අංක ගණිත මධ්යන්ය සූත්රය. දෙදෙනෙකු සඳහා අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගන්නේ කෙසේද සහ ගණනය කරන්නේ කෙසේද?
) සහ සාම්පල මධ්යන්ය (සාම්පල).
විශ්වකෝෂ YouTube
-
1 / 5
දත්ත කට්ටලය දක්වන්න x = (x 1 , x 2 , …, x n), එවිට නියැදි මධ්යන්යය සාමාන්‍යයෙන් විචල්‍යයට ඉහළින් තිරස් තීරුවකින් දැක්වේ (, උච්චාරණය කර ඇත " xඉරක් සමඟ").
ග්‍රීක අකුර μ සමස්ත ජනගහනයේ අංක ගණිත මධ්යන්යය දැක්වීමට භාවිතා කරයි. අහඹු ප්‍රමාණයක් සඳහා, මධ්යන්ය අගය තීරණය කරනු ලබන්නේ, μ වේ සම්භාවිතාව මධ්යන්යහෝ අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව. කට්ටලය නම් xμ සම්භාවිතාවක් සහිත අහඹු සංඛ්යා එකතුවකි, පසුව ඕනෑම නියැදියකට x මමමෙම එකතුවෙන් μ = E( x මම) යනු මෙම නියැදියේ ගණිතමය අපේක්ෂාවයි.
ප්රායෝගිකව, μ සහ අතර වෙනස x ¯ (\ displaystyle (\bar (x)))එහි μ යනු සාමාන්ය විචල්‍යයකි, මන්ද ඔබට සම්පූර්ණ ජනගහනයට වඩා නියැදිය දැකිය හැක. එබැවින්, නියැදිය අහඹු ලෙස ඉදිරිපත් කරන්නේ නම් (සම්භාවිතා න්යාය අනුව), එසේ නම් x ¯ (\ displaystyle (\bar (x)))(නමුත් μ නොවේ) නියැදිය මත සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියක් ඇති අහඹු-විචල්‍යයක් ලෙස සැලකිය හැකිය (මධ්‍යන්‍යයේ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය).
මෙම ප්‍රමාණයන් දෙකම එකම ආකාරයකින් ගණනය කෙරේ:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\ displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)උදාහරණ
- අංක තුනක් සඳහා, ඔබ ඒවා එකතු කර 3 න් බෙදිය යුතුය:
- අංක හතරක් සඳහා, ඔබ ඒවා එකතු කර 4 න් බෙදිය යුතුය:
හෝ පහසු 5+5=10, 10:2. අපි සංඛ්යා 2ක් එකතු කළ නිසා, ඒ කියන්නේ අපි සංඛ්යා කීයක් එකතු කරනවාද, අපි එම ප්‍රමාණයෙන් බෙදනවා.
අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යය
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(ba))\int _(a)^(b) f(x)dx)සාමාන්යය භාවිතා කිරීමේ සමහර ගැටළු
ශක්තිමත් බව නොමැතිකම
අංක ගණිත මධ්යන්යය බොහෝ විට මාධ්‍යයන් හෝ කේන්ද්‍රීය ප්‍රවණතා ලෙස භාවිතා වුවද, මෙම සංකල්පය ශක්තිමත් සංඛ්‍යාලේඛන සඳහා අදාළ නොවේ, එයින් අදහස් කරන්නේ අංක ගණිත මධ්යන්යය "විශාල අපගමනයන්" මගින් දැඩි ලෙස බලපාන බවයි. විකෘතිතාවයේ විශාල සංගුණකයක් සහිත බෙදා හැරීම් සඳහා, අංක ගණිත මධ්යන්යය "මධ්යන්ය" යන සංකල්පයට අනුරූප නොවිය හැකි අතර, ශක්තිමත් සංඛ්‍යාලේඛන වලින් මධ්‍යන්‍යයේ අගයන් (උදාහරණයක් ලෙස, මධ්ය) වඩා හොඳින් මධ්‍යම විස්තර කළ හැකි බව සැලකිය යුතු කරුණකි. ප්රවණතාවය.
සම්භාව්ය උදාහරණය වන්නේ සාමාන්ය ආදායම ගණනය කිරීමයි. අංක ගණිත මධ්යන්යය මධ්යන්ය ලෙස වැරදි ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක, එය ඇත්ත වශයෙන්ම සිටින ප්රමාණයට වඩා වැඩි ආදායමක් ඇති පුද්ගලයින් වැඩි බව නිගමනය කළ හැකිය. "මධ්‍යන්" ආදායම අර්ථකථනය කරනුයේ බොහෝ පුද්ගලයන්ගේ ආදායම මෙම සංඛ්‍යාවට ආසන්න වන ආකාරයටය. මෙම "සාමාන්ය" (අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයේ අර්ථයෙන්) ආදායම බොහෝ මිනිසුන්ගේ ආදායමට වඩා වැඩිය, මන්ද සාමාන්‍යයෙන් විශාල අපගමනයක් සහිත ඉහළ ආදායමක් අංක ගණිත මධ්යන්යය දැඩි ලෙස විකෘති කරයි (ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධව, මධ්ය ආදායම "ප්‍රතිරෝධී" වේ. එවැනි නැඹුරුවක්). කෙසේ වෙතත්, මෙම "සාමාන්ය" ආදායම මධ්ය ආදායමට ආසන්න පුද්ගලයින් සංඛ්යාව ගැන කිසිවක් නොකියයි (සහ මාර්‍ග ආදායමට ආසන්න පුද්ගලයින් සංඛ්යාව ගැන කිසිවක් නොකියයි). කෙසේ වෙතත්, "සාමාන්ය" සහ "බහුතරය" යන සංකල්ප සැහැල්ලුවට ගන්නේ නම්, බොහෝ මිනිසුන්ට ඇත්ත වශයෙන්ම වඩා වැඩි ආදායමක් ඇති බව කෙනෙකුට වැරදි ලෙස නිගමනය කළ හැකිය. නිදසුනක් වශයෙන්, වොෂින්ටනයේ මෙඩිනාහි "සාමාන්ය" ශුද්ධ ආදායම පිළිබඳ වාර්තාවක්, පදිංචිකරුවන්ගේ සියලුම වාර්ෂික ශුද්ධ ආදායමේ අංක ගණිත සාමාන්යය ලෙස ගණනය කර, බිල් ගේට්ස් නිසා පුදුම සහගත ලෙස විශාල සංඛ්‍යාවක් ලබා දෙනු ඇත. නියැදිය සලකා බලන්න (1, 2, 2, 2, 3, 9). අංක ගණිත මධ්යන්යය 3.17 වේ, නමුත් අගයන් හයෙන් පහක් මෙම මධ්යන්යයට වඩා අඩුය.
සංයුක්ත පොලී
සංඛ්යා නම් ගුණ කරන්න, නමුත් නැහැ ගුණ කරන්න, ඔබ භාවිතා කළ යුත්තේ ජ්‍යාමිතික මධ්යන්යය මිස අංක ගණිත මධ්යන්යය නොවේ. බොහෝ විට, මෙම සිදුවීම සිදුවන්නේ මූල්ය සඳහා ආපසු ගෙවීමේ ආයෝජන ගණනය කිරීමේදී ය.
උදාහරණයක් ලෙස, පළමු වසරේ කොටස් 10% කින් පහත වැටී දෙවන වසරේ 30% කින් ඉහළ ගියේ නම්, මෙම වසර දෙක තුළ "සාමාන්ය" වැඩිවීම අංක ගණිත මධ්යන්යය (−10% + 30%) / 2 ලෙස ගණනය කිරීම වැරදිය. = 10%; මෙම නඩුවේ නිවැරදි සාමාන්යය ලබා දෙන්නේ සංයුක්ත වාර්ෂික වර්ධන වේගයෙනි, එයින් වාර්ෂික වර්ධනය 8.16653826392% ≈ 8.2% පමණ වේ.
මෙයට හේතුව සෑම අවස්ථාවකදීම ප්‍රතිශතවලට නව ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයක් තිබීමයි: 30% යනු 30% පළමු වසර ආරම්භයේ මිලට වඩා අඩු සංඛ්‍යාවකින්:කොටස් ඩොලර් 30 කින් ආරම්භ වී 10% කින් පහත වැටුනේ නම්, දෙවන වසර ආරම්භයේදී එය ඩොලර් 27 කි. කොටස් 30% වැඩි නම්, එය දෙවන වසර අවසානයේ ඩොලර් 35.1 ක් වේ. මෙම වර්ධනයේ අංක ගණිත සාමාන්යය 10% වේ, නමුත් කොටස් 2 වසර තුළ ඩොලර් 5.1 කින් පමණක් වර්ධනය වී ඇති බැවින්, 8.2% ක සාමාන්ය වැඩිවීමක් අවසාන ප්රතිඵලය $35.1 ලබා දෙයි:
[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. අපි 10% ක අංක ගණිත මධ්යන්යය ඒ ආකාරයෙන්ම භාවිතා කළහොත්, අපට සත්‍ය අගය ලැබෙන්නේ නැත: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
2 වසර අවසානයේ සංයුක්ත පොලී: 90% * 130% \u003d 117%, එනම් 17% ක සම්පූර්ණ වැඩිවීමක් සහ සාමාන්ය වාර්ෂික සංයුක්ත පොලී 117 % ≈ 108.2 % (\ displaystyle (\sqrt (117\%))\ආසන්න වශයෙන් 108.2\%), එනම්, 8.2% ක සාමාන්ය වාර්ෂික වැඩිවීමක්. මෙම සංඛ්යාව හේතු දෙකක් නිසා වැරදිය.
ඉහත සූත්‍රයට අනුව ගණනය කරන ලද චක්‍රීය විචල්‍යයක් සඳහා වන සාමාන්ය අගය සැබෑ සාමාන්‍යයට සාපේක්ෂව සංඛ්‍යාත්මක පරාසයේ මැදට කෘතිමව මාරු කරනු ලැබේ. මේ නිසා, සාමාන්යය වෙනත් ආකාරයකින් ගණනය කරනු ලැබේ, එනම්, කුඩාම විචලනය සහිත සංඛ්යාව (මධ්ය ලක්ෂ්යය) සාමාන්ය අගය ලෙස තෝරා ඇත. එසේම, අඩු කිරීම වෙනුවට, මොඩියුල දුර (එනම්, පරිධිය දුර) භාවිතා වේ. උදාහරණයක් ලෙස, 1° සහ 359° අතර මොඩියුලර් දුර 2°, 358° නොවේ (359° සහ 360°==0° අතර කවයක් මත - එක් අංශකයක්, 0° සහ 1° අතර - ද 1°, සම්පූර්ණයෙන් - 2 °).
Excel හි සාමාන්ය අගය සොයා ගැනීම සඳහා (එය සංඛ්‍යාත්මක, පාඨමය, ප්‍රතිශතයක් හෝ වෙනත් අගයක් වේවා), බොහෝ කාර්යයන් ඇත. තවද ඒ සෑම එකක්ම තමන්ගේම ලක්ෂණ සහ වාසි ඇත. සියල්ලට පසු, මෙම කාර්යයේදී යම් යම් කොන්දේසි සකස් කළ හැකිය.
උදාහරණයක් ලෙස, එක්සෙල් හි සංඛ්යා මාලාවක සාමාන්ය අගයන් සංඛ්‍යානමය ශ්‍රිත භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ. ඔබට ඔබේම සූත්රය හස්තීයව ඇතුළත් කළ හැකිය. විවිධ විකල්ප සලකා බලමු.
සංඛ්යා ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගැනීමට, ඔබ කුලකයේ ඇති සියලුම සංඛ්යා එකතු කර එකතුව සංඛ්‍යාවෙන් බෙදන්න. උදාහරණයක් ලෙස, පරිගණක විද්‍යාවේ ශිෂ්‍යයෙකුගේ ශ්‍රේණි: 3, 4, 3, 5, 5. කාර්තුවකට යන්නේ කුමක්ද: 4. අපි සූත්රය භාවිතයෙන් අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගත්තෙමු: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Excel කාර්යයන් භාවිතයෙන් එය ඉක්මනින් කරන්නේ කෙසේද? උදාහරණයක් ලෙස තන්තුවක අහඹු සංඛ්යා මාලාවක් ගන්න:
නැතහොත්: සෛලය සක්‍රිය කර සරලව අතින් සූත්රය ඇතුළු කරන්න: =AVERAGE(A1:A8).
දැන් අපි බලමු AVERAGE ශ්‍රිතයට තවත් මොනවද කරන්න පුළුවන් කියලා.
පළමු සහ අවසාන සංඛ්යා තුනේ අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයන්න. සූත්රය: = AVERAGE(A1:B1;F1:H1). ප්රතිඵලය:
තත්ත්වය අනුව සාමාන්යය
අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගැනීමේ කොන්දේසිය සංඛ්‍යාත්මක නිර්ණායකයක් හෝ පෙළ එකක් විය හැක. අපි ශ්රිතය භාවිතා කරන්නෙමු: =AVERAGEIF().
10ට වඩා වැඩි හෝ සමාන සංඛ්‍යාවල අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයන්න.
කාර්යය: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
">=10" කොන්දේසිය මත AVERAGEIF ශ්රිතය භාවිතා කිරීමේ ප්රතිඵලය: තුන්වන තර්කය - "සාමාන්ය පරාසය" - ඉවත් කර ඇත. පළමුව, එය අවශ්ය නොවේ. දෙවනුව, වැඩසටහන මගින් විග්‍රහ කරන ලද පරාසයේ ඇත්තේ සංඛ්‍යාත්මක අගයන් පමණි. පළමු තර්කයේ සඳහන් කර ඇති සෛල තුළ, දෙවන තර්කයේ දක්වා ඇති කොන්දේසිය අනුව සෙවීම සිදු කරනු ලැබේ.
අවධානය! සෙවුම් නිර්ණායකය කොටුවක සඳහන් කළ හැක. ඒ ගැන සඳහනක් කිරීමට සහ සූත්‍රයේ.
පෙළ නිර්ණායකය මගින් සංඛ්යා වල සාමාන්ය අගය සොයා ගනිමු. උදාහරණයක් ලෙස, නිෂ්පාදනයේ සාමාන්ය විකුණුම් "වගු".
ශ්රිතය මෙලෙස දිස්වනු ඇත: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). පරාසය - නිෂ්පාදන නම් සහිත තීරුවකි. සෙවුම් නිර්ණායකය "වගුව" යන වචනය සහිත කොටුවකට සබැඳියකි (ඔබට A7 සබැඳිය වෙනුවට "වගු" යන වචනය ඇතුල් කළ හැක). සාමාන්ය පරාසය - සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීමට දත්ත ගන්නා සෛල.
කාර්යය ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, අපි පහත අගය ලබා ගනිමු:
අවධානය! පෙළ නිර්ණායකයක් (තත්ත්වය) සඳහා සාමාන්ය පරාසය නියම කළ යුතුය.
Excel හි බරිත සාමාන්ය මිල ගණනය කරන්නේ කෙසේද?
බරිත සාමාන්ය මිල අපි දන්නේ කෙසේද?
සූත්රය: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).
SUMPRODUCT සූත්රය භාවිතා කරමින්, සම්පූර්ණ භාණ්ඩ ප්රමාණය විකිණීමෙන් පසු මුළු ආදායම අපි සොයා ගනිමු. සහ SUM ශ්රිතය - භාණ්ඩ ප්රමාණය සාරාංශ කරයි. භාණ්ඩ විකිණීමෙන් ලැබෙන මුළු ආදායම මුළු භාණ්ඩ ඒකක ගණනින් බෙදීමෙන්, අපි බර කළ සාමාන්ය මිල සොයා ගත්තෙමු. මෙම දර්ශකය එක් එක් මිලෙහි "බර" සැලකිල්ලට ගනී. මුළු අගයන් ස්කන්ධයෙන් එහි කොටස.
සම්මත අපගමනය: Excel හි සූත්රය
සාමාන්ය ජනගහනය සහ නියැදිය සඳහා සම්මත අපගමනය අතර වෙනස හඳුනා ගන්න. පළමු අවස්ථාවේ දී, මෙය සාමාන්ය විචලනයේ මූලය වේ. දෙවනුව, නියැදි විචලනය සිට.
මෙම සංඛ්යාන දර්ශකය ගණනය කිරීම සඳහා, විසරණ සූත්රයක් සම්පාදනය කර ඇත. එයින් මූලය ගනු ලැබේ. නමුත් Excel හි සම්මත අපගමනය සොයා ගැනීම සඳහා සූදානම් කළ කාර්යයක් ඇත.
සම්මත අපගමනය මූලාශ්‍ර දත්තවල පරිමාණයට සම්බන්ධ වේ. විශ්ලේෂණය කළ පරාසයේ විචලනය පිළිබඳ සංකේතාත්මක නිරූපණයක් සඳහා මෙය ප්රමාණවත් නොවේ. දත්තවල විසිරීමේ සාපේක්ෂ මට්ටම ලබා ගැනීම සඳහා, විචලනයේ සංගුණකය ගණනය කරනු ලැබේ:
සම්මත අපගමනය / අංක ගණිත මධ්යන්යය
එක්සෙල් හි සූත්රය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:
STDEV (අගය පරාසය) / සාමාන්ය (අගය පරාසය).
විචලනයේ සංගුණකය ප්‍රතිශතයක් ලෙස ගණනය කෙරේ. එබැවින්, අපි සෛලයේ ප්රතිශත ආකෘතිය සකස් කරමු.
ගණිතයේ දී, සංඛ්‍යාවල අංක ගණිත මධ්යන්යය (හෝ සරලව සාමාන්යය) යනු දී ඇති කට්ටලයක ඇති සියලුම සංඛ්යා ඒවායේ සංඛ්‍යාවෙන් බෙදීමයි. මෙය සාමාන්ය අගය පිළිබඳ වඩාත් පොදු සහ පුළුල් සංකල්පයකි. ඔබ දැනටමත් තේරුම් ගෙන ඇති පරිදි, සොයා ගැනීම සඳහා ඔබට ලබා දී ඇති සියලුම සංඛ්යා සාරාංශ කිරීමට අවශ්ය වන අතර, ප්රතිඵලය පද ගණනින් බෙදන්න.
අංක ගණිතය යනු කුමක්ද?
අපි උදාහරණයක් බලමු.
උදාහරණය 1. අංක ලබා දී ඇත: 6, 7, 11. ඔබ ඔවුන්ගේ සාමාන්ය අගය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්.
පළමුව, ලබා දී ඇති සියලුම සංඛ්‍යාවල එකතුව සොයා ගනිමු.
දැන් අපි ලැබෙන එකතුව පද ගණනින් බෙදන්නෙමු. අපට පිළිවෙලින් පද තුනක් ඇති බැවින්, අපි තුනෙන් බෙදන්නෙමු.
එබැවින්, 6, 7 සහ 11 හි සාමාන්යය 8 වේ. ඇයි 8? ඔව්, 6, 7 සහ 11 එකතුව අට තුනට සමාන වන බැවිනි. මෙය නිදර්ශනයේ පැහැදිලිව දැකගත හැකිය.
සාමාන්ය අගය සංඛ්යා මාලාවක "පෙළගැස්ම" තරමක් සිහිගන්වයි. ඔබට පෙනෙන පරිදි, පැන්සල් ගොඩවල් එක මට්ටමක් බවට පත්ව ඇත.
ලබාගත් දැනුම තහවුරු කිරීම සඳහා තවත් උදාහරණයක් සලකා බලන්න.
උදාහරණය 2අංක ලබා දී ඇත: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. ඔබ ඔවුන්ගේ අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගත යුතුය.
විසඳුමක්.
අපි එකතුව සොයා ගනිමු.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
පද ගණනින් බෙදන්න (මෙම අවස්ථාවේදී, 15).
එබැවින් මෙම සංඛ්යා මාලාවේ සාමාන්ය අගය 22 කි.
දැන් සෘණ සංඛ්යා සලකා බලන්න. ඒවා සාරාංශ කරන්නේ කෙසේදැයි අපි මතක තබා ගනිමු. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට අංක 1 සහ -4 දෙකක් තිබේ. අපි ඔවුන්ගේ එකතුව සොයා ගනිමු.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
මෙය දැන ගැනීමෙන්, තවත් උදාහරණයක් සලකා බලන්න.
උදාහරණය 3සංඛ්යා මාලාවක සාමාන්ය අගය සොයන්න: 3, -7, 5, 13, -2.
විසඳුමක්.
සංඛ්යා එකතුව සොයා ගැනීම.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
පද 5ක් ඇති නිසා ලැබෙන එකතුව 5න් බෙදන්නෙමු.
එබැවින්, අංක 3, -7, 5, 13, -2 අංකවල ගණිත මධ්යන්යය 2.4 වේ.
අපගේ තාක්ෂණික ප්රගතියේ කාලය තුළ, සාමාන්ය අගය සොයා ගැනීම සඳහා පරිගණක වැඩසටහන් භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු වේ. Microsoft Office Excel ඉන් එකකි. Excel හි සාමාන්යය සොයා ගැනීම ඉක්මන් සහ පහසු වේ. එපමණක් නොව, මෙම වැඩසටහන Microsoft Office වෙතින් මෘදුකාංග පැකේජයට ඇතුළත් කර ඇත. මෙම වැඩසටහන භාවිතා කරමින් කෙටි උපදෙස්, වටිනාකමක් සලකා බලමු.
සංඛ්යා මාලාවක සාමාන්ය අගය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ AVERAGE ශ්රිතය භාවිතා කළ යුතුය. මෙම කාර්යය සඳහා වාක්‍ය ඛණ්ඩය වන්නේ:
=සාමාන්යය(තර්කය1, තර්කය2, ... තර්කය255)
මෙහි argument1, argument2, ... argument255 යනු සංඛ්යා හෝ සෛල යොමු වේ (සෛල යනු පරාස සහ අරා).එය පැහැදිලි කිරීම සඳහා, ලබාගත් දැනුම පරීක්ෂා කරමු.
- C1 - C6 සෛල තුළ අංක 11, 12, 13, 14, 15, 16 ඇතුළත් කරන්න.
- එය මත ක්ලික් කිරීමෙන් C7 කොටුව තෝරන්න. මෙම කොටුව තුළ, අපි සාමාන්ය අගය පෙන්වනු ඇත.
- "සූත්ර" ටැබය මත ක්ලික් කරන්න.
- විවෘත කිරීමට තවත් කාර්යයන් > සංඛ්යාන තෝරන්න
- AVERAGE තෝරන්න. ඊට පසු, සංවාද කොටුවක් විවෘත විය යුතුය.
- සංවාද කොටුවේ පරාසය සැකසීමට C1-C6 සෛල තෝරා ඇදගෙන යන්න.
- "OK" බොත්තම සමඟ ඔබගේ ක්රියාවන් තහවුරු කරන්න.
- ඔබ සියල්ල නිවැරදිව කළා නම්, C7 කොටුවේ ඔබට පිළිතුර තිබිය යුතුය - 13.7. ඔබ C7 කොටුව මත ක්ලික් කළ විට, ශ්රිතය (=සාමාන්ය(C1:C6)) සූත්ර තීරුවේ පෙන්වනු ඇත.
ගිණුම්කරණය, ඉන්වොයිසි සඳහා හෝ ඔබට ඉතා දිගු සංඛ්‍යාවල සාමාන්යය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වූ විට මෙම කාර්යය භාවිතා කිරීම ඉතා ප්රයෝජනවත් වේ. එමනිසා, එය බොහෝ විට කාර්යාලවල සහ විශාල සමාගම්වල භාවිතා වේ. මෙය ඔබට වාර්තා පිළිවෙලට තබා ගැනීමට සහ ඉක්මනින් යමක් ගණනය කිරීමට හැකි වේ (උදාහරණයක් ලෙස, මසකට සාමාන්ය ආදායම). ශ්‍රිතයක මධ්යන්යය සොයා ගැනීමට ඔබට Excel භාවිතා කළ හැක.
ළමයින් තිදෙනෙක් බෙරි සඳහා වනාන්තරයට ගියහ. වැඩිමහල් දියණිය බෙරි 18 ක් ද, මැද දියණිය 15 ක් ද, බාල සොහොයුරා බෙරි 3 ක් ද සොයා ගත්හ (රූපය 1 බලන්න). ඔවුන් බෙරි මගේ මව වෙත ගෙන ආ අතර, ඇය බෙරි සමානව බෙදා ගැනීමට තීරණය කළාය. සෑම දරුවෙකුටම බෙරි කීයක් ලැබුණාද?
සහල්. 1. ගැටලුව සඳහා නිදර්ශනය
විසඳුමක්
(yag.) - ළමයි හැම දෙයක්ම එකතු කළා
2) මුළු බෙරි ගණන ළමුන් ගණනින් බෙදන්න:
(yag.) සෑම දරුවෙකුටම ගියේය
පිළිතුර: සෑම දරුවෙකුටම බෙරි 12 ක් ලැබෙනු ඇත.
ගැටලුව 1 හි, පිළිතුරේ ලැබෙන අංකය අංක ගණිත මධ්යන්යය වේ.
අංක ගණිත මධ්යන්යසංඛ්‍යා කිහිපයක් මෙම සංඛ්‍යාවල එකතුව ඒවායේ සංඛ්‍යාවෙන් බෙදීමේ ප්රමාණය ලෙස හැඳින්වේ.
උදාහරණය 1
අපට සංඛ්යා දෙකක් තිබේ: 10 සහ 12. ඒවායේ අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයන්න.
විසඳුමක්
1) මෙම සංඛ්යා වල එකතුව තීරණය කරමු: .
2) මෙම සංඛ්‍යාවල සංඛ්යාව 2 වේ, එබැවින් මෙම සංඛ්‍යාවල අංක ගණිත මධ්යන්යය: .
පිළිතුර: අංක 10 සහ 12 හි අංක ගණිත මධ්යන්යය අංක 11 වේ.
උදාහරණය 2
අපට සංඛ්යා පහක් ඇත: 1, 2, 3, 4 සහ 5. ඒවායේ අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයන්න.
විසඳුමක්
1) මෙම සංඛ්‍යාවල එකතුව වන්නේ: .
2) නිර්වචනය අනුව, අංක ගණිත මධ්යන්යය යනු සංඛ්යා එකතුව ඒවායේ සංඛ්‍යාවෙන් බෙදීමේ ප්‍රමාණයයි. අපට සංඛ්යා පහක් ඇත, එබැවින් අංක ගණිත මධ්යන්යය:
පිළිතුර: සංඛ්යා තත්ත්‍වයේ ඇති දත්තවල අංක ගණිත මධ්යන්යය 3 වේ.
පන්ති කාමරය තුළ එය සොයා ගැනීමට නිරන්තරයෙන් ඉදිරිපත් කිරීමට අමතරව, ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගැනීම එදිනෙදා ජීවිතයේදී ඉතා ප්රයෝජනවත් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, අපට ග්‍රීසියට නිවාඩුවක් ගත කිරීමට අවශ්ය යැයි සිතමු. නිවැරදි ඇඳුම් තෝරා ගැනීම සඳහා, අපි මේ මොහොතේ මේ රටේ උෂ්ණත්වය දෙස බලමු. කෙසේ වෙතත්, කාලගුණය පිළිබඳ සාමාන්ය චිත්රය අපි නොදනිමු. එමනිසා, ග්රීසියේ වායු උෂ්ණත්වය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස, සතියක් සඳහා, සහ මෙම උෂ්ණත්වවල අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගන්න.
උදාහරණය 3
සතිය සඳහා ග්රීසියේ උෂ්ණත්වය: සඳුදා - ; අඟහරුවාදා - ; බදාදා -; බ්රහස්පතින්දා - ; සිකුරාදා - ; සෙනසුරාදා - ; ඉරිදා - . සතිය සඳහා සාමාන්ය උෂ්ණත්වය ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්
1) උෂ්ණත්වවල එකතුව ගණනය කරන්න:
2) ලැබුණු මුදල දින ගණනින් බෙදන්න: .
පිළිතුර: සතිපතා සාමාන්ය උෂ්ණත්වය දළ වශයෙන්.
පාපන්දු කණ්ඩායමක ක්‍රීඩකයන්ගේ සාමාන්ය වයස තීරණය කිරීමට, එනම් කණ්ඩායම පළපුරුදු ද නැද්ද යන්න තහවුරු කිරීමට ද අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගැනීමේ හැකියාව අවශ්ය විය හැකිය. සියලුම ක්‍රීඩකයින්ගේ වයස සාරාංශ කිරීම සහ ඔවුන්ගේ අංකයෙන් බෙදීම අවශ්ය වේ.
කාර්යය 2
වෙළෙන්දා ඇපල් විකුණමින් සිටියේය. මුලදී ඔහු ඒවා කිලෝග්‍රෑම් 1 කට රුබල් 85 ක මිලකට විකුණුවා. එබැවින් ඔහු කිලෝ ග්රෑම් 12 ක් විකුණුවා. ඉන්පසු ඔහු මිල රුබල් 65 දක්වා අඩු කර ඉතිරි ඇපල් කිලෝග්‍රෑම් 4 විකුණුවා. ඇපල් සඳහා සාමාන්ය මිල කීයද?
විසඳුමක්
1) වෙළෙන්දා මුළු මුදලින් කොපමණ මුදලක් උපයා ඇත්දැයි ගණනය කරමු. ඔහු කිලෝග්‍රෑම් 12 කට රූබල් 85 ක මිලකට විකුණුවා:
(රබ්.).ඔහු කිලෝග්‍රෑම් 1 කට රුබල් 65 ක මිලකට කිලෝග්‍රෑම් 4 ක් විකුණුවා: (රබ්.).
එබැවින්, උපයාගත් මුළු මුදල් ප්රමාණය: (රූබල්).
2) විකුණන ලද ඇපල් වල සම්පූර්ණ බර:
3) විකුණන ලද ඇපල් වල මුළු බරෙන් ලැබුණු මුදල් ප්රමාණය බෙදන්න සහ ඇපල් කිලෝග්‍රෑම් 1 ක් සඳහා සාමාන්ය මිල ලබා ගන්න: (රූබල්).
පිළිතුර: විකුණන ලද ඇපල් කිලෝ ග්රෑම් 1 ක සාමාන්ය මිල රුබල් 80 කි.
එක් එක් අගය තනි තනිව නොගෙන සමස්තයක් ලෙස දත්ත ඇගයීමට අංක ගණිත මධ්යන්යය ඔබට උපකාර කරයි.
කෙසේ වෙතත්, අංක ගණිත මධ්යන්ය සංකල්පය භාවිතා කිරීම සැමවිටම කළ නොහැකිය.
උදාහරණය 4
වෙඩික්කරු ඉලක්කයට වෙඩි දෙකක් එල්ල කළේය (රූපය 2 බලන්න): පළමු වතාවට ඔහු ඉලක්කයට ඉහළින් මීටරයකට පහර දුන් අතර, දෙවනුව - මීටර් පහළින්. ඔහුට අවස්ථා දෙකම මඟ හැරුණද ඔහු හරියටම කේන්ද්‍රයට පහර දුන් බව අංක ගණිත මධ්යන්යය පෙන්වයි.
සහල්. 2. උදාහරණයක් ලෙස නිදර්ශනය
මෙම පාඩමේදී, අපි ගණිත මධ්යන්ය සංකල්පය සමඟ දැන හඳුනා ගත්තෙමු. අපි මෙම සංකල්පයේ නිර්වචනය ඉගෙන ගත්තා, සංඛ්යා කිහිපයක් සඳහා අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගත්තා. මෙම සංකල්පයේ ප්‍රායෝගික භාවිතය ද අපි ඉගෙන ගත්තෙමු.
- එන්.යා. විලෙන්කින්. ගණිතය: පෙළ පොත. සෛල 5 ක් සඳහා. පොදු const. - එඩ්. 17 වැනි. - එම්.: Mnemosyne, 2005. )
- ඊගෝර්ට ඔහු සමඟ රුබල් 45 ක් ද, ඇන්ඩ්‍රේට 28 ක් ද, ඩෙනිස්ට 17 ක් ද තිබුණි.
- ඔක්කොම සල්ලි දාලා චිත්‍රපට ටිකට් 3ක් ගත්තා. එක ටිකට් එකක් කීයක් ගියාද?
නිශ්චල අහඹු ක්‍රියාවලියක සංඛ්යා කුලකයේ මූලද්‍රව්‍ය සංඛ්යාව අනන්තයට නැඹුරු වන විට, ගණිත මධ්යන්යය අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව වෙත නැඹුරු වේ.
හැදින්වීම
ඉලක්කම් කට්ටලය දක්වන්න x = (x 1 , x 2 , …, x n), එවිට නියැදි මධ්යන්යය සාමාන්‍යයෙන් විචල්‍යයට ඉහළින් තිරස් තීරුවකින් දැක්වේ (, උච්චාරණය කර ඇත " xඉරක් සමඟ").
ග්‍රීක අකුර μ සාමාන්‍යයෙන් භාවිතා කරනුයේ සංඛ්‍යාවල සමස්ත ජනගහනයේ අංක ගණිත මධ්යන්යය දැක්වීමටය. සසම්භාවී විචල්‍යයක් සඳහා, මධ්යන්ය අගය අර්ථ දක්වා ඇති අතර, μ වේ සම්භාවිතාව මධ්යන්යහෝ අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව. කට්ටලය නම් xμ සම්භාවිතාවක් සහිත අහඹු සංඛ්යා එකතුවකි, පසුව ඕනෑම නියැදියකට x මමමෙම එකතුවෙන් μ = E( x මම) යනු මෙම නියැදියේ අපේක්ෂාවයි.
ප්රායෝගිකව, μ සහ අතර වෙනස x ¯ (\ displaystyle (\bar (x)))එහි μ යනු සාමාන්ය විචල්‍යයකි, මන්ද ඔබට සම්පූර්ණ ජනගහනයට වඩා නියැදිය දැකිය හැක. එබැවින්, නියැදිය අහඹු ලෙස ඉදිරිපත් කරන්නේ නම් (සම්භාවිතා න්යාය අනුව), එසේ නම් x ¯ (\ displaystyle (\bar (x)))(නමුත් μ නොවේ) නියැදිය මත සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියක් ඇති අහඹු විචල්‍යයක් ලෙස සැලකිය හැකිය (මධ්‍යන්‍යයේ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය).
මෙම ප්‍රමාණයන් දෙකම එකම ආකාරයකින් ගණනය කෙරේ:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\ displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)උදාහරණ
- අංක තුනක් සඳහා, ඔබ ඒවා එකතු කර 3 න් බෙදිය යුතුය:
- අංක හතරක් සඳහා, ඔබ ඒවා එකතු කර 4 න් බෙදිය යුතුය:
අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යය
යම් කාර්යයක අනුකලනයක් තිබේ නම් f (x) (\ displaystyle f(x))එක් විචල්‍යයක්, පසුව කොටසෙහි මෙම ශ්‍රිතයේ අංක ගණිත මධ්යන්යය [ ඒ ; b] (\ displaystyle)නිශ්චිත අනුකලනයක් හරහා අර්ථ දක්වා ඇත:
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x . (\ displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)යන්න මෙහි ගම්‍ය වේ b > a . (\ displaystyle b>a.)
සාමාන්යය භාවිතා කිරීමේ සමහර ගැටළු
ශක්තිමත් බව නොමැතිකම
අංක ගණිත මධ්යන්යය බොහෝ විට මාධ්‍යයන් හෝ කේන්ද්‍රීය ප්‍රවණතා ලෙස භාවිතා වුවද, මෙම සංකල්පය ශක්තිමත් සංඛ්‍යාලේඛන සඳහා අදාළ නොවේ, එයින් අදහස් කරන්නේ අංක ගණිත මධ්යන්යය "විශාල අපගමනයන්" මගින් දැඩි ලෙස බලපාන බවයි. විශාල වක්‍රයක් සහිත බෙදාහැරීම් සඳහා, අංක ගණිත මධ්යන්යය “සාමාන්ය” යන සංකල්පයට අනුරූප නොවිය හැකි අතර, ශක්තිමත් සංඛ්‍යාලේඛන වලින් මධ්‍යන්‍යයේ අගයන් (උදාහරණයක් ලෙස, මධ්ය) මධ්‍යම ප්රවණතාවය වඩා හොඳින් විස්තර කළ හැකි බව සැලකිය යුතු කරුණකි.
සම්භාව්ය උදාහරණය වන්නේ සාමාන්ය ආදායම ගණනය කිරීමයි. අංක ගණිත මධ්යන්යය මධ්යන්ය ලෙස වැරදි ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක, එය ඇත්ත වශයෙන්ම සිටින ප්රමාණයට වඩා වැඩි ආදායමක් ඇති පුද්ගලයින් වැඩි බව නිගමනය කළ හැකිය. "මධ්‍යන්" ආදායම අර්ථකථනය කරනුයේ බොහෝ පුද්ගලයන්ගේ ආදායම මෙම සංඛ්‍යාවට ආසන්න වන ආකාරයටය. මෙම "සාමාන්ය" (අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයේ අර්ථයෙන්) ආදායම බොහෝ මිනිසුන්ගේ ආදායමට වඩා වැඩිය, මන්ද සාමාන්‍යයෙන් විශාල අපගමනයක් සහිත ඉහළ ආදායමක් අංක ගණිත මධ්යන්යය දැඩි ලෙස විකෘති කරයි (ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධව, මධ්ය ආදායම "ප්‍රතිරෝධී" වේ. එවැනි නැඹුරුවක්). කෙසේ වෙතත්, මෙම "සාමාන්ය" ආදායම මධ්ය ආදායමට ආසන්න පුද්ගලයින් සංඛ්යාව ගැන කිසිවක් නොකියයි (සහ මාර්‍ග ආදායමට ආසන්න පුද්ගලයින් සංඛ්යාව ගැන කිසිවක් නොකියයි). කෙසේ වෙතත්, "සාමාන්ය" සහ "බහුතරය" යන සංකල්ප සැහැල්ලුවට ගන්නේ නම්, බොහෝ මිනිසුන්ට ඇත්ත වශයෙන්ම වඩා වැඩි ආදායමක් ඇති බව කෙනෙකුට වැරදි ලෙස නිගමනය කළ හැකිය. නිදසුනක් වශයෙන්, වොෂින්ටනයේ මෙඩිනාහි "සාමාන්ය" ශුද්ධ ආදායම පිළිබඳ වාර්තාවක්, පදිංචිකරුවන්ගේ සියලුම වාර්ෂික ශුද්ධ ආදායමේ අංක ගණිත සාමාන්යය ලෙස ගණනය කර, බිල් ගේට්ස් නිසා පුදුම සහගත ලෙස විශාල සංඛ්‍යාවක් ලබා දෙනු ඇත. නියැදිය සලකා බලන්න (1, 2, 2, 2, 3, 9). අංක ගණිත මධ්යන්යය 3.17 වේ, නමුත් අගයන් හයෙන් පහක් මෙම මධ්යන්යයට වඩා අඩුය.
සංයුක්ත පොලී
සංඛ්යා නම් ගුණ කරන්න, නමුත් නැහැ ගුණ කරන්න, ඔබ භාවිතා කළ යුත්තේ ජ්‍යාමිතික මධ්යන්යය මිස අංක ගණිත මධ්යන්යය නොවේ. බොහෝ විට, මෙම සිදුවීම සිදු වන්නේ මූල්ය ආයෝජන මත ප්රතිලාභය ගණනය කිරීමේදීය.
උදාහරණයක් ලෙස, පළමු වසරේ කොටස් 10% කින් පහත වැටී දෙවන වසරේ 30% කින් ඉහළ ගියේ නම්, මෙම වසර දෙක තුළ "සාමාන්ය" වැඩිවීම අංක ගණිත මධ්යන්යය (−10% + 30%) / 2 ලෙස ගණනය කිරීම වැරදිය. = 10%; මෙම නඩුවේ නිවැරදි සාමාන්යය ලබා දෙන්නේ සංයුක්ත වාර්ෂික වර්ධන වේගයෙනි, එයින් වාර්ෂික වර්ධනය 8.16653826392% ≈ 8.2% පමණ වේ.
මෙයට හේතුව සෑම අවස්ථාවකදීම ප්‍රතිශතවලට නව ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයක් තිබීමයි: 30% යනු 30% පළමු වසර ආරම්භයේ මිලට වඩා අඩු සංඛ්‍යාවකින්:කොටස් ඩොලර් 30 කින් ආරම්භ වී 10% කින් පහත වැටුනේ නම්, දෙවන වසර ආරම්භයේදී එය ඩොලර් 27 කි. කොටස් 30% වැඩි නම්, එය දෙවන වසර අවසානයේ ඩොලර් 35.1 ක් වේ. මෙම වර්ධනයේ අංක ගණිත සාමාන්යය 10% වේ, නමුත් කොටස් 2 වසර තුළ ඩොලර් 5.1 කින් පමණක් වර්ධනය වී ඇති බැවින්, 8.2% ක සාමාන්ය වැඩිවීමක් අවසාන ප්රතිඵලය $35.1 ලබා දෙයි:
[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. අපි 10% ක අංක ගණිත මධ්යන්යය ඒ ආකාරයෙන්ම භාවිතා කළහොත්, අපට සත්‍ය අගය ලැබෙන්නේ නැත: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
2 වසර අවසානයේ සංයුක්ත පොලී: 90% * 130% \u003d 117%, එනම් 17% ක සම්පූර්ණ වැඩිවීමක් සහ සාමාන්ය වාර්ෂික සංයුක්ත පොලී 117 % ≈ 108.2 % (\ displaystyle (\sqrt (117\%))\ආසන්න වශයෙන් 108.2\%), එනම් 8.2% ක සාමාන්ය වාර්ෂික වැඩිවීමකි.
දිශාවන්
ප්‍රධාන ලිපිය: ගමනාන්ත සංඛ්යා ලේඛන
චක්‍රීය ලෙස වෙනස් වන සමහර විචල්‍යයක අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීමේදී (උදාහරණයක් ලෙස, අදියර හෝ කෝණය), විශේෂ සැලකිල්ලක් දැක්විය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, අංක 1 සහ 359 හි සාමාන්යය සමාන වනු ඇත 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180 . හේතු දෙකක් නිසා මෙම අංකය වැරදියි.
ඉහත සූත්‍රයට අනුව ගණනය කරන ලද චක්‍රීය විචල්‍යයක් සඳහා වන සාමාන්ය අගය සැබෑ සාමාන්‍යයට සාපේක්ෂව සංඛ්‍යාත්මක පරාසයේ මැදට කෘතිමව මාරු කරනු ලැබේ. මේ නිසා, සාමාන්යය වෙනත් ආකාරයකින් ගණනය කරනු ලැබේ, එනම්, කුඩාම විචලනය සහිත සංඛ්යාව (මධ්ය ලක්ෂ්යය) සාමාන්ය අගය ලෙස තෝරා ඇත. එසේම, අඩු කිරීම වෙනුවට, මොඩියුල දුර (එනම්, පරිධිය දුර) භාවිතා වේ. උදාහරණයක් ලෙස, 1° සහ 359° අතර මොඩියුලර් දුර 2°, 358° නොවේ (359° සහ 360°==0° අතර කවයක් මත - එක් අංශකයක්, 0° සහ 1° අතර - ද 1°, සම්පූර්ණයෙන් - 2 °).
