උපදෙස්

10, 30, 90, 270...

ජ්යාමිතික ප්රගතියේ හරය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
තීරණය:

විකල්ප 1. ප්\u200dරගතියේ අත්තනෝමතික යෙදුමක් ගන්න (නිදසුනක් ලෙස, 90) එය පෙර එකෙන් බෙදන්න (30): 90/30 \u003d 3.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන් කිහිප දෙනෙකුගේ එකතුවක් හෝ අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසියලුම සාමාජිකයන්ගේ එකතුව ඔබ දන්නේ නම්, ප්\u200dරගතියේ හරය සොයා ගැනීමට සුදුසු සූත්\u200dර භාවිතා කරන්න:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), මෙහි Sn යනු ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ පළමු n පදවල එකතුව සහ
S \u003d b1 / (1-q), මෙහි S යනු අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bඑකතුවකි (ප්\u200dරගතියේ සියලුම සාමාජිකයන්ගේ එකතුව එකකට වඩා අඩු හරයක් සහිත).
උදාහරණයක්.

අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ පළමු පදය එකකට සමාන වන අතර එහි සියලුම සාමාජිකයන්ගේ එකතුව දෙකකට සමාන වේ.

මෙම ප්\u200dරගතියේ හරය තීරණය කිරීම අවශ්\u200dය වේ.
තීරණය:

ගැටලුවේ දත්ත සූත්\u200dරයට ඇතුල් කරන්න. එය හැරෙනු ඇත:
2 \u003d 1 / (1-q), කොහෙන්ද - q \u003d 1/2.

ප්\u200dරගතිය යනු සංඛ්\u200dයා අනුක්\u200dරමයකි. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bදී, සෑම පසු පදයක්ම ලබා ගන්නේ පෙර එක q හි යම් සංඛ්\u200dයාවක් මගින් ගුණ කිරීමෙන් ය. එය ප්\u200dරගතියේ හරය ලෙස හැඳින්වේ.

උපදෙස්

හරය ලබා ගැනීම සඳහා ජ්\u200dයාමිතික b (n + 1) සහ b (n) යන අසල්වැසි පද දෙකක් ඔබ දන්නේ නම්, ඔබට ඊට පෙර ඇති සංඛ්\u200dයාවෙන් විශාල සංඛ්\u200dයාවක් සමඟ බෙදිය යුතුය: q \u003d b (n + 1) / b (n). මෙය ප්\u200dරගතියක් සහ එහි හරය අර්ථ දැක්වීමෙන් අනුගමනය කරයි. වැදගත් කොන්දේසියක් වන්නේ පළමු යෙදුමේ අසමානතාවය සහ ප්\u200dරගතිය ශුන්\u200dයයට හර කිරීම ය, එසේ නොමැති නම් එය නිර්වචනය නොකෙරේ.

එබැවින්, ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයන් අතර පහත සම්බන්ධතා තහවුරු වේ: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q,…, b (n) \u003d b (n-1) q. B (n) \u003d b1 q ^ (n-1) සූත්\u200dරය මගින්, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ ඕනෑම යෙදුමක් ගණනය කළ හැකි අතර, එහි හරය q සහ b1 යන පදය දනී. එසේම, මාපාංකයේ සෑම ප්\u200dරගතියක්ම එහි අසල්වැසි සාමාජිකයන්ගේ සාමාන්\u200dයයට සමාන වේ: | b (n) | \u003d √, එබැවින් ප්\u200dරගතිය තමන්ගේම විය.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bප්\u200dරතිසමයක් යනු y \u003d a ^ x යන සරලම on ාතීය ශ්\u200dරිතයයි, මෙහි x යනු on ාතයේ වන අතර a යනු යම් සංඛ්\u200dයාවක් වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ප්\u200dරගතියේ හරය පළමු යෙදුමට සමපාත වන අතර එය a සංඛ්\u200dයාවට සමාන වේ. X ශ්\u200dරිතය ස්වාභාවික සංඛ්\u200dයාවක් n (කවුන්ටරය) ලෙස ගතහොත් y ශ්\u200dරිතයේ අගය ප්\u200dරගතියේ n-th පදය ලෙස වටහා ගත හැකිය.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bපළමු n පදවල එකතුව සඳහා පවතී: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q). මෙම සූත්\u200dරය q ≠ 1 සඳහා වලංගු වේ. Q \u003d 1 නම්, පළමු n පදවල එකතුව ගණනය කරනු ලබන්නේ S (n) \u003d n b1 සූත්\u200dරයෙනි. මාර්ගය වන විට, q එකකට වඩා වැඩි වන විට හා ධනාත්මක b1 වැඩි වන විට ප්\u200dරගතිය වැඩි වේ. ප්\u200dරගතියේ හරය මාපාංකයෙන් එකක් නොඉක්මවන්නේ නම්, ප්\u200dරගතිය අඩුවීම ලෙස හැඳින්වේ.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ විශේෂ අවස්ථාවක් වන්නේ අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියයි (b.d.p.). කාරණය වන්නේ අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ නියමයන් නැවත නැවතත් අඩු වන නමුත් ඒවා කිසි විටෙකත් බිංදුවට නොපැමිණීමයි. එසේ තිබියදීත්, එවැනි ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසියලුම සාමාජිකයන්ගේ එකතුව ඔබට සොයාගත හැකිය. එය තීරණය වන්නේ S \u003d b1 / (1-q) සූත්\u200dරයෙනි. N හි මුළු සාමාජික සංඛ්\u200dයාව අනන්තය.

ඔබට අනන්ත සංඛ්\u200dයාවක් එකතු කළ හැකි ආකාරය සහ එකවර අනන්තය නොලැබෙන ආකාරය දෘශ්\u200dයමාන කිරීමට කේක් පුළුස්සන්න. මෙයින් අඩක් කපා දමන්න. ඉන්පසු අඩකින් 1/2 කපන්න, සහ එසේ කරන්න. ඔබට ලැබෙන කෑලි 1/2 ක හරයක් සහිත අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයින්ට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ. ඔබ මේ සියලු කෑලි එකතු කළහොත්, ඔබට මුල් කේක් ලැබේ.

ජ්\u200dයාමිතික ගැටළු යනු අවකාශීය චින්තනය අවශ්\u200dය වන විශේෂ ව්\u200dයායාමයකි. ඔබට ජ්යාමිතික විසඳීමට නොහැකි නම් කාර්යපහත නීති අනුගමනය කිරීමට උත්සාහ කරන්න.

උපදෙස්

ගැටලුවේ ප්\u200dරකාශය ඉතා ප්\u200dරවේශමෙන් කියවන්න, ඔබට යමක් මතක නැතිනම් හෝ තේරෙන්නේ නැත්නම්, එය නැවත කියවන්න.

එය කුමන ආකාරයේ ජ්\u200dයාමිතික ගැටලු දැයි තීරණය කිරීමට උත්සාහ කරන්න, උදාහරණයක් ලෙස: පරිගණකමය ගැටලු, ඔබට යම් වටිනාකමක් සොයා ගැනීමට අවශ්\u200dය වූ විට, තර්කානුකූලව තර්කානුකූල දාමයක් අවශ්\u200dය වන ගැටලු, මාලිමා යන්ත්\u200dරයක් සහ පාලකයෙකු භාවිතා කරමින් ඉදිකිරීම් ගැටළු. වඩාත් මිශ්ර ගැටළු. ඔබ ගැටලුවේ වර්ගය හදුනාගත් පසු, තර්කානුකූලව සිතීමට උත්සාහ කරන්න.

මෙම ගැටළුව සඳහා අවශ්\u200dය ප්\u200dරමේයය යොදන්න, නමුත් කිසියම් සැකයක් හෝ විකල්පයක් නොමැති නම්, ඔබ අදාළ මාතෘකාව පිළිබඳ සම්මත කළ න්\u200dයාය මතක තබා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න.

කෙටුම්පතක් මත ද ගැටලුවට විසඳුම අඳින්න. ඔබේ තීරණයෙහි නිරවද්\u200dයතාවය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා දන්නා ක්\u200dරම භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන්න.

ගැටළුවට විසඳුම නෝට්බුක් එකක පිළිවෙලට පුරවා නොගෙන හරස් අතට නොගෙන වඩාත් වැදගත් ලෙස - පළමු ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීමට කාලය හා වෑයම අවශ්\u200dය වේ. කෙසේ වෙතත්, ඔබ මෙම ක්\u200dරියාවලිය ප්\u200dරගුණ කළ විගස, ඔබ ගෙඩි වැනි කාර්යයන් මත ක්ලික් කිරීම ආරම්භ කරනු ඇත, විනෝද වන්න!

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය යනු b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) යන සංඛ්\u200dයා අනුක්\u200dරමයකි, එනම් b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b (n ) \u003d b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q 0. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ප්\u200dරගතියේ සෑම පදයක්ම පෙර එකෙන් ලබා ගන්නේ එය ප්\u200dරගතියේ සමහර නොනෙරෝ හරය මගින් ගුණ කිරීමෙනි q.

උපදෙස්

ප්\u200dරගති ගැටලු බොහෝ විට විසඳනු ලබන්නේ ප්\u200dරගතියේ පළමු වාරයට සාපේක්ෂව පද්ධතියක් ඇඳීම හා අනුගමනය කිරීමෙනි b1 සහ ප්\u200dරගතියේ හරය q. සමීකරණ ලිවීමේදී සමහර සූත්\u200dර මතක තබා ගැනීම ප්\u200dරයෝජනවත් වේ.

ප්\u200dරගතියේ පළමු පදය සහ ප්\u200dරගතියේ හරය අනුව ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bn-th පදය ප්\u200dරකාශ කරන්නේ කෙසේද: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

නඩුව වෙන වෙනම සලකා බලන්න | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

මාතෘකාව පිළිබඳ පාඩම සහ ඉදිරිපත් කිරීම: "සංඛ්\u200dයා අනුපිළිවෙල. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය"

අතිරේක ද්රව්ය
හිතවත් පරිශීලකයින්, ඔබේ අදහස්, සමාලෝචන, පැතුම් තැබීමට අමතක නොකරන්න! සියලුම ද්රව්ය ප්රති-වයිරස වැඩසටහනක් මගින් පරීක්ෂා කර ඇත.

9 ශ්\u200dරේණිය සඳහා ඒකාබද්ධ අන්තර්ජාල වෙළඳසැලේ ඉගැන්වීම් ආධාරක සහ සිමියුලේටර්
උපාධි සහ මූලයන් කාර්යයන් සහ ප්\u200dරස්තාර

යාලුවනේ, අද අපි වෙනත් ආකාරයක ප්\u200dරගතියක් දැන හඳුනා ගන්නෙමු.
අද පාඩමේ මාතෘකාව වන්නේ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියයි.

ජ්යාමිතික ප්රගතිය

උදාහරණයක්. 1,2,4,8,16 ... පළමු පදය එකකට සමාන වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය සහ $ q \u003d 2 $.

උදාහරණයක්. 8,8,8,8 ... පළමු පදය අටකට සමාන වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය,
සහ $ q \u003d 1 $.

උදාහරණයක්. 3, -3.3, -3.3 ... පළමු පදය තුනකට සමාන වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය,
සහ $ q \u003d -1 $.

ජ්යාමිතික ප්රගතියට ඒකාධිකාරයේ ගුණාංග ඇත.
$ B_ (1)\u003e 0 $ නම්, $ q\u003e 1 $,
එවිට අනුක්\u200dරමය නඟිනවා.
$ B_ (1)\u003e 0 $ නම්, $ 0 අනුක්\u200dරමය සාමාන්\u200dයයෙන් පහත පරිදි දැක්වේ: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

අංක ගණිතමය ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bදී මෙන්, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bදී මූලද්\u200dරව්\u200dය ගණන සීමිත නම්, ප්\u200dරගතිය සීමිත ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ලෙස හැඳින්වේ.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
සටහන, අනුක්\u200dරමය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් නම්, සාමාජිකයන්ගේ වර්ගවල අනුක්\u200dරමය ද ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි. දෙවන අනුක්\u200dරමය සඳහා, පළමු පදය $ b_ (1) ^ 2 $ වන අතර හරය $ q ^ 2 is වේ.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bn-th පදයෙහි සූත්\u200dරය

අපි නැවත අපගේ උදාහරණ වෙත යමු.

උදාහරණයක්. 1,2,4,8,16 ... පළමු පදය එකකට සමාන වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය,
සහ $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

උදාහරණයක්. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... පළමු පදය දහසය සහ $ q \u003d \\ frac (1) (2) is වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

උදාහරණයක්. 8,8,8,8 ... පළමු පදය අටක් සහ $ q \u003d 1 is වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

උදාහරණයක්. 3, -3.3, -3.3 ... පළමු පදය තුන සහ $ q \u003d -1 is වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

උදාහරණයක්. ඔබට ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ලබා දී ඇත $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 that බව දන්නා කරුණකි. $ B_ (5) Find සොයා ගන්න.
b) $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 that බව දන්නා කරුණකි. N සොයා ගන්න.
c) $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 that බව දන්නා කරුණකි. $ B_ (1) Find සොයා ගන්න.
d) $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 that බව දන්නා කරුණකි. Q සොයා ගන්න.

තීරණය.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ සිට $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

උදාහරණයක්. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ හත්වන සහ පස්වන පද අතර වෙනස 192 ක් වන අතර, ප්\u200dරගතියේ පස්වන හා හයවන පදවල එකතුව 192 වේ. මෙම ප්\u200dරගතියේ දහවන වාරය සොයා ගන්න.

තීරණය.
අපි එය දනිමු: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ සහ $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
අපි ද දනිමු: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
ඉන්පසු:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
අපට සමීකරණ පද්ධතියක් ඇත:
$ \\ ආරම්භය (නඩු) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ අවසානය (නඩු) $.
සමීකරණය, අපගේ සමීකරණ ලබා ගන්නේ:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
අපට විසඳුම් දෙකක් ඇත q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
දෙවන සමීකරණයට අනුක්\u200dරමිකව ආදේශ කරන්න:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e solutions විසඳුම් නොමැත.
අපට එය ලැබුණි: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
දහවන පදය සොයා ගන්න: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

සීමිත ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bඑකතුව

සීමිත ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ලබා දෙන්න: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
එහි සාමාජිකයන්ගේ එකතුව සඳහා අංකනය අපි හඳුන්වා දෙමු: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
නඩුවේදී $ q \u003d 1 when. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ සියලුම සාමාජිකයන් පළමු පදයට සමාන වේ, එවිට $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $ බව පැහැදිලිය.
දැන් සලකා බලන්න $ q ≠ 1 $.
ඉහත මුදල q මගින් ගුණ කරන්න.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
සටහන:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

සීමිත ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bඑකතුව සඳහා සූත්\u200dරය අපට ලැබුණි.

තීරණය.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

උදාහරණයක්.
දන්නා ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ පස්වන පදය සොයා ගන්න: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

තීරණය.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
$ 341q \u003d $ 1364.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bලාක්ෂණික දේපල

සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමයක් යනු ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි, එහි එක් එක් සාමාජිකයාගේ වර්ග ප්\u200dරමාණය ප්\u200dරගතියේ යාබද සාමාජිකයන් දෙදෙනෙකුගේ නිෂ්පාදනයට සමාන වූ විට පමණි. සීමිත ප්\u200dරගතියක් සඳහා, පළමු හා අවසාන සාමාජිකයන් සඳහා මෙම කොන්දේසිය සපුරා නොමැති බව අමතක නොකරන්න.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bඕනෑම සාමාජිකයෙකුගේ මාපාංකය එයට යාබද සාමාජිකයන් දෙදෙනෙකුගේ ජ්\u200dයාමිතික මධ්\u200dයන්\u200dයයට සමාන වේ.

තීරණය.
ලාක්ෂණික දේපල භාවිතා කරමු:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ සහ $ x_ (2) \u003d - 1 $.
මුල් ප්\u200dරකාශනයට අනුක්\u200dරමිකව ආදේශ කිරීම, අපගේ විසඳුම්:
$ X \u003d 2 With සමඟ, අපට අනුක්\u200dරමය ලැබුණි: 4; 6; 9 - ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක්, එහි $ q \u003d 1.5 $.
$ X \u003d -1 With සමඟ, අපට අනුක්\u200dරමය ලැබුණි: 1; 0; 0.
පිළිතුර: $ x \u003d 2. $

ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යයන්

අංක ගණිතය සමඟ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය වැදගත් සංඛ්\u200dයා මාලාවක් වන අතර එය 9 වන ශ්\u200dරේණියේ පාසල් වීජ ගණිත පා course මාලාවේ අධ්\u200dයයනය කෙරේ. මෙම ලිපියෙන් අපි සලකා බලන්නේ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bහරය සහ එහි වටිනාකම එහි ගුණාංග කෙරෙහි බලපාන ආකාරයයි.

ජ්යාමිතික ප්රගතියක් තීරණය කිරීම

ආරම්භ කිරීමට, මෙම සංඛ්\u200dයා ශ්\u200dරේණියේ අර්ථ දැක්වීම ලබා දෙමු. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය යනු තාර්කික සංඛ්\u200dයා මාලාවකි, එහි පළමු මූලද්\u200dරව්\u200dයය අනුක්\u200dරමිකව ගුණ කිරීමෙන් නියත සංඛ්\u200dයාවක් මගින් ගුණ කරයි.

උදාහරණයක් ලෙස, 3, 6, 12, 24, ... පේළියේ ඇති සංඛ්\u200dයා ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි, මන්ද ඔබ 3 (පළමු මූලද්\u200dරව්\u200dයය) 2 න් ගුණ කළහොත් ඔබට 6 ලැබෙනු ඇත. 12, සහ එසේ ය.

සලකා බලනු ලබන අනුක්\u200dරමයේ සාමාජිකයන් සාමාන්\u200dයයෙන් ai සංකේතය මගින් දක්වනු ලැබේ, මෙහි i යනු පේළියේ මූලද්\u200dරව්\u200dය ගණන පෙන්වන පූර්ණ සංඛ්\u200dයාවක් වේ.

ප්\u200dරගතිය පිළිබඳ ඉහත අර්ථ දැක්වීම ගණිතයේ භාෂාවෙන් පහත පරිදි ලිවිය හැකිය: an \u003d bn-1 * a1, මෙහි b යනු හරය වේ. මෙම සූත්\u200dරය පරීක්ෂා කිරීම පහසුය: n \u003d 1 නම්, b1-1 \u003d 1, එවිට අපට a1 \u003d a1 ලැබේ. N \u003d 2 නම්, a \u003d b * a1, අපි නැවත සලකා බලනු ලබන සංඛ්\u200dයා ශ්\u200dරේණියේ අර්ථ දැක්වීමට පැමිණෙමු. N හි විශාල අගයන් සඳහා සමාන තර්ක ඉදිරිපත් කළ හැකිය.

ජ්යාමිතික ප්රගතියේ හරය

B අංකය මුළු සංඛ්\u200dයා ශ්\u200dරේණියේම චරිතය කුමක්ද යන්න සම්පූර්ණයෙන්ම තීරණය කරයි. ආ හරය ධනාත්මක, negative ණ හෝ එකක් හෝ ඊට වඩා වැඩි විය හැකිය. මෙම සියලු විකල්ප විවිධ අනුක්\u200dරමයන්ට තුඩු දෙයි:

• b\u003e 1. තාර්කික සංඛ්\u200dයා වැඩි වෙමින් පවතී. උදාහරණයක් ලෙස, 1, 2, 4, 8, ... a1 මූලද්\u200dරව්\u200dයය negative ණ නම්, මුළු අනුක්\u200dරමයම නිරපේක්ෂ අගයෙන් පමණක් වැඩි වන නමුත් සංඛ්\u200dයා වල ලකුණ සැලකිල්ලට ගනිමින් අඩු වේ.
• b \u003d 1. සාමාන්\u200dය තාර්කික සංඛ්\u200dයා මාලාවක් ඇති බැවින් එවැනි අවස්ථාවක් බොහෝ විට ප්\u200dරගතියක් ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, -4, -4, -4.

මුදල සඳහා සූත්\u200dරය

සලකා බැලූ ආකාරයේ ප්\u200dරගතියේ හරය භාවිතා කරමින් නිශ්චිත ගැටළු සලකා බැලීමට පෙර, එහි පළමු n මූලද්\u200dරව්\u200dයවල එකතුව සඳහා වැදගත් සූත්\u200dරයක් ලබා දිය යුතුය. සූත්\u200dරය: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයින්ගේ පුනරාවර්තන අනුක්\u200dරමයක් සලකා බැලුවහොත් ඔබට මෙම ප්\u200dරකාශනය ලබා ගත හැකිය. ඉහත සූත්\u200dරයේ අත්තනෝමතික පද ගණනක එකතුව සොයා ගැනීමට පළමු මූලද්\u200dරව්\u200dයය සහ හරය පමණක් දැන ගැනීම ප්\u200dරමාණවත් බව සලකන්න.

අනුක්\u200dරමය අනන්තය අඩු කිරීම

ඉහත එය කුමක්ද යන්න පිළිබඳ පැහැදිලි කිරීමක් ලබා දී ඇත. දැන්, Sn සඳහා වන සූත්\u200dරය දැනගෙන, මෙම සංඛ්\u200dයා ශ්\u200dරේණියට එය යොදන්න. මොඩියුලය 1 නොඉක්මවන ඕනෑම සංඛ්\u200dයාවක්, විශාල අංශක දක්වා ඉහළ නංවන විට, එය ශුන්\u200dයයට නැඹුරු වේ, එනම්, b if \u003d\u003e 0, -1 නම්

හරයේ අගය නොසලකා වෙනස (1 - ආ) සැමවිටම ධනාත්මක වනු ඇති බැවින්, ජ්\u200dයාමිතික S∞ හි අඩු වන අසීමිත ප්\u200dරගතියේ එකතුවෙහි ලකුණ අද්විතීය ලෙස තීරණය වන්නේ එහි පළමු මූලද්\u200dරව්\u200dයයේ සං sign ාවෙනි.

දැන් අපි කාර්යයන් කිහිපයක් සලකා බලමු, එහිදී අපි ලබාගත් දැනුම නිශ්චිත සංඛ්\u200dයා මත යොදන ආකාරය පෙන්වමු.

ගැටළු අංකය 1. ප්\u200dරගතියේ නොදන්නා මූලද්\u200dරව්\u200dය ගණනය කිරීම සහ එකතුව

ඔබට ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ලබා දී ඇත, ප්\u200dරගතියේ හරය 2 ක් වන අතර එහි පළමු අංගය 3 වේ. එහි 7 වන සහ 10 වන පද මොනවාද? එහි ආරම්භක මූලද්\u200dරව්\u200dය හතේ එකතුව කුමක්ද?

ගැටලුවේ තත්වය ඉතා සරළව රචනා වී ඇති අතර ඉහත සූත්\u200dර සෘජුවම භාවිතා කිරීමට පූර්ව නිගමනය කරයි. එබැවින්, n අංකය සමඟ මූලද්\u200dරව්\u200dයය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි \u003d bn-1 * a1 යන ප්\u200dරකාශනය භාවිතා කරමු. අප සතුව ඇති 7 වන මූලද්\u200dරව්\u200dයය සඳහා: a7 \u003d b6 * a1, දන්නා දත්ත ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. 10 වන වාරය සඳහා අපි එයම කරන්නෙමු: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

එකතුව සඳහා සුප්\u200dරසිද්ධ සූත්\u200dරය භාවිතා කර ශ්\u200dරේණියේ පළමු අංග 7 සඳහා මෙම අගය තීරණය කරමු. අපට ඇත්තේ: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

ගැටළු අංකය 2. ප්\u200dරගතියේ අත්තනෝමතික මූලද්\u200dරව්\u200dයවල එකතුව තීරණය කිරීම

-2 යනු on ාතීය ප්\u200dරගතියේ හරය bn-1 * 4 වේ, මෙහි n යනු පූර්ණ සංඛ්\u200dයාවක් වේ. මෙම ශ්\u200dරේණියේ 5 සිට 10 වන මූලද්\u200dරව්\u200dයය ඇතුළුව ප්\u200dරමාණය තීරණය කිරීම අවශ්\u200dය වේ.

දන්නා සූත්\u200dර භාවිතයෙන් මතු වන ගැටළුව කෙලින්ම විසඳිය නොහැක. එය විවිධ ක්\u200dරම 2 කින් විසඳා ගත හැකිය. සම්පූර්ණත්වය උදෙසා අපි දෙකම ඉදිරිපත් කරමු.

ක්රමය 1. එහි අදහස සරල ය: පළමු පදවල අනුරූප එකතුව දෙක ගණනය කිරීම අවශ්ය වන අතර, අනෙක් එක එකකින් අඩු කරන්න. අපි කුඩා මුදල ගණනය කරමු: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. දැන් අපි විශාල මුදල ගණනය කරමු: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. ගැටළුවේ තත්වය අනුව ගණනය කළ යුතු එකතුවට 5 වන කොටස දැනටමත් ඇතුළත් කර ඇති බැවින් අවසාන ප්\u200dරකාශනයේ වචන 4 ක් පමණක් සාරාංශ කර ඇති බව සලකන්න. අවසාන වශයෙන්, වෙනස ගන්න: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

ක්රමය 2. සංඛ්යා ආදේශ කිරීමට හා ගණන් කිරීමට පෙර, ප්රශ්නයේ ඇති මාලාවේ m සහ n සාමාජිකයන් අතර එකතුව සඳහා සූත්රයක් ලබා ගත හැකිය. අපි 1 වන ක්\u200dරමයට සමානවම කරන්නෙමු, අපි මුලින්ම වැඩ කරන්නේ එකතුවෙහි සංකේතාත්මක නිරූපණය සමඟ පමණි. අපට ඇත්තේ: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . එහි ප්\u200dරති expression ලයක් ලෙස, ඔබට දන්නා සංඛ්\u200dයා ආදේශ කර අවසාන ප්\u200dරති result ලය ගණනය කළ හැකිය: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

ගැටළු අංකය 3. හරය යනු කුමක්ද?

A1 \u003d 2, එහි අසීමිත එකතුව 3 ක් නම්, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ හරය සොයා ගැනීමට ඉඩ දෙන්න, මෙය සංඛ්\u200dයා අඩුවන ශ්\u200dරේණියක් බව දන්නා කරුණකි.

ගැටලුවේ තත්වය අනුව, එය විසඳීම සඳහා කුමන සූත්\u200dරය භාවිතා කළ යුතුදැයි අනුමාන කිරීම පහසුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්\u200dරගතියේ එකතුව අසීමිත ලෙස අඩු වෙමින් පවතී. අපට ඇත්තේ: S∞ \u003d a1 / (1 - b). අපි හරය ප්\u200dරකාශ කරන තැන සිට: b \u003d 1 - a1 / S∞. දන්නා අගයන් ආදේශ කර අවශ්\u200dය අංකය ලබා ගැනීම සඳහා එය ඉතිරිව ඇත: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 හෝ -0.333 (3). මෙම අනුක්\u200dරමය සඳහා b මාපාංකය 1 ඉක්මවා නොයා යුතු බව අපට මතක් වුවහොත් මෙම ප්\u200dරති result ලය ගුණාත්මකව පරීක්ෂා කළ හැකිය. ඔබට පෙනෙන පරිදි |

ගැටළු අංකය 4. අංක මාලාවක් නැවත ලබා ගැනීම

සංඛ්\u200dයාත්මක ශ්\u200dරේණියේ මූලද්\u200dරව්\u200dය 2 ක් ලබා දෙමු.

ගැටළුව විසඳීම සඳහා, ඔබ පළමුව දන්නා එක් එක් යෙදුම සඳහා අනුරූප ප්\u200dරකාශනය ලිවිය යුතුය. අපට ඇත්තේ: a5 \u003d b4 * a1 සහ a10 \u003d b9 * a1. දැන් අපි දෙවන ප්\u200dරකාශනය පළමුවැන්නෙන් බෙදන්නෙමු, අපට ලැබෙන්නේ: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. මෙතැන් සිට, ගැටලුවේ තත්වයෙන් දන්නා පදවල අනුපාතයේ පස්වන මූලයන් ගැනීමෙන් අපි හරය තීරණය කරමු, b \u003d 1.148698. දන්නා මූලද්\u200dරව්\u200dයය සඳහා එක් ප්\u200dරකාශනයක ප්\u200dරති result ල අංකය අපි ආදේශ කරමු, අපට ලැබෙන්නේ: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

මේ අනුව, bn ප්\u200dරගතියේ හරය කුමක්දැයි අපි සොයාගෙන ඇති අතර ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය bn-1 * 17.2304966 \u003d an, එහිදී b \u003d 1.148698.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය භාවිතා කරන්නේ කොහේද?

ප්\u200dරායෝගිකව මෙම සංඛ්\u200dයා ශ්\u200dරේණියේ යෙදුමක් නොතිබුනේ නම්, එහි අධ්\u200dයයනය තනිකරම න්\u200dයායාත්මක උනන්දුවක් දක්වා අඩු වනු ඇත. නමුත් එවැනි යෙදුමක් තිබේ.

පහත දැක්වෙන්නේ වඩාත් ප්\u200dරසිද්ධ උදාහරණ 3 යි:

• මන්දගාමී කැස්බෑවා අල්ලා ගැනීමට දක්ෂ අචිලස්ට නොහැකි වන සෙනෝගේ විරුද්ධාභාසය, අසීමිත ලෙස අඩු වන සංඛ්\u200dයා අනුක්\u200dරමයක් පිළිබඳ සංකල්පය භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේ.
• ඔබ චෙස් පුවරුවේ සෑම වර්ගයකම තිරිඟු ධාන්ය වර්ග 1 ක්, 2 - 2, 3 - 3, සහ එසේ නම්, 18446744073709551615 ධාන්ය වර්ග අවශ්\u200dය වේ. මණ්ඩලය!
• ටවර් ඔෆ් හැනෝයි ක්\u200dරීඩාවේදී, තැටි එක් සැරයටියක සිට තවත් සැරයටියකට නැවත සකස් කිරීම සඳහා, ඔබ 2n - 1 මෙහෙයුම් සිදු කළ යුතුය, එනම් ඒවායේ සංඛ්\u200dයාව n භාවිතා කළ තැටි ගණන සමඟ on ාතීය ලෙස වර්ධනය වේ.

පළමු මට්ටම

ජ්යාමිතික ප්රගතිය. උදාහරණ සහිත විස්තීර්ණ මාර්ගෝපදේශය (2019)

සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමය

එබැවින් අපි වාඩි වී අංක කිහිපයක් ලිවීම ආරම්භ කරමු. උදාහරණයක් වශයෙන්:

ඔබට ඕනෑම අංකයක් ලිවිය හැකි අතර, ඔබ කැමති තරම් සංඛ්\u200dයාවක් සිටිය හැකිය (අපගේ නඩුවේදී). අප කොපමණ සංඛ්\u200dයා ලිවුවද, අපට සැමවිටම කිව හැක්කේ ඒවායින් පළමුවැන්න කුමක්ද, දෙවැන්නද, එසේ නම් අන්තිමයටද, එනම් අපට ඒවා අංකනය කළ හැකිය. මෙය සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමයකට උදාහරණයකි:

සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමය යනු සංඛ්\u200dයා සමූහයකි, ඒ සෑම එකක්ම අද්විතීය අංකයක් ලබා දිය හැකිය.

උදාහරණයක් ලෙස, අපගේ අනුක්\u200dරමය සඳහා:

පවරා ඇති අංකය අනුක්\u200dරමයේ එක් අංකයකට පමණක් විශේෂිත වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අනුපිළිවෙලෙහි තත්පර අංක තුනක් නොමැත. දෙවන අංකය (-th අංකය වැනි) සෑම විටම එකකි.

අංකය සහිත අංකය අනුක්\u200dරමයේ th සාමාජිකයා ලෙස හැඳින්වේ.

අපි සාමාන්\u200dයයෙන් සම්පූර්ණ අනුක්\u200dරමයම යම් අකුරක් ලෙස හඳුන්වන්නෙමු (නිදසුනක් ලෙස), මෙම අනුක්\u200dරමයේ සෑම සාමාජිකයෙක්ම මෙම සාමාජිකයාගේ සංඛ්\u200dයාවට සමාන දර්ශකයක් සහිත එකම අකුරකි :.

අපගේ නඩුවේ:

ප්\u200dරගතියේ වඩාත් සුලභ වර්ග වන්නේ ගණිත හා ජ්\u200dයාමිතික ය. මෙම ත්\u200dරෙඩ් එකේ අපි දෙවන වර්ගය ගැන කතා කරමු - ජ්යාමිතික ප්රගතිය.

අපට ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් සහ එහි ආරම්භක ඉතිහාසය අවශ්\u200dය වන්නේ ඇයි?

පුරාණ කාලයේ පවා පීසාහි ඉතාලි ගණිත ian ලෙනාඩෝ (ෆිබොනාච්චි ලෙස හැඳින්වේ) වෙළඳාමේ ප්\u200dරායෝගික අවශ්\u200dයතා විසඳීමේ නිරත විය. භික්ෂුවට මුහුණ දීමට සිදු වූයේ භාණ්ඩ කිරා මැන බැලීමට හැකි අවම බර ප්\u200dරමාණය කොපමණද යන්න තීරණය කිරීමෙනි. එවැනි බර කිරන ක්\u200dරමයක් ප්\u200dරශස්ත බව ෆිබොනාච්චි සිය ලේඛනවලින් සනාථ කරයි: ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකට මිනිසුන්ට මුහුණදීමට සිදු වූ පළමු අවස්ථාව මෙය වන අතර, ඔබ දැනටමත් අසා ඇති අතර අවම වශයෙන් පොදු සංකල්පයක්වත් තිබේ. ඔබ මාතෘකාව සම්පූර්ණයෙන් වටහා ගත් පසු, එවැනි ක්\u200dරමයක් ප්\u200dරශස්ත වන්නේ මන්දැයි සිතා බලන්න.

වර්තමානයේදී, ජීවිත පරිචය තුළ, බැංකුවක මුදල් ආයෝජනය කිරීමේදී, පෙර කාල පරිච්ඡේදය සඳහා ගිණුමේ එකතු වී ඇති මුදල සඳහා පොළිය අය කරන විට, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් පෙන්නුම් කරයි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඔබ ඉතුරුම් බැංකුවක කාලීන තැන්පතුවකට මුදල් දැමුවහොත්, වසරක් තුළ තැන්පතුව මුල් මුදලට වඩා වැඩි වනු ඇත, එනම්. නව මුදල ගුණ කිරීමෙන් තැන්පතුවට සමාන වේ. තවත් වසරකින්, මෙම මුදල වැඩි වනු ඇත, එනම්. එම අවස්ථාවේදී ලබාගත් මුදල නැවත නැවතත් ගුණ කරනු ලැබේ. ඊනියා ගණනය කිරීමේ ගැටළු වලදී සමාන තත්වයක් විස්තර කෙරේ සංයුක්ත පොළිය - පෙර පොළිය සැලකිල්ලට ගනිමින්, ගිණුමේ ඇති මුදලින් එක් එක් වර ප්\u200dරතිශතය ගනු ලැබේ. අපි මෙම කාර්යයන් ගැන ටිකක් පසුව කතා කරමු.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය භාවිතා කරන තවත් බොහෝ සරල අවස්ථා තිබේ. නිදසුනක් ලෙස, ඉන්ෆ්ලුවෙන්සා පැතිරීම: එක් පුද්ගලයෙකු පුද්ගලයෙකුට ආසාදනය කළ අතර, ඔවුන් අනෙක් පුද්ගලයාට ආසාදනය වූ අතර, දෙවන ආසාදන රැල්ල පුද්ගලයෙකු වන අතර, ඔවුන් අනෙක් අතට ආසාදනය වී ඇත ... සහ එසේ ය .. .

මාර්ගය වන විට, මූල්\u200dය පිරමීඩය, එකම එම්එම්එම්, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bගුණාංග මත පදනම් වූ සරල හා වියලි ගණනය කිරීමකි. කැමතිද? අපි එය තේරුම් ගනිමු.

ජ්යාමිතික ප්රගතිය.

අපට සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමයක් ඇති බව කියමු:

මෙය පහසු යැයි ඔබ වහාම පිළිතුරු දෙනු ඇති අතර එවැනි අනුක්\u200dරමයක නම එහි සාමාජිකයන්ගේ වෙනස සමඟ ගණිතමය ප්\u200dරගතියකි. කොහොමද මේ:

ඔබ ඊලඟ අංකයෙන් පෙර අගය අඩු කළහොත්, සෑම අවස්ථාවකම නව වෙනසක් ලබා ගන්නා බව ඔබට පෙනෙනු ඇත (සහ එසේ ය), නමුත් අනුක්\u200dරමය නිසැකවම පවතින අතර එය පහසුවෙන් හඳුනාගත හැකිය - සෑම ඊළඟ අංකයක්ම පෙරට වඩා විශාල වේ එක!

මේ ආකාරයේ සංඛ්\u200dයා අනුක්\u200dරමය හැඳින්වේ ජ්යාමිතික ප්රගතිය සහ මගින් දක්වනු ලැබේ.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය () යනු සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමයකි, එහි පළමු පදය අස්ථිර වන අතර, සෑම පදයක්ම දෙවන සිට ආරම්භ වන අතර එය පෙර සංඛ්\u200dයාවට සමාන වන අතර එකම සංඛ්\u200dයාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ. මෙම අංකය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ හරය ලෙස හැඳින්වේ.

පළමු පදය () සමාන නොවන අතර අහඹු නොවේ. ඔවුන් නොපැමිණෙන බව කියමු, පළමු පදය තවමත් සමාන වන අතර q සමාන වේ, හ්ම් .. ඉඩ දෙන්න, එවිට එය හැරේ:

මෙය තවදුරටත් ප්\u200dරගතියක් නොවන බවට එකඟ වන්න.

ඔබ තේරුම් ගත් පරිදි, එය ශුන්\u200dයය හැර වෙනත් සංඛ්\u200dයාවක් නම් අපට එකම ප්\u200dරති results ල ලැබෙනු ඇත, සහ. මෙම අවස්ථා වලදී, හුදෙක් ප්\u200dරගතියක් නොපවතිනු ඇත, මන්ද මුළු සංඛ්\u200dයා ශ්\u200dරේණියම සියලු ශුන්\u200dයයන් හෝ එක් සංඛ්\u200dයාවක් සහ අනෙකුත් සියලුම ශුන්\u200dයයන් වනු ඇත.

දැන් අපි වඩාත් විස්තරාත්මකව ජ්යාමිතික ප්රගතියේ හරය ගැන කතා කරමු, එනම් පිය.

නැවත කියමු: අංකයක්, එක් එක් පසු පදය කොපමණ වාරයක් වෙනස් වේද? ජ්යාමිතික ප්රගතිය.

එය කුමක් විය හැකි යැයි ඔබ සිතන්නේද? නිවැරදිව, ධනාත්මක හා negative ණාත්මක, නමුත් ශුන්\u200dය නොවේ (අපි මේ ගැන ටිකක් ඉහළින් කතා කළෙමු).

අපි ධනාත්මක එකක් ඇති බව කියමු. අපේ නඩුවේදීත් ඉඩ දෙන්න. දෙවන වාරය කුමක්ද? ඔබට පහසුවෙන් එයට පිළිතුරු දිය හැකිය:

සියල්ල නිවැරදි ය. ඒ අනුව, එසේ නම්, ප්\u200dරගතියේ පසුකාලීන සියලුම සාමාජිකයින්ට එකම ලකුණක් ඇත - ඔවුන් ධනාත්මක.

Negative ණ නම් කුමක් කළ යුතුද? උදාහරණයක් ලෙස, අ. දෙවන වාරය කුමක්ද?

මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් කතාවකි.

මෙම ප්\u200dරගතියේ යෙදුම ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරන්න. ඔබට කොපමණ මුදලක් ලැබුණාද? මට තියෙනවා. මේ අනුව, එසේ නම්, ජ්යාමිතික ප්රගතියේ සාමාජිකයන්ගේ සං als ා විකල්ප වේ. එනම්, එහි සාමාජිකයන් මත ප්\u200dරත්\u200dයාවර්ත සං with ා සහිත ප්\u200dරගතියක් ඔබ දුටුවහොත්, එහි හරය .ණ වේ. මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු විසඳීමේදී ඔබම පරීක්ෂා කර බැලීමට මෙම දැනුම ඔබට උපකාරී වේ.

දැන් අපි ටිකක් පුහුණු වෙමු: ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් සහ ගණිතමය සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමයන් තීරණය කිරීමට උත්සාහ කරන්න:

තේරුණා? අපගේ පිළිතුරු සංසන්දනය කරමු:

• ජ්යාමිතික ප්රගතිය - 3, 6.
• අංක ගණිත ප්\u200dරගතිය - 2, 4.
• එය අංක ගණිතමය හෝ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් නොවේ - 1, 5, 7.

අපි අපගේ අවසාන ප්\u200dරගතිය වෙත ආපසු යමු, සහ එහි යෙදුම ගණිතයේ ආකාරයටම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු. ඔබ අනුමාන කළ පරිදි, එය සොයා ගැනීමට ක්\u200dරම දෙකක් තිබේ.

අපි එක් එක් පදය අනුපිළිවෙලින් ගුණ කරමු.

එබැවින්, විස්තර කරන ලද ජ්යාමිතික ප්රගතියේ තුන්වන සාමාජිකයා සමාන වේ.

ඔබ දැනටමත් අනුමාන කළ පරිදි, දැන් ඔබ විසින්ම ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bඕනෑම සාමාජිකයෙකු සොයා ගැනීමට උපකාරී වන සූත්\u200dරයක් ලබා ගනී. පියවරෙන් පියවර සාමාජිකයා සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි විස්තර කරමින් ඔබ එය දැනටමත් ඔබ වෙනුවෙන්ම ගෙනැවිත් තිබේද? එසේ නම්, ඔබේ තර්කනයේ නිරවද්\u200dයතාවය පරීක්ෂා කරන්න.

දී ඇති ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bතුන්වන සාමාජිකයා සොයා ගැනීමේ උදාහරණයෙන් අපි මෙය නිදර්ශනය කරමු:

වෙනත් විදිහකින්:

දී ඇති ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයෙකුගේ වටිනාකම ඔබම සොයා ගන්න.

සිදුවුණාද? අපගේ පිළිතුරු සංසන්දනය කරමු:

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ සෑම පෙර පදයකින්ම අපි අනුක්\u200dරමිකව ගුණ කළ විට, ඔබට පෙර ක්\u200dරමයට සමාන සංඛ්\u200dයාවක් ලැබී ඇති බව කරුණාවෙන් සලකන්න.
මෙම සූත්\u200dරය “පුද්ගලාරෝපණය” කිරීමට උත්සාහ කරමු - අපි එය සාමාන්\u200dය ස්වරූපයකට ගෙනැවිත් ලබා ගනිමු:

ව්\u200dයුත්පන්න සූත්\u200dරය ධනාත්මක හා .ණ යන සියලු අගයන් සඳහා නිවැරදි වේ. පහත දැක්වෙන කොන්දේසි සමඟ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයන් ගණනය කිරීමෙන් එය ඔබම පරීක්ෂා කරන්න :, a.

ඔබ ගණන් කර තිබේද? ලබාගත් ප්\u200dරති results ල සංසන්දනය කරමු:

සාමාජිකයෙකු සේම ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයෙකු සොයා ගැනීමට හැකි වනු ඇති බවට එකඟ වන්න, කෙසේ වෙතත්, වැරදි ලෙස ගණන් කිරීමේ හැකියාවක් ඇත. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ තුන්වන පදය අප දැනටමත් සොයාගෙන තිබේ නම්, සූත්\u200dරයේ “කපා දැමූ” කොටස භාවිතා කිරීමට වඩා පහසු විය හැක්කේ කුමක් ද?

අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්යාමිතික ප්රගතිය.

වඩාත් මෑතකදී, අපි එය ශුන්\u200dයයට වඩා විශාල හෝ අඩු විය හැකි බව කතා කළෙමු, කෙසේ වෙතත්, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ලෙස හැඳින්වෙන විශේෂ අගයන් ඇත අසීමිත ලෙස අඩු වීම.

ඇයි මේ නම කියලා ඔයා හිතන්නේ?
පළමුව, සාමාජිකයන්ගෙන් සමන්විත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සටහන් කරමු.
එසේ නම්,

එක් එක් සාධකය අනුව එක් එක් පසු වාරය කලින් පැවති පදයට වඩා අඩු බව අපට පෙනේ, නමුත් කිසියම් සංඛ්\u200dයාවක් තිබේද? නැතැයි ඔබ වහාම පිළිතුරු දෙනු ඇත. අසීමිත ලෙස අඩුවීම - අඩු වීම, අඩු වීම සහ කිසි විටෙකත් ශුන්\u200dය නොවේ.

දෘශ්\u200dයමය වශයෙන් එය පෙනෙන්නේ කෙසේද යන්න පැහැදිලිව වටහා ගැනීම සඳහා, අපගේ ප්\u200dරගතියේ ප්\u200dරස්ථාරයක් ඇඳීමට උත්සාහ කරමු. එබැවින්, අපගේ නඩුව සඳහා, සූත්රය පහත දැක්වෙන ස්වරූපය ගනී:

ප්\u200dරස්ථාර මත යැපීම ගොඩනැගීම අපට සිරිතකි, එබැවින්:

ප්\u200dරකාශනයේ සාරය වෙනස් වී නැත: පළමු වාර්තාවේ දී, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගති සාමාජිකයාගේ අනුක්\u200dරමික අංකය මත රඳා පැවතීම අපි පෙන්වූ අතර, දෙවන වාර්තාවේ දී, අපි සරලවම ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගති පදයෙහි අගය ලෙස සලකමු, සහ ඕඩිනල් අංකය නම් කර ඇත්තේ කෙසේද, කෙසේද යන්න නොවේ. කළ යුතුව ඇත්තේ ප්\u200dරස්ථාරයක් තැනීම පමණි.
අපි බලමු ඔබට ලැබෙන දේ. මෙන්න මට ලැබුණු ප්\u200dරස්ථාරය:

බලන්න? ශ්\u200dරිතය අඩු වේ, ශුන්\u200dයයට නැඹුරු වේ, නමුත් කිසි විටෙකත් එය තරණය නොකරයි, එබැවින් එය අසීමිත ලෙස අඩු වේ. ප්\u200dරස්ථාරයේ අපගේ ලකුණු සලකුණු කරමු, ඒ සමඟම ඛණ්ඩාංක සහ අර්ථය කුමක්ද:

එහි පළමු පදය සමාන නම් ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ ප්\u200dරස්ථාරයක් ක්\u200dරමානුකූලව නිරූපණය කිරීමට උත්සාහ කරන්න. විශ්ලේෂණය කරන්න, අපගේ පෙර ප්\u200dරස්ථාරයේ වෙනස කුමක්ද?

ඔබ කළමනාකරණය කළාද? මෙන්න මට ලැබුණු ප්\u200dරස්ථාරය:

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bතේමාවේ මූලික කරුණු දැන් ඔබ සම්පූර්ණයෙන්ම වටහාගෙන ඇත: එය කුමක්දැයි ඔබ දන්නවා, එහි පදය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබ දන්නවා, සහ අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය යනු කුමක්දැයි ඔබ දනී, අපි එහි ප්\u200dරධාන දේපල වෙත යමු.

ජ්යාමිතික ප්රගතියක \u200b\u200bදේපල.

අංක ගණිත ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ දේපල මතකද? ඔව්, ඔව්, දී ඇති ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයින්ගේ පෙර හා පසු අගයන් ඇති විට, යම් ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bනිශ්චිත සංඛ්\u200dයාවක වටිනාකම සොයා ගන්නේ කෙසේද. මතකද? මෙය:

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන් සඳහා දැන් අපට එකම ප්\u200dරශ්නයකට මුහුණ දීමට සිදු වේ. සමාන සූත්\u200dරයක් ව්\u200dයුත්පන්න කිරීම සඳහා, චිත්\u200dර ඇඳීම සහ තර්ක කිරීම ආරම්භ කරමු. ඔබට පෙනෙනු ඇත, එය ඉතා පහසු වන අතර, ඔබට අමතක වුවහොත් ඔබට එය තනිවම ගෙන ඒමට හැකිය.

අපි දන්නා තවත් සරල ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ගනිමු. සොයා ගන්නේ කෙසේද? අංක ගණිතමය ප්\u200dරගතියක් සහිතව, මෙය පහසු සහ සරල ය, නමුත් මෙහි කුමක් ද? ඇත්ත වශයෙන්ම, ජ්\u200dයාමිතිකයේ ද සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත - ඔබ අපට ලබා දී ඇති එක් එක් අගය සූත්\u200dරයට අනුව ලිවිය යුතුය.

ඔබ අහනවා, අපි දැන් මෙය කළ යුත්තේ කුමක් ද? එය ඉතා සරල ය. ආරම්භය සඳහා, අපි මෙම සූත්\u200dර රූපයේ නිරූපණය කර, වටිනාකමක් ලබා ගැනීම සඳහා ඒවා සමඟ විවිධ උපාමාරු කිරීමට උත්සාහ කරමු.

අපට ලබා දී ඇති සංඛ්\u200dයා වලින් අපි වියුක්ත වෙමු, අපි අවධානය යොමු කරන්නේ ඒවා සූත්\u200dරයක් හරහා ප්\u200dරකාශ කිරීම කෙරෙහි පමණි. තැඹිලි පාටින් උද්දීපනය කර ඇති වටිනාකම අප සොයා ගත යුතුය. අපට ලැබිය හැකි ප්\u200dරති result ලයක් ලෙස ඔවුන් සමඟ විවිධ ක්\u200dරියා කිරීමට උත්සාහ කරමු.

ඊට අමතරව.
ප්\u200dරකාශන දෙකක් එකතු කිරීමට උත්සාහ කරමු, අපට ලැබෙන්නේ:

මෙම ප්\u200dරකාශනයෙන්, ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපට කිසිදු ආකාරයකින් ප්\u200dරකාශ කළ නොහැක, එබැවින් අපි වෙනත් විකල්පයක් උත්සාහ කරමු - අඩු කිරීම.

අඩු කිරීම.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපටද මෙයින් ප්\u200dරකාශ කළ නොහැක, එබැවින් අපි මෙම ප්\u200dරකාශන එකිනෙකාගෙන් ගුණ කිරීමට උත්සාහ කරමු.

ගුණ කිරීම.

දැන් අප සතුව ඇති දේ හොඳින් සොයා බලන්න, සොයා ගත යුතු දේ හා සැසඳීමේදී අපට ලබා දී ඇති ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයන් ගුණ කිරීම:

මම කතා කරන්නේ කුමක් දැයි අනුමාන කරන්න? නිවැරදිව, සොයා ගැනීමට, අපේක්ෂිත සංඛ්\u200dයාවට යාබදව ඇති ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගති සංඛ්\u200dයා වල වර්ග මූලය එකිනෙකාගෙන් ගුණ කළ යුතුය:

හියර් යූ ගෝ. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bදේපල ඔබ විසින්ම අඩු කර ඇත. මෙම සූත්\u200dරය පොදුවේ ලිවීමට උත්සාහ කරන්න. සිදුවුණාද?

සඳහා කොන්දේසිය අමතකද? එය වැදගත් වන්නේ මන්දැයි සිතා බලන්න, නිදසුනක් වශයෙන්, එය ඔබම ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරන්න. මෙම නඩුවේ කුමක් සිදුවේද? සූත්\u200dරය මේ ආකාරයට පෙනෙන බැවින් එය හරි, සම්පූර්ණ විකාරයකි:

ඒ අනුව, මෙම සීමාව අමතක නොකරන්න.

දැන් අපි සමාන දේ ගණන් කරමු

නිවැරදි පිළිතුර -! ගණනය කිරීමේදී ඔබට කළ හැකි දෙවන වටිනාකම ඔබට අමතක වී නොමැති නම්, ඔබ ශ්\u200dරේෂ් fellow සාමාජිකයෙකු වන අතර ඔබට වහාම පුහුණුවට යා හැකිය. ඔබට අමතක වූවා නම්, පහත සාකච්ඡා කර ඇති දේ කියවා මුල් දෙකම ලිවිය යුත්තේ මන්ද යන්න පිළිබඳව අවධානය යොමු කරන්න. පිළිතුර.

අපගේ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය දෙකම අඳින්නෙමු - එකක් අර්ථයක් ඇති අතර අනෙක අර්ථයක් ඇති අතර ඒ දෙකෙහිම පැවැත්මට අයිතියක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කර බලමු:

එවැනි ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් තිබේද නැද්ද යන්න පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, එය ලබා දී ඇති සියලුම සාමාජිකයන් අතර එය සමානද යන්න සොයා බැලිය යුතුද? පළමු හා දෙවන අවස්ථා සඳහා q ගණනය කරන්න.

බලන්න අපි පිළිතුරු දෙකක් ලිවිය යුත්තේ ඇයි? අවශ්\u200dය පදයෙහි සං sign ාව රඳා පවතින්නේ එය ධනාත්මකද negative ණද යන්න මතය. ඔහු කවුදැයි අප නොදන්නා බැවින්, පිළිතුරු දෙකම ප්ලස් සහ us ණ ලෙස ලිවිය යුතුය.

දැන් ඔබ ප්\u200dරධාන කරුණු ප්\u200dරගුණ කර ඇති අතර ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bදේපල සඳහා සූත්\u200dරය ලබාගෙන ඇත, සොයා ගැනීම, දැන ගැනීම සහ

ලැබුණු පිළිතුරු නිවැරදි පිළිතුරු සමඟ සසඳන්න:

ඔබ සිතන්නේ කුමක්ද, අපට ලබා දී ඇත්තේ අපේක්ෂිත සංඛ්\u200dයාවට යාබදව ඇති ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයන්ගේ අගයන් නොව, එයින් සමානාත්මතාවය. උදාහරණයක් ලෙස, අප සොයා ගත යුතු අතර, ලබා දී ඇත. මේ අවස්ථාවේ දී අප ව්\u200dයුත්පන්න කළ සූත්\u200dරය භාවිතා කළ හැකිද? මෙම හැකියාව එකම ආකාරයකින් සනාථ කිරීමට හෝ ප්\u200dරතික්ෂේප කිරීමට උත්සාහ කරන්න, ඔබ කළ පරිදි, එක් එක් අගය සමන්විත වන්නේ කුමක් දැයි ලියා, මුලින් සූත්\u200dරය ව්\u200dයුත්පන්න කර ඇත.
ඔයා කරන්නේ කුමක් ද?

දැන් නැවත සමීපව බලන්න.
සහ ඊට අනුරූපව:

මෙයින් අපට නිගමනය කළ හැක්කේ සූත්\u200dරය ක්\u200dරියාත්මක වන බවයි අසල්වැසියා සමඟ පමණක් නොවේ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ අවශ්\u200dය නියමයන් සමඟ පමණක් නොව සමතුලිත සොයන සාමාජිකයන්ගෙන්.

මේ අනුව, අපගේ ආරම්භක සූත්\u200dරයේ ස්වරූපය ගනී:

එනම්, පළමු අවස්ථාවේ දී අප එසේ කීවා නම්, දැන් අපි කියන්නේ එය අඩු ස්වාභාවික සංඛ්\u200dයාවකට සමාන විය හැකි බවයි. ප්රධාන දෙය නම් දී ඇති සංඛ්යා දෙකටම සමාන වීමයි.

විශේෂිත උදාහරණ සමඟ පුහුණු වන්න, අතිශයින්ම ප්\u200dරවේශම් වන්න!

1. ,. සොයා ගැනීමට.
2. ,. සොයා ගැනීමට.
3. ,. සොයා ගැනීමට.

මම තීරණය කළා? මම හිතන්නේ ඔබ අතිශයින්ම අවධානයෙන් සිටි අතර කුඩා ඇල්ලීමක් දුටුවා.

අපි ප්\u200dරති .ල සංසන්දනය කරමු.

පළමු අවස්ථා දෙකේදී, අපි ඉහත සූත්\u200dරය සන්සුන්ව අදාළ කර පහත සඳහන් අගයන් ලබා ගනිමු:

තෙවන අවස්ථාවෙහිදී, අපට ලබා දී ඇති සංඛ්\u200dයා වල සාමාන්\u200dය සංඛ්\u200dයා පරෙස්සමින් සලකා බැලීමේදී, ඒවා අප සොයන සංඛ්\u200dයාවට සමාන නොවන බව අපට වැටහේ: එය පෙර අංකය වන නමුත් ස්ථානයෙන් ඉවත් කර ඇති බැවින් එය කළ නොහැකි ය සූත්\u200dරය යෙදීමට.

එය විසඳන්නේ කෙසේද? එය ඇත්ත වශයෙන්ම එය සිතන තරම් අපහසු නැත! අපට ලබා දී ඇති එක් එක් අංකය සහ අවශ්\u200dය අංකය සමන්විත වන්නේ කුමක් ද යන්න අපි ඔබ සමඟ ලියමු.

ඉතින්, අපට සහ. ඔබට ඔවුන් සමඟ කළ හැකි දේ බලමු? මම බෙදීමට යෝජනා කරනවා. අපට ලැබෙන්නේ:

අපි අපගේ දත්ත සූත්\u200dරයට ආදේශ කරමු:

අපට සොයාගත හැකි ඊළඟ පියවර - මේ සඳහා අපි ප්\u200dරති ing ල අංකයේ root නක මූලය ගත යුතුය.

දැන් අප සතුව ඇති දේ නැවත වරක් බලමු. අපට තිබේ, නමුත් අප සොයා ගත යුතුය, ඔහු අනෙක් අතට සමාන වේ:

ගණනය කිරීම සඳහා අවශ්\u200dය සියලු දත්ත අපට හමු විය. සූත්\u200dරයේ ආදේශ කරන්න:

අපගේ පිළිතුර: .

තවත් සමාන ගැටලුවක් ඔබම විසඳා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න:
ලබා දී ඇත්තේ :,
සොයා ගැනීමට:

ඔබට කොපමණ මුදලක් ලැබුණාද? මට තියෙනවා - .

ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට අවශ්යය එක් සූත්\u200dරයක් පමණක් මතක තබා ගන්න -. ඔබට ඕනෑම වේලාවක තනිවම කිසිදු අපහසුතාවයකින් තොරව ඉතිරි සියල්ල ඉවත් කර ගත හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, කඩදාසි කැබැල්ලක සරලම ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය ලියා ඉහත සූත්\u200dරයට අනුව එහි එක් එක් සංඛ්\u200dයා සමාන වන දේ ලියන්න.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ එකතුව.

දී ඇති කාල පරාසයක් තුළ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ එකතුව ඉක්මණින් ගණනය කිරීමට අපට ඉඩ සලසන සූත්\u200dර සලකා බලන්න:

සීමිත ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ එකතුව සඳහා සූත්\u200dරය ව්\u200dයුත්පන්න කිරීම සඳහා, අපි ඉහළ සමීකරණයේ සියලුම කොටස් මගින් ගුණ කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:

ප්\u200dරවේශමෙන් බලන්න: අවසාන සූත්\u200dර දෙකෙහි පොදු ලක්ෂණ මොනවාද? එය හරි, පොදු සාමාජිකයන්, උදාහරණයක් ලෙස සහ පළමු සහ අවසාන සාමාජිකයා හැර. 1 වන කොටස 2 වන සමීකරණයෙන් අඩු කිරීමට උත්සාහ කරමු. ඔයා කරන්නේ කුමක් ද?

දැන් සූත්\u200dරය හරහා ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ පදය ප්\u200dරකාශ කර එහි ප්\u200dරති expression ලය අපගේ අවසාන සූත්\u200dරයේ ආදේශ කරන්න:

ප්\u200dරකාශනය කාණ්ඩ කරන්න. ඔබ ලබා ගත යුත්තේ:

කිරීමට ඉතිරිව ඇත්තේ ප්\u200dරකාශ කිරීම පමණි:

ඒ අනුව, මෙම නඩුවේ.

එහෙම වුණොත් මොකක්ද? එවිට ක්\u200dරියාත්මක වන සූත්\u200dරය කුමක්ද? දී ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් සිතන්න. ඇය මොන වගේද? නිවැරදිව සමාන සංඛ්\u200dයා මාලාවක්, සූත්\u200dරය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

අංක ගණිත හා ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ බොහෝ ජනප්\u200dරවාද ඇත. ඉන් එකක් නම් චෙස් ක්\u200dරීඩකයා වන සෙත්ගේ පුරාවෘත්තයයි.

චෙස් ක්\u200dරීඩාව ඉන්දියාවේදී නිර්මාණය කරන ලද්දක් බව බොහෝ දෙනෙක් දනිති. හින්දු රජු ඇයව මුණගැසුණු විට, ඇයගේ බුද්ධිය සහ ඇය තුළ ඇති විය හැකි විවිධ තනතුරු ගැන ඔහු සතුටු විය. එය ඔහුගේ එක් විෂයක් විසින් නිර්මාණය කරන ලද්දක් බව දැනගත් රජතුමා ඔහුට පෞද්ගලිකව විපාක දීමට තීරණය කළේය. ඔහු නව නිපැයුම්කරු තමා වෙත කැඳවා ඔහුට අවශ්\u200dය ඕනෑම දෙයක් ඉල්ලා සිටින ලෙස ඔහුට අණ කළේය.

සෙටා සිතීමට කාලය ඉල්ලා සිටි අතර, ඊළඟ දවසේ සෙත් රජුට පෙනී සිටි විට, ඔහු කළ ඉල්ලීමෙහි අසමසම නිහතමානිකම නිසා ඔහු රජු පුදුමයට පත් කළේය. චෙස් පුවරුවේ පළමු කොටුව සඳහා තිරිඟු ධාන්\u200dයයක් ද, දෙවැන්න සඳහා තිරිඟු ධාන්\u200dය ද, තුන්වැන්න සඳහා ද, හතරවනුව සඳහා ද ලබා දෙන ලෙස ඔහු ඉල්ලා සිටියේය.

රජු කෝපයට පත් වූ අතර, සේවකයාගේ ඉල්ලීම රාජකීය ත්\u200dයාගශීලීභාවයට නුසුදුසු යැයි කියමින් සෙත් පලවා හැරියේය, නමුත් සේවකයාට ධාන්\u200dය මණ්ඩලයේ සියලු සෛල සඳහා ලබා දෙන බවට පොරොන්දු විය.

දැන් ප්\u200dරශ්නය: ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ එකතුව සඳහා සූත්\u200dරය භාවිතා කරමින් සෙටාට ලැබිය යුතු ධාන්\u200dය ගණන ගණනය කරන්න?

තර්ක කිරීමට පටන් ගනිමු. කොන්දේසිය අනුව, සෙටා චෙස් පුවරුවේ පළමු චතුරස්රය සඳහා තිරිඟු ධාන්යයක් ඉල්ලා සිටි බැවින්, දෙවනුව, තුන්වන, හතරවන, ආදිය සඳහා, ගැටළුව ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ගැන අපට පෙනේ. මෙම නඩුවේ සමාන වන්නේ කුමක්ද?
නිවැරදිව.

චෙස් පුවරුවේ මුළු සෛල. අනුව,. අප සතුව සියලු දත්ත තිබේ, එය ඉතිරිව ඇත්තේ එය සූත්\u200dරයට ආදේශ කර ගණනය කිරීම පමණි.

දී ඇති සංඛ්\u200dයාවක අවම වශයෙන් "පරිමාණයන්" නිරූපණය කිරීම සඳහා, අපි උපාධියේ ගුණාංග භාවිතා කරමින් පරිවර්තනය කරමු:

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට අවශ්\u200dය නම්, ඔබට කැල්කියුලේටරයක් \u200b\u200bගෙන අවසානයේ ඔබට ලැබෙන අංකය ගණනය කළ හැකි අතර එසේ නොවේ නම්, ඒ සඳහා ඔබට මගේ වචනය ගත යුතුය: ප්\u200dරකාශනයේ අවසාන අගය වනු ඇත.
එනම්:

quintillion quadrillion ට්\u200dරිලියන බිලියන දහසක්.

Fuh) ඔබට මෙම සංඛ්\u200dයාවේ විශාලත්වය ගැන සිතා ගැනීමට අවශ්\u200dය නම්, සම්පූර්ණ ධාන්ය ප්\u200dරමාණය අඩංගු වීමට අාර් ඒන් කොපමණ විශාල ප්\u200dරමාණයක් අවශ්\u200dයදැයි තක්සේරු කරන්න.
අාර් ඒන් උස m සහ පළල m සමඟ, එහි දිග කිලෝමීටරයකට විහිදිය යුතුය, එනම්. පෘථිවියේ සිට සූර්යයා මෙන් දෙගුණයක් දුරින්.

රජු ගණිතයේ ප්\u200dරබල නම්, ධාන්ය මිලියනයක් ගණනය කිරීම සඳහා ඔහුට අවම වශයෙන් දිනක්වත් වෙහෙස නොබලා ගණන් කළ යුතු නිසාත්, ධාන්\u200dය ගණන් කිරීමටත් විද්\u200dයා the යා විසින්ම ධාන්\u200dය ගණන් කළ යුතු යැයි ඔහුට යෝජනා කළ හැකිය. ඔහුගේ මුළු ජීවිත කාලයම ගණන් ගත යුතුයි.

දැන් අපි ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ එකතුව සඳහා සරල ගැටළුවක් විසඳමු.
5 ශ්\u200dරේණියේ ඉගෙනුම ලබන වාසියාට උණ වැළඳී ඇති නමුත් දිගටම පාසැල් යයි. සෑම දිනකම වාශ්\u200dය පුද්ගලයන් දෙදෙනෙකුට ආසාදනය වන අතර, ඔවුන් තවත් දෙදෙනෙකුට ආසාදනය කරයි. පන්තියේ මිනිස්සු ඉන්නවා. දින කීයක් තුළ මුළු පන්තියටම උණ වැළඳී ඇත්ද?

ඉතින්, ජ්යාමිතික ප්රගතියේ පළමු සාමාජිකයා වාසය, එනම් පුද්ගලයෙකි. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයා වන ඔහු පැමිණි පළමු දිනයේම ඔහු ආසාදනය කළ පුද්ගලයින් දෙදෙනා ය. ප්\u200dරගතියේ සිටින මුළු සාමාජික සංඛ්\u200dයාව 5A සිසුන් සංඛ්\u200dයාවට සමාන වේ. ඒ අනුව, අපි කතා කරන්නේ ප්\u200dරගතියක් ගැන ය:

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ එකතුව සඳහා අපගේ දත්ත සූත්\u200dරයට ආදේශ කරමු:

මුළු පන්තියම දින කිහිපයකින් අසනීප වේ. ඔබ සූත්\u200dර සහ සංඛ්\u200dයා විශ්වාස කරන්නේ නැද්ද? සිසුන්ගේ "ආසාදනය" ඔබම නිරූපණය කිරීමට උත්සාහ කරන්න. සිදුවුණාද? එය මා සොයන ආකාරය බලන්න:

එක් පුද්ගලයෙකුට ආසාදනය වී පංතියේ පුද්ගලයෙකු සිටී නම් උණ වැළඳීමට දින කීයක් ගතවේදැයි ඔබම ගණනය කරන්න.

ඔබට ලැබුණු වටිනාකම කුමක්ද? සෑම කෙනෙකුම දිනකට පසු අසනීප වීමට පටන් ගත් බව පෙනී ගියේය.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, එවැනි කාර්යයක් හා ඒ වෙත ඇදී යාම පිරමීඩයකට සමාන වන අතර, ඉන් පසුව සෑම කෙනෙකුම නව පුද්ගලයින් “ගෙන එයි”. කෙසේ වෙතත්, ඉක්මනින් හෝ පසුව මොහොතකට පැමිණෙන්නේ කිසිවෙකුට ආකර්ෂණය කර ගත නොහැකි මොහොතකි. අපගේ නඩුවේදී, පංතිය හුදෙකලා යැයි අප සිතන්නේ නම්, පුද්ගලයා දාමය වසා දමයි (). මේ අනුව, ඔබ වෙනත් සහභාගිවන්නන් දෙදෙනෙකු ගෙන එන අවස්ථාවකදී මුදල් ලබා දුන් මූල්\u200dය පිරමීඩයකට පුද්ගලයෙකු සම්බන්ධ වී ඇත්නම්, එම පුද්ගලයා (හෝ පොදුවේ ගත් කල) පිළිවෙලින් කිසිවෙකු ගෙන නොඑන්නේ නම්, ඔවුන් සතු සියල්ල අහිමි වේ මෙම මූල්\u200dය වංචාව සඳහා ආයෝජනය කර ඇත.

ඉහත සඳහන් කර ඇති සෑම දෙයක්ම ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය අඩුවීම හෝ වැඩි වීමක් අදහස් කරයි, නමුත් ඔබට මතක ඇති පරිදි අපට විශේෂ වර්ගයක් ඇත - අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය. එහි සාමාජිකයන්ගේ එකතුව ගණනය කරන්නේ කෙසේද? මෙම වර්ගයේ ප්\u200dරගතියට නිශ්චිත ලක්ෂණ ඇත්තේ ඇයි? අපි එය එකට වර්ග කරමු.

ඉතින්, පළමුව, අපගේ උදාහරණයෙන් අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ මෙම රූපය දෙස නැවත බලමු:

දැන් අපි ටිකක් කලින් ව්\u200dයුත්පන්න කළ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ එකතුව සඳහා සූත්\u200dරය දෙස බලමු:
හෝ

අප උත්සාහ කරන්නේ කුමක් සඳහාද? එය හරි, ප්\u200dරස්ථාරයෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ එය බිංදුවට නැඹුරු වන බවයි. එනම්, එය පිළිවෙලින් පාහේ සමාන වනු ඇත, ප්\u200dරකාශනය ගණනය කිරීමේදී අපට පාහේ ලැබේ. මේ සම්බන්ධයෙන්, අප විශ්වාස කරන්නේ අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bඑකතුව ගණනය කිරීමේදී මෙම වරහන සමාන විය හැකි බැවින් එය නොසලකා හැරිය හැකි බවයි.

- සූත්\u200dරය යනු අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bපදවල එකතුවයි.

වැදගත්! අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bපදවල එකතුව සඳහා අපි සූත්\u200dරය භාවිතා කරන්නේ කොන්දේසිය පැහැදිලිව සඳහන් කළහොත් පමණි. නිමක් නැති සාමාජික සංඛ්\u200dයාව.

නිශ්චිත සංඛ්\u200dයාවක් n ලෙස දක්වා තිබේ නම්, අපි n පදවල එකතුව සඳහා සූත්\u200dරය භාවිතා කරමු.

දැන් අපි පුහුණු වෙමු.

1. සහ සමඟ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bපළමු පදවල එකතුව සොයා ගන්න.
2. සහ සමඟ අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ නියමයන්ගේ එකතුව සොයා ගන්න.

ඔබ අතිශයින්ම අවධානයෙන් සිටි බව මම විශ්වාස කරමි. අපගේ පිළිතුරු සංසන්දනය කරමු:

දැන් ඔබ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය පිළිබඳ සියල්ල දන්නා අතර න්\u200dයායෙන් ප්\u200dරායෝගිකව ගමන් කිරීමට කාලයයි. විභාගයේදී මුහුණ දෙන වඩාත් සුලභ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගති ගැටලු වන්නේ සංයුක්ත පොලී ගැටළු ය. ඔවුන් ගැන තමයි අපි කතා කරන්නේ.

සංයුක්ත පොළිය ගණනය කිරීමේ කාර්යයන්.

ඊනියා සංයුක්ත පොලී සූත්\u200dරය ගැන ඔබ බොහෝ විට අසා ඇති. ඇය අදහස් කරන දේ ඔබට තේරෙනවාද? එසේ නොවේ නම්, අපි එය තේරුම් ගනිමු, මන්ද එම ක්\u200dරියාවලියම අවබෝධ කරගත් පසු, ඔබ වහාම තේරුම් ගනු ඇති අතර, මෙහි ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි.

අපි සියල්ලෝම බැංකුවට ගොස් තැන්පතු සඳහා විවිධ කොන්දේසි ඇති බව දනිමු: මෙය යෙදුම සහ අතිරේක සේවය සහ එය ගණනය කිරීමේ විවිධ ක්\u200dරම දෙකක් සමඟ පොළිය - සරල හා සංකීර්ණ ය.

සිට සරල උනන්දුව සෑම දෙයක්ම වැඩි හෝ අඩු පැහැදිලිය: තැන්පතු කාලසීමාව අවසානයේ පොළිය ගණනය කරනු ලැබේ. එනම්, අපි වසරකට රූබල් 100 ක් දැමූ බව පැවසුවහොත්, ඒවා බැර කරනු ලබන්නේ වසර අවසානයේ පමණි. ඒ අනුව, තැන්පතුව අවසන් වන විට අපට රුබල් ලැබෙනු ඇත.

සංයුක්ත පොලී - මෙය පවතින විකල්පයකි පොලී ප්\u200dරාග්ධනීකරණය, i.e. ඒවා තැන්පතු ප්\u200dරමාණයට එකතු කිරීම සහ පසුව ලැබෙන ආදායම ගණනය කිරීම ආරම්භයේ සිට නොව තැන්පතුවල සමුච්චිත ප්\u200dරමාණයෙන්. ප්\u200dරාග්ධනීකරණය නිරන්තරයෙන් සිදු නොවේ, නමුත් යම් සංඛ්\u200dයාතයක් සමඟ. රීතියක් ලෙස, එවැනි කාල පරිච්ඡේද සමාන වන අතර බොහෝ විට බැංකු මාසයක්, කාර්තුවක් හෝ වසරක් භාවිතා කරයි.

අපි එකම රූබල් සියල්ලම වාර්ෂික මිල ගණන් යටතේ තබමු, නමුත් තැන්පතුව මාසිකව ප්\u200dරාග්ධනීකරණය කිරීම සමඟ. අපට ලැබෙන්නේ කුමක්ද?

ඔබට මෙහි සියල්ල තේරෙනවාද? එසේ නොවේ නම්, අපි එය අදියර වශයෙන් හඳුනා ගනිමු.

අපි බැංකුවට රූබල් ගෙනාවා. මාසය අවසන් වන විට, අපගේ ගිණුමට අපගේ රුබල් සහ ඒවා සඳහා පොළිය ඇතුළත් වන මුදලක් තිබිය යුතුය, එනම්:

මම එකඟයි?

අපට එය වරහනෙන් පිටත තැබිය හැකි අතර පසුව අපට ලැබෙන්නේ:

එකඟ වන්න, මෙම සූත්\u200dරය දැනටමත් අප මුලදී ලියා ඇති ක්\u200dරමයට වඩා බොහෝ සෙයින් සමාන ය. පොලී සමඟ කටයුතු කිරීමට එය ඉතිරිව ඇත

ගැටළු ප්රකාශයේ, අපට වාර්ෂිකය ගැන කියනු ලැබේ. ඔබ දන්නා පරිදි, අපි ගුණ කරන්නේ නැත - අපි ප්\u200dරතිශත දශම බවට පරිවර්තනය කරමු, එනම්:

හරිද? දැන් ඔබ අහනවා, අංකය පැමිණියේ කොහෙන්ද? හරිම සරලයි!
මම නැවත කියනවා: ගැටළු ප්රකාශය ගැන කියයි වාර්ෂික උපචිත පොළිය මාසිකව... ඔබ දන්නා පරිදි, පිළිවෙලින් මාසයක් තුළ, බැංකුව විසින් මසකට වාර්ෂික පොලියෙන් කොටසක් අපෙන් අය කරනු ඇත:

සාක්ෂාත් කර ගත්තාද? පොලී දිනපතා ගණනය කරනු ඇතැයි මා පැවසුවහොත් දැන් සූත්\u200dරයේ මෙම කොටස කෙබඳු වනු ඇත්දැයි ලිවීමට උත්සාහ කරන්න.
ඔබ කළමනාකරණය කළාද? ප්\u200dරති results ල සංසන්දනය කරමු:

හොඳින් කළා! අපගේ ගැටළුව වෙත නැවත යමු: තැන්පතුවල සමුච්චිත මුදල සඳහා පොළිය අය කරන බව සැලකිල්ලට ගනිමින් දෙවන මාසය සඳහා අපගේ ගිණුමට කොපමණ මුදලක් බැර වේදැයි සටහන් කරන්න.
මෙන්න මට ලැබුණු දේ:

නැතහොත්, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්:

මම හිතන්නේ ඔබ දැනටමත් රටාවක් දැක ඇති අතර මේ සියල්ලෙහි ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් දැක ඇත. එහි සාමාජිකයාට සමාන වන්නේ කුමක් ද යන්න හෝ වෙනත් වචනවලින් කිවහොත් මාසය අවසානයේ අපට ලැබෙන මුදල් ප්\u200dරමාණය ලියන්න.
හැදුවාද? පරීක්ෂා කිරීම!

ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඔබ වසරකට සරල පොලියකට මුදල් බැංකුවට දැමුවහොත්, ඔබට රූබල් ලැබෙනු ඇත, සහ සංකීර්ණ අනුපාතයකට නම් - රූබල්. ප්\u200dරතිලාභය කුඩා වන නමුත් මෙය සිදුවන්නේ තුන්වන වසර තුළ පමණි, නමුත් දීර් period කාලයක් සඳහා ප්\u200dරාග්ධනීකරණය වඩා ලාභදායී වේ:

සංයුක්ත පොලී සමඟ තවත් ආකාරයේ ගැටළු සලකා බලමු. ඔබ හදුනාගත් දෙයින් පසුව, එය ඔබට මූලික වනු ඇත. එබැවින් කාර්යය:

ඩොලර් වලින් ප්\u200dරාග්ධනයක් ඇති ස්වේස්ඩා සමාගම 2000 දී කර්මාන්තය සඳහා ආයෝජනය කිරීමට පටන් ගත්තේය. 2001 සිට සෑම වසරකම ඇය ලාභයක් උපයන අතර එය පෙර වසරේ අගනුවරින් වේ. ලාභය සංසරණයෙන් ඉවත් කර නොගන්නේ නම් 2003 අවසානයේදී ස්වෙස්ඩා සමාගමට කොපමණ ලාභයක් ලැබේද?

2000 දී "ස්වෙස්ඩා" සමාගමේ ප්\u200dරාග්ධනය.
- 2001 දී "ස්වෙස්ඩා" සමාගමේ ප්\u200dරාග්ධනය.
- 2002 දී "ස්වෙස්ඩා" සමාගමේ ප්\u200dරාග්ධනය.
- 2003 දී "ස්වෙස්ඩා" සමාගමේ ප්\u200dරාග්ධනය.

නැතහොත් අපට කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය:

අපගේ නඩුව සඳහා:

2000, 2001, 2002 සහ 2003.

වගකීමෙන් යුතුව:
රූබල්
ප්\u200dරතිශතය වාර්ෂිකව ලබා දී ඇති අතර එය වාර්ෂිකව ගණනය කරනු ලබන බැවින් මෙම ගැටළුවේදී අපට හෝ බෙදීමක් නොමැත. I.e.
ජ්යාමිතික ප්රගතිය පිළිබඳ දැන් ඔබ සියල්ල දන්නවා.

ව්යායාමය.

1. On ාතීය පදය එය දන්නේ නම් එය සොයා ගන්න, සහ
2. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ පළමු පදවල එකතුව සොයා ගන්න, එය දන්නා නම්, සහ
3. එම්ඩීඑම් කැපිටල් ඩොලර් වලින් ප්\u200dරාග්ධනය සහිතව 2003 දී කර්මාන්තයේ ආයෝජනය ආරම්භ කළේය. 2004 සිට ඇරඹෙන සෑම වසරකම ඇය ලාභයක් උපයන අතර එය පෙර වර්ෂයේ ප්\u200dරාග්ධනයෙන් වේ. "MSK Cash Flows" සමාගම 2005 දී ඩොලර් 10,000 ක් ලෙස කර්මාන්තයේ ආයෝජනය කිරීමට පටන් ගත් අතර 2006 දී එම ලාභයෙන් ලාභයක් ලබා ගැනීමට පටන් ගත්තේය. ලාභය සංසරණයෙන් ඉවත් කර නොගත්තේ නම්, 2007 අවසානයේ දී එක් සමාගමක ප්\u200dරාග්ධනය තවත් සමාගමකට වඩා ඩොලර් කීයක් ද?

පිළිතුරු:

1. ගැටළු ප්\u200dරකාශයේ ප්\u200dරගතිය අසීමිත යැයි නොකියන අතර එහි සාමාජිකයින්ගේ නිශ්චිත සංඛ්\u200dයාවක එකතුව සොයා ගැනීමට අවශ්\u200dය බැවින් ගණනය කිරීම සූත්\u200dරයට අනුව සිදු කෙරේ:
2. 
   MDM කැපිටල්:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100% කින්, එනම් 2 ගුණයකින් වැඩි වේ.
   වගකීමෙන් යුතුව:
   රූබල්
   MSK මුදල් ප්\u200dරවාහ:

   2005, 2006, 2007.
   - වැඩි වේ, එනම්, වේලාවන්.
   වගකීමෙන් යුතුව:
   රූබල්
   රූබල්

සාරාංශ කරමු.

1) ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය () යනු සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමයකි, එහි පළමු පදය nonzero වන අතර, සෑම පදයක්ම දෙවන සිට ආරම්භ වන අතර එය පෙර සංඛ්\u200dයාවට සමාන වේ. මෙම අංකය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ හරය ලෙස හැඳින්වේ.

2) ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ සමීකරණය -.

3) සහ හැර ඕනෑම අගයක් ගත හැකිය.

• එසේ නම්, ප්\u200dරගතියේ පසුකාලීන සියලුම සාමාජිකයින්ට එකම ලකුණක් තිබේ නම් - ඔවුන් ධනාත්මක;
• එසේ නම්, ප්\u200dරගතියේ පසුකාලීන සියලුම සාමාජිකයන් විකල්ප සං signs ා;
• at - ප්\u200dරගතිය අසීමිත ලෙස අඩුවීම ලෙස හැඳින්වේ.

4), මක්නිසාද යත් ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bදේපල (යාබද පද)

හෝ
, (සමානාත්මතා පද)

සොයා ගැනීමේදී එය අමතක නොකරන්න පිළිතුරු දෙකක් තිබිය යුතුය.

උදාහරණයක් වශයෙන්,

5) ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයන්ගේ එකතුව ගණනය කරනු ලබන්නේ සූත්\u200dරයෙනි:
හෝ

ප්\u200dරගතිය අසීමිත ලෙස අඩු වන්නේ නම්:
හෝ

වැදගත්! අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bපදවල එකතුව සඳහා අපි සූත්\u200dරය භාවිතා කරන්නේ අසීමිත පද ගණනක එකතුව සොයා ගැනීම අවශ්\u200dය බව කොන්දේසිය පැහැදිලිව ප්\u200dරකාශ කළහොත් පමණි.

6) ජ්යාමිතික ප්රගතියක \u200b\u200bතුන්වන වාරයේ සූත්රය අනුව සංයුක්ත පොලී සඳහා ගැටළු ගණනය කරනු ලැබේ, අරමුදල් සංසරණයෙන් ඉවත් කර නොමැති නම්:

භූමිතික වැඩසටහන. ප්\u200dරධාන ගැන කෙටියෙන්

ජ්යාමිතික ප්රගතිය () යනු සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමයකි, එහි පළමු පදය nonzero වන අතර, සෑම පදයක්ම දෙවන සිට ආරම්භ වන අතර එය පෙර සංඛ්\u200dයාවට සමාන වන අතර එකම සංඛ්\u200dයාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ. මෙම අංකය හැඳින්වේ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ හරය.

ජ්යාමිතික ප්රගතියේ හරය සහ හැර වෙනත් අගයන් ගත හැකිය.

• එසේ නම්, ප්\u200dරගතියේ පසුකාලීන සියලුම සාමාජිකයින්ට එකම ලකුණක් තිබේ නම් - ඔවුන් ධනාත්මක ය;
• එසේ නම්, ප්\u200dරගතියේ පසුකාලීන සියලුම සාමාජිකයන් විකල්ප සං signs ා;
• at - ප්\u200dරගතිය අසීමිත ලෙස අඩුවීම ලෙස හැඳින්වේ.

ජ්යාමිතික ප්රගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ සමීකරණය - .

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ එකතුව සූත්\u200dරය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
හෝ

\u003e\u003e ගණිතය: ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය

පා er කයාගේ පහසුව සඳහා, මෙම කොටස අප කලින් කොටසෙහි අනුගමනය කළ සැලැස්මම අනුගමනය කරයි.

1. මූලික සංකල්ප.

අර්ථ දැක්වීම. සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමයක්, එහි සියලුම සාමාජිකයන් 0 ට වඩා වෙනස් වන අතර, සෑම පදයක්ම, දෙවන සිට ආරම්භ වන අතර, පෙර පදයෙන් ලබා ගන්නේ එකම සංඛ්\u200dයාවෙන් ගුණ කිරීමෙන් ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය ලෙසිනි. මෙම අවස්ථාවේ දී, අංක 5 ජ්යාමිතික ප්රගතියක \u200b\u200bහරය ලෙස හැඳින්වේ.

මේ අනුව, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය යනු සංඛ්\u200dයා මගින් අනුක්\u200dරමිකව (ආ n) සම්බන්ධතා මගින් පුනරාවර්තනය වේ

සංඛ්\u200dයා අනුපිළිවෙල බැලීමෙන් එය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් දැයි තීරණය කළ හැකිද? පුළුවන්. අනුක්\u200dරමයේ ඕනෑම සාමාජිකයෙකුගේ අනුපාතය පෙර සාමාජිකයාට නියත බව ඔබට ඒත්තු ගියහොත් ඔබට ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ඇත.
උදාහරණ 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
බී 1 \u003d 1, q \u003d 3.

උදාහරණ 2.

මෙය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි
උදාහරණ 3.

මෙය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි
උදාහරණ 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

මෙය b 1 - 8, q \u003d 1 සමඟ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි.

මෙම අනුක්\u200dරමය ගණිතමය ප්\u200dරගතියක් බව සලකන්න (§ 15 හි උදාහරණ 3 බලන්න).

උදාහරණ 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

මෙය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි, මෙහි b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

නිසැකවම, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය යනු b 1\u003e 0, q\u003e 1 (උදාහරණ 1 බලන්න) නම් වැඩි වන අනුක්\u200dරමයකි, සහ b 1\u003e 0, 0 නම් අඩු වේ< q < 1 (см. пример 2).

අනුක්\u200dරමය (b n) ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් බව දැක්වීමට, පහත දැක්වෙන අංකනය සමහර විට පහසු වේ:

නිරූපකය "ජ්යාමිතික ප්රගතිය" යන වාක්ය ඛණ්ඩය ප්රතිස්ථාපනය කරයි.
ජ්යාමිතික ප්රගතියේ එක් කුතුහලය දනවන හා ඒ සමගම පැහැදිලි දේපල අපි සටහන් කරමු:
අනුක්\u200dරමය නම් යනු ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි, පසුව වර්ගවල අනුක්\u200dරමය, එනම්. on ාතීය ප්\u200dරගතියකි.
දෙවන ජ්යාමිතික ප්රගතියේ දී, පළමු පදය a ට සමාන වේ q 2 ට සමාන වේ.
B n ට පසුව ඇති සියලුම පද අපි on ාතීය ලෙස බැහැර කළහොත් අපට සීමිත ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ලැබේ
මෙම කොටසේ ඊළඟ ඡේදවල, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bවැදගත්ම ගුණාංග අපි සලකා බලමු.

2. ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bn-th පදයෙහි සූත්\u200dරය.

ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සලකා බලන්න හරය q. අපිට තියෙනවා:

ඕනෑම අංකයකට සමානාත්මතාවය යැයි අනුමාන කිරීම පහසුය

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bn වන පදය සඳහා වන සූත්\u200dරය මෙයයි.

අදහස් දක්වන්න.

ඔබ පෙර ඡේදයෙන් වැදගත් ප්\u200dරකාශයක් කියවා එය තේරුම් ගෙන ඇත්නම්, ගණිතමය ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bනවවන වාරයේ සූත්\u200dරය සඳහා එය සිදු කළ ආකාරයටම ගණිතමය ප්\u200dරේරණය කිරීමේ ක්\u200dරමවේදය (1) සූත්\u200dරය ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරන්න.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ n වන පදය සඳහා සූත්\u200dරය නැවත ලියමු

සහ අංකනය හඳුන්වා දෙන්න: අපට y \u003d mq 2, හෝ, වඩාත් විස්තරාත්මකව,
X පරාමිතිය on ාතයක අඩංගු වන බැවින් මෙය on ාතීය ශ්\u200dරිතයක් ලෙස හැඳින්වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ස්වාභාවික සංඛ්\u200dයා වල N කට්ටලය මත අර්ථ දක්වා ඇති on ාතීය ශ්\u200dරිතයක් ලෙස දැකිය හැකි බවයි. අත්තික්කා වලින්. 96a ශ්\u200dරිතයේ ප්\u200dරස්ථාරය පෙන්වයි Fig. 966 - ශ්\u200dරිත ප්\u200dරස්තාරය අවස්ථා දෙකේදීම, අපට එක්තරා වක්\u200dරයක් මත පිහිටා ඇති හුදකලා ස්ථාන (අබ්සිස්සාස් x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, ආදිය) ඇත (සංඛ්\u200dයා දෙකම එකම වක්\u200dරය පෙන්වයි, වෙනස් ලෙස පිහිටා ඇති අතර විවිධ පරිමාණයන්හි නිරූපණය කර ඇත). මෙම වක්\u200dරය on ාතීය ලෙස හැඳින්වේ. On ාතීය ක්\u200dරියාකාරිත්වය සහ එහි ප්\u200dරස්ථාරය පිළිබඳ වැඩි විස්තර 11 වන ශ්\u200dරේණියේ වීජ ගණිත පා .මාලාවේ සාකච්ඡා කෙරේ.

පෙර ඡේදයේ 1-5 උදාහරණ වෙත ආපසු යමු.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... මෙය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි, මෙහි b 1 \u003d 1, q \u003d 3. n වන පදය සඳහා සූත්\u200dරය රචනා කරමු
2) මෙය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් වන අතර, එහි n වන පදයෙහි සූත්\u200dරය රචනා කරමු

මෙය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි N වන පදය සඳහා සූත්\u200dරය රචනා කරමු
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... මෙය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි, මෙහි b 1 \u003d 8, q \u003d 1. n වන පදය සඳහා සූත්\u200dරය රචනා කරමු
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... මෙය ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියකි, මෙහි b 1 \u003d 2, q \u003d -1. N වන පදය සඳහා සූත්\u200dරය රචනා කරමු

උදාහරණ 6.

ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දී ඇත

සෑම අවස්ථාවකම, විසඳුම පදනම් වන්නේ ජ්යාමිතික ප්රගතියේ n වන පදය සඳහා වන සූත්රය මත ය

අ) ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ n \u003d 6 වන පදය සූත්\u200dරයේ තැබීමෙන් අපට ලැබේ

ආ) අපට තිබේ

512 \u003d 2 9 සිට, අපට n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 ලැබේ.

)) අපට තිබේ

උදාහරණ 7.

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ හත්වන සහ පස්වන පද අතර වෙනස 48 ක් වන අතර, ප්\u200dරගතියේ පස්වන හා හයවන පදවල එකතුව ද 48 වේ. මෙම ප්\u200dරගතියේ දොළොස්වන පදය සොයා ගන්න.

පළමු පියවර. ගණිතමය ආකෘතියක් ඇඳීම.

ගැටලුවේ කොන්දේසි කෙටියෙන් පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියේ n වන පදය සඳහා සූත්\u200dරය භාවිතා කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
එවිට ගැටලුවේ දෙවන කොන්දේසිය (b 7 - b 5 \u003d 48) ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය

ගැටලුවේ තුන්වන කොන්දේසිය (b 5 + b 6 \u003d 48) ලෙස ලිවිය හැකිය

එහි ප්\u200dරති b ලයක් ලෙස, b 1 සහ q යන විචල්\u200dයයන් දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් අපට ලැබේ:

එය ඉහත කොන්දේසිය සමඟ සංයෝජනය 1) ගැටළුවේ ගණිතමය ආකෘතියකි.

දෙවන අදියර.

සම්පාදනය කරන ලද ආකෘතිය සමඟ වැඩ කිරීම. පද්ධතියේ සමීකරණ දෙකෙහිම වම් පස සමාන කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

(අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම නොසෙරෝ ප්\u200dරකාශනයකට බෙදුවෙමු b 1 q 4).

Q 2 - q - 2 \u003d 0 සමීකරණයෙන් අපට q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1 හමු වේ. Q \u003d 2 අගය පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපි ලබා ගනිමු
පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයේ q \u003d -1 අගය ආදේශ කිරීමෙන් අපට b 1 1 0 \u003d 48; මෙම සමීකරණයට විසඳුම් නොමැත.

ඉතින්, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - මෙම යුගලය රචනා කරන ලද සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුමකි.

දැන් අපට ගැටලුවේ සඳහන් ජ්යාමිතික ප්රගතිය ලිවිය හැකිය: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

තුන්වන අදියර.

ගැටලුවේ ප්රශ්නයට පිළිතුර. B 12 ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. අපිට තියෙනවා

පිළිතුර: ආ 12 \u003d 2048.

3. සීමිත ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසාමාජිකයන්ගේ එකතුව සඳහා සූත්\u200dරය.

සීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දෙන්න

අපි එහි නියමයන්ගේ එකතුව S n මගින් දක්වන්නෙමු, එනම්.

මෙම මුදල සොයා ගැනීම සඳහා සූත්\u200dරයක් ලබා ගනිමු.

Q \u003d 1 වන විට සරලම අවස්ථාව සමඟ ආරම්භ කරමු. එවිට ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතිය b 1, b 2, b 3, ..., bn සමන්විත වන්නේ b 1 ට සමාන n සංඛ්\u200dයා වලින්, එනම්, ප්\u200dරගතියට b 1, b 2, b 3, ..., b 4 ආකාරයක් ඇත. මෙම සංඛ්\u200dයා වල එකතුව nb 1 වේ.

දැන් q \u003d 1 ට ඉඩ දෙන්න S n සොයා ගැනීම සඳහා, අපි කෘතිම ක්\u200dරමයක් භාවිතා කරමු: S n q ප්\u200dරකාශනයේ සමහර පරිවර්තනයන් සිදු කරන්න. අපිට තියෙනවා:

පරිණාමනයන් සිදු කිරීම, අපි පළමුව, ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bඅර්ථ දැක්වීම භාවිතා කළෙමු, ඒ අනුව (තුන්වන පේළියේ තර්කනය බලන්න); දෙවනුව, ප්\u200dරකාශනයේ අර්ථය වෙනස් නොවීමට හේතුව ඔවුන් එකතු කොට අඩු කළහ (තර්කනයේ සිව්වන පේළිය බලන්න); තෙවනුව, අපි ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bn වන පදය සඳහා සූත්\u200dරය භාවිතා කළෙමු:

(1) සූත්\u200dරයෙන් අපට හමු වන්නේ:

ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bපද n එකතුව සඳහා සූත්\u200dරය මෙයයි (q \u003d 1 වන විට).

උදාහරණ 8.

සීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දී ඇත

(අ) ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයන්ගේ එකතුව; ආ) එහි සාමාජිකයින්ගේ වර්ගවල එකතුව.

ආ) ඉහත (පිටුව 132 බලන්න) ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bසියලු නියමයන් වර්ග කොට තිබේ නම්, අපට පළමු පදය b 2 සහ හරය q 2 සමඟ ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් ලැබෙන බව අපි දැනටමත් සටහන් කර ඇත්තෙමු. එවිට නව ප්\u200dරගතියේ සාමාජිකයන් හය දෙනෙකුගේ එකතුව ගණනය කෙරේ

උදාහරණ 9.

සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතියක \u200b\u200b8 වන පදය සොයා ගන්න

ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි පහත ප්\u200dරමේයය ඔප්පු කර ඇත්තෙමු.

සංඛ්\u200dයාත්මක අනුක්\u200dරමයක් යනු ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක් නම්, පළමු ප්\u200dරමේයය හැර (සහ අවසාන, සීමිත අනුක්\u200dරමයකදී) එහි එක් එක් සාමාජිකයාගේ වර්ගයට පෙර සහ පසු පදවල නිෂ්පාදනයට සමාන නම් ( ජ්\u200dයාමිතික ප්\u200dරගතියක \u200b\u200bලාක්ෂණික ගුණාංගයකි).