Sekolah menengah luar bandar Kopyevskaya

10 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Ketua: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

guru matematik

kampung Kopyevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan Kuadratik di Babylon Purba

1.2 Bagaimana Diophantus Menyusun dan Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

1.3 Persamaan Kuadratik di India

1.4 Persamaan kuadratik daripada al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadratik di Eropah abad XIII - XVII

1.6 Mengenai teorem Vieta

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Kesimpulan

kesusasteraan

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan Kuadratik di Babylon Purba

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua walaupun pada zaman dahulu disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan tanah dan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta dengan perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Mereka dapat menyelesaikan persamaan kuadratik sekitar 2000 SM. NS. orang Babylon.

Menggunakan tatatanda algebra moden, kita boleh mengatakan bahawa dalam teks kuneiform mereka terdapat, sebagai tambahan kepada yang tidak lengkap, seperti, sebagai contoh, persamaan kuadratik lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon mendapat peraturan ini. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang ditetapkan dalam bentuk resipi, tanpa arahan tentang bagaimana ia ditemui.

Walaupun tahap perkembangan algebra yang tinggi di Babylon, teks kuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadratik.

Dalam "Aritmetik" Diophantus tidak ada pembentangan sistematik algebra, tetapi ia mengandungi siri masalah yang sistematik, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan merangka persamaan darjah yang berbeza.

Semasa merangka persamaan, Diophantus mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian.

Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11."Cari dua nombor, dengan mengetahui jumlahnya ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96"

Diophantus berhujah seperti berikut: dari keadaan masalah ia mengikuti bahawa nombor yang dicari tidak sama, kerana jika mereka sama, maka hasil mereka akan sama bukan 96, tetapi 100. Oleh itu, salah seorang daripada mereka akan menjadi lebih daripada separuh daripada mereka. jumlah, iaitu... 10 + x, yang lain kurang, i.e. 10 - x... Perbezaan antara mereka 2x .

Oleh itu persamaan:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2... Salah satu nombor yang diperlukan ialah 12 , lain-lain 8 ... Penyelesaian x = -2 kerana Diophantus tidak wujud, kerana matematik Yunani hanya mengetahui nombor positif.

Jika kita menyelesaikan masalah ini, memilih salah satu nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, maka kita sampai kepada penyelesaian persamaan

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Adalah jelas bahawa, memilih separuh perbezaan nombor yang dicari sebagai tidak diketahui, Diophantus memudahkan penyelesaian; dia berjaya mengurangkan masalah kepada menyelesaikan persamaan kuadratik (1) yang tidak lengkap.

1.3 Persamaan Kuadratik di India

Masalah untuk persamaan kuadratik sudah pun ditemui dalam saluran astronomi "Aryabhattiam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi sarjana India, Brahmagupta (abad VII), menggariskan peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, dikurangkan kepada satu bentuk kanonik:

ah 2 + b x = c, a> 0. (1)

Dalam persamaan (1), pekali, kecuali a, boleh negatif. Peraturan Brahmagupta pada asasnya sama dengan kita.

Di India purba, persaingan awam untuk menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa. Salah satu buku India kuno mengatakan tentang pertandingan seperti berikut: "Sebagaimana matahari gerhana bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga seorang yang berilmu akan mengalahkan kemuliaan orang lain dalam perhimpunan popular, mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra." Tugas-tugas itu sering dipakai dalam bentuk puisi.

Berikut adalah salah satu tugas ahli matematik India yang terkenal pada abad XII. Bhaskaras.

Masalah 13.

"Kawanan monyet yang gemuk Dan dua belas di atas pokok anggur ...

Lepas makan power, seronok. Mereka mula melompat, tergantung ...

Terdapat bahagian kelapan daripadanya dalam segi empat sama Berapa banyak monyet yang ada,

Saya geli sendiri di kawasan lapang. Awak beritahu saya, dalam pek ini?"

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa dia tahu tentang punca dua nilai bagi persamaan kuadratik (Rajah 3).

Persamaan yang sepadan dengan masalah 13:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara menulis dengan berselindung:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada segi empat sama, tambah kepada kedua-dua belah 32 2 , kemudian mendapat:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadratik untuk al - Khorezmi

Dalam risalah algebra al - Khorezmi, klasifikasi persamaan linear dan kuadratik diberikan. Penulis mengira 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan akar", i.e. ax 2 + c = b NS.

2) "Petak sama dengan nombor", i.e. ax 2 = c.

3) "Akar adalah sama dengan nombor", i.e. ah = c.

4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca", iaitu ax 2 + c = b NS.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua", i.e. bx + c = ax 2.

Bagi al - Khorezmi, yang mengelak daripada menggunakan nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan ini adalah tambah, bukan ditolak. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif pastinya tidak diambil kira. Penulis menggariskan cara-cara menyelesaikan persamaan tersebut, menggunakan teknik al - jabr dan al - muqabal. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Selain daripada fakta bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap jenis pertama

al - Khorezmi, seperti semua ahli matematik sehingga abad ke-17, tidak mengambil kira penyelesaian sifar, mungkin kerana ia tidak penting dalam masalah praktikal tertentu. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, al - Khorezmi, menggunakan contoh berangka tertentu, menetapkan peraturan untuk menyelesaikan, dan kemudian bukti geometri.

Masalah 14.“Kuadrat dan nombor 21 adalah sama dengan 10 punca. Cari punca" (menyiratkan punca persamaan x 2 + 21 = 10x).

Penyelesaian penulis membaca sesuatu seperti ini: bahagikan bilangan punca kepada separuh, anda mendapat 5, darab 5 dengan sendirinya, tolak 21 daripada hasil darab, akan ada 4. Keluarkan punca 4, anda dapat 2. Tolak 2 daripada 5 , anda mendapat 3, ini akan menjadi akar yang diingini. Atau tambah 2 hingga 5, yang memberikan 7, ini juga akar.

Risalah al - Khorezmi adalah buku pertama yang telah sampai kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadratik dibentangkan secara sistematik dan formula untuk penyelesaiannya diberikan.

1.5 Persamaan kuadratik di Eropah XIII - Xvii cc

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pada model al - Khorezmi di Eropah pertama kali dibentangkan dalam "Book of Abacus", yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematik, baik di negara-negara Islam dan di Yunani Purba, dibezakan oleh kedua-dua kesempurnaan dan kejelasan persembahan. Penulis secara bebas membangunkan beberapa contoh algebra baru untuk menyelesaikan masalah dan merupakan orang pertama di Eropah yang mendekati pengenalan nombor negatif. Buku beliau menyumbang kepada penyebaran ilmu algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara Eropah yang lain. Banyak masalah dari "Book of the Abacus" telah dipindahkan ke hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16 - ke-17. dan sebahagiannya XVIII.

Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada satu bentuk kanonik:

x 2 + bx = s,

dengan semua kemungkinan kombinasi tanda kemungkinan b , dengan telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum tersedia di Viet, namun, Viet hanya mengiktiraf punca positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. Pertimbangkan, sebagai tambahan kepada akar positif, dan negatif. Hanya pada abad ke-17. Terima kasih kepada kerja Girard, Descartes, Newton dan saintis lain, kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

1.6 Mengenai teorem Vieta

Teorem yang menyatakan hubungan antara pekali persamaan kuadratik dan punca-puncanya, bernama Vieta, pertama kali dirumuskan oleh beliau pada tahun 1591 seperti berikut: “Jika B + D di darab dengan A - A 2 , sama BD, kemudian A sama V dan sama rata D ».

Untuk memahami Vieta, seseorang harus ingat itu A, seperti mana-mana vokal, dimaksudkan untuknya yang tidak diketahui (kami NS), vokal V, D- pekali untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa algebra moden, rumusan Vieta di atas bermaksud: jika

(a + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Menyatakan hubungan antara punca dan pekali persamaan dengan formula am yang ditulis menggunakan simbol, Viet mewujudkan keseragaman dalam kaedah penyelesaian persamaan. Walau bagaimanapun, perlambangan Vieta masih jauh dari bentuk modennya. Dia tidak mengenali nombor negatif dan oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kes apabila semua punca adalah positif.

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Persamaan kuadratik adalah asas di mana bangunan indah algebra terletak. Persamaan kuadratik digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri, eksponen, logaritma, tidak rasional dan transendental. Kita semua tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dari sekolah (darjah 8), sehingga tamat pengajian.

Dalam masyarakat moden, keupayaan untuk melakukan tindakan dengan persamaan yang mengandungi kuasa dua pembolehubah boleh berguna dalam banyak bidang aktiviti dan digunakan secara meluas dalam amalan dalam perkembangan saintifik dan teknikal. Ini dibuktikan dengan reka bentuk kapal laut dan sungai, kapal terbang dan peluru berpandu. Dengan bantuan pengiraan sedemikian, trajektori pergerakan pelbagai jenis badan, termasuk objek angkasa, ditentukan. Contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik digunakan bukan sahaja dalam ramalan ekonomi, dalam reka bentuk dan pembinaan bangunan, tetapi juga dalam keadaan harian yang paling biasa. Ia mungkin diperlukan semasa perjalanan perkhemahan, di acara sukan, di kedai semasa membeli-belah, dan dalam situasi biasa yang lain.

Mari kita pecahkan ungkapan kepada faktor konstituennya

Darjah persamaan ditentukan oleh nilai maksimum darjah pembolehubah yang terkandung dalam ungkapan yang diberikan. Jika ia sama dengan 2, maka persamaan sedemikian dipanggil kuasa dua.

Jika kita menggunakan bahasa formula, maka ungkapan ini, tidak kira bagaimana rupanya, sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk apabila bahagian kiri ungkapan terdiri daripada tiga istilah. Antaranya: ax 2 (iaitu pembolehubah kuasa dua dengan pekalinya), bx (yang tidak diketahui tanpa segi empat sama dengan pekalinya) dan c (komponen bebas, iaitu nombor biasa). Semua ini di sebelah kanan bersamaan 0. Dalam kes apabila polinomial yang serupa tiada satu daripada sebutan konstituennya, kecuali ax 2, ia dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Contoh dengan penyelesaian masalah sedemikian, nilai pembolehubah yang mudah dicari, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ungkapan itu kelihatan sedemikian rupa sehingga terdapat dua istilah di sebelah kanan ungkapan, lebih tepat ax 2 dan bx, adalah paling mudah untuk mencari x dengan meletakkan pembolehubah di luar kurungan. Sekarang persamaan kita akan kelihatan seperti ini: x (ax + b). Selanjutnya, menjadi jelas bahawa sama ada x = 0, atau masalah dikurangkan kepada mencari pembolehubah daripada ungkapan berikut: ax + b = 0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat pendaraban. Peraturannya ialah hasil darab dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satu daripadanya sama dengan sifar.

Contoh

x = 0 atau 8x - 3 = 0

Akibatnya, kita mendapat dua punca persamaan: 0 dan 0.375.

Persamaan seperti ini boleh menggambarkan pergerakan jasad di bawah tindakan graviti, yang mula bergerak dari titik tertentu yang diambil sebagai asal. Di sini tatatanda matematik mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2/2. Menggantikan nilai yang diperlukan, menyamakan bahagian kanan dengan 0 dan mencari kemungkinan yang tidak diketahui, anda boleh mengetahui masa berlalu dari saat badan naik ke saat ia jatuh, serta banyak kuantiti lain. Tetapi kita akan bercakap tentang ini kemudian.

Memfaktorkan Ekspresi

Peraturan yang diterangkan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan masalah ini dalam kes yang lebih kompleks. Mari kita pertimbangkan contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik jenis ini.

X 2 - 33x + 200 = 0

Trinomial segi empat sama ini sudah lengkap. Mula-mula, mari kita ubah ungkapan dan faktorkannya. Terdapat dua daripadanya: (x-8) dan (x-25) = 0. Akibatnya, kita mempunyai dua punca 8 dan 25.

Contoh-contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik dalam gred 9 membenarkan kaedah ini untuk mencari pembolehubah dalam ungkapan bukan sahaja bagi yang kedua, malah bagi susunan ketiga dan keempat.

Contohnya: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Apabila memfaktorkan sisi kanan ke dalam faktor dengan pembolehubah, terdapat tiga daripadanya, iaitu (x + 1), (x-3) dan (x + 3).

Akibatnya, menjadi jelas bahawa persamaan ini mempunyai tiga punca: -3; -1; 3.

Pengekstrakan punca kuasa dua

Satu lagi kes persamaan tertib kedua yang tidak lengkap ialah ungkapan yang diwakili dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga bahagian sebelah kanan dibina daripada komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai pembolehubah, istilah bebas dipindahkan ke sebelah kanan, dan kemudian punca kuasa dua diekstrak daripada kedua-dua belah kesamaan. Perlu diingatkan bahawa dalam kes ini, biasanya terdapat dua punca persamaan. Satu-satunya pengecualian ialah kesamaan yang tidak mengandungi istilah c sama sekali, dengan pembolehubah adalah sama dengan sifar, serta variasi ungkapan apabila sebelah kanan ternyata negatif. Dalam kes kedua, tiada penyelesaian sama sekali, kerana tindakan di atas tidak boleh dilakukan dengan akar. Contoh penyelesaian kepada persamaan kuadratik jenis ini perlu dipertimbangkan.

Dalam kes ini, punca persamaan akan menjadi nombor -4 dan 4.

Pengiraan keluasan plot tanah

Keperluan untuk pengiraan seperti ini muncul pada zaman dahulu, kerana perkembangan matematik dalam banyak aspek pada zaman yang jauh itu adalah disebabkan oleh keperluan untuk menentukan dengan ketepatan yang paling besar kawasan dan perimeter plot tanah.

Contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik, disusun berdasarkan masalah seperti ini, harus dipertimbangkan oleh kami.

Jadi, katakan ada sebidang tanah segi empat tepat, panjangnya 16 meter lebih panjang daripada lebarnya. Cari panjang, lebar dan perimeter tapak itu jika diketahui luasnya ialah 612 m 2.

Bermula kepada perniagaan, mari kita buat persamaan yang diperlukan. Mari kita nyatakan dengan x lebar bahagian itu, maka panjangnya ialah (x + 16). Ia berikutan daripada apa yang telah ditulis bahawa kawasan ditentukan oleh ungkapan x (x + 16), yang, mengikut keadaan masalah kita, ialah 612. Ini bermakna x (x + 16) = 612.

Penyelesaian persamaan kuadratik lengkap, dan ungkapan ini hanya itu, tidak boleh dilakukan dengan cara yang sama. kenapa? Walaupun bahagian kirinya masih mengandungi dua faktor, produk itu tidak sama sekali dengan 0, jadi kaedah lain digunakan di sini.

Diskriminasi

Pertama sekali, kami akan membuat transformasi yang diperlukan, maka penampilan ungkapan ini akan kelihatan seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini bermakna kami telah menerima ungkapan dalam bentuk yang sepadan dengan standard yang ditunjukkan sebelum ini, di mana a = 1, b = 16, c = -612.

Ini boleh menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadratik melalui diskriminasi. Di sini pengiraan yang diperlukan dibuat mengikut skema: D = b 2 - 4ac. Kuantiti tambahan ini bukan sahaja membolehkan untuk mencari kuantiti yang diperlukan dalam persamaan tertib kedua, ia menentukan bilangan pilihan yang mungkin. Jika D> 0, terdapat dua daripadanya; untuk D = 0 terdapat satu punca. Jika D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Mengenai akar dan formulanya

Dalam kes kami, diskriminasi ialah: 256 - 4 (-612) = 2704. Ini menunjukkan bahawa masalah kami mempunyai jawapan. Jika anda tahu, k, penyelesaian persamaan kuadratik mesti diteruskan menggunakan formula di bawah. Ia membolehkan anda mengira akar.

Ini bermakna bahawa dalam kes yang dibentangkan: x 1 = 18, x 2 = -34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak boleh menjadi penyelesaian, kerana dimensi plot tanah tidak boleh diukur dalam nilai negatif, yang bermaksud x (iaitu, lebar plot) ialah 18 m. Dari sini kita mengira panjang: 18 + 16 = 34, dan perimeter 2 (34+ 18) = 104 (m 2).

Contoh dan tugasan

Kami terus mengkaji persamaan kuadratik. Contoh dan penyelesaian terperinci untuk beberapa daripadanya akan diberikan di bawah.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Kami memindahkan segala-galanya ke sebelah kiri kesamaan, membuat transformasi, iaitu, kami mendapat bentuk persamaan, yang biasanya dipanggil standard, dan menyamakannya dengan sifar.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Menambah yang serupa, kami mentakrifkan diskriminasi: D = 49 - 48 = 1. Ini bermakna persamaan kita akan mempunyai dua punca. Mari kita mengira mereka mengikut formula di atas, yang bermaksud bahawa yang pertama daripada mereka akan sama dengan 4/3, dan yang kedua 1.

2) Sekarang kita akan mendedahkan teka-teki jenis yang berbeza.

Mari kita ketahui sama ada terdapat sebarang punca di sini sama sekali x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawapan yang lengkap, mari kita bawa polinomial kepada bentuk biasa yang sesuai dan hitungkan diskriminasi. Dalam contoh ini, penyelesaian persamaan kuadratik tidak diperlukan, kerana intipati masalah tidak sama sekali dalam hal ini. Dalam kes ini, D = 16 - 20 = -4, yang bermaksud bahawa benar-benar tiada akar.

Teorem Vieta

Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula di atas dan diskriminasi, apabila punca kuasa dua diekstrak daripada nilai yang terakhir. Tetapi ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, terdapat banyak cara untuk mendapatkan nilai pembolehubah dalam kes ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadratik dengan teorem Vieta. Dia dinamakan sempena seorang lelaki yang tinggal di Perancis abad ke-16 dan mencipta kerjaya yang cemerlang berkat bakat matematik dan hubungannya di mahkamah. Potretnya boleh dilihat dalam artikel.

Corak yang diperhatikan oleh orang Perancis terkenal itu adalah seperti berikut. Dia membuktikan bahawa punca-punca persamaan dalam jumlah itu secara berangka sama dengan -p = b / a, dan hasil darabnya sepadan dengan q = c / a.

Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Untuk kesederhanaan, mari kita ubah ungkapan:

x 2 + 7x - 18 = 0

Kami akan menggunakan teorem Vieta, ini akan memberi kita perkara berikut: jumlah punca ialah -7, dan hasil darabnya ialah -18. Daripada ini kita dapati bahawa punca-punca persamaan ialah nombor -9 dan 2. Setelah membuat semakan, kita akan memastikan bahawa nilai-nilai pembolehubah ini benar-benar sesuai dengan ungkapan.

Graf parabola dan persamaan

Konsep fungsi kuadratik dan persamaan kuadratik adalah berkait rapat. Contoh-contoh ini telah pun diberikan sebelum ini. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematik dengan lebih terperinci. Mana-mana persamaan jenis yang diterangkan boleh divisualisasikan. Hubungan sedemikian, yang dilukis dalam bentuk graf, dipanggil parabola. Pelbagai jenisnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Mana-mana parabola mempunyai bucu, iaitu titik dari mana cabang-cabangnya muncul. Jika a> 0, mereka pergi tinggi kepada infiniti, dan apabila a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Perwakilan visual fungsi membantu menyelesaikan sebarang persamaan, termasuk persamaan kuadratik. Kaedah ini dipanggil grafik. Dan nilai pembolehubah x ialah koordinat absis pada titik di mana garis graf bersilang dengan 0x. Koordinat puncak boleh didapati dengan formula yang baru diberi x 0 = -b / 2a. Dan, menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan asal fungsi, anda boleh mengetahui y 0, iaitu, koordinat kedua bucu parabola, kepunyaan paksi ordinat.

Persilangan cabang parabola dengan paksi absis

Terdapat banyak contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik, tetapi terdapat juga pola umum. Mari kita pertimbangkan mereka. Adalah jelas bahawa persilangan graf dengan paksi 0x untuk a> 0 adalah mungkin hanya jika y 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Akar juga boleh ditentukan daripada graf parabola. Begitu juga sebaliknya. Iaitu, jika tidak mudah untuk mendapatkan imej visual bagi fungsi kuadratik, anda boleh menyamakan bahagian kanan ungkapan kepada 0 dan menyelesaikan persamaan yang terhasil. Dan mengetahui titik persilangan dengan paksi 0x, lebih mudah untuk membina graf.

Dari sejarah

Dengan bantuan persamaan yang mengandungi kuasa dua pembolehubah, pada zaman dahulu mereka bukan sahaja membuat pengiraan matematik dan menentukan kawasan bentuk geometri. Orang dahulu memerlukan pengiraan sedemikian untuk penemuan hebat dalam bidang fizik dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang diandaikan oleh saintis moden, penduduk Babylon adalah antara yang pertama menyelesaikan persamaan kuadratik. Ia berlaku empat abad sebelum era kita. Sudah tentu, pengiraan mereka pada asasnya berbeza daripada yang diterima sekarang dan ternyata lebih primitif. Sebagai contoh, ahli matematik Mesopotamia tidak tahu tentang kewujudan nombor negatif. Mereka juga tidak biasa dengan kehalusan lain dari mereka yang mana-mana pelajar sekolah zaman kita tahu.

Mungkin lebih awal daripada saintis Babylon, orang bijak dari India Baudhayama mengambil penyelesaian persamaan kuadratik. Ia berlaku kira-kira lapan abad sebelum kedatangan era Kristus. Benar, persamaan urutan kedua, kaedah penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling mudah. Selain beliau, ahli matematik Cina juga berminat dengan soalan yang sama pada zaman dahulu. Di Eropah, persamaan kuadratik mula diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudiannya ia digunakan dalam karya mereka oleh saintis hebat seperti Newton, Descartes dan ramai lagi.

Persamaan kuadratik - mudah untuk diselesaikan! * Selanjutnya dalam teks "KU". Rakan-rakan, nampaknya, apa yang lebih mudah dalam matematik daripada menyelesaikan persamaan sedemikian. Tetapi sesuatu memberitahu saya bahawa ramai yang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tera setiap bulan Yandex. Inilah yang berlaku, lihat:

Apakah maksudnya? Ini bermakna kira-kira 70,000 orang sebulan sedang mencari maklumat ini, dan apa yang akan berlaku pada pertengahan tahun akademik - akan ada dua kali lebih banyak permintaan. Ini tidak menghairankan, kerana lelaki dan perempuan yang lulus dari sekolah lama dahulu dan sedang bersiap untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu sedang mencari maklumat ini, dan pelajar sekolah juga berusaha untuk menyegarkannya dalam ingatan mereka.

Walaupun fakta bahawa terdapat banyak tapak yang memberitahu anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk melakukan sedikit saya juga dan menerbitkan bahan tersebut. Pertama, saya mahu pelawat datang ke tapak saya untuk permintaan ini; kedua, dalam artikel lain, apabila ucapan "KU" datang, saya akan memberikan pautan kepada artikel ini; ketiga, saya akan memberitahu anda tentang penyelesaiannya lebih sedikit daripada yang biasanya dinyatakan di laman web lain. Mari kita mulakan! Kandungan artikel:

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

di mana pekali a,bdan dengan nombor arbitrari, dengan ≠ 0.

Dalam kursus sekolah, bahan diberikan dalam bentuk berikut - persamaan dibahagikan secara bersyarat kepada tiga kelas:

1. Mereka mempunyai dua akar.

2. * Mempunyai satu punca sahaja.

3. Tidak mempunyai akar. Perlu diperhatikan di sini bahawa mereka tidak mempunyai akar yang sah.

Bagaimanakah akar dikira? Cuma!

Kami mengira diskriminasi. Di bawah perkataan "mengerikan" ini terdapat formula yang sangat mudah:

Rumus akar adalah seperti berikut:

* Formula ini perlu diketahui dengan hati.

Anda boleh segera menulis dan memutuskan:

Contoh:

1. Jika D> 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

2. Jika D = 0, maka persamaan itu mempunyai satu punca.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaan:

Dalam hal ini, apabila diskriminasi adalah sifar, dalam kursus sekolah dikatakan bahawa satu akar diperoleh, di sini ia sama dengan sembilan. Semuanya betul, memang, tetapi ...

Perwakilan ini agak tidak betul. Sebenarnya, terdapat dua akar. Ya, ya, jangan terkejut, ternyata dua akar yang sama, dan tepat secara matematik, maka jawapannya harus ditulis dua akar:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tetapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah, anda boleh menulis dan mengatakan bahawa terdapat satu akar.

Sekarang contoh seterusnya:

Seperti yang kita ketahui, punca nombor negatif tidak diekstrak, jadi tiada penyelesaian dalam kes ini.

Itulah keseluruhan proses penyelesaian.

Fungsi kuadratik.

Begini cara penyelesaiannya kelihatan secara geometri. Ini amat penting untuk difahami (pada masa hadapan, dalam salah satu artikel, kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian ketaksamaan kuasa dua).

Ini adalah fungsi borang:

di mana x dan y ialah pembolehubah

a, b, c - nombor yang diberikan, dengan ≠ 0

Graf ialah parabola:

Iaitu, ternyata bahawa dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dengan "y" sama dengan sifar, kita dapati titik persilangan parabola dengan paksi-x. Terdapat dua daripada perkara ini (diskriminan adalah positif), satu (diskriminan adalah sifar) dan tiada (diskriminan adalah negatif). Lebih lanjut mengenai fungsi kuadratik Anda boleh melihat artikel oleh Inna Feldman.

Mari kita pertimbangkan beberapa contoh:

Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Jawapan: x 1 = 8 x 2 = –12

* Adalah mungkin untuk membahagikan sisi kiri dan kanan persamaan dengan serta-merta dengan 2, iaitu, untuk memudahkannya. Pengiraan akan lebih mudah.

Contoh 2: buat keputusan x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Kami mendapat bahawa x 1 = 11 dan x 2 = 11

Dalam jawapan, ia dibenarkan untuk menulis x = 11.

Jawapan: x = 11

Contoh 3: buat keputusan x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Diskriminasi adalah negatif, tiada penyelesaian dalam nombor nyata.

Jawapan: tiada penyelesaian

Diskriminasi adalah negatif. Ada penyelesaiannya!

Di sini kita akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan dalam kes apabila diskriminasi negatif diperolehi. Adakah anda tahu apa-apa tentang nombor kompleks? Saya tidak akan menerangkan secara terperinci di sini tentang mengapa dan dari mana asalnya dan apakah peranan dan keperluan khusus mereka dalam matematik, ini adalah topik untuk artikel berasingan yang besar.

Konsep nombor kompleks.

Sedikit teori.

Nombor kompleks z ialah nombor bagi bentuk

z = a + bi

di mana a dan b ialah nombor nyata, i ialah unit khayalan yang dipanggil.

a + bi Adalah NOMBOR TUNGGAL, bukan penambahan.

Unit khayalan adalah sama dengan punca tolak satu:

Sekarang pertimbangkan persamaan:

Kami mendapat dua akar konjugat.

Persamaan kuadratik tidak lengkap.

Pertimbangkan kes khas, ini adalah apabila pekali "b" atau "c" bersamaan dengan sifar (atau kedua-duanya sama dengan sifar). Mereka mudah diselesaikan tanpa sebarang diskriminasi.

Kes 1. Pekali b = 0.

Persamaan mengambil bentuk:

Mari kita ubah:

Contoh:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Kes 2. Pekali dengan = 0.

Persamaan mengambil bentuk:

Kami mengubah, memfaktorkan:

* Produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 atau x – 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kes 3. Pekali b = 0 dan c = 0.

Jelas di sini bahawa penyelesaian kepada persamaan akan sentiasa x = 0.

Sifat berguna dan corak pekali.

Terdapat sifat yang membolehkan anda menyelesaikan persamaan dengan pekali yang besar.

ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a + b+ c = 0, kemudian

- jika bagi pekali persamaan ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a+ c =b, kemudian

Sifat ini membantu menyelesaikan jenis persamaan tertentu.

Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumlah kemungkinan ialah 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, oleh itu

Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Kesaksamaan dipenuhi a+ c =b, bermakna

Keteraturan pekali.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 pekali "b" adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali "c" secara numerik sama dengan pekali "a", maka puncanya ialah

ax 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jika dalam persamaan ax 2 - bx + c = 0 pekali "b" adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali "c" secara berangka sama dengan pekali "a", maka puncanya ialah

ax 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam persamaan ax 2 + bx - c = 0 pekali "b" adalah sama dengan (a 2 - 1), dan pekali "c" secara berangka sama dengan pekali "a", maka akarnya adalah sama

ax 2 + (a 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Jika dalam persamaan ax 2 - bx - c = 0 pekali "b" adalah sama dengan (a 2 - 1), dan pekali c secara berangka sama dengan pekali "a", maka puncanya ialah

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 10x 2 - 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Teorem Vieta.

Teorem Vieta dinamakan sempena ahli matematik Perancis terkenal François Vieta. Dengan menggunakan teorem Vieta, seseorang boleh menyatakan jumlah dan hasil darab punca KE sewenang-wenangnya dari segi pekalinya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Secara keseluruhan, nombor 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah puncanya. Dengan kemahiran tertentu, menggunakan teorem yang dibentangkan, anda boleh menyelesaikan banyak persamaan kuadratik secara lisan.

Teorem Vieta, lebih-lebih lagi. mudah kerana selepas menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara biasa (melalui diskriminasi), punca yang diperoleh boleh disemak. Saya mengesyorkan melakukan ini pada setiap masa.

KAEDAH PINDAH

Dengan kaedah ini, pekali "a" didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dilemparkan" kepadanya, oleh itu ia dipanggil dengan cara "pemindahan". Kaedah ini digunakan apabila anda boleh mencari punca persamaan dengan mudah menggunakan teorem Vieta dan, yang paling penting, apabila diskriminasi ialah segi empat tepat.

Jika a± b + c≠ 0, maka teknik pemindahan digunakan, contohnya:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Dengan teorem Vieta dalam persamaan (2) adalah mudah untuk menentukan bahawa x 1 = 10 x 2 = 1

Punca-punca persamaan yang diperoleh mesti dibahagikan dengan 2 (memandangkan dua "dilemparkan" daripada x 2), kita dapat

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Apakah rasionalnya? Lihat apa yang berlaku.

Pembeza bagi persamaan (1) dan (2) adalah sama:

Jika anda melihat punca-punca persamaan, maka hanya penyebut yang berbeza diperoleh, dan hasilnya bergantung tepat pada pekali pada x 2:

Akar kedua (diubah suai) adalah 2 kali lebih besar.

Oleh itu, kami membahagikan hasilnya dengan 2.

* Jika kita gulung semula tiga, maka kita bahagikan hasilnya dengan 3, dsb.

Jawapan: x 1 = 5 x 2 = 0.5

persegi ur-ye dan peperiksaan.

Saya akan katakan secara ringkas tentang kepentingannya - ANDA MESTI BOLEH MENYELESAIKAN dengan cepat dan tanpa ragu-ragu, formula akar dan diskriminasi mesti diketahui dengan hati. Banyak tugas yang membentuk tugas USE dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan kuadratik (termasuk yang geometri).

Apa yang perlu diperhatikan!

1. Bentuk penulisan persamaan boleh "tersirat". Sebagai contoh, entri berikut mungkin:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 atau 15 -5x + 10x 2 = 0.

Anda perlu membawanya ke bentuk standard (supaya tidak keliru semasa menyelesaikan).

2. Ingat bahawa x ialah kuantiti yang tidak diketahui dan ia boleh dilambangkan dengan mana-mana huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.

", Iaitu, persamaan darjah pertama. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis apa yang dipanggil persamaan kuadratik dan cara menyelesaikannya.

Apa yang dipanggil persamaan kuadratik

Penting!

Darjah persamaan ditentukan oleh darjah terbesar di mana tidak diketahui berdiri.

Jika kuasa maksimum yang tidak diketahui adalah "2", maka anda mempunyai persamaan kuadratik.

Contoh persamaan kuadratik

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Penting! Pandangan umum persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

A x 2 + b x + c = 0

• "A" - pekali pertama atau paling ketara;
• "B" ialah pekali kedua;
• "C" ialah ahli percuma.

Untuk mencari "a", "b" dan "c" anda perlu membandingkan persamaan anda dengan bentuk umum persamaan kuadratik "ax 2 + bx + c = 0".

Mari kita berlatih mentakrifkan pekali "a", "b" dan "c" dalam persamaan kuadratik.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Tidak seperti persamaan linear, persamaan khas formula mencari punca.

Ingat!

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang anda perlukan:

• bawa persamaan kuadratik kepada bentuk am "ax 2 + bx + c = 0". Iaitu, hanya "0" harus kekal di sebelah kanan;
• gunakan formula untuk akar:

Mari kita ambil contoh cara menggunakan formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik. Mari kita selesaikan persamaan kuadratik.

X 2 - 3x - 4 = 0

Persamaan "x 2 - 3x - 4 = 0" telah dikurangkan kepada bentuk am "ax 2 + bx + c = 0" dan tidak memerlukan pemudahan tambahan. Untuk menyelesaikannya, kita hanya perlu memohon formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik.

Mari kita takrifkan pekali "a", "b" dan "c" untuk persamaan ini.

Dengan bantuannya, sebarang persamaan kuadratik diselesaikan.

Dalam formula "x 1; 2 =" ungkapan radikal sering diganti
"B 2 - 4ac" dengan huruf "D" dan dipanggil diskriminasi. Konsep diskriminasi dibincangkan dengan lebih terperinci dalam pelajaran "Apakah itu diskriminasi".

Pertimbangkan satu lagi contoh persamaan kuadratik.

x 2 + 9 + x = 7x

Agak sukar untuk menentukan pekali "a", "b" dan "c" dalam bentuk ini. Mari mula-mula bawa persamaan ke bentuk am "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Sekarang anda boleh menggunakan formula akar.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

Ada kalanya tiada punca dalam persamaan kuadratik. Keadaan ini berlaku apabila nombor negatif ditemui di bawah punca dalam formula.

Dengan program matematik ini, anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik.

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian dalam dua cara:
- menggunakan diskriminasi
- menggunakan teorem Vieta (jika boleh).

Selain itu, jawapan dipaparkan tepat, bukan anggaran.
Sebagai contoh, untuk persamaan \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), jawapan dipaparkan dalam borang ini:

Program ini boleh berguna untuk pelajar senior sekolah menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, semasa menyemak pengetahuan sebelum peperiksaan, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu menyiapkan kerja rumah matematik atau algebra anda secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini, anda boleh menjalankan pengajaran anda sendiri dan/atau pengajaran adik-adik anda, manakala tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan polinomial segi empat sama, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan polinomial segi empat sama

Mana-mana huruf Latin boleh digunakan sebagai pembolehubah.
Contohnya: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dsb.

Nombor boleh dimasukkan sebagai nombor bulat atau pecahan.
Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan bukan sahaja dalam bentuk perpuluhan, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Dalam pecahan perpuluhan, bahagian pecahan daripada keseluruhan boleh dipisahkan sama ada dengan titik atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh memasukkan pecahan perpuluhan seperti ini: 2.5x - 3.5x ^ 2

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya integer boleh digunakan sebagai pengangka, penyebut dan keseluruhan bahagian pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Seluruh bahagian dipisahkan daripada pecahan oleh ampersand: &
Input: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Keputusan: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Apabila memasukkan ungkapan kurungan boleh digunakan... Dalam kes ini, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.
Contohnya: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

Didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Mungkin anda telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

Kerana Terdapat ramai orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan anda dalam baris gilir.
Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan kesilapan dalam keputusan, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan dan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadratik dan punca-puncanya. Persamaan kuadratik tidak lengkap

Setiap persamaan
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
mempunyai bentuk
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah nombor.
Dalam persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1.4, dalam kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, dalam ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan kuadratik.

Definisi.
Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan \ (a \ neq 0 \).

Nombor a, b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik. Nombor a dipanggil pekali pertama, nombor b - pekali kedua, dan nombor c - sebutan bebas.

Dalam setiap persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan \ (a \ neq 0 \), kuasa terbesar pembolehubah x ialah segi empat sama. Oleh itu nama: persamaan kuadratik.

Perhatikan bahawa persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana bahagian kirinya ialah polinomial darjah kedua.

Persamaan kuadratik di mana pekali pada x 2 ialah 1 dipanggil persamaan kuadratik terkurang... Sebagai contoh, persamaan kuadratik terkurang ialah persamaan
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Jika dalam persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 sekurang-kurangnya satu daripada pekali b atau c adalah sama dengan sifar, maka persamaan tersebut dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap... Jadi, persamaan -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap. Dalam yang pertama b = 0, dalam c kedua = 0, dalam b ketiga = 0 dan c = 0.

Persamaan kuadratik tidak lengkap terdiri daripada tiga jenis:
1) ax 2 + c = 0, dengan \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, dengan \ (b \ neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan bagi setiap jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 + c = 0 untuk \ (c \ neq 0 \), pindahkan sebutan bebasnya ke bahagian kanan dan bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Anak panah kanan x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Oleh kerana \ (c \ neq 0 \), maka \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Jika \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), maka persamaan itu mempunyai dua punca.

Jika \ (- \ frac (c) (a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap bentuk ax 2 + bx = 0 dengan \ (b \ neq 0 \) faktorkan sisi kirinya dan dapatkan persamaan
\ (x (ax + b) = 0 \ Anak panah kanan \ kiri \ (\ mula (susun) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ hujung (susun) \ kanan. \ Anak panah kanan \ kiri \ (\ mula (tatasusunan) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ hujung (tatasusunan) \ kanan. \)

Ini bermakna persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 + bx = 0 untuk \ (b \ neq 0 \) sentiasa mempunyai dua punca.

Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 = 0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 = 0 dan oleh itu mempunyai punca unik 0.

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita pertimbangkan bagaimana persamaan kuadratik diselesaikan di mana kedua-dua pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah bukan sifar.

Mari kita selesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kita mendapat formula untuk punca. Kemudian formula ini boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.

Selesaikan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0

Membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan a, kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang yang setara
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Kami mengubah persamaan ini dengan memilih kuasa dua binomial:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Anak panah Kanan \)

Ungkapan radikal dipanggil pendiskriminasi persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 ("diskriminan" dalam bahasa Latin - diskriminator). Ia ditetapkan oleh huruf D, i.e.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Sekarang, menggunakan tatatanda diskriminasi, kami menulis semula formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), dengan \ (D = b ^ 2-4ac \)

Jelas sekali bahawa:
1) Jika D> 0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca.
2) Jika D = 0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Jika D Oleh itu, bergantung kepada nilai diskriminasi, persamaan kuadratik boleh mempunyai dua punca (untuk D> 0), satu punca (untuk D = 0) atau tidak mempunyai punca (untuk D Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan ini formula, adalah dinasihatkan untuk meneruskan seperti berikut:
1) kira diskriminasi dan bandingkan dengan sifar;
2) jika diskriminasi positif atau sama dengan sifar, maka gunakan formula akar, jika diskriminasi negatif, maka tulis bahawa tiada punca.

Teorem Vieta

Persamaan kuadratik yang diberi ax 2 -7x + 10 = 0 mempunyai punca 2 dan 5. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darab ialah 10. Kita lihat bahawa jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan sebaliknya tanda, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Mana-mana persamaan kuadratik dengan punca mempunyai sifat ini.

Jumlah punca-punca persamaan kuadratik yang diberikan adalah sama dengan pekali kedua, diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil darab akar-akar adalah sama dengan sebutan bebas.

Itu. Teorem Vieta menyatakan bahawa punca x 1 dan x 2 bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 + px + q = 0 mempunyai sifat:
\ (\ kiri \ (\ mulakan (susun) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ hujung (susun) \ kanan. \)