ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर.
द्विपदीच्या वर्गाची निवड आणि वर्ग त्रिपदीचे गुणांक.

त्या. \ (p, q \) आणि \ (n, m \) संख्या शोधण्यात अडचणी कमी होतात.

प्रोग्राम केवळ समस्येचे उत्तर देत नाही तर निराकरण प्रक्रिया देखील प्रदर्शित करतो.

हा कार्यक्रम माध्यमिक शाळांमधील वरिष्ठ विद्यार्थ्यांना चाचण्या आणि परीक्षांच्या तयारीसाठी, परीक्षेपूर्वी ज्ञान तपासताना, पालकांना गणित आणि बीजगणितातील अनेक समस्यांवर नियंत्रण ठेवण्यासाठी उपयुक्त ठरू शकतो. किंवा कदाचित तुमच्यासाठी ट्यूटर घेणे किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करणे खूप महाग आहे? किंवा तुम्हाला तुमचे गणित किंवा बीजगणित गृहपाठ शक्य तितक्या लवकर पूर्ण करायचे आहे का? या प्रकरणात, आपण तपशीलवार समाधानासह आमचे प्रोग्राम देखील वापरू शकता.

अशाप्रकारे, तुम्ही तुमचे स्वतःचे अध्यापन आणि/किंवा तुमच्या लहान भावंडांचे अध्यापन करू शकता, तर ज्या समस्या सोडवल्या जात आहेत त्या क्षेत्रातील शिक्षणाची पातळी वाढते.

चौरस त्रिपदी प्रविष्ट करण्याच्या नियमांशी तुम्हाला परिचित नसल्यास, आम्ही शिफारस करतो की तुम्ही त्यांच्याशी परिचित व्हा.

चौरस बहुपदी प्रविष्ट करण्याचे नियम

कोणतेही लॅटिन अक्षर व्हेरिएबल म्हणून वापरले जाऊ शकते.
उदाहरणार्थ: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) इ.

संख्या पूर्ण किंवा अपूर्णांक म्हणून प्रविष्ट केल्या जाऊ शकतात.
शिवाय, अपूर्णांक संख्या केवळ दशांश स्वरूपातच नव्हे तर सामान्य अपूर्णांकाच्या स्वरूपात देखील प्रविष्ट केली जाऊ शकते.

दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
दशांश अपूर्णांकांमध्ये, संपूर्ण भागातून अपूर्णांक एकतर बिंदू किंवा स्वल्पविरामाने विभक्त केला जाऊ शकतो.
उदाहरणार्थ, तुम्ही याप्रमाणे दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करू शकता: 2.5x - 3.5x ^ 2

सामान्य अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
अंश, भाजक आणि अपूर्णांकाचा संपूर्ण भाग म्हणून केवळ पूर्णांक वापरला जाऊ शकतो.

भाजक नकारात्मक असू शकत नाही.

अंकीय अपूर्णांक प्रविष्ट करताना, भागाकार चिन्हाद्वारे अंश विभक्त केला जातो: /
संपूर्ण भाग अंशापासून अँपरसँडद्वारे विभक्त केला जातो: &
इनपुट: 3 आणि 1/3 - 5 आणि 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
निकाल: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) x + \ frac (1) (7) x ^ 2 \)

अभिव्यक्ती प्रविष्ट करताना कंस वापरले जाऊ शकतात... या प्रकरणात, सोडवताना, प्रविष्ट केलेली अभिव्यक्ती प्रथम सरलीकृत केली जाते.
उदाहरणार्थ: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 आणि 1/2)

तपशीलवार उपाय उदाहरण

द्विपदीच्या वर्गाची निवड.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$ $$ 2x ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot \ बाकी ( \ frac (1) (2) \ right) \ cdot x + 2 \ cdot \ left (\ frac (1) (2) \ right) ^ 2- \ frac (9) (2) = $$ $$ 2 \ डावे (x ^ 2 + 2 \ cdot \ left (\ frac (1) (2) \ right) \ cdot x + \ left (\ frac (1) (2) \ right) ^ 2 \ right) - \ frac ( 9 ) (2) = $$ $$ 2 \ डावे (x + \ frac (1) (2) \ right) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ उत्तर:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ डावे (x + \ frac (1) (2) \ उजवे) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ फॅक्टरीकरण.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$
$$ 2 \ डावे (x ^ 2 + x-2 \ उजवे) = $$
$$ 2 \ डावे (x ^ 2 + 2x-1x-1 \ cdot 2 \ उजवे) = $$ $$ 2 \ डावे (x \ डावे (x +2 \ उजवे) -1 \ डावे (x +2 \ उजवे) ) \ उजवीकडे) = $$ $$ 2 \ डावे (x -1 \ उजवे) \ डावे (x +2 \ उजवे) $$ उत्तर:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ डावे (x -1 \ उजवे) \ डावे (x +2 \ उजवे) $$

असे आढळले की या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही स्क्रिप्ट लोड केल्या गेल्या नाहीत आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही.
कदाचित तुम्ही AdBlock सक्षम केले असेल.
या प्रकरणात, ते अक्षम करा आणि पृष्ठ रीफ्रेश करा.

कारण बरेच लोक आहेत ज्यांना समस्या सोडवायची आहे, आपली विनंती रांगेत आहे.
काही सेकंदांनंतर, उपाय खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद...

जर तू निर्णयातील त्रुटी लक्षात आली, नंतर तुम्ही फीडबॅक फॉर्ममध्ये याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य सूचित करातुम्ही ठरवा आणि काय फील्ड मध्ये प्रविष्ट करा.

आमचे खेळ, कोडी, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

चौरस त्रिपदीमधून चौरस द्विपदी काढणे

जर त्रिकोणी ax 2 + bx + c हा a (x + p) 2 + q या स्वरूपात दर्शविला असेल, जेथे p आणि q या वास्तविक संख्या असतील, तर ते म्हणतात की येथून चौरस त्रिपदाचा, द्विपदीचा वर्ग.

त्रिपदी 2x 2 + 12x + 14 द्विपदाचा वर्ग निवडा.

\ (2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \)

हे करण्यासाठी, आम्ही 2 * 3 * x चे उत्पादन म्हणून 6x दर्शवतो आणि नंतर 3 2 जोडतो आणि वजा करतो. आम्हाला मिळते:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) = 2 (x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) = $$ $$ = 2 ((x + 3) ^ 2-2) = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

ते. आम्ही वर्ग त्रिपदी वरून चौरस द्विपद एकल केले, आणि दाखवा की:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

स्क्वेअर ट्रिनॉमियल फॅक्टरिंग

जर चौरस त्रिसूत्री ax 2 + bx + c a (x + n) (x + m) या स्वरूपात दर्शविला असेल, जेथे n आणि m वास्तविक संख्या असतील, तर ऑपरेशन केले गेले असे म्हटले जाते. स्क्वेअर ट्रिनॉमियल फॅक्टरायझेशन.

हे परिवर्तन कसे होते ते उदाहरणासह दाखवू.

वर्ग त्रिपदी 2x 2 + 4x-6 हा घटक करा.

कंसातून a गुणांक काढू, उदा. 2:
\ (2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x ^ 2 + 2x-3) \)

चला कंसातील अभिव्यक्ती बदलू.
हे करण्यासाठी, आम्ही 3x-1x फरक म्हणून 2x आणि -3 -1 * 3 असे दर्शवतो. आम्हाला मिळते:
$$ = 2 (x ^ 2 + 3 \ cdot x -1 \ cdot x -1 \ cdot 3) = 2 (x (x + 3) -1 \ cdot (x + 3)) = $$
$$ = 2 (x-1) (x + 3) $$

ते. आम्ही स्क्वेअर ट्रिनॉमियल फॅक्टराइज्ड, आणि दाखवा की:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x-1) (x + 3) $$

लक्षात घ्या की या त्रिपदाशी संबंधित द्विघाती समीकरणाची मुळे असतील तेव्हाच चतुर्भुज त्रिपदाचे गुणांकन शक्य आहे.
त्या. आमच्या बाबतीत, द्विघात समीकरण 2x 2 + 4x-6 = 0 ची मुळे असल्यास त्रिपदी 2x 2 + 4x-6 चा फॅक्टरिंग शक्य आहे. फॅक्टरिंग प्रक्रियेत, आम्हाला आढळले की 2x 2 + 4x-6 = 0 या समीकरणाची दोन मुळे 1 आणि -3 आहेत, कारण या मूल्यांसाठी, समीकरण 2 (x-1) (x + 3) = 0 ही खरी समानता बनते.

काय फॅक्टरीकरण?अस्ताव्यस्त आणि गुंतागुंतीच्या उदाहरणाला साध्या आणि गोंडस उदाहरणात रूपांतरित करण्याचा हा एक मार्ग आहे.) खूप शक्तिशाली युक्ती! हे प्राथमिक गणित आणि उच्च गणित दोन्हीमध्ये प्रत्येक टप्प्यावर आढळते.

गणितीय भाषेत अशा परिवर्तनांना अभिव्यक्तींचे समान परिवर्तन म्हणतात. कोण विषयात नाही - लिंकवर फेरफटका मार. अगदी थोडे, साधे आणि उपयुक्त आहे.) कोणत्याही समान परिवर्तनाचा अर्थ अभिव्यक्ती लिहिणे आहे दुसर्या स्वरूपातत्याचे सार जपताना.

अर्थ फॅक्टरिंगअत्यंत साधे आणि सरळ. सरळ नावावरूनच. गुणक म्हणजे काय हे तुम्ही विसरू शकता (किंवा माहीत नाही) पण हा शब्द "गुणाकार" या शब्दावरून आला आहे हे तुम्ही समजू शकता का?) फॅक्टरिंग म्हणजे: एखाद्या गोष्टीला एखाद्या गोष्टीने गुणाकार म्हणून अभिव्यक्तीचे प्रतिनिधित्व करा. होय, मला गणित आणि रशियन भाषा माफ करा ...) आणि तेच आहे.

उदाहरणार्थ, तुम्हाला १२ क्रमांकाचा विस्तार करण्याची आवश्यकता आहे. तुम्ही सुरक्षितपणे लिहू शकता:

म्हणून आम्ही 12 ही संख्या 3 ने 4 चा गुणाकार म्हणून सादर केली. कृपया लक्षात घ्या की उजवीकडील (3 आणि 4) संख्या डावीकडील (1 आणि 2) पेक्षा पूर्णपणे भिन्न आहेत. परंतु आपण 12 आणि 3 4 हे पूर्णपणे समजतो त्याच.रूपांतरण पासून क्रमांक 12 सार बदलले नाही.

12 वेगळ्या पद्धतीने विघटित करणे शक्य आहे का? सहज!

१२ = ३ ४ = २ ६ = ३ २ २ = ०.५ २४ = ........

विघटन पर्याय अंतहीन आहेत.

गुणांकन संख्या ही एक उपयुक्त गोष्ट आहे. हे खूप मदत करते, उदाहरणार्थ, मुळांशी व्यवहार करताना. परंतु बीजगणितीय अभिव्यक्ती घटक करणे ही उपयुक्त गोष्ट नाही, ती आहे - आवश्यक!फक्त उदाहरणार्थ:

सरलीकृत करा:

ज्यांना अभिव्यक्तीचा घटक कसा बनवायचा हे माहित नाही ते बाजूला राहतात. ज्याला माहित आहे ते कसे - सोपे करते आणि मिळवते:

परिणाम आश्चर्यकारक आहे, बरोबर?) तसे, उपाय अगदी सोपे आहे. खाली स्वत: साठी पहा. किंवा, उदाहरणार्थ, यासारखे कार्य:

समीकरण सोडवा:

x 5 - x 4 = 0

मनात ठरवले, तसे. फॅक्टरायझेशन वापरणे. खाली आपण हे उदाहरण सोडवू. उत्तर: x 1 = 0; x 2 = 1.

किंवा, समान गोष्ट, परंतु वृद्धांसाठी):

समीकरण सोडवा:

या उदाहरणांसह मी दाखवले आहे मुख्य उद्देशफॅक्टरायझेशन: अंशात्मक अभिव्यक्ती सुलभ करा आणि काही प्रकारची समीकरणे सोडवा. मी अंगठ्याचा नियम लक्षात ठेवण्याची शिफारस करतो:

जर आम्हाला भयंकर अपूर्णांक अभिव्यक्तीचा सामना करावा लागला, तर तुम्ही अंश आणि भाजक यांना घटकांमध्ये जोडण्याचा प्रयत्न करू शकता. बर्‍याचदा अपूर्णांक लहान आणि सरलीकृत केला जातो.

जर आपल्या समोर समीकरण असेल, जिथे उजवीकडे शून्य आहे आणि डावीकडे - काय समजत नाही, तर तुम्ही डाव्या बाजूचा घटक घटक बनवण्याचा प्रयत्न करू शकता. कधीकधी ते मदत करते).

फॅक्टरायझेशनच्या मूलभूत पद्धती.

येथे सर्वात लोकप्रिय मार्ग आहेत:

4. चौरस त्रिपदाचे विघटन.

या पद्धती लक्षात ठेवल्या पाहिजेत. त्या क्रमाने. जटिल उदाहरणे तपासली जातात विघटन करण्याच्या सर्व संभाव्य मार्गांमध्ये.आणि गोंधळात पडू नये म्हणून क्रमाने तपासणे चांगले आहे ... तर चला क्रमाने सुरुवात करूया.)

1. कंसातून सामान्य घटक काढणे.

सोपा आणि विश्वासार्ह मार्ग. हे कधीही दुखत नाही! हे एकतर चांगले किंवा नाही घडते.) म्हणून, तो पहिला आहे. समजून घेणे.

प्रत्येकाला माहित आहे (माझा विश्वास आहे!)) नियम:

a (b + c) = ab + ac

किंवा, अधिक सामान्यतः:

a (b + c + d + .....) = ab + ac + ad + ....

सर्व समानता डावीकडून उजवीकडे आणि त्याउलट उजवीकडून डावीकडे कार्य करतात. तुम्ही लिहू शकता:

ab + ac = a (b + c)

ab + ac + ad + .... = a (b + c + d + .....)

कंसातून सामान्य घटक काढण्याचा हा संपूर्ण मुद्दा आहे.

डाव्या बाजुला a - सामान्य घटकसर्व अटींसाठी. आहे त्या प्रत्येक गोष्टीने गुणाकार). उजवीकडे सर्वात जास्त आहे aआधीच आहे कंसाच्या बाहेर.

आम्ही उदाहरणांद्वारे पद्धतीच्या व्यावहारिक वापराचा विचार करू. सुरुवातीला हा पर्याय सोपा आहे, अगदी आदिमही आहे.) पण या पर्यायावर मी (हिरव्या रंगात) कोणत्याही घटकीकरणासाठी अतिशय महत्त्वाचे मुद्दे चिन्हांकित करेन.

फॅक्टराइज:

ah + 9x

जे सामान्यगुणक दोन्ही पदांवर बसतो? एक्स, नक्कीच! आम्ही ते कंसातून बाहेर काढू. आम्ही हे करतो. आम्ही ताबडतोब कंसाच्या बाहेर x लिहितो:

ax + 9x = x (

आणि कंसात भागाकाराचा निकाल लिहितो प्रत्येक टर्मयावर x. क्रमाने:

इतकंच. अर्थात, इतके तपशीलवार वर्णन करण्याची गरज नाही, हे मनापासून केले जाते. पण काय आहे हे समजून घेण्यासाठी, ते वांछनीय आहे). आम्ही मेमरीमध्ये निराकरण करतो:

आम्ही कंसाच्या बाहेर सामान्य घटक लिहितो. कंसात, आम्ही सर्व संज्ञांना या अगदी सामान्य घटकाने विभाजित केल्याचे परिणाम लिहितो. क्रमाने.

म्हणून आम्ही अभिव्यक्तीचा विस्तार केला ah + 9xघटकांद्वारे. x ने गुणाकारात बदलले (a + 9).लक्षात घ्या की मूळ अभिव्यक्तीमध्ये गुणाकार देखील आहे, अगदी दोन: a x आणि 9 x.पण ते फॅक्टराइज्ड केले गेले नाही!कारण गुणाव्यतिरिक्त, या अभिव्यक्तीमध्ये बेरीज देखील समाविष्ट आहे, "+" चिन्ह! आणि अभिव्यक्ती मध्ये x (a + 9) गुणाकार वगळता काहीही नाही!

असे कसे !? - मला लोकांचा संतप्त आवाज ऐकू येतो - आणि कंसात!?)

होय, कंसात जोड आहे. पण युक्ती अशी आहे की कंस उघडलेले नसताना आपण त्यांचा विचार करतो एक अक्षर म्हणून.आणि आम्ही सर्व क्रिया पूर्णपणे कंसात करतो, एका अक्षराप्रमाणे.या अर्थाने, अभिव्यक्तीमध्ये x (a + 9)गुणाकार वगळता काहीही नाही. हा फॅक्टरिंगचा संपूर्ण मुद्दा आहे.

तसे, आम्ही सर्वकाही ठीक केले की नाही हे कसे तरी तपासणे शक्य आहे का? सोपे! जे बाहेर काढले ते (x) कंसात गुणाकार करणे आणि ते कार्य करते का ते पाहणे पुरेसे आहे प्रारंभिकअभिव्यक्ती? ते कार्य करत असल्यास, सर्व काही टिप-टॉप आहे!)

x (a + 9) = ax + 9x

झाले.)

या आदिम उदाहरणात काही अडचण नाही. परंतु जर अनेक अटी असतील, आणि अगदी भिन्न चिन्हे असतील तर ... थोडक्यात, प्रत्येक तिसरा विद्यार्थी कुडकुडतो). म्हणून:

आवश्यक असल्यास, व्यस्त गुणाकाराने गुणांक तपासा.

फॅक्टराइज:

3ax + 9x

आम्ही एक सामान्य घटक शोधत आहोत. बरं, X सह सर्व काही स्पष्ट आहे, आपण ते सहन करू शकता. अजून आहे का सामान्यघटक? होय! हे तीन आहे. आपण असे अभिव्यक्ती लिहू शकता:

3ax + 3 3x

येथे आपण लगेच पाहू शकता की सामान्य घटक असेल 3x... येथे आम्ही ते काढतो:

3ax + 3.3x = 3x (a + 3)

त्यांनी ते मांडले.

आणि आपण सहन केल्यास काय होईल फक्त x?खास काही नाही:

3ax + 9x = x (3a + 9)

हे देखील एक घटकीकरण असेल. परंतु या आकर्षक प्रक्रियेत, जोपर्यंत संधी आहे तोपर्यंत सर्वकाही थांबेपर्यंत मांडण्याची प्रथा आहे. येथे, कंसात, तिहेरी काढण्याची संधी आहे. हे बाहेर चालू होईल:

3ax + 9x = x (3a + 9) = 3x (a + 3)

तीच गोष्ट, फक्त एका अतिरिक्त कृतीसह.) लक्षात ठेवा:

कंसातून सामान्य घटक काढताना, आम्ही बाहेर काढण्याचा प्रयत्न करतो जास्तीत जास्तसामान्य घटक.

आम्ही मजा सुरू ठेवतो का?)

घटक अभिव्यक्ती:

3ax + 9x-8a-24

आम्ही काय सहन करणार आहोत? तीन, एक्स? नाही... तुम्ही करू शकत नाही. मी तुम्हाला आठवण करून देतो की तुम्ही फक्त सहन करू शकता सामान्यगुणक आहे सर्वातअभिव्यक्तीच्या अटी. म्हणूनच तो सामान्यइथे असा गुणक नाही... काय, तुम्ही विस्तार करू शकत नाही!? बरं, होय, आम्हाला नक्कीच आनंद झाला... भेटा:

2. गटबद्ध करणे.

वास्तविक, ग्रुपिंगला फॅक्टरिंगचा स्वतंत्र मार्ग म्हणता येणार नाही. त्याऐवजी, जटिल उदाहरणातून बाहेर पडण्याचा हा एक मार्ग आहे.) तुम्हाला अटींचे गट करणे आवश्यक आहे जेणेकरून सर्वकाही कार्य करेल. हे केवळ उदाहरणानेच दाखवता येते. तर, आपल्यासमोर अभिव्यक्ती आहे:

3ax + 9x-8a-24

हे पाहिले जाऊ शकते की काही सामान्य अक्षरे आणि संख्या आहेत. परंतु... जनरल च्यासर्व अटींमध्ये कोणतेही घटक नसतात. आम्ही हार मानत नाही आणि अभिव्यक्तीचे तुकडे करा.चला गट करूया. जेणेकरून प्रत्येक तुकड्यात एक सामान्य घटक होता, बाहेर काढण्यासाठी काहीतरी होते. आम्ही कसे खंडित करू? होय, फक्त कंस ठेवा.

मी तुम्हाला आठवण करून देतो की कंस कुठेही आणि कोणत्याही प्रकारे ठेवता येतो. तर उदाहरणाचे सार बदलले नाही.उदाहरणार्थ, आपण हे करू शकता:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

दुसऱ्या कंसात लक्ष द्या! त्यांच्या समोर एक वजा चिन्ह आहे, आणि 8अआणि 24 सकारात्मक व्हा! जर, पडताळणीसाठी, कंस परत उघडा, चिन्हे बदलतात आणि आम्हाला मिळेल प्रारंभिकअभिव्यक्ती त्या. कंसातील अभिव्यक्तीचे सार बदललेले नाही.

परंतु जर तुम्ही चिन्ह बदलाकडे दुर्लक्ष करून फक्त कंसात अडकलात, उदाहरणार्थ, यासारखे:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a-24 )

ती एक चूक असेल. बरोबर - आधीच इतरअभिव्यक्ती कंस उघडा आणि सर्वकाही दृश्यमान होईल. तुम्हाला पुढील निर्णय घेण्याची गरज नाही, होय ...)

पण फॅक्टरिंगकडे परत. आम्ही प्रथम कंस पाहतो (3ax + 9x)आणि आपण विचार करतो, आपण काही सहन करू शकतो का? बरं, आम्ही हे वरील उदाहरण सोडवले आहे, तुम्ही ते काढू शकता 3x:

(3ax + 9x) = 3x (a + 3)

आम्ही दुसऱ्या कंसाचा अभ्यास करतो, तेथे तुम्ही आठ काढू शकता:

(8a + 24) = 8 (a + 3)

आमची संपूर्ण अभिव्यक्ती बाहेर येईल:

(3ax + 9x) - (8a + 24) = 3x (a + 3) -8 (a + 3)

फॅक्टराइज्ड? नाही. विघटन परिणामी पाहिजे फक्त गुणाकार,आणि आमचे वजा चिन्ह सर्वकाही खराब करते. पण... दोन्ही पदांमध्ये एक समान घटक आहे! ते (a + 3)... मी म्हणालो की संपूर्ण कंस एक अक्षर आहे असे म्हणणे व्यर्थ ठरले नाही. म्हणजे हे कंस कंसातून बाहेर काढता येतात. होय, अगदी असेच वाटते.)

आम्ही वर वर्णन केल्याप्रमाणे करतो. आम्ही सामान्य घटक लिहितो (a + 3), दुस-या कंसात आपण अटींना याने विभाजित केल्याचे परिणाम लिहितो (a + 3):

3x (a + 3) -8 (a + 3) = (a + 3) (3x-8)

सर्व काही! उजवीकडे, गुणाकार करण्याशिवाय काहीही नाही! त्यामुळे फॅक्टरीकरण यशस्वी झाले आहे!) ते येथे आहे:

3ax + 9x-8a-24 = (a + 3) (3x-8)

आपण समूहीकरणाचे सार थोडक्यात पुनरावृत्ती करूया.

अभिव्यक्ती समाविष्ट नसल्यास सामान्यसाठी गुणक सर्वसंज्ञा, आम्ही कंस सह अभिव्यक्ती खंडित करतो जेणेकरून कंसाच्या आत सामान्य घटक असतो होते.आम्ही ते बाहेर काढतो आणि काय झाले ते पाहू. जर तुम्ही भाग्यवान असाल आणि कंसात तंतोतंत समान अभिव्यक्ती असतील, तर हे कंस कंसाच्या बाहेर हलवा.

मी जोडेन की गटबद्ध करणे ही एक सर्जनशील प्रक्रिया आहे). हे नेहमी पहिल्यांदाच काम करत नाही. ठीक आहे. काहीवेळा तुम्हाला अटींची ठिकाणे बदलावी लागतील, जोपर्यंत तुम्हाला यश मिळत नाही तोपर्यंत ग्रुपिंगसाठी वेगवेगळ्या पर्यायांचा विचार करा. येथे मुख्य गोष्ट म्हणजे हार मानणे नाही!)

उदाहरणे.

आता, ज्ञानाने समृद्ध झाल्यावर, तुम्ही अवघड उदाहरणे सोडवू शकता.) धड्याच्या सुरुवातीला यापैकी तीन होती ...

सरलीकृत करा:

खरं तर, आम्ही हे उदाहरण आधीच सोडवले आहे. मला माहीत नाही.) मी तुम्हाला आठवण करून देतो: जर आम्हाला भयंकर अपूर्णांक दिला गेला, तर आम्ही अंश आणि भाजक काढण्याचा प्रयत्न करतो. इतर सरलीकरण पर्याय फक्त नाही.

बरं, येथे भाजक विस्तारत नाही, तर अंशाचा ... आम्ही धड्याच्या ओघात अंशाचा विस्तार केला आहे! याप्रमाणे:

3ax + 9x-8a-24 = (a + 3) (3x-8)

आम्ही अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये विस्ताराचा परिणाम लिहितो:

अपूर्णांक कमी करण्याच्या नियमानुसार (अपूर्णांकाचा मुख्य गुणधर्म), आपण अंश आणि भाजक समान संख्येने किंवा अभिव्यक्तीने विभाजित करू शकतो (एकाच वेळी!) यातून अंश बदलत नाही.म्हणून आपण अंश आणि भाजक यांना अभिव्यक्तीद्वारे विभाजित करतो (3x-8)... आणि इकडे तिकडे मिळतात. सरलीकरणाचा अंतिम परिणाम आहे:

मी यावर जोर देऊ इच्छितो की अंश कमी करणे शक्य आहे जर आणि केवळ अंश आणि भाजक मध्ये, गुणाकार अभिव्यक्ती व्यतिरिक्त काहीही नाही.त्यामुळे बेरजेचे (फरक) मध्ये रूपांतर होते गुणाकारसरलीकरणासाठी खूप महत्वाचे आहे. अर्थात, जर अभिव्यक्ती विविध,मग काहीही कमी होणार नाही. तसे. पण फॅक्टरिंग संधी देते.किडल्याशिवाय ही संधी उपलब्ध नाही.

समीकरणासह उदाहरण:

समीकरण सोडवा:

x 5 - x 4 = 0

आम्ही सामान्य घटक काढतो x ४कंसाच्या बाहेर. आम्हाला मिळते:

x 4 (x-1) = 0

आम्ही मानतो की घटकांचे उत्पादन शून्य इतके आहे तेव्हा आणि तेव्हाच,जेव्हा त्यापैकी कोणतेही शून्य असते. शंका असल्यास, मला शून्य नसलेल्या दोन संख्या शोधा ज्याचा गुणाकार केला असता शून्य मिळेल.) म्हणून आपण लिहू, प्रथम प्रथम घटक:

या समानतेसह, दुसरा घटक आपल्याला त्रास देत नाही. कोणीही असू शकते, शेवटी ते शून्य होईल. आणि शून्याच्या चौथ्या घातात कोणती संख्या देईल? फक्त शून्य! आणि दुसरे काही नाही ... म्हणून:

आम्ही प्रथम घटक क्रमवारी लावला, एक रूट सापडला. चला दुसरा घटक हाताळूया. आता आम्हाला पहिल्या घटकाची पर्वा नाही.):

म्हणून आम्हाला एक उपाय सापडला: x 1 = 0; x 2 = 1... यापैकी कोणतेही मूळ आपल्या समीकरणात बसते.

एक अतिशय महत्वाची नोंद. कृपया लक्षात घ्या की आम्ही समीकरण सोडवले आहे तुकडा तुकडा!प्रत्येक घटक शून्यावर सेट केला होता, उर्वरित घटकांकडे दुर्लक्ष करून.तसे, जर अशा समीकरणात आमच्याप्रमाणे दोन घटक नसतील तर तीन, पाच, तुम्हाला आवडतील तितके घटक असतील तर आम्ही सोडवू समानतुकडा तुकडा. उदाहरणार्थ:

(x-1) (x + 5) (x-3) (x + 2) = 0

जो कंस उघडतो, सर्वकाही गुणाकार करतो, तो या समीकरणावर कायमचा लटकतो.) योग्य विद्यार्थ्याला लगेच दिसेल की डावीकडे गुणाकार, उजवीकडे - शून्याशिवाय काहीही नाही. आणि सर्व कंस क्रमाने शून्य करण्यासाठी (मनात!) सुरू होईल. आणि त्याला (10 सेकंदात!) योग्य उपाय मिळेल: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

छान, नाही का?) समीकरणाची डावी बाजू असल्यास असे शोभिवंत समाधान शक्य आहे फॅक्टराइज्डइशारा स्पष्ट आहे का?)

बरं, शेवटचे उदाहरण, जुन्यांसाठी):

समीकरण सोडवा:

हे काही प्रमाणात आधीच्या सारखेच आहे, तुम्हाला वाटत नाही?) नक्कीच. हे लक्षात ठेवण्याची वेळ आली आहे की सातव्या वर्गाच्या बीजगणितात, अक्षरे साइन्स, लॉगरिदम आणि आपल्याला जे आवडते ते लपवू शकतात! फॅक्टरिंग सर्व गणितात कार्य करते.

आम्ही सामान्य घटक काढतो lg 4 xकंसाच्या बाहेर. आम्हाला मिळते:

lg 4 x = 0

हे एक मूळ आहे. चला दुसरा घटक हाताळूया.

येथे अंतिम उत्तर आहे: x 1 = 1; x 2 = 10.

मला आशा आहे की तुम्हांला अपूर्णांक सुलभ करण्यात आणि समीकरणे सोडवण्याची क्षमता लक्षात आली असेल.)

या धड्यात, आपण कॉमन फॅक्टरिंग आणि ग्रुपिंगबद्दल शिकलो. संक्षिप्त गुणाकार आणि वर्ग त्रिपदासाठी सूत्रे शोधणे बाकी आहे.

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. झटपट प्रमाणीकरण चाचणी. शिकणे - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

बीजगणितातील "बहुपदी" आणि "बहुपदींचे घटकांमध्ये गुणांकन" या संकल्पना खूप सामान्य आहेत, कारण मोठ्या बहु-अंकी संख्यांसह सहज गणना करण्यासाठी तुम्हाला त्या माहित असणे आवश्यक आहे. हा लेख विघटन करण्याच्या अनेक मार्गांचे वर्णन करेल. ते सर्व वापरण्यास अगदी सोपे आहेत, आपल्याला प्रत्येक विशिष्ट प्रकरणात फक्त योग्य निवडावे लागेल.

बहुपदी संकल्पना

बहुपदी ही मोनोमियल्सची बेरीज असते, म्हणजेच केवळ गुणाकार क्रिया असलेली अभिव्यक्ती.

उदाहरणार्थ, 2 * x * y एक एकपदी आहे, परंतु 2 * x * y + 25 ही एक बहुपदी आहे ज्यामध्ये 2 एकपदी असतात: 2 * x * y आणि 25. अशा बहुपदांना द्विपदी म्हणतात.

काहीवेळा, बहुमूल्य मूल्यांसह उदाहरणे सोडविण्याच्या सोयीसाठी, अभिव्यक्तीचे रूपांतर करणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ, घटकांच्या विशिष्ट संख्येमध्ये विघटित करणे, म्हणजे, संख्या किंवा अभिव्यक्ती ज्या दरम्यान गुणाकार क्रिया केली जाते. बहुपदी घटक बनवण्याचे अनेक मार्ग आहेत. अगदी प्राथमिक ग्रेडमध्ये देखील वापरल्या जाणार्‍या सर्वात आदिमपासून त्यांचा विचार करणे योग्य आहे.

गटबद्ध करणे (सामान्य रेकॉर्डिंग)

सर्वसाधारणपणे गटबद्ध पद्धतीने घटकांमध्ये बहुपदीचे विघटन करण्याचे सूत्र असे दिसते:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

मोनोमिअल्सचे गट करणे आवश्यक आहे जेणेकरून प्रत्येक गटामध्ये एक सामान्य घटक दिसून येईल. पहिल्या कंसात हा घटक c आहे आणि दुसऱ्या कंसात तो d आहे. नंतर कंसाच्या बाहेर ठेवण्यासाठी हे करणे आवश्यक आहे, ज्यामुळे गणना सुलभ होईल.

विशिष्ट उदाहरणासाठी विघटन अल्गोरिदम

समूहीकरण पद्धतीच्या दृष्टीने बहुपदी गुणांकन करण्याचे सर्वात सोपे उदाहरण खाली दर्शविले आहे:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

पहिल्या ब्रॅकेटमध्ये, तुम्हाला अ या घटकासह संज्ञा घेणे आवश्यक आहे, जे सामान्य असेल आणि दुसऱ्यामध्ये - घटक b सह. पूर्ण झालेल्या अभिव्यक्तीमधील + आणि - चिन्हांकडे लक्ष द्या. प्रारंभिक अभिव्यक्तीमध्ये असलेले चिन्ह आम्ही मोनोमियलच्या समोर ठेवतो. म्हणजेच, आपल्याला अभिव्यक्ती 25a सह नाही तर अभिव्यक्ती -25 सह कार्य करण्याची आवश्यकता आहे. वजा चिन्ह हे त्यामागील अभिव्यक्तीला "चिकटून राहण्यासारखे" आहे आणि गणनामध्ये नेहमी ते विचारात घ्या.

पुढच्या टप्प्यावर, आपल्याला कंसाच्या बाहेरील घटक, जो सामान्य आहे, बाहेर काढणे आवश्यक आहे. यासाठीच गटबाजी आहे. कंसाच्या बाहेर ठेवणे म्हणजे कंसाच्या समोर लिहिणे (गुणाचे चिन्ह वगळणे) ते सर्व घटक जे कंसातील सर्व संज्ञांमध्ये अचूकतेने पुनरावृत्ती होते. कंसात 2 नसून 3 किंवा अधिक संज्ञा असल्यास, त्या प्रत्येकामध्ये सामाईक घटक असणे आवश्यक आहे, अन्यथा ते कंसातून बाहेर काढले जाऊ शकत नाही.

आमच्या बाबतीत - कंसात फक्त 2 अटी. सामान्य घटक लगेच दिसून येतो. पहिला कंस a आहे, दुसरा b आहे. येथे आपल्याला डिजिटल गुणांकांकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे. पहिल्या कंसात, दोन्ही गुणांक (10 आणि 25) 5 चे गुणाकार आहेत. याचा अर्थ केवळ a नाही तर 5a देखील कंसातून बाहेर काढले जाऊ शकते. कंसाच्या आधी 5a लिहा, आणि नंतर कंसातील प्रत्येक संज्ञा काढलेल्या सामान्य घटकाने विभाजित करा, आणि कंसातील भागांक देखील लिहा, चिन्हे विसरू नका + आणि - दुसऱ्या कंसासह तेच करा, 7b काढा. , तसेच 7 चा 14 आणि 35 गुणाकार.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

हे 2 अटी बाहेर वळले: 5a (2c - 5) आणि 7b (2c - 5). त्या प्रत्येकामध्ये एक सामान्य घटक आहे (कंसातील सर्व अभिव्यक्ती येथे समान आहेत, याचा अर्थ तो एक सामान्य घटक आहे): 2c - 5. हे देखील कंसातून काढणे आवश्यक आहे, म्हणजेच 5a आणि 7b या संज्ञा. दुसऱ्या कंसात राहा:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

तर पूर्ण अभिव्यक्ती आहे:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

अशा प्रकारे, बहुपदी 10ac + 14bc - 25a - 35b 2 घटकांमध्ये विघटित होते: (2c - 5) आणि (5a + 7b). लिहिताना त्यांच्यातील गुणाकार चिन्ह वगळले जाऊ शकते

कधीकधी या प्रकारचे अभिव्यक्ती असतात: 5a 2 + 50a 3, येथे तुम्ही कंसातून केवळ a किंवा 5a नाही तर 5a 2 देखील ठेवू शकता. तुम्ही नेहमी शक्य असलेला सर्वात मोठा सामान्य घटक लक्षात घेण्याचा प्रयत्न केला पाहिजे. आमच्या बाबतीत, जर आपण प्रत्येक पदाला एका सामान्य घटकाने विभाजित केले तर आपल्याला मिळेल:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(समान क्षारांसह अनेक अंशांच्या भागांकाची गणना करताना, आधार कायम ठेवला जातो आणि घातांक वजा केला जातो). अशा प्रकारे, एकक कंसात राहते (कोणत्याही परिस्थितीत, कंसातील एक संज्ञा काढल्यास एकक लिहिण्यास विसरू नका) आणि भागाकाराचा भागांक: 10а. हे दिसून येते की:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

चौरस सूत्रे

गणनेच्या सोयीसाठी, अनेक सूत्रे तयार केली गेली आहेत. त्यांना संक्षिप्त गुणाकार सूत्र म्हणतात आणि बर्‍याचदा वापरले जातात. ही सूत्रे अंश असलेल्या बहुपदी घटकांना मदत करतात. हे आणखी एक शक्तिशाली फॅक्टरायझेशन तंत्र आहे. तर, ते येथे आहेत:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -सूत्र, ज्याला "बेरजेचा वर्ग" म्हणतात, कारण चौरसामध्ये विस्तारित झाल्यामुळे, कंसात बंद केलेल्या संख्यांची बेरीज घेतली जाते, म्हणजेच, या बेरजेचे मूल्य स्वतः 2 वेळा गुणाकार केले जाते, म्हणजे तो गुणक आहे.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - फरकाच्या वर्गाचे सूत्र, ते मागील एकसारखेच आहे. परिणाम हा फरक आहे, कंसात बंद, स्क्वेअर पॉवरमध्ये समाविष्ट आहे.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- हे चौरसांच्या फरकाचे सूत्र आहे, कारण सुरुवातीला बहुपदीमध्ये संख्या किंवा अभिव्यक्तीचे 2 वर्ग असतात, ज्यामध्ये वजाबाकी केली जाते. कदाचित, नावाच्या तीनपैकी, ते बहुतेकदा वापरले जाते.

चौरस सूत्रांची गणना करण्यासाठी उदाहरणे

त्यांच्यासाठी गणना अगदी सोपी आहे. उदाहरणार्थ:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - आम्ही "बेरजेचा वर्ग" हे सूत्र वापरतो.
2. 25x 2 हा 5x चा वर्ग आहे. 20xy हे 2 * (5x * 2y) चे दुप्पट गुणाकार आहे आणि 4y 2 हा 2y चा वर्ग आहे.
3. तर 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y).हे बहुपद 2 घटकांमध्ये विघटित केले जाते (घटक समान आहेत, म्हणून, ते चौरस घातासह अभिव्यक्ती म्हणून लिहिलेले आहे).

फरकाच्या वर्गाच्या सूत्रानुसार क्रिया त्याच प्रकारे केल्या जातात. फॉर्म्युला हा वर्गांचा फरक राहिला आहे. या सूत्राची उदाहरणे परिभाषित करणे आणि इतर अभिव्यक्तींमध्ये शोधणे खूप सोपे आहे. उदाहरणार्थ:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). 25a 2 = (5a) 2, आणि 400 = 20 2 पासून
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2, आणि 25y 2 = (5y 2) पासून
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 पासून

हे महत्वाचे आहे की प्रत्येक संज्ञा काही अभिव्यक्तीचा वर्ग आहे. मग हे बहुपद वर्गांच्या फरकाच्या सूत्रानुसार गुणांकनाच्या अधीन आहे. यासाठी दुसरी पदवी क्रमांकापेक्षा जास्त असावी असे नाही. बहुपदी आहेत ज्यात मोठ्या अंश आहेत, परंतु तरीही ही सूत्रे बसतात.

a 8 + 10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

या उदाहरणात, एक 8 (a 4) 2 म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, म्हणजे, काही अभिव्यक्तीचा वर्ग. 25 हे 5 2 आणि 10a 4 आहे - हे 2 * a 4 * 5 अटींचे दुप्पट उत्पादन आहे. म्हणजेच, ही अभिव्यक्ती, मोठ्या घातांकांसह अंशांची उपस्थिती असूनही, नंतर त्यांच्यासह कार्य करण्यासाठी 2 घटकांमध्ये विघटित केली जाऊ शकते.

घन सूत्रे

क्यूब्स असलेल्या बहुपदी घटकांसाठी समान सूत्रे अस्तित्वात आहेत. ते चौरस असलेल्यांपेक्षा थोडे अधिक क्लिष्ट आहेत:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- या सूत्राला क्यूब्सची बेरीज म्हणतात, कारण त्याच्या सुरुवातीच्या स्वरूपात बहुपदी ही घनामध्ये बंद केलेल्या दोन अभिव्यक्ती किंवा संख्यांची बेरीज असते.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -मागील सारखे सूत्र क्यूब्सचा फरक म्हणून नियुक्त केले आहे.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - बेरीजचा घन, गणनेच्या परिणामी, संख्या किंवा अभिव्यक्तींची बेरीज मिळते, कंसात बंद केली जाते आणि स्वतः 3 वेळा गुणाकार केली जाते, म्हणजे, एका घनामध्ये स्थित
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -गणितीय क्रियांची फक्त काही चिन्हे (अधिक आणि वजा) बदलून मागील एकाशी साधर्म्य साधून तयार केलेल्या सूत्राला "फरक घन" म्हणतात.

शेवटची दोन सूत्रे बहुपदी घटकांमध्ये घटक बनवण्याच्या उद्देशाने व्यावहारिकपणे वापरली जात नाहीत, कारण ते जटिल आहेत आणि अशा रचनेशी पूर्णपणे जुळणारे बहुपदी फारच दुर्मिळ आहेत, जेणेकरून ते या सूत्रांनुसार विघटित केले जाऊ शकतात. परंतु तरीही तुम्हाला ते माहित असणे आवश्यक आहे, कारण ते विरुद्ध दिशेने काम करताना - कंस विस्तृत करताना आवश्यक असतील.

घन सूत्रांची उदाहरणे

चला एक उदाहरण विचारात घेऊया: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) (4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) = (4a − 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

येथे आम्ही अगदी साध्या संख्या घेतल्या आहेत, त्यामुळे तुम्ही लगेच पाहू शकता की 64a 3 (4a) 3 आहे आणि 8b 3 (2b) 3 आहे. अशा प्रकारे, हे बहुपदी 2 घटकांद्वारे घनांच्या सूत्राच्या फरकाने विघटित होते. क्यूब्सच्या बेरीजच्या सूत्रानुसार क्रिया साधर्म्याने केल्या जातात.

हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे की सर्व बहुपदी किमान एका मार्गाने विघटित होऊ शकत नाहीत. परंतु असे अभिव्यक्ती आहेत ज्यात चौरस किंवा घनापेक्षा जास्त अंश आहेत, परंतु ते संक्षिप्त गुणाकार स्वरूपात देखील विघटित केले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ: x 12 + 125y 3 = (x 4) 3 + (5y) 3 = (x 4 + 5y) * (x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) = (x 4 + 5y) ) ( x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

या उदाहरणात 12 अंश इतके आहेत. परंतु घनांच्या बेरजेसाठी सूत्र वापरून त्याचे गुणांकन केले जाऊ शकते. हे करण्यासाठी, तुम्हाला x 12 ला (x 4) 3 म्हणून प्रस्तुत करणे आवश्यक आहे, म्हणजे काही अभिव्यक्तीचे घन म्हणून. आता, a ऐवजी, तुम्हाला ते सूत्रामध्ये बदलण्याची आवश्यकता आहे. बरं, 125y 3 ही अभिव्यक्ती घन 5y आहे. पुढे, आपण सूत्रानुसार उत्पादन तयार केले पाहिजे आणि गणना केली पाहिजे.

सुरुवातीला, किंवा शंका असल्यास, तुम्ही नेहमी परत गुणाकार करून तपासू शकता. तुम्हाला फक्त परिणामी अभिव्यक्तीमधील कंस विस्तृत करणे आणि अशा संज्ञांसह क्रिया करणे आवश्यक आहे. ही पद्धत वरील सर्व कपात पद्धतींना लागू होते: दोन्ही समान घटक आणि गटांसह कार्य करण्यासाठी तसेच क्यूब्स आणि स्क्वेअर डिग्रीच्या सूत्रांवर क्रिया करण्यासाठी.

बहुपदी ही एकपदार्थांची बेरीज असलेली अभिव्यक्ती आहे. नंतरचे स्थिरांक (संख्या) चे गुणाकार आणि k च्या घाताच्या अभिव्यक्तीचे मूळ (किंवा मुळे) आहेत. या प्रकरणात, एक पदवी k च्या बहुपदीबद्दल बोलतो. बहुपदीच्या विस्तारामध्ये अभिव्यक्तीचे परिवर्तन समाविष्ट असते, ज्यामध्ये संज्ञा घटकांद्वारे बदलल्या जातात. या प्रकारचे परिवर्तन करण्यासाठी मुख्य मार्गांचा विचार करूया.

सामान्य घटकाच्या निष्कर्षाद्वारे बहुपदी विघटन पद्धत

ही पद्धत वितरण कायद्याच्या नियमांवर आधारित आहे. तर, mn + mk = m * (n + k).

• उदाहरण:पसरवा 7y 2 + 2uy आणि 2m 3 - 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 - 6m + 2l).

तथापि, प्रत्येक बहुपदीमध्ये अपरिहार्यपणे उपस्थित असलेला घटक नेहमी आढळत नाही, म्हणून ही पद्धत सार्वत्रिक नाही.

संक्षिप्त गुणाकार सूत्रांवर आधारित बहुपदी विघटन पद्धत

संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे कोणत्याही पदवीच्या बहुपदीसाठी वैध आहेत. सामान्य शब्दात, रूपांतरण अभिव्यक्ती असे दिसते:

uk - lk = (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 +… u * l k-2 + l k-1), जेथे k हा प्रतिनिधी आहे नैसर्गिक संख्या...

व्यवहारात सर्वात सामान्यपणे वापरलेली सूत्रे दुसऱ्या आणि तिसऱ्या ऑर्डरच्या बहुपदांसाठी आहेत:

u 2 - l 2 = (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 = (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• उदाहरण:पसरवा 25p 2 - 144b 2 आणि 64m 3 - 8l 3.

25p 2 - 144b 2 = (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l) ((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

बहुपदी विघटन पद्धत - अभिव्यक्तीच्या संज्ञांचे समूहीकरण

या पद्धतीमध्ये काही प्रमाणात सामान्य घटक काढण्याच्या तंत्रात साम्य आहे, परंतु काही फरक आहेत. विशेषतः, सामान्य घटक निवडण्यापूर्वी, एखाद्याने मोनोमिअल्सचे गट केले पाहिजेत. गटबद्धता संयोजन आणि ट्रान्सपोझिशनल कायद्यांच्या नियमांवर आधारित आहे.

अभिव्यक्तीमध्ये सादर केलेले सर्व मोनोमिअल्स गटांमध्ये विभागले गेले आहेत, त्यापैकी प्रत्येकामध्ये एकूण मूल्य असे काढले आहे की दुसरा घटक सर्व गटांमध्ये समान असेल. सर्वसाधारण शब्दात, अशी विघटन पद्धत अभिव्यक्ती म्हणून दर्शविली जाऊ शकते:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p (l + s) + k (l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

• उदाहरण:पसरलेले 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l) (2n - 7).

बहुपदी विघटन पद्धत - संपूर्ण चौरस तयार करणे

ही पद्धत बहुपदीच्या विस्तारादरम्यान सर्वात कार्यक्षम आहे. सुरुवातीच्या टप्प्यावर, फरक किंवा बेरीजच्या वर्गामध्ये "दुमडलेला" असू शकतो असे मोनोमियल निर्धारित करणे आवश्यक आहे. यासाठी, एक गुणोत्तर वापरला जातो:

(p - b) 2 = p 2 - 2pb + b 2,

• उदाहरण: u 4 + 4u 2 - 1 अभिव्यक्ती विस्तृत करा.

पूर्ण वर्ग बनवणाऱ्या अटींपैकी एकपदार्थ आपण वेगळे करू या: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

संक्षिप्त गुणाकार नियम वापरून परिवर्तन पूर्ण करा: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

ते. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

बहुपदांच्या गुणाकाराचा विचार करून, आम्ही अनेक सूत्रे लक्षात ठेवली, ती म्हणजे: (a + b) ², for (a - b) ², for (a + b) (a - b), for (a + b) ³ आणि (a - b) ³.

दिलेली बहुपदी यापैकी एका सूत्राशी एकरूप झाली, तर त्याचे गुणांक बनवणे शक्य होईल. उदाहरणार्थ, बहुपदी a² - 2ab + b², आम्हाला माहित आहे, समान आहे (a - b)² [किंवा (a - b) · (a - b), म्हणजेच, आम्ही a² - 2ab + b² मध्ये विघटित करण्यात व्यवस्थापित केले. 2 घटक]; तसेच

यापैकी दुसरे उदाहरण पाहू. आपण पाहतो की येथे दिलेली बहुपदी दोन संख्यांमधील फरक (पहिल्या संख्येचा वर्ग, दोन आणि पहिल्या संख्येचा वजा गुणाकार आणि दुसरा, अधिक दुसऱ्या क्रमांकाचा वर्ग) वर्ग करून मिळालेल्या सूत्राशी बसते: x 6 पहिल्या संख्येचा वर्ग आहे, आणि म्हणून, पहिली संख्या स्वतः x 3 आहे, दुसऱ्या संख्येचा वर्ग हा या बहुपदीची शेवटची संज्ञा आहे, म्हणजेच 1, दुसरी संख्या स्वतःच, म्हणून, देखील 1 आहे; दोन आणि पहिल्या संख्येचे गुणाकार आणि दुसरी ही संज्ञा –2x 3 आहे, कारण 2x 3 = 2 · x 3 · 1. त्यामुळे, x 3 आणि 1 या संख्यांमधील फरकाचे वर्गीकरण करून आमची बहुपदी प्राप्त झाली, म्हणजे, ते (x 3 - 12) च्या बरोबरीचे आहे. आणखी चौथ्या उदाहरणाचा विचार करू. आपण पाहतो की ही बहुपदी a 2 b 2 - 25 दोन संख्यांच्या वर्गांमधील फरक मानली जाऊ शकते, म्हणजे 2 b 2 हा पहिल्या संख्येचा वर्ग म्हणून काम करतो, म्हणून, पहिली संख्या स्वतः ab आहे, चा वर्ग दुसरी संख्या 25 आहे, दुसरी संख्याच 5 का आहे. म्हणून, आमची बहुपदी दोन संख्यांच्या बेरजेचा त्यांच्या फरकाने गुणाकार केल्याने प्राप्त झालेली मानली जाऊ शकते, उदा.

(ab + 5) (ab - 5).

काहीवेळा असे घडते की दिलेल्या बहुपदीमध्ये, संज्ञा आपण ज्या क्रमाने वापरतो त्या क्रमाने नसतात, उदाहरणार्थ.

9a 2 + b 2 + 6ab - मानसिकदृष्ट्या आपण दुसऱ्या आणि तिसऱ्या पदांची पुनर्रचना करू शकतो आणि नंतर आपल्याला स्पष्ट होईल की आपले त्रिपद = (3a + b) 2.

... (चला मानसिकदृष्ट्या पहिली आणि दुसरी संज्ञा बदलूया).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2, इ.

बहुपदी देखील विचारात घ्या

a 2 + 2ab + 4b 2.

आपण पाहतो की तिची पहिली पद संख्या a चा वर्ग आहे आणि तिसरी पद 2b चा वर्ग आहे, परंतु दुसरी संज्ञा ही पहिल्या संख्येने आणि दुसऱ्याने दोनचा गुणाकार नाही, - अशा गुणाकार 2 च्या समान असेल a 2b = 4ab. त्यामुळे, दोन संख्यांच्या बेरजेच्या वर्गाचे सूत्र या बहुपदीला लागू करता येत नाही. जर कोणी लिहिले असेल की a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, तर हे चुकीचे असेल - तुम्हाला सूत्रांद्वारे गुणांकन लागू करण्यापूर्वी बहुपदीच्या सर्व अटींचा काळजीपूर्वक विचार करणे आवश्यक आहे.

40. दोन्ही तंत्रे एकत्र करणे... काहीवेळा, बहुपदांचे घटकांमध्ये गुणांकन करताना, तुम्हाला कंसातून सामान्य घटक काढण्याची पद्धत आणि सूत्र लागू करण्याची पद्धत या दोन्ही गोष्टी एकत्र कराव्या लागतात. येथे काही उदाहरणे आहेत:

1.2a 3 - 2ab 2. प्रथम, आपण कंसाच्या बाहेर सामान्य घटक 2a काढतो, - आपल्याला 2a (a 2 - b 2) मिळेल. घटक a 2 - b 2, यामधून, सूत्राद्वारे घटक (a + b) आणि (a - b) मध्ये विघटित केला जातो.

कधीकधी सूत्रांद्वारे विघटन करण्याची पद्धत अनेक वेळा लागू करणे आवश्यक असते:

1.a 4 - b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

आपण पाहतो की पहिला घटक a 2 + b 2 कोणत्याही परिचित सूत्रांमध्ये बसत नाही; शिवाय, भागाकाराची विशेष प्रकरणे (आयटम 37) आठवून, आम्ही स्थापित करू की 2 + b 2 (दोन संख्यांच्या वर्गांची बेरीज) अजिबात फॅक्टर बनू शकत नाही. मिळवलेल्या घटकांपैकी दुसरा a 2 - b 2 (दोन संख्यांच्या वर्गातील फरक) घटक (a + b) आणि (a - b) मध्ये विघटित होतो. तर,

41. विभाजनाच्या विशेष प्रकरणांचा अर्ज... कलम 37 वर आधारित, आम्ही लगेच लिहू शकतो की, उदाहरणार्थ,