Bagaimana untuk mengetahui pariti fungsi. Fungsi genap dan ganjil

Keseragaman dan keganjilan fungsi adalah salah satu sifat utamanya, dan pariti mengambil bahagian yang mengagumkan dalam kursus matematik sekolah. Ia sebahagian besarnya menentukan kelakuan fungsi dan sangat memudahkan pembinaan graf yang sepadan.

Mari tentukan pariti fungsi. Secara amnya, fungsi yang dikaji dianggap walaupun untuk nilai yang bertentangan dengan pembolehubah bebas (x) yang terletak dalam domain takrifnya, nilai y (fungsi) yang sepadan ternyata sama.

Mari kita berikan definisi yang lebih ketat. Pertimbangkan beberapa fungsi f (x), yang ditakrifkan dalam domain D. Ia akan menjadi walaupun untuk mana-mana titik x terletak dalam domain definisi:

• -x (titik bertentangan) juga terletak dalam skop ini,

• f(-x) = f(x).

Daripada definisi di atas mengikut syarat yang diperlukan untuk domain definisi fungsi sedemikian, iaitu, simetri berkenaan dengan titik O, yang merupakan asal koordinat, kerana jika beberapa titik b terkandung dalam domain definisi genap. fungsi, maka titik b yang sepadan juga terletak pada domain ini. Daripada perkara di atas, oleh itu, kesimpulan berikut: fungsi genap mempunyai bentuk simetri berkenaan dengan paksi ordinat (Oy).

Bagaimana untuk menentukan pariti fungsi dalam amalan?

Biarkan ia dinyatakan menggunakan formula h(x)=11^x+11^(-x). Mengikuti algoritma yang mengikuti terus daripada definisi, kami mula-mula memeriksa domain definisinya. Jelas sekali, ia ditakrifkan untuk semua nilai hujah, iaitu, syarat pertama dipenuhi.

Langkah seterusnya ialah menggantikan nilai berlawanan (-x) untuk hujah (x).
Kita mendapatkan:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Oleh kerana penambahan memenuhi undang-undang komutatif (komutatif), adalah jelas bahawa h(-x) = h(x) dan kebergantungan fungsi yang diberikan adalah genap.

Mari kita semak pariti fungsi h(x)=11^x-11^(-x). Mengikut algoritma yang sama, kita mendapat bahawa h(-x) = 11^(-x) -11^x. Mengambil tolak, pada akhirnya kita ada
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Oleh itu, h(x) adalah ganjil.

Dengan cara ini, perlu diingat bahawa terdapat fungsi yang tidak boleh diklasifikasikan mengikut kriteria ini; ia dipanggil bukan genap atau ganjil.

Malah fungsi mempunyai beberapa sifat menarik:

• hasil daripada menambah fungsi yang serupa, mereka mendapat satu genap;
• hasil penolakan fungsi tersebut, satu genap diperoleh;
• genap, juga genap;
• hasil daripada mendarab dua fungsi sedemikian, satu genap diperoleh;
• hasil daripada mendarab fungsi ganjil dan genap, satu ganjil diperoleh;
• hasil daripada membahagikan fungsi ganjil dan genap, yang ganjil diperolehi;
• terbitan bagi fungsi sedemikian adalah ganjil;
• Jika anda kuasa dua fungsi ganjil, anda akan mendapat satu genap.

Pariti fungsi boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan.

Untuk menyelesaikan persamaan seperti g(x) = 0, di mana bahagian kiri persamaan adalah fungsi genap, ia akan menjadi cukup untuk mencari penyelesaiannya untuk nilai bukan negatif pembolehubah. Punca-punca yang terhasil bagi persamaan mesti digabungkan dengan nombor yang berlawanan. Salah satunya tertakluk kepada pengesahan.

Ini juga berjaya digunakan untuk menyelesaikan masalah bukan standard dengan parameter.

Sebagai contoh, adakah terdapat sebarang nilai parameter a yang mana persamaan 2x^6-x^4-ax^2=1 akan mempunyai tiga punca?

Jika kita mengambil kira bahawa pembolehubah memasuki persamaan dalam kuasa genap, maka adalah jelas bahawa menggantikan x dengan - x tidak akan mengubah persamaan yang diberikan. Ia berikutan bahawa jika nombor tertentu adalah puncanya, maka nombor yang bertentangan juga adalah punca. Kesimpulannya adalah jelas: punca-punca persamaan yang berbeza daripada sifar dimasukkan ke dalam set penyelesaiannya dalam "berpasangan".

Jelas bahawa nombor itu sendiri bukan 0, iaitu bilangan punca persamaan sedemikian hanya boleh genap dan, secara semula jadi, untuk sebarang nilai parameter ia tidak boleh mempunyai tiga punca.

Tetapi bilangan punca persamaan 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 boleh ganjil, dan untuk sebarang nilai parameter. Sesungguhnya, adalah mudah untuk memeriksa bahawa set punca persamaan ini mengandungi penyelesaian "berpasangan". Mari kita semak sama ada 0 ialah akar. Apabila kita menggantikannya ke dalam persamaan, kita mendapat 2=2. Oleh itu, sebagai tambahan kepada yang "berpasangan", 0 juga merupakan punca, yang membuktikan nombor ganjilnya.

Sesuatu fungsi dipanggil genap (ganjil) jika untuk mana-mana dan kesamaan

.

Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang paksi
.

Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan.

Contoh 6.2. Periksa sama ada fungsi genap atau ganjil

1)
; 2)
; 3)
.

Penyelesaian.

1) Fungsi ditakrifkan apabila
. Kami akan mencari
.

Itu.
. Ini bermakna fungsi ini adalah sekata.

2) Fungsi ditakrifkan apabila

Itu.
. Oleh itu, fungsi ini adalah ganjil.

3) fungsi ditakrifkan untuk , i.e. Untuk

,
. Oleh itu fungsinya bukan genap atau ganjil. Mari kita panggil ia fungsi bentuk am.

Fungsi
dipanggil meningkat (menurun) pada selang tertentu jika dalam selang ini setiap nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil).

Fungsi meningkat (berkurang) dalam selang waktu tertentu dipanggil monotonik.

Jika fungsi
boleh dibezakan pada selang waktu
dan mempunyai terbitan positif (negatif).
, kemudian fungsi
meningkat (menurun) sepanjang selang ini.

Contoh 6.3. Cari selang kemonotonan fungsi

1)
; 3)
.

Penyelesaian.

1) Fungsi ini ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor. Mari cari derivatif.

Derivatif adalah sama dengan sifar jika
Dan
. Domain definisi ialah paksi nombor, dibahagikan dengan titik
,
pada selang waktu. Mari kita tentukan tanda terbitan dalam setiap selang.

Dalam selang waktu
terbitan adalah negatif, fungsi berkurangan pada selang ini.

Dalam selang waktu
derivatif adalah positif, oleh itu, fungsi meningkat sepanjang selang ini.

2) Fungsi ini ditakrifkan jika
atau

.

Kami menentukan tanda trinomial kuadratik dalam setiap selang.

Oleh itu, domain takrifan fungsi

Mari cari derivatif
,
, Jika
, iaitu
, Tetapi
. Mari kita tentukan tanda terbitan dalam selang
.

Dalam selang waktu
terbitan adalah negatif, oleh itu, fungsi berkurangan pada selang
. Dalam selang waktu
derivatif adalah positif, fungsi meningkat sepanjang selang
.

titik
dipanggil titik maksimum (minimum) fungsi
, jika terdapat kejiranan seperti itu itu untuk semua orang
dari kejiranan ini ketidaksamaan berlaku

.

Titik maksimum dan minimum fungsi dipanggil titik ekstrem.

Jika fungsi
pada titik mempunyai ekstrem, maka terbitan fungsi pada ketika ini adalah sama dengan sifar atau tidak wujud (syarat yang diperlukan untuk kewujudan ekstrem).

Titik di mana terbitan adalah sifar atau tidak wujud dipanggil kritikal.

Peraturan 1. Jika semasa peralihan (dari kiri ke kanan) melalui titik kritikal terbitan
menukar tanda daripada “+” kepada “–”, kemudian pada titik itu fungsi
mempunyai maksimum; jika daripada “–” kepada “+”, maka minimum; Jika
tidak menukar tanda, maka tidak ada ekstrem.

Peraturan 2. Biar pada titik
terbitan pertama bagi suatu fungsi
sama dengan sifar
, dan terbitan kedua wujud dan berbeza daripada sifar. Jika
, Itu – titik maksimum, jika
, Itu – titik minimum fungsi.

Contoh 6.4. Terokai fungsi maksimum dan minimum:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Penyelesaian.

1) Fungsi ditakrifkan dan berterusan pada selang
.

Mari cari derivatif
dan selesaikan persamaan
, iaitu
.Dari sini
– titik kritikal.

Mari kita tentukan tanda terbitan dalam selang ,
.

Apabila melalui mata
Dan
derivatif bertukar tanda daripada “–” kepada “+”, oleh itu, mengikut peraturan 1
– mata minimum.

Apabila melalui sesuatu titik
derivatif bertukar tanda daripada “+” kepada “–”, jadi
– titik maksimum.

,
.

2) Fungsi ditakrifkan dan berterusan dalam selang
. Mari cari derivatifnya
.

Setelah menyelesaikan persamaan
, kita akan jumpa
Dan
– titik kritikal. Jika penyebut
, iaitu
, maka derivatif tidak wujud. Jadi,
– titik kritikal ketiga. Mari kita tentukan tanda terbitan dalam selang waktu.

Oleh itu, fungsi mempunyai minimum pada titik
, maksimum dalam mata
Dan
.

3) Sesuatu fungsi ditakrifkan dan berterusan jika
, iaitu di
.

Mari cari derivatif

.

Mari cari titik kritikal:

Kejiranan mata
tidak tergolong dalam domain definisi, oleh itu mereka tidak melampau. Jadi, mari kita periksa perkara kritikal
Dan
.

4) Fungsi ditakrifkan dan berterusan pada selang
. Mari kita gunakan peraturan 2. Cari terbitan
.

Mari cari titik kritikal:

Mari cari terbitan kedua
dan tentukan tandanya pada titik

Pada titik
fungsi mempunyai minimum.

Pada titik
fungsi mempunyai maksimum.

Bagaimana untuk memasukkan formula matematik di laman web?

Jika anda perlu menambah satu atau dua formula matematik pada halaman web, maka cara paling mudah untuk melakukan ini adalah seperti yang diterangkan dalam artikel: formula matematik mudah dimasukkan ke tapak dalam bentuk gambar yang dijana secara automatik oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaan, kaedah universal ini akan membantu meningkatkan keterlihatan tapak dalam enjin carian. Ia telah berfungsi untuk masa yang lama (dan, saya fikir, akan berfungsi selama-lamanya), tetapi sudah ketinggalan zaman dari segi moral.

Jika anda kerap menggunakan formula matematik di tapak anda, maka saya syorkan anda menggunakan MathJax - perpustakaan JavaScript khas yang memaparkan tatatanda matematik dalam pelayar web menggunakan markup MathML, LaTeX atau ASCIIMathML.

Terdapat dua cara untuk mula menggunakan MathJax: (1) menggunakan kod mudah, anda boleh menyambungkan skrip MathJax ke tapak web anda dengan cepat, yang akan dimuatkan secara automatik dari pelayan jauh pada masa yang betul (senarai pelayan); (2) muat turun skrip MathJax dari pelayan jauh ke pelayan anda dan sambungkannya ke semua halaman tapak anda. Kaedah kedua - lebih kompleks dan memakan masa - akan mempercepatkan pemuatan halaman tapak anda, dan jika pelayan MathJax induk menjadi tidak tersedia buat sementara waktu atas sebab tertentu, ini tidak akan menjejaskan tapak anda sendiri dalam apa cara sekalipun. Di sebalik kelebihan ini, saya memilih kaedah pertama kerana ia lebih mudah, cepat dan tidak memerlukan kemahiran teknikal. Ikuti contoh saya, dan dalam masa 5 minit sahaja anda akan dapat menggunakan semua ciri MathJax di tapak anda.

Anda boleh menyambungkan skrip perpustakaan MathJax dari pelayan jauh menggunakan dua pilihan kod yang diambil dari tapak web MathJax utama atau pada halaman dokumentasi:

Salah satu daripada pilihan kod ini perlu disalin dan ditampal ke dalam kod halaman web anda, sebaik-baiknya antara teg dan atau sejurus selepas teg. Mengikut pilihan pertama, MathJax memuat lebih cepat dan melambatkan halaman kurang. Tetapi pilihan kedua secara automatik memantau dan memuatkan versi terkini MathJax. Jika anda memasukkan kod pertama, ia perlu dikemas kini secara berkala. Jika anda memasukkan kod kedua, halaman akan dimuatkan dengan lebih perlahan, tetapi anda tidak perlu sentiasa memantau kemas kini MathJax.

Cara paling mudah untuk menyambungkan MathJax ialah dalam Blogger atau WordPress: dalam panel kawalan tapak, tambahkan widget yang direka untuk memasukkan kod JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua kod muat turun yang dibentangkan di atas ke dalamnya dan letakkan widget lebih dekat ke permulaan templat (dengan cara ini, ini sama sekali tidak perlu, kerana skrip MathJax dimuatkan secara tidak segerak). Itu sahaja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX dan ASCIIMathML, dan anda sudah bersedia untuk memasukkan formula matematik ke dalam halaman web tapak anda.

Mana-mana fraktal dibina mengikut peraturan tertentu, yang digunakan secara konsisten dalam bilangan kali yang tidak terhad. Setiap masa itu dipanggil lelaran.

Algoritma lelaran untuk membina span Menger agak mudah: kubus asal dengan sisi 1 dibahagikan dengan satah selari dengan mukanya kepada 27 kubus yang sama. Satu kiub tengah dan 6 kiub bersebelahan dengannya di sepanjang muka dikeluarkan daripadanya. Hasilnya ialah satu set yang terdiri daripada baki 20 kiub yang lebih kecil. Melakukan perkara yang sama dengan setiap kiub ini, kami mendapat satu set yang terdiri daripada 400 kiub yang lebih kecil. Meneruskan proses ini tanpa henti, kami mendapat span Menger.

Fungsi adalah salah satu konsep matematik yang paling penting. Fungsi ialah kebergantungan pembolehubah y pada pembolehubah x, jika setiap nilai x sepadan dengan nilai tunggal y. Pembolehubah x dipanggil pembolehubah bebas atau argumen. Pembolehubah y dipanggil pembolehubah bersandar. Semua nilai pembolehubah bebas (pembolehubah x) membentuk domain definisi fungsi. Semua nilai yang diambil oleh pembolehubah bersandar (pembolehubah y) membentuk julat fungsi.

Graf fungsi ialah set semua titik satah koordinat, abscissas yang sama dengan nilai hujah, dan ordinat adalah sama dengan nilai fungsi yang sepadan, iaitu, nilai pembolehubah x diplot di sepanjang paksi absis, dan nilai pembolehubah y diplot di sepanjang paksi ordinat. Untuk membuat graf fungsi, anda perlu mengetahui sifat-sifat fungsi tersebut. Sifat utama fungsi akan dibincangkan di bawah!

Untuk membina graf fungsi, kami mengesyorkan menggunakan program kami - Fungsi grafik dalam talian. Jika anda mempunyai sebarang soalan semasa mengkaji bahan di halaman ini, anda sentiasa boleh bertanya kepada mereka di forum kami. Juga di forum mereka akan membantu anda menyelesaikan masalah dalam matematik, kimia, geometri, teori kebarangkalian dan banyak mata pelajaran lain!

Sifat asas fungsi.

1) Domain definisi fungsi dan julat nilai fungsi.

Domain fungsi ialah set semua nilai sebenar yang sah bagi argumen x (pembolehubah x) yang mana fungsi y = f(x) ditakrifkan.
Julat fungsi ialah set semua nilai y sebenar yang diterima oleh fungsi.

Dalam matematik asas, fungsi dikaji hanya pada set nombor nyata.

2) Sifar fungsi.

Nilai x yang mana y=0 dipanggil fungsi sifar. Ini ialah absis bagi titik persilangan graf fungsi dengan paksi Lembu.

3) Selang tanda malar bagi sesuatu fungsi.

Selang tanda malar fungsi - selang nilai x yang mana nilai fungsi y sama ada positif atau negatif sahaja dipanggil selang tanda tetap fungsi.

4) Kemonotonan fungsi.

Fungsi yang meningkat (dalam selang tertentu) ialah fungsi di mana nilai hujah yang lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Fungsi menurun (dalam selang tertentu) ialah fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

5) Keseragaman (oddness) fungsi.

Fungsi genap ialah fungsi yang domain definisinya adalah simetri berkenaan dengan asalan dan untuk sebarang x f(-x) = f(x). Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang ordinat.

Fungsi ganjil ialah fungsi yang domain takrifannya simetri berkenaan dengan asalan dan bagi mana-mana x daripada domain takrifan kesamaan f(-x) = - f(x) adalah benar. Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan.

Malah berfungsi
1) Domain definisi adalah simetri berkenaan dengan titik (0; 0), iaitu, jika titik a tergolong dalam domain definisi, maka titik -a juga tergolong dalam domain definisi.
2) Untuk sebarang nilai x f(-x)=f(x)
3) Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang paksi Oy.

Fungsi ganjil mempunyai sifat berikut:
1) Domain definisi adalah simetri tentang titik (0; 0).
2) untuk sebarang nilai x kepunyaan domain definisi, kesamaan f(-x)=-f(x) dipenuhi
3) Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan (0; 0).

Tidak setiap fungsi genap atau ganjil. Fungsi Pandangan umum tidak genap mahupun ganjil.

6) Fungsi terhad dan tidak terhad.

Sesuatu fungsi dipanggil bersempadan jika terdapat nombor positif M sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua nilai x. Jika nombor sedemikian tidak wujud, maka fungsi itu tidak terhad.

7) Keberkalaan fungsi.

Fungsi f(x) adalah berkala jika terdapat nombor bukan sifar T supaya bagi mana-mana x daripada domain takrifan fungsi berikut: f(x+T) = f(x). Nombor terkecil ini dipanggil tempoh fungsi. Semua fungsi trigonometri adalah berkala. (Rumus trigonometri).

Fungsi f dipanggil berkala jika terdapat nombor sedemikian sehingga bagi mana-mana x dari domain takrifan kesamaan f(x)=f(x-T)=f(x+T) dipegang. T ialah tempoh fungsi.

Setiap fungsi berkala mempunyai bilangan tempoh yang tidak terhingga. Dalam amalan, tempoh positif terkecil biasanya dipertimbangkan.

Nilai fungsi berkala diulang selepas selang yang sama dengan tempoh. Ini digunakan semasa membina graf.

Kajian fungsi.

1) D(y) – Domain takrifan: set semua nilai pembolehubah x. yang mana ungkapan algebra f(x) dan g(x) masuk akal.

Jika fungsi diberikan oleh formula, maka domain definisi terdiri daripada semua nilai pembolehubah bebas yang formula itu masuk akal.

2) Sifat fungsi: genap/ganjil, berkala:

Fungsi yang grafnya simetri berkenaan dengan perubahan tanda hujah dipanggil ganjil dan genap.

Fungsi ganjil ialah fungsi yang menukar nilainya kepada sebaliknya apabila tanda pembolehubah bebas berubah (simetri berbanding pusat koordinat).

Fungsi genap ialah fungsi yang tidak mengubah nilainya apabila tanda pembolehubah bebas berubah (simetri tentang ordinat).

Fungsi genap mahupun ganjil (fungsi bentuk umum) bukanlah fungsi yang tidak mempunyai simetri. Kategori ini termasuk fungsi yang tidak termasuk di bawah 2 kategori sebelumnya.

Fungsi yang tidak tergolong dalam mana-mana kategori di atas dipanggil tidak genap mahupun ganjil(atau fungsi umum).

Fungsi ganjil

Kuasa ganjil di mana ialah integer arbitrari.

Malah fungsi

Malah kuasa di mana adalah integer sewenang-wenangnya.

Fungsi berkala ialah fungsi yang mengulangi nilainya selepas selang argumen tetap tertentu, iaitu, ia tidak mengubah nilainya apabila menambah pada hujah beberapa nombor bukan sifar tetap (tempoh fungsi) di seluruh domain takrifan.

3) Sifar (akar) fungsi ialah titik di mana ia menjadi sifar.

Mencari titik persilangan graf dengan paksi Oy. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira nilainya f(0). Cari juga titik persilangan graf dengan paksi lembu, mengapa mencari punca persamaan f(x) = 0 (atau pastikan tiada punca).

Titik di mana graf bersilang dengan paksi dipanggil sifar fungsi. Untuk mencari sifar fungsi, anda perlu menyelesaikan persamaan, iaitu, cari nilai "x" di mana fungsi menjadi sifar.

4) Selang ketekalan tanda, tanda di dalamnya.

Selang di mana fungsi f(x) mengekalkan tanda.

Selang tanda malar ialah selang pada setiap titik yang fungsinya positif atau negatif.

DI ATAS paksi-x.

DI BAWAH gandar.

5) Kesinambungan (titik ketakselanjaran, sifat ketakselanjaran, asimtot).

Fungsi berterusan ialah fungsi tanpa "melompat", iaitu, di mana perubahan kecil dalam hujah membawa kepada perubahan kecil dalam nilai fungsi.

Jika had fungsi wujud, tetapi fungsi tidak ditakrifkan pada ketika ini, atau had tidak bertepatan dengan nilai fungsi pada ketika ini:

,

maka titik itu dipanggil titik pecah boleh tanggal fungsi (dalam analisis kompleks, titik tunggal boleh tanggal).

Jika kita "membetulkan" fungsi pada titik ketakselanjaran boleh tanggal dan meletakkan , maka kita mendapat fungsi yang berterusan pada titik tertentu. Operasi ini pada fungsi dipanggil memanjangkan fungsi kepada berterusan atau takrifan semula fungsi dengan kesinambungan, yang mewajarkan nama titik sebagai titik boleh tanggal pecah.

Titik ketakselanjaran jenis pertama dan kedua

Jika fungsi mempunyai ketakselanjaran pada titik tertentu (iaitu had fungsi pada titik tertentu tidak hadir atau tidak bertepatan dengan nilai fungsi pada titik tertentu), maka untuk fungsi berangka terdapat dua pilihan yang mungkin. dikaitkan dengan kewujudan fungsi berangka had unilateral:

jika kedua-dua had sebelah wujud dan terhingga, maka titik sedemikian dipanggil titik ketakselanjaran jenis pertama. Titik ketakselanjaran boleh tanggal ialah titik ketakselanjaran jenis pertama;

jika sekurang-kurangnya satu daripada had sebelah tidak wujud atau bukan nilai terhingga, maka titik sedemikian dipanggil titik ketakselanjaran jenis kedua.

Asimtot - lurus, yang mempunyai sifat bahawa jarak dari titik pada lengkung ke ini lurus cenderung kepada sifar apabila titik bergerak jauh di sepanjang cawangan ke infiniti.

Menegak

Asimtot menegak - garisan had .

Sebagai peraturan, apabila menentukan asimtot menegak, mereka mencari bukan satu had, tetapi dua satu sisi (kiri dan kanan). Ini dilakukan untuk menentukan cara fungsi berfungsi apabila ia menghampiri asimtot menegak dari arah yang berbeza. Sebagai contoh:

Asymptot mendatar - lurus spesies, tertakluk kepada kewujudan had

.

Asimtot serong - lurus spesies, tertakluk kepada kewujudan had

Nota: fungsi boleh mempunyai tidak lebih daripada dua asimtot serong (mendatar).

Nota: jika sekurang-kurangnya satu daripada dua had yang dinyatakan di atas tidak wujud (atau sama dengan ), maka asimtot serong pada (atau ) tidak wujud.

jika dalam item 2.), maka , dan had didapati menggunakan formula asimtot mendatar, .

6) Mencari selang monotoni. Cari selang kemonotonan sesuatu fungsi f(x)(iaitu, selang peningkatan dan penurunan). Ini dilakukan dengan memeriksa tanda terbitan f(x). Untuk melakukan ini, cari derivatif f(x) dan menyelesaikan ketaksamaan f(x)0. Pada selang di mana ketidaksamaan ini berlaku, fungsi f(x)meningkat. Di mana ketidaksamaan terbalik berlaku f(x)0, fungsi f(x) semakin berkurangan.

Mencari ekstrem tempatan. Setelah menemui selang monotonisitas, kita boleh segera menentukan titik ekstrem tempatan di mana peningkatan digantikan dengan penurunan, maksima tempatan terletak, dan di mana penurunan digantikan dengan peningkatan, minima tempatan terletak. Kira nilai fungsi pada titik ini. Jika fungsi mempunyai titik kritikal yang bukan titik ekstrem tempatan, maka adalah berguna untuk mengira nilai fungsi pada titik ini juga.

Mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi y = f(x) pada suatu segmen (bersambung)