Kaedah yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras. Fakta menarik mengenai teorema Pythagoras: pelajari perkara baru mengenai teorem terkenal

(menurut papirus 6619 Muzium Berlin). Menurut Cantor, harpedonapts, atau "tensioner tali", membina sudut tepat menggunakan segitiga bersudut tegak dengan sisi 3, 4, dan 5.

Sangat mudah untuk menghasilkan semula cara pembinaan mereka. Tali tali sepanjang 12 m dan ikat di sepanjang jalur berwarna pada jarak 3 m dari satu hujung dan 4 meter dari ujung yang lain. Sudut kanan akan ditutup antara sisi dengan panjang 3 dan 4 meter. The Harpedonapts mungkin berpendapat bahawa kaedah pembinaannya menjadi berlebihan, jika anda menggunakan, misalnya, alun-alun kayu yang digunakan oleh semua tukang kayu. Sesungguhnya, lukisan Mesir terkenal di mana alat seperti itu dijumpai, misalnya, gambar yang menggambarkan bengkel pertukangan.

Agak banyak yang diketahui mengenai teorem Baby Pythagoras. Dalam satu teks yang berasal dari zaman Hammurabi, iaitu, 2000 SM. NS. , perkiraan perkiraan hipotenus segitiga kanan diberikan. Dari ini kita dapat menyimpulkan bahawa di Mesopotamia mereka tahu bagaimana melakukan pengiraan dengan segitiga bersudut tegak, paling tidak dalam beberapa kes. Berdasarkan satu pihak, pada tahap pengetahuan semasa mengenai matematik Mesir dan Babylon, dan di sisi lain, berdasarkan kajian kritis terhadap sumber-sumber Yunani, Van der Waerden (ahli matematik Belanda) menyimpulkan bahawa terdapat kemungkinan besar bahawa teori dataran hipotenus telah diketahui di India sudah sekitar abad XVIII SM. NS.

Sekitar 400 SM. e., menurut Proclus, Plato memberikan metode untuk mencari kembar tiga Pythagoras, menggabungkan aljabar dan geometri. Sekitar 300 SM. NS. bukti aksiomatik tertua mengenai teorema Pythagoras muncul dalam Euclid's Elements.

Perkataan

Rumusan geometri:

Pada mulanya, teorema dirumuskan sebagai berikut:

Formulasi algebra:

Iaitu, menunjukkan panjang hipotenus segitiga melalui, dan panjang kaki melalui dan:

Kedua-dua pernyataan teorema itu setara, tetapi pernyataan kedua lebih asas, ia tidak memerlukan konsep kawasan. Maksudnya, pernyataan kedua dapat diperiksa tanpa mengetahui apa-apa tentang kawasan itu dan dengan mengukur hanya panjang sisi segitiga bersudut tegak.

Teorema Pythagoras terbalik:

Bukti

Pada masa ini, 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam literatur ilmiah. Mungkin, teorema Pythagoras adalah satu-satunya teorema yang mempunyai banyak bukti. Kepelbagaian ini dapat dijelaskan hanya dengan makna asas teorem untuk geometri.

Sudah tentu, secara konseptual semuanya dapat dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal di antaranya: bukti dengan kaedah kawasan, bukti aksiomatik dan eksotik (contohnya, menggunakan persamaan pembezaan).

Melalui segitiga serupa

Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti paling mudah yang dibina terus dari aksioma. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas suatu angka.

Biarkan ABC terdapat segitiga bersudut tegak dengan sudut tepat C... Mari lukiskan ketinggian dari C dan menunjukkan asasnya dengan H... Segi tiga ACH seperti segi tiga ABC di dua penjuru. Begitu juga dengan segi tiga CBH serupa ABC... Memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setaraf dengannya

Menambah, kita dapat

Bukti kawasan

Bukti di bawah ini, walaupun terdapat kesederhanaan yang nyata, sama sekali tidak mudah. Kesemuanya menggunakan sifat kawasan, buktinya lebih sukar daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.

Bukti pelengkap sama

1. Letakkan empat segitiga bersudut tegak sama seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.
2. Segiempat sisi dengan sisi c adalah segi empat sama, kerana jumlah dua sudut akut ialah 90 °, dan sudut yang dilipat adalah 180 °.
3. Luas keseluruhan angka adalah, di satu pihak, luas segi empat dengan sisi (a + b), dan di sisi lain, jumlah luas empat segi tiga dan luas petak dalaman.

Q.E.D.

Bukti Euclid

Idea di sebalik bukti Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba membuktikan bahawa separuh daripada luas segi empat sama yang dibina di atas hipotenus sama dengan jumlah bahagian-bahagian dari kawasan kotak yang dibina di atas kaki, dan kemudian kawasan dari segiempat sama besar dan dua sama.

Pertimbangkan lukisan di sebelah kiri. Di atasnya, kami membina kotak di sisi segitiga bersudut tegak dan menarik sinar dari bucu sudut kanan C tegak lurus dengan hipotenus AB, ia memotong persegi ABIK, yang dibina di atas hipotenus, menjadi dua segi empat - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas segiempat tepat ini sama dengan luas kotak yang dibina di atas kaki yang sepadan.

Mari kita cuba membuktikan bahawa luas DECA persegi sama dengan luas segiempat AHJK Untuk ini kita menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segitiga dengan ketinggian dan dasar yang sama dengan segi empat sama ini hingga separuh luas segi empat tepat yang diberikan. Ini adalah konsekuensi dari menentukan luas segitiga sebagai separuh hasil pangkal dan tinggi. Dari pemerhatian ini, menunjukkan bahawa luas segitiga ACK sama dengan luas segitiga AHK (tidak ditunjukkan dalam rajah), yang pada gilirannya sama dengan separuh luas segiempat AHJK .

Mari kita sekarang membuktikan bahawa luas segitiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA segi empat sama. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan adalah membuktikan persamaan segitiga ACK dan BDA (kerana luas segitiga BDA sama dengan separuh luas segi empat sama dengan harta di atas). Kesamaan jelas: segitiga sama pada dua sisi dan sudut di antara mereka. Yaitu - AB = AK, AD = AC - persamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: kita memutar segitiga CAK sebanyak 90 ° berlawanan arah jarum jam, maka jelas bahawa sisi yang sesuai dari kedua segitiga yang dipertimbangkan akan bertepatan (kerana sudut di puncak petak adalah 90 °).

Alasan mengenai persamaan luas luas BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama.

Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa luas kuadrat yang dibina di atas hipotenus adalah jumlah luas kotak yang dibina di atas kaki. Idea di sebalik bukti ini digambarkan lebih jauh dengan animasi di atas.

Bukti Leonardo da Vinci

Unsur utama bukti adalah simetri dan gerakan.

Pertimbangkan gambar, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen memotong segi empat menjadi dua bahagian yang sama (sejak segi tiga dan sama dalam pembinaan).

Dengan memutar 90 darjah berlawanan arah jarum jam di sekitar satu titik, kita melihat bahawa angka berlorek dan sama.

Sekarang jelas bahawa luas sosok berlorek adalah sama dengan jumlah bahagian dari kawasan kotak kecil (dibina di atas kaki) dan luas segitiga asal. Sebaliknya, ia sama dengan separuh luas persegi besar (dibina di atas hipotenus) ditambah dengan luas segitiga asal. Oleh itu, separuh daripada jumlah luas petak kecil sama dengan separuh dari luas petak besar, dan oleh itu jumlah luas kotak yang dibina di atas kaki sama dengan luas kotak dibina di atas hipotenus.

Bukti dengan kaedah infinitesimal

Bukti berikut menggunakan persamaan pembezaan sering dikaitkan dengan ahli matematik Inggeris yang terkenal Hardy, yang hidup pada separuh pertama abad ke-20.

Melihat gambar yang ditunjukkan dalam gambar dan memerhatikan perubahan sisi a, kita dapat menulis nisbah berikut untuk kenaikan sisi yang sangat kecil dengan dan a(menggunakan persamaan segitiga):

Dengan menggunakan kaedah memisahkan pemboleh ubah, kita dapati

Ungkapan yang lebih umum untuk menukar hipotenus sekiranya berlaku kenaikan kedua-dua kaki

Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan syarat awal, kita dapat

Oleh itu, kami sampai pada jawapan yang diinginkan

Seperti yang mudah dilihat, ketergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul kerana proporsionaliti linier antara sisi segitiga dan kenaikan, sementara jumlahnya berkaitan dengan sumbangan bebas dari kenaikan kaki yang berlainan.

Bukti yang lebih mudah dapat diperoleh sekiranya kita menganggap bahawa salah satu kaki tidak mengalami kenaikan (dalam hal ini, kaki). Kemudian untuk kesepaduan integrasi yang kami dapat

Variasi dan generalisasi

Bentuk geometri serupa pada tiga sisi

Generalisasi untuk segitiga serupa, luas bentuk hijau A + B = luas biru C

Teorema Pythagoras menggunakan segitiga tepat yang serupa

Generalisasi teorema Pythagoras dibuat oleh Euclid dalam karyanya Permulaan, memperluas luas kotak di sisi ke kawasan bentuk geometri yang serupa:

Sekiranya anda membina bentuk geometri yang serupa (lihat geometri Euclidean) di sisi segitiga bersudut tegak, maka jumlah dua angka yang lebih kecil akan sama dengan luas angka yang lebih besar.

Idea utama generalisasi ini adalah bahawa luas angka geometri sebanding dengan segi empat sama dari dimensi liniernya, dan khususnya dengan segi empat sama panjang. Oleh itu, untuk angka yang serupa dengan kawasan A, B dan C dibina di sisi dengan panjang a, b dan c, kami mempunyai:

Tetapi, menurut teorema Pythagoras, a 2 + b 2 = c 2, kemudian A + B = C.

Sebaliknya, jika kita dapat membuktikannya A + B = C untuk tiga angka geometri yang serupa tanpa menggunakan teorema Pythagoras, maka kita dapat membuktikan teorem itu sendiri, bergerak ke arah yang bertentangan. Contohnya, segitiga pusat permulaan boleh digunakan semula sebagai segitiga C pada hipotenus, dan dua segitiga bersudut tegak yang serupa ( A dan B), dibina di dua sisi lain, yang terbentuk akibat membahagi segitiga pusat dengan ketinggiannya. Jumlah dua kawasan yang lebih kecil dari segi tiga jelas sama dengan luas yang ketiga, dengan demikian A + B = C dan menunjukkan bukti sebelumnya dalam urutan terbalik, kita memperoleh teorema Pythagoras a 2 + b 2 = c 2.

Teorema kosinus

Teorema Pythagoras adalah kes khas dari teorema kosinus yang lebih umum, yang menghubungkan panjang sisi dalam segitiga sewenang-wenang:

di mana θ ialah sudut antara sisi a dan b.

Sekiranya θ ialah 90 darjah maka kos θ = 0 dan rumus dipermudahkan kepada teorema Pythagoras yang biasa.

Segitiga sewenang-wenangnya

Ke sudut terpilih segitiga sewenang-wenang dengan sisi a, b, c tulis segitiga isoskel sedemikian rupa sehingga sudut yang sama pada dasarnya θ sama dengan sudut yang dipilih. Katakan bahawa sudut θ yang dipilih bertentangan dengan sisi yang ditandakan c... Hasilnya, kami mendapat segitiga ABD dengan sudut θ, yang terletak di seberang a dan pihak r... Segitiga kedua dibentuk oleh sudut θ, yang terletak di seberang sisi b dan pihak dengan panjangnya s, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Thabit Ibn Qurrah berpendapat bahawa sisi dalam ketiga segitiga ini dihubungkan sebagai berikut:

Apabila sudut θ menghampiri π / 2, asas segitiga isoskel menurun dan kedua sisi r dan s bertindih semakin kurang. Apabila θ = π / 2, ADB menjadi segitiga tepat, r + s = c dan kita mendapat teorem Pythagoras awal.

Mari kita pertimbangkan salah satu sebabnya. Segitiga ABC mempunyai sudut yang sama dengan segitiga ABD, tetapi dalam urutan terbalik. (Dua segitiga mempunyai sudut yang sama pada bucu B, keduanya memiliki sudut θ dan juga memiliki sudut ketiga yang sama, sesuai dengan jumlah sudut segitiga.) Oleh itu, ABC mirip dengan pantulan ABD dari segitiga DBA, seperti yang ditunjukkan dalam rajah bawah. Mari kita tuliskan nisbah antara sisi yang berlawanan dan bersebelahan dengan sudut θ,

Juga pantulan segitiga lain,

Mari gandakan pecahan dan tambahkan dua nisbah ini:

Q.E.D.

Generalisasi untuk segitiga sewenang-wenang melalui parallelograms

Generalisasi untuk segitiga sewenang-wenangnya,
kawasan hijau plot = kawasan biru

Bukti tesis yang terdapat dalam gambar di atas

Mari kita menggeneralisasi lebih jauh kepada segitiga bukan segi empat dengan menggunakan parallelogram pada tiga sisi dan bukan kotak. (kotak adalah kotak khas.) Angka atas menunjukkan bahawa untuk segitiga bersudut akut, luas paralelogram di sisi panjang sama dengan jumlah paralelogram pada dua sisi lain, dengan syarat bahawa parallelogram pada sisi panjang dibina seperti yang ditunjukkan dalam rajah (dimensi yang ditandakan dengan anak panah adalah sama dan menentukan sisi paralelogram bawah). Penggantian kotak dengan paralelogram memiliki kemiripan yang jelas dengan teorema awal Pythagoras, dipercayai bahawa ia digubal oleh Pappus dari Alexandria pada tahun 4 Masihi. NS.

Gambar bawah menunjukkan kemajuan pembuktian. Mari lihat sisi kiri segitiga. Paralelogram hijau kiri mempunyai luas yang sama dengan sisi kiri paralelogram biru kerana mereka mempunyai pangkalan yang sama b dan tinggi h... Di samping itu, paralelogram hijau kiri mempunyai luas yang sama dengan paralelogram hijau kiri di rajah atas kerana mempunyai pangkalan yang sama (sisi kiri atas segitiga) dan ketinggian total tegak lurus dengan sisi segitiga itu. Dengan alasan yang sama untuk sisi kanan segitiga, kami membuktikan bahawa parallelogram bawah mempunyai luas yang sama dengan dua parallelogram hijau.

Nombor kompleks

Teorema Pythagoras digunakan untuk mencari jarak antara dua titik dalam sistem koordinat Cartesian, dan teorema ini berlaku untuk semua koordinat sebenarnya: jarak s antara dua titik ( a, b) dan ( c, d) sama

Tidak ada masalah dengan formula jika anda menganggap nombor kompleks sebagai vektor dengan komponen sebenar x + saya y = (x, y). ... Contohnya, jarak s antara 0 + 1 i dan 1 + 0 i kita mengira sebagai modulus vektor (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), atau

Walaupun begitu, untuk operasi dengan vektor dengan koordinat kompleks, perlu dilakukan peningkatan tertentu pada formula Pythagoras. Jarak antara titik dengan nombor kompleks ( a, b) dan ( c, d); a, b, c, dan d semua rumit, kami akan merumuskan menggunakan nilai mutlak. Jarak s berdasarkan perbezaan vektor (a − c, b − d) dalam bentuk berikut: biarkan perbezaannya a − c = hlm+ i q, di mana hlm- bahagian perbezaan yang sebenarnya, q adalah bahagian khayalan, dan i = √ (−1). Begitu juga, biarkan b − d = r+ i s... Kemudian:

di mana nombor konjugat kompleks untuk. Contohnya, jarak antara titik (a, b) = (0, 1) dan (c, d) = (i, 0) , kita akan mengira perbezaannya (a − c, b − d) = (−i, 1) dan sebagai hasilnya kita akan mendapat 0 jika konjugat kompleks tidak digunakan. Oleh itu, dengan menggunakan formula yang diperbaiki, kita dapat

Modul ini ditakrifkan sebagai berikut:

Stereometri

Satu generalisasi yang signifikan bagi teorema Pythagoras untuk ruang tiga dimensi adalah teorema de Gua, dinamai J.-P. de Gua: jika tetrahedron mempunyai sudut tepat (seperti dalam kubus), maka segiempat sama luas wajah yang terletak bertentangan dengan sudut kanan sama dengan jumlah kuadrat dari kawasan tiga muka yang lain. Kesimpulan ini dapat diringkaskan sebagai “ n-dimensional Teorema Pythagoras ":

Teorema Pythagoras dalam ruang tiga dimensi menghubungkan AD pepenjuru dengan tiga sisi.

Generalisasi lain: Teorema Pythagoras dapat diterapkan pada stereometri dalam bentuk berikut. Pertimbangkan sejajar segi empat tepat seperti ditunjukkan dalam gambar. Mari kita cari panjang BD pepenjuru oleh teorema Pythagoras:

di mana tiga sisi membentuk segitiga bersudut tegak. Kami menggunakan BD pepenjuru mendatar dan tepi menegak AB untuk mencari panjang AD pepenjuru, untuk ini kami sekali lagi menggunakan teorema Pythagoras:

atau, jika semuanya ditulis dalam satu persamaan:

Hasil ini adalah ungkapan 3D untuk menentukan besarnya vektor v(pepenjuru AD) dinyatakan dalam bentuk komponen tegak lurus ( v k) (tiga sisi saling tegak lurus):

Persamaan ini dapat dilihat sebagai generalisasi teorema Pythagoras untuk ruang multidimensi. Namun, hasilnya sebenarnya tidak lebih dari penerapan berulang teorema Pythagoras pada urutan segitiga bersudut tegak dalam satah tegak lurus berturut-turut.

Ruang vektor

Dalam kes vektor sistem ortogonal, persamaan berlaku, yang juga disebut teorema Pythagoras:

Sekiranya unjuran vektor ke paksi koordinat, maka formula ini bertepatan dengan jarak Euclidean - dan bermaksud bahawa panjang vektor sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat komponennya.

Analog persamaan ini dalam kes sistem vektor yang tidak terbatas disebut persamaan Parseval.

Geometri bukan euklida

Teorema Pythagoras berasal dari aksioma geometri Euclidean dan, sebenarnya, tidak berlaku untuk geometri bukan Euclidean, dalam bentuk di mana ia ditulis di atas. (Maksudnya, teorema Pythagoras ternyata serupa dengan postulisme paralelisme Euclid) Dengan kata lain, dalam geometri bukan Euclidean, nisbah antara sisi segitiga semestinya dalam bentuk yang berbeza dengan teorema Pythagoras . Sebagai contoh, dalam geometri sfera, ketiga-tiga sisi segitiga kanan (katakanlah a, b dan c), yang membatasi oktan (bahagian kelapan) dari sfera unit, mempunyai panjang π / 2, yang bertentangan dengan teorema Pythagoras, kerana a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Pertimbangkan di sini dua kes geometri bukan Euclidean - geometri sfera dan hiperbolik; dalam kedua kes, seperti di ruang Euclidean untuk segitiga bersudut tegak, hasil yang menggantikan teorema Pythagoras mengikuti teorema kosinus.

Walau bagaimanapun, teorema Pythagoras tetap berlaku untuk geometri hiperbolik dan elips, jika keperluan segi empat tepat segitiga diganti dengan syarat bahawa jumlah kedua sudut segitiga mesti sama dengan yang ketiga, katakan A+B = C... Maka nisbah antara sisi kelihatan seperti ini: jumlah luas bulatan dengan diameter a dan b sama dengan luas bulatan dengan diameter c.

Geometri sfera

Untuk segitiga bersudut tegak pada bulatan jejari R(contohnya, jika sudut γ dalam segitiga adalah garis lurus) dengan sisi a, b, c hubungan antara kedua-dua pihak akan kelihatan seperti ini:

Persamaan ini dapat dihasilkan sebagai kes khas dari teorema kosinus sfera, yang berlaku untuk semua segitiga sfera:

di mana cosh adalah kosinus hiperbolik. Formula ini adalah kes khas dari teorema kosinus hiperbolik, yang berlaku untuk semua segitiga:

di mana γ adalah sudut yang bucunya bertentangan dengan sisi c.

di mana g ij dipanggil tensor metrik. Ia boleh menjadi fungsi kedudukan. Ruang lengkung seperti itu merangkumi geometri Riemann sebagai contoh umum. Formulasi ini juga sesuai untuk ruang Euclidean ketika menggunakan koordinat curvilinear. Contohnya, untuk koordinat kutub:

Produk vektor

Teorema Pythagoras menghubungkan dua ungkapan untuk besarnya produk vektor. Satu pendekatan untuk menentukan produk silang memerlukannya memenuhi persamaan:

formula ini menggunakan produk dot. Bahagian kanan persamaan dipanggil penentu Gram untuk a dan b, yang sama dengan luas parallelogram yang dibentuk oleh dua vektor ini. Berdasarkan keperluan ini, serta keperluan untuk tegak lurus produk vektor terhadap komponennya a dan b ia menunjukkan bahawa, kecuali kes sepele dari ruang 0- dan 1 dimensi, produk vektor hanya ditentukan dalam tiga dan tujuh dimensi. Kami menggunakan definisi sudut dalam n-dimensi ruang:

sifat produk vektor ini memberikan nilainya dalam bentuk berikut:

Melalui identiti trigonometri asas Pythagoras, kami memperoleh bentuk lain untuk mencatat nilainya:

Pendekatan alternatif untuk menentukan produk silang menggunakan ungkapan untuk ukurannya. Kemudian, dengan alasan terbalik, kami mendapat kaitan dengan produk titik:

lihat juga

Catatan (sunting)

1. Topik sejarah: Teorema Pythagoras dalam matematik Babylon
2. (, Ms 351) ms 351
3. (, Jilid I, hlm.144)
4. Perbincangan fakta sejarah diberikan dalam (ms 351) ms 351
5. Kurt Von Fritz (April 1945). "Penemuan Ketidaksesuaian oleh Hippasus dari Metapontum." Anugerah Matematik, Siri Kedua(Sejarah Matematik) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "A Story with Knots", M., Mir, 1985, hlm. 7
7. Asger aaboe Episod dari sejarah awal matematik. - Persatuan Matematik Amerika, 1997. - hlm 51. - ISBN 0883856131
8. Proposisi Pythagoras, oleh Elisha Scott Loomis
9. Euclid Unsur: Buku VI, Proposisi VI 31: "Dalam segitiga bersudut tegak, angka di sisi yang condong pada sudut kanan sama dengan angka yang serupa dan serupa dijelaskan di sisi yang mengandungi sudut tepat."
10. Lawrence S. Leff dipetik karya... - Siri Pendidikan Barron. - hlm 326. - ISBN 0764128922
11. Howard whitley§4.8: ... generalisasi teorema Pythagoras // Momen-momen hebat dalam matematik (sebelum 1650). - Persatuan Matematik Amerika, 1983. - hlm 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (nama penuh Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 M) adalah seorang doktor yang tinggal di Baghdad yang banyak menulis mengenai Euclid's Elements dan subjek matematik yang lain.
13. Aydin Sayili (Mac 1960). "Generalisasi Thorbit ibn Qurra dari Teorem Pythagoras." Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Latihan 2.10 (ii) // Dipetik karya. - Hlm 62. - ISBN 0821844032
15. Untuk perincian pembinaan sedemikian, lihat George jennings Rajah 1.32: Teorema Pythagoras umum // Geometri moden dengan aplikasi: dengan 150 angka. - Ke-3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Item C: Norma untuk sewenang-wenangnya n-tuple ... // Pengantar analisis. - Springer, 1995. - hlm 124. - ISBN 0387943692 Lihat juga halaman 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Geometri pembezaan moden lengkung dan permukaan dengan Mathematica. - Ke-3. - CRC Press, 2006 .-- P. 194 .-- ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Analisis matriks. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking dipetik karya... - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein Ensiklopedia ringkas matematik CRC. - Ke-2. - 2003. - hlm 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss

Dalam satu perkara, anda pasti seratus persen yakin bahawa ketika ditanya berapa segi empat hipotenus, setiap orang dewasa dengan berani akan menjawab: "Jumlah segi empat kaki." Teorema ini berakar kuat dalam pemikiran setiap orang yang berpendidikan, tetapi cukup untuk meminta seseorang membuktikannya, dan kemudian kesulitan dapat timbul. Oleh itu, mari kita ingat dan pertimbangkan pelbagai cara untuk membuktikan teorem Pythagoras.

Gambaran keseluruhan biografi ringkas

Teorema Pythagoras tidak asing lagi bagi hampir semua orang, tetapi atas sebab tertentu, biografi orang yang melahirkannya tidak begitu popular. Ini boleh diperbaiki. Oleh itu, sebelum mengkaji pelbagai cara membuktikan teorema Pythagoras, anda perlu mengenali keperibadiannya secara ringkas.

Pythagoras adalah seorang ahli falsafah, ahli matematik, pemikir yang berasal dari Hari Ini sangat sukar untuk membezakan biografinya dari legenda yang telah terbentuk dalam ingatan orang hebat ini. Tetapi seperti berikut dari tulisan para pengikutnya, Pythagoras dari Samos dilahirkan di pulau Samos. Ayahnya adalah pemotong batu biasa, tetapi ibunya berasal dari keluarga bangsawan.

Menurut legenda, kelahiran Pythagoras diramalkan oleh seorang wanita bernama Pythia, yang menghormati anak lelaki itu. Menurut ramalannya, anak lelaki yang dilahirkan semestinya membawa banyak kebaikan dan kebaikan kepada manusia. Yang sebenarnya dia buat.

Kelahiran teorem

Pada masa mudanya, Pythagoras pindah ke Mesir untuk bertemu dengan orang bijak Mesir yang terkenal di sana. Setelah bertemu dengan mereka, dia diterima belajar, di mana dia mempelajari semua pencapaian hebat falsafah, matematik dan perubatan Mesir.

Mungkin, di Mesir Pythagoras diilhami oleh keagungan dan keindahan piramid dan menciptakan teorinya yang hebat. Ini mungkin mengejutkan pembaca, tetapi sejarawan moden percaya bahawa Pythagoras tidak membuktikan teorinya. Dia hanya menyampaikan pengetahuannya kepada pengikutnya, yang kemudian menyelesaikan semua pengiraan matematik yang diperlukan.

Bagaimanapun, hari ini tidak ada satu pun kaedah membuktikan teorema ini yang diketahui, tetapi beberapa kaedah sekaligus. Hari ini, kita masih dapat menebak bagaimana sebenarnya orang Yunani kuno membuat pengiraan mereka, jadi di sini kita akan mempertimbangkan cara yang berbeza untuk membuktikan teorema Pythagoras.

Teorema Pythagoras

Sebelum memulakan sebarang pengiraan, anda perlu mengetahui teori mana yang akan dibuktikan. Teorema Pythagoras berbunyi seperti ini: "Dalam segitiga, di mana salah satu sudut adalah 90 °, jumlah kuadrat kaki sama dengan segiempat hipotenus."

Secara keseluruhan, terdapat 15 cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras. Ini adalah sosok yang cukup besar, jadi mari kita perhatikan yang paling popular dari mereka.

Kaedah satu

Pertama, mari kita tentukan apa yang diberikan kepada kita. Data ini akan berlaku untuk kaedah lain untuk membuktikan teorema Pythagoras, jadi anda harus segera mengingat semua notasi yang ada.

Katakan segitiga bersudut tegak diberikan, dengan kaki a, b dan hipotenus sama dengan c. Kaedah pembuktian pertama didasarkan pada fakta bahawa segiempat sama mesti diambil dari segi tiga bersudut tegak.

Untuk melakukan ini, anda perlu menggambar segmen sama dengan kaki b ke kaki panjang a, dan sebaliknya. Ini harus mewujudkan dua sisi segi empat sama. Tinggal hanya untuk melukis dua garis selari, dan kotaknya sudah siap.

Di dalam angka yang dihasilkan, anda perlu melukis kotak lain dengan sisi yang sama dengan hipotenus segitiga asal. Untuk melakukan ini, dari bucu ac dan sv, anda perlu melukis dua segmen selari sama dengan c. Oleh itu, kita mendapat tiga sisi segi empat sama, salah satunya adalah hipotenus segi tiga segi tiga asli. Tinggal hanya untuk menamatkan segmen keempat.

Berdasarkan rajah yang dihasilkan, kita dapat menyimpulkan bahawa luas petak luar adalah (a + b) 2. Sekiranya anda melihat ke dalam gambar, anda dapat melihat bahawa selain kotak segi empat, ia mengandungi empat segi tiga bersudut tegak. Luas masing-masing sama dengan 0.5 av.

Oleh itu, luasnya adalah: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

Oleh itu (a + b) 2 = 2ab + c 2

Oleh itu c 2 = a 2 + b 2

Teorema itu dibuktikan.

Kaedah dua: segitiga serupa

Formula ini untuk bukti teorema Pythagoras diturunkan berdasarkan pernyataan dari bahagian geometri mengenai segitiga serupa. Ia mengatakan bahawa kaki segitiga bersudut tegak adalah rata-rata berkadar untuk hipotenus dan segmen hipotenus yang berasal dari sudut sudut 90 °.

Data awal tetap sama, jadi mari kita mulakan dengan buktinya. Mari lukiskan segmen SD yang berserenjang dengan sisi AB. Berdasarkan pernyataan di atas, kaki segitiga adalah:

AC = √AB * NERAKA, SV = √AB * DV.

Untuk menjawab persoalan bagaimana membuktikan teorema Pythagoras, buktinya mesti dilengkapkan dengan mengetepikan kedua-dua ketaksamaan.

AC 2 = AB * NERAKA dan SV 2 = AB * DV

Sekarang anda perlu menambahkan ketaksamaan yang dihasilkan.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELL * DV), di mana HELL + DV = AB

Ternyata:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

Dan oleh itu:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Bukti teorema Pythagoras dan pelbagai cara untuk menyelesaikannya memerlukan pendekatan serba boleh untuk masalah ini. Walau bagaimanapun, pilihan ini adalah salah satu yang paling mudah.

Teknik pengiraan lain

Penerangan mengenai pelbagai cara membuktikan teorema Pythagoras mungkin tidak mengatakan apa-apa, sehingga anda mula berlatih sendiri. Banyak teknik memberikan bukan sahaja pengiraan matematik, tetapi juga pembinaan angka baru dari segi tiga asal.

Dalam kes ini, perlu melengkapkan segitiga bersudut tegak lain VSD dari kaki BC. Oleh itu, sekarang terdapat dua segitiga dengan kaki yang sama BC.

Mengetahui bahawa kawasan angka tersebut mempunyai nisbah sebagai kuadrat dari dimensi linier yang serupa, maka:

S avd * s 2 - S avd * a 2 = S avd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S abd -S vd)

s 2 -w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

Oleh kerana pilihan ini hampir tidak sesuai dengan cara yang berbeza untuk membuktikan teorema Pythagoras untuk kelas 8, anda boleh menggunakan teknik berikut.

Kaedah termudah untuk membuktikan teorem Pythagoras. Ulasan

Sejarawan percaya bahawa kaedah ini pertama kali digunakan untuk membuktikan teorem di Yunani kuno. Ini adalah yang paling mudah, kerana tidak memerlukan pengiraan sama sekali. Sekiranya anda melukis angka dengan betul, maka bukti penyataan bahawa 2 + dalam 2 = c 2 akan dapat dilihat dengan jelas.

Syarat untuk kaedah ini akan sedikit berbeza dengan kaedah sebelumnya. Untuk membuktikan teorema, anggap bahawa segitiga bersudut tegak ABC adalah isoseles.

Kami mengambil hipotenus AC sebagai sisi segi empat sama dan membahagikan tiga sisinya. Di samping itu, perlu melukis dua garis pepenjuru di segi empat sama yang dihasilkan. Sehingga di dalamnya terdapat empat segitiga isosceles.

Untuk kaki AB dan CB, anda juga perlu melukis segi empat sama dan melukis satu garis pepenjuru di masing-masing. Garis pertama dilukis dari bucu A, yang kedua dari C.

Sekarang anda perlu memerhatikan gambar yang dihasilkan. Oleh kerana terdapat empat segitiga sama dengan yang asli pada hipotenus AC, dan dua pada kaki, ini menunjukkan kebenaran teorema ini.

Ngomong-ngomong, berkat kaedah ini membuktikan teorema Pythagoras, lahirlah ungkapan terkenal: "Seluar Pythagoras sama dari semua arah."

Bukti J. Garfield

James Garfield adalah Presiden ke-20 Amerika Syarikat. Selain meninggalkan jejaknya dalam sejarah sebagai penguasa Amerika Syarikat, dia juga seorang yang pandai mengajar diri.

Pada awal kariernya, dia adalah seorang guru biasa di sekolah rakyat, tetapi tidak lama kemudian menjadi pengarah salah satu institusi pendidikan tinggi. Keinginan untuk pengembangan diri membolehkannya mengusulkan teori baru untuk membuktikan teorem Pythagoras. Teorema dan contoh penyelesaiannya adalah seperti berikut.

Pertama, anda perlu melukis dua segitiga bersudut tegak pada sehelai kertas sedemikian rupa sehingga kaki salah satunya adalah lanjutan dari kedua. Bucu segitiga ini perlu dihubungkan untuk akhirnya membentuk trapezoid.

Seperti yang anda ketahui, luas trapezoid sama dengan hasil separuh jumlah asas dan tinggi.

S = a + b / 2 * (a + b)

Sekiranya kita menganggap trapezoid yang dihasilkan sebagai angka yang terdiri daripada tiga segitiga, maka luasnya dapat dijumpai seperti berikut:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

Sekarang anda perlu menyamakan dua ungkapan asli

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

Lebih daripada satu jilid buku teks dapat ditulis mengenai teorema Pythagoras dan kaedah pembuktiannya. Tetapi adakah masuk akal apabila pengetahuan ini tidak dapat diterapkan dalam praktik?

Aplikasi praktikal teorem Pythagoras

Sayangnya, kurikulum sekolah moden memperuntukkan penggunaan teorem ini hanya dalam masalah geometri. Graduan akan segera meninggalkan tembok sekolah tanpa mengetahui bagaimana mereka dapat menerapkan pengetahuan dan kemahiran mereka dalam praktik.

Sebenarnya, setiap orang boleh menggunakan teorema Pythagoras dalam kehidupan seharian mereka. Dan bukan hanya dalam aktiviti profesional, tetapi juga dalam pekerjaan rumah tangga biasa. Mari kita pertimbangkan beberapa kes apabila teorema Pythagoras dan kaedah pembuktiannya sangat diperlukan.

Hubungan antara teorema dan astronomi

Sepertinya bintang dan segitiga di atas kertas dapat dihubungkan. Sebenarnya, astronomi adalah bidang saintifik di mana teorema Pythagoras digunakan secara meluas.

Sebagai contoh, pertimbangkan pergerakan pancaran cahaya di ruang angkasa. Telah diketahui bahawa cahaya bergerak di kedua arah dengan kelajuan yang sama. Lintasan AB, yang dipancarkan pancaran cahaya, dipanggil l. Dan separuh masa yang diperlukan untuk cahaya sampai dari titik A ke titik B, mari kita panggil t... Dan kelajuan pancaran - c. Ternyata: c * t = l

Sekiranya anda melihat sinar ini dari pesawat lain, misalnya, dari kapal angkasa, yang bergerak dengan kelajuan v, maka dengan pemerhatian badan seperti itu, kelajuan mereka akan berubah. Dalam kes ini, unsur pegun bahkan akan mula bergerak dengan kelajuan v ke arah yang bertentangan.

Katakan pelayaran komik berlayar ke kanan. Kemudian titik A dan B, di mana sinar dilemparkan, akan bergerak ke kiri. Lebih-lebih lagi, apabila pancaran bergerak dari titik A ke titik B, titik A mempunyai masa untuk bergerak dan, dengan demikian, cahaya sudah tiba di titik baru C. Untuk mencari separuh jarak titik A telah beralih, anda perlu mengalikan kelajuan pelapik dengan separuh masa perjalanan rasuk (t ").

Dan untuk mengetahui sejauh mana jarak cahaya yang dapat dilalui selama ini, anda perlu menetapkan separuh jalan dengan huruf baru dan dapatkan ungkapan berikut:

Sekiranya kita membayangkan bahawa titik cahaya C dan B, serta pelapik ruang adalah puncak segitiga isoseles, maka segmen dari titik A ke pelapik akan membaginya menjadi dua segitiga bersudut tegak. Oleh itu, berkat teorema Pythagoras, anda dapat menemui jarak yang dapat dilalui oleh sinar cahaya.

Contoh ini, tentu saja, bukan yang terbaik, kerana hanya sebilangan kecil yang cukup bernasib baik untuk mencubanya dalam praktik. Oleh itu, kami akan mempertimbangkan lebih banyak aplikasi teorem ini.

Radius penghantaran isyarat mudah alih

Kehidupan moden sudah mustahil untuk dibayangkan tanpa adanya telefon pintar. Tetapi adakah mereka akan sangat berguna jika mereka tidak dapat menghubungkan pelanggan melalui komunikasi mudah alih ?!

Kualiti komunikasi mudah alih secara langsung bergantung pada ketinggian di mana antena operator bergerak berada. Untuk mengira sejauh mana telefon dapat menerima isyarat dari menara bergerak, anda boleh menerapkan teorem Pythagoras.

Katakan anda perlu mencari anggaran ketinggian menara pegun sehingga dapat menyebarkan isyarat dalam radius 200 kilometer.

AB (ketinggian menara) = x;

Pesawat udara (radius penghantaran isyarat) = 200 km;

OS (jejari dunia) = 6380 km;

OB = OA + ABOV = r + x

Menerapkan teorema Pythagoras, kita dapati bahawa ketinggian minimum menara harus 2,3 kilometer.

Teorema Pythagoras dalam kehidupan seharian

Anehnya, teorema Pythagoras dapat berguna walaupun dalam urusan sehari-hari, seperti menentukan ketinggian almari pakaian, misalnya. Pada pandangan pertama, tidak perlu menggunakan pengiraan yang rumit, kerana anda hanya boleh melakukan pengukuran dengan ukuran pita. Tetapi banyak yang terkejut mengapa masalah tertentu timbul semasa proses pemasangan, jika semua pengukuran dilakukan lebih tepat.

Faktanya ialah almari pakaian dipasang dalam kedudukan mendatar dan barulah ia naik dan dipasang di dinding. Oleh itu, bahagian kabinet dalam proses mengangkat struktur harus melintas dengan bebas baik di ketinggian maupun diagonal dari ruangan.

Katakan anda mempunyai almari pakaian dengan kedalaman 800 mm. Jarak dari lantai ke siling adalah 2600 mm. Pembuat perabot yang berpengalaman akan memberitahu anda bahawa ketinggian kabinet mestilah 126 mm kurang dari ketinggian bilik. Tetapi mengapa tepat 126 mm? Mari lihat contohnya.

Dengan dimensi kabinet yang ideal, kami memeriksa tindakan teorema Pythagoras:

AC = √AB 2 + √BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 mm - semuanya berkumpul.

Katakan ketinggian kabinet tidak 2474 mm, tetapi 2505 mm. Kemudian:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Oleh itu, kabinet ini tidak sesuai untuk pemasangan di ruangan ini. Sejak mengangkatnya ke posisi tegak boleh merosakkan badannya.

Mungkin, setelah mempertimbangkan cara yang berbeza untuk membuktikan teorema Pythagoras oleh saintis yang berbeza, kita dapat menyimpulkan bahawa itu lebih daripada benar. Sekarang anda boleh menggunakan maklumat yang diterima dalam kehidupan seharian anda dan yakin sepenuhnya bahawa semua pengiraan tidak hanya berguna, tetapi juga betul.

Bukti animasi teorema Pythagoras adalah salah satu asas teori geometri Euclidean, mewujudkan hubungan antara sisi segitiga bersudut tegak. Dipercayai bahawa ia dibuktikan oleh ahli matematik Yunani Pythagoras, setelah namanya dinamakan (ada versi lain, khususnya, pendapat alternatif bahawa teorema ini dalam bentuk umum dirumuskan oleh ahli matematik Pythagoras Hippasus).
Teorema mengatakan:

Dalam segitiga bersudut tegak, luas segiempat sama yang dibina di atas hipotenus sama dengan jumlah luas kotak yang dibina di atas kaki.

Menunjukkan panjang hipotenus segitiga c, dan panjang kaki sebagai a dan b, kami mendapat formula berikut:

Oleh itu, teorema Pythagoras menjalin hubungan yang membolehkan anda menentukan sisi segitiga kanan, mengetahui panjang dua yang lain. Teorema Pythagoras adalah kes khas dari teorema kosinus, yang menentukan nisbah antara sisi segitiga sewenang-wenangnya.
Pernyataan sebaliknya juga terbukti (juga disebut teorema Pythagoras terbalik):

Untuk mana-mana tiga nombor positif a, b dan c sehingga a? + b? = c ?, ada segitiga bersudut tegak dengan kaki a dan b dan hipotenus c.

Bukti visual untuk segitiga (3, 4, 5) dari buku "Chu Pei" 500-200 SM. Sejarah teorema dapat dibahagikan kepada empat bahagian: pengetahuan mengenai nombor Pythagoras, pengetahuan tentang nisbah sisi dalam segitiga kanan, pengetahuan mengenai nisbah sudut bersebelahan, dan bukti teorem.
Struktur Megalitik sekitar 2500 SM di Mesir dan Eropah Utara, mengandungi segitiga bersudut tegak dengan sisi bulat. Bartel Leendert van der Waerden membuat hipotesis bahawa pada masa itu bilangan Pythagoras dijumpai secara aljabar.
Ditulis antara tahun 2000 dan 1876 SM papirus kerajaan Mesir Tengah Berlin 6619 mengandungi masalah yang penyelesaiannya adalah nombor Pythagoras.
Semasa pemerintahan Hammurabi Agung, tablet Babylon Plimpton 322, ditulis antara tahun 1790 dan 1750 SM mengandungi banyak entri yang berkait rapat dengan bilangan Pythagoras.
Dalam sutra Budhayana, yang bertarikh mengikut pelbagai versi hingga abad kelapan atau kedua SM. di India, mengandungi nombor Pythagoras yang diturunkan secara aljabar, rumusan teorema Pythagoras, dan bukti geometri untuk segitiga kanan sagital.
Sutra Apastamba (sekitar 600 SM) memberikan bukti berangka teorema Pythagoras menggunakan pengiraan kawasan. Van der Waerden percaya bahawa ia berdasarkan tradisi para pendahulunya. Menurut Albert Burko, ini adalah bukti teorema asli dan dia menganggap bahawa Pythagoras mengunjungi Aracons dan menyalinnya.
Pythagoras, yang tahun hidupnya biasanya ditunjukkan pada tahun 569 - 475 SM. menggunakan kaedah algebra untuk mengira nombor Pythagoras, menurut ulasan Proklov mengenai Euclid. Proclus, bagaimanapun, hidup antara 410 dan 485 A.D. Menurut Thomas Giese, tidak ada indikasi kepengarangan teorema selama lima abad setelah Pythagoras. Namun, apabila pengarang seperti Plutarch atau Cicero mengaitkan teorema itu kepada Pythagoras, mereka melakukannya seolah-olah kepengarangan itu diketahui secara luas dan tidak dapat dinafikan.
Sekitar 400 SM Menurut Proclus, Plato memberikan kaedah untuk mengira nombor Pythagoras, menggabungkan aljabar dan geometri. Sekitar 300 SM, di Permulaan Euclid, kita mempunyai bukti aksiomatik tertua, yang masih bertahan hingga hari ini.
Ditulis di suatu tempat antara 500 SM dan 200 SM, buku matematik Cina "Chu Pei" (????), memberikan bukti visual teorema Pythagoras, yang di China disebut teorema gugu (????), untuk segitiga dengan sisi (3 , 4, 5). Semasa pemerintahan Dinasti Han, dari 202 SM sebelum tahun 220 Masihi Nombor Pythagoras muncul dalam Sembilan Bahagian Seni Matematik, bersama dengan sebutan segi tiga bersudut tegak.
Penggunaan teorema pertama kali dicatat di China, di mana ia dikenali sebagai teorema gugu (????), dan di India, di mana ia dikenali sebagai teorem Baskar.
Telah diperdebatkan bahawa teorema Pythagoras ditemui sekali atau berkali-kali. Boyer (1991) percaya bahawa pengetahuan yang terdapat di Shulba Sutra mungkin berasal dari Mesopotamia.
Bukti algebra
Kuadrat terbentuk dari empat segi tiga bersudut tegak. Lebih daripada seratus bukti teorem Pythagoras diketahui. Di sini buktinya didasarkan pada teorema keberadaan untuk bidang tokoh:

Letakkan empat segitiga bersudut tegak yang sama seperti yang ditunjukkan dalam gambar.
Segi empat sama dengan sisi c adalah segi empat sama, kerana jumlah dua sudut akut, Sudut yang dilipat adalah.
Luas keseluruhan angka adalah, di satu pihak, luas alun-alun dengan sisi "a + b", dan di sisi lain, jumlah luas empat segi tiga dan segi empat dalam.

Itulah yang perlu dibuktikan.
Dengan persamaan segitiga
Menggunakan segitiga serupa. Biarkan ABC Merupakan segitiga bersudut tegak di mana sudut C lurus seperti yang ditunjukkan dalam ilustrasi. Mari menarik ketinggian dari sudut C, dan mari hubungi H titik persimpangan sisi AB. Segi tiga terbentuk ACH seperti segi tiga ABC, kerana kedua-duanya berbentuk segi empat tepat (mengikut definisi ketinggian) dan mereka mempunyai sudut yang sama A, jelas sudut ketiga akan sama dalam segitiga ini juga. Begitu juga mirkuyuchy, segitiga CBH juga seperti segi tiga ABC. Dari kesamaan segitiga: Sekiranya

Ini boleh ditulis sebagai

Sekiranya kita menambah dua persamaan ini, kita akan dapat

HB + c kali AH = c kali (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Dengan kata lain, teorema Pythagoras:

Bukti Euclid
Bukti Euclid dalam "Prinsip" Euclidean, teorema Pythagoras dibuktikan dengan kaedah parallelograms. Biarkan A, B, C bucu segitiga bersudut tegak, bersudut tegak A. Jatuhkan tegak lurus dari titik A ke sisi bertentangan dengan hypotenuse di dataran yang dibina di atas hypotenuse. Garis membahagi segi empat menjadi dua segi empat, masing-masing mempunyai luas yang sama dengan kotak yang dibina di atas kaki. Idea utama dalam bukti adalah bahawa kotak atas berubah menjadi parallelogram dari kawasan yang sama, dan kemudian mereka kembali dan berubah menjadi segi empat tepat di dataran bawah dan sekali lagi dengan kawasan yang sama.

Mari lukis segmen CF dan IKLAN, kita mendapat segitiga BCF dan BDA.
Sudut TEKSI dan TAS- garisan lurus; mata masing-masing C, A dan G Adakah collinear. Cara yang sama B, A dan H.
Sudut CBD dan FBA- kedua-dua garis lurus, maka sudut ABD sama dengan sudut FBC, kerana kedua-duanya adalah jumlah sudut tepat dan sudut ABC.
Segi tiga ABD dan FBC ratakan di kedua-dua sisi dan sudut di antara mereka.
Sejak mata A, K dan L- collinear, luas segi empat tepat BDLK sama dengan dua kawasan segi tiga ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Begitu juga, kita dapat CKLE = ACIH = AC 2
Kawasan satu sisi CBDE sama dengan jumlah luas segi empat tepat BDLK dan CKLE, dan sebaliknya, kawasan dataran SM 2, atau AB 2 + AC 2 = BC 2.

Menggunakan perbezaan
Menggunakan perbezaan. Teorema Pythagoras dapat dicapai jika anda mengkaji bagaimana kenaikan sisi mempengaruhi nilai hipotenus seperti yang ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan dan menerapkan sedikit pengiraan.
Akibat dari peningkatan di sisi a, segitiga serupa untuk kenaikan infinitesimal

Bersepadu yang kita dapat

Sekiranya a= 0 maka c = b, jadi "pemalar" adalah b 2. Kemudian

Seperti yang anda lihat, petak diperoleh kerana perkadaran antara kenaikan dan sisi, sedangkan jumlahnya adalah hasil sumbangan bebas dari kenaikan sisi, tidak jelas dari bukti geometri. Dalam persamaan ini da dan dc- masing-masing, kenaikan sisi yang sangat kecil a dan c. Tetapi bukannya mereka yang kita gunakan? a dan? c, maka had nisbah, jika cenderung kepada sifar, adalah da / dc, derivatif, dan juga sama dengan c / a, nisbah panjang sisi segitiga, hasilnya kita memperoleh persamaan pembezaan.
Dalam kes vektor sistem ortogonal, persamaan berlaku, yang juga disebut teorema Pythagoras:

Jika - Ini adalah unjuran vektor ke paksi koordinat, maka formula ini bertepatan dengan jarak Euclidean dan bermaksud bahawa panjang vektor sama dengan akar kuadrat dari jumlah petak komponennya.
Analog persamaan ini dalam kes sistem vektor yang tidak terbatas disebut persamaan Parseval.

Teorema Pythagoras

Bukti

Pada masa ini, 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam literatur ilmiah. Mungkin, teorema Pythagoras adalah satu-satunya teorema yang mempunyai banyak bukti. Kepelbagaian ini dapat dijelaskan hanya dengan makna asas teorem untuk geometri.
Sudah tentu, secara konseptual semuanya dapat dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal di antaranya: bukti dengan kaedah kawasan, bukti aksiomatik dan eksotik (contohnya, menggunakan persamaan pembezaan).

Melalui segitiga serupa

Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti paling mudah yang dibina terus dari aksioma. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas suatu angka.
Biarkan ABC menjadi segitiga bersudut tegak dengan sudut kanan C. Lukiskan ketinggian dari C dan tandakan pangkalnya dengan H. Segitiga ACH serupa dengan segitiga ABC dalam dua sudut.
Begitu juga, segitiga CBH serupa dengan ABC. Memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setaraf dengannya

Menambah, kita dapat

atau

Bukti kawasan

Bukti di bawah ini, walaupun terdapat kesederhanaan yang nyata, sama sekali tidak mudah. Kesemuanya menggunakan sifat kawasan, buktinya lebih sukar daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.

Bukti pelengkap sama

Bukti melalui penskalaan

Contoh salah satu bukti tersebut ditunjukkan dalam gambar di sebelah kanan, di mana sebuah segi empat sama yang dibina di atas hipotenus diubah oleh permutasi menjadi dua kotak yang dibina di atas kaki.

Bukti Euclid

Bukti Leonardo da Vinci

Unsur utama bukti adalah simetri dan gerakan.

Pertimbangkan lukisan, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen CI memotong ABHJ persegi menjadi dua bahagian yang sama (kerana segitiga ABC dan JHI sama dalam pembinaan). Dengan menggunakan putaran berlawanan arah jarum jam 90 darjah, kita melihat bahawa angka berlorek CAJI dan GDAB sama. Sekarang jelas bahawa luas sosok berlorek sama dengan jumlah bahagian dari kawasan kotak yang dibina di atas kaki dan luas segitiga asal. Sebaliknya, ia sama dengan separuh luas persegi yang dibina di atas hipotenus ditambah dengan luas segitiga asal. Langkah terakhir dalam bukti diserahkan kepada pembaca.

Bukti paling menarik dari TEOREM PYTHAGORUS

Teorema Pythagoras adalah salah satu teori asas geometri Euclidean, yang mewujudkan hubungan antara sisi segitiga bersudut tegak. c2 = a2 + b2 Terdapat banyak cara untuk membuktikan teorema ini, tetapi kami memilih yang paling menarik ...

Kerusi pengantin Dalam gambar, kotak yang dibina di atas kaki diletakkan di tangga satu di sebelah yang lain. Tokoh ini, yang terdapat dalam bukti yang wujud seawal abad ke-9 Masihi. e., orang India memanggil "kerusi pengantin perempuan". Kaedah membina segi empat sama dengan sisi yang sama dengan hipotenus jelas dari gambar. Bahagian yang sama dari dua kotak yang dibina di atas kaki dan sebuah segi empat sama yang dibina di atas hipotenus adalah pentagon berlorek yang tidak teratur 5. Memasang segitiga 1 dan 2 ke atasnya, kita mendapat kedua-dua kotak yang dibina di atas kaki; jika kita mengganti segitiga 1 dan 2 dengan segitiga 3 dan 4 yang sama, kita mendapat segi empat sama yang dibina di atas hipotenus. Gambar-gambar di bawah menunjukkan dua lokasi yang berbeza dekat dengan yang diberikan pada gambar pertama.

Bukti ahli matematik India Bhaskari Pertimbangkan segi empat yang ditunjukkan dalam gambar. Sisi segiempat adalah b, 4 segitiga asli dengan kaki a dan c ditumpangkan di alun-alun, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Sisi persegi kecil di tengah adalah c - a, kemudian: b2 = 4 * a * c / 2 + (ca) 2 = = 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 = = a2 + c2

Bukti paling sederhana mengenai teorem Pythagoras. Pertimbangkan segi empat sama yang ditunjukkan dalam gambar. Bahagian sisi segiempat sama ialah + c. Dalam satu kes (kiri), segi empat dibahagikan kepada segi empat dengan sisi b dan empat segi tiga bersudut tegak dengan kaki a dan c. Dalam kes yang lain (di sebelah kanan), segi empat terbahagi kepada dua kotak dengan sisi a dan c dan empat segi tiga bersudut tegak dengan kaki a dan c. Oleh itu, kita dapati bahawa luas kuadrat dengan sisi b sama dengan jumlah luas kotak dengan sisi a dan c.

Bukti melalui segitiga serupa Biarkan ABC menjadi segitiga bersudut tegak dengan sudut C. Lukiskan ketinggian dari C dan tandakan pangkalnya dengan H. Segitiga ACH serupa dengan segitiga ABC dalam dua sudut. Begitu juga, segitiga CBH serupa dengan ABC. Memperkenalkan notasi, kami memperoleh Apa yang setara. Menambah, kami memperoleh atau

Bukti Hawkins Inilah satu lagi bukti, yang bersifat pengiraan, tetapi sangat berbeza dengan semua bukti sebelumnya. Ia diterbitkan oleh orang Inggeris Hawkins pada tahun 1909; adakah ia diketahui sebelum ini sukar untuk dinyatakan. Putar segitiga bersudut tegak ABC dengan sudut kanan C sebanyak 90 ° sehingga mengambil kedudukan A "CB". Marilah kita memanjangkan hipotenus A "B" di luar titik A "sehingga memotong garis AB pada titik D. Segmen B" D akan menjadi ketinggian segitiga B "AB. Pertimbangkan sekarang segi empat A" AB "yang berlorek B. Ia boleh menjadi diuraikan menjadi dua segitiga isoseles CAA "dan CBB" (atau dua segitiga A "B" A dan A "B" B). SCAA "= b² / 2 SCBB" = a² / 2 SA "AB" B = (a² + b²) / 2 Segitiga A "B" A dan A "B" B mempunyai asas yang sama c dan tinggi DA dan DB, oleh itu: SA "AB" B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB ) / 2 = c² / 2 Membandingkan dua ungkapan yang diperoleh untuk kawasan itu, kita dapat: a² + b² = c² Teorema terbukti.

Bukti Woldheim Bukti ini bersifat komputasi. Untuk membuktikan teorema menggunakan angka pertama, sudah cukup untuk menyatakan luas trapezoid dengan dua cara. Strapeziums = (a + b) ² / 2 Strapeziums = a²b² + c² / 2 Menyamakan sisi kanan yang kita dapat: a² + b² = c² Teorema terbukti.