कोनाच्या स्पर्शिकेचा अर्थ. साइन, कोसाइन, स्पर्शिका: ते काय आहे? साइन, कोसाइन आणि स्पर्शिका कशी शोधायची? त्रिकोणमिती मध्ये साइन

उदाहरणे:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

युक्तिवाद आणि मूल्य

तीव्र कोनाचा कोसाइन

तीव्र कोनाचा कोसाइनकाटकोन त्रिकोण वापरून निर्धारित केले जाऊ शकते - ते कर्णाच्या समीप पायाच्या गुणोत्तराइतके आहे.

उदाहरण :

1) एक कोन द्या आणि तुम्हाला या कोनाचा कोसाइन निश्चित करणे आवश्यक आहे.

२) या कोपऱ्यावर कोणताही काटकोन त्रिकोण पूर्ण करू.

3) आवश्यक बाजू मोजल्यानंतर, आपण कोसाइन काढू शकतो.

तीव्र कोनाचा कोसाइन \(0\) पेक्षा मोठा आणि \(1\) पेक्षा कमी असतो

जर, समस्येचे निराकरण करताना, तीव्र कोनाचा कोसाइन 1 पेक्षा जास्त किंवा ऋणात्मक निघाला, तर सोल्यूशनमध्ये कुठेतरी त्रुटी आहे.

संख्येचा कोसाइन

संख्या वर्तुळ तुम्हाला कोणत्याही संख्येचा कोसाइन निर्धारित करण्यास अनुमती देते, परंतु सामान्यतः: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ )

उदाहरणार्थ, संख्येसाठी \(\frac(π)(6)\) - कोसाइन \(\frac(\sqrt(3))(2)\) च्या समान असेल. आणि संख्येसाठी \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ते \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (अंदाजे \(\) च्या समान असेल (-0 ,71\)).

सराव मध्ये सहसा आढळलेल्या इतर संख्यांसाठी कोसाइन, पहा.

कोसाइन मूल्य नेहमी \(-1\) आणि \(1\) दरम्यान असते. या प्रकरणात, कोसाइन पूर्णपणे कोणत्याही कोन आणि संख्येसाठी मोजले जाऊ शकते.

कोणत्याही कोनाचा कोसाइन

संख्यात्मक वर्तुळाबद्दल धन्यवाद, केवळ तीव्र कोनच नव्हे तर ओबटस, ऋण आणि \ (360 ° \) (पूर्ण वळण) पेक्षाही मोठा कोसाइन निश्चित करणे शक्य आहे. ते कसे करायचे - \(100\) वेळा ऐकण्यापेक्षा एकदा पाहणे सोपे आहे, म्हणून चित्र पहा.

आता स्पष्टीकरण: कोनाचा कोसाइन निश्चित करणे आवश्यक आहे KOA\(150°\) मध्ये पदवी मापनासह. आम्ही बिंदू एकत्र करतो ओवर्तुळाच्या मध्यभागी आणि बाजूला ठीक आहे- \(x\) अक्षासह. त्यानंतर, \ (150 ° \) घड्याळाच्या उलट दिशेने बाजूला ठेवा. मग बिंदूचा क्रम परंतुया कोनाचा कोसाइन दाखवेल.

जर आपल्याला अंश माप असलेल्या कोनात स्वारस्य असेल, उदाहरणार्थ, \ (-60 ° \) मध्ये (कोन KOV), आम्ही तेच करतो, पण \(60°\) घड्याळाच्या दिशेने बाजूला ठेवतो.

आणि शेवटी, कोन \(360°\) (कोन) पेक्षा मोठा आहे KOS) - सर्व काही बोथट सारखेच आहे, घड्याळाच्या दिशेने पूर्ण वळण घेतल्यानंतरच, आम्ही दुसऱ्या फेरीत जातो आणि "डिग्रीची कमतरता मिळवतो". विशेषतः, आमच्या बाबतीत, कोन \(405°\) \(360° + 45°\) म्हणून प्लॉट केला आहे.

असा अंदाज लावणे सोपे आहे की कोन बाजूला ठेवण्यासाठी, उदाहरणार्थ, \ (960 ° \) मध्ये, तुम्हाला दोन वळणे (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) आणि \ मधील कोनासाठी दोन वळणे करणे आवश्यक आहे. (२६४०° \) - संपूर्ण सात.

हे लक्षात ठेवण्यासारखे आहे की:

काटकोनाचा कोसाइन शून्य असतो. ओबटस कोनाचा कोसाइन ऋण असतो.

क्वार्टरमध्ये कोसाइन चिन्हे

कोसाइन अक्ष (म्हणजेच, आकृतीमध्ये लाल रंगात हायलाइट केलेला abscissa अक्ष) वापरून, अंकीय (त्रिकोणमितीय) वर्तुळात कोसाइनची चिन्हे निश्चित करणे सोपे आहे:

जेथे अक्षावरील मूल्ये \(0\) ते \(1\) आहेत, तेथे कोसाइनमध्ये अधिक चिन्ह असेल (I आणि IV चतुर्थांश हिरवे क्षेत्र आहेत),
- जेथे अक्षावरील मूल्ये \(0\) ते \(-1\) आहेत, कोसाइनमध्ये वजा चिन्ह असेल (II आणि III चतुर्थांश - जांभळा क्षेत्र).

उदाहरण. चिन्ह परिभाषित करा \(\cos 1\).
उपाय: त्रिकोणमितीय वर्तुळावर \(1\) शोधू. आम्ही या वस्तुस्थितीपासून सुरुवात करू की \ (π \u003d 3,14 \). याचा अर्थ असा की एक शून्याच्या ("प्रारंभ" बिंदू) जवळपास तीन पट आहे.

जर आपण कोसाइन अक्षावर लंब काढला तर हे स्पष्ट होईल की \(\cos⁡1\) धन आहे.
उत्तर: एक प्लस.

इतर त्रिकोणमितीय कार्यांशी संबंध:

कार्य \(y=\cos(x)\)

जर आपण रेडियनमध्ये \(x\) अक्षासह कोन आणि कोसाइन मूल्ये \(y\) अक्षाच्या बाजूने या कोनांशी संबंधित असतील, तर आपल्याला खालील आलेख मिळेल:

हा आलेख म्हणतात आणि त्यात खालील गुणधर्म आहेत:

परिभाषेचे डोमेन हे x चे कोणतेही मूल्य आहे: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- मूल्यांची श्रेणी - \(-1\) पासून \(1\) समावेशी: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- सम: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- कालावधीसह नियतकालिक \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू:
abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), कुठे \(n ϵ Z\)
y-अक्ष: \((0;1)\)
- वर्ण अंतराल:
फंक्शन मध्यांतरांवर सकारात्मक आहे: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), कुठे \(n ϵ Z\)
मध्यांतरांवर फंक्शन नकारात्मक आहे: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), जेथे \(n ϵ Z\)
- वाढ आणि घट यांचे मध्यांतर:
कार्य मध्यांतरांवर वाढते: \(π+2πn;2π+2πn)\), जेथे \(n ϵ Z\)
मध्यांतरांवर फंक्शन कमी होते: \((2πn;π+2πn)\), जेथे \(n ϵ Z\)
- फंक्शनची कमाल आणि मिनिमा:
फंक्शनचे कमाल मूल्य \(y=1\) बिंदूंवर \(x=2πn\), जेथे \(n ϵ Z\)
फंक्शनचे किमान मूल्य \(y=-1\) बिंदूंवर \(x=π+2πn\), जेथे \(n ϵ Z\).

कोनाची साइन, कोसाइन, स्पर्शिका, कोटॅंजंट म्हणजे काय हे तुम्हाला काटकोन त्रिकोण समजण्यास मदत करेल.

काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंना काय म्हणतात? ते बरोबर आहे, कर्ण आणि पाय: कर्ण ही बाजू आहे जी काटकोनाच्या विरुद्ध असते (आमच्या उदाहरणामध्ये, ही बाजू \ (AC \) आहे); पाय या उरलेल्या दोन बाजू आहेत \ (AB \) आणि \ (BC \) (ज्या काटकोनाला लागून आहेत), शिवाय, जर आपण कोन \ (BC \) च्या संदर्भात पायांचा विचार केला तर पाय \ (AB \) समीप पाय आहे, आणि पाय \ (BC \) विरुद्ध आहे. तर, आता या प्रश्नाचे उत्तर देऊ: कोनाचे साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट काय आहेत?

कोनाची साइन- कर्णाच्या विरुद्ध (दूर) पायाचे हे गुणोत्तर आहे.

आमच्या त्रिकोणात:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

कोनाचा कोसाइन- कर्णाच्या समीप (जवळच्या) पायाचे हे गुणोत्तर आहे.

आमच्या त्रिकोणात:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

कोन स्पर्शिका- हे समीप (बंद) च्या विरुद्ध (दूर) पायाचे गुणोत्तर आहे.

आमच्या त्रिकोणात:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

कोनाचे कोटॅंजेंट- हे समीप (जवळच्या) पायाचे विरुद्ध (दूर) चे गुणोत्तर आहे.

आमच्या त्रिकोणात:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

या व्याख्या आवश्यक आहेत लक्षात ठेवा! कोणता पाय कशाने विभाजित करायचा हे लक्षात ठेवणे सोपे करण्यासाठी, आपल्याला ते स्पष्टपणे समजून घेणे आवश्यक आहे स्पर्शिकाआणि सह स्पर्शिकाफक्त पाय बसतात आणि कर्ण फक्त आत दिसतात सायनसआणि कोसाइन. आणि मग आपण संघटनांच्या साखळीसह येऊ शकता. उदाहरणार्थ, हे:

कोसाइन→स्पर्श→स्पर्श→समीप;

कोटॅंजेंट→स्पर्श→स्पर्श→समीप.

सर्वप्रथम, हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की त्रिकोणाच्या बाजूंचे गुणोत्तर म्हणून साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट या बाजूंच्या लांबीवर (एका कोनात) अवलंबून नाहीत. विश्वास नाही का? नंतर चित्र पाहून खात्री करा:

उदाहरणार्थ, कोनाचा कोसाइन \(\beta \) विचारात घ्या. व्याख्येनुसार, त्रिकोणातून \(ABC \): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), परंतु आपण त्रिकोण \(AHI \) वरून \(\beta \) कोनाच्या कोसाइनची गणना करू शकतो : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). तुम्ही पाहता, बाजूंच्या लांबी भिन्न आहेत, परंतु एका कोनाच्या कोसाइनचे मूल्य समान आहे. अशाप्रकारे, साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटची मूल्ये कोनाच्या विशालतेवर अवलंबून असतात.

जर तुम्हाला व्याख्या समजल्या असतील तर पुढे जा आणि त्यांचे निराकरण करा!

त्रिकोणासाठी \(ABC \), खालील आकृतीत दाखवले आहे, आपल्याला आढळते \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(अॅरे) \)

बरं, समजलं का? मग ते स्वतः वापरून पहा: कोनासाठी समान गणना करा \(\beta \) .

उत्तरे: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

एकक (त्रिकोणमितीय) वर्तुळ

पदवी आणि रेडियनच्या संकल्पना समजून घेऊन, आम्ही \ (1 \) च्या समान त्रिज्या असलेले वर्तुळ मानले. अशा मंडळाला म्हणतात अविवाहित. त्रिकोणमितीच्या अभ्यासात याचा खूप उपयोग होतो. म्हणून, आम्ही त्यावर थोडे अधिक तपशीलवार राहू.

जसे आपण पाहू शकता, हे वर्तुळ कार्टेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये तयार केले आहे. वर्तुळाची त्रिज्या एक बरोबर असते, वर्तुळाचे केंद्र उगमस्थानी असते, त्रिज्या वेक्टरची प्रारंभिक स्थिती \(x \) अक्षाच्या सकारात्मक दिशेने निश्चित केली जाते (आमच्या उदाहरणामध्ये, हे त्रिज्या \(AB \) ).

वर्तुळावरील प्रत्येक बिंदू दोन संख्यांशी संबंधित आहे: अक्षाच्या बाजूने समन्वय \(x \) आणि अक्ष \(y \) सह समन्वय. या समन्वय संख्या काय आहेत? आणि सर्वसाधारणपणे, त्यांच्या हातात असलेल्या विषयाशी काय संबंध आहे? हे करण्यासाठी, विचारात घेतलेल्या काटकोन त्रिकोणाबद्दल लक्षात ठेवा. वरील आकृतीमध्ये, तुम्ही दोन पूर्ण काटकोन त्रिकोण पाहू शकता. त्रिकोणाचा विचार करा \(ACG \) . हे आयताकृती आहे कारण \(CG \) \(x \) अक्षाला लंब आहे.

त्रिकोण \(ACG \) पासून \(\cos \ \alpha \) म्हणजे काय? ते बरोबर आहे \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). याशिवाय, आपल्याला माहित आहे की \(AC \) ही एकक वर्तुळाची त्रिज्या आहे, म्हणून \(AC=1 \) . हे मूल्य आमच्या कोसाइन सूत्रामध्ये बदला. काय होते ते येथे आहे:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

आणि त्रिकोण \(ACG \) पासून \(\sin \ \ alpha \) काय आहे? बरं, नक्कीच, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! या सूत्रात त्रिज्या \ (AC \) चे मूल्य बदला आणि मिळवा:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

तर, तुम्ही मला सांगू शकाल की बिंदू \(C \) चे समन्वय काय आहेत, जो वर्तुळाचा आहे? बरं, मार्ग नाही? पण \(\cos \ \alpha \) आणि \(\sin \alpha \) फक्त संख्या आहेत हे लक्षात आल्यास काय? \(\cos \alpha \) कोणत्या समन्वयाशी संबंधित आहे? ठीक आहे, अर्थातच, समन्वय \(x \) ! आणि \(\sin \alpha \) कोणत्या समन्वयाशी संबंधित आहे? बरोबर आहे, \(y \) समन्वय! तर मुद्दा \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

मग \(tg \alpha \) आणि \(ctg \alpha \) काय आहेत? ते बरोबर आहे, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंटच्या योग्य व्याख्या वापरू आणि ते मिळवू \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), अ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

कोन मोठा असेल तर? येथे, उदाहरणार्थ, या चित्राप्रमाणे:

या उदाहरणात काय बदलले आहे? चला ते बाहेर काढूया. हे करण्यासाठी, आपण पुन्हा काटकोन त्रिकोणाकडे वळतो. काटकोन त्रिकोणाचा विचार करा \(((A)_(1))((C)_(1))G \): एक कोन (कोनाला लागून \(\beta \) ). कोनासाठी साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंटचे मूल्य काय आहे \((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? ते बरोबर आहे, आम्ही त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या संबंधित व्याख्यांचे पालन करतो:

\(\begin(अॅरे)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \कोन ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(अॅरे) \)

बरं, तुम्ही बघू शकता, कोनाच्या साइनचे मूल्य अजूनही समन्वय \ (y \) शी संबंधित आहे; कोनाच्या कोसाइनचे मूल्य - समन्वय \ (x \); आणि संबंधित गुणोत्तरांना स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंटची मूल्ये. अशा प्रकारे, हे संबंध त्रिज्या वेक्टरच्या कोणत्याही रोटेशनला लागू होतात.

हे आधीच नमूद केले आहे की त्रिज्या वेक्टरची प्रारंभिक स्थिती \(x \) अक्षाच्या सकारात्मक दिशेने असते. आतापर्यंत आपण हा वेक्टर घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरवला आहे, पण घड्याळाच्या दिशेने फिरवल्यास काय होईल? काहीही विलक्षण नाही, आपल्याला विशिष्ट आकाराचा कोन देखील मिळेल, परंतु केवळ तो नकारात्मक असेल. अशा प्रकारे, त्रिज्या वेक्टर घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरवताना, आपल्याला मिळते सकारात्मक कोन, आणि घड्याळाच्या दिशेने फिरवताना - नकारात्मक

तर, आपल्याला माहित आहे की वर्तुळाभोवती त्रिज्या वेक्टरची संपूर्ण क्रांती \(360()^\circ \) किंवा \(2\pi \) आहे. त्रिज्या वेक्टर \(390()^\circ \) किंवा \(-1140()^\circ \) ने फिरवणे शक्य आहे का? बरं, नक्कीच तुम्ही करू शकता! पहिल्या प्रकरणात, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), म्हणून त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण फिरवेल आणि \(30()^\circ \) किंवा \(\dfrac(\pi )(6) \) वर थांबेल.

दुसऱ्या प्रकरणात, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), म्हणजे, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण आवर्तने करेल आणि \(-60()^\circ \) किंवा \(-\dfrac(\pi )(3) \) स्थानावर थांबेल.

अशा प्रकारे, वरील उदाहरणांवरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की कोन \(360()^\circ \cdot m \) किंवा \(2\pi \cdot m \) (जेथे \(m \) कोणतीही पूर्णांक आहे) त्रिज्या वेक्टरच्या समान स्थितीशी संबंधित आहे.

खालील आकृती \(\beta =-60()^\circ \) कोन दर्शवते. समान प्रतिमा कोपर्याशी संबंधित आहे \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)इ. ही यादी अनिश्चित काळासाठी सुरू ठेवली जाऊ शकते. हे सर्व कोन सामान्य सूत्राने लिहिता येतात \(\beta +360()^\circ \cdot m \)किंवा \(\beta +2\pi \cdot m \) (जेथे \(m \) कोणताही पूर्णांक आहे)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(अॅरे) \)

आता, मूळ त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची व्याख्या जाणून घेऊन आणि एकक वर्तुळ वापरून, मूल्ये काय समान आहेत याचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न करा:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(अॅरे) \)

तुम्हाला मदत करण्यासाठी येथे एक युनिट मंडळ आहे:

काही अडचणी? मग ते शोधून काढू. तर आम्हाला माहित आहे की:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(अॅरे) \)

येथून, आम्ही कोनाच्या काही मोजमापांशी संबंधित बिंदूंचे समन्वय निर्धारित करतो. बरं, क्रमाने सुरुवात करूया: कोपरा आत \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)निर्देशांक \(\left(0;1 \right) \) सह बिंदूशी संबंधित आहे, म्हणून:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- अस्तित्वात नाही;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

पुढे, त्याच तर्काचे पालन केल्याने, आम्हाला आढळते की कोपरे आत आहेत \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ )निर्देशांकांसह बिंदूंशी संबंधित \(\left(-1;0 \उजवे),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \योग्य) \), अनुक्रमे. हे जाणून घेतल्यास, संबंधित बिंदूंवर त्रिकोणमितीय कार्यांची मूल्ये निर्धारित करणे सोपे आहे. प्रथम स्वतः प्रयत्न करा, नंतर उत्तरे तपासा.

उत्तरे:

\(\डिस्प्लेस्टाइल \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- अस्तित्वात नाही

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- अस्तित्वात नाही

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- अस्तित्वात नाही

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ Left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ Left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- अस्तित्वात नाही

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

अशा प्रकारे, आपण खालील सारणी बनवू शकतो:

ही सर्व मूल्ये लक्षात ठेवण्याची गरज नाही. युनिट वर्तुळावरील बिंदूंचे समन्वय आणि त्रिकोणमितीय कार्यांची मूल्ये यांच्यातील पत्रव्यवहार लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\text(लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे किंवा आउटपुट करण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे!! \) !}

आणि येथे आणि मधील कोनांच्या त्रिकोणमितीय कार्यांची मूल्ये आहेत \(३०()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)खालील तक्त्यामध्ये दिलेले आहे, आपण लक्षात ठेवले पाहिजे:

घाबरण्याची गरज नाही, आता आम्ही संबंधित मूल्यांच्या अगदी सोप्या लक्षात ठेवण्याच्या उदाहरणांपैकी एक दर्शवू:

ही पद्धत वापरण्यासाठी, तीनही कोन मापांसाठी साइन व्हॅल्यूज लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे ( \(३०()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(३) \)), तसेच \(30()^\circ \) मधील कोनाच्या स्पर्शिकेचे मूल्य. ही \(4\) मूल्ये जाणून घेतल्यास, संपूर्ण सारणी पुनर्संचयित करणे खूप सोपे आहे - कोसाइन मूल्ये बाणांच्या अनुसार हस्तांतरित केली जातात, म्हणजे:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \एंड(अॅरे) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), हे जाणून घेतल्यास, साठी मूल्ये पुनर्संचयित करणे शक्य आहे \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). अंश “\(1 \)” \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , आणि भाजक “\(\sqrt(\text(3)) \) ” जुळेल \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या बाणांनुसार कोटॅंजंट मूल्ये हस्तांतरित केली जातात. जर तुम्हाला हे समजले असेल आणि बाणांसह योजना लक्षात ठेवली असेल, तर टेबलमधील फक्त \(4 \) मूल्ये लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे.

वर्तुळावरील बिंदूचे निर्देशांक

वर्तुळाचे केंद्र, त्याची त्रिज्या आणि रोटेशनचे कोन जाणून घेऊन वर्तुळावरील बिंदू (त्याचे निर्देशांक) शोधणे शक्य आहे का? बरं, नक्कीच तुम्ही करू शकता! बिंदूचे निर्देशांक शोधण्यासाठी एक सामान्य सूत्र काढू. येथे, उदाहरणार्थ, आमच्याकडे असे एक मंडळ आहे:

आम्हाला तो मुद्दा दिला आहे \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)वर्तुळाचे केंद्र आहे. वर्तुळाची त्रिज्या \(1,5 \) आहे. बिंदू \(O \) ला \(\delta \) अंशांनी फिरवून मिळवलेल्या \(P \) बिंदूचे निर्देशांक शोधणे आवश्यक आहे.

आकृतीवरून पाहिल्याप्रमाणे, बिंदूचा समन्वय \ (x \) \ (P \) विभागाच्या लांबीशी संबंधित आहे \ (TP=UQ=UK+KQ \) . विभागाची लांबी \ (UK \) वर्तुळाच्या केंद्राच्या समन्वय \ (x \) शी संबंधित आहे, म्हणजेच ती \ (3 \) च्या समान आहे. खंडाची लांबी \(KQ \) कोसाइनची व्याख्या वापरून व्यक्त केली जाऊ शकते:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

मग आपल्याकडे ते बिंदू \(P \) समन्वयासाठी आहे \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

त्याच तर्कानुसार, बिंदू \(P \) साठी y समन्वयाचे मूल्य सापडते. अशा प्रकारे,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

तर, सामान्य शब्दात, बिंदूंचे निर्देशांक सूत्रांद्वारे निर्धारित केले जातात:

\(\begin(array)(l)x=(x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=(y)_(0))+r\cdot \sin \ डेल्टा \ एंड(अॅरे) \), कुठे

\((x)_(0)),((y)_(0)) \) - वर्तुळाच्या केंद्राचे समन्वय,

\(r\) - वर्तुळ त्रिज्या,

\(\डेल्टा \) - वेक्टर त्रिज्याचा रोटेशन कोन.

तुम्ही बघू शकता, आम्ही विचार करत असलेल्या युनिट वर्तुळासाठी, ही सूत्रे लक्षणीयरीत्या कमी केली आहेत, कारण केंद्राचे समन्वय शून्य आहेत आणि त्रिज्या एक समान आहे:

\(\begin(array)(l)x=(x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =(y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(अॅरे) \)

कोसाइन हे एक सुप्रसिद्ध त्रिकोणमितीय कार्य आहे, जे त्रिकोणमितीच्या मुख्य कार्यांपैकी एक आहे. काटकोन त्रिकोणातील कोनाचा कोसाइन हे त्रिकोणाच्या कर्णाच्या समीप असलेल्या त्रिकोणाच्या पायाचे गुणोत्तर असते. बहुतेकदा, कोसाइनची व्याख्या अगदी आयताकृती प्रकारच्या त्रिकोणाशी संबंधित असते. परंतु असे देखील होते की आयताकृती प्रकारच्या त्रिकोणामध्ये ज्या कोनासाठी कोसाइनची गणना करणे आवश्यक आहे तो आयताकृती प्रकारच्या त्रिकोणामध्ये स्थित नाही. मग काय करायचं? त्रिकोणाच्या कोनाचा कोसाइन कसा शोधायचा?

जर तुम्हाला काटकोन त्रिकोणातील कोनाच्या कोसाइनची गणना करायची असेल, तर सर्वकाही अगदी सोपे आहे. आपल्याला फक्त कोसाइनची व्याख्या लक्षात ठेवण्याची आवश्यकता आहे, ज्यामध्ये या समस्येचे निराकरण आहे. आपल्याला फक्त समीप लेग, तसेच त्रिकोणाचे कर्ण यांच्यातील समान गुणोत्तर शोधण्याची आवश्यकता आहे. खरंच, येथे कोनाचा कोसाइन व्यक्त करणे कठीण नाही. सूत्र असे दिसते: - cosα = a/c, येथे "a" ही पायाची लांबी आहे आणि बाजू "c", अनुक्रमे कर्णाची लांबी आहे. उदाहरणार्थ, काटकोन त्रिकोणाच्या तीव्र कोनाचा कोसाइन हे सूत्र वापरून शोधता येतो.

अनियंत्रित त्रिकोणातील कोनाचा कोसाइन किती समान आहे यात तुम्हाला स्वारस्य असल्यास, कोसाइन प्रमेय बचावासाठी येतो, जो अशा प्रकरणांमध्ये वापरला जावा. कोसाइन प्रमेय असे सांगते की त्रिकोणाच्या एका बाजूचा चौरस हा त्याच त्रिकोणाच्या इतर बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका अग्रक्रम असतो, परंतु या बाजूंच्या गुणाकाराच्या दुप्पट न करता जो कोनाच्या कोनाच्या दरम्यान स्थित असतो. त्यांना

1. जर तुम्हाला त्रिकोणातील तीव्र कोनाचा कोसाइन शोधायचा असेल तर तुम्हाला खालील सूत्र वापरावे लागेल: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. जर त्रिकोणामध्ये स्थूल कोनाचा कोसाइन शोधणे आवश्यक असेल, तर तुम्हाला खालील सूत्र वापरावे लागेल: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). सूत्रातील पदनाम - a आणि b - इच्छित कोनाला लागून असलेल्या बाजूंच्या लांबी आहेत, c ही इच्छित कोनाच्या विरुद्ध असलेल्या बाजूची लांबी आहे.

तसेच, साइन प्रमेय वापरून कोनाच्या कोसाइनची गणना केली जाऊ शकते. ते म्हणतात की त्रिकोणाच्या सर्व बाजू विरुद्ध असलेल्या कोनांच्या साइन्सच्या प्रमाणात आहेत. साइन प्रमेय वापरून, तुम्ही त्रिकोणाच्या उर्वरित घटकांची गणना करू शकता, फक्त दोन बाजू आणि एक कोन जो एका बाजूच्या विरुद्ध आहे किंवा दोन कोन आणि एक बाजू जाणून घेऊ शकता. एक उदाहरण विचारात घ्या. समस्या परिस्थिती: a=1; b=2; c=3. बाजू "A" च्या विरुद्ध असलेला कोन, आम्ही दर्शवतो - α, नंतर, सूत्रांनुसार, आपल्याकडे आहे: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. उत्तर: १.

जर कोनाच्या कोसाइनची गणना त्रिकोणामध्ये नाही तर इतर अनियंत्रित भौमितीय आकृतीमध्ये करायची असेल तर सर्वकाही थोडे अधिक क्लिष्ट होते. कोनाचे मूल्य प्रथम रेडियन किंवा अंशांमध्ये निर्धारित केले जाणे आवश्यक आहे आणि त्यानंतरच या मूल्यावरून कोसाइनची गणना करा. संख्यात्मक मूल्यानुसार कोसाइन ब्रॅडिस सारण्या, अभियांत्रिकी कॅल्क्युलेटर किंवा विशेष गणितीय अनुप्रयोग वापरून निर्धारित केले जाते.

विशेष गणितीय अनुप्रयोगांमध्ये दिलेल्या आकृतीमध्ये कोनांच्या कोसाइनची स्वयंचलित गणना यासारखी कार्ये असू शकतात. अशा ऍप्लिकेशन्सचे सौंदर्य हे आहे की ते योग्य उत्तर देतात आणि वापरकर्ता कधीकधी खूप जटिल समस्या सोडवण्यासाठी आपला वेळ घालवत नाही. दुसरीकडे, समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी केवळ ऍप्लिकेशन्सचा सतत वापर केल्यामुळे, त्रिकोणांमधील कोनांचे कोसाइन तसेच इतर अनियंत्रित आकृत्या शोधण्यासाठी गणितीय समस्या सोडवण्यासोबत काम करण्याची सर्व कौशल्ये गमावली जातात.

गणिताच्या शाखांपैकी एक शाखा ज्यामध्ये शाळकरी मुले सर्वात मोठ्या अडचणींचा सामना करतात ती म्हणजे त्रिकोणमिती. यात काही आश्चर्य नाही: ज्ञानाच्या या क्षेत्रामध्ये मुक्तपणे प्रभुत्व मिळविण्यासाठी, तुम्हाला अवकाशीय विचारसरणी, सूत्रे वापरून सायन्स, कोसाइन, स्पर्शरेषा, कोटॅन्जंट शोधण्याची क्षमता, अभिव्यक्ती सुलभ करणे आणि गणनेत संख्या pi वापरण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे. याव्यतिरिक्त, प्रमेय सिद्ध करताना तुम्हाला त्रिकोणमिती लागू करण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे आणि यासाठी एकतर विकसित गणितीय मेमरी किंवा जटिल तार्किक साखळी काढण्याची क्षमता आवश्यक आहे.

त्रिकोणमितीची उत्पत्ती

या विज्ञानाची ओळख कोनाच्या साइन, कोसाइन आणि स्पर्शिकेच्या व्याख्येपासून सुरू झाली पाहिजे, परंतु प्रथम आपल्याला त्रिकोणमिती सर्वसाधारणपणे काय करते हे समजून घेणे आवश्यक आहे.

ऐतिहासिकदृष्ट्या, गणित विज्ञानाच्या या विभागात काटकोन त्रिकोण हा अभ्यासाचा मुख्य विषय आहे. 90 अंशांच्या कोनाच्या उपस्थितीमुळे विविध ऑपरेशन्स करणे शक्य होते जे दोन बाजू आणि एक कोन किंवा दोन कोन आणि एक बाजू वापरून विचाराधीन आकृतीच्या सर्व पॅरामीटर्सची मूल्ये निर्धारित करण्यास अनुमती देतात. पूर्वी, लोकांनी हा नमुना लक्षात घेतला आणि इमारतींच्या बांधकामात, नेव्हिगेशन, खगोलशास्त्र आणि अगदी कलेमध्ये सक्रियपणे वापरण्यास सुरुवात केली.

पहिली पायरी

सुरुवातीला, लोक फक्त काटकोन त्रिकोणाच्या उदाहरणावर कोन आणि बाजूंच्या संबंधांबद्दल बोलले. मग विशेष सूत्रे शोधली गेली ज्यामुळे गणिताच्या या विभागाच्या दैनंदिन जीवनात वापराच्या सीमा वाढवणे शक्य झाले.

आज शाळेत त्रिकोणमितीचा अभ्यास काटकोन त्रिकोणांनी सुरू होतो, त्यानंतर मिळवलेले ज्ञान विद्यार्थी भौतिकशास्त्रात वापरतात आणि अमूर्त त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवतात, ज्याचे काम हायस्कूलमध्ये सुरू होते.

गोलाकार त्रिकोणमिती

नंतर, जेव्हा विज्ञान विकासाच्या पुढील स्तरावर पोहोचले, तेव्हा गोलाकार भूमितीमध्ये साइन, कोसाइन, स्पर्शिका, कोटॅंजेंट असलेली सूत्रे वापरली जाऊ लागली, जिथे इतर नियम लागू होतात आणि त्रिकोणातील कोनांची बेरीज नेहमीच 180 अंशांपेक्षा जास्त असते. या विभागाचा शाळेत अभ्यास केला जात नाही, परंतु त्याच्या अस्तित्वाबद्दल माहिती असणे आवश्यक आहे, कारण पृथ्वीचा पृष्ठभाग आणि इतर कोणत्याही ग्रहाचा पृष्ठभाग बहिर्वक्र आहे, म्हणजे कोणत्याही पृष्ठभागावर चिन्हांकित करणे "कमानाच्या आकाराचे" असेल. त्रिमितीय जागा.

ग्लोब आणि धागा घ्या. थ्रेडला ग्लोबवरील कोणत्याही दोन बिंदूंशी जोडा जेणेकरून ते कडक होईल. लक्ष द्या - त्याने कमानीचा आकार प्राप्त केला आहे. गोलाकार भूमिती, जी भूगर्भशास्त्र, खगोलशास्त्र आणि इतर सैद्धांतिक आणि उपयोजित क्षेत्रांमध्ये वापरली जाते अशा स्वरूपांसह आहे.

काटकोन त्रिकोण

त्रिकोणमिती वापरण्याच्या पद्धतींबद्दल थोडेसे जाणून घेतल्यावर, साइन, कोसाइन, स्पर्शिका म्हणजे काय, त्यांच्या मदतीने कोणती गणना केली जाऊ शकते आणि कोणती सूत्रे वापरायची हे अधिक समजून घेण्यासाठी आपण मूळ त्रिकोणमितीकडे परत जाऊ या.

पहिली पायरी म्हणजे काटकोन त्रिकोणाशी संबंधित संकल्पना समजून घेणे. प्रथम, कर्ण 90 अंश कोनाच्या विरुद्ध बाजू आहे. ती सर्वात लांब आहे. आम्ही लक्षात ठेवतो की, पायथागोरियन प्रमेयानुसार, त्याचे संख्यात्मक मूल्य इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेच्या मुळाशी आहे.

उदाहरणार्थ, जर दोन बाजू अनुक्रमे 3 आणि 4 सेंटीमीटर असतील, तर कर्णाची लांबी 5 सेंटीमीटर असेल. तसे, प्राचीन इजिप्शियन लोकांना हे सुमारे साडेचार हजार वर्षांपूर्वी माहित होते.

काटकोन बनवणाऱ्या दोन उरलेल्या बाजूंना पाय म्हणतात. याव्यतिरिक्त, आपण हे लक्षात ठेवले पाहिजे की आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये त्रिकोणातील कोनांची बेरीज 180 अंश आहे.

व्याख्या

शेवटी, भौमितिक पायाच्या ठोस आकलनासह, आपण कोनाच्या साइन, कोसाइन आणि स्पर्शिकेच्या व्याख्येकडे वळू शकतो.

कोनाचे साइन हे कर्णाच्या विरुद्ध पायाचे (म्हणजे इच्छित कोनाच्या विरुद्ध बाजू) गुणोत्तर असते. कोनाचा कोसाइन म्हणजे कर्णाच्या समीप पायाचे गुणोत्तर.

लक्षात ठेवा की साइन किंवा कोसाइन एकापेक्षा जास्त असू शकत नाही! का? कारण कर्ण पूर्वनिर्धारितपणे सर्वात लांब असतो. पाय कितीही लांब असला तरी तो कर्णापेक्षा लहान असेल, म्हणजेच त्यांचे गुणोत्तर नेहमी एकापेक्षा कमी असेल. अशा प्रकारे, जर तुम्हाला समस्येच्या उत्तरात 1 पेक्षा जास्त मूल्य असलेले साइन किंवा कोसाइन मिळाले, तर गणना किंवा तर्कामध्ये त्रुटी पहा. हे उत्तर साफ चुकीचे आहे.

शेवटी, कोनाची स्पर्शिका म्हणजे समीप बाजूच्या विरुद्ध बाजूचे गुणोत्तर. हाच परिणाम कोसाइनद्वारे साइनचे विभाजन देईल. पहा: सूत्रानुसार, आपण बाजूची लांबी कर्णाने विभाजित करतो, त्यानंतर आपण दुसऱ्या बाजूच्या लांबीने भागतो आणि कर्णाने गुणाकार करतो. अशा प्रकारे, आपल्याला स्पर्शिकेच्या व्याख्येप्रमाणे समान गुणोत्तर मिळते.

कोटॅन्जेंट, अनुक्रमे, कोपऱ्याला लागून असलेल्या बाजूचे विरुद्ध बाजूचे गुणोत्तर आहे. एककला स्पर्शिकेने विभाजित केल्याने आपल्याला समान परिणाम मिळतो.

म्हणून, आम्ही साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट काय आहेत याच्या व्याख्यांचा विचार केला आहे आणि आम्ही सूत्रे हाताळू शकतो.

सर्वात सोपी सूत्रे

त्रिकोणमितीमध्ये, सूत्रांशिवाय करू शकत नाही - त्यांच्याशिवाय साइन, कोसाइन, स्पर्शिका, कोटॅंजेंट कसे शोधायचे? आणि समस्या सोडवताना नेमके हेच आवश्यक आहे.

त्रिकोणमितीचा अभ्यास सुरू करताना आपल्याला माहित असणे आवश्यक असलेले पहिले सूत्र सांगते की कोनाच्या साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज एक आहे. हे सूत्र पायथागोरियन प्रमेयाचा थेट परिणाम आहे, परंतु जर तुम्हाला कोनाचे मूल्य जाणून घ्यायचे असेल तर ते वेळ वाचवते, बाजूचे नाही.

बर्याच विद्यार्थ्यांना दुसरे सूत्र लक्षात ठेवता येत नाही, जे शाळेतील समस्या सोडवताना देखील खूप लोकप्रिय आहे: कोनाच्या स्पर्शिकेची बेरीज आणि चौरस कोनाच्या कोसाइनच्या वर्गाने भागलेल्या एका समान असते. जवळून पहा: शेवटी, हे पहिल्या सूत्राप्रमाणेच विधान आहे, केवळ ओळखीच्या दोन्ही बाजू कोसाइनच्या वर्गाने विभागल्या गेल्या आहेत. असे दिसून आले की एक साधी गणिती क्रिया त्रिकोणमितीय सूत्र पूर्णपणे ओळखण्यायोग्य बनवते. लक्षात ठेवा: साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅन्जंट काय आहेत, रूपांतरण नियम आणि काही मूलभूत सूत्रे जाणून घेतल्यास, आपण कधीही कागदाच्या शीटवर आवश्यक अधिक जटिल सूत्रे स्वतंत्रपणे मिळवू शकता.

दुहेरी कोन सूत्रे आणि युक्तिवाद जोडणे

तुम्हाला शिकण्याची गरज असलेली आणखी दोन सूत्रे कोनांच्या बेरीज आणि फरकासाठी साइन आणि कोसाइनच्या मूल्यांशी संबंधित आहेत. ते खालील आकृतीमध्ये दर्शविले आहेत. कृपया लक्षात घ्या की पहिल्या प्रकरणात, साइन आणि कोसाइन दोन्ही वेळा गुणाकार केले जातात आणि दुसऱ्यामध्ये, साइन आणि कोसाइनचे जोडीनुसार गुणाकार जोडला जातो.

दुहेरी कोन युक्तिवादांशी संबंधित सूत्रे देखील आहेत. ते पूर्णपणे मागील गोष्टींमधून घेतलेले आहेत - एक सराव म्हणून, त्यांना स्वतः मिळवण्याचा प्रयत्न करा, अल्फाचा कोन बीटाच्या कोनाच्या बरोबरीचा घ्या.

शेवटी, लक्षात घ्या की दुहेरी कोन सूत्रे साइन, कोसाइन, स्पर्शिका अल्फाची डिग्री कमी करण्यासाठी रूपांतरित केली जाऊ शकतात.

प्रमेये

मूलभूत त्रिकोणमितीमधील दोन मुख्य प्रमेये म्हणजे साइन प्रमेय आणि कोसाइन प्रमेय. या प्रमेयांच्या मदतीने, साइन, कोसाइन आणि स्पर्शिका कशी शोधायची आणि म्हणून आकृतीचे क्षेत्रफळ आणि प्रत्येक बाजूचा आकार, इत्यादी आपण सहजपणे समजू शकता.

साइन प्रमेय असे सांगते की त्रिकोणाच्या प्रत्येक बाजूची लांबी विरुद्ध कोनाच्या मूल्याने विभाजित केल्यामुळे आपल्याला समान संख्या मिळते. शिवाय, ही संख्या परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या दोन त्रिज्येइतकी असेल, म्हणजेच दिलेल्या त्रिकोणाचे सर्व बिंदू असलेले वर्तुळ.

कोसाइन प्रमेय पायथागोरियन प्रमेयचे सामान्यीकरण करते, ते कोणत्याही त्रिकोणांवर प्रक्षेपित करते. असे दिसून आले की दोन बाजूंच्या चौरसांच्या बेरीजमधून, त्यांच्या शेजारील कोनाच्या दुहेरी कोसाइनने गुणाकार केलेल्या गुणाकार वजा करा - परिणामी मूल्य तिसऱ्या बाजूच्या वर्गाच्या समान असेल. अशाप्रकारे, पायथागोरियन प्रमेय कोसाइन प्रमेयचा एक विशेष केस बनला.

दुर्लक्षामुळे चुका होतात

साइन, कोसाइन आणि स्पर्शरेषा काय आहेत हे माहीत असूनही, अनुपस्थितीमुळे किंवा सोप्या गणनेतील त्रुटीमुळे चूक करणे सोपे आहे. अशा चुका टाळण्यासाठी, त्यापैकी सर्वात लोकप्रिय असलेल्यांशी परिचित होऊया.

प्रथम, अंतिम परिणाम मिळेपर्यंत तुम्ही सामान्य अपूर्णांकांना दशांशांमध्ये रूपांतरित करू नये - जोपर्यंत स्थिती अन्यथा नमूद करत नाही तोपर्यंत तुम्ही सामान्य अपूर्णांक म्हणून उत्तर सोडू शकता. अशा परिवर्तनास चूक म्हटले जाऊ शकत नाही, परंतु हे लक्षात ठेवले पाहिजे की समस्येच्या प्रत्येक टप्प्यावर नवीन मुळे दिसू शकतात, ज्या लेखकाच्या कल्पनेनुसार कमी केल्या पाहिजेत. या प्रकरणात, आपण अनावश्यक गणिती ऑपरेशन्समध्ये वेळ वाया घालवाल. हे विशेषतः तीन किंवा दोनच्या मूळ सारख्या मूल्यांसाठी खरे आहे, कारण ते प्रत्येक चरणावर कार्यांमध्ये आढळतात. हेच "कुरूप" संख्यांना गोलाकार लागू होते.

पुढे, लक्षात घ्या की कोसाइन प्रमेय कोणत्याही त्रिकोणाला लागू होतो, परंतु पायथागोरियन प्रमेयाला नाही! जर तुम्ही चुकून त्यांच्यामधील कोनाच्या कोसाइनने गुणाकार केलेल्या बाजूंच्या गुणाकाराच्या दुप्पट वजा करणे विसरलात, तर तुम्हाला केवळ पूर्णपणे चुकीचा परिणाम मिळणार नाही, तर विषयाचा संपूर्ण गैरसमज देखील दिसून येईल. हे निष्काळजी चुकीपेक्षा वाईट आहे.

तिसरे म्हणजे, सायन्स, कोसाइन, स्पर्शरेषा, कोटॅन्जंट्ससाठी 30 आणि 60 अंशांच्या कोनांची मूल्ये गोंधळात टाकू नका. ही मूल्ये लक्षात ठेवा, कारण 30 अंशांची साइन 60 च्या कोसाइनच्या बरोबरीची आहे आणि त्याउलट. त्यांना मिसळणे सोपे आहे, परिणामी आपल्याला अपरिहार्यपणे एक चुकीचा निकाल मिळेल.

अर्ज

अनेक विद्यार्थ्यांना त्रिकोणमितीचा अभ्यास सुरू करण्याची घाई नसते, कारण त्यांना त्याचा लागू केलेला अर्थ समजत नाही. अभियंता किंवा खगोलशास्त्रज्ञासाठी साइन, कोसाइन, स्पर्शिका म्हणजे काय? या संकल्पना आहेत ज्यामुळे तुम्ही दूरच्या तार्‍यांचे अंतर मोजू शकता, उल्का पडण्याचा अंदाज लावू शकता, दुसर्‍या ग्रहावर संशोधन तपासणी पाठवू शकता. त्यांच्याशिवाय, इमारत बांधणे, कार डिझाइन करणे, पृष्ठभागावरील भार किंवा ऑब्जेक्टच्या प्रक्षेपणाची गणना करणे अशक्य आहे. आणि ही फक्त सर्वात स्पष्ट उदाहरणे आहेत! शेवटी, संगीतापासून औषधापर्यंत सर्वत्र त्रिकोणमिती एका किंवा दुसर्या स्वरूपात वापरली जाते.

शेवटी

तर तुम्ही साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आहात. तुम्ही त्यांचा गणनेत वापर करू शकता आणि शाळेतील समस्या यशस्वीरित्या सोडवू शकता.

त्रिकोणमितीचे संपूर्ण सार या वस्तुस्थितीवर उकळते की अज्ञात पॅरामीटर्सची गणना त्रिकोणाच्या ज्ञात पॅरामीटर्समधून करणे आवश्यक आहे. एकूण सहा मापदंड आहेत: तीन बाजूंची लांबी आणि तीन कोनांची विशालता. कार्यांमधील संपूर्ण फरक भिन्न इनपुट डेटा देण्यात आला आहे.

पायांच्या ज्ञात लांबीवर किंवा कर्णाच्या आधारे साइन, कोसाइन, स्पर्शिका कशी शोधायची, हे आता तुम्हाला माहिती आहे. या अटींचा अर्थ गुणोत्तरापेक्षा अधिक काही नसल्यामुळे आणि गुणोत्तर हा एक अपूर्णांक आहे, त्रिकोणमितीय समस्येचे मुख्य उद्दिष्ट म्हणजे सामान्य समीकरण किंवा समीकरणांच्या प्रणालीची मुळे शोधणे. आणि येथे तुम्हाला सामान्य शालेय गणिताने मदत केली जाईल.

साइन, कोसाइन, टॅन्जेंट आणि कोटॅंजेंट या संकल्पना त्रिकोणमितीच्या मुख्य श्रेणी आहेत - गणिताची एक शाखा, आणि कोनाच्या व्याख्येशी अविभाज्यपणे जोडलेली आहेत. या गणितीय शास्त्राचा ताबा ठेवण्यासाठी सूत्रे आणि प्रमेये लक्षात ठेवणे आणि समजून घेणे तसेच विकसित अवकाशीय विचार आवश्यक आहे. म्हणूनच त्रिकोणमितीय गणनेमुळे अनेकदा शाळकरी मुले आणि विद्यार्थ्यांना अडचणी येतात. त्यांच्यावर मात करण्यासाठी, आपण त्रिकोणमितीय कार्ये आणि सूत्रांशी अधिक परिचित व्हावे.

त्रिकोणमितीमधील संकल्पना

त्रिकोणमितीच्या मूलभूत संकल्पना समजून घेण्यासाठी, आपण प्रथम काटकोन त्रिकोण आणि वर्तुळातील कोन काय आहेत आणि सर्व मूलभूत त्रिकोणमितीय गणना त्यांच्याशी का संबंधित आहेत हे ठरवले पाहिजे. ज्या त्रिकोणातील एक कोन 90 अंश आहे तो काटकोन त्रिकोण आहे. ऐतिहासिकदृष्ट्या, ही आकृती बहुतेकदा वास्तुकला, नेव्हिगेशन, कला, खगोलशास्त्रातील लोक वापरत असत. त्यानुसार, या आकृतीच्या गुणधर्मांचा अभ्यास आणि विश्लेषण करून, लोक त्याच्या पॅरामीटर्सच्या संबंधित गुणोत्तरांची गणना करण्यासाठी आले.

काटकोन त्रिकोणाशी संबंधित मुख्य श्रेणी कर्ण आणि पाय आहेत. कर्ण ही त्रिकोणाची बाजू आहे जी काटकोनाच्या विरुद्ध असते. पाय, अनुक्रमे, इतर दोन बाजू आहेत. कोणत्याही त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज नेहमी 180 अंश असते.

गोलाकार त्रिकोणमिती हा त्रिकोणमितीचा एक विभाग आहे ज्याचा शाळेत अभ्यास केला जात नाही, परंतु खगोलशास्त्र आणि भूगर्भशास्त्र यासारख्या उपयोजित विज्ञानांमध्ये शास्त्रज्ञ त्याचा वापर करतात. गोलाकार त्रिकोणमितीमधील त्रिकोणाचे वैशिष्ट्य म्हणजे त्यात नेहमी 180 अंशांपेक्षा जास्त कोनांची बेरीज असते.

त्रिकोणाचे कोन

काटकोन त्रिकोणामध्ये, कोनाचे साइन हे इच्छित कोनाच्या विरुद्ध असलेल्या पायाचे त्रिकोणाच्या कर्णाचे गुणोत्तर असते. त्यानुसार, कोसाइन हे समीप पाय आणि कर्ण यांचे गुणोत्तर आहे. कर्ण नेहमी पायापेक्षा लांब असल्याने या दोन्ही मूल्यांचे मूल्य नेहमी एकापेक्षा कमी असते.

कोनाची स्पर्शिका हे इच्छित कोनाच्या विरुद्ध पायाच्या समीपच्या पायाच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचे मूल्य आहे किंवा साइन ते कोसाइन आहे. कोटॅंजेंट, यामधून, इच्छित कोनाच्या समीप पायाचे विरुद्ध कॅक्टेटचे गुणोत्तर आहे. स्पर्शिकेच्या मूल्याने एकक भागूनही कोनाचा कोटंजंट मिळवता येतो.

युनिट वर्तुळ

भूमितीमधील एकक वर्तुळ हे असे वर्तुळ असते ज्याची त्रिज्या एक असते. असे वर्तुळ कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टीममध्ये तयार केले जाते, वर्तुळाचे केंद्र मूळ बिंदूशी एकरूप होते आणि त्रिज्या वेक्टरची प्रारंभिक स्थिती X अक्षाच्या सकारात्मक दिशेने (अॅब्सिसा अक्ष) निर्धारित केली जाते. वर्तुळाच्या प्रत्येक बिंदूमध्ये दोन समन्वय असतात: XX आणि YY, म्हणजेच abscissa आणि ordinate चे समन्वय. XX समतल वर्तुळावरील कोणताही बिंदू निवडून, लंब त्यापासून abscissa अक्षावर सोडल्यास, निवडलेल्या बिंदूच्या त्रिज्याने तयार केलेला काटकोन त्रिकोण मिळतो (त्याला C अक्षराने दर्शवूया), लंब काढलेला असतो. X अक्ष (प्रतिच्छेदन बिंदू G अक्षराने दर्शविला जातो), आणि उत्पत्ती (बिंदू A अक्षराने दर्शविला जातो) आणि छेदनबिंदू G मधील abscissa अक्षाचा एक खंड. परिणामी त्रिकोण ACG मध्ये कोरलेला काटकोन त्रिकोण आहे वर्तुळ, जिथे AG कर्ण आहे आणि AC आणि GC हे पाय आहेत. वर्तुळ AC च्या त्रिज्या आणि पदनाम AG सह abscissa अक्षाच्या विभागातील कोन, आम्ही α (अल्फा) म्हणून परिभाषित करतो. तर, cos α = AG/AC. AC ही एकक वर्तुळाची त्रिज्या आहे आणि ती एकाच्या बरोबरीची आहे, असे लक्षात आले की cos α=AG. त्याचप्रमाणे, sin α=CG.

याशिवाय, हा डेटा जाणून घेतल्यास, वर्तुळावरील बिंदू C चा समन्वय निश्चित करणे शक्य आहे, कारण cos α=AG, आणि sin α=CG, म्हणजे बिंदू C मध्ये दिलेले निर्देशांक आहेत (cos α; sin α). स्पर्शिका हे साइन आणि कोसाइनच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचे आहे हे जाणून, आपण tg α \u003d y / x आणि ctg α \u003d x / y निर्धारित करू शकतो. ऋण समन्वय प्रणालीतील कोनांचा विचार केल्यास, काही कोनांची साइन आणि कोसाइन व्हॅल्यू ऋण असू शकतात अशी गणना केली जाऊ शकते.

गणना आणि मूलभूत सूत्रे

त्रिकोणमितीय कार्यांची मूल्ये

एकक वर्तुळाद्वारे त्रिकोणमितीय फंक्शन्सचे सार विचारात घेतल्यावर, आपण काही कोनांसाठी या फंक्शन्सची मूल्ये काढू शकतो. मूल्ये खालील तक्त्यामध्ये सूचीबद्ध आहेत.

सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय ओळख

ज्या समीकरणांमध्ये त्रिकोणमितीय कार्याच्या चिन्हाखाली अज्ञात मूल्य असते त्यांना त्रिकोणमितीय म्हणतात. sin x = α या मूल्यासह ओळख, k हा कोणताही पूर्णांक आहे:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, कोणतेही उपाय नाहीत.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

cos x = a या मूल्यासह ओळख, जेथे k कोणताही पूर्णांक आहे:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, कोणतेही उपाय नाहीत.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

मूल्य tg x = a सह ओळख, जेथे k कोणताही पूर्णांक आहे:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

मूल्य ctg x = a सह ओळख, जेथे k कोणताही पूर्णांक आहे:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

कास्ट सूत्रे

स्थिर सूत्रांची ही श्रेणी अशा पद्धती दर्शवते ज्याद्वारे तुम्ही फॉर्मच्या त्रिकोणमितीय फंक्शन्सपासून युक्तिवादाच्या फंक्शन्समध्ये जाऊ शकता, म्हणजे, कोणत्याही मूल्याच्या कोनाच्या साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटंजंटला कोनाच्या संबंधित निर्देशकांमध्ये रूपांतरित करा. गणनेच्या अधिक सोयीसाठी 0 ते 90 अंशांपर्यंतचे अंतर.

कोनाच्या साईनसाठी फंक्शन्स कमी करण्याचे सूत्र यासारखे दिसतात:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

कोनाच्या कोसाइनसाठी:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

वरील सूत्रांचा वापर दोन नियमांच्या अधीन शक्य आहे. प्रथम, जर कोन हे मूल्य (π/2 ± a) किंवा (3π/2 ± a) म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, तर फंक्शनचे मूल्य बदलते:

• पाप पासून cos पर्यंत;
• cos पासून पाप पर्यंत;
• tg पासून ctg पर्यंत;
• ctg पासून tg पर्यंत.

कोन (π ± a) किंवा (2π ± a) म्हणून दर्शविल्यास फंक्शनचे मूल्य अपरिवर्तित राहते.

दुसरे म्हणजे, कमी झालेल्या कार्याचे चिन्ह बदलत नाही: जर ते सुरुवातीला सकारात्मक होते, तर ते तसे राहते. नकारात्मक फंक्शन्ससाठी हेच खरे आहे.

जोडणी सूत्रे

ही सूत्रे त्यांच्या त्रिकोणमितीय कार्यांच्या दृष्टीने दोन रोटेशन कोनांच्या बेरीज आणि फरकाच्या साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजंटची मूल्ये व्यक्त करतात. कोन सहसा α आणि β म्हणून दर्शविले जातात.

सूत्रे असे दिसतात:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

ही सूत्रे α आणि β कोणत्याही कोनासाठी वैध आहेत.

दुहेरी आणि तिहेरी कोन सूत्रे

दुहेरी आणि तिहेरी कोनाची त्रिकोणमितीय सूत्रे ही सूत्रे आहेत जी कोनांची कार्ये अनुक्रमे 2α आणि 3α, कोन α च्या त्रिकोणमितीय कार्यांशी संबंधित आहेत. अतिरिक्त सूत्रांमधून व्युत्पन्न:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

बेरीज पासून उत्पादनात संक्रमण

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) लक्षात घेता, हे सूत्र सोपे करून, आम्हाला sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ही ओळख मिळते. त्याचप्रमाणे, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

उत्पादनापासून बेरीजमध्ये संक्रमण

ही सूत्रे बेरीजच्या उत्‍पादनाच्‍या संक्रमणासाठी ओळखींचे अनुसरण करतात:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

कपात सूत्रे

या ओळखींमध्ये, साइन आणि कोसाइनच्या चौरस आणि घन शक्ती अनेक कोनाच्या पहिल्या घाताच्या साइन आणि कोसाइनच्या संदर्भात व्यक्त केल्या जाऊ शकतात:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

सार्वत्रिक प्रतिस्थापन

सार्वत्रिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्रे अर्धकोनाच्या स्पर्शिकेच्या दृष्टीने त्रिकोणमितीय कार्ये व्यक्त करतात.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg^ 2 x / 2), तर x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), जेथे x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg^ 2 x / 2), जेथे x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), तर x \u003d π + 2πn.

विशेष प्रकरणे

सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांची विशिष्ट प्रकरणे खाली दिली आहेत (k ही पूर्णांक आहे).

साइनसाठी खाजगी:

कोसाइन गुणांक:

स्पर्शिकेसाठी खाजगी:

सहस्पर्शी भागांक:

प्रमेये

साइन प्रमेय

प्रमेयाच्या दोन आवृत्त्या आहेत - साधे आणि विस्तारित. साधे साइन प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. या प्रकरणात, a, b, c या त्रिकोणाच्या बाजू आहेत आणि α, β, γ हे अनुक्रमे विरुद्ध कोन आहेत.

अनियंत्रित त्रिकोणासाठी विस्तारित साइन प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. या ओळखीमध्ये, R ही वर्तुळाची त्रिज्या दर्शवते ज्यामध्ये दिलेला त्रिकोण कोरलेला आहे.

कोसाइन प्रमेय

ओळख अशा प्रकारे प्रदर्शित केली जाते: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. सूत्रामध्ये, a, b, c या त्रिकोणाच्या बाजू आहेत आणि α हा कोन a च्या विरुद्ध बाजू आहे.

स्पर्शिका प्रमेय

सूत्र दोन कोनांच्या स्पर्शिका आणि त्यांच्या समोरील बाजूंची लांबी यांच्यातील संबंध व्यक्त करतो. बाजूंना a, b, c असे लेबल लावले आहे आणि संबंधित विरुद्ध कोन α, β, γ आहेत. स्पर्शिका प्रमेयाचे सूत्र: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

कोटॅंजेंट प्रमेय

त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या त्याच्या बाजूंच्या लांबीसह संबद्ध करते. जर a, b, c या त्रिकोणाच्या बाजू असतील आणि A, B, C, अनुक्रमे त्यांचे विरुद्ध कोन असतील, r ही अंकित वर्तुळाची त्रिज्या असेल आणि p ही त्रिकोणाची अर्धी परिमिती असेल तर पुढील ओळख धरा

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

अर्ज

त्रिकोणमिती हे केवळ गणितीय सूत्रांशी संबंधित एक सैद्धांतिक विज्ञान नाही. त्याचे गुणधर्म, प्रमेये आणि नियम मानवी क्रियाकलापांच्या विविध शाखांद्वारे व्यवहारात वापरले जातात - खगोलशास्त्र, वायु आणि समुद्र नेव्हिगेशन, संगीत सिद्धांत, भू-विज्ञान, रसायनशास्त्र, ध्वनिशास्त्र, ऑप्टिक्स, इलेक्ट्रॉनिक्स, आर्किटेक्चर, अर्थशास्त्र, यांत्रिक अभियांत्रिकी, मोजण्याचे काम, संगणक ग्राफिक्स, कार्टोग्राफी, ओशनोग्राफी आणि इतर अनेक.

Sine, cosine, tangent आणि cotangent या त्रिकोणमितीच्या मूलभूत संकल्पना आहेत, ज्यांच्या सहाय्याने तुम्ही त्रिकोणातील कोन आणि बाजूंच्या लांबी यांच्यातील संबंध गणितीयरित्या व्यक्त करू शकता आणि ओळख, प्रमेय आणि नियमांद्वारे इच्छित प्रमाण शोधू शकता.