කාර්යයේ අන්තය. ශ්රිතයක අන්ත මොනවාද: ශ්රිතයක උපරිම සහ අවම අන්තයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්ය උපරිම සහ අවම
ශ්රිතයක අන්ත ලක්ෂ්යය යනු ශ්රිතයේ අගය අවම හෝ උපරිම අගයක් ගන්නා ශ්රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසමේ ලක්ෂ්යය වේ. මෙම ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතයේ අගයන් ශ්රිතයේ අන්ත (අවම සහ උපරිම) ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම. තිත් x1 කාර්යය වසම f(x) ලෙස හැඳින්වේ ශ්රිතයේ උපරිම ලක්ෂ්යය , මෙම ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අගය එයට ප්රමාණවත් තරම් ආසන්න ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතයේ අගයන්ට වඩා වැඩි නම්, එහි දකුණට සහ වමට පිහිටා ඇත (එනම්, අසමානතාවය රඳවා ගනී. f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 උපරිම.
අර්ථ දැක්වීම. තිත් x2 කාර්යය වසම f(x) ලෙස හැඳින්වේ ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය, මෙම ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අගය එයට ප්රමාණවත් තරම් ආසන්න ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතයේ අගයන්ට වඩා අඩු නම්, එහි දකුණට සහ වමට පිහිටා ඇත (එනම්, අසමානතාවය රඳවා ගනී. f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ) මෙම අවස්ථාවෙහිදී අපි කියනුයේ කාර්යය ලක්ෂ්යයේ ඇති බවයි x2 අවම.
අපි පොයින්ට් කියමු x1 - කාර්යයේ උපරිම ලක්ෂ්යය f(x) එවිට දක්වා පරතරය තුළ x1 කාර්යය වැඩි වේ, එබැවින් ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට වඩා වැඩි වේ ( f "(x) > 0 ), සහ පසු කාල පරතරය තුළ x1 කාර්යය අඩු වේ, එබැවින්, ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නයබිංදුවට වඩා අඩු ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
කාරණය යැයි ද උපකල්පනය කරමු x2 - කාර්යයේ අවම ලක්ෂ්යය f(x) එවිට දක්වා පරතරය තුළ x2 ශ්රිතය අඩුවෙමින් පවතින අතර ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට වඩා අඩුය ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ශ්රිතය වැඩි වෙමින් පවතින අතර ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට වඩා වැඩි වේ ( f "(x)> 0). මෙම අවස්ථාවේ දී ද ලක්ෂ්යයේ දී x2 ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්‍ය හෝ නොපවතී.
ෆර්මැට්ගේ ප්රමේයය (ශ්රිතයක අන්තයක පැවැත්මට අවශ්ය ලකුණකි). කාරණය නම් x0 - කාර්යයේ අන්ත ලක්ෂ්යය f(x) එවිට මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන වේ ( f "(x) = 0 ) හෝ නොපවතියි.
අර්ථ දැක්වීම. ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය ශුන්‍ය වන හෝ නොපවතින ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ විවේචනාත්මක කරුණු .
උදාහරණ 1.අපි කාර්යය සලකා බලමු.
ලක්ෂ්යයේදී x= 0 ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ශුන්‍ය වේ, එබැවින් ලක්ෂ්යය x= 0 යනු තීරණාත්මක ලක්ෂ්යය වේ. කෙසේ වෙතත්, ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ දැකිය හැකි පරිදි, එය අර්ථ දැක්වීමේ සමස්ත වසම පුරාවටම වැඩි වේ, එබැවින් ලක්ෂ්යය x= 0 යනු මෙම ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්යය නොවේ.
මේ අනුව, ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන හෝ නොපවතින කොන්දේසි අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසි වේ, නමුත් ප්රමාණවත් නොවේ, මන්ද මෙම කොන්දේසි සපුරාලන ශ්‍රිත සඳහා වෙනත් උදාහරණ ලබා දිය හැකි නමුත් ශ්රිතය අනුරූප ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් නොමැත. ඒක තමයි ප්රමාණවත් සාක්ෂි තිබිය යුතුය, යම් තීරණාත්මක ස්ථානයක අන්තයක් තිබේද යන්න සහ එය කුමන ආකාරයේ අන්තයක්ද යන්න විනිශ්චය කිරීමට කෙනෙකුට ඉඩ සලසයි - උපරිම හෝ අවම.
ප්රමේයය (ශ්රිතයක අන්තයක පැවැත්ම පිළිබඳ පළමු ප්රමාණවත් ලකුණ).විවේචනාත්මක ලක්ෂ්යය x0 f(x) මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන විට, ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ලකුණ වෙනස් වේ නම්, සහ ලකුණ “plus” සිට “minus” දක්වා වෙනස් වන්නේ නම්, එය උපරිම ලක්ෂ්යයක් වන අතර, “minus” සිට “plus” දක්වා නම්, එවිට එය අවම ලක්ෂ්‍යයකි.
ලක්ෂය ආසන්නයේ නම් x0 , එහි වමට සහ දකුණට, ව්යුත්පන්නය එහි ලකුණ රඳවා තබා ගනී, මෙයින් අදහස් කරන්නේ ශ්රිතය අඩු වන්නේ හෝ වැඩි වන්නේ ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්රදේශයක පමණක් බවයි. x0 . මෙම අවස්ථාවේ දී, ලක්ෂ්යයේ දී x0 අන්තයක් නැත.
ඒ නිසා, ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්ය තීරණය කිරීමට, ඔබ පහත දේ කළ යුතුය :
- ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න.
- ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන කර තීරණාත්මක ලක්ෂ්ය තීරණය කරන්න.
- මානසිකව හෝ කඩදාසි මත, සංඛ්‍යා රේඛාවේ තීරනාත්මක ලක්ෂ්ය සලකුණු කර ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන කාල පරාසයන් තුළ ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ සලකුණු තීරණය කරන්න. ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ “ප්ලස්” සිට “අඩුම” දක්වා වෙනස් වන්නේ නම්, තීරණාත්මක ලක්ෂ්යය උපරිම ලක්ෂ්යය වන අතර “අඩු” සිට “ප්ලස්” දක්වා නම්, අවම ලක්ෂ්යය වේ.
- අන්ත ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න.
උදාහරණය 2.ශ්රිතයේ අන්තය සොයන්න 
.
විසඳුමක්. ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
තීරණාත්මක කරුණු සොයා ගැනීමට ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සම කරමු:
.
"x" හි ඕනෑම අගයක් සඳහා හරය ශුන්යයට සමාන නොවන බැවින්, අපි සංඛ්‍යාව ශුන්යයට සමාන කරමු:
එක් තීරණාත්මක කරුණක් ලැබුණා x= 3 . මෙම ලක්ෂ්‍යයෙන් සීමා කරන ලද කාල පරතරයන්හි ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ අපි තීරණය කරමු:
සෘණ අනන්තයේ සිට 3 දක්වා පරාසය තුළ - අඩු ලකුණක්, එනම් ශ්රිතය අඩු වේ,
3 සිට plus අනන්තය දක්වා පරතරය තුළ ප්ලස් ලකුණක් ඇත, එනම් ශ්රිතය වැඩි වේ.
එනම් කාලසීමාව x= 3 යනු අවම ලක්ෂ්යය වේ.
අවම ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අගය සොයා ගනිමු:
මේ අනුව, ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්යය හමු වේ: (3; 0), එය අවම ලක්ෂ්යය වේ.
ප්රමේයය (ශ්රිතයක අන්තයක පැවැත්මේ දෙවන ප්රමාණවත් ලකුණ).විවේචනාත්මක ලක්ෂ්යය x0 ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්යය වේ f(x) මෙම ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ දෙවන ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන නොවේ නම් ( f ""(x) ≠ 0 ), සහ දෙවන ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට වඩා වැඩි නම් ( f ""(x) > 0 ), එවිට උපරිම ලක්ෂ්යය, සහ දෙවන ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට වඩා අඩු නම් ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
සටහන 1. ලක්ෂ්යයේ නම් x0 පළමු සහ දෙවන ව්යුත්පන්න දෙකම අතුරුදහන් වුවහොත්, මෙම අවස්ථාවේදී දෙවන ප්රමාණවත් නිර්ණායකය මත පදනම්ව අන්තයක් පැවතීම විනිශ්චය කළ නොහැක. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබ ශ්රිතයක අන්තය සඳහා පළමු ප්රමාණවත් නිර්ණායකය භාවිතා කළ යුතුය.
සටහන 2. පළමු ව්යුත්පන්නය නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක නොපවතින විට පවා ශ්රිතයක අන්තය සඳහා දෙවන ප්රමාණවත් නිර්ණායකය අදාළ නොවේ (එවිට දෙවන ව්යුත්පන්නය ද නොපවතී). මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබ ශ්රිතයක අන්තයක පළමු ප්රමාණවත් ලකුණ භාවිතා කළ යුතුය.
ශ්රිතයේ අන්තයේ දේශීය ස්වභාවය
ඉහත නිර්වචන වලින් එය අනුගමනය කරන්නේ ශ්රිතයක අන්තය දේශීය ස්වභාවයයි - එය ආසන්න අගයන්ට සාපේක්ෂව ශ්රිතයේ විශාලතම හා කුඩාම අගයයි.
ඔබ වසරක කාලයක් තුළ ඔබේ ඉපැයීම් දෙස බලන බව සිතමු. මැයි මාසයේදී ඔබ රූබල් 45,000 ක් සහ අප්රේල් මාසයේදී රූබල් 42,000 ක් සහ ජුනි මාසයේදී රූබල් 39,000 ක් උපයා ඇත්නම්, ආසන්න අගයන්ට සාපේක්ෂව මැයි ඉපැයීම් ඉපැයීම් කාර්යයේ උපරිමය වේ. නමුත් ඔක්තෝම්බර් මාසයේදී ඔබ රූබල් 71,000 ක්, සැප්තැම්බර් මාසයේදී රූබල් 75,000 ක් සහ නොවැම්බර් මාසයේදී රූබල් 74,000 ක් උපයා ඇත, එබැවින් ආසන්න අගයන්ට සාපේක්ෂව ඔක්තෝබර් ඉපැයීම් අවම ඉපැයීම් කාර්යය වේ. අප්රේල්-මැයි-ජූනි අගයන් අතර උපරිමය සැප්තැම්බර්-ඔක්තෝබර්-නොවැම්බර් අවම අගයට වඩා අඩු බව ඔබට පහසුවෙන් දැක ගත හැකිය.
සාමාන්යයෙන් කථා කිරීම, අන්තරයකදී ශ්‍රිතයකට අන්ත කිහිපයක් තිබිය හැකි අතර, ශ්රිතයේ යම් අවම අගයක් ඕනෑම උපරිමයකට වඩා වැඩි බව පෙනී යා හැක. එබැවින්, ඉහත රූපයේ දැක්වෙන කාර්යය සඳහා, .
එනම්, ශ්රිතයක උපරිම සහ අවම පිළිවෙලින් සලකා බලනු ලබන සමස්ත කොටසෙහි විශාලතම සහ කුඩාම අගයන් යැයි කිසිවෙකු නොසිතිය යුතුය. උපරිම ලක්ෂ්යයේ දී, ශ්රිතයට ශ්රේෂ්ඨතම අගය ඇත්තේ එම අගයන් සමඟ සැසඳීමේදී පමණක් වන අතර එය උපරිම ලක්ෂ්‍යයට ප්රමාණවත් තරම් ආසන්න සෑම ලක්ෂ්‍යයක්ම ඇති අතර අවම ලක්ෂ්යයේ දී එය කුඩාම අගය ඇත්තේ එම අගයන් සමඟ සැසඳීමේදී පමණි. එය සෑම ලක්ෂ්‍යකම අවම ලක්ෂ්‍යයට ප්රමාණවත් තරම් ආසන්න බව.
එමනිසා, අපට ශ්රිතයක අන්ත ලක්ෂ්ය පිළිබඳ ඉහත සංකල්පය පැහැදිලි කර අවම ලක්ෂ්ය දේශීය අවම ලක්ෂ්ය සහ උපරිම ස්ථාන දේශීය උපරිම ලකුණු ලෙස හැඳින්විය හැක.
අපි එක්ව කාර්යයේ අන්තය සොයමු
උදාහරණය 3.
විසඳුම: ශ්රිතය සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාවේ නිර්වචනය කර අඛණ්ඩව පවතී. එහි ව්යුත්පන්නය 
සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාවේ ද පවතී. එමනිසා, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, තීරනාත්මක කරුණු වන්නේ ඒවා පමණි, i.e. , කොහෙන්ද සහ . විවේචනාත්මක කරුණු සහ ශ්රිතයේ නිර්වචනයේ සම්පූර්ණ වසම ඒකාකාරීත්වයේ කාල අන්තර තුනකට බෙදන්න: . අපි ඒ සෑම එකක් තුළම එක් පාලන ලක්ෂ්යයක් තෝරාගෙන මෙම අවස්ථාවේදී ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ සොයා ගනිමු.
පරතරය සඳහා, පාලන ලක්ෂ්යය විය හැකිය: සොයා ගන්න. අන්තරයේ ලක්ෂ්යයක් ගැනීමෙන්, අපට ලැබේ, සහ විරාමයේ ලක්ෂ්යයක් ගැනීම, අපට ඇත. ඉතින්, කාල අන්තරවලදී සහ , සහ අන්තරය තුළ . අන්තයක් සඳහා වන පළමු ප්රමාණවත් නිර්ණායකයට අනුව, ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් නොමැත (ව්යුත්පන්නය එහි ලකුණ පරතරය තුළ රඳවා තබා ගන්නා බැවින්), සහ ලක්ෂ්යයේ දී ශ්රිතයට අවම අගයක් ඇත (පසුවන විට ව්යුත්පන්න වෙනස්කම් ලකුණ සෘණ සිට ප්ලස් දක්වා වන බැවින් මෙම ලක්ෂ්යය හරහා). ශ්රිතයේ අනුරූප අගයන් සොයා ගනිමු: , a . මෙම කාල පරතරය තුළ ශ්රිතය අඩු වන අතර, මෙම කාල පරතරයේ දී එය වැඩි වේ.
ප්‍රස්ථාරයේ ඉදිකිරීම් පැහැදිලි කිරීම සඳහා, ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ එහි ඡේදනය වීමේ ස්ථාන අපි සොයා ගනිමු. අපි මූලයන් වන සමීකරණයක් ලබා ගන්නා විට සහ, එනම් ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ ලක්ෂ්ය දෙකක් (0; 0) සහ (4; 0) හමු වේ. ලැබුණු සියලුම තොරතුරු භාවිතා කරමින්, අපි ප්රස්ථාරයක් ගොඩනඟමු (උදාහරණයේ ආරම්භය බලන්න).
ගණනය කිරීම් අතරතුර ස්වයං පරීක්ෂාව සඳහා, ඔබට භාවිතා කළ හැකිය මාර්ගගත ව්යුත්පන්න කැල්කියුලේටරය .
උදාහරණය 4.ශ්රිතයේ අන්තය සොයාගෙන එහි ප්රස්ථාරය ගොඩනඟන්න.
ශ්රිතයක අර්ථ දැක්වීමේ වසම ලක්ෂ්යය හැර සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාවයි, i.e. .
අධ්යයනය කෙටි කිරීම සඳහා, ඔබට මෙම ශ්රිතය ඒකාකාර බව භාවිතා කළ හැකිය 
. එබැවින් එහි ප්රස්ථාරය අක්ෂය ගැන සමමිතික වේ ඔයිසහ අධ්යයනය සිදු කළ හැක්කේ කාල පරතරය සඳහා පමණි.
ව්යුත්පන්න සොයා ගැනීම 
සහ කාර්යයේ තීරණාත්මක කරුණු:
1) 
;
2) 
,
නමුත් ශ්රිතය මෙම අවස්ථාවේදී විසන්ධි වීමකට ලක් වේ, එබැවින් එය අන්ත ලක්ෂ්යයක් විය නොහැක.
මේ අනුව, දී ඇති ශ්රිතයට තීරණාත්මක කරුණු දෙකක් ඇත: සහ . ශ්රිතයේ සමානාත්මතාවය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි අන්තයක් සඳහා දෙවන ප්රමාණවත් නිර්ණායකය භාවිතා කර ලක්ෂ්යය පමණක් පරීක්ෂා කරන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි දෙවන ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු 
සහ එහි ලකුණ තීරණය කරන්න: අපට ලැබේ . සිට සහ , එය ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය වේ, සහ 
.
ශ්රිතයක ප්‍රස්ථාරයේ වඩාත් සම්පූර්ණ චිත්‍රයක් ලබා ගැනීම සඳහා, අර්ථ දැක්වීමේ වසමේ මායිම්වල එහි හැසිරීම සොයා බලමු:
(මෙහි සංකේතය ආශාව පෙන්නුම් කරයි xදකුණේ සිට බිංදුවට, සහ xධනාත්මකව පවතී; ඒ හා සමානව අදහස් කරන්නේ අභිලාෂය xවමේ සිට බිංදුවට, සහ xසෘණාත්මකව පවතී). මේ අනුව, නම්, එසේ නම්. ඊළඟට, අපි සොයා ගනිමු
,
එම. එසේ නම් .
ශ්රිතයක ප්‍රස්ථාරයට අක්ෂ සමඟ ඡේදනය වීමේ ස්ථාන නොමැත. පින්තූරය උදාහරණයේ ආරම්භයේ ඇත.
ගණනය කිරීම් අතරතුර ස්වයං පරීක්ෂාව සඳහා, ඔබට භාවිතා කළ හැකිය මාර්ගගත ව්යුත්පන්න කැල්කියුලේටරය .
අපි එක්ව ශ්රිතයේ අන්ත සෙවීම දිගටම කරගෙන යන්නෙමු
උදාහරණ 8.ශ්රිතයේ අන්තය සොයන්න.
විසඳුමක්. ශ්රිතයේ නිර්වචනයේ වසම සොයා ගනිමු. අසමානතාවය තෘප්තිමත් විය යුතු බැවින්, අපි ලබා ගනිමු.
ශ්රිතයේ පළමු ව්යුත්පන්නය සොයා ගනිමු.
අන්ත සෙවීම සඳහා සරල ඇල්ගොරිතමයක්..
- ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම
- අපි මෙම ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන කරමු
- ලැබෙන ප්‍රකාශනයේ විචල්‍යයේ අගයන් අපි සොයා ගනිමු (ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට පරිවර්තනය කරන විචල්‍යයේ අගයන්)
- මෙම අගයන් භාවිතා කරමින්, අපි ඛණ්ඩාංක රේඛාව කාල පරතරයන්ට බෙදන්නෙමු (විරාම ලකුණු ගැන අමතක නොකරන්න, එය රේඛාවේ සැලසුම් කළ යුතුය), මෙම සියලු කරුණු අන්ත සඳහා “සැක සහිත” ලකුණු ලෙස හැඳින්වේ.
- ව්යුත්පන්නය ධනාත්මක සහ සෘණ වන්නේ කුමන කාල අන්තරයන්ද යන්න අපි ගණනය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ පරතරයේ සිට ව්‍යුත්පන්නයට අගය ආදේශ කළ යුතුය.
අන්තයක් සඳහා සැක සහිත කරුණු අතරින්, එය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ඛණ්ඩාංක රේඛාවේ අපගේ කාල පරතරයන් දෙස බලමු. යම් ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන විට, ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ plus සිට minus දක්වා වෙනස් වේ නම්, මෙම ලක්ෂ්යය වනු ඇත උපරිම, සහ සෘණ සිට ප්ලස් දක්වා නම්, එසේ නම් අවම.
ශ්රිතයක විශාලතම හා කුඩාම අගයන් සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ කොටසේ කෙළවරේ සහ අන්ත ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතයේ අගය ගණනය කළ යුතුය. ඉන්පසු විශාලතම සහ කුඩාම අගය තෝරන්න.
අපි උදාහරණයක් බලමු
අපි ව්යුත්පන්නය සොයාගෙන එය ශුන්යයට සමාන කරමු:
අපි ඛණ්ඩාංක රේඛාවේ විචල්‍යවල ලබාගත් අගයන් සැලසුම් කර එක් එක් කාල පරතරයන් මත ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ ගණනය කරමු. හොඳයි, උදාහරණයක් ලෙස, පළමු එක සඳහා අපි ගනිමු-2
, එවිට ව්යුත්පන්නය සමාන වනු ඇත-0,24
, දෙවනුව අපි ගන්නෙමු0
, එවිට ව්යුත්පන්න වනු ඇත2
, සහ තුන්වෙනි එකට අපි ගන්නවා2
, එවිට ව්යුත්පන්න වනු ඇත-0.24. අපි සුදුසු සංඥා පහත තබමු.
ලක්ෂ්යය -1 හරහා ගමන් කරන විට, ව්යුත්පන්න වෙනස්කම් ලකුණ සෘණ සිට ප්ලස් දක්වා, එනම්, මෙය අවම ලක්ෂ්යය වන අතර, 1 හරහා ගමන් කරන විට, පිළිවෙලින්, plus සිට minus දක්වා ලකුණ වෙනස් වන බව අපට පෙනේ, මෙය උපරිම ලක්ෂ්යය.
ශ්රිතය සහ එහි ලක්ෂණ අධ්යයනය කිරීම නූතන ගණිතයේ ප්රධාන පරිච්ඡේදවලින් එකකි. ඕනෑම ශ්රිතයක ප්රධාන අංගය වන්නේ එහි ගුණාංග පමණක් නොව, මෙම ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ පරාමිතීන් ද නිරූපණය කරන ප්රස්ථාර වේ. මෙම දුෂ්කර මාතෘකාව තේරුම් ගනිමු. එසේනම් ශ්රිතයක උපරිම සහ අවම ලකුණු සොයා ගැනීමට හොඳම ක්‍රමය කුමක්ද?
කාර්යය: අර්ථ දැක්වීම
යම් ආකාරයකින් වෙනත් ප්‍රමාණයක අගයන් මත රඳා පවතින ඕනෑම විචල්‍යයක් ශ්‍රිතයක් ලෙස හැඳින්විය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, f(x 2) ශ්රිතය හතරැස් වන අතර සම්පූර්ණ x කට්ටලය සඳහාම අගයන් තීරණය කරයි. අපි කියමු x = 9, එවිට අපගේ ශ්රිතයේ අගය 9 2 = 81 ට සමාන වේ.
ශ්‍රිත විවිධ වර්ග වලින් පැමිණේ: තාර්කික, දෛශික, ලඝුගණක, ත්‍රිකෝණමිතික, සංඛ්‍යාත්මක සහ වෙනත්. ඔවුන් Lacroix, Lagrange, Leibniz සහ Bernoulli වැනි කැපී පෙනෙන මනස් විසින් අධ්යයනය කරන ලදී. ඔවුන්ගේ කෘති කාර්යයන් අධ්යයනය කිරීමේ නවීන ක්‍රමවල ප්රධාන අංගයක් ලෙස සේවය කරයි. අවම ලකුණු සොයා ගැනීමට පෙර, ශ්රිතයේ අර්ථය සහ එහි ව්යුත්පන්නය තේරුම් ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ.
ව්යුත්පන්න සහ එහි කාර්යභාරය
සියලුම ශ්‍රිතයන් ඒවායේ විචල්‍යයන් මත රඳා පවතී, එයින් අදහස් වන්නේ ඕනෑම අවස්ථාවක ඒවායේ අගය වෙනස් කළ හැකි බවයි. ප්‍රස්ථාරයේ, මෙය ඕඩිනේට් අක්ෂය දිගේ වැටෙන හෝ ඉහළ යන වක්‍රයක් ලෙස නිරූපණය කෙරේ (මෙය සිරස් ප්රස්ථාරය දිගේ “y” සංඛ්‍යා සමූහයකි). එබැවින්, ශ්රිතයක උපරිම සහ අවම ලක්ෂ්ය නිර්ණය කිරීම මෙම "දෝලනය" සමඟ නිශ්චිතවම සම්බන්ධ වේ. මෙම සම්බන්ධතාවය කුමක්දැයි අපි පැහැදිලි කරමු.
ඕනෑම ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය එහි මූලික ලක්ෂණ අධ්යයනය කිරීම සහ ශ්රිතය කෙතරම් ඉක්මනින් වෙනස් වන්නේද යන්න ගණනය කිරීම සඳහා ප්‍රස්ථාරගත කර ඇත (එනම් "x" විචල්‍යය අනුව එහි අගය වෙනස් වේ). ශ්රිතය වැඩිවන මොහොතේ එහි ව්යුත්පන්නයේ ප්රස්ථාරය ද වැඩි වනු ඇත, නමුත් ඕනෑම තත්පරයක ශ්රිතය අඩු වීමට පටන් ගත හැකි අතර, එවිට ව්යුත්පන්නයේ ප්රස්ථාරය අඩු වේ. ව්යුත්පන්නය සෘණ ලකුණක සිට ධන ලකුණ දක්වා වෙනස් වන ලක්ෂ්ය අවම ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ. අවම ලකුණු සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි දැන ගැනීම සඳහා, ඔබ හොඳින් තේරුම් ගත යුතුය
ව්යුත්පන්න ගණනය කරන්නේ කෙසේද?
නිර්වචනය සහ ශ්‍රිතයන් සාමාන්යයෙන් සංකල්ප කිහිපයක් අදහස් කරයි, ව්‍යුත්පන්නයක නිර්වචනය පහත පරිදි ප්‍රකාශ කළ හැක: ශ්රිතයේ වෙනස් වීමේ වේගය පෙන්වන ප්‍රමාණය මෙයයි.
එය තීරණය කිරීමේ ගණිතමය ක්‍රමය බොහෝ සිසුන්ට සංකීර්ණ බව පෙනේ, නමුත් යථාර්ථයේ දී සියල්ල වඩා සරල ය. ඔබට අවශ්ය වන්නේ ඕනෑම ශ්රිතයක ව්‍යුත්පන්නයක් සෙවීම සඳහා සම්මත සැලැස්ම අනුගමනය කිරීමයි. අවකලනය කිරීමේ නීති යෙදීමෙන් තොරව සහ ව්යුත්පන්න වගුව කටපාඩම් නොකර ඔබට ශ්රිතයක අවම ලක්ෂ්යය සොයාගත හැකි ආකාරය අපි පහත විස්තර කරමු.
- ඔබට ප්රස්ථාරයක් භාවිතයෙන් ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කළ හැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ ශ්‍රිතයම නිරූපණය කළ යුතුය, ඉන්පසු එය මත එක් ලක්ෂ්යයක් ගත යුතුය (රූපයේ A ලක්ෂ්යය) abscissa අක්ෂයට (ලක්ෂ්යය x 0) සිරස් අතට රේඛාවක් අඳින්න, සහ A ලක්ෂ්යයේ දී ස්පර්ශකයක් අඳින්න. ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය. x අක්ෂය සහ ස්පර්ශකය යම් කෝණයක් සාදයි a. ශ්‍රිතයක් කෙතරම් ඉක්මනින් වැඩි වේද යන්නෙහි අගය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ මෙම කෝණයෙහි ස්පර්ශකය ගණනය කළ යුතුය a.
- ස්පර්ශය සහ x-අක්ෂයේ දිශාව අතර කෝණයේ ස්පර්ශකය A ලක්ෂ්යය සහිත කුඩා ප්රදේශයක ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය බව පෙනේ. මෙම ක්‍රමය ව්යුත්පන්නය නිර්ණය කිරීම සඳහා ජ්යාමිතික ක්‍රමයක් ලෙස සැලකේ.
කාර්යය අධ්යයනය කිරීම සඳහා ක්රම
පාසල් ගණිත විෂය මාලාව තුළ ශ්රිතයක අවම ලක්ෂ්යය ක්රම දෙකකින් සොයා ගත හැක. අපි දැනටමත් ප්රස්ථාරයක් භාවිතා කරන පළමු ක්‍රමය ගැන සාකච්ඡා කර ඇත, නමුත් ව්යුත්පන්නයේ සංඛ්‍යාත්මක අගය තීරණය කරන්නේ කෙසේද? මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට ව්යුත්පන්නයේ ගුණාංග විස්තර කරන සූත්‍ර කිහිපයක් ඉගෙන ගැනීමට අවශ්ය වන අතර “x” වැනි විචල්‍යයන් සංඛ්‍යා බවට පරිවර්තනය කිරීමට උපකාරී වේ. පහත ක්‍රමය විශ්වීය වේ, එබැවින් එය සියලුම ආකාරයේ කාර්යයන් සඳහා (ජ්යාමිතික සහ ලඝුගණක යන දෙකම) යෙදිය හැක.
- ශ්රිතය ව්යුත්පන්න ශ්රිතයට සමාන කිරීම අවශ්ය වන අතර, පසුව අවකලනය කිරීමේ රීති භාවිතයෙන් ප්‍රකාශනය සරල කළ යුතුය.
- සමහර අවස්ථා වලදී, විචල්‍ය “x” බෙදුම්කරු තුළ ඇති ශ්‍රිතයක් ලබා දෙන විට, එයින් “0” ලක්ෂ්යය හැර, පිළිගත හැකි අගයන් පරාසය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ (ගණිතයේ දී කිසි විටෙකත් නොකළ යුතු සරල හේතුව නිසා බිංදුවෙන් බෙදන්න).
- මෙයින් පසු, ඔබ ශ්රිතයේ මුල් ස්වරූපය සරල සමීකරණයක් බවට පරිවර්තනය කළ යුතුය, සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය ශුන්යයට සමාන කරයි. උදාහරණයක් ලෙස, ශ්රිතය මේ ආකාරයට පෙනුනේ නම්: f(x) = 2x 3 +38x, එවිට අවකලනය කිරීමේ රීති වලට අනුව එහි ව්යුත්පන්නය f"(x) = 3x 2 +1 ට සමාන වේ. එවිට අපි මෙම ප්‍රකාශනය a බවට පරිවර්තනය කරමු. පහත පෝරමයේ සමීකරණය: 3x 2 +1 = 0 .
- සමීකරණය නිරාකරණය කර "x" ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීමෙන් පසුව, ඔබ ඒවා x-අක්ෂයේ සටහන් කර සලකුණු කළ ලක්ෂ්ය අතර මෙම කොටස්වල ව්යුත්පන්නය ධන හෝ සෘණ ද යන්න තීරණය කළ යුතුය. නම් කිරීමෙන් පසුව, ශ්රිතය අඩු වීමට පටන් ගන්නේ කුමන අවස්ථාවේදීද යන්න පැහැදිලි වනු ඇත, එනම් ලකුණ සෘණ සිට ප්‍රතිවිරුද්ධ දක්වා වෙනස් වේ. ඔබට අවම සහ උපරිම ලකුණු දෙකම සොයාගත හැක්කේ මේ ආකාරයෙන් ය.
අවකලනය කිරීමේ නීති
ශ්‍රිතයක් සහ එහි ව්යුත්පන්නය අධ්යයනය කිරීමේ මූලිකම අංගය වන්නේ අවකලනය පිළිබඳ නීති පිළිබඳ දැනුමයි. ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන් පමණක් ඔබට අපහසු ප්රකාශනයන් සහ විශාල සංකීර්ණ කාර්යයන් පරිවර්තනය කළ හැකිය. අපි ඔවුන් සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු, ඒවායින් බොහොමයක් තිබේ, නමුත් බලය සහ ලඝුගණක ශ්‍රිත දෙකෙහිම ස්වාභාවික ගුණාංග නිසා ඒවා සියල්ලම ඉතා සරල ය.
- ඕනෑම නියතයක ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන වේ (f(x) = 0). එනම්, f(x) = x 5 + x - 160 ව්යුත්පන්නය පහත ආකාරය ගනී: f" (x) = 5x 4 +1.
- පද දෙකක එකතුවේ ව්යුත්පන්න: (f+w)" = f"w + fw".
- ලඝුගණක ශ්රිතයක ව්යුත්පන්න: (log a d)" = d/ln a*d. මෙම සූත්‍රය සියලු වර්ගවල ලඝුගණක සඳහා අදාළ වේ.
- බලයේ ව්යුත්පන්න: (x n)"= n*x n-1. උදාහරණයක් ලෙස, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
- sinusoidal ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය: (sin a)" = cos a. a කෝණයේ sin 0.5 නම්, එහි ව්යුත්පන්නය √3/2 වේ.
අන්ත ලකුණු
අවම ලකුණු සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් සාකච්ඡා කර ඇත, නමුත් ශ්රිතයක උපරිම ලකුණු පිළිබඳ සංකල්පය ද ඇත. ශ්රිතය සෘණ ලකුණක සිට වැඩි අගයක් දක්වා වෙනස් වන ලක්ෂ්ය අවම වශයෙන් දක්වන්නේ නම්, උපරිම ලක්ෂ්ය යනු ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය plus සිට ප්‍රතිවිරුද්ධ දක්වා වෙනස් වන x-අක්ෂයේ එම ලක්ෂ්ය වේ - minus.
ඉහත විස්තර කර ඇති ක්‍රමය භාවිතයෙන් ඔබට එය සොයාගත හැකිය, නමුත් ඒවා ශ්රිතය අඩු වීමට පටන් ගන්නා ප්‍රදේශ පෙන්නුම් කරන බව ඔබ සැලකිල්ලට ගත යුතුය, එනම් ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට වඩා අඩු වනු ඇත.
ගණිතයේ දී, සංකල්ප දෙකම සාමාන්‍යකරණය කිරීම සිරිතකි, ඒවා "අන්තයේ ලක්ෂ්ය" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරයි. කාර්යයක් මෙම කරුණු තීරණය කිරීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින විට, එයින් අදහස් වන්නේ ඔබ ලබා දී ඇති ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කර අවම සහ උපරිම ලකුණු සොයා ගත යුතු බවයි.
අන්තරය (a, b) මත සලකනු ලබන y = f(x) ශ්රිතය සලකා බලන්න.
සියලු x (x1, b) සඳහා වන අන්තරය (a, b) ට අයත් x1 ලක්ෂ්‍යයක b-අසල්වැසියක් දැක්විය හැකි නම්, සියලු x (x1, b) සඳහා අසමානතාවය f(x1) > f(x) පවතිනවා නම්, y1 = f1(x1) ලෙස හැඳින්වේ කාර්යයේ උපරිමය y = f(x) රූපය බලන්න.
අපි උපරිම f(x) මගින් y = f(x) ශ්රිතයේ උපරිමය දක්වන්නෙමු. අන්තරයට (a, b) අයත් වන ලක්ෂ්‍යයක b-අසල්වැසියක් දැක්විය හැකි නම් (a, b) එය O (x2, 6) ට අයත් වන පරිදි, x x2 ට සමාන නොවේ, අසමානතාවය රඳවා ගනී. f(x2)< f(x) , එවිට y2= f(x2) y-f(x) ශ්රිතයේ අවම අගය ලෙස හැඳින්වේ (රූපය බලන්න).
උපරිමය සොයා ගැනීම සඳහා උදාහරණයක් සඳහා, පහත වීඩියෝව බලන්න
අවම කාර්යයන්
අපි y = f(x) ශ්රිතයේ අවම අගය min f(x) මගින් දක්වන්නෙමු. වෙනත් විදිහකින්, ශ්රිතයක උපරිම හෝ අවම y = f(x) කියලාඑහි අගය ලබා දී ඇති අගයට ප්රමාණවත් තරම් සමීප සහ ඊට වඩා වෙනස් වූ ස්ථානවල පිළිගත් අනෙකුත් සියලුම අගයන්ට වඩා වැඩි (අඩු) වේ.
සටහන 1. උපරිම කාර්යය, අසමානතාවයෙන් අර්ථ දක්වා ඇති දැඩි උපරිම ලෙස හැඳින්වේ; දැඩි නොවන උපරිමය අසමානතාවය f(x1) > = f(x2) මගින් තීරණය වේ
සටහන 2. දේශීය චරිතයක් ඇත (මේවා අදාළ ලක්ෂ්යයේ ප්රමාණවත් තරම් කුඩා අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතයේ විශාලතම හා කුඩාම අගයන් වේ); ශ්රිතයක තනි අවම අගය එකම ශ්රිතයේ උපරිමයට වඩා වැඩි විය හැක
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ශ්රිතයේ උපරිම (අවම) ලෙස හැඳින්වේ දේශීය උපරිම(දේශීය අවම) නිරපේක්ෂ උපරිමයට (අවම) ප්‍රතිවිරුද්ධව - ශ්රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසමේ විශාලතම (කුඩාම) අගය.
ශ්රිතයක උපරිම සහ අවම අගය අන්ත ලෙස හැඳින්වේ . ශ්‍රිතවල ප්රස්ථාර තැනීම සඳහා Extrema in හමු වේ
ලතින් අන්ත යනු "අන්ත" යන්නයි අර්ථය. අන්තයට ළඟා වන තර්කයේ අගය x අන්ත ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ. අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය පහත ප්රමේයය මගින් ප්‍රකාශ වේ.
ප්රමේයය. අවකලනය කළ හැකි ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්යයේ දී එහි ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන වේ.
ප්‍රමේයයට සරල ජ්යාමිතික අර්ථයක් ඇත: අනුරූප ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය කළ හැකි ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකය Ox අක්ෂයට සමාන්තර වේ.
1°. ශ්රිතයක අන්තය නිර්ණය කිරීම.
විචල්‍ය දෙකක ශ්රිතයක උපරිම, අවම සහ අන්ත යන සංකල්ප එක් ස්වාධීන විචල්‍යයක ශ්රිතයක අනුරූප සංකල්පවලට සමාන වේ.
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න z =f (x ; y)යම් ප්රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇත ඩීතිත N (x 0;y 0) ඩී.
තිත් (x 0;y 0)ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ උපරිමකාර්යයන් z= f (x ;y),ලක්ෂ්යයේ එවැනි -අසල්වැසියක් තිබේ නම් (x 0;y 0),එක් එක් කරුණ සඳහා බව (x;y),ගෙන් වෙනස් (x 0;y 0)මෙම අසමානතාවයෙන් අසමානතාවය පවතී f (x ;y)< f (x 0;y 0).රූප සටහන 12 හි: N 1 -උපරිම ලක්ෂ්යය, a N 2 -ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය z =f (x ;y)
ලක්ෂ්යය ඒ හා සමානව තීරණය වේ අවමකාර්යයන්: සියලු කරුණු සඳහා (x 0;y 0),ගෙන් වෙනස් (x 0;y 0),ලක්ෂයක d -අසල්වැසි සිට (x 0;y 0)අසමානතාවය පවතින්නේ: f (x 0;y 0) >f (x 0;y 0).
විචල්‍ය තුනක හෝ වැඩි ගණනක ශ්රිතයක අන්තය ද ඒ හා සමානව තීරණය වේ.
උපරිම (අවම) ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අගය හැඳින්වේ උපරිම (අවම)කාර්යයන්.
ශ්රිතයක උපරිම සහ අවම අගය ලෙස හැඳින්වේ අන්ත.
නිර්වචනය අනුව, ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්යය පවතින්නේ ශ්රිතයේ නිර්වචන වසම තුළ බව සලකන්න; උපරිම සහ අවම ඇත දේශීය(දේශීය) අක්ෂරය: ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයක අගය (x 0;y 0)ප්රමාණවත් තරම් ආසන්න ස්ථානවල එහි අගයන් සමඟ සංසන්දනය කර ඇත (x 0;y 0).ප්රදේශයේ ඩීශ්‍රිතයකට අන්ත කිහිපයක් හෝ කිසිවක් තිබිය හැක.
2°. අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසි.
ශ්රිතයක අන්තයක පැවැත්ම සඳහා කොන්දේසි සලකා බලමු.
ජ්යාමිතික වශයෙන් සමානකම් f"y (x 0;y 0)= 0 සහ f"y (x 0;y 0) = 0 යනු ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්යයේ දී ය z = f (x ; y)කාර්යය නියෝජනය කරන මතුපිටට ස්පර්ශක තලය f (x ; y),ගුවන් යානයට සමාන්තරව ඔහ් හූස්පර්ශක තලයේ සමීකරණය නිසා z =z 0.
අදහස් දක්වන්න.ශ්‍රිතයකට අවම වශයෙන් එක් අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයක්වත් නොපවතින ස්ථානවල අන්තයක් තිබිය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, කාර්යය 
ලක්ෂ්යයේ උපරිමයක් ඇත ගැන(0;0), නමුත් මෙම අවස්ථාවේදී පාර්ශවීය ව්‍යුත්පන්නයන් නොමැත.
ශ්රිතයේ පළමු අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්යුත්පන්න වන ලක්ෂ්යය z = f (x ;y)ශුන්යයට සමාන වේ, i.e. f"x = 0, f" y = 0, කැඳවා ඇත ස්ථාවර ලක්ෂ්යයකාර්යයන් z
අවම වශයෙන් එක් අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයක්වත් නොපවතින ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සහ ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ විවේචනාත්මක කරුණු.
තීරණාත්මක අවස්ථාවන්හිදී, ශ්රිතයට අන්තයක් තිබිය හැකිය හෝ නොතිබිය හැකිය. ශුන්යයට අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල සමානාත්මතාවය අන්තයක පැවැත්ම සඳහා අවශ්ය නමුත් ප්රමාණවත් නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, කාර්යය සලකා බලන්න z = හූ.එය සඳහා, ලක්ෂ්යය 0 (0; 0) තීරණාත්මක වේ (එය බිංදුවට හැරේ). කෙසේ වෙතත්, එහි අන්ත ශ්රිතය වේ z = xyනැත, මන්ද O (0;0) ලක්ෂ්යයේ ප්රමාණවත් තරම් කුඩා අසල්වැසි ප්රදේශයක ලකුණු ඇති බැවිනි z> 0 (1 වන සහ 3 වන කාර්තු වල ලකුණු) සහ z< 0 (II සහ IV කාර්තුවල ලකුණු).
මේ අනුව, දී ඇති ප්රදේශයක ශ්රිතයක අන්තය සොයා ගැනීමට, ශ්රිතයේ එක් එක් තීරණාත්මක ලක්ෂ්යය අතිරේක පර්යේෂණයකට යටත් කිරීම අවශ්ය වේ.
සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීමෙන් ස්ථාවර ලක්ෂ්ය සොයා ගනී
|
fx (x, y) = 0, f"y (x, y) = 0 |
(අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසි).
පද්ධතිය (1) එක් සමීකරණයකට සමාන වේ df(x, y)=0.සාමාන්යයෙන්, අන්ත ලක්ෂ්යයේ දී P(a, b)කාර්යයන් f(x, y)හෝ df(x, y)=0, හෝ df(a, b) නොපවතී.
3°. අන්තයක් සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි. ඉඩ P(a;b)- ශ්රිතයේ ස්ථාවර ලක්ෂ්යය f(x,y), i.e. . df(a, b) = 0. ඉන්පසු:
සහ නම් d2f (a, b)< 0 හිදී, එවිට f(a, b) අර තියෙන්නේ උපරිමකාර්යයන් f (x, y);
b) නම් d2f (a, b) > 0හිදී, එවිට f(a, b)අර තියෙන්නේ අවමකාර්යයන් f (x,y);
ඇ) නම් d2f (a, b)වෙනස් ලකුණ, පසුව f (a, b) යනු ශ්රිතයේ අන්තයක් නොවේ f (x, y).
ලබා දී ඇති කොන්දේසි පහත ඒවාට සමාන වේ: ඉඩ දෙන්න 
සහ . අපි රචනා කරමු වෙනස්කම් කරන
Δ=AC -B².
1) Δ > 0 නම්, ශ්රිතයට ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් ඇත P(a;b)එනම්, උපරිම නම් ඒ<0 (හෝ සමග<0 ), සහ අවම නම් A>0(හෝ С>0);
2) Δ නම්< 0, то экстремума в точке P(a;b)නැත;
3) Δ =0 නම්, ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ අන්තයක් තිබීම පිළිබඳ ප්‍රශ්නය P(a;b)විවෘතව පවතී (තවත් පර්යේෂණ අවශ්ය වේ).
4°. විචල්‍ය කිහිපයක ශ්රිතයක අවස්ථාව. විචල්‍ය තුනක හෝ වැඩි ගණනක ශ්‍රිතයක් සඳහා, අන්තයක පැවැත්ම සඳහා අවශ්ය කොන්දේසි කොන්දේසි (1) ට සමාන වන අතර, ප්රමාණවත් කොන්දේසි a), b), c) 3° ට සමාන වේ.
උදාහරණයක්. අන්ත කාර්යය පරීක්ෂා කරන්න z=x³+3xy²-15x-12y.
විසඳුමක්. අපි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සොයාගෙන සමීකරණ පද්ධතියක් නිර්මාණය කරමු (1):
පද්ධතිය විසඳීම, අපි ස්ථාවර කරුණු හතරක් ලබා ගනිමු:
අපි 2nd order derivatives සොයා ගනිමු
සහ වෙනස්කම් කරන්නෙකු නිර්මාණය කරන්න Δ=AC - B²එක් එක් ස්ථාවර ලක්ෂ්යය සඳහා.
1) කරුණ සඳහා: 
, Δ=AC-B²=36-144<0
. මෙයින් අදහස් වන්නේ ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් නොමැති බවයි.
2) P2 ලක්ෂ්යය සඳහා: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. P2 ලක්ෂ්යයේදී ශ්රිතයට අවම අගයක් ඇත. මෙම අවම ශ්රිතයේ අගයට සමාන වේ x=2, y=1: zmin=8+6-30-12=-28.
3) කරුණ සඳහා: A= -6, B=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . අන්තයක් නැත.
4) P 4 ලක්ෂ්යය සඳහා: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. P4 ලක්ෂ්යයේදී ශ්රිතයට උපරිම සමාන අගයක් ඇත Zmax=-8-6+30+12=28.
5°. කොන්දේසි සහිත අන්තය. සරලම අවස්ථාවක කොන්දේසි සහිත අන්තයකාර්යයන් f(x,y) යනු මෙම ශ්රිතයේ උපරිම හෝ අවම අගය වන අතර, එහි තර්ක සමීකරණය මගින් සම්බන්ධ වන කොන්දේසිය යටතේ ලබා ගනී φ(x,y)=0 (සම්බන්ධතා සමීකරණය) ශ්රිතයක කොන්දේසි සහිත අන්තය සොයා ගැනීමට f(x, y) සම්බන්ධතාවයක් ඉදිරියේ φ(x,y) = 0, ඊනියා පිහිටුවීම Lagrange කාර්යය
F (x,y )=f (x,y)+λφ (x,y),
එහිදී λ යනු නිර්වචනය නොකළ නියත සාධකයක් වන අතර, මෙම සහායක ශ්රිතයේ සාමාන්‍ය අන්තය සොයයි. අන්තයක් සඳහා අවශ්ය කොන්දේසි සමීකරණ තුනක පද්ධතියකට අඩු වේ
|
|
නොදන්න තුන් දෙනෙක් එක්ක x, y, λ, මෙම නොදන්නා දේ සාමාන්යයෙන් කථා කරන විට තීරණය කළ හැක.
Lagrange ශ්රිතයේ දෙවන අවකලනයේ ලකුණ අධ්යයනය කිරීම මත පදනම්ව කොන්දේසි සහිත අන්තයේ පැවැත්ම සහ ස්වභාවය පිළිබඳ ප්‍රශ්නය විසඳනු ලැබේ.
පරීක්ෂණයට ලක්වන අගය පද්ධතිය සඳහා x, y, λ, ලබා ගත් (2) බව සපයා ඇත dxසහ dуසමීකරණය මගින් සම්බන්ධ වේ
.
එනම්, කාර්යය f(x,y) නම් කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත d²F< 0, සහ කොන්දේසි සහිත අවම නම් d²F>0. විශේෂයෙන්ම, කාර්යය සඳහා වෙනස්කම් Δ නම් F(x,y)නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයක ධනාත්මක වේ, එවිට මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතයේ කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත f(x, y), නම් ඒ< 0 (හෝ සමග< 0), සහ කොන්දේසි සහිත අවම නම් A > O(හෝ С>0).
ඒ හා සමානව, විචල්‍ය තුනක හෝ වැඩි ගණනක ශ්රිතයක කොන්දේසිගත අන්තය සම්බන්ධතා සමීකරණ එකක් හෝ වැඩි ගණනක් හමුවේ දක්නට ලැබේ (කෙසේ වෙතත් ඒවායේ සංඛ්‍යාව විචල්‍ය ගණනට වඩා අඩු විය යුතුය). මෙහිදී අපට සම්බන්ධක සමීකරණ ඇති තරම් අවිනිශ්චිත සාධක Lagrange ශ්රිතයට හඳුන්වා දිය යුතුය.
උදාහරණයක්. ශ්රිතයේ අන්තය සොයන්න z =6-4x -3වයිවිචල්යයන් බව සපයා ඇත xසහ හිදීසමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්න x²+y²=1.
විසඳුමක්. ජ්යාමිතික වශයෙන්, ගැටළුව පැමිණෙන්නේ යෙදුමේ විශාලතම හා කුඩාම අගයන් සොයා ගැනීමයි zගුවන් යානය z=6 - 4x - Zuසිලින්ඩරය සමඟ එහි ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සඳහා x2+y2=1.
Lagrange ශ්රිතය සම්පාදනය කිරීම F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).
අපිට තියෙනවා 
. අවශ්ය කොන්දේසි සමීකරණ පද්ධතිය ලබා දෙයි
අපි සොයා ගන්නා විසඳුම:
.
,
d²F =2λ (dx²+dy²).
නම් සහ, එසේ නම් d²F >0, සහ, එබැවින්, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතයට කොන්දේසි සහිත අවමයක් ඇත. නම් 
ඊළගට d²එෆ්<0,
සහ, එබැවින්, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතයට කොන්දේසි සහිත උපරිමයක් ඇත.
මේ අනුව,
6°. ශ්රිතයක විශාලතම සහ කුඩාම අගයන්.
කාර්යයට ඉඩ දෙන්න z =f (x ; y)සීමිත සංවෘත කලාපයක නිර්වචනය කර අඛණ්ඩව . එවිට ඇය සමහර ස්ථානවලට ළඟා වේ ඔබේ ශ්රේෂ්ඨතම එම්සහ අවම වශයෙන් ටීඅගයන් (ඊනියා ගෝලීය අන්තය).මෙම අගයන් සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ කලාපය තුළ පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යවල ක්‍රියාකාරිත්වය මගිනි , හෝ කලාපයේ මායිමේ පිහිටා ඇති ස්ථානවල.
