हॉर्नर योजना वापरून बहुपदी गुणांकन. उच्च गणितातील समीकरणे बहुपदांची परिमेय मूळ

इ. हे सामान्य शैक्षणिक स्वरूपाचे आहे आणि उच्च गणिताच्या संपूर्ण अभ्यासक्रमाच्या अभ्यासासाठी खूप महत्वाचे आहे. आज आपण "शाळा" समीकरणांची पुनरावृत्ती करू, परंतु केवळ "शाळा" समीकरणेच नव्हे - तर विविध समस्यांमध्ये सर्वत्र आढळणारी समीकरणे. नेहमीप्रमाणे, कथा लागू पद्धतीने सांगितली जाईल, म्हणजे. मी व्याख्या आणि वर्गीकरणांवर लक्ष केंद्रित करणार नाही, परंतु ते सोडवण्याचा माझा वैयक्तिक अनुभव तुमच्याबरोबर सामायिक करेन. माहिती प्रामुख्याने नवशिक्यांसाठी आहे, परंतु अधिक प्रगत वाचकांना स्वतःसाठी अनेक मनोरंजक मुद्दे देखील सापडतील. आणि अर्थातच हायस्कूलच्या पलीकडे जाणारी नवीन सामग्री असेल.

तर समीकरण…. अनेकांना हा शब्द आठवून थरकाप होतो. मुळांची किंमत असलेली "अत्याधुनिक" समीकरणे काय आहेत... ...त्याबद्दल विसरून जा! कारण मग आपण या प्रजातीच्या सर्वात निरुपद्रवी "प्रतिनिधींना" भेटाल. किंवा डझनभर समाधान पद्धतींसह कंटाळवाणे त्रिकोणमितीय समीकरण. खरे सांगायचे तर, मला स्वतःला ते आवडत नव्हते... घाबरू नका! - नंतर मुख्यतः "डँडेलियन्स" 1-2 चरणांमध्ये स्पष्ट समाधानाची वाट पाहत आहेत. जरी "बरडॉक" नक्कीच चिकटून असले तरी, तुम्हाला येथे वस्तुनिष्ठ असणे आवश्यक आहे.

विचित्रपणे, उच्च गणितामध्ये अगदी आदिम समीकरणे हाताळणे अधिक सामान्य आहे जसे की रेखीयसमीकरणे

हे समीकरण सोडवण्यात काय अर्थ आहे? याचा अर्थ “x” (रूट) चे असे मूल्य शोधणे जे त्यास खऱ्या समानतेमध्ये बदलते. चिन्हाच्या बदलासह "तीन" उजवीकडे फेकून देऊ:

आणि "दोन" उजव्या बाजूला टाका (किंवा, समान गोष्ट - दोन्ही बाजूंनी गुणाकार करा) :

तपासण्यासाठी, जिंकलेल्या ट्रॉफीला मूळ समीकरणात बदलू या:

योग्य समानता प्राप्त झाली आहे, म्हणजे सापडलेले मूल्य हे या समीकरणाचे मूळ आहे. किंवा, जसे ते म्हणतात, या समीकरणाचे समाधान करते.

कृपया लक्षात घ्या की रूट दशांश अपूर्णांक म्हणून देखील लिहिले जाऊ शकते:
आणि या वाईट शैलीला चिकटून न राहण्याचा प्रयत्न करा! मी एकापेक्षा जास्त वेळा कारण पुनरावृत्ती केली, विशेषतः, पहिल्या धड्यात उच्च बीजगणित.

तसे, समीकरण "अरबीमध्ये" देखील सोडवले जाऊ शकते:

आणि सर्वात मनोरंजक गोष्ट म्हणजे हे रेकॉर्डिंग पूर्णपणे कायदेशीर आहे! परंतु जर तुम्ही शिक्षक नसाल तर हे न करणे चांगले आहे कारण मौलिकता येथे दंडनीय आहे =)

आणि आता बद्दल थोडे

ग्राफिकल सोल्यूशन पद्धत

समीकरणाला फॉर्म आहे आणि त्याचे मूळ आहे "X" समन्वय छेदनबिंदू रेखीय कार्य आलेखरेखीय कार्याच्या आलेखासह (x अक्ष):

असे दिसते की हे उदाहरण इतके प्राथमिक आहे की येथे विश्लेषण करण्यासाठी आणखी काही नाही, परंतु आणखी एक अनपेक्षित सूक्ष्मता त्यातून "पिळून" जाऊ शकते: आपण तेच समीकरण फॉर्ममध्ये सादर करू आणि फंक्शन्सचे आलेख तयार करू:

ज्यामध्ये, कृपया दोन संकल्पना गोंधळात टाकू नका: समीकरण हे समीकरण आहे, आणि कार्य- हे एक कार्य आहे! कार्ये फक्त मदतसमीकरणाची मुळे शोधा. ज्यापैकी दोन, तीन, चार किंवा अनंत अनेक असू शकतात. या अर्थाने सर्वात जवळचे उदाहरण म्हणजे सुप्रसिद्ध चतुर्भुज समीकरण, सोल्यूशन अल्गोरिदम ज्यासाठी वेगळा परिच्छेद प्राप्त झाला "गरम" शाळेची सूत्रे. आणि हा योगायोग नाही! जर तुम्ही चतुर्भुज समीकरण सोडवू शकता आणि जाणून घ्या पायथागोरियन प्रमेय, तर, कोणी म्हणेल, “उच्च गणिताचा अर्धा भाग आधीच तुमच्या खिशात आहे” =) अतिशयोक्तीपूर्ण, अर्थातच, परंतु सत्यापासून फार दूर नाही!

म्हणून, आळशी होऊ नका आणि काही चतुर्भुज समीकरणे वापरून सोडवूया मानक अल्गोरिदम:

, म्हणजे समीकरण दोन भिन्न आहेत वैधमूळ:

हे सत्यापित करणे सोपे आहे की दोन्ही सापडलेली मूल्ये खरोखर या समीकरणाचे समाधान करतात:

तुम्ही सोल्यूशन अल्गोरिदम अचानक विसरलात आणि हातात कोणतेही साधन/मदत हात नसल्यास काय करावे? ही परिस्थिती उद्भवू शकते, उदाहरणार्थ, चाचणी किंवा परीक्षेदरम्यान. आम्ही ग्राफिकल पद्धत वापरतो! आणि दोन मार्ग आहेत: आपण करू शकता बिंदू बिंदू तयार करापॅराबोला , याद्वारे तो अक्ष कुठे छेदतो हे शोधून काढते (जर ते अजिबात ओलांडले तर). परंतु काहीतरी अधिक धूर्त करणे चांगले आहे: फॉर्ममधील समीकरणाची कल्पना करा, सोप्या कार्यांचे आलेख काढा - आणि "X" समन्वयत्यांचे छेदनबिंदू स्पष्टपणे दृश्यमान आहेत!


जर असे दिसून आले की सरळ रेषा पॅराबोलाला स्पर्श करते, तर समीकरणाला दोन जुळणारी (एकाधिक) मुळे आहेत. जर असे दिसून आले की सरळ रेषा पॅराबोलाला छेदत नाही, तर तेथे वास्तविक मुळे नाहीत.

हे करण्यासाठी, अर्थातच, आपण तयार करण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे प्राथमिक कार्यांचे आलेख, परंतु दुसरीकडे, एक शाळकरी मुले देखील ही कौशल्ये करू शकतात.

आणि पुन्हा - समीकरण हे एक समीकरण आहे आणि फंक्शन्स ही फंक्शन्स आहेत फक्त मदत केलीसमीकरण सोडवा!

आणि येथे, तसे, आणखी एक गोष्ट लक्षात ठेवणे योग्य आहे: जर समीकरणाचे सर्व गुणांक शून्य नसलेल्या संख्येने गुणाकार केले तर त्याची मुळे बदलणार नाहीत.

तर, उदाहरणार्थ, समीकरण समान मुळे आहेत. एक साधा "पुरावा" म्हणून, मी कंसातून स्थिरांक घेईन:
आणि मी ते वेदनारहित काढून टाकीन (मी दोन्ही भागांना "वजा दोन" ने विभाजित करेन):

परंतु!जर आपण कार्याचा विचार केला तर आपण यापुढे स्थिरतेपासून मुक्त होऊ शकत नाही! कंसातून गुणक काढणे केवळ परवानगी आहे: .

बरेच लोक ग्राफिकल सोल्यूशन पद्धतीला कमी लेखतात, तिला काहीतरी "अप्रतिष्ठित" समजतात आणि काही या शक्यतेबद्दल पूर्णपणे विसरतात. आणि हे मूलभूतपणे चुकीचे आहे, कारण आलेखांचे प्लॉटिंग कधीकधी परिस्थिती वाचवते!

दुसरे उदाहरण: समजा तुम्हाला सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणाची मुळे आठवत नाहीत: . सामान्य सूत्र शालेय पाठ्यपुस्तकांमध्ये आहे, प्राथमिक गणितावरील सर्व संदर्भ पुस्तकांमध्ये आहे, परंतु ते तुमच्यासाठी उपलब्ध नाहीत. तथापि, समीकरण सोडवणे महत्वाचे आहे (उर्फ “दोन”). एक निर्गमन आहे! - फंक्शन्सचे आलेख तयार करा:


त्यानंतर आम्ही त्यांच्या छेदनबिंदूंचे "X" निर्देशांक शांतपणे लिहू:

तेथे अमर्यादपणे अनेक मुळे आहेत आणि बीजगणितामध्ये त्यांचे घनरूप नोटेशन स्वीकारले जाते:
, कुठे ( – पूर्णांकांचा संच) .

आणि, “दूर न जाता”, एका व्हेरिएबलसह असमानता सोडवण्यासाठी ग्राफिकल पद्धतीबद्दल काही शब्द. तत्त्व समान आहे. तर, उदाहरणार्थ, असमानतेचे समाधान कोणतेही “x” आहे, कारण सायनसॉइड जवळजवळ पूर्णपणे सरळ रेषेखाली आहे. असमानतेचा उपाय म्हणजे मध्यांतरांचा संच ज्यामध्ये सायनसॉइडचे तुकडे सरळ रेषेच्या वर असतात. (x-अक्ष):

किंवा, थोडक्यात:

परंतु असमानतेचे अनेक उपाय येथे आहेत: रिक्त, कारण सायनसॉइडचा कोणताही बिंदू सरळ रेषेच्या वर नसतो.

तुम्हाला समजत नाही असे काही आहे का? बद्दलच्या धड्यांचा तातडीने अभ्यास करा सेटआणि फंक्शन आलेख!

चला उबदार होऊया:

व्यायाम १

खालील त्रिकोणमितीय समीकरणे ग्राफिक पद्धतीने सोडवा:

धड्याच्या शेवटी उत्तरे

जसे तुम्ही बघू शकता, अचूक विज्ञानाचा अभ्यास करण्यासाठी सूत्रे आणि संदर्भ पुस्तके घासणे अजिबात आवश्यक नाही! शिवाय, हा मूलभूतपणे सदोष दृष्टीकोन आहे.

धड्याच्या अगदी सुरुवातीलाच मी तुम्हाला आश्वस्त केल्याप्रमाणे, उच्च गणिताच्या मानक अभ्यासक्रमातील जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणे अत्यंत क्वचितच सोडवावी लागतात. सर्व जटिलता, एक नियम म्हणून, समीकरणांसह समाप्त होते, ज्याचे समाधान सर्वात सोप्या समीकरणांपासून उद्भवणारे मूळचे दोन गट आहेत आणि . नंतरचे निराकरण करण्याबद्दल जास्त काळजी करू नका - पुस्तक पहा किंवा इंटरनेटवर शोधा =)

ग्राफिकल सोल्यूशन पद्धत कमी क्षुल्लक प्रकरणांमध्ये देखील मदत करू शकते. उदाहरणार्थ, खालील “रॅगटॅग” समीकरणाचा विचार करा:

त्याच्या समाधानाची शक्यता दिसत आहे... अजिबात दिसत नाही, परंतु तुम्हाला फक्त फॉर्ममधील समीकरणाची कल्पना करावी लागेल, तयार करा. फंक्शन आलेखआणि सर्वकाही आश्चर्यकारकपणे सोपे होईल. याबद्दल लेखाच्या मध्यभागी एक रेखाचित्र आहे अमर्याद कार्ये (पुढील टॅबमध्ये उघडेल).

त्याच ग्राफिकल पद्धतीचा वापर करून, आपण हे शोधू शकता की समीकरणाची आधीपासून दोन मुळे आहेत आणि त्यापैकी एक शून्य आहे आणि दुसरे, वरवर पाहता, तर्कहीनआणि विभागाशी संबंधित आहे. या रूटची अंदाजे गणना केली जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, स्पर्शिक पद्धत. तसे, काही समस्यांमध्ये असे घडते की आपल्याला मुळे शोधण्याची गरज नाही, परंतु शोधा ते अजिबात अस्तित्वात आहेत का?. आणि येथे देखील, एक रेखाचित्र मदत करू शकते - जर आलेख एकमेकांना छेदत नाहीत तर मुळे नाहीत.

पूर्णांक गुणांकांसह बहुपदांची तर्कसंगत मुळे.
हॉर्नर योजना

आणि आता मी तुम्हाला तुमची नजर मध्ययुगाकडे वळवण्यासाठी आणि शास्त्रीय बीजगणिताचे अद्वितीय वातावरण अनुभवण्यासाठी आमंत्रित करतो. सामग्रीच्या चांगल्या आकलनासाठी, मी शिफारस करतो की आपण कमीतकमी थोडे वाचावे जटिल संख्या.

ते सर्वोत्कृष्ट आहेत. बहुपदी.

आमच्या स्वारस्याचा ऑब्जेक्ट फॉर्मचे सर्वात सामान्य बहुपदी असेल संपूर्णगुणांक नैसर्गिक संख्या म्हणतात बहुपदीची पदवी, संख्या – सर्वोच्च पदवीचा गुणांक (किंवा फक्त सर्वोच्च गुणांक), आणि गुणांक आहे विनामूल्य सदस्य.

मी या बहुपदी द्वारे थोडक्यात सूचित करेन.

बहुपदीची मुळेसमीकरणाची मुळे कॉल करा

मला लोखंडी तर्कशास्त्र आवडते =)

उदाहरणांसाठी, लेखाच्या अगदी सुरुवातीस जा:

1ल्या आणि 2ऱ्या अंशांच्या बहुपदांची मुळे शोधण्यात कोणतीही अडचण नाही, परंतु जसजसे तुम्ही वाढवत जाल तसतसे हे कार्य अधिकाधिक कठीण होत जाते. जरी दुसरीकडे, सर्वकाही अधिक मनोरंजक आहे! आणि धड्याचा दुसरा भाग नेमका कशासाठी समर्पित केला जाईल.

प्रथम, सिद्धांताचा अक्षरशः अर्धा पडदा:

1) परिणामानुसार बीजगणिताचे मूलभूत प्रमेय, पदवी बहुपदी बरोबर आहे जटिलमुळं. काही मुळे (किंवा अगदी सर्व) विशेषतः असू शकतात वैध. शिवाय, वास्तविक मुळांमध्ये समान (एकाधिक) मुळे असू शकतात (किमान दोन, कमाल तुकडे).

जर काही जटिल संख्या बहुपदीचे मूळ असेल तर संयुग्मितत्याची संख्या देखील या बहुपदीचे मूळ असणे आवश्यक आहे (संयुग्मित कॉम्प्लेक्स मुळांना फॉर्म असतो).

सर्वात सोपं उदाहरण म्हणजे चतुर्भुज समीकरण, जे पहिल्यांदा 8 मध्ये आले होते (जसे)वर्ग, आणि जे आम्ही शेवटी विषयात "पूर्ण" केले जटिल संख्या. मी तुम्हाला आठवण करून देतो: चतुर्भुज समीकरणात एकतर दोन भिन्न वास्तविक मुळे असतात, किंवा एकाधिक मुळे असतात किंवा संयुग्मित जटिल मुळे असतात.

2) पासून बेझाउटचे प्रमेयहे खालीलप्रमाणे आहे की जर एखादी संख्या समीकरणाचे मूळ असेल, तर संबंधित बहुपदी घटकबद्ध केली जाऊ शकते:
, पदवीची बहुपदी कुठे आहे .

आणि पुन्हा, आमचे जुने उदाहरण: समीकरणाचे मूळ असल्याने, नंतर . त्यानंतर सुप्रसिद्ध "शाळा" विस्तार प्राप्त करणे कठीण नाही.

बेझाउटच्या प्रमेयाच्या परिणामास उत्तम व्यावहारिक मूल्य आहे: जर आपल्याला 3 र्या अंशाच्या समीकरणाचे मूळ माहित असेल तर आपण ते फॉर्ममध्ये दर्शवू शकतो. आणि द्विघात समीकरणातून उर्वरित मुळे शोधणे सोपे आहे. जर आपल्याला 4थ्या अंशाच्या समीकरणाचे मूळ माहित असेल तर डाव्या बाजूचा उत्पादन इ. मध्ये विस्तार करणे शक्य आहे.

आणि येथे दोन प्रश्न आहेत:

प्रश्न एक. हे अगदी मूळ कसे शोधायचे? सर्व प्रथम, त्याचे स्वरूप परिभाषित करूया: उच्च गणिताच्या अनेक समस्यांमध्ये ते शोधणे आवश्यक आहे तर्कशुद्ध, विशेषतः संपूर्णबहुपदांची मुळे, आणि या संदर्भात, पुढे आम्हाला त्यांच्यामध्ये प्रामुख्याने रस असेल.... ...ते इतके चांगले, इतके चपळ आहेत की तुम्हाला ते शोधायचे आहेत! =)

मनात येणारी पहिली गोष्ट म्हणजे निवड पद्धत. उदाहरणार्थ, समीकरणाचा विचार करा. येथे पकडणे विनामूल्य शब्दात आहे - जर ते शून्याच्या बरोबरीचे असते, तर सर्व काही ठीक असते - आम्ही कंसातून "x" काढतो आणि मुळे स्वतःच पृष्ठभागावर "पडतात":

परंतु आमची मुक्त संज्ञा "तीन" च्या बरोबरीची आहे, आणि म्हणून आम्ही "मूळ" असल्याचा दावा करणाऱ्या समीकरणामध्ये विविध संख्या बदलू लागतो. सर्व प्रथम, एकल मूल्यांचे प्रतिस्थापन स्वतःच सूचित करते. चला बदलूया:

मिळाले चुकीचेसमानता, अशा प्रकारे, युनिट "फिट नाही." ठीक आहे, चला बदलूया:

मिळाले खरेसमानता म्हणजेच मूल्य हे या समीकरणाचे मूळ आहे.

3 र्या अंशाच्या बहुपदीची मुळे शोधण्यासाठी, एक विश्लेषणात्मक पद्धत आहे (तथाकथित कार्डानो सूत्रे), परंतु आता आम्हाला थोड्या वेगळ्या कार्यात रस आहे.

- हे आपल्या बहुपदीचे मूळ असल्याने, बहुपदीला फॉर्ममध्ये दर्शविले जाऊ शकते आणि उद्भवते दुसरा प्रश्न: "लहान भाऊ" कसा शोधायचा?

सर्वात सोपा बीजगणितीय विचार सूचित करतात की हे करण्यासाठी आपल्याला द्वारे विभाजित करणे आवश्यक आहे. बहुपदीला बहुपदीने कसे विभाजित करावे? समान शाळा पद्धत जी सामान्य संख्यांना विभाजित करते - “स्तंभ”! मी धड्याच्या पहिल्या उदाहरणांमध्ये या पद्धतीबद्दल तपशीलवार चर्चा केली. जटिल मर्यादा, आणि आता आपण दुसरी पद्धत पाहू, ज्याला म्हणतात हॉर्नर योजना.

प्रथम आपण "सर्वोच्च" बहुपदी लिहू प्रत्येकासह , शून्य गुणांकांसह:
, ज्यानंतर आम्ही हे गुणांक (कठोरपणे क्रमाने) टेबलच्या वरच्या पंक्तीमध्ये प्रविष्ट करतो:

आम्ही डावीकडे रूट लिहितो:

मी ताबडतोब आरक्षण करेन की हॉर्नरची योजना "लाल" क्रमांक असल्यास देखील कार्य करते नाहीबहुपदीचे मूळ आहे. तथापि, गोष्टींची घाई करू नका.

आम्ही वरून अग्रगण्य गुणांक काढतो:

खालच्या पेशी भरण्याची प्रक्रिया काहीशी भरतकामाची आठवण करून देणारी आहे, जिथे “मायनस वन” ही एक प्रकारची “सुई” आहे जी त्यानंतरच्या पायऱ्यांमध्ये झिरपते. आम्ही "कॅरीड डाउन" नंबरला (–१) ने गुणाकार करतो आणि वरच्या सेलमधील संख्या उत्पादनामध्ये जोडतो:

आम्ही सापडलेले मूल्य “लाल सुई” ने गुणाकार करतो आणि उत्पादनामध्ये खालील समीकरण गुणांक जोडतो:

आणि शेवटी, परिणामी मूल्य पुन्हा "सुई" आणि वरच्या गुणांकाने "प्रक्रिया" केले जाते:

शेवटच्या सेलमधील शून्य आपल्याला सांगते की बहुपदी विभागली आहे काहीही माग न सोडता (जसे असावे), तर विस्तार गुणांक थेट सारणीच्या तळापासून "काढले" जातात:

अशा प्रकारे, आम्ही समीकरणातून समतुल्य समीकरणाकडे वळलो आणि उर्वरित दोन मुळांसह सर्व काही स्पष्ट आहे (या प्रकरणात आपल्याला संयुग्मित जटिल मुळे मिळतात).

समीकरण, तसे, ग्राफिक पद्धतीने देखील सोडवले जाऊ शकते: प्लॉट "वीज" आणि आलेख x-अक्ष ओलांडतो हे पहा () बिंदूवर किंवा तीच "धूर्त" युक्ती - आम्ही फॉर्ममध्ये समीकरण पुन्हा लिहितो, प्राथमिक आलेख काढतो आणि त्यांच्या छेदनबिंदूचा "X" समन्वय शोधतो.

तसे, 3र्या अंशाच्या कोणत्याही फंक्शन-बहुपदीचा आलेख अक्षाला किमान एकदा छेदतो, याचा अर्थ संबंधित समीकरण किमानएक वैधमूळ. हे तथ्य विषम अंशाच्या कोणत्याही बहुपदी कार्यासाठी सत्य आहे.

आणि इथेही मला राहायला आवडेल महत्त्वाचा मुद्दाजे शब्दावलीशी संबंधित आहे: बहुपदीआणि बहुपदी कार्य – ती समान गोष्ट नाही! परंतु व्यवहारात ते सहसा बोलतात, उदाहरणार्थ, "बहुपदी आलेख" बद्दल, जे अर्थातच निष्काळजीपणा आहे.

तथापि, हॉर्नरच्या योजनेकडे परत जाऊया. मी अलीकडेच नमूद केल्याप्रमाणे, ही योजना इतर संख्यांसाठी कार्य करते, परंतु जर संख्या नाहीसमीकरणाचे मूळ आहे, नंतर आपल्या सूत्रामध्ये शून्य नसलेली जोड (उर्वरित) दिसते:

हॉर्नरच्या योजनेनुसार “अयशस्वी” मूल्य “चालवू”. या प्रकरणात, समान टेबल वापरणे सोयीचे आहे - डावीकडे एक नवीन "सुई" लिहा, वरून अग्रगण्य गुणांक हलवा. (डावा हिरवा बाण), आणि आम्ही निघतो:

तपासण्यासाठी, कंस उघडू आणि तत्सम अटी सादर करू:
, ठीक आहे.

हे पाहणे सोपे आहे की उर्वरित ("सहा") वरील बहुपदीचे नेमके मूल्य आहे. आणि खरं तर - ते काय आहे:
, आणि आणखी छान - यासारखे:

वरील गणनेवरून हे समजणे सोपे आहे की हॉर्नरची योजना केवळ बहुपदी घटकच नाही तर मूळची "सुसंस्कृत" निवड देखील करू देते. मी सुचवितो की आपण एका छोट्या कार्यासह गणना अल्गोरिदम एकत्र करा:

कार्य २

हॉर्नरची योजना वापरून, समीकरणाचे पूर्णांक मूळ शोधा आणि संबंधित बहुपदी घटक काढा

दुसऱ्या शब्दात, शेवटच्या स्तंभात शून्य उरलेले "रेखांकित" होईपर्यंत येथे तुम्हाला अनुक्रमे 1, -1, 2, -2, ... - क्रमांक तपासण्याची आवश्यकता आहे. याचा अर्थ असा होईल की या रेषेची “सुई” हे बहुपदीचे मूळ आहे

एकाच टेबलमध्ये गणना करणे सोयीचे आहे. धड्याच्या शेवटी तपशीलवार उपाय आणि उत्तर.

मुळे निवडण्याची पद्धत तुलनेने सोप्या प्रकरणांसाठी चांगली आहे, परंतु जर बहुपदीचे गुणांक आणि/किंवा पदवी मोठी असेल, तर प्रक्रियेस बराच वेळ लागू शकतो. किंवा कदाचित त्याच यादी 1, -1, 2, -2 मधील काही मूल्ये आहेत आणि विचारात काही अर्थ नाही? आणि, याशिवाय, मुळे अपूर्णांक असू शकतात, ज्यामुळे पूर्णपणे अवैज्ञानिक पोकिंग होईल.

सुदैवाने, दोन शक्तिशाली प्रमेये आहेत जी तर्कसंगत मुळांसाठी "उमेदवार" मूल्यांचा शोध लक्षणीयरीत्या कमी करू शकतात:

प्रमेय १चला विचार करूया अपरिवर्तनीयअपूर्णांक , कुठे . जर संख्या समीकरणाचे मूळ असेल, तर मुक्त पद याने भागले जाईल आणि अग्रगण्य गुणांक भागिले जाईल.

विशेषतः, जर अग्रगण्य गुणांक असेल, तर हे परिमेय मूळ पूर्णांक आहे:

आणि आम्ही फक्त या चवदार तपशीलासह प्रमेय शोषण करण्यास सुरवात करतो:

चला समीकरणाकडे परत जाऊया. त्याचे अग्रगण्य गुणांक असल्याने, काल्पनिक परिमेय मूळ केवळ पूर्णांक असू शकतात, आणि मुक्त संज्ञा अनिवार्यपणे या मुळांमध्ये उर्वरित न करता विभागली जाणे आवश्यक आहे. आणि "तीन" फक्त 1, -1, 3 आणि -3 मध्ये विभागले जाऊ शकतात. म्हणजेच आमच्याकडे फक्त 4 “मूळ उमेदवार” आहेत. आणि, त्यानुसार प्रमेय १, इतर परिमेय संख्या या समीकरणाचे मूळ असू शकत नाहीत.

समीकरणामध्ये थोडे अधिक "स्पर्धक" आहेत: विनामूल्य पद 1, -1, 2, - 2, 4 आणि -4 मध्ये विभागले गेले आहे.

कृपया लक्षात घ्या की संख्या 1, -1 संभाव्य मुळांच्या सूचीचे "नियमित" आहेत (प्रमेयाचा स्पष्ट परिणाम)आणि प्राधान्य चाचणीसाठी सर्वोत्तम पर्याय.

चला अधिक अर्थपूर्ण उदाहरणांकडे जाऊया:

समस्या 3

उपाय: अग्रगण्य गुणांक असल्याने, काल्पनिक परिमेय मूळ केवळ पूर्णांक असू शकतात आणि ते मुक्त पदाचे विभाजक असणे आवश्यक आहे. "उणे चाळीस" खालील संख्यांच्या जोड्यांमध्ये विभागलेले आहे:
- एकूण 16 "उमेदवार".

आणि येथे एक मोहक विचार लगेच दिसून येतो: सर्व नकारात्मक किंवा सर्व सकारात्मक मुळे काढून टाकणे शक्य आहे का? काही प्रकरणांमध्ये हे शक्य आहे! मी दोन चिन्हे तयार करेन:

1) जर सर्वजर बहुपदीचे गुणांक नॉन-ऋणात्मक किंवा सर्व गैर-सकारात्मक असतील, तर त्यास सकारात्मक मुळे असू शकत नाहीत. दुर्दैवाने, हे आमचे नाही (आता, जर आम्हाला एक समीकरण दिले गेले असेल - तर होय, बहुपदीचे कोणतेही मूल्य बदलताना, बहुपदीचे मूल्य काटेकोरपणे सकारात्मक असते, याचा अर्थ असा की सर्व सकारात्मक संख्या (आणि तर्कहीन सुद्धा)समीकरणाचे मूळ असू शकत नाही.

2) जर विषम शक्तींचे गुणांक नकारात्मक नसतील आणि सर्व सम शक्तींसाठी (मुक्त सदस्यासह)ऋणात्मक आहेत, तर बहुपदीमध्ये नकारात्मक मुळे असू शकत नाहीत. किंवा "मिरर": विषम शक्तींसाठी गुणांक पॉझिटिव्ह नसतात आणि सर्व सम शक्तींसाठी ते सकारात्मक असतात.

हे आमचे प्रकरण आहे! जरा जवळून पाहिल्यास, आपण पाहू शकता की समीकरणामध्ये कोणतेही नकारात्मक "X" बदलताना, डावीकडील बाजू कठोरपणे नकारात्मक असेल, याचा अर्थ नकारात्मक मुळे अदृश्य होतात.

अशा प्रकारे, संशोधनासाठी 8 संख्या शिल्लक आहेत:

हॉर्नरच्या योजनेनुसार आम्ही त्यांना अनुक्रमे “चार्ज” करतो. मला आशा आहे की आपण आधीच मानसिक गणनांमध्ये प्रभुत्व मिळवले आहे:

“दोन” ची चाचणी करताना नशीब आमची वाट पाहत होते. अशा प्रकारे, विचाराधीन समीकरणाचे मूळ आहे, आणि

समीकरणाचा अभ्यास करणे बाकी आहे . भेदभावाद्वारे हे करणे सोपे आहे, परंतु मी समान योजना वापरून सूचक चाचणी घेईन. प्रथम, आपण हे लक्षात घेऊया की मुक्त संज्ञा 20 च्या समान आहे, याचा अर्थ प्रमेय १ 8 आणि 40 अंक संभाव्य मुळांच्या यादीतून बाहेर पडतात, संशोधनासाठी मूल्ये सोडतात (हॉर्नरच्या योजनेनुसार एकाला काढून टाकण्यात आले).

आम्ही नवीन सारणीच्या वरच्या ओळीत त्रिपदाचे गुणांक लिहितो आणि आम्ही त्याच "दोन" सह तपासण्यास सुरुवात करतो. का? आणि मुळे गुणाकार असू शकतात, कृपया: - या समीकरणात 10 समान मुळे आहेत. पण विचलित होऊ नका:

आणि इथे, अर्थातच, मुळे तर्कशुद्ध आहेत हे जाणून मी थोडे खोटे बोललो होतो. शेवटी, जर ते तर्कहीन किंवा जटिल असतील तर मला उर्वरित सर्व संख्यांची अयशस्वी तपासणी करावी लागेल. म्हणून, व्यवहारात, विवेकबुद्धीचे मार्गदर्शन करा.

उत्तर द्या: तर्कसंगत मुळे: 2, 4, 5

आम्ही ज्या समस्येचे विश्लेषण केले त्यामध्ये आम्ही भाग्यवान होतो, कारण: अ) नकारात्मक मूल्ये ताबडतोब बंद झाली आणि ब) आम्हाला रूट खूप लवकर सापडले (आणि सैद्धांतिकदृष्ट्या आम्ही संपूर्ण यादी तपासू शकतो).

पण प्रत्यक्षात परिस्थिती खूपच वाईट आहे. मी तुम्हाला “द लास्ट हिरो” नावाचा एक रोमांचक खेळ पाहण्यासाठी आमंत्रित करतो:

समस्या 4

समीकरणाची तर्कशुद्ध मुळे शोधा

उपाय: द्वारे प्रमेय १काल्पनिक तर्कसंगत मुळांच्या अंकांनी स्थिती पूर्ण करणे आवश्यक आहे (आम्ही वाचतो "बाराला el ने भागले आहे"), आणि भाजक स्थितीशी संबंधित आहेत. यावर आधारित, आम्हाला दोन याद्या मिळतात:

"सूची el":
आणि "सूची अं": (सुदैवाने, येथे संख्या नैसर्गिक आहेत).

आता सर्व संभाव्य मुळांची यादी बनवू. प्रथम, आम्ही "el सूची" ने विभाजित करतो. समान संख्या प्राप्त होईल हे पूर्णपणे स्पष्ट आहे. सोयीसाठी, त्यांना टेबलमध्ये ठेवूया:

बरेच अपूर्णांक कमी केले गेले आहेत, परिणामी मूल्ये आधीच "नायकांच्या यादी" मध्ये आहेत. आम्ही फक्त "नवीन" जोडतो:

त्याचप्रमाणे, आम्ही समान "सूची" द्वारे विभाजित करतो:

आणि शेवटी

अशा प्रकारे, आमच्या गेममधील सहभागींची टीम पूर्ण झाली आहे:


दुर्दैवाने, या समस्येतील बहुपदी "सकारात्मक" किंवा "नकारात्मक" निकष पूर्ण करत नाही आणि म्हणून आम्ही वरची किंवा खालची पंक्ती टाकून देऊ शकत नाही. तुम्हाला सर्व संख्यांसह काम करावे लागेल.

तुला कसे वाटत आहे? चला, डोके वर काढा – आणखी एक प्रमेय आहे ज्याला लाक्षणिक अर्थाने “किलर प्रमेय” असे म्हटले जाऊ शकते…. ..."उमेदवार", अर्थातच =)

परंतु प्रथम तुम्हाला हॉर्नरच्या डायग्राममधून किमान एक स्क्रोल करणे आवश्यक आहे संपूर्णसंख्या पारंपारिकपणे, चला एक घेऊ. वरच्या ओळीत आपण बहुपदीचे गुणांक लिहितो आणि सर्वकाही नेहमीप्रमाणे आहे:

चार स्पष्टपणे शून्य नसल्यामुळे, मूल्य प्रश्नातील बहुपदीचे मूळ नाही. पण ती आम्हाला खूप मदत करेल.

प्रमेय 2जर काहींसाठी सामान्यतःबहुपदीचे मूल्य शून्य आहे: , नंतर त्याची परिमेय मुळे (ते असतील तर)अट पूर्ण करा

आमच्या बाबतीत आणि म्हणून सर्व संभाव्य मुळे स्थिती पूर्ण करणे आवश्यक आहे (याला अट क्रमांक १ म्हणूया). हे चौघे अनेक “उमेदवारांचे” “मारेकरी” असतील. प्रात्यक्षिक म्हणून, मी काही तपासण्या पाहू:

चला "उमेदवार" तपासूया. हे करण्यासाठी, आपण ते एका अपूर्णांकाच्या स्वरूपात कृत्रिमरित्या प्रस्तुत करूया, ज्यावरून ते स्पष्टपणे दिसून येते. चला चाचणी फरकाची गणना करूया: . चारला “वजा दोन” ने भागले आहे: , याचा अर्थ संभाव्य रूटने चाचणी उत्तीर्ण केली आहे.

चला मूल्य तपासूया. येथे चाचणी फरक आहे: . अर्थात, आणि म्हणून दुसरा “विषय” देखील यादीत आहे.

या लेखात आपण बहुपदांना विभाजित करण्याची उदाहरणे सोडवण्याच्या सोयीस्कर योजनेबद्दल बोलू. जर आपल्याला P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + या भागफलाच्या गुणांकाची गणना करायची असेल तर. . . + a 1 x + a 0 आणि उर्वरित बहुपदीला रेखीय द्विपदी x - s ने विभाजित केल्यास हॉर्नरची योजना (पद्धत) वापरणे सोयीचे होईल.

यात एक विशेष सारणी तयार करणे आणि त्यात प्रारंभिक डेटा प्रविष्ट करणे समाविष्ट आहे:

संख्या b n, b n - 1, b n - 2, . . . , b 1 आणि आपल्याला P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + आवश्यक असलेले भागाकार गुणांक असतील. . . + a 1 x + a 0 x - s वर . उर्वरित येथे b 0 म्हणून नियुक्त केले आहे. अन्यथा, तुम्ही असे उपाय लिहू शकता:

आता ही योजना प्रत्यक्ष व्यवहारात कशी लागू करायची ते आपण दाखवू.

उदाहरण १

अट:हॉर्नरची योजना वापरून बहुपदी 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 रेखीय द्विपदी x - 1 ने भागा.

उपाय

चला टेबल भरा. आपल्याकडे s बरोबर एक आहे, आणि गुणांक a 4 = 2, a 3 = - 3, a 2 = - 1, a 1 = 4, a 0 = 13 आहे.

उत्तर:आपल्याला b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2, आणि उर्वरित b 0 = 15 समान भाग मिळाले.

दुसऱ्या कार्यात आम्ही तपशीलवार टिप्पण्यांशिवाय करू.

उदाहरण २

अट:बहुपदी 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 ला द्विपदी x + 1 2 ने भागाकार भागाकार करता येईल का ते निश्चित करा. भागफल मोजा.

उपाय

हॉर्नरच्या योजनेनुसार टेबल भरू.

शेवटच्या सेलमध्ये आपल्याला शून्य शेष दिसतो, म्हणून आपण मूळ बहुपदीला द्विपदीने विभाजित करू शकतो.

उत्तर:भागफल बहुपदी 2 x 2 - 12 x + 18 असेल.

जर b 0 = 0 असेल, तर आपण P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + या बहुपदीच्या विभाज्यतेबद्दल बोलू शकतो. . . + a 1 x + a 0 द्विपदी x - s द्वारे, आणि आपल्याकडे मूळ बहुपदीचे मूळ s बरोबर आहे. बेझाउटच्या प्रमेयाचा एक परिणाम वापरून, आम्ही या बहुपदीला उत्पादन म्हणून प्रस्तुत करू शकतो:

P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = = x - s (b n x n + 1 + b n - 1 x n - 2 + ... . + b 1)

याबद्दल धन्यवाद, हॉर्नरची योजना अशा प्रकरणांसाठी योग्य आहे जेव्हा आपल्याला पूर्णांक गुणांक असलेल्या उच्च अंशांच्या समीकरणांची पूर्णांक मुळे शोधण्याची किंवा बहुपदी साध्या घटकांमध्ये विघटित करण्याची आवश्यकता असते.

उदाहरण ३

अट: x 3 - 7 x - 6 = 0 हे समीकरण सोडवा. डावीकडील बहुपदी त्याच्या वैयक्तिक घटकांमध्ये घटक करा.

उपाय

आम्हाला माहित आहे की समीकरणाची संपूर्ण मुळे (असल्यास) मुक्त पदाच्या विभाजकांमध्ये शोधली पाहिजेत. चला त्यांना 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6 स्वतंत्रपणे लिहू आणि हॉर्नरची योजना वापरून तपासू.

टेबल डेटावरून हे स्पष्ट आहे की एकता या समीकरणाच्या मुळांपैकी एक असणार नाही.

टेबलमध्ये आणखी एक संभाव्य रूट जोडूया.

पण - 1 योग्य आहे, याचा अर्थ आपण मूळ बहुपदी x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) म्हणून दर्शवू शकतो.

यावरून असे दिसून येते की - 1 हे बहुविध (पुनरावृत्ती) मूळ असणार नाही. आम्ही खालील पर्याय घेतो आणि गणना करतो:

संख्या 2 समीकरणाच्या मुळांपैकी एक नाही. चला हॉर्नरच्या टेबलला x = - 2 साठी पूरक करूया:

उणे दोन हे मूळ समीकरणाचे मूळ असेल. आपण बहुपदी असे लिहू शकतो:

x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)

समीकरणाचे तिसरे आणि अंतिम मूळ तीन समान असेल. गुणांक म्हणून मिळालेल्या शेवटच्या पंक्तीची मूल्ये घेऊन सारणी भरणे पूर्ण करूया:

यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की हॉर्नरच्या पद्धतीचा वापर करून भरलेले शेवटचे तक्ते हे आपल्या उदाहरणाचे समाधान असेल. ही समस्या एका स्तंभासह रेखीय द्विपदीने बहुपदी विभाजित करून देखील सोडविली जाऊ शकते, परंतु येथे दर्शविलेले रेखाचित्र अधिक स्पष्ट आणि सोपे आहे.

उत्तर: x = - 1 , x = - 2 , x = 3 , x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3) .

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

पूर्वी, बहुपदीची संकल्पना ही बीजगणितीय बेरीज म्हणून परिभाषित केली गेली होती. जर बहुपदीचे सर्व समान मोनोमिअल्स दिलेले असतील आणि व्हेरिएबलच्या डिग्रीच्या उतरत्या क्रमाने मांडले असतील, तर परिणामी रेकॉर्ड म्हणतात. कॅनोनिकल नोटेशनबहुपदी

व्याख्या.स्वरूपाची अभिव्यक्ती

कुठे x- काही चल, वास्तविक संख्या, आणि , म्हणतात पदवीचे बहुपद n व्हेरिएबल पासून x . पदवीबहुपदीची त्याच्या प्रमाणिक नोटेशनमध्ये व्हेरिएबलची सर्वात मोठी शक्ती आहे. जर व्हेरिएबल बहुपदी नोटेशनमध्ये दिसत नसेल, म्हणजे. बहुपदी स्थिरांकाच्या बरोबरीची असते, त्याची पदवी ० च्या बरोबरीची मानली जाते. जेव्हा बहुपदी स्वतंत्रपणे विचारात घेणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, हे सामान्यतः स्वीकारले जाते की त्याची पदवी परिभाषित केलेली नाही.

उदाहरणे.दुसऱ्या पदवीचे बहुपद,

पाचव्या पदवीचे बहुपद.

व्याख्या.दोन बहुपदी समानजर आणि फक्त जर त्यांच्या प्रमाणिक स्वरुपात समान गुणांक समान शक्तींवर असतील.

व्याख्या. क्रमांकावर कॉल केला जातो बहुपदीचे मूळ, जर त्याऐवजी हा नंबर सेट करताना xबहुपद मूल्य 0 घेते, म्हणजे. दुसऱ्या शब्दांत, समीकरणाचे मूळ असेल

अशा प्रकारे, बहुपदीची सर्व मुळे आणि परिमेय समीकरणाची मुळे शोधण्याची समस्या एकच आहे.

प्रथम आणि द्वितीय अंशांची तर्कसंगत समीकरणे ज्ञात अल्गोरिदम वापरून सोडविली जातात. तिसऱ्या आणि चौथ्या अंशांच्या बहुपदांची मुळे शोधण्यासाठी देखील सूत्रे आहेत (कार्डानो आणि फेरारी सूत्रे), परंतु त्यांच्या जटिलतेमुळे ते प्राथमिक गणिताच्या अभ्यासक्रमात समाविष्ट केले जात नाहीत.

उच्च अंशांच्या बहुपदांची मुळे शोधण्याची सामान्य कल्पना म्हणजे बहुपदी घटक आणि समीकरणाला कमी पदवीच्या समीकरणांच्या समतुल्य संचाने पुनर्स्थित करणे.

मागील विषयांमध्ये, बहुपदी घटकांचे मुख्य मार्ग लक्षात घेतले होते: एक सामान्य घटक घेणे; गट करणे; संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे.

तथापि, गटबद्ध करण्याची पद्धत अल्गोरिदमिक स्वरूपाची नाही, म्हणून ती मोठ्या अंशांच्या बहुपदांवर लागू करणे कठीण आहे. चला काही अतिरिक्त प्रमेयांचा आणि पद्धतींचा विचार करूया ज्यामुळे आम्हाला उच्च अंशांच्या बहुपदांचा घटक करता येतो.

भागाकारावरील प्रमेय उर्वरित सह.बहुपद दिले जाऊ द्या, आणि पदवी 0 पेक्षा वेगळी आहे आणि पदवी पदवीपेक्षा मोठी आहे. नंतर समानता अशा बहुपदी अस्तित्वात आहेत

शिवाय, पदवीपेक्षा कमी पदवीला बहुपदी म्हणतात विभाज्य, बहुपद दुभाजकबहुपदी अपूर्ण खाजगी, आणि बहुपद उर्वरित .

जर भागाकाराचा उरलेला भाग 0 असेल तर आपण असे म्हणतो शेअर्सवर पूर्णपणे, आणि समानता फॉर्म घेते:

बहुपदीला बहुपदीने भागण्याचा अल्गोरिदम हा स्तंभ किंवा कोपऱ्याने संख्येने भाग घेण्याच्या अल्गोरिदमसारखाच असतो. अल्गोरिदमच्या चरणांचे वर्णन करूया.

व्हेरिएबलच्या सर्व शक्तींसह, एका ओळीवर लाभांश लिहा (0 च्या गुणांकासह गहाळ असलेले लिहा).

व्हेरिएबलच्या सर्व शक्तींसह “कोपऱ्यात” लाभांश लिहा.

अपूर्ण भागामध्ये प्रथम पद (एकपद) शोधण्यासाठी, तुम्हाला लाभांशाच्या अग्रगण्य मोनोमिअलला विभाजकाच्या अग्रगण्य मोनोमिअलने विभाजित करणे आवश्यक आहे.

भागफलाच्या परिणामी प्रथम पदाचा संपूर्ण भागाकाराने गुणाकार करा आणि लाभांश अंतर्गत निकाल लिहा आणि चलच्या समान शक्ती एकमेकांखाली लिहा.

लाभांशातून परिणामी उत्पादन वजा करा.

बिंदू 1 पासून प्रारंभ करून, परिणामी उर्वरित भागावर अल्गोरिदम लागू करा).

अल्गोरिदम पूर्ण होतो जेव्हा परिणामी फरकाची डिग्री विभाजकाच्या डिग्रीपेक्षा कमी असते. हे बाकी आहे.

उदाहरण. बहुपदीला द्वारे विभाजित करा.

लाभांश आणि भाजक लिहून ठेवणे

प्रक्रिया पुन्हा करा

पदवी विभाजकाच्या पदवीपेक्षा कमी आहे. तर हे बाकी आहे. विभाजनाचा निकाल याप्रमाणे लिहिला जाईल:

हॉर्नरची योजना.जर विभाजक हा पहिल्या अंशाचा बहुपदी असेल तर भागाकार प्रक्रिया सुलभ केली जाऊ शकते. बहुपदीला द्विपदीने विभाजित करण्यासाठी अल्गोरिदम विचारात घ्या.

उदाहरण. हॉर्नरच्या योजनेनुसार बहुपदी विभाजित करा. या प्रकरणात ए=2. चरण-दर-चरण अल्गोरिदम कार्यान्वित करण्याचे परिणाम लिहू.

अशा प्रकारे, आम्ही खालीलप्रमाणे भागाकाराचा निकाल लिहितो

टिप्पणी.जर तुम्हाला द्विपदीने भागायचे असेल तर

मग ते नंतर फॉर्ममध्ये रूपांतरित केले जाते. यावरून हे स्पष्ट होते की, हॉर्नरच्या स्कीमने भागाकार केल्यावर जे सापडले त्याचा भागाकार करून इच्छित भागफल मिळेल ए. बाकी तेच राहते.

बेझाउटचे प्रमेय. बहुपदीला ने भागताना उर्वरित भाग बिंदूवरील बहुपदीच्या मूल्याच्या बरोबरीचा असतो x = ए, म्हणजे . बहुपदीला जर आणि फक्त जर उरलेल्या भागाशिवाय भाग जातो x = एबहुपदीचे मूळ आहे.

अशा प्रकारे, बहुपदीचे एक मूळ सापडले ए , पदवीपेक्षा एक डिग्री कमी असलेला घटक निवडून तुम्ही त्याचे गुणांक बनवू शकता. हा गुणक एकतर हॉर्नरची योजना वापरून किंवा कोपऱ्याने विभाजित करून शोधला जाऊ शकतो.

मूळ शोधण्याचा प्रश्न निवडून किंवा बहुपदीच्या परिमेय मुळांवर प्रमेय वापरून सोडवला जातो.

प्रमेय.बहुपदी द्या पूर्णांक गुणांक आहेत. जर अपरिवर्तनीय अपूर्णांक हे बहुपदीचे मूळ असेल, तर त्याचा अंश pमुक्त पदाचा विभाजक आणि भाजक आहे qअग्रगण्य गुणांकाचा विभाजक आहे.

हे प्रमेय अंतर्भूत आहे तर्कसंगत मुळे शोधण्यासाठी अल्गोरिदमबहुपदी (असल्यास).

साध्या अपूर्णांकांच्या बेरीजमध्ये बीजगणितीय अपूर्णांकाचे विघटन

व्याख्याज्या अंश आणि भाजकामध्ये बहुपदी असतात त्याला म्हणतात बीजगणितीय अपूर्णांक .

चला एका चलच्या बीजगणितीय अपूर्णांकांचा विचार करू. ते सामान्य स्वरूपात खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकतात: , जेथे अंशामध्ये पदवीची बहुपदी असते n, भाजक हा पदवीचा बहुपदी आहे k. जर , तर अपूर्णांक म्हणतात योग्य .

TO साधे बीजगणितीय अपूर्णांकयोग्य अपूर्णांकांचे दोन प्रकार आहेत:

प्रमेय.कोणताही बीजगणितीय अपूर्णांक सर्वात सोप्या बीजगणितीय अपूर्णांकांची बेरीज म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो.

बीजगणितीय अपूर्णांकाला साध्या अपूर्णांकांच्या बेरीजमध्ये विघटित करण्यासाठी अल्गोरिदम.

भाजक घटक.

योग्य अपूर्णांकांची संख्या आणि त्यांच्या भाजकांचा प्रकार निश्चित करा.

एक समानता लिहा, ज्याच्या डाव्या बाजूला मूळ अपूर्णांक आहे, उजव्या बाजूला अनिर्धारित गुणांक असलेल्या सर्वात सोप्या अपूर्णांकांची बेरीज आहे.

उजव्या बाजूचे अपूर्णांक एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करा.

अपूर्णांकांच्या अंशांमधील बहुपदांची समीकरण करा. बहुपदांच्या समानतेची व्याख्या वापरून, रेखीय समीकरणांची एक प्रणाली तयार करा आणि अनिर्धारित गुणांक शोधून ते सोडवा.

"व्यावसायिक गणिताचे शिक्षक" ही वेबसाइट शिकवण्याविषयीच्या पद्धतीविषयक लेखांची मालिका सुरू ठेवते. मी माझ्या कामाच्या पद्धतींचे वर्णन शालेय अभ्यासक्रमातील सर्वात जटिल आणि समस्याप्रधान विषयांसह प्रकाशित करतो. ही सामग्री नियमित कार्यक्रमात आणि गणित वर्गांच्या कार्यक्रमात इयत्ता 8-11 मधील विद्यार्थ्यांसोबत काम करणाऱ्या गणित विषयातील शिक्षक आणि शिक्षकांना उपयुक्त ठरेल.

गणिताचा शिक्षक नेहमी पाठ्यपुस्तकात असमाधानकारकपणे सादर केलेली सामग्री स्पष्ट करू शकत नाही. दुर्दैवाने, असे विषय अधिकाधिक संख्येने होत आहेत आणि मॅन्युअलच्या लेखकांच्या अनुषंगाने सादरीकरणातील चुका मोठ्या प्रमाणात केल्या जात आहेत. हे केवळ सुरुवातीच्या गणिताचे शिक्षक आणि अर्धवेळ शिक्षक (शिक्षक हे विद्यार्थी आणि विद्यापीठाचे शिक्षक) यांनाच लागू होत नाही, तर अनुभवी शिक्षक, व्यावसायिक शिक्षक, अनुभव आणि पात्रता असलेले शिक्षक यांनाही लागू होते. शालेय पाठ्यपुस्तकांतील खडबडीत कडा सक्षमपणे दुरुस्त करण्याची प्रतिभा सर्वच गणिताच्या शिक्षकांकडे नसते. प्रत्येकाला हे देखील समजत नाही की या दुरुस्त्या (किंवा जोडणे) आवश्यक आहेत. मुलांच्या गुणात्मक आकलनासाठी सामग्रीचे रुपांतर करण्यात काही मुले गुंतलेली असतात. दुर्दैवाने, गणिताचे शिक्षक, मेथडॉलॉजिस्ट आणि प्रकाशनांच्या लेखकांसह, पाठ्यपुस्तकातील प्रत्येक अक्षरावर सामूहिक चर्चा करताना वेळ निघून गेली आहे. पूर्वी, शाळांमध्ये पाठ्यपुस्तक सोडण्यापूर्वी, अभ्यासाच्या परिणामांचे गंभीर विश्लेषण आणि अभ्यास केले जात होते. पाठ्यपुस्तके सार्वत्रिक बनविण्याचा प्रयत्न करणाऱ्या शौकीनांसाठी वेळ आली आहे, त्यांना गणिताच्या मजबूत वर्गांच्या मानकांशी जुळवून घ्या.

माहितीचे प्रमाण वाढवण्याची शर्यत केवळ त्याच्या आत्मसात करण्याच्या गुणवत्तेत घट होते आणि परिणामी, गणितातील वास्तविक ज्ञानाची पातळी कमी होते. मात्र याकडे कोणी लक्ष देत नाही. आणि आमच्या मुलांना, आधीच 8 व्या इयत्तेत, आम्ही संस्थेत काय अभ्यास केला आहे याचा अभ्यास करण्यास भाग पाडले जाते: संभाव्यता सिद्धांत, उच्च-पदवी समीकरणे सोडवणे आणि आणखी काहीतरी. मुलाच्या पूर्ण आकलनासाठी पुस्तकांमधील सामग्रीचे रुपांतर खूप काही हवे असते आणि गणिताच्या शिक्षकाला या गोष्टीचा कसा तरी सामना करण्यास भाग पाडले जाते.

"बहुपदी एका कोपऱ्याने बहुपदी विभाजित करणे" यासारख्या विशिष्ट विषयाच्या शिकवण्याच्या पद्धतीबद्दल बोलूया, प्रौढ गणितामध्ये "बेझाउटचे प्रमेय आणि हॉर्नरची योजना" म्हणून ओळखले जाते. काही वर्षांपूर्वी, गणिताच्या शिकवणीसाठी हा प्रश्न इतका दबाव नव्हता, कारण तो मुख्य शालेय अभ्यासक्रमाचा भाग नव्हता. आता टेल्याकोव्स्कीने संपादित केलेल्या पाठ्यपुस्तकाच्या आदरणीय लेखकांनी, माझ्या मते, सर्वोत्तम पाठ्यपुस्तक काय आहे, त्याच्या नवीनतम आवृत्तीत बदल केले आहेत आणि ते पूर्णपणे खराब करून, केवळ शिक्षकांना अनावश्यक चिंता जोडल्या आहेत. गणिताचा दर्जा नसलेल्या शाळा आणि वर्गातील शिक्षकांनी, लेखकांच्या नवकल्पनांवर लक्ष केंद्रित करून, त्यांच्या धड्यांमध्ये अधिक वेळा अतिरिक्त परिच्छेद समाविष्ट करण्यास सुरुवात केली आणि जिज्ञासू मुले, त्यांच्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील सुंदर पृष्ठे पहात, अधिकाधिक प्रश्न विचारू लागली. शिक्षक: “हे कोपऱ्याने विभागणे म्हणजे काय? आपण यातून जाणार आहोत का? कोपरा कसा शेअर करायचा? अशा थेट प्रश्नांपासून आता काही लपून राहिलेले नाही. ट्यूटरला मुलाला काहीतरी सांगावे लागेल.

पण जस? हा विषय पाठ्यपुस्तकांमध्ये सक्षमपणे मांडला असता तर मी कदाचित त्या विषयावर काम करण्याच्या पद्धतीचे वर्णन केले नसते. आमच्याबरोबर सर्वकाही कसे चालले आहे? पाठ्यपुस्तके छापून विकणे आवश्यक आहे. आणि यासाठी ते नियमितपणे अपडेट करणे आवश्यक आहे. विद्यापीठातील शिक्षक तक्रार करतात का की मुले त्यांच्याकडे रिकाम्या डोक्याने, ज्ञान आणि कौशल्याशिवाय येतात? गणितीय ज्ञानाच्या गरजा वाढत आहेत का? छान! चला काही व्यायाम काढून टाकू आणि त्याऐवजी इतर प्रोग्राममध्ये अभ्यासलेले विषय समाविष्ट करू. आमचे पाठ्यपुस्तक वाईट का आहे? आम्ही काही अतिरिक्त अध्याय समाविष्ट करू. शाळकरी मुलांना एका कोपऱ्याने विभागण्याचा नियम माहित नाही? हे मूलभूत गणित आहे. हा परिच्छेद "ज्यांना अधिक जाणून घ्यायचे आहे त्यांच्यासाठी" असे शीर्षक असलेले वैकल्पिक केले पाहिजे. शिक्षक विरोधात आहेत का? आम्ही सर्वसाधारणपणे शिक्षकांची काळजी का करतो? मेथडॉलॉजिस्ट आणि शाळेतील शिक्षकही विरोधात आहेत का? आम्ही सामग्रीची गुंतागुंत करणार नाही आणि त्याचा सर्वात सोपा भाग विचारात घेऊ.

आणि इथूनच त्याची सुरुवात होते. विषयाची साधेपणा आणि त्याच्या आत्मसात करण्याच्या गुणवत्तेत, सर्व प्रथम, त्याचे तर्कशास्त्र समजून घेणे, आणि पाठ्यपुस्तक लेखकांच्या सूचनांनुसार कार्य न करता, एकमेकांशी स्पष्टपणे संबंधित नसलेल्या ऑपरेशन्सचा एक विशिष्ट संच. . अन्यथा, विद्यार्थ्यांच्या डोक्यात धुके असेल. जर लेखक तुलनेने मजबूत विद्यार्थ्यांना लक्ष्य करत असतील (परंतु नियमित कार्यक्रमात अभ्यास करत असतील), तर तुम्ही हा विषय कमांड फॉर्ममध्ये सादर करू नये. पाठ्यपुस्तकात आपण काय पाहतो? मुलांनो, आपण या नियमानुसार विभागले पाहिजे. कोनाखालील बहुपद मिळवा. अशाप्रकारे, मूळ बहुपदी घटकबद्ध केली जाईल. तथापि, कोपऱ्याखालील संज्ञा अशा प्रकारे का निवडल्या गेल्या आहेत, त्यांना कोपऱ्याच्या वरच्या बहुपदीने गुणाकार का केला गेला पाहिजे आणि नंतर वर्तमान उर्वरित भागातून वजा केले पाहिजे हे समजणे स्पष्ट नाही. आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, निवडलेले मोनोमिअल शेवटी का जोडले जावे आणि परिणामी कंस मूळ बहुपदीचा विस्तार का होईल हे स्पष्ट नाही. कोणताही सक्षम गणितज्ञ पाठ्यपुस्तकात दिलेल्या स्पष्टीकरणांवर ठळक प्रश्नचिन्ह लावेल.

मी माझ्या समस्येचे निराकरण शिक्षक आणि गणित शिक्षकांच्या लक्षात आणून देतो, ज्यामुळे पाठ्यपुस्तकात सांगितलेली प्रत्येक गोष्ट विद्यार्थ्याला व्यावहारिकपणे स्पष्ट होते. खरं तर, आम्ही बेझाउटचे प्रमेय सिद्ध करू: जर संख्या a बहुपदीचे मूळ असेल, तर या बहुपदीचे घटकांमध्ये विघटन केले जाऊ शकते, ज्यापैकी एक x-a आहे आणि दुसरा तीनपैकी एका प्रकारे मूळपासून प्राप्त केला जातो: ट्रान्सफॉर्मेशनद्वारे रेषीय घटक वेगळे करून, कोपऱ्याद्वारे विभाजित करून किंवा हॉर्नरच्या योजनेद्वारे. या फॉर्म्युलेशनमुळेच गणिताच्या शिक्षकाला काम करणे सोपे होईल.

शिकवण्याची पद्धत म्हणजे काय? सर्व प्रथम, स्पष्टीकरण आणि उदाहरणांच्या क्रमवारीत हा स्पष्ट क्रम आहे ज्याच्या आधारे गणितीय निष्कर्ष काढले जातात. हा विषयही त्याला अपवाद नाही. गणिताच्या शिक्षकाने मुलाला बेझाउटच्या प्रमेयाची ओळख करून देणे खूप महत्वाचे आहे एका कोपऱ्याने विभाजित करण्यापूर्वी. हे खूप महत्वाचे आहे! विशिष्ट उदाहरण वापरून समजून घेणे उत्तम. चला निवडलेल्या मुळासह काही बहुपदी घेऊ आणि 7 व्या इयत्तेपासून शाळकरी मुलांसाठी परिचित असलेल्या ओळख परिवर्तनाच्या पद्धतीचा वापर करून घटकांमध्ये घटक बनवण्याचे तंत्र दाखवू. गणिताच्या ट्यूटरकडून योग्य स्पष्टीकरणे, जोर आणि टिपांसह, कोणतीही सामान्य गणितीय गणना, अनियंत्रित गुणांक आणि शक्तींशिवाय सामग्री पोहोचवणे शक्य आहे.

गणिताच्या शिक्षकासाठी महत्त्वाचा सल्ला- सुरुवातीपासून शेवटपर्यंत सूचनांचे अनुसरण करा आणि हा क्रम बदलू नका.

तर, आपल्याकडे बहुपदी आहे असे म्हणू या. जर आपण X च्या ऐवजी 1 क्रमांक लावला तर बहुपदीचे मूल्य शून्य असेल. म्हणून x=1 त्याचे मूळ आहे. चला ते दोन संज्ञांमध्ये विघटित करण्याचा प्रयत्न करूया जेणेकरुन त्यापैकी एक रेषीय अभिव्यक्तीचे उत्पादन असेल आणि काही मोनोमिअल असेल आणि दुसऱ्यामध्ये पेक्षा एक अंश कमी असेल. म्हणजेच फॉर्ममध्ये त्याचे प्रतिनिधित्व करूया

आम्ही लाल फील्डसाठी मोनोमियल निवडतो जेणेकरुन अग्रगण्य पदाने गुणाकार केल्यावर ते मूळ बहुपदीच्या अग्रगण्य पदाशी पूर्णपणे एकरूप होईल. जर विद्यार्थी सर्वात कमकुवत नसेल, तर तो गणिताच्या शिक्षकाला आवश्यक अभिव्यक्ती सांगण्यास सक्षम असेल: . ट्यूटरला ताबडतोब ते लाल फील्डमध्ये घालण्यास सांगितले पाहिजे आणि ते उघडल्यावर काय होईल ते दर्शवावे. या आभासी तात्पुरत्या बहुपदीवर बाणांच्या खाली (छोट्या फोटोखाली) स्वाक्षरी करणे चांगले आहे, त्यास काही रंगाने हायलाइट करणे, उदाहरणार्थ, निळा. हे तुम्हाला लाल फील्डसाठी एक संज्ञा निवडण्यात मदत करेल, ज्याला निवडीचा उर्वरित भाग म्हणतात. ही उरलेली वजाबाकी करून सापडू शकते हे येथे निदर्शनास आणण्यासाठी मी शिक्षकांना सल्ला देईन. हे ऑपरेशन केल्याने आम्हाला मिळते:



गणिताच्या शिक्षकाने या वस्तुस्थितीकडे विद्यार्थ्याचे लक्ष वेधले पाहिजे की या समानतेमध्ये एक बदलून, आपल्याला त्याच्या डाव्या बाजूला शून्य मिळण्याची हमी आहे (कारण 1 हे मूळ बहुपदीचे मूळ आहे), आणि उजव्या बाजूला, स्पष्टपणे, आम्ही पहिल्या टर्मला देखील शून्य करेल. याचा अर्थ असा की कोणत्याही पडताळणीशिवाय आपण असे म्हणू शकतो की एक "हिरव्या अवशेष" चे मूळ आहे.

आपण मूळ बहुपदी प्रमाणेच त्याच्याशी समान रेखीय घटक वेगळे करून त्यास सामोरे जाऊ. गणिताचा शिक्षक विद्यार्थ्यासमोर दोन फ्रेम्स काढतो आणि त्यांना डावीकडून उजवीकडे भरण्यास सांगतो.



विद्यार्थ्याने ट्यूटरसाठी लाल फील्डसाठी मोनोमियल निवडतो जेणेकरून, रेखीय अभिव्यक्तीच्या अग्रस्थानी पदाने गुणाकार केल्यावर, ते विस्तारित बहुपदीची अग्रगण्य संज्ञा देते. आम्ही ते फ्रेममध्ये बसवतो, ताबडतोब ब्रॅकेट उघडतो आणि फोल्डिंगमधून वजा करणे आवश्यक असलेली अभिव्यक्ती निळ्या रंगात हायलाइट करतो. हे ऑपरेशन केल्याने आम्हाला मिळते



आणि शेवटी, शेवटच्या उर्वरितसह तेच करणे



आम्हाला ते शेवटी मिळेल



आता कंसातून अभिव्यक्ती काढू आणि मूळ बहुपदीचे घटकांमध्ये विघटन होणार आहे, त्यापैकी एक म्हणजे “x वजा निवडलेले मूळ”.

शेवटचा “हिरवा उरलेला भाग” चुकून आवश्यक घटकांमध्ये विघटित झाला असा विचार विद्यार्थ्याने करू नये म्हणून, गणिताच्या शिक्षकाने सर्व हिरव्या अवशेषांचा एक महत्त्वाचा गुणधर्म दर्शविला पाहिजे - त्या प्रत्येकाचे मूळ 1 आहे. कारण हे अवशेष कमी होतात, मग आपल्याला कितीही बहुपदी दिलेली असली तरीही, लवकर किंवा नंतर आपल्याला मूळ 1 सह एक रेषीय “हिरवा शेष” मिळेल आणि त्यामुळे ते विशिष्ट गुणाकारात विघटित होईल. संख्या आणि अभिव्यक्ती.

अशा तयारीच्या कामानंतर, गणिताच्या शिक्षकाला विद्यार्थ्याला एका कोपऱ्याने विभाजित केल्यावर काय होते हे समजावून सांगणे कठीण होणार नाही. ही समान प्रक्रिया आहे, फक्त लहान आणि अधिक संक्षिप्त स्वरूपात, समान चिन्हांशिवाय आणि समान हायलाइट केलेल्या अटी पुन्हा लिहिल्याशिवाय. बहुपदी ज्यामधून रेखीय घटक काढला जातो तो कोपऱ्याच्या डावीकडे लिहिला जातो, निवडलेल्या लाल मोनोमिअल्स एका कोनात गोळा केल्या जातात (आता ते का जोडले जावे हे स्पष्ट झाले आहे), “निळे बहुपद” मिळविण्यासाठी, “लाल " x-1 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे, आणि नंतर सध्या निवडलेल्यामधून वजा करणे आवश्यक आहे की संख्यांच्या नेहमीच्या विभागणीमध्ये हे एका स्तंभात कसे केले जाते (आधी अभ्यास केलेल्या गोष्टीशी येथे साधर्म्य आहे). परिणामी "हिरवे अवशेष" नवीन अलगाव आणि "लाल मोनोमिअल्स" च्या निवडीच्या अधीन आहेत. आणि असेच तुम्हाला शून्य “ग्रीन बॅलन्स” मिळेपर्यंत. सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे विद्यार्थ्याला कोनाच्या वर आणि खाली लिहिलेल्या बहुपदींचे पुढील भवितव्य समजते. अर्थात, हे कंस आहेत ज्यांचे उत्पादन मूळ बहुपदी समान आहे.

गणिताच्या शिक्षकाच्या कामाचा पुढचा टप्पा म्हणजे बेझाउटच्या प्रमेयाची निर्मिती. खरं तर, ट्यूटरच्या या दृष्टीकोनातून त्याचे सूत्रीकरण स्पष्ट होते: जर a ही संख्या बहुपदीचे मूळ असेल, तर ती घटकबद्ध केली जाऊ शकते, ज्यापैकी एक आहे, आणि दुसरा मूळ क्रमांकापासून तीनपैकी एका प्रकारे मिळवला जातो. :

• थेट विघटन (ग्रुपिंग पद्धतीशी साधर्म्य)
• एका कोपऱ्याने विभाजित करणे (स्तंभामध्ये)
• हॉर्नरच्या सर्किटद्वारे

असे म्हटले पाहिजे की सर्व गणिताचे शिक्षक विद्यार्थ्यांना हॉर्नर आकृती दाखवत नाहीत आणि सर्व शाळेतील शिक्षक (सुदैवाने स्वतः शिक्षकांसाठी) धड्यांदरम्यान विषयात इतके खोलवर जात नाहीत. तथापि, गणिताच्या वर्गातील विद्यार्थ्यासाठी, मला लांब भागाकारावर थांबण्याचे कोणतेही कारण दिसत नाही. शिवाय, सर्वात सोयीस्कर आणि जलदविघटन तंत्र तंतोतंत हॉर्नरच्या योजनेवर आधारित आहे. मुलाला ते कोठून आले आहे हे समजावून सांगण्यासाठी, कोपऱ्याद्वारे विभागणीचे उदाहरण वापरून, हिरव्या अवशेषांमध्ये उच्च गुणांक दिसणे हे शोधणे पुरेसे आहे. हे स्पष्ट होते की सुरुवातीच्या बहुपदीचा अग्रगण्य गुणांक पहिल्या “लाल मोनोमिअल” च्या गुणांकामध्ये आणला जातो आणि पुढे सध्याच्या वरच्या बहुपदीच्या दुसऱ्या गुणांकापासून वजा केले"लाल मोनोमिअल" च्या वर्तमान गुणांकाने गुणाकार केल्याचा परिणाम. त्यामुळे ते शक्य आहे जोडाने गुणाकाराचा परिणाम. विद्यार्थ्याचे लक्ष गुणांकांसह क्रियांच्या वैशिष्ट्यांवर केंद्रित केल्यानंतर, एक गणित शिक्षक दाखवू शकतो की या क्रिया सामान्यत: व्हेरिएबल्स स्वतः रेकॉर्ड केल्याशिवाय कशा केल्या जातात. हे करण्यासाठी, खालील तक्त्यामध्ये अग्रक्रमानुसार मूळ बहुपदीचे मूळ आणि गुणांक प्रविष्ट करणे सोयीचे आहे:



बहुपदीमध्ये कोणतीही पदवी गहाळ असल्यास, त्याचा शून्य गुणांक सारणीमध्ये सक्तीने टाकला जातो. "लाल बहुपदी" चे गुणांक "हुक" नियमानुसार तळाच्या ओळीत लिहिलेले आहेत:


मूळ शेवटच्या लाल गुणांकाने गुणाकार केला जातो, वरच्या ओळीत पुढील गुणांक जोडला जातो आणि परिणाम खालच्या ओळीत लिहिला जातो. शेवटच्या स्तंभात आम्हाला शेवटच्या "हिरव्या शेष" चे सर्वोच्च गुणांक मिळण्याची हमी आहे, म्हणजेच शून्य. प्रक्रिया पूर्ण झाल्यानंतर, संख्या जुळलेले रूट आणि शून्य उर्वरित दरम्यान सँडविच केलेदुसऱ्या (नॉनलाइनर) घटकाचे गुणांक असल्याचे दिसून येते.



रूट a खालच्या ओळीच्या शेवटी शून्य देत असल्याने, हॉर्नरची योजना बहुपदीच्या मूळ शीर्षकासाठी संख्या तपासण्यासाठी वापरली जाऊ शकते. जर तर्कसंगत रूटच्या निवडीवर एक विशेष प्रमेय. त्याच्या मदतीने मिळविलेल्या या शीर्षकासाठी सर्व उमेदवार फक्त हॉर्नरच्या आकृतीमध्ये डावीकडून वळवले जातात. आपल्याला शून्य मिळताच, चाचणी केलेली संख्या मूळ असेल आणि त्याच वेळी आपल्याला त्याच्या रेषेवर मूळ बहुपदीच्या गुणांकाचे गुणांक मिळतील. अगदी आरामात.

शेवटी, मी हे लक्षात घेऊ इच्छितो की हॉर्नरची योजना अचूकपणे सादर करण्यासाठी तसेच विषयाचे व्यावहारिकदृष्ट्या एकत्रीकरण करण्यासाठी, गणिताच्या शिक्षकाकडे पुरेसे तास असणे आवश्यक आहे. “आठवड्यातून एकदा” या पद्धतीमध्ये काम करणाऱ्या शिक्षकाने कोपरा विभागणीमध्ये भाग घेऊ नये. गणितातील युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन आणि मॅथेमॅटिक्समधील स्टेट ॲकॅडमी ऑफ मॅथेमॅटिक्सवर, पहिल्या भागात तुम्हाला अशा प्रकारे सोडवता येणारे थर्ड डिग्रीचे समीकरण कधीच भेटण्याची शक्यता नाही. जर एखादा शिक्षक मॉस्को स्टेट युनिव्हर्सिटीमध्ये गणिताच्या परीक्षेसाठी मुलाला तयार करत असेल तर, विषयाचा अभ्यास करणे अनिवार्य होते. युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या संकलकांच्या विपरीत, विद्यापीठातील शिक्षकांना अर्जदाराच्या ज्ञानाच्या खोलीची चाचणी घेणे खरोखरच आवडते.

कोल्पाकोव्ह अलेक्झांडर निकोलाविच, गणिताचे शिक्षक मॉस्को, स्ट्रोगिनो

फॉर्मचे बहुपद
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
फॅक्टराइज्ड केले जाऊ शकते हॉर्नरच्या योजनेनुसार,जर त्याचे किमान 1 मूळ ज्ञात असेल.

एक उदाहरण वापरून हॉर्नरच्या योजनेनुसार विभागणी पाहू:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10

प्रथम तुम्हाला निवड पद्धत वापरून एक रूट शोधण्याची आवश्यकता आहे. सामान्यतः ते मुक्त पदाचा विभाजक असतो. या प्रकरणात, संख्येचे विभाजक -10 आहेत ±1, ±2, ±5, ±10.चला त्यांना एक एक करून बदलण्यास सुरुवात करूया:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ संख्या 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ संख्या -1 बहुपदीचे मूळ आहे

आम्हाला बहुपदीच्या मुळांपैकी 1 सापडला आहे. बहुपदीचे मूळ आहे -1, ज्याचा अर्थ मूळ बहुपदीला याने भाग जाणे आवश्यक आहे x+1. बहुपदांची विभागणी करण्यासाठी, आम्ही हॉर्नरची योजना वापरतो:

	2	9	-10	-27	-10
-1

मूळ बहुपदीचे गुणांक वरच्या ओळीत प्रदर्शित केले जातात. आम्हाला आढळलेले रूट दुसऱ्या पंक्तीच्या पहिल्या सेलमध्ये ठेवलेले आहे -1. दुस-या ओळीत बहुपदीचे गुणांक आहेत जे भागाकारामुळे येतात. ते याप्रमाणे मोजले जातात:

2 9 -10 -27 -10 -1 2	दुसऱ्या ओळीच्या दुसऱ्या सेलमध्ये आपण संख्या लिहितो 2, फक्त पहिल्या पंक्तीच्या संबंधित सेलमधून हलवून.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

शेवटचा क्रमांक हा भागाचा उर्वरित भाग आहे. जर ते 0 च्या बरोबरीचे असेल, तर आपण सर्वकाही अचूकपणे मोजले आहे.

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x 3 + 7x 2 - 17x - 10)

पण हा शेवट नाही. तुम्ही बहुपदीचा विस्तार त्याच प्रकारे करण्याचा प्रयत्न करू शकता 2x 3 + 7x 2 - 17x - 10.

पुन्हा आम्ही मुक्त पदाच्या विभाजकांमध्ये मूळ शोधत आहोत. जसे आपण आधीच शोधले आहे, संख्यांचे विभाजक -10 आहेत ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ संख्या 1 बहुपदीचे मूळ नाही

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ संख्या -1 बहुपदीचे मूळ नाही

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ संख्या 2 बहुपदीचे मूळ आहे

आमच्या हॉर्नर स्कीममध्ये सापडलेले रूट लिहू आणि रिक्त सेल भरण्यास सुरुवात करू:

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	तिसऱ्या ओळीच्या दुसऱ्या सेलमध्ये आपण संख्या लिहितो 2, फक्त दुसऱ्या पंक्तीच्या संबंधित सेलमधून हलवून.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

अशाप्रकारे, आम्ही मूळ बहुपदी गुणांकन केले:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

बहुपद 2x 2 + 11x + 5फॅक्टराइज्ड देखील केले जाऊ शकते. हे करण्यासाठी, तुम्ही भेदभावाद्वारे चतुर्भुज समीकरण सोडवू शकता किंवा तुम्ही संख्येच्या विभाजकांमध्ये मूळ शोधू शकता. 5. एक ना एक मार्ग, आपण या बहुपदीचे मूळ संख्या आहे या निष्कर्षापर्यंत पोहोचू -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	चौथ्या ओळीच्या दुसऱ्या सेलमध्ये आपण संख्या लिहितो 2, फक्त तिसऱ्या पंक्तीच्या संबंधित सेलमधून हलवून.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

अशा प्रकारे, आम्ही मूळ बहुपदीचे रेषीय घटकांमध्ये विघटन केले.