සමාන හරයන් සමඟ භාග ගුණ කිරීමේ උදාහරණ. සමීකරණ පද්ධතියක් ඇඳීම

) සහ හරය මගින් හරය (අපි නිෂ්පාදනයේ හරය ලබා ගනිමු).

භාග ගුණ කිරීම සඳහා සූත්‍රය:

උදාහරණ වශයෙන්:

ඔබ සංඛ්‍යා සහ හරයන් ගුණ කිරීම ආරම්භ කිරීමට පෙර, භාගය අඩු කළ හැකිද යන්න පරීක්ෂා කළ යුතුය. ඔබට කොටස අඩු කළ හැකි නම්, ඔබට තවදුරටත් ගණනය කිරීම් කිරීමට පහසු වනු ඇත.

පොදු භාගයක් භාගයකින් බෙදීම.

ස්වාභාවික සංඛ්‍යා ඇතුළත් භාග බෙදීම.

එය පෙනෙන තරම් බියජනක නොවේ. එකතු කිරීමේදී මෙන්, අපි පූර්ණ සංඛ්‍යාව හරයේ එකක් සමඟ භාගයක් බවට පරිවර්තනය කරමු. උදාහරණ වශයෙන්:

මිශ්‍ර භාග ගුණ කිරීම.

භාග ගුණ කිරීම සඳහා නීති (මිශ්ර):

• මිශ්ර භාග නුසුදුසු කොටස් බවට පරිවර්තනය කරන්න;
• භාගවල සංඛ්‍යා සහ හරයන් ගුණ කිරීම;
• භාගය අඩු කරන්න;
• ඔබ නුසුදුසු භාගයක් ලබා ගන්නේ නම්, අපි නුසුදුසු භාගය මිශ්ර භාගයක් බවට පරිවර්තනය කරමු.

සටහන!මිශ්‍ර භාගයක් තවත් මිශ්‍ර භාගයකින් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ ප්‍රථමයෙන් ඒවා නුසුදුසු භාගවල ස්වරූපයට පරිවර්තනය කළ යුතු අතර, පසුව සාමාන්‍ය භාග ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව ගුණ කළ යුතුය.

ස්වභාවික අංකයකින් කොටසක් ගුණ කිරීමේ දෙවන ක්රමය.

පොදු භාගයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ දෙවන ක්‍රමය භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු විය හැකිය.

සටහන!ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවකින් භාගයක් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ භාගයේ හරය මෙම සංඛ්‍යාවෙන් බෙදිය යුතු අතර, සංඛ්‍යාංකය නොවෙනස්ව තැබිය යුතුය.

ඉහත දක්වා ඇති උදාහරණයෙන්, භාගයක හරය ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවකින් ඉතිරියකින් තොරව බෙදූ විට මෙම විකල්පය භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු බව පැහැදිලිය.

බහුකාර්ය භාග.

උසස් පාසලේදී, තට්ටු තුනක (හෝ ඊට වැඩි) භාග බොහෝ විට හමු වේ. උදාහරණයක්:

එවැනි කොටසක් එහි සුපුරුදු ස්වරූපයට ගෙන ඒම සඳහා, ලකුණු 2 හරහා බෙදීම භාවිතා කරන්න:

සටහන!භාග බෙදීමේදී බෙදීමේ අනුපිළිවෙල ඉතා වැදගත් වේ. ප්‍රවේශම් වන්න, මෙහි ව්‍යාකූල වීම පහසුය.

සටහන, උදාහරණ වශයෙන්:

ඕනෑම භාගයකින් එකක් බෙදන විට, ප්‍රති result ලය එකම භාගය වනු ඇත, ප්‍රතිලෝම පමණි:

භාග ගුණ කිරීම සහ බෙදීම සඳහා ප්‍රායෝගික උපදෙස්:

1. භාගික ප්‍රකාශන සමඟ වැඩ කිරීමේදී වැදගත්ම දෙය වන්නේ නිරවද්‍යතාවය සහ අවධානයයි. සියලු ගණනය කිරීම් ප්රවේශමෙන් හා නිවැරදිව, සාන්ද්රණය සහ පැහැදිලිව සිදු කරන්න. මානසික ගනන් බැලීම් වල අතරමං වෙනවාට වඩා ඔබේ කෙටුම්පතේ අමතර රේඛා කිහිපයක් ලිවීම වඩා හොඳය.

2. විවිධ වර්ගවල භාග සහිත කාර්යයන් වලදී, සාමාන්ය භාග වර්ගයට යන්න.

3. එය තවදුරටත් අඩු කිරීමට නොහැකි වන තෙක් අපි සියලු කොටස් අඩු කරන්නෙමු.

4. අපි බහු මට්ටමේ භාගික ප්‍රකාශන සාමාන්‍ය ඒවා බවට පරිවර්තනය කරන්නේ ලකුණු 2ක් හරහා බෙදීම භාවිතා කරමිනි.

5. ඔබේ හිසෙහි කොටසකින් ඒකකයක් බෙදන්න, හුදෙක් භාගය පෙරළන්න.

පසුගිය වතාවේ අපි භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම ඉගෙන ගත්තා ("භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම" පාඩම බලන්න). එම ක්‍රියාවන්හි දුෂ්කරම කොටස වූයේ භාග පොදු හරයකට ගෙන ඒමයි.

දැන් එය ගුණ කිරීම සහ බෙදීම සමඟ කටයුතු කිරීමට කාලයයි. ශුභාරංචිය නම් මෙම මෙහෙයුම් එකතු කිරීමට සහ අඩු කිරීමට වඩා සරල ය. පළමුව, වෙන් වූ පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටසක් නොමැතිව ධන භාග දෙකක් ඇති විට සරලම අවස්ථාව සලකා බලමු.

භාග දෙකක් ගුණ කිරීමට, ඔබ ඒවායේ සංඛ්‍යා සහ හරයන් වෙන වෙනම ගුණ කළ යුතුය. පළමු අංකය නව භාගයේ අංකනය වන අතර දෙවැන්න හරය වේ.

කොටස් දෙකක් බෙදීමට, ඔබ පළමු භාගය "ප්රතිලෝම" දෙවන භාගයෙන් ගුණ කළ යුතුය.

තනතුර:

අර්ථ දැක්වීමෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ භාග බෙදීම ගුණ කිරීම දක්වා අඩු වන බවයි. භාගයක් "පෙරළීමට", අංකනය සහ හරය මාරු කරන්න. එමනිසා, පාඩම පුරාම අපි ප්රධාන වශයෙන් ගුණ කිරීම සලකා බලමු.

ගුණ කිරීමේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අඩු කළ හැකි කොටසක් (සහ බොහෝ විට පැන නගී) මතු විය හැකිය - එය, ඇත්ත වශයෙන්ම, අඩු කළ යුතුය. සියලුම අඩු කිරීම් වලින් පසු භාගය වැරදියි නම්, සම්පූර්ණ කොටස ඉස්මතු කළ යුතුය. නමුත් ගුණ කිරීමේදී නියත වශයෙන්ම සිදු නොවන දෙය නම් පොදු හරයකට අඩු කිරීමයි: ක්‍රිස්-හරස් ක්‍රම නැත, ශ්‍රේෂ්ඨ සාධක සහ අවම පොදු ගුණාකාර නැත.

නිර්වචනය අනුව අපට ඇත්තේ:

සම්පූර්ණ කොටස් සහ සෘණ භාග සමඟ භාග ගුණ කිරීම

භාගවල පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටසක් තිබේ නම්, ඒවා නුසුදුසු ඒවා බවට පරිවර්තනය කළ යුතුය - පසුව පමණක් ඉහත දක්වා ඇති යෝජනා ක්‍රම අනුව ගුණ කළ යුතුය.

භාගයක සංඛ්‍යාංකයේ, හරයේ හෝ ඊට ඉදිරියෙන් අඩුවක් තිබේ නම්, පහත සඳහන් නීතිරීතිවලට අනුව එය ගුණ කිරීමෙන් ඉවත් කිරීමට හෝ සම්පූර්ණයෙන් ඉවත් කිරීමට හැකිය.

1. Plus by minus minus ලබා දෙයි;
2. සෘණාත්මක කරුණු දෙකක් තහවුරු කරයි.

මේ දක්වා, මෙම නීති හමු වී ඇත්තේ සෘණ භාග එකතු කිරීමේදී සහ අඩු කිරීමේදී, සම්පූර්ණ කොටස ඉවත් කිරීමට අවශ්ය වූ විට පමණි. කාර්යයක් සඳහා, අවාසි කිහිපයක් එකවර "පුළුස්සා දැමීම" සඳහා ඒවා සාමාන්යකරණය කළ හැකිය:

1. ඔවුන් සම්පූර්ණයෙන්ම අතුරුදහන් වන තුරු අපි යුගල වශයෙන් සෘණාත්මකව හරස් කරමු. ආන්තික අවස්ථාවන්හිදී, එක් අඩුපාඩුවක් නොනැසී පැවතිය හැකිය - සහකරු හෝ සහකාරිය නොසිටි එක;
2. අවාසි කිසිවක් ඉතිරිව නොමැති නම්, මෙහෙයුම සම්පූර්ණයි - ඔබට ගුණ කිරීම ආරම්භ කළ හැකිය. ඒ සඳහා යුගලයක් නොතිබූ නිසා අවසාන අඩුපාඩුව හරස් නොකළේ නම්, අපි එය ගුණ කිරීමේ සීමාවෙන් පිටත ගනිමු. ප්රතිඵලය ඍණාත්මක කොටසකි.

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:

අපි සියලුම භාග නුසුදුසු ඒවා බවට පරිවර්තනය කර, පසුව ගුණ කිරීමෙන් අවාසි ඉවත් කරමු. අපි සුපුරුදු නීතිවලට අනුව ඉතිරිව ඇති දේ ගුණ කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:

උද්දීපනය කරන ලද සම්පූර්ණ කොටසක් සහිත භාගයක් ඉදිරිපිට දිස්වන අඩුව එහි සම්පූර්ණ කොටසට පමණක් නොව සමස්ත භාගයටම යොමු වන බව මම ඔබට නැවත වරක් මතක් කරමි (මෙය අවසාන උදාහරණ දෙකට අදාළ වේ).

සෘණ සංඛ්‍යා කෙරෙහි ද අවධානය යොමු කරන්න: ගුණ කිරීමේදී, ඒවා වරහන් තුළ කොටා ඇත. මෙය සිදු කරනුයේ ගුණ කිරීමේ සලකුණු වලින් අවාසි වෙන් කිරීම සහ සම්පූර්ණ අංකනය වඩාත් නිවැරදි කිරීම සඳහා ය.

පියාසර කිරීමේදී භාග අඩු කිරීම

ගුණ කිරීම ඉතා ශ්රම-දැඩි මෙහෙයුමකි. මෙහි ඇති සංඛ්‍යා තරමක් විශාල වන අතර ගැටළුව සරල කිරීම සඳහා, ඔබට එම කොටස තවදුරටත් අඩු කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය. ගුණ කිරීමට පෙර. ඇත්ත වශයෙන්ම, සාරාංශයක් ලෙස, භාගවල සංඛ්‍යා සහ හරයන් සාමාන්‍ය සාධක වන අතර, එබැවින්, භාගයක මූලික ගුණාංගය භාවිතයෙන් ඒවා අඩු කළ හැකිය. උදාහරණ දෙස බලන්න:

කාර්ය. ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයන්න:

නිර්වචනය අනුව අපට ඇත්තේ:

සියලුම උදාහරණ වල, අඩු කර ඇති සංඛ්‍යා සහ ඒවායේ ඉතිරිව ඇති දේ රතු පැහැයෙන් සලකුණු කර ඇත.

කරුණාකර සටහන් කරන්න: පළමු අවස්ථාවේ දී, ගුණකය සම්පූර්ණයෙන්ම අඩු කර ඇත. ඔවුන්ගේ ස්ථානයේ සාමාන්‍යයෙන් කථා කිරීම ලිවිය යුතු නැති ඒකක පවතී. දෙවන උදාහරණයේ දී, සම්පූර්ණ අඩුවීමක් ලබා ගැනීමට නොහැකි විය, නමුත් මුළු ගණනය කිරීම් ප්රමාණය තවමත් අඩු විය.

කෙසේ වෙතත්, භාග එකතු කිරීමේදී සහ අඩු කිරීමේදී මෙම තාක්ෂණය කිසි විටෙකත් භාවිතා නොකරන්න! ඔව්, සමහර විට ඔබට අඩු කිරීමට අවශ්‍ය සමාන සංඛ්‍යා තිබේ. මෙන්න, බලන්න:

ඔබට එය කළ නොහැක!

දෝෂය ඇති වන්නේ එකතු කිරීමේදී, භාගවල සංඛ්‍යාංකය සංඛ්‍යාවල ගුණිතයක් නොව එකතුවක් නිපදවන බැවිනි. ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, මෙම ගුණය සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම සමඟ විශේෂයෙන් කටයුතු කරන බැවින්, භාගයක මූලික ගුණය යෙදිය නොහැක.

භාග අඩු කිරීමට වෙනත් හේතු නොමැත, එබැවින් පෙර ගැටලුවට නිවැරදි විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

නිවැරදි විසඳුම:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, නිවැරදි පිළිතුර එතරම් ලස්සන නැත. පොදුවේ, ප්රවේශම් වන්න.

මධ්යම සහ උසස් පාසැල් පාඨමාලා වලදී සිසුන් "භාගික" මාතෘකාව ආවරණය කළහ. කෙසේ වෙතත්, මෙම සංකල්පය ඉගෙනුම් ක්රියාවලියේ දී ලබා දී ඇති දේට වඩා බෙහෙවින් පුළුල් ය. අද, භාගයක් පිළිබඳ සංකල්පය බොහෝ විට හමු වන අතර, සෑම කෙනෙකුටම කිසිදු ප්රකාශනයක් ගණනය කළ නොහැක, උදාහරණයක් ලෙස, භාග ගුණ කිරීම.

භාගයක් යනු කුමක්ද?

ඓතිහාසික වශයෙන්, භාගික සංඛ්යා පැන නැගුනේ මැනීමේ අවශ්යතාවයෙනි. ප්රායෝගිකව පෙන්නුම් කරන පරිදි, කොටසක දිග සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර සෘජුකෝණාස්රයේ පරිමාව තීරණය කිරීම සඳහා බොහෝ විට උදාහරණ තිබේ.

මුලදී, සිසුන්ට කොටස් සංකල්පය හඳුන්වා දෙනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ කොමඩු කොටස් 8 කට බෙදුවහොත්, සෑම පුද්ගලයෙකුටම කොමඩු වලින් අටෙන් එකක් ලැබෙනු ඇත. මෙම අටෙන් එක් කොටස කොටස් ලෙස හැඳින්වේ.

ඕනෑම වටිනාකමකින් ½ ට සමාන කොටසක් අර්ධ ලෙස හැඳින්වේ; ⅓ - තුන්වන; ¼ - හතරෙන් එකක්. 5/8, 4/5, 2/4 ආකෘති පත්‍රයේ වාර්තා සාමාන්‍ය භාග ලෙස හැඳින්වේ. පොදු භාගයක් සංඛ්‍යාංකයකට සහ හරයකට බෙදා ඇත. ඒවා අතර භාග තීරුව හෝ භාග තීරුව ඇත. භාගික රේඛාව තිරස් හෝ ආනත රේඛාවක් ලෙස ඇඳිය ​​හැකිය. මෙම අවස්ථාවේ දී, එය බෙදීමේ ලකුණ දක්වයි.

හරය නියෝජනය කරන්නේ ප්‍රමාණය හෝ වස්තුව සමාන කොටස් කීයකට බෙදී ඇත්ද යන්නයි; සහ numerator යනු සමාන කොටස් කීයක් ගනු ලැබේද යන්නයි. අංකනය භාග රේඛාවට ඉහළින් ලියා ඇත, හරය ඊට පහළින් ලියා ඇත.

ඛණ්ඩාංක කිරණ මත සාමාන්ය භාග පෙන්වීම වඩාත් පහසු වේ. එක් කොටසක් සමාන කොටස් 4 කට බෙදා ඇත්නම්, සෑම කොටසක්ම ලතින් අකුරකින් නම් කර ඇත, එවිට ප්රතිඵලය විශිෂ්ට දෘශ්ය ආධාරකයක් විය හැකිය. එබැවින්, A ලක්ෂ්‍යය සමස්ත ඒකක කොටසෙන් 1/4 ට සමාන කොටසක් පෙන්නුම් කරන අතර B ලක්ෂ්‍යය ලබා දී ඇති කොටසකින් 2/8 සලකුණු කරයි.

භාග වර්ග

භාග සාමාන්‍ය, දශම සහ මිශ්‍ර සංඛ්‍යා විය හැක. මීට අමතරව, භාග නිසි හා නුසුදුසු ලෙස බෙදිය හැකිය. මෙම වර්ගීකරණය සාමාන්ය භාග සඳහා වඩාත් සුදුසු වේ.

නිසි භාගයක් යනු එහි හරයට වඩා අඩු සංඛ්‍යාවක් ඇති සංඛ්‍යාවකි. ඒ අනුව, නුසුදුසු භාගයක් යනු එහි හරයට වඩා වැඩි සංඛ්‍යාවක් ඇති සංඛ්‍යාවකි. දෙවන වර්ගය සාමාන්යයෙන් මිශ්ර අංකයක් ලෙස ලියා ඇත. මෙම ප්‍රකාශනය පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් සහ භාගික කොටසකින් සමන්විත වේ. උදාහරණයක් ලෙස, 1½. 1 යනු පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටසකි, ½ යනු භාගික කොටසකි. කෙසේ වෙතත්, ඔබට ප්‍රකාශනය සමඟ යම් උපාමාරු සිදු කිරීමට අවශ්‍ය නම් (භාග බෙදීම හෝ ගුණ කිරීම, ඒවා අඩු කිරීම හෝ පරිවර්තනය කිරීම), මිශ්‍ර අංකය නුසුදුසු භාගයක් බවට පරිවර්තනය වේ.

නිවැරදි භාගික ප්‍රකාශනයක් සෑම විටම එකකට වඩා අඩු වන අතර වැරදි එකක් සෑම විටම 1 ට වඩා වැඩි හෝ සමාන වේ.

මෙම ප්‍රකාශනය සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, අපි අදහස් කරන්නේ ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් නියෝජනය වන වාර්තාවකි, එහි භාගික ප්‍රකාශනයේ හරය ශුන්‍ය කිහිපයක් සහිත එකක් අනුව ප්‍රකාශ කළ හැකිය. භාගය සුදුසු නම්, දශම අංකනයේ පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස ශුන්‍යයට සමාන වේ.

දශම භාගයක් ලිවීමට, ඔබ මුලින්ම සම්පූර්ණ කොටස ලිවිය යුතුය, කොමාවක් භාවිතයෙන් එය භාගයෙන් වෙන් කර, පසුව භාග ප්‍රකාශනය ලිවිය යුතුය. දශම ලක්ෂ්‍යයෙන් පසු සංඛ්‍යාංකයේ හරයේ ශුන්‍ය ඇති තරමටම සංඛ්‍යාංක අක්ෂර සංඛ්‍යාව අඩංගු විය යුතු බව මතක තබා ගත යුතුය.

උදාහරණයක්. 7 21 / 1000 කොටස දශම අංකනයකින් ප්‍රකාශ කරන්න.

නුසුදුසු භාගයක් මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවක් බවට පරිවර්තනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම සහ අනෙක් අතට

ගැටලුවකට පිළිතුරේ නුසුදුසු භාගයක් ලිවීම වැරදියි, එබැවින් එය මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවක් බවට පරිවර්තනය කළ යුතුය:

• පවතින හරයෙන් අංකනය බෙදන්න;
• නිශ්චිත උදාහරණයක, අසම්පූර්ණ ප්‍රතිශතයක් යනු සමස්තයකි;
• සහ ඉතිරිය භාගික කොටසෙහි සංඛ්‍යාව වන අතර හරය නොවෙනස්ව පවතී.

උදාහරණයක්. නුසුදුසු භාගය මිශ්‍ර අංකයට පරිවර්තනය කරන්න: 47/5.

විසඳුමක්. 47: 5. අර්ධ ප්‍රමාණය 9 වේ, ඉතිරිය = 2. එසේ නම්, 47 / 5 = 9 2 / 5.

සමහර විට ඔබට නුසුදුසු භාගයක් ලෙස මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීමට අවශ්‍ය වේ. එවිට ඔබ පහත ඇල්ගොරිතම භාවිතා කළ යුතුය:

• නිඛිල කොටස භාගික ප්‍රකාශනයේ හරයෙන් ගුණ කරනු ලැබේ;
• ප්රතිඵලය වන නිෂ්පාදිතය අංකනයට එකතු කරනු ලැබේ;
• ප්‍රතිඵලය සංඛ්‍යාංකයේ ලියා ඇත, හරය නොවෙනස්ව පවතී.

උදාහරණයක්. නුසුදුසු භාගයක් ලෙස මිශ්‍ර ආකාරයෙන් අංකය ඉදිරිපත් කරන්න: 9 8/10.

විසඳුමක්. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 යනු අංකනයයි.

පිළිතුර: 98 / 10.

භාග ගුණ කිරීම

සාමාන්‍ය භාග මත විවිධ වීජීය මෙහෙයුම් සිදු කළ හැක. සංඛ්‍යා දෙකක් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ සංඛ්‍යාංකය සමඟ සංඛ්‍යාංකය සහ හරය සමඟ හරය ගුණ කළ යුතුය. එපමණක් නොව, විවිධ හරයන් සහිත භාග ගුණ කිරීම එකම හර සහිත භාග ගුණ කිරීමෙන් වෙනස් නොවේ.

ප්රතිඵලය සොයා ගැනීමෙන් පසුව ඔබට භාගය අඩු කිරීමට අවශ්ය බව සිදු වේ. ලැබෙන ප්‍රකාශනය හැකිතාක් සරල කිරීම අත්‍යවශ්‍ය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, පිළිතුරක නුසුදුසු භාගයක් දෝෂයක් යැයි කෙනෙකුට පැවසිය නොහැක, නමුත් එය නිවැරදි පිළිතුරක් ලෙස හැඳින්වීම ද අපහසුය.

උදාහරණයක්. සාමාන්‍ය භාග දෙකක ගුණිතය සොයන්න: ½ සහ 20/18.

උදාහරණයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, නිෂ්පාදිතය සොයා ගැනීමෙන් පසුව, අඩු කළ හැකි භාගික අංකනයක් ලබා ගනී. මෙම නඩුවේ සංඛ්‍යා සහ හරය යන දෙකම 4 න් බෙදනු ලැබේ, ප්‍රතිඵලය පිළිතුර 5/9 වේ.

දශම භාගයන් ගුණ කිරීම

දශම භාගවල ගුණිතය එහි මූලධර්මයේ සාමාන්‍ය භාගවල ගුණිතයට වඩා බෙහෙවින් වෙනස් ය. එබැවින්, භාග ගුණ කිරීම පහත පරිදි වේ:

• දශම භාග දෙකක් එකකට යටින් ලිවිය යුතු අතර එවිට දකුණු කෙළවරේ ඇති ඉලක්කම් එකකට යටින් ඇත;
• ඔබට ලිඛිත සංඛ්‍යා ගුණ කළ යුතුය, කොමාව තිබියදීත්, එනම් ස්වාභාවික සංඛ්‍යා ලෙස;
• එක් එක් අංකයේ දශම ලක්ෂයට පසුව ඉලක්කම් ගණන ගණන් කරන්න;
• ගුණ කිරීමෙන් පසු ලැබෙන ප්‍රතිඵලයේ, දශම ලක්ෂයට පසු සාධක දෙකෙහිම එකතුවෙහි අඩංගු වන සංඛ්‍යාංක සංකේත තරම් දකුණේ සිට ගණන් කළ යුතු අතර, වෙන් කිරීමේ ලකුණක් තැබිය යුතුය;
• නිෂ්පාදනයේ අඩු සංඛ්‍යා තිබේ නම්, මෙම අංකය ආවරණය කිරීම සඳහා ඔබ ඒවා ඉදිරිපිට බිංදු ගණනක් ලිවිය යුතුය, කොමාවක් දමා සම්පූර්ණ කොටස බිංදුවට සමාන කරන්න.

උදාහරණයක්. දශම භාග දෙකක ගුණිතය ගණනය කරන්න: 2.25 සහ 3.6.

විසඳුමක්.

මිශ්‍ර භාග ගුණ කිරීම

මිශ්ර භාග දෙකක නිෂ්පාදිතය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ භාග ගුණ කිරීම සඳහා රීතිය භාවිතා කළ යුතුය:

• මිශ්ර සංඛ්යා නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කිරීම;
• ඉලක්කම්වල ගුණිතය සොයා ගන්න;
• හරවල නිෂ්පාදිතය සොයා ගන්න;
• ප්රතිඵලය ලියන්න;
• හැකිතාක් ප්‍රකාශනය සරල කරන්න.

උදාහරණයක්. 4½ සහ 6 2/5 හි ගුණිතය සොයන්න.

සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීම (භාග සංඛ්‍යාවකින්)

භාග දෙකක සහ මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවල ගුණිතය සොයා ගැනීමට අමතරව, ඔබට භාගයකින් ගුණ කළ යුතු කාර්යයන් තිබේ.

එබැවින්, දශම භාගයක සහ ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක ගුණිතය සොයා ගැනීමට, ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ:

• දකුණේ ඉලක්කම් එකකට වඩා ඉහළින් ඇති පරිදි භාගය යටතේ අංකය ලියන්න;
• කොමාව තිබියදීත් භාණ්ඩය සොයා ගන්න;
• ලැබෙන ප්‍රතිඵලයේ දී, කොමාවක් භාවිතයෙන් පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස භාගික කොටසෙන් වෙන් කරන්න, භාගයේ දශම ලක්ෂයට පසුව පිහිටන ඉලක්කම් ගණන දකුණේ සිට ගණන් කරන්න.

පොදු භාගයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ සංඛ්‍යාංකයේ ගුණිතය සහ ස්වාභාවික සාධකය සොයා ගත යුතුය. පිළිතුර අඩු කළ හැකි භාගයක් නිපදවන්නේ නම්, එය පරිවර්තනය කළ යුතුය.

උදාහරණයක්. 5/8 සහ 12 හි ගුණිතය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

පිළිතුර: 7 1 / 2.

පෙර උදාහරණයෙන් ඔබට පෙනෙන පරිදි, ප්රතිඵලය අඩු කිරීම සහ වැරදි භාගික ප්රකාශනය මිශ්ර සංඛ්යාවක් බවට පරිවර්තනය කිරීම අවශ්ය විය.

භාගවල ගුණ කිරීම මිශ්‍ර ස්වරූපයෙන් සහ ස්වාභාවික සාධකයකින් සංඛ්‍යාවක ගුණිතය සොයා ගැනීම ද අදාළ වේ. මෙම සංඛ්‍යා දෙක ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ මිශ්‍ර සාධකයේ සම්පූර්ණ කොටස සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කළ යුතුය, එම අගයෙන් සංඛ්‍යාංකය ගුණ කළ යුතුය, සහ හරය නොවෙනස්ව තැබිය යුතුය. අවශ්ය නම්, ඔබට හැකි තරම් ප්රතිඵලය ප්රතිඵලය සරල කළ යුතුය.

උදාහරණයක්. 9 5 / 6 සහ 9 හි ගුණිතය සොයන්න.

විසඳුමක්. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

පිළිතුර: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 හෝ 0.1 සාධක මගින් ගුණ කිරීම; 0.01; 0.001

පහත දැක්වෙන රීතිය පෙර ඡේදයෙන් පහත දැක්වේ. දශම භාගයක් 10, 100, 1000, 10000, ආදියෙන් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ දශම ලක්ෂ්‍යය එකින් පසු සාධකයේ ශුන්‍ය සංඛ්‍යා ඇති තරම් සංඛ්‍යා වලින් දකුණට ගෙන යා යුතුය.

උදාහරණ 1. 0.065 සහ 1000 හි ගුණිතය සොයන්න.

විසඳුමක්. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

පිළිතුර: 65.

උදාහරණ 2. 3.9 සහ 1000 නිෂ්පාදන සොයන්න.

විසඳුමක්. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

පිළිතුර: 3900.

ඔබට ස්වභාවික අංකයක් සහ 0.1 ගුණ කිරීමට අවශ්‍ය නම්; 0.01; 0.001; 0.0001, යනාදී වශයෙන්, ඔබ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස නිෂ්පාදනයේ කොමාව එකකට පෙර බිංදු ඇති තරම් ඉලක්කම් අක්ෂර ගණනකින් වමට ගෙන යා යුතුය. අවශ්ය නම්, ස්වභාවික සංඛ්යාවට පෙර ප්රමාණවත් ශුන්ය සංඛ්යාවක් ලියා ඇත.

උදාහරණ 1. 56 සහ 0.01 හි ගුණිතය සොයන්න.

විසඳුමක්. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

පිළිතුර: 0,56.

උදාහරණ 2. 4 සහ 0.001 හි ගුණිතය සොයන්න.

විසඳුමක්. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

පිළිතුර: 0,004.

එබැවින්, විවිධ භාගවල නිෂ්පාදිතය සොයා ගැනීම සමහර විට ප්රතිඵලය ගණනය කිරීම හැර, කිසිදු දුෂ්කරතාවයක් ඇති නොකළ යුතුය; මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට කැල්කියුලේටරයක් ​​නොමැතිව කළ නොහැක.

§ 87. භාග එකතු කිරීම.

භාග එකතු කිරීම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කිරීමට බොහෝ සමානකම් ඇත. භාග එකතු කිරීම යනු ලබා දී ඇති සංඛ්‍යා කිහිපයක් (කොන්දේසි) එක් සංඛ්‍යාවකට (එකතුවක්) ඒකාබද්ධ කර ඇති ක්‍රියාවකි, නියමවල ඒකකවල සියලුම ඒකක සහ භාග අඩංගු වේ.

අපි අවස්ථා තුනක් අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු:

1. සමාන හර සහිත භාග එකතු කිරීම.
2. විවිධ හරයන් සහිත භාග එකතු කිරීම.
3. මිශ්ර සංඛ්යා එකතු කිරීම.

1. සමාන හර සහිත භාග එකතු කිරීම.

උදාහරණයක් සලකා බලන්න: 1/5 + 2/5.

අපි AB කොටස ගනිමු (රූපය 17), එය එකක් ලෙස ගෙන එය සමාන කොටස් 5 කට බෙදන්න, එවිට මෙම කොටසේ AC කොටස AB කොටසෙන් 1/5 ට සමාන වන අතර එම කොටසේම CD කොටස සමාන වේ. 2/5 AB.

චිත්‍රයෙන් පැහැදිලි වන්නේ අපි AD කොටස ගතහොත් එය 3/5 AB ට සමාන වන බවයි; නමුත් AD යනු හරියටම AC සහ CD යන කොටස්වල එකතුවයි. එබැවින් අපට ලිවිය හැකිය:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

මෙම නියමයන් සහ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන එකතුව සලකා බැලීමේදී, පදවල සංඛ්‍යා එකතු කිරීමෙන් එකතුවේ සංඛ්‍යාංකය ලැබුණු බවත්, හරය නොවෙනස්ව පවතින බවත් අපට පෙනේ.

මෙයින් අපට පහත රීතිය ලැබේ: එකම හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමට, ඔබ ඒවායේ සංඛ්‍යා එකතු කර එකම හරය අත්හැරිය යුතුය.

අපි උදාහරණයක් බලමු:

2. විවිධ හරයන් සහිත භාග එකතු කිරීම.

අපි භාග එකතු කරමු: 3 / 4 + 3 / 8 පළමුව ඒවා අඩුම පොදු හරයට අඩු කළ යුතුය:

අතරමැදි සබැඳිය 6/8 + 3/8 ලිවිය නොහැක; පැහැදිලිකම සඳහා අපි එය මෙහි ලියා ඇත.

මේ අනුව, විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම සඳහා, ඔබ මුලින්ම ඒවා අවම පොදු හරයට අඩු කර, ඒවායේ සංඛ්‍යා එකතු කර පොදු හරය ලේබල් කළ යුතුය.

අපි උදාහරණයක් සලකා බලමු (අපි අනුරූප භාග වලට ඉහලින් අමතර සාධක ලියන්නෙමු):

3. මිශ්ර සංඛ්යා එකතු කිරීම.

අපි අංක එකතු කරමු: 2 3/8 + 3 5/6.

අපි මුලින්ම අපගේ සංඛ්‍යාවල භාගික කොටස් පොදු හරයකට ගෙන ඒවා නැවත ලියන්නෙමු:

දැන් අපි පූර්ණ සංඛ්‍යාව සහ භාගික කොටස් අනුපිළිවෙලින් එකතු කරමු:

§ 88. භාග අඩු කිරීම.

භාග අඩු කිරීම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා අඩු කරන ආකාරයටම අර්ථ දැක්වේ. මෙය පද දෙකක එකතුවක් සහ ඒවායින් එකක් ලබා දී තවත් පදයක් සොයා ගන්නා ලද ක්‍රියාවකි. අපි අවස්ථා තුනක් අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු:

1. සමාන හරයන් සමඟ භාග අඩු කිරීම.
2. විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීම.
3. මිශ්ර සංඛ්යා අඩු කිරීම.

1. සමාන හරයන් සමඟ භාග අඩු කිරීම.

අපි උදාහරණයක් බලමු:

13 / 15 - 4 / 15

අපි AB කොටස ගනිමු (රූපය 18), එය ඒකකයක් ලෙස ගෙන එය සමාන කොටස් 15 කට බෙදන්න; එවිට මෙම කොටසේ AC කොටස AB හි 1/15 නියෝජනය කරනු ඇති අතර එම කොටසේම AD කොටස 13/15 AB ට අනුරූප වේ. අපි 4/15 AB ට සමාන තවත් කොටසක් ED වෙන් කරමු.

අපි 4/15 කොටස 13/15 සිට අඩු කළ යුතුයි. චිත්‍රයේ, මෙයින් අදහස් කරන්නේ ED කොටස AD කොටසෙන් අඩු කළ යුතු බවයි. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, AE කොටස පවතිනු ඇත, එය AB කොටසේ 9/15 වේ. එබැවින් අපට ලිවිය හැකිය:

අප කළ උදාහරණයෙන් පෙනෙන්නේ සංඛ්‍යා අඩු කිරීමෙන් වෙනසෙහි සංඛ්‍යාංකය ලැබුණු නමුත් හරය එලෙසම පැවති බවයි.

එබැවින්, සමාන හර සහිත භාග අඩු කිරීම සඳහා, ඔබ minuend හි සංඛ්යාංකයෙන් subtrahend හි සංඛ්යාංකය අඩු කර එම හරය අත්හැරිය යුතුය.

2. විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීම.

උදාහරණයක්. 3/4 - 5/8

පළමුව, අපි මෙම භාග අඩුම පොදු හරයට අඩු කරමු:

අතරමැදි 6 / 8 - 5 / 8 පැහැදිලිකම සඳහා මෙහි ලියා ඇත, නමුත් පසුව මඟ හැරිය හැක.

මේ අනුව, භාගයකින් කොටසක් අඩු කිරීම සඳහා, ඔබ මුලින්ම ඒවා පහළම පොදු හරයට අඩු කළ යුතුය, පසුව minuend හි සංඛ්යාංකයෙන් minuend හි සංඛ්යාංකය අඩු කර ඒවායේ වෙනස යටතේ පොදු හරය අත්සන් කරන්න.

අපි උදාහරණයක් බලමු:

3. මිශ්ර සංඛ්යා අඩු කිරීම.

උදාහරණයක්. 10 3/4 - 7 2/3.

අපි minuend හි භාගික කොටස් අඩු කර පහළම පොදු හරයට යවමු:

අපි සම්පූර්ණයෙන් සමස්තයක් සහ භාගයකින් කොටසක් අඩු කළෙමු. නමුත් උපසිරැසියේ භාගික කොටස minuend හි භාගික කොටසට වඩා වැඩි වන අවස්ථා තිබේ. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ඔබ minuend හි සම්පූර්ණ කොටසෙන් එක් ඒකකයක් ගත යුතු අතර, භාගික කොටස ප්රකාශිත එම කොටස් වලට එය බෙදා, එය minuend හි භාගික කොටස වෙත එකතු කරන්න. ඉන්පසු අඩු කිරීම පෙර උදාහරණයේ ආකාරයටම සිදු කරනු ලැබේ:

§ 89. භාග ගුණ කිරීම.

භාග ගුණ කිරීම අධ්‍යයනය කරන විට, අපි පහත ප්‍රශ්න සලකා බලමු:

1. පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් කොටසක් ගුණ කිරීම.
2. දී ඇති අංකයක භාගය සොයා ගැනීම.
3. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීම.
4. භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීම.
5. මිශ්ර සංඛ්යා ගුණ කිරීම.
6. උනන්දුව පිළිබඳ සංකල්පය.
7. දී ඇති සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිශතය සොයා ගැනීම. අපි ඒවා අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු.

1. පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් කොටසක් ගුණ කිරීම.

භාගයක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම හා සමාන අර්ථයකි. පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් (සාධකයකින්) භාගයක් ගුණ කිරීම යනු සමාන පදවල එකතුවක් සෑදීමයි, එහි එක් එක් පදය ගුණකයට සමාන වන අතර පද ගණන ගුණකයට සමාන වේ.

මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට 1/9 න් 7 න් ගුණ කිරීමට අවශ්‍ය නම්, එය මේ ආකාරයට කළ හැකි බවයි:

ක්‍රියාව එකම හර සහිත භාග එකතු කිරීම දක්වා අඩු කළ බැවින් අපි පහසුවෙන් ප්‍රතිඵලය ලබා ගත්තෙමු. එබැවින්,

මෙම ක්‍රියාව සලකා බැලීමෙන් පෙනී යන්නේ කොටසක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවේ ඒකක ඇති තරම් වාර ගණනක් මෙම භාගය වැඩි කිරීමට සමාන වන බවයි. මක්නිසාද යත් කොටසක් වැඩි කිරීම සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ එහි අංකනය වැඩි කිරීමෙනි

නැතහොත් එහි හරය අඩු කිරීමෙනි , එවිට අපට සංඛ්‍යාව පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ හැකිය, නැතහොත් එවැනි බෙදීමක් කළ හැකි නම්, හරය එයින් බෙදිය හැකිය.

මෙතැන් සිට අපට රීතිය ලැබේ:

සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් කොටසක් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ සංඛ්‍යාව එම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කර හරය එලෙසම තබන්න, නැතහොත්, හැකි නම්, එම සංඛ්‍යාවෙන් හරය බෙදන්න, සංඛ්‍යාංකය නොවෙනස්ව තබන්න.

ගුණ කරන විට, කෙටි යෙදුම් හැකි ය, උදාහරණයක් ලෙස:

2. දී ඇති අංකයක භාගය සොයා ගැනීම.ඔබට ලබා දී ඇති අංකයක කොටසක් සොයා ගැනීමට හෝ ගණනය කිරීමට සිදු වන ගැටළු බොහොමයක් තිබේ. මෙම ගැටළු සහ අනෙකුත් ඒවා අතර ඇති වෙනස නම්, ඔවුන් සමහර වස්තූන් හෝ මිනුම් ඒකක ගණන ලබා දෙන අතර ඔබට මෙම සංඛ්‍යාවෙන් කොටසක් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වන අතර එය මෙහි යම් කොටසකින් ද දක්වා ඇත. අවබෝධය පහසු කිරීම සඳහා, අපි මුලින්ම එවැනි ගැටළු සඳහා උදාහරණ ලබා දෙන්නෙමු, පසුව ඒවා විසඳීම සඳහා ක්රමයක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු.

කාර්යය 1.මට රුබල් 60 ක් තිබුණා; මම මේ මුදලින් 1/3ක් වියදම් කළේ පොත් ගන්න. පොත් සඳහා කොපමණ මුදලක් වැය වේද?

කාර්යය 2.දුම්රිය A සහ ​​B නගර අතර කිලෝමීටර 300 ට සමාන දුරක් ගමන් කළ යුතුය. ඔහු දැනටමත් මෙම දුරින් 2/3 ක් සම්පූර්ණ කර ඇත. මේක කිලෝමීටර් කීයද?

කාර්යය 3.ගමේ නිවාස 400 ක් ඇත, ඒවායින් 3/4 ගඩොල්, ඉතිරිය ලී. මුළු ගඩොල් ගෙවල් කීයක් තිබේද?

දෙන ලද සංඛ්‍යාවක කොටසක් සොයා ගැනීමට අපට මුහුණ පෑමට සිදුවන ගැටලු රාශියකි. ලබා දී ඇති අංකයක භාගය සොයා ගැනීමට ඒවා සාමාන්‍යයෙන් ගැටළු ලෙස හැඳින්වේ.

ගැටලුවට විසඳුම 1.රූබල් 60 සිට. මම පොත් සඳහා 1/3 වියදම් කළා; මෙයින් අදහස් කරන්නේ පොත්වල මිල සොයා ගැනීමට ඔබ අංක 60 න් 3 න් බෙදිය යුතු බවයි:

ගැටළුව විසඳීම 2.ගැටලුවේ කාරණය වන්නේ ඔබ කිලෝමීටර 300 න් 2/3 ක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය බවය. අපි මුලින්ම 300 න් 1/3 ගණනය කරමු; මෙය සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ කිලෝමීටර 300 න් 3 න් බෙදීමෙනි:

300: 3 = 100 (එය 300 න් 1/3 කි).

300 න් තුනෙන් දෙකක් සොයා ගැනීමට, ඔබට ලැබෙන ප්‍රමාණය දෙගුණ කිරීමට අවශ්‍ය වේ, එනම්, 2 න් ගුණ කරන්න:

100 x 2 = 200 (එය 300 න් 2/3).

ගැටළුව විසඳීම 3.මෙහිදී ඔබ 400 න් 3/4 ක් සෑදෙන ගඩොල් නිවාස ගණන තීරණය කළ යුතුය. අපි මුලින්ම 400 න් 1/4 ක් සොයා ගනිමු,

400: 4 = 100 (එය 400 න් 1/4 කි).

400 න් කාර්තු තුන ගණනය කිරීම සඳහා, ලැබෙන ප්‍රමාණය තුන් ගුණයකින් වැඩි කළ යුතුය, එනම් 3 න් ගුණ කළ යුතුය:

100 x 3 = 300 (එය 400 න් 3/4).

මෙම ගැටළු වලට විසඳුම මත පදනම්ව, අපට පහත රීතිය ලබා ගත හැකිය:

දී ඇති සංඛ්‍යාවකින් කොටසක අගය සොයා ගැනීමට, ඔබ මෙම සංඛ්‍යාව භාගයේ හරයෙන් බෙදිය යුතු අතර ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සංඛ්‍යාව එහි සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කළ යුතුය.

3. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීම.

මීට පෙර (§ 26) නිඛිලවල ගුණ කිරීම සමාන පද එකතු කිරීම ලෙස තේරුම් ගත යුතු බව තහවුරු විය (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). මෙම ඡේදයේ (1 වන කරුණ) එය පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් කොටසක් ගුණ කිරීම යනු මෙම භාගයට සමාන සමාන පදවල එකතුව සොයා ගැනීම බව තහවුරු විය.

අවස්ථා දෙකේදීම, ගුණ කිරීම සමන්විත වූයේ සමාන පදවල එකතුව සොයා ගැනීමයි.

දැන් අපි සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීමට ඉදිරියට යමු. මෙන්න අපට හමුවනු ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, ගුණ කිරීම: 9 2/3. ගුණ කිරීමේ පෙර නිර්වචනය මෙම අවස්ථාවට අදාළ නොවන බව පැහැදිලිය. සමාන සංඛ්‍යා එකතු කිරීමෙන් අපට එවැනි ගුණ කිරීම ප්‍රතිස්ථාපනය කළ නොහැකි බව මෙයින් පැහැදිලි වේ.

මේ නිසා, අපට ගුණ කිරීම පිළිබඳ නව නිර්වචනයක් ලබා දීමට සිදුවනු ඇත, එනම්, වෙනත් වචන වලින්, භාගයකින් ගුණ කිරීමෙන් තේරුම් ගත යුතු දේ, මෙම ක්‍රියාව තේරුම් ගත යුත්තේ කෙසේද යන ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දෙන්න.

සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීමේ අර්ථය පහත අර්ථ දැක්වීමෙන් පැහැදිලි වේ: පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් (ගුණකයක්) භාගයකින් (ගුණකයක්) ගුණ කිරීම යනු ගුණකයේ මෙම භාගය සොයා ගැනීමයි.

එනම්, 9 න් 2/3 න් ගුණ කිරීම යනු ඒකක නවයෙන් 2/3 සොයා ගැනීමයි. පෙර ඡේදයේ, එවැනි ගැටළු විසඳා ඇත; එබැවින් අපි 6 න් අවසන් වන බව තේරුම් ගැනීම පහසුය.

නමුත් දැන් සිත්ගන්නාසුළු හා වැදගත් ප්‍රශ්නයක් පැන නගී: සමාන සංඛ්‍යාවල එකතුව සෙවීම සහ සංඛ්‍යාවක භාගය සොයා ගැනීම වැනි පෙනෙන වෙනස් මෙහෙයුම් අංක ගණිතයෙන් “ගුණ කිරීම” යන වචනයෙන් හඳුන්වන්නේ ඇයි?

මෙය සිදු වන්නේ පෙර ක්‍රියාව (කොන්දේසි සමඟ සංඛ්‍යාවක් කිහිප වතාවක් පුනරාවර්තනය කිරීම) සහ නව ක්‍රියාව (සංඛ්‍යාවක භාගය සොයා ගැනීම) සමජාතීය ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු ලබා දෙන බැවිනි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමජාතීය ප්‍රශ්න හෝ කාර්යයන් එකම ක්‍රියාවකින් විසඳන බව සලකා බැලීමෙන් අපි මෙහි ඉදිරියට යන බවයි.

මෙය තේරුම් ගැනීම සඳහා, පහත සඳහන් ගැටළුව සලකා බලන්න: "රෙදි මීටර් 1 ක මිල රුබල් 50 කි. එවැනි රෙදි මීටර් 4 ක් සඳහා කොපමණ මුදලක් වැය වේද?

මෙම ගැටළුව විසඳනු ලබන්නේ රූබල් (50) ගණන මීටර් (4), එනම් 50 x 4 = 200 (රූබල්) වලින් ගුණ කිරීමෙනි.

අපි එකම ගැටළුව ගනිමු, නමුත් එහි රෙදි ප්‍රමාණය කොටසක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ: “රෙදි මීටර් 1 ක මිල රුබල් 50 කි. එවැනි රෙදි මීටර් 3/4 කට කොපමණ මුදලක් වැය වේද?"

රූබල් ගණන (50) මීටර් ගණනින් (3/4) ගුණ කිරීමෙන් මෙම ගැටළුව විසඳිය යුතුය.

ඔබට එහි ඇති සංඛ්‍යා තවත් කිහිප වතාවක් වෙනස් කළ හැකිය, ගැටලුවේ තේරුම වෙනස් නොකර, උදාහරණයක් ලෙස, 9/10 m හෝ 2 3/10 m, ආදිය ගන්න.

මෙම ගැටළු වලට එකම අන්තර්ගතයක් ඇති අතර සංඛ්‍යා වලින් පමණක් වෙනස් වන බැවින්, ඒවා විසඳීමේදී භාවිතා කරන ක්‍රියා අපි එකම වචනය ලෙස හඳුන්වමු - ගුණ කිරීම.

සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් කොටස් ගණනකින් ගුණ කරන්නේ කෙසේද?

අවසාන ගැටලුවේදී හමු වූ සංඛ්‍යා ගනිමු:

නිර්වචනයට අනුව, අපි 50 න් 3/4 සොයා ගත යුතුය. අපි මුලින්ම 50 න් 1/4, පසුව 3/4 සොයා ගනිමු.

50 න් 1/4 50/4;

අංක 50 න් 3/4 යි.

එහෙයින්.

අපි තවත් උදාහරණයක් සලකා බලමු: 12 5/8 =?

අංක 12 න් 1/8 යි 12/8,

අංක 12 න් 5/8 වේ.

එබැවින්,

මෙතැන් සිට අපට රීතිය ලැබේ:

සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාව භාගයේ සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කර මෙම නිෂ්පාදිතය සංඛ්‍යාංකය බවට පත් කළ යුතු අතර, මෙම භාගයේ හරය හරය ලෙස අත්සන් කළ යුතුය.

අකුරු භාවිතයෙන් මෙම රීතිය ලියන්න:

මෙම රීතිය සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි කිරීම සඳහා, භාගික අගයක් ලෙස සැලකිය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය. එබැවින්, සොයාගත් රීතිය § 38 හි දක්වා ඇති සංඛ්‍යාවකින් සංඛ්‍යාවක් ගුණ කිරීමේ රීතිය සමඟ සංසන්දනය කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වේ.

ගුණ කිරීම සිදු කිරීමට පෙර, ඔබ (හැකි නම්) කළ යුතු බව මතක තබා ගැනීම වැදගත්ය. අඩු කිරීම්, උදාහරණ වශයෙන්:

4. භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීම.භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් ගුණ කිරීම හා සමාන අර්ථයක් ඇත, එනම්, භාගයක් භාගයකින් ගුණ කරන විට, ඔබ පළමු භාගයෙන් (ගුණකය) සාධකයේ ඇති භාගය සොයාගත යුතුය.

එනම්, 3/4 න් 1/2 (අඩ) කින් ගුණ කිරීම යනු 3/4 න් අඩක් සොයා ගැනීමයි.

ඔබ භාගයක් භාගයකින් ගුණ කරන්නේ කෙසේද?

අපි උදාහරණයක් ගනිමු: 3/4 5/7 න් ගුණ කිරීම. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔබ 3/4 න් 5/7 සොයා ගත යුතු බවයි. අපි මුලින්ම 3/4 න් 1/7, පසුව 5/7 සොයා ගනිමු

3/4 අංකයෙන් 1/7ක් පහත පරිදි ප්‍රකාශ වේ.

5/7 අංක 3/4 පහත පරිදි ප්‍රකාශ කරනු ලැබේ:

මේ අනුව,

තවත් උදාහරණයක්: 5/8 4/9 න් ගුණ කිරීම.

5/8 න් 1/9 යනු,

5/8 අංකයෙන් 4/9 යනු .

මේ අනුව,

මෙම උදාහරණ වලින් පහත රීතිය නිගමනය කළ හැකිය:

භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ සංඛ්‍යාංකය සංඛ්‍යාවෙන්ද, හරය හරයෙන්ද ගුණ කළ යුතු අතර, පළමු නිෂ්පාදිතය සංඛ්‍යාංකයද, දෙවන නිෂ්පාදනය නිෂ්පාදනයේ හරයද කළ යුතුය.

මෙම රීතිය සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය:

ගුණ කරන විට, (හැකි නම්) අඩු කිරීම් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ. උදාහරණ දෙස බලමු:

5. මිශ්ර සංඛ්යා ගුණ කිරීම.මිශ්‍ර සංඛ්‍යා නුසුදුසු භාග මගින් පහසුවෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකි බැවින්, මිශ්‍ර සංඛ්‍යා ගුණ කිරීමේදී මෙම තත්ත්වය සාමාන්‍යයෙන් භාවිතා වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ගුණකය, හෝ ගුණකය හෝ සාධක දෙකම මිශ්‍ර සංඛ්‍යා ලෙස ප්‍රකාශ කරන අවස්ථාවන්හිදී, ඒවා නුසුදුසු භාග මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වන බවයි. උදාහරණයක් ලෙස, මිශ්‍ර සංඛ්‍යා: 2 1/2 සහ 3 1/5 ගුණ කරමු. අපි ඒ සෑම එකක්ම නුසුදුසු භාගයක් බවට පත් කරමු, ඉන්පසු භාගයක් භාගයකින් ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව ලැබෙන භාග ගුණ කරමු:

නීතිය.මිශ්‍ර සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ ප්‍රථමයෙන් ඒවා නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කළ යුතු අතර පසුව භාගවලින් භාග ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව ඒවා ගුණ කළ යුතුය.

සටහන.එක් සාධකයක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නම්, බෙදා හැරීමේ නියමය මත පදනම්ව ගුණ කිරීම පහත පරිදි සිදු කළ හැකිය:

6. උනන්දුව පිළිබඳ සංකල්පය.ගැටළු විසඳීමේදී සහ විවිධ ප්‍රායෝගික ගණනය කිරීම් සිදු කරන විට, අපි සියලු වර්ගවල භාග භාවිතා කරමු. නමුත් බොහෝ ප්‍රමාණවලින් ඔවුන් සඳහා ස්වාභාවික බෙදීම් වලට පමණක් නොව, ස්වාභාවික බෙදීම්වලට ඉඩ ලබා දෙන බව මතක තබා ගත යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට රූබල් එකකින් සියයෙන් එකක් (1/100) ගත හැකිය, එය කොපෙක් එකක් වනු ඇත, දෙසීයක් යනු කොපෙක් 2 ක්, තුන්සියයෙන් එක කොපෙක් 3 කි. ඔබට රුබල් එකකින් 1/10 ක් ගත හැකිය, එය "කොපෙක් 10 ක් හෝ කොපෙක් දහයක් වනු ඇත. ඔබට රූබල් හතරෙන් එකක්, එනම් කොපෙක් 25 ක්, රූබල් භාගයක්, එනම් කොපෙක් 50 ක් (කොපෙක් පනහක්) ගත හැකිය. ඔවුන් එය ප්‍රායෝගිකව ගන්නේ නැත, උදාහරණයක් ලෙස රූබල් එකකින් 2/7ක් රූබල් හත්වන ගණනට බෙදී නැති නිසා.

බර ඒකකය, එනම් කිලෝග්‍රෑම්, මූලික වශයෙන් දශම බෙදීම් සඳහා ඉඩ සලසයි, උදාහරණයක් ලෙස 1/10 kg, හෝ 100 g. සහ 1/6, 1/11, 1/13 වැනි කිලෝග්‍රෑමයක භාග පොදු නොවේ.

සාමාන්‍යයෙන්, අපගේ (මෙට්‍රික්) මිනුම් දශම වන අතර දශම බෙදීමට ඉඩ දෙයි.

කෙසේ වෙතත්, ප්‍රමාණ බෙදීමේ එකම (ඒකාකාර) ක්‍රමය භාවිතා කිරීම විවිධ අවස්ථා වලදී අතිශයින්ම ප්‍රයෝජනවත් සහ පහසු බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. වසර ගණනාවක අත්දැකීම්වලින් පෙන්නුම් කර ඇත්තේ එවැනි හොඳින් යුක්ති සහගත බෙදීමක් "සියවන" බෙදීම බවයි. මානව භාවිතයේ වඩාත් විවිධාකාර ක්ෂේත්‍ර සම්බන්ධ උදාහරණ කිහිපයක් අපි සලකා බලමු.

1. පොත් මිල කලින් මිලට වඩා 12/100කින් අඩුවෙලා.

උදාහරණයක්. පොතේ පෙර මිල රුබල් 10 කි. එය රුබල් 1 කින් අඩු විය. කොපෙක් 20 ක්

2. ඉතිරිකිරීමේ බැංකු විසින් තැන්පත්කරුවන්ට වසර තුළ ඉතිරිකිරීම් සඳහා තැන්පත් කළ මුදලින් 2/100 ක් ගෙවයි.

උදාහරණයක්. රූබල් 500 ක් මුදල් ලේඛනයේ තැන්පත් කර ඇත, වර්ෂය සඳහා මෙම මුදලෙන් ලැබෙන ආදායම රුබල් 10 කි.

3. එක් පාසලක උපාධිධාරීන් සංඛ්‍යාව මුළු සිසුන් සංඛ්‍යාවෙන් 5/100 කි.

උදාහරණයක් පාසලේ සිසුන් 1,200 ක් පමණක් සිටි අතර ඉන් 60 ක් උපාධි ලබා ඇත.

සංඛ්‍යාවක සියවන කොටස ප්‍රතිශතයක් ලෙස හැඳින්වේ.

"සියයට" යන වචනය ලතින් භාෂාවෙන් ණයට ගෙන ඇති අතර එහි මූල "සත" යන්නෙන් අදහස් වන්නේ සියයයි. පෙරනිමිත්ත (pro centum) සමඟ මෙම වචනයේ තේරුම "සියයක් සඳහා" යන්නයි. මෙම ප්‍රකාශනයේ අරුත, මුලදී පුරාණ රෝමයේ පොලී යනු ණයගැතියා "සෑම සියයකටම" ණය දෙන්නාට ගෙවූ මුදලට ලබා දුන් නමයි. "ශත" යන වචනය එවැනි හුරුපුරුදු වචන වලින් අසන්නට ලැබේ: centner (කිලෝ ග්රෑම් සියයක්), සෙන්ටිමීටර (සෙන්ටිමීටරය කියන්න).

නිදසුනක් වශයෙන්, පසුගිය මාසය තුළ බලාගාරය විසින් නිෂ්පාදනය කරන ලද සියලුම නිෂ්පාදන වලින් 1/100 ක් දෝෂ සහිත බව පැවසීම වෙනුවට, අපි මෙය කියමු: පසුගිය මාසය තුළ බලාගාරය දෝෂ වලින් සියයට එකක් නිෂ්පාදනය කළේය. කියනවා වෙනුවට: බලාගාරය ස්ථාපිත සැලැස්මට වඩා 4/100 නිෂ්පාදන නිෂ්පාදනය කළා, අපි කියමු: බලාගාරය සැලැස්ම සියයට 4 කින් ඉක්මවා ඇත.

ඉහත උදාහරණ වෙනස් ආකාරයකින් ප්රකාශ කළ හැකිය:

1. පොත් මිල කලින් මිලට වඩා සියයට 12කින් අඩුවෙලා.

2. ඉතිරිකිරීමේ බැංකු විසින් තැන්පත්කරුවන්ට ඉතුරුම්වල තැන්පත් කළ මුදලින් වසරකට සියයට 2ක් ගෙවයි.

3. එක් පාසලක උපාධිධාරීන් සංඛ්‍යාව සියලුම පාසල් සිසුන්ගෙන් සියයට 5 කි.

ලිපිය කෙටි කිරීම සඳහා, "ප්රතිශතය" යන වචනය වෙනුවට % සංකේතය ලිවීම සිරිතකි.

කෙසේ වෙතත්, ගණනය කිරීම් වලදී % ලකුණ සාමාන්‍යයෙන් ලියා නැති බව ඔබ මතක තබා ගත යුතුය; එය ගැටළු ප්‍රකාශයේ සහ අවසාන ප්‍රති result ලය තුළ ලිවිය හැකිය. ගණනය කිරීම් සිදු කරන විට, මෙම සංකේතය සමඟ සම්පූර්ණ අංකයක් වෙනුවට 100 ක හරයක් සහිත භාගයක් ලිවිය යුතුය.

ඔබට දක්වා ඇති නිරූපකය සමඟ පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට 100 ක හරයක් සහිත භාගයක් කිරීමට ඔබට හැකි විය යුතුය:

අනෙක් අතට, 100 ක හරයක් සහිත භාගයක් වෙනුවට සඳහන් කළ සංකේතය සමඟ පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලිවීමට ඔබ පුරුදු විය යුතුය:

7. දී ඇති සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිශතය සොයා ගැනීම.

කාර්යය 1.පාසලට ඝන මීටර් 200ක් ලැබුණා. දර m, බර්ච් දර සමඟ 30% ක්. බර්ච් දර කීයක් තිබුණාද?

මෙම ගැටලුවේ තේරුම නම්, බර්ච් දර සෑදී ඇත්තේ පාසලට ලබා දුන් දර වලින් කොටසක් පමණක් වන අතර, මෙම කොටස 30/100 භාගයේ දක්වා ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සංඛ්‍යාවක කොටසක් සොයා ගැනීමට අපට කාර්යයක් ඇති බවයි. එය විසඳීම සඳහා, අපි 200 න් 30/100 න් ගුණ කළ යුතුය (සංඛ්‍යාවක භාගය සොයා ගැනීමේ ගැටළු විසඳනු ලබන්නේ අංකය භාගයෙන් ගුණ කිරීමෙන් ය.).

මෙයින් අදහස් කරන්නේ 200 න් 30% 60 ට සමාන බවයි.

මෙම ගැටලුවේ දී හමුවන 30/100 කොටස 10 කින් අඩු කළ හැකිය. මෙම අඩු කිරීම ආරම්භයේ සිටම කළ හැකි වනු ඇත; ගැටලුවට විසඳුම වෙනස් නොවනු ඇත.

කාර්යය 2.කඳවුරේ විවිධ වයස්වල ළමුන් 300 ක් සිටියහ. අවුරුදු 11 ක් වයසැති දරුවන් 21% ක් ද, අවුරුදු 12 ක් වයසැති ළමයින් 61% ක් ද, අවසානයේ අවුරුදු 13 ක් වයසැති ළමයින් 18% ක් ද විය. කඳවුරේ එක් එක් වයස්වල ළමුන් කී දෙනෙක් සිටියාද?

මෙම ගැටලුවේදී ඔබ ගණනය කිරීම් තුනක් සිදු කළ යුතුය, එනම් අනුපිළිවෙලින් අවුරුදු 11 ක් වයසැති, පසුව අවුරුදු 12 ක් සහ අවසානයේ අවුරුදු 13 ක් වයසැති දරුවන්ගේ සංඛ්යාව සොයා ගන්න.

මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙහි ඔබට අංකයේ භාගය තුන් වතාවක් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වනු ඇති බවයි. අපි එය කරමු:

1) අවුරුදු 11ක ළමයි කී දෙනෙක් හිටියද?

2) අවුරුදු 12ක ළමයි කී දෙනෙක් හිටියද?

3) අවුරුදු 13ක ළමයි කී දෙනෙක් හිටියද?

ගැටළුව විසඳීමෙන් පසු, සොයාගත් සංඛ්යා එකතු කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ; ඔවුන්ගේ එකතුව 300 විය යුතුය:

63 + 183 + 54 = 300

ගැටළු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇති ප්‍රතිශතවල එකතුව 100 බව ද සටහන් කළ යුතුය:

21% + 61% + 18% = 100%

මෙයින් ඇඟවෙන්නේ කඳවුරේ මුළු ළමුන් සංඛ්‍යාව 100% ලෙස ගත් බවයි.

3 a d a h a 3.සේවකයාට මසකට රුබල් 1,200 ක් ලැබුණි. මෙයින් ඔහු ආහාර සඳහා 65%, මහල් නිවාස සහ උණුසුම සඳහා 6%, ගෑස්, විදුලිය සහ ගුවන්විදුලිය සඳහා 4%, සංස්කෘතික අවශ්යතා සඳහා 10% සහ ඉතිරි 15%. ගැටලුවේ දක්වා ඇති අවශ්යතා සඳහා කොපමණ මුදලක් වියදම් කර තිබේද?

මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා ඔබ 1,200 ක භාගය 5 වතාවක් සොයා ගත යුතුය. අපි මෙය කරමු.

1) ආහාර සඳහා කොපමණ මුදලක් වැය කළාද? ගැටලුව පවසන්නේ මෙම වියදම මුළු ඉපැයීම් වලින් 65% ක් වන බවයි, එනම් අංක 1,200 න් 65/100. අපි ගණනය කරමු:

2) උණුසුම සහිත මහල් නිවාසයක් සඳහා ඔබ කොපමණ මුදලක් ගෙවා ඇත්ද? පෙර එකට සමානව තර්ක කරමින්, අපි පහත ගණනය කිරීම වෙත පැමිණෙමු:

3) ගෑස්, විදුලිය සහ ගුවන්විදුලිය සඳහා ඔබ කොපමණ මුදලක් ගෙව්වාද?

4) සංස්කෘතික අවශ්‍යතා සඳහා කොපමණ මුදලක් වැය කළාද?

5) සේවකයා කොපමණ මුදලක් ඉතිරි කළාද?

පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, මෙම ප්‍රශ්න 5 තුළ ඇති සංඛ්‍යා එකතු කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වේ. මුදල රූබල් 1,200 ක් විය යුතුය. සියලුම ඉපැයීම් 100% ලෙස ගනු ලැබේ, එය ගැටළු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇති ප්‍රතිශත අංක එකතු කිරීමෙන් පරීක්ෂා කිරීම පහසුය.

අපි ගැටලු තුනක් විසඳුවා. මෙම ගැටළු විවිධ දේ සමඟ කටයුතු කළද (පාසලට දර ලබා දීම, විවිධ වයස්වල ළමුන්ගේ සංඛ්යාව, සේවකයාගේ වියදම්), ඒවා එකම ආකාරයකින් විසඳා ඇත. මෙය සිදු වූයේ සියලුම ගැටළු වලදී ලබා දී ඇති සංඛ්‍යා වලින් සියයට කිහිපයක් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වූ බැවිනි.

§ 90. භාග බෙදීම.

අපි භාග බෙදීම අධ්‍යයනය කරන විට, අපි පහත ප්‍රශ්න සලකා බලමු:

1. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන්න.
2. කොටසක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම
3. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් බෙදීම.
4. භාගයකින් කොටසක් බෙදීම.
5. මිශ්ර සංඛ්යා බෙදීම.
6. එහි දී ඇති භාගයෙන් අංකයක් සොයා ගැනීම.
7. අංකයක් එහි ප්‍රතිශතයෙන් සොයා ගැනීම.

අපි ඒවා අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු.

1. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදන්න.

නිඛිල දෙපාර්තුමේන්තුවේ දක්වා ඇති පරිදි, බෙදීම යනු සාධක දෙකක (ලාභාංශ) සහ මෙම සාධකවලින් එකක (බෙදීමේ) ගුණිතය ලබා දී තවත් සාධකයක් සොයා ගන්නා ක්‍රියාවයි.

අපි නිඛිල පිළිබඳ කොටසේ පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම දෙස බැලුවෙමු. එහිදී අපට බෙදීමේ අවස්ථා දෙකක් හමු විය: ඉතිරියක් නොමැතිව බෙදීම, හෝ “සම්පූර්ණයෙන්ම” (150: 10 = 15), සහ ඉතිරි කොටස සමඟ බෙදීම (100: 9 = 11 සහ 1 ඉතිරි). එබැවින් නිඛිල ක්ෂේත්‍රයේ දී, නිශ්චිත බෙදීම සැමවිටම කළ නොහැකි බව අපට පැවසිය හැකිය, මන්ද ලාභාංශය සැමවිටම නිඛිලයෙන් බෙදුම්කරුගේ ගුණිතය නොවන බැවිනි. භාගයකින් ගුණ කිරීම හඳුන්වා දීමෙන් පසු, අපට පූර්ණ සංඛ්‍යා බෙදීමේ ඕනෑම අවස්ථාවක් සලකා බැලිය හැකිය (ශුන්‍යයෙන් බෙදීම පමණක් බැහැර කර ඇත).

උදාහරණයක් ලෙස, 7 න් 12 න් බෙදීම යනු 12 න් 7 ට සමාන වන සංඛ්‍යාවක් සොයා ගැනීමයි. එවැනි සංඛ්‍යාවක් 7 / 12 භාග වන බැවින් 7 / 12 12 = 7 වේ. තවත් උදාහරණයක්: 14: 25 = 14 / 25, මන්ද 14 / 25 25 = 14.

මේ අනුව, සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීමට, ඔබ සංඛ්‍යාව ලාභාංශයට සමාන වන අතර හරය බෙදුම්කරුට සමාන වන භාගයක් සෑදිය යුතුය.

2. කොටසක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම.

6 / 7 කොටස 3 න් බෙදන්න. ඉහත දක්වා ඇති බෙදීමේ නිර්වචනයට අනුව, අපට මෙහි නිෂ්පාදන (6 / 7) සහ එක් සාධකයක් (3) ඇත; 3 න් ගුණ කළ විට දී ඇති නිෂ්පාදිතය 6/7 ලබා දෙන දෙවන සාධකය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ. නිසැකවම, එය මෙම නිෂ්පාදනයට වඩා තුන් ගුණයකින් කුඩා විය යුතුය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අප ඉදිරියේ ඇති කාර්යය වූයේ 6/7 භාගය 3 ගුණයකින් අඩු කිරීමයි.

භාගයක් අඩු කිරීම එහි සංඛ්‍යාව අඩු කිරීමෙන් හෝ එහි හරය වැඩි කිරීමෙන් කළ හැකි බව අපි දැනටමත් දනිමු. එබැවින් ඔබට ලිවිය හැකිය:

මෙම අවස්ථාවේ දී, අංක 6 3 න් බෙදිය හැකි බැවින්, 3 ගුණයකින් අඩු කළ යුතුය.

අපි තවත් උදාහරණයක් ගනිමු: 5/8 2 න් බෙදනු ලැබේ. මෙහි අංක 5 2 න් බෙදිය නොහැක, එයින් අදහස් වන්නේ හරය මෙම අංකයෙන් ගුණ කළ යුතු බවයි:

මේ මත පදනම්ව, රීතියක් සෑදිය හැකිය: කොටසක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින් බෙදීමට, ඔබ එම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවෙන් භාගයේ සංඛ්‍යාංකය බෙදිය යුතුය.(හැකි නම්), එකම හරය ඉතිරි කිරීම, හෝ භාගයේ හරය මෙම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කිරීම, එම සංඛ්‍යාව ඉතිරි කිරීම.

3. පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් බෙදීම.

5 න් 1/2 න් බෙදීමට අවශ්‍ය වේ, එනම්, 1/2 න් ගුණ කිරීමෙන් පසු නිෂ්පාදිතය 5 ලබා දෙන සංඛ්‍යාවක් සොයා ගන්න. පැහැදිලිවම, 1/2 නිසි භාගයක් වන බැවින් මෙම සංඛ්‍යාව 5 ට වඩා වැඩි විය යුතුය. , සහ සංඛ්‍යාවක් ගුණ කරන විට නිසි භාගයක ගුණිතය ගුණ කරන නිෂ්පාදිතයට වඩා අඩු විය යුතුය. මෙය වඩාත් පැහැදිලි කිරීම සඳහා, අපගේ ක්රියාවන් පහත පරිදි ලියන්න: 5: 1 / 2 = x , එනම් x 1/2 = 5.

අපි එවැනි අංකයක් සොයා ගත යුතුයි x , එය, 1/2 න් ගුණ කළහොත්, 5 ලබා දෙනු ඇත. නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක් 1/2 න් ගුණ කිරීමෙන් අදහස් වන්නේ මෙම සංඛ්‍යාවෙන් 1/2 ක් සොයා ගැනීමයි, එබැවින්, නොදන්නා සංඛ්‍යාවෙන් 1/2 x 5 ට සමාන වන අතර සම්පූර්ණ අංකය x දෙගුණයක්, එනම් 5 2 = 10.

එබැවින් 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

අපි පරීක්ෂා කරමු:

අපි තවත් උදාහරණයක් බලමු. අපි හිතමු ඔයාට 6 න් 2/3 න් බෙදන්න ඕන කියලා. චිත්රය භාවිතයෙන් අපේක්ෂිත ප්රතිඵලය සොයා ගැනීමට මුලින්ම උත්සාහ කරමු (රූපය 19).

Fig.19

අපි ඒකක 6 ට සමාන AB කොටසක් අඳින්න, සහ සෑම ඒකකයක්ම සමාන කොටස් 3 කට බෙදන්න. සෑම ඒකකයකම, AB සම්පූර්ණ කොටසෙන් තුනෙන් තුනක් (3/3) 6 ගුණයකින් විශාල වේ, i.e. e. 18/3. කුඩා වරහන් භාවිතා කරමින්, අපි 2 හි ප්රතිඵල 18 කොටස් සම්බන්ධ කරමු; එහි ඇත්තේ කොටස් 9 ක් පමණි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ 2/3 කොටස ඒකක 6 කින් 9 වතාවක් අඩංගු වන බවයි, නැතහොත්, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, 2/3 කොටස සම්පූර්ණ ඒකක 6 ට වඩා 9 ගුණයකින් අඩුය. එබැවින්,

ගණනය කිරීම් පමණක් භාවිතා කරමින් ඇඳීමකින් තොරව මෙම ප්රතිඵලය ලබා ගන්නේ කෙසේද? අපි මෙහෙම තර්ක කරමු: අපි 6 න් 2/3 න් බෙදිය යුතුයි, එනම් 2/3 6 හි කොපමණ වාර ගණනක් අඩංගු වේද යන ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දිය යුතුය. අපි පළමුව සොයා බලමු: 6 හි 1/3 කොපමණ වාර ගණනක් අඩංගු වේද? සම්පූර්ණ ඒකකයක තුනෙන් 3 ක් ඇති අතර, ඒකක 6 ක් තුළ 6 ගුණයකින් වැඩි, එනම් තුනෙන් 18 ක් ඇත; මෙම සංඛ්‍යාව සොයා ගැනීමට අපි 6 න් 3 න් ගුණ කළ යුතුය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ 1/3 b ඒකකවල 18 වතාවක් අඩංගු වන අතර 2/3 b ඒකකවල 18 වතාවක් නොව අඩක් වාර ගණනක් අඩංගු වන බවයි, එනම් 18: 2 = 9 එබැවින්, 6 න් 2/3 න් බෙදීමේදී අපි පහත දේ කළෙමු:

මෙතැන් සිට අපට සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් බෙදීමේ රීතිය ලැබේ. සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාගයකින් බෙදීමට, ඔබ මෙම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාව ලබා දී ඇති භාගයේ හරයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර, මෙම නිෂ්පාදිතය සංඛ්‍යාංකය බවට පත් කර, දී ඇති භාගයේ සංඛ්‍යාංකයෙන් එය බෙදන්න.

අපි අකුරු භාවිතයෙන් රීතිය ලියන්නෙමු:

මෙම රීතිය සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි කිරීම සඳහා, භාගික අගයක් ලෙස සැලකිය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය. එබැවින්, සොයාගත් රීතිය § 38 හි දක්වා ඇති සංඛ්‍යාවකින් බෙදීමේ රීතිය සමඟ සංසන්දනය කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වේ. එහිදී එම සූත්‍රයම ලැබුණු බව කරුණාවෙන් සලකන්න.

බෙදීමේදී, කෙටි යෙදුම් හැකි ය, උදාහරණයක් ලෙස:

4. භාගයකින් කොටසක් බෙදීම.

අපි හිතමු අපි 3/4 න් 3/8 න් බෙදන්න ඕන කියලා. බෙදීමෙන් ලැබෙන සංඛ්‍යාවෙන් අදහස් වන්නේ කුමක්ද? 3/4 භාගයේ 3/8 කොටස කොපමණ වාර ගණනක් අඩංගු වේද යන ප්‍රශ්නයට එය පිළිතුරු දෙනු ඇත. මෙම ගැටළුව තේරුම් ගැනීම සඳහා, අපි චිත්රයක් සාදා ගනිමු (රූපය 20).

අපි AB කොටසක් ගෙන එය එකක් ලෙස ගෙන එය සමාන කොටස් 4 කට බෙදා එවැනි කොටස් 3 ක් සලකුණු කරමු. AC කොටස AB කොටසින් 3/4 ට සමාන වේ. දැන් අපි එක් එක් මුල් කොටස් හතරෙන් අඩකින් බෙදමු, එවිට AB කොටස සමාන කොටස් 8 කට බෙදනු ලබන අතර එවැනි සෑම කොටසක්ම AB කොටසෙන් 1/8 ට සමාන වේ. අපි එවැනි කොටස් 3 ක් චාප සමඟ සම්බන්ධ කරමු, එවිට එක් එක් AD සහ DC කොටස් AB කොටසෙන් 3/8 ට සමාන වේ. චිත්‍රයෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ 3/8 ට සමාන ඛණ්ඩයක් හරියටම 2 වතාවක් 3/4 ට සමාන කොටසක අඩංගු වන බවයි; මෙයින් අදහස් කරන්නේ බෙදීමේ ප්රතිඵලය පහත පරිදි ලිවිය හැකි බවයි.

3 / 4: 3 / 8 = 2

අපි තවත් උදාහරණයක් බලමු. අපි 15/16 3/32 න් බෙදිය යුතු යැයි කියමු:

අපට මෙසේ තර්ක කළ හැකිය: 3/32 න් ගුණ කිරීමෙන් පසු 15/16 ට සමාන නිෂ්පාදනයක් ලබා දෙන අංකයක් අපට සොයාගත යුතුය. ගණනය කිරීම් මේ ආකාරයට ලියමු:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 නොදන්නා අංකය x 15/16 වේ

නොදන්නා අංකයකින් 1/32 x වේ,

අංක 32/32 x වෙස් ගන්වන්න .

එබැවින්,

මේ අනුව, භාගයක් භාගයකින් බෙදීමට, ඔබ පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාව දෙවැන්නේ හරයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර, පළමු භාගයේ හරය දෙවැන්නේ සංඛ්‍යාංකයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර පළමු නිෂ්පාදනයේ සංඛ්‍යාංකය බවට පත් කළ යුතුය. සහ දෙවැන්න හරය.

අපි අකුරු භාවිතයෙන් රීතිය ලියන්නෙමු:

බෙදීමේදී, කෙටි යෙදුම් හැකි ය, උදාහරණයක් ලෙස:

5. මිශ්ර සංඛ්යා බෙදීම.

මිශ්‍ර සංඛ්‍යා බෙදීමේදී, ඒවා ප්‍රථමයෙන් නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කළ යුතු අතර, පසුව ලැබෙන භාග කොටස් බෙදීමේ නීතිවලට අනුව බෙදිය යුතුය. අපි උදාහරණයක් බලමු:

මිශ්‍ර සංඛ්‍යා නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කරමු:

දැන් අපි බෙදමු:

මේ අනුව, මිශ්‍ර සංඛ්‍යා බෙදීමට, ඔබ ඒවා නුසුදුසු භාග බවට පරිවර්තනය කළ යුතු අතර පසුව භාග බෙදීම සඳහා රීතිය භාවිතයෙන් බෙදිය යුතුය.

6. එහි දී ඇති භාගයෙන් අංකයක් සොයා ගැනීම.

විවිධ භාග ගැටළු අතර, සමහර විට නොදන්නා අංකයක යම් කොටසක අගය ලබා දී ඇති අතර ඔබට මෙම අංකය සොයාගත යුතුය. මෙම ආකාරයේ ගැටලුවක් ලබා දී ඇති අංකයක භාගය සොයා ගැනීමේ ගැටලුවේ ප්‍රතිලෝම වේ; එහිදී අංකයක් ලබා දී ඇති අතර මෙම සංඛ්‍යාවෙන් යම් කොටසක් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය විය, මෙහි අංකයක කොටසක් ලබා දී මෙම අංකයම සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය විය. අපි මේ ආකාරයේ ගැටලුවක් විසඳීමට යොමු වුවහොත් මෙම අදහස වඩාත් පැහැදිලි වනු ඇත.

කාර්යය 1.පළමු දිනයේදී, ග්ලැසියර් විසින් ජනේල 50 ක් ඔප දැමූ අතර එය ඉදිකරන ලද නිවසේ සියලුම ජනේල වලින් 1/3 කි. මෙම නිවසේ ජනේල කීයක් තිබේද?

විසඳුමක්.ගැටලුව පවසන්නේ ඔප දැමූ කවුළු 50 ක් නිවසේ සියලුම ජනේල වලින් 1/3 ක් වන බවයි, එයින් අදහස් කරන්නේ මුළු ජනේල 3 ගුණයකින් වැඩි බවයි, එනම්.

නිවසේ ජනෙල් 150ක් තිබුණා.

කාර්යය 2.ගබඩාවේ තිබු මුළු පිටි තොගයෙන් 3/8ක් වන පිටි කිලෝග්‍රෑම් 1500ක් අලෙවි විය. ගබඩාවේ ආරම්භක පිටි සැපයුම කුමක්ද?

විසඳුමක්.ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව, විකුණන ලද පිටි කිලෝග්‍රෑම් 1,500 මුළු තොගයෙන් 3/8 ක් වන බව පැහැදිලිය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම සංචිතයෙන් 1/8 3 ගුණයකින් අඩු වනු ඇති බවයි, එනම් එය ගණනය කිරීම සඳහා ඔබ 1500 කින් 3 ගුණයකින් අඩු කළ යුතුය:

1,500: 3 = 500 (මෙය රක්ෂිතයෙන් 1/8කි).

නිසැකවම, සම්පූර්ණ සැපයුම 8 ගුණයකින් විශාල වනු ඇත. එබැවින්,

500 8 = 4,000 (කිලෝ ග්රෑම්).

ගබඩාවේ ආරම්භක පිටි තොගය කිලෝ 4000 කි.

මෙම ගැටළුව සලකා බැලීමෙන්, පහත රීතිය ව්‍යුත්පන්න කළ හැක.

එහි භාගයේ දී ඇති අගයකින් අංකයක් සොයා ගැනීමට, මෙම අගය භාගයේ සංඛ්‍යාංකයෙන් බෙදීම සහ ප්‍රතිඵලය භාගයේ හරයෙන් ගුණ කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.

එහි භාගය ලබා දී ඇති අංකයක් සෙවීමේදී අපි ගැටලු දෙකක් විසඳා ගත්තෙමු. එවැනි ගැටළු, විශේෂයෙන් පැහැදිලිව පෙනෙන පරිදි, ක්‍රියා දෙකකින් විසඳනු ලැබේ: බෙදීම (එක් කොටසක් සොයාගත් විට) සහ ගුණ කිරීම (සම්පූර්ණ අංකය සොයාගත් විට).

කෙසේ වෙතත්, අපි භාග බෙදීම ඉගෙන ගත් පසු, ඉහත ගැටළු එක් ක්‍රියාවකින් විසඳා ගත හැකිය, එනම්: භාගයකින් බෙදීම.

උදාහරණයක් ලෙස, අවසාන කාර්යය මෙවැනි එක් ක්‍රියාවකින් විසඳිය හැකිය:

අනාගතයේදී, අපි එහි භාගයෙන් අංකයක් සොයා ගැනීමේ ගැටළු එක් ක්‍රියාවකින් විසඳන්නෙමු - බෙදීම.

7. අංකයක් එහි ප්‍රතිශතයෙන් සොයා ගැනීම.

මෙම ගැටළු වලදී ඔබට එම සංඛ්‍යාවෙන් සියයට කිහිපයක් දැනගෙන අංකයක් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වනු ඇත.

කාර්යය 1.මෙම වසර ආරම්භයේදී මට ඉතිරි කිරීමේ බැංකුවෙන් රුබල් 60 ක් ලැබුණි. මම වසරකට පෙර ඉතුරුම් වලට දැමූ මුදලෙන් ආදායම. මම ඉතුරුම් බැංකුවේ කොපමණ මුදලක් දමා තිබේද? (මුදල් මේස තැන්පත්කරුවන්ට වසරකට 2% ක ප්‍රතිලාභයක් ලබා දෙයි.)

ගැටලුවේ කාරණය නම් මම යම් මුදලක් ඉතිරි කිරීමේ බැංකුවක දමා වසරක් එහි රැඳී සිටීමයි. අවුරුද්දකට පසු මට ඇයගෙන් රුබල් 60 ක් ලැබුණි. ආදායම, එය මා තැන්පත් කළ මුදලින් 2/100 කි. මම කොච්චර සල්ලි දැම්මද?

ප්‍රති, ලයක් වශයෙන්, මෙම මුදලින් කොටසක් දැන ගැනීම, ක්‍රම දෙකකින් ප්‍රකාශිත (රූබල් සහ භාග වලින්), අපි තවමත් නොදන්නා මුළු මුදලම සොයාගත යුතුය. මෙය එහි භාගය ලබා දී ඇති සංඛ්‍යාවක් සොයා ගැනීමේ සාමාන්‍ය ගැටලුවකි. පහත සඳහන් ගැටළු බෙදීම මගින් විසඳනු ලැබේ:

මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඉතුරුම් බැංකුවේ රුබල් 3,000 ක් තැන්පත් කර ඇති බවයි.

කාර්යය 2.ධීවරයින් සති දෙකක් තුළ 64% කින් මාසික සැලැස්ම සම්පූර්ණ කර මාළු ටොන් 512 ක් අස්වැන්න ලබා ගත්හ. ඔවුන්ගේ සැලැස්ම කුමක්ද?

ගැටලුවේ කොන්දේසි වලින් ධීවරයින් සැලැස්මේ කොටසක් සම්පූර්ණ කළ බව දන්නා කරුණකි. මෙම කොටස ටොන් 512 ට සමාන වන අතර එය සැලැස්මෙන් 64% කි. සැලැස්මට අනුව මාළු ටොන් කීයක් සකස් කළ යුතුදැයි අපි නොදනිමු. මෙම අංකය සොයා ගැනීම ගැටලුවට විසඳුම වනු ඇත.

එවැනි ගැටළු බෙදීම මගින් විසඳනු ලැබේ:

මෙයින් අදහස් කරන්නේ සැලැස්මට අනුව මාළු ටොන් 800 ක් සකස් කළ යුතු බවයි.

කාර්යය 3.දුම්රිය රීගා සිට මොස්කව් දක්වා ගියේය. ඔහු 276 වැනි කිලෝමීටරය පසු කරන විට එක් මගියෙක් ඒ අසල සිටි කොන්දොස්තරවරයකුගෙන් ඔවුන් ඒ වන විටත් ගමනෙන් කොපමණ ප්‍රමාණයක් ආවරණය කර ඇත්දැයි විමසීය. ඊට කොන්දොස්තරවරයා මෙසේ පිළිතුරු දුන්නේය: "අපි දැනටමත් මුළු ගමනෙන් 30% ක් ආවරණය කර ඇත." රීගා සිට මොස්කව් දක්වා ඇති දුර කුමක්ද?

ගැටළු තත්වයන්ගෙන් පැහැදිලි වන්නේ රීගා සිට මොස්කව් දක්වා මාර්ගයෙන් 30% කි.මී 276 කි. අපි මෙම නගර අතර සම්පූර්ණ දුර සොයා ගත යුතුය, එනම්, මෙම කොටස සඳහා, සම්පූර්ණ සොයා ගන්න:

§ 91. අන්යෝන්ය සංඛ්යා. බෙදීම ගුණ කිරීම සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම.

අපි 2/3 කොටස ගෙන හරය වෙනුවට සංඛ්‍යාංකය ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු, අපට 3/2 ලැබේ. අපට මෙම භාගයේ ප්‍රතිලෝමය ලැබුණි.

දී ඇති කොටසක ප්‍රතිලෝමය ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබ එහි සංඛ්‍යාව හරය වෙනුවට ද, හරය වෙනුවට හරය ද තැබිය යුතුය. මේ ආකාරයෙන් අපට ඕනෑම භාගයක ප්‍රතිවර්තනය ලබා ගත හැකිය. උදාහරණ වශයෙන්:

3/4, ප්‍රතිලෝම 4/3; 5/6, ප්‍රතිලෝම 6/5

පළමුවැන්නෙහි සංඛ්‍යාංකය දෙවැන්නෙහි හරය වන අතර පළමුවැන්නෙහි හරය දෙවැන්නෙහි සංඛ්‍යාංකය වන ගුණ ඇති භාග දෙකක් හඳුන්වනු ලැබේ. අන්යෝන්ය වශයෙන් ප්රතිලෝම.

දැන් අපි හිතමු 1/2 හි ප්‍රත්‍යාවර්තය වන්නේ කුමන භාගයද කියා. නිසැකවම, එය 2 / 1 හෝ 2 ක් වනු ඇත. ලබා දී ඇති එකේ ප්‍රතිලෝම භාගය සෙවීමෙන්, අපට නිඛිලයක් ලැබේ. මෙම නඩුව හුදකලා නොවේ; ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධව, 1 (එකක්) සංඛ්‍යාවක් සහිත සියලුම භාග සඳහා, ප්‍රත්‍යාවර්ත නිඛිල වනු ඇත, උදාහරණයක් ලෙස:

1/3, ප්‍රතිලෝම 3; 1/5, ප්‍රතිලෝම 5

පරස්පර භාග සොයා ගැනීමේදී අපට පූර්ණ සංඛ්‍යා ද හමු වූ බැවින්, පහත දැක්වෙන දේවලදී අපි කතා කරන්නේ ප්‍රත්‍යවර්ත භාග ගැන නොව ප්‍රත්‍යාවර්ත සංඛ්‍යා ගැන ය.

පූර්ණ සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිලෝම ලියන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලමු. භාග සඳහා, මෙය සරලව විසඳිය හැකිය: ඔබ අංකනය වෙනුවට හරය තැබිය යුතුය. මේ ආකාරයෙන්ම, ඔබට පූර්ණ සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිලෝමය ලබා ගත හැක, මන්ද ඕනෑම නිඛිලයකට 1 හි හරයක් තිබිය හැකි බැවිනි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ 7 හි ප්‍රතිලෝමය 1/7 වනු ඇති බවයි, මන්ද 7 = 7/1; අංක 10 සඳහා ප්‍රතිලෝම 1/10 වනු ඇත, මන්ද 10 = 10/1

මෙම අදහස වෙනස් ආකාරයකින් ප්රකාශ කළ හැකිය: දී ඇති අංකයකින් එකක් බෙදීමෙන් ලබා දී ඇති සංඛ්‍යාවක අන්‍යෝන්‍ය අගය ලබා ගනී. මෙම ප්රකාශය සම්පූර්ණ සංඛ්යා සඳහා පමණක් නොව, භාග සඳහාද සත්ය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට 5/9 භාගයේ ප්‍රතිලෝමය ලිවීමට අවශ්‍ය නම්, අපට 1 ගෙන එය 5/9 න් බෙදිය හැකිය, i.e.

දැන් අපි එක දෙයක් පෙන්වා දෙමු දේපලඅපට ප්‍රයෝජනවත් වන අන්‍යෝන්‍ය සංඛ්‍යා: පරස්පර සංඛ්‍යාවල ගුණිතය එකකට සමාන වේ.ඇත්ත වශයෙන්ම:

මෙම ගුණාංගය භාවිතා කරමින්, අපට පහත ආකාරයෙන් ප්‍රතිවර්ත සංඛ්‍යා සොයාගත හැකිය. අපි කියමු අපි 8 හි ප්‍රතිලෝමය සොයා ගත යුතුයි.

අපි එය අකුරින් දක්වමු x , පසුව 8 x = 1, එබැවින් x = 1/8. අපි 7/12 හි ප්‍රතිලෝම වන වෙනත් සංඛ්‍යාවක් සොයාගෙන එය අකුරින් දක්වමු x , පසුව 7/12 x = 1, එබැවින් x = 1: 7/12 හෝ x = 12 / 7 .

භාග බෙදීම පිළිබඳ තොරතුරු තරමක් අතිරේක කිරීම සඳහා අපි ප්‍රතිවර්ත සංඛ්‍යා පිළිබඳ සංකල්පය මෙහි හඳුන්වා දුන්නෙමු.

අපි අංක 6 න් 3/5 න් බෙදූ විට, අපි පහත දේ කරමු:

ප්‍රකාශනය කෙරෙහි විශේෂ අවධානයක් යොමු කර එය ලබා දී ඇති එක සමඟ සසඳන්න: .

අපි ප්‍රකාශනය වෙන වෙනම ගතහොත්, පෙර එක සමඟ සම්බන්ධ නොවී, එය පැමිණියේ කොහෙන්ද යන ප්‍රශ්නය විසඳිය නොහැක: 6 න් 3/5 න් බෙදීමෙන් හෝ 6 න් 5/3 න් ගුණ කිරීමෙන්. අවස්ථා දෙකේදීම සිදුවන්නේ එකම දෙයයි. ඒ නිසා අපිට කියන්න පුළුවන් එක් සංඛ්‍යාවක් තවත් සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම බෙදුම්කරුගේ ප්‍රතිලෝමයෙන් ලාභාංශ ගුණ කිරීමෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකි බව.

පහත දැක්වෙන උදාහරණ මෙම නිගමනය සම්පූර්ණයෙන්ම තහවුරු කරයි.

අපි හිතමු අචිලස් කැස්බෑවාට වඩා දස ගුණයකින් වේගයෙන් දුවනවා, අඩි දාහක් පිටුපසින් ඉන්නවා කියලා. මෙම දුර ධාවනය කිරීමට Achilles ගත වන කාලය තුළ, කැස්බෑවා එකම දිශාවට පියවර සියයක් බඩගානු ඇත. අචිලස් පියවර සියයක් දුවන විට, ඉබ්බා තවත් පියවර දහයක් බඩගා යයි. මෙම ක්‍රියාවලිය අසීමිත ලෙස දිගටම පවතිනු ඇත, අචිලස් කිසි විටෙකත් ඉබ්බා අල්ලා නොගනී.

මෙම තර්කය සියලු පසු පරම්පරාවන්ට තාර්කික කම්පනයක් බවට පත් විය. ඇරිස්ටෝටල්, ඩයෝජිනීස්, කාන්ට්, හේගල්, හිල්බට්... මේ හැමෝම එක එක විදිහට සැලකුවේ Zeno ගේ aporia. කම්පනය කොතරම් ශක්තිමත්ද කියනවා නම් " ... සාකච්ඡා අද දක්වාම පවතී; විද්‍යාත්මක ප්‍රජාවට තවමත් විරුද්ධාභාසවල සාරය පිළිබඳ පොදු මතයකට පැමිණීමට නොහැකි වී ඇත ... ගණිතමය විශ්ලේෂණය, කට්ටල න්‍යාය, නව භෞතික හා දාර්ශනික ප්‍රවේශයන් ගැටලුව අධ්‍යයනයට සම්බන්ධ විය. ; ඔවුන්ගෙන් කිසිවක් ගැටලුවට පොදුවේ පිළිගත් විසඳුමක් බවට පත් නොවීය."[විකිපීඩියා, "Zeno's Aporia". සෑම දෙනාටම තමන් රැවටෙන බව තේරුම් ගත හැකි නමුත්, රැවටීම සමන්විත වන්නේ කුමක් දැයි කිසිවෙකුට වැටහෙන්නේ නැත.

ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, Zeno ඔහුගේ aporia හි ප්‍රමාණයේ සිට දක්වා සංක්‍රමණය පැහැදිලිව පෙන්නුම් කළේය. මෙම සංක්‍රාන්තිය ස්ථිර ඒවා වෙනුවට යෙදුම අදහස් කරයි. මා තේරුම් ගත් පරිදි, විචල්‍ය මිනුම් ඒකක භාවිතා කිරීම සඳහා වන ගණිතමය උපකරණය තවම සංවර්ධනය කර නැත, නැතහොත් එය Zeno ගේ aporia සඳහා යොදා ගෙන නොමැත. අපගේ සුපුරුදු තර්කය යෙදීමෙන් අපව උගුලකට ඇද දමයි. අපි, සිතීමේ අවස්ථිති භාවය නිසා, ප්‍රතිවර්ත අගයට කාලයෙහි නියත ඒකක යොදන්නෙමු. භෞතික දෘෂ්ටි කෝණයකින්, මෙය අචිලස් කැස්බෑවා අල්ලා ගන්නා මොහොතේ සම්පූර්ණයෙන්ම නතර වන තෙක් කාලය මන්දගාමී වන බව පෙනේ. කාලය නතර වුවහොත්, Achilles හට තවදුරටත් කැස්බෑවා අභිබවා යා නොහැක.

අපි අපේ සුපුරුදු තර්කනය හැරුණොත්, සියල්ල නිසි තැනට වැටේ. Achilles නියත වේගයකින් ධාවනය වේ. ඔහුගේ මාර්ගයේ සෑම ඊළඟ කොටසක්ම පෙර එකට වඩා දස ගුණයකින් කෙටි වේ. ඒ අනුව, එය ජය ගැනීම සඳහා ගත කරන කාලය පෙර කාලයට වඩා දස ගුණයකින් අඩුය. මෙම තත්වය තුළ අපි "අනන්තය" යන සංකල්පය යෙදුවහොත්, "අචිලස් කැස්බෑවා අසීමිත ලෙස ඉක්මනින් අල්ලා ගනු ඇත" යැයි පැවසීම නිවැරදිය.

මෙම තාර්කික උගුල වළක්වා ගන්නේ කෙසේද? කාලයෙහි නියත ඒකකවල රැඳී සිටින්න සහ අන්‍යෝන්‍ය ඒකක වෙත මාරු නොවන්න. Zeno ගේ භාෂාවෙන් එය මෙසේ පෙනේ:

අචිලස්ට පියවර දහසක් දුවන්න ගතවන කාලය තුළ කැස්බෑවා පියවර සියයක් එකම දිශාවට බඩගානු ඇත. පළමු කාල පරතරයට සමාන ඊළඟ කාල පරතරය තුළ, අචිලස් තවත් පියවර දහසක් දුවනු ඇත, ඉබ්බා පියවර සියයක් බඩගා යයි. දැන් අචිලස් කැස්බෑවාට වඩා පියවර අටසියයක් ඉදිරියෙන් සිටී.

මෙම ප්‍රවේශය කිසිදු තාර්කික විරුද්ධාභාසයකින් තොරව යථාර්ථය ප්‍රමාණවත් ලෙස විස්තර කරයි. නමුත් මෙය ගැටලුවට සම්පූර්ණ විසඳුමක් නොවේ. ආලෝකයේ ප්‍රවේගයේ ප්‍රතිරෝධය පිලිබඳ අයින්ස්ටයින්ගේ ප්‍රකාශය Zeno ගේ aporia "Achilles and the Tortoise" ට බෙහෙවින් සමාන ය. අපට තවමත් මෙම ගැටලුව අධ්‍යයනය කිරීමට, නැවත සිතා බැලීමට සහ විසඳීමට සිදුවේ. තවද විසඳුම සෙවිය යුත්තේ අසීමිත විශාල සංඛ්‍යාවකින් නොව මිනුම් ඒකක වලිනි.

Zeno හි තවත් රසවත් aporia පියාසර ඊතලයක් ගැන කියයි:

පියාඹන ඊතලයක් චලනය නොවී පවතී, මන්ද එය සෑම මොහොතකම විවේකයෙන් පවතින බැවින් සහ සෑම මොහොතකම එය විවේකයෙන් සිටින බැවින් එය සැමවිටම විවේකයෙන් පවතී.

මෙම අපෝරියා තුළ, තාර්කික විරුද්ධාභාසය ඉතා සරලව ජය ගනී - සෑම මොහොතකම පියාසර ඊතලයක් අභ්‍යවකාශයේ විවිධ ස්ථානවල නිශ්චලව පවතින බව පැහැදිලි කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ, එය ඇත්ත වශයෙන්ම චලනය වේ. මෙහිදී තවත් කරුණක් සඳහන් කළ යුතුය. පාරේ ඇති මෝටර් රථයක එක් ඡායාරූපයකින් එහි චලනය පිළිබඳ කාරණය හෝ එයට ඇති දුර තීරණය කළ නොහැක. මෝටර් රථයක් ගමන් කරන්නේද යන්න තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබට එකම ස්ථානයේ සිට විවිධ වේලාවන්හි ලබාගත් ඡායාරූප දෙකක් අවශ්‍ය වේ, නමුත් ඔබට ඒවායින් ඇති දුර තීරණය කළ නොහැක. මෝටර් රථයකට ඇති දුර තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබට එක් අවස්ථාවක අභ්‍යවකාශයේ විවිධ ස්ථාන වලින් ලබාගත් ඡායාරූප දෙකක් අවශ්‍ය වේ, නමුත් ඒවායින් ඔබට චලනය පිළිබඳ කාරණය තීරණය කළ නොහැක (ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට තවමත් ගණනය කිරීම් සඳහා අමතර දත්ත අවශ්‍ය වේ, ත්‍රිකෝණමිතිය ඔබට උපකාරී වනු ඇත. ) මට විශේෂ අවධානය යොමු කිරීමට අවශ්‍ය වන්නේ කාලයෙහි ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සහ අභ්‍යවකාශයේ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් ව්‍යාකූල නොවිය යුතු විවිධ දේවල් වන බැවිනි, මන්ද ඒවා පර්යේෂණ සඳහා විවිධ අවස්ථා ලබා දෙන බැවිනි.

2018 ජූලි 4 බදාදා

කට්ටලය සහ බහු කට්ටලය අතර ඇති වෙනස්කම් විකිපීඩියාවේ ඉතා හොඳින් විස්තර කර ඇත. අපි බලමු.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, "කුලකයක සමාන මූලද්‍රව්‍ය දෙකක් තිබිය නොහැක", නමුත් කට්ටලයක සමාන මූලද්‍රව්‍ය තිබේ නම්, එවැනි කට්ටලයක් "බහු කට්ටලයක්" ලෙස හැඳින්වේ. මේ වගේ විකාර තර්කයක් සාධාරණ සත්වයන්ට කවදාවත් තේරෙන්නේ නැහැ. "සම්පූර්ණයෙන්ම" යන වචනයෙන් කිසිදු බුද්ධියක් නොමැති, කතා කරන ගිරවුන් සහ පුහුණු වඳුරන්ගේ මට්ටම මෙයයි. ගණිතඥයන් සාමාන්‍ය පුහුණුකරුවන් ලෙස ක්‍රියා කරමින් ඔවුන්ගේ අභූත අදහස් අපට දේශනා කරති.

ඉස්සර පාලම හදපු ඉන්ජිනේරුවෝ පාලම පරීක්‍ෂා කරනකොට පාලම යට බෝට්ටුවක හිටියා. පාලම කඩා වැටුණොත්, සාමාන්‍ය ඉංජිනේරුවා ඔහුගේ නිර්මාණයේ සුන්බුන් යට මිය ගියේය. පාලම බරට ඔරොත්තු දෙනවා නම්, දක්ෂ ඉංජිනේරුවා වෙනත් පාලම් ඉදි කළේය.

ගණිතඥයින් "මනස, මම නිවසේ සිටිමි" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය පිටුපස සැඟවී සිටියත්, "ගණිතය වියුක්ත සංකල්ප අධ්‍යයනය කරයි" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය පිටුපස සැඟවී සිටියත්, ඒවා යථාර්ථය සමඟ වෙන් කළ නොහැකි ලෙස සම්බන්ධ කරන එක් පෙකණි වැලක් තිබේ. මෙම පෙකණි වැල මුදල් ය. අපි ගණිතඥයන්ටම ගණිතමය කුලක න්‍යාය යොදා ගනිමු.

අපි හොඳට ගණිතය ඉගෙන ගෙන දැන් මුදල් ලේඛනයේ වාඩි වී වැටුප් ලබා දෙනවා. ඉතින් ගණිතඥයෙක් ඔහුගේ මුදල් සඳහා අප වෙත පැමිණේ. අපි මුළු මුදලම ඔහුට ගණන් කර විවිධ ගොඩවල්වල අපගේ මේසය මත තබමු, අපි එකම නිකායේ බිල්පත් තැබුවෙමු. ඊට පස්සේ අපි හැම ගොඩකින්ම බිල් එකක් අරගෙන ගණිතඥයාට ඔහුගේ "ගණිත වැටුප් කට්ටලය" දෙනවා. සමාන මූලද්‍රව්‍ය නොමැති කුලකයක් සමාන මූලද්‍රව්‍ය සහිත කට්ටලයකට සමාන නොවන බව ඔප්පු කළ විට පමණක් ඉතිරි බිල්පත් ඔහුට ලැබෙන බව ගණිතඥයාට පැහැදිලි කරමු. විනෝදය ආරම්භ වන්නේ මෙතැනිනි.

පළමුවෙන්ම, නියෝජිතයින්ගේ තර්කනය ක්‍රියාත්මක වනු ඇත: "මෙය අන් අයට යෙදිය හැකිය, නමුත් මට නොවේ!" එවිට එකම නිකායේ බිල්පත්වල විවිධ බිල්පත් අංක ඇති බව ඔවුන් අපට සහතික කිරීමට පටන් ගනීවි, එනම් ඒවා එකම මූලද්‍රව්‍ය ලෙස සැලකිය නොහැකි බවයි. හරි, අපි වැටුප් කාසිවල ගණන් කරමු - කාසිවල අංක නොමැත. මෙහිදී ගණිතඥයා භෞතික විද්‍යාව වියරුවෙන් මතක තබා ගැනීමට පටන් ගනී: විවිධ කාසිවල විවිධ අපිරිසිදු ප්‍රමාණයන් ඇත, පරමාණු වල ස්ඵටික ව්‍යුහය සහ සැකැස්ම එක් එක් කාසිය සඳහා අනන්‍ය වේ.

දැන් මට වඩාත්ම සිත්ගන්නා ප්‍රශ්නය තිබේ: බහු කට්ටලයක මූලද්‍රව්‍ය කට්ටලයක මූලද්‍රව්‍ය බවට හැරෙන රේඛාවෙන් ඔබ්බට සහ අනෙක් අතට? එවැනි රේඛාවක් නොපවතී - සෑම දෙයක්ම ෂාමන්වරුන් විසින් තීරණය කරනු ලැබේ, විද්යාව මෙහි බොරු කීමට පවා සමීප නොවේ.

මෙහෙ බලන්න. අපි එකම පිටි ප්රදේශයක් සහිත පාපන්දු ක්රීඩාංගන තෝරා ගනිමු. ක්ෂේත්‍රවල ප්‍රදේශ සමාන වේ - එයින් අදහස් කරන්නේ අපට බහු කට්ටලයක් ඇති බවයි. නමුත් අපි මේ එකම ක්‍රීඩාංගණවල නම් දෙස බැලුවහොත් අපට බොහෝ දේ ලැබේ, මන්ද නම් වෙනස් ය. ඔබට පෙනෙන පරිදි, එකම මූලද්රව්ය කට්ටලයක් කට්ටලයක් සහ බහු කට්ටලයක් වේ. කුමන නිවැරදිද? මෙහිදී ගණිතඥයා-ෂාමන්-තියුණුවාදියා තම අත්ලෙන් තුරුම්පුවක් ඉවතට ගෙන කට්ටලයක් හෝ බහු කට්ටලයක් ගැන අපට පැවසීමට පටන් ගනී. ඕනෑම අවස්ථාවක, ඔහු නිවැරදි බව ඔහු අපට ඒත්තු ගන්වනු ඇත.

නූතන ෂාමන්වරුන් කුලක න්‍යාය සමඟ ක්‍රියාත්මක වන ආකාරය තේරුම් ගැනීමට, එය යථාර්ථයට ගැටගැසීමට, එක් ප්‍රශ්නයකට පිළිතුරු දීමට එය ප්‍රමාණවත් වේ: එක් කට්ටලයක මූලද්‍රව්‍ය තවත් කට්ටලයක මූලද්‍රව්‍යවලින් වෙනස් වන්නේ කෙසේද? "තනි සමස්තයක් ලෙස සිතාගත නොහැකි" හෝ "තනි සමස්තයක් ලෙස සිතාගත නොහැකි" කිසිවක් නොමැතිව මම ඔබට පෙන්වන්නම්.

2018 මාර්තු 18 ඉරිදා

සංඛ්‍යාවක ඉලක්කම්වල එකතුව යනු ගණිතයට කිසිදු සම්බන්ධයක් නැති රබන් සහිත ෂාමන්වරුන්ගේ නර්තනයකි. ඔව්, ගණිත පාඩම් වලදී අපට අංකයක ඉලක්කම්වල එකතුව සොයාගෙන එය භාවිතා කිරීමට උගන්වා ඇත, නමුත් ඔවුන් ෂාමන්වරුන් වන්නේ එබැවිනි, ඔවුන්ගේ පරම්පරාවට ඔවුන්ගේ කුසලතා සහ ප්‍රඥාව ඉගැන්වීමට, එසේ නොමැතිනම් ෂාමන්වරු මිය යනු ඇත.

ඔබට සාක්ෂි අවශ්‍යද? විකිපීඩියාව විවෘත කර "සංඛ්‍යාවක ඉලක්කම් එකතුව" පිටුව සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න. ඇය නොපවතියි. ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ඉලක්කම්වල එකතුව සොයා ගැනීමට ගණිතයේ සූත්‍රයක් නොමැත. සියල්ලට පසු, සංඛ්‍යා යනු අප සංඛ්‍යා ලියන ග්‍රැෆික් සංකේත වන අතර ගණිතයේ භාෂාවෙන් කාර්යය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: “ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් නියෝජනය කරන ග්‍රැෆික් සංකේත එකතුව සොයන්න.” ගණිතඥයින්ට මෙම ගැටළුව විසඳිය නොහැක, නමුත් ෂාමන්වරුන්ට එය පහසුවෙන් කළ හැකිය.

දී ඇති අංකයක ඉලක්කම්වල එකතුව සොයා ගැනීම සඳහා අප කරන්නේ කුමක්ද සහ කෙසේද යන්න සොයා බලමු. ඉතින්, අපි 12345 අංකය ලබා ගනිමු. මෙම අංකයේ ඉලක්කම්වල එකතුව සොයා ගැනීමට කුමක් කළ යුතුද? සියලුම පියවර පිළිවෙලට සලකා බලමු.

1. කඩදාසි කැබැල්ලක අංකය ලියන්න. අපි මොනවද කරලා තියෙන්නේ? අපි අංකය චිත්රක සංඛ්යා සංකේතයක් බවට පරිවර්තනය කර ඇත. මෙය ගණිතමය මෙහෙයුමක් නොවේ.

2. අපි එක් ප්රතිඵලය පින්තූරයක් තනි සංඛ්යා අඩංගු පින්තූර කිහිපයක් කපා. පින්තූරයක් කැපීම ගණිතමය මෙහෙයුමක් නොවේ.

3. තනි ග්‍රැෆික් සංකේත සංඛ්‍යා බවට පරිවර්තනය කරන්න. මෙය ගණිතමය මෙහෙයුමක් නොවේ.

4. ප්රතිඵල සංඛ්යා එකතු කරන්න. දැන් මේක ගණිතය.

අංක 12345 හි ඉලක්කම්වල එකතුව 15 වේ. මේවා ගණිතඥයින් භාවිතා කරන ෂාමන්වරුන් විසින් උගන්වනු ලබන "කැපීම සහ මැහුම් පාඨමාලා" වේ. නමුත් එය පමණක් නොවේ.

ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින්, අපි අංකයක් ලියන්නේ කුමන සංඛ්‍යා පද්ධතියකද යන්න ගැටළුවක් නොවේ. එබැවින්, විවිධ සංඛ්යා පද්ධතිවල එකම අංකයේ ඉලක්කම්වල එකතුව වෙනස් වේ. ගණිතයේ දී, සංඛ්‍යා පද්ධතිය සංඛ්‍යාවේ දකුණට උපසිරැසියක් ලෙස දැක්වේ. 12345 විශාල සංඛ්‍යාව සමඟ, මට මගේ හිස රවටා ගැනීමට අවශ්‍ය නැත, අපි ලිපියෙන් අංක 26 සලකා බලමු. මෙම සංඛ්‍යාව ද්විමය, අෂ්ටක, දශම සහ ෂඩ් දශම සංඛ්‍යා පද්ධති වලින් ලියමු. අපි සෑම පියවරක්ම අන්වීක්ෂයකින් නොබලමු; අපි දැනටමත් එය කර ඇත. ප්‍රතිඵලය බලමු.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, විවිධ සංඛ්යා පද්ධතිවල එකම අංකයේ ඉලක්කම්වල එකතුව වෙනස් වේ. මෙම ප්‍රතිඵලය ගණිතයට සම්බන්ධ නැත. ඔබ සෘජුකෝණාස්‍රයක ප්‍රදේශය මීටර සහ සෙන්ටිමීටර වලින් තීරණය කළහොත් ඔබට සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් ප්‍රතිඵල ලැබෙනු ඇත.

ශුන්‍යය සියලුම සංඛ්‍යා පද්ධතිවල එකම ලෙස පෙනෙන අතර ඉලක්කම් එකතුවක් නොමැත. යන කාරණයට පක්ෂව මෙය තවත් තර්කයකි. ගණිතඥයින් සඳහා ප්‍රශ්නය: සංඛ්‍යාවක් නොවන දෙයක් ගණිතයේ නම් කරන්නේ කෙසේද? ගණිතඥයින්ට සංඛ්‍යා හැර අන් කිසිවක් නොපවතින්නේ කුමක්ද? මට මෙය ෂාමන්වරුන්ට ඉඩ දිය හැකිය, නමුත් විද්‍යාඥයින් සඳහා නොවේ. යථාර්ථය ඉලක්කම් පමණක් නොවේ.

ලබාගත් ප්‍රතිඵලය සංඛ්‍යා පද්ධති සංඛ්‍යා සඳහා මිනුම් ඒකක බවට සාක්ෂියක් ලෙස සැලකිය යුතුය. සියල්ලට පසු, අපට විවිධ මිනුම් ඒකක සමඟ සංඛ්යා සංසන්දනය කළ නොහැක. එකම ප්‍රමාණයේ විවිධ මිනුම් ඒකක සහිත එකම ක්‍රියා ඒවා සංසන්දනය කිරීමෙන් පසු විවිධ ප්‍රතිඵලවලට තුඩු දෙන්නේ නම්, මෙය ගණිතයට සම්බන්ධයක් නැත.

සැබෑ ගණිතය යනු කුමක්ද? ගණිතමය මෙහෙයුමක ප්‍රතිඵලය සංඛ්‍යාවේ ප්‍රමාණය, භාවිතා කරන මිනුම් ඒකකය සහ මෙම ක්‍රියාව සිදු කරන්නේ කවුරුන්ද යන්න මත රඳා නොපවතී.

ඔහ්! මේක කාන්තා විවේකාගාරය නේද?
- තරුණ කාන්තාව! මෙය ස්වර්ගයට නැගීමේදී ආත්මයන්ගේ අවිනිශ්චිත ශුද්ධකම අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා වූ රසායනාගාරයකි! ඉහළින් හා ඊතලය ඉහළට. වෙන මොන වැසිකිළිද?

ගැහැණු... උඩින් ඇති හැලෝ සහ පහළ ඊතලය පිරිමි.

එවැනි නිර්මාණ කලා කෘතියක් දිනකට කිහිප වතාවක් ඔබේ ඇස් ඉදිරිපිට දැල්වෙන්නේ නම්,

එවිට ඔබ හදිසියේම ඔබේ මෝටර් රථයේ අමුතු නිරූපකයක් සොයා ගැනීම පුදුමයක් නොවේ:

පුද්ගලිකව, මම මලපහ කරන පුද්ගලයෙකුගේ අංශක සෘණ හතරක් දැකීමට උත්සාහ කරමි (එක් පින්තූරයක්) (පින්තූර කිහිපයක සංයුතිය: ඍණ ලකුණක්, අංක හතර, අංශක නම් කිරීම). අනික මේ කෙල්ල භෞතික විද්‍යාව නොදන්න මෝඩයෙක් කියලා මම හිතන්නේ නෑ. ඇයට ඇත්තේ ග්‍රැෆික් රූප වටහා ගැනීමේ ශක්තිමත් ඒකාකෘතියක් පමණි. තවද ගණිතඥයන් මෙය අපට නිතරම උගන්වයි. මෙන්න උදාහරණයක්.

1A යනු "අංශක සෘණ හතර" හෝ "එක a" නොවේ. මෙය "pooping man" හෝ hexadecimal අංකනයේ "විසි හය" අංකයයි. මෙම සංඛ්‍යා පද්ධතියේ නිරන්තරයෙන් වැඩ කරන පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාවක් සහ අකුරක් එක් ග්‍රැෆික් සංකේතයක් ලෙස ස්වයංක්‍රීයව වටහා ගනී.