ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യങ്ങളാണ്.

y=f(x) എന്ന സൂത്രവാക്യം നൽകുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ f(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് പൂജ്യങ്ങളില്ല.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1) y=3x+15 എന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ, 3x+15=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

അങ്ങനെ, y=3x+15 ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യം x= -5 ആണ്.

ഉത്തരം: x= -5.

2) ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക f(x)=x²-7x+12.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഇതിന്റെ വേരുകൾ x1=3, x2=4 എന്നിവ ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങളാണ്.

ഉത്തരം: x=3; x=4.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യം എന്നത് ആർഗ്യുമെന്റ് x ന്റെ മൂല്യമാണ്, അതിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ പരിധിയിലുള്ള ആർഗ്യുമെന്റുകൾ മാത്രമേ പൂജ്യങ്ങളാകൂ. അതായത്, f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗപ്രദമായ ധാരാളം മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. 2. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ എഴുതി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക, പറയുക f(x) = 2x?+5x+2 = 0. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് അതിന്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പിന്തുണയോടെ കണക്കാക്കുന്നു. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0.5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. അങ്ങനെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കുന്നു. പ്രാരംഭ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആർഗ്യുമെന്റുകൾ f(x) 3. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്നതിന് കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ x മൂല്യങ്ങളും പരിശോധിക്കുക. OOF കണ്ടെത്തുക, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫോമിന്റെ ഇരട്ട വേരുകളുടെ സാന്നിദ്ധ്യത്തിനായുള്ള പ്രാരംഭ എക്സ്പ്രഷൻ പരിശോധിക്കുക. ഭാവങ്ങൾ. 4. ഒരു ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, എല്ലാ ആർഗ്യുമെന്റുകളും x നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നായി എടുക്കുക, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ റാഡിക്കൽ എക്‌സ്‌പ്രെഷനെ നെഗറ്റീവ് നമ്പറാക്കി മാറ്റുന്നില്ല (മറിച്ച്, ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്യുന്നു അർത്ഥമില്ല). ഫംഗ്‌ഷന്റെ കണ്ടെത്തിയ പൂജ്യങ്ങൾ സ്വീകാര്യമായ x മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത പരിധിക്കുള്ളിൽ വരുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക. 5. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിന് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകാൻ കഴിയില്ല; അതിനാൽ, അത്തരമൊരു ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ആ ആർഗ്യുമെന്റുകൾ x ഒഴിവാക്കുക. ലോഗരിഥമിക് അളവുകൾക്ക്, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഗണിക്കാവൂ, അതിനായി പദപ്രയോഗം തന്നെ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്. സബ്ലോഗരിഥമിക് എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പൂജ്യമായോ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിലേക്കോ മാറ്റുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ അന്തിമ ഫലത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കണം. കുറിപ്പ്!ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. ഇത് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് മാറ്റി, ഫംഗ്‌ഷൻ പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നുണ്ടോയെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക. സഹായകരമായ ഉപദേശംഇടയ്ക്കിടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ വാദത്തിലൂടെ വ്യക്തമായ രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നില്ല, അപ്പോൾ ഈ ഫംഗ്ഷൻ എന്താണെന്ന് അറിയാൻ എളുപ്പമാണ്. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ഇതിന് ഉദാഹരണമാണ്.

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ abscissa മൂല്യത്തെ വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിന്റെ സമവാക്യത്താൽ നൽകിയാൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരമായിരിക്കും. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് നൽകിയാൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ ഗ്രാഫ് x-അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളാണ്.

ഫംഗ്ഷൻഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്. ഫംഗ്ഷൻ - വേരിയബിൾ ഡിപൻഡൻസി ചെയ്തത്വേരിയബിളിൽ നിന്ന് x, ഓരോ മൂല്യവും ആണെങ്കിൽ എക്സ്ഒരൊറ്റ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ചെയ്തത്. വേരിയബിൾ എക്സ്സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ അല്ലെങ്കിൽ ആർഗ്യുമെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വേരിയബിൾ ചെയ്തത്ആശ്രിത വേരിയബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും (വേരിയബിൾ x) ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ രൂപീകരിക്കുക. ആശ്രിത വേരിയബിൾ എടുക്കുന്ന എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും (വേരിയബിൾ വൈ), ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി രൂപപ്പെടുത്തുക.

ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ്കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും സെറ്റ് വിളിക്കുക, അവയുടെ അബ്സിസ്സകൾ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ ഫംഗ്ഷന്റെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്, മൂല്യങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ abscissa അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്തിരിക്കുന്നു x, കൂടാതെ വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്തിരിക്കുന്നു വൈ. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഫംഗ്ഷന്റെ സവിശേഷതകൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ ചുവടെ ചർച്ചചെയ്യും!

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു - ഗ്രാഫിംഗ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഓൺലൈനിൽ. ഈ പേജിലെ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഞങ്ങളുടെ ഫോറത്തിൽ അവരോട് ചോദിക്കാം. ഫോറത്തിൽ അവർ ഗണിതം, രസതന്ത്രം, ജ്യാമിതി, പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി തുടങ്ങി നിരവധി വിഷയങ്ങളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും!

പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ.

1) ഫംഗ്‌ഷൻ ഡൊമെയ്‌നും പ്രവർത്തന ശ്രേണിയും.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ സാധുവായ എല്ലാ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യങ്ങളുടെയും ഗണമാണ് x(വേരിയബിൾ x), ഇതിനായി ഫംഗ്ഷൻ y = f(x)നിശ്ചയിച്ചു.
ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ശ്രേണി എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഗണമാണ് വൈ, അത് ഫംഗ്ഷൻ സ്വീകരിക്കുന്നു.

പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൽ, ഫംഗ്ഷനുകൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ മാത്രമേ പഠിക്കൂ.

2) ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ.

ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യമാണ് ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യം.

3) ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടങ്ങളാണ്, അതിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് മാത്രമായിരിക്കും.

4) പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏകതാനത.

ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷന്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ (ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ).

ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷന്റെ ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് കുറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ (ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ).

5) ഇരട്ട (ഒറ്റ) പ്രവർത്തനം.

നിർവ്വചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ. എക്സ്സമത്വം എന്ന നിർവചനത്തിന്റെ മണ്ഡലത്തിൽ നിന്ന് f(-x) = f(x). ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഓർഡിനേറ്റിന്റെ സമമിതിയാണ്.

ഒരു വിചിത്രമായ ഫംഗ്‌ഷൻ എന്നത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്, അതിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണ് എക്സ്സമത്വം സത്യമാണ് f(-x) = - f(x). വിചിത്രമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തെ സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയാണ്.

6) പരിമിതവും പരിധിയില്ലാത്തതുമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

|f(x)| എന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ M ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ബൗണ്ടഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു x ന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ≤ M. അത്തരമൊരു സംഖ്യ നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം പരിധിയില്ലാത്തതാണ്.

7) പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ആനുകാലികം.

ഏതെങ്കിലും x f(x+T) = f(x) എന്ന തരത്തിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ T ഉണ്ടെങ്കിൽ f(x) എന്നത് ആനുകാലികമാണ്. ഈ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ കാലഘട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും ആനുകാലികമാണ്. (ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ).

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടികൾ പഠിച്ച ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ എളുപ്പത്തിൽ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാനും ഫംഗ്‌ഷന്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാനും കഴിയും. സത്യപട്ടിക, ഗുണനപ്പട്ടിക, ആവർത്തനപ്പട്ടിക, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക, ഇന്റഗ്രലുകളുടെ പട്ടിക എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള മെറ്റീരിയലും നോക്കുക.

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ എന്താണ്? ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ വിശകലനപരമായും ഗ്രാഫിക്കലായും എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും?

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ- ഇവയാണ് ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യങ്ങൾ.

y=f(x) എന്ന സൂത്രവാക്യം നൽകുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ f(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് പൂജ്യങ്ങളില്ല.

1) y=3x+15 എന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ, 3x+15 =0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷന്റെ പൂജ്യം y=3x+15 - x= -5 ആണ്.

2) ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക f(x)=x²-7x+12.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഇതിന്റെ വേരുകൾ x1=3, x2=4 എന്നിവ ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങളാണ്.

3) ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ അർത്ഥവത്താണ്. അതിനാൽ, x²-1≠0, x² ≠ 1, x ≠±1. അതായത്, തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ (DO) നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ

x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളിൽ, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ x=-4 മാത്രമേ ഉൾപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂ.

ഗ്രാഫിക്കലായി നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ അബ്‌സിസ്സ അക്ഷവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഗ്രാഫ് ഓക്സ്-ആക്സിസിനെ ഖണ്ഡിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷനിൽ പൂജ്യങ്ങളില്ല.

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫ് ഫംഗ്ഷന് നാല് പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ട് -

ബീജഗണിതത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഒരു സ്വതന്ത്ര ചുമതലയായും മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുമ്പോൾ, അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, മുതലായവ.

www.algebraclass.ru

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യം നിയമം

പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും സവിശേഷതകളും

ഭരണം (നിയമം) കത്തിടപാടുകൾ. ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനം .

പരിമിതവും പരിധിയില്ലാത്തതുമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. തുടർച്ചയായ ഒപ്പം

തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ . ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ.

ആനുകാലിക പ്രവർത്തനം. പ്രവർത്തന കാലയളവ്.

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ . ലക്ഷണം .

നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നും ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയും. പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൽ, ഫംഗ്ഷനുകൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ മാത്രമേ പഠിക്കൂ ആർ . ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെന്റിന് എടുക്കാൻ കഴിയൂ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം, അതായത്. അതും യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം സ്വീകരിക്കുന്നു. ഒരു കൂട്ടം എക്സ് സാധുവായ എല്ലാ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യങ്ങളും x, ഏത് ഫംഗ്ഷൻ വൈ = എഫ് (x) നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ. ഒരു കൂട്ടം വൈ എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളും വൈ, ഫംഗ്ഷൻ സ്വീകരിക്കുന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തന ശ്രേണി. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഫംഗ്ഷന്റെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ നിർവചനം നൽകാം: ഭരണം (നിയമം) സെറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള കത്തിടപാടുകൾ എക്സ്ഒപ്പം വൈ , സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ ഘടകത്തിനും അനുസരിച്ച് എക്സ്സെറ്റിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഒരേയൊരു ഘടകം കണ്ടെത്താനാകും വൈ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു .

ഈ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കുന്നു:

- ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു എക്സ് ;

- ഫംഗ്ഷൻ ശ്രേണി വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു വൈ ;

- കത്തിടപാടുകളുടെ ഭരണം (നിയമം) അറിയപ്പെടുന്നു, അങ്ങനെ ഓരോന്നിനും

ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യം, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യം മാത്രമേ കണ്ടെത്താൻ കഴിയൂ.

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പ്രത്യേകതയുടെ ഈ ആവശ്യകത നിർബന്ധമാണ്.

ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനം. ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ x 1 ഒപ്പം xവ്യവസ്ഥയുടെ 2 x 2 > x 1 പിന്തുടരുന്നു എഫ് (x 2) > എഫ് (x 1), തുടർന്ന് പ്രവർത്തനം എഫ് (x) വിളിച്ചു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന; എന്തെങ്കിലും ആണെങ്കിൽ x 1 ഒപ്പം xവ്യവസ്ഥയുടെ 2 x 2 > x 1 പിന്തുടരുന്നു എഫ് (x 2)

ചിത്രം 3-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനം പരിമിതമാണ്, എന്നാൽ ഏകതാനമല്ല. ചിത്രം 4-ലെ പ്രവർത്തനം തികച്ചും വിപരീതമാണ്, ഏകതാനമാണ്, എന്നാൽ പരിധിയില്ലാത്തതാണ്. (ദയവായി ഇത് വിശദീകരിക്കുക!).

തുടർച്ചയായതും തുടർച്ചയായതുമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഫംഗ്ഷൻ വൈ = എഫ് (x) വിളിച്ചു തുടർച്ചയായ പോയിന്റിൽ x = എ, എങ്കിൽ:

1) ഫംഗ്ഷൻ എപ്പോൾ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു x = എ, അതായത്. എഫ് (എ) നിലവിലുണ്ട്;

2) നിലവിലുണ്ട് പരിമിതമായപരിധി പരിധി എഫ് (x) ;

ഈ വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും പാലിച്ചില്ലെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷനെ വിളിക്കുന്നു സ്ഫോടനാത്മകമായപോയിന്റിൽ x = എ .

പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായി നടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ എല്ലാവരും അതിന്റെ നിർവചന മേഖലയുടെ പോയിന്റുകൾ, പിന്നെ വിളിക്കുന്നു തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം.

ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ. ആണെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും xഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: എഫ് (— x) = എഫ് (x), തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ വിളിക്കുന്നു പോലും; അത് സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ: എഫ് (— x) = — എഫ് (x), തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ വിളിക്കുന്നു വിചിത്രമായ. ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് Y അക്ഷത്തെ സംബന്ധിച്ച സമമിതി(ചിത്രം 5), ഒരു വിചിത്ര ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് സിം ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മെട്രിക്(ചിത്രം 6).

ആനുകാലിക പ്രവർത്തനം. ഫംഗ്ഷൻ എഫ് (x) — ആനുകാലികം, അങ്ങനെ ഒരു കാര്യം നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ പൂജ്യമല്ലാത്തത്നമ്പർ ടിഎന്തിനായി ഏതെങ്കിലും xഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: എഫ് (x + ടി) = എഫ് (x). ഈ കുറഞ്ഞത്നമ്പർ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ കാലഘട്ടം. എല്ലാ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും ആനുകാലികമാണ്.

ഉദാഹരണം 1. ആ പാപം തെളിയിക്കുക x 2 കാലഘട്ടമുണ്ട്.

പരിഹാരം: ആ പാപം നമുക്കറിയാം ( x+ 2 എൻ) = പാപം x, എവിടെ എൻ= 0, ± 1, ± 2, …

അതിനാൽ, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ 2 എൻസൈൻ വാദത്തിലേക്കല്ല

അതിന്റെ മൂല്യം മാറ്റുന്നു e. ഇതോടൊപ്പം വേറെ നമ്പർ ഉണ്ടോ

നമുക്ക് അത് നടിക്കാം പി- അത്തരമൊരു സംഖ്യ, അതായത്. സമത്വം:

ഏത് മൂല്യത്തിനും സാധുതയുള്ളതാണ് x. എന്നാൽ പിന്നീട് അത് ഉണ്ട്

സ്ഥലത്തും x= / 2, അതായത്.

പാപം(/2 + പി) = പാപം / 2 = 1.

എന്നാൽ റിഡക്ഷൻ ഫോർമുല പ്രകാരം പാപം (/ 2 + പി) = കോസ് പി. പിന്നെ

കഴിഞ്ഞ രണ്ട് തുല്യതകളിൽ നിന്ന് അത് കോസ് പിന്തുടരുന്നു പി= 1, എന്നാൽ ഞങ്ങൾ

എപ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് സത്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം പി = 2 എൻ. ഏറ്റവും ചെറിയത് മുതൽ

2 മുതൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ എൻ 2 ആണ്, അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യ

ഒരു കാലഘട്ട പാപവും ഉണ്ട് x. 2 എന്ന് സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കാനാകും

കോസിനുള്ള ഒരു കാലഘട്ടം കൂടിയാണ് x .

ഫംഗ്ഷനുകൾ ടാൻ ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക xഒപ്പം കട്ടിലിലും xകാലയളവ് ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2. sin 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ കാലഘട്ടം ഏത് സംഖ്യയാണ് x ?

പരിഹാരം: പാപം 2 പരിഗണിക്കുക x= പാപം (2 x+ 2 എൻ) = പാപം [2 ( x + എൻ) ] .

ചേർക്കുന്നത് നാം കാണുന്നു എൻവാദത്തിലേക്ക് x, മാറുന്നില്ല

പ്രവർത്തന മൂല്യം. പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ

നിന്ന് എൻആണ്, അതിനാൽ ഇതാണ് പിരീഡ് പാപം 2 x .

ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ. ഫംഗ്ഷൻ 0 ന് തുല്യമായ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യത്തെ വിളിക്കുന്നു പൂജ്യം ( റൂട്ട്) പ്രവർത്തനം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് ഒന്നിലധികം പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനം വൈ = x (x + 1) (x- 3) മൂന്ന് പൂജ്യങ്ങളുണ്ട്: x = 0, x = — 1, x= 3. ജ്യാമിതീയമായി ശൂന്യമായ പ്രവർത്തനം – ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ അബ്സിസ്സയാണിത് എക്സ് .

പൂജ്യങ്ങളുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 7 കാണിക്കുന്നു: x = എ , x = ബിഒപ്പം x = സി .

ലക്ഷണം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് അകന്നുപോകുമ്പോൾ ഒരു നിശ്ചിത രേഖയെ അനിശ്ചിതമായി സമീപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ രേഖയെ വിളിക്കുന്നു ലക്ഷണം.

വിഷയം 6. "ഇടവേള രീതി."

x x 0-ന് f (x) f (x 0) ആണെങ്കിൽ, f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു പോയിന്റ് x 0-ൽ തുടർച്ചയായി.

ചില ഇടവേളകളിൽ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ തുടർച്ചയായി നിലകൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായിഞാൻ (ഞാൻ വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഇടവേള പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തുടർച്ചയായ ഇടവേള). ഈ ഇടവേളയിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു തുടർച്ചയായ വരയാണ്, അത് "പേപ്പറിൽ നിന്ന് പെൻസിൽ ഉയർത്താതെ വരയ്ക്കാം" എന്ന് അവർ പറയുന്നു.

തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വത്ത്.

ഇടവേളയിൽ (a ; b) ഫംഗ്‌ഷൻ തുടർച്ചയായതും അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ ഇടവേളയിൽ അത് ഒരു സ്ഥിരമായ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു.

ഒരു വേരിയബിളുമായി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി, ഇടവേള രീതി, ഈ ഗുണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഫംഗ്ഷൻ f(x) ഇടവേള I-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ഈ ഇടവേളയിലെ പരിമിതമായ പോയിന്റുകളിൽ അപ്രത്യക്ഷമാവുകയും ചെയ്യട്ടെ. തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, ഈ പോയിന്റുകൾ I ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിലും തുടർച്ചയായ ഫംഗ്ഷൻ f(x) c ഒരു സ്ഥിരമായ ചിഹ്നം നിലനിർത്തുന്നു. ഈ ചിഹ്നം നിർണ്ണയിക്കാൻ, അത്തരം ഓരോ ഇടവേളയിൽ നിന്നും ഏതെങ്കിലും ഒരു പോയിന്റിൽ ഫംഗ്ഷൻ f(x) മൂല്യം കണക്കാക്കിയാൽ മതിയാകും. ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം നേടുന്നു.

ഫോമിന്റെ അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള ഇടവേള രീതി

ഇടവേള രീതി. ശരാശരി നില.

നിങ്ങളുടെ ശക്തി പരിശോധിക്കാനും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്‌ക്കോ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്‌ക്കോ നിങ്ങൾ എത്രത്തോളം തയ്യാറാണ് എന്നതിന്റെ ഫലം കണ്ടെത്തണോ?

ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ

ഫോമിന്റെ പ്രവർത്തനത്തെ ലീനിയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉദാഹരണമായി എടുക്കാം. ഇത് 3″>-ൽ പോസിറ്റീവ് ആണ്, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് ആണ്. () ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യമാണ് ഡോട്ട്. നമ്പർ അക്ഷത്തിൽ ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ അടയാളങ്ങൾ കാണിക്കാം:

"പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ അടയാളം മാറുന്നു" എന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു.

ഫംഗ്ഷന്റെ അടയാളങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതായി കാണാൻ കഴിയും: ഗ്രാഫ് അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണെങ്കിൽ, ചിഹ്നം "" ആണ്, അതിന് താഴെയാണെങ്കിൽ "" ആണ്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റൂൾ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് സാമാന്യവത്കരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ലഭിക്കും:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു? ഇല്ലെങ്കിൽ, "ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ" എന്ന വിഷയം വായിക്കുക. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൊതുവായ രൂപത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: .

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ എന്ത് അടയാളങ്ങളാണ് എടുക്കുന്നതെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം. ഇതിന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്, കൂടാതെ പരവലയം അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ളവയ്ക്ക് "" എന്ന ചിഹ്നവും ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കുന്നു, കൂടാതെ "" - പരാബോള അക്ഷത്തിന് താഴെയാണെങ്കിൽ:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിൽ പൂജ്യങ്ങൾ (മൂല്യങ്ങൾ) ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരാബോള അക്ഷത്തെ രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു - അനുബന്ധ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ. അങ്ങനെ, അച്ചുതണ്ടിനെ മൂന്ന് ഇടവേളകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, ഓരോ റൂട്ടിലൂടെയും കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷന്റെ അടയാളങ്ങൾ മാറിമാറി മാറുന്നു.

ഓരോ തവണയും ഒരു പരാബോള വരയ്ക്കാതെ എങ്ങനെയെങ്കിലും അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുമോ?

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് ഓർക്കുക:

നമുക്ക് വേരുകൾ അച്ചുതണ്ടിൽ അടയാളപ്പെടുത്താം:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ അടയാളം റൂട്ടിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ മാത്രമേ മാറാൻ കഴിയൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ വസ്തുത ഉപയോഗിക്കാം: അച്ചുതണ്ടിനെ വേരുകളാൽ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന മൂന്ന് ഇടവേളകളിൽ ഓരോന്നിനും, ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു പോയിന്റിൽ മാത്രം ഫംഗ്ഷന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും: ഇടവേളയുടെ ശേഷിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിൽ ചിഹ്നം സമാനമായിരിക്കും. .

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ: 3″> ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളും പോസിറ്റീവ് ആണ് (പകരം, ഉദാഹരണത്തിന്: 0″>). ഞങ്ങൾ അച്ചുതണ്ടിൽ ഒരു "" അടയാളം ഇടുന്നു:

ശരി, എപ്പോൾ (പകരം, ഉദാഹരണത്തിന്), രണ്ട് ബ്രാക്കറ്റുകളും നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത് ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആണ്:

അതാണ് അത് ഇടവേള രീതി: ഓരോ ഇടവേളയിലും ഘടകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, മുഴുവൻ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും അടയാളം ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷനിൽ പൂജ്യങ്ങളോ ഒന്നു മാത്രമോ ഇല്ലാത്ത സന്ദർഭങ്ങളും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

അവ ഇല്ലെങ്കിൽ വേരുകളില്ല. ഇതിനർത്ഥം "വേരിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത്" ഉണ്ടാകില്ല എന്നാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും ഒരു ചിഹ്നം മാത്രമേ എടുക്കൂ എന്നാണ്. ഒരു ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് എളുപ്പത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉള്ളൂവെങ്കിൽ, പരവലയം അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു, അതിനാൽ റൂട്ടിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടയാളം മാറില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ നമുക്ക് എന്ത് നിയമമാണ് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയുക?

നിങ്ങൾ അത്തരമൊരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഫാക്ടർ ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സമാനമായ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ലഭിക്കും:

ഏത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പദപ്രയോഗവും നെഗറ്റീവ് അല്ല! അതിനാൽ, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടയാളം മാറില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അടയാളം മാറാത്ത റൂട്ട് കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഒരു ചതുരം ഉപയോഗിച്ച് വട്ടമിട്ട് ഞങ്ങൾ അതിനെ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യും:

അത്തരമൊരു റൂട്ട് ഞങ്ങൾ വിളിക്കും ഗുണിതങ്ങൾ.

അസമത്വങ്ങളിലെ ഇടവേള രീതി

ഇപ്പോൾ ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വവും ഒരു പരാബോള വരയ്ക്കാതെ തന്നെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ അടയാളങ്ങൾ അച്ചുതണ്ടിൽ സ്ഥാപിക്കുകയും അസമത്വത്തിന്റെ അടയാളം അനുസരിച്ച് ഇടവേളകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ചെയ്താൽ മാത്രം മതി. ഉദാഹരണത്തിന്:

നമുക്ക് അച്ചുതണ്ടിൽ വേരുകൾ അളക്കുകയും അടയാളങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യാം:

"" ചിഹ്നമുള്ള അച്ചുതണ്ടിന്റെ ഭാഗം നമുക്ക് ആവശ്യമാണ്; അസമത്വം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ, വേരുകൾ തന്നെ പരിഹാരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്:

ഇപ്പോൾ ഒരു യുക്തിസഹമായ അസമത്വം പരിഗണിക്കുക - ഒരു അസമത്വം, അതിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ് (“യുക്തിപരമായ സമവാക്യങ്ങൾ” കാണുക).

ഉദാഹരണം:

ഒന്നൊഴികെയുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഇവിടെ "ലീനിയർ" ആണ്, അതായത്, ആദ്യത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് മാത്രം ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഇടവേള രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾക്ക് അത്തരം രേഖീയ ഘടകങ്ങൾ ആവശ്യമാണ് - അവയുടെ വേരുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ അടയാളം മാറുന്നു. എന്നാൽ ഗുണിതത്തിന് വേരുകളൊന്നുമില്ല. ഇതിനർത്ഥം ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണെന്നാണ് (ഇത് സ്വയം പരിശോധിക്കുക), അതിനാൽ മുഴുവൻ അസമത്വത്തിന്റെയും അടയാളത്തെ ബാധിക്കില്ല. ഇതിനർത്ഥം നമുക്ക് അസമത്വത്തിന്റെ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ വിഭജിക്കാം, അങ്ങനെ അതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാം:

ഇപ്പോൾ എല്ലാം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വങ്ങളുടേതിന് സമാനമാണ്: ഓരോ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമാകുന്നത് ഏതൊക്കെ പോയിന്റുകളിൽ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു, ഈ പോയിന്റുകൾ അച്ചുതണ്ടിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അടയാളങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു വസ്തുതയിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു:

ഇരട്ട സംഖ്യയുടെ കാര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ മുമ്പത്തെപ്പോലെ തന്നെ ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങൾ ഒരു ചതുരം ഉപയോഗിച്ച് പോയിന്റ് വട്ടമിട്ട്, റൂട്ടിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ചിഹ്നം മാറ്റരുത്. എന്നാൽ ഒറ്റസംഖ്യയുടെ കാര്യത്തിൽ, ഈ നിയമം ബാധകമല്ല: റൂട്ടിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ അടയാളം മാറും. അതിനാൽ, അത്തരം ഒരു റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അധികമായി ഒന്നും ചെയ്യുന്നില്ല, അത് ഒന്നിലധികം അല്ല. മുകളിലുള്ള നിയമങ്ങൾ എല്ലാ ഇരട്ട, ഒറ്റ ശക്തികൾക്കും ബാധകമാണ്.

ഉത്തരത്തിൽ എന്താണ് എഴുതേണ്ടത്?

അടയാളങ്ങളുടെ ആൾട്ടർനേഷൻ ലംഘിക്കപ്പെട്ടാൽ, നിങ്ങൾ വളരെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ, ഉത്തരം ഉൾപ്പെടുത്തണം എല്ലാ ഷേഡുള്ള പോയിന്റുകളും. എന്നാൽ അവയിൽ ചിലത് പലപ്പോഴും വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നു, അതായത്, അവ ഷേഡുള്ള സ്ഥലത്ത് ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒറ്റപ്പെട്ട പോയിന്റുകളായി ഞങ്ങൾ അവയെ ഉത്തരത്തിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു (ചുരുണ്ട ബ്രേസുകളിൽ):

ഉദാഹരണങ്ങൾ (സ്വയം തീരുമാനിക്കുക):

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. ഘടകങ്ങളിൽ ഇത് ലളിതമാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു റൂട്ട് ആണ്, കാരണം ഇത് പ്രതിനിധീകരിക്കാം.
   .

2. ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം.

x-ൽ f(x). .

x-ൽ f(x) ഉത്തരം നൽകുക .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

f(x)=x 2 +4x +5 എന്നിരിക്കട്ടെ, f(x)>0,

D=-4 പൂജ്യങ്ങളില്ല.

4. അസമത്വങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള അസമത്വങ്ങളുടെ അസമത്വങ്ങളും സിസ്റ്റങ്ങളും

1) അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പ്രദായത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം, അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ സെറ്റുകളുടെ വിഭജനമാണ്.

2) അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം f(x;y)>0 കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ഗ്രാഫിക്കായി ചിത്രീകരിക്കാം. സാധാരണഗതിയിൽ, f(x;y) = 0 എന്ന സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രേഖ വിമാനത്തെ 2 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, അതിലൊന്ന് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. ഏത് ഭാഗമാണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, f(x;y)=0 എന്ന വരിയിൽ ഇല്ലാത്ത ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് M(x0;y0) യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിങ്ങൾ അസമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. f(x0;y0) > 0 ആണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം M0 എന്ന പോയിന്റ് അടങ്ങുന്ന വിമാനത്തിന്റെ ഭാഗമാണ്. f(x0;y0) ആണെങ്കിൽ<0, то другая часть плоскости.

3) അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പ്രദായത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം, അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ സെറ്റുകളുടെ വിഭജനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം നൽകാം:

.

ആദ്യത്തെ അസമത്വത്തിന്, പരിഹാരങ്ങളുടെ ഗണം ആരം 2 ന്റെ ഒരു വൃത്തവും ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രീകരിക്കപ്പെട്ടതുമാണ്, രണ്ടാമത്തേതിന്, ഇത് 2x+3y=0 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഒരു അർദ്ധ-തലമാണ്. ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം ഈ സെറ്റുകളുടെ കവലയാണ്, അതായത്. അർദ്ധവൃത്തം.

4) ഉദാഹരണം. അസമത്വങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുക:

ഒന്നാം അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഗണമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് ഗണമാണ് (2;7) മൂന്നാമത്തേത് ഗണമാണ്.

ഈ സെറ്റുകളുടെ വിഭജനം ഇടവേളയാണ് (2;3], ഇത് അസമത്വ വ്യവസ്ഥയുടെ പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ്.

5. ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹമായ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഇടവേളകളുടെ രീതി ബൈനോമിയലിന്റെ (x-a) ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: പോയിന്റ് x = α സംഖ്യയുടെ അക്ഷത്തെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു - പോയിന്റിന്റെ വലത് α ബൈനോമിയൽ (x-α)>0, കൂടാതെ പോയിന്റിന്റെ ഇടത് α (x-α)<0.

അസമത്വം (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, ഇവിടെ α 1, α 2 ...α n-1, α n എന്നിവ പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സംഖ്യകൾ, അവയിൽ തുല്യതകളൊന്നുമില്ല, α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരുക: സംഖ്യകൾ α 1, α 2 ...α n-1, α n സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്തിരിക്കുന്നു; അവയിൽ ഏറ്റവും വലുത് വലതുവശത്തുള്ള ഇടവേളയിൽ, അതായത്. അക്കങ്ങൾ α n, ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഇടുക, അതിനെ തുടർന്നുള്ള ഇടവേളയിൽ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഇടുക, തുടർന്ന് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം, പിന്നെ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം മുതലായവ. അപ്പോൾ അസമത്വത്തിനുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഗണം (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 എന്നത് പ്ലസ് ചിഹ്നം സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഇടവേളകളുടെയും യൂണിയൻ ആയിരിക്കും. അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) യുക്തിസഹമായ അസമത്വങ്ങൾ (അതായത്, രൂപത്തിന്റെ അസമത്വങ്ങൾ) പരിഹരിക്കുന്നു P(x) Q(x) എവിടെയാണ് ബഹുപദങ്ങൾ) എന്നത് ഒരു തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: ഒരു തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷൻ x1, x2 (x1; x2) പോയിന്റുകളിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുകയും ഈ പോയിന്റുകൾക്കിടയിൽ മറ്റ് വേരുകൾ ഇല്ലാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഇടവേളകൾ (x1; x2) ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു.

അതിനാൽ, സംഖ്യാരേഖയിൽ y=f(x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വിച്ഛേദിക്കുന്നതോ ആയ എല്ലാ പോയിന്റുകളും അടയാളപ്പെടുത്തുക. ഈ പോയിന്റുകൾ സംഖ്യാ രേഖയെ പല ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു, ഓരോന്നിനും ഉള്ളിൽ f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ തുടർച്ചയായും അപ്രത്യക്ഷമാകില്ല, അതായത്. അടയാളം സംരക്ഷിക്കുന്നു. ഈ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നമ്പർ ലൈനിന്റെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഇടവേളയുടെ ഏത് ഘട്ടത്തിലും ഫംഗ്ഷന്റെ അടയാളം കണ്ടെത്താൻ മതിയാകും.

2) ഒരു യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, അതായത്. യുക്തിസഹമായ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സംഖ്യാരേഖയിൽ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ വേരുകളും ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ വേരുകളും അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു, അവ യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വേരുകളും ബ്രേക്ക്‌പോയിന്റുകളും കൂടിയാണ്.

ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

3. < 20.

പരിഹാരം. സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അസമത്വങ്ങളുടെ വ്യവസ്ഥയാണ്:

f(x) = എന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി – 20. കണ്ടെത്തുക f(x):

എവിടെ നിന്ന് x = 29, x = 13.

f(30) = – 20 = 0.3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

ഉത്തരം: . യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ. 1) ഏറ്റവും ലളിതമായത്: സാധാരണ ലഘൂകരണങ്ങളാൽ പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു - ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ, സമാന പദങ്ങൾ കുറയ്ക്കൽ തുടങ്ങിയവ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ax2 + bx + c = 0 പരിഹരിക്കുന്നത്...

ഇടവേളയിൽ X മാറുന്നു (0,1], ഇടവേളയിൽ കുറയുന്നു = ½ [
-(1/3)
], കൂടെ | z|< 1.

b) എഫ്(z) = - ½ [
+
] = - (
), 1 മണിക്ക്< |z| < 3.

കൂടെ) എഫ്(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, കൂടെ |2 - z| < 1

ആരം 1 കേന്ദ്രീകരിച്ചുള്ള ഒരു വൃത്തമാണിത് z = 2 .

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പവർ സീരീസ് ഒരു കൂട്ടം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലേക്ക് ചുരുക്കാം, അതിനുശേഷം അവയുടെ സംയോജനത്തിന്റെ മേഖല നിർണ്ണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

തുടങ്ങിയവ. പരമ്പരയുടെ ഒത്തുചേരൽ അന്വേഷിക്കുക

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

പരിഹാരം. ഇത് രണ്ട് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതികളുടെ ആകെത്തുകയാണ് q 1 = , q 2 = () . അവരുടെ ഒത്തുചേരലിന്റെ വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .