ත්රිකෝණයක ප්රදේශය තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබට විවිධ සූත්ර භාවිතා කළ හැකිය. සියලුම ක්‍රම අතුරින්, පහසුම සහ බොහෝ විට භාවිතා කරනුයේ පාදයේ දිග අනුව උස ගුණ කිරීම, පසුව ප්‍රති result ලය දෙකකින් බෙදීමයි. කෙසේ වෙතත්, මෙම ක්රමය එකම ක්රමයෙන් බොහෝ දුරස් වේ. විවිධ සූත්‍ර භාවිතයෙන් ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබට පහතින් කියවිය හැක.

වෙනමම, අපි විශේෂිත ත්රිකෝණ වර්ගවල ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ ක්රම සලකා බලමු - සෘජුකෝණාස්රාකාර, සමද්වීපක සහ සම පාර්ශවීය. අපි එක් එක් සූත්‍රය සමඟ කෙටි පැහැදිලි කිරීමක් සමඟ එහි සාරය තේරුම් ගැනීමට ඔබට උපකාරී වනු ඇත.

ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමට විශ්වීය ක්රම

පහත සූත්‍ර විශේෂ අංකනය භාවිතා කරයි. අපි ඒ සෑම එකක්ම විකේතනය කරන්නෙමු:

• a, b, c යනු අප සලකා බලන රූපයේ පැති තුනේ දිග වේ;
• r යනු අපගේ ත්‍රිකෝණයෙහි සටහන් කළ හැකි වෘත්තයක අරය වේ;
• R යනු එය වටා විස්තර කළ හැකි රවුමේ අරය වේ;
• α - පැති b සහ c මගින් සාදන ලද කෝණයෙහි අගය;
• β යනු a සහ c අතර කෝණයයි;
• γ - a සහ b පැතිවලින් සාදන ලද කෝණයෙහි අගය;
• h යනු අපගේ ත්‍රිකෝණයේ උස, කෝණය α සිට a පැත්තට පහත් කර ඇත;
• p යනු a, b සහ c යන පැතිවල එකතුවෙන් අඩකි.

ඔබට මේ ආකාරයෙන් ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයාගත හැක්කේ මන්දැයි තර්කානුකූලව පැහැදිලිය. ත්‍රිකෝණය පහසුවෙන් සමාන්තර චලිතයකට සම්පූර්ණ කළ හැකි අතර, ත්‍රිකෝණයේ එක් පැත්තක් විකර්ණයක් ලෙස ක්‍රියා කරයි. සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය සොයාගනු ලබන්නේ එහි එක් පැත්තක දිග එයට ඇද ගන්නා උසෙහි අගයෙන් ගුණ කිරීමෙනි. විකර්ණය මෙම කොන්දේසි සහිත සමාන්තර චලිතය සමාන ත්‍රිකෝණ 2කට බෙදයි. එබැවින්, අපගේ මුල් ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය මෙම සහායක සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයෙන් අඩකට සමාන විය යුතු බව පැහැදිලිය.

S=½ a b sin γ

මෙම සූත්‍රයට අනුව, ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයාගනු ලබන්නේ එහි පැති දෙකේ දිග, එනම් a සහ b, ඒවා සාදන කෝණයේ සයින් මගින් ගුණ කිරීමෙනි. මෙම සූත්‍රය තාර්කිකව පෙර සූත්‍රයෙන් උපුටා ගන්නා ලද්දකි. අපි β කෝණයේ සිට b පැත්තට උස අඩු කළහොත්, සෘජුකෝණාස්‍රය ත්‍රිකෝණයක ගුණ අනුව, a පැත්තේ දිග γ කෝණයෙන් ගුණ කරන විට, අපට ත්‍රිකෝණයේ උස ලැබේ, එනම් h.

සලකා බලනු ලබන රූපයේ ප්‍රදේශය එහි පරිමිතිය මගින් එහි කොටා ගත හැකි රවුමේ අරයෙන් අඩක් ගුණ කිරීමෙන් සොයාගත හැකිය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අපි අර්ධ පරිමිතියෙහි ගුණිතය සහ සඳහන් කර ඇති වෘත්තයේ අරය සොයා ගනිමු.

S= a b c/4R

මෙම සූත්‍රයට අනුව, රූපයේ පැතිවල ගුණිතය එය වටා වටකර ඇති රවුමේ අරය 4 කින් බෙදීමෙන් අපට අවශ්‍ය අගය සොයාගත හැකිය.

මෙම සූත්‍ර විශ්වීය වේ, මන්ද ඒවායින් ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය තීරණය කිරීමට හැකි වේ (පරිමාණ, සමද්වීප, සමපාර්ශ්වික, සෘජු කෝණික). මෙය වඩාත් සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් ආධාරයෙන් සිදු කළ හැකිය, අපි විස්තරාත්මකව වාසය නොකරනු ඇත.

නිශ්චිත ගුණ සහිත ත්රිකෝණ ප්රදේශ

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? මෙම රූපයේ ලක්ෂණයක් වන්නේ එහි පැති දෙක එකවර උසින් යුක්ත වීමයි. a සහ b පාද නම් සහ c කර්ණය බවට පත් වේ නම්, එම ප්‍රදේශය පහත පරිදි සොයාගත හැකිය:

සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? එහි දිග a සහ එක් පැත්තක් b දිග සහිත පැති දෙකක් ඇත. එබැවින්, එහි ප්රදේශය තීරණය කළ හැක්කේ පැත්තේ චතුරස්රයේ ගුණිතය γ කෝණයෙන් 2 න් බෙදීමෙනි.

සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද? එහි, සියලු පැතිවල දිග a වන අතර, සියලු කෝණවල අගය α වේ. එහි උස 3 හි වර්ගමූලයේ ගුණයකින් අඩක් වේ. සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය සොයා ගැනීමට, ඔබට පැති වර්ගය 3 හි වර්ගමූලයෙන් ගුණ කර 4 න් බෙදිය යුතුය.

ත්රිකෝණය ප්රසිද්ධ චරිතයකි. තවද මෙය, එහි ස්වරූපවල පොහොසත් විවිධත්වය තිබියදීත්. සෘජුකෝණාස්‍රාකාර, සමපාර්ශ්වික, උග්‍ර, සමද්වීපක, මුඩු. ඒ සෑම එකක්ම තරමක් වෙනස් ය. නමුත් ඕනෑම දෙයක් සඳහා ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය දැන ගැනීම අවශ්ය වේ.

පැතිවල හෝ උසෙහි දිග භාවිතා කරන සියලුම ත්රිකෝණ සඳහා පොදු සූත්ර

ඔවුන් තුළ සම්මත කර ඇති තනතුරු: පැති - a, b, c; a, n in, n s මත අනුරූප පැතිවල උස.

1. ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය ගණනය කරනු ලබන්නේ ½ හි ගුණිතය, පැත්ත සහ එය මතට පහත් කර ඇති උස ය. S = ½ * a * n a. එලෙසම අනෙක් පැති දෙකට සූත්‍ර ලිවිය යුතුය.

2. අර්ධ පරිමිතිය දිස්වන හෙරොන්ගේ සූත්‍රය (සම්පූර්ණ පරිමිතියට ප්‍රතිවිරුද්ධව එය කුඩා p අකුරකින් දැක්වීම සිරිතකි). අර්ධ පරිමිතිය පහත පරිදි ගණනය කළ යුතුය: සියලුම පැති එකතු කර ඒවා 2 න් බෙදන්න. අර්ධ පරිමිතිය සඳහා සූත්‍රය: p \u003d (a + b + c) / 2. එවිට ප්‍රදේශය සඳහා සමානාත්මතාවය රූපය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. ඔබට අර්ධ පරිමිතියක් භාවිතා කිරීමට අවශ්‍ය නැතිනම්, එවැනි සූත්‍රයක් ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇත, එහි පැතිවල දිග පමණක් පවතී: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). එය පෙර එකට වඩා තරමක් දිගු වේ, නමුත් ඔබට අර්ධ පරිමිතිය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි අමතක වුවහොත් එය උපකාරී වනු ඇත.

ත්රිකෝණයක කෝණ පෙනෙන සාමාන්ය සූත්ර

සූත්‍ර කියවීමට අවශ්‍ය අංකනය: α, β, γ - කෝණ. ඒවා පිළිවෙලින් a, b, c යන දෙපැත්තේ පිහිටා ඇත.

1. එයට අනුව, පැති දෙකක ගුණිතයෙන් අඩක් සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයින් ත්රිකෝණයේ ප්රදේශයට සමාන වේ. එනම්: S = ½ a * b * sin γ. අනෙක් අවස්ථා දෙකේ සූත්‍ර ද ඒ ආකාරයෙන්ම ලිවිය යුතුය.

2. ත්රිකෝණයක ප්රදේශය එක් පැත්තකින් සහ දන්නා කෝණ තුනකින් ගණනය කළ හැකිය. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. දන්නා එක් පැත්තක් සහ ඊට යාබද කෝණ දෙකක් සහිත සූත්‍රයක් ද ඇත. එය මෙසේ පෙනේ: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

අවසාන සූත්‍ර දෙක සරලම නොවේ. ඒවා මතක තියාගන්න හරි අමාරුයි.

ශිලාලේඛන හෝ වටකුරු කව වල අරය දන්නා විට තත්වය සඳහා පොදු සූත්‍ර

අතිරේක තනතුරු: r, R - radii. පළමුවැන්න ශිලාලේඛන රවුමේ අරය සඳහා භාවිතා වේ. දෙවැන්න විස්තර කර ඇති එක සඳහා ය.

1. ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය ගණනය කරන පළමු සූත්‍රය අර්ධ පරිමිතියට සම්බන්ධ වේ. S = r * r. වෙනත් ආකාරයකින්, එය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. දෙවන අවස්ථාවෙහිදී, ඔබට ත්රිකෝණයේ සියලුම පැති ගුණ කිරීමට අවශ්ය වන අතර, වටකුරු රවුමේ චතුරස්රාකාර අරය මගින් ඒවා බෙදිය යුතුය. වචනාර්ථයෙන්, එය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. තුන්වන තත්ත්වය ඔබට පැති නොදැන කිරීමට ඉඩ සලසයි, නමුත් ඔබට කෝණ තුනේම අගයන් අවශ්ය වේ. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

විශේෂ අවස්ථාව: සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණය

කකුල් දෙකේම දිග පමණක් අවශ්ය වන බැවින් මෙය සරලම තත්ත්වයයි. ඒවා ලතින් අක්ෂර a සහ b වලින් දැක්වේ. සෘජුකෝණාස්‍රයක වර්ගඵලය සෘජුකෝණාස්‍රයේ ප්‍රදේශයෙන් අඩකට සමාන වේ.

ගණිතමය වශයෙන්, එය මෙසේ පෙනේ: S = ½ a * b. ඇය මතක තබා ගැනීමට පහසුම ය. එය සෘජුකෝණාස්‍රයක ප්‍රදේශය සඳහා වන සූත්‍රය මෙන් පෙනෙන නිසා, අර්ධයක් දැක්වෙන කොටසක් පමණක් දිස්වේ.

විශේෂ අවස්ථාව: සමද්විපාද ත්‍රිකෝණය

එහි පැති දෙක සමාන බැවින්, එහි ප්රදේශය සඳහා සමහර සූත්ර තරමක් සරල කර ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය ගණනය කරන හෙරොන්ගේ සූත්‍රය පහත ස්වරූපය ගනී:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

ඔබ එය පරිවර්තනය කළහොත් එය කෙටි වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණයක් සඳහා හෙරොන්ගේ සූත්‍රය පහත පරිදි ලියා ඇත:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

ප්‍රදේශ සූත්‍රය අත්තනෝමතික ත්‍රිකෝණයකට වඩා තරමක් සරලව පෙනෙන්නේ ඒවා අතර පැති සහ කෝණය දන්නේ නම්. S \u003d ½ a 2 * sin β.

විශේෂ අවස්ථාව: සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණය

සාමාන්යයෙන්, ඔහු පිළිබඳ ගැටළු වලදී, පැත්ත දන්නා හෝ කෙසේ හෝ හඳුනාගත හැකිය. එවිට එවැනි ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය සෙවීමේ සූත්‍රය පහත පරිදි වේ.

S = (a 2 √3) / 4.

ත්රිකෝණය පිරික්සුම් කඩදාසි මත නිරූපණය කර ඇත්නම් ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා කාර්යයන්

සරලම තත්ත්වය වන්නේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ඇද ගන්නා විට එහි කකුල් කඩදාසි රේඛා සමඟ සමපාත වේ. එවිට ඔබට කකුල් වලට ගැලපෙන සෛල ගණන ගණන් කළ යුතුය. ඉන්පසු ඒවා ගුණ කර දෙකකින් බෙදන්න.

ත්රිකෝණය තියුණු හෝ නොපැහැදිලි වන විට, එය සෘජුකෝණාස්රය වෙත ඇද ගත යුතුය. එවිට ලැබෙන රූපයේ ත්‍රිකෝණ 3ක් ඇත. එකක් තමයි task එකේ දීල තියෙන එක. සහ අනෙක් දෙක සහායක සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර වේ. ඉහත විස්තර කර ඇති ක්‍රමය මගින් අවසාන දෙකෙහි ප්‍රදේශ තීරණය කළ යුතුය. ඉන්පසු සෘජුකෝණාස්‍රයේ ප්‍රදේශය ගණනය කර සහායක සඳහා ගණනය කර ඇති ඒවා එයින් අඩු කරන්න. ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය තීරණය වේ.

ත්‍රිකෝණයේ පැති කිසිවක් කඩදාසි රේඛා සමඟ සමපාත නොවන තත්වය වඩාත් දුෂ්කර ය. ඉන්පසු එය සෘජුකෝණාස්‍රයක සටහන් කළ යුතු අතර එමඟින් මුල් රූපයේ සිරස් එහි දෙපැත්තේ පිහිටා ඇත. මෙම අවස්ථාවේදී, සහායක සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ තුනක් ඇත.

හෙරොන්ගේ සූත්‍රයේ ගැටලුවකට උදාහරණයක්

තත්ත්වය. සමහර ත්‍රිකෝණයක පැති ඇත. ඒවා සෙන්ටිමීටර 3, 5 සහ 6 ට සමාන වේ.ඔබ එහි ප්රදේශය දැන සිටිය යුතුය.

දැන් ඔබට ඉහත සූත්‍රය භාවිතා කර ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය ගණනය කළ හැක. වර්ගමූලය යටතේ සංඛ්‍යා හතරක ගුණිතය වේ: 7, 4, 2 සහ 1. එනම්, ප්‍රදේශය √ (4 * 14) = 2 √ (14) වේ.

ඔබට වැඩි නිරවද්‍යතාවයක් අවශ්‍ය නැතිනම්, ඔබට 14 හි වර්ගමූලය ගත හැක. එය 3.74 වේ. එවිට ප්රදේශය 7.48 ට සමාන වනු ඇත.

පිළිතුර. S \u003d 2 √14 cm 2 හෝ 7.48 cm 2.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ගැටලුවක උදාහරණයක්

තත්ත්වය. සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණයක එක් පාදයක් දෙවැන්නට වඩා සෙ.මී. 31ක් දිගයි.ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය සෙන්ටිමීටර 180ක් නම් ඒවායේ දිග සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ.
විසඳුමක්. ඔබට සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් විසඳිය යුතුය. පළමුවැන්න ප්රදේශය සමඟ සම්බන්ධ විය යුතුය. දෙවැන්න නම්, ගැටලුවේ දී ඇති කකුල් වල අනුපාතය සමඟ ය.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
පළමුව, "a" හි අගය පළමු සමීකරණයට ආදේශ කළ යුතුය. එය හැරෙන්නේ: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. එහි ඇත්තේ එක් නොදන්නා ප්‍රමාණයක් පමණි, එබැවින් එය විසඳීමට පහසුය. වරහන් විවෘත කිරීමෙන් පසු, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලබා ගනී: 2 + 31 in - 360 \u003d 0. එය "in" සඳහා අගයන් දෙකක් ලබා දෙයි: 9 සහ - 40. දෙවන අංකය පිළිතුරක් ලෙස සුදුසු නොවේ. , ත්රිකෝණයේ පැත්තේ දිග සෘණ අගයක් විය නොහැකි බැවින්.

එය දෙවන පාදය ගණනය කිරීමට ඉතිරිව ඇත: ප්රතිඵලය සංඛ්යාවට 31 එකතු කරන්න. එය 40 බවට හැරේ. මෙම ගැටලුව තුළ සොයන ප්රමාණයන් වේ.

පිළිතුර. ත්රිකෝණයේ කකුල් 9 සහ 40 සෙ.මී.

ත්රිකෝණයක ප්රදේශය, පැත්ත සහ කෝණය හරහා පැත්ත සොයා ගැනීමේ කාර්යය

තත්ත්වය. සමහර ත්රිකෝණයක වර්ග ප්රමාණය 60 cm2 වේ. දෙවන පැත්ත සෙන්ටිමීටර 15 ක් සහ ඒවා අතර කෝණය 30º නම් එහි එක් පැත්තක් ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුමක්. පිළිගත් තනතුරු මත පදනම්ව, අපේක්ෂිත පැත්ත "a", දන්නා "b", ලබා දී ඇති කෝණය "γ" වේ. එවිට ප්‍රදේශ සූත්‍රය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැක.

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. මෙහි අංශක 30 ක සයිනය 0.5 කි.

පරිවර්තනයෙන් පසු, "a" 60 / (0.5 * 0.5 * 15) ට සමාන වේ. එනම් 16 යි.

පිළිතුර. අපේක්ෂිත පැත්ත 16 සෙ.මී.

සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණයක කොටා ඇති චතුරස්‍රයක ගැටලුව

තත්ත්වය. සෙන්ටිමීටර 24 ක පැත්තක් සහිත චතුරස්රයේ සිරස් ත්රිකෝණයේ සෘජු කෝණය සමග සමපාත වේ. අනෙක් දෙදෙනා කකුල් මත වැතිර සිටිති. තුන්වැන්න කර්ණයට අයත් වේ. එක් පාදයක දිග සෙන්ටිමීටර 42 කි. සෘජුකෝණාස්‍රය ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය කොපමණද?

විසඳුමක්. සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ දෙකක් සලකා බලන්න. පළමු එක කාර්යයේ දක්වා ඇත. දෙවැන්න මුල් ත්රිකෝණයේ දන්නා පාදය මත පදනම් වේ. ඒවා සමාන වන්නේ පොදු කෝණයක් ඇති නිසා සහ සමාන්තර රේඛා මගින් සෑදී ඇති බැවිනි.

එවිට ඔවුන්ගේ කකුල් වල අනුපාතය සමාන වේ. කුඩා ත්‍රිකෝණයේ පාද සෙන්ටිමීටර 24 (චතුරස්‍රයේ පැත්ත) සහ 18 සෙ.මී. (සෙන්ටිමීටර 42 සෙන්ටිමීටර සෘණ සෙන්ටිමීටර 24ක් දක්වා ඇති පාදය) වේ. විශාල ත්රිකෝණයේ අනුරූප කකුල් 42 cm සහ x cm වේ. ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා අවශ්ය වන්නේ මෙම "x" වේ.

18/42 \u003d 24 / x, එනම් x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (සෙ.මී.).

එවිට වර්ගඵලය 56 සහ 42 ගුණිතයට සමාන වේ, දෙකකින් බෙදනු ලැබේ, එනම් 1176 cm 2.

පිළිතුර. අපේක්ෂිත ප්රදේශය 1176 cm 2 වේ.

ත්‍රිකෝණය යනු ප්‍රාථමික පාසලේදී අප දැනටමත් හුරුපුරුදු ජ්‍යාමිතික හැඩතලවලින් එකකි. ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද යන ප්‍රශ්නය ජ්‍යාමිතිය පාඩම් වලදී සෑම සිසුවෙක්ම මුහුණ දෙයි. ඉතින්, දී ඇති රූපයේ ප්‍රදේශය වෙන්කර හඳුනාගත හැකි ලක්ෂණ මොනවාද? මෙම ලිපියෙන් අපි එවැනි කාර්යයක් සම්පූර්ණ කිරීම සඳහා අවශ්ය මූලික සූත්ර සලකා බලමු, එසේම ත්රිකෝණ වර්ග විශ්ලේෂණය කරමු.

ත්රිකෝණ වර්ග

ඔබට ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් ආකාරවලින් සොයාගත හැකිය, මන්ද ජ්‍යාමිතිය තුළ කෝණ තුනක් අඩංගු රූප වර්ග එකකට වඩා තිබේ. මෙම වර්ග වලට ඇතුළත් වන්නේ:

• නීරස.
• සමපාර්ශ්වික (නිවැරදි).
• දකුණු ත්රිකෝණය.
• සමද්වීපක.

දැනට පවතින එක් එක් ත්‍රිකෝණ වර්ග දෙස සමීපව බලමු.

එවැනි ජ්යාමිතික රූපයක් ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීමේදී වඩාත් පොදු ලෙස සැලකේ. අත්තනෝමතික ත්රිකෝණයක් ඇඳීමට අවශ්ය වූ විට, මෙම විකල්පය ගලවා ගැනීමට පැමිණේ.

උග්‍ර ත්‍රිකෝණයක, නමේ සඳහන් පරිදි, සියලුම කෝණ තියුණු වන අතර 180° දක්වා එකතු වේ.

එවැනි ත්රිකෝණයක් ද ඉතා සුලභ ය, නමුත් උග්ර කෝණික එකකට වඩා තරමක් අඩු ය. උදාහරණයක් ලෙස, ත්රිකෝණ විසඳන විට (එනම්, ඔබ එහි පැති සහ කෝණ කිහිපයක් දන්නා අතර ඉතිරි මූලද්රව්ය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ), සමහර විට ඔබ කෝණය නොපැහැදිලිද නැද්ද යන්න තීරණය කළ යුතුය. කොසයින් යනු සෘණ අංකයකි.

එක් කෝණයක අගය 90 ° ඉක්මවයි, එබැවින් ඉතිරි කෝණ දෙකට කුඩා අගයන් ගත හැකිය (උදාහරණයක් ලෙස, 15 ° හෝ 3 ° පවා).

මෙම වර්ගයේ ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ සූක්ෂ්ම කරුණු කිහිපයක් දැන සිටිය යුතුය, අපි ඊළඟට කතා කරමු.

නිත්‍ය සහ සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණ

සාමාන්‍ය බහුඅස්‍රයක් යනු සියලු පැති සහ කෝණ සමාන වන n කෝණ ඇතුළත් රූපයකි. මෙය සෘජු ත්රිකෝණයයි. ත්‍රිකෝණයක සියලුම කෝණවල එකතුව 180° වන බැවින්, එක් එක් කෝණ තුන 60° වේ.

සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්‍රිකෝණය, එහි ගුණය නිසා, සමපාර්ශ්වික රූපයක් ලෙසද හැඳින්වේ.

නිත්‍ය ත්‍රිකෝණයක එක් කවයක් පමණක් සටහන් කළ හැකි අතර එය වටා එක් කවයක් පමණක් වට කළ හැකි අතර ඒවායේ මධ්‍යස්ථාන එක් ස්ථානයක පිහිටා ඇති බව ද සඳහන් කිරීම වටී.

සමපාර්ශ්වික වර්ගයට අමතරව, කෙනෙකුට සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයක් ද වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය, එය තරමක් වෙනස් වේ. එවැනි ත්රිකෝණයක, පැති දෙකක් සහ කෝණ දෙකක් එකිනෙකට සමාන වන අතර, තුන්වන පැත්ත (සමාන කෝණ යාබදව) පදනම වේ.

රූපයේ දැක්වෙන්නේ සමද්වීපක ත්‍රිකෝණයක් DEF වන අතර එහි D සහ F කෝණ සමාන වන අතර DF යනු පාදම වේ.

දකුණු ත්රිකෝණය

සෘජුකෝණාස්‍රය ත්‍රිකෝණයක් ලෙස නම් කර ඇත්තේ එහි එක් කෝණයක් සෘජුකෝණාස්‍රයක් වන බැවින්, එනම් 90°ට සමාන බැවිනි. අනෙක් කෝණ දෙක 90° දක්වා එකතු වේ.

එවැනි ත්‍රිකෝණයක විශාලතම පැත්ත 90 ° ක කෝණයකට ප්‍රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇති අතර එය කර්ණය වන අතර එහි අනෙක් පැති දෙක කකුල් වේ. මෙම වර්ගයේ ත්රිකෝණ සඳහා, පයිතගරස් ප්රමේයය අදාළ වේ:

පාදවල දිග වර්ගවල එකතුව කර්ණය දිගේ වර්ග වලට සමාන වේ.

රූපයේ දැක්වෙන්නේ කර්ණය AC සහ කකුල් AB සහ BC සහිත සෘජුකෝණාස්‍රය BAC ය.

සෘජු කෝණයක් සහිත ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමට, ඔබ එහි පාදවල සංඛ්යාත්මක අගයන් දැන සිටිය යුතුය.

ලබා දී ඇති රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්‍ර වෙත යමු.

ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා මූලික සූත්ර

ජ්‍යාමිතියේදී, බොහෝ වර්ගවල ත්‍රිකෝණවල ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට සුදුසු සූත්‍ර දෙකක් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය, එනම් උග්‍ර-කෝණික, අශෝභන-කෝණික, නිත්‍ය සහ සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණ සඳහා. අපි ඒ එක් එක් විශ්ලේෂණය කරමු.

පැත්තෙන් සහ උසින්

අප සලකා බලන රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා මෙම සූත්රය විශ්වීය වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පැත්තේ දිග සහ එය ඇද ගන්නා උස දිග දැන ගැනීමට ප්රමාණවත් වේ. සූත්‍රයම (පාදයේ සහ උසෙහි නිෂ්පාදිතයෙන් අඩක්) පහත පරිදි වේ:

මෙහි A යනු ලබා දී ඇති ත්‍රිකෝණයේ පැත්ත වන අතර H යනු ත්‍රිකෝණයේ උස වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, උග්‍ර කෝණික ත්‍රිකෝණයක ACB ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට, ඔබ එහි පැති AB උස CD එකකින් ගුණ කර ලැබෙන අගය දෙකකින් බෙදිය යුතුය.

කෙසේ වෙතත්, මේ ආකාරයෙන් ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සැමවිටම පහසු නොවේ. නිදසුනක් ලෙස, මෙම සූත්‍රය භාවිතා කිරීම සඳහා, ත්‍රිකෝණාකාර කෝණික ත්‍රිකෝණයක් සඳහා, ඔබ එහි එක් පැත්තක් දිගටම කරගෙන යා යුතු අතර පසුව පමණක් එයට උසක් අඳින්න.

ප්රායෝගිකව, මෙම සූත්රය අනෙක් ඒවාට වඩා බොහෝ විට භාවිතා වේ.

පැති දෙකක් සහ කෙළවරක්

මෙම සූත්‍රය, පෙර සූත්‍රය මෙන්, බොහෝ ත්‍රිකෝණ සඳහා සුදුසු වන අතර, එහි අර්ථය ත්‍රිකෝණයක පැති සහ උස අනුව ප්‍රදේශය සෙවීමේ සූත්‍රයේ ප්‍රතිවිපාකයකි. එනම්, සලකා බලනු ලබන සූත්රය පෙර සූත්රයෙන් පහසුවෙන් ලබාගත හැකිය. එහි වාක්‍ය ඛණ්ඩය මේ වගේ ය:

S = ½*sinO*A*B,

A සහ B යනු ත්‍රිකෝණයේ පැති වන අතර O යනු A සහ ​​B පැති අතර කෝණයයි.

කැපී පෙනෙන සෝවියට් ගණිතඥ V. M. බ්‍රැඩිස්ගේ නමින් නම් කරන ලද විශේෂ වගුවක කෝණයක සයින් දැකිය හැකි බව මතක තබා ගන්න.

දැන් අපි සුවිශේෂී ත්‍රිකෝණ වර්ග සඳහා පමණක් සුදුසු වෙනත් සූත්‍ර වෙත යමු.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක ප්රදේශය

ත්‍රිකෝණයක උසක් ඇඳීමේ අවශ්‍යතාවය ඇතුළත් විශ්වීය සූත්‍රයට අමතරව, සෘජු කෝණයක් අඩංගු ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය එහි කකුල් වලින් සොයාගත හැකිය.

එබැවින්, සෘජු කෝණයක් අඩංගු ත්රිකෝණයක ප්රදේශය එහි පාදවල නිෂ්පාදිතයෙන් අඩක් හෝ:

මෙහි a සහ b යනු සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණයක පාද වේ.

සෘජු ත්රිකෝණය

මෙම වර්ගයේ ජ්‍යාමිතික රූප වෙනස් වන්නේ එහි ප්‍රදේශය එහි එක් පැත්තක පමණක් නිශ්චිත අගයකින් සොයාගත හැකි බැවිනි (සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක සියලුම පැති සමාන බැවින්). එබැවින්, “පැති සමාන වන විට ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමේ” කර්තව්‍යයට මුහුණ දීමෙන් පසු, ඔබ පහත සූත්‍රය භාවිතා කළ යුතුය:

S = A 2 *√3 / 4,

මෙහි A යනු සමපාර්ශ්වික ත්‍රිකෝණයක පැත්තයි.

හෙරොන්ගේ සූත්රය

ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා අවසාන විකල්පය වන්නේ හෙරොන්ගේ සූත්රයයි. එය භාවිතා කිරීම සඳහා, ඔබ රූපයේ පැති තුනේ දිග දැන සිටිය යුතුය. හෙරොන්ගේ සූත්‍රය මේ වගේ ය:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

මෙහි a, b සහ c යනු ලබා දී ඇති ත්‍රිකෝණයේ පැති වේ.

සමහර විට කාර්යය ලබා දී ඇත: "සාමාන්ය ත්රිකෝණයක ප්රදේශය එහි පැත්තේ දිග සොයා ගැනීමයි." මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා ඔබ දැනටමත් අප දන්නා සූත්‍රය භාවිතා කළ යුතු අතර එයින් පැත්තේ අගය (හෝ එහි වර්ග) ලබා ගත යුතුය:

A 2 \u003d 4S / √3.

විභාග ගැටළු

ගණිතයේ GIA හි කාර්යයන්හි බොහෝ සූත්‍ර තිබේ. මීට අමතරව, බොහෝ විට ත්රිකෝණයක ප්රදේශය පිරික්සුම් කඩදාසි මත සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ.

මෙම අවස්ථාවේ දී, රූපයේ එක් පැත්තකට උස ඇඳීම, සෛල මගින් එහි දිග තීරණය කිරීම සහ ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා විශ්වීය සූත්රය භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු වේ:

එබැවින්, ලිපියේ ඉදිරිපත් කර ඇති සූත්‍ර අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු, ඔබට ඕනෑම ආකාරයක ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළු ඇති නොවේ.

ත්රිකෝණයක ප්රදේශය - සූත්ර සහ ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ

පහත දැක්වේ අත්තනෝමතික ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රඕනෑම ත්‍රිකෝණයක ගුණ, කෝණ හෝ මානයන් නොතකා එහි වර්ගඵලය සෙවීමට සුදුසු ඒවා වේ. සූත්‍ර පින්තූරයක ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ඇත, යෙදුම සඳහා පැහැදිලි කිරීම් හෝ ඒවායේ නිවැරදිභාවය සාධාරණීකරණය කිරීම මෙහි ඇත. එසේම, වෙනම රූපයක, සූත්‍රවල අකුරු සංකේත සහ චිත්‍රයේ ඇති ග්‍රැෆික් සංකේතවල ලිපි හුවමාරුව පෙන්වයි.

සටහන . ත්‍රිකෝණයට විශේෂ ගුණ තිබේ නම් (සමද්වීප, සෘජුකෝණාස්‍රාකාර, සමපාර්ශ්වික), ඔබට පහත සූත්‍ර මෙන්ම මෙම ගුණාංග සහිත ත්‍රිකෝණ සඳහා පමණක් සත්‍ය වන විශේෂ සූත්‍ර ද භාවිතා කළ හැකිය:

• "සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සඳහා සූත්ර"

ත්රිකෝණ ප්රදේශයේ සූත්ර

සූත්‍ර සඳහා පැහැදිලි කිරීම්:
a, b, c- අපට සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය ප්‍රදේශයේ ත්‍රිකෝණයේ පැතිවල දිග
ආර්- ත්රිකෝණයේ කොටා ඇති රවුමේ අරය
ආර්- ත්රිකෝණය වටා ඇති වටකුරු රවුමේ අරය
h- ත්රිකෝණයේ උස, පැත්තට පහත් කර ඇත
පි- ත්‍රිකෝණයක අර්ධ පරිමිතිය, එහි පැතිවල එකතුවෙන් 1/2 (පරිමිතිය)
α - ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්ත a
β - ත්රිකෝණයේ ප්රතිවිරුද්ධ පැත්ත b
γ - ත්රිකෝණයේ ප්රතිවිරුද්ධ පැත්ත c
h ඒ, h බී , h c- ත්රිකෝණයේ උස, a, b, c පැත්තට පහත් කර ඇත

ලබා දී ඇති අංකනය ඉහත රූපයට අනුරූප වන බව කරුණාවෙන් සලකන්න, එවිට ජ්‍යාමිතියේ සැබෑ ගැටළුවක් විසඳීමේදී, සූත්‍රයේ නිවැරදි ස්ථානවල නිවැරදි අගයන් දෘශ්‍යමය වශයෙන් ආදේශ කිරීම ඔබට පහසු වනු ඇත.

• ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය වේ ත්රිකෝණයක උසෙහි නිෂ්පාදිතයෙන් අඩක් සහ මෙම උස පහත හෙලන පැත්තේ දිග(සූත්රය 1). මෙම සූත්‍රයේ නිවැරදි බව තාර්කිකව තේරුම් ගත හැක. පාදයට පහත් කරන ලද උස අත්තනෝමතික ත්‍රිකෝණයක් සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදනු ඇත. අපි ඒ සෑම එකක්ම b සහ h මානයන් සහිත සෘජුකෝණාස්‍රයකට සම්පූර්ණ කළහොත්, පැහැදිලිවම, මෙම ත්‍රිකෝණවල වර්ග ප්‍රමාණය සෘජුකෝණාස්‍රයේ ප්‍රදේශයෙන් හරියටම අඩකට සමාන වේ (Spr = bh)
• ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය වේ එහි පැති දෙකේ නිෂ්පාදිතයෙන් අඩක් සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයින්(සූත්‍රය 2) (පහත මෙම සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගැටලුවක් විසඳීමේ උදාහරණයක් බලන්න). එය පෙර එකට වඩා වෙනස් බවක් පෙනෙන්නට තිබුණද, එය පහසුවෙන් එය බවට පරිවර්තනය කළ හැකිය. අපි B කෝණයේ සිට b පැත්තට උස අඩු කළහොත්, සෘජු ත්‍රිකෝණයක ඇති සයිනයේ ගුණ අනුව a පැත්තේ සහ γ කෝණයේ සයින්, අඳින ලද ත්‍රිකෝණයේ උසට සමාන බව පෙනේ. අප, එය අපට පෙර සූත්‍රය ලබා දෙනු ඇත
• අත්තනෝමතික ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයාගත හැකිය තුලින් කාර්යයඑහි සියලු පැතිවල දිග එකතුවෙන් එහි කොටා ඇති රවුමක අරයෙන් අඩක්(සූත්‍රය 3), වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඔබ ත්‍රිකෝණයේ අර්ධ පරිමිතිය ලියා ඇති කවයේ අරයෙන් ගුණ කළ යුතුය (මේ ආකාරයෙන් මතක තබා ගැනීම පහසුය)
• අත්තනෝමතික ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය එහි සියලු පැතිවල ගුණිතය එය වටා ඇති රවුමේ අරය 4 කින් බෙදීමෙන් සොයාගත හැකිය (සූත්‍රය 4)
• සූත්‍රය 5 යනු ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය එහි පැතිවල දිග සහ අර්ධ පරිමිතිය අනුව (එහි සියලුම පැතිවල එකතුවෙන් අඩක්) සොයා ගැනීමයි.
• හෙරොන්ගේ සූත්රය(6) යනු අර්ධ පරිමිතියක සංකල්පය භාවිතා නොකර පැතිවල දිග හරහා පමණක් එකම සූත්‍රයේ නිරූපණයකි.
• අත්තනෝමතික ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය ත්‍රිකෝණයේ පැත්තේ චතුරස්‍රයේ ගුණිතයට සමාන වන අතර මෙම පැත්තට යාබද කෝණවල සයින මෙම පැත්තට ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණයේ ද්විත්ව සයිනයෙන් බෙදනු ලැබේ (සූත්‍රය 7)
• අත්තනෝමතික ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය එය වටා වට කර ඇති රවුමක කොටු දෙකක සහ එහි එක් එක් කෝණවල සයිනවල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සොයාගත හැකිය. (සූත්රය 8)
• එක් පැත්තක දිග සහ එයට යාබද කෝණ දෙකේ විශාලත්වය දන්නේ නම්, ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය මෙම පැත්තේ චතුරස්‍රය ලෙස සොයාගත හැකි අතර, මේවායේ කෝටැන්ජන්ට් වල ද්විත්ව එකතුවෙන් බෙදනු ලැබේ. කෝණ (සූත්‍රය 9)
• ත්‍රිකෝණයක එක් එක් උසෙහි දිග පමණක් දන්නේ නම් (සූත්‍රය 10), එවිට එවැනි ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය හෙරොන්ගේ සූත්‍රය අනුව මෙම උසවල දිගට ප්‍රතිලෝමව සමානුපාතික වේ.
• සූත්රය 11 ඔබට ගණනය කිරීමට ඉඩ සලසයි ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය එහි සිරස් වල ඛණ්ඩාංක අනුව, එක් එක් සිරස් සඳහා (x;y) අගයන් ලෙස ලබා දී ඇත. තනි (හෝ සියලුම) සිරස් වල ඛණ්ඩාංක සෘණ අගයන් ඇති ප්‍රදේශයේ විය හැකි බැවින් ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අගය මොඩියුලයෙන් ගත යුතු බව කරුණාවෙන් සලකන්න.

සටහන. පහත දැක්වෙන්නේ ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා ජ්‍යාමිතියේ ගැටලු විසඳීමේ උදාහරණ වේ. ඔබට ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළුවක් විසඳීමට අවශ්‍ය නම්, මෙහි නොමැති හා සමානයි - ඒ ගැන සංසදයේ ලියන්න. විසඳුම් වලදී, "වර්ග මූල" සංකේතය වෙනුවට sqrt() ශ්‍රිතය භාවිතා කළ හැක, එහි වර්ගමූල සංකේතය වන අතර, රැඩිකල් ප්‍රකාශනය වරහන් තුල දක්වා ඇත..සමහර විට සංකේතය සරල රැඩිකල් ප්රකාශයන් සඳහා භාවිතා කළ හැක √

කාර්යයක්. පැති දෙකක් ලබා දී ඇති ප්රදේශය සහ ඒවා අතර කෝණය සොයා ගන්න

ත්රිකෝණයේ පැති 5 සහ 6 සෙ.මී. ඒවා අතර කෝණය අංශක 60 කි. ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.

මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා, අපි පාඩමේ න්‍යායාත්මක කොටසෙන් අංක දෙක සූත්‍රය භාවිතා කරමු.
ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය පැති දෙකක දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයින් හරහා සොයාගත හැකි අතර එය සමාන වේ
S=1/2 ab sin γ

විසඳුම සඳහා අවශ්‍ය සියලුම දත්ත අප සතුව ඇති බැවින් (සූත්‍රයට අනුව), අපට ගැටළු ප්‍රකාශයේ අගයන් සූත්‍රයට ආදේශ කළ හැක්කේ:
S=1/2*5*6*sin60

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් වගුවේ, අපි සයින් අංශක 60 ක අගය ප්‍රකාශනය තුළ සොයාගෙන ආදේශ කරමු. එය තුනෙන් දෙකේ මුලට සමාන වනු ඇත.
S = 15 √3 / 2

පිළිතුර: 7.5 √3 (ගුරුවරයාගේ අවශ්‍යතා අනුව, 15 √3/2 හැර යාමට ඉඩ ඇත)

කාර්යයක්. සමපාර්ශ්වික ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයන්න

සෙන්ටිමීටර 3 ක පැත්තක් සහිත සමපාර්ශ්වික ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සොයා ගන්න.

විසඳුමක් .

ත්රිකෝණයක ප්රදේශය හෙරොන්ගේ සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:

S = 1/4 වර්ග((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

\u003d b \u003d c නිසා, සමපාර්ශ්වික ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය සඳහා සූත්‍රය ස්වරූපය ගනී:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

පිළිතුර: 9 √3 / 4.

කාර්යයක්. පැතිවල දිග වෙනස් කිරීමේදී ප්රදේශය වෙනස් කරන්න

පැති හතර ගුණයකින් වැඩි නම් ත්‍රිකෝණයක වර්ග ප්‍රමාණය කී වතාවක් වැඩි වේද?

විසඳුමක්.

ත්‍රිකෝණයේ පැතිවල මානයන් අප නොදන්නා බැවින්, ගැටලුව විසඳීම සඳහා පැතිවල දිග පිළිවෙලින් a, b, c අත්තනෝමතික සංඛ්‍යාවලට සමාන යැයි උපකල්පනය කරමු. ඉන්පසුව, ගැටලුවේ ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු සැපයීම සඳහා, අපි මෙම ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය සොයා ගනිමු, ඉන්පසු පැති හතර ගුණයකින් විශාල ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය අපට හමු වේ. මෙම ත්‍රිකෝණවල ප්‍රදේශ වල අනුපාතය අපට ගැටලුවට පිළිතුර ලබා දෙනු ඇත.

ඊළඟට, අපි පියවරෙන් පියවර ගැටලුවේ විසඳුම පිළිබඳ පාඨමය පැහැදිලි කිරීමක් ලබා දෙන්නෙමු. කෙසේ වෙතත්, අවසානයේ දී, එකම විසඳුම සංජානනය සඳහා වඩාත් පහසු වන චිත්රක ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ. කැමති අයට වහාම විසඳුම පහත දැමිය හැකිය.

විසඳීම සඳහා, අපි හෙරොන් සූත්රය භාවිතා කරමු (පාඩමේ න්යායික කොටසෙහි ඉහත බලන්න). එය මෙසේ පෙනේ:

S = 1/4 වර්ග((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(පහත පින්තූරයේ පළමු පේළිය බලන්න)

අත්තනෝමතික ත්‍රිකෝණයක පැතිවල දිග ලබා දෙන්නේ a, b, c යන විචල්‍යයන් මගිනි.
පැති 4 ගුණයකින් වැඩි කළහොත්, නව ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය c වනු ඇත:

S 2 = 1/4 වර්ග((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(පහත පින්තූරයේ දෙවන පේළිය බලන්න)

ඔබට පෙනෙන පරිදි, 4 යනු ගණිතයේ සාමාන්‍ය රීති අනුව ප්‍රකාශන හතරෙන් වරහන් කළ හැකි පොදු සාධකයකි.
ඉන්පසු

S 2 = 1/4 වර්ග(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - පින්තූරයේ තුන්වන පේළියේ
S 2 = 1/4 වර්ග(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - හතරවන පේළිය

අංක 256 න්, වර්ගමූලය පරිපූර්ණ ලෙස නිස්සාරණය කර ඇත, එබැවින් අපි එය මූලයට යටින් ඉවතට ගන්නෙමු.
S 2 = 16 * 1/4 වර්ග ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 වර්ග((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(පහත රූපයේ පස්වන පේළිය බලන්න)

ගැටලුවේ ඇති ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දීමට, අපට ලැබෙන ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය මුල් ප්‍රමාණයෙන් බෙදීම ප්‍රමාණවත් වේ.
අපි ප්‍රකාශන එකිනෙක බෙදීමෙන් සහ ලැබෙන කොටස අඩු කිරීමෙන් ප්‍රදේශ අනුපාත තීරණය කරමු.