നിർദ്ദേശങ്ങൾ

10, 30, 90, 270...

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
തീരുമാനം:

ഓപ്ഷൻ 1. നമുക്ക് പുരോഗതിയുടെ അനിയന്ത്രിതമായ ഒരു പദം എടുക്കാം (ഉദാഹരണത്തിന്, 90) അതിനെ മുമ്പത്തെ (30) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക: 90/30 \u003d 3.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിരവധി അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയോ അല്ലെങ്കിൽ കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയോ നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്താൻ, ഉചിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), ഇവിടെ Sn എന്നത് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്
S \u003d b1 / (1-q), ഇവിടെ S എന്നത് അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയാണ് (ഒന്നിൽ കുറവുള്ള ഒരു ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള പുരോഗതിയുടെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക).
ഉദാഹരണം.

കുറഞ്ഞുവരുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക രണ്ടിന് തുല്യമാണ്.

ഈ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് ആവശ്യമാണ്.
തീരുമാനം:

പ്രശ്\u200cനത്തിൽ നിന്നുള്ള ഡാറ്റ ഫോർമുലയിലേക്ക് പ്ലഗ് ചെയ്യുക. ഇത് മാറുന്നു:
2 \u003d 1 / (1-q), എവിടെ നിന്ന് - q \u003d 1/2.

പുരോഗതി എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ, തുടർന്നുള്ള ഓരോ പദവും മുമ്പത്തെ ഒന്നിനെ ചില സംഖ്യകളാൽ ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കും, ഇത് പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ജ്യാമിതീയ ബി (n + 1), ബി (എൻ) എന്നിവയുടെ രണ്ട് അയൽ പദങ്ങൾ അറിയാമെങ്കിൽ, ഡിനോമിനേറ്റർ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു വലിയ സംഖ്യയെ അതിനു മുമ്പുള്ളതു കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതാണ്: q \u003d b (n + 1) / ബി (n). ഇത് പുരോഗതിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും അതിന്റെ വിഭാഗത്തിൽ നിന്നും പിന്തുടരുന്നു. ഒരു പ്രധാന വ്യവസ്ഥ ആദ്യത്തെ ടേമിന്റെ അസമത്വവും പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം ഇത് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.

അതിനാൽ, പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾക്കിടയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q,…, b (n) \u003d b (n-1) q. B (n) \u003d b1 q ^ (n-1) സൂത്രവാക്യത്തിലൂടെ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏത് പദവും കണക്കാക്കാം, അതിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ q, b1 എന്ന പദം അറിയപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ, മൊഡ്യൂളിലെ ഓരോ പുരോഗതിയും അതിന്റെ അയൽ അംഗങ്ങളുടെ ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്: | b (n) | \u003d √, അതിനാൽ പുരോഗതിക്ക് അതിന്റേതായ സ്ഥാനം ലഭിച്ചു.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അനലോഗ് y \u003d a ^ x എന്ന ലളിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനാണ്, ഇവിടെ x എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിലും a എന്നത് കുറച്ച് സംഖ്യയുമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ആദ്യ പദവുമായി യോജിക്കുന്നു, ഒപ്പം a എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യവുമാണ്. ആർഗ്യുമെന്റ് x ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായി (ക counter ണ്ടർ) എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, y എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം പുരോഗതിയുടെ n-th പദമായി മനസ്സിലാക്കാം.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നിലവിലുണ്ട്: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q). ഈ സമവാക്യം q ≠ 1 ന് സാധുതയുള്ളതാണ്. Q \u003d 1 ആണെങ്കിൽ, ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക S (n) \u003d n b1 സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു. വഴിയിൽ, q ഒന്നിനേക്കാൾ വലുതാകുകയും ബി 1 പോസിറ്റീവ് ആകുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ പുരോഗതിയെ വർദ്ധിക്കുന്നത് എന്ന് വിളിക്കും. പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കേവല മൂല്യത്തിൽ ഒന്നിൽ കവിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, പുരോഗതിയെ കുറയുന്നു എന്ന് വിളിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് (b.d.p.). കുറഞ്ഞുവരുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ വീണ്ടും വീണ്ടും കുറയുമെങ്കിലും ഒരിക്കലും പൂജ്യത്തിലെത്തുകയില്ല എന്നതാണ് വസ്തുത. ഇതൊക്കെയാണെങ്കിലും, അത്തരമൊരു പുരോഗതിയുടെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. S \u003d b1 / (1-q) സമവാക്യത്താൽ ഇത് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അംഗങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം അനന്തമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ സംഖ്യകൾ ചേർക്കാനും അനന്തത ലഭിക്കാതിരിക്കാനും എങ്ങനെ ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാൻ, ഒരു കേക്ക് ചുടണം. ഇതിന്റെ പകുതി മുറിക്കുക. പിന്നീട് പകുതിയിൽ നിന്ന് 1/2 മുറിക്കുക, അങ്ങനെ. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന കഷണങ്ങൾ 1/2 എന്ന ഡിനോമിനേറ്ററുമായി അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല. ഈ കഷണങ്ങളെല്ലാം ചേർത്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ കേക്ക് ലഭിക്കും.

സ്പേഷ്യൽ ചിന്ത ആവശ്യമുള്ള ഒരു പ്രത്യേക തരം വ്യായാമമാണ് ജ്യാമിതി പ്രശ്നങ്ങൾ. നിങ്ങൾക്ക് ജ്യാമിതീയത പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ ചുമതലചുവടെയുള്ള നിയമങ്ങൾ പാലിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

പ്രശ്നത്തിന്റെ പ്രസ്താവന വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ഓർമ്മയില്ലെങ്കിലോ മനസ്സിലാകുന്നില്ലെങ്കിലോ, അത് വീണ്ടും വായിക്കുക.

ഇത് ഏത് തരത്തിലുള്ള ജ്യാമിതീയ പ്രശ്\u200cനങ്ങളാണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്: കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രശ്നങ്ങൾ, നിങ്ങൾക്ക് ചില മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടിവരുമ്പോൾ, യുക്തിസഹമായ ഒരു യുക്തി ആവശ്യമുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ, കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിക്കുന്ന നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ. കൂടുതൽ സമ്മിശ്ര പ്രശ്നങ്ങൾ. പ്രശ്\u200cനത്തിന്റെ തരം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തിക്കഴിഞ്ഞാൽ, യുക്തിപരമായി ചിന്തിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

ഈ പ്രശ്നത്തിന് ആവശ്യമായ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുക, പക്ഷേ സംശയങ്ങളോ ഓപ്ഷനുകളോ ഇല്ലെങ്കിൽ, പ്രസക്തമായ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾ പാസാക്കിയ സിദ്ധാന്തം ഓർമ്മിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിലും പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം വരയ്ക്കുക. നിങ്ങളുടെ തീരുമാനം പരിശോധിക്കുന്നതിന് അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

പ്രശ്\u200cനത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഒരു നോട്ട്ബുക്കിൽ വൃത്തിയാക്കാതെ മറികടക്കുക, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി - .ആദ്യ ജ്യാമിതീയ പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സമയവും പരിശ്രമവും വേണ്ടിവരും. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ ഈ പ്രോസസ്സ് മാസ്റ്റർ ചെയ്തയുടനെ, പരിപ്പ് പോലെ, ആസ്വദിക്കൂ എന്ന ടാസ്\u200cക്കുകൾ ക്ലിക്കുചെയ്യാൻ നിങ്ങൾ ആരംഭിക്കും!

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) അക്കങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്, അതായത് b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b (n ) \u003d b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q 0. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പുരോഗതിയുടെ ഓരോ പദവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് നേടിയെടുക്കുന്നത് പുരോഗതിയുടെ ചില നോൺ\u200cജെറോ ഡിനോമിനേറ്റർ ഗുണിച്ചാൽ q.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ കാലഘട്ടവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സിസ്റ്റം നിർമ്മിക്കുകയും പിന്തുടരുകയും ചെയ്യുന്നതിലൂടെയാണ് പുരോഗതി പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്. സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുന്നതിനുള്ള ചില സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുന്നത് സഹായകരമാണ്.

പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ ടേമിലൂടെയും പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിലൂടെയും ഒരു പുരോഗതിയുടെ n-th പദം എങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാം: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

കേസ് പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കുക | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠവും അവതരണവും: "നമ്പർ സീക്വൻസുകൾ. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും അവലോകനങ്ങളും ആശംസകളും രേഖപ്പെടുത്താൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ഒരു ആന്റിവൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിച്ചു.

ഗ്രേഡ് 9 നുള്ള ഇന്റഗ്രൽ ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിലെ ടീച്ചിംഗ് എയ്ഡുകളും സിമുലേറ്ററുകളും
ഡിഗ്രികളും വേരുകളും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഗ്രാഫുകളും

സുഹൃത്തുക്കളേ, ഇന്ന് നമുക്ക് മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള പുരോഗതിയെക്കുറിച്ച് പരിചയപ്പെടാം.
ഇന്നത്തെ പാഠത്തിന്റെ വിഷയം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

ഉദാഹരണം. 1,2,4,8,16 ... ആദ്യ പദം ഒന്നിന് തുല്യമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, $ q \u003d 2 $.

ഉദാഹരണം. 8,8,8,8 ... ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ ആദ്യ പദം എട്ട്,
ഒപ്പം $ q \u003d 1 $.

ഉദാഹരണം. 3, -3.3, -3.3 ... ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ ആദ്യ പദം മൂന്നിന് തുല്യമാണ്,
ഒപ്പം $ q \u003d -1 $.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് ഏകതാനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളുണ്ട്.
$ B_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 If ആണെങ്കിൽ,
തുടർന്ന് ക്രമം ആരോഹണം ചെയ്യുന്നു.
$ B_ (1)\u003e 0 If ആണെങ്കിൽ, $ 0 ഈ ശ്രേണിയെ സാധാരണയായി സൂചിപ്പിക്കുന്നത്: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

ഗണിത പുരോഗതിയിലെന്നപോലെ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണെങ്കിൽ, പുരോഗതിയെ പരിമിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
ശ്രദ്ധിക്കുക, ശ്രേണി ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണെങ്കിൽ, അംഗങ്ങളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ക്രമവും ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്. രണ്ടാമത്തെ ശ്രേണിക്ക്, ആദ്യ പദം $ b_ (1) ^ 2 $, ഡിനോമിനേറ്റർ $ q ^ 2 is.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ n-th പദത്തിന്റെ ഫോർമുല

നമുക്ക് നമ്മുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങാം.

ഉദാഹരണം. 1,2,4,8,16 ... ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ ആദ്യ പദം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്,
ഒപ്പം $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

ഉദാഹരണം. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ ആദ്യത്തെ പദം പതിനാറും $ q \u003d \\ frac (1) (2) is ഉം ആണ്.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

ഉദാഹരണം. 8,8,8,8 ... ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ ആദ്യ പദം എട്ട്, $ q \u003d 1 is.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

ഉദാഹരണം. 3, -3.3, -3.3 ... ആദ്യ പദം മൂന്ന്, $ q \u003d -1 is എന്നിങ്ങനെയുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

ഉദാഹരണം. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയിരിക്കുന്നു $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 that എന്ന് അറിയാം. $ B_ (5) Find കണ്ടെത്തുക.
b) $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 that എന്ന് അറിയാം. N കണ്ടെത്തുക.
c) $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 that എന്ന് അറിയാം. $ B_ (1) Find കണ്ടെത്തുക.
d) $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 that എന്ന് അറിയാം. Q കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ മുതൽ $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

ഉദാഹരണം. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 192 ആണ്, പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെയും ആറാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 192 ആണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ പത്താമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം.
നമുക്കറിയാം: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $, $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
നമുക്കും അറിയാം: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
തുടർന്ന്:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം ലഭിച്ചു:
$ \\ ആരംഭിക്കുക (കേസുകൾ) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ അവസാനം (കേസുകൾ) $.
സമവാക്യം, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിച്ചു q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് തുടർച്ചയായി പകരം വയ്ക്കുക:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e solutions പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിച്ചു: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
പത്താമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

പരിമിത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക

പരിമിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകട്ടെ: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള നൊട്ടേഷൻ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Case q \u003d 1 when ആയിരിക്കുമ്പോൾ. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ആദ്യ പദത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $ എന്ന് വ്യക്തമാണ്.
ഇപ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കുക $ q ≠ 1 $.
മുകളിലുള്ള തുക q കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
കുറിപ്പ്:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

പരിമിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു.

തീരുമാനം.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

ഉദാഹരണം.
അറിയപ്പെടുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

തീരുമാനം.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
$ 341 ക് \u003d $ 1364.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവ സവിശേഷത

ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണി ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, അതിന്റെ ഓരോ അംഗങ്ങളുടെയും ചതുരം പുരോഗതിയുടെ അടുത്തുള്ള രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ മാത്രം. പരിമിതമായ പുരോഗതിക്കായി ആദ്യ, അവസാന അംഗങ്ങൾക്ക് ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നില്ലെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തിന്റെ മൊഡ്യൂൾ അതിനോട് ചേർന്നുള്ള രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്.

തീരുമാനം.
സ്വഭാവ സവിശേഷത ഉപയോഗിക്കാം:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $, $ x_ (2) \u003d - 1 $.
ഒറിജിനൽ എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷനിൽ തുടർച്ചയായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത്, ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ:
$ X \u003d 2 With ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് സീക്വൻസ് ലഭിച്ചു: 4; 6; 9 - ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ $ q \u003d 1.5 $.
$ X \u003d -1 With ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് സീക്വൻസ് ലഭിച്ചു: 1; 0; 0.
ഉത്തരം: $ x \u003d 2. $

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ

ഒൻപതാം ക്ലാസിലെ സ്കൂൾ ആൾജിബ്രാ കോഴ്\u200cസിൽ പഠിക്കുന്ന ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ് ഗണിതത്തിനൊപ്പം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററും അതിന്റെ മൂല്യം അതിന്റെ ഗുണങ്ങളെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിർവചനം

ആദ്യം, ഈ സംഖ്യ ശ്രേണിയുടെ നിർവചനം നൽകാം. യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിന്റെ ആദ്യ മൂലകത്തെ തുടർച്ചയായി ഗുണിച്ച് നിരന്തരമായ ഒരു സംഖ്യയെ ഗുണിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 3, 6, 12, 24, ... എന്ന വരിയിലെ അക്കങ്ങൾ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, കാരണം നിങ്ങൾ 3 (ആദ്യത്തെ മൂലകം) 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് 6 ലഭിക്കും. 6 നെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും 12, തുടങ്ങിയവ.

പരിഗണനയിലുള്ള സീക്വൻസിലെ അംഗങ്ങളെ സാധാരണയായി ai ചിഹ്നം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇവിടെ ഞാൻ വരിയിലെ ഒരു മൂലകത്തിന്റെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്.

ഒരു പുരോഗതിയുടെ മുകളിലുള്ള നിർവചനം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: ഒരു \u003d bn-1 * a1, ഇവിടെ b എന്നത് ഡിനോമിനേറ്ററാണ്. ഈ സമവാക്യം പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: n \u003d 1 ആണെങ്കിൽ, b1-1 \u003d 1, നമുക്ക് a1 \u003d a1 ലഭിക്കും. N \u003d 2 ആണെങ്കിൽ, ഒരു \u003d b * a1, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും പരിഗണനയിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. N ന്റെ വലിയ മൂല്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായ ന്യായവാദം തുടരാം.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ

മുഴുവൻ സംഖ്യ ശ്രേണിക്കും എന്ത് പ്രതീകമുണ്ടാകുമെന്ന് ബി പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ബി ഡിനോമിനേറ്റർ പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നോ അതിൽ കുറവോ ആകാം. ഈ ഓപ്ഷനുകളെല്ലാം വ്യത്യസ്ത സീക്വൻസുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

• b\u003e 1. യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പരമ്പരയുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, 1, 2, 4, 8, ... എ 1 ഘടകം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, മുഴുവൻ ശ്രേണിയും കേവല മൂല്യത്തിൽ മാത്രമേ വർദ്ധിക്കുകയുള്ളൂ, പക്ഷേ അക്കങ്ങളുടെ അടയാളം കണക്കിലെടുത്ത് കുറയുന്നു.
• b \u003d 1. സമാനമായ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സാധാരണ ശ്രേണി ഉള്ളതിനാൽ അത്തരമൊരു കേസ് പലപ്പോഴും പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, -4, -4, -4.

തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല

കണക്കാക്കിയ തരത്തിലുള്ള പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിർദ്ദിഷ്ട പ്രശ്\u200cനങ്ങളുടെ പരിഗണനയിലേക്ക് പോകുന്നതിന് മുമ്പ്, അതിന്റെ ആദ്യ n ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കായി ഒരു പ്രധാന സൂത്രവാക്യം നൽകണം. സമവാക്യം ഇതാണ്: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആവർത്തന ക്രമം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം സ്വയം നേടാനാകും. മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിൽ, അനിയന്ത്രിതമായ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതിന് ആദ്യ ഘടകത്തെയും ഡിനോമിനേറ്ററിനെയും മാത്രം അറിയാൻ ഇത് മതിയെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക.

അനന്തമായി കുറയുന്ന ക്രമം

മുകളിൽ എന്താണെന്നതിന്റെ വിശദീകരണം നൽകി. ഇപ്പോൾ, Sn- നുള്ള സമവാക്യം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഈ നമ്പർ ശ്രേണിയിൽ ഇത് പ്രയോഗിക്കുക. മോഡുലസ് 1 കവിയാത്ത ഏതൊരു സംഖ്യയും വലിയ അളവിൽ ഉയർത്തുമ്പോൾ പൂജ്യമാകുമെന്നതിനാൽ, അതായത്, b∞ \u003d\u003e 0, -1 ആണെങ്കിൽ

ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ മൂല്യം കണക്കിലെടുക്കാതെ, വ്യത്യാസം (1 - ബി) എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുമെന്നതിനാൽ, ജ്യാമിതീയ S∞ യുടെ അനന്തമായ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയുടെ അടയാളം അതിന്റെ ആദ്യ മൂലകത്തിന്റെ ചിഹ്നത്താൽ അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിരവധി ജോലികൾ പരിഗണിക്കും, അവിടെ നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളിൽ നേടിയ അറിവ് എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

പ്രശ്ന നമ്പർ 1. പുരോഗതിയുടെ അജ്ഞാത ഘടകങ്ങളുടെയും തുകയുടെയും കണക്കുകൂട്ടൽ

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയിട്ടുണ്ട്, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ 2 ഉം അതിന്റെ ആദ്യ ഘടകം 3 ഉം ആണ്. അതിന്റെ ഏഴാമത്തെയും പത്താമത്തെയും പദങ്ങൾ എന്തായിരിക്കും, അതിന്റെ ഏഴ് പ്രാരംഭ ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എന്താണ്?

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ വളരെ ലളിതമായി രചിച്ചതാണ് കൂടാതെ മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉപയോഗം അനുമാനിക്കുന്നു. അതിനാൽ, n എന്ന സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മൂലകം കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു \u003d bn-1 * a1 എന്ന പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഏഴാമത്തെ മൂലകത്തിന്: a7 \u003d b6 * a1, അറിയപ്പെടുന്ന ഡാറ്റയ്ക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. പത്താം തവണയും ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുന്നു: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

തുകയ്\u200cക്കായി അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും സീരീസിന്റെ ആദ്യ 7 ഘടകങ്ങൾക്കായി ഈ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യാം. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: എസ് 7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

പ്രശ്ന നമ്പർ 2. പുരോഗതിയുടെ അനിയന്ത്രിതമായ ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നിർണ്ണയിക്കുക

-2 എന്നത് എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ പുരോഗതിയുടെ ബി\u200cഎൻ\u200c-1 * 4 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററായിരിക്കട്ടെ, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. ഈ ശ്രേണിയിലെ 5 മുതൽ 10 വരെ മൂലകം ഉൾപ്പെടെ തുക നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നേരിട്ട പ്രശ്നം നേരിട്ട് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. 2 വ്യത്യസ്ത രീതികളിലൂടെ ഇത് പരിഹരിക്കാനാകും. സമ്പൂർണ്ണതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ രണ്ടും അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

രീതി 1. ഇതിന്റെ ആശയം ലളിതമാണ്: ആദ്യ പദങ്ങളുടെ രണ്ട് അനുബന്ധ തുകകൾ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, തുടർന്ന് മറ്റൊന്നിനെ ഒന്നിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക. ഞങ്ങൾ ചെറിയ തുക കണക്കാക്കുന്നു: എസ് 10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ വലിയ തുക കണക്കാക്കുന്നു: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. അവസാന എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷനിൽ 4 പദങ്ങൾ മാത്രമേ സംഗ്രഹിച്ചിട്ടുള്ളൂ എന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക, കാരണം പ്രശ്\u200cന പ്രസ്താവന അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കേണ്ട തുകയിൽ അഞ്ചാമത്തേത് ഇതിനകം ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അവസാനമായി, വ്യത്യാസം എടുക്കുക: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

രീതി 2. അക്കങ്ങൾ\u200c മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനും എണ്ണുന്നതിനും മുമ്പായി, സംശയാസ്\u200cപദമായ ശ്രേണിയിലെ m ഉം n ഉം അംഗങ്ങൾ\u200c തമ്മിലുള്ള തുകയ്\u200cക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫോർ\u200cമുല ലഭിക്കും. രീതി 1 ലെ അതേ രീതിയിലാണ് ഞങ്ങൾ ചെയ്യുന്നത്, തുകയുടെ പ്രതീകാത്മക പ്രാതിനിധ്യത്തോടെ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ ആദ്യം പ്രവർത്തിക്കൂ. ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്ന സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനും അന്തിമഫലം കണക്കാക്കാനും കഴിയും: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

പ്രശ്ന നമ്പർ 3. എന്താണ് ഡിനോമിനേറ്റർ?

A1 \u003d 2, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തട്ടെ, അതിന്റെ അനന്തമായ തുക 3 ആണെങ്കിൽ, ഇത് കുറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ പരമ്പരയാണെന്ന് അറിയാം.

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, അത് പരിഹരിക്കാൻ ഏത് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണമെന്ന് to ഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. തീർച്ചയായും, പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക അനന്തമായി കുറയുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: S∞ \u003d a1 / (1 - b). നമ്മൾ ഡിനോമിനേറ്റർ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നിടത്ത് നിന്ന്: b \u003d 1 - a1 / S∞. അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരമായി ആവശ്യമായ നമ്പർ നേടുന്നതിന് ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 അല്ലെങ്കിൽ -0.333 (3). ഇത്തരത്തിലുള്ള സീക്വൻസിനായി, മോഡുലസ് ബി 1 ന് മുകളിലേക്ക് പോകരുതെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ ഈ ഫലം ഗുണപരമായി പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, | -1 / 3 |

പ്രശ്ന നമ്പർ 4. ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകൾ വീണ്ടെടുക്കുന്നു

ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ 2 ഘടകങ്ങൾ നൽകട്ടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, അഞ്ചാമത്തേത് 30 ന് തുല്യവും 10 എണ്ണം 60 ന് തുല്യവുമാണ്. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സവിശേഷതകളെ ഇത് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കിക്കൊണ്ട് ഈ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് മുഴുവൻ ശ്രേണിയും പുനർനിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അറിയപ്പെടുന്ന ഓരോ പദത്തിനും നിങ്ങൾ ആദ്യം അനുബന്ധ പദപ്രയോഗം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: a5 \u003d b4 * a1, a10 \u003d b9 * a1. ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തെ ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് വിഭജിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. ഇവിടെ നിന്ന്, പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന പദങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിന്റെ അഞ്ചാമത്തെ റൂട്ട് എടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ നിർണ്ണയിക്കുന്നു, b \u003d 1.148698. അറിയപ്പെടുന്ന ഘടകത്തിനായി എക്സ്പ്രഷനുകളിലൊന്നിൽ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

അങ്ങനെ, പുരോഗതിയുടെ bn ന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്താണെന്നും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി bn-1 * 17.2304966 \u003d an, ഇവിടെ b \u003d 1.148698.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതികൾ എവിടെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?

പ്രായോഗികമായി ഈ സംഖ്യ ശ്രേണിയുടെ പ്രയോഗം ഇല്ലായിരുന്നുവെങ്കിൽ, അതിന്റെ പഠനം പൂർണ്ണമായും സൈദ്ധാന്തിക താൽപ്പര്യമായി ചുരുങ്ങും. എന്നാൽ അത്തരമൊരു അപ്ലിക്കേഷൻ നിലവിലുണ്ട്.

ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ 3 ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെ:

• വേഗത കുറഞ്ഞ ആമയെ പിടിക്കാൻ ബുദ്ധിമാനായ അക്കില്ലസിന് കഴിയാത്ത സെനോയുടെ വിരോധാഭാസം, അനന്തമായി കുറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആശയം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.
• ചെസ്സ് ബോർഡിന്റെ ഓരോ സ്ക്വയറിലും നിങ്ങൾ ഗോതമ്പ് ധാന്യങ്ങൾ ഇടുകയാണെങ്കിൽ, 1 ധാന്യം ഒന്നാം സ്ക്വയറിൽ, 2 - 2 ന്, 3 - 3 ന്, എന്നിങ്ങനെ, 18446744073709551615 ധാന്യങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. ബോർഡ്!
• ടവർ ഓഫ് ഹനോയി ഗെയിമിൽ, ഒരു വടിയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഡിസ്കുകൾ പുന ar ക്രമീകരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ 2n - 1 പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, ഉപയോഗിച്ച ഡിസ്കുകളുടെ എണ്ണത്തിനനുസരിച്ച് അവയുടെ എണ്ണം ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

ആദ്യ ലെവൽ

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. ഉദാഹരണങ്ങളുള്ള സമഗ്ര ഗൈഡ് (2019)

നമ്പർ ശ്രേണി

അതിനാൽ നമുക്ക് ഇരുന്ന് കുറച്ച് അക്കങ്ങൾ എഴുതാൻ ആരംഭിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്:

നിങ്ങൾക്ക് ഏത് നമ്പറുകളും എഴുതാൻ കഴിയും, മാത്രമല്ല നിങ്ങൾക്കിഷ്ടമുള്ളത്രയും ഉണ്ടായിരിക്കാം (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, അവ). നമ്മൾ എത്ര സംഖ്യകൾ എഴുതിയാലും, അവയിൽ ഏതാണ് ആദ്യത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത്, എന്നിങ്ങനെ അവസാനത്തേത് വരെ, അതായത് നമുക്ക് അവയെ അക്കമിടാൻ കഴിയും. ഇത് ഒരു സംഖ്യ ശ്രേണിയുടെ ഉദാഹരണമാണ്:

നമ്പർ ശ്രേണി ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു അദ്വിതീയ നമ്പർ നൽകാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങളുടെ ശ്രേണിക്ക്:

നിയുക്ത നമ്പർ ഒരു സീക്വൻസ് നമ്പറിന് മാത്രമുള്ളതാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഈ ശ്രേണിയിൽ മൂന്ന് സെക്കൻഡ് നമ്പറുകളൊന്നുമില്ല. രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ (-th സംഖ്യ പോലെ) എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നാണ്.

സംഖ്യയുള്ള സംഖ്യയെ സീക്വൻസിലെ th അംഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ സാധാരണയായി മുഴുവൻ ശ്രേണികളെയും ചില അക്ഷരങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്,), ഈ ശ്രേണിയിലെ ഓരോ അംഗവും ഈ അംഗത്തിന്റെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായ സൂചികയുള്ള അതേ അക്ഷരമാണ് :.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ:

ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമാണ് പുരോഗതിയുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ തരം. ഈ ത്രെഡിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ തരത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും - ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും അതിന്റെ ഉത്ഭവ ചരിത്രവും വേണ്ടത്.

പുരാതന കാലത്ത് പോലും, പിസയിലെ ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ലിയോനാർഡോ (ഫിബൊനാച്ചി എന്നറിയപ്പെടുന്നു) വ്യാപാരത്തിന്റെ പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ വ്യാപൃതനായിരുന്നു. സാധനങ്ങളുടെ ഭാരം കണക്കാക്കാൻ ഏറ്റവും ചെറിയ തൂക്കം ഏതെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാനുള്ള ചുമതല സന്യാസിയെ നേരിട്ടു. അത്തരമൊരു രചനാരീതി ഉത്തമമാണെന്ന് ഫിബൊനാച്ചി തന്റെ രചനകളിൽ തെളിയിക്കുന്നു: ആളുകൾക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ അഭിമുഖീകരിക്കേണ്ടി വന്ന ആദ്യത്തെ സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്, നിങ്ങൾ ഇതിനകം കേട്ടിട്ടുള്ളതും പൊതുവായ ഒരു ആശയമെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കാം. വിഷയം നിങ്ങൾ പൂർണ്ണമായി മനസ്സിലാക്കി കഴിഞ്ഞാൽ, എന്തുകൊണ്ടാണ് അത്തരമൊരു സംവിധാനം അനുയോജ്യമെന്ന് ചിന്തിക്കുക?

നിലവിൽ, ജീവിത പ്രാക്ടീസിൽ, ഒരു ബാങ്കിൽ പണം നിക്ഷേപിക്കുമ്പോൾ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പ്രകടമാകുന്നു, മുൻ കാലയളവിലേക്ക് അക്കൗണ്ടിൽ ശേഖരിച്ച തുകയ്ക്ക് പലിശ തുക ഈടാക്കുമ്പോൾ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ ഒരു സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ ഒരു ടേം ഡെപ്പോസിറ്റിൽ പണം നിക്ഷേപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ നിക്ഷേപം പ്രാരംഭ തുകയേക്കാൾ കൂടുതലായി വർദ്ധിക്കും, അതായത്. പുതിയ തുക ഗുണിച്ച നിക്ഷേപത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. മറ്റൊരു വർഷത്തിൽ, ഈ തുക ഇനിയും വർദ്ധിക്കും, അതായത്. ആ സമയത്ത് ലഭിച്ച തുക കൊണ്ട് ഗുണിക്കപ്പെടും. വിളിക്കപ്പെടുന്നവ കണക്കാക്കുന്നതിലെ പ്രശ്നങ്ങളിലും സമാനമായ ഒരു സാഹചര്യം വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു കൂട്ടുപലിശ - മുമ്പത്തെ പലിശ കണക്കിലെടുത്ത് അക്കൗണ്ടിലെ തുകയിൽ നിന്ന് ഓരോ തവണയും ശതമാനം എടുക്കുന്നു. ഈ ജോലികളെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഉപയോഗിക്കുന്ന നിരവധി ലളിതമായ കേസുകളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇൻഫ്ലുവൻസയുടെ വ്യാപനം: ഒരാൾ ഒരു വ്യക്തിയെ ബാധിച്ചു, അവർ മറ്റൊരു വ്യക്തിയെ ബാധിച്ചു, അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ തരംഗദൈർഘ്യം ഒരു വ്യക്തിയാണ്, അവർ മറ്റൊരാളെ ബാധിച്ചു ... അങ്ങനെ .. .

വഴിയിൽ, സാമ്പത്തിക പിരമിഡ്, അതേ എംഎംഎം, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ലളിതവും വരണ്ടതുമായ കണക്കുകൂട്ടലാണ്. താൽപ്പര്യമുണ്ടോ? നമുക്ക് അത് മനസിലാക്കാം.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

നമുക്ക് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണി ഉണ്ടെന്ന് പറയാം:

ഇത് എളുപ്പമാണെന്നും അത്തരമൊരു ശ്രേണിയിലെ പേര് അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിനൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണെന്നും നിങ്ങൾ ഉടൻ ഉത്തരം നൽകും. ഇതെങ്ങനെയുണ്ട്:

അടുത്ത നമ്പറിൽ നിന്ന് മുമ്പത്തെ ഒന്ന് കുറച്ചാൽ, ഓരോ തവണയും ഒരു പുതിയ വ്യത്യാസം (മുതലായവ) ലഭിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ കാണും, പക്ഷേ ക്രമം തീർച്ചയായും നിലവിലുണ്ട്, ഇത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് - ഓരോ അടുത്ത സംഖ്യയും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ ഇരട്ടി വലുതാണ് !

ഇത്തരത്തിലുള്ള സംഖ്യ ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി () എന്നത് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, ഇതിന്റെ ആദ്യ പദം നോൺ\u200cജെറോ ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ പദവും മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യയാൽ ഗുണിച്ചാൽ. ഈ സംഖ്യയെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആദ്യ പദം () തുല്യമല്ലെന്നും ക്രമരഹിതമല്ലെന്നും നിയന്ത്രണങ്ങൾ. അവർ ഇല്ലെന്നും ആദ്യത്തെ പദം ഇപ്പോഴും തുല്യമാണെന്നും q തുല്യമാണെന്നും നമുക്ക് പറയാം, ഉം .. അനുവദിക്കുക, എന്നിട്ട് ഇത് മാറുന്നു:

ഇത് മേലിൽ പുരോഗതിയില്ലെന്ന് സമ്മതിക്കുക.

നിങ്ങൾക്ക് imagine ഹിക്കാവുന്നതുപോലെ, പൂജ്യമല്ലാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഞങ്ങൾക്ക് സമാന ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കും, കൂടാതെ. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു പുരോഗതി ഉണ്ടാകില്ല, കാരണം മുഴുവൻ സംഖ്യകളും എല്ലാ പൂജ്യങ്ങളും അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സംഖ്യയും മറ്റെല്ലാ പൂജ്യങ്ങളും ആയിരിക്കും.

ഇനി നമുക്ക് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിശദമായി സംസാരിക്കാം, അതായത് ഫാ.

നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം: ഒരു സംഖ്യയാണ്, ഓരോ തുടർന്നുള്ള പദവും എത്ര തവണ മാറുന്നു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

അത് എന്തായിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു? ശരിയായി, പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, പക്ഷേ പൂജ്യമല്ല (ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ചുകൂടി സംസാരിച്ചു).

നമുക്ക് പോസിറ്റീവ് ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. നമ്മുടെ കാര്യത്തിലും അങ്ങനെ ചെയ്യട്ടെ. രണ്ടാമത്തെ ടേം എന്താണ്? നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും:

എല്ലാം ശരിയാണ്. അതനുസരിച്ച്, പുരോഗതിയുടെ തുടർന്നുള്ള എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും ഒരേ അടയാളം ഉണ്ട് - അവർ പോസിറ്റീവ്.

നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിലോ? ഉദാഹരണത്തിന്, a. രണ്ടാമത്തെ ടേം എന്താണ്?

ഇത് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു കഥയാണ്.

ഈ പുരോഗതിയുടെ കാലാവധി കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് എത്ര ലഭിച്ചു? എനിക്കുണ്ട്. അങ്ങനെ, എങ്കിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ ഒന്നിടവിട്ട്. അതായത്, അതിന്റെ അംഗങ്ങളിൽ ഒന്നിടവിട്ടുള്ള അടയാളങ്ങളുള്ള ഒരു പുരോഗതി നിങ്ങൾ കാണുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആണ്. ഈ വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സ്വയം പരീക്ഷിക്കാൻ ഈ അറിവ് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

ഇനി നമുക്ക് കുറച്ച് പരിശീലിക്കാം: ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് ഗണിത സംഖ്യകൾ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, അവ ഗണിതമാണ്:

മനസ്സിലായോ? നമുക്ക് നമ്മുടെ ഉത്തരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം:

• ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി - 3, 6.
• ഗണിത പുരോഗതി - 2, 4.
• ഇത് ഗണിതമോ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയോ അല്ല - 1, 5, 7.

നമുക്ക് അവസാനത്തെ പുരോഗതിയിലേക്ക് മടങ്ങാം, കൂടാതെ ഗണിതത്തിലെ അതേ രീതിയിൽ അതിന്റെ പദം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം. നിങ്ങൾ might ഹിച്ചതുപോലെ, അത് കണ്ടെത്താൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്.

ഓരോ പദവും ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി ഗുണിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, വിവരിച്ച ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ മൂന്നാമത്തെ അംഗം തുല്യമാണ്.

നിങ്ങൾ might ഹിച്ചതുപോലെ, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ തന്നെ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ സഹായിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല ആവിഷ്കരിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ ഘട്ടം ഘട്ടമായി മൂന്നാമത്തെ അംഗത്തെ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് വിവരിക്കുന്ന നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ ഇത് നിങ്ങൾക്കായി കൊണ്ടുവന്നിട്ടുണ്ടോ? അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ യുക്തിയുടെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുക.

തന്നിരിക്കുന്ന പുരോഗതിയുടെ മൂന്നാമത്തെ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമുക്ക് ഇത് വിശദീകരിക്കാം:

മറ്റൊരു വാക്കിൽ:

തന്നിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗത്തിന്റെ മൂല്യം നിങ്ങളുടേതായി കണ്ടെത്തുക.

സംഭവിച്ചോ? നമുക്ക് നമ്മുടെ ഉത്തരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ മുമ്പത്തെ ഓരോ പദവും ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി ഗുണിച്ചപ്പോൾ, മുമ്പത്തെ രീതിയിലെ അതേ സംഖ്യ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.
ഈ സൂത്രവാക്യം "വ്യതിരിക്തമാക്കാൻ" നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം - ഞങ്ങൾ അത് പൊതുരൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന് ലഭിക്കും:

പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് എന്നീ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ലഭിച്ച സൂത്രവാക്യം ശരിയാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളോടെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളെ കണക്കാക്കിക്കൊണ്ട് ഇത് സ്വയം പരിശോധിക്കുക :, a.

നിങ്ങൾ കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ടോ? ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം:

ഒരു അംഗത്തെപ്പോലെ തന്നെ പുരോഗതിയിലുള്ള ഒരു അംഗത്തെ കണ്ടെത്താനാകുമെന്ന് സമ്മതിക്കുക, എന്നിരുന്നാലും, തെറ്റായ എണ്ണലിന് സാധ്യതയുണ്ട്. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ മൂന്നാമത്തെ പദം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഫോർമുലയുടെ "കട്ട് ഓഫ്" ഭാഗം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനേക്കാൾ എളുപ്പമുള്ളത്.

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ഏറ്റവും സമീപകാലത്ത്, ഇത് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ അതിൽ കുറവോ ആകാം എന്ന വസ്തുതയെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ സംസാരിച്ചു, എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ വിളിക്കുന്ന പ്രത്യേക മൂല്യങ്ങളുണ്ട് അനന്തമായി കുറയുന്നു.

എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾ അത്തരമൊരു പേര് കരുതുന്നത്?
ആദ്യം, അംഗങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ചില ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നമുക്ക് എഴുതാം.
A, പിന്നെ:

ഓരോ തുടർന്നുള്ള പദവും മുമ്പത്തെതിനേക്കാൾ ഒരു ഘടകത്താൽ കുറവാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, പക്ഷേ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ഉണ്ടോ? ഇല്ല എന്ന് നിങ്ങൾ ഉടൻ ഉത്തരം നൽകും. അതുകൊണ്ടാണ് ഇത് അനന്തമായി കുറയുന്നത് - കുറയുന്നു, കുറയുന്നു, ഒരിക്കലും പൂജ്യമാകില്ല.

ദൃശ്യപരമായി ഇത് എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമായി മനസിലാക്കാൻ, നമ്മുടെ പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു:

ചാർട്ടുകളെ ആശ്രയിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ പതിവാണ്, അതിനാൽ:

പദപ്രയോഗത്തിന്റെ സാരാംശം മാറിയിട്ടില്ല: ആദ്യ എൻ\u200cട്രിയിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന അംഗത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ അതിന്റെ ഓർഡിനൽ നമ്പറിൽ ആശ്രയിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ കാണിച്ചു, രണ്ടാമത്തെ എൻ\u200cട്രിയിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പദത്തിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ എടുത്തത്, ഓർഡിനൽ നമ്പർ നിയുക്തമാക്കിയത് എങ്ങനെ, എങ്ങനെ എന്നല്ല. ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക മാത്രമാണ് ഇനി ചെയ്യേണ്ടത്.
നിങ്ങൾ എന്താണ് ചെയ്തതെന്ന് നോക്കാം. എനിക്ക് ലഭിച്ച ഗ്രാഫ് ഇതാ:

കണ്ടോ? പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു, പൂജ്യമായി മാറുന്നു, പക്ഷേ ഒരിക്കലും അതിനെ മറികടക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ ഇത് അനന്തമായി കുറയുന്നു. ഗ്രാഫിൽ ഞങ്ങളുടെ പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്താം, അതേ സമയം കോർഡിനേറ്റും അർത്ഥവും എന്താണ്:

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഗ്രാഫ് അതിന്റെ ആദ്യ പദം തുല്യമാണെങ്കിൽ അത് സ്കീമമാറ്റിക് ആയി ചിത്രീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. വിശകലനം ചെയ്യുക, ഞങ്ങളുടെ മുമ്പത്തെ ചാർട്ടിലെ വ്യത്യാസം എന്താണ്?

നിങ്ങൾ നിയന്ത്രിച്ചോ? എനിക്ക് ലഭിച്ച ഗ്രാഫ് ഇതാ:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തീമിന്റെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പൂർണ്ണമായി മനസ്സിലാക്കി: അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം, അതിന്റെ പദം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം, കൂടാതെ അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്താണെന്നും നിങ്ങൾക്കറിയാം, നമുക്ക് അതിന്റെ പ്രധാന സ്വത്തിലേക്ക് പോകാം.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വത്ത്.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ സ്വത്ത് ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? അതെ, അതെ, ഒരു നിശ്ചിത പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ മൂല്യങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം പുരോഗതിയുടെ മൂല്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം. ഓർമ്മിച്ചിട്ടുണ്ടോ? ഈ:

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾക്ക് സമാനമായ ചോദ്യമാണ് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നേരിടുന്നത്. സമാനമായ ഒരു സമവാക്യം നേടുന്നതിന്, നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗും യുക്തിയും ആരംഭിക്കാം. നിങ്ങൾ കാണും, ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, നിങ്ങൾ മറന്നാൽ, നിങ്ങൾക്കത് സ്വയം പുറത്തുകൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും.

നമുക്കറിയാവുന്ന മറ്റൊരു ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എടുക്കാം. എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉപയോഗിച്ച്, ഇത് എളുപ്പവും ലളിതവുമാണ്, എന്നാൽ ഇവിടെ എന്താണ്? വാസ്തവത്തിൽ, ജ്യാമിതീയതയിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല - ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയ ഓരോ മൂല്യവും നിങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾ ചോദിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ ഇത് ഇപ്പോൾ എന്തുചെയ്യണം? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്. ആരംഭത്തിൽ, ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കും, ഒപ്പം ഒരു മൂല്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നതിന് അവരുമായി വിവിധ കൃത്രിമങ്ങൾ നടത്താൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്യും.

ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയിട്ടുള്ള അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അമൂർത്തമാണ്, ഒരു ഫോർമുലയിലൂടെ അവ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിൽ മാത്രം ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും. ഓറഞ്ചിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിട്ടുള്ള മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിനടുത്തുള്ള അംഗങ്ങളെ അറിയുക. അവരുമായി വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ ശ്രമിക്കാം, അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കും.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.
രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങൾ ചേർക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, കൂടാതെ:

ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു തരത്തിലും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ഓപ്ഷൻ ശ്രമിക്കും - കുറയ്ക്കൽ.

കുറയ്ക്കൽ.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നമുക്കും ഇതിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ, ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരസ്പരം ഗുണിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

ഗുണനം.

ഇപ്പോൾ നമുക്കുള്ളത് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക, കണ്ടെത്തേണ്ട കാര്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളെ ഗുണിക്കുക:

ഞാൻ എന്താണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന്? ഹിക്കുക? ശരിയായി, കണ്ടെത്തുന്നതിന്, പരസ്പരം ഗുണിച്ചാൽ ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യയോട് ചേർന്നുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സംഖ്യകളുടെ വർ\u200cഗ്ഗ റൂട്ട് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ഇവിടെ ആരംഭിക്കുന്നു. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വത്ത് നിങ്ങൾ തന്നെ കുറച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ സൂത്രവാക്യം പൊതുവായി എഴുതാൻ ശ്രമിക്കുക. സംഭവിച്ചോ?

ഇതിനുള്ള അവസ്ഥ മറന്നോ? എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് പ്രധാനമെന്ന് ചിന്തിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, അത് സ്വയം കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. ഈ കേസിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? ഇത് ശരിയാണ്, സമവാക്യം ഇതുപോലെയായതിനാൽ പൂർണ്ണ അസംബന്ധം:

അതനുസരിച്ച്, ഈ പരിധി മറക്കരുത്.

ഇനി തുല്യമായത് കണക്കാക്കാം

ശരിയായ ഉത്തരം - ! കണക്കാക്കുമ്പോൾ സാധ്യമായ രണ്ടാമത്തെ മൂല്യം നിങ്ങൾ മറന്നിട്ടില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു മികച്ച കൂട്ടാളിയാണ്, നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി പരിശീലനത്തിലേക്ക് പോകാം, നിങ്ങൾ മറന്നുപോയെങ്കിൽ, ചുവടെ ചർച്ചചെയ്തത് വായിച്ച് രണ്ട് വേരുകളും എന്തുകൊണ്ടാണ് എഴുതേണ്ടതെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക ഉത്തരം.

നമുക്ക് നമ്മുടെ രണ്ട് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും വരയ്ക്കാം - ഒന്ന് അർത്ഥത്തോടെ, മറ്റൊന്ന് അർത്ഥത്തോടെ, അവ രണ്ടിനും നിലനിൽക്കാൻ അവകാശമുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക:

അത്തരമൊരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നിലവിലുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും തമ്മിൽ സമാനമാണോ എന്ന് കാണേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒന്നും രണ്ടും കേസുകൾക്ക് q കണക്കാക്കുക.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതെന്ന് കാണുക? കാരണം ആവശ്യമായ പദത്തിന്റെ അടയാളം അത് പോസിറ്റീവ് ആണോ നെഗറ്റീവ് ആണോ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു! അവൻ എന്താണെന്ന് നമുക്കറിയാത്തതിനാൽ, രണ്ട് ഉത്തരങ്ങളും പ്ലസ്, മൈനസ് എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ പ്രധാന പോയിന്റുകൾ മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്യുകയും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വത്തിനായുള്ള ഫോർമുല നേടുകയും ചെയ്തു, കണ്ടെത്തുക, അറിയുക, കൂടാതെ

ലഭിച്ച ഉത്തരങ്ങൾ ശരിയായ ഉത്തരങ്ങളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക:

നിങ്ങൾ ചിന്തിക്കുന്നതെന്താണ്, ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യയോട് ചേർന്നുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളല്ല, മറിച്ച് അതിൽ നിന്ന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഒപ്പം നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c ഉരുത്തിരിഞ്ഞ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാമോ? ഈ സാധ്യത സ്ഥിരീകരിക്കാനോ നിരസിക്കാനോ ശ്രമിക്കുക, തുടക്കത്തിൽ ഫോർമുല എടുക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ചെയ്തതുപോലെ, ഓരോ മൂല്യവും ഉൾക്കൊള്ളുന്നവയെഴുതുക.
നീ എന്തുചെയ്യുന്നു?

ഇപ്പോൾ വീണ്ടും അടുത്തറിയുക.
അതിനനുസരിച്ച്:

ഇതിൽ നിന്ന് ഫോർമുല പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം അയൽവാസിയുമായി മാത്രമല്ല ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആവശ്യമായ നിബന്ധനകൾക്കൊപ്പം, ഒപ്പം സമതുലിതമായ ആവശ്യമുള്ള അംഗങ്ങളിൽ നിന്ന്.

അങ്ങനെ, ഞങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ സൂത്രവാക്യം ഇങ്ങനെയാണ്:

അതായത്, ആദ്യ കേസിൽ ഞങ്ങൾ അങ്ങനെ പറഞ്ഞിരുന്നെങ്കിൽ, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പറയുന്നത് അത് കുറഞ്ഞ ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകാം എന്നാണ്. തന്നിരിക്കുന്ന രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കും തുല്യമായിരിക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശീലിക്കുക, വളരെ ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക!

1. ,. കണ്ടുപിടിക്കാൻ.
2. ,. കണ്ടുപിടിക്കാൻ.
3. ,. കണ്ടുപിടിക്കാൻ.

ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു? നിങ്ങൾ വളരെ ശ്രദ്ധാലുവായിരുന്നുവെന്നും ഒരു ചെറിയ ക്യാച്ച് ശ്രദ്ധിച്ചുവെന്നും ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ഫലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം.

ആദ്യ രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യം ശാന്തമായി പ്രയോഗിക്കുകയും ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

മൂന്നാമത്തെ കേസിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയ സംഖ്യകളുടെ ഓർഡിനൽ നമ്പറുകൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ തിരയുന്ന നമ്പറിൽ നിന്ന് അവ തുല്യമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു: ഇത് മുമ്പത്തെ നമ്പറാണ്, പക്ഷേ സ്ഥാനത്ത് നീക്കംചെയ്യുന്നു, അതിനാൽ ഇത് സാധ്യമല്ല സമവാക്യം പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്.

നമുക്ക് അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാനാകും? ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ തോന്നുന്നത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല! ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയ ഓരോ നമ്പറും ആവശ്യമായ നമ്പറും ഉൾക്കൊള്ളുന്നതെന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്കൊപ്പം എഴുതാം.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് അവരുമായി എന്തുചെയ്യാനാകുമെന്ന് നോക്കാം? കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

അടുത്ത ഘട്ടം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം - ഇതിനായി ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്കുള്ളത് വീണ്ടും കാണുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ഉണ്ട്, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, മാത്രമല്ല ഇത് തുല്യമാണ്:

കണക്കുകൂട്ടലിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ ഡാറ്റയും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുക:

ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരം: .

സമാനമായ മറ്റൊരു പ്രശ്നം സ്വയം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:
നൽകിയിരിക്കുന്നത്:,
കണ്ടുപിടിക്കാൻ:

നിങ്ങൾക്ക് എത്ര ലഭിച്ചു? എനിക്കുണ്ട് - .

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വാസ്തവത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ് ഒരു ഫോർമുല മാത്രം ഓർക്കുക -. ബാക്കിയുള്ളവയെല്ലാം നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും ഒരു ബുദ്ധിമുട്ടും കൂടാതെ സ്വയം പിൻവലിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു കടലാസിൽ ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എഴുതി മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് അതിന്റെ ഓരോ സംഖ്യകളും തുല്യമാണെന്ന് എഴുതുക.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.

ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ തുക വേഗത്തിൽ കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക:

ഒരു പരിമിത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല നേടുന്നതിന്, ഉയർന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും ഞങ്ങൾ ഇതിനാൽ ഗുണിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക: അവസാന രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്ക് പൊതുവായി എന്താണുള്ളത്? അത് ശരിയാണ്, സാധാരണ അംഗങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ അംഗം ഒഴികെ. ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. നീ എന്തുചെയ്യുന്നു?

ഇപ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദം സമവാക്യത്തിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തെ ഞങ്ങളുടെ അവസാന സൂത്രവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക:

എക്സ്പ്രഷൻ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുക. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

എക്സ്പ്രസ് മാത്രമാണ് ഇനി ചെയ്യേണ്ടത്:

അതനുസരിച്ച്, ഈ കേസിൽ.

അങ്ങനെയെങ്കിൽ? അപ്പോൾ എന്ത് ഫോർമുല പ്രവർത്തിക്കുന്നു? ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സങ്കൽപ്പിക്കുക. അവൾ എങ്ങനെയാണ് ഇരിക്കുന്നത്? യഥാക്രമം സമാന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി, സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഗണിതത്തിലും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലും നിരവധി ഐതിഹ്യങ്ങളുണ്ട്. അതിലൊന്നാണ് ചെസ്സ് സ്രഷ്ടാവായ സേത്തിന്റെ ഇതിഹാസം.

ചെസ് ഗെയിം ഇന്ത്യയിൽ കണ്ടുപിടിച്ചതാണെന്ന് പലർക്കും അറിയാം. ഹിന്ദു രാജാവ് അവളെ കണ്ടുമുട്ടിയപ്പോൾ, അവളുടെ വിവേകവും അവളിൽ സാധ്യമായ വിവിധ നിലപാടുകളും കൊണ്ട് അദ്ദേഹം സന്തോഷിച്ചു. ഇത് തന്റെ പ്രജകളിലൊരാൾ കണ്ടുപിടിച്ചതാണെന്ന് അറിഞ്ഞ രാജാവ് അദ്ദേഹത്തിന് വ്യക്തിപരമായി പ്രതിഫലം നൽകാൻ തീരുമാനിച്ചു. അദ്ദേഹം കണ്ടുപിടുത്തക്കാരനെ തന്നിലേക്ക് വിളിച്ചുവരുത്തി, അവനോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നതെന്തും ചോദിക്കാൻ ആവശ്യപ്പെട്ടു, ഏറ്റവും നൈപുണ്യമുള്ള ആഗ്രഹം പോലും നിറവേറ്റാമെന്ന് വാഗ്ദാനം നൽകി.

ചിന്തിക്കാൻ സമയം ചോദിച്ചു, അടുത്ത ദിവസം സേത രാജാവിന് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടപ്പോൾ, തന്റെ അഭ്യർത്ഥനയുടെ സമാനതകളില്ലാത്ത എളിമയോടെ രാജാവിനെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തി. ചെസ്സ് ബോർഡിന്റെ ആദ്യ സ്ക്വയറിനും രണ്ടാമത്തെ ഗോതമ്പ് ധാന്യങ്ങൾക്കും മൂന്നാമത്തേതിനും നാലാമത്തേതിനും ഗോതമ്പ് ധാന്യം നൽകാൻ അദ്ദേഹം ആവശ്യപ്പെട്ടു.

രാജാവ് പ്രകോപിതനായി, സേവകന്റെ അഭ്യർത്ഥന രാജകീയ er ദാര്യത്തിന് യോഗ്യമല്ലെന്ന് പറഞ്ഞ് സേത്തിനെ ഓടിച്ചു, എന്നാൽ ബോർഡിന്റെ എല്ലാ സെല്ലുകൾക്കും ദാസൻ തന്റെ ധാന്യങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുമെന്ന് വാഗ്ദാനം ചെയ്തു.

ഇപ്പോൾ ചോദ്യം: ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, സെറ്റയ്ക്ക് എത്ര ധാന്യങ്ങൾ ലഭിക്കണം എന്ന് കണക്കാക്കുക?

നമുക്ക് യുക്തിസഹമായി ആരംഭിക്കാം. വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ചെസ്ബോർഡിന്റെ ആദ്യ ചതുരത്തിനായി ഗോതമ്പിന്റെ ഒരു ധാന്യം സേത്ത് ആവശ്യപ്പെട്ടതിനാൽ, രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത്, നാലാമത്തേത് മുതലായവ, പ്രശ്നം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെക്കുറിച്ചാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഈ കേസിൽ എന്താണ് തുല്യം?
ശരിയായി.

ചെസ്സ്ബോർഡിന്റെ മൊത്തം സെല്ലുകൾ. അതനുസരിച്ച് ,. ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഡാറ്റയും ഉണ്ട്, അത് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുക മാത്രമാണ് ചെയ്യുന്നത്.

ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ "സ്കെയിലുകളെയെങ്കിലും" പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന്, ഡിഗ്രിയുടെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:

തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് വേണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ എടുത്ത് ഏത് തരം നമ്പറിലാണ് അവസാനിക്കുന്നതെന്ന് കണക്കാക്കാം, ഇല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അതിനായി എന്റെ വാക്ക് എടുക്കേണ്ടിവരും: പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അന്തിമ മൂല്യം ആയിരിക്കും.
അതായത്:

ക്വിന്റിലിയൻ ക്വാഡ്രില്യൺ ട്രില്യൺ ബില്ല്യൺ ദശലക്ഷം ആയിരം.

Fuh) ഈ സംഖ്യയുടെ വ്യാപ്തി നിങ്ങൾക്ക് imagine ഹിക്കണമെങ്കിൽ, മുഴുവൻ ധാന്യവും അടങ്ങിയിരിക്കാൻ കളപ്പുരയിൽ എത്രത്തോളം ആവശ്യമുണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കുക.
ഒരു കളപ്പുരയുടെ ഉയരവും m ന്റെ വീതിയും ഉള്ളതിനാൽ, അതിന്റെ നീളം കിലോമീറ്ററിലേക്ക് നീട്ടേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. ഭൂമിയിൽ നിന്ന് സൂര്യനിലേക്കുള്ള ഇരട്ടി ദൂരം.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സാർ ശക്തമാണെങ്കിൽ, ശാസ്ത്രജ്ഞൻ തന്നെ ധാന്യങ്ങൾ എണ്ണണമെന്ന് അദ്ദേഹത്തിന് നിർദ്ദേശിക്കാനാകും, കാരണം ഒരു ദശലക്ഷം ധാന്യങ്ങൾ എണ്ണാൻ, അദ്ദേഹത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു ദിവസമെങ്കിലും അശ്രാന്തമായ എണ്ണം ആവശ്യമാണ്, കൂടാതെ ക്വിന്റിലിയനുകൾ എണ്ണേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണെങ്കിൽ, ധാന്യങ്ങൾ അവന്റെ ജീവിതകാലം മുഴുവൻ കണക്കാക്കണം.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കായി ഒരു ലളിതമായ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം.
ഗ്രേഡ് 5 എയിലെ വിദ്യാർത്ഥിയായ വസ്യയ്ക്ക് പനി ബാധിച്ചെങ്കിലും സ്കൂളിൽ പോകുന്നത് തുടരുകയാണ്. എല്ലാ ദിവസവും വാസ്യ രണ്ടുപേരെ ബാധിക്കുന്നു, അവർ രണ്ടുപേരെ കൂടി ബാധിക്കുന്നു, അങ്ങനെ. ക്ലാസ്സിൽ ആളുകളുണ്ട്. എത്ര ദിവസം മുഴുവൻ ക്ലാസ്സിനും എലിപ്പനി ബാധിക്കും?

അതിനാൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം വാസ്യ, അതായത് ഒരു വ്യക്തി. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗം, അദ്ദേഹം വന്ന ആദ്യ ദിവസം തന്നെ അദ്ദേഹം ബാധിച്ച രണ്ട് ആളുകൾ. പുരോഗതിയിലുള്ള ആകെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം 5 എ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. അതനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത് ഒരു പുരോഗതിയെക്കുറിച്ചാണ്:

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

ക്ലാസ് മുഴുവനും ദിവസങ്ങളിൽ രോഗം പിടിപെടും. സൂത്രവാക്യങ്ങളിലും അക്കങ്ങളിലും നിങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? വിദ്യാർത്ഥികളുടെ "അണുബാധ" സ്വയം ചിത്രീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. സംഭവിച്ചോ? ഇത് എന്നെ എങ്ങനെ കാണുന്നുവെന്ന് കാണുക:

ഓരോരുത്തരും ഒരു വ്യക്തിയെ ബാധിച്ചാൽ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് എത്ര ദിവസം എലിപ്പനി ബാധിക്കുമെന്ന് സ്വയം കണക്കുകൂട്ടുക, ക്ലാസ്സിൽ ഒരു വ്യക്തി ഉണ്ടായിരുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് മൂല്യം ലഭിച്ചു? എല്ലാവരും ഒരു ദിവസത്തിനുശേഷം രോഗം വരാൻ തുടങ്ങി.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അത്തരമൊരു ജോലിയും അതിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്നതും ഒരു പിരമിഡിനോട് സാമ്യമുള്ളതാണ്, അതിൽ ഓരോരുത്തരും പുതിയ ആളുകളെ "കൊണ്ടുവരുന്നു". എന്നിരുന്നാലും, താമസിയാതെ ആരെയെങ്കിലും ആകർഷിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു നിമിഷം വരുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ക്ലാസ് ഒറ്റപ്പെട്ടതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ imagine ഹിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൽ നിന്നുള്ള വ്യക്തി ചെയിൻ അടയ്ക്കും (). അങ്ങനെ, ഒരു സാമ്പത്തിക പിരമിഡിൽ ഒരു വ്യക്തി ഉൾപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിൽ നിങ്ങൾ മറ്റ് രണ്ട് പങ്കാളികളെ കൊണ്ടുവരുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ പണം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ആ വ്യക്തി (അല്ലെങ്കിൽ പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ) യഥാക്രമം ആരെയും കൊണ്ടുവരില്ല, അവർക്ക് എല്ലാം നഷ്ടപ്പെടും ഈ സാമ്പത്തിക അഴിമതിയിൽ നിക്ഷേപിച്ചു.

മുകളിൽ പറഞ്ഞതെല്ലാം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ, നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക തരം ഉണ്ട് - അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? എന്തുകൊണ്ടാണ് ഈ തരത്തിലുള്ള പുരോഗതിക്ക് ചില സവിശേഷതകൾ ഉള്ളത്? നമുക്ക് ഇത് ഒരുമിച്ച് അടുക്കാം.

അതിനാൽ, ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഈ കണക്ക് വീണ്ടും നോക്കാം:

കുറച്ച് മുമ്പ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല നോക്കാം:
അഥവാ

ഞങ്ങൾ എന്തിനാണ് പരിശ്രമിക്കുന്നത്? അത് ശരിയാണ്, ഗ്രാഫ് പൂജ്യമായി മാറുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നു. അതായത്, എപ്പോൾ, ഏതാണ്ട് തുല്യമായിരിക്കും, എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഏതാണ്ട് ലഭിക്കും. ഇക്കാര്യത്തിൽ, അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുക കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഈ ബ്രാക്കറ്റിനെ അവഗണിക്കാം, കാരണം അത് തുല്യമായിരിക്കും.

- അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ഫോർമുല.

പ്രധാനം! അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുകയ്\u200cക്കായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഈ തുക വ്യക്തമായി കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് വ്യവസ്ഥ വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ മാത്രം അനന്തമായ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം.

ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യ n സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ.

ഇനി നമുക്ക് പരിശീലനം നടത്താം.

1. ഒപ്പം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.
2. ഒപ്പം, ഒപ്പം അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

നിങ്ങൾ അങ്ങേയറ്റം ശ്രദ്ധാലുവായിരുന്നുവെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. നമുക്ക് നമ്മുടെ ഉത്തരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം അറിയാം, സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പരിശീലനത്തിലേക്ക് മാറാനുള്ള സമയമാണിത്. പരീക്ഷയിൽ നേരിടുന്ന ഏറ്റവും സാധാരണമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പ്രശ്നങ്ങൾ സംയുക്ത പലിശ പ്രശ്നങ്ങളാണ്. അവരെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ സംസാരിക്കുക.

സംയുക്ത പലിശ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതലകൾ.

സംയുക്ത പലിശ സൂത്രവാക്യത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ കേട്ടിരിക്കാം. അവൾ എന്താണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലായോ? ഇല്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് അത് മനസിലാക്കാം, കാരണം പ്രക്രിയ തന്നെ തിരിച്ചറിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ ഉടനെ മനസ്സിലാക്കും, ഇവിടെ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുണ്ട്.

നാമെല്ലാവരും ബാങ്കിൽ പോയി നിക്ഷേപങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത വ്യവസ്ഥകളുണ്ടെന്ന് അറിയാം: ഇതാണ് പദം, അധിക സേവനം, ഇത് കണക്കാക്കാനുള്ള രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വഴികളുള്ള പലിശ - ലളിതവും സങ്കീർണ്ണവും.

FROM ലളിതമായ താൽപ്പര്യം എല്ലാം കൂടുതലോ കുറവോ വ്യക്തമാണ്: ഡെപ്പോസിറ്റ് കാലാവധിയുടെ അവസാനത്തിൽ ഒരിക്കൽ പലിശ ഈടാക്കുന്നു. അതായത്, ഒരു വർഷത്തിൽ 100 \u200b\u200bറുബിളുകൾ ഇടുന്നുവെന്ന് പറഞ്ഞാൽ, അത് വർഷാവസാനം മാത്രമേ ക്രെഡിറ്റ് ചെയ്യപ്പെടുകയുള്ളൂ. അതനുസരിച്ച്, നിക്ഷേപം അവസാനിക്കുമ്പോഴേക്കും ഞങ്ങൾക്ക് റൂബിൾസ് ലഭിക്കും.

കൂട്ടുപലിശ - ഇത് ഒരു ഓപ്ഷനാണ് പലിശ മൂലധനം, അതായത്. നിക്ഷേപത്തിന്റെ അളവിലും തുടർന്നുള്ള വരുമാനം കണക്കാക്കുന്നതിലും അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നത് പ്രാരംഭത്തിൽ നിന്നല്ല, മറിച്ച് നിക്ഷേപത്തിന്റെ ശേഖരിച്ച തുകയിൽ നിന്നാണ്. മൂലധനം നിരന്തരം സംഭവിക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ ചില ആവൃത്തികളോടെ. സാധാരണഗതിയിൽ, ഈ കാലയളവുകൾ തുല്യമാണ്, മിക്കപ്പോഴും ബാങ്കുകൾ ഒരു മാസം, പാദം അല്ലെങ്കിൽ വർഷം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒരേ നിരക്കുകളെല്ലാം ഞങ്ങൾ വാർഷിക നിരക്കിൽ ഇടുന്നുവെന്ന് പറയാം, പക്ഷേ നിക്ഷേപത്തിന്റെ പ്രതിമാസ മൂലധനത്തിലൂടെ. നമുക്ക് എന്ത് ലഭിക്കും?

നിങ്ങൾക്ക് ഇവിടെ എല്ലാം മനസ്സിലായോ? ഇല്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇത് ഘട്ടങ്ങളായി കണക്കാക്കാം.

ഞങ്ങൾ റൂബിളുകൾ ബാങ്കിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നു. മാസാവസാനത്തോടെ, ഞങ്ങളുടെ റൂബിളുകളും അവയിൽ പലിശയും അടങ്ങുന്ന ഒരു തുക ഞങ്ങളുടെ അക്കൗണ്ടിൽ ദൃശ്യമാകും, അതായത്:

ഞാൻ അംഗീകരിക്കുന്നു?

നമുക്ക് ഇത് ബ്രാക്കറ്റിന് പുറത്ത് ഇടാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും:

സമ്മതിക്കുക, ഈ സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ തുടക്കത്തിൽ എഴുതിയതിന് സമാനമാണ്. പലിശ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു

പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ, വാർഷികത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങളോട് പറയുന്നു. നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഇതിനെ ഗുണിക്കുന്നില്ല - ഞങ്ങൾ ശതമാനത്തെ ദശാംശത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു, അതായത്:

ശരിയല്ലേ? ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ചോദിക്കുന്നു, നമ്പർ എവിടെ നിന്ന് വന്നു? വളരെ ലളിതമാണ്!
ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു: പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു വാർഷികം പലിശ സമാഹരിച്ചു മാസം... നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, യഥാക്രമം ഒരു മാസത്തിനുള്ളിൽ, പ്രതിമാസം വാർഷിക പലിശയുടെ ഒരു ഭാഗം ബാങ്ക് ഞങ്ങളിൽ നിന്ന് ഈടാക്കും:

തിരിച്ചറിഞ്ഞോ? പലിശ ദിനംപ്രതി കണക്കാക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ പറഞ്ഞാൽ ഫോർമുലയുടെ ഈ ഭാഗം എങ്ങനെയായിരിക്കുമെന്ന് ഇപ്പോൾ എഴുതാൻ ശ്രമിക്കുക.
നിങ്ങൾ നിയന്ത്രിച്ചോ? ഫലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം:

നന്നായി ചെയ്തു! നമുക്ക് ഞങ്ങളുടെ ചുമതലയിലേക്ക് മടങ്ങാം: നിക്ഷേപത്തിന്റെ ശേഖരിച്ച തുകയ്ക്ക് പലിശ ഈടാക്കുന്നുവെന്ന് കണക്കിലെടുത്ത് രണ്ടാം മാസത്തേക്ക് ഞങ്ങളുടെ അക്കൗണ്ടിലേക്ക് എത്രത്തോളം ക്രെഡിറ്റ് ചെയ്യുമെന്ന് എഴുതുക.
എനിക്ക് കിട്ടിയത് ഇതാ:

അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ:

നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഒരു പാറ്റേൺ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും ഇതിലെല്ലാം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കണ്ടുവെന്നും ഞാൻ കരുതുന്നു. അതിന്റെ അംഗത്തിന് തുല്യമായത് എന്താണെന്ന് എഴുതുക, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, മാസാവസാനം ഞങ്ങൾക്ക് എത്ര പണം ലഭിക്കും.
നിർമ്മിച്ചോ? പരിശോധിക്കുന്നു!

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു വർഷത്തേക്ക് ലളിതമായ പലിശയ്ക്ക് നിങ്ങൾ ബാങ്കിൽ പണം നിക്ഷേപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് റൂബിളുകൾ ലഭിക്കും, സങ്കീർണ്ണമായ നിരക്കിൽ - റൂബിൾസ്. ആനുകൂല്യം ചെറുതാണ്, പക്ഷേ ഇത് സംഭവിക്കുന്നത് ഈ വർഷത്തിൽ മാത്രമാണ്, എന്നാൽ കൂടുതൽ കാലത്തേക്ക്, മൂലധനം കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്:

സംയുക്ത താൽപ്പര്യമുള്ള മറ്റൊരു തരം പ്രശ്നങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം, ഇത് നിങ്ങൾക്ക് പ്രാഥമികമായിരിക്കും. അതിനാൽ ചുമതല:

ഡോളറിൽ മൂലധനമുള്ള സ്വെസ്ഡ കമ്പനി 2000 ൽ ഈ വ്യവസായത്തിൽ നിക്ഷേപം ആരംഭിച്ചു. 2001 മുതൽ എല്ലാ വർഷവും അവൾ ഒരു ലാഭം നേടുന്നു, അത് കഴിഞ്ഞ വർഷത്തെ മൂലധനത്തിൽ നിന്നാണ്. ലാഭം രക്തചംക്രമണത്തിൽ നിന്ന് പിൻവലിച്ചില്ലെങ്കിൽ 2003 അവസാനത്തോടെ സ്വെസ്ഡ കമ്പനിക്ക് എത്ര ലാഭം ലഭിക്കും?

2000 ൽ "സ്വെസ്ഡ" എന്ന കമ്പനിയുടെ മൂലധനം.
- 2001 ൽ "സ്വെസ്ഡ" കമ്പനിയുടെ തലസ്ഥാനം.
- 2002 ൽ "സ്വെസ്ഡ" കമ്പനിയുടെ തലസ്ഥാനം.
- 2003 ൽ "സ്വെസ്ഡ" കമ്പനിയുടെ തലസ്ഥാനം.

അല്ലെങ്കിൽ നമുക്ക് ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ:

2000, 2001, 2002, 2003.

ഉചിതമായി:
റൂബിൾസ്
ഈ പ്രശ്\u200cനത്തിൽ\u200c ഞങ്ങൾ\u200cക്ക് ഒന്നോ അതിലധികമോ വിഭജനം ഇല്ലെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, കാരണം ശതമാനം\u200c യഥാക്രമം നൽകുകയും അത് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതായത്, സംയുക്ത പലിശയ്\u200cക്കായി ഒരു പ്രശ്നം വായിക്കുമ്പോൾ, എത്ര ശതമാനം നൽകിയിട്ടുണ്ട്, ഏത് കാലയളവിൽ ഈടാക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, തുടർന്ന് മാത്രമേ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് പോകുക.
ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം അറിയാം.

വർക്കൗട്ട്.

1. എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ പദം അറിയാമെങ്കിൽ അത് കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ
2. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, അത് അറിയാമെങ്കിൽ, കണ്ടെത്തുക
3. ഡോളറിൽ മൂലധനമുള്ള എംഡിഎം ക്യാപിറ്റൽ 2003 ൽ വ്യവസായത്തിൽ നിക്ഷേപം ആരംഭിച്ചു. എല്ലാ വർഷവും, 2004 ൽ ആരംഭിച്ച്, അവൾ ഒരു ലാഭം നേടുന്നു, അത് മുൻ വർഷത്തെ മൂലധനത്തിൽ നിന്നാണ്. "എം\u200cഎസ്\u200cകെ ക്യാഷ് ഫ്ലോസ്" എന്ന കമ്പനി 2005 ൽ വ്യവസായത്തിൽ 10,000 ഡോളർ മുതൽമുടക്ക് തുടങ്ങി, 2006 ൽ ലാഭമുണ്ടാക്കാൻ തുടങ്ങി. ലാഭം രക്തചംക്രമണത്തിൽ നിന്ന് പിൻവലിച്ചില്ലെങ്കിൽ 2007 അവസാനത്തോടെ ഒരു കമ്പനിയുടെ മൂലധനം 2007 അവസാനത്തോടെ എത്ര ഡോളറാണ്?

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. പുരോഗതി അനന്തമാണെന്നും അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്നും പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ പറയാത്തതിനാൽ, ഫോർമുല അനുസരിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തുന്നു:
2. 
   എംഡിഎം ക്യാപിറ്റൽ:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100% വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത് 2 മടങ്ങ്.
   ഉചിതമായി:
   റൂബിൾസ്
   MSK ക്യാഷ് ഫ്ലോകൾ:

   2005, 2006, 2007.
   - വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത്, സമയം.
   ഉചിതമായി:
   റൂബിൾസ്
   റൂബിൾസ്

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം.

1) ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി () ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, ഇതിന്റെ ആദ്യ പദം നോൺ\u200cജെറോ ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ പദവും മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യയാൽ ഗുണിച്ചാൽ. ഈ സംഖ്യയെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

2) ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ സമവാക്യം -.

3) കൂടാതെ കൂടാതെ ഏത് മൂല്യങ്ങളും എടുക്കാം.

• എങ്കിൽ, പുരോഗതിയുടെ തുടർന്നുള്ള എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും ഒരേ അടയാളം ഉണ്ട് - അവർക്ക് പോസിറ്റീവ്;
• എങ്കിൽ, പുരോഗതിയുടെ തുടർന്നുള്ള എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഇതര അടയാളങ്ങൾ;
• at - പുരോഗതിയെ അനന്തമായി കുറയുന്നു.

4), കാരണം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വത്താണ് (അടുത്തുള്ള പദങ്ങൾ)

അഥവാ
, at (തുല്യമായ പദങ്ങൾ)

കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, അത് മറക്കരുത് രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

5) ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
അഥവാ

പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ:
അഥവാ

പ്രധാനം! അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുകയ്\u200cക്കായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, അനന്തമായ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണെന്ന് വ്യവസ്ഥ വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ മാത്രം.

6) ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ മൂന്നാം ടേമിന്റെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് സംയുക്ത പലിശയ്ക്കുള്ള പ്രശ്നങ്ങളും കണക്കാക്കുന്നു, ഫണ്ടുകൾ രക്തചംക്രമണത്തിൽ നിന്ന് പിൻവലിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ:

ജിയോമെട്രിക് പ്രോഗ്രാം. പ്രധാനത്തെക്കുറിച്ച് സൂക്ഷ്മമായി

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി () ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, ഇതിന്റെ ആദ്യ പദം നോൺ\u200cജെറോ ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ പദവും മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യയാൽ ഗുണിച്ചാൽ. ഈ നമ്പറിനെ വിളിക്കുന്നു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൂടാതെ കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യം എടുക്കാൻ കഴിയും.

• എങ്കിൽ, പുരോഗതിയുടെ തുടർന്നുള്ള എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും ഒരേ അടയാളം ഉണ്ടെങ്കിൽ - അവർ പോസിറ്റീവ് ആണ്;
• എങ്കിൽ, പുരോഗതിയുടെ തുടർന്നുള്ള എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഇതര ചിഹ്നങ്ങൾ;
• at - പുരോഗതിയെ അനന്തമായി കുറയുന്നു.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ സമവാക്യം - .

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
അഥവാ

\u003e\u003e മാത്തമാറ്റിക്സ്: ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

വായനക്കാരന്റെ സ For കര്യത്തിനായി, മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c പിന്തുടർ\u200cന്ന അതേ പ്ലാൻ\u200c ഈ വിഭാഗം പിന്തുടരുന്നു.

1. അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ.

നിർവചനം. ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണി, അതിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും 0 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, ഓരോ പദവും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, മുമ്പത്തെ പദത്തിൽ നിന്ന് അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 5 നെ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്നത് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണി (b n) ആണ്

സംഖ്യ ക്രമം കൊണ്ട് ഇത് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുമോ? കഴിയും. സീക്വൻസിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തിന്റെ അനുപാതം മുമ്പത്തെ അംഗവുമായി സ്ഥിരമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുണ്ട്.
ഉദാഹരണം 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
ബി 1 \u003d 1, q \u003d 3.

ഉദാഹരണം 2.

ഇത് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്
ഉദാഹരണം 3.

ഇത് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്
ഉദാഹരണം 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

ഇത് ബി 1 - 8, q \u003d 1 ഉള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്.

ഈ ശ്രേണി ഒരു ഗണിത പുരോഗതി കൂടിയാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക (§ 15 ലെ ഉദാഹരണം 3 കാണുക).

ഉദാഹരണം 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

ഇത് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, അതിൽ b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

വ്യക്തമായും, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി b 1\u003e 0, q\u003e 1 (ഉദാഹരണം 1 കാണുക) ആണെങ്കിൽ വർദ്ധിക്കുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണ്, കൂടാതെ b 1\u003e 0, 0 ആണെങ്കിൽ കുറയുന്നു< q < 1 (см. пример 2).

സീക്വൻസ് (ബി n) ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ചിലപ്പോൾ സൗകര്യപ്രദമാണ്:

ഐക്കൺ "ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി" എന്ന വാക്യത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.
ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ക urious തുകകരവും അതേ സമയം വ്യക്തമായതുമായ ഒരു സ്വത്ത് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം:
സീക്വൻസ് എങ്കിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, തുടർന്ന് സ്ക്വയറുകളുടെ ക്രമം, അതായത്. ഒരു എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ പുരോഗതിയാണ്.
രണ്ടാമത്തെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ, ആദ്യ പദം a 2 ന് തുല്യമാണ് q 2.
B n ന് ശേഷമുള്ള എല്ലാ പദങ്ങളും ഞങ്ങൾ എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസിയായി നിരസിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് പരിമിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ലഭിക്കും
ഈ വിഭാഗത്തിന്റെ തുടർന്നുള്ള ഖണ്ഡികകളിൽ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

2. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ n-th പദത്തിന്റെ ഫോർമുല.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പരിഗണിക്കുക ഡിനോമിനേറ്റർ q. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും n സമത്വം എന്ന് to ഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യമാണിത്.

അഭിപ്രായം.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ ഒരു പ്രധാന പരാമർശം വായിക്കുകയും അത് മനസിലാക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഫോർമുല (1) തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാം കാലത്തെ ഫോർമുലയ്ക്കായി ചെയ്തതുപോലെ.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ ഫോർമുല മാറ്റിയെഴുതാം

കൂടാതെ നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുക: ഞങ്ങൾക്ക് y \u003d mq 2, അല്ലെങ്കിൽ, കൂടുതൽ വിശദമായി,
X എന്ന ആർഗ്യുമെന്റ് ഒരു എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇതിനെ എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ N സെറ്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനായി കാണാനാകും. അത്തിയിൽ. 96a ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നു. 966 - ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, ഒരു പ്രത്യേക വക്രത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒറ്റപ്പെട്ട പോയിന്റുകൾ (അബ്സിസ്സാസ് x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3 മുതലായവ) ഉണ്ട് (രണ്ട് കണക്കുകളും ഒരേ വക്രത കാണിക്കുന്നു, വ്യത്യസ്തമായി മാത്രം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, വ്യത്യസ്ത സ്കെയിലുകളിൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു). ഈ വക്രത്തെ എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചും അതിന്റെ ഗ്രാഫിനെക്കുറിച്ചുമുള്ള കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ 11-ാം ക്ലാസ് ആൾജിബ്ര കോഴ്\u200cസിൽ ചർച്ചചെയ്യും.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് 1-5 ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങാം.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... ഇതൊരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, അതിൽ b 1 \u003d 1, q \u003d 3. നമുക്ക് ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ ഫോർമുല രചിക്കാം
2) ഇതൊരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, അതിൽ നമുക്ക് ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം രചിക്കാം

ഇത് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് ഒൻപതാമത്തെ ടേമിനുള്ള ഫോർമുല രചിക്കാം
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... ഇതൊരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, അതിൽ b 1 \u003d 8, q \u003d 1. നമുക്ക് ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ ഫോർമുല രചിക്കാം
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... ഇത് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, അതിൽ b 1 \u003d 2, q \u003d -1. ഒൻപതാമത്തെ ടേമിനുള്ള ഫോർമുല രചിക്കാം

ഉദാഹരണം 6.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയിരിക്കുന്നു

എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പരിഹാരം

a) ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ n \u003d 6 ന്റെ ഒൻപതാം സൂത്രവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

b) ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്

512 \u003d 2 9 മുതൽ, നമുക്ക് n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 ലഭിക്കും.

d) ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്

ഉദാഹരണം 7.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 48 ആണ്, പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെയും ആറാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 48 ഉം ആണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ പന്ത്രണ്ടാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

ആദ്യത്തെ പടി. ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക വരയ്ക്കുന്നു.

പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ\u200c ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഹ്രസ്വമായി എഴുതാൻ\u200c കഴിയും:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിനായുള്ള സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
പ്രശ്നത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ അവസ്ഥ (ബി 7 - ബി 5 \u003d 48) ഫോമിൽ എഴുതാം

പ്രശ്നത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ അവസ്ഥ (ബി 5 + ബി 6 \u003d 48) എന്ന് എഴുതാം

തൽഫലമായി, b 1, q എന്നീ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഇത് മുകളിലുള്ള വ്യവസ്ഥയുമായി സംയോജിച്ച് 1), പ്രശ്നത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകയാണ്.

രണ്ടാം ഘട്ടം.

കംപൈൽ ചെയ്ത മോഡലുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെയും ഇടത് വശങ്ങൾ തുല്യമാക്കിയാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും നോൺ\u200cജെറോ എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷനായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു b 1 q 4).

Q 2 - q - 2 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1. സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് q \u003d 2 എന്ന മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു
സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ q \u003d -1 മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ നമുക്ക് b 1 1 0 \u003d 48; ഈ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

അതിനാൽ, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ഈ ജോഡി സമവാക്യങ്ങളുടെ സംയോജിത സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരമാണ്.

ഇപ്പോൾ പ്രശ്നത്തിൽ പരാമർശിച്ചിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നമുക്ക് എഴുതാം: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

മൂന്നാം ഘട്ടം.

പ്രശ്നത്തിന്റെ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം. ബി 12 കണക്കാക്കാൻ ഇത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് ഉണ്ട്

ഉത്തരം: ബി 12 \u003d 2048.

3. പരിമിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം.

പരിമിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകട്ടെ

S n അതിന്റെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുകയെ സൂചിപ്പിക്കാൻ അനുവദിക്കുക, അതായത്.

ഈ തുക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് നേടാം.

Q \u003d 1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. അപ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി b 1, b 2, b 3, ..., bn ൽ b 1 ന് തുല്യമായ n അക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത് പുരോഗതിക്ക് b 1, b 2, b 3, ..., b 4 എന്ന രൂപമുണ്ട്. ഈ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക nb 1 ആണ്.

ഇപ്പോൾ q \u003d 1 അനുവദിക്കുക S n കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു കൃത്രിമ രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നു: S n q എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ചു, അതനുസരിച്ച് (യുക്തിയുടെ മൂന്നാമത്തെ വരി കാണുക); രണ്ടാമതായി, പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം എന്തുകൊണ്ടാണ് മാറാത്തതെന്ന് അവർ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്തു (യുക്തിയുടെ നാലാമത്തെ വരി കാണുക); മൂന്നാമതായി, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒൻപതാമത്തെ പദത്തിനായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചു:

(1) സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്:

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സൂത്രവാക്യമാണിത് (q \u003d 1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ).

ഉദാഹരണം 8.

പരിമിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയിരിക്കുന്നു

a) പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക; b) അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക.

b) മുകളിൽ (പേജ് 132 കാണുക) ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ചതുരാകൃതിയിലാണെങ്കിൽ, ആദ്യ പദം b 2, ഡിനോമിനേറ്റർ q 2 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ലഭിക്കുന്നു. പുതിയ പുരോഗതിയിലെ ആറ് അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കും

ഉദാഹരണം 9.

ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ എട്ടാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക

വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ആദ്യ സിദ്ധാന്തം ഒഴികെ (അവസാനത്തേതും ഒരു പരിമിത ശ്രേണിയുടെ കാര്യത്തിലും) അതിന്റെ ഓരോ അംഗങ്ങളുടെയും ചതുരം മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ പദങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് ( ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവ സവിശേഷത).