गणित. अंकीय मूल्यांसाठी गोलाकार नियम

संख्या पूर्ण कशी करायची असा प्रश्न अनेकांना पडतो. ही गरज सहसा अशा लोकांसाठी उद्भवते जे त्यांचे जीवन लेखा किंवा इतर क्रियाकलापांशी जोडतात ज्यासाठी गणना आवश्यक असते. पूर्णांक, दशमांश आणि अशाच प्रकारे गोलाकार करता येतो. आणि आपल्याला ते योग्यरित्या कसे करावे हे माहित असणे आवश्यक आहे जेणेकरून गणना अधिक किंवा कमी अचूक असेल.

तरीही गोल संख्या म्हणजे काय? हे 0 मध्ये समाप्त होणारे आहे (बहुतेक भागासाठी). दैनंदिन जीवनात, संख्या पूर्ण करण्याची क्षमता मोठ्या प्रमाणात खरेदी सहलींना सुलभ करते. चेकआउटवर उभे राहून, तुम्ही खरेदीच्या एकूण खर्चाचा अंदाजे अंदाज लावू शकता, वेगवेगळ्या वजनाच्या पॅकेजमध्ये समान उत्पादनाची किंमत किती आहे याची तुलना करा. सोयीस्कर स्वरूपात संख्या कमी केल्यामुळे, कॅल्क्युलेटरच्या मदतीचा अवलंब न करता मानसिक गणना करणे सोपे आहे.

संख्या पूर्ण का केली जाते?

ज्या प्रकरणांमध्ये अधिक सरलीकृत ऑपरेशन्स करणे आवश्यक आहे अशा प्रकरणांमध्ये एखादी व्यक्ती कोणतीही संख्या पूर्ण करते. उदाहरणार्थ, एका खरबूजाचे वजन 3,150 किलोग्रॅम असते. जेव्हा एखादी व्यक्ती आपल्या मित्रांना दक्षिणेकडील फळ किती ग्रॅम आहे हे सांगते, तेव्हा तो फारसा मनोरंजक संवादकर्ता नाही. "म्हणून मी तीन किलोग्रॅम खरबूज विकत घेतले" सारखे वाक्ये सर्व प्रकारच्या अनावश्यक तपशीलांमध्ये न विचारता अधिक संक्षिप्त वाटतात.

विशेष म्हणजे, विज्ञानातही नेहमी सर्वात अचूक संख्या हाताळण्याची गरज नसते. आणि जर आपण नियतकालिक अनंत अपूर्णांकांबद्दल बोलत आहोत, ज्यांचे फॉर्म 3.33333333 ... 3 आहे, तर हे अशक्य होते. म्हणून, सर्वात तार्किक पर्याय म्हणजे त्यांना गोलाकार करणे. नियमानुसार, त्यानंतरचा परिणाम किंचित विकृत होतो. मग तुम्ही संख्यांची पूर्ण संख्या कशी कराल?

संख्या पूर्ण करण्यासाठी काही महत्त्वाचे नियम

तर, जर तुम्हाला संख्या पूर्ण करायची असेल, तर पूर्णांकाची मूलभूत तत्त्वे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे का? दशांश स्थानांची संख्या कमी करण्याच्या उद्देशाने हे बदल ऑपरेशन आहे. ही क्रिया पार पाडण्यासाठी, आपल्याला काही महत्त्वाचे नियम माहित असणे आवश्यक आहे:

1. आवश्यक अंकांची संख्या 5-9 च्या श्रेणीत असल्यास, राउंडिंग अप केले जाते.
2. जर इच्छित अंकाची संख्या 1-4 च्या दरम्यान असेल, तर राउंडिंग डाउन केले जाते.

उदाहरणार्थ, आमच्याकडे 59 हा क्रमांक आहे. आम्हाला ते पूर्ण करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, तुम्हाला 9 क्रमांक घ्यावा लागेल आणि त्यात एक जोडून 60 मिळवावे लागतील. संख्या पूर्ण कशी करायची या प्रश्नाचे हेच उत्तर आहे. आता विशेष प्रकरणांचा विचार करूया. वास्तविक, आम्ही हे उदाहरण वापरून संख्येला दहापट कसे पूर्ण करायचे ते शोधून काढले. आता फक्त हे ज्ञान प्रत्यक्षात आणणे बाकी आहे.

संख्या पूर्णांकांमध्ये कशी पूर्ण करायची

असे अनेकदा घडते की गोल करणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ, 5.9 संख्या. ही प्रक्रिया अवघड नाही. प्रथम आपल्याला स्वल्पविराम वगळण्याची गरज आहे, आणि गोलाकार करताना, आपल्या डोळ्यांसमोर आधीपासूनच परिचित संख्या 60 दिसते. आणि आता आपण स्वल्पविराम त्या जागी ठेवतो आणि आपल्याला 6.0 मिळतो. आणि दशांश मधील शून्य सहसा वगळले जात असल्याने, आम्ही 6 क्रमांकावर जातो.

अधिक जटिल संख्यांसह समान ऑपरेशन केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, तुम्ही 5.49 सारख्या संख्यांना पूर्णांक कसे बनवता? तुम्ही स्वतःसाठी कोणती ध्येये ठेवता यावर हे सर्व अवलंबून आहे. सर्वसाधारणपणे, गणिताच्या नियमांनुसार, 5.49 अजूनही 5.5 नाही. त्यामुळे त्याची गोळाबेरीज करता येत नाही. परंतु तुम्ही ते 5.5 पर्यंत पूर्ण करू शकता, त्यानंतर 6 पर्यंत पूर्ण करणे कायदेशीर होईल. परंतु ही युक्ती नेहमीच कार्य करत नाही, म्हणून तुम्ही अत्यंत सावधगिरी बाळगणे आवश्यक आहे.

तत्त्वतः, दहाव्या क्रमांकाच्या योग्य पूर्णांकाचे उदाहरण वर आधीच विचारात घेतले गेले आहे, म्हणून आता फक्त मुख्य तत्त्व प्रदर्शित करणे महत्त्वाचे आहे. खरं तर, सर्वकाही अंदाजे त्याच प्रकारे घडते. जर दशांश बिंदूनंतर दुसऱ्या स्थानावर असलेला अंक 5-9 च्या आत असेल, तर तो सर्वसाधारणपणे काढून टाकला जातो आणि त्याच्या समोरचा अंक एकने वाढवला जातो. जर 5 पेक्षा कमी असेल तर ही आकृती काढली जाईल आणि मागील एक त्याच्या जागी राहील.

उदाहरणार्थ, 4.59 ते 4.6 वाजता, "9" संख्या निघून जाते आणि पाचमध्ये एक जोडला जातो. पण 4.41 राउंडिंग करताना, युनिट वगळले जाते, आणि चार अपरिवर्तित राहतात.

विपणक मोठ्या प्रमाणात ग्राहकांची संख्या पूर्ण करण्यासाठी असमर्थता कशी वापरतात?

असे दिसून आले की जगातील बहुतेक लोकांना उत्पादनाच्या वास्तविक किंमतीचे मूल्यांकन करण्याची सवय नाही, ज्याचा विपणक सक्रियपणे शोषण करतात. "केवळ 9.99 मध्ये खरेदी करा" यासारखे स्टॉक स्लोगन्स सर्वांना माहीत आहेत. होय, आम्ही जाणीवपूर्वक समजतो की हे आधीच दहा डॉलर्स आहे. तरीसुद्धा, आपला मेंदू अशा प्रकारे व्यवस्थित केला जातो की त्याला फक्त पहिला अंक कळतो. त्यामुळे संख्या सोयीस्कर स्वरूपात आणण्याचे सोपे ऑपरेशन ही सवय झाली पाहिजे.

बर्‍याचदा, गोलाकार संख्यात्मक स्वरूपात व्यक्त केलेल्या मध्यवर्ती यशांचा अधिक चांगला अंदाज लावू देते. उदाहरणार्थ, एक व्यक्ती दरमहा $ 550 कमवू लागली. एक आशावादी म्हणेल की हे जवळजवळ 600 आहे, एक निराशावादी - की ते 500 पेक्षा थोडे जास्त आहे. असे दिसते की फरक आहे, परंतु मेंदूला हे "पाहणे" अधिक आनंददायी आहे की ऑब्जेक्टने काहीतरी अधिक साध्य केले आहे ( किंवा या उलट).

अशी असंख्य उदाहरणे आहेत जिथे गोल करण्याची क्षमता आश्चर्यकारकपणे उपयुक्त आहे. सर्जनशील असणे आणि शक्य असल्यास, अनावश्यक माहितीने लोड न करणे महत्वाचे आहे. मग यश लगेच मिळेल.

दैनंदिन जीवनात आपण अनेकदा राउंडिंग वापरतो. जर घरापासून शाळेचे अंतर 503 मीटर असेल. घरापासून शाळेपर्यंतचे अंतर 500 मीटर आहे असे आपण मूल्याची गोळाबेरीज करून म्हणू शकतो. म्हणजेच, आम्ही 503 हा आकडा 500 च्या सहज लक्षात येणा-या क्रमांकाच्या जवळ आणला आहे. उदाहरणार्थ, एका ब्रेडचे वजन 498 ग्रॅम आहे, नंतर परिणाम गोलाकार करून आपण असे म्हणू शकतो की एका ब्रेडचे वजन 500 ग्रॅम आहे.

गोलाकार- मानवी आकलनासाठी "हलक्या" संख्येच्या संख्येचा हा अंदाज आहे.

गोलाकार परिणाम आहे अंदाजेसंख्या गोलाकार ≈ चिन्हाद्वारे दर्शविला जातो, असे चिन्ह "अंदाजे समान" असे वाचते.

तुम्ही 503≈500 किंवा 498≈500 लिहू शकता.

अशी नोंद “पाचशे तीन म्हणजे अंदाजे पाचशेच्या बरोबरीची” किंवा “चारशे अठ्ठ्याण्णव म्हणजे अंदाजे पाचशेच्या बरोबरीची” अशी वाचली जाते.

आणखी एक उदाहरण घेऊ:

44 71≈4000 45 71≈5000

43 71≈4000 46 71≈5000

42 71≈4000 47 71≈5000

41 71≈4000 48 71≈5000

40 71≈4000 49 71≈5000

या उदाहरणात, संख्या हजारो ठिकाणी पूर्ण केली गेली आहेत. जर आपण राउंडिंग पॅटर्न पाहिला तर आपल्याला दिसेल की एका प्रकरणात संख्या खाली गोलाकार आहेत आणि दुसर्‍यामध्ये - वर. राउंडिंग केल्यानंतर, हजारांनंतर इतर सर्व संख्या शून्याने बदलल्या.

संख्या गोलाकार नियम:

1) जर गोलाकार करावयाची आकृती 0, 1, 2, 3, 4 एवढी असेल, तर ज्या अंकावर गोलाकार होणार आहे त्या अंकाचा अंक बदलत नाही आणि उर्वरित संख्या शून्याने बदलल्या जातात.

२) गोलाकार करावयाची आकृती 5, 6, 7, 8, 9 एवढी असेल, तर ज्या अंकापर्यंत गोलाकार चालू आहे त्या अंकाचा अंक 1 अधिक होतो आणि उर्वरित संख्या शून्याने बदलतात.

उदाहरणार्थ:

1) 364 च्या दहापट जागेवर गोल करा.

या उदाहरणातील दहाचा अंक हा क्रमांक 6 आहे. सहा नंतर संख्या 4 आहे. गोलाकार नियमानुसार, संख्या 4 दहाचा अंक बदलत नाही. आम्ही 4 ऐवजी शून्य लिहितो. आम्हाला मिळते:

36 4 ≈360

2) 4781 च्या शेकडो ठिकाणी फेरी.

या उदाहरणातील शेकडो अंक हा क्रमांक 7 आहे. सात नंतर क्रमांक 8 आहे, जो शेकडो अंक बदलतो की नाही यावर परिणाम करतो. राउंडिंग नियमानुसार, संख्या 8 शेकडो स्थान 1 ने वाढवते आणि उर्वरित संख्या शून्याने बदलली जातात. आम्हाला मिळते:

47 8 1≈48 00

3) 215936 च्या हजारो ठिकाणी फेरी.

या उदाहरणातील हजारो स्थान ही संख्या 5 आहे. पाच नंतर 9 क्रमांक आहे, जो हजारो स्थान बदलतो की नाही यावर परिणाम करतो. गोलाकार नियमानुसार, संख्या 9 हजारांच्या जागी 1 ने वाढवते आणि उर्वरित संख्या शून्याने बदलतात. आम्हाला मिळते:

215 9 36≈216 000

4) हजारो 1,302,894 पर्यंत फेरी.

या उदाहरणातील हजार अंक ही संख्या 0 आहे. शून्यानंतर, संख्या 2 आहे, जो दहापट अंक बदलतो की नाही यावर परिणाम करतो. गोलाकार नियमानुसार, संख्या 2 हजारोचा अंक बदलत नाही, आम्ही हा अंक आणि खालच्या अंकांचे सर्व अंक शून्याने बदलतो. आम्हाला मिळते:

130 2 894≈130 0000

जर संख्येचे अचूक मूल्य महत्त्वाचे नसेल, तर संख्येचे मूल्य पूर्णतः बंद केले जाते आणि आपण यासह संगणकीय ऑपरेशन करू शकता अंदाजे मूल्ये. गणनाचा परिणाम म्हणतात क्रियांच्या परिणामाचा अंदाज.

उदाहरणार्थ: 598⋅23≈600⋅20≈12000 598⋅23=13754 शी तुलना करता येईल

उत्तराची त्वरीत गणना करण्यासाठी क्रियांच्या परिणामाचा अंदाज वापरला जातो.

गोलाकार विषयावरील असाइनमेंटची उदाहरणे:

उदाहरण #1:
कोणत्या अंकी राउंडिंग केले जाते ते ठरवा:
a) 3457987≈3500000 b) 4573426≈4573000 c) 16784≈17000
3457987 या क्रमांकावर कोणते अंक आहेत ते लक्षात ठेवूया.

7 - एकक अंक,

8 - दहापट जागा,

9 - शेकडो ठिकाणे,

7 - हजारो जागा,

5 - हजारोचा अंक,

4 - शेकडो हजार अंक,
3 हा लाखांचा अंक आहे.
उत्तर: a) 3 4 57 987≈3 5 00 000 शेकडो हजारांचा अंक b) 4 573 426 ≈ 4 573 000 हजारांचा अंक c) 16 7 841 ≈17 0 000 हजारांचा अंक.

उदाहरण #2:
संख्या ५,९९९,९९४ ठिकाणी पूर्ण करा: अ) दहापट ब) शेकडो क) लाखो.
उत्तर: अ) 5,999,994 ≈5,999,990 ब) 5,999,99 4≈6,000,000 6,000,000.

गोलाकार करताना, फक्त योग्य वर्ण सोडले जातात, बाकीचे टाकून दिले जातात.

नियम 1. जर टाकून दिलेल्या अंकांपैकी पहिला अंक 5 पेक्षा कमी असेल तर फक्त अंक टाकून गोलाकार साधला जातो.

नियम 2. टाकून दिलेल्या अंकांपैकी पहिला अंक 5 पेक्षा मोठा असल्यास, शेवटचा अंक एकाने वाढवला जातो. शेवटचा अंक देखील वाढवला जातो जेव्हा टाकून दिलेल्या अंकांपैकी पहिला अंक 5 असतो आणि त्यानंतर एक किंवा अधिक शून्य नसलेले अंक असतात. उदाहरणार्थ, 35.856 क्रमांकाच्या विविध राउंडिंग 35.86 असतील; 35.9; ३६.

नियम 3. जर टाकून दिलेला अंक 5 असेल आणि त्यामागे कोणतेही महत्त्वपूर्ण आकडे नसतील, तर सर्वात जवळच्या सम संख्येवर पूर्णांक काढला जातो, म्हणजे. संचयित केलेला शेवटचा अंक सम असेल तर तो अपरिवर्तित राहतो आणि विषम असल्यास एकाने वाढवला जातो. उदाहरणार्थ, 0.435 0.44 पर्यंत पूर्ण केले आहे; 0.465 0.46 पर्यंत पूर्ण केले आहे.

8. मापन परिणाम प्रक्रियेचे उदाहरण

घन पदार्थांच्या घनतेचे निर्धारण. समजा एका कडक शरीराला सिलेंडरचा आकार आहे. मग घनता ρ सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाऊ शकते:

जेथे D हा सिलेंडरचा व्यास आहे, h त्याची उंची आहे, m हे वस्तुमान आहे.

m, D आणि h च्या मोजमापांच्या परिणामी खालील डेटा प्राप्त होऊ द्या:

D̃ सरासरी मूल्य परिभाषित करूया:

वैयक्तिक मोजमाप आणि त्यांचे वर्ग यांच्या त्रुटी शोधा

मोजमापांच्या मालिकेतील मूळ-मीन-चौरस त्रुटी निश्चित करूया:

आम्ही विश्वसनीयता मूल्य α = 0.95 सेट करतो आणि टेबलमधून विद्यार्थ्याचे गुणांक t α शोधतो. n=2.8 (n=5 साठी). आम्ही आत्मविश्वास मध्यांतराच्या सीमा निर्धारित करतो:

गणना केलेले मूल्य ΔD = 0.07 मिमी हे मायक्रोमीटरच्या संपूर्ण त्रुटीपेक्षा लक्षणीयरीत्या ओलांडत असल्याने, 0.01 मिमी (मायक्रोमीटरने मोजले जाते), परिणामी मूल्य आत्मविश्वास मध्यांतर सीमारेषेचा अंदाज म्हणून काम करू शकते:

डी = डी̃ ± Δ डी; डी= (12.61 ±0.07) मिमी.

h̃ चे मूल्य परिभाषित करूया:

परिणामी:

α = 0.95 आणि n = 5 विद्यार्थ्याच्या गुणांक t α , n = 2.8 साठी.

आत्मविश्वास मध्यांतराच्या सीमा निश्चित करणे

प्राप्त मूल्य Δh = 0.11 मिमी हे कॅलिपरच्या त्रुटी 0.1 मिमी (एच कॅलिपरने मोजले जाते) सारख्याच क्रमाचे असल्याने, आत्मविश्वास मध्यांतराच्या सीमा सूत्राद्वारे निर्धारित केल्या पाहिजेत:

परिणामी:

घनता ρ च्या सरासरी मूल्याची गणना करूया:

सापेक्ष त्रुटीसाठी एक अभिव्यक्ती शोधूया:

कुठे

7. GOST 16263-70 मेट्रोलॉजी. अटी आणि व्याख्या.

8. GOST 8.207-76 एकाधिक निरीक्षणांसह थेट मोजमाप. निरीक्षणांच्या परिणामांवर प्रक्रिया करण्याच्या पद्धती.

9. GOST 11.002-73 (कला. SEV 545-77) निरीक्षणांच्या विसंगत परिणामांचे मूल्यांकन करण्यासाठी नियम.

त्सारकोव्स्काया नाडेझदा इव्हानोव्हना

सखारोव्ह युरी जॉर्जिविच

सामान्य भौतिकशास्त्र

सर्व वैशिष्ट्यांच्या विद्यार्थ्यांसाठी प्रयोगशाळेच्या कार्याच्या अंमलबजावणीसाठी मार्गदर्शक तत्त्वे "मापन त्रुटींच्या सिद्धांताचा परिचय"

फॉरमॅट 60*84 1/16 खंड 1 अॅप.-ed. l अभिसरण 50 प्रती.

ऑर्डर ______ मोफत

ब्रायन्स्क राज्य अभियांत्रिकी आणि तंत्रज्ञान अकादमी

ब्रायन्स्क, स्टँके दिमित्रोवा अव्हेन्यू, 3, बीजीटीए,

संपादकीय आणि प्रकाशन विभाग

मुद्रित - BGITA ऑपरेशनल प्रिंटिंग युनिट

विशिष्ट संख्येच्या पूर्णांकाची वैशिष्ठ्ये विचारात घेण्यासाठी, विशिष्ट उदाहरणे आणि काही मूलभूत माहितीचे विश्लेषण करणे आवश्यक आहे.

संख्यांना शंभरव्यापर्यंत कसे पूर्ण करायचे

• संख्येला शंभरव्या भागापर्यंत पूर्ण करण्यासाठी, दशांश बिंदूनंतर दोन अंक सोडणे आवश्यक आहे, बाकीचे, अर्थातच, टाकून दिले आहेत. टाकून दिलेला पहिला अंक 0, 1, 2, 3, किंवा 4 असल्यास, मागील अंक अपरिवर्तित राहतात.
• जर टाकून दिलेला अंक 5, 6, 7, 8 किंवा 9 असेल तर तुम्हाला मागील अंक एकने वाढवावा लागेल.
• उदाहरणार्थ, जर तुम्हाला 75.748 क्रमांकाची फेरी करायची असेल, तर राउंडिंग केल्यानंतर आम्हाला 75.75 मिळेल. आमच्याकडे 19.912 असल्यास, नंतर गोलाकार परिणाम म्हणून, किंवा त्याऐवजी, ते वापरण्याची आवश्यकता नसताना, आम्हाला 19.91 मिळेल. 19.912 च्या बाबतीत, शंभरव्या नंतरची संख्या पूर्णतः पूर्ण होत नाही, म्हणून ती फक्त टाकून दिली जाते.
• जर आपण 18.4893 क्रमांकाबद्दल बोलत असाल, तर शंभरव्या क्रमांकावर पूर्णांक पुढीलप्रमाणे होतो: टाकून दिलेला पहिला अंक 3 आहे, त्यामुळे कोणताही बदल होत नाही. हे 18.48 बाहेर वळते.
• 0.2254 या संख्येच्या बाबतीत, आपल्याकडे पहिला अंक आहे, जो शंभरव्या क्रमांकावर पूर्ण करताना टाकून दिला जातो. हे पाच आहे, जे सूचित करते की मागील संख्या एकने वाढवणे आवश्यक आहे. म्हणजेच, आम्हाला 0.23 मिळेल.
• अशी काही प्रकरणे देखील आहेत जेव्हा गोलाकार एका संख्येतील सर्व अंक बदलतात. उदाहरणार्थ, 64.9972 या संख्येला शंभरव्या क्रमांकापर्यंत पूर्ण करण्यासाठी, आपण पाहतो की 7 ही संख्या मागील संख्यांना पूर्ण करते. आम्हाला 65.00 मिळतात.

संख्यांना पूर्णांकांमध्ये कसे पूर्ण करायचे

संख्या पूर्णांकांमध्ये पूर्ण करताना, परिस्थिती समान असते. जर आपल्याकडे, उदाहरणार्थ, 25.5 असेल, तर गोलाकार केल्यानंतर आपल्याला 26 मिळेल. दशांश बिंदूनंतर अंकांच्या पुरेशा संख्येच्या बाबतीत, गोलाकार अशा प्रकारे होतो: 4.371251 पूर्ण केल्यानंतर, आपल्याला 4 मिळेल.

दहाव्या क्रमांकाची गोलाकार शतांश प्रमाणेच होते. उदाहरणार्थ, जर आपल्याला 45.21618 क्रमांकाची फेरी करायची असेल तर आपल्याला 45.2 मिळेल. जर दहाव्या नंतरचा दुसरा अंक 5 किंवा त्यापेक्षा जास्त असेल तर मागील अंक एकने वाढतो. उदाहरण म्हणून, 13.7 मिळवण्यासाठी तुम्ही 13.6734 राउंड करू शकता.

कापलेल्याच्या समोर असलेल्या संख्येकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, जर आपल्याकडे 1.450 ही संख्या असेल, तर राऊंडिंग केल्यानंतर आपल्याला 1.4 मिळेल. तथापि, 4.851 च्या बाबतीत, 4.9 पर्यंत पूर्ण करणे उचित आहे, कारण पाच नंतर अद्याप एक आहे.