विशिष्ट उदाहरणांवर त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती. त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी मूलभूत पद्धती

आपण आपल्या समस्येचे तपशीलवार निराकरण ऑर्डर करू शकता !!!

त्रिकोणमितीय फंक्शन (`sin x, cos x, tg x` किंवा `ctg x`) च्या चिन्हाखाली अज्ञात असलेल्या समानतेला त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणतात, आणि आपण त्यांच्या सूत्रांचा पुढे विचार करू.

सर्वात सोपी समीकरणे म्हणजे `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जेथे `x` हा शोधायचा कोन आहे, `a` ही कोणतीही संख्या आहे. चला त्या प्रत्येकासाठी मूळ सूत्रे लिहू.

1. समीकरण `sin x=a`.

`|a|>1` साठी त्याला कोणतेही उपाय नाहीत.

`|a| सह \leq 1` मध्ये असंख्य उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` साठी - साइनच्या बाबतीत, वास्तविक संख्यांमध्ये कोणतेही निराकरण नाहीत.

`|a| सह \leq 1` मध्ये असंख्य उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

आलेखामध्ये साइन आणि कोसाइनसाठी विशेष केस.

3. समीकरण `tg x=a`

`a` च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी अनंत संख्येने उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

त्यात `a` च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी अनंत संख्येने उपाय आहेत.

मूळ सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

टेबलमधील त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या मुळांसाठी सूत्रे

सायनससाठी:
कोसाइनसाठी:
स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटसाठी:
व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये असलेली समीकरणे सोडवण्यासाठी सूत्रे:

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती

कोणत्याही त्रिकोणमितीय समीकरणाच्या सोल्युशनमध्ये दोन टप्पे असतात:

• ते सर्वात सोप्यामध्ये रूपांतरित करण्यासाठी वापरणे;
• मूळ सूत्रे आणि वर लिहिलेले तक्ते वापरून परिणामी सोपे समीकरण सोडवा.

उदाहरणे वापरून समाधानाच्या मुख्य पद्धतींचा विचार करूया.

बीजगणित पद्धत.

या पद्धतीमध्ये, व्हेरिएबल बदलणे आणि समानतेमध्ये बदलणे केले जाते.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

बदली करा: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, नंतर `2y^2-3y+1=0`,

आम्हाला मुळे सापडतात: `y_1=1, y_2=1/2`, ज्यावरून दोन केसेस येतात:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

फॅक्टरीकरण.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `sin x+cos x=1`.

उपाय. समानतेच्या सर्व अटी डावीकडे हलवा: `sin x+cos x-1=0`. वापरून, आम्ही डाव्या बाजूचे रूपांतर करतो आणि फॅक्टराइज करतो:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

एकसंध समीकरणात घट

प्रथम, तुम्हाला हे त्रिकोणमितीय समीकरण दोनपैकी एकावर आणावे लागेल:

`a sin x+b cos x=0` (प्रथम अंशाचे एकसमान समीकरण) किंवा `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (दुसऱ्या अंशाचे एकसंध समीकरण).

नंतर दोन्ही भागांना पहिल्या केससाठी `cos x \ne 0` आणि दुसऱ्यासाठी `cos^2 x \ne 0` ने विभाजित करा. आम्हाला `tg x`: `a tg x+b=0` आणि `a tg^2 x + b tg x +c =0` साठी समीकरणे मिळतात, जी ज्ञात पद्धती वापरून सोडवली पाहिजेत.

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

उपाय. चला उजवी बाजू `1=sin^2 x+cos^2 x` असे लिहू:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

हे दुस-या अंशाचे एकसंध त्रिकोणमितीय समीकरण आहे, त्याचे डावे आणि उजवे भाग `cos^2 x \ne 0` ने विभाजित केल्यास, आम्हाला मिळते:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. चला बदली `tg x=t` सादर करू, परिणामी `t^2 + t - 2=0`. या समीकरणाची मुळे `t_1=-2` आणि `t_2=1` आहेत. मग:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

उत्तर द्या. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

हाफ कॉर्नरवर जा

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

उपाय. दुहेरी कोन सूत्र लागू केल्यास, परिणाम होतो: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

वर वर्णन केलेल्या बीजगणित पद्धतीचा अवलंब करून, आम्हाला मिळते:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

सहाय्यक कोनाचा परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरणात `a sin x + b cos x =c`, जेथे a,b,c गुणांक आहेत आणि x हे चल आहे, आपण दोन्ही भागांना `sqrt (a^2+b^2)` ने विभाजित करतो:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

डाव्या बाजूला असलेल्या गुणांकांमध्ये साइन आणि कोसाइनचे गुणधर्म आहेत, म्हणजे, त्यांच्या वर्गांची बेरीज 1 आहे आणि त्यांचे मापांक जास्तीत जास्त 1 आहे. चला ते खालीलप्रमाणे दर्शवूया: `\frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , नंतर:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

चला पुढील उदाहरणाकडे जवळून पाहूया:

उदाहरण. समीकरण सोडवा: `3 sin x+4 cos x=2`.

उपाय. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना `sqrt (3^2+4^2)` ​​ने विभाजित केल्यास, आपल्याला मिळते:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` दर्शवा. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` असल्याने, आपण `\varphi=arcsin 4/5` हा सहायक कोन म्हणून घेतो. मग आम्ही आमची समानता फॉर्ममध्ये लिहितो:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

साइनसाठी कोनांच्या बेरजेसाठी सूत्र लागू करून, आम्ही आमची समानता खालील स्वरूपात लिहितो:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n आर्कसिन 2/5-` `आर्कसिन 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x=(-1)^n आर्कसिन 2/5-` `आर्कसिन 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

अपूर्णांक-परिमेय त्रिकोणमितीय समीकरणे

या अपूर्णांकांसह समानता आहेत, ज्यामध्ये त्रिकोणमितीय कार्ये आहेत.

उदाहरण. समीकरण सोडवा. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

उपाय. समीकरणाच्या उजव्या बाजूस `(1+cos x)` ने गुणा आणि भागा. परिणामी, आम्हाला मिळते:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

भाजक शून्य असू शकत नाही हे दिल्यास, आपल्याला `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिळेल.

अपूर्णांकाच्या अंशाची शून्याशी बरोबरी करा: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. नंतर `sin x=0` किंवा `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` दिल्यास, `x=2\pi n, n \in Z` आणि `x=\pi /2+2\pi n` आहेत. , `n \in Z`.

उत्तर द्या. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

त्रिकोणमिती आणि विशेषतः त्रिकोणमितीय समीकरणे भूमिती, भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकीच्या जवळजवळ सर्व क्षेत्रांमध्ये वापरली जातात. अभ्यास 10 व्या वर्गात सुरू होतो, परीक्षेसाठी नेहमीच कार्ये असतात, म्हणून त्रिकोणमितीय समीकरणांची सर्व सूत्रे लक्षात ठेवण्याचा प्रयत्न करा - ते नक्कीच तुमच्यासाठी उपयुक्त ठरतील!

तथापि, आपल्याला ते लक्षात ठेवण्याची देखील आवश्यकता नाही, मुख्य गोष्ट म्हणजे सार समजून घेणे आणि निष्कर्ष काढण्यास सक्षम असणे. हे दिसते तितके अवघड नाही. व्हिडिओ पाहून तुम्हीच बघा.

त्रिकोणमितीच्या मूलभूत सूत्रांचे ज्ञान आवश्यक आहे - साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज, साइन आणि कोसाइनद्वारे स्पर्शिकेची अभिव्यक्ती आणि इतर. जे विसरले आहेत किंवा त्यांना ओळखत नाहीत त्यांच्यासाठी आम्ही "" लेख वाचण्याची शिफारस करतो.
म्हणून, आम्हाला मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्रे माहित आहेत, त्यांना सराव करण्याची वेळ आली आहे. त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणेयोग्य दृष्टिकोनासह, ही एक रोमांचक क्रियाकलाप आहे, उदाहरणार्थ, रुबिकचे क्यूब सोडवणे.

नावावरच आधारित, हे स्पष्ट आहे की त्रिकोणमितीय समीकरण हे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये अज्ञात त्रिकोणमितीय कार्याच्या चिन्हाखाली आहे.
तथाकथित साधी त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत. ते कसे दिसतात ते येथे आहे: sinх = a, cos x = a, tg x = a. विचार करा, अशी त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची, स्पष्टतेसाठी, आम्ही आधीच परिचित त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरू.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

cot x = a

कोणतेही त्रिकोणमितीय समीकरण दोन टप्प्यात सोडवले जाते: आम्ही समीकरण सर्वात सोप्या स्वरूपात आणतो आणि नंतर ते सर्वात सोपे त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणून सोडवतो.
7 मुख्य पद्धती आहेत ज्याद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवली जातात.

1. व्हेरिएबल प्रतिस्थापन आणि प्रतिस्थापन पद्धत

2cos 2 (x + /6) - 3sin(/3 - x) +1 = 0 हे समीकरण सोडवा

कपात सूत्रे वापरून आम्हाला मिळते:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

साधेपणासाठी cos(x + /6) च्या जागी y घेऊ आणि नेहमीचे चतुर्भुज समीकरण मिळवा:

2y 2 – 3y + 1 + 0

ज्याची मुळे y 1 = 1, y 2 = 1/2

आता मागे जाऊया

आम्ही y ची सापडलेली मूल्ये बदलतो आणि दोन उत्तरे मिळतात:

2. गुणांकनाद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे

sin x + cos x = 1 हे समीकरण कसे सोडवायचे?

चला सर्वकाही डावीकडे हलवू जेणेकरून 0 उजवीकडे राहील:

sin x + cos x - 1 = 0

समीकरण सोपे करण्यासाठी आम्ही वरील ओळख वापरतो:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

चला फॅक्टरायझेशन करूया:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

आपल्याला दोन समीकरणे मिळतात

3. एकसंध समीकरणात घट

साइन आणि कोसाइनच्या संदर्भात समीकरण एकसंध असते जर साइन आणि कोसाइनच्या संदर्भात त्याच्या सर्व संज्ञा समान कोनाच्या समान प्रमाणात असतील. एकसंध समीकरण सोडवण्यासाठी खालीलप्रमाणे पुढे जा:

अ) त्याचे सर्व सदस्य डाव्या बाजूला हस्तांतरित करा;

b) सर्व सामान्य घटक कंसाच्या बाहेर ठेवा;

c) सर्व घटक आणि कंस 0 च्या समान करा;

ड) कंसात, कमी पदवीचे एकसंध समीकरण प्राप्त होते, जे यामधून, साइन किंवा कोसाइनने जास्त प्रमाणात विभागले जाते;

e) tg चे परिणामी समीकरण सोडवा.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 हे समीकरण सोडवा

चला sin 2 x + cos 2 x = 1 हे सूत्र वापरू आणि उजवीकडील उघडलेल्या दोनपासून मुक्त होऊ:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cosx ने भागा:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

आम्ही tg x ला y ने बदलतो आणि एक चतुर्भुज समीकरण मिळते:

y 2 + 4y +3 = 0 ज्याची मुळे y 1 =1, y 2 = 3 आहेत

येथून आपल्याला मूळ समीकरणाचे दोन उपाय सापडतात:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. समीकरण सोडवणे, अर्ध्या कोनात संक्रमणाद्वारे

3sin x - 5cos x = 7 हे समीकरण सोडवा

चला x/2 वर जाऊ:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

सर्वकाही डावीकडे हलवित आहे:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ने भागा:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. सहाय्यक कोनाचा परिचय

विचारासाठी, फॉर्मचे एक समीकरण घेऊ: a sin x + b cos x \u003d c,

जेथे a, b, c काही अनियंत्रित गुणांक आहेत आणि x हे अज्ञात आहे.

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना खालीलप्रमाणे विभाजित करा:



आता त्रिकोणमितीय सूत्रांनुसार समीकरणाच्या गुणांकांमध्ये sin आणि cos चे गुणधर्म आहेत, म्हणजे: त्यांचे मापांक 1 पेक्षा जास्त नाही आणि वर्गांची बेरीज = 1. आपण त्यांना अनुक्रमे cos आणि sin म्हणून दर्शवू या, कुठे आहे तथाकथित सहायक कोन. मग समीकरण फॉर्म घेईल:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

किंवा sin(x + ) = C

या साध्या त्रिकोणमितीय समीकरणाचा उपाय आहे

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, कुठे



हे नोंद घ्यावे की पदनाम cos आणि sin परस्पर बदलण्यायोग्य आहेत.

sin 3x - cos 3x = 1 हे समीकरण सोडवा

या समीकरणात, गुणांक आहेत:

a \u003d, b \u003d -1, म्हणून आम्ही दोन्ही भागांना \u003d 2 ने विभाजित करतो

सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण.

जटिलतेच्या कोणत्याही पातळीच्या त्रिकोणमितीय समीकरणांचे निराकरण शेवटी सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी येते. आणि यामध्ये, त्रिकोणमितीय वर्तुळ पुन्हा सर्वोत्तम सहाय्यक बनले.

कोसाइन आणि साइनच्या व्याख्या आठवा.

कोनाचा कोसाइन म्हणजे दिलेल्या कोनाद्वारे फिरवण्याशी संबंधित असलेल्या एकक वर्तुळावरील एका बिंदूचा abscissa (म्हणजे अक्षासह समन्वय) असतो.

कोनाचे साइन हे दिलेल्या कोनाद्वारे फिरवण्याशी संबंधित असलेल्या एकक वर्तुळावरील एका बिंदूचे ऑर्डिनेट (म्हणजे अक्षासह समन्वय) असते.

त्रिकोणमितीय वर्तुळाच्या बाजूने हालचालीची सकारात्मक दिशा घड्याळाच्या उलट दिशेने हालचाल मानली जाते. 0 अंश (किंवा 0 रेडियन) चे रोटेशन निर्देशांक (1; 0) सह बिंदूशी संबंधित आहे

सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी आम्ही या व्याख्या वापरतो.

1. समीकरण सोडवा

हे समीकरण परिभ्रमणाच्या कोनाच्या अशा सर्व मूल्यांद्वारे समाधानी आहे, जे वर्तुळाच्या बिंदूंशी संबंधित आहे, ज्याचा ऑर्डिनेट समान आहे.

चला y-अक्षावर ऑर्डिनेटसह बिंदू चिन्हांकित करू:

x-अक्षाच्या समांतर एक क्षैतिज रेषा काढा जोपर्यंत ती वर्तुळाला छेदत नाही. आपल्याला वर्तुळावर पडलेले आणि ऑर्डिनेट असलेले दोन बिंदू मिळतील. हे बिंदू रोटेशन कोन आणि रेडियनशी संबंधित आहेत:

जर आपण, प्रति रेडियन रोटेशनच्या कोनाशी संबंधित बिंदू सोडल्यानंतर, पूर्ण वर्तुळाभोवती फिरलो, तर आपण प्रति रेडियन रोटेशनच्या कोनाशी संबंधित असलेल्या आणि समान ऑर्डिनेट असलेल्या बिंदूवर येऊ. म्हणजेच, हा रोटेशनचा कोन देखील आपले समीकरण पूर्ण करतो. आपण आपल्याला पाहिजे तितकी "निष्क्रिय" वळणे करू शकतो, त्याच बिंदूकडे परत जाऊ शकतो आणि ही सर्व कोन मूल्ये आपले समीकरण पूर्ण करतील. "निष्क्रिय" क्रांतीची संख्या अक्षराने (किंवा) दर्शविली जाते. आपण या क्रांती सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही दिशांनी करू शकतो, (किंवा) कोणतीही पूर्णांक मूल्ये घेऊ शकतो.

म्हणजेच, मूळ समीकरणाच्या सोल्यूशनच्या पहिल्या मालिकेचे स्वरूप आहे:

, , - पूर्णांकांचा संच (1)

त्याचप्रमाणे, सोल्यूशन्सच्या दुसऱ्या मालिकेचे स्वरूप आहे:

, कुठे , . (२)

तुम्ही अंदाज लावल्याप्रमाणे, समाधानांची ही मालिका द्वारे रोटेशनच्या कोनाशी संबंधित वर्तुळाच्या बिंदूवर आधारित आहे.

समाधानाच्या या दोन मालिका एका नोंदीमध्ये एकत्र केल्या जाऊ शकतात:

जर आपण ही नोंद घेतली (म्हणजे सम), तर आपल्याला समाधानांची पहिली मालिका मिळेल.

जर आपण ही नोंद घेतली (म्हणजे विषम), तर आपल्याला समाधानांची दुसरी मालिका मिळेल.

2. आता समीकरण सोडवू

एकक वर्तुळाच्या बिंदूचा abscissa हा कोनातून वळून मिळवला असल्याने, आपण अक्षावर abscissa सह बिंदू चिन्हांकित करतो:

जोपर्यंत ती वर्तुळाला छेदत नाही तोपर्यंत अक्षाच्या समांतर एक उभी रेषा काढा. आपल्याला वर्तुळावर पडलेले आणि abscissa असलेले दोन बिंदू मिळतील. हे बिंदू रोटेशन कोन आणि रेडियनशी संबंधित आहेत. लक्षात ठेवा की घड्याळाच्या दिशेने फिरताना, आपल्याला रोटेशनचा नकारात्मक कोन मिळतो:

आम्ही निराकरणाच्या दोन मालिका लिहितो:

,

,

(मुख्य पूर्ण वर्तुळातून पुढे जाऊन आपण योग्य बिंदूवर पोहोचतो, म्हणजे.

चला या दोन मालिका एका पोस्टमध्ये एकत्र करूया:

3. समीकरण सोडवा

स्पर्शिकेची रेषा OY अक्षाच्या समांतर एकक वर्तुळाच्या निर्देशांक (1,0) सह बिंदूमधून जाते

त्यावर 1 च्या समान ऑर्डिनेटसह बिंदू चिन्हांकित करा (आम्ही शोधत आहोत की स्पर्शिका 1 आहे):

एका सरळ रेषेने हा बिंदू मूळशी जोडा आणि एकक वर्तुळासह रेषेच्या छेदनबिंदूचे बिंदू चिन्हांकित करा. रेषा आणि वर्तुळाचे छेदनबिंदू वरील रोटेशन कोनांशी जुळतात आणि :

आपल्या समीकरणाचे समाधान करणार्‍या रोटेशन कोनांशी संबंधित बिंदू रेडियन्स वेगळे ठेवतात, आम्ही खालीलप्रमाणे उपाय लिहू शकतो:

4. समीकरण सोडवा

अक्षाच्या समांतर असलेल्या एकक वर्तुळाच्या समन्वयांसह कोटॅंजंट्सची रेषा बिंदूमधून जाते.

आम्ही cotangents च्या ओळीवर abscissa -1 सह एक बिंदू चिन्हांकित करतो:

हा बिंदू सरळ रेषेच्या उगमाशी जोडा आणि जोपर्यंत तो वर्तुळाला छेदत नाही तोपर्यंत तो सुरू ठेवा. ही रेषा वर्तुळाला आणि रेडियनच्या रोटेशन कोनांशी संबंधित बिंदूंवर छेदेल:

हे बिंदू एकमेकांपासून समान अंतराने विभक्त केलेले असल्याने, आपण या समीकरणाचे सामान्य समाधान खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

दिलेल्या उदाहरणांमध्ये, सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांचे समाधान स्पष्ट करण्यासाठी, त्रिकोणमितीय कार्यांची सारणी मूल्ये वापरली गेली.

तथापि, समीकरणाच्या उजव्या बाजूला सारणी नसलेले मूल्य असल्यास, आम्ही समीकरणाच्या सामान्य समाधानामध्ये मूल्य बदलतो:

विशेष उपाय:

वर्तुळावरील बिंदू चिन्हांकित करा ज्यांचे निर्देशांक 0 आहे:

वर्तुळावर एकच बिंदू चिन्हांकित करा, ज्याचा क्रम 1 च्या बरोबरीचा आहे:

वर्तुळावर एकच बिंदू चिन्हांकित करा, ज्याचा क्रम -1 समान आहे:

शून्याच्या सर्वात जवळची मूल्ये दर्शविण्याची प्रथा असल्याने, आम्ही खालीलप्रमाणे उपाय लिहितो:

वर्तुळावरील बिंदू चिन्हांकित करा, ज्याचा abscissa 0 आहे:

5.
वर्तुळावर एकच बिंदू चिन्हांकित करू, ज्याचा abscissa 1 च्या बरोबरीचा आहे:

वर्तुळावर एकच बिंदू चिन्हांकित करा, ज्याचा abscissa -1 च्या बरोबरीचा आहे:

आणि काही अधिक जटिल उदाहरणे:

1.

जर तर्क असेल तर साइन एक आहे

आमच्या साइनचा युक्तिवाद आहे, म्हणून आम्हाला मिळते:

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने विभाजित करा:

उत्तर:

2.

कोसाइन वितर्क असल्यास कोसाइन शून्य आहे

आमच्या कोसाइनचा युक्तिवाद आहे, म्हणून आम्हाला मिळते:

आम्ही व्यक्त करतो, यासाठी आम्ही प्रथम विरुद्ध चिन्हासह उजवीकडे जातो:

उजवी बाजू सरलीकृत करा:

दोन्ही भागांना -2 ने विभाजित करा:

लक्षात घ्या की टर्मच्या आधीचे चिन्ह बदलत नाही, कारण k कोणतीही पूर्णांक मूल्ये घेऊ शकते.

उत्तर:

आणि शेवटी, "त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरून त्रिकोणमितीय समीकरणामध्ये मुळांची निवड" व्हिडिओ ट्यूटोरियल पहा.

हे सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याबद्दलच्या संभाषणाची समाप्ती करते. पुढच्या वेळी आपण कसे सोडवायचे याबद्दल बोलू.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याची संकल्पना.

• त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्यासाठी, ते एक किंवा अधिक मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये रूपांतरित करा. त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवणे शेवटी चार मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यापर्यंत येते.