लॉगरिदमिक फंक्शन्ससाठी सूत्रे. लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती

मुख्य गुणधर्म.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

समान कारणे

Log6 4 + log6 9.

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया.

लॉगरिदम सोडवण्याची उदाहरणे

लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद ही शक्ती असेल तर? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

अर्थात, लॉगरिदमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण आहेत: a > 0, a ≠ 1, x >

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

हे देखील पहा:

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, आपण नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 च्या समान आहे आणि लिओ निकोलाविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे.

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

लॉगरिदमची उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण १.
अ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुणधर्म 3.5 वापरून आम्ही गणना करतो

2.

3.

4. कुठे .

उदाहरण 2. जर x शोधा

उदाहरण 3. लॉगरिदमचे मूल्य देऊ

जर लॉग(x) ची गणना करा

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मुख्य गुणधर्म.

आपल्याला हे नियम निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय, एकही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - आपण एका दिवसात सर्वकाही शिकू शकता. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे

समान आधारांसह दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तर, लॉगरिदमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे आणि फरक भागाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे समान कारणे. कारणे वेगळी असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे तुम्हाला लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती मोजण्यात मदत करतील, जरी त्याचे वैयक्तिक भाग विचारात घेतले जात नसले तरीही (“लोगॅरिथम म्हणजे काय” हा धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

तुम्ही बघू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिदमपासून बनलेली आहेत, ज्यांची स्वतंत्रपणे गणना केली जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर, पूर्णपणे सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनवर सर्व गांभीर्याने (कधीकधी अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) चाचणी सारखी अभिव्यक्ती दिली जाते.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, लॉगॅरिथमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडेच नव्हे तर त्याउलट लागू करायला शिका. , म्हणजे लॉगरिथम चिन्हाच्या आधी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता. हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लॉगरिदम आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे आहे:

माझ्या मते शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत आम्ही फक्त भाजकासह काम करतो.

लॉगरिदम सूत्रे. लॉगरिदम उदाहरणे उपाय.

आम्ही तेथे उभे असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद शक्तीच्या रूपात सादर केला आणि घातांक काढले - आम्हाला "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजकांमध्ये समान संख्या असते: लॉग2 7. लॉग2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले होते. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. चला त्यांना प्रमेयाच्या रूपात तयार करूया:

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x सेट केले तर आपल्याला मिळेल:

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसून येते की लॉगॅरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद स्वॅप केला जाऊ शकतो, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, म्हणजे. लॉगॅरिथम भाजकामध्ये दिसते.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यमापन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशा समस्या आहेत ज्या नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत. चला यापैकी काही पाहू:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक शक्ती आहेत. चला निर्देशक काढूया: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम “उलट” करूया:

घटकांची पुनर्रचना करताना उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदम हाताळले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला हे लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

सोल्युशन प्रक्रियेत अनेकदा दिलेल्या बेसला लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, खालील सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या युक्तिवादात घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ती फक्त लॉगरिथम मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. यालाच म्हणतात: .

किंबहुना, संख्या b ला अशा बळावर वाढवल्यास काय होईल की या घाताची संख्या b ही संख्या a देते? ते बरोबर आहे: परिणाम समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर अडकतात.

नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की log25 64 = log5 8 - लॉगरिदमच्या बेस आणि आर्ग्युमेंटमधून फक्त स्क्वेअर घेतला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहित नसेल तर, युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे हे खरे कार्य होते :)

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकतात - त्याऐवजी, ते लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये दिसतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: त्या बेसच्या कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक समान आहे.
2. loga 1 = 0 आहे. बेस a हा काहीही असू शकतो, पण जर वितर्कात एक असेल तर लॉगरिथम शून्य असेल! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

हे देखील पहा:

a ला बेस करण्यासाठी b चा लॉगरिदम ही अभिव्यक्ती दर्शवते. लॉगरिदमची गणना करणे म्हणजे x () पॉवर शोधणे ज्यावर समानता समाधानी आहे

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

वरील गुणधर्म जाणून घेणे आवश्यक आहे, कारण लॉगरिदमशी संबंधित जवळजवळ सर्व समस्या आणि उदाहरणे त्यांच्या आधारावर सोडविली जातात. उर्वरित विदेशी गुणधर्म या सूत्रांसह गणितीय हाताळणीद्वारे मिळवता येतात

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

लॉगरिदम (3.4) च्या बेरीज आणि फरकासाठी सूत्राची गणना करताना आपण बऱ्याचदा भेटता. उर्वरित काहीसे जटिल आहेत, परंतु अनेक कार्यांमध्ये ते जटिल अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी आणि त्यांची मूल्ये मोजण्यासाठी अपरिहार्य आहेत.

लॉगरिदमची सामान्य प्रकरणे

काही सामान्य लॉगरिदम असे आहेत ज्यात बेस अगदी दहा, घातांक किंवा दोन आहे.
बेस टेन ला लॉगरिदम सामान्यतः दशांश लॉगरिथम म्हणतात आणि फक्त lg(x) द्वारे दर्शविला जातो.

रेकॉर्डिंगमध्ये मूलभूत गोष्टी लिहिल्या जात नसल्याचे रेकॉर्डिंगवरून स्पष्ट होते. उदाहरणार्थ

नैसर्गिक लॉगरिथम हा लॉगरिथम आहे ज्याचा आधार घातांक असतो (ln(x) द्वारे दर्शविला जातो).

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, आपण नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 च्या समान आहे आणि लिओ निकोलाविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे. हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

आणि बेस दोनचे आणखी एक महत्त्वाचे लॉगरिदम द्वारे दर्शविले जाते

फंक्शनच्या लॉगरिदमचे व्युत्पन्न व्हेरिएबलने भागलेल्या एका समान असते

इंटिग्रल किंवा अँटीडेरिव्हेटिव्ह लॉगरिथम संबंधांद्वारे निर्धारित केले जाते

लॉगरिदम आणि लॉगरिदमशी संबंधित समस्यांच्या विस्तृत वर्गाचे निराकरण करण्यासाठी दिलेली सामग्री तुमच्यासाठी पुरेशी आहे. तुम्हाला सामग्री समजून घेण्यात मदत करण्यासाठी, मी शालेय अभ्यासक्रम आणि विद्यापीठांमधून फक्त काही सामान्य उदाहरणे देईन.

लॉगरिदमची उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण १.
अ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुणधर्म 3.5 वापरून आम्ही गणना करतो

2.
लॉगरिदमच्या फरकाच्या गुणधर्मानुसार आपल्याकडे आहे

3.
गुणधर्म 3.5 वापरून आपण शोधतो

4. कुठे .

एक उशिर जटिल अभिव्यक्ती अनेक नियम वापरून तयार करण्यासाठी सरलीकृत केली जाते

लॉगरिदम मूल्ये शोधत आहे

उदाहरण 2. जर x शोधा

उपाय. गणनासाठी, आम्ही शेवटच्या टर्म 5 आणि 13 गुणधर्मांना लागू करतो

आम्ही ते रेकॉर्डवर ठेवले आणि शोक व्यक्त केला

बेस समान असल्याने, आम्ही अभिव्यक्ती समान करतो

लॉगरिदम. पहिला स्तर.

लॉगरिदमचे मूल्य दिले जाऊ द्या

जर लॉग(x) ची गणना करा

उपाय: चला लॉगरिदम लिहिण्यासाठी व्हेरिएबलचा लॉगरिदम घेऊ.

लॉगरिदम आणि त्यांच्या गुणधर्मांबद्दलच्या आमच्या परिचयाची ही फक्त सुरुवात आहे. गणनेचा सराव करा, तुमची व्यावहारिक कौशल्ये समृद्ध करा - लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी तुम्हाला लवकरच मिळणारे ज्ञान आवश्यक असेल. अशी समीकरणे सोडवण्याच्या मूलभूत पद्धतींचा अभ्यास केल्यावर, आम्ही तुमचे ज्ञान दुसऱ्या तितक्याच महत्त्वाच्या विषयावर वाढवू - लॉगरिदमिक असमानता...

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मुख्य गुणधर्म.

आपल्याला हे नियम निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय, एकही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - आपण एका दिवसात सर्वकाही शिकू शकता. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे

समान आधारांसह दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तर, लॉगरिदमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे आणि फरक भागाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे समान कारणे. कारणे वेगळी असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे तुम्हाला लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती मोजण्यात मदत करतील, जरी त्याचे वैयक्तिक भाग विचारात घेतले जात नसले तरीही (“लोगॅरिथम म्हणजे काय” हा धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log6 4 + log6 9.

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

तुम्ही बघू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिदमपासून बनलेली आहेत, ज्यांची स्वतंत्रपणे गणना केली जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर, पूर्णपणे सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनवर सर्व गांभीर्याने (कधीकधी अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) चाचणी सारखी अभिव्यक्ती दिली जाते.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया. लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद ही शक्ती असेल तर? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, लॉगॅरिथमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडेच नव्हे तर त्याउलट लागू करायला शिका. , म्हणजे लॉगरिथम चिन्हाच्या आधी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता.

लॉगरिदम कसे सोडवायचे

हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लॉगरिदम आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे आहे:

माझ्या मते शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत आम्ही फक्त भाजकासह काम करतो. आम्ही तेथे उभे असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद शक्तीच्या रूपात सादर केला आणि घातांक काढले - आम्हाला "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजकांमध्ये समान संख्या असते: लॉग2 7. लॉग2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले होते. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. चला त्यांना प्रमेयाच्या रूपात तयार करूया:

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x सेट केले तर आपल्याला मिळेल:

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसून येते की लॉगॅरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद स्वॅप केला जाऊ शकतो, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, म्हणजे. लॉगॅरिथम भाजकामध्ये दिसते.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यमापन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशा समस्या आहेत ज्या नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत. चला यापैकी काही पाहू:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक शक्ती आहेत. चला निर्देशक काढूया: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम “उलट” करूया:

घटकांची पुनर्रचना करताना उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदम हाताळले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला हे लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

सोल्युशन प्रक्रियेत अनेकदा दिलेल्या बेसला लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, खालील सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या युक्तिवादात घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ती फक्त लॉगरिथम मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. यालाच म्हणतात: .

किंबहुना, संख्या b ला अशा बळावर वाढवल्यास काय होईल की या घाताची संख्या b ही संख्या a देते? ते बरोबर आहे: परिणाम समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर अडकतात.

नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की log25 64 = log5 8 - लॉगरिदमच्या बेस आणि आर्ग्युमेंटमधून फक्त स्क्वेअर घेतला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहित नसेल तर, युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे हे खरे कार्य होते :)

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकतात - त्याऐवजी, ते लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये दिसतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: त्या बेसच्या कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक समान आहे.
2. loga 1 = 0 आहे. बेस a हा काहीही असू शकतो, पण जर वितर्कात एक असेल तर लॉगरिथम शून्य असेल! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

चला सुरुवात करूया एकाच्या लॉगरिदमचे गुणधर्म. त्याचे सूत्रीकरण खालीलप्रमाणे आहे: एकतेचा लॉगरिथम शून्याच्या समान आहे, म्हणजे, लॉग a 1=0कोणत्याही a>0, a≠1 साठी. पुरावा कठीण नाही: वरील अटी a>0 आणि a≠1 चे समाधान करणाऱ्या कोणत्याही साठी 0 =1, नंतर सिद्ध करण्यासाठी समानता लॉग a 1=0 लॉगरिदमच्या व्याख्येवरून लगेचच पुढे येतो.

विचारात घेतलेल्या गुणधर्माच्या अर्जाची उदाहरणे देऊ: लॉग 3 1=0, log1=0 आणि .

चला पुढील गुणधर्माकडे जाऊया: बेसच्या समान संख्येचा लॉगरिदम एक असतो, ते आहे, लॉग a a = 1 a>0, a≠1 साठी. खरंच, कोणत्याही a साठी 1 =a असल्याने, लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार लॉग a = 1.

लॉगरिदमचा हा गुणधर्म वापरण्याची उदाहरणे म्हणजे समानता लॉग 5 5=1, लॉग 5.6 5.6 आणि lne=1.

उदाहरणार्थ, लॉग 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 आणि .

दोन धन संख्यांच्या गुणाकाराचा लॉगरिदम x आणि y या संख्यांच्या लॉगरिदमच्या गुणाकाराच्या समान आहेत: log a (x y) = log a x+log a y, a>0 , a≠1 . उत्पादनाच्या लॉगरिदमचा गुणधर्म सिद्ध करूया. पदवीच्या गुणधर्मांमुळे लॉग a x+log a y =a लॉग a x ·a लॉग a y, आणि मुख्य लॉगरिदमिक आयडेंटिटीनुसार लॉग a x =x आणि लॉग a y =y, नंतर लॉग a x ·a लॉग a y =x·y. अशा प्रकारे, लॉग a x+log a y =x·y, ज्यावरून, लॉगरिदमच्या व्याख्येनुसार, समानता सिद्ध केली जाते.

उत्पादनाच्या लॉगरिदमची गुणधर्म वापरण्याची उदाहरणे दाखवू: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2+लॉग 5 3 आणि .

उत्पादनाच्या लॉगॅरिथमचा गुणधर्म x 1 , x 2 , …, x n या सकारात्मक संख्यांच्या मर्यादित संख्येच्या गुणाकारात सामान्यीकृत केला जाऊ शकतो. लॉग a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . ही समानता समस्यांशिवाय सिद्ध केली जाऊ शकते.

उदाहरणार्थ, उत्पादनाचा नैसर्गिक लॉगरिदम 4, e, आणि संख्यांच्या तीन नैसर्गिक लॉगरिदमच्या बेरजेने बदलला जाऊ शकतो.

दोन सकारात्मक संख्यांच्या भागफलाचा लॉगरिदम x आणि y या संख्यांच्या लॉगरिदममधील फरकाच्या समान आहेत. भागफलाच्या लॉगरिथमचा गुणधर्म फॉर्मच्या सूत्राशी संबंधित आहे, जेथे a>0, a≠1, x आणि y काही सकारात्मक संख्या आहेत. या सूत्राची वैधता तसेच उत्पादनाच्या लॉगरिथमचे सूत्र सिद्ध केले आहे: पासून , नंतर लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार.

लॉगरिदमचा हा गुणधर्म वापरण्याचे येथे एक उदाहरण आहे: .

चला पुढे जाऊया पॉवरच्या लॉगरिदमचा गुणधर्म. पदवीचा लॉगरिथम हा घातांकाच्या गुणाकाराच्या आणि या अंशाच्या पायाच्या मॉड्यूलसच्या लॉगरिथमच्या बरोबरीचा असतो. घाताच्या लॉगरिदमचा हा गुणधर्म सूत्र म्हणून लिहू: log a b p = p·log a |b|, जेथे a>0, a≠1, b आणि p अशा संख्या आहेत ज्यात b p पदवी आणि b p > 0 अर्थ प्राप्त होतो.

प्रथम आपण ही मालमत्ता सकारात्मक b साठी सिद्ध करतो. मूलभूत लॉगॅरिदमिक ओळख आपल्याला b ही संख्या लॉग a b म्हणून दर्शवू देते, नंतर b p =(a log a b) p , आणि परिणामी अभिव्यक्ती, पॉवरच्या गुणधर्मामुळे, p·log a b सारखी असते. म्हणून आपण समानता b p =a p·log a b वर येतो, ज्यावरून, लॉगॅरिथमच्या व्याख्येनुसार, आपण असा निष्कर्ष काढतो की log a b p =p·log a b.

नकारात्मक b साठी ही मालमत्ता सिद्ध करणे बाकी आहे. येथे आपण नोंद घेतो की ऋण b साठी a b p ही अभिव्यक्ती केवळ सम घातांक p साठी अर्थपूर्ण आहे (कारण b p पदवीचे मूल्य शून्यापेक्षा मोठे असणे आवश्यक आहे, अन्यथा लॉगरिथमला अर्थ नाही) आणि या प्रकरणात b p =|b| p मग b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, जिथून लॉग a b p =p·log a |b| .

उदाहरणार्थ, आणि ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

हे मागील मालमत्तेचे अनुसरण करते मूळ पासून लॉगरिदमचा गुणधर्म: nव्या मूळचा लॉगरिथम मूलगामी अभिव्यक्तीच्या लॉगरिथमने 1/n अपूर्णांकाच्या गुणाकाराच्या समान आहे, म्हणजे, , जेथे a>0, a≠1, n ही एक नैसर्गिक संख्या आहे, b>0.

पुरावा समानता (पहा) वर आधारित आहे, जो कोणत्याही सकारात्मक b साठी वैध आहे आणि पॉवरच्या लॉगरिथमच्या गुणधर्मावर आहे: .

ही मालमत्ता वापरण्याचे येथे एक उदाहरण आहे: .

आता सिद्ध करूया नवीन लॉगरिदम बेसवर जाण्यासाठी सूत्रदयाळू . हे करण्यासाठी, समानता log c b=log a b·log c a ची वैधता सिद्ध करणे पुरेसे आहे. मूलभूत लॉगॅरिथमिक ओळख आपल्याला b ला लॉग a b म्हणून दर्शवू देते, नंतर log c b=log c a log a b. पदवीच्या लॉगरिथमची मालमत्ता वापरणे बाकी आहे: log c a log a b = log a b log c a. हे समानता log c b=log a b·log c a सिद्ध करते, याचा अर्थ लॉगरिदमच्या नवीन पायावर संक्रमण करण्याचे सूत्र देखील सिद्ध झाले आहे.

लॉगरिदमचा हा गुणधर्म वापरण्याची काही उदाहरणे दाखवूया: आणि .

नवीन बेसवर जाण्याचे सूत्र तुम्हाला "सोयीस्कर" बेस असलेल्या लॉगरिदमसह कार्य करण्यास पुढे जाण्यास अनुमती देते. उदाहरणार्थ, याचा वापर नैसर्गिक किंवा दशांश लॉगरिदमवर जाण्यासाठी केला जाऊ शकतो जेणेकरून तुम्ही लॉगरिदमच्या सारणीवरून लॉगरिदमचे मूल्य काढू शकता. नवीन लॉगरिदम बेसवर जाण्याचे सूत्र काही प्रकरणांमध्ये, दिलेल्या लॉगरिथमचे मूल्य शोधण्याची परवानगी देते जेव्हा इतर बेससह काही लॉगरिदमची मूल्ये ज्ञात असतात.

फॉर्मच्या c=b साठी नवीन लॉगरिदम बेसमध्ये संक्रमणासाठी सूत्राचा एक विशेष केस अनेकदा वापरला जातो. . हे दर्शविते की लॉग a b आणि log b a – . उदा. .

सूत्र देखील अनेकदा वापरले जाते , जी लॉगरिदम मूल्ये शोधण्यासाठी सोयीस्कर आहे. आमच्या शब्दांची पुष्टी करण्यासाठी, आम्ही फॉर्मच्या लॉगरिथमच्या मूल्याची गणना करण्यासाठी ते कसे वापरले जाऊ शकते ते दर्शवू. आमच्याकडे आहे . सूत्र सिद्ध करण्यासाठी लॉगरिथमच्या नवीन बेसवर संक्रमण करण्यासाठी सूत्र वापरणे पुरेसे आहे a: .

लॉगरिदमच्या तुलनेचे गुणधर्म सिद्ध करणे बाकी आहे.

b 1 आणि b 2, b 1 या कोणत्याही धन संख्यांसाठी सिद्ध करूया लॉग a b 2 , आणि a>1 साठी - असमानता लॉग a b 1

शेवटी, लॉगरिदमच्या सूचीबद्ध गुणधर्मांपैकी शेवटचे सिद्ध करणे बाकी आहे. आपण स्वतःला त्याच्या पहिल्या भागाच्या पुराव्यापुरते मर्यादित करूया, म्हणजेच आपण हे सिद्ध करू की जर 1 > 1, 2 > 1 आणि 1 असेल तर 1 हा खरा लॉग a 1 b>log a 2 b आहे. लॉगरिदमच्या या गुणधर्माची उर्वरित विधाने समान तत्त्वानुसार सिद्ध केली जातात.

चला उलट पद्धत वापरू. समजा 1 > 1, 2 > 1 आणि 1 साठी 1 हा खरा लॉग a 1 b≤log a 2 b आहे. लॉगरिदमच्या गुणधर्मांवर आधारित, या असमानता पुन्हा लिहिल्या जाऊ शकतात आणि अनुक्रमे, आणि त्यांच्याकडून ते अनुक्रमे log b a 1 ≤log b a 2 आणि log b a 1 ≥log b a 2 चे अनुसरण करते. नंतर, समान पाया असलेल्या शक्तींच्या गुणधर्मांनुसार, समानता b log b a 1 ≥b log b a 2 आणि b log b a 1 ≥b log b a 2 धारण करणे आवश्यक आहे, म्हणजे, a 1 ≥a 2. म्हणून आम्ही अट अ 1 च्या विरोधाभासावर आलो

संदर्भग्रंथ.

• कोल्मोगोरोव ए.एन., अब्रामोव्ह ए.एम., दुडनित्सिन यु.पी. आणि इतर. बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात: सामान्य शिक्षण संस्थांच्या ग्रेड 10 - 11 साठी पाठ्यपुस्तक.
• गुसेव व्ही.ए., मोर्डकोविच ए.जी. गणित (तांत्रिक शाळांमध्ये प्रवेश करणाऱ्यांसाठी एक पुस्तिका).

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मुख्य गुणधर्म.

आपल्याला हे नियम निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय, एकही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - आपण एका दिवसात सर्वकाही शिकू शकता. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे

समान पाया असलेले दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉग a xआणि लॉग a y. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. लॉग a x+ लॉग a y= लॉग a (x · y);
2. लॉग a x- लॉग a y= लॉग a (x : y).

तर, लॉगरिदमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे आणि फरक भागाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे समान कारणे. कारणे वेगळी असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे तुम्हाला लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीची गणना करण्यात मदत करतील, जरी त्याच्या वैयक्तिक भागांचा विचार केला जात नसला तरीही ("लोगॅरिथम काय आहे" हा धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 2 48 − log 2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
लॉग 2 48 − लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 3 135 − log 3 5.

पुन्हा बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
लॉग 3 135 − लॉग 3 5 = लॉग 3 (135: 5) = लॉग 3 27 = 3.

तुम्ही बघू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिदमपासून बनलेली आहेत, ज्यांची स्वतंत्रपणे गणना केली जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर, पूर्णपणे सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनवर सर्व गांभीर्याने (कधीकधी अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) चाचणी सारखी अभिव्यक्ती दिली जाते.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया. लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद ही शक्ती असेल तर? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, लॉगरिथमचा ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण आहेत: a > 0, a ≠ 1, x> 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडे लागू करण्यास शिका, परंतु त्याउलट देखील, म्हणजे. लॉगरिथम चिन्हाच्या आधी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता. हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 7 49 6 .

प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
लॉग ७ ४९ ६ = ६ लॉग ७ ४९ = ६ २ = १२

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

[चित्रासाठी मथळा]

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लॉगरिदम आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 2 4 ; ४९ = ७ २. आमच्याकडे आहे:

[चित्रासाठी मथळा]

माझ्या मते शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत आम्ही फक्त भाजकासह काम करतो. आम्ही तेथे उभे असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद शक्तीच्या रूपात सादर केला आणि घातांक काढले - आम्हाला "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजकांमध्ये समान संख्या आहे: लॉग 2 7. लॉग 2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले होते. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. चला त्यांना प्रमेयाच्या रूपात तयार करूया:

लॉगरिथम लॉग देऊ द्या a x. मग कोणत्याही संख्येसाठी cअसे की c> ० आणि c≠ 1, समानता सत्य आहे:

[चित्रासाठी मथळा]

विशेषतः, आम्ही ठेवले तर c = x, आम्हाला मिळते:

[चित्रासाठी मथळा]

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसून येते की लॉगॅरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद स्वॅप केला जाऊ शकतो, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, म्हणजे. लॉगॅरिथम भाजकामध्ये दिसते.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यमापन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशा समस्या आहेत ज्या नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत. चला यापैकी काही पाहू:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 5 16 log 2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक शक्ती आहेत. चला सूचक काढू: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम “उलट” करूया:

[चित्रासाठी मथळा]

घटकांची पुनर्रचना करताना उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदम हाताळले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला हे लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

[चित्रासाठी मथळा]

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

[चित्रासाठी मथळा]

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

सोल्युशन प्रक्रियेत अनेकदा दिलेल्या बेसला लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, खालील सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, संख्या nयुक्तिवादात उभे असलेल्या पदवीचे सूचक बनते. क्रमांक nपूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ते फक्त लॉगरिथम मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. यालाच म्हणतात: मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख.

किंबहुना नंबर लागला तर काय होईल bइतकी शक्ती वाढवा की संख्या bया शक्तीला संख्या मिळते a? ते बरोबर आहे: तुम्हाला हाच नंबर मिळेल a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर अडकतात.

नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

[चित्रासाठी मथळा]

नोंद घ्या की लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - लॉगरिदमच्या बेस आणि आर्ग्युमेंटमधून फक्त स्क्वेअर घेतला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

[चित्रासाठी मथळा]

जर कोणाला माहित नसेल तर, युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे हे खरे कार्य होते :)

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकतात - त्याऐवजी, ते लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये दिसतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. लॉग a a= 1 हे लॉगरिदमिक एकक आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: कोणत्याही बेससाठी लॉगरिदम aया अगदी बेस पासून एक समान आहे.
2. लॉग a 1 = 0 हे लॉगरिदमिक शून्य आहे. पाया aकाहीही असू शकते, परंतु जर वितर्कात एक असेल तर लॉगरिथम शून्य असेल! कारण a 0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

तुमची गोपनीयता राखणे आमच्यासाठी महत्त्वाचे आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संचयित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमच्या गोपनीयता पद्धतींचे पुनरावलोकन करा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते ज्याचा वापर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.

खाली आम्ही एकत्रित केलेल्या वैयक्तिक माहितीच्या प्रकारांची आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

• तुम्ही साइटवर अर्ज सबमिट करता तेव्हा, आम्ही तुमचे नाव, फोन नंबर, ईमेल पत्ता इत्यादीसह विविध माहिती गोळा करू शकतो.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

• आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती आम्हाला अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रमांसह तुमच्याशी संपर्क साधण्याची अनुमती देते.
• वेळोवेळी, महत्त्वाच्या सूचना आणि संप्रेषणे पाठवण्यासाठी आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आम्ही प्रदान करत असल्या सेवा सुधारण्यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन करण्यासाठी आम्ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
• तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम जाहिरातींमध्ये भाग घेतल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना माहितीचे प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

• आवश्यक असल्यास - कायद्यानुसार, न्यायालयीन प्रक्रियेनुसार, कायदेशीर कार्यवाहीमध्ये आणि/किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा रशियन फेडरेशनच्या प्रदेशातील सरकारी अधिकाऱ्यांच्या विनंत्यांच्या आधारावर - तुमची वैयक्तिक माहिती उघड करणे. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक महत्त्वाच्या उद्देशांसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे हे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
• पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती लागू उत्तराधिकारी तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करणे

तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित असल्याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचाऱ्यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा मानके संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.

लॉगरिदम आणि त्यांच्यासह कार्य करण्याचे नियम बरेच व्यापक आणि सोपे आहेत. त्यामुळे हा विषय समजून घेणे तुम्हाला अवघड जाणार नाही. आपण नैसर्गिक लॉगरिदमचे सर्व नियम शिकल्यानंतर, कोणतीही समस्या स्वतंत्रपणे सोडविली जाऊ शकते. या विषयाची पहिली ओळख कंटाळवाणी आणि निरर्थक वाटू शकते, परंतु लॉगरिदमच्या मदतीने 16 व्या शतकातील गणितज्ञांच्या अनेक समस्यांचे निराकरण केले गेले. "कशाबद्दल आहे?" - तुम्हाला वाटले. लेख शेवटपर्यंत वाचा आणि शोधा की "विज्ञानाची राणी" चा हा विभाग केवळ गणितज्ञ आणि अचूक विज्ञानाच्या शास्त्रज्ञांनाच नाही तर सामान्य माध्यमिक शाळेतील विद्यार्थ्यांना देखील आवडेल.

लॉगरिथमची व्याख्या

चला लॉगरिथमच्या व्याख्येसह प्रारंभ करूया. अनेक पाठ्यपुस्तके म्हणतात: संख्या b चा बेस a (लॉगॅब) चे लॉगरिदम ही एक विशिष्ट संख्या c आहे ज्यासाठी खालील समानता आहे: b=ac. म्हणजेच, सोप्या शब्दात, लॉगरिथम ही एक विशिष्ट शक्ती आहे ज्याला आपण दिलेली संख्या प्राप्त करण्यासाठी आधार वाढवतो. परंतु हे लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे की फॉर्म लॉगॅबचा लॉगॅरिथम तेव्हाच अर्थपूर्ण ठरतो जेव्हा: a>0; a - 1 व्यतिरिक्त एक संख्या; b>0, म्हणून, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की लॉगॅरिथम फक्त धनात्मक संख्यांसाठी आढळू शकतो.

बेसनुसार लॉगरिदमचे वर्गीकरण

लॉगरिदममध्ये बेसवर कोणतीही सकारात्मक संख्या असू शकते. पण दोन प्रकार आहेत: नैसर्गिक आणि दशांश लॉगरिदम.

• नैसर्गिक लॉगरिथम - बेस e सह लॉगरिदम (e ही यूलरची संख्या आहे, संख्यात्मकदृष्ट्या अंदाजे 2.7 च्या समान आहे, घातांकीय कार्य y = ex साठी सादर केलेली अपरिमेय संख्या), ln a = logea म्हणून दर्शविले जाते;
• दशांश लॉगरिदम म्हणजे 10 चा बेस असलेला लॉगरिदम, म्हणजेच log10a = log a.

लॉगरिदमचे मूलभूत नियम

प्रथम आपण मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख जाणून घेणे आवश्यक आहे: alogab=b, त्यानंतर दोन मूलभूत नियम:

• loga1 = 0 - शून्य पॉवरची कोणतीही संख्या 1 च्या समान असल्याने;
• loga = 1.

लॉगरिथमच्या शोधाबद्दल धन्यवाद, आम्हाला कोणतेही घातांकीय समीकरण सोडवणे कठीण होणार नाही, ज्याचे उत्तर नैसर्गिक संख्येद्वारे व्यक्त केले जाऊ शकत नाही, परंतु केवळ अपरिमेय एकाद्वारे. उदाहरणार्थ: 5x = 9, x = log59 (या समीकरणासाठी कोणतेही नैसर्गिक x नसल्यामुळे).

लॉगरिदमसह ऑपरेशन्स

• loga(x · y) = logax+ logay - उत्पादनाचा लॉगरिदम शोधण्यासाठी, तुम्हाला घटकांचे लॉगरिदम जोडणे आवश्यक आहे. कृपया लक्षात घ्या की लॉगरिदमचे बेस समान आहेत. हे उलट क्रमाने लिहिल्यास लॉगरिदम जोडण्याचा नियम मिळेल.
• loga xy = logax - logay - भागाचा लॉगरिदम शोधण्यासाठी, तुम्हाला लाभांश आणि विभाजक यांच्या लॉगरिदममधील फरक शोधणे आवश्यक आहे. कृपया लक्षात ठेवा: लॉगरिदमचे आधार समान आहेत. उलट क्रमाने लिहिताना, आम्ही लॉगरिदम वजा करण्याचा नियम प्राप्त करतो.

• logakxp = (p/k)*logax - अशा प्रकारे, लॉगॅरिथमच्या वितर्क आणि बेसमध्ये शक्ती असल्यास, ते लॉगरिदमच्या चिन्हातून बाहेर काढले जाऊ शकतात.
• logax = logac xc - मागील नियमाचे एक विशेष प्रकरण, जेव्हा घातांक समान असतात, तेव्हा ते कमी केले जाऊ शकतात.
• logax = (logbx)(logba) - तथाकथित संक्रमण मॉड्यूल, लॉगरिदम दुसर्या बेसवर कमी करण्याची प्रक्रिया.
• logax = 1/logxa - संक्रमणाची एक विशेष बाब, बेसची ठिकाणे आणि दिलेला क्रमांक बदलणे. संपूर्ण अभिव्यक्ती, लाक्षणिकरित्या बोलणे, उलट आहे, आणि भाजकामध्ये नवीन बेससह लॉगरिदम दिसते.

लॉगरिदमचा इतिहास

16व्या शतकात, प्रामुख्याने खगोलशास्त्रात (उदाहरणार्थ, सूर्य किंवा ताऱ्यांवरून जहाजाची स्थिती निश्चित करणे) व्यावहारिक समस्या सोडवण्यासाठी अनेक अंदाजे गणना करण्याची गरज निर्माण झाली.

ही गरज झपाट्याने वाढली आणि बहु-अंकी संख्यांचा गुणाकार आणि भागाकार यामुळे महत्त्वपूर्ण अडचण निर्माण झाली. आणि गणितज्ञ नेपियर यांनी, त्रिकोणमितीय गणना करताना, श्रम-केंद्रित गुणाकार सामान्य जोडणीसह बदलण्याचा निर्णय घेतला, यासाठी काही प्रगतींची तुलना केली. मग विभागणी, त्याचप्रमाणे, एका सोप्या आणि अधिक विश्वासार्ह प्रक्रियेद्वारे बदलली जाते - वजाबाकी, आणि nवे मूळ काढण्यासाठी, तुम्हाला मूलगामी अभिव्यक्तीचे लॉगरिथम n ने विभाजित करणे आवश्यक आहे. गणितातील अशा कठीण समस्येचे निराकरण केल्याने विज्ञानातील नेपियरची उद्दिष्टे स्पष्टपणे दिसून आली. त्याच्या "Rhabdology" पुस्तकाच्या सुरुवातीला त्याने याबद्दल कसे लिहिले ते येथे आहे:

मी नेहमी माझ्या सामर्थ्याने आणि क्षमतेनुसार लोकांना गणिताच्या अडचणी आणि कंटाळवाण्यांपासून मुक्त करण्याचा प्रयत्न केला आहे, ज्याची कंटाळवाणेपणा सहसा अनेकांना गणिताचा अभ्यास करण्यापासून परावृत्त करते.

लॉगरिथमचे नाव नेपियरने स्वतः सुचवले होते; ते ग्रीक शब्द एकत्र करून प्राप्त केले गेले होते, जे एकत्र केले जाते तेव्हा त्याचा अर्थ "गुणोत्तरांची संख्या" असा होतो.

लॉगरिदमचा आधार स्पीडेलने सादर केला होता. यूलरने ते शक्तींच्या सिद्धांतातून घेतले आणि लॉगरिदमच्या सिद्धांताकडे हस्तांतरित केले. लॉगरिदमची संकल्पना 19व्या शतकात कॉप्पेमुळे प्रसिद्ध झाली. आणि नैसर्गिक आणि दशांश लॉगरिदमचा वापर, तसेच त्यांचे संकेतन, कॉचीला धन्यवाद दिसू लागले.

1614 मध्ये, जॉन नेपियरने लॅटिनमध्ये एक निबंध प्रकाशित केला, "लॉगरिथमच्या आश्चर्यकारक सारणीचे वर्णन." लॉगरिदम, नियम आणि त्यांचे गुणधर्म यांचे संक्षिप्त वर्णन होते. अचूक विज्ञानामध्ये "लोगॅरिथम" हा शब्द अशा प्रकारे स्थापित झाला.

लॉगरिथम ऑपरेशन आणि त्याचा पहिला उल्लेख वॉलिस आणि जोहान बर्नौली यांच्यामुळे दिसून आला आणि शेवटी 18 व्या शतकात यूलरने त्याची स्थापना केली.

y = logax या फॉर्मचे लॉगरिदमिक फंक्शन कॉम्प्लेक्स डोमेनमध्ये वाढवणे ही यूलरची योग्यता आहे. 18 व्या शतकाच्या पूर्वार्धात, त्यांचे "इन्ट्रोडक्शन टू द ॲनालिसिस ऑफ इन्फिनाइट्स" हे पुस्तक प्रकाशित झाले, ज्यामध्ये घातांक आणि लॉगरिदमिक फंक्शन्सच्या आधुनिक व्याख्या आहेत.

लॉगरिदमिक कार्य

y = logax फॉर्मचे कार्य (केवळ अर्थ प्राप्त होतो जर: a > 0, a ≠ 1).

• लॉगॅरिथमिक फंक्शन सर्व सकारात्मक संख्यांच्या संचाद्वारे परिभाषित केले जाते, कारण एंट्री लॉगॅक्स केवळ अटी - x > 0; अंतर्गत अस्तित्वात आहे.
• हे फंक्शन सेट R (वास्तविक संख्या) मधून पूर्णपणे सर्व मूल्ये घेऊ शकते. प्रत्येक वास्तविक संख्या b मध्ये धनात्मक x असल्याने, समानता logax = b समाधानी आहे, म्हणजेच, या समीकरणाचे मूळ आहे - x = ab (लोगाब = b या वस्तुस्थितीचे अनुसरण करते).
• अंतराल a>0 वर फंक्शन वाढते आणि 0 अंतराल कमी होते. जर a>0 असेल, तर फंक्शन x>1 साठी सकारात्मक मूल्ये घेते.

हे लक्षात ठेवले पाहिजे की लॉगरिदमिक फंक्शन y = logax च्या कोणत्याही आलेखामध्ये एक स्थिर बिंदू (1; 0) असतो, कारण loga 1 = 0. हे खालील आलेखाच्या चित्रात स्पष्टपणे दृश्यमान आहे.

जसे आपण प्रतिमांमध्ये पाहतो, फंक्शनमध्ये समता किंवा विषमता नाही, कमाल किंवा किमान मूल्ये नाहीत आणि वर किंवा खाली मर्यादित नाहीत.

लॉगरिदमिक फंक्शन y = logаx आणि घातांक फंक्शन y = aх, जेथे (а>0, а≠1), परस्पर व्यस्त आहेत. हे त्यांच्या आलेखांच्या प्रतिमेमध्ये पाहिले जाऊ शकते.

लॉगरिदमसह समस्या सोडवणे

सामान्यतः, लॉगरिदम असलेल्या समस्येचे निराकरण त्यांना मानक स्वरूपात रूपांतरित करण्यावर आधारित असते किंवा लॉगरिदम चिन्हाखाली अभिव्यक्ती सुलभ करण्याच्या उद्देशाने असते. किंवा सामान्य नैसर्गिक संख्यांना आवश्यक बेससह लॉगरिदममध्ये रूपांतरित करणे आणि अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी पुढील ऑपरेशन्स करणे योग्य आहे.

काही सूक्ष्मता आहेत ज्या विसरल्या जाऊ नयेत:

• असमानता सोडवताना जेव्हा दोन्ही बाजू समान आधार असलेल्या नियमानुसार लॉगरिदमच्या खाली असतात, तेव्हा लॉगरिदमचे चिन्ह "फेकून" देण्याची घाई करू नका. लॉगरिदमिक फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटी अंतरांबद्दल जागरूक रहा. आधार 1 पेक्षा जास्त असल्यास (फंक्शन वाढत असताना), असमानता चिन्ह अपरिवर्तित राहील, परंतु जेव्हा आधार 0 पेक्षा जास्त आणि 1 पेक्षा कमी असेल (फंक्शन कमी होत असेल तेव्हा) असमानता चिन्ह उलट बदलेल;
• लॉगॅरिथमच्या व्याख्या विसरू नका: logax = b, a>0, a≠1 आणि x>0, जेणेकरून स्वीकार्य मूल्यांच्या बेहिशेबी श्रेणीमुळे मुळे गमावू नयेत. परवानगीयोग्य मूल्य श्रेणी (VA) जवळजवळ सर्व जटिल कार्यांसाठी अस्तित्वात आहे.

या क्षुल्लक, परंतु मोठ्या प्रमाणात चुका आहेत ज्या अनेकांना कार्यासाठी योग्य उत्तर शोधण्याच्या मार्गावर आल्या आहेत. लॉगरिदम सोडवण्यासाठी इतके नियम नाहीत, म्हणून हा विषय इतरांपेक्षा आणि त्यानंतरच्या विषयांपेक्षा सोपा आहे, परंतु तो चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासारखा आहे.

निष्कर्ष

हा विषय पहिल्या दृष्टीक्षेपात क्लिष्ट आणि गुंतागुंतीचा वाटू शकतो, परंतु जसजसा तुम्ही त्याचा सखोल आणि सखोल अभ्यास कराल, तसतसे तुम्हाला समजू लागेल की हा विषय फक्त संपतो आणि कोणत्याही गोष्टीमुळे कोणतीही अडचण येत नाही. आम्ही लॉगरिदम विषयाशी संबंधित सर्व गुणधर्म, नियम आणि त्रुटी देखील कव्हर केल्या आहेत. तुमच्या अभ्यासात शुभेच्छा!