Bagaimana untuk mencari pembahagi janjang geometri. Janjang geometri

Janjang geometri tidak kurang pentingnya dalam matematik berbanding dalam aritmetik. Janjang geometri ialah urutan nombor b1, b2,..., b[n] setiap ahli seterusnya yang diperoleh dengan mendarab yang sebelumnya dengan nombor tetap. Nombor ini, yang juga mencirikan kadar pertumbuhan atau penurunan perkembangan, dipanggil penyebut janjang geometri dan menandakan

Untuk tugasan lengkap janjang geometri, sebagai tambahan kepada penyebut, adalah perlu untuk mengetahui atau menentukan sebutan pertamanya. Untuk nilai positif penyebut, janjang ialah jujukan monoton, dan jika jujukan nombor ini menurun secara monoton dan meningkat secara monoton apabila. Kes apabila penyebutnya sama dengan satu tidak dipertimbangkan dalam amalan, kerana kita mempunyai urutan nombor yang sama, dan penjumlahan mereka tidak menarik minat praktikal.

Istilah umum janjang geometri dikira mengikut formula

Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri ditentukan oleh formula

Mari kita pertimbangkan penyelesaian masalah janjang geometri klasik. Mari kita mulakan dengan yang paling mudah untuk difahami.

Contoh 1. Sebutan pertama janjang geometri ialah 27, dan penyebutnya ialah 1/3. Cari enam sebutan pertama suatu janjang geometri.

Penyelesaian: Kami menulis keadaan masalah dalam borang

Untuk pengiraan, kami menggunakan formula untuk ahli ke-n suatu janjang geometri

Berdasarkan itu, kami dapati ahli perkembangan yang tidak diketahui

Seperti yang anda lihat, mengira istilah janjang geometri tidak sukar. Perkembangan itu sendiri akan kelihatan seperti ini

Contoh 2. Tiga ahli pertama janjang geometri diberikan: 6; -12; 24. Cari penyebut dan sebutan ketujuh.

Penyelesaian: Kami mengira penyebut janjang geometri berdasarkan takrifannya

Kami mendapat janjang geometri berselang-seli yang penyebutnya ialah -2. Sebutan ketujuh dikira dengan formula

Pada tugas ini diselesaikan.

Contoh 3. Janjang geometri diberikan oleh dua ahlinya . Cari sebutan kesepuluh bagi janjang itu.

Penyelesaian:

Mari tulis nilai yang diberikan melalui formula

Menurut peraturan, adalah perlu untuk mencari penyebut, dan kemudian mencari nilai yang dikehendaki, tetapi untuk sebutan kesepuluh kita ada

Formula yang sama boleh diperolehi berdasarkan manipulasi mudah dengan data input. Kami membahagikan penggal keenam siri dengan yang lain, hasilnya kami dapat

Jika nilai yang terhasil didarab dengan sebutan keenam, kita mendapat yang kesepuluh

Oleh itu, untuk masalah sedemikian, dengan bantuan transformasi mudah dengan cara yang cepat, anda boleh mencari penyelesaian yang betul.

Contoh 4. Janjang geometri diberikan oleh formula berulang

Cari penyebut janjang geometri dan hasil tambah enam sebutan pertama.

Penyelesaian:

Kami menulis data yang diberikan dalam bentuk sistem persamaan

Ungkapkan penyebutnya dengan membahagikan persamaan kedua dengan yang pertama

Cari sebutan pertama janjang daripada persamaan pertama

Hitung lima sebutan berikut untuk mencari hasil tambah janjang geometri itu

Mari kita pertimbangkan satu siri.

7 28 112 448 1792...

Jelas sekali bahawa nilai mana-mana unsurnya betul-betul empat kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Jadi siri ini adalah satu perkembangan.

Janjang geometri ialah urutan nombor yang tidak terhingga, ciri utamanya ialah nombor seterusnya diperoleh daripada yang sebelumnya dengan mendarab dengan beberapa nombor tertentu. Ini dinyatakan oleh formula berikut.

a z +1 =a z q, dengan z ialah nombor bagi elemen yang dipilih.

Sehubungan itu, z ∈ N.

Tempoh apabila janjang geometri dipelajari di sekolah ialah darjah 9. Contoh akan membantu anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan formula ini, penyebut janjang boleh didapati seperti berikut:

Baik q mahupun b z boleh menjadi sifar. Selain itu, setiap elemen janjang tidak boleh sama dengan sifar.

Sehubungan itu, untuk mengetahui nombor seterusnya dalam siri itu, anda perlu mendarab yang terakhir dengan q.

Untuk menentukan janjang ini, anda mesti menentukan elemen dan penyebutnya yang pertama. Selepas itu, adalah mungkin untuk mencari mana-mana istilah berikutnya dan jumlahnya.

Varieti

Bergantung kepada q dan a 1, janjang ini dibahagikan kepada beberapa jenis:

• Jika kedua-dua a 1 dan q lebih besar daripada satu, maka jujukan sedemikian ialah janjang geometri yang meningkat dengan setiap elemen seterusnya. Contoh sedemikian dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua-dua parameter lebih besar daripada satu.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

• Jika |q| kurang daripada satu, iaitu, pendaraban dengannya bersamaan dengan pembahagian, maka janjang dengan keadaan yang serupa ialah janjang geometri menurun. Contoh sedemikian dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar daripada satu, q kurang.

Kemudian urutan berangka boleh ditulis seperti berikut:

6 2 2/3 ... - mana-mana unsur adalah 3 kali lebih besar daripada unsur yang mengikutinya.

• Pembolehubah tanda. Jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3 , q = -2 - kedua-dua parameter adalah kurang daripada sifar.

Kemudian urutannya boleh ditulis seperti ini:

3, 6, -12, 24,...

Formula

Untuk memudahkan penggunaan janjang geometri, terdapat banyak formula:

• Formula ahli ke-z. Membolehkan anda mengira elemen di bawah nombor tertentu tanpa mengira nombor sebelumnya.

Contoh:q = 3, a 1 = 4. Ia diperlukan untuk mengira unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah unsur pertama yang nombornya ialah z. Membolehkan anda mengira jumlah semua elemen urutan sehinggaa zinklusif.

Sejak (1-q) berada dalam penyebut, maka (1 - q)≠ 0, maka q tidak sama dengan 1.

Nota: jika q=1, maka janjang itu akan menjadi satu siri nombor berulang tak terhingga.

Jumlah janjang geometri, contoh:a 1 = 2, q= -2. Kira S 5 .

Penyelesaian:S 5 = 22 - pengiraan dengan formula.

• Jumlah jika |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:a 1 = 2 , q= 0.5. Cari jumlahnya.

Penyelesaian:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa sifat:

• sifat ciri. Jika syarat berikut dilakukan untuk mana-manaz, maka siri nombor yang diberikan ialah janjang geometri:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Juga, kuasa dua bagi sebarang nombor janjang geometri ditemui dengan menambah kuasa dua mana-mana dua nombor lain dalam siri tertentu, jika jaraknya sama dari unsur ini.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , di manatialah jarak antara nombor-nombor ini.

• unsurberbeza dalam qsekali.
• Logaritma unsur janjang juga membentuk janjang, tetapi sudah menjadi aritmetik, iaitu, setiap satu daripadanya lebih besar daripada yang sebelumnya dengan nombor tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa itu janjang geometri, contoh dengan penyelesaian untuk gred 9 boleh membantu.

• syarat:a 1 = 3, a 3 = 48. Cariq.

Penyelesaian: setiap elemen berikutnya adalah lebih besar daripada elemen sebelumnya dalamq sekali.Ia adalah perlu untuk menyatakan beberapa unsur melalui yang lain menggunakan penyebut.

Oleh itu,a 3 = q 2 · a 1

Apabila menggantikanq= 4

• syarat:a 2 = 6, a 3 = 12. Kira S 6 .

Penyelesaian:Untuk melakukan ini, cukup untuk mencari q, elemen pertama dan menggantikannya ke dalam formula.

a 3 = q· a 2 , oleh itu,q= 2

a 2 = q a 1,sebab tu a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Cari unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian: untuk melakukan ini, cukup untuk menyatakan elemen keempat melalui penyebut pertama dan melalui penyebut.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Contoh permohonan:

• Pelanggan bank membuat deposit dalam jumlah 10,000 rubel, di bawah terma yang setiap tahun pelanggan akan menambah 6% daripadanya kepada jumlah prinsipal. Berapakah jumlah wang yang akan berada dalam akaun selepas 4 tahun?

Penyelesaian: Jumlah awal ialah 10 ribu rubel. Jadi, setahun selepas pelaburan, akaun akan mempunyai jumlah yang sama dengan 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Sehubungan itu, jumlah dalam akaun selepas setahun lagi akan dinyatakan seperti berikut:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

Iaitu, setiap tahun jumlahnya meningkat sebanyak 1.06 kali ganda. Ini bermakna bahawa untuk mencari jumlah dana dalam akaun selepas 4 tahun, cukup untuk mencari elemen keempat perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama bersamaan dengan 10 ribu, dan penyebutnya sama dengan 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Contoh tugas untuk mengira jumlah:

Dalam pelbagai masalah, janjang geometri digunakan. Contoh untuk mencari jumlah boleh diberikan seperti berikut:

a 1 = 4, q= 2, hitungS5.

Penyelesaian: semua data yang diperlukan untuk pengiraan diketahui, anda hanya perlu menggantikannya ke dalam formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Hitung hasil tambah enam unsur pertama.

Penyelesaian:

Geom. kemajuan, setiap elemen seterusnya adalah q kali lebih besar daripada yang sebelumnya, iaitu, untuk mengira jumlah, anda perlu mengetahui elemena 1 dan penyebutq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Begitu juga, kita perlu mencaria 1 , mengetahuia 2 danq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Jika setiap nombor asli n sepadan dengan nombor nyata a n , kemudian mereka mengatakan bahawa diberikan urutan nombor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Jadi, urutan berangka ialah fungsi hujah semula jadi.

Nombor a 1 dipanggil ahli pertama urutan , nombor a 2 — ahli kedua bagi urutan itu , nombor a 3 — ketiga dan lain-lain. Nombor a n dipanggil ahli ke-1 urutan , dan nombor asli n — nombor dia .

Daripada dua ahli jiran a n dan a n +1 urutan ahli a n +1 dipanggil seterusnya (ke arah a n ), a a n — sebelumnya (ke arah a n +1 ).

Untuk menentukan jujukan, anda mesti menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan sebarang nombor.

Selalunya urutan diberikan dengan formula penggal ke-n , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan dengan nombornya.

Sebagai contoh,

urutan nombor ganjil positif boleh diberikan oleh formula

a n= 2n- 1,

dan urutan berselang-seli 1 dan -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula berulang, iaitu formula yang menyatakan mana-mana ahli urutan, bermula dengan beberapa, melalui ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

jika a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , maka tujuh ahli pertama urutan berangka ditetapkan seperti berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan boleh muktamad dan tidak berkesudahan .

Urutan itu dipanggil muktamad jika ia mempunyai bilangan ahli yang terhad. Urutan itu dipanggil tidak berkesudahan jika ia mempunyai ahli yang tidak terhingga.

Sebagai contoh,

turutan nombor asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

muktamad.

Urutan nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Urutan itu dipanggil semakin meningkat , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

Urutan itu dipanggil amaran , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ialah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ialah urutan menurun. ◄

Urutan yang unsur-unsurnya tidak berkurangan dengan peningkatan bilangan, atau, sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan yang membosankan .

Jujukan monotonic, khususnya, ialah jujukan meningkat dan jujukan menurun.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ialah janjang aritmetik jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

a n +1 = a n + d,

di mana d - beberapa nombor.

Oleh itu, perbezaan antara ahli seterusnya dan sebelumnya bagi janjang aritmetik yang diberikan sentiasa malar:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Untuk menetapkan janjang aritmetik, cukup untuk menentukan sebutan dan perbezaan pertamanya.

Sebagai contoh,

jika a 1 = 3, d = 4 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama a 1 dan perbezaan d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

cari sebutan ketiga puluh suatu janjang aritmetik

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

kemudian jelas

setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang aritmetik jika dan hanya jika salah satu daripadanya adalah sama dengan min aritmetik dua yang lain.

Sebagai contoh,

a n = 2n- 7 , ialah suatu janjang aritmetik.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Oleh itu,

◄

Perhatikan bahawa n -ahli ke atas sesuatu janjang aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 , tetapi juga mana-mana sebelumnya a k

a n = a k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

untuk a 5 boleh ditulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

kemudian jelas

mana-mana ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh jumlah ahli janjang aritmetik ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang aritmetik, kesamaan adalah benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sebab

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

pertama n ahli janjang aritmetik adalah sama dengan hasil tambah separuh daripada jumlah sebutan ekstrem dengan bilangan sebutan:

Daripada ini, khususnya, ia mengikuti bahawa jika perlu untuk menjumlahkan terma

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika suatu janjang aritmetik diberikan, maka kuantitinya a 1 , a n, d, n danS n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Janjang aritmetik ialah jujukan monotonik. Di mana:

• jika d > 0 , maka ia semakin meningkat;
• jika d < 0 , maka ia semakin berkurangan;
• jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Janjang geometri

janjang geometri urutan dipanggil, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ialah janjang geometri jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - beberapa nombor.

Oleh itu, nisbah bagi sebutan seterusnya janjang geometri ini kepada yang sebelumnya ialah nombor tetap:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk menetapkan janjang geometri, cukup untuk menentukan sebutan dan penyebut pertamanya.

Sebagai contoh,

jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n -istilah ke- boleh didapati dengan formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Sebagai contoh,

cari sebutan ketujuh suatu janjang geometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

kemudian jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli janjang geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min geometri (berkadar) ahli sebelumnya dan seterusnya.

Oleh kerana sebaliknya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua salah satu daripadanya adalah sama dengan hasil darab dua yang lain, iaitu, satu daripada nombor ialah min geometri bagi dua yang lain.

Sebagai contoh,

mari kita buktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n= -3 2 n , ialah janjang geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Oleh itu,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan penegasan yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahawa n sebutan ke bagi janjang geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 , tetapi juga mana-mana istilah sebelumnya b k , yang mana ia sudah memadai untuk menggunakan formula

b n = b k · q n - k.

Sebagai contoh,

untuk b 5 boleh ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

kemudian jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuasa dua mana-mana anggota janjang geometri, bermula dari kedua, adalah sama dengan hasil darab ahli janjang ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang geometri, kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Sebagai contoh,

secara eksponen

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sebab

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n ahli janjang geometri dengan penyebut q ≠ 0 dikira dengan formula:

Dan bila q = 1 - mengikut formula

S n= n.b. 1

Perhatikan bahawa jika kita perlu menjumlahkan terma

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

Sebagai contoh,

secara eksponen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu janjang geometri diberi, maka kuantitinya b 1 , b n, q, n dan S n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan bagi dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk janjang geometri dengan sebutan pertama b 1 dan penyebut q berikut berlaku sifat monotonisitas :

• perkembangan meningkat jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 dan q> 1;

b 1 < 0 dan 0 < q< 1;

• Kemajuan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 dan q> 1.

Jika q< 0 , maka janjang geometri adalah berselang seli: sebutan bernombor ganjilnya mempunyai tanda yang sama dengan sebutan pertamanya, dan sebutan bernombor genap mempunyai tanda bertentangan. Jelaslah bahawa janjang geometri yang berselang-seli tidak monoton.

Produk pertama n sebutan janjang geometri boleh dikira dengan formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dipanggil janjang geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang daripada 1 , itu dia

|q| < 1 .

Ambil perhatian bahawa janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga mungkin bukan jujukan menurun. Ini sesuai dengan kes ini

1 < q< 0 .

Dengan penyebut sedemikian, urutannya adalah berselang-seli. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga namakan nombor yang menjumlahkan yang pertama n syarat perkembangan dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan n . Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara janjang aritmetik dan geometri

Janjang aritmetik dan geometri adalah berkait rapat. Mari kita pertimbangkan hanya dua contoh.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , kemudian

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . — janjang aritmetik dengan beza 2 dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ialah janjang geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ialah janjang geometri dengan penyebut q , kemudian

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — janjang aritmetik dengan beza log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . ialah janjang geometri dengan penyebut 6 dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — janjang aritmetik dengan beza lg 6 . ◄

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Jujukan nombor. Janjang geometri"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, maklum balas, cadangan anda! Semua bahan disemak oleh program antivirus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian "Integral" untuk gred 9
Fungsi dan Graf Kuasa dan Akar

Lelaki, hari ini kita akan berkenalan dengan satu lagi jenis perkembangan.
Topik pelajaran hari ini ialah janjang geometri.

Janjang geometri

Contoh. 1,2,4,8,16… Janjang geometri, di mana ahli pertama bersamaan dengan satu, dan $q=2$.

Contoh. 8,8,8,8… Janjang geometri yang sebutan pertamanya ialah lapan,
dan $q=1$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3... Janjang geometri yang sebutan pertamanya ialah tiga,
dan $q=-1$.

Janjang geometri mempunyai sifat monotoni.
Jika $b_(1)>0$, $q>1$,
maka turutan semakin bertambah.
Jika $b_(1)>0$, $0 Urutan biasanya dilambangkan sebagai: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Sama seperti dalam janjang aritmetik, jika bilangan unsur dalam janjang geometri adalah terhingga, maka janjang itu dipanggil janjang geometri terhingga.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Ambil perhatian bahawa jika jujukan itu ialah janjang geometri, maka jujukan sebutan kuasa dua juga ialah janjang geometri. Urutan kedua mempunyai sebutan pertama $b_(1)^2$ dan penyebut $q^2$.

Formula ahli ke-n suatu janjang geometri

Mari kita kembali kepada contoh kita.

Contoh. 1,2,4,8,16… Janjang geometri yang sebutan pertamanya bersamaan dengan satu,
dan $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Contoh. 16,8,4,2,1,1/2… Janjang geometri yang sebutan pertamanya ialah enam belas dan $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Contoh. 8,8,8,8… Janjang geometri dengan sebutan pertama ialah lapan dan $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3… Janjang geometri yang sebutan pertamanya ialah tiga dan $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Contoh. Diberi janjang geometri $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Diketahui bahawa $b_(1)=6, q=3$. Cari $b_(5)$.
b) Diketahui bahawa $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Cari n.
c) Diketahui bahawa $q=-2, b_(6)=96$. Cari $b_(1)$.
d) Diketahui bahawa $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Cari q.

Penyelesaian.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ sejak $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Contoh. Perbezaan antara ahli ketujuh dan kelima janjang geometri ialah 192, hasil tambah ahli kelima dan keenam janjang itu ialah 192. Cari ahli kesepuluh janjang ini.

Penyelesaian.
Kami tahu bahawa: $b_(7)-b_(5)=192$ dan $b_(5)+b_(6)=192$.
Kami juga tahu: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Kemudian:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kami mendapat sistem persamaan:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Menyamakan, persamaan kita mendapat:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Kami mendapat dua penyelesaian q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Gantikan berturut-turut ke dalam persamaan kedua:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ tiada penyelesaian.
Kami mendapat bahawa: $b_(1)=4, q=2$.
Mari cari sebutan kesepuluh: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Jumlah janjang geometri terhingga

Biarkan janjang geometri terhingga diberikan: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Mari perkenalkan tatatanda untuk jumlah sebutannya: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Dalam kes apabila $q=1$. Semua ahli janjang geometri adalah sama dengan ahli pertama, maka jelaslah bahawa $S_(n)=n*b_(1)$.
Pertimbangkan sekarang kes $q≠1$.
Darabkan jumlah di atas dengan q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Nota:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Kami telah memperoleh formula untuk jumlah janjang geometri terhingga.

Penyelesaian.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Contoh.
Cari ahli kelima janjang geometri, yang diketahui: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Penyelesaian.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Ciri ciri janjang geometri

Jujukan nombor ialah janjang geometri hanya apabila kuasa dua setiap sebutannya adalah sama dengan hasil darab dua sebutan janjang yang berjiran itu. Jangan lupa bahawa untuk perkembangan terhingga syarat ini tidak dipenuhi untuk penggal pertama dan terakhir.

Modulus mana-mana ahli janjang geometri adalah sama dengan min geometri bagi dua anggota yang bersebelahan dengannya.

Penyelesaian.
Mari kita gunakan sifat ciri:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dan $x_(2)=-1$.
Gantikan secara berurutan dalam ungkapan asal, penyelesaian kami:
Dengan $x=2$, kami mendapat jujukan: 4;6;9 ialah janjang geometri dengan $q=1.5$.
Dengan $x=-1$, kami mendapat urutan: 1;0;0.
Jawapan: $x=2.$

Tugas untuk penyelesaian bebas

Janjang geometri, bersama-sama dengan aritmetik, ialah siri nombor penting yang dipelajari dalam kursus algebra sekolah di gred 9. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan penyebut janjang geometri, dan cara nilainya mempengaruhi sifatnya.

Definisi janjang geometri

Sebagai permulaan, kami memberikan definisi siri nombor ini. Janjang geometri ialah satu siri nombor rasional yang dibentuk dengan mendarab unsur pertamanya secara berturut-turut dengan nombor tetap yang dipanggil penyebut.

Sebagai contoh, nombor dalam siri 3, 6, 12, 24, ... adalah janjang geometri, kerana jika kita mendarab 3 (elemen pertama) dengan 2, kita mendapat 6. Jika kita mendarab 6 dengan 2, kita mendapat 12, dan seterusnya.

Ahli-ahli jujukan yang sedang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i ialah integer yang menunjukkan nombor unsur dalam siri itu.

Takrifan janjang di atas boleh ditulis dalam bahasa matematik seperti berikut: an = bn-1 * a1, dengan b ialah penyebutnya. Mudah untuk menyemak formula ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapat a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita sekali lagi sampai kepada takrifan siri nombor yang sedang dipertimbangkan. Penaakulan yang sama boleh diteruskan untuk nilai besar n.

Penyebut bagi janjang geometri

Nombor b sepenuhnya menentukan watak keseluruhan siri nombor itu. Penyebut b boleh menjadi positif, negatif, atau lebih besar daripada atau kurang daripada satu. Semua pilihan di atas membawa kepada urutan yang berbeza:

• b > 1. Terdapat siri nombor rasional yang semakin meningkat. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 adalah negatif, maka keseluruhan jujukan akan meningkat hanya modulo, tetapi menurun dengan mengambil kira tanda nombor.
• b = 1. Selalunya kes sedemikian tidak dipanggil janjang, kerana terdapat siri biasa nombor rasional yang sama. Contohnya, -4, -4, -4.

Formula untuk jumlah

Sebelum meneruskan pertimbangan masalah khusus menggunakan penyebut jenis janjang yang sedang dipertimbangkan, formula penting harus diberikan untuk jumlah n unsur pertamanya. Formulanya ialah: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda boleh mendapatkan ungkapan ini sendiri jika anda mempertimbangkan urutan rekursif ahli janjang. Juga ambil perhatian bahawa dalam formula di atas, adalah cukup untuk mengetahui hanya elemen pertama dan penyebut untuk mencari jumlah bilangan sebutan sewenang-wenangnya.

Urutan menurun tanpa had

Di atas adalah penjelasan tentang apa itu. Sekarang, mengetahui formula untuk Sn, mari kita gunakannya pada siri nombor ini. Oleh kerana sebarang nombor yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung kepada sifar apabila dinaikkan kepada kuasa besar, iaitu, b∞ => 0 jika -1

Oleh kerana perbezaan (1 - b) akan sentiasa positif, tanpa mengira nilai penyebutnya, tanda hasil tambah janjang geometri S∞ secara unik ditentukan oleh tanda unsur pertamanya a1.

Sekarang kita akan mempertimbangkan beberapa masalah, di mana kita akan menunjukkan cara menggunakan pengetahuan yang diperoleh kepada nombor tertentu.

Nombor tugas 1. Pengiraan unsur-unsur yang tidak diketahui janjang dan jumlah

Diberi janjang geometri, penyebut janjang itu ialah 2, dan unsur pertamanya ialah 3. Apakah sebutan ke-7 dan ke-10nya, dan apakah hasil tambah tujuh unsur awalnya?

Keadaan masalahnya agak mudah dan melibatkan penggunaan langsung formula di atas. Jadi, untuk mengira unsur dengan nombor n, kita menggunakan ungkapan an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, menggantikan data yang diketahui, kita dapat: a7 = 26 * 3 = 192. Kami melakukan perkara yang sama untuk ahli ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Kami menggunakan formula yang terkenal untuk jumlah dan menentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama siri. Kami ada: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Nombor tugas 2. Menentukan jumlah unsur arbitrari janjang

Biarkan -2 ialah penyebut bagi janjang eksponen bn-1 * 4, dengan n ialah integer. Ia adalah perlu untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 siri ini, termasuk.

Masalah yang ditimbulkan tidak dapat diselesaikan secara langsung menggunakan formula yang diketahui. Ia boleh diselesaikan dengan 2 cara berbeza. Demi kesempurnaan, kami persembahkan kedua-duanya.

Kaedah 1. Ideanya mudah: anda perlu mengira dua jumlah yang sepadan bagi sebutan pertama, dan kemudian tolak yang lain daripada satu. Kira jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita mengira jumlah besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahawa dalam ungkapan terakhir, hanya 4 istilah telah disimpulkan, kerana yang ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dikira mengikut keadaan masalah. Akhirnya, kita ambil perbezaan: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Kaedah 2. Sebelum menggantikan nombor dan mengira, anda boleh mendapatkan formula untuk hasil tambah antara sebutan m dan n bagi siri berkenaan. Kami bertindak dengan cara yang sama seperti dalam kaedah 1, hanya kami bekerja terlebih dahulu dengan perwakilan simbolik jumlah. Kami mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda boleh menggantikan nombor yang diketahui ke dalam ungkapan yang terhasil dan mengira keputusan akhir: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Nombor tugas 3. Apakah penyebutnya?

Biarkan a1 = 2, cari penyebut janjang geometri, dengan syarat jumlah tak terhingganya ialah 3, dan diketahui bahawa ini adalah siri nombor yang semakin berkurangan.

Mengikut keadaan masalah, tidak sukar untuk meneka formula yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Sudah tentu, untuk jumlah kemajuan yang semakin berkurangan. Kami mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebut: b = 1 - a1 / S∞. Ia kekal untuk menggantikan nilai yang diketahui dan mendapatkan nombor yang diperlukan: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 atau -0.333 (3). Kita boleh menyemak keputusan ini secara kualitatif jika kita ingat bahawa untuk jenis urutan ini, modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang anda lihat, |-1 / 3|

Nombor tugas 4. Memulihkan satu siri nombor

Biarkan 2 elemen siri nombor diberikan, sebagai contoh, ke-5 bersamaan dengan 30 dan ke-10 bersamaan dengan 60. Ia adalah perlu untuk memulihkan keseluruhan siri daripada data ini, mengetahui bahawa ia memenuhi sifat janjang geometri.

Untuk menyelesaikan masalah, anda mesti menulis ungkapan yang sepadan untuk setiap ahli yang diketahui. Kami mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang kita bahagikan ungkapan kedua dengan yang pertama, kita dapat: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebut dengan mengambil punca darjah kelima nisbah ahli yang diketahui daripada keadaan masalah, b = 1.148698. Kami menggantikan nombor yang terhasil ke dalam salah satu ungkapan untuk unsur yang diketahui, kami dapat: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Oleh itu, kita telah menemui apakah penyebut janjang bn, dan janjang geometri bn-1 * 17.2304966 = an, dengan b = 1.148698.

Di manakah janjang geometri digunakan?

Jika tiada aplikasi siri berangka ini dalam amalan, maka kajiannya akan dikurangkan kepada kepentingan teori semata-mata. Tetapi terdapat aplikasi sedemikian.

3 contoh yang paling terkenal disenaraikan di bawah:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang tangkas tidak dapat mengejar kura-kura yang perlahan, diselesaikan menggunakan konsep urutan nombor yang semakin berkurangan.
• Jika bijirin gandum diletakkan pada setiap sel papan catur supaya 1 biji diletakkan pada sel pertama, 2 - pada sel ke-2, 3 - pada ke-3, dan seterusnya, maka 18446744073709551615 bijirin akan diperlukan untuk mengisi semua sel papan!
• Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk menyusun semula cakera dari satu batang ke batang lain, perlu melakukan operasi 2n - 1, iaitu, bilangannya meningkat secara eksponen daripada bilangan cakera n digunakan.