Syarahan: Koordinat vektor; hasil darab titik bagi vektor; sudut antara vektor

Koordinat vektor

Jadi, seperti yang dinyatakan sebelum ini, vektor ialah segmen terarah yang mempunyai permulaan dan penghujungnya sendiri. Jika permulaan dan akhir diwakili oleh beberapa titik, maka mereka mempunyai koordinat mereka sendiri pada satah atau di angkasa.

Jika setiap titik mempunyai koordinatnya sendiri, maka kita boleh mendapatkan koordinat bagi keseluruhan vektor.

Katakan kita mempunyai beberapa vektor yang permulaan dan penghujung vektornya mempunyai sebutan dan koordinat berikut: A(A x ; Ay) dan B(B x ; By)

Untuk mendapatkan koordinat vektor ini, adalah perlu untuk menolak koordinat permulaan yang sepadan daripada koordinat penghujung vektor:

Untuk menentukan koordinat vektor dalam ruang, gunakan formula berikut:

Hasil darab titik bagi vektor

Terdapat dua cara untuk mentakrifkan konsep produk titik:

• Cara geometri. Menurutnya, hasil kali skalar adalah sama dengan hasil darab nilai modul ini dan kosinus sudut di antara mereka.

• makna algebra. Dari sudut pandangan algebra, hasil darab skalar dua vektor ialah nilai tertentu yang terhasil daripada hasil tambah hasil darab vektor yang sepadan.

Jika vektor diberikan dalam ruang, maka anda harus menggunakan formula yang sama:

sifat:

• Jika anda mendarab dua vektor yang sama secara skalar, maka hasil skalarnya akan menjadi bukan negatif:

• Jika hasil kali skalar dua vektor yang sama ternyata sama dengan sifar, maka vektor ini dianggap sifar:

• Jika vektor tertentu didarab dengan dirinya sendiri, maka hasil kali skalar akan sama dengan kuasa dua modulusnya:

• Hasil kali skalar mempunyai sifat komunikatif, iaitu, hasil kali skalar tidak akan berubah daripada pilih atur vektor:

• Hasil darab skalar bagi vektor bukan sifar hanya boleh menjadi sifar jika vektor itu berserenjang antara satu sama lain:

• Untuk hasil darab skalar bagi vektor, hukum komutatif adalah sah dalam hal mendarab salah satu vektor dengan nombor:

• Dengan produk skalar, anda juga boleh menggunakan sifat taburan pendaraban:

Sudut antara vektor

Definisi 1

Hasil darab skalar bagi vektor dipanggil nombor yang sama dengan hasil darab dina bagi vektor ini dan kosinus sudut di antaranya.

Notasi untuk hasil darab vektor a → dan b → mempunyai bentuk a → , b → . Mari kita tukar kepada formula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → dan b → menandakan panjang vektor, a → , b → ^ menandakan sudut antara vektor yang diberi. Jika sekurang-kurangnya satu vektor adalah sifar, iaitu, ia mempunyai nilai 0, maka hasilnya akan menjadi sifar, a → , b → = 0

Apabila mendarabkan vektor dengan sendirinya, kita mendapat kuasa dua dynenya:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definisi 2

Pendaraban skalar bagi vektor dengan sendirinya dipanggil kuasa dua skalar.

Dikira mengikut formula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Menulis a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → menunjukkan bahawa npb → a → ialah unjuran berangka a → ke b → , npa → a → - unjuran b → pada a → masing-masing.

Kami merumuskan definisi produk untuk dua vektor:

Hasil darab skalar bagi dua vektor a → dengan b → dipanggil hasil darab panjang vektor a → dengan unjuran b → dengan arah a → atau hasil darab panjang b → dengan unjuran a →, masing-masing.

Hasil titik dalam koordinat

Pengiraan hasil skalar boleh dilakukan melalui koordinat vektor dalam satah tertentu atau dalam ruang.

Hasil darab skalar bagi dua vektor pada satah, dalam ruang tiga dimensi, dipanggil jumlah koordinat bagi vektor yang diberi a → dan b → .

Apabila mengira pada satah hasil skalar bagi vektor yang diberi a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) dalam sistem Cartesan, gunakan:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

untuk ruang tiga dimensi, ungkapan itu boleh digunakan:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

Sebenarnya, ini adalah definisi ketiga produk titik.

Mari kita buktikan.

Bukti 1

Untuk membuktikannya, kami menggunakan a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by untuk vektor a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) pada kartesian sistem.

Vektor harus ditangguhkan

O A → = a → = a x , a y dan O B → = b → = b x , b y .

Kemudian panjang vektor A B → akan sama dengan A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Pertimbangkan segi tiga O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) adalah benar, berdasarkan teorem kosinus.

Mengikut keadaan, boleh dilihat bahawa O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , jadi kita tulis formula untuk mencari sudut antara vektor secara berbeza

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Kemudian ia mengikuti dari definisi pertama bahawa b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , jadi (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Menggunakan formula untuk mengira panjang vektor, kita dapat:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay oleh

Mari kita buktikan persamaan:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– masing-masing untuk vektor ruang tiga dimensi.

Hasil darab skalar bagi vektor dengan koordinat mengatakan bahawa kuasa dua skalar vektor adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua koordinatnya dalam ruang dan pada satah, masing-masing. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) dan (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Produk dot dan sifatnya

Terdapat sifat produk titik yang digunakan untuk a → , b → dan c → :

1. komutatif (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. pengagihan (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. sifat bersekutu (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - sebarang nombor;
4. kuasa dua skalar sentiasa lebih besar daripada sifar (a → , a →) ≥ 0 , di mana (a → , a →) = 0 apabila a → sifar.

Sifat diterangkan melalui takrifan hasil darab titik dalam satah dan oleh sifat penambahan dan pendaraban nombor nyata.

Buktikan sifat komutatif (a → , b →) = (b → , a →) . Daripada takrifan kita mempunyai bahawa (a → , b →) = a y b y + a y b y dan (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Dengan sifat komutatif, kesamaan a x · b x = b x · a x dan a y · b y = b y · a y adalah benar, jadi a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Ia berikutan bahawa (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Pengagihan adalah sah untuk sebarang nombor:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

dan (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)),

oleh itu kita ada

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Produk titik dengan contoh dan penyelesaian

Sebarang masalah pelan sedemikian diselesaikan menggunakan sifat dan formula mengenai hasil skalar:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y atau (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Mari lihat beberapa contoh penyelesaian.

Contoh 2

Panjang a → ialah 3, panjang b → ialah 7. Cari hasil darab titik jika sudut mempunyai 60 darjah.

Penyelesaian

Dengan syarat, kami mempunyai semua data, jadi kami mengira dengan formula:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Jawapan: (a → , b →) = 21 2 .

Contoh 3

Diberi vektor a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Apakah hasil kali skalar.

Penyelesaian

Dalam contoh ini, formula untuk mengira koordinat dipertimbangkan, kerana ia dinyatakan dalam pernyataan masalah:

(a → , b →) = ax bx + ay oleh + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Jawapan: (a → , b →) = - 9

Contoh 4

Cari hasil darab dalam bagi A B → dan A C → . Titik A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) diberi pada satah koordinat.

Penyelesaian

Sebagai permulaan, koordinat vektor dikira, kerana koordinat titik diberikan dengan syarat:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Menggantikan ke dalam formula menggunakan koordinat, kita dapat:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Jawapan: (A B → , A C →) = 28 .

Contoh 5

Diberi vektor a → = 7 m → + 3 n → dan b → = 5 m → + 8 n → , cari hasil darabnya. m → adalah sama dengan 3 dan n → adalah sama dengan 2 unit, ia adalah berserenjang.

Penyelesaian

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Menggunakan sifat pengedaran, kami mendapat:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Kami mengambil pekali di luar tanda produk dan mendapatkan:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Dengan sifat komutatif, kami mengubah:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Hasilnya, kami mendapat:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Sekarang kita menggunakan formula untuk produk skalar dengan sudut yang ditentukan oleh syarat:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Jawapan: (a → , b →) = 411

Sekiranya terdapat unjuran berangka.

Contoh 6

Cari hasil darab dalam bagi a → dan b → . Vektor a → mempunyai koordinat a → = (9 , 3 , - 3) , unjuran b → mempunyai koordinat (- 3 , - 1 , 1) .

Penyelesaian

Mengikut keadaan, vektor a → dan unjuran b → diarahkan secara bertentangan, kerana a → = - 1 3 npa → b → → , jadi unjuran b → sepadan dengan panjang npa → b → → , dan dengan “-” tanda:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Menggantikan ke dalam formula, kita mendapat ungkapan:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Jawapan: (a → , b →) = - 33 .

Masalah dengan produk skalar yang diketahui, di mana perlu mencari panjang vektor atau unjuran berangka.

Contoh 7

Apakah nilai yang perlu diambil oleh λ untuk produk skalar tertentu a → \u003d (1, 0, λ + 1) dan b → \u003d (λ, 1, λ) akan sama dengan -1.

Penyelesaian

Daripada formula itu dapat dilihat bahawa adalah perlu untuk mencari jumlah hasil darab koordinat:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Dalam diberikan kita ada (a → , b →) = - 1 .

Untuk mencari λ, kami mengira persamaan:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , maka λ = - 1 .

Jawapan: λ = - 1 .

Makna fizikal hasil skalar

Mekanik mempertimbangkan aplikasi produk titik.

Apabila bekerja A dengan daya malar F → jasad yang bergerak dari titik M ke N, anda boleh mencari hasil darab panjang vektor F → dan MN → dengan kosinus sudut di antara mereka, yang bermaksud kerja itu sama. kepada hasil darab daya dan vektor sesaran:

A = (F → , M N →) .

Contoh 8

Anjakan titik bahan sebanyak 3 meter di bawah tindakan daya yang sama dengan 5 Nton diarahkan pada sudut 45 darjah berbanding paksi. Mencari .

Penyelesaian

Oleh kerana kerja ialah hasil darab vektor daya dan anjakan, maka, berdasarkan keadaan F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , kita dapat A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Jawapan: A = 15 2 2 .

Contoh 9

Titik bahan, bergerak dari M (2, - 1, - 3) ke N (5, 3 λ - 2, 4) di bawah daya F → = (3, 1, 2), telah berfungsi sama dengan 13 J. Kira panjang pergerakan.

Penyelesaian

Untuk koordinat vektor yang diberikan M N → kita mempunyai M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Dengan formula untuk mencari kerja dengan vektor F → = (3 , 1 , 2) dan MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) kita dapat A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Dengan syarat, diberikan bahawa A \u003d 13 J, yang bermaksud 22 + 3 λ \u003d 13. Ini membayangkan λ = - 3 , maka M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Untuk mencari panjang perjalanan M N → , kami menggunakan formula dan menggantikan nilai:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Jawapan: 158 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Terdapat juga tugas untuk penyelesaian bebas, yang mana anda boleh melihat jawapannya.

Jika dalam masalah kedua-dua panjang vektor dan sudut di antara mereka dibentangkan "di atas pinggan perak", maka keadaan masalah dan penyelesaiannya kelihatan seperti ini:

Contoh 1 Vektor diberikan. Cari hasil darab skalar bagi vektor jika panjangnya dan sudut di antaranya diwakili oleh nilai berikut:

Takrifan lain juga sah, yang setara sepenuhnya dengan Takrif 1.

Definisi 2. Hasil darab skalar bagi vektor ialah nombor (skalar) yang sama dengan hasil darab panjang salah satu vektor ini dan unjuran vektor lain pada paksi yang ditentukan oleh vektor pertama ini. Formula mengikut definisi 2:

Kami akan menyelesaikan masalah menggunakan formula ini selepas titik teori penting seterusnya.

Takrif hasil darab skalar bagi vektor dari segi koordinat

Nombor yang sama boleh diperoleh jika vektor yang didarab diberikan oleh koordinatnya.

Definisi 3. Hasil darab titik bagi vektor ialah nombor yang sama dengan hasil tambah hasil berpasangan bagi koordinat masing-masing.

Di permukaan

Jika dua vektor dan dalam satah ditakrifkan oleh dua vektornya Koordinat Cartesian

maka hasil darab titik bagi vektor-vektor ini adalah sama dengan hasil tambah hasil berpasangan koordinat masing-masing:

.

Contoh 2 Cari nilai berangka unjuran vektor pada paksi yang selari dengan vektor.

Penyelesaian. Kami mencari hasil darab skalar bagi vektor dengan menambahkan hasil darab berpasangan bagi koordinatnya:

Sekarang kita perlu menyamakan produk skalar yang terhasil dengan hasil darab panjang vektor dan unjuran vektor pada paksi yang selari dengan vektor (mengikut formula).

Kami mencari panjang vektor sebagai punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinatnya:

.

Tulis persamaan dan selesaikannya:

Jawab. Nilai berangka yang dikehendaki ialah tolak 8.

Di angkasa lepas

Jika dua vektor dan dalam ruang ditakrifkan oleh tiga koordinat segi empat tepat Cartesan mereka

,

maka hasil darab skalar bagi vektor-vektor ini juga sama dengan jumlah hasil darab berpasangan koordinat masing-masing, cuma sudah ada tiga koordinat:

.

Tugas mencari hasil skalar dengan cara yang dipertimbangkan adalah selepas menganalisis sifat-sifat hasil skalar. Kerana dalam tugas itu adalah perlu untuk menentukan sudut mana bentuk vektor berganda.

Sifat Hasil Darab Titik bagi Vektor

Sifat algebra

1. (harta komutatif: nilai hasil darab skalar mereka tidak berubah daripada menukar tempat vektor berganda).

2. (sifat bersekutu berkenaan dengan faktor berangka: hasil darab skalar bagi vektor yang didarab dengan beberapa faktor dan vektor yang lain adalah sama dengan hasil darab skalar bagi vektor ini didarab dengan faktor yang sama).

3. (harta pengagihan berkenaan dengan jumlah vektor: hasil darab skalar hasil tambah dua vektor oleh vektor ketiga adalah sama dengan hasil tambah skalar vektor pertama dengan vektor ketiga dan vektor kedua oleh vektor ketiga).

4. (kuasa dua skalar bagi vektor yang lebih besar daripada sifar) jika ialah vektor bukan sifar, dan , jika ialah vektor sifar.

Sifat Geometri

Dalam takrifan operasi yang dikaji, kita telah pun menyentuh konsep sudut antara dua vektor. Sudah tiba masanya untuk menjelaskan konsep ini.

Dalam rajah di atas, dua vektor kelihatan, yang dibawa ke permulaan yang sama. Dan perkara pertama yang perlu anda perhatikan: terdapat dua sudut antara vektor ini - φ 1 Dan φ 2 . Antara sudut berikut, yang manakah terdapat dalam takrifan dan sifat hasil darab skalar bagi vektor? Jumlah sudut yang dipertimbangkan ialah 2 π dan oleh itu kosinus bagi sudut ini adalah sama. Takrif hasil darab titik merangkumi hanya kosinus sudut, bukan nilai ungkapannya. Tetapi hanya satu sudut yang dipertimbangkan dalam hartanah. Dan ini adalah salah satu daripada dua sudut yang tidak melebihi π iaitu 180 darjah. Sudut ini ditunjukkan dalam rajah sebagai φ 1 .

1. Dua vektor dipanggil ortogon Dan sudut antara vektor ini ialah siku (90 darjah atau π /2 ) jika hasil darab skalar bagi vektor ini ialah sifar :

.

Keortogonan dalam algebra vektor ialah keserenjangan dua vektor.

2. Dua vektor bukan sifar membentuk sudut tajam (dari 0 hingga 90 darjah, atau, apa yang sama, kurang π produk dot adalah positif .

3. Dua vektor bukan sifar membentuk sudut cakah (dari 90 hingga 180 darjah, atau, apa yang sama - lebih π /2 ) jika dan hanya jika produk titik adalah negatif .

Contoh 3 Vektor diberikan dalam koordinat:

.

Kira hasil darab titik semua pasangan vektor yang diberi. Apakah sudut (akut, kanan, tumpul) yang membentuk pasangan vektor ini?

Penyelesaian. Kami akan mengira dengan menambah produk koordinat yang sepadan.

Kami mendapat nombor negatif, jadi vektor membentuk sudut tumpul.

Kami mendapat nombor positif, jadi vektor membentuk sudut akut.

Kami mendapat sifar, jadi vektor membentuk sudut tepat.

Kami mendapat nombor positif, jadi vektor membentuk sudut akut.

.

Kami mendapat nombor positif, jadi vektor membentuk sudut akut.

Untuk ujian kendiri, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian Darab titik bagi vektor dan kosinus sudut di antaranya .

Contoh 4 Diberi panjang dua vektor dan sudut di antaranya:

.

Tentukan pada berapa nilai nombor vektor dan adalah ortogon (berserenjang).

Penyelesaian. Kami mendarabkan vektor mengikut peraturan pendaraban polinomial:

Sekarang mari kita mengira setiap istilah:

.

Mari kita susun persamaan (kesamaan hasil darab kepada sifar), berikan sebutan seperti dan selesaikan persamaan:

Jawapan: kami mendapat nilai λ = 1.8 , di mana vektor adalah ortogon.

Contoh 5 Buktikan bahawa vektor ortogon (berserenjang) kepada vektor

Penyelesaian. Untuk memeriksa keortogonan, kami mendarabkan vektor dan sebagai polinomial, menggantikan ungkapan yang diberikan dalam keadaan masalah dan bukannya:

.

Untuk melakukan ini, anda perlu mendarab setiap sebutan (istilah) polinomial pertama dengan setiap sebutan kedua dan tambahkan hasil yang terhasil:

.

Akibatnya, pecahan yang perlu dibayar berkurangan. Keputusan berikut diperoleh:

Kesimpulan: sebagai hasil daripada pendaraban, kami mendapat sifar, oleh itu, keortogonan (persenjang) vektor terbukti.

Selesaikan masalah itu sendiri dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 6 Diberi panjang vektor dan , dan sudut antara vektor ini ialah π /4 . Tentukan pada nilai apa μ vektor dan saling berserenjang.

Untuk ujian kendiri, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian Darab titik bagi vektor dan kosinus sudut di antaranya .

Perwakilan matriks hasil skalar vektor dan hasil darab vektor n-dimensi

Kadangkala, untuk kejelasan, adalah berfaedah untuk mewakili dua vektor berganda dalam bentuk matriks. Kemudian vektor pertama diwakili sebagai matriks baris, dan yang kedua - sebagai matriks lajur:

Maka hasil darab skalar bagi vektor ialah hasil darab matriks ini :

Hasilnya adalah sama seperti yang diperolehi dengan kaedah yang telah kita pertimbangkan. Kami mendapat satu nombor tunggal, dan hasil darab baris matriks dengan lajur matriks juga ialah satu nombor tunggal.

Dalam bentuk matriks, adalah mudah untuk mewakili hasil darab vektor abstrak n-dimensi. Oleh itu, hasil darab dua vektor empat dimensi akan menjadi hasil darab matriks baris dengan empat unsur dengan matriks lajur juga dengan empat unsur, hasil darab dua vektor lima dimensi akan menjadi hasil darab matriks baris dengan lima unsur dengan matriks lajur juga dengan lima elemen, dan seterusnya.

Contoh 7 Cari Produk Titik Sepasang Vektor

,

menggunakan perwakilan matriks.

Penyelesaian. Sepasang vektor pertama. Kami mewakili vektor pertama sebagai matriks baris, dan yang kedua sebagai matriks lajur. Kami mendapati hasil darab skalar bagi vektor ini sebagai hasil darab matriks baris dengan matriks lajur:

Begitu juga, kami mewakili pasangan kedua dan mencari:

Seperti yang anda lihat, keputusan adalah sama seperti pasangan yang sama dari contoh 2.

Sudut antara dua vektor

Terbitan formula untuk kosinus sudut antara dua vektor adalah sangat cantik dan ringkas.

Untuk menyatakan hasil darab titik bagi vektor

(1)

dalam bentuk koordinat, kita mula-mula mencari hasil kali skalar bagi ort. Hasil darab skalar bagi vektor dengan dirinya sendiri adalah mengikut takrifan:

Apa yang tertulis dalam formula di atas bermaksud: hasil darab skalar bagi vektor dengan dirinya adalah sama dengan kuasa dua panjangnya. Kosinus sifar adalah sama dengan satu, jadi kuasa dua setiap orth akan sama dengan satu:

Sejak vektor

adalah serenjang berpasangan, maka hasil berpasangan bagi ort akan sama dengan sifar:

Sekarang mari kita lakukan pendaraban polinomial vektor:

Kami menggantikan di sebelah kanan kesamaan nilai-nilai produk skalar yang sepadan bagi ort:

Kami mendapat formula untuk kosinus sudut antara dua vektor:

Contoh 8 Diberi tiga mata A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Cari sudut.

Penyelesaian. Kami mencari koordinat vektor:

,

.

Menggunakan formula untuk kosinus sudut, kita dapat:

Akibatnya, .

Untuk ujian kendiri, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian Darab titik bagi vektor dan kosinus sudut di antaranya .

Contoh 9 Diberi dua vektor

Cari jumlah, beza, panjang, hasil darab titik dan sudut di antaranya.

2. Perbezaan

Produk vektor dan titik memudahkan pengiraan sudut antara vektor. Biarkan dua vektor $\overline(a)$ dan $\overline(b)$ diberikan, sudut berorientasikan di antara mereka adalah sama dengan $\varphi$. Mari kita hitung nilai $x = (\overline(a),\overline(b))$ dan $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Kemudian $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, dengan $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ dan $\varphi$ ialah yang dikehendaki sudut, iaitu titik $(x, y)$ mempunyai sudut kutub sama dengan $\varphi$, dan oleh itu $\varphi$ boleh didapati sebagai atan2(y, x).

Luas segi tiga

Oleh kerana produk vektor mengandungi hasil darab dua panjang vektor dan kosinus sudut di antara keduanya, hasil darab vektor boleh digunakan untuk mengira luas segi tiga ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Titik kepunyaan garisan

Biarkan satu titik $P$ dan garis $AB$ (diberikan oleh dua mata $A$ dan $B$) diberikan. Adalah perlu untuk menyemak sama ada sesuatu titik tergolong dalam garis $AB$.

Satu titik tergolong dalam garis $AB$ jika dan hanya jika vektor $AP$ dan $AB$ adalah kolinear, iaitu jika $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Kepunyaan titik kepada sinar

Biarkan satu titik $P$ dan sinar $AB$ (diberikan oleh dua titik - permulaan sinar $A$ dan satu titik pada sinar $B$) diberikan. Adalah perlu untuk menyemak sama ada titik itu tergolong dalam sinar $AB$.

Syarat tambahan mesti ditambah kepada syarat bahawa titik $P$ tergolong dalam garis $AB$ - vektor $AP$ dan $AB$ adalah kodirectional, iaitu, ia adalah kolinear dan hasil darab skalarnya adalah bukan negatif, iaitu $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Titik kepunyaan segmen

Biarkan satu titik $P$ dan satu segmen $AB$ diberi. Adalah perlu untuk menyemak sama ada titik itu tergolong dalam segmen $AB$.

Dalam kes ini, titik mestilah milik kedua-dua sinar $AB$ dan sinar $BA$, jadi syarat berikut mesti diperiksa:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Jarak dari titik ke garisan

Biarkan satu titik $P$ dan garis $AB$ (diberikan oleh dua mata $A$ dan $B$) diberikan. Ia adalah perlu untuk mencari jarak dari titik garis lurus $AB$.

Pertimbangkan segi tiga ABP. Di satu pihak, kawasannya ialah $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Sebaliknya, luasnya ialah $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, dengan $h$ ialah ketinggian dari $P$, iaitu jarak dari $P$ hingga $ AB $. Dari mana $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Jarak dari titik ke rasuk

Biarkan satu titik $P$ dan sinar $AB$ (diberikan oleh dua titik - permulaan sinar $A$ dan satu titik pada sinar $B$) diberikan. Adalah perlu untuk mencari jarak dari titik ke sinar, iaitu panjang ruas terpendek dari titik $P$ ke mana-mana titik sinar.

Jarak ini sama dengan panjang $AP$ atau jarak dari titik $P$ ke garis $AB$. Mana antara kes yang berlaku boleh ditentukan dengan mudah oleh kedudukan relatif rasuk dan titik. Jika sudut PAB adalah akut, iaitu $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, maka jawapannya ialah jarak dari titik $P$ ke garisan $AB$, jika tidak jawapannya ialah panjang daripada segmen $AB$.

Jarak dari titik ke garisan

Biarkan satu titik $P$ dan satu segmen $AB$ diberi. Ia adalah perlu untuk mencari jarak dari $P$ ke segmen $AB$.

Jika tapak serenjang jatuh dari $P$ ke garisan $AB$ jatuh pada segmen $AB$, yang boleh disemak oleh syarat

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

maka jawapannya ialah jarak dari titik $P$ ke garis $AB$. Jika tidak, jarak akan sama dengan $\min(AP, BP)$.

Hasil darab titik bagi vektor

Kami terus berurusan dengan vektor. Pada pelajaran pertama Vektor untuk boneka kami telah mempertimbangkan konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor dan masalah paling mudah dengan vektor. Jika anda datang ke halaman ini buat kali pertama dari enjin carian, saya sangat mengesyorkan membaca artikel pengenalan di atas, kerana untuk mengasimilasikan bahan, anda perlu dibimbing dalam istilah dan notasi yang saya gunakan, mempunyai pengetahuan asas tentang vektor dan dapat menyelesaikan masalah asas. Pelajaran ini adalah kesinambungan logik topik, dan di dalamnya saya akan menganalisis secara terperinci tugas tipikal yang menggunakan produk skalar vektor. Ini adalah kerja yang SANGAT PENTING.. Cuba untuk tidak melangkau contoh, mereka disertai dengan bonus yang berguna - amalan akan membantu anda untuk menyatukan bahan yang dilindungi dan "mendapatkan tangan anda" untuk menyelesaikan masalah biasa geometri analitik.

Menambah vektor, mendarabkan vektor dengan nombor…. Adalah naif untuk berfikir bahawa ahli matematik tidak menghasilkan sesuatu yang lain. Sebagai tambahan kepada tindakan yang telah dipertimbangkan, terdapat beberapa operasi lain dengan vektor, iaitu: hasil darab titik bagi vektor, hasil silang vektor Dan hasil campuran vektor. Hasil darab skalar bagi vektor sudah biasa kepada kita dari sekolah, dua produk lain secara tradisinya berkaitan dengan kursus matematik yang lebih tinggi. Topiknya mudah, algoritma untuk menyelesaikan banyak masalah adalah stereotaip dan boleh difahami. Satu-satu nya. Terdapat jumlah maklumat yang baik, jadi adalah tidak diingini untuk cuba menguasai dan menyelesaikan SEGALANYA DAN SEKALIGUS. Ini benar terutamanya untuk dummies, percayalah, penulis sama sekali tidak mahu berasa seperti Chikatilo dari matematik. Nah, bukan dari matematik, sudah tentu, sama ada =) Pelajar yang lebih bersedia boleh menggunakan bahan secara selektif, dalam erti kata tertentu, "memperoleh" pengetahuan yang hilang, untuk anda saya akan menjadi Count Dracula yang tidak berbahaya =)

Akhirnya, mari kita buka sedikit pintu dan lihat apa yang berlaku apabila dua vektor bertemu antara satu sama lain….

Takrif hasil darab skalar bagi vektor.
Sifat produk skalar. Tugas biasa

Konsep produk dot

Pertama tentang sudut antara vektor. Saya rasa semua orang secara intuitif memahami sudut antara vektor, tetapi untuk berjaga-jaga, lebih sedikit. Pertimbangkan vektor bukan sifar percuma dan . Jika kita menangguhkan vektor-vektor ini dari titik sewenang-wenangnya, maka kita mendapat gambaran yang telah banyak dibentangkan secara mental:

Saya mengaku, di sini saya menggambarkan situasi itu hanya pada tahap pemahaman. Jika anda memerlukan definisi sudut yang ketat antara vektor, sila rujuk buku teks, tetapi untuk tugas praktikal, kami, pada dasarnya, tidak memerlukannya. Juga DI SINI DAN SELANJUTNYA, saya kadangkala akan mengabaikan vektor sifar kerana kepentingan praktikalnya yang rendah. Saya membuat tempahan khusus untuk pelawat lanjutan ke tapak, yang boleh mencela saya kerana ketidaklengkapan teori beberapa kenyataan berikut.

Dalam kesusasteraan, ikon sudut sering ditinggalkan dan hanya ditulis.

Definisi: Hasil darab skalar bagi dua vektor ialah NOMBOR yang sama dengan hasil darab panjang vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya:

Sekarang itu definisi yang agak ketat.

Kami memberi tumpuan kepada maklumat penting:

Jawatan: hasil kali skalar dilambangkan dengan atau hanya .

Hasil operasi ialah NUMBER: Darabkan vektor dengan vektor untuk mendapatkan nombor. Sesungguhnya, jika panjang vektor ialah nombor, kosinus sudut ialah nombor, maka hasil darabnya juga akan menjadi nombor.

Hanya beberapa contoh pemanasan badan:

Contoh 1

Penyelesaian: Kami menggunakan formula . Dalam kes ini:

Jawapan:

Nilai kosinus boleh didapati dalam jadual trigonometri. Saya mengesyorkan mencetaknya - ia akan diperlukan di hampir semua bahagian menara dan akan diperlukan berkali-kali.

Semata-mata dari sudut pandangan matematik, hasil kali skalar tidak berdimensi, iaitu, hasilnya, dalam kes ini, hanyalah nombor dan itu sahaja. Dari sudut pandangan masalah fizik, hasil skalar sentiasa mempunyai makna fizikal tertentu, iaitu, selepas hasilnya, satu atau satu unit fizikal mesti ditunjukkan. Contoh kanonik mengira kerja daya boleh didapati dalam mana-mana buku teks (rumusnya betul-betul produk titik). Kerja daya diukur dalam Joule, oleh itu, jawapan akan ditulis dengan agak khusus, sebagai contoh,.

Contoh 2

Cari jika , dan sudut antara vektor ialah .

Ini adalah contoh untuk membuat keputusan sendiri, jawapannya ada di akhir pelajaran.

Sudut antara vektor dan nilai produk titik

Dalam Contoh 1, hasil kali skalar ternyata positif, dan dalam Contoh 2, ia ternyata negatif. Mari kita ketahui apakah tanda produk skalar bergantung kepada. Mari lihat formula kami: . Panjang vektor bukan sifar sentiasa positif: , jadi tanda boleh bergantung hanya pada nilai kosinus.

Catatan: Untuk pemahaman yang lebih baik tentang maklumat di bawah, adalah lebih baik untuk mengkaji graf kosinus dalam manual Graf dan sifat fungsi. Lihat bagaimana kosinus berkelakuan pada segmen.

Seperti yang telah dinyatakan, sudut antara vektor boleh berbeza-beza dalam , dan kes berikut adalah mungkin:

1) Jika suntikan antara vektor pedas: (dari 0 hingga 90 darjah), kemudian , Dan produk dot akan menjadi positif diarahkan bersama, maka sudut di antara mereka dianggap sifar, dan hasil skalar juga akan menjadi positif. Oleh kerana , maka formula dipermudahkan: .

2) Jika suntikan antara vektor bodoh: (dari 90 hingga 180 darjah), kemudian , dan selaras dengan itu, produk titik adalah negatif: . Kes khas: jika vektor diarahkan secara bertentangan, maka sudut di antara mereka dianggap dikerahkan: (180 darjah). Hasil kali skalar juga negatif, kerana

Pernyataan sebaliknya juga benar:

1) Jika , maka sudut antara vektor ini adalah akut. Sebagai alternatif, vektor adalah kodirectional.

2) Jika , maka sudut antara vektor ini adalah tumpul. Sebagai alternatif, vektor diarahkan secara bertentangan.

Tetapi kes ketiga sangat menarik:

3) Jika suntikan antara vektor lurus: (90 darjah) kemudian dan hasil darab titik adalah sifar: . Sebaliknya juga benar: jika , maka . Pernyataan padat dirumuskan seperti berikut: Hasil darab skalar bagi dua vektor adalah sifar jika dan hanya jika vektor yang diberi adalah ortogon. Notasi matematik pendek:

! Catatan : ulang asas logik matematik: ikon akibat logik dua sisi biasanya dibaca "jika dan hanya kemudian", "jika dan hanya jika". Seperti yang anda lihat, anak panah diarahkan ke kedua-dua arah - "dari ini mengikuti ini, dan sebaliknya - dari ini mengikuti ini." Sebenarnya, apakah perbezaan daripada ikon ikut sehala ? Tuntutan ikon itu sahaja bahawa "dari ini mengikuti ini", dan bukan fakta bahawa sebaliknya adalah benar. Contohnya: , tetapi bukan setiap haiwan adalah harimau kumbang, jadi ikon tidak boleh digunakan dalam kes ini. Pada masa yang sama, bukannya ikon boleh gunakan ikon sebelah. Sebagai contoh, semasa menyelesaikan masalah, kami mendapati bahawa kami membuat kesimpulan bahawa vektor adalah ortogon: - rekod sedemikian akan betul, dan lebih sesuai daripada .

Kes ketiga mempunyai kepentingan praktikal yang besar., kerana ia membolehkan anda menyemak sama ada vektor adalah ortogon atau tidak. Kami akan menyelesaikan masalah ini dalam bahagian kedua pelajaran.

Sifat produk titik

Mari kita kembali kepada situasi apabila dua vektor diarahkan bersama. Dalam kes ini, sudut di antara mereka ialah sifar, , dan formula produk skalar dalam bentuk: .

Apakah yang berlaku jika vektor didarab dengan sendiri? Adalah jelas bahawa vektor diarahkan bersama dengan dirinya sendiri, jadi kami menggunakan formula yang dipermudahkan di atas:

Nombor dipanggil segi empat sama skalar vektor , dan dilambangkan sebagai .

Dengan cara ini, kuasa dua skalar vektor adalah sama dengan kuasa dua panjang vektor yang diberikan:

Daripada kesamaan ini, anda boleh mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor:

Walaupun ia kelihatan kabur, tetapi tugas-tugas pelajaran akan meletakkan segala-galanya pada tempatnya. Untuk menyelesaikan masalah, kita juga perlu sifat produk titik.

Untuk vektor arbitrari dan sebarang nombor, sifat berikut adalah benar:

1) - boleh sesar atau komutatif undang-undang produk skalar.

2) - pengedaran atau pengedaran undang-undang produk skalar. Ringkasnya, anda boleh membuka kurungan.

3) - gabungan atau berpersatuan undang-undang produk skalar. Pemalar boleh dikeluarkan daripada hasil skalar.

Selalunya, semua jenis harta benda (yang juga perlu dibuktikan!) Ditanggapi oleh pelajar sebagai sampah yang tidak perlu, yang hanya perlu dihafal dan selamat dilupakan sejurus selepas peperiksaan. Nampaknya apa yang penting di sini, semua orang sudah tahu dari gred pertama bahawa produk itu tidak berubah dari pilih atur faktor:. Saya mesti memberi amaran kepada anda, dalam matematik yang lebih tinggi dengan pendekatan sedemikian adalah mudah untuk mengacaukan keadaan. Jadi, sebagai contoh, sifat komutatif tidak sah untuk matriks algebra. Ia tidak benar untuk hasil silang vektor. Oleh itu, sekurang-kurangnya lebih baik untuk menyelidiki mana-mana sifat yang akan anda temui dalam kursus matematik yang lebih tinggi untuk memahami apa yang boleh dan tidak boleh dilakukan.

Contoh 3

.

Penyelesaian: Pertama, mari kita jelaskan keadaan dengan vektor. Apakah semua ini? Jumlah vektor dan ialah vektor yang jelas, yang dilambangkan dengan . Tafsiran geometri tindakan dengan vektor boleh didapati dalam artikel Vektor untuk boneka. Pasli yang sama dengan vektor ialah jumlah vektor dan .

Jadi, mengikut syarat, perlu mencari hasil skalar. Secara teori, anda perlu menggunakan formula kerja , tetapi masalahnya ialah kita tidak tahu panjang vektor dan sudut di antara mereka. Tetapi dalam keadaan itu, parameter serupa diberikan untuk vektor, jadi kita akan pergi ke arah lain:

(1) Kami menggantikan ungkapan vektor .

(2) Kami membuka kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial, pemusing lidah yang kesat boleh didapati dalam artikel Nombor kompleks atau Penyepaduan fungsi pecahan-rasional. Saya tidak akan mengulangi diri saya sendiri =) Dengan cara ini, sifat pengedaran produk skalar membolehkan kita membuka kurungan. Kita ada hak.

(3) Dalam sebutan pertama dan terakhir, kita padat menulis kuasa dua skalar bagi vektor: . Dalam istilah kedua, kami menggunakan kebolehtukaran hasil skalar: .

(4) Berikut adalah istilah yang serupa: .

(5) Dalam istilah pertama, kami menggunakan formula kuasa dua skalar, yang telah disebutkan tidak lama dahulu. Dalam penggal terakhir, masing-masing, perkara yang sama berfungsi: . Istilah kedua dikembangkan mengikut formula standard .

(6) Gantikan syarat ini , dan BERHATI-HATI melaksanakan pengiraan akhir.

Jawapan:

Nilai negatif hasil darab titik menyatakan hakikat bahawa sudut antara vektor adalah tumpul.

Tugasnya adalah tipikal, berikut adalah contoh untuk penyelesaian bebas:

Contoh 4

Cari hasil darab skalar bagi vektor dan , jika diketahui bahawa .

Kini satu lagi tugas biasa, hanya untuk formula panjang vektor baharu. Penamaan di sini akan bertindih sedikit, jadi untuk kejelasan, saya akan menulis semula dengan huruf yang berbeza:

Contoh 5

Cari panjang vektor jika .

Penyelesaian akan menjadi seperti berikut:

(1) Kami membekalkan ungkapan vektor .

(2) Kami menggunakan formula panjang: , manakala kami mempunyai ungkapan integer sebagai vektor "ve".

(3) Kami menggunakan formula sekolah untuk kuasa dua jumlah. Beri perhatian kepada cara ia berfungsi secara ingin tahu di sini: - sebenarnya, ini ialah kuasa dua perbezaan, dan, sebenarnya, ia adalah begitu. Mereka yang ingin boleh menyusun semula vektor di tempat: - ternyata perkara yang sama sehingga penyusunan semula syarat.

(4) Perkara berikut sudah biasa daripada dua masalah sebelumnya.

Jawapan:

Oleh kerana kita bercakap tentang panjang, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - "unit".

Contoh 6

Cari panjang vektor jika .

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Kami terus memerah perkara yang berguna daripada produk skalar. Mari lihat semula formula kami . Dengan peraturan perkadaran, kami menetapkan semula panjang vektor kepada penyebut sebelah kiri:

Mari kita tukar bahagian:

Apakah maksud formula ini? Jika panjang dua vektor dan hasil skalarnya diketahui, maka adalah mungkin untuk mengira kosinus sudut antara vektor ini, dan, akibatnya, sudut itu sendiri.

Adakah hasil kali skalar suatu nombor? Nombor. Adakah nombor panjang vektor? Nombor. Jadi pecahan juga adalah nombor. Dan jika kosinus sudut itu diketahui: , kemudian menggunakan fungsi songsang adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri: .

Contoh 7

Cari sudut antara vektor dan , jika diketahui bahawa .

Penyelesaian: Kami menggunakan formula:

Pada peringkat akhir pengiraan, teknik digunakan - penghapusan ketidakrasionalan dalam penyebut. Untuk menghapuskan ketidakrasionalan, saya mendarabkan pengangka dan penyebut dengan .

Jadi kalau , maka:

Nilai fungsi trigonometri songsang boleh didapati dengan jadual trigonometri. Walaupun ini jarang berlaku. Dalam masalah geometri analitik, beberapa beruang kekok kelihatan lebih kerap, dan nilai sudut perlu dicari lebih kurang menggunakan kalkulator. Malah, kita akan melihat gambar ini lagi dan lagi.

Jawapan:

Sekali lagi, jangan lupa untuk menentukan dimensi - radian dan darjah. Secara peribadi, untuk "mengalih keluar semua soalan" dengan sengaja, saya lebih suka menunjukkan kedua-duanya (melainkan, tentu saja, mengikut syarat, ia dikehendaki membentangkan jawapan hanya dalam radian atau hanya dalam darjah).

Kini anda akan dapat mengatasi tugas yang lebih sukar sendiri:

Contoh 7*

Diberi adalah panjang vektor , dan sudut di antara mereka . Cari sudut antara vektor, .

Tugas itu tidak begitu sukar seperti pelbagai hala.
Mari analisa algoritma penyelesaian:

1) Mengikut syarat, ia diperlukan untuk mencari sudut antara vektor dan , jadi anda perlu menggunakan formula .

2) Kami mencari hasil kali skalar (lihat Contoh No. 3, 4).

3) Cari panjang vektor dan panjang vektor (lihat Contoh No. 5, 6).

4) Pengakhiran penyelesaian bertepatan dengan Contoh No. 7 - kita tahu nombor , yang bermaksud mudah untuk mencari sudut itu sendiri:

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Bahagian kedua pelajaran dikhaskan untuk produk titik yang sama. Koordinat. Ia akan menjadi lebih mudah daripada bahagian pertama.

Hasil darab titik bagi vektor,
diberikan oleh koordinat dalam asas ortonormal

Jawapan:

Tidak perlu dikatakan, berurusan dengan koordinat adalah lebih menyenangkan.

Contoh 14

Cari hasil darab skalar bagi vektor dan jika

Ini adalah contoh buat sendiri. Di sini anda boleh menggunakan persekutuan operasi, iaitu, jangan dikira, tetapi segera keluarkan tiga kali ganda daripada hasil skalar dan darab dengannya yang terakhir. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Pada akhir perenggan, contoh provokatif untuk mengira panjang vektor:

Contoh 15

Cari panjang vektor , jika

Penyelesaian: sekali lagi kaedah bahagian sebelumnya mencadangkan dirinya sendiri: tetapi ada cara lain:

Mari cari vektor:

Dan panjangnya mengikut formula remeh :

Produk skalar tidak relevan di sini sama sekali!

Betapa keluarnya perniagaan apabila mengira panjang vektor:
Berhenti. Mengapa tidak mengambil kesempatan daripada sifat panjang yang jelas bagi sesuatu vektor? Apakah yang boleh dikatakan tentang panjang vektor? Vektor ini adalah 5 kali lebih panjang daripada vektor. Arahnya bertentangan, tetapi tidak mengapa, kerana kita bercakap tentang panjang. Jelas sekali, panjang vektor adalah sama dengan produk modul nombor setiap panjang vektor:
- tanda modul "makan" kemungkinan tolak nombor.

Dengan cara ini:

Jawapan:

Formula untuk kosinus sudut antara vektor yang diberikan oleh koordinat

Sekarang kita mempunyai maklumat lengkap untuk menyatakan formula yang diperoleh sebelumnya untuk kosinus sudut antara vektor dari segi koordinat vektor:

Kosinus sudut antara vektor satah dan , diberikan dalam asas ortonormal , dinyatakan oleh formula:
.

Kosinus sudut antara vektor ruang, diberikan dalam asas ortonormal, dinyatakan oleh formula:

Contoh 16

Tiga bucu segitiga diberikan. Cari (sudut bucu ).

Penyelesaian: Dengan syarat, lukisan tidak diperlukan, tetapi masih:

Sudut yang diperlukan ditandakan dengan arka hijau. Kami segera mengingati penetapan sekolah sudut: - perhatian khusus kepada tengah huruf - ini adalah puncak sudut yang kita perlukan. Untuk ringkasnya, ia juga boleh ditulis secara ringkas.

Daripada lukisan itu agak jelas bahawa sudut segi tiga bertepatan dengan sudut antara vektor dan , dengan kata lain: .

Adalah wajar untuk mempelajari cara melakukan analisis yang dilakukan secara mental.

Mari cari vektor:

Mari kita mengira hasil skalar:

Dan panjang vektor:

Kosinus sudut:

Perintah tugas inilah yang saya cadangkan kepada dummies. Pembaca yang lebih maju boleh menulis pengiraan "dalam satu baris":

Berikut ialah contoh nilai kosinus "buruk". Nilai yang terhasil tidak muktamad, jadi tidak ada gunanya untuk menyingkirkan ketidakrasionalan dalam penyebut.

Mari cari sudut:

Jika anda melihat lukisan itu, hasilnya agak munasabah. Untuk memeriksa sudut juga boleh diukur dengan protraktor. Jangan rosakkan salutan monitor =)

Jawapan:

Dalam jawapannya, jangan lupa itu ditanya tentang sudut segi tiga itu(dan bukan tentang sudut antara vektor), jangan lupa untuk menunjukkan jawapan yang tepat: dan nilai anggaran sudut: ditemui dengan kalkulator.

Mereka yang telah menikmati proses itu boleh mengira sudut, dan memastikan kesamaan kanonik adalah benar

Contoh 17

Segitiga diberi dalam ruang oleh koordinat bucunya. Cari sudut antara sisi dan

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran

Bahagian akhir yang kecil akan ditumpukan kepada unjuran, di mana produk skalar juga "terlibat":

Unjuran vektor pada vektor. Unjuran vektor pada paksi koordinat.
Kosinus arah vektor

Pertimbangkan vektor dan:

Kami menayangkan vektor pada vektor, untuk ini kami tinggalkan dari awal dan akhir vektor serenjang setiap vektor (garis putus-putus hijau). Bayangkan bahawa sinar cahaya jatuh secara berserenjang pada vektor. Kemudian segmen (garis merah) akan menjadi "bayangan" vektor. Dalam kes ini, unjuran vektor pada vektor ialah PANJANG segmen. Iaitu, PROJECTION ADALAH NOMBOR.

NUMBER ini dilambangkan seperti berikut: , "vektor besar" menandakan vektor YANG projek, "vektor subskrip kecil" menandakan vektor PADA yang diunjurkan.

Entri itu sendiri berbunyi seperti ini: "unjuran vektor "a" ke vektor "be"".

Apakah yang berlaku jika vektor "be" adalah "terlalu pendek"? Kami melukis garis lurus yang mengandungi vektor "be". Dan vektor "a" akan diunjurkan sudah ke arah vektor "menjadi", hanya - pada garis lurus yang mengandungi vektor "be". Perkara yang sama akan berlaku jika vektor "a" diketepikan dalam kerajaan ketiga puluh - ia masih akan mudah diunjurkan ke garisan yang mengandungi vektor "be".

Jika sudut antara vektor pedas(seperti dalam gambar), kemudian

Jika vektor ortogon, maka (unjuran ialah titik yang dimensinya diandaikan sifar).

Jika sudut antara vektor bodoh(dalam rajah, susun semula anak panah vektor secara mental), kemudian (panjang yang sama, tetapi diambil dengan tanda tolak).

Ketepikan vektor ini dari satu titik:

Jelas sekali, apabila menggerakkan vektor, unjurannya tidak berubah