शेवटच्या व्हिडिओ ट्युटोरियलमध्ये, आम्ही शिकलो की विशिष्ट बेसची डिग्री ही एक अभिव्यक्ती आहे जी बेस आणि स्वतःचे उत्पादन आहे, घातांकाच्या बरोबरीने घेतलेली आहे. आता आपण काही महत्त्वाच्या गुणधर्मांचा आणि शक्तींच्या क्रियांचा अभ्यास करूया.

उदाहरणार्थ, एकाच बेससह दोन भिन्न शक्तींचा गुणाकार करूया:

चला या भागावर संपूर्णपणे एक नजर टाकूया:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

या अभिव्यक्तीच्या मूल्याची गणना केल्यावर, आपल्याला 32 ही संख्या मिळेल. दुसरीकडे, त्याच उदाहरणावरून पाहिल्याप्रमाणे, 32 हे समान आधार (दोन) चे गुणाकार म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, 5 वेळा घेतले. आणि खरंच, जर तुम्ही मोजले तर:

अशा प्रकारे, सुरक्षितपणे असा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो की:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

हा नियम कोणत्याही निर्देशकांसाठी आणि कोणत्याही कारणांसाठी यशस्वीरित्या कार्य करतो. पदवीच्या गुणाकाराचा हा गुणधर्म उत्पादनातील परिवर्तनादरम्यान अभिव्यक्तींच्या अर्थाचे संरक्षण करण्याच्या नियमानुसार होतो. कोणत्याही बेस a साठी, दोन अभिव्यक्ती (a) x आणि (a) y चे गुणाकार a (x + y) च्या समान आहे. दुसर्‍या शब्दात, समान बेससह कोणतीही अभिव्यक्ती तयार करताना, अंतिम मोनोमिअलमध्ये पहिल्या आणि द्वितीय अभिव्यक्तीची डिग्री जोडून एकूण पदवी तयार होते.

अनेक अभिव्यक्ती गुणाकार करताना सादर केलेला नियम देखील उत्कृष्ट कार्य करतो. मुख्य अट अशी आहे की सर्वांसाठी आधार समान असावेत. उदाहरणार्थ:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

अंश जोडणे अशक्य आहे आणि अभिव्यक्तीच्या दोन घटकांसह कोणतीही शक्ती संयुक्त क्रिया करणे अशक्य आहे, जर त्यांचे तळ वेगळे असतील.
आमच्या व्हिडिओमध्ये दाखवल्याप्रमाणे, गुणाकार आणि भागाकार प्रक्रियेच्या समानतेमुळे, उत्पादनादरम्यान शक्ती जोडण्याचे नियम पूर्णपणे भागाकार प्रक्रियेमध्ये हस्तांतरित केले जातात. या उदाहरणाचा विचार करा:

चला अभिव्यक्तीचे टर्म-दर-टर्म रूपांतर पूर्ण फॉर्ममध्ये करू आणि लाभांश आणि भागाकार मधील समान घटक कमी करू:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

या उदाहरणाचा अंतिम परिणाम इतका मनोरंजक नाही, कारण त्याच्या निराकरणाच्या प्रक्रियेतच हे स्पष्ट आहे की अभिव्यक्तीचे मूल्य दोनच्या वर्गाइतके आहे. आणि हे ड्यूस आहे जे पहिल्याच्या अंशातून दुसऱ्या अभिव्यक्तीची डिग्री वजा करून मिळते.

भागांकाची डिग्री निश्चित करण्यासाठी, लाभांशाच्या अंशातून विभाजकाची डिग्री वजा करणे आवश्यक आहे. नियम त्याच्या सर्व मूल्यांसाठी आणि सर्व नैसर्गिक शक्तींसाठी समान आधारावर कार्य करतो. अमूर्त स्वरूपात, आमच्याकडे आहे:

(a) x / (a) y = (a) x - y

शून्य अंशाची व्याख्या शक्तींसह समान आधारांना विभाजित करण्याच्या नियमानुसार येते. अर्थात, खालील अभिव्यक्ती आहे:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

दुसरीकडे, जर आपण अधिक दृश्यमान पद्धतीने विभागले तर आपल्याला मिळते:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

अपूर्णांकातील सर्व दृश्यमान घटक कमी करताना, 1/1 ही अभिव्यक्ती नेहमी प्राप्त होते, म्हणजेच एक. म्हणून, हे सामान्यतः स्वीकारले जाते की शून्य पॉवरपर्यंत वाढवलेला कोणताही आधार एक समान असतो:

ए चे मूल्य कितीही असो.

तथापि, जर 0 (जे अजूनही कोणत्याही गुणाकारासाठी 0 देते) एकाच्या समान असेल तर ते मूर्खपणाचे होईल, म्हणून (0) 0 (शून्य ते शून्य अंश) सारख्या अभिव्यक्तीला अर्थ नाही आणि सूत्र (a) 0 = 1 एक अट जोडा: "जर a 0 च्या बरोबर नसेल".

चला व्यायाम करूया. चला अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधूया:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

पाया सर्वत्र समान असल्याने आणि 34 च्या बरोबरीचे असल्याने, अंतिम मूल्य पदवीसह समान आधार असेल (वरील नियमांनुसार):

दुसऱ्या शब्दात:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

उत्तर: अभिव्यक्ती एक समान आहे.

विषयावरील धडा: "समान आणि भिन्न घातांकांसह शक्तींचा गुणाकार आणि भागाकार करण्याचे नियम. उदाहरणे"

अतिरिक्त साहित्य
प्रिय वापरकर्ते, आपल्या टिप्पण्या, प्रतिक्रिया, सूचना द्यायला विसरू नका. सर्व सामग्री अँटीव्हायरस प्रोग्रामद्वारे तपासली जाते.

इयत्ता 7 साठी ऑनलाइन स्टोअर "इंटग्रल" मध्ये शिकवण्याचे साधन आणि सिम्युलेटर
पाठ्यपुस्तकासाठी मॅन्युअल Yu.N. पाठ्यपुस्तकासाठी मकर्यचेवा मॅन्युअल ए.जी. मोर्डकोविच

धड्याचा उद्देश: संख्येच्या शक्तीसह ऑपरेशन्स कसे करायचे ते शिका.

सुरुवातीला, "संख्येची शक्ती" ही संकल्पना आठवूया. $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ सारखी अभिव्यक्ती $a^n$ म्हणून दर्शविली जाऊ शकते.

उलट देखील सत्य आहे: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

या समानतेला "उत्पादन म्हणून पदवी रेकॉर्ड करणे" असे म्हणतात. शक्तींचा गुणाकार आणि भागाकार कसा करायचा हे ठरविण्यात आम्हाला मदत होईल.
लक्षात ठेवा:
a- पदवीचा आधार.
n- घातांक.
जर ए n=1, म्हणजे संख्या aएकदा आणि अनुक्रमे घेतले: $a^n= 1$.
जर ए n=0, नंतर $a^0= 1$.

असे का घडते, जेव्हा आपण शक्तींचा गुणाकार आणि भागाकार करण्याच्या नियमांशी परिचित होतो तेव्हा आपण शोधू शकतो.

गुणाकार नियम

उदाहरण.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

मोठ्या शक्तीवर संख्या वाढवताना काम सुलभ करण्यासाठी ही मालमत्ता वापरण्यास सोयीस्कर आहे.
उदाहरण.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) जर शक्तींचा गुणाकार वेगळ्या पायाने केला असेल, परंतु समान घातांक.
$a^n * b^n$ वर, आम्ही उत्पादन म्हणून पॉवर्स लिहितो: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
जर आपण घटकांची अदलाबदल केली आणि परिणामी जोड्या मोजल्या, तर आपल्याला मिळेल: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

तर $a^n * b^n = (a * b)^n$.

उदाहरण.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

विभागणी नियम

तर, ते आवश्यक आहे $\frac(a^n)(a^m)$, कुठे n>m.

आम्ही अंश म्हणून अंश लिहितो:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

आता अपूर्णांक कमी करू.

हे निष्पन्न झाले: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
म्हणजे, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

हा गुणधर्म शून्याच्या पॉवरवर संख्या वाढवून परिस्थिती स्पष्ट करण्यात मदत करेल. असे गृहीत धरू n=m, नंतर $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

उदाहरणे.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) पदवीचे आधार भिन्न आहेत, निर्देशक समान आहेत.
समजा तुम्हाला $\frac(a^n)( b^n)$ ची गरज आहे. आम्ही संख्यांची शक्ती अपूर्णांक म्हणून लिहितो:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

उदाहरण.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

शक्तींची बेरीज आणि वजाबाकी

साहजिकच, इतर प्रमाणांप्रमाणे शक्ती असलेल्या संख्या जोडल्या जाऊ शकतात , त्यांना त्यांच्या चिन्हांसह एक एक करून जोडून.

तर, a 3 आणि b 2 ची बेरीज a 3 + b 2 आहे.
a 3 - b n आणि h 5 -d 4 ची बेरीज a 3 - b n + h 5 - d 4 आहे.

शक्यता समान व्हेरिएबल्सच्या समान शक्तीजोडले किंवा वजा केले जाऊ शकते.

तर, 2a 2 आणि 3a 2 ची बेरीज 5a 2 आहे.

हे देखील स्पष्ट आहे की जर आपण दोन वर्ग अ, किंवा तीन वर्ग अ, किंवा पाच वर्ग अ.

पण पदव्या विविध चलआणि विविध अंश समान चल, त्यांना त्यांच्या चिन्हांमध्ये जोडून जोडणे आवश्यक आहे.

तर, a 2 आणि a 3 ची बेरीज ही 2 + a 3 ची बेरीज आहे.

हे स्पष्ट आहे की a चा वर्ग आणि a चा घन, a च्या वर्गाच्या दुप्पट नाही तर a च्या घनाच्या दुप्पट आहे.

a 3 b n आणि 3a 5 b 6 ची बेरीज 3 b n + 3a 5 b 6 आहे.

वजाबाकीसामर्थ्य जोडण्याप्रमाणेच चालते, त्याशिवाय सबट्राहेंडची चिन्हे त्यानुसार बदलली पाहिजेत.

किंवा:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 ता 2 ब 6 - 4 ता 2 ब 6 \u003d -ता 2 ब 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

शक्ती गुणाकार

शक्ती असलेल्या संख्यांचा गुणाकार इतर राशींप्रमाणे एकामागून एक लिहून, त्यांच्यामधील गुणाकार चिन्हासह किंवा त्याशिवाय केला जाऊ शकतो.

तर, एक 3 ने b 2 ने गुणाकार केल्यास 3 b 2 किंवा aaabb आहे.

किंवा:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

शेवटच्या उदाहरणातील परिणाम समान व्हेरिएबल्स जोडून ऑर्डर केले जाऊ शकतात.
अभिव्यक्ती फॉर्म घेईल: a 5 b 5 y 3 .

अनेक संख्यांची (व्हेरिएबल्स) शक्तींशी तुलना करून, आपण पाहू शकतो की त्यांपैकी कोणत्याही दोनचा गुणाकार केला तर त्याचा परिणाम एक संख्या (व्हेरिएबल) आहे ज्याची शक्ती समान आहे. बेरीजअटींचे अंश.

तर, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

येथे 5 ही गुणाकाराच्या परिणामाची घात आहे, 2 + 3 च्या बरोबरीची, संज्ञांच्या शक्तींची बेरीज.

तर, a n .a m = a m+n .

n साठी, n ची शक्ती जितक्या वेळा आहे तितक्या वेळा a हा घटक म्हणून घेतला जातो;

आणि a m , हा घटक जितक्या वेळा m च्या बरोबरीचा आहे तितक्या वेळा घेतला जातो;

म्हणून, घातांक जोडून समान पाया असलेल्या शक्तींचा गुणाकार केला जाऊ शकतो.

तर, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . आणि x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

किंवा:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

गुणाकार करा (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
उत्तर: x 4 - y 4.
गुणाकार करा (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

हा नियम ज्या संख्यांचे घातांक − आहेत त्यांच्यासाठी देखील खरे आहे नकारात्मक.

1. तर, a -2 .a -3 = a -5 . हे (1/aa) असे लिहिले जाऊ शकते.(1/aaa) = 1/aaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b चा a - b ने गुणाकार केल्यास, परिणाम 2 - b 2 असेल: म्हणजे

दोन संख्यांची बेरीज किंवा फरक यांच्या गुणाकाराचा परिणाम त्यांच्या वर्गांच्या बेरीज किंवा फरकाइतका असतो.

जर दोन संख्यांची बेरीज आणि फरक वाढवला तर चौरस, परिणाम या संख्यांच्या बेरजेच्या किंवा फरकाच्या समान असेल चौथापदवी

तर, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

अधिकारांचे विभाजन

विभाजकातून वजा करून किंवा अपूर्णांकाच्या स्वरूपात ठेवून पॉवर संख्यांना इतर संख्यांप्रमाणे विभागता येते.

तर 3 b 2 ला b 2 ने भागले तर 3 आहे.

5 ला 3 ने भागून लिहिल्यास $\frac असे दिसते $. पण हे 2 च्या बरोबरीचे आहे. संख्यांच्या मालिकेत
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
कोणतीही संख्या दुसर्‍याने भागली जाऊ शकते आणि घातांक समान असेल फरकविभाज्य संख्यांचे निर्देशक.

समान पायासह शक्तींचे विभाजन करताना, त्यांचे घातांक वजा केले जातात..

तर, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . म्हणजे, $\frac = y$.

आणि n+1:a = a n+1-1 = a n . म्हणजे, $\frac = a^n$.

किंवा:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

सह संख्यांसाठी देखील नियम वैध आहे नकारात्मकपदवी मूल्ये.
a -5 ला -3 ने भागल्यास परिणाम a -2 आहे.
तसेच, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 किंवा $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

शक्तींचा गुणाकार आणि भागाकार उत्तम प्रकारे पार पाडणे आवश्यक आहे, कारण अशा ऑपरेशन्स बीजगणितामध्ये मोठ्या प्रमाणात वापरल्या जातात.

शक्तींसह संख्या असलेल्या अपूर्णांकांसह उदाहरणे सोडवण्याची उदाहरणे

1. $\frac $ मध्ये घातांक कमी करा उत्तर: $\frac $.

2. $\frac$ मधील घातांक कमी करा. उत्तर: $\frac $ किंवा 2x.

3. a 2 / a 3 आणि a -3 / a -4 घातांक कमी करा आणि सामान्य भाजक आणा.
a 2 .a -4 हा -2 पहिला अंश आहे.
a 3 .a -3 हा 0 = 1 आहे, दुसरा अंश.
a 3 .a -4 हा -1 आहे, सामान्य अंश आहे.
सरलीकरणानंतर: a -2 /a -1 आणि 1/a -1 .

4. 2a 4/5a 3 आणि 2 /a 4 घातांक कमी करा आणि सामान्य भाजक आणा.
उत्तर: 2a 3 / 5a 7 आणि 5a 5 / 5a 7 किंवा 2a 3 / 5a 2 आणि 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ला (a - b)/3 ने गुणा.

6. (a 5 + 1)/x 2 ला (b 2 - 1)/(x + a) ने गुणा.

7. b 4 /a -2 ला h -3 /x आणि a n /y -3 ने गुणा.

8. 4 /y 3 ला 3 /y 2 ने विभाजित करा. उत्तर: a/y.

पदवी गुणधर्म

आम्ही तुम्हाला आठवण करून देतो की या धड्यात आम्ही समजतो पदवी गुणधर्मनैसर्गिक निर्देशक आणि शून्य सह. तर्कसंगत निर्देशकांसह पदवी आणि त्यांचे गुणधर्म इयत्ता 8 च्या धड्यांमध्ये चर्चिले जातील.

नैसर्गिक घातांकासह घातांकामध्ये अनेक महत्त्वाचे गुणधर्म असतात जे तुम्हाला घातांक उदाहरणांमध्ये गणना सुलभ करण्यास अनुमती देतात.

मालमत्ता #1
शक्तीचे उत्पादन

समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करताना, आधार अपरिवर्तित राहतो आणि घातांक जोडले जातात.

a m a n \u003d a m + n, जेथे "a" ही कोणतीही संख्या आहे आणि "m", "n" ही कोणतीही नैसर्गिक संख्या आहे.

शक्तींचा हा गुणधर्म तीन किंवा अधिक शक्तींच्या उत्पादनावर देखील परिणाम करतो.

• अभिव्यक्ती सुलभ करा.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• पदवी म्हणून सादर करा.
  ६ १५ ३६ = ६ १५ ६ २ = ६ १५ ६ २ = ६ १७
• पदवी म्हणून सादर करा.
  (०.८) ३ (०.८) १२ = (०.८) ३ + १२ = (०.८) १५

कृपया लक्षात घ्या की दर्शविलेल्या मालमत्तेमध्ये ते फक्त समान पाया असलेल्या शक्तींचा गुणाकार करण्याबद्दल होते.. ते त्यांच्या जोडण्याला लागू होत नाही.

तुम्ही बेरीज (3 3 + 3 2) 3 5 ने बदलू शकत नाही. हे समजण्यासारखे आहे जर
गणना करा (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 आणि 3 5 = 243

मालमत्ता # 2
खाजगी पदव्या

समान बेससह शक्तींचे विभाजन करताना, आधार अपरिवर्तित राहतो आणि विभाजकाचा घातांक लाभांशाच्या घातांकातून वजा केला जातो.

• भागफल शक्ती म्हणून लिहा
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• गणना करा.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
उदाहरण. समीकरण सोडवा. आम्ही आंशिक अंशांची मालमत्ता वापरतो.
3 8: t = 3 4

उत्तर: t = 3 4 = 81

गुणधर्म क्रमांक 1 आणि क्रमांक 2 वापरून, आपण सहजपणे अभिव्यक्ती सुलभ करू शकता आणि गणना करू शकता.

उदाहरण. अभिव्यक्ती सुलभ करा.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m −3 = 4 2m + 5

उदाहरण. पदवी गुणधर्म वापरून अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

कृपया लक्षात घ्या की मालमत्ता 2 फक्त समान आधारांसह अधिकारांच्या विभाजनाशी संबंधित आहे.

तुम्ही फरक (4 3 −4 2) 4 1 ने बदलू शकत नाही. जर तुम्ही (4 3 −4 2) = (64 −16) = 48, आणि 4 1 = 4 मोजले तर हे समजण्यासारखे आहे.

मालमत्ता #3
घातांक

पॉवरला पॉवर वाढवताना, पॉवरचा बेस अपरिवर्तित राहतो आणि घातांकांचा गुणाकार केला जातो.

(a n) m \u003d a n m, जेथे "a" ही कोणतीही संख्या आहे आणि "m", "n" ही कोणतीही नैसर्गिक संख्या आहे.

आम्‍ही तुम्‍हाला आठवण करून देतो की भागाला अपूर्णांक म्‍हणून दर्शविले जाऊ शकते. म्हणून, आम्ही पुढील पृष्ठावर अधिक तपशीलाने एका शक्तीमध्ये अंश वाढवण्याच्या विषयावर विचार करू.

शक्तींचा गुणाकार कसा करायचा

शक्तींचा गुणाकार कसा करायचा? कोणत्या शक्तींचा गुणाकार केला जाऊ शकतो आणि कोणत्या करू शकत नाही? तुम्ही एका संख्येचा घात कसा कराल?

बीजगणितामध्ये, आपण दोन प्रकरणांमध्ये शक्तीचे गुणन शोधू शकता:

1) जर अंशांचा आधार समान असेल;

2) जर अंशांमध्ये समान निर्देशक असतील.

समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करताना, आधार समान राहिला पाहिजे आणि घातांक जोडले जाणे आवश्यक आहे:

समान निर्देशकांसह अंश गुणाकार करताना, एकूण निर्देशक कंसातून बाहेर काढले जाऊ शकतात:

विशिष्ट उदाहरणांसह, शक्तींचा गुणाकार कसा करायचा याचा विचार करा.

घातांकातील एकक लिहिलेले नाही, परंतु अंशांचा गुणाकार करताना ते विचारात घेतात:

गुणाकार करताना, अंशांची संख्या कोणतीही असू शकते. हे लक्षात ठेवले पाहिजे की आपण अक्षरापूर्वी गुणाकार चिन्ह लिहू शकत नाही:

अभिव्यक्तींमध्ये, घातांक प्रथम केले जाते.

जर तुम्हाला एखाद्या संख्येचा बळाने गुणाकार करायचा असेल, तर तुम्ही प्रथम घातांक करणे आवश्यक आहे आणि त्यानंतरच - गुणाकार:

समान पायासह शक्तींचा गुणाकार

हे व्हिडिओ ट्यूटोरियल सबस्क्रिप्शनद्वारे उपलब्ध आहे

तुमच्याकडे आधीपासूनच सदस्यता आहे का? आत येणे

या धड्यात आपण एकाच बेसने शक्तींचा गुणाकार कसा करायचा ते शिकू. प्रथम, आपण पदवीची व्याख्या आठवू आणि समानतेच्या वैधतेवर एक प्रमेय तयार करू. . मग आम्ही विशिष्ट संख्येवर त्याच्या अर्जाची उदाहरणे देतो आणि ते सिद्ध करतो. आम्ही विविध समस्या सोडवण्यासाठी प्रमेय देखील लागू करू.

विषय: नैसर्गिक निर्देशक आणि त्याच्या गुणधर्मांसह पदवी

धडा: समान आधारांसह शक्तींचा गुणाकार (सूत्र)

1. मूलभूत व्याख्या

मूलभूत व्याख्या:

n- घातांक,

— n-संख्येची वी पॉवर.

2. प्रमेयाचे विधान 1

प्रमेय १.कोणत्याही संख्येसाठी aआणि कोणत्याही नैसर्गिक nआणि kसमानता सत्य आहे:

दुसऱ्या शब्दांत: जर a- कोणतीही संख्या; nआणि kनैसर्गिक संख्या, नंतर:

म्हणून नियम 1:

3. कार्ये स्पष्ट करणे

निष्कर्ष:विशेष प्रकरणांनी प्रमेय क्रमांक 1 च्या शुद्धतेची पुष्टी केली. चला सामान्य प्रकरणात, म्हणजे कोणत्याहीसाठी ते सिद्ध करूया aआणि कोणत्याही नैसर्गिक nआणि k

4. प्रमेय 1 चा पुरावा

नंबर दिला a- कोणतेही; संख्या nआणि k-नैसर्गिक. सिद्ध करा:

पुरावा पदवीच्या व्याख्येवर आधारित आहे.

5. प्रमेय 1 वापरून उदाहरणांचे निराकरण

उदाहरण १:पदवी म्हणून सादर करा.

खालील उदाहरणे सोडवण्यासाठी, आम्ही प्रमेय 1 वापरतो.

आणि)

6. प्रमेय 1 चे सामान्यीकरण

येथे एक सामान्यीकरण आहे:

7. प्रमेय 1 चे सामान्यीकरण वापरून उदाहरणांचे निराकरण

8. प्रमेय 1 वापरून विविध समस्या सोडवणे

उदाहरण २:गणना करा (आपण मूलभूत अंशांची सारणी वापरू शकता).

अ) (टेबल नुसार)

ब)

उदाहरण ३:बेस 2 सह शक्ती म्हणून लिहा.

अ)

उदाहरण ४:संख्येचे चिन्ह निश्चित करा:

, a -ऋण कारण -13 वरील घातांक विषम आहे.

उदाहरण ५:( ) ला बेससह पॉवरने बदला आर:

आमच्याकडे आहे .

9. सारांश

1. डोरोफीव जी.व्ही., सुवेरोवा एस.बी., बुनिमोविच ई.ए. et al. बीजगणित 7. 6 वी आवृत्ती. एम.: ज्ञान. 2010

1. शाळा सहाय्यक (स्रोत).

1. पदवी म्हणून व्यक्त करा:

अ बी सी डी ई)

3. बेस 2 सह शक्ती म्हणून लिहा:

4. संख्येचे चिन्ह निश्चित करा:

अ)

5. ( ) एका संख्येच्या पॉवरने बेससह बदला आर:

अ) आर ४ ( ) = आर १५ ; b) ( ) r 5 = r 6

समान घातांकांसह शक्तींचा गुणाकार आणि भागाकार

या पाठात, आपण समान घातांकांसह शक्तींच्या गुणाकाराचा अभ्यास करू. प्रथम, समान क्षारांसह शक्तींचा गुणाकार आणि भागाकार करणे आणि शक्तीची शक्ती वाढवणे याबद्दल मूलभूत व्याख्या आणि प्रमेय आठवूया. मग आपण समान घातांकांसह शक्तींच्या गुणाकार आणि भागाकारावर प्रमेये तयार करतो आणि सिद्ध करतो. आणि मग त्यांच्या मदतीने आम्ही अनेक वैशिष्ट्यपूर्ण समस्या सोडवू.

मूलभूत व्याख्या आणि प्रमेयांचे स्मरण

येथे a- पदवीचा आधार

— n-संख्येची वी पॉवर.

प्रमेय १.कोणत्याही संख्येसाठी aआणि कोणत्याही नैसर्गिक nआणि kसमानता सत्य आहे:

समान पायासह शक्तींचा गुणाकार करताना, घातांक जोडले जातात, आधार अपरिवर्तित राहतो.

प्रमेय 2.कोणत्याही संख्येसाठी aआणि कोणत्याही नैसर्गिक nआणि k,असे की n > kसमानता सत्य आहे:

समान पायासह शक्तींचे विभाजन करताना, घातांक वजा केले जातात आणि आधार अपरिवर्तित राहतो.

प्रमेय 3.कोणत्याही संख्येसाठी aआणि कोणत्याही नैसर्गिक nआणि kसमानता सत्य आहे:

वरील सर्व प्रमेये समान शक्तींबद्दल होती मैदान, हा धडा सारख्याच अंशांचा विचार करेल निर्देशक.

समान घातांकांसह शक्तींचा गुणाकार करण्याची उदाहरणे

खालील उदाहरणे विचारात घ्या:

पदवी निश्चित करण्यासाठी अभिव्यक्ती लिहू.

निष्कर्ष:उदाहरणांवरून तुम्ही ते पाहू शकता , परंतु हे अद्याप सिद्ध करणे आवश्यक आहे. आम्ही प्रमेय तयार करतो आणि सामान्य प्रकरणात ते सिद्ध करतो, म्हणजे कोणत्याहीसाठी aआणि bआणि कोणत्याही नैसर्गिक n

प्रमेय 4 चे विधान आणि पुरावा

कोणत्याही संख्येसाठी aआणि bआणि कोणत्याही नैसर्गिक nसमानता सत्य आहे:

पुरावाप्रमेय ४ .

पदवीच्या व्याख्येनुसार:

त्यामुळे आम्ही ते सिद्ध केले आहे .

समान घातांकासह शक्तींचा गुणाकार करण्यासाठी, पाया गुणाकार करणे आणि घातांक अपरिवर्तित सोडणे पुरेसे आहे.

प्रमेय 5 चे विधान आणि पुरावा

समान घातांकांसह शक्ती विभाजित करण्यासाठी आम्ही एक प्रमेय तयार करतो.

कोणत्याही संख्येसाठी aआणि b() आणि कोणत्याही नैसर्गिक nसमानता सत्य आहे:

पुरावाप्रमेय 5 .

चला खाली आणि पदवीच्या व्याख्येनुसार लिहू:

शब्दांमध्ये प्रमेयांचे विधान

त्यामुळे आम्ही ते सिद्ध केले आहे.

समान घातांकांसह अंश एकमेकांमध्ये विभाजित करण्यासाठी, एका पायाला दुसर्‍याने विभाजित करणे आणि घातांक अपरिवर्तित सोडणे पुरेसे आहे.

प्रमेय 4 वापरून विशिष्ट समस्यांचे निराकरण

उदाहरण १:शक्तीचे उत्पादन म्हणून व्यक्त करा.

खालील उदाहरणे सोडवण्यासाठी, आम्ही प्रमेय 4 वापरतो.

खालील उदाहरण सोडवण्यासाठी, सूत्रे आठवा:

प्रमेय 4 चे सामान्यीकरण

प्रमेय 4 चे सामान्यीकरण:

सामान्यीकृत प्रमेय 4 वापरून उदाहरणे सोडवणे

ठराविक समस्या सोडवणे सुरू ठेवले

उदाहरण २:उत्पादनाची पदवी म्हणून लिहा.

उदाहरण ३: 2 च्या घातांकासह घात म्हणून लिहा.

गणना उदाहरणे

उदाहरण ४:सर्वात तर्कशुद्ध पद्धतीने गणना करा.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. बीजगणित 7. M.: VENTANA-GRAF

3. कोल्यागिन यु.एम., ताकाचेवा एम.व्ही., फेडोरोवा एन.ई. आणि इतर. बीजगणित 7 .एम.: शिक्षण. 2006

2. शाळा सहाय्यक (स्रोत).

1. शक्तीचे उत्पादन म्हणून सादर करा:

अ) ; ब); मध्ये); जी);

2. उत्पादनाची डिग्री म्हणून लिहा:

3. 2 च्या निर्देशकासह पदवीच्या स्वरूपात लिहा:

4. सर्वात तर्कशुद्ध पद्धतीने गणना करा.

"शक्‍तींचा गुणाकार आणि विभाजन" या विषयावरील गणिताचा धडा

विभाग:गणित

शैक्षणिक ध्येय:

कार्ये:

सिद्धांताच्या क्रियाकलाप युनिट्स:नैसर्गिक निर्देशकासह पदवीचे निर्धारण; पदवी घटक; खाजगी व्याख्या; गुणाकाराचा सहयोगी कायदा.

I. विद्यार्थ्यांद्वारे विद्यमान ज्ञानावर प्रभुत्व मिळवण्याच्या प्रात्यक्षिकाचे आयोजन. (1 ली पायरी)

अ) ज्ञान अपडेट करणे:

2) नैसर्गिक निर्देशकासह पदवीची व्याख्या तयार करा.

a n \u003d a a a a ... a (n वेळा)

b k \u003d b b b b a ... b (k वेळा) तुमच्या उत्तराचे समर्थन करा.

II. संबंधित अनुभवाच्या पदवीनुसार प्रशिक्षणार्थीचे स्व-मूल्यांकन करण्याची संस्था. (चरण 2)

आत्मपरीक्षणासाठी चाचणी: (दोन आवृत्त्यांमध्ये वैयक्तिक कार्य.)

A1) उत्पादन 7 7 7 7 x x x पॉवर म्हणून व्यक्त करा:

A2) उत्पादन म्हणून अंश (-3) 3 x 2 व्यक्त करा

A3) गणना करा: -2 3 2 + 4 5 3

मी वर्ग स्तराच्या तयारीनुसार परीक्षेतील कार्यांची संख्या निवडतो.

चाचणीसाठी, मी स्व-चाचणीसाठी एक की देतो. निकष: पास-नापास.

III. शैक्षणिक आणि व्यावहारिक कार्य (चरण 3) + चरण 4. (विद्यार्थी स्वतः गुणधर्म तयार करतील)

समस्या सोडवताना 1) आणि 2), विद्यार्थी एक उपाय सुचवतात आणि मी, शिक्षक म्हणून, समान आधारांसह गुणाकार करताना शक्ती सुलभ करण्याचा मार्ग शोधण्यासाठी वर्ग आयोजित करतो.

शिक्षक: समान आधाराने गुणाकार करताना शक्ती सुलभ करण्याचा एक मार्ग शोधा.

क्लस्टरवर एक एंट्री दिसते:

धड्याची थीम तयार केली आहे. शक्तींचा गुणाकार.

शिक्षक: समान आधारांसह अंशांची विभागणी करण्याचा नियम तयार करा.

तर्क: कोणती क्रिया विभागणी तपासते? a 5: a 3 = ? की a 2 a 3 = a 5

मी योजनेकडे परत आलो - एक क्लस्टर आणि एंट्रीला पूरक - .. भागाकार करताना, वजा करा आणि धड्याचा विषय जोडा. ...आणि अंशांची विभागणी.

IV. ज्ञानाच्या मर्यादेच्या विद्यार्थ्यांशी संवाद (किमान आणि जास्तीत जास्त).

शिक्षक: आजच्या धड्यासाठी किमान कार्य म्हणजे गुणाकार आणि भागाकाराचे गुणधर्म समान आधारांसह आणि जास्तीत जास्त: गुणाकार आणि भागाकार एकत्र कसे लागू करायचे हे शिकणे.

फळ्यावर लिही : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. नवीन सामग्रीच्या अभ्यासाची संस्था. (चरण 5)

a) पाठ्यपुस्तकानुसार: क्रमांक 403 (a, c, e) विविध शब्दांसह कार्ये

क्रमांक 404 (a, e, f) स्वतंत्र कार्य, नंतर मी परस्पर तपासणी आयोजित करतो, मी चाव्या देतो.

b) समानता m च्या कोणत्या मूल्यासाठी आहे? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

कार्य: विभाजनासाठी समान उदाहरणे घेऊन या.

क) क्रमांक ४१७(अ), क्रमांक ४१८ (अ) विद्यार्थ्यांसाठी सापळे: x 3 x n \u003d x 3n; ३ ४ ३ २ = ९ ६ ; a 16: a 8 \u003d a 2.

सहावा. जे शिकले आहे त्याचा सारांश देणे, निदान कार्य आयोजित करणे (जे शिक्षकांना नव्हे तर विद्यार्थ्यांना या विषयाचा अभ्यास करण्यास प्रोत्साहित करते) (चरण 6)

निदान कार्य.

चाचणी(चाव्याच्या मागील बाजूस चाव्या ठेवा).

कार्य पर्याय: अंश म्हणून सादर करा x 15: x 3; शक्ती म्हणून उत्पादनाचे प्रतिनिधित्व करा (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; ज्यासाठी m ही समानता a 16 a m = a 32 सत्य आहे; h = 0.2 वर h 0: h 2 या अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा; अभिव्यक्तीच्या मूल्याची गणना करा (5 2 5 0): 5 2 .

धड्याचा सारांश. प्रतिबिंब.मी वर्ग दोन गटात विभागतो.

गट I चे युक्तिवाद शोधा: पदवीच्या गुणधर्मांच्या ज्ञानाच्या बाजूने आणि गट II - युक्तिवाद जे सांगतील की आपण गुणधर्मांशिवाय करू शकता. आम्ही सर्व उत्तरे ऐकतो, निष्कर्ष काढतो. त्यानंतरच्या धड्यांमध्ये, तुम्ही सांख्यिकीय डेटा देऊ शकता आणि रुब्रिकचे नाव देऊ शकता “हे माझ्या डोक्यात बसत नाही!”

VII. गृहपाठ.

इतिहास संदर्भ. कोणत्या संख्यांना फर्मॅट संख्या म्हणतात.

पृ.19. #४०३, #४०८, #४१७

वापरलेली पुस्तके:

अंशांचे गुणधर्म, फॉर्म्युलेशन, पुरावे, उदाहरणे.

संख्येची पदवी निश्चित झाल्यानंतर, याबद्दल बोलणे तर्कसंगत आहे पदवी गुणधर्म. या लेखात, आम्ही सर्व संभाव्य घातांकांना स्पर्श करताना संख्येच्या अंशाचे मूलभूत गुणधर्म देऊ. येथे आम्ही पदवीच्या सर्व गुणधर्मांचे पुरावे देऊ, आणि उदाहरणे सोडवताना हे गुणधर्म कसे लागू केले जातात हे देखील दर्शवू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

नैसर्गिक निर्देशकांसह अंशांचे गुणधर्म

नैसर्गिक घातांकासह पदवीच्या व्याख्येनुसार, n ची पदवी n घटकांचे गुणाकार आहे, ज्यापैकी प्रत्येक एक . या व्याख्येवर आधारित, आणि वापरून वास्तविक संख्या गुणाकार गुणधर्म, आम्ही खालील प्राप्त करू शकतो आणि त्याचे समर्थन करू शकतो नैसर्गिक घातांकासह पदवीचे गुणधर्म:

गणितातील पदवीची संकल्पना बीजगणिताच्या धड्यात 7 व्या इयत्तेपासून सुरू केली जाते. आणि भविष्यात, गणिताचा अभ्यास करताना, ही संकल्पना सक्रियपणे त्याच्या विविध स्वरूपात वापरली जाते. पदवी हा एक कठीण विषय आहे, ज्यासाठी मूल्ये लक्षात ठेवणे आणि योग्यरित्या आणि द्रुतपणे मोजण्याची क्षमता आवश्यक आहे. गणिताच्या पदवीसह जलद आणि चांगल्या कामासाठी, ते पदवीचे गुणधर्म घेऊन आले. ते मोठ्या आकडेमोड कमी करण्यास, एका मोठ्या उदाहरणाचे काही प्रमाणात एका संख्येत रूपांतर करण्यास मदत करतात. तेथे बरेच गुणधर्म नाहीत आणि त्या सर्व लक्षात ठेवणे आणि सराव मध्ये लागू करणे सोपे आहे. म्हणून, लेखात पदवीचे मुख्य गुणधर्म तसेच ते कोठे लागू केले जातात याबद्दल चर्चा केली आहे.

पदवी गुणधर्म

आम्ही समान आधार असलेल्या शक्तींच्या गुणधर्मांसह पदवीच्या 12 गुणधर्मांचा विचार करू आणि प्रत्येक मालमत्तेसाठी एक उदाहरण देऊ. यातील प्रत्येक गुणधर्म तुम्हाला अंशांसह समस्यांचे जलद निराकरण करण्यात मदत करेल, तसेच तुम्हाला असंख्य संगणकीय त्रुटींपासून वाचवेल.

1ली मालमत्ता.

बरेच लोक या मालमत्तेबद्दल खूप वेळा विसरतात, चुका करतात, शून्य अंशापर्यंत शून्य म्हणून संख्या दर्शवतात.

दुसरी मालमत्ता.

3री मालमत्ता.

हे लक्षात ठेवले पाहिजे की हा गुणधर्म केवळ संख्यांचा गुणाकार करताना वापरला जाऊ शकतो, तो बेरीजसह कार्य करत नाही! आणि आपण हे विसरू नये की हे आणि खालील गुणधर्म फक्त समान आधार असलेल्या शक्तींना लागू होतात.

4 था मालमत्ता.

जर भाजकातील संख्या ऋण बळापर्यंत वाढवली असेल, तर वजाबाकी करताना, पुढील गणनेमध्ये चिन्ह योग्यरित्या पुनर्स्थित करण्यासाठी भाजकाची पदवी कंसात घेतली जाते.

मालमत्ता केवळ भागाकार करताना चालते, वजाबाकी करताना नाही!

5 वा मालमत्ता.

6 वा मालमत्ता.

हे गुणधर्म उलट देखील लागू केले जाऊ शकतात. एका संख्येने काही अंशाने भागले जाणारे एकक म्हणजे त्या संख्येला ऋण शक्ती.

7 वा मालमत्ता.

ही मालमत्ता बेरीज आणि फरकासाठी लागू केली जाऊ शकत नाही! एका घाताची बेरीज किंवा फरक वाढवताना, संक्षेप गुणाकार सूत्रे वापरली जातात, पॉवरचे गुणधर्म नाही.

8 वा मालमत्ता.

9 वा मालमत्ता.

हा गुणधर्म एका अंशाच्या बरोबरीच्या अंश असलेल्या कोणत्याही अंशात्मक पदवीसाठी कार्य करतो, सूत्र समान असेल, अंशाच्या भाजकावर अवलंबून फक्त रूटची डिग्री बदलेल.

तसेच, ही मालमत्ता अनेकदा उलट क्रमाने वापरली जाते. एखाद्या संख्येच्या कोणत्याही घाताचे मूळ त्या संख्येच्या बळाने भागून त्या संख्येच्या बळावर दर्शविले जाऊ शकते. हा गुणधर्म अशा प्रकरणांमध्ये अतिशय उपयुक्त आहे जेथे संख्येचे मूळ काढले जात नाही.

10 वी मालमत्ता.

ही मालमत्ता केवळ वर्गमूळ आणि द्वितीय अंशासह कार्य करते. जर मुळाची डिग्री आणि हे मूळ ज्या प्रमाणात वाढले आहे ते समान असेल तर उत्तर मूलगामी अभिव्यक्ती असेल.

11 वा मालमत्ता.

मोठ्या आकडेमोडीपासून स्वत:ला वाचवण्यासाठी तुम्ही ही मालमत्ता वेळेत पाहण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे.

12 वी मालमत्ता.

यापैकी प्रत्येक गुणधर्म आपल्याला कार्यांमध्ये एकापेक्षा जास्त वेळा भेटेल, ते त्याच्या शुद्ध स्वरूपात दिले जाऊ शकते किंवा त्यासाठी काही परिवर्तने आणि इतर सूत्रांचा वापर आवश्यक असू शकतो. म्हणूनच, योग्य निराकरणासाठी, केवळ गुणधर्म जाणून घेणे पुरेसे नाही, आपल्याला उर्वरित गणितीय ज्ञान सराव आणि कनेक्ट करणे आवश्यक आहे.

पदवी आणि त्यांच्या गुणधर्मांचा वापर

ते बीजगणित आणि भूमितीमध्ये सक्रियपणे वापरले जातात. गणितातील पदवींना वेगळे, महत्त्वाचे स्थान आहे. त्यांच्या मदतीने, घातांकीय समीकरणे आणि असमानता सोडवली जातात, तसेच शक्ती अनेकदा गणिताच्या इतर विभागांशी संबंधित समीकरणे आणि उदाहरणे क्लिष्ट करतात. घातांक मोठी आणि लांब गणना टाळण्यास मदत करतात, घातांक कमी करणे आणि गणना करणे सोपे आहे. परंतु मोठ्या शक्तींसह किंवा मोठ्या संख्येच्या सामर्थ्यांसह कार्य करण्यासाठी, आपल्याला केवळ पदवीचे गुणधर्म माहित असणे आवश्यक आहे, परंतु बेससह सक्षमपणे कार्य करणे देखील आवश्यक आहे, आपले कार्य सुलभ करण्यासाठी त्यांचे विघटन करण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे. सोयीसाठी, तुम्हाला पॉवरमध्ये वाढवलेल्या संख्यांचा अर्थ देखील माहित असावा. हे दीर्घ आकडेमोड करण्याची गरज दूर करून सोडवण्याचा तुमचा वेळ कमी करेल.

लॉगरिदममध्ये पदवीची संकल्पना विशेष भूमिका बजावते. लॉगरिदम, थोडक्यात, एका संख्येची शक्ती आहे.

संक्षेपित गुणाकार सूत्रे हे शक्तींच्या वापराचे आणखी एक उदाहरण आहे. ते अंशांचे गुणधर्म वापरू शकत नाहीत, ते विशेष नियमांनुसार विघटित केले जातात, परंतु प्रत्येक संक्षिप्त गुणाकार सूत्रामध्ये नेहमीच अंश असतात.

भौतिकशास्त्र आणि संगणक विज्ञानामध्ये पदवी देखील सक्रियपणे वापरली जातात. एसआय सिस्टममधील सर्व भाषांतरे पदवी वापरून केली जातात आणि भविष्यात, समस्या सोडवताना, पदवीचे गुणधर्म लागू केले जातात. संगणक शास्त्रामध्ये, संख्यांची समज मोजण्यासाठी आणि सोपी करण्याच्या सोयीसाठी, दोनच्या शक्ती सक्रियपणे वापरल्या जातात. मापनाच्या एककांच्या रूपांतरणासाठी किंवा समस्यांच्या गणनेसाठी पुढील गणिते, भौतिकशास्त्राप्रमाणेच, पदवीच्या गुणधर्मांचा वापर करून होतात.

पदवी देखील खगोलशास्त्रात खूप उपयुक्त आहेत, जिथे आपण क्वचितच एखाद्या पदवीच्या गुणधर्मांचा वापर शोधू शकता, परंतु पदवी स्वतः सक्रियपणे विविध प्रमाणात आणि अंतरांचे रेकॉर्डिंग कमी करण्यासाठी वापरली जातात.

क्षेत्रे, खंड, अंतर मोजताना, दैनंदिन जीवनात पदवी देखील वापरली जातात.

पदवीच्या मदतीने, विज्ञानाच्या कोणत्याही क्षेत्रात खूप मोठी आणि खूप लहान मूल्ये लिहिली जातात.

घातांकीय समीकरणे आणि असमानता

घातांकीय समीकरणे आणि असमानता मध्ये पदवी गुणधर्म तंतोतंत एक विशेष स्थान व्यापतात. शालेय अभ्यासक्रम आणि परीक्षा या दोन्ही ठिकाणी ही कार्ये अतिशय सामान्य आहेत. ते सर्व पदवीचे गुणधर्म लागू करून सोडवले जातात. अज्ञात नेहमीच पदवीमध्ये असतो, म्हणून, सर्व गुणधर्म जाणून घेतल्यास, असे समीकरण किंवा असमानता सोडवणे कठीण होणार नाही.

पहिला स्तर

पदवी आणि त्याचे गुणधर्म. सर्वसमावेशक मार्गदर्शक (२०१९)

पदवी का आवश्यक आहेत? तुम्हाला त्यांची कुठे गरज आहे? त्यांचा अभ्यास करण्यात वेळ घालवण्याची गरज का आहे?

पदवी, ते कशासाठी आहेत, दैनंदिन जीवनात आपले ज्ञान कसे वापरावे याबद्दल सर्वकाही जाणून घेण्यासाठी, हा लेख वाचा.

आणि अर्थातच, पदव्या जाणून घेतल्याने तुम्हाला OGE किंवा युनिफाइड स्टेट परीक्षा यशस्वीरीत्या उत्तीर्ण होण्याच्या आणि तुमच्या स्वप्नांच्या विद्यापीठात प्रवेश घेण्याच्या जवळ येईल.

चला जाऊया... (चला जाऊया!)

महत्त्वाची सूचना! सूत्रांऐवजी तुम्हाला गब्बरिश दिसत असल्यास, तुमची कॅशे साफ करा. हे करण्यासाठी, CTRL+F5 (Windows वर) किंवा Cmd+R (Mac वर) दाबा.

प्रथम स्तर

घातांक ही बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार किंवा भागाकार सारखीच गणिती क्रिया आहे.

आता मी अगदी सोप्या उदाहरणांचा वापर करून मानवी भाषेत सर्वकाही समजावून सांगेन. काळजी घ्या. उदाहरणे प्राथमिक आहेत, परंतु महत्त्वाच्या गोष्टी स्पष्ट करा.

चला जोडणीसह प्रारंभ करूया.

येथे स्पष्ट करण्यासाठी काहीही नाही. तुम्हाला आधीच सर्व काही माहित आहे: आमच्यापैकी आठ आहेत. प्रत्येकाकडे कोलाच्या दोन बाटल्या आहेत. कोला किती? ते बरोबर आहे - 16 बाटल्या.

आता गुणाकार.

कोला सह समान उदाहरण वेगळ्या प्रकारे लिहिले जाऊ शकते: . गणितज्ञ धूर्त आणि आळशी लोक आहेत. ते प्रथम काही नमुने लक्षात घेतात आणि नंतर ते जलद "गणना" करण्याचा मार्ग शोधतात. आमच्या बाबतीत, त्यांच्या लक्षात आले की आठ लोकांपैकी प्रत्येकाकडे कोलाच्या बाटल्यांची संख्या समान आहे आणि ते गुणाकार नावाचे तंत्र घेऊन आले. सहमत आहे, ते पेक्षा सोपे आणि जलद मानले जाते.

म्हणून, जलद, सोपे आणि त्रुटींशिवाय मोजण्यासाठी, आपल्याला फक्त लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे गुणाकार सारणी. नक्कीच, आपण सर्वकाही हळू, कठोर आणि चुकांसह करू शकता! परंतु…

येथे गुणाकार सारणी आहे. पुन्हा करा.

आणि आणखी एक, सुंदर:

आणि आळशी गणितज्ञांनी मोजणीच्या आणखी कोणत्या अवघड युक्त्या शोधून काढल्या? बरोबर - पॉवरमध्ये संख्या वाढवणे.

संख्या एका बळावर वाढवणे

जर तुम्हाला एखादी संख्या स्वतःच पाच वेळा गुणाकार करायची असेल, तर गणितज्ञ म्हणतात की तुम्हाला ही संख्या पाचव्या घातापर्यंत वाढवायची आहे. उदाहरणार्थ, . गणितज्ञांना आठवते की दोन ते पाचवी शक्ती आहे. आणि ते अशा समस्या त्यांच्या मनात सोडवतात - जलद, सोपे आणि त्रुटींशिवाय.

हे करण्यासाठी, आपल्याला फक्त आवश्यक आहे संख्यांच्या शक्तींच्या सारणीमध्ये रंगात काय हायलाइट केले आहे ते लक्षात ठेवा. माझ्यावर विश्वास ठेवा, हे तुमचे जीवन खूप सोपे करेल.

बाय द वे, सेकंड डिग्री का म्हणतात चौरससंख्या आणि तिसरा घन? याचा अर्थ काय? खूप चांगला प्रश्न. आता तुमच्याकडे चौरस आणि चौकोनी तुकडे दोन्ही असतील.

वास्तविक जीवन उदाहरण # 1

चला एका वर्गाने किंवा संख्येच्या दुसऱ्या घाताने सुरुवात करू.

मीटर बाय मीटर मोजणाऱ्या चौरस पूलची कल्पना करा. पूल तुमच्या घरामागील अंगणात आहे. हे गरम आहे आणि मला खरोखर पोहायचे आहे. पण ... तळ नसलेला पूल! तलावाच्या तळाला टाइलने झाकणे आवश्यक आहे. तुम्हाला किती टाइल्सची गरज आहे? हे निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला तलावाच्या तळाचे क्षेत्र माहित असणे आवश्यक आहे.

तुम्ही तुमचे बोट ठोकून मोजू शकता की पूलच्या तळाशी मीटर बाय मीटर क्यूब्स असतात. जर तुमच्या फरशा मीटरने मीटर असतील तर तुम्हाला तुकडे आवश्यक असतील. हे सोपे आहे... पण अशी टाइल कुठे दिसली? टाइल त्याऐवजी सेमी बाय सेमी असेल. आणि मग तुम्हाला "बोटाने मोजून" त्रास दिला जाईल. मग तुम्हाला गुणाकार करावा लागेल. तर, पूलच्या तळाच्या एका बाजूला, आम्ही टाइल (तुकडे) आणि दुसरीकडे, फरशा बसवू. ने गुणाकार केल्याने तुम्हाला फरशा मिळतात ().

तलावाच्या तळाचे क्षेत्रफळ निर्धारित करण्यासाठी आम्ही समान संख्येचा स्वतःहून गुणाकार केल्याचे तुमच्या लक्षात आले का? याचा अर्थ काय? समान संख्येचा गुणाकार केल्यामुळे, आपण घातांक तंत्र वापरू शकतो. (अर्थात, जेव्हा तुमच्याकडे फक्त दोन संख्या असतात, तरीही तुम्हाला त्यांचा गुणाकार किंवा घात वाढवणे आवश्यक आहे. परंतु जर तुमच्याकडे संख्या जास्त असतील तर, घात वाढवणे खूप सोपे आहे आणि गणनामध्ये कमी चुका आहेत. परीक्षेसाठी, हे खूप महत्वाचे आहे).
तर, तीस ते द्वितीय अंश () असेल. किंवा तुम्ही म्हणू शकता की तीस चौरस होईल. दुसऱ्या शब्दांत, संख्येची दुसरी घात नेहमी वर्गाप्रमाणे दर्शविली जाऊ शकते. आणि त्याउलट, जर तुम्हाला चौकोन दिसला, तर तो नेहमी काही संख्येचा दुसरा घात असतो. चौकोन म्हणजे संख्येच्या दुसऱ्या बळाची प्रतिमा.

वास्तविक जीवन उदाहरण # 2

तुमच्यासाठी हे एक टास्क आहे, संख्येचा वर्ग वापरून चेसबोर्डवर किती स्क्वेअर आहेत ते मोजा... सेलच्या एका बाजूला आणि दुसऱ्या बाजूलाही. त्यांची संख्या मोजण्यासाठी, तुम्हाला आठ ने आठ गुणाकार करणे आवश्यक आहे, किंवा ... जर तुमच्या लक्षात आले की चेसबोर्ड एक बाजू असलेला चौरस आहे, तर तुम्ही आठचा वर्ग करू शकता. पेशी मिळवा. () तर?

वास्तविक जीवन उदाहरण # 3

आता घन किंवा संख्येची तिसरी घात. तोच पूल. पण आता या तलावात किती पाणी टाकावे लागेल हे शोधून काढावे लागेल. आपल्याला व्हॉल्यूमची गणना करणे आवश्यक आहे. (आवाज आणि द्रव, तसे, क्यूबिक मीटरमध्ये मोजले जातात. अनपेक्षित, बरोबर?) एक पूल काढा: तळाशी एक मीटर आकाराचा आणि एक मीटर खोल आणि एक मीटरने मीटर मोजणारे किती घन तुमच्या आत प्रवेश करतील याची गणना करण्याचा प्रयत्न करा पूल

फक्त आपले बोट दाखवा आणि मोजा! एक, दोन, तीन, चार… बावीस, तेवीस… किती निघाले? हरवले नाही? बोटाने मोजणे कठीण आहे का? तर ते! गणितज्ञांचे उदाहरण घ्या. ते आळशी आहेत, म्हणून त्यांच्या लक्षात आले की पूलच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठी, आपल्याला त्याची लांबी, रुंदी आणि उंची एकमेकांद्वारे गुणाकार करणे आवश्यक आहे. आमच्या बाबतीत, पूलचे प्रमाण क्यूब्सच्या बरोबरीचे असेल ... सोपे, बरोबर?

आता कल्पना करा की गणितज्ञ किती आळशी आणि धूर्त असतील जर त्यांनी ते खूप सोपे केले. सर्वकाही एका कृतीपर्यंत कमी केले. त्यांच्या लक्षात आले की लांबी, रुंदी आणि उंची समान आहेत आणि समान संख्या स्वतःच गुणाकार केली जाते ... आणि याचा अर्थ काय आहे? याचा अर्थ तुम्ही पदवी वापरू शकता. तर, आपण एकदा बोटाने जे मोजले ते एका कृतीमध्ये करतात: घनात तीन समान असतात. हे असे लिहिले आहे:

फक्त राहते अंशांचे तक्ता लक्षात ठेवा. जोपर्यंत, नक्कीच, तुम्ही गणितज्ञांसारखे आळशी आणि धूर्त आहात. तुम्हाला मेहनत करायला आणि चुका करायला आवडत असतील तर तुम्ही बोटावर मोजता येतील.

बरं, शेवटी तुम्हाला हे पटवून देण्यासाठी की डिग्रीचा शोध लोफर्स आणि धूर्त लोकांनी त्यांच्या जीवनातील समस्या सोडवण्यासाठी आणि तुमच्यासाठी समस्या निर्माण करण्यासाठी नाही, जीवनातील आणखी काही उदाहरणे दिली आहेत.

वास्तविक जीवन उदाहरण # 4

आपल्याकडे एक दशलक्ष रूबल आहेत. प्रत्येक वर्षाच्या सुरुवातीला, तुम्ही प्रत्येक दशलक्षासाठी आणखी एक दशलक्ष कमवाल. म्हणजेच, प्रत्येक वर्षाच्या सुरुवातीला तुमचे प्रत्येक दशलक्ष दुप्पट होते. वर्षभरात तुमच्याकडे किती पैसे असतील? जर तुम्ही आता बसला असाल आणि “बोटाने मोजत” असाल तर तुम्ही खूप मेहनती व्यक्ती आहात आणि .. मूर्ख आहात. पण बहुधा तुम्ही काही सेकंदात उत्तर द्याल, कारण तुम्ही हुशार आहात! तर, पहिल्या वर्षी - दोन वेळा दोन ... दुसऱ्या वर्षी - काय झाले, आणखी दोन करून, तिसऱ्या वर्षी ... थांबा! तुमच्या लक्षात आले की संख्या स्वतःच एकदा गुणाकार केली जाते. तर दोन ते पाचवी शक्ती म्हणजे लाख! आता कल्पना करा की तुमची स्पर्धा आहे आणि जो वेगाने गणना करतो त्याला हे लाखो मिळतील... संख्यांच्या अंश लक्षात ठेवणे योग्य आहे का, तुम्हाला काय वाटते?

वास्तविक जीवन उदाहरण # 5

तुमच्याकडे लाखो आहेत. प्रत्येक वर्षाच्या सुरुवातीला, तुम्ही प्रत्येक दशलक्षासाठी आणखी दोन कमावता. छान आहे ना? प्रत्येक दशलक्ष तिप्पट आहे. तुमच्याकडे एका वर्षात किती पैसे असतील? चला मोजूया. पहिले वर्ष - गुणाकार करा, नंतर दुसर्‍याने परिणाम ... हे आधीच कंटाळवाणे आहे, कारण तुम्हाला सर्वकाही आधीच समजले आहे: तीन स्वतःच गुणाकार केले जातात. तर चौथी शक्ती लाख आहे. आपल्याला फक्त हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की तीन ते चौथी शक्ती आहे किंवा.

आता तुम्हाला माहित आहे की संख्या वाढवून एका पॉवरमध्ये, तुम्ही तुमचे जीवन खूप सोपे कराल. पदवी घेऊन तुम्ही काय करू शकता आणि त्याबद्दल तुम्हाला काय माहित असणे आवश्यक आहे ते पाहू या.

अटी आणि संकल्पना... गोंधळ होऊ नये म्हणून

तर, प्रथम, संकल्पना परिभाषित करूया. तुला काय वाटत, घातांक काय आहे? हे अगदी सोपे आहे - ही संख्या आहे जी संख्याच्या शक्तीच्या "शीर्षस्थानी" आहे. वैज्ञानिक नाही, परंतु स्पष्ट आणि लक्षात ठेवण्यास सोपे ...

बरं, त्याच वेळी, काय पदवीचा असा आधार? त्याहूनही सोपी संख्या म्हणजे तळाशी, पायावर.

तुमच्या खात्रीसाठी येथे एक चित्र आहे.

बरं, सर्वसाधारण शब्दात, सामान्यीकरण करण्यासाठी आणि चांगले लक्षात ठेवण्यासाठी... बेस "" आणि निर्देशक "" असलेली पदवी "पदवीमध्ये" म्हणून वाचली जाते आणि खालीलप्रमाणे लिहिली जाते:

नैसर्गिक घातांकासह संख्येची घात

तुम्ही कदाचित आधीच अंदाज लावला असेल: कारण घातांक ही नैसर्गिक संख्या आहे. होय, पण काय आहे नैसर्गिक संख्या? प्राथमिक! नैसर्गिक संख्या म्हणजे ज्या वस्तूंची सूची करताना मोजणीसाठी वापरली जातात: एक, दोन, तीन... जेव्हा आपण वस्तू मोजतो, तेव्हा आपण असे म्हणत नाही: “वजा पाच”, “वजा सहा”, “वजा सात”. आम्ही "एक तृतीयांश" किंवा "शून्य बिंदू पाच दशमांश" असेही म्हणत नाही. या नैसर्गिक संख्या नाहीत. हे आकडे काय आहेत असे तुम्हाला वाटते?

"वजा पाच", "वजा सहा", "वजा सात" सारख्या संख्यांचा संदर्भ आहे पूर्ण संख्या.सर्वसाधारणपणे, पूर्णांकांमध्ये सर्व नैसर्गिक संख्या, नैसर्गिक संख्यांच्या विरुद्ध असलेल्या संख्या (म्हणजे वजा चिन्हासह घेतलेल्या) आणि संख्या समाविष्ट असते. शून्य समजणे सोपे आहे - जेव्हा काहीही नसते तेव्हा असे होते. आणि नकारात्मक ("वजा") संख्यांचा अर्थ काय आहे? परंतु त्यांचा शोध प्रामुख्याने कर्जे दर्शविण्यासाठी लावला गेला आहे: जर तुमच्या फोनवर रुबलमध्ये शिल्लक असेल तर याचा अर्थ असा आहे की तुमच्याकडे ऑपरेटर रूबलचे देणे आहे.

सर्व अपूर्णांक परिमेय संख्या आहेत. ते कसे आले, तुम्हाला वाटते का? अगदी साधे. काही हजार वर्षांपूर्वी, आपल्या पूर्वजांनी शोधून काढले की त्यांच्याकडे लांबी, वजन, क्षेत्रफळ इत्यादी मोजण्यासाठी पुरेशी नैसर्गिक संख्या नाही. आणि ते समोर आले परिमेय संख्या… मनोरंजक, नाही का?

अपरिमेय संख्या देखील आहेत. हे आकडे काय आहेत? थोडक्यात, अनंत दशांश अपूर्णांक. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही वर्तुळाच्या परिघाला त्याच्या व्यासाने विभाजित केले तर तुम्हाला अपरिमेय संख्या मिळेल.

सारांश:

पदवीची संकल्पना परिभाषित करूया, ज्याचा घातांक एक नैसर्गिक संख्या आहे (म्हणजे पूर्णांक आणि धन).

1. पहिल्या घाताची कोणतीही संख्या स्वतःच्या समान असते:
2. एखाद्या संख्येचा वर्ग करणे म्हणजे त्याचा स्वतःहून गुणाकार करणे.
3. एका संख्येचा क्यूब करणे म्हणजे त्याचा स्वतःहून तीन वेळा गुणाकार करणे.

व्याख्या.संख्या नैसर्गिक शक्तीमध्ये वाढवणे म्हणजे संख्या स्वतःहून गुणाकार करणे:
.

पदवी गुणधर्म

ही मालमत्ता कुठून आली? मी आता दाखवतो.

काय आहे ते पाहूया आणि ?

व्याख्येनुसार:

एकूण किती गुणक आहेत?

हे अगदी सोपे आहे: आम्ही घटकांमध्ये घटक जोडले आहेत आणि परिणाम घटक आहे.

परंतु व्याख्येनुसार, ही घातांक असलेल्या संख्येची पदवी आहे, म्हणजे: , जी सिद्ध करणे आवश्यक होते.

उदाहरण: अभिव्यक्ती सोपी करा.

उपाय:

उदाहरण:अभिव्यक्ती सुलभ करा.

उपाय:हे आपल्या नियमात लक्षात घेणे आवश्यक आहे अपरिहार्यपणेत्याच कारण असावे!
म्हणून, आम्ही बेससह अंश एकत्र करतो, परंतु एक वेगळा घटक राहतो:

केवळ शक्तींच्या उत्पादनांसाठी!

कोणत्याही परिस्थितीत तुम्ही ते लिहू नये.

2. म्हणजे -संख्येची वी पॉवर

मागील मालमत्तेप्रमाणेच, पदवीच्या व्याख्येकडे वळूया:

असे दिसून आले की अभिव्यक्ती एकदाच गुणाकार केली जाते, म्हणजेच व्याख्येनुसार, ही संख्याची वी शक्ती आहे:

खरं तर, याला "ब्रॅकेटिंग द इंडिकेटर" म्हणता येईल. परंतु आपण हे कधीही करू शकत नाही:

चला संक्षिप्त गुणाकाराची सूत्रे आठवूया: आपल्याला किती वेळा लिहायचे होते?

पण ते खरे नाही.

नकारात्मक पायासह पदवी

या टप्प्यापर्यंत, आम्ही फक्त घातांक काय असावा यावर चर्चा केली आहे.

पण आधार काय असावा?

पासून अंशांमध्ये नैसर्गिक सूचकआधार असू शकतो कोणतीही संख्या. खरंच, आपण कोणतीही संख्या एकमेकांने गुणाकार करू शकतो, मग ती सकारात्मक, ऋण किंवा अगदी असो.

चला विचार करूया कोणत्या चिन्हे ("" किंवा "") मध्ये सकारात्मक आणि ऋण संख्यांचे अंश असतील?

उदाहरणार्थ, संख्या सकारात्मक किंवा ऋण असेल? परंतु? ? पहिल्यासह, सर्व काही स्पष्ट आहे: आपण कितीही सकारात्मक संख्या एकमेकांशी गुणाकार केला तरीही परिणाम सकारात्मक असेल.

पण नकारात्मक थोडे अधिक मनोरंजक आहेत. तथापि, आम्हाला 6 व्या इयत्तेतील एक साधा नियम आठवतो: "एक वजा गुणा वजा एक प्लस देते." म्हणजे, किंवा. पण जर आपण गुणाकार केला तर ते दिसून येते.

खालील अभिव्यक्तींमध्ये कोणते चिन्ह असेल ते स्वत: साठी निश्चित करा:

आपण व्यवस्थापित केले?

येथे उत्तरे आहेत: पहिल्या चार उदाहरणांमध्ये, मला आशा आहे की सर्वकाही स्पष्ट आहे? आम्ही फक्त आधार आणि घातांक पाहतो आणि योग्य नियम लागू करतो.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरणार्थ 5), सर्व काही दिसते तितके भयानक नाही: बेस काय समान आहे हे महत्त्वाचे नाही - पदवी समान आहे, याचा अर्थ असा की परिणाम नेहमीच सकारात्मक असेल.

बरं, बेस शून्य असल्याशिवाय. बेस सारखा नाही ना? स्पष्टपणे नाही, पासून (कारण).

उदाहरण 6) आता इतके सोपे नाही!

6 सराव उदाहरणे

समाधानाचे विश्लेषण 6 उदाहरणे

जर आपण आठव्या पदवीकडे लक्ष दिले नाही तर आपण येथे काय पाहतो? चला 7 व्या वर्गाच्या कार्यक्रमावर एक नजर टाकूया. तर, लक्षात ठेवा? हे संक्षिप्त गुणाकार सूत्र आहे, म्हणजे वर्गांचा फरक! आम्हाला मिळते:

आम्ही भाजक काळजीपूर्वक पाहतो. हे बरेचसे अंश घटकांपैकी एकसारखे दिसते, परंतु काय चूक आहे? अटींचा चुकीचा क्रम. ते उलट केल्यास, नियम लागू होऊ शकतो.

पण ते कसे करायचे? असे दिसून आले की हे खूप सोपे आहे: भाजकाची समान पदवी आम्हाला येथे मदत करते.

अटींनी जादुईपणे ठिकाणे बदलली आहेत. ही "इंद्रियगोचर" कोणत्याही अभिव्यक्तीला समान प्रमाणात लागू होते: आम्ही कंसातील चिन्हे मुक्तपणे बदलू शकतो.

परंतु हे लक्षात ठेवणे महत्वाचे आहे: सर्व चिन्हे एकाच वेळी बदलतात!

चला उदाहरणाकडे परत जाऊया:

आणि पुन्हा सूत्र:

संपूर्णआम्ही नैसर्गिक संख्या, त्यांचे विरुद्ध (म्हणजे "" चिन्हाने घेतलेले) आणि संख्या असे नाव देतो.

सकारात्मक पूर्णांक, आणि ते नैसर्गिकपेक्षा वेगळे नाही, नंतर सर्वकाही मागील विभागाप्रमाणेच दिसते.

आता नवीन प्रकरणे पाहू. च्या समान निर्देशकासह प्रारंभ करूया.

शून्य पॉवरची कोणतीही संख्या एक बरोबर असते:

नेहमीप्रमाणे, आम्ही स्वतःला विचारतो: हे असे का आहे?

बेससह काही शक्ती विचारात घ्या. उदाहरणार्थ, घ्या आणि गुणाकार करा:

म्हणून, आम्ही संख्येचा गुणाकार केला, आणि ती होती तशी मिळाली -. कोणत्या संख्येने गुणाकार केला पाहिजे जेणेकरून काहीही बदलत नाही? ते बरोबर आहे, चालू आहे. म्हणजे.

आम्ही एका अनियंत्रित क्रमांकासह असे करू शकतो:

चला नियम पुन्हा करूया:

शून्य पॉवरची कोणतीही संख्या एक बरोबर असते.

परंतु अनेक नियमांना अपवाद आहेत. आणि येथे ते देखील आहे - ही संख्या आहे (आधार म्हणून).

एकीकडे, ते कोणत्याही डिग्रीच्या बरोबरीचे असले पाहिजे - तुम्ही शून्याचा कितीही गुणाकार केला तरीही तुम्हाला शून्य मिळेल, हे स्पष्ट आहे. परंतु दुसरीकडे, शून्य अंशापर्यंत कोणत्याही संख्येप्रमाणे, ती समान असणे आवश्यक आहे. मग याचं सत्य काय? गणितज्ञांनी सहभागी न होण्याचा निर्णय घेतला आणि शून्य ते शून्य शक्ती वाढवण्यास नकार दिला. म्हणजेच, आता आपण केवळ शून्याने भागाकार करू शकत नाही, तर शून्य शक्तीपर्यंत वाढवू शकतो.

पुढे जाऊया. नैसर्गिक संख्या आणि संख्यांच्या व्यतिरिक्त, पूर्णांकांमध्ये ऋण संख्या समाविष्ट असते. ऋण अंश म्हणजे काय हे समजून घेण्यासाठी, मागील वेळेप्रमाणेच करूया: आपण काही सामान्य संख्येचा नकारात्मक अंशाने गुणाकार करू:

येथून इच्छित व्यक्त करणे आधीच सोपे आहे:

आता आम्ही परिणामी नियम अनियंत्रित प्रमाणात वाढवतो:

तर, चला नियम तयार करूया:

ऋण पॉवरची संख्या ही त्याच संख्येचा पॉझिटिव्ह पॉवरचा व्यस्त आहे. पण त्याच वेळी बेस शून्य असू शकत नाही:(कारण विभाजन करणे अशक्य आहे).

चला सारांश द्या:

I. प्रकरणात अभिव्यक्ती परिभाषित केलेली नाही. जर तर.

II. शून्य पॉवरची कोणतीही संख्या एक बरोबर असते: .

III. शून्याच्या बरोबरीची नसलेली संख्या ही त्याच संख्येचा सकारात्मक पॉवरचा व्यस्त आहे: .

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये:

बरं, नेहमीप्रमाणे, स्वतंत्र समाधानासाठी उदाहरणे:

स्वतंत्र निराकरणासाठी कार्यांचे विश्लेषण:

मला माहित आहे, मला माहित आहे, संख्या भितीदायक आहेत, परंतु परीक्षेत तुम्हाला कशासाठीही तयार असले पाहिजे! ही उदाहरणे सोडवा किंवा जर तुम्हाला ती सोडवता आली नसतील तर त्यांचे विश्लेषण करा आणि तुम्ही त्यांना परीक्षेत सहजपणे कसे सामोरे जावे हे शिकाल!

चला घातांक म्हणून "योग्य" संख्यांची श्रेणी विस्तृत करणे सुरू ठेवू.

आता विचार करा परिमेय संख्या.कोणत्या संख्यांना परिमेय म्हणतात?

उत्तर: अपूर्णांक म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, जेथे आणि पूर्णांक आहेत, शिवाय.

काय आहे हे समजून घेण्यासाठी "अपूर्णांक पदवी"चला एका अंशाचा विचार करूया:

समीकरणाच्या दोन्ही बाजू बळावर वाढवू.

आता नियम लक्षात ठेवा "पदवी ते पदवी":

पॉवर मिळविण्यासाठी कोणती संख्या वाढवणे आवश्यक आहे?

हे सूत्रीकरण म्हणजे व्या पदवीच्या मुळाची व्याख्या.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो: संख्येच्या व्या घाताचे मूळ () ही अशी संख्या आहे जी जेव्हा घात वाढवली जाते तेव्हा ती समान असते.

म्हणजेच, व्या अंशाचे मूळ घातांकाचे व्यस्त ऑपरेशन आहे: .

ते बाहेर वळते. अर्थात, हे विशेष प्रकरण वाढवले ​​जाऊ शकते: .

आता अंश जोडा: ते काय आहे? पॉवर-टू-पॉवर नियमासह उत्तर मिळवणे सोपे आहे:

पण आधार कितीही असू शकतो का? शेवटी, सर्व संख्यांमधून रूट काढता येत नाही.

काहीही नाही!

नियम लक्षात ठेवा: सम बळावर वाढलेली कोणतीही संख्या ही धन संख्या असते. म्हणजेच, ऋण संख्यांमधून सम प्रमाणात मुळे काढणे अशक्य आहे!

आणि याचा अर्थ असा आहे की अशा संख्येला सम भाजक असलेल्या अंशात्मक बळापर्यंत वाढवता येत नाही, म्हणजेच अभिव्यक्तीला अर्थ नाही.

अभिव्यक्तीचे काय?

पण इथे एक समस्या उद्भवते.

संख्या इतर, कमी अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, किंवा.

आणि असे दिसून आले की ते अस्तित्वात आहे, परंतु अस्तित्वात नाही आणि हे एकाच संख्येचे फक्त दोन भिन्न रेकॉर्ड आहेत.

किंवा दुसरे उदाहरण: एकदा, नंतर तुम्ही ते लिहू शकता. परंतु आम्ही निर्देशक वेगळ्या प्रकारे लिहिताच, आम्हाला पुन्हा त्रास होतो: (म्हणजेच, आम्हाला पूर्णपणे भिन्न परिणाम मिळाला!).

अशा विरोधाभास टाळण्यासाठी, विचार करा फ्रॅक्शनल घातांकासह फक्त सकारात्मक आधार घातांक.

तर जर:

• - नैसर्गिक संख्या;
• पूर्णांक आहे;

उदाहरणे:

परिमेय घातांक असलेल्या शक्ती मुळांसह अभिव्यक्तींचे रूपांतर करण्यासाठी खूप उपयुक्त आहेत, उदाहरणार्थ:

5 सराव उदाहरणे

प्रशिक्षणासाठी 5 उदाहरणांचे विश्लेषण

बरं, आता - सर्वात कठीण. आता आम्ही विश्लेषण करू अपरिमेय घातांकासह पदवी.

येथे सर्व नियम आणि अंशांचे गुणधर्म परिमेय घातांक असलेल्या अंशांप्रमाणेच आहेत, अपवाद वगळता

खरंच, व्याख्येनुसार, अपरिमेय संख्या अशा संख्या आहेत ज्या अपूर्णांक म्हणून दर्शवल्या जाऊ शकत नाहीत, जेथे आणि पूर्णांक आहेत (म्हणजे, परिमेय संख्या वगळता सर्व वास्तविक संख्या आहेत).

नैसर्गिक, पूर्णांक आणि तर्कसंगत निर्देशकासह अंशांचा अभ्यास करताना, प्रत्येक वेळी आम्ही एक विशिष्ट "प्रतिमा", "सादृश्य" किंवा अधिक परिचित शब्दांमध्ये वर्णन केले.

उदाहरणार्थ, नैसर्गिक घातांक म्हणजे स्वतःहून अनेक वेळा गुणाकार केलेली संख्या;

...शून्य शक्ती- ही, जशी होती, एक संख्या स्वतःने एकदा गुणाकार केली आहे, म्हणजेच ती अद्याप गुणाकार करणे सुरू केलेले नाही, याचा अर्थ असा आहे की संख्या स्वतःच अद्याप दिसून आलेली नाही - म्हणून परिणाम फक्त एक विशिष्ट "संख्या रिक्त" आहे. , म्हणजे संख्या;

...ऋण पूर्णांक घातांक- जणू काही एक विशिष्ट "उलट प्रक्रिया" झाली आहे, म्हणजेच, संख्या स्वतःच गुणाकार केलेली नाही, परंतु विभाजित केली गेली आहे.

तसे, विज्ञान बर्‍याचदा जटिल घातांकासह पदवी वापरते, म्हणजेच घातांक ही वास्तविक संख्या देखील नसते.

परंतु शाळेत, आम्ही अशा अडचणींबद्दल विचार करत नाही; तुम्हाला संस्थेमध्ये या नवीन संकल्पना समजून घेण्याची संधी मिळेल.

तुम्ही कुठे जाल याची आम्हाला खात्री आहे! (अशी उदाहरणे कशी सोडवायची हे शिकल्यास :))

उदाहरणार्थ:

स्वतःसाठी ठरवा:

उपायांचे विश्लेषण:

1. पदवी एका अंशापर्यंत वाढवण्याच्या आधीपासूनच्या नेहमीच्या नियमापासून सुरुवात करूया:

आता स्कोअर पहा. तो तुम्हाला कशाची आठवण करून देतो का? वर्गांच्या फरकाच्या संक्षिप्त गुणाकाराचे सूत्र आम्हाला आठवते:

या प्रकरणात,

हे दिसून येते की:

उत्तर: .

2. आम्ही घातांकातील अपूर्णांक समान स्वरूपात आणतो: दोन्ही दशांश किंवा दोन्ही सामान्य. आम्हाला मिळते, उदाहरणार्थ:

उत्तर: १६

3. विशेष काही नाही, आम्ही अंशांचे नेहमीचे गुणधर्म लागू करतो:

प्रगत पातळी

पदवीची व्याख्या

पदवी ही फॉर्मची अभिव्यक्ती आहे: , जेथे:

• — पदवीचा आधार;
• - घातांक.

नैसर्गिक घातांकासह पदवी (n = 1, 2, 3,...)

नैसर्गिक शक्ती n मध्ये संख्या वाढवणे म्हणजे संख्या स्वतःहून गुणाकार करणे:

पूर्णांक घातांकासह पॉवर (0, ±1, ±2,...)

घातांक असल्यास पूर्णांक सकारात्मकसंख्या:

उभारणी शून्य शक्ती पर्यंत:

अभिव्यक्ती अनिश्चित आहे, कारण, एकीकडे, कोणत्याही प्रमाणात हे आहे, आणि दुसरीकडे, व्या डिग्रीपर्यंत कोणतीही संख्या ही आहे.

घातांक असल्यास पूर्णांक ऋणसंख्या:

(कारण विभाजन करणे अशक्य आहे).

nulls बद्दल आणखी एक वेळ: या प्रकरणात अभिव्यक्ती परिभाषित केलेली नाही. जर तर.

उदाहरणे:

परिमेय घातांकासह पदवी

• - नैसर्गिक संख्या;
• पूर्णांक आहे;

उदाहरणे:

पदवी गुणधर्म

समस्या सोडवणे सोपे करण्यासाठी, हे समजून घेण्याचा प्रयत्न करूया: हे गुणधर्म कुठून आले? चला ते सिद्ध करूया.

चला पाहू: काय आहे आणि?

व्याख्येनुसार:

तर, या अभिव्यक्तीच्या उजव्या बाजूला, खालील उत्पादन प्राप्त झाले आहे:

परंतु व्याख्येनुसार, ही घातांक असलेल्या संख्येची शक्ती आहे, म्हणजे:

Q.E.D.

उदाहरण : अभिव्यक्ती सोपी करा.

उपाय : .

उदाहरण : अभिव्यक्ती सोपी करा.

उपाय : आपल्या नियमात हे लक्षात घेणे आवश्यक आहे अपरिहार्यपणेसमान आधार असणे आवश्यक आहे. म्हणून, आम्ही बेससह अंश एकत्र करतो, परंतु एक वेगळा घटक राहतो:

आणखी एक महत्त्वाची सूचना: हा नियम - केवळ शक्तींच्या उत्पादनांसाठी!

कोणत्याही परिस्थितीत मी ते लिहू नये.

मागील मालमत्तेप्रमाणेच, पदवीच्या व्याख्येकडे वळूया:

चला याप्रमाणे पुनर्रचना करूया:

असे दिसून आले की अभिव्यक्ती स्वतःच एकदा गुणाकार केली जाते, म्हणजेच व्याख्येनुसार, ही संख्याची -वी शक्ती आहे:

खरं तर, याला "ब्रॅकेटिंग द इंडिकेटर" म्हणता येईल. परंतु आपण हे कधीही करू शकत नाही: !

चला संक्षिप्त गुणाकाराची सूत्रे आठवूया: आपल्याला किती वेळा लिहायचे होते? पण ते खरे नाही.

नकारात्मक बेससह शक्ती.

या टप्प्यापर्यंत, आम्ही फक्त काय असावे यावर चर्चा केली आहे निर्देशांकपदवी पण आधार काय असावा? पासून अंशांमध्ये नैसर्गिक सूचक आधार असू शकतो कोणतीही संख्या .

खरंच, आपण कोणतीही संख्या एकमेकांने गुणाकार करू शकतो, मग ती सकारात्मक, ऋण किंवा अगदी असो. चला विचार करूया कोणत्या चिन्हे ("" किंवा "") मध्ये सकारात्मक आणि ऋण संख्यांचे अंश असतील?

उदाहरणार्थ, संख्या सकारात्मक किंवा ऋण असेल? परंतु? ?

पहिल्यासह, सर्व काही स्पष्ट आहे: आपण कितीही सकारात्मक संख्या एकमेकांशी गुणाकार केला तरीही परिणाम सकारात्मक असेल.

पण नकारात्मक थोडे अधिक मनोरंजक आहेत. तथापि, आम्हाला 6 व्या इयत्तेतील एक साधा नियम आठवतो: "एक वजा गुणा वजा एक प्लस देते." म्हणजे, किंवा. परंतु जर आपण () ने गुणाकार केला तर आपल्याला - मिळेल.

आणि असेच जाहिरात अनंत: प्रत्येक त्यानंतरच्या गुणाकाराने, चिन्ह बदलेल. आपण हे सोपे नियम तयार करू शकता:

1. अगदीपदवी, - संख्या सकारात्मक.
2. पर्यंत ऋण संख्या वाढवली विषमपदवी, - संख्या नकारात्मक.
3. कोणत्याही घाताची धन संख्या ही धन संख्या असते.
4. कोणत्याही शक्तीचे शून्य म्हणजे शून्य.

खालील अभिव्यक्तींमध्ये कोणते चिन्ह असेल ते स्वत: साठी निश्चित करा:

आपण व्यवस्थापित केले? येथे उत्तरे आहेत:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहिल्या चार उदाहरणांमध्ये, मला आशा आहे की सर्वकाही स्पष्ट आहे? आम्ही फक्त आधार आणि घातांक पाहतो आणि योग्य नियम लागू करतो.

उदाहरणार्थ 5), सर्व काही दिसते तितके भयानक नाही: बेस काय समान आहे हे महत्त्वाचे नाही - पदवी समान आहे, याचा अर्थ असा की परिणाम नेहमीच सकारात्मक असेल. बरं, बेस शून्य असल्याशिवाय. बेस सारखा नाही ना? स्पष्टपणे नाही, पासून (कारण).

उदाहरण 6) आता इतके सोपे नाही. येथे आपल्याला शोधण्याची आवश्यकता आहे जे कमी आहे: किंवा? आपण ते लक्षात ठेवल्यास, हे स्पष्ट होते की, याचा अर्थ असा की पाया शून्यापेक्षा कमी आहे. म्हणजेच, आम्ही नियम 2 लागू करतो: परिणाम नकारात्मक असेल.

आणि पुन्हा आम्ही पदवीची व्याख्या वापरतो:

सर्व काही नेहमीप्रमाणे आहे - आम्ही अंशांची व्याख्या लिहून ठेवतो आणि त्यांना एकमेकांमध्ये विभाजित करतो, त्यांना जोड्यांमध्ये विभाजित करतो आणि मिळवतो:

शेवटच्या नियमाचे विश्लेषण करण्यापूर्वी, काही उदाहरणे सोडवू.

अभिव्यक्तीच्या मूल्यांची गणना करा:

उपाय :

जर आपण आठव्या पदवीकडे लक्ष दिले नाही तर आपण येथे काय पाहतो? चला 7 व्या वर्गाच्या कार्यक्रमावर एक नजर टाकूया. तर, लक्षात ठेवा? हे संक्षिप्त गुणाकार सूत्र आहे, म्हणजे वर्गांचा फरक!

आम्हाला मिळते:

आम्ही भाजक काळजीपूर्वक पाहतो. हे बरेचसे अंश घटकांपैकी एकसारखे दिसते, परंतु काय चूक आहे? अटींचा चुकीचा क्रम. जर ते उलट केले तर नियम 3 लागू केला जाऊ शकतो. पण हे कसे करायचे? असे दिसून आले की हे खूप सोपे आहे: भाजकाची समान पदवी आम्हाला येथे मदत करते.

जर तुम्ही ते गुणाकार केले तर काहीही बदलत नाही, बरोबर? पण आता हे असे दिसते:

अटींनी जादुईपणे ठिकाणे बदलली आहेत. ही "इंद्रियगोचर" कोणत्याही अभिव्यक्तीला समान प्रमाणात लागू होते: आम्ही कंसातील चिन्हे मुक्तपणे बदलू शकतो. परंतु हे लक्षात ठेवणे महत्वाचे आहे: सर्व चिन्हे एकाच वेळी बदलतात!आमच्यासाठी फक्त एक आक्षेपार्ह उणे बदलून ते बदलले जाऊ शकत नाही!

चला उदाहरणाकडे परत जाऊया:

आणि पुन्हा सूत्र:

तर आता शेवटचा नियम:

आम्ही ते कसे सिद्ध करणार आहोत? अर्थात, नेहमीप्रमाणे: चला पदवीची संकल्पना विस्तृत करू आणि सोपी करू:

बरं, आता कंस उघडू. किती अक्षरे असतील? गुणकांनी वेळा - ते कसे दिसते? हे ऑपरेशनच्या व्याख्येशिवाय दुसरे काहीही नाही गुणाकार: एकूण तेथे गुणक निघाले. म्हणजेच, व्याख्येनुसार, घातांक असलेल्या संख्येची शक्ती आहे:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांकासह पदवी

सरासरी पातळीच्या अंशांबद्दल माहिती व्यतिरिक्त, आम्ही अपरिमेय निर्देशकासह पदवीचे विश्लेषण करू. येथे अंशांचे सर्व नियम आणि गुणधर्म अपवाद वगळता परिमेय घातांकासह पदवीसाठी अगदी सारखेच आहेत - शेवटी, व्याख्येनुसार, अपरिमेय संख्या अशा संख्या आहेत ज्या अपूर्णांक म्हणून दर्शविल्या जाऊ शकत नाहीत, जेथे आणि पूर्णांक आहेत (म्हणजे , अपरिमेय संख्या परिमेय संख्या वगळता सर्व वास्तविक संख्या आहेत).

नैसर्गिक, पूर्णांक आणि तर्कसंगत निर्देशकासह अंशांचा अभ्यास करताना, प्रत्येक वेळी आम्ही एक विशिष्ट "प्रतिमा", "सादृश्य" किंवा अधिक परिचित शब्दांमध्ये वर्णन केले. उदाहरणार्थ, नैसर्गिक घातांक म्हणजे स्वतःहून अनेक वेळा गुणाकार केलेली संख्या; शून्य अंशापर्यंतची संख्या ही एक संख्या आहे, जशी ती होती, स्वतः एकदा गुणाकार केलेली संख्या, म्हणजेच ती अद्याप गुणाकार करणे सुरू झालेले नाही, याचा अर्थ असा आहे की संख्या स्वतःच अद्याप दिसून आलेली नाही - म्हणून, परिणाम फक्त एक आहे विशिष्ट "संख्येची तयारी", म्हणजे संख्या; पूर्णांक ऋणात्मक सूचक असलेली पदवी - जणू काही विशिष्ट "उलट प्रक्रिया" झाली आहे, म्हणजेच संख्या स्वतःच गुणाकार केलेली नाही, परंतु विभाजित केली गेली आहे.

अपरिमेय घातांकासह पदवीची कल्पना करणे अत्यंत कठीण आहे (जसे 4-आयामी जागेची कल्पना करणे कठीण आहे). त्याऐवजी, ही एक पूर्णपणे गणितीय वस्तू आहे जी गणितज्ञांनी पदवीची संकल्पना संख्यांच्या संपूर्ण जागेपर्यंत विस्तारित करण्यासाठी तयार केली आहे.

तसे, विज्ञान बर्‍याचदा जटिल घातांकासह पदवी वापरते, म्हणजेच घातांक ही वास्तविक संख्या देखील नसते. परंतु शाळेत, आम्ही अशा अडचणींबद्दल विचार करत नाही; तुम्हाला संस्थेमध्ये या नवीन संकल्पना समजून घेण्याची संधी मिळेल.

तर जर आपल्याला अपरिमेय घातांक दिसला तर आपण काय करावे? त्यातून सुटका करण्यासाठी आम्ही सर्वतोपरी प्रयत्न करत आहोत! :)

उदाहरणार्थ:

स्वतःसाठी ठरवा:

उत्तरे:

1. वर्ग सूत्रातील फरक लक्षात ठेवा. उत्तर:.
2. आम्ही अपूर्णांकांना समान स्वरूपात आणतो: दोन्ही दशांश किंवा दोन्ही सामान्य. आम्हाला मिळते, उदाहरणार्थ: .
3. विशेष काही नाही, आम्ही अंशांचे नेहमीचे गुणधर्म लागू करतो:

विभागाचा सारांश आणि मूलभूत सूत्र

पदवीफॉर्मची अभिव्यक्ती म्हणतात: , जेथे:

पूर्णांक घातांकासह पदवी

पदवी, ज्याचा घातांक एक नैसर्गिक संख्या आहे (म्हणजे पूर्णांक आणि धन).

परिमेय घातांकासह पदवी

पदवी, ज्याचा सूचक ऋण आणि अपूर्णांक संख्या आहे.

अपरिमेय घातांकासह पदवी

घातांक ज्याचा घातांक अनंत दशांश अपूर्णांक किंवा मूळ आहे.

पदवी गुणधर्म

अंशांची वैशिष्ट्ये.

• पर्यंत ऋण संख्या वाढवली अगदीपदवी, - संख्या सकारात्मक.
• पर्यंत ऋण संख्या वाढवली विषमपदवी, - संख्या नकारात्मक.
• कोणत्याही घाताची धन संख्या ही धन संख्या असते.
• शून्य हे कोणत्याही शक्तीच्या बरोबरीचे असते.
• शून्य पॉवरची कोणतीही संख्या समान असते.

आता तुमच्याकडे एक शब्द आहे...

तुम्हाला लेख कसा वाटला? तुम्हाला ते आवडले की नाही ते मला खाली दिलेल्या टिप्पण्यांमध्ये कळवा.

अंशांचे गुणधर्म वापरण्याच्या तुमच्या अनुभवाबद्दल आम्हाला सांगा.

कदाचित तुम्हाला प्रश्न असतील. किंवा सूचना.

टिप्पण्यांमध्ये लिहा.

आणि तुमच्या परीक्षेसाठी शुभेच्छा!