त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ निर्धारित करण्यासाठी, आपण भिन्न सूत्रे वापरू शकता. सर्व पद्धतींपैकी, सर्वात सोपा आणि बहुतेकदा वापरल्या जाणार्‍या पद्धती म्हणजे पायाच्या लांबीने उंचीचा गुणाकार करणे, त्यानंतर निकालाचे दोन भाग करणे. तथापि, ही पद्धत केवळ एकापासून दूर आहे. खाली तुम्ही वेगवेगळ्या सूत्रांचा वापर करून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे ते वाचू शकता.

स्वतंत्रपणे, आम्ही विशिष्ट प्रकारच्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजण्याच्या पद्धतींचा विचार करू - आयताकृती, समद्विभुज आणि समभुज. आम्ही प्रत्येक सूत्रासोबत लहान स्पष्टीकरण देतो जे तुम्हाला त्याचे सार समजण्यास मदत करेल.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे सार्वत्रिक मार्ग

खालील सूत्रे विशेष नोटेशन वापरतात. आम्ही त्या प्रत्येकाचा उलगडा करू:

• a, b, c या आकृतीच्या तीन बाजूंच्या लांबी आहेत ज्याचा आपण विचार करत आहोत;
• r ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे जी आपल्या त्रिकोणामध्ये कोरली जाऊ शकते;
• R ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे ज्याचे त्याच्याभोवती वर्णन केले जाऊ शकते;
• α - b आणि c बाजूंनी तयार केलेल्या कोनाचे मूल्य;
• β हा a आणि c मधला कोन आहे;
• γ - a आणि b बाजूंनी तयार केलेल्या कोनाचे मूल्य;
• h ही आपल्या त्रिकोणाची उंची आहे, कोन α पासून बाजू a पर्यंत कमी केली आहे;
• p ही बाजूंच्या a, b आणि c च्या बेरीजच्या अर्धी आहे.

आपण अशा प्रकारे त्रिकोणाचे क्षेत्र का शोधू शकता हे तार्किकदृष्ट्या स्पष्ट आहे. त्रिकोण सहजपणे समांतरभुज चौकोनात पूर्ण होतो, ज्यामध्ये त्रिकोणाची एक बाजू कर्ण म्हणून काम करेल. समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ त्‍याच्‍या एका बाजूच्‍या लांबीला त्‍याकडे काढलेल्या उंचीच्‍या मूल्याने गुणाकारल्‍याने सापडते. कर्ण या सशर्त समांतरभुज चौकोनाला 2 समान त्रिकोणांमध्ये विभाजित करतो. त्यामुळे आपल्या मूळ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ या सहायक समांतरभुज चौकोनाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके असावे हे अगदी उघड आहे.

S=½ a b sin γ

या सूत्रानुसार, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या दोन बाजूंच्या लांबीचा, म्हणजे a आणि b, त्यांच्या तयार होणाऱ्या कोनाच्या साइनने गुणाकार करून शोधले जाते. हे सूत्र तार्किकदृष्ट्या मागील सूत्रापासून घेतले आहे. जर आपण कोन β पासून बाजू b पर्यंत उंची कमी केली, तर काटकोन त्रिकोणाच्या गुणधर्मांनुसार, बाजू a ची लांबी कोन γ ने गुणाकार केल्यावर, आपल्याला त्रिकोणाची उंची मिळते, म्हणजे h.

विचाराधीन आकृतीचे क्षेत्र वर्तुळाच्या अर्ध्या त्रिज्याचा गुणाकार करून आढळते, जे त्यात कोरले जाऊ शकते, त्याच्या परिमितीने. दुस-या शब्दात सांगायचे तर, अर्धपरिमितीचा गुणाकार आणि उल्लेख केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या सापडते.

S= a b c/4R

या सूत्रानुसार, आकृतीच्या बाजूंच्या गुणाकाराला तिच्याभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या 4 त्रिज्याने भागून आपल्याला आवश्यक असलेले मूल्य मिळू शकते.

ही सूत्रे सार्वत्रिक आहेत, कारण ते कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ (स्केलीन, समद्विभुज, समभुज, काटकोन) निर्धारित करणे शक्य करतात. हे अधिक जटिल गणनांच्या मदतीने केले जाऊ शकते, ज्यावर आम्ही तपशीलवार विचार करणार नाही.

विशिष्ट गुणधर्मांसह त्रिकोणाचे क्षेत्र

काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? या आकृतीचे वैशिष्ट्य म्हणजे त्याच्या दोन बाजू एकाच वेळी त्याची उंची आहेत. जर a आणि b पाय असतील आणि c कर्ण बनले तर क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे आढळेल:

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? याला दोन बाजू आहेत ज्याची लांबी अ आणि एक बाजू ब आहे. म्हणून, त्याचे क्षेत्रफळ कोन γ च्या साइनने बाजू a च्या वर्गाच्या गुणाकाराला 2 ने भागून निर्धारित केले जाऊ शकते.

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? त्यामध्ये, सर्व बाजूंची लांबी a आहे आणि सर्व कोनांचे मूल्य α आहे. तिची उंची 3 च्या वर्गमूळाच्या बाजूच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या निम्मी आहे. नियमित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला 3 च्या वर्गमूळाने गुणाकार केलेला आणि 4 ने भागलेला बाजूचा वर्ग आवश्यक आहे.

त्रिकोण ही एक प्रसिद्ध आकृती आहे. आणि हे, त्याच्या फॉर्मच्या समृद्ध विविधता असूनही. आयताकृती, समभुज, तीव्र, समद्विभुज, स्थूल. त्यातील प्रत्येकजण काहीसा वेगळा आहे. परंतु कोणत्याही गोष्टीसाठी त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ माहित असणे आवश्यक आहे.

सर्व त्रिकोणांसाठी सामान्य सूत्रे जी बाजूंची लांबी किंवा उंची वापरतात

त्यांच्यामध्ये दत्तक पदनाम: बाजू - a, b, c; a, n in, n s वर संबंधित बाजूंच्या उंची.

1. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ ½ च्या गुणाकारानुसार मोजले जाते, बाजू आणि त्यावरील उंची कमी केली जाते. S = ½ * a * n a. त्याचप्रमाणे इतर दोन बाजूंसाठी सूत्रे लिहावीत.

2. हेरॉनचे सूत्र, ज्यामध्ये अर्ध-परिमिती दिसते (संपूर्ण परिमितीच्या विरूद्ध, लहान अक्षर p सह दर्शविण्याची प्रथा आहे). अर्ध-परिमितीची गणना खालीलप्रमाणे केली जाणे आवश्यक आहे: सर्व बाजू जोडा आणि त्यांना 2 ने विभाजित करा. अर्ध-परिमितीसाठी सूत्र: p \u003d (a + b + c) / 2. नंतर ‍ च्या क्षेत्रफळाची समानता आकृती यासारखी दिसते: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. जर तुम्हाला अर्ध-परिमिती वापरायची नसेल, तर असे सूत्र उपयोगी पडेल, ज्यामध्ये फक्त बाजूंच्या लांबी आहेत: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). हे मागीलपेक्षा काहीसे लांब आहे, परंतु आपण अर्ध-परिमिती कसे शोधायचे हे विसरल्यास ते मदत करेल.

सामान्य सूत्रे ज्यामध्ये त्रिकोणाचे कोन दिसतात

सूत्रे वाचण्यासाठी आवश्यक असलेली नोटेशन: α, β, γ - कोन. ते अनुक्रमे a, b, c या विरुद्ध बाजूंनी असतात.

1. त्यानुसार, दोन बाजूंचा अर्धा गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाचा साइन त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाएवढा असतो. म्हणजे: S = ½ a * b * sin γ. इतर दोन प्रकरणांची सूत्रे सारखीच लिहावीत.

2. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ एका बाजूने आणि तीन ज्ञात कोनांवरून काढता येते. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. एक ज्ञात बाजू आणि त्याला लागून दोन कोन असलेले सूत्र देखील आहे. हे असे दिसते: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

शेवटची दोन सूत्रे सर्वात सोपी नाहीत. ते लक्षात ठेवणे खूप कठीण आहे.

अंकित किंवा परिक्रमा केलेल्या वर्तुळांची त्रिज्या ज्ञात असताना परिस्थितीसाठी सामान्य सूत्रे

अतिरिक्त पदनाम: r, R — radii. प्रथम अंकित वर्तुळाच्या त्रिज्यासाठी वापरला जातो. दुसरे वर्णन केलेल्यासाठी आहे.

1. प्रथम सूत्र ज्याद्वारे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजले जाते ते अर्ध-परिमितीशी संबंधित आहे. S = r * r. दुसर्‍या प्रकारे, ते खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. दुसऱ्या प्रकरणात, तुम्हाला त्रिकोणाच्या सर्व बाजूंचा गुणाकार करावा लागेल आणि त्यांना परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या चौपट त्रिज्याने विभाजित करावे लागेल. शाब्दिक भाषेत, हे असे दिसते: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. तिसरी परिस्थिती आपल्याला बाजू जाणून घेतल्याशिवाय करू देते, परंतु आपल्याला तिन्ही कोनांची मूल्ये आवश्यक आहेत. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

विशेष केस: काटकोन त्रिकोण

ही सर्वात सोपी परिस्थिती आहे, कारण फक्त दोन्ही पायांची लांबी आवश्यक आहे. ते लॅटिन अक्षरे a आणि b द्वारे दर्शविले जातात. काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्यात जोडलेल्या आयताच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके असते.

गणितीयदृष्ट्या, हे असे दिसते: S = ½ a * b. ती लक्षात ठेवण्यास सर्वात सोपी आहे. कारण ते आयताच्या क्षेत्रफळाच्या सूत्रासारखे दिसते, फक्त एक अपूर्णांक दिसतो, अर्धा दर्शवितो.

विशेष केस: समद्विभुज त्रिकोण

त्याच्या दोन बाजू समान असल्याने, त्याच्या क्षेत्रासाठी काही सूत्रे थोडीशी सरलीकृत दिसतात. उदाहरणार्थ, हेरॉनचे सूत्र, जे समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजते, खालील फॉर्म घेते:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

जर तुम्ही ते बदलले तर ते लहान होईल. या प्रकरणात, समद्विभुज त्रिकोणासाठी हेरॉनचे सूत्र खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

बाजू आणि त्यांच्यामधील कोन माहीत असल्यास क्षेत्र सूत्र अनियंत्रित त्रिकोणापेक्षा काहीसे सोपे दिसते. S \u003d ½ a 2 * sin β.

विशेष केस: समभुज त्रिकोण

सहसा, त्याच्याबद्दलच्या समस्यांमध्ये, बाजू ज्ञात असते किंवा कशी तरी ओळखली जाऊ शकते. मग अशा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

S = (a 2 √3) / 4.

तपासलेल्या कागदावर त्रिकोणाचे चित्रण केले असल्यास क्षेत्र शोधण्याची कार्ये

सर्वात सोपी परिस्थिती म्हणजे जेव्हा काटकोन त्रिकोण काढला जातो जेणेकरून त्याचे पाय कागदाच्या ओळींशी जुळतात. मग आपल्याला फक्त पायांमध्ये बसणार्या पेशींची संख्या मोजण्याची आवश्यकता आहे. नंतर त्यांचा गुणाकार करा आणि दोनने भागा.

जेव्हा त्रिकोण तीव्र किंवा स्थूल असतो, तेव्हा तो आयताकडे काढला पाहिजे. मग परिणामी आकृतीमध्ये 3 त्रिकोण असतील. टास्कमध्ये दिलेला एक आहे. आणि इतर दोन सहायक आणि आयताकृती आहेत. वर वर्णन केलेल्या पद्धतीनुसार शेवटच्या दोन क्षेत्रांचे निर्धारण करणे आवश्यक आहे. नंतर आयताचे क्षेत्रफळ काढा आणि त्यामधून सहाय्यकांसाठी मोजलेले वजा करा. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ निश्चित केले जाते.

ज्यामध्ये त्रिकोणाची कोणतीही बाजू कागदाच्या रेषांशी जुळत नाही ती परिस्थिती अधिक कठीण आहे. मग ते आयतामध्ये कोरले गेले पाहिजे जेणेकरून मूळ आकृतीचे शिरोबिंदू त्याच्या बाजूला असतील. या प्रकरणात, तीन सहायक काटकोन त्रिकोण असतील.

हेरॉनच्या सूत्रावरील समस्येचे उदाहरण

परिस्थिती. काही त्रिकोणाला बाजू असतात. ते 3, 5 आणि 6 सेमी इतके आहेत. तुम्हाला त्याचे क्षेत्र माहित असणे आवश्यक आहे.

आता तुम्ही वरील सूत्र वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढू शकता. वर्गमूळ अंतर्गत चार संख्यांचा गुणाकार आहे: 7, 4, 2 आणि 1. म्हणजेच क्षेत्रफळ √ (4 * 14) = 2 √ (14) आहे.

जर तुम्हाला अधिक अचूकतेची गरज नसेल, तर तुम्ही 14 चे वर्गमूळ घेऊ शकता. ते 3.74 आहे. मग क्षेत्रफळ 7.48 इतके असेल.

उत्तर द्या. S \u003d 2 √14 सेमी 2 किंवा 7.48 सेमी 2.

काटकोन त्रिकोणाच्या समस्येचे उदाहरण

परिस्थिती. काटकोन त्रिकोणाचा एक पाय दुसऱ्यापेक्षा 31 सेमी लांब असतो. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 180 सेमी 2 असल्यास त्यांची लांबी शोधणे आवश्यक आहे.
उपाय. तुम्हाला दोन समीकरणांची प्रणाली सोडवावी लागेल. प्रथम क्षेत्राशी संबंधित आहे. दुसरा पायांच्या गुणोत्तरासह आहे, जो समस्येमध्ये दिलेला आहे.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
प्रथम, "a" चे मूल्य पहिल्या समीकरणामध्ये बदलले पाहिजे. हे दिसून येते: 180 \u003d ½ (+ 31 मध्ये) * मध्ये. त्यात फक्त एक अज्ञात प्रमाण आहे, त्यामुळे ते सोडवणे सोपे आहे. कंस उघडल्यानंतर, एक चतुर्भुज समीकरण प्राप्त होते: 2 + 31 मध्ये - 360 \u003d 0. ते "इन" साठी दोन मूल्ये देते: 9 आणि - 40. दुसरी संख्या उत्तर म्हणून योग्य नाही. , कारण त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी हे ऋण मूल्य असू शकत नाही.

दुसऱ्या टप्प्याची गणना करणे बाकी आहे: परिणामी संख्येमध्ये 31 जोडा. ते 40 निघते. या समस्येमध्ये शोधलेले प्रमाण आहेत.

उत्तर द्या. त्रिकोणाचे पाय 9 आणि 40 सेमी आहेत.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ, बाजू आणि कोन यांच्याद्वारे बाजू शोधण्याचे कार्य

परिस्थिती. काही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 60 सेमी 2 आहे. जर दुसरी बाजू 15 सेमी असेल आणि त्यांच्यामधील कोन 30º असेल तर त्याच्या एका बाजूची गणना करणे आवश्यक आहे.

उपाय. स्वीकृत पदनामांवर आधारित, इच्छित बाजू "a" आहे, ज्ञात "b", दिलेला कोन "γ" आहे. मग क्षेत्र सूत्र खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिता येईल:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. येथे 30 अंशांची साइन 0.5 आहे.

परिवर्तनानंतर, "a" 60 / (0.5 * 0.5 * 15) च्या बरोबरीचे होते. म्हणजे 16.

उत्तर द्या. इच्छित बाजू 16 सें.मी.

काटकोन त्रिकोणात कोरलेल्या चौरसाची समस्या

परिस्थिती. 24 सेमी बाजू असलेल्या चौरसाचा शिरोबिंदू त्रिकोणाच्या काटकोनाशी एकरूप होतो. बाकीचे दोघे पायांवर पडलेले. तिसरा कर्णाचा आहे. एका पायाची लांबी 42 सेमी आहे. काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किती आहे?

उपाय. दोन काटकोन त्रिकोणांचा विचार करा. प्रथम एक कार्य मध्ये निर्दिष्ट आहे. दुसरा मूळ त्रिकोणाच्या ज्ञात पायावर आधारित आहे. ते समान आहेत कारण त्यांच्याकडे एक समान कोन आहे आणि ते समांतर रेषांनी बनलेले आहेत.

मग त्यांच्या पायांचे गुणोत्तर समान आहेत. लहान त्रिकोणाचे पाय 24 सेमी (चौकाची बाजू) आणि 18 सेमी आहेत (चौकोनी बाजूची बाजू 42 सेमी वजा 24 सेमी दिली आहे). मोठ्या त्रिकोणाचे संबंधित पाय 42 सेमी आणि x सेमी आहेत. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी हे "x" आवश्यक आहे.

18/42 \u003d 24 / x, म्हणजेच x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (सेमी).

नंतर क्षेत्रफळ 56 आणि 42 च्या गुणाकाराच्या समान आहे, दोनने भागले, म्हणजे 1176 सेमी 2.

उत्तर द्या. इच्छित क्षेत्रफळ 1176 सेमी 2 आहे.

त्रिकोण हा सर्वात सामान्य भौमितिक आकारांपैकी एक आहे, जो आपण प्राथमिक शाळेत आधीच परिचित आहोत. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे हा प्रश्न भूमितीच्या धड्यांमध्ये प्रत्येक विद्यार्थ्याला पडतो. तर, दिलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची कोणती वैशिष्ट्ये ओळखली जाऊ शकतात? या लेखात, आम्ही असे कार्य पूर्ण करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या मूलभूत सूत्रांचा विचार करू, तसेच त्रिकोणांच्या प्रकारांचे विश्लेषण करू.

त्रिकोणाचे प्रकार

आपण त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ पूर्णपणे भिन्न प्रकारे शोधू शकता, कारण भूमितीमध्ये तीन कोन असलेली एकापेक्षा जास्त आकृती असते. या प्रकारांमध्ये हे समाविष्ट आहे:

• ओबडधोबड
• समभुज (बरोबर).
• काटकोन त्रिकोण.
• समद्विभुज.

विद्यमान त्रिकोणाच्या प्रत्येक प्रकारावर बारकाईने नजर टाकूया.

भौमितिक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी अशी भौमितिक आकृती सर्वात सामान्य मानली जाते. जेव्हा अनियंत्रित त्रिकोण काढणे आवश्यक होते, तेव्हा हा पर्याय बचावासाठी येतो.

तीव्र त्रिकोणामध्ये, नावाप्रमाणेच, सर्व कोन तीव्र असतात आणि 180° पर्यंत जोडतात.

असा त्रिकोण देखील खूप सामान्य आहे, परंतु तीव्र-कोन असलेल्यापेक्षा काहीसा कमी सामान्य आहे. उदाहरणार्थ, त्रिकोण सोडवताना (म्हणजेच, तुम्हाला त्याच्या अनेक बाजू आणि कोन माहित आहेत आणि तुम्हाला उर्वरित घटक शोधण्याची आवश्यकता आहे), कधीकधी तुम्हाला कोन अस्पष्ट आहे की नाही हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे. कोसाइन ही ऋण संख्या आहे.

एका कोनाचे मूल्य 90° पेक्षा जास्त आहे, म्हणून उर्वरित दोन कोन लहान मूल्ये घेऊ शकतात (उदाहरणार्थ, 15° किंवा अगदी 3°).

या प्रकारच्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, आपल्याला काही बारकावे माहित असणे आवश्यक आहे, ज्याबद्दल आपण पुढे बोलू.

नियमित आणि समद्विभुज त्रिकोण

नियमित बहुभुज ही एक आकृती आहे ज्यामध्ये n कोन असतात, ज्यामध्ये सर्व बाजू आणि कोन समान असतात. हा काटकोन त्रिकोण आहे. त्रिकोणाच्या सर्व कोनांची बेरीज 180° असल्याने, तीनपैकी प्रत्येक कोन 60° आहे.

काटकोन त्रिकोणाला, त्याच्या गुणधर्मामुळे, समभुज आकृती देखील म्हणतात.

हे देखील लक्षात घेण्यासारखे आहे की नियमित त्रिकोणामध्ये फक्त एक वर्तुळ कोरले जाऊ शकते आणि त्याच्याभोवती फक्त एक वर्तुळ परिक्रमा करता येते आणि त्यांची केंद्रे एका बिंदूवर असतात.

समभुज प्रकाराव्यतिरिक्त, कोणी समद्विभुज त्रिकोण देखील ओळखू शकतो, जो त्याच्यापेक्षा थोडा वेगळा आहे. अशा त्रिकोणामध्ये दोन बाजू आणि दोन कोन एकमेकांना समान असतात आणि तिसरी बाजू (ज्याला समान कोन जोडतात) हा आधार असतो.

आकृती समद्विभुज त्रिकोण DEF दाखवते, ज्याचे कोन D आणि F समान आहेत आणि DF हा पाया आहे.

काटकोन त्रिकोण

काटकोन त्रिकोणाला असे नाव देण्यात आले आहे कारण त्याचा एक कोन काटकोन आहे, म्हणजे ९०°. इतर दोन कोन 90° पर्यंत जोडतात.

अशा त्रिकोणाची सर्वात मोठी बाजू, जी 90° च्या कोनासमोर असते, ती कर्ण असते, तर त्याच्या इतर दोन बाजू पाय असतात. या प्रकारच्या त्रिकोणांसाठी, पायथागोरियन प्रमेय लागू आहे:

पायांच्या लांबीच्या वर्गांची बेरीज कर्णाच्या लांबीच्या चौरसाइतकी असते.

आकृती कर्ण AC आणि पाय AB आणि BC सह काटकोन त्रिकोण BAC दाखवते.

काटकोन असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला त्याच्या पायांची संख्यात्मक मूल्ये माहित असणे आवश्यक आहे.

दिलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्रांकडे वळू.

क्षेत्र शोधण्यासाठी मूलभूत सूत्रे

भूमितीमध्ये, दोन सूत्रे ओळखली जाऊ शकतात जी बहुतेक प्रकारच्या त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी योग्य आहेत, म्हणजे तीव्र-कोन, स्थूल-कोन, नियमित आणि समद्विभुज त्रिकोण. चला त्या प्रत्येकाचे विश्लेषण करूया.

बाजूने आणि उंचीने

आम्ही विचार करत असलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी हे सूत्र सार्वत्रिक आहे. हे करण्यासाठी, बाजूची लांबी आणि त्यावर काढलेल्या उंचीची लांबी जाणून घेणे पुरेसे आहे. सूत्र स्वतः (बेस आणि उंचीचे अर्धे उत्पादन) खालीलप्रमाणे आहे:

जेथे A ही दिलेल्या त्रिकोणाची बाजू आहे आणि H ही त्रिकोणाची उंची आहे.

उदाहरणार्थ, तीव्र-कोन त्रिकोण ACB चे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला त्याची बाजू AB ची उंची CD ने गुणाकार करावी लागेल आणि परिणामी मूल्य दोनने विभाजित करावे लागेल.

तथापि, अशा प्रकारे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधणे नेहमीच सोपे नसते. उदाहरणार्थ, स्थूल-कोन त्रिकोणासाठी हे सूत्र वापरण्यासाठी, तुम्हाला त्याची एक बाजू पुढे चालू ठेवावी लागेल आणि त्यानंतरच त्याची उंची काढावी लागेल.

सराव मध्ये, हे सूत्र इतरांपेक्षा अधिक वेळा वापरले जाते.

दोन बाजू आणि एक कोपरा

हे सूत्र, मागील प्रमाणेच, बहुतेक त्रिकोणांसाठी योग्य आहे आणि त्याचा अर्थ त्रिकोणाच्या बाजूने क्षेत्रफळ आणि उंची शोधण्याच्या सूत्राचा परिणाम आहे. म्हणजेच, विचाराधीन सूत्र मागील एकावरून सहज काढता येईल. त्याचे शब्दरचना असे दिसते:

S = ½*sinO*A*B,

जेथे A आणि B त्रिकोणाच्या बाजू आहेत आणि O हा A आणि B बाजूंमधील कोन आहे.

स्मरण करा की उत्कृष्ट सोव्हिएत गणितज्ञ व्ही.एम. ब्रॅडिस यांच्या नावावर असलेल्या एका विशेष टेबलमध्ये कोनाची साइन पाहिली जाऊ शकते.

आणि आता फक्त अपवादात्मक प्रकारच्या त्रिकोणांसाठी योग्य असलेल्या इतर सूत्रांकडे वळूया.

काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

सार्वत्रिक सूत्राव्यतिरिक्त, ज्यामध्ये त्रिकोणामध्ये उंची काढण्याची आवश्यकता समाविष्ट आहे, काटकोन असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या पायांमधून आढळू शकते.

तर, काटकोन असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या पायांच्या उत्पादनाच्या अर्धे असते, किंवा:

जेथे a आणि b हे काटकोन त्रिकोणाचे पाय आहेत.

काटकोन त्रिकोण

या प्रकारच्या भौमितिक आकृत्यांमध्ये फरक आहे की त्याचे क्षेत्रफळ त्याच्या केवळ एका बाजूच्या निर्दिष्ट मूल्यासह आढळू शकते (नियमित त्रिकोणाच्या सर्व बाजू समान असल्याने). म्हणून, "ज्या बाजू समान असतात तेव्हा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा" या कार्याची पूर्तता केल्यावर, आपल्याला खालील सूत्र वापरण्याची आवश्यकता आहे:

S = A 2 *√3 / 4,

जेथे A ही समभुज त्रिकोणाची बाजू आहे.

हेरॉनचे सूत्र

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा शेवटचा पर्याय म्हणजे हेरॉनचे सूत्र. ते वापरण्यासाठी, आपल्याला आकृतीच्या तीन बाजूंची लांबी माहित असणे आवश्यक आहे. हेरॉनचे सूत्र असे दिसते:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

जेथे a, b आणि c या दिलेल्या त्रिकोणाच्या बाजू आहेत.

कधीकधी कार्य दिले जाते: "नियमित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूची लांबी शोधणे आहे." या प्रकरणात, आपल्याला नेहमीच्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी आणि त्यापासून बाजूचे (किंवा त्याचा चौरस) मूल्य मिळविण्यासाठी आपल्याला आधीच ज्ञात असलेले सूत्र वापरावे लागेल:

A 2 \u003d 4S / √3.

परीक्षा समस्या

गणितातील GIA च्या कार्यांमध्ये अनेक सूत्रे आहेत. याव्यतिरिक्त, बर्याचदा चेकर्ड पेपरवर त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधणे आवश्यक असते.

या प्रकरणात, आकृतीच्या एका बाजूने उंची काढणे, पेशींद्वारे त्याची लांबी निर्धारित करणे आणि क्षेत्र शोधण्यासाठी सार्वत्रिक सूत्र वापरणे सर्वात सोयीचे आहे:

म्हणून, लेखात सादर केलेल्या सूत्रांचा अभ्यास केल्यानंतर, आपल्याला कोणत्याही प्रकारच्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यात समस्या येणार नाहीत.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ - सूत्रे आणि समस्या सोडवण्याची उदाहरणे

खाली आहेत अनियंत्रित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्रेजे कोणत्याही त्रिकोणाचे गुणधर्म, कोन किंवा परिमाण विचारात न घेता त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी योग्य आहेत. सूत्रे चित्राच्या स्वरूपात सादर केली गेली आहेत, त्यांच्या अचूकतेच्या अर्जासाठी किंवा समर्थनासाठी येथे स्पष्टीकरण आहेत. तसेच, वेगळ्या आकृतीमध्ये, सूत्रांमधील अक्षर चिन्हे आणि रेखाचित्रातील ग्राफिक चिन्हे यांचा पत्रव्यवहार दर्शविला आहे.

नोंद . त्रिकोणामध्ये विशेष गुणधर्म असल्यास (समद्विभुज, आयताकृती, समभुज), आपण खालील सूत्रे वापरू शकता, तसेच विशेष सूत्रे देखील वापरू शकता जी केवळ या गुणधर्मांसह त्रिकोणांसाठी सत्य आहेत:

• "समभुज त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे"

त्रिकोण क्षेत्र सूत्रे

सूत्रांचे स्पष्टीकरण:
a, b, c- त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी ज्याचे क्षेत्र आपल्याला शोधायचे आहे
आर- त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या
आर- त्रिकोणाभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या
h- त्रिकोणाची उंची, बाजूला कमी
p- त्रिकोणाचा अर्धपरिमिती, त्याच्या बाजूंची बेरीज 1/2 (परिमिती)
α - त्रिकोणाची a विरुद्ध बाजू असलेला कोन
β - त्रिकोणाची b विरुद्ध बाजू असलेला कोन
γ - त्रिकोणाची c विरुद्ध बाजूचा कोन
h a, h b , h c- त्रिकोणाची उंची, a, b, c कडे कमी केली आहे

कृपया लक्षात घ्या की दिलेली नोटेशन वरील आकृतीशी संबंधित आहे, जेणेकरून भूमितीमधील वास्तविक समस्या सोडवताना, सूत्रातील योग्य ठिकाणी योग्य मूल्ये दृष्यदृष्ट्या बदलणे आपल्यासाठी सोपे होईल.

• त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे त्रिकोणाच्या उंचीचा अर्धा गुणाकार आणि ज्या बाजूने ही उंची कमी केली आहे त्या बाजूची लांबी(सूत्र 1). या सूत्राची शुद्धता तार्किकदृष्ट्या समजू शकते. पायापर्यंत कमी केलेली उंची एका अनियंत्रित त्रिकोणाला दोन आयताकृतींमध्ये विभाजित करेल. जर आपण त्या प्रत्येकाला b आणि h या परिमाणांसह आयतामध्ये पूर्ण केले तर, स्पष्टपणे, या त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ आयताच्या क्षेत्रफळाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके असेल (Spr = bh)
• त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे त्याच्या दोन बाजूंचा अर्धा गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाचा साइन(सूत्र 2) (खालील हे सूत्र वापरून समस्या सोडवण्याचे उदाहरण पहा). हे मागीलपेक्षा वेगळे दिसत असूनही, ते सहजपणे त्यात बदलले जाऊ शकते. जर आपण कोन B पासून बाजू b पर्यंत उंची कमी केली तर असे दिसून येते की बाजू a चे गुणाकार आणि कोनाचे साइन γ, काटकोन त्रिकोणातील साइनच्या गुणधर्मांनुसार, काढलेल्या त्रिकोणाच्या उंचीइतके आहे. us, जे आम्हाला मागील सूत्र देईल
• अनियंत्रित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आढळू शकते माध्यमातून कामवर्तुळाची अर्धी त्रिज्या तिच्या सर्व बाजूंच्या लांबीच्या बेरजेने कोरलेली आहे(सूत्र 3), दुसऱ्या शब्दांत, आपल्याला कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याने त्रिकोणाचा अर्धा परिमिती गुणाकार करणे आवश्यक आहे (या प्रकारे लक्षात ठेवणे सोपे आहे)
• अनियंत्रित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या भोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या 4 त्रिज्याने त्याच्या सर्व बाजूंच्या गुणाकाराने विभाजित करून शोधले जाऊ शकते (सूत्र 4)
• फॉर्म्युला 5 त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूंच्या लांबी आणि अर्ध-परिमिती (त्याच्या सर्व बाजूंची अर्धी बेरीज) शोधत आहे.
• हेरॉनचे सूत्र(6) अर्धपरिमिती संकल्पना न वापरता, केवळ बाजूंच्या लांबीद्वारे समान सूत्राचे प्रतिनिधित्व आहे
• अनियंत्रित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्रिकोणाच्या बाजूच्या चौकोनाच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचे असते आणि या बाजूस लागून असलेल्या कोनांच्या साइन्सला या बाजूच्या विरुद्ध असलेल्या कोनाच्या दुहेरी साइनने भागले जाते (सूत्र 7)
• एका अनियंत्रित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्याभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या दोन चौरसांचे गुणाकार आणि त्याच्या प्रत्येक कोनाच्या साइन्सच्या रूपात आढळू शकते. (सूत्र ८)
• जर एका बाजूची लांबी आणि त्याला लागून असलेल्या दोन कोनांची विशालता माहीत असेल, तर त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ या बाजूचे चौरस म्हणून आढळू शकते, ज्याला याच्या कोटंजंट्सच्या दुहेरी बेरीजने भागले जाते. कोन (सूत्र 9)
• जर त्रिकोणाच्या प्रत्येक उंचीची फक्त लांबी माहित असेल (सूत्र 10), तर अशा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ या उंचीच्या लांबीच्या व्यस्त प्रमाणात असते, जसे हेरॉनच्या सूत्रानुसार
• फॉर्म्युला 11 तुम्हाला गणना करण्याची परवानगी देतो त्रिकोणाचे क्षेत्र त्याच्या शिरोबिंदूंच्या निर्देशांकानुसार, जी प्रत्येक शिरोबिंदूसाठी (x;y) मूल्ये म्हणून दिली आहेत. कृपया लक्षात घ्या की परिणामी मूल्य मॉड्यूलो घेतले पाहिजे कारण वैयक्तिक (किंवा अगदी सर्व) शिरोबिंदूंचे निर्देशांक नकारात्मक मूल्यांच्या क्षेत्रामध्ये असू शकतात.

नोंद. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी भूमितीमधील समस्या सोडवण्याची उदाहरणे खालीलप्रमाणे आहेत. जर तुम्हाला भूमितीमधील समस्या सोडवायची असेल, ज्याप्रमाणे येथे नाही - त्याबद्दल फोरममध्ये लिहा. सोल्यूशन्समध्ये, "स्क्वेअर रूट" चिन्हाऐवजी sqrt() फंक्शन वापरले जाऊ शकते, ज्यामध्ये sqrt हे वर्गमूळ चिन्ह आहे आणि मूलगामी अभिव्यक्ती कंसात दर्शविली जाते..काहीवेळा चिन्ह साध्या मूलगामी अभिव्यक्तीसाठी वापरले जाऊ शकते √

एक कार्य. दोन बाजू दिलेले क्षेत्रफळ आणि त्यांच्यामधील कोन शोधा

त्रिकोणाच्या बाजू 5 आणि 6 सेमी आहेत. त्यांच्यामधील कोन 60 अंश आहे. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा.

उपाय.

या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही धड्याच्या सैद्धांतिक भागातून सूत्र क्रमांक दोन वापरतो.
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ दोन बाजूंच्या लांबी आणि त्यांच्यामधील कोनाच्या साइनमधून शोधले जाऊ शकते आणि ते समान असेल
S=1/2 ab sin γ

आमच्याकडे सोल्यूशनसाठी सर्व आवश्यक डेटा असल्याने (सूत्रानुसार), आम्ही केवळ समस्येच्या स्थितीपासून सूत्रामध्ये मूल्ये बदलू शकतो:
S=1/2*5*6*sin60

त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या मूल्यांच्या सारणीमध्ये, आपण 60 अंश साइनचे मूल्य शोधतो आणि अभिव्यक्तीमध्ये बदलतो. ते तीन बाय दोनच्या मुळासारखे असेल.
S = 15 √3 / 2

उत्तर द्या: 7.5 √3 (शिक्षकांच्या आवश्यकतेनुसार, 15 √3/2 सोडणे शक्य आहे)

एक कार्य. समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा

3 सेमी बाजू असलेल्या समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा.

उपाय .

हेरॉनचे सूत्र वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधता येते:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

\u003d b \u003d c असल्याने, समभुज त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र हे फॉर्म घेईल:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

उत्तर द्या: 9 √3 / 4.

एक कार्य. बाजूंची लांबी बदलताना क्षेत्रामध्ये बदल करा

भुजा चौपट केल्यास त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किती पटीने वाढेल?

उपाय.

त्रिकोणाच्या बाजूंची परिमाणे आपल्याला माहित नसल्यामुळे, समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आपण असे गृहीत धरू की बाजूंच्या लांबी अनुक्रमे a, b, c या अनियंत्रित संख्यांच्या समान आहेत. मग, समस्येच्या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, आपल्याला या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ सापडते आणि नंतर आपल्याला त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ सापडते ज्याच्या बाजू चार पटीने मोठ्या आहेत. या त्रिकोणांच्या क्षेत्रांचे गुणोत्तर आपल्याला समस्येचे उत्तर देईल.

पुढे, आम्ही चरणांमध्ये समस्येच्या निराकरणाचे मजकूर स्पष्टीकरण देतो. तथापि, अगदी शेवटी, तेच समाधान ग्राफिकल स्वरूपात सादर केले आहे जे आकलनासाठी अधिक सोयीचे आहे. ज्यांना इच्छा आहे ते त्वरित उपाय सोडू शकतात.

सोडवण्यासाठी, आम्ही हेरॉन फॉर्म्युला वापरतो (वर धड्याच्या सैद्धांतिक भागात पहा). हे असे दिसते:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(खालील चित्राची पहिली ओळ पहा)

अनियंत्रित त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी a, b, c या चलांद्वारे दिली जाते.
जर बाजू 4 पटीने वाढवल्या तर नवीन त्रिकोण c चे क्षेत्रफळ असेल:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(खालील चित्रातील दुसरी ओळ पहा)

जसे तुम्ही बघू शकता, 4 हा एक सामान्य घटक आहे जो गणिताच्या सामान्य नियमांनुसार सर्व चार अभिव्यक्तींमधून कंस केला जाऊ शकतो.
मग

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - चित्राच्या तिसऱ्या ओळीवर
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - चौथी ओळ

256 क्रमांकावरून, वर्गमूळ उत्तम प्रकारे काढले आहे, म्हणून आपण ते मुळाखालून काढू.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(खालील आकृतीची पाचवी ओळ पहा)

समस्येमध्ये विचारलेल्या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, परिणामी त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मूळ त्रिकोणाच्या क्षेत्राद्वारे विभाजित करणे पुरेसे आहे.
अभिव्यक्तींना एकमेकांमध्ये विभाजित करून आणि परिणामी अपूर्णांक कमी करून आम्ही क्षेत्र गुणोत्तर निर्धारित करतो.