

ഒരു ചുമതല. സാധാരണ ക്വാഡ്രാങ്കുലാർ പിരമിഡ് എസ്\u200cഎ\u200cബി\u200cസി\u200cഡിയിൽ, അതിന്റെ എല്ലാ അരികുകളും 1, പോയിന്റുകൾ ഇ, എഫ് എന്നിവ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു - യഥാക്രമം എസ്\u200cബി, എസ്\u200cസി വശങ്ങളുടെ മധ്യ പോയിന്റുകൾ. AE, BF വരികൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം അവതരിപ്പിക്കാം: ഉത്ഭവം എ പോയിന്റിലാണ്, x, y അക്ഷങ്ങൾ യഥാക്രമം AB, AD എന്നിവയിലേക്കും z അക്ഷം ലംബമായി മുകളിലേക്കും നയിക്കുന്നു. യൂണിറ്റ് സെഗ്മെന്റ് AB \u003d 1 ന് തുല്യമാണ്.

ഇ, എഫ് എന്നീ പോയിന്റുകൾ യഥാക്രമം എസ്\u200cബി, എസ്\u200cസി എന്നീ സെഗ്\u200cമെന്റുകളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്, അതിനാൽ അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അറ്റങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയായി കാണപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എഴുതാം:
A \u003d (0; 0; 0); ബി \u003d (1; 0; 0)

പോയിന്റുകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, ദിശ വെക്റ്ററുകളായ AE, BF എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

വെക്റ്റർ AE യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പോയിന്റ് E യുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി യോജിക്കുന്നു, കാരണം പോയിന്റ് A യുടെ ഉത്ഭവം. കോണിന്റെ കോസൈൻ കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

പദ്ധതികൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ

സമവാക്യങ്ങൾ യഥാക്രമം α 1, α 2 എന്നീ രണ്ട് വിമാനങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

കീഴിൽ കോൺ രണ്ട് വിമാനങ്ങൾക്കിടയിൽ ഈ വിമാനങ്ങൾ രൂപംകൊണ്ട ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകളിൽ ഒന്ന് എന്നാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്. വ്യക്തമായും, സാധാരണ വെക്ടറുകളും വിമാനങ്ങളും α 1, α 2 എന്നിവ തമ്മിലുള്ള കോൺ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് അടുത്തുള്ള ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകളിൽ ഒന്നിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ... അതുകൊണ്ടു ... കാരണം ഒപ്പം തുടർന്ന്

.

ഉദാഹരണം. വിമാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നിർണ്ണയിക്കുക x+2y-3z+ 4 \u003d 0, 2 എന്നിവ x+3y+z+8=0.

രണ്ട് വിമാനങ്ങളുടെ സമാന്തരതയുടെ അവസ്ഥ.

Plane 1, α 2 എന്നീ രണ്ട് വിമാനങ്ങൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ അവയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററുകളും സമാന്തരവുമാണെങ്കിൽ മാത്രം .

അതിനാൽ, അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളിലെ ഗുണകങ്ങൾ ആനുപാതികമാണെങ്കിൽ മാത്രം രണ്ട് വിമാനങ്ങൾ പരസ്പരം സമാന്തരമാണ്:

അഥവാ

വിമാനങ്ങളുടെ ലംബതയുടെ അവസ്ഥ.

രണ്ട് വിമാനങ്ങൾ ലംബമാണെങ്കിൽ അവയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററുകൾ ലംബമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ, അല്ലെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ.

അങ്ങനെ ,.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

സ്ഥലത്ത് ശക്തം.

വെക്റ്റർ ലൈൻ ഇക്വേഷൻ.

ലൈനിന്റെ പാരാമെട്രിക് ഇക്വയേഷൻസ്

ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സ്ഥാനം അതിന്റെ നിശ്ചിത പോയിന്റുകൾ വ്യക്തമാക്കിയുകൊണ്ട് പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു എം 1, ഈ ലൈനിന് സമാന്തരമായി ഒരു വെക്റ്റർ.

ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു വെക്ടറിനെ വിളിക്കുന്നു മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശം ഈ വരിയുടെ വെക്റ്റർ.

അതിനാൽ ഇത് നേരെയാകട്ടെ l പോയിന്റിലൂടെ പോകുന്നു എം 1 (x 1 , y 1 , z 1) വെക്റ്ററിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു.

അനിയന്ത്രിതമായ ഒരു പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക M (x, y, z) ഒരു നേർരേഖയിൽ. ചിത്രം അത് കാണിക്കുന്നു .

വെക്റ്ററുകളും കൊളീനിയറുമാണ്, അതിനാൽ അത്തരമൊരു സംഖ്യയുണ്ട് ടി, എന്ത്, ഘടകം എവിടെയാണ് ടി പോയിന്റിന്റെ സ്ഥാനം അനുസരിച്ച് ഏത് സംഖ്യാ മൂല്യവും എടുക്കാൻ കഴിയും എം ഒരു നേർരേഖയിൽ. ഘടകം ടി ഒരു പാരാമീറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പോയിന്റുകളുടെ ആരം വെക്റ്ററുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എം 1 ഉം എം യഥാക്രമം, വഴി, നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു വെക്റ്റർ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം. പാരാമീറ്ററിന്റെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും ഇത് കാണിക്കുന്നു ടി ചില ബിന്ദുവിന്റെ ആരം വെക്റ്ററുമായി യോജിക്കുന്നു എംഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു.

ഈ സമവാക്യം കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം. ശ്രദ്ധിക്കുക, അത്, ഇവിടെ നിന്ന്

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പാരാമെട്രിക് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ.

ഒരു പാരാമീറ്റർ മാറ്റുമ്പോൾ ടി കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റം x, y ഒപ്പം z പോയിന്റ് എം ഒരു നേർരേഖയിൽ നീങ്ങുന്നു.

ഡയറക്റ്റിന്റെ കാനോനിക്കൽ ഇക്വയേഷൻസ്

ആകട്ടെ എം 1 (x 1 , y 1 , z 1) ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിന്റാണ് lഒപ്പം അതിന്റെ ദിശ വെക്റ്ററാണ്. നേർരേഖയിൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റ് വീണ്ടും എടുക്കുക M (x, y, z) ഒരു വെക്റ്റർ പരിഗണിക്കുക.

വെക്റ്ററുകളും കൊളീനിയറുമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ അവയുടെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകൾ ആനുപാതികമായിരിക്കണം, അതിനാൽ

– കാനോനിക്കൽ നേർരേഖ സമവാക്യങ്ങൾ.

പരാമർശം 1. പാരാമീറ്റർ ഒഴിവാക്കി നേർരേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ പാരാമെട്രിക്കിൽ നിന്ന് നേടാനാകുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ടി... വാസ്തവത്തിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അഥവാ .

ഉദാഹരണം. ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ.

ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു , ഇവിടെ നിന്ന് x = 2 + 3ടി, y = –1 + 2ടി, z = 1 –ടി.

പരാമർശം 2. നേർരേഖ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക് ലംബമായിരിക്കട്ടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, അക്ഷം ഓക്സ്... അപ്പോൾ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ ലംബമാണ് ഓക്സ്, തൽഫലമായി, മീ\u003d 0. തൽഫലമായി, നേർരേഖയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ രൂപം കൊള്ളുന്നു

സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് പാരാമീറ്റർ ഒഴികെ ടി, രൂപത്തിലുള്ള നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

എന്നിരുന്നാലും, ഈ സാഹചര്യത്തിലും, നേർരേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ form ദ്യോഗികമായി രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കുന്നു ... അതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളിലൊന്നിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ഇതിനർത്ഥം വരയെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് ലംബമായി എന്നാണ്.

അതുപോലെ, കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ അക്ഷങ്ങൾക്ക് ലംബമായി ഒരു നേർരേഖയുമായി യോജിക്കുന്നു ഓക്സ് ഒപ്പം ഓ അല്ലെങ്കിൽ സമാന്തര അക്ഷം ഓസ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

രണ്ട് പ്ലാനുകളുടെ ഇടപെടലിന്റെ ഒരു ലൈനായി ഒരു ലൈനിന്റെ പൊതുവായ ഇക്വയേഷനുകൾ

ബഹിരാകാശത്തെ ഓരോ നേർരേഖയിലൂടെയും അനന്തമായ വിമാനങ്ങൾ കടന്നുപോകുന്നു. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം, വിഭജിച്ച്, ബഹിരാകാശത്ത് നിർവചിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, അത്തരം രണ്ട് വിമാനങ്ങളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ ഒന്നിച്ച് പരിഗണിക്കുമ്പോൾ ഈ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

പൊതുവേ, പൊതു സമവാക്യങ്ങൾ നൽകുന്ന സമാന്തരമല്ലാത്ത രണ്ട് വിമാനങ്ങൾ

അവയുടെ വിഭജനത്തിന്റെ രേഖ നിർവചിക്കുക. ഈ സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പൊതു സമവാക്യങ്ങൾ ഋജുവായത്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയ ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുക

ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കാൻ, അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തിയാൽ മതി. കോർഡിനേറ്റ് വിമാനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വരിയുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള മാർഗം. ഉദാഹരണത്തിന്, വിമാനവുമായി വിഭജിക്കുന്ന സ്ഥലം xOy ക്രമീകരണത്തിന്റെ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു z= 0:

ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുന്നു എം 1 (1;2;0).

അതുപോലെ, ക്രമീകരണം y\u003d 0, നമുക്ക് തലം ഉപയോഗിച്ച് നേർരേഖയുടെ വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റ് ലഭിക്കും xOz:

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ കാനോനിക്കൽ അല്ലെങ്കിൽ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പോകാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ചില കാര്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എം വരിയിൽ 1 ഉം വരിയുടെ ദിശ വെക്ടറും.

പോയിന്റ് കോർഡിനേറ്റുകൾ എം കോർഡിനേറ്റുകളിലൊന്നിന് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യം നൽകിക്കൊണ്ട് ഈ സമവാക്യ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് 1 ലഭിക്കും. ദിശ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഈ വെക്റ്റർ സാധാരണ വെക്റ്ററുകൾക്ക് ലംബമായിരിക്കണം ഒപ്പം ... അതിനാൽ, നേർരേഖയുടെ ദിശ വെക്റ്ററിന് പിന്നിൽ l സാധാരണ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് നമുക്ക് എടുക്കാം:

.

ഉദാഹരണം. നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യങ്ങൾ നൽകുക കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക്.

ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റുകളിലൊന്ന് ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, y\u003d 0 കൂടാതെ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

നേർരേഖ നിർവചിക്കുന്ന വിമാനങ്ങളുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററുകൾക്ക് കോർഡിനേറ്റുകളുണ്ട് അതിനാൽ, ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ ആയിരിക്കും

... തൽഫലമായി, l: .

സ്ട്രെയിറ്റിനിടയിലുള്ള ആംഗിൾ

കോർണർ ബഹിരാകാശത്തെ നേർരേഖകൾക്കിടയിൽ, ഡാറ്റയ്ക്ക് സമാന്തരമായി അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റിലൂടെ വരച്ച രണ്ട് നേർരേഖകളാൽ രൂപംകൊണ്ട അടുത്തുള്ള ഏതെങ്കിലും കോണുകളെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും.

ബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് നേർരേഖകൾ നൽകട്ടെ:

വ്യക്തമായും, നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിനെ അവയുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകളും തമ്മിലുള്ള കോണായി കണക്കാക്കാം. അതിനുശേഷം, വെക്ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിന്റെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും