नैसर्गिक लॉगरिदमसह समीकरणे कशी सोडवायची. लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी काही पद्धती
लॉगरिदमिक समीकरणहे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये अज्ञात (x) आणि त्यासह अभिव्यक्ती लॉगरिदमिक फंक्शनच्या चिन्हाखाली आहेत. लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवताना असे गृहीत धरले जाते की आपण आधीपासूनच परिचित आहात आणि .
लॉगरिदमिक समीकरणे कशी सोडवायची?
सोपं समीकरण आहे लॉग a x = b, जेथे a आणि b काही संख्या आहेत, x एक अज्ञात आहे.
लॉगरिदमिक समीकरण सोडवणे x = a b प्रदान केले आहे: a > 0, a 1.
हे लक्षात घेतले पाहिजे की जर x लॉगरिथमच्या बाहेर कुठेतरी असेल, उदाहरणार्थ लॉग 2 x = x-2, तर अशा समीकरणाला आधीपासूनच मिश्रित म्हटले जाते आणि ते सोडवण्यासाठी विशेष दृष्टीकोन आवश्यक आहे.
आदर्श केस म्हणजे जेव्हा तुम्ही एखादे समीकरण पाहता ज्यामध्ये लॉगॅरिथम चिन्हाखाली फक्त संख्या असतात, उदाहरणार्थ x+2 = लॉग 2 2. ते सोडवण्यासाठी लॉगरिदमचे गुणधर्म जाणून घेणे पुरेसे आहे. परंतु असे नशीब अनेकदा घडत नाही, म्हणून अधिक कठीण गोष्टींसाठी सज्ज व्हा.
पण प्रथम, सोप्या समीकरणांपासून सुरुवात करूया. त्यांचे निराकरण करण्यासाठी, लॉगरिथमची अगदी सामान्य समज असणे उचित आहे.
साधी लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवणे
यामध्ये लॉग 2 x = log 2 16 या प्रकारची समीकरणे समाविष्ट आहेत. उघड्या डोळ्याने हे लक्षात येते की लॉगरिदमचे चिन्ह वगळून आपल्याला x = 16 मिळते.
अधिक क्लिष्ट लॉगरिदमिक समीकरण सोडवण्यासाठी, ते सामान्यतः सामान्य बीजगणितीय समीकरण सोडवण्यासाठी किंवा साधे लॉगरिदमिक समीकरण लॉग a x = b सोडवण्यासाठी कमी केले जाते. सर्वात सोप्या समीकरणांमध्ये हे एका हालचालीमध्ये घडते, म्हणूनच त्यांना सर्वात सोपा म्हटले जाते.
लॉगरिदम सोडण्याची वरील पद्धत लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवण्याच्या मुख्य मार्गांपैकी एक आहे. गणितात या ऑपरेशनला पोटेंशिएशन म्हणतात. या प्रकारच्या ऑपरेशनसाठी काही नियम किंवा निर्बंध आहेत:
- लॉगरिदममध्ये समान संख्यात्मक आधार असतात
- समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधील लॉगरिदम मुक्त आहेत, उदा. कोणत्याही गुणांक किंवा इतर विविध प्रकारच्या अभिव्यक्तीशिवाय.
लॉग 2 x = 2log 2 (1 - x) या समीकरणात पोटेंशिएशन लागू होत नाही असे समजू - उजवीकडील गुणांक 2 त्यास परवानगी देत नाही. खालील उदाहरणात, लॉग 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) देखील एका निर्बंधाचे पूर्तता करत नाही - डावीकडे दोन लॉगरिदम आहेत. जर एकच असेल तर ती पूर्णपणे वेगळी बाब असेल!
सर्वसाधारणपणे, समीकरणाचा फॉर्म असेल तरच तुम्ही लॉगरिदम काढू शकता:
log a (...) = log a (...)
पूर्णपणे कोणतीही अभिव्यक्ती कंसात ठेवली जाऊ शकते; याचा पोटेंशिएशन ऑपरेशनवर कोणताही परिणाम होत नाही. आणि लॉगरिदम काढून टाकल्यानंतर, एक सोपे समीकरण राहील - रेखीय, द्विघाती, घातांक इ., ज्याचे निराकरण कसे करायचे ते तुम्हाला आधीच माहित असेल.
आणखी एक उदाहरण घेऊ:
लॉग 3 (2x-5) = लॉग 3 x
आम्ही क्षमता लागू करतो, आम्हाला मिळते:
लॉग 3 (2x-1) = 2
लॉगॅरिथमच्या व्याख्येवर आधारित, म्हणजे, लॉगरिथम ही अशी संख्या आहे ज्यावर लॉगरिथम चिन्हाखाली असलेली अभिव्यक्ती मिळविण्यासाठी बेस वाढविला जाणे आवश्यक आहे, म्हणजे. (4x-1), आम्हाला मिळते:
आम्हाला पुन्हा एक सुंदर उत्तर मिळाले. येथे आम्ही लॉगरिदम काढून टाकल्याशिवाय केले, परंतु येथे संभाव्यता देखील लागू आहे, कारण लॉगरिदम कोणत्याही संख्येवरून बनविला जाऊ शकतो आणि आपल्याला आवश्यक असलेला एक. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि विशेषतः असमानता सोडवण्यासाठी ही पद्धत खूप उपयुक्त आहे.
पोटेंशिएशन वापरून लॉग 3 (2x-1) = 2 हे लॉगरिदमिक समीकरण सोडवू.
चला संख्या 2 ची लॉगरिदम म्हणून कल्पना करू, उदाहरणार्थ, हा लॉग 3 9, कारण 3 2 =9.
नंतर लॉग 3 (2x-1) = लॉग 3 9 आणि पुन्हा आपल्याला समान समीकरण 2x-1 = 9 मिळेल. मला आशा आहे की सर्व काही स्पष्ट आहे.
म्हणून आम्ही सर्वात सोपी लॉगरिदमिक समीकरणे कशी सोडवायची ते पाहिले, जे प्रत्यक्षात खूप महत्वाचे आहेत, कारण लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवणे, अगदी सर्वात भयंकर आणि वळण असलेले, शेवटी नेहमी सर्वात सोपी समीकरणे सोडवण्यासाठी खाली येते.
आम्ही वर केलेल्या प्रत्येक गोष्टीत, आम्ही एक अतिशय महत्त्वाचा मुद्दा गमावला, जो भविष्यात निर्णायक भूमिका बजावेल. वस्तुस्थिती अशी आहे की कोणत्याही लघुगणकीय समीकरणाचे समाधान, अगदी प्राथमिक समीकरणामध्ये दोन समान भाग असतात. पहिले समीकरणाचे स्वतःचे निराकरण आहे, दुसरे परवानगीयोग्य मूल्यांच्या श्रेणीसह कार्य करत आहे (APV). हा अगदी पहिला भाग आहे ज्यावर आपण प्रभुत्व मिळवले आहे. वरील उदाहरणांमध्ये, ODZ उत्तरावर कोणत्याही प्रकारे परिणाम करत नाही, म्हणून आम्ही त्याचा विचार केला नाही.
आणखी एक उदाहरण घेऊ:
लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)
बाह्यतः, हे समीकरण प्राथमिक समीकरणापेक्षा वेगळे नाही, जे खूप यशस्वीरित्या सोडवले जाऊ शकते. पण तसे नाही. नाही, नक्कीच आम्ही ते सोडवू, परंतु बहुधा चुकीचे आहे, कारण त्यात एक लहान घात आहे, ज्यामध्ये सी-ग्रेड विद्यार्थी आणि उत्कृष्ट विद्यार्थी दोघेही लगेच त्यात येतात. चला जवळून बघूया.
समजा तुम्हाला समीकरणाचे मूळ किंवा मुळांची बेरीज शोधणे आवश्यक आहे, जर त्यापैकी अनेक असतील:
लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)
आम्ही पोटेंशिएशन वापरतो, ते येथे मान्य आहे. परिणामी, आम्हाला एक सामान्य चतुर्भुज समीकरण मिळते.
समीकरणाची मुळे शोधणे:
हे दोन मुळे बाहेर वळले.
उत्तर: 3 आणि -1
पहिल्या दृष्टीक्षेपात सर्वकाही बरोबर आहे. पण निकाल तपासू आणि त्यास मूळ समीकरणात बदलू.
चला x 1 = 3 ने सुरुवात करूया:
लॉग 3 6 = लॉग 3 6
चेक यशस्वी झाला, आता रांग x 2 = -1 आहे:
लॉग ३ (-२) = लॉग ३ (-२)
ठीक आहे, थांबा! बाहेरील सर्व काही परिपूर्ण आहे. एक गोष्ट - ऋण संख्यांमधून कोणतेही लॉगरिदम नाहीत! याचा अर्थ x = -1 मूळ समीकरण सोडवण्यासाठी योग्य नाही. आणि म्हणून योग्य उत्तर 3 असेल, 2 नाही, जसे आम्ही लिहिले आहे.
येथेच ओडीझेडने आपली घातक भूमिका बजावली, जी आम्ही विसरलो होतो.
मी तुम्हाला आठवण करून देतो की स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीमध्ये x च्या मूल्यांचा समावेश आहे ज्यांना परवानगी आहे किंवा मूळ उदाहरणासाठी अर्थ आहे.
ODZ शिवाय, कोणत्याही समीकरणाचे कोणतेही समाधान, अगदी अगदी अचूक, लॉटरीमध्ये बदलते - 50/50.
दिसायला प्राथमिक उदाहरण सोडवताना आपण कसे पकडले जाऊ शकतो? पण तंतोतंत संभाव्यतेच्या क्षणी. लॉगरिदम गायब झाले आणि त्यांच्यासह सर्व निर्बंध.
या प्रकरणात काय करावे? लॉगरिदम काढून टाकण्यास नकार द्या? आणि हे समीकरण सोडवायला पूर्णपणे नकार?
नाही, आम्ही, एका प्रसिद्ध गाण्यातील खऱ्या नायकांप्रमाणे, एक वळसा घालू!
आम्ही कोणतेही लॉगरिदमिक समीकरण सोडविण्यास सुरुवात करण्यापूर्वी, आम्ही ODZ लिहून ठेवू. पण त्यानंतर, आमच्या समीकरणानुसार तुम्ही तुमच्या मनाला पाहिजे ते करू शकता. उत्तर मिळाल्यानंतर, आम्ही आमच्या ODZ मध्ये समाविष्ट नसलेली मुळे फक्त फेकून देतो आणि अंतिम आवृत्ती लिहून देतो.
आता ODZ कसे रेकॉर्ड करायचे ते ठरवू. हे करण्यासाठी, आम्ही मूळ समीकरण काळजीपूर्वक तपासतो आणि त्यातील संशयास्पद ठिकाणे शोधतो, जसे की x ने विभागणी, अगदी मूळ इ. जोपर्यंत आपण समीकरण सोडवत नाही तोपर्यंत आपल्याला x बरोबर काय आहे हे माहित नाही, परंतु आपल्याला निश्चितपणे माहित आहे की जे x ऐवजी 0 ने भागाकार किंवा ऋण संख्येचे वर्गमूळ देतात ते उत्तर म्हणून योग्य नाहीत. . म्हणून, असे x अस्वीकार्य आहेत, तर उर्वरित ODZ तयार करतील.
पुन्हा तेच समीकरण वापरू.
लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)
लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)
तुम्ही बघू शकता, 0 ने भागाकार नाही, वर्गमूळ देखील नाहीत, परंतु लॉगरिथमच्या मुख्य भागामध्ये x सह अभिव्यक्ती आहेत. आपण ताबडतोब लक्षात ठेवूया की लॉगरिदममधील अभिव्यक्ती नेहमी >0 असणे आवश्यक आहे. आम्ही ही स्थिती ODZ च्या स्वरूपात लिहितो:
त्या. आम्ही अद्याप काहीही सोडवलेले नाही, परंतु आम्ही संपूर्ण सबलॉगरिदमिक अभिव्यक्तीसाठी एक अनिवार्य अट आधीच लिहून ठेवली आहे. कुरळे ब्रेस म्हणजे या अटी एकाच वेळी खऱ्या असाव्यात.
ODZ लिहून ठेवले आहे, परंतु असमानतेच्या परिणामी प्रणालीचे निराकरण करणे देखील आवश्यक आहे, जे आम्ही करू. आम्हाला x > v3 असे उत्तर मिळते. आता आपल्याला निश्चितपणे माहित आहे की कोणता x आपल्याला शोभणार नाही. आणि मग आपण लॉगरिदमिक समीकरण स्वतः सोडवू लागतो, जे आपण वर केले आहे.
x 1 = 3 आणि x 2 = -1 उत्तरे मिळाल्यानंतर, हे पाहणे सोपे आहे की फक्त x1 = 3 आम्हाला अनुकूल आहे आणि आम्ही ते अंतिम उत्तर म्हणून लिहितो.
भविष्यासाठी, खालील गोष्टी लक्षात ठेवणे फार महत्वाचे आहे: आम्ही कोणतेही लॉगरिदमिक समीकरण 2 टप्प्यात सोडवतो. पहिले समीकरण स्वतः सोडवणे, दुसरे म्हणजे ODZ अट सोडवणे. दोन्ही टप्पे एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे केले जातात आणि उत्तर लिहितानाच तुलना केली जाते, म्हणजे. अनावश्यक सर्वकाही टाकून द्या आणि योग्य उत्तर लिहा.
सामग्री मजबूत करण्यासाठी, आम्ही व्हिडिओ पाहण्याची जोरदार शिफारस करतो:
व्हिडिओ लॉग सोडवण्याची इतर उदाहरणे दाखवते. समीकरणे आणि सराव मध्ये मध्यांतर पद्धत तयार करणे.
या प्रश्नाला, लॉगरिदमिक समीकरण कसे सोडवायचेसध्या एवढेच. लॉग द्वारे काहीतरी ठरवले तर. समीकरणे अस्पष्ट किंवा समजण्यायोग्य राहतात, टिप्पण्यांमध्ये तुमचे प्रश्न लिहा.
टीप: सामाजिक शिक्षण अकादमी (ASE) नवीन विद्यार्थी स्वीकारण्यास तयार आहे.
गणिताच्या अंतिम परीक्षेच्या तयारीमध्ये एक महत्त्वाचा विभाग असतो - “लोगॅरिथम”. या विषयावरील कार्ये युनिफाइड स्टेट परीक्षेत समाविष्ट असणे आवश्यक आहे. मागील वर्षांचा अनुभव दर्शवितो की लॉगरिदमिक समीकरणांमुळे अनेक शाळकरी मुलांसाठी अडचणी निर्माण झाल्या. त्यामुळे, विविध स्तरांचे प्रशिक्षण असलेल्या विद्यार्थ्यांना योग्य उत्तर कसे शोधायचे आणि त्यांना त्वरीत कसे सामोरे जावे हे समजून घेणे आवश्यक आहे.
Shkolkovo शैक्षणिक पोर्टल वापरून प्रमाणपत्र चाचणी यशस्वीरित्या पास करा!
युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी करताना, हायस्कूल ग्रॅज्युएट्सना एक विश्वासार्ह स्त्रोत आवश्यक आहे जो चाचणी समस्या यशस्वीरित्या सोडवण्यासाठी सर्वात संपूर्ण आणि अचूक माहिती प्रदान करतो. तथापि, पाठ्यपुस्तक नेहमीच हातात नसते आणि इंटरनेटवर आवश्यक नियम आणि सूत्रे शोधण्यात वेळ लागतो.
श्कोल्कोवो शैक्षणिक पोर्टल तुम्हाला युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी केव्हाही कुठेही करू देते. आमची वेबसाइट लॉगरिदमवर तसेच एक आणि अनेक अज्ञातांसह मोठ्या प्रमाणात माहितीची पुनरावृत्ती आणि आत्मसात करण्यासाठी सर्वात सोयीस्कर दृष्टीकोन देते. सोप्या समीकरणांसह प्रारंभ करा. जर तुम्ही त्यांच्याशी अडचण न करता सामना करत असाल तर अधिक जटिल गोष्टींकडे जा. तुम्हाला एखादी विशिष्ट असमानता सोडवण्यात समस्या येत असल्यास, तुम्ही ती तुमच्या आवडींमध्ये जोडू शकता जेणेकरून तुम्ही नंतर त्यावर परत येऊ शकता.
तुम्ही कार्य पूर्ण करण्यासाठी आवश्यक सूत्रे शोधू शकता, विशेष प्रकरणे आणि मानक लॉगरिदमिक समीकरणाचे मूळ मोजण्यासाठी पद्धती "सैद्धांतिक मदत" विभागाकडे पहा. श्कोल्कोवो शिक्षकांनी यशस्वी उत्तीर्ण होण्यासाठी आवश्यक असलेली सर्व सामग्री सर्वात सोप्या आणि समजण्यायोग्य स्वरूपात गोळा केली, व्यवस्थित केली आणि सादर केली.
कोणत्याही जटिलतेच्या कार्यांना सहजपणे सामोरे जाण्यासाठी, आमच्या पोर्टलवर आपण काही मानक लॉगरिदमिक समीकरणांच्या निराकरणासह स्वतःला परिचित करू शकता. हे करण्यासाठी, "कॅटलॉग" विभागात जा. गणितातील युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनच्या प्रोफाइल पातळीसह समीकरणांसह आमच्याकडे मोठ्या संख्येने उदाहरणे आहेत.
संपूर्ण रशियातील शाळांमधील विद्यार्थी आमचे पोर्टल वापरू शकतात. वर्ग सुरू करण्यासाठी, फक्त सिस्टममध्ये नोंदणी करा आणि समीकरणे सोडवणे सुरू करा. परिणाम एकत्रित करण्यासाठी, आम्ही तुम्हाला दररोज Shkolkovo वेबसाइटवर परत जाण्याचा सल्ला देतो.
या व्हिडिओसह मी लॉगरिदमिक समीकरणांबद्दलच्या धड्यांची एक लांब मालिका सुरू करतो. आता तुमच्या समोर तीन उदाहरणे आहेत, ज्याच्या आधारे आपण सर्वात सोप्या समस्या सोडवायला शिकू, ज्याला म्हणतात- प्रोटोझोआ.
लॉग 0.5 (3x − 1) = −3
लॉग (x + 3) = 3 + 2 लॉग 5
मी तुम्हाला आठवण करून देतो की सर्वात सोपा लॉगरिदमिक समीकरण खालीलप्रमाणे आहे:
log a f(x) = b
या प्रकरणात, हे महत्त्वाचे आहे की व्हेरिएबल x फक्त युक्तिवादाच्या आत आहे, म्हणजेच फंक्शन f(x) मध्ये आहे. आणि संख्या a आणि b या फक्त संख्या आहेत आणि कोणत्याही परिस्थितीत x व्हेरिएबल असलेली फंक्शन्स नाहीत.
मूलभूत उपाय पद्धती
अशा संरचनांचे निराकरण करण्याचे अनेक मार्ग आहेत. उदाहरणार्थ, शाळेतील बहुतेक शिक्षक ही पद्धत देतात: सूत्र वापरून फंक्शन f(x) लगेच व्यक्त करा f ( x) = a b . म्हणजेच, जेव्हा आपण सर्वात सोप्या बांधकामास भेटता तेव्हा आपण अतिरिक्त क्रिया आणि बांधकामांशिवाय त्वरित समाधानाकडे जाऊ शकता.
होय, अर्थातच, निर्णय योग्य असेल. मात्र, या सूत्राची अडचण बहुतांश विद्यार्थ्यांची आहे समजत नाही, ते कोठून येते आणि आपण अक्षर a ला b अक्षर का वाढवतो.
परिणामी, जेव्हा, उदाहरणार्थ, ही अक्षरे स्वॅप केली जातात तेव्हा मला बर्‍याचदा त्रासदायक चुका दिसतात. हे सूत्र एकतर समजले पाहिजे किंवा क्रॅम्ड केले पाहिजे आणि दुसरी पद्धत सर्वात अयोग्य आणि सर्वात निर्णायक क्षणी चुका घडवून आणते: परीक्षा, चाचण्या इ.
म्हणूनच मी माझ्या सर्व विद्यार्थ्यांना मानक शालेय फॉर्म्युला सोडून द्यावा आणि लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी दुसरा दृष्टिकोन वापरावा असे सुचवितो, ज्याला तुम्ही कदाचित नावावरून अंदाज लावला असेल. प्रामाणिक स्वरूप.
कॅनोनिकल फॉर्मची कल्पना सोपी आहे. चला आपली समस्या पुन्हा पाहू: डावीकडे log a आहे, आणि a अक्षराने आपला अर्थ एक संख्या आहे, आणि कोणत्याही परिस्थितीत x व्हेरिएबल असलेले फंक्शन नाही. परिणामी, हे पत्र लॉगरिदमच्या आधारावर लादलेल्या सर्व निर्बंधांच्या अधीन आहे. म्हणजे:
1 ≠ a > 0
दुसरीकडे, त्याच समीकरणावरून आपण पाहतो की लॉगॅरिथम संख्या b च्या समान असणे आवश्यक आहे आणि या अक्षरावर कोणतेही निर्बंध लादलेले नाहीत, कारण ते कोणतेही मूल्य घेऊ शकते - सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही. हे सर्व फंक्शन f(x) कोणती मूल्ये घेते यावर अवलंबून असते.
आणि इथे आम्हाला आमचा अद्भुत नियम आठवतो की कोणतीही संख्या b ला a च्या बेस ते b च्या घातासाठी लॉगॅरिथम म्हणून दर्शविले जाऊ शकते:
b = लॉग a a b
हे सूत्र कसे लक्षात ठेवायचे? होय, अगदी साधे. चला खालील रचना लिहू:
b = b 1 = b log a a
अर्थात, या प्रकरणात आम्ही सुरुवातीला लिहिलेले सर्व निर्बंध उद्भवतात. आता लॉगरिदमचा मूळ गुणधर्म वापरू आणि गुणक b ला a ची शक्ती म्हणून ओळखू. आम्हाला मिळते:
b = b 1 = b log a a = log a a b
परिणामी, मूळ समीकरण खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिले जाईल:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
इतकंच. नवीन फंक्शनमध्ये यापुढे लॉगॅरिथम नाही आणि ते मानक बीजगणित तंत्र वापरून सोडवले जाऊ शकते.
अर्थात, आता कोणीतरी आक्षेप घेईल: काही प्रकारचे कॅनॉनिकल फॉर्म्युला आणणे अजिबात का आवश्यक होते, जर मूळ डिझाइनपासून अंतिम सूत्राकडे जाणे शक्य असेल तर दोन अतिरिक्त अनावश्यक चरणे का करावी? होय, जर बहुतेक विद्यार्थ्यांना हे सूत्र कोठून आले हे समजत नाही आणि परिणामी, ते लागू करताना नियमितपणे चुका होतात.
परंतु क्रियांचा हा क्रम, तीन चरणांचा समावेश आहे, तुम्हाला मूळ लॉगरिदमिक समीकरण सोडविण्याची परवानगी देतो, जरी तुम्हाला अंतिम सूत्र कोठून आले हे समजत नसेल. तसे, या एंट्रीला कॅनोनिकल फॉर्म्युला म्हणतात:
log a f(x) = log a a b
कॅनोनिकल फॉर्मची सोय या वस्तुस्थितीमध्ये देखील आहे की याचा उपयोग लॉगरिदमिक समीकरणांचा एक विस्तृत वर्ग सोडवण्यासाठी केला जाऊ शकतो, आणि आज आपण विचार करत असलेल्या सर्वात सोप्या समीकरणांसाठीच नाही.
उपायांची उदाहरणे
आता खरी उदाहरणे पाहू. तर, चला ठरवूया:
लॉग 0.5 (3x − 1) = −3
चला ते असे पुन्हा लिहू:
लॉग 0.5 (3x − 1) = लॉग 0.5 0.5 −3
बरेच विद्यार्थी घाईत आहेत आणि मूळ समस्येपासून आमच्याकडे आलेल्या पॉवरवर ताबडतोब 0.5 क्रमांक वाढवण्याचा प्रयत्न करतात. खरंच, जेव्हा तुम्ही अशा समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी आधीच चांगले प्रशिक्षित आहात, तेव्हा तुम्ही ही पायरी त्वरित करू शकता.
तथापि, जर तुम्ही आत्ताच या विषयाचा अभ्यास करण्यास सुरुवात केली असेल, तर आक्षेपार्ह चुका टाळण्यासाठी कुठेही घाई न करणे चांगले. तर, आपल्याकडे कॅनोनिकल फॉर्म आहे. आमच्याकडे आहे:
3x − 1 = 0.5 −3
हे यापुढे लॉगरिदमिक समीकरण नाही, तर x व्हेरिएबलच्या संदर्भात रेखीय आहे. त्याचे निराकरण करण्यासाठी, प्रथम 0.5 ते −3 ची घात संख्या पाहू. लक्षात घ्या की 0.5 1/2 आहे.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
लॉगरिदमिक समीकरण सोडवताना सर्व दशांश अपूर्णांकांना सामान्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करा.
आम्ही पुन्हा लिहितो आणि मिळवतो:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
बस्स, आम्हाला उत्तर मिळाले. पहिली समस्या सोडवली आहे.
दुसरे कार्य
चला दुसऱ्या कार्याकडे वळू:
जसे आपण पाहतो, हे समीकरण आता सोपे राहिलेले नाही. जर फक्त डावीकडे फरक आहे आणि एका बेससाठी एकल लॉगरिदम नाही.
म्हणून, आपण या फरकापासून मुक्त होणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, सर्वकाही अगदी सोपे आहे. चला पाया जवळून पाहू: डावीकडे रूट अंतर्गत संख्या आहे:
सामान्य शिफारस: सर्व लॉगॅरिदमिक समीकरणांमध्ये, मूलगामी घटकांपासून मुक्त होण्याचा प्रयत्न करा, म्हणजे, मूळ असलेल्या नोंदींमधून आणि पॉवर फंक्शन्सकडे जा, कारण या शक्तींचे घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून सहजपणे काढले जातात आणि शेवटी, अशा एंट्री लक्षणीयपणे गणना सुलभ करते आणि वेगवान करते. चला ते असे लिहूया:
आता आपण लॉगरिदमची उल्लेखनीय गुणधर्म लक्षात ठेवूया: शक्ती वितर्कातून तसेच बेसमधून मिळवता येतात. ग्राउंड्सच्या बाबतीत, खालील गोष्टी घडतात:
log a k b = 1/k loga b
दुस-या शब्दात, बेस पॉवरमध्ये असलेली संख्या पुढे आणली जाते आणि त्याच वेळी उलट केली जाते, म्हणजेच ती परस्पर संख्या बनते. आमच्या बाबतीत, मूळ पदवी 1/2 होती. म्हणून, आम्ही ते 2/1 म्हणून काढू शकतो. आम्हाला मिळते:
5 2 लॉग 5 x − लॉग 5 x = 18
10 लॉग 5 x − लॉग 5 x = 18
कृपया लक्षात ठेवा: कोणत्याही परिस्थितीत तुम्ही या पायरीवर लॉगरिदमपासून मुक्त होऊ नये. 4थी-5वी इयत्तेचे गणित आणि क्रियांचा क्रम लक्षात ठेवा: प्रथम गुणाकार केला जातो आणि त्यानंतरच बेरीज आणि वजाबाकी. या प्रकरणात, आम्ही 10 घटकांमधून समान घटकांपैकी एक वजा करतो:
9 लॉग 5 x = 18
लॉग 5 x = 2
आता आपले समीकरण जसे हवे तसे दिसते. हे सर्वात सोपा बांधकाम आहे आणि आम्ही ते कॅनोनिकल फॉर्म वापरून सोडवतो:
log 5 x = log 5 5 2
x = ५ २
x = २५
इतकंच. दुसरी समस्या सोडवली आहे.
तिसरे उदाहरण
चला तिसऱ्या कार्याकडे वळूया:
लॉग (x + 3) = 3 + 2 लॉग 5
मी तुम्हाला खालील सूत्राची आठवण करून देतो:
log b = log 10 b
जर काही कारणास्तव तुम्ही नोटेशन log b मध्ये गोंधळत असाल, तर सर्व गणना करताना तुम्ही फक्त log 10 b लिहू शकता. तुम्ही इतरांप्रमाणेच दशांश लॉगरिदमसह कार्य करू शकता: शक्ती घ्या, lg 10 मधील कोणतीही संख्या जोडा आणि दर्शवा.
हे गुणधर्म आहेत जे आम्ही आता समस्येचे निराकरण करण्यासाठी वापरणार आहोत, कारण आम्ही आमच्या धड्याच्या अगदी सुरुवातीला लिहिलेला हा सर्वात सोपा नाही.
प्रथम, लक्षात घ्या की lg 5 समोरील घटक 2 जोडला जाऊ शकतो आणि बेस 5 ची पॉवर बनू शकतो. शिवाय, फ्री टर्म 3 ला लॉगरिथम म्हणून देखील दर्शविले जाऊ शकते - आमच्या नोटेशनमधून हे लक्षात घेणे खूप सोपे आहे.
स्वत: साठी न्यायाधीश: कोणतीही संख्या बेस 10 ला लॉग म्हणून दर्शविली जाऊ शकते:
3 = लॉग 10 10 3 = लॉग 10 3
प्राप्त बदल लक्षात घेऊन मूळ समस्या पुन्हा लिहू:
लॉग (x − 3) = लॉग 1000 + लॉग 25
लॉग (x − 3) = लॉग 1000 25
लॉग (x − 3) = लॉग 25,000
आमच्यासमोर पुन्हा कॅनोनिकल फॉर्म आहे आणि आम्हाला ते परिवर्तनाच्या टप्प्यातून न जाता मिळाले आहे, म्हणजेच सर्वात सोपा लॉगरिदमिक समीकरण कुठेही दिसले नाही.
धड्याच्या अगदी सुरुवातीला मी नेमके हेच बोललो होतो. प्रमाणिक फॉर्म तुम्हाला बहुतेक शाळेतील शिक्षकांनी दिलेल्या मानक शालेय सूत्रापेक्षा मोठ्या वर्गातील समस्या सोडवण्याची परवानगी देतो.
बरं, तेच आहे, आम्ही दशांश लॉगरिदमच्या चिन्हापासून मुक्त होतो आणि आम्हाला एक साधी रेखीय रचना मिळते:
x + 3 = 25,000
x = २४,९९७
सर्व! समस्या सुटली आहे.
व्याप्ती वर एक टीप
येथे मी व्याख्येच्या व्याप्तीबाबत एक महत्त्वाची टिप्पणी करू इच्छितो. आता नक्कीच असे विद्यार्थी आणि शिक्षक असतील जे म्हणतील: "जेव्हा आपण लॉगरिदमसह अभिव्यक्ती सोडवतो, तेव्हा आपण हे लक्षात ठेवले पाहिजे की f (x) वितर्क शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे!" या संदर्भात, एक तार्किक प्रश्न उद्भवतो: विचारात घेतलेल्या कोणत्याही समस्येमध्ये ही असमानता पूर्ण करणे आवश्यक का नाही?
काळजी करू नका. या प्रकरणांमध्ये, अतिरिक्त मुळे दिसणार नाहीत. आणि ही आणखी एक चांगली युक्ती आहे जी आपल्याला समाधानाची गती वाढविण्यास अनुमती देते. फक्त हे जाणून घ्या की जर समस्येमध्ये व्हेरिएबल x फक्त एकाच ठिकाणी (किंवा त्याऐवजी, एकाच लॉगॅरिथमच्या एकाच युक्तिवादात) आढळत असेल आणि आमच्या बाबतीत कोठेही व्हेरिएबल x दिसत नसेल, तर व्याख्याचे डोमेन लिहा. गरज नाही, कारण ते स्वयंचलितपणे कार्यान्वित केले जाईल.
स्वत: साठी निर्णय घ्या: पहिल्या समीकरणात आम्हाला 3x − 1 मिळाले, म्हणजे वितर्क 8 च्या बरोबरीचा असावा. याचा अर्थ आपोआप 3x − 1 शून्यापेक्षा मोठा असेल.
त्याच यशाने आपण असे लिहू शकतो की दुस-या प्रकरणात x 5 2 च्या बरोबरीचा असावा, म्हणजे तो नक्कीच शून्यापेक्षा मोठा आहे. आणि तिसऱ्या प्रकरणात, जेथे x + 3 = 25,000, म्हणजे, पुन्हा, स्पष्टपणे शून्यापेक्षा मोठे. दुसऱ्या शब्दांत, व्याप्ती आपोआप समाधानी होते, परंतु केवळ एका लॉगरिथमच्या युक्तिवादात x आढळल्यासच.
सर्वात सोप्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी आपल्याला इतकेच माहित असणे आवश्यक आहे. केवळ हा नियम, परिवर्तनाच्या नियमांसह, आपल्याला बर्याच विस्तृत समस्यांचे निराकरण करण्यास अनुमती देईल.
पण आपण प्रामाणिक राहू या: हे तंत्र शेवटी समजून घेण्यासाठी, लॉगरिदमिक समीकरणाचे प्रमाणिक स्वरूप कसे लागू करायचे हे शिकण्यासाठी, फक्त एक व्हिडिओ धडा पाहणे पुरेसे नाही. म्हणून, आत्ताच, या व्हिडिओ धड्याशी संलग्न असलेल्या स्वतंत्र निराकरणाचे पर्याय डाउनलोड करा आणि या दोन स्वतंत्र कामांपैकी किमान एक सोडवण्यास सुरुवात करा.
यात तुम्हाला अक्षरशः काही मिनिटे लागतील. परंतु आपण हा व्हिडिओ धडा फक्त पाहिल्यास अशा प्रशिक्षणाचा प्रभाव खूपच जास्त असेल.
मला आशा आहे की हा धडा तुम्हाला लॉगरिदमिक समीकरणे समजण्यास मदत करेल. कॅनोनिकल फॉर्म वापरा, लॉगरिदमसह कार्य करण्याचे नियम वापरून अभिव्यक्ती सुलभ करा - आणि तुम्हाला कोणत्याही समस्येची भीती वाटणार नाही. आज माझ्याकडे एवढेच आहे.
व्याख्येचे क्षेत्र लक्षात घेऊन
आता लॉगरिदमिक फंक्शनच्या व्याख्येच्या डोमेनबद्दल आणि याचा लॉगरिदमिक समीकरणांच्या समाधानावर कसा परिणाम होतो याबद्दल बोलूया. फॉर्मच्या बांधकामाचा विचार करा
log a f(x) = b
अशा अभिव्यक्तीला सर्वात सोपा म्हणतात - त्यात फक्त एक फंक्शन आहे आणि संख्या a आणि b फक्त संख्या आहेत आणि कोणत्याही परिस्थितीत x या व्हेरिएबलवर अवलंबून नसलेले फंक्शन आहे. ते अगदी सोप्या पद्धतीने सोडवता येते. आपल्याला फक्त सूत्र वापरण्याची आवश्यकता आहे:
b = लॉग a a b
हे सूत्र लॉगरिथमच्या मुख्य गुणधर्मांपैकी एक आहे आणि जेव्हा आपल्या मूळ अभिव्यक्तीमध्ये बदलतो तेव्हा आपल्याला खालील गोष्टी मिळतात:
log a f(x) = log a a b
f (x) = a b
हे शालेय पाठ्यपुस्तकांतील एक परिचित सूत्र आहे. बर्याच विद्यार्थ्यांना कदाचित एक प्रश्न असेल: मूळ अभिव्यक्तीमध्ये फंक्शन f (x) लॉग चिन्हाखाली असल्याने, त्यावर खालील निर्बंध लादले आहेत:
f(x) > 0
ही मर्यादा लागू होते कारण ऋण संख्यांचा लॉगरिथम अस्तित्वात नाही. तर, कदाचित, या मर्यादेच्या परिणामी, उत्तरांची तपासणी सुरू करावी? कदाचित त्यांना स्त्रोतामध्ये समाविष्ट करणे आवश्यक आहे?
नाही, सर्वात सोप्या लॉगरिदमिक समीकरणांमध्ये अतिरिक्त तपासणी अनावश्यक आहे. आणि म्हणूनच. आमचे अंतिम सूत्र पहा:
f (x) = a b
वस्तुस्थिती अशी आहे की संख्या a कोणत्याही परिस्थितीत 0 पेक्षा जास्त आहे - ही आवश्यकता लॉगरिथमद्वारे देखील लागू केली जाते. संख्या a हा आधार आहे. या प्रकरणात, क्रमांक b वर कोणतेही निर्बंध लादलेले नाहीत. पण याने काही फरक पडत नाही, कारण आपण धन संख्या कितीही पॉवर वर वाढवली तरीही आउटपुटवर आपल्याला सकारात्मक संख्या मिळेल. अशा प्रकारे, आवश्यकता f (x) > 0 आपोआप पूर्ण होते.
लॉग साइन अंतर्गत फंक्शनचे डोमेन तपासण्यासारखे आहे. तेथे बर्याच जटिल संरचना असू शकतात आणि समाधान प्रक्रियेदरम्यान आपल्याला निश्चितपणे त्यांच्यावर लक्ष ठेवणे आवश्यक आहे. चला एक नजर टाकूया.
पहिले कार्य:
पहिली पायरी: उजवीकडील अपूर्णांक रूपांतरित करा. आम्हाला मिळते:
आम्ही लॉगरिथम चिन्हापासून मुक्त होतो आणि नेहमीचे अतार्किक समीकरण मिळवतो:
मिळवलेल्या मुळांपैकी, फक्त पहिलेच आपल्याला अनुकूल आहे, कारण दुसरे मूळ शून्यापेक्षा कमी आहे. फक्त उत्तर 9 क्रमांक असेल. बस्स, समस्या सोडवली आहे. लॉगॅरिथम चिन्हाखालील अभिव्यक्ती 0 पेक्षा जास्त आहे याची खात्री करण्यासाठी कोणत्याही अतिरिक्त तपासणीची आवश्यकता नाही, कारण ती फक्त 0 पेक्षा जास्त नाही, तर समीकरणाच्या स्थितीनुसार ते 2 च्या बरोबरीचे आहे. म्हणून, आवश्यकता “शून्य पेक्षा जास्त ” आपोआप तृप्त होतो.
चला दुसऱ्या कार्याकडे वळू:
येथे सर्व काही समान आहे. आम्ही तिहेरी बदलून बांधकाम पुन्हा लिहितो:
आम्ही लॉगरिथम चिन्हांपासून मुक्त होतो आणि एक अतार्किक समीकरण मिळवतो:
आम्ही निर्बंध विचारात घेऊन दोन्ही बाजूंना चौरस करतो आणि मिळवतो:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
आम्ही भेदभावाद्वारे परिणामी समीकरण सोडवतो:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
पण x = −6 आपल्याला शोभत नाही, कारण जर आपण ही संख्या आपल्या असमानतेमध्ये बदलली तर आपल्याला मिळेल:
−6 + 4 = −2 < 0
आमच्या बाबतीत, ते 0 पेक्षा मोठे किंवा, अत्यंत प्रकरणांमध्ये, समान असणे आवश्यक आहे. पण x = −1 आम्हाला अनुकूल आहे:
−1 + 4 = 3 > 0
आमच्या बाबतीत एकच उत्तर असेल x = −1. हाच उपाय आहे. चला आपल्या गणनेच्या अगदी सुरुवातीस परत जाऊया.
या धड्यातील मुख्य मार्ग म्हणजे तुम्हाला साध्या लॉगरिदमिक समीकरणांमध्ये फंक्शनवरील मर्यादा तपासण्याची गरज नाही. कारण समाधान प्रक्रियेदरम्यान सर्व बंधने आपोआप पूर्ण होतात.
तथापि, याचा अर्थ असा नाही की आपण पूर्णपणे तपासण्याबद्दल विसरू शकता. लॉगरिदमिक समीकरणावर काम करण्याच्या प्रक्रियेत, ते तर्कहीन समीकरणात बदलू शकते, ज्याचे स्वतःचे निर्बंध आणि उजव्या बाजूसाठी आवश्यकता असतील, जे आपण आज दोन भिन्न उदाहरणांमध्ये पाहिले आहे.
अशा समस्या सोडवण्यासाठी मोकळ्या मनाने आणि वादाचे मूळ असल्यास विशेषतः सावधगिरी बाळगा.
वेगवेगळ्या बेससह लॉगरिदमिक समीकरणे
आम्ही लॉगरिदमिक समीकरणांचा अभ्यास करणे सुरू ठेवतो आणि आणखी दोन मनोरंजक तंत्रे पाहतो ज्याद्वारे अधिक जटिल बांधकामे सोडवणे फॅशनेबल आहे. परंतु प्रथम, सर्वात सोप्या समस्या कशा सोडवल्या जातात हे लक्षात ठेवूया:
log a f(x) = b
या एंट्रीमध्ये, a आणि b ही संख्या आहेत आणि फंक्शन f (x) मध्ये x हे व्हेरिएबल असणे आवश्यक आहे आणि फक्त तेथे, म्हणजे, x फक्त युक्तिवादात असणे आवश्यक आहे. कॅनोनिकल फॉर्म वापरून आम्ही अशा लॉगरिदमिक समीकरणांचे रूपांतर करू. हे करण्यासाठी, याची नोंद घ्या
b = लॉग a a b
शिवाय, a b तंतोतंत एक युक्तिवाद आहे. चला हा अभिव्यक्ती खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहू:
log a f(x) = log a a b
हेच आपण साध्य करण्याचा प्रयत्न करत आहोत, जेणेकरून डाव्या आणि उजव्या दोन्ही बाजूंना a बेस करण्यासाठी लॉगरिथम असेल. या प्रकरणात, आपण लाक्षणिकपणे, लॉग चिन्हे ओलांडू शकतो आणि गणिताच्या दृष्टिकोनातून आपण असे म्हणू शकतो की आपण फक्त वितर्कांची बरोबरी करत आहोत:
f (x) = a b
परिणामी, आम्हाला एक नवीन अभिव्यक्ती मिळेल जी सोडवणे खूप सोपे होईल. आज आपल्या समस्यांवर हा नियम लागू करूया.
तर, प्रथम डिझाइनः
सर्व प्रथम, मी लक्षात घेतो की उजवीकडे एक अपूर्णांक आहे ज्याचा भाजक लॉग आहे. जेव्हा तुम्ही यासारखे अभिव्यक्ती पाहता, तेव्हा लॉगरिदमची एक अद्भुत गुणधर्म लक्षात ठेवणे चांगली कल्पना आहे:
रशियन भाषेत अनुवादित, याचा अर्थ असा आहे की कोणताही लॉगॅरिथम कोणत्याही बेस c सह दोन लॉगरिदमचा भागफल म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो. अर्थातच 0< с ≠ 1.
तर: या सूत्रात एक अद्भुत विशेष केस आहे, जेव्हा व्हेरिएबल c हे व्हेरिएबलच्या बरोबरीचे असते b या प्रकरणात आम्हाला असे बांधकाम मिळते:
आपल्या समीकरणात उजवीकडील चिन्हावरून आपल्याला हेच बांधकाम दिसते. चला हे बांधकाम log a b ने बदलू, आम्हाला मिळेल:
दुसऱ्या शब्दांत, मूळ कार्याच्या तुलनेत, आम्ही तर्क आणि लॉगरिदमचा आधार बदलला. त्याऐवजी, आम्हाला अपूर्णांक उलट करावा लागला.
आम्हाला आठवते की खालील नियमानुसार कोणतीही पदवी बेसमधून मिळविली जाऊ शकते:
दुसऱ्या शब्दांत, गुणांक k, जो पायाची शक्ती आहे, एक उलटा अपूर्णांक म्हणून व्यक्त केला जातो. चला त्यास उलटा अपूर्णांक म्हणून प्रस्तुत करूया:
फ्रॅक्शनल फॅक्टर समोर सोडला जाऊ शकत नाही, कारण या प्रकरणात आम्ही या नोटेशनला कॅनॉनिकल फॉर्म म्हणून दर्शवू शकणार नाही (अखेर, कॅनोनिकल फॉर्ममध्ये दुसऱ्या लॉगॅरिथमच्या आधी कोणताही अतिरिक्त घटक नाही). म्हणून, घात म्हणून वितर्कात 1/4 अपूर्णांक जोडू:
आता आम्ही वितर्कांची बरोबरी करतो ज्यांचे आधार समान आहेत (आणि आमचे तळ खरोखर समान आहेत), आणि लिहा:
x + 5 = 1
x = −4
इतकंच. आम्हाला पहिल्या लॉगरिदमिक समीकरणाचे उत्तर मिळाले. कृपया लक्षात ठेवा: मूळ समस्येमध्ये, व्हेरिएबल x फक्त एका लॉगमध्ये दिसते आणि ते त्याच्या युक्तिवादात दिसते. म्हणून, डोमेन तपासण्याची गरज नाही, आणि आमची संख्या x = −4 हे खरेच उत्तर आहे.
आता दुसऱ्या अभिव्यक्तीकडे वळूया:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
येथे, नेहमीच्या लॉगरिदम व्यतिरिक्त, आपल्याला log f(x) सह कार्य करावे लागेल. असे समीकरण कसे सोडवायचे? अप्रस्तुत विद्यार्थ्याला असे वाटू शकते की हे एक प्रकारचे कठीण काम आहे, परंतु प्रत्यक्षात सर्वकाही प्राथमिक मार्गाने सोडवले जाऊ शकते.
lg 2 log 2 7 या संज्ञेकडे बारकाईने लक्ष द्या. त्याबद्दल आपण काय म्हणू शकतो? log आणि lg चे बेस आणि आर्ग्युमेंट्स सारखेच आहेत आणि यावरून काही कल्पना दिल्या पाहिजेत. लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली शक्ती कशा काढल्या जातात हे पुन्हा एकदा लक्षात ठेवूया:
log a b n = nlog a b
दुस-या शब्दात, तर्कामध्ये b ची शक्ती काय होती ते लॉगच्या समोर एक घटक बनते. चला हे सूत्र lg 2 log 2 7 या अभिव्यक्तीवर लागू करूया. lg 2 ने घाबरू नका - ही सर्वात सामान्य अभिव्यक्ती आहे. आपण ते खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहू शकता:
इतर कोणत्याही लॉगरिथमला लागू होणारे सर्व नियम त्यासाठी वैध आहेत. विशेषतः, समोरचा घटक युक्तिवादाच्या प्रमाणात जोडला जाऊ शकतो. चला ते लिहूया:
बर्‍याचदा, विद्यार्थ्यांना ही क्रिया थेट दिसत नाही, कारण दुसर्‍याच्या चिन्हाखाली एक लॉग प्रविष्ट करणे चांगले नाही. खरे तर यात गुन्हेगारी असे काहीही नाही. शिवाय, आपल्याला एक महत्त्वाचा नियम आठवत असल्यास गणना करणे सोपे आहे असे सूत्र आम्हाला मिळते:
हे सूत्र व्याख्या आणि त्याच्या गुणधर्मांपैकी एक म्हणून दोन्ही मानले जाऊ शकते. कोणत्याही परिस्थितीत, जर तुम्ही लॉगरिदमिक समीकरण रूपांतरित करत असाल, तर तुम्हाला हे सूत्र माहित असले पाहिजे जसे की तुम्हाला कोणत्याही संख्येचे लॉग प्रतिनिधित्व माहित असेल.
चला आपल्या कार्याकडे परत जाऊया. समान चिन्हाच्या उजवीकडील पहिली संज्ञा फक्त lg 7 च्या समान असेल हे लक्षात घेऊन आम्ही ते पुन्हा लिहितो. आमच्याकडे आहे:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
चला lg 7 डावीकडे हलवू, आम्हाला मिळेल:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
आम्ही डावीकडील अभिव्यक्ती वजा करतो कारण त्यांचा आधार समान आहे:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
आता आपल्याला मिळालेले समीकरण जवळून पाहू. हे व्यावहारिकदृष्ट्या कॅनोनिकल स्वरूप आहे, परंतु उजवीकडे एक घटक −3 आहे. चला ते योग्य lg युक्तिवादात जोडूया:
लॉग 8 = लॉग (x + 4) −3
आमच्या आधी लॉगरिदमिक समीकरणाचे प्रमाणिक स्वरूप आहे, म्हणून आम्ही lg चिन्हे ओलांडतो आणि वितर्क समीकरण करतो:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0.5
इतकंच! आम्ही दुसरे लॉगरिदमिक समीकरण सोडवले. या प्रकरणात, कोणत्याही अतिरिक्त तपासणीची आवश्यकता नाही, कारण मूळ समस्येमध्ये x फक्त एका युक्तिवादात उपस्थित होता.
मी या धड्यातील मुख्य मुद्दे पुन्हा सूचीबद्ध करतो.
लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी समर्पित या पृष्ठावरील सर्व धड्यांमध्ये शिकवले जाणारे मुख्य सूत्र हे प्रमाणिक स्वरूप आहे. आणि बहुतेक शालेय पाठ्यपुस्तके तुम्हाला अशा समस्या वेगळ्या पद्धतीने सोडवायला शिकवतात या वस्तुस्थितीमुळे घाबरू नका. हे साधन अतिशय प्रभावीपणे कार्य करते आणि आपल्याला आमच्या धड्याच्या अगदी सुरुवातीला अभ्यासलेल्या सर्वात सोप्या समस्यांपेक्षा अधिक विस्तृत समस्या सोडविण्यास अनुमती देते.
याशिवाय, लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी मूलभूत गुणधर्म जाणून घेणे उपयुक्त ठरेल. म्हणजे:
- एका बेसवर जाण्याचे सूत्र आणि जेव्हा आपण लॉग रिव्हर्स करतो तेव्हा विशेष केस (हे आमच्यासाठी पहिल्या समस्येत खूप उपयुक्त होते);
- लॉगरिदम चिन्हातून शक्ती जोडणे आणि वजा करणे यासाठी सूत्र. येथे, बरेच विद्यार्थी अडकतात आणि त्यांना हे दिसत नाही की काढलेल्या आणि सादर केलेल्या पदवीमध्ये लॉग f (x) असू शकतो. त्यात काही चूक नाही. आम्ही दुसर्‍याच्या चिन्हानुसार एक लॉग सादर करू शकतो आणि त्याच वेळी समस्येचे निराकरण लक्षणीयरीत्या सुलभ करू शकतो, जे आम्ही दुसऱ्या प्रकरणात पाहतो.
शेवटी, मी हे जोडू इच्छितो की यापैकी प्रत्येक प्रकरणात परिभाषेचे डोमेन तपासणे आवश्यक नाही, कारण सर्वत्र व्हेरिएबल x लॉगच्या फक्त एका चिन्हात उपस्थित आहे आणि त्याच वेळी त्याच्या युक्तिवादात आहे. परिणामी, व्याप्तीच्या सर्व आवश्यकता आपोआप पूर्ण होतात.
व्हेरिएबल बेससह समस्या
आज आपण लॉगरिदमिक समीकरणे पाहणार आहोत, जी अनेक विद्यार्थ्यांना पूर्णपणे न सोडवता येणारी नसली तरी मानक नसलेली वाटतात. आम्ही अंकांवर आधारित नसून चल आणि अगदी फंक्शन्सवर आधारित अभिव्यक्तींबद्दल बोलत आहोत. आम्ही आमच्या मानक तंत्राचा वापर करून अशा बांधकामांचे निराकरण करू, म्हणजे कॅनोनिकल फॉर्मद्वारे.
प्रथम, सामान्य संख्यांच्या आधारे सर्वात सोप्या समस्या कशा सोडवल्या जातात हे लक्षात ठेवूया. तर, सर्वात सोपा बांधकाम म्हणतात
log a f(x) = b
अशा समस्या सोडवण्यासाठी आपण खालील सूत्र वापरू शकतो.
b = लॉग a a b
आम्ही आमची मूळ अभिव्यक्ती पुन्हा लिहितो आणि मिळवतो:
log a f(x) = log a a b
मग आम्ही वितर्कांची बरोबरी करतो, म्हणजे आम्ही लिहितो:
f (x) = a b
अशा प्रकारे, आम्ही लॉग चिन्हापासून मुक्त होतो आणि नेहमीच्या समस्येचे निराकरण करतो. या प्रकरणात, सोल्युशनमधून मिळणारी मुळे मूळ लॉगरिदमिक समीकरणाची मुळे असतील. याव्यतिरिक्त, जेव्हा डावे आणि उजवे दोन्ही समान लॉगरिदममध्ये समान बेससह असतात तेव्हा रेकॉर्डला अचूकपणे कॅनोनिकल फॉर्म म्हणतात. हे इतके रेकॉर्ड आहे की आम्ही आजचे डिझाइन कमी करण्याचा प्रयत्न करू. तर चला.
पहिले कार्य:
लॉग x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
1 ला लॉग x − 2 (x − 2) 1 ने बदला. आर्ग्युमेंटमध्ये आपण जी डिग्री पाहतो ती खरी संख्या b आहे जी समान चिन्हाच्या उजवीकडे उभी होती. अशा प्रकारे, आपली अभिव्यक्ती पुन्हा लिहू. आम्हाला मिळते:
लॉग x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = लॉग x − 2 (x − 2)
आम्ही काय पाहतो? आमच्या आधी लॉगरिदमिक समीकरणाचे प्रमाणिक स्वरूप आहे, त्यामुळे आम्ही वितर्क सुरक्षितपणे समीकरण करू शकतो. आम्हाला मिळते:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
पण समाधान तिथेच संपत नाही, कारण हे समीकरण मूळ समीकरणाशी समतुल्य नाही. शेवटी, परिणामी बांधकामामध्ये फंक्शन्स असतात जी संपूर्ण संख्या रेषेवर परिभाषित केली जातात आणि आमचे मूळ लॉगरिदम सर्वत्र परिभाषित केले जात नाहीत आणि नेहमीच नाहीत.
म्हणून, आपण परिभाषाचे डोमेन स्वतंत्रपणे लिहून ठेवले पाहिजे. चला केस विभाजित करू नका आणि प्रथम सर्व आवश्यकता लिहा:
प्रथम, प्रत्येक लॉगरिदमचा युक्तिवाद 0 पेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
दुसरे म्हणजे, बेस केवळ 0 पेक्षा जास्त नसावा, परंतु 1 पेक्षा वेगळा देखील असावा:
x − 2 ≠ 1
परिणामी, आम्हाला सिस्टम मिळते:
परंतु घाबरू नका: लॉगरिदमिक समीकरणांवर प्रक्रिया करताना, अशी प्रणाली लक्षणीयरीत्या सरलीकृत केली जाऊ शकते.
स्वत: साठी निर्णय घ्या: एकीकडे, आपल्याला चतुर्भुज फंक्शन शून्यापेक्षा मोठे असणे आवश्यक आहे आणि दुसरीकडे, हे चतुर्भुज कार्य एका विशिष्ट रेखीय अभिव्यक्तीशी समतुल्य आहे, ज्यासाठी ते शून्यापेक्षा मोठे असणे देखील आवश्यक आहे.
या प्रकरणात, जर आपल्याला x − 2 > 0 ची आवश्यकता असेल, तर 2x 2 − 13x + 18 > 0 ची आवश्यकता आपोआप पूर्ण होईल. म्हणून, आपण द्विघाती कार्य असलेली असमानता सुरक्षितपणे पार करू शकतो. अशा प्रकारे, आमच्या सिस्टममध्ये असलेल्या अभिव्यक्तींची संख्या तीनपर्यंत कमी केली जाईल.
अर्थात, त्याच यशाने आपण रेखीय असमानता ओलांडू शकतो, म्हणजेच x − 2 > 0 पार करू शकतो आणि त्यासाठी 2x 2 − 13x + 18 > 0 आवश्यक आहे. परंतु तुम्ही सहमत व्हाल की सर्वात सोपी रेखीय असमानता सोडवणे खूप जलद आहे. आणि सोप्या, चतुर्भुज पेक्षा, अगदी अशा स्थितीत की या संपूर्ण प्रणालीचे निराकरण केल्यामुळे आपल्याला समान मुळे मिळतात.
सर्वसाधारणपणे, जेव्हा शक्य असेल तेव्हा गणना ऑप्टिमाइझ करण्याचा प्रयत्न करा. आणि लॉगरिदमिक समीकरणांच्या बाबतीत, सर्वात कठीण असमानता पार करा.
चला आमची प्रणाली पुन्हा लिहू:
येथे तीन अभिव्यक्तींची एक प्रणाली आहे, ज्यापैकी दोन आम्ही, खरं तर, आधीच हाताळले आहेत. चला चतुर्भुज समीकरण स्वतंत्रपणे लिहू आणि ते सोडवू:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
आमच्या आधी एक घटलेला चतुर्भुज त्रिपद आहे आणि म्हणूनच, आम्ही व्हिएटाची सूत्रे वापरू शकतो. आम्हाला मिळते:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
आता आपण आपल्या सिस्टीमवर परत आलो आणि लक्षात आले की x = 2 आपल्याला शोभत नाही, कारण x 2 पेक्षा काटेकोरपणे मोठे असणे आवश्यक आहे.
पण x = 5 आपल्यासाठी योग्य आहे: 5 ही संख्या 2 पेक्षा मोठी आहे, आणि त्याच वेळी 5 हे 3 च्या बरोबरीचे नाही. म्हणून, या प्रणालीचा एकमेव उपाय x = 5 असेल.
तेच आहे, ओडीझेड विचारात घेण्यासह समस्या सोडवली आहे. दुसऱ्या समीकरणाकडे वळू. अधिक मनोरंजक आणि माहितीपूर्ण गणना येथे आमची वाट पाहत आहेत:
पहिली पायरी: मागच्या वेळेप्रमाणे, आम्ही हे संपूर्ण प्रकरण कॅनोनिकल स्वरूपात आणतो. हे करण्यासाठी, आम्ही 9 क्रमांक खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:
तुम्हाला मुळासह बेसला स्पर्श करण्याची गरज नाही, परंतु युक्तिवाद बदलणे चांगले आहे. परिमेय घातांकासह मुळापासून घाताकडे जाऊ. चला खाली लिहू:
मी आमचे संपूर्ण मोठे लॉगरिदमिक समीकरण पुन्हा लिहू देत नाही, परंतु लगेचच युक्तिवाद समीकरण करतो:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
आपल्या आधी एक नवीन कमी केलेला चतुर्भुज त्रिपद आहे, चला व्हिएटाची सूत्रे वापरू आणि लिहू:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
त्यामुळे, आम्हाला मुळे मिळाली, परंतु ते मूळ लॉगरिदमिक समीकरणात बसतील याची खात्री कोणीही दिली नाही. शेवटी, लॉग चिन्हे अतिरिक्त निर्बंध लादतात (येथे आपण सिस्टम लिहून ठेवायला हवे होते, परंतु संपूर्ण संरचनेच्या अवजड स्वरूपामुळे, मी स्वतंत्रपणे परिभाषाच्या डोमेनची गणना करण्याचा निर्णय घेतला).
सर्व प्रथम, लक्षात ठेवा की युक्तिवाद 0 पेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे, म्हणजे:
या व्याख्येच्या व्याप्तीद्वारे लादलेल्या आवश्यकता आहेत.
आपण ताबडतोब लक्षात घेऊ या की आपण सिस्टमच्या पहिल्या दोन अभिव्यक्ती एकमेकांशी समतुल्य करत असल्याने, आपण त्यापैकी कोणत्याही ओलांडू शकतो. चला पहिला ओलांडू या कारण ते दुसर्‍यापेक्षा अधिक धोकादायक दिसते.
याव्यतिरिक्त, लक्षात घ्या की दुसऱ्या आणि तिसऱ्या असमानतेचे निराकरण समान संच असेल (काही संख्येचा घन शून्यापेक्षा मोठा असेल, जर ही संख्या स्वतःच शून्यापेक्षा मोठी असेल; त्याचप्रमाणे, तिसऱ्या अंशाच्या मुळासह - या असमानता पूर्णपणे समान आहेत, म्हणून आम्ही ते ओलांडू शकतो).
परंतु तिसऱ्या असमानतेसह हे कार्य करणार नाही. दोन्ही भाग एका क्यूबमध्ये वाढवून डावीकडील मूलगामी चिन्हापासून मुक्त होऊ या. आम्हाला मिळते:
म्हणून आम्हाला खालील आवश्यकता मिळतात:
− 2 ≠ x > −3
आमचे कोणते मुळे: x 1 = −3 किंवा x 2 = −1 या आवश्यकता पूर्ण करतात? अर्थात, फक्त x = −1, कारण x = −3 ही पहिली असमानता पूर्ण करत नाही (कारण आपली असमानता कठोर आहे). तर, आपल्या समस्येकडे परत जाताना, आपल्याला एक रूट मिळेल: x = −1. बस्स, समस्या सोडवली.
पुन्हा एकदा, या कार्याचे मुख्य मुद्दे:
- कॅनॉनिकल फॉर्म वापरून लॉगरिदमिक समीकरणे लागू करा आणि सोडवा. जे विद्यार्थी मूळ समस्येपासून थेट log a f(x) = b सारख्या बांधकामाकडे जाण्याऐवजी अशी नोटेशन बनवतात, ते गणनेचे मध्यवर्ती टप्पे वगळून, कुठेतरी घाई करतात त्यांच्यापेक्षा खूपच कमी चुका करतात;
- लॉगरिदममध्ये व्हेरिएबल बेस दिसताच, समस्या सर्वात सोपी राहणे बंद होते. म्हणून, ते सोडवताना, व्याख्येचे क्षेत्र विचारात घेणे आवश्यक आहे: वितर्क शून्यापेक्षा मोठे असले पाहिजेत आणि बेस केवळ 0 पेक्षा जास्त नसावेत, परंतु ते 1 च्या समान नसावेत.
अंतिम उत्तरांसाठी अंतिम आवश्यकता वेगवेगळ्या प्रकारे लागू केल्या जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, आपण परिभाषेच्या डोमेनसाठी सर्व आवश्यकता असलेली संपूर्ण प्रणाली सोडवू शकता. दुसरीकडे, आपण प्रथम समस्या स्वतःच सोडवू शकता आणि नंतर परिभाषाचे डोमेन लक्षात ठेवा, स्वतंत्रपणे सिस्टमच्या रूपात ते तयार करा आणि प्राप्त केलेल्या मुळांवर लागू करा.
विशिष्ट लॉगरिदमिक समीकरण सोडवताना कोणती पद्धत निवडायची हे तुमच्यावर अवलंबून आहे. कोणत्याही परिस्थितीत, उत्तर समान असेल.
चला काही प्रकारच्या लॉगरिदमिक समीकरणांचा विचार करूया, ज्यांची शाळेत गणिताच्या धड्यांमध्ये चर्चा केली जात नाही, परंतु युनिफाइड स्टेट परीक्षेसह स्पर्धात्मक कार्यांच्या तयारीसाठी मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.
1. लॉगरिदम पद्धतीने सोडवलेली समीकरणे
बेस आणि घातांक या दोन्हीमध्ये चल असलेली समीकरणे सोडवताना लॉगरिदम पद्धत वापरली जाते. जर, त्याच वेळी, घातांकामध्ये लॉगरिथम असेल, तर समीकरणाच्या दोन्ही बाजू या लॉगरिदमच्या पायाशी लॉगरिदम केल्या पाहिजेत.
उदाहरण १.
समीकरण सोडवा: x लॉग 2 x+2 = 8.
उपाय.
समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंचा लॉगरिदम बेस २ वर घेऊ. आपल्याला मिळेल
लॉग 2 (x लॉग 2 x + 2) = लॉग 2 8,
(लॉग 2 x + 2) लॉग 2 x = 3.
चला लॉग 2 x = t.
नंतर (t + 2)t = 3.
t 2 + 2t – 3 = 0.
डी = 16. t 1 = 1; t 2 = -3.
तर लॉग 2 x = 1 आणि x 1 = 2 किंवा लॉग 2 x = -3 आणि x 2 = 1/8
उत्तर: 1/8; 2.
2. एकसंध लॉगरिदमिक समीकरणे.
उदाहरण २.
लॉग 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) लॉग 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0 हे समीकरण सोडवा
उपाय.
समीकरणाचे डोमेन
(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.
लॉग 3 (x + 5) = 0 येथे x = -4. तपासून आम्ही निर्धारित करतो की हे x चे मूल्य नाही 
मूळ समीकरणाचे मूळ आहे. म्हणून, आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना लॉग 2 3 (x + 5) ने विभाजित करू शकतो.
आम्हाला लॉग 2 3 (x 2 – 3x + 4) / लॉग 2 3 (x + 5) – 3 लॉग 3 (x 2 – 3x + 4) / लॉग 3 (x + 5) + 2 = 0 मिळतो.
लॉग 3 (x 2 – 3x + 4) / लॉग 3 (x + 5) = t. नंतर t 2 – 3 t + 2 = 0. या समीकरणाची मुळे 1 आहेत; 2. मूळ व्हेरिएबलकडे परत आल्यावर आपल्याला दोन समीकरणांचा संच मिळतो
परंतु लॉगरिथमचे अस्तित्व लक्षात घेऊन, आपल्याला फक्त मूल्ये (0; 9] विचारात घेणे आवश्यक आहे. याचा अर्थ असा की डाव्या बाजूला असलेली अभिव्यक्ती x = 1 वर सर्वात मोठे मूल्य 2 घेते. आता y = फंक्शनचा विचार करा. 2 x-1 + 2 1-x. जर आपण t = 2 x -1 घेतला, तर ते y = t + 1/t फॉर्म घेईल, जेथे t > 0. अशा परिस्थितीत, त्याला एकच गंभीर बिंदू t असतो. = 1. हा किमान बिंदू आहे. Y vin = 2. आणि तो x = 1 वर प्राप्त होतो.
आता हे उघड आहे की विचाराधीन फंक्शन्सचे आलेख बिंदू (1; 2) वर एकदाच छेदू शकतात. हे निष्पन्न झाले की सोडवलेल्या समीकरणाचे फक्त x = 1 हे मूळ आहे.
उत्तर: x = 1.
उदाहरण 5. समीकरण लॉग 2 2 x + (x – 1) लॉग 2 x = 6 – 2x सोडवा
उपाय.
लॉग 2 x साठी हे समीकरण सोडवू. चला लॉग 2 x = t. नंतर t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.
D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t 1 = -2; t 2 = 3 – x.
आपल्याला लॉग 2 x = -2 किंवा लॉग 2 x = 3 – x हे समीकरण मिळते.
पहिल्या समीकरणाचे मूळ x 1 = 1/4 आहे. 
आपण निवडीनुसार लॉग 2 x = 3 – x या समीकरणाचे मूळ शोधू. ही संख्या 2 आहे. हे मूळ अद्वितीय आहे, कारण y = log 2 x फंक्शन संपूर्ण व्याख्येच्या डोमेनमध्ये वाढत आहे आणि फंक्शन y = 3 – x कमी होत आहे.
दोन्ही संख्या समीकरणाचे मूळ आहेत हे तपासणे सोपे आहे
उत्तर:1/4; 2.
वेबसाइट, सामग्रीची पूर्ण किंवा अंशतः कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.
तुम्हाला माहिती आहेच की, अभिव्यक्तींचा शक्तींसह गुणाकार करताना, त्यांचे घातांक नेहमी जोडतात (a b *a c = a b+c). हा गणिती नियम आर्किमिडीजने काढला आणि नंतरच्या काळात 8व्या शतकात विरासेन या गणितज्ञाने पूर्णांक घातांकांची तक्ता तयार केली. लॉगरिदमच्या पुढील शोधासाठी त्यांनीच काम केले. हे फंक्शन वापरण्याची उदाहरणे जवळपास सर्वत्र आढळू शकतात जिथे तुम्हाला साध्या बेरीज करून त्रासदायक गुणाकार सुलभ करणे आवश्यक आहे. तुम्ही हा लेख वाचण्यात 10 मिनिटे घालवल्यास, आम्ही तुम्हाला लॉगरिदम काय आहेत आणि त्यांच्यासह कसे कार्य करावे हे समजावून सांगू. सोप्या आणि सुलभ भाषेत.
गणितातील व्याख्या
लॉगॅरिथम ही खालील स्वरूपाची अभिव्यक्ती आहे: लॉग a b=c, म्हणजेच कोणत्याही नॉन-नकारात्मक संख्येचा (म्हणजे कोणताही धनात्मक) “b” त्याच्या बेस “a” ची घात “c” मानली जाते. " ज्यावर शेवटी "b" मूल्य मिळविण्यासाठी आधार "a" वाढवणे आवश्यक आहे. उदाहरणे वापरून लॉगरिथमचे विश्लेषण करू या, एक अभिव्यक्ती लॉग आहे म्हणू 2 8. उत्तर कसे शोधायचे? हे अगदी सोपे आहे, तुम्हाला अशी पॉवर शोधावी लागेल की 2 ते आवश्यक पॉवरपर्यंत तुम्हाला 8 मिळतील. तुमच्या डोक्यात काही आकडेमोड केल्यावर, आम्हाला 3 क्रमांक मिळेल! आणि ते खरे आहे, कारण 2 ते 3 च्या घाताचे उत्तर 8 असे देते.
लॉगरिदमचे प्रकार
बर्याच विद्यार्थी आणि विद्यार्थ्यांसाठी, हा विषय क्लिष्ट आणि अनाकलनीय वाटतो, परंतु प्रत्यक्षात लॉगरिदम इतके भयानक नाहीत, मुख्य गोष्ट म्हणजे त्यांचे सामान्य अर्थ समजून घेणे आणि त्यांचे गुणधर्म आणि काही नियम लक्षात ठेवणे. लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीचे तीन स्वतंत्र प्रकार आहेत:
- नैसर्गिक लॉगॅरिथम ln a, जेथे आधार हा यूलर क्रमांक आहे (e = 2.7).
- दशांश a, जेथे पाया 10 आहे.
- बेस a>1 पर्यंत b कोणत्याही संख्येचा लॉगरिदम.
लॉगरिदमिक प्रमेयांचा वापर करून एकल लॉगॅरिथममध्ये सरलीकरण, घट आणि त्यानंतरच्या कपात यासह, त्यापैकी प्रत्येक मानक पद्धतीने सोडवला जातो. लॉगरिदमची योग्य मूल्ये प्राप्त करण्यासाठी, आपण त्यांचे गुणधर्म आणि त्यांचे निराकरण करताना क्रियांचा क्रम लक्षात ठेवावा.
नियम आणि काही निर्बंध
गणितामध्ये असे अनेक नियम-अवरोध आहेत जे स्वयंसिद्ध म्हणून स्वीकारले जातात, म्हणजेच ते चर्चेच्या अधीन नसतात आणि सत्य असतात. उदाहरणार्थ, संख्यांना शून्याने विभाजित करणे अशक्य आहे आणि ऋण संख्यांचे सम मूळ काढणे देखील अशक्य आहे. लॉगरिदमचे देखील स्वतःचे नियम आहेत, ज्याचे अनुसरण करून तुम्ही लांब आणि क्षमता असलेल्या लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीसह देखील कार्य करणे सहजपणे शिकू शकता:
- बेस “a” नेहमी शून्यापेक्षा मोठा असावा आणि 1 च्या बरोबरीचा नसावा, अन्यथा अभिव्यक्तीचा अर्थ गमवाल, कारण “1” आणि “0” कोणत्याही प्रमाणात त्यांच्या मूल्यांच्या समान असतात;
- जर a > 0, नंतर a b > 0, असे दिसून येते की "c" देखील शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे.
लॉगरिदम कसे सोडवायचे?
उदाहरणार्थ, 10 x = 100 या समीकरणाचे उत्तर शोधण्याचे कार्य दिले आहे. हे खूप सोपे आहे, आपल्याला दहा संख्या वाढवून घात निवडणे आवश्यक आहे ज्यावर आपल्याला 100 मिळेल. हे अर्थातच 10 2 = आहे. 100.
आता ही अभिव्यक्ती लॉगरिदमिक स्वरूपात दर्शवू. आम्हाला लॉग 10 100 = 2 मिळतो. लॉगरिदम सोडवताना, दिलेली संख्या मिळविण्यासाठी लॉगरिदमच्या बेसमध्ये प्रवेश करणे आवश्यक असलेली शक्ती शोधण्यासाठी सर्व क्रिया व्यावहारिकरित्या एकत्रित होतात.
अज्ञात पदवीचे मूल्य अचूकपणे निर्धारित करण्यासाठी, आपल्याला पदवीच्या सारणीसह कसे कार्य करावे हे शिकण्याची आवश्यकता आहे. हे असे दिसते:
तुम्ही बघू शकता, तुमच्याकडे तांत्रिक मन आणि गुणाकार सारणीचे ज्ञान असल्यास काही घातांकांचा अंतर्ज्ञानाने अंदाज लावला जाऊ शकतो. तथापि, मोठ्या मूल्यांसाठी आपल्याला पॉवर टेबलची आवश्यकता असेल. ज्यांना गणिताच्या गुंतागुंतीच्या विषयांबद्दल काहीच माहिती नाही अशांनाही याचा वापर करता येतो. डाव्या स्तंभात संख्या (बेस a) आहेत, संख्यांची वरची पंक्ती ही संख्या a वाढवलेली शक्ती c चे मूल्य आहे. छेदनबिंदूवर, सेलमध्ये संख्या मूल्ये असतात जी उत्तरे असतात (a c =b). उदाहरणार्थ, 10 क्रमांकाचा पहिला सेल घ्या आणि त्याचा वर्ग करा, आपल्याला 100 मूल्य मिळेल, जे आपल्या दोन पेशींच्या छेदनबिंदूवर सूचित केले आहे. सर्व काही इतके सोपे आणि सोपे आहे की अगदी खऱ्या मानवतावादीलाही समजेल!
समीकरणे आणि असमानता
असे दिसून आले की विशिष्ट परिस्थितींमध्ये घातांक हा लॉगरिथम आहे. म्हणून, कोणतीही गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ती लॉगरिदमिक समानता म्हणून लिहिली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, 3 4 =81 हे 81 समान चार (लॉग 3 81 = 4) चा आधार 3 लॉगरिथम म्हणून लिहिता येईल. नकारात्मक शक्तींसाठी नियम समान आहेत: 2 -5 = 1/32 आपण लॉगरिदम म्हणून लिहू, आपल्याला लॉग 2 (1/32) = -5 मिळेल. गणितातील सर्वात आकर्षक विभागांपैकी एक म्हणजे “लोगॅरिथम” हा विषय. समीकरणांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केल्यावर लगेचच त्यांची उदाहरणे आणि उपाय आपण खाली पाहू. आता असमानता कशा दिसतात आणि त्यांना समीकरणांमधून कसे वेगळे करायचे ते पाहू.
खालील अभिव्यक्ती दिली आहे: लॉग 2 (x-1) > 3 - ही लॉगरिदमिक असमानता आहे, कारण अज्ञात मूल्य "x" लॉगरिदमिक चिन्हाखाली आहे. आणि अभिव्यक्तीमध्ये देखील दोन प्रमाणांची तुलना केली जाते: इच्छित संख्येचा बेस दोनचा लॉगरिदम क्रमांक तीनपेक्षा मोठा आहे.
लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता यांच्यातील सर्वात महत्त्वाचा फरक म्हणजे लॉगरिदमसह समीकरणे (उदाहरणार्थ, लॉगरिदम 2 x = √9) उत्तरात एक किंवा अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मूल्ये दर्शवतात, तर असमानता सोडवताना, दोन्ही स्वीकार्य श्रेणी मूल्ये आणि बिंदू हे कार्य खंडित करून निर्धारित केले जातात. परिणामी, उत्तर हे समीकरणाच्या उत्तराप्रमाणे वैयक्तिक संख्यांचा साधा संच नसून सतत मालिका किंवा संख्यांचा संच आहे.
लॉगरिदम बद्दल मूलभूत प्रमेये
लॉगरिथमची मूल्ये शोधण्याची आदिम कार्ये सोडवताना, त्याचे गुणधर्म ज्ञात नसतील. तथापि, जेव्हा लॉगरिदमिक समीकरणे किंवा असमानता येतात, तेव्हा सर्व प्रथम, लॉगरिदमचे सर्व मूलभूत गुणधर्म स्पष्टपणे समजून घेणे आणि व्यवहारात लागू करणे आवश्यक आहे. आपण समीकरणांची उदाहरणे नंतर पाहू; प्रथम प्रत्येक गुणधर्म अधिक तपशीलाने पाहू.
- मुख्य ओळख यासारखी दिसते: a logaB =B. हे फक्त तेव्हाच लागू होते जेव्हा a 0 पेक्षा मोठा असतो, एकाच्या बरोबरीचा नसतो आणि B शून्यापेक्षा मोठा असतो.
- उत्पादनाचा लॉगरिथम खालील सूत्रामध्ये दर्शविला जाऊ शकतो: लॉग d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. या प्रकरणात, अनिवार्य अट आहे: d, s 1 आणि s 2 > 0; a≠1. तुम्ही उदाहरणे आणि सोल्यूशनसह या लॉगरिदमिक सूत्रासाठी पुरावा देऊ शकता. लॉग a s 1 = f 1 आणि log a s 2 = f 2, नंतर a f1 = s 1, a f2 = s 2. आम्हाला मिळते की s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (चे गुणधर्म अंश ), आणि नंतर व्याख्येनुसार: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.
- भागाचे लॉगरिदम असे दिसते: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- सूत्राच्या स्वरुपातील प्रमेय खालील फॉर्म घेते: लॉग a q b n = n/q log a b.
या सूत्राला "लोगॅरिथमच्या अंशाची मालमत्ता" असे म्हणतात. हे सामान्य अंशांच्या गुणधर्मांसारखे आहे आणि हे आश्चर्यकारक नाही, कारण सर्व गणित नैसर्गिक पोस्ट्युलेट्सवर आधारित आहे. चला पुरावा पाहू.
लॉग a b = t करू द्या, ते t = b निघेल. जर आपण दोन्ही भागांना m पॉवर वर वाढवले: a tn = b n ;
पण a tn = (a q) nt/q = b n असल्याने, म्हणून a q b n = (n*t)/t लॉग करा, नंतर a q b n = n/q लॉग a b ला लॉग करा. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.
समस्या आणि असमानतेची उदाहरणे
लॉगरिदमवरील समस्यांचे सर्वात सामान्य प्रकार म्हणजे समीकरणे आणि असमानतेची उदाहरणे. ते जवळजवळ सर्व समस्यांच्या पुस्तकांमध्ये आढळतात आणि ते गणिताच्या परीक्षांचा आवश्यक भाग देखील आहेत. विद्यापीठात प्रवेश करण्यासाठी किंवा गणितातील प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करण्यासाठी, आपल्याला अशी कार्ये योग्यरित्या कशी सोडवायची हे माहित असणे आवश्यक आहे.
दुर्दैवाने, लॉगरिदमचे अज्ञात मूल्य सोडवण्यासाठी आणि निर्धारित करण्यासाठी कोणतीही एक योजना किंवा योजना नाही, परंतु प्रत्येक गणितीय असमानता किंवा लॉगरिदमिक समीकरणासाठी काही नियम लागू केले जाऊ शकतात. सर्व प्रथम, आपण अभिव्यक्ती सरलीकृत किंवा सामान्य स्वरूपात कमी केली जाऊ शकते की नाही हे शोधले पाहिजे. जर तुम्ही त्यांचे गुणधर्म योग्यरित्या वापरत असाल तर तुम्ही लांब लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती सुलभ करू शकता. चला त्यांना लवकर ओळखू या.
लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवताना, आपण कोणत्या प्रकारचे लॉगरिदम आहे हे निर्धारित केले पाहिजे: उदाहरणाच्या अभिव्यक्तीमध्ये नैसर्गिक लॉगरिथम किंवा दशांश असू शकतात.
येथे ln100, ln1026 उदाहरणे आहेत. त्यांचे समाधान या वस्तुस्थितीवर उकळते की त्यांना बेस 10 अनुक्रमे 100 आणि 1026 च्या बरोबरीची शक्ती निश्चित करणे आवश्यक आहे. नैसर्गिक लॉगरिदम सोडवण्यासाठी, तुम्हाला लॉगरिदमिक ओळख किंवा त्यांचे गुणधर्म लागू करणे आवश्यक आहे. विविध प्रकारच्या लॉगरिदमिक समस्या सोडवण्याची उदाहरणे पाहू.
लॉगरिदम सूत्र कसे वापरावे: उदाहरणे आणि उपायांसह
तर, लॉगरिदम बद्दल मूलभूत प्रमेय वापरण्याची उदाहरणे पाहू.
- उत्पादनाच्या लॉगरिदमचा गुणधर्म अशा कार्यांमध्ये वापरला जाऊ शकतो जेथे b संख्याचे मोठ्या मूल्याचे सोप्या घटकांमध्ये विघटन करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512. उत्तर 9 आहे.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - जसे आपण पाहू शकता, लॉगरिदम पॉवरच्या चौथ्या गुणधर्माचा वापर करून, आम्ही एक जटिल आणि न सोडवता येणारी अभिव्यक्ती सोडवण्यात व्यवस्थापित केले. तुम्हाला फक्त बेस फॅक्टर करणे आवश्यक आहे आणि नंतर लॉगरिदमच्या चिन्हातून घातांक मूल्ये काढणे आवश्यक आहे.
युनिफाइड स्टेट परीक्षेतील असाइनमेंट
लॉगरिदम बहुतेकदा प्रवेश परीक्षांमध्ये आढळतात, विशेषत: युनिफाइड स्टेट परीक्षा (सर्व शालेय पदवीधरांसाठी राज्य परीक्षा) मध्ये अनेक लॉगरिदमिक समस्या. सामान्यतः, ही कार्ये केवळ भाग A (परीक्षेतील सर्वात सोपा चाचणी भाग) मध्येच नसतात तर भाग C (सर्वात जटिल आणि विपुल कार्ये) मध्ये देखील उपस्थित असतात. परीक्षेसाठी “नैसर्गिक लॉगरिदम” या विषयाचे अचूक आणि परिपूर्ण ज्ञान आवश्यक आहे.
युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या अधिकृत आवृत्त्यांमधून उदाहरणे आणि समस्यांचे निराकरण केले जाते. अशी कार्ये कशी सोडवली जातात ते पाहूया.
दिलेला लॉग 2 (2x-1) = 4. उपाय:
चला अभिव्यक्ती पुन्हा लिहू, थोडेसे लॉग 2 (2x-1) = 2 2 सोपे करून, लॉगरिदमच्या व्याख्येनुसार आपल्याला 2x-1 = 2 4 मिळेल, म्हणून 2x = 17; x = 8.5.
- सर्व लॉगरिदम समान बेसवर कमी करणे चांगले आहे जेणेकरून समाधान अवजड आणि गोंधळात टाकणार नाही.
- लॉगरिदम चिन्हाखालील सर्व अभिव्यक्ती सकारात्मक म्हणून दर्शविल्या जातात, म्हणून जेव्हा लॉगरिथम चिन्हाखाली असलेल्या अभिव्यक्तीचा घातांक आणि त्याचा आधार गुणक म्हणून काढला जातो, तेव्हा लॉगरिदम अंतर्गत उरलेली अभिव्यक्ती सकारात्मक असणे आवश्यक आहे.
