बरोबर प्रिझम आहे. नियमित चतुर्भुज प्रिझमचे आकारमान आणि पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ

व्याख्या 1. प्रिझमॅटिक पृष्ठभाग
प्रमेय 1. प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाच्या समांतर विभागांवर
व्याख्या 2. प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाचा लंब विभाग
व्याख्या 3. प्रिझम
व्याख्या 4. प्रिझमची उंची
व्याख्या 5. उजवा प्रिझम
प्रमेय 2. प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ

समांतर:
व्याख्या 6. समांतर पाईप
प्रमेय 3. समांतर पाईपच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूवर
व्याख्या 7. उजवीकडे समांतर पाईप
व्याख्या 8. आयताकृती समांतर नलिका
व्याख्या 9. समांतर पाईपचे मोजमाप
व्याख्या 10. घन
व्याख्या 11. Rhombohedron
प्रमेय 4. आयताकृती समांतर पाईपच्या कर्णांवर
प्रमेय 5. प्रिझमची मात्रा
प्रमेय 6. सरळ प्रिझमची मात्रा
प्रमेय 7. आयताकृती समांतर पाईपचा आवाज

प्रिझमएक पॉलिहेड्रॉन आहे ज्याचे दोन चेहरे (पाया) समांतर समतल आहेत आणि या चेहऱ्यांमध्ये नसलेल्या कडा एकमेकांना समांतर आहेत.
बेस व्यतिरिक्त इतर चेहरे म्हणतात बाजूकडील.
बाजूचे चेहरे आणि पायाच्या बाजूंना म्हणतात प्रिझम रिब्स, कडांच्या टोकांना म्हणतात प्रिझमचे शिरोबिंदू. बाजूच्या फासळ्याबेसशी संबंधित नसलेल्या कडांना म्हणतात. पार्श्व चेहऱ्यांचे संघटन म्हणतात प्रिझमची बाजूकडील पृष्ठभाग, आणि सर्व चेहऱ्यांचे मिलन म्हणतात प्रिझमची संपूर्ण पृष्ठभाग. प्रिझमची उंचीवरच्या पायाच्या बिंदूपासून खालच्या पायाच्या समतलापर्यंत किंवा या लंबाच्या लांबीला लंबक म्हणतात. थेट प्रिझमयाला प्रिझम म्हणतात ज्याच्या बाजूच्या फासळ्या तळांच्या समतलांना लंब असतात. योग्यज्याला सरळ प्रिझम म्हणतात (चित्र 3), ज्याच्या पायथ्याशी एक नियमित बहुभुज असतो.

पदनाम:
l - बाजूला बरगडी;
पी - बेस परिमिती;
एस ओ - बेस क्षेत्र;
एच - उंची;
P^ - लंब विभाग परिमिती;
एस बी - बाजूकडील पृष्ठभाग क्षेत्र;
व्ही - खंड;
Sp हे प्रिझमच्या एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे.

व्याख्या २ . प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाचा लंब भाग हा या पृष्ठभागाचा त्याच्या कडांना लंब असलेला एक भाग आहे. मागील प्रमेयावर आधारित, समान प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाचे सर्व लंब विभाग समान बहुभुज असतील.

व्याख्या ३ . प्रिझम म्हणजे प्रिझमॅटिक पृष्ठभाग आणि दोन विमाने एकमेकांना समांतर (परंतु प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाच्या कडांना समांतर नसतात) यांनी बांधलेला पॉलिहेड्रॉन आहे.
या शेवटच्या विमानांमध्ये पडलेले चेहरे म्हणतात प्रिझम बेस; प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाशी संबंधित चेहरे - बाजूचे चेहरे; प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाच्या कडा - प्रिझमच्या बाजूच्या फासळ्या. मागील प्रमेयाच्या आधारे, प्रिझमचा पाया आहे समान बहुभुज. प्रिझमचे सर्व बाजूकडील चेहरे - समांतरभुज चौकोन; सर्व बाजूच्या फासळ्या एकमेकांच्या समान आहेत.
साहजिकच, प्रिझम ABCDE चा पाया आणि AA" पैकी एक किनार आकार आणि दिशा दिल्यास, कडा BB", CC", ... एज AA ला समान आणि समांतर रेखाटून प्रिझम तयार करणे शक्य आहे. .

व्याख्या 4 . प्रिझमची उंची म्हणजे त्याच्या तळांच्या विमानांमधील अंतर (HH").

व्याख्या 5 . जर प्रिझमचे तळ प्रिझमॅटिक पृष्ठभागाचे लंब भाग असतील तर त्याला सरळ म्हणतात. या प्रकरणात, प्रिझमची उंची, अर्थातच, त्याची आहे बाजूची बरगडी; बाजूच्या कडा असतील आयत.
प्रिझमचे वर्गीकरण त्याच्या पाया म्हणून काम करणाऱ्या बहुभुजाच्या बाजूंच्या संख्येइतके पार्श्व चेहऱ्यांच्या संख्येनुसार केले जाऊ शकते. अशा प्रकारे, प्रिझम त्रिकोणी, चतुर्भुज, पंचकोनी इत्यादी असू शकतात.

प्रमेय 2 . प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पार्श्व काठाच्या गुणाकार आणि लंब विभागाच्या परिमितीइतके असते.
ABCDEA"B"C"D"E" हे दिलेले प्रिझम असू द्या आणि त्याचा लंब विभाग abcde करा, म्हणजे ab, bc, .. हे विभाग त्याच्या पार्श्व किनार्यांना लंब असतील. चेहरा ABA"B" हा समांतरभुज चौकोन आहे; त्याचे क्षेत्रफळ बेस AA च्या गुणाकाराच्या समान आहे " ab शी एकरूप होणाऱ्या उंचीपर्यंत; चेहर्‍याचे क्षेत्रफळ ВСВ "С" बेसच्या गुणाकार ВВВ" उंची bc, इ. द्वारे समान आहे. परिणामी, बाजूचा पृष्ठभाग (म्हणजे बाजूच्या चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज) उत्पादनाच्या समान आहे बाजूच्या काठाची, दुसऱ्या शब्दांत, ab+bc+cd+de+ea या रकमेसाठी AA", ВВ", .., खंडांची एकूण लांबी.

सरळ प्रिझम बद्दल सामान्य माहिती

प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागास (अधिक तंतोतंत, पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ) म्हणतात बेरीजबाजूच्या चेहऱ्याचे क्षेत्र. प्रिझमची एकूण पृष्ठभाग बाजूच्या पृष्ठभागाच्या आणि तळांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतकी असते.

प्रमेय 19.1. सरळ प्रिझमची बाजूकडील पृष्ठभाग बेसच्या परिमितीच्या गुणाकार आणि प्रिझमची उंची, म्हणजे बाजूच्या काठाच्या लांबीच्या समान असते.

पुरावा. सरळ प्रिझमचे बाजूकडील चेहरे आयताकृती असतात. या आयतांचे तळ प्रिझमच्या पायथ्याशी असलेल्या बहुभुजाच्या बाजू आहेत आणि उंची बाजूच्या कडांच्या लांबीच्या समान आहेत. हे खालीलप्रमाणे आहे की प्रिझमची बाजूकडील पृष्ठभाग समान आहे

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

जेथे a 1 आणि n ही पायाच्या कडांची लांबी आहे, p हा प्रिझमच्या पायाचा परिमिती आहे आणि I बाजूच्या कडांची लांबी आहे. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

व्यावहारिक कार्य

समस्या (२२) . कलते प्रिझम मध्ये ते चालते विभाग, बाजूच्या कड्यांना लंब आणि सर्व बाजूच्या बरगड्यांना छेदणारा. जर क्रॉस-सेक्शनल परिमिती p च्या समान असेल आणि बाजूच्या कडा l च्या समान असतील तर प्रिझमचा पार्श्व पृष्ठभाग शोधा.

उपाय. काढलेल्या विभागाचे विमान प्रिझमला दोन भागांमध्ये विभाजित करते (चित्र 411). प्रिझमच्या पाया एकत्र करून त्यातील एकाला समांतर भाषांतर करू या. या प्रकरणात, आम्हाला एक सरळ प्रिझम मिळतो, ज्याचा पाया मूळ प्रिझमचा क्रॉस-सेक्शन आहे आणि बाजूच्या कडा l च्या समान आहेत. या प्रिझममध्ये मूळ पृष्ठभागाप्रमाणेच पार्श्व पृष्ठभाग आहे. अशा प्रकारे, मूळ प्रिझमचा पार्श्व पृष्ठभाग pl च्या बरोबरीचा आहे.

कव्हर केलेल्या विषयाचा सारांश

आता आपण प्रिझम बद्दल कव्हर केलेल्या विषयाचा सारांश देण्याचा प्रयत्न करूया आणि प्रिझममध्ये कोणते गुणधर्म आहेत हे लक्षात ठेवा.

प्रिझम गुणधर्म

प्रथम, प्रिझमचे सर्व तळ समान बहुभुज आहेत;
दुसरे म्हणजे, प्रिझममध्ये त्याचे सर्व बाजूकडील चेहरे समांतरभुज चौकोन असतात;
तिसरे म्हणजे, प्रिझमसारख्या बहुमुखी आकृतीमध्ये, सर्व बाजूकडील कडा समान असतात;

तसेच, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की पॉलिहेड्रा जसे की प्रिझम सरळ किंवा कलते असू शकतात.

कोणत्या प्रिझमला सरळ प्रिझम म्हणतात?

जर प्रिझमची बाजूची किनार त्याच्या पायाच्या समतलाला लंब स्थित असेल तर अशा प्रिझमला सरळ म्हणतात.

सरळ प्रिझमचे पार्श्व चेहरे आयत असतात हे लक्षात ठेवणे अनावश्यक ठरणार नाही.

कोणत्या प्रकारच्या प्रिझमला तिरकस म्हणतात?

परंतु जर प्रिझमची बाजूची धार त्याच्या पायाच्या समतलाला लंब स्थित नसेल, तर आपण सुरक्षितपणे म्हणू शकतो की ते एक झुकलेले प्रिझम आहे.

कोणत्या प्रिझमला बरोबर म्हणतात?

जर नियमित बहुभुज सरळ प्रिझमच्या पायथ्याशी असेल तर असा प्रिझम नियमित असतो.

आता आपण नियमित प्रिझमचे गुणधर्म लक्षात ठेवूया.

नियमित प्रिझमचे गुणधर्म

प्रथम, नियमित बहुभुज नेहमी नियमित प्रिझमचे आधार म्हणून काम करतात;
दुसरे म्हणजे, जर आपण नियमित प्रिझमच्या बाजूचे चेहरे विचारात घेतले तर ते नेहमी समान आयत असतात;
तिसरे म्हणजे, जर आपण बाजूच्या कड्यांच्या आकारांची तुलना केली तर नियमित प्रिझममध्ये ते नेहमी समान असतात.
चौथे, योग्य प्रिझम नेहमी सरळ असतो;
पाचवे, जर नियमित प्रिझममध्ये पार्श्व चेहऱ्यांचा आकार चौरसाचा असेल तर अशा आकृतीला सामान्यतः अर्ध-नियमित बहुभुज म्हणतात.

प्रिझम क्रॉस सेक्शन

आता प्रिझमचा क्रॉस सेक्शन पाहू:

गृहपाठ

आता समस्या सोडवून आपण शिकलेला विषय एकत्रित करण्याचा प्रयत्न करूया.

चला एक झुकलेला त्रिकोणी प्रिझम काढू, त्याच्या कडांमधील अंतर समान असेल: 3 सेमी, 4 सेमी आणि 5 सेमी, आणि या प्रिझमची बाजूकडील पृष्ठभाग 60 सेमी 2 च्या समान असेल. या पॅरामीटर्ससह, या प्रिझमची बाजूची किनार शोधा.

तुम्हाला माहित आहे का की भौमितिक आकृत्या सतत आपल्याभोवती असतात, केवळ भूमितीच्या धड्यांमध्येच नाही तर दैनंदिन जीवनात देखील एक किंवा दुसर्या भौमितिक आकृती सारख्या वस्तू असतात.

प्रत्येक घर, शाळा किंवा कार्यालयात एक संगणक असतो ज्याचे सिस्टीम युनिट सरळ प्रिझमसारखे असते.

जर तुम्ही एक साधी पेन्सिल उचलली तर तुम्हाला दिसेल की पेन्सिलचा मुख्य भाग प्रिझम आहे.

शहराच्या मध्यवर्ती रस्त्याने चालत असताना, आपण पाहतो की आपल्या पायाखाली एक टाइल आहे ज्याचा आकार षटकोनी प्रिझम आहे.

ए.व्ही. पोगोरेलोव्ह, इयत्ता 7-11 साठी भूमिती, शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक

गणिताची एक शाखा जी विविध आकृत्यांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करते (बिंदू, रेषा, कोन, द्विमितीय आणि त्रिमितीय वस्तू), त्यांचे आकार आणि संबंधित स्थाने. अध्यापनाच्या सुलभतेसाठी, भूमिती प्लॅनिमेट्री आणि स्टिरीओमेट्रीमध्ये विभागली गेली आहे. मध्ये…… कॉलियर्स एनसायक्लोपीडिया

तीन पेक्षा जास्त परिमाणांच्या रिक्त स्थानांची भूमिती; हा शब्द त्या रिक्त स्थानांना लागू केला जातो ज्यांची भूमिती मूळतः तीन आयामांच्या बाबतीत विकसित केली गेली होती आणि त्यानंतरच n>3, प्रामुख्याने युक्लिडियन स्पेस, ... ... च्या परिमाणांच्या संख्येवर सामान्यीकृत केली जाते. गणितीय विश्वकोश

एन-डायमेन्शनल युक्लिडियन भूमिती ही युक्लिडियन भूमितीचे अधिक परिमाण असलेल्या जागेचे सामान्यीकरण आहे. जरी भौतिक अवकाश त्रिमितीय आहे, आणि मानवी संवेदना त्रिमिती जाणण्यासाठी डिझाइन केल्या आहेत, N ही आयामी आहे... ... विकिपीडिया

या शब्दाचे इतर अर्थ आहेत, पिरामिडत्सु (अर्थ) पहा. लेखाच्या या विभागाच्या विश्वासार्हतेवर प्रश्नचिन्ह उपस्थित केले गेले आहे. आपण या विभागात नमूद केलेल्या तथ्यांची अचूकता सत्यापित करणे आवश्यक आहे. चर्चा पानावर स्पष्टीकरण असू शकते... विकिपीडिया

- (कन्स्ट्रक्टिव्ह सॉलिड जिओमेट्री, सीएसजी) तंत्रज्ञान सॉलिड बॉडीज मॉडेलिंगमध्ये वापरले जाते. रचनात्मक ब्लॉक भूमिती ही 3D ग्राफिक्स आणि CAD मध्ये मॉडेल करण्याचा मार्ग आहे, परंतु नेहमीच नाही. हे तुम्हाला एक जटिल दृश्य किंवा... विकिपीडिया तयार करण्यास अनुमती देते

रचनात्मक घन भूमिती (CSG) हे घन मॉडेलिंगमध्ये वापरले जाणारे तंत्रज्ञान आहे. रचनात्मक ब्लॉक भूमिती ही 3D ग्राफिक्स आणि CAD मध्ये मॉडेल करण्याचा मार्ग आहे, परंतु नेहमीच नाही. ती... ... विकिपीडिया

या शब्दाचे इतर अर्थ आहेत, खंड (अर्थ) पहा. व्हॉल्यूम हे एका संचाचे (एक माप) जोडणारे कार्य आहे जे ते व्यापलेल्या जागेच्या क्षेत्राची क्षमता दर्शवते. सुरुवातीला उठला आणि कठोर न करता लागू केला गेला... ... विकिपीडिया

घन प्रकार नियमित पॉलिहेड्रॉन चेहरा चौरस शिरोबिंदू कडा चेहरे ... विकिपीडिया

व्हॉल्यूम हे एका संचाचे (एक माप) जोडणारे कार्य आहे जे ते व्यापलेल्या जागेच्या क्षेत्राची क्षमता दर्शवते. सुरुवातीला ते उद्भवले आणि त्रिमितीय युक्लिडियन स्पेसच्या त्रिमितीय शरीराच्या संबंधात कठोर व्याख्या न करता लागू केले गेले.... ... विकिपीडिया

मर्यादित संख्येच्या प्लॅनर पॉलीगॉन्सच्या संग्रहाने बांधलेला अवकाशाचा एक भाग (भूमिती पहा) अशा प्रकारे जोडलेला आहे की कोणत्याही बहुभुजाची प्रत्येक बाजू अगदी एका अन्य बहुभुजाची बाजू आहे (... म्हणतात. कॉलियर्स एनसायक्लोपीडिया

पुस्तके

• टेबलांचा संच. भूमिती. ग्रेड 10. 14 टेबल + कार्यपद्धती, . टेबल्स 680 x 980 मिमीच्या जाड मुद्रित पुठ्ठ्यावर छापल्या जातात. किटमध्ये शिक्षकांसाठी अध्यापन मार्गदर्शक तत्त्वे असलेले माहितीपत्रक समाविष्ट आहे. 14 पत्रकांचा शैक्षणिक अल्बम.…

स्टिरिओमेट्री अभ्यासक्रमासाठी शालेय अभ्यासक्रमात, त्रिमितीय आकृत्यांचा अभ्यास सामान्यत: एका साध्या भौमितीय शरीरासह सुरू होतो - प्रिझमचा पॉलिहेड्रॉन. त्याच्या तळांची भूमिका समांतर समतलांमध्ये पडलेल्या 2 समान बहुभुजांद्वारे केली जाते. एक विशेष केस म्हणजे नियमित चतुर्भुज प्रिझम. त्याचे तळ 2 समान नियमित चतुर्भुज आहेत, ज्याच्या बाजू लंब आहेत, समांतरभुज चौकोनांचा आकार आहे (किंवा आयताकृती, जर प्रिझम कललेला नसेल तर).

प्रिझम कसा दिसतो?

एक नियमित चतुर्भुज प्रिझम एक षटकोनी आहे, ज्याचे पायथ्या 2 चौरस आहेत आणि बाजूचे चेहरे आयतांद्वारे दर्शविले जातात. या भौमितिक आकृतीचे दुसरे नाव सरळ समांतर पाईप आहे.

चतुर्भुज प्रिझम दर्शविणारे रेखाचित्र खाली दर्शविले आहे.

आपण चित्रात देखील पाहू शकता सर्वात महत्वाचे घटक जे भौमितिक शरीर बनवतात. यात समाविष्ट:

कधीकधी भूमितीच्या समस्यांमध्ये तुम्हाला विभागाची संकल्पना येऊ शकते. व्याख्या अशी वाटेल: विभाग म्हणजे कटिंग प्लेनशी संबंधित व्हॉल्यूमेट्रिक बॉडीचे सर्व बिंदू. विभाग लंब असू शकतो (आकृतीच्या कडांना 90 अंशांच्या कोनात छेदतो). आयताकृती प्रिझमसाठी, एक कर्ण विभाग देखील विचारात घेतला जातो (बनवता येऊ शकणार्‍या विभागांची कमाल संख्या 2 आहे), 2 कडा आणि पायाच्या कर्णांमधून जाणे.

जर विभाग अशा प्रकारे काढला असेल की कटिंग प्लेन एकतर पायथ्याशी किंवा बाजूच्या चेहऱ्यांशी समांतर नसेल, तर त्याचा परिणाम कापलेला प्रिझम आहे.

कमी झालेले प्रिझमॅटिक घटक शोधण्यासाठी, विविध संबंध आणि सूत्रे वापरली जातात. त्यापैकी काही प्लॅनिमेट्री कोर्समधून ओळखले जातात (उदाहरणार्थ, प्रिझमच्या पायाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, चौरसाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे).

पृष्ठभाग क्षेत्र आणि खंड

सूत्र वापरून प्रिझमची मात्रा निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला त्याच्या पाया आणि उंचीचे क्षेत्र माहित असणे आवश्यक आहे:

V = Sbas h

नियमित टेट्राहेड्रल प्रिझमचा पाया बाजू असलेला चौरस असल्याने एकतुम्ही सूत्र अधिक तपशीलवार स्वरूपात लिहू शकता:

V = a²·h

जर आपण घन बद्दल बोलत आहोत - समान लांबी, रुंदी आणि उंचीसह एक नियमित प्रिझम, खंड खालीलप्रमाणे मोजला जातो:

प्रिझमचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे हे समजून घेण्यासाठी, आपल्याला त्याच्या विकासाची कल्पना करणे आवश्यक आहे.

रेखांकनावरून असे दिसून येते की बाजूची पृष्ठभाग 4 समान आयतांनी बनलेली आहे. त्याचे क्षेत्रफळ बेसच्या परिमिती आणि आकृतीच्या उंचीचे गुणाकार म्हणून मोजले जाते:

बाजू = Posn h

स्क्वेअरचा परिमिती समान आहे हे लक्षात घेऊन P = 4a,सूत्र फॉर्म घेते:

बाजू = 4a h

घन साठी:

बाजू = 4a²

प्रिझमच्या एकूण पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी, आपल्याला पार्श्व क्षेत्रामध्ये 2 बेस क्षेत्र जोडणे आवश्यक आहे:

Sfull = Sside + 2Smain

चतुर्भुज नियमित प्रिझमच्या संबंधात, सूत्र असे दिसते:

एकूण = 4a h + 2a²

घनाच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळासाठी:

पूर्ण = 6a²

व्हॉल्यूम किंवा पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ जाणून घेऊन, तुम्ही भौमितिक शरीराच्या वैयक्तिक घटकांची गणना करू शकता.

प्रिझम घटक शोधणे

बहुतेकदा अशा समस्या असतात ज्यामध्ये व्हॉल्यूम दिलेला असतो किंवा पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्राचे मूल्य ज्ञात असते, जेथे पायाच्या बाजूची लांबी किंवा उंची निर्धारित करणे आवश्यक असते. अशा परिस्थितीत, सूत्रे प्राप्त केली जाऊ शकतात:

• बेस साइड लांबी: a = Sside / 4h = √(V / h);
• उंची किंवा बाजूला बरगडी लांबी: h = Sside / 4a = V / a²;
• बेस क्षेत्र: Sbas = V / h;
• बाजूचा चेहरा क्षेत्र: बाजू gr = बाजू / 4.

कर्ण विभागाचे क्षेत्रफळ किती आहे हे निर्धारित करण्यासाठी, तुम्हाला कर्णाची लांबी आणि आकृतीची उंची माहित असणे आवश्यक आहे. चौरस साठी d = a√2.म्हणून:

Sdiag = ah√2

प्रिझमच्या कर्णाची गणना करण्यासाठी, सूत्र वापरा:

dprize = √(2a² + h²)

दिलेले संबंध कसे लागू करायचे हे समजून घेण्यासाठी, तुम्ही अनेक सोप्या कार्यांचा सराव आणि निराकरण करू शकता.

उपायांसह समस्यांची उदाहरणे

गणिताच्या राज्य अंतिम परीक्षेत आढळणारी काही कार्ये येथे आहेत.

व्यायाम १.

नियमित चतुर्भुज प्रिझमच्या आकाराच्या बॉक्समध्ये वाळू ओतली जाते. त्याच्या पातळीची उंची 10 सेमी आहे. जर तुम्ही ती समान आकाराच्या कंटेनरमध्ये हलवली तर वाळूची पातळी काय असेल, परंतु पायाच्या दुप्पट लांबीसह?

त्याचे कारण खालीलप्रमाणे असावे. पहिल्या आणि दुस-या कंटेनरमधील वाळूचे प्रमाण बदलले नाही, म्हणजे त्यातील त्याचे प्रमाण समान आहे. तुम्ही बेसची लांबी द्वारे दर्शवू शकता a. या प्रकरणात, पहिल्या बॉक्ससाठी पदार्थाचे प्रमाण असेल:

V₁ = ha² = 10a²

दुसऱ्या बॉक्ससाठी, बेसची लांबी आहे 2अ, परंतु वाळू पातळीची उंची अज्ञात आहे:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

कारण द V₁ = V₂, आम्ही अभिव्यक्ती समान करू शकतो:

10a² = 4ha²

समीकरणाच्या दोन्ही बाजू a² ने कमी केल्यावर, आम्हाला मिळते:

परिणामी, नवीन वाळू पातळी असेल h = 10 / 4 = 2.5सेमी.

कार्य २.

ABCDA₁B₁C₁D₁ एक योग्य प्रिझम आहे. हे ज्ञात आहे की BD = AB₁ = 6√2. शरीराच्या एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

कोणते घटक ज्ञात आहेत हे समजून घेणे सोपे करण्यासाठी, आपण एक आकृती काढू शकता.

आपण नियमित प्रिझमबद्दल बोलत असल्याने, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की पायावर 6√2 कर्ण असलेला एक चौरस आहे. बाजूच्या चेहऱ्याच्या कर्णाचा आकार समान असतो, म्हणून, बाजूच्या चेहऱ्याचा आकार देखील पायाच्या समान चौरस असतो. असे दिसून आले की सर्व तीन परिमाणे - लांबी, रुंदी आणि उंची - समान आहेत. आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की ABCDA₁B₁C₁D₁ एक घन आहे.

कोणत्याही काठाची लांबी ज्ञात कर्णरेषेद्वारे निर्धारित केली जाते:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

घनासाठी सूत्र वापरून एकूण पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आढळते:

पूर्ण = 6a² = 6 6² = 216

कार्य 3.

खोलीचे नूतनीकरण केले जात आहे. हे ज्ञात आहे की त्याच्या मजल्याचा आकार चौरस आहे ज्याचे क्षेत्रफळ 9 m² आहे. खोलीची उंची 2.5 मीटर आहे. जर 1 m² ची किंमत 50 रूबल असेल तर खोलीचे वॉलपेपर करण्यासाठी सर्वात कमी किंमत किती आहे?

मजला आणि छत हे चौरस असल्याने, म्हणजे नियमित चतुर्भुज, आणि त्याच्या भिंती आडव्या पृष्ठभागांना लंब असतात, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की ते एक नियमित प्रिझम आहे. त्याच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ निश्चित करणे आवश्यक आहे.

खोलीची लांबी आहे a = √9 = 3मी

क्षेत्र वॉलपेपरसह संरक्षित केले जाईल बाजू = 4 3 2.5 = 30 m².

या खोलीसाठी वॉलपेपरची सर्वात कमी किंमत असेल ५०·३० = १५००रुबल

अशा प्रकारे, आयताकृती प्रिझमचा समावेश असलेल्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, चौरस आणि आयताचे क्षेत्रफळ आणि परिमिती मोजण्यात सक्षम असणे तसेच खंड आणि पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्रे जाणून घेणे पुरेसे आहे.

घनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे

पॉलीहेड्रा

स्टिरिओमेट्रीच्या अभ्यासाचा मुख्य उद्देश अवकाशीय संस्था आहे. शरीरविशिष्ट पृष्ठभागाद्वारे मर्यादित जागेचा एक भाग दर्शवते.

पॉलीहेड्रॉनएक शरीर आहे ज्याच्या पृष्ठभागावर मर्यादित संख्येने सपाट बहुभुज असतात. पॉलिहेड्रॉन त्याच्या पृष्ठभागावरील प्रत्येक समतल बहुभुजाच्या एका बाजूला स्थित असल्यास त्याला बहिर्वक्र म्हणतात. अशा विमानाचा सामान्य भाग आणि पॉलिहेड्रॉनच्या पृष्ठभागास म्हणतात धार. बहिर्वक्र पॉलीहेड्रॉनचे चेहरे सपाट उत्तल बहुभुज असतात. चेहऱ्याच्या बाजूंना म्हणतात पॉलिहेड्रॉनच्या कडा, आणि शिरोबिंदू आहेत पॉलीहेड्रॉनचे शिरोबिंदू.

उदाहरणार्थ, घनामध्ये सहा चौरस असतात, जे त्याचे चेहरे आहेत. यात 12 कडा (चौरसांच्या बाजू) आणि 8 शिरोबिंदू (चौकोनी शीर्ष) आहेत.

सर्वात सोपा पॉलिहेड्रा म्हणजे प्रिझम आणि पिरॅमिड्स, ज्याचा आपण पुढे अभ्यास करू.

प्रिझम

प्रिझमची व्याख्या आणि गुणधर्म

प्रिझमएक पॉलिहेड्रॉन आहे ज्यामध्ये समांतर भाषांतराद्वारे एकत्रित समांतर समतलांमध्ये पडलेले दोन सपाट बहुभुज आहेत आणि या बहुभुजांच्या संबंधित बिंदूंना जोडणारे सर्व विभाग आहेत. बहुभुज म्हणतात प्रिझम बेस, आणि बहुभुजांच्या संबंधित शिरोबिंदूंना जोडणारे विभाग आहेत प्रिझमच्या बाजूकडील कडा.

प्रिझमची उंचीत्याच्या तळांच्या विमानांमधील अंतर म्हणतात (). प्रिझमच्या दोन शिरोबिंदूंना जोडणारा खंड जो एकाच मुखाशी संबंधित नाही त्याला म्हणतात प्रिझम कर्ण(). प्रिझम म्हणतात n-कार्बन, जर त्याच्या बेसमध्ये n-gon असेल.

कोणत्याही प्रिझममध्ये खालील गुणधर्म असतात, परिणामी प्रिझमचे तळ समांतर भाषांतराद्वारे एकत्र केले जातात:

1. प्रिझमचे तळ समान आहेत.

2. प्रिझमच्या बाजूकडील कडा समांतर आणि समान आहेत.

प्रिझमच्या पृष्ठभागावर बेस आणि असतात बाजूकडील पृष्ठभाग. प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागामध्ये समांतरभुज चौकोन असतात (हे प्रिझमच्या गुणधर्मावरून पुढे येते). प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ म्हणजे बाजूकडील चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज.

सरळ प्रिझम

प्रिझम म्हणतात सरळ, जर त्याच्या बाजूकडील कडा पायथ्याशी लंब असतील. अन्यथा प्रिझम म्हणतात कललेला.

उजव्या प्रिझमचे चेहरे आयताकृती असतात. सरळ प्रिझमची उंची त्याच्या बाजूच्या चेहऱ्यांइतकी असते.

पूर्ण प्रिझम पृष्ठभागपार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची आणि पायाच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणतात.

योग्य प्रिझम सहत्याच्या पायथ्याशी नियमित बहुभुज असलेला उजवा प्रिझम म्हणतात.

प्रमेय 13.1. सरळ प्रिझमच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ परिमितीच्या गुणाकार आणि प्रिझमच्या उंचीइतके असते (किंवा, बाजूकडील काठाने समान असते).

पुरावा. उजव्या प्रिझमचे पार्श्व चेहरे आयताकृती असतात, ज्याचे तळ प्रिझमच्या पायथ्याशी असलेल्या बहुभुजांच्या बाजू असतात आणि उंची प्रिझमच्या बाजूकडील कडा असतात. नंतर, व्याख्येनुसार, पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे:

,

सरळ प्रिझमच्या पायाची परिमिती कुठे आहे.

समांतर

जर समांतरभुज चौकोन प्रिझमच्या पायथ्याशी असतील तर त्याला म्हणतात समांतर पाईप केलेले. समांतर पाईपचे सर्व चेहरे समांतरभुज चौकोन असतात. या प्रकरणात, समांतर पाईपचे विरुद्ध चेहरे समांतर आणि समान आहेत.

प्रमेय 13.2. समांतर पाईपचे कर्ण एका बिंदूवर छेदतात आणि छेदनबिंदूने अर्ध्या भागात विभागले जातात.

पुरावा. दोन अनियंत्रित कर्णांचा विचार करा, उदाहरणार्थ, आणि . कारण समांतर नलिका असलेले चेहरे समांतरभुज चौकोन असतात, नंतर आणि , म्हणजे To नुसार तिसऱ्याला समांतर दोन सरळ रेषा असतात. याव्यतिरिक्त, याचा अर्थ असा की सरळ रेषा आणि त्याच विमानात (विमान) खोटे बोलणे. हे विमान समांतर समतलांना आणि समांतर रेषांसह छेदते आणि . अशा प्रकारे, चतुर्भुज हा समांतरभुज चौकोन आहे आणि समांतरभुज चौकोनाच्या गुणधर्मानुसार, त्याचे कर्ण छेदतात आणि छेदनबिंदूने अर्ध्या भागात विभागले जातात, जे सिद्ध करणे आवश्यक होते.

उजव्या समांतर नलिका ज्याचा पाया आयत आहे त्याला म्हणतात आयताकृती समांतर पाईप केलेले. आयताकृती समांतर पाईपचे सर्व चेहरे आयताकृती असतात. आयताकृती समांतर धारांच्या नॉन-समांतर किनारांच्या लांबीला त्याचे रेषीय परिमाण (परिमाण) म्हणतात. असे तीन आकार आहेत (रुंदी, उंची, लांबी).

प्रमेय 13.3. आयताकृती समांतर पाईपमध्ये, कोणत्याही कर्णाचा वर्ग त्याच्या तीन मितींच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो (दोनदा पायथागोरियन टी लागू करून सिद्ध).

सर्व कडा समान असलेल्या आयताकृती समांतर पाईप म्हणतात घन.

कार्ये

13.1 यात किती कर्ण आहेत? n- कार्बन प्रिझम

13.2 झुकलेल्या त्रिकोणी प्रिझममध्ये, बाजूच्या कडांमधील अंतर 37, 13 आणि 40 आहे. मोठ्या बाजूच्या कडा आणि विरुद्ध बाजूच्या कडामधील अंतर शोधा.

13.3 नियमित त्रिकोणी प्रिझमच्या खालच्या पायाच्या बाजूने एक विमान काढले जाते, बाजूच्या चेहऱ्यांना त्यांच्या दरम्यानच्या कोनासह खंडांसह छेदते. प्रिझमच्या पायथ्याशी या विमानाचा कलतेचा कोन शोधा.