Segmen berangka, selang, separuh selang dan sinar dipanggil selang berangka. Selang berangka Fungsi

B) Garis nombor

Pertimbangkan garis nombor (Gamb. 6):

Pertimbangkan set nombor rasional

Setiap nombor rasional diwakili oleh titik tertentu pada paksi nombor. Jadi, nombor ditandakan dalam rajah.

Mari kita buktikan itu.

Bukti. Biar ada pecahan: . Kami mempunyai hak untuk menganggap pecahan ini tidak boleh dikurangkan. Oleh kerana , maka - nombor adalah genap: - ganjil. Menggantikan ungkapannya, kita dapati: , yang membayangkan itu ialah nombor genap. Kami telah memperoleh percanggahan yang membuktikan kenyataan tersebut.

Jadi, tidak semua titik pada paksi nombor mewakili nombor rasional. Titik yang tidak mewakili nombor rasional mewakili nombor yang dipanggil tidak rasional.

Sebarang nombor dalam bentuk , , adalah sama ada integer atau nombor tidak rasional.

Selang berangka

Segmen berangka, selang, separuh selang dan sinar dipanggil selang berangka.

Mari kita wakili nombor pada garis koordinat a Dan b, serta nombor x antara mereka.

Set semua nombor yang memenuhi syarat a ≤ x ≤ b, dipanggil segmen berangka atau hanya segmen. Ia ditetapkan seperti berikut: [ a; b] - Ia berbunyi seperti ini: segmen dari a hingga b.

Set nombor yang memenuhi syarat a< x < b , dipanggil selang waktu. Ia ditetapkan seperti berikut: ( a; b)

Ia berbunyi seperti ini: selang dari a hingga b.

Set nombor yang memenuhi syarat a ≤ x< b или a<x ≤ b, dipanggil selang separuh. Jawatan:

Tetapkan ≤ x< b обозначается так:[a; b), berbunyi seperti ini: separuh selang dari a sebelum ini b, termasuk a.

Sekumpulan a<x ≤ b ditunjukkan seperti berikut :( a; b], berbunyi seperti ini: selang separuh daripada a sebelum ini b, termasuk b.

Sekarang mari kita bayangkan Ray dengan titik a, di sebelah kanan dan kiri yang terdapat set nombor.

a, memenuhi syarat x ≥ a, dipanggil rasuk berangka.

Ia ditetapkan seperti berikut: [ a; +∞)-Membaca seperti ini: sinar berangka daripada a kepada tambah infiniti.

Set nombor di sebelah kanan titik a, sepadan dengan ketidaksamaan x>a, dipanggil rasuk nombor terbuka.

Ia ditetapkan seperti berikut: ( a; +∞)-Membaca seperti ini: sinar berangka terbuka daripada a kepada tambah infiniti.

a, memenuhi syarat x ≤ a, dipanggil sinar berangka dari tolak infiniti kepadaa .

Ia ditetapkan seperti berikut :( - ∞; a]-Baca seperti ini: sinar berangka dari tolak infiniti hingga a.

Set nombor di sebelah kiri titik a, sepadan dengan ketidaksamaan x< a , dipanggil sinar nombor buka dari tolak infiniti kepadaa .

Ia ditetapkan seperti berikut: ( - ∞; a)-Baca seperti ini: sinar nombor terbuka dari tolak infiniti hingga a.

Set nombor nyata diwakili oleh keseluruhan garis koordinat. Dia dipanggil garisan nombor. Ia ditetapkan seperti berikut: ( - ∞; + ∞ )

3) Persamaan linear dan ketaksamaan dengan satu pembolehubah, penyelesaiannya:

Persamaan yang mengandungi pembolehubah dipanggil persamaan dengan satu pembolehubah, atau persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Sebagai contoh, persamaan dengan satu pembolehubah ialah 3(2x+7)=4x-1.

Punca atau penyelesaian persamaan ialah nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi kesamaan berangka sebenar. Contohnya, nombor 1 ialah penyelesaian kepada persamaan 2x+5=8x-1. Persamaan x2+1=0 tidak mempunyai penyelesaian, kerana sebelah kiri persamaan sentiasa lebih besar daripada sifar. Persamaan (x+3)(x-4) =0 mempunyai dua punca: x1= -3, x2=4.

Menyelesaikan persamaan bermakna mencari semua puncanya atau membuktikan bahawa tiada punca.

Persamaan dipanggil setara jika semua punca persamaan pertama adalah punca persamaan kedua dan sebaliknya, semua punca persamaan kedua adalah punca persamaan pertama atau jika kedua-dua persamaan tidak mempunyai punca. Contohnya, persamaan x-8=2 dan x+10=20 adalah setara, kerana punca bagi persamaan pertama x=10 juga merupakan punca bagi persamaan kedua, dan kedua-dua persamaan mempunyai punca yang sama.

Apabila menyelesaikan persamaan, sifat berikut digunakan:

Jika anda memindahkan istilah dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian yang lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Persamaan ax=b, di mana x ialah pembolehubah dan a dan b ialah beberapa nombor, dipanggil persamaan linear dengan satu pembolehubah.

Jika a¹0, maka persamaan itu mempunyai penyelesaian yang unik.

Jika a=0, b=0, maka sebarang nilai x memenuhi persamaan.

Jika a=0, b¹0, maka persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian, kerana 0x=b tidak dilaksanakan untuk sebarang nilai pembolehubah.
Contoh 1. Selesaikan persamaan: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Mari kita buka kurungan pada kedua-dua belah persamaan, gerakkan semua sebutan dengan x ke sebelah kiri persamaan, dan sebutan yang tidak mengandungi x ke sebelah kanan, kita dapat:

16x-15x=88-40-12

Contoh 2. Selesaikan persamaan:

x3-2x2-98x+18=0;

Persamaan ini bukan linear, tetapi kami akan menunjukkan bagaimana persamaan tersebut boleh diselesaikan.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Hasil darab adalah sama dengan sifar, jika salah satu faktor adalah sama dengan sifar, kita mendapat x1=0; x2= .

Jawapan: 0; .

Faktorkan sisi kiri persamaan:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), i.e. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Ini menunjukkan bahawa penyelesaian kepada persamaan ini ialah nombor x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Bayangkan 7x sebagai 3x+4x, maka kita ada: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, maka x1=-3, x2=-4.

Jawapan: -3; - 4.
Contoh 3. Selesaikan persamaan: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Mari kita ingat takrif modulus nombor:

Contohnya: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

Dalam persamaan ini, di bawah tanda modulus ialah nombor x-1 dan x+1. Jika x kurang daripada –1, maka nombor x+1 adalah negatif, maka ½x+1½=-x-1. Dan jika x>-1, maka ½x+1½=x+1. Pada x=-1 ½x+1½=0.

Oleh itu,

Begitu juga

a) Pertimbangkan persamaan ini½x+1½+½x-1½=3 untuk x £-1, ia bersamaan dengan persamaan -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, nombor ini tergolong dalam set x £-1.

b) Biarkan -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Pertimbangkan kes x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Nombor ini tergolong dalam set x>1.

Jawapan: x1=-1.5; x2=1.5.
Contoh 4. Selesaikan persamaan:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Mari kita tunjukkan rekod ringkas penyelesaian kepada persamaan, mendedahkan tanda modulus "berselang masa".

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Jawapan: [-2; 0]
Contoh 5. Selesaikan persamaan: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), untuk semua nilai parameter a.

Sebenarnya terdapat dua pembolehubah dalam persamaan ini, tetapi anggap x sebagai yang tidak diketahui dan a sebagai parameter. Ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan bagi pembolehubah x bagi sebarang nilai parameter a.

Jika a=1, maka persamaan mempunyai bentuk 0×x=0;

Jika a=-1, maka persamaan itu kelihatan seperti 0×x=-2;

Jika a¹1, a¹-1, maka persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

Jawapan: jika a=1, maka x ialah sebarang nombor;

jika a=-1, maka tiada penyelesaian;

jika a¹±1, maka .

B) Ketaksamaan linear dengan satu pembolehubah.

Jika pembolehubah x diberi sebarang nilai berangka, maka kita mendapat ketaksamaan berangka yang menyatakan sama ada pernyataan benar atau salah. Biarkan, sebagai contoh, ketaksamaan 5x-1>3x+2 diberikan. Untuk x=2 kita dapat 5·2-1>3·2+2 – penyataan benar (penyataan berangka yang benar); untuk x=0 kita dapat 5·0-1>3·0+2 – pernyataan palsu. Sebarang nilai pembolehubah di mana ketaksamaan tertentu dengan pembolehubah bertukar menjadi ketaksamaan berangka sebenar dipanggil penyelesaian kepada ketaksamaan. Menyelesaikan ketaksamaan dengan pembolehubah bermakna mencari set semua penyelesaiannya.

Dua ketaksamaan dengan pembolehubah yang sama x dikatakan setara jika set penyelesaian kepada ketaksamaan ini bertepatan.

Idea utama untuk menyelesaikan ketidaksamaan adalah seperti berikut: kami menggantikan ketidaksamaan yang diberikan dengan yang lain, lebih mudah, tetapi bersamaan dengan yang diberikan; kita sekali lagi menggantikan ketidaksamaan yang terhasil dengan ketidaksamaan yang lebih mudah setara dengannya, dsb.

Penggantian sedemikian dibuat berdasarkan pernyataan berikut.

Teorem 1. Jika sebarang sebutan ketaksamaan dengan satu pembolehubah dipindahkan dari satu bahagian ketaksamaan ke bahagian lain dengan tanda bertentangan, sambil membiarkan tanda ketaksamaan tidak berubah, maka ketaksamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperolehi.

Teorem 2. Jika kedua-dua belah ketaksamaan dengan satu pembolehubah didarab atau dibahagikan dengan nombor positif yang sama, meninggalkan tanda ketaksamaan tidak berubah, maka ketaksamaan yang setara dengan yang diberi akan diperolehi.

Teorem 3. Jika kedua-dua belah ketaksamaan dengan satu pembolehubah didarab atau dibahagikan dengan nombor negatif yang sama, sambil menukar tanda ketaksamaan kepada sebaliknya, maka ketaksamaan yang setara dengan yang diberi akan diperolehi.

Ketaksamaan bentuk ax+b>0 dipanggil linear (masing-masing, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Membuka kurungan, kita mendapat 2x-6+5-5x³6x-15,

“Jadual Algebra Gred 7” - Perbezaan segi empat sama. Ungkapan. Kandungan. Lembaran kerja algebra.

“Fungsi berangka” - Set X dipanggil domain tugasan atau domain takrifan fungsi f dan dilambangkan D (f). Graf fungsi. Walau bagaimanapun, bukan setiap baris ialah graf bagi beberapa fungsi. Contoh 1. Pasukan payung terjun dari helikopter yang berlegar. Hanya satu nombor. Pembahagian fungsi mengikut sekeping. Fenomena alam berkait rapat antara satu sama lain.

"Jujukan nombor" - Persidangan pelajaran. "Jujukan Nombor". Janjang geometri. Kaedah penugasan. Janjang aritmetik. Urutan nombor.

"Had jujukan berangka" - Penyelesaian: Kaedah untuk menentukan jujukan. Urutan nombor terhad. Kuantiti уn dipanggil istilah biasa bagi jujukan. Had urutan nombor. Kesinambungan fungsi pada satu titik. Contoh: 1, 4, 9, 16, ..., n2, ... - terhad dari bawah oleh 1. Dengan menyatakan formula analisis. Sifat had.

"Jujukan nombor" - Urutan nombor (siri nombor): nombor ditulis dalam susunan tertentu. 2. Kaedah untuk menentukan urutan. 1. Definisi. Penamaan urutan. Urutan. 1. Formula untuk ahli ke-n suatu jujukan: - membolehkan anda mencari mana-mana ahli jujukan. 3. Graf jujukan nombor.

"Jadual" - Pengeluaran minyak dan gas. Jadual 2. Jadual 5. Model maklumat jadual. Urutan membina jadual jenis OS. Jadual 4. Anggaran tahunan. Nombor jadual. Jadual jenis "Objek - objek". Murid 10 kelas "B". Struktur jadual. Jadual jenis sifat objek. Sepasang objek diterangkan; Hanya ada satu harta.

Di antara set nombor terdapat set di mana objek adalah selang berangka. Apabila menunjukkan set, lebih mudah untuk ditentukan mengikut selang. Oleh itu, kami menulis set penyelesaian menggunakan selang berangka.

Artikel ini memberikan jawapan kepada soalan tentang selang berangka, nama, tatatanda, imej selang pada garis koordinat dan korespondensi ketaksamaan. Akhir sekali, jadual jurang akan dibincangkan.

Setiap selang berangka dicirikan oleh:

• nama;
• kehadiran ketidaksamaan biasa atau berganda;
• jawatan;
• imej geometri pada koordinat garis lurus.

Selang berangka ditentukan menggunakan mana-mana 3 kaedah daripada senarai di atas. Iaitu, apabila menggunakan ketaksamaan, notasi, imej pada garis koordinat. Kaedah ini adalah yang paling sesuai.

Mari kita terangkan selang berangka dengan sisi yang disebutkan di atas:

Definisi 2

• Pancaran nombor terbuka. Nama itu berasal daripada fakta bahawa ia ditinggalkan, membiarkannya terbuka.

Selang ini mempunyai ketaksamaan yang sepadan x< a или x >a , dengan a ialah beberapa nombor nyata. Iaitu, pada sinar sedemikian terdapat semua nombor nyata yang kurang daripada a - (x< a) или больше a - (x >a) .

Set nombor yang akan memenuhi ketaksamaan bentuk x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a sebagai (a , + ∞) .

Makna geometri sinar terbuka menganggap kehadiran selang berangka. Terdapat korespondensi antara titik garis koordinat dan nombornya, kerana garis itu dipanggil garis koordinat. Jika anda perlu membandingkan nombor, maka pada garis koordinat nombor yang lebih besar adalah di sebelah kanan. Kemudian ketaksamaan dalam bentuk x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a – titik yang berada di sebelah kanan. Nombor itu sendiri tidak sesuai untuk penyelesaian, jadi ia ditunjukkan dalam lukisan dengan titik yang tertusuk. Jurang yang diperlukan diserlahkan menggunakan teduhan. Pertimbangkan rajah di bawah.

Daripada rajah di atas adalah jelas bahawa selang berangka sepadan dengan bahagian garisan, iaitu sinar dengan permulaan pada a. Dengan kata lain, mereka dipanggil sinar tanpa permulaan. Itulah sebabnya ia mendapat nama pancaran nombor terbuka.

Mari lihat beberapa contoh.

Contoh 1

Diberi ketaksamaan ketat x > − 3, satu rasuk terbuka ditentukan. Entri ini boleh diwakili dalam bentuk koordinat (− 3, ∞). Iaitu, ini semua adalah mata yang terletak di sebelah kanan daripada - 3.

Contoh 2

Jika kita mempunyai ketaksamaan dalam bentuk x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Definisi 3

• Rasuk nombor. Maksud geometri ialah permulaan tidak dibuang, dengan kata lain, sinar mengekalkan kegunaannya.

Tugasnya dijalankan menggunakan ketaksamaan tidak ketat dalam bentuk x ≤ a atau x ≥ a. Untuk jenis ini, tatatanda khas bagi bentuk (− ∞, a ] dan [ a , + ∞) diterima, dan kehadiran kurungan segi empat sama bermakna titik itu termasuk dalam penyelesaian atau dalam set. Pertimbangkan rajah di bawah.

Untuk contoh yang jelas, mari kita takrifkan sinar berangka.

Contoh 3

Ketaksamaan bentuk x ≥ 5 sepadan dengan tatatanda [ 5 , + ∞), maka kita memperoleh sinar bentuk berikut:

Definisi 4

• Selang waktu. Pernyataan menggunakan selang ditulis menggunakan ketaksamaan dua kali ganda a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Pertimbangkan rajah di bawah.

Contoh 4

Contoh selang − 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Definisi 5

• Segmen berangka. Selang ini berbeza kerana ia termasuk titik sempadan, maka ia mempunyai bentuk a ≤ x ≤ b. Ketaksamaan yang tidak ketat seperti itu menunjukkan bahawa apabila menulis dalam bentuk segmen berangka, kurungan segi empat sama [a, b] digunakan, yang bermaksud bahawa titik-titik dimasukkan dalam set dan digambarkan sebagai berlorek.

Contoh 5

Setelah meneliti segmen tersebut, kami mendapati bahawa takrifannya mungkin menggunakan ketaksamaan berganda 2 ≤ x ≤ 3, yang kami wakili dalam bentuk 2, 3. Pada garis koordinat, titik yang diberikan akan dimasukkan ke dalam penyelesaian dan berlorek.

Definisi 6 Contoh 6

Jika terdapat separuh selang (1, 3], maka penetapannya boleh dalam bentuk ketaksamaan berganda 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Selang boleh digambarkan sebagai:

• rasuk nombor terbuka;
• rasuk nombor;
• selang waktu;
• garisan nombor;
• separuh selang

Untuk memudahkan proses pengiraan, anda perlu menggunakan jadual khas yang mengandungi sebutan untuk semua jenis selang berangka baris.

Nama	Ketaksamaan	Jawatan	Gambar
Pancaran nombor terbuka	x< a	- ∞ , a
	x>a	a , + ∞
Rasuk nombor	x ≤ a	(- ∞ , a ]
	x ≥ a	[a, + ∞)
Selang waktu	a< x < b	a, b
Segmen berangka	a ≤ x ≤ b	a, b
Selang separuh

Selang berangka termasuk sinar, segmen, selang dan separuh selang.

Jenis selang berangka

Dalam jadual a Dan b adalah titik sempadan, dan x- pembolehubah yang boleh mengambil koordinat mana-mana titik kepunyaan selang berangka.

Titik sempadan- ini ialah titik yang mentakrifkan sempadan selang berangka. Titik sempadan mungkin tergolong dalam selang berangka atau tidak. Dalam lukisan, titik sempadan yang tidak tergolong dalam selang berangka yang sedang dipertimbangkan ditunjukkan oleh bulatan terbuka, dan yang menjadi miliknya ditunjukkan oleh bulatan terisi.

Rasuk terbuka dan tertutup

Rasuk terbuka ialah set titik pada garis yang terletak pada satu sisi titik sempadan yang tidak termasuk dalam set ini. Sinar itu dipanggil terbuka dengan tepat kerana titik sempadan yang bukan miliknya.

Mari kita pertimbangkan set titik pada garis koordinat yang mempunyai koordinat lebih besar daripada 2, dan, oleh itu, terletak di sebelah kanan titik 2:

Set sedemikian boleh ditakrifkan oleh ketaksamaan x> 2. Sinar terbuka dilambangkan menggunakan kurungan - (2; +∞), entri ini berbunyi seperti ini: sinar berangka terbuka daripada dua kepada tambah infiniti.

Set yang sepadan dengan ketaksamaan x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Rasuk tertutup ialah set titik pada garis yang terletak pada satu sisi titik sempadan kepunyaan set tertentu. Dalam lukisan, titik sempadan kepunyaan set yang sedang dipertimbangkan ditunjukkan oleh bulatan yang diisi.

Sinar nombor tertutup ditakrifkan oleh ketaksamaan tidak ketat. Contohnya, ketidaksamaan x 2 dan x 2 boleh digambarkan seperti ini:

Sinar tertutup ini ditetapkan seperti berikut: , ia dibaca seperti ini: sinar berangka dari dua hingga tambah infiniti dan sinar berangka dari tolak infiniti kepada dua. Tanda kurung segi empat sama dalam notasi menunjukkan bahawa titik 2 tergolong dalam selang berangka.

Segmen garisan

Segmen garisan ialah set titik pada garisan yang terletak di antara dua titik sempadan kepunyaan set tertentu. Set sedemikian ditakrifkan oleh ketaksamaan dua kali ganda tidak ketat.

Pertimbangkan segmen garis koordinat dengan hujung pada titik -2 dan 3:

Set mata yang membentuk segmen tertentu boleh ditentukan oleh ketaksamaan berganda -2 x 3 atau tetapkan [-2; 3], rekod sedemikian berbunyi seperti ini: segmen dari tolak dua hingga tiga.

Selang dan separuh selang

Selang waktu- ini ialah set titik pada garisan yang terletak di antara dua titik sempadan yang bukan milik set ini. Set sedemikian ditakrifkan oleh ketaksamaan ketat berganda.

Pertimbangkan segmen garis koordinat dengan hujung pada titik -2 dan 3:

Set titik yang membentuk selang tertentu boleh ditentukan oleh ketaksamaan berganda -2< x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Selang separuh ialah set titik pada garis yang terletak di antara dua titik sempadan, satu daripadanya tergolong dalam set dan satu lagi tidak. Set sedemikian ditakrifkan oleh ketaksamaan berganda:

Selang separuh ini ditetapkan seperti berikut: (-2; 3] dan [-2; 3]. Ia berbunyi seperti ini: selang separuh daripada tolak dua hingga tiga, termasuk 3, dan selang separuh daripada tolak dua hingga tiga, termasuk tolak dua.