साइनस दृष्टीकोन समान आहे. सिनस, कोसिनस, टेंसेंट, तीव्र कोनाचे कापसन

व्याख्यान: साइनस, कोसाइन, टेंटेंट, कॅटेगंट अनियंत्रित कोन

सीन, अनियंत्रित कोनाचे कोसाइन

ट्रिगोनोमेट्रिक कार्ये काय समजून घेण्यासाठी, एक त्रिज्या असलेल्या परिघाला वळवा. समन्वय विमानावरील समन्वयाच्या सुरूवातीस या मंडळामध्ये केंद्र आहे. निर्दिष्ट कार्ये निर्धारित करण्यासाठी, आम्ही त्रिज्या-वेक्टर वापरु किंवाजे परिघाच्या मध्यभागी आणि बिंदूच्या मध्यभागी सुरू होते आर हे एक वर्तुळ बिंदू आहे. हे त्रिज्या वेक्टर अक्षासह अल्फा एक कोन बनवते अरे. जर वर्तुळात एक त्रिज्या समान आहे किंवा \u003d आर \u003d 1.

बिंदूपासून आर अक्ष च्या लंबदुभानी omit अरे, आपल्याला एक हाइपोटेनूरससह \u200b\u200bएक आयताकृती त्रिकोण मिळेल.

रेडियस-वेक्टर घड्याळाच्या दिशेने जात असल्यास, ही दिशा दिली जाते नकारात्मकते घड्याळाच्या हालचालीच्या हालचालीवर चालते - सकारात्मक.

साइनस कोपर किंवा, वचनबद्ध बिंदू आहे आर मंडळावर वेक्टर.

अल्फा या कोनाच्या साइनसचे मूल्य प्राप्त करण्यासाठी, समन्वय निश्चित करणे आवश्यक आहे डब्ल्यू पृष्ठभाग वर.

या मूल्याचे मूल्य कसे होते? आम्हाला माहित आहे की आयताकृती त्रिकोणातील मनमानित कोनाचे सिन हे हायपोटेन्यूजसाठी उलट श्रेणीचे वृत्ती आहे, आम्हाला ते मिळते

आणि पासून आर \u003d 1.ट. पाप (α) \u003d y 0 .

एका वर्तुळात, नियमांचे मूल्य कमी -1 आणि 1 पेक्षा जास्त असू शकत नाही, याचा अर्थ असा आहे

साइनस एकाच मंडळाच्या पहिल्या आणि द्वितीय तिमाहीत सकारात्मक मूल्य घेतो आणि तिसऱ्या आणि चौथ्या - नकारात्मक.

कोसाइन कॉर्नर त्रिज्या-वेक्टरद्वारे तयार केलेला हा वर्तुळ किंवा, abscissa पॉइंट आहे आर मंडळावर वेक्टर.

अल्फा या कोूसचे कोसाइन मूल्य प्राप्त करण्यासाठी, समन्वय निश्चित करणे आवश्यक आहे एच. पृष्ठभाग वर.

आयताकृती त्रिकोणातील एक अनियंत्रित कोन कोसाइनचे कोसाइन हे हायपोटेन्यूजसाठी समीप श्रेणीचे प्रमाण आहे, आम्हाला ते मिळते

आणि पासून आर \u003d 1.ट. कॉस (α) \u003d x 0 .

एका मंडळामध्ये, abscissa मूल्य कमी -1 आणि 1 पेक्षा जास्त असू शकत नाही, याचा अर्थ असा आहे

कोसाइन एका मंडळाच्या पहिल्या आणि चौथ्या तिमाहीत सकारात्मक मूल्य घेते, आणि दुसर्या आणि तिसऱ्या मध्ये - नकारात्मक.

टॅंगेंटीस मनमाना कोपर कोसाइनमध्ये साइनसचे प्रमाण मानले जाते.

जर आपण आयताकृती त्रिकोण विचारात घेतल्यास, हे उलट श्रेणीच्या उलट श्रेणीचे प्रमाण आहे. जर आपण एका वर्तुळाबद्दल बोलत आहोत, तर हे अबसिसीसचे सामान्य गुण आहे.

या नातेसंबंधांद्वारे न्याय करणे, असे समजू शकते की बीबीएसएसा मूल्य शून्य असेल तर टेंगेंट अस्तित्वात नाही, म्हणजे 90 अंशांच्या कोनावर आहे. स्पर्शाने इतर सर्व मूल्ये घेऊ शकतात.

एका मंडळाच्या पहिल्या आणि तृतीय क्वार्टरमध्ये टेंगेंटमध्ये एक सकारात्मक मूल्य आहे आणि दुसर्या आणि चौथ्यांमध्ये नकारात्मक आहे.

ट्रिगोनोमेट्री, विज्ञानाप्रमाणेच प्राचीन पूर्वेकडे उद्भवलेले. प्रथम त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांनी खगोलशास्त्रज्ञांनी अचूक कॅलेंडर तयार केले आणि तारांवर लक्ष केंद्रित केले. हे मोजमाप गोलाकार ट्रिगोनोमेट्रीचे होते, तर शाळेच्या कोर्समध्ये, पक्षांचे प्रमाण आणि फ्लॅट त्रिकोणाच्या कोनाचा अभ्यास केला जातो.

त्रिकोणमिती हे गणिताचे एक विभाग आहे जे त्रिकोणोमेट्रिक कार्याच्या गुणधर्मांमध्ये गुंतलेले आहे आणि पक्षांच्या आणि त्रिकोणाच्या कोपऱ्यांमधील निर्भरता.

पहिल्या सहस्राब्दीच्या संस्कृती आणि विज्ञानाच्या उन्हाळ्याच्या काळात, आमचा युग प्राचीन पूर्वेकडून ग्रीस पर्यंत पसरला आहे. परंतु त्रिकोणमितीच्या मुख्य शोधांमुळे अरब खारटपणाची पतींची गुणवत्ता आहे. विशेषतः, तुर्कमेनियन शास्त्रज्ञ अल-मारझी यांनी स्पर्श आणि मांजरीसारख्या फंक्शन्समध्ये प्रवेश केला, सायनस मूल्यांसाठी, स्पर्शक आणि ग्रंथावंतांसाठी प्रथम सारण्या संकलित केल्या. भारतीय शास्त्रज्ञांनी साइन आणि कोसाइनची संकल्पना सादर केली आहे. युक्लिडिया, आर्किमिडीज आणि इरेटोथीन सारख्या प्राचीन काळाच्या अशा महान नेत्यांच्या लिखाणाच्या लिखाणात ट्रिगोनोमेट्री भरपूर लक्ष केंद्रित आहे.

त्रिकोणमितीचे मुख्य मूल्य

अंकीय वितर्क मुख्य त्रिकोणमित कार्ये साइनस, कोसाइन, स्पर्शिक आणि उत्परिवर्तन आहेत. त्यांच्यापैकी प्रत्येकाकडे स्वतःचे शेड्यूल आहे: साइनसॉइड, कोसाइदिडा, टॅंगसेसॉइड आणि कॅटंगेनसॉइड.

निर्दिष्ट प्रमाणात मूल्यांचे मूल्यांकन करण्यासाठी सूत्रांचा आधार पायथागोरो प्रमेय आहे. शालेय मुलांनी शब्दांत अधिक ज्ञात केले आहे: "पायथागोरस पॅंट, सर्व दिशानिर्देशांमध्ये, समान आहेत" कारण पुरावा समान आकाराच्या आयताकृती त्रिभुजच्या उदाहरणावर दिलेला आहे.

साइनस, कोसाइन आणि इतर अवलंबित्वे कोणत्याही आयताकृती त्रिकोणाच्या तीक्ष्ण कोपर आणि बाजूंच्या एक दुवा स्थापित करतात. कोनासाठी या मूल्यांचे गणना करण्यासाठी आम्ही सूत्रांना देतो आणि ट्रिगोनोमेट्रिक कार्यांचे संबंध शोधतो:

म्हणून पाहिले जाऊ शकते, टीजी आणि सीटीजी व्यस्त फंक्शन आहेत. आपण कॅटॅट अ आणि हायपोटेनसचा तुकडा म्हणून सबमिट केल्यास, सीओएस ए * सीच्या स्वरूपात बी बी रोल बी, आम्ही खालील सूत्रांना स्पर्शक आणि KTantent साठी प्राप्त करू.

त्रिकोणोमेट्रिक सर्कल

ग्राफिकल, असे मूल्यांचे प्रमाण खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते:

सर्कल, या प्रकरणात, 0 डिग्री ते 360 ° पासून - सर्व संभाव्य कोन α आहे. आकृतीवरून पाहिले जाऊ शकते, प्रत्येक फंक्शन कॉर्नर व्हॅल्यूवर अवलंबून नकारात्मक किंवा सकारात्मक मूल्य घेते. उदाहरणार्थ, पाप α "+" चिन्हासह असेल, जर α वर्तमान वर्तुळाच्या तिमाहीत आहे, तर ते 0 ° ते 180 डिग्री दरम्यान आहे. 180 डिग्री ते 360 ° (III आणि iv quarters) पासून α सह, पाप α केवळ एक नकारात्मक मूल्य असू शकते.

विशिष्ट कोनांसाठी त्रिकोणमेट्रिक टेबल तयार करण्याचा प्रयत्न करू आणि मूल्यांचे मूल्य शोधून काढू.

मूल्य α 30 ° 30 °, 45 °, 60 °, 9 0 °, 180 °, आणि इतकेच आहेत - विशेष प्रकरणांना म्हणतात. ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शनचे मूल्य त्यांच्यासाठी मोजले जाते आणि विशेष टेबलांच्या स्वरूपात सादर केले जाते.

हे कोन कोणत्याही अपघाताने निवडले जात नाहीत. टेबलमधील पदनाम रेडियन लोकांसाठी आहे. रेड एक कोन आहे ज्यामध्ये परिघाची लांबी त्याच्या त्रिज्याशी संबंधित आहे. सार्वभौम अवलंबन स्थापित करण्यासाठी हे मूल्य सादर करण्यात आले होते, जेव्हा रेडियनची गणना करताना, सेमीमधील वास्तविक त्रिज्या लांबी काही फरक पडत नाही.

ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन्ससाठी टेबलमधील कोपरे रेडियन मूल्यांशी संबंधित आहेत:

म्हणून, अंदाज करणे कठीण नाही की 2π एक संपूर्ण वर्तुळ किंवा 360 ° आहे.

ट्रिगोनोमेट्रिक कार्ये गुणधर्म: साइनस आणि कोसाइन

साइनस आणि कोसाइन, टेनेट आणि कॅटंगन्सच्या मुख्य गुणधर्मांचा विचार आणि तुलना करण्यासाठी, त्यांचे कार्य काढणे आवश्यक आहे. हे दोन-आयामी समन्वय प्रणालीमध्ये असलेल्या वक्र स्वरूपात केले जाऊ शकते.

Sinusoids आणि consiends साठी गुणधर्मांची तुलनात्मक सारणी विचारात घ्या:

कार्य अगदी सोपे आहे की नाही हे निर्धारित करा. ऑक्स एक्सिसशी संबंधित सिंक्रोनोमेट्रिक मूल्यांकडे आणि मानसिकदृष्ट्या "folded" च्या चिन्हेसह ट्रिगोनोमेट्रिक सर्कल सादर करणे पुरेसे आहे. चिन्हे एकत्र असल्यास, कार्य अगदी अन्यथा - एक विचित्र.

रेडियन्सची ओळख आणि साइनसॉईड्स आणि कोस्टेनिड्सचे मुख्य गुणधर्म हस्तांतरण आपल्याला खालील नियमितता आणण्याची परवानगी देतात:

सूत्र अतिशय सोपे असल्याचे सुनिश्चित करा. उदाहरणार्थ, x \u003d π / 2 साइनस 1 आहे, तसेच कोसाइन एक्स \u003d 0 साठी. आपण टेबल तपासू शकता किंवा निर्दिष्ट मूल्यांसाठी कार्ये कार्ये शोधू शकता.

टॅंगासोइड्स आणि कोटॅन्सॉइड्सचे गुणधर्म

साइनसॉईड्स आणि कोस्टेनिड्समधून टेंगेंट आणि कटिगेंटच्या कार्याचे आलेख लक्षणीय भिन्न असतात. टीजी आणि सीटीजीचे मूल्य एकमेकांना परत येते.

1. Y \u003d tg x.
2. Tangentsoid x \u003d π / 2 + πk वर values \u200b\u200bआहे, परंतु त्यांना पोहोचू शकत नाही.
3. टॅंगेनसॉइड सर्वात कमी सकारात्मक कालावधी π सारखे आहे.
4. टीजी (- एक्स) \u003d - टीजी एक्स, I.E., कार्य विचित्र आहे.
5. Tg x \u003d 0, x \u003d πk वर.
6. कार्य वाढत आहे.
7. टीजी एक्स\u003e 0, एक्स ε ε ε (πk, π / 2 + πk).
8. टीजी एक्स \u003c0, एक्स ε ε (- π / 2 + πk, πk).
9. व्युत्पन्न (टीजी x) '\u003d 1 / कॉस 2 \u2061x.

मजकूर खाली catangensoids ग्राफिक प्रतिमा विचारात घ्या.

कोटांगेनॉईड्सचे मुख्य गुणधर्म:

1. वाई \u003d सीटीजी एक्स.
2. साइनस आणि कोसाइनच्या फंक्शन्सच्या विपरीत, tangentsoid y मध्ये, ते अनेक वैध संख्या मूल्ये घेऊ शकते.
3. Kothangensoid x \u003d πk वर वाई आहे, परंतु त्यांना कधीही पोहोचू शकत नाही.
4. CatangensiSoid च्या सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी π सारखे आहे.
5. सीटीजी (- एक्स) \u003d - सीटीजी एक्स, I.E. फंक्शन विचित्र आहे.
6. सीटीजी एक्स \u003d 0, एक्स \u003d π / 2 + πk वर.
7. कार्य उतरत आहे.
8. सीटीजी एक्स\u003e 0, एक्स ε ε (πk, π / 2 + πk).
9. सीटीजी एक्स \u003c0, एक्स ε ε ε (π / 2 + πk, πk).
10. व्युत्पन्न (सीटीजी एक्स) '\u003d - 1 / पाप 2 \u2061x निराकरण

साइनस कसे शोधायचे?

भूमिती अभ्यास करणे विचार विकसित करण्यास मदत करते. हा आयटम आवश्यक आहे शाळेच्या प्रशिक्षणात जातो. जीवनशैलीत, या विषयाचे ज्ञान उपयुक्त ठरू शकते - उदाहरणार्थ, एखादे अपार्टमेंट नियोजन करताना.

इतिहास पासून

भूमितीच्या मार्गाचा भाग म्हणून, त्रिकोणमितीचाही अभ्यास केला जातो, जो त्रिकोणोमेट्रिक कार्यांचा शोध लावतो. ट्रिगोनोमेट्रीमध्ये, आम्ही सायनस, कोसाइन्स, स्पर्शक आणि कोपऱ्यांचा अभ्यास करतो.

परंतु या क्षणी, चला सर्वात सोपा - साइनससह प्रारंभ करूया. भूमितीतील सिनस कोन - प्रथम संकल्पना - प्रथम संकल्पना - अधिक तपशीलवार विचार करूया. साइन आणि ते कसे शोधायचे?

"साइनस कोन" आणि सिनुसोडची संकल्पना

कोपर सिनस हे आयताकृती त्रिकोणाच्या उलट श्रेणी आणि हायपोटेन्यूजच्या मूल्यांचे प्रमाण आहे. हा एक थेट त्रिकोणमितीय कार्य आहे, जो अक्षर "पाप (एक्स)" म्हणून दर्शविला जातो, जेथे (x) त्रिकोणाचा कोन आहे.

कोपऱ्याचे साइनस त्याच्या स्वत: च्या वैशिष्ट्यांसह साइनसॉईडद्वारे दर्शविले जाते. साइनसॉइड एक सतत लहर-सारखे ओळ दिसते, जे समन्वयकांच्या विमानावर काही फ्रेम खाली आहे. कार्ये विचित्र आहेत, त्यामुळे समन्वयच्या विमानावर 0 च्या संदर्भात सममितीय (ते समन्वयच्या मूळच्या बाहेर येतात) आहेत.

या कार्याचे परिभाषा क्षेत्र -1 ते +1 पासून कार्टेसियन समन्वय प्रणालीवर आहे. कोपर्याच्या कार्याचा कालावधी 2 पी आहे. याचा अर्थ प्रत्येक 2 पीआय रेखाचित्र पुनरावृत्ती होते आणि सायनुसोड पूर्ण चक्र पास करते.

साइनसॉइड समीकरण

• पाप x \u003d ए / सी
• जेथे त्रिकोण-त्रिकोणाचा कोपर आहे
• सी - आयताकृती त्रिकोण च्या hypotenus

साइनस कॉर्नरची गुणधर्म

1. पाप (x) \u003d - पाप (x). हे वैशिष्ट्य दर्शविते की हे कार्य सममितीय आहे आणि जर आपण व्हॅल्यू एक्स आणि (एस) च्या दोन्ही बाजूंमध्ये समन्वय प्रणाली स्थगित केली तर या पॉईंटचे आदेश उलट असतील. ते एकमेकांपासून समान अंतरावर असतील.
2. या वैशिष्ट्याचे आणखी एक वैशिष्ट्य म्हणजे सेगमेंटमध्ये फंक्शन ग्राफ वाढते [- पी / 2 + 2 पीएन]; [पी / 2 + 2 पीएन], जेथे एन एक पूर्णांक आहे. विभागावर कोपर्याच्या ग्राफमध्ये घट होईल: [पी / 2 + 2 पीएन]; [3 पी / 2 + 2pn].
3. पाप (x)\u003e 0, जेव्हा एक्स रेंजमध्ये आहे (2 पीएन, पी + 2 पीएन)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

कोपऱ्यात साइनर्सचे मूल्य विशेष सारण्या द्वारे निर्धारित केले जातात. जटिल सूट आणि समीकरणांची गणना प्रक्रिया सुलभ करण्यासाठी अशा सारण्या तयार केल्या. वापरणे सोपे आहे आणि मूल्ये केवळ केवळ कार्ये (x), परंतु इतर कार्यांचे मूल्य देखील नाही.

शिवाय, या कार्यातील मानक मूल्यांचे सारणी गुणाकार सारणी म्हणून स्मृतीच्या अनिवार्य अभ्यासामध्ये समाविष्ट केले आहे. हे फिजिको-गणितीय पूर्वाग्रह असलेल्या वर्गांसाठी सत्य आहे. सारणी कोनांच्या त्रिकोणमितीमध्ये वापरल्या जाणार्या मते, 0, 15, 30, 45, 60, 75, 9 0, 120, 135, 150, 180, 270 आणि 360 अंश आहेत.

एक सारणी देखील आहे जी गैर-मानक कोनांच्या त्रिकोणमितीय कार्यांचे मूल्य निर्धारित करते. वेगवेगळ्या सारण्या वापरून, आपण सहजपणे साइनस, कोसाइन, टेनेट आणि कॅटंगेंट काही कोनांची गणना करू शकता.

ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन्ससह, समीकरण संकलित केले जातात. आपल्याला सोपे ट्रायोनोमेट्रिक ओळख माहित असल्यास आणि कार्ये सोडविल्यास, या समीकरणांचे निराकरण करणे सोपे आहे, उदाहरणार्थ, जसे की पाप (एन / 2 + x) \u003d cos (x) आणि इतर. अशा dissibes साठी, एक वेगळी सारणी संकलित केली आहे.

एक कोपर कसे शोधायचे

जेव्हा कार्य साइनस एंगल शोधणे आहे आणि स्थितीनुसार आपल्याकडे फक्त कोसाइन, टेंटेंट किंवा कोपर कॅटंगेंट असते तेव्हा आपण आवश्यक ट्रिगोनोमेट्रिक ओळख गणना करू शकतो.

• पाप 2 एक्स + कॉस 2 एक्स \u003d 1

या समीकरणावर आधारित, आपण किती अज्ञात दोन्ही साइनस आणि कोसाइन दोन्ही शोधू शकतो. आपल्याकडे एका अज्ञात सह एक त्रिकोण्यपूर्ण समीकरण असेल:

• पाप 2 x \u003d 1 - कॉस 2 एक्स
• पाप x \u003d ± √ 1 - कॉस 2 एक्स
• सीटीजी 2 एक्स + 1 \u003d 1 / पाप 2 एक्स

या समीकरणावरून, कोपर्याच्या कोपऱ्याचे मूल्य जाणून घेणे, साइनसचे मूल्य शोधू शकता. सरली करण्यासाठी, पाप 2 x \u003d y जा, आणि नंतर आपल्याकडे एक साधा समीकरण असेल. उदाहरणार्थ, कोटांगनचे मूल्य 1 आहे, नंतर:

• 1 + 1 \u003d 1 / वाई
• 2 \u003d 1 / वाई
• 2ow \u003d 1.
• वाई \u003d 1/2.

आता आम्ही गेमचे उलट प्रतिस्थापन करतो:

• पाप 2 x \u003d ½
• पाप x \u003d 1 / √2

आम्ही मानक कोनासाठी (45 0) साठी कोटांगेनचे मूल्य घेतले असल्याने, प्राप्त मूल्यांची तपासणी केली जाऊ शकते.

आपल्याला टेंगेंटचे मूल्य दिले असल्यास, आणि आपल्याला साइनस शोधण्याची आवश्यकता असल्यास, आणखी एक त्रिकोणमितीय ओळख मदत करेल:

• टीजी एक्स * सीटीजी एक्स \u003d 1

हे असे आहे की:

• सीटीजी एक्स \u003d 1 / टीजी एक्स

एक नॉन-स्टँडर्ड कोन शोधण्यासाठी, उदाहरणार्थ, 240 0, कोपरांना आणण्यासाठी सूत्रांचा वापर करणे आवश्यक आहे. आम्हाला माहित आहे की यूएस मध्ये π 180 0 शी संबंधित आहे. अशा प्रकारे, आपण विघटन करून मानक कोनांच्या मदतीने आपले समानता व्यक्त करतो.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

आपल्याला खालील शोधण्याची गरज आहे: पाप (180 0 + 60 0 0). त्रिकोणमितीमध्ये आणण्याची सूत्रे आहेत, जे या प्रकरणात उपयुक्त ठरतील. हे एक सूत्र आहे:

• पाप (π + x) \u003d - पाप (x)

अशा प्रकारे, 240 अंशांचा कोन आहे:

• पाप (180 0 + 60 0 0) \u003d - पाप (60 0) \u003d - √ 3/2

आमच्या बाबतीत, x \u003d 60, आणि पी, क्रमशः 180 अंश. मूल्य (-3 / 2) आम्ही मानक कोनांच्या कार्याच्या मूल्यांच्या सारणीवर आढळले.

अशा प्रकारे, गैर-मानक कोन विघटित केले जाऊ शकतात, उदाहरणार्थ: 210 \u003d 180 + 30.

साइनस एक आयताकृती त्रिकोणाचा तीव्र कोन α एक संबंध आहे उलट Hypotenuse साठी cate.
म्हणून सूचित: पाप α.

कोसाइन आयताकृती त्रिकोणाच्या तीव्र कोन α लाइपोटेन्यूजसाठी जवळील कॅटेकचे प्रमाण आहे.
खालीलप्रमाणे दर्शविते: α.

स्पर्श तीव्र कोन α उलट कॅटेकच्या समीप कॅथेलेटचे प्रमाण आहे.
म्हणून सूचित करते: टीजी α.

Cotangent. तीव्र कोन α उलट्या अगदी उलट आहे.
म्हणून सूचित करते: सीटीजी α.

सिन, कोसाइन, टेनेट आणि कॅटेन्स एंगल केवळ कोनाच्या परिमाणावर अवलंबून असतात.

नियम:

आयताकृती त्रिकोणातील मूलभूत त्रिकोणात्मक ओळख:

(α - शार्प कोन, कॅथेट उलट बी आणि कॅथेट च्या समीप ए . बाजू पासून - hypotenuse. β - दुसरा तीक्ष्ण कोन).

तीव्र कोनात वाढपाप α मी.टीजी α वाढत आहे, आणिcOS α कमी करते.

कोणत्याही तीव्र कोन साठी:

पाप (9 0 ° - α) \u003d as

cos (90 ° - α) \u003d पाप α

उदाहरण-स्पष्टीकरण:

समजा आयताकृती त्रिकोण एबीसी मध्ये
एबी \u003d 6,
सूर्य \u003d 3,
कोन ए \u003d 30º.

Sine angle ए आणि कोसाइन एंगल व्ही शोधा.

निर्णय .

1) प्रथम आपल्याला एंगल व्हीची तीव्रता आढळते. सर्वकाही सोपे आहे: एक आयताकृती त्रिकोणामध्ये, धारदार कोपरांची बेरीज 90º आहे, नंतर कोन बी \u003d 60:

बी \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) पाप एची गणना करा. आम्हाला माहित आहे की सायनस हा हायपोटेन्यूजच्या उलट कॅटेकच्या वृत्तीच्या वृत्तीच्या बरोबरीचा आहे. कोन आणि विरुद्ध कॅथेट कॅथेट विमानाचे बाजूला आहे. तर:

बीसी 3 1.
पाप a \u003d - \u003d - \u003d -
एबी 6 2.

3) आता मी सीओएस बीची गणना करतो. आम्हाला माहित आहे की ओपोटेन्यूजच्या जवळच्या कॅटेकच्या वृत्तीची कोसाइन समान आहे. समीप कॅथेट मधील कोनासाठी, सूर्याच्या समान बाजू. याचा अर्थ असा आहे की आपण पुन्हा एव्हीवर विमान विभाजित केले पाहिजे - म्हणजेच सायनस एंगलची मोजणी करताना समान क्रिया करणे:

बीसी 3 1.
cos b \u003d - \u003d - \u003d -
एबी 6 2.

परिणामी, ते बाहेर वळते:
पाप a \u003d cos b \u003d 1/2.

पाप 30 तास \u003d कोस 60º \u003d 1/2.

यातून असे म्हटले आहे की एक तीव्र कोनाच्या आयताकृती त्रिकोण साइनसमध्ये दुसर्या तीव्र कोनाच्या कोसिनच्या बरोबरीचा आहे - आणि उलट. आमच्या दोन सूत्रे म्हणजे नक्कीच हेच आहे:
पाप (9 0 ° - α) \u003d as
cos (90 ° - α) \u003d पाप α

चला पुन्हा हे सुनिश्चित करूया:

1) α \u003d 60º व्हा. Sine सूत्र मध्ये α चे मूल्य सबमिट करणे, आम्हाला मिळते:
पाप (90º - 60º) \u003d cos 60º.
पाप 30º \u003d cos 60º.

2) α \u003d 30º. Α च्या α च्या कोसाइन फॉर्म्युलाचे मूल्य सबम्युला, आम्हाला मिळते:
COS (90 ° - 30º) \u003d पाप 30º.
60 ° \u003d पाप 30º.

(त्रिकोणमितीबद्दल अधिक - बीजगणित एक निवड पहा)

ट्रिगोनोमेट्रीचा अभ्यास करणे आम्ही एक आयताकृती त्रिकोणासह प्रारंभ करू. आम्ही असे सिद्ध करतो की अशाप्रकारे सायनस आणि कोसाइन, तसेच तीव्र कोनाच्या स्पर्शक आणि कॅटांगन. हे त्रिकोणमितीचे पाया आहेत.

ते लक्षात ठेवा उजवा कोन - हा एक कोन आहे जो 9 0 अंश आहे. दुसर्या शब्दात, विस्तृत कोन अर्धा.

तीक्ष्ण कोपर - थोडे 90 अंश.

विशाल कोन - मोठे 90 अंश. अशा कोनाच्या संबंधात "मूर्ख" अपमान नाही, परंतु गणिती करार :-)

आयताकृती त्रिकोण काढा. सरळ कोन सहसा सूचित केले जाते. आम्ही लक्षात ठेवतो की कोनाच्या उलट बाजूच समान अक्षराने दर्शविली जाते, फक्त लहान. तर, कोन ए कोनाच्या उलट बाजूस पडलेला आहे.

संबंधित ग्रीक अक्षराने कोन दर्शविला आहे.

हायपोटेन्यूज आयताकृती त्रिकोण थेट कोनाच्या उलट बाजू आहे.

कार्तेती.- पक्ष एक धारदार कोपर उलट.

कोनाच्या विरोधात पडलेला कॅटॅट म्हणतात उलट (कोपर्याच्या संबंधात). दुसरा कॅटॅट जो कोनाच्या एका बाजूला आहे, त्याला म्हणतात समीप.

साइनस आयताकृती त्रिकोणातील एक तीव्र कोन हेपोटन्यूजसाठी उलट कॅटेकचे प्रमाण आहे:

कोसाइन आयताकृती त्रिकोणातील तीव्र कोन - हाइपोटेन्यूजसाठी जवळच्या कॅटेकचे प्रमाण:

स्पर्श आयताकृती त्रिकोणातील तीव्र कोन - जवळील विरोधी श्रेणीचे प्रमाण:

दुसरी (समतुल्य) परिभाषा: तीव्र कोनाचा एक स्पर्शिक म्हणून कोनाच्या कोपऱ्यात त्याच्या कोसाइनचा गुणोत्तर म्हणतात:

Cotangent. आयताकृती त्रिकोणामध्ये एक तीक्ष्ण कोपरा - जवळच्या कॅटेकचा उलट (किंवा, की, त्याचप्रमाणे, सायनास कोसिनच्या दृष्टीकोन):

साइनस, कोसाइन, टेनेट आणि कॅटांगेंटसाठी मुख्य गुणोत्तरांवर लक्ष द्या जे खाली दर्शविले आहे. समस्या सोडवताना ते आम्हाला वापरतील.

चला त्यांच्यापैकी काही सिद्ध करूया.

ठीक आहे, आम्ही परिभाषा आणि रेकॉर्ड्स दिले. आणि आपल्याला अजूनही सायनस, कोसाइन, टेनेटिक आणि कॅटंगेंटची आवश्यकता का आहे?

आम्हाला ते माहित आहे कोणत्याही त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज समान आहे.

आम्हाला दरम्यान गुणोत्तर माहित आहे पक्ष आयताकृती त्रिकोण. हे pythagora theorm आहे:.

त्रिकोणातील दोन कोपरांना जाणून घेणारे, आपण तिसऱ्या शोधू शकता. आयताकृती त्रिकोणामध्ये दोन बाजू जाणून घेणे, आपण तिसरे शोधू शकता. याचा अर्थ कोपऱ्यांसाठी - पक्षांसाठी - त्याचे स्वतःचे प्रमाण आहे. आणि आयताकृती त्रिकोणामध्ये एक कोन ओळखला गेला तर (थेट वगळता) आणि एक बाजू, आणि आपल्याला इतर पक्ष शोधणे आवश्यक आहे?

भूतकाळातील लोक आणि भूतकाळातील लोक भूप्रदेश आणि तारांकित आकाश बनवतात. शेवटी, आपण त्रिकोणाच्या सर्व बाजूंनी नेहमीच मोजू शकत नाही.

साइनस, कोसाइन आणि टेंटेंट - त्यांना देखील म्हणतात कोपर च्या ट्रिगोनोमेट्रिक कार्ये - दरम्यान संबंध द्या पक्ष आणि कोपर त्रिकोण कोन जाणून घेणे, आपण विशेष सारण्या वापरून त्याचे सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये शोधू शकता. आणि सिन्स, त्रिकोणाच्या कोपऱ्यात आणि त्याच्या बाजूला एक कोसाइन्स आणि स्पर्शक जाणून घेणे, आपण उर्वरित शोधू शकता.

आम्ही पूर्वीपासून "चांगले" कोनांसाठी साइनस, कोसाइन, टेनेट आणि कॅटंगन्सचे एक टेबल देखील काढतो.

टेबलमध्ये दोन लाल डक्टिंगकडे लक्ष द्या. स्पर्श आणि कोटांगनच्या कोपर्यांच्या संबंधित मूल्यांवर अस्तित्वात नाही.

बँकेच्या निर्देश बँकेकडून आम्ही अनेक कार्ये विश्लेषण करू.

1. त्रिकोण कोन मध्ये समान आहे. शोधणे.

कार्य चार सेकंदात सोडले आहे.

जोपर्यंत , .

2. त्रिकोण कोन मध्ये समान आहे. शोधणे.

पायथागोरा प्रमेय वर शोधा.

कार्य निराकरण आहे.

बर्याचदा कार्यांमध्ये कोन आणि कोनांसह त्रिकोण आहेत आणि. त्यांच्यासाठी मुख्य संबंध लक्षात ठेवतात!

कोपर आणि कॅथ सह त्रिकोण साठी, समान कोन विरुद्ध झोपणे अर्धा hypotenuses.

कोपर सह त्रिकोण आणि ते घडले. त्यामध्ये अधिक श्रेणीमध्ये hypotenuses मध्ये.

आम्ही अज्ञात पक्ष किंवा कोपर शोधण्यासाठी आयताकृती त्रिकोणांच्या समाधानासाठी कार्यांचे पुनरावलोकन केले. पण ते सर्व नाही! गणितातील एजच्या रूपात, कार्यांची एक बहुलता, जेथे त्रिकोणाच्या बाह्य कोनाच्या कॅटेन्सेस सायनस, कोसाइन, टेनेट किंवा कॅटेन्स दिसतात. याबद्दल - पुढील लेखात.